第二讲 实数 数的开方培优竞赛专项训练
平方根培优好题
平方根、立方根、实数培优一、填空题1的算术平方根是。
2、已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为米。
32(1)0,b -==。
4、已知x y y +=则=。
5=a 、x 、y 是两两不相等的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是。
6、已知a 、b 为正数，则下列命题成立的：若32,1;3,6, 3.2a b a b a b +=≤+=+=≤若；若根据以上3个命题所提供的规律，若a+6=9≤。
7、已知实数a 满足21999,1999a a a -=-=则。
8、已知实数211,,a-b 0,24c a b c c c ab-+=满足则的算术平方根是。
9、已知x 、y 是有理数，且x 、y 满足22323x y ++=-，则x+y=。
10、由下列等式：===…… 所揭示的规律，可得出一般的结论是。
11、已知实数a 满足0,11a a a +=-++=那么。
12、设A B ==则A 、B 中数值较小的是。
1312 5.28,y -=则x=,y=.14有意义的x 的取值范围是。
15、若101,6,a aa += 且 16、一个正数x 的两个平方根分别是a+1和a-3，则a=,x=.17、写出一个只含有字母的代数式，要求：（1）要使此代数式有意义，字母必须取全体实数；（2）此代数式的值恒为负数。
二、选择题：18( )A 、-6 B 、6 C 、±6 D19、下列命题：①（-3）2的平方根是-3 ；②-8的立方根是-23；④平方根与立方根相等的数只有0； 其中正确的命题的个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个20、若3,b a b +a ，则的值为（ ）A 、0B 、1C 、-1D 、221,a b ===( )A 、10abB 、310abC 、100abD 、3100ab22、使等式2(x =成立的x 的值（ ） A 、是正数 B 、是负数 C 、是0 D 、不能确定23、如果0,a （ ） A 、 B 、- C 、 D 、-24、下面5个数：13.1416,1ππ-，其中是有理数的有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个25、已知0,0,150,x y x y -= 且26、已知：27、在实数范围内，设20064(1x a x =++，求a 的各位数字是什么？28\已知x 、y 是实数，且2(1)x y -+29、解方程⑴、3x 2－27=0 ⑵、（2x +3）2=1630、若,622=----y x x 求y x 的立方根.31、已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.32、已知互为相反数，求a ，b 的值。
(完整版)实数培优专题
实数培优拓展1、利用概念解题：例1. 已知：18-+=b a M 是a +8的算术数平方根，423+--=b a b N 是b -3立方根，求N M +的平方根。
练习：1.若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是 。
2.已知234323-=-=+y x y x ，，求x y +的算术平方根与立方根。
3．若2a ＋1的平方根为±3，a －b ＋5的平方根为±2，求a+3b 的算术平方根。
例2、解方程（x+1）2=36.练习：（1）9)1(2=-x （2）251513=+）（x2、利用性质解题：例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．变式：①已知2a －1和a －11是一个数的平方根，则这个数是 ；②若2m －4与3m －1是同一个数两个平方根，则m 为 。
例2．若y =x -3＋3-x ＋1，求（x ＋y ）x 的值例3．x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
⑴⑵ ⑶ ⑷例4．已知321x -与323-y 互为相反数，求yx 21+的值. 例5.若a a +=+3)3(2，则a 的取值范围是例6.对于每个非零有理数c b a ,,式子abc abc c c b b a a +++的所有可能__________________.练习： 1.若一个正数a 的两个平方根分别为x +1和x +3，求a2005的值。
2. 若（x －3）2＋1-y =0，求x ＋y 的平方根；3. 已知,22421+-+-=x x y 求y x 的值.4. 当x 满足下列条件时，求x 的范围。
①2)2(x -=x －2 ② x -3=3-x ③x =x5. 若3387=-a ，则a 的值是 3、利用取值范围解题： 例1.已知052522=--+-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。
例2. 已知有理数a 满足a a a =-+-20052004，求a -20042的值。
数学数学第六章 实数的专项培优练习题(及解析
数学数学第六章 实数的专项培优练习题(及解析一、选择题1．设n 为正整数，且1n n <<+，则n 的值为（ ）A ．42B ．43C ．44D ．45 2．下列式子正确的是（ ）A±5B 9C 10D ．3 3．若()2320m n -++=，则m n +的值为( )A ．5-B ．1-C ．1D ．54．（b ﹣3）2＝0，则（a +b ）2019等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣2019D ．20195．是2的算术平方根；④12．正确的是( )A ．①④B ．②④C ．①③④D ．①②③④6．让我们轻松一下，做一个数字游戏．第一步：取一个自然数n 1＝5，计算n 12+1得a 1；第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22+1得a 2；第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，计算n 32+1得a 3；……依此类推，则a 2018的值为（ ）A ．26B ．65C ．122D ．1237．有下列说法：①在1和2一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④B ．①②④C ．②④D ．②8．在实数227，0中，是无理数的是（ ）A ．227B ．0CD 9．若一个数的平方根与它的立方根完全相同.则这个数是() A ．1B ．1-C ．0D ．10±， 10．估计20的算术平方根的大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间 二、填空题11．如图，按照程序图计算，当输入正整数x 时，输出的结果是161，则输入的x 的值可能是__________．12．已知a n ＝()211n +(n ＝1，2，3，…)，记b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出表达式b n ＝________ (用含n 的代数式表示)．13．观察下面两行数：2，4，8，16，32，64…①5，7，11，19，35，67…②根据你发现的规律，取每行的第8个数，并求出它们的和_______（要求写出最后的计算结果）．14．若x +1是125的立方根，则x 的平方根是_________．15．如果一个有理数a 的平方等于9，那么a 的立方等于_____．16．一个数的立方等于它本身，这个数是__．17．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O '点，那么O '点对应的数是______．你的理由是______．18．若x ＜0，则323x x +等于____________．19．已知a 、b 为两个连续的整数，且a ＜19＜b ，则a +b ＝_____．20．如图，直径为1个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点'O ，则点'O 对应的数是_______．三、解答题21．观察下列等式：①111122=-⨯， ②1112323=-⨯， ③1113434=-⨯. 将以上三个等式两边分别相加，得1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯. （1）请写出第④个式子（2）猜想并写出：1n(n 1)+= ． （3）探究并计算：111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)⨯. 22．请回答下列问题：（1）17介于连续的两个整数a 和b 之间，且a b <，那么a = ，b = ； （2）x 是172+的小数部分，y 是171-的整数部分，求x = ，y = ； （3）求()17yx -的平方根． 23．我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：(1)线段OA 的长度是多少?(要求写出求解过程)(2)这个图形的目的是为了说明什么? (3)这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)A ．数形结合B ．代入C ．换元D ．归纳24．你会求（a ﹣1）（a 2012+a 2011+a 2010+…+a 2+a+1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：()()2111a a a -+=-，()()23111a a a a -++=-，()()324111a a a a a -+++=-，（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a ﹣1）（a 2014+a 2013+a 2012+…+a 2+a+1）＝ 利用上面的结论，求：（2）22014+22013+22012+…+22+2+1的值是 ．（3）求52014+52013+52012+…+52+5+1的值．25．定义：若两个有理数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，则称a ，b 互为特征数．（1）3与 互为特征数；（2）正整数n (n ＞1)的特征数为 ；（用含n 的式子表示）（3）若m ，n 互为特征数，且m ＋mn ＝－2，n ＋mn ＝3，求m ＋n 的值．26．已知a 是最大的负整数，b 是多项式2m 2n ﹣m 3n 2﹣m ﹣2的次数，c 是单项式﹣2xy 2的系数，且a 、b 、c 分别是点A 、B 、C 在数轴上对应的数．（1）求a 、b 、c 的值，并在数轴上标出点A 、B 、C ．（2）若M 点在此数轴上运动，请求出M 点到AB 两点距离之和的最小值；（3）若动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴负方向运动，点P 的速度是每秒12个单位长度，点Q 的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q 能追上点P ？（4）在数轴上找一点N ，使点M 到A 、B 、C 三点的距离之和等于10，请直接写出所有的N 对应的数．（不必说明理由）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先确定2019介于1936、2025这两个平方数之间，从而可以得到44201945<<，再根据已知条件即可求得答案．【详解】解：∵193620192025<<∴2244201945<<． 2244201945<∴44201945<<∵n 为正整数，且20191n n <<+ ∴44n =．故选：C【点睛】本题考查了无理数的估算，“夹逼法”是估算的一种常用方法，找到与2019临界的两个完全平方数是解决问题的关键．2．B解析：B【分析】根据平方根、算术平方根的定义求出每个式子的值，再进行判断即可．【详解】A 255，故选项A 错误；B9，故选项B正确；C＝10，故选项C错误；D、＝±3，故选项D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义与性质．3．C解析：C【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】由题意得，m-3=0，n+2=0，解得m=3，n=-2，所以，m+n=3+（-2）=1．故选：C．【点睛】此题考查非负数的性质，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．4．B解析：B【分析】根据非负数的性质，非负数的和为0，即每个数都为0，可求得a、b的值，代入所求式子即可．【详解】根据题意得，a+4＝0，b﹣3＝0，解得a＝﹣4，b＝3，∴（a+b）2019＝（﹣4+3）2019＝﹣1，故选：B．【点睛】本题考查了非负数的性质，以及-1的奇次方是-1，理解非负数的性质是解题关键．5．D解析：D【分析】根据实数、无理数，算术平方根的意义和实数的大小比较方法逐一进行判断即可得到答案.【详解】是无理数，正确；是实数，正确；是2的算术平方根，正确；④12，正确．故选：D【点睛】本题考查了实数、无理数，算术平方根的意义和实数的大小比较方法等知识点，是常考题型.6．B解析：B【分析】依照题意分别求出a l =26，n 2=8，a 2=65，n 3=11，a 3=122，n 4=5，a 4=26…然后依次循环，从而求出结果．【详解】解：∵n 1＝5，a l ＝52+1＝26，n 2＝8，a 2＝82+1＝65，n 3＝11，a 3＝112+1＝122，n 4＝5，…，a 4＝52+1＝26…∵20183=6722÷∴20182=65=a a ．故选：B ．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 7．D解析：D【分析】根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得．【详解】①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误；②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确；③两个无理数的积不一定是无理数，如2=-，此说法错误； ④2π是无理数，不是分数，此说法错误； 综上，说法正确的为②，故选：D ．【点睛】 本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题关键．8．D解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：227是分数，属于有理数，故选项A不合题意；0是整数，属于有理数，故选项B不合题意；2=-，是整数，属于有理数，故选项C不合题意；是无理数，故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是关键．9．C解析：C【详解】任何实数的立方根都只有一个，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，所以这个数是0，故选C．10．C解析：C【解析】试题分析：∵16＜20＜25，∴∴4＜5．故选C．考点：估算无理数的大小．二、填空题11．、、、．【解析】解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；解析：53、17、5、1．【解析】解：∵y =3x +2，如果直接输出结果，则3x +2=161，解得：x =53；如果两次才输出结果：则x =(53-2)÷3=17； 如果三次才输出结果：则x =(17-2)÷3=5； 如果四次才输出结果：则x =(5-2)÷3=1； 则满足条件的整数值是：53、17、5、1．故答案为：53、17、5、1．点睛：此题的关键是要逆向思维．它和一般的程序题正好是相反的．12．．【解析】【详解】根据题意按规律求解：b1=2(1-a1)=，b2=2(1-a1)(1-a2)=，…，所以可得：bn=．解：根据以上分析bn=2（1-a1）（1-a2）…（1-an ）=．“ 解析：12++n n ． 【解析】【详解】 根据题意按规律求解：b 1=2(1-a 1)=131221-4211+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，b 2=2(1-a 1)(1-a 2)=314221-29321+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，…，所以可得：b n =12++n n ． 解：根据以上分析b n =2（1-a 1）（1-a 2）…（1-a n ）=12++n n ． “点睛”本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题中表示b 值时要先算出a 的值，要注意a 中n 的取值．13．515【分析】由已知条件可得：①中各数都符合2n 的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可．【详解】根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8解析：515【分析】由已知条件可得：①中各数都符合2n 的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可．【详解】根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8个数为28+3=259，故它们的和为256+259=515，故答案为：515．【点睛】考查了要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，解题关键是找出①②中各数间的规律．14．±2【分析】先根据立方根得出x的值，然后求平方根．【详解】∵x+1是125的立方根∴x+1=，解得：x=4∴x的平方根是±2故答案为：±2【点睛】本题考查立方根和平方根，注意一个正解析：±2【分析】先根据立方根得出x的值，然后求平方根．【详解】∵x+1是125的立方根∴x=4∴x的平方根是±2故答案为：±2【点睛】本题考查立方根和平方根，注意一个正数的平方根有2个，算术平方根只有1个．15．±27【分析】根据a的平方等于9，先求出a，再计算a3即可．【详解】∵（±3）2=9，∴平方等于9的数为±3，又∵33=27，（-3）3=-27．故答案为±27．【点睛】本题考查了解析：±27【分析】根据a的平方等于9，先求出a，再计算a3即可．【详解】∵（±3）2=9，∴平方等于9的数为±3，又∵33=27，（-3）3=-27．故答案为±27．【点睛】本题考查了平方根及有理数的乘方．解题的关键是掌握平方根的概念及有理数乘方的法则. 16．0或±1．【分析】根据立方的定义计算即可．【详解】解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．故答案为：0或±1．【点睛】本题考查了乘方的解析：0或±1．【分析】根据立方的定义计算即可．【详解】解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．故答案为：0或±1．【点睛】本题考查了乘方的定义，熟练掌握立方的定义是解题关键，注意本题要分类讨论，不要漏数．17．π 圆的周长=π•d=1×π=π【分析】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数．【详解】因为圆的周长为π解析：π圆的周长=π•d=1×π=π【分析】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数．【详解】因为圆的周长为π•d=1×π=π，所以圆从原点沿数轴向右滚动一周OO'=π．故答案为：π，圆的周长=π•d=1×π=π.【点睛】此题考查实数与数轴，解题关键在于注意：确定点O′的符号后，点O′所表示的数是距离原点的距离．18．0【分析】分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案．【详解】解：∵x＜0，∴，故答案为：0．【点睛】本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是解析：0【分析】分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案．【详解】解：∵x＜0，=-+=，x x故答案为：0．【点睛】本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开方的数的符号相同；解题的关键是正确判断符号．19．9【分析】首先根据的值确定a、b的值，然后可得a+b的值．【详解】∵＜，∴4＜＜5，∵a＜＜b，∴a＝4，b ＝5，∴a+b＝9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了估算无理数的解析：9【分析】a 、b 的值，然后可得a +b 的值．【详解】<∴45，∵a b ，∴a ＝4，b ＝5，∴a +b ＝9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，关键是正确确定a 、b 的值． 20．【分析】点对应的数为该半圆的周长．【详解】解：半圆周长为直径半圆弧周长即故答案为：．【点睛】本题考查数轴上的点与实数的关系．明确的长即为半圆周长是解答的关键． 解析：12π+【分析】点O '对应的数为该半圆的周长．【详解】解：半圆周长为直径+半圆弧周长 即12π+ 故答案为：12π+．【点睛】 本题考查数轴上的点与实数的关系．明确OO '的长即为半圆周长是解答的关键．三、解答题21．（1）1114545=-⨯；（2）111(1)1n n n n =-++；（3）2551． 【解析】试题分析：（1）规律：相邻的两个数的积的倒数等于它们的倒数的差，故第四个式子为：1114545=-⨯； （2）根据以上规律直接写出即可；（3）各项提出12之后即可应用（1）中的方法进行计算． 解：（1）答案为：1114545=-⨯； （2）答案为：()11111n n n n =-++； （3）111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)⨯ =12×（111122334++⨯⨯⨯+…+15051⨯） =12×5051=2551. 点睛：本题是一道找规律问题.解题的重点要根据所给式子中的数字变化归纳出规律，而难点在于第（3）问中要灵活应用所总结出来的公式.22．（1）4；b ＝（2−4；3（3）±8【分析】（（1）由16＜17＜25a ，b 的值； （2）根据（1）的结论即可确定x 与y 的值；（3）把（2）的结论代入计算即可．【详解】解：（1）∵16＜17＜25，∴4＜5，∴a ＝4，b ＝5，故答案为：4；5；（2）∵4＜5，∴6＋2＜7，由此整数部分为6，∴x −4，∵4＜5，∴3－1＜4，∴y ＝3；；3（3）当x ，y ＝3时，)y x ＝)3＝64， ∴64的平方根为±8．【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“逐步逼近”是估算的一般方法，也是常用方法．23．；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A.【分析】（1）首先根据勾股定理求出线段OB 的长度，然后结合数轴的知识即可求解； （2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；（3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答．【详解】解：(1)OB 2＝12+12＝2，∴OB ，∴OA ＝(2)数轴上的点和实数是一一对应关系(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．故选A.【点睛】本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．24．（1）a2015﹣1；（2）22015﹣1；（3）2015514-． 【分析】（1）根据已知算式得出规律，即可得出答案．（2）先变形，再根据规律得出答案即可．（3）先变形，再根据规律得出答案即可．【详解】（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，（a ﹣1）（a 2012+a 2011+a 2010+…+a 2+a+1）＝a 2015﹣1，故答案为：a 2015﹣1；（2）22014+22013+22012+…+22+2+1＝（2﹣1）×（22014+22013+22012+…+22+2+1）＝22015﹣1，故答案为：22015﹣1；（3）52014+52013+52012+…+52+5+1 ＝14×（5﹣1）×（52014+52013+52012+…+52+5+1） ＝2015514-． 【点睛】本题考查了实数运算的规律题，掌握算式的规律是解题的关键．25．（1）32；（2）1n n -；（3）13 【分析】（1）设3的特征数为b ，根据特征数的定义列式求解即可；（2）设n 的特征数为m ，根据特征数的定义列式求解即可；（3）根据m ，n 互为特征数得出m ＋n ＝mn ，结合已知的两个等式进行求解即可．【详解】解：（1）设3的特征数为b ，由题意知，33b b +=， 解得，32b =， ∴3与32互为特征数， 故答案为：32 （2）设n 的特征数为m ，由题意知，n ＋m ＝nm ， 解得，1n m n =-， ∴正整数n (n ＞1)的特征数为1n n -， 故答案为：1n n - （3）∵ m ，n 互为特征数，∴ m ＋n ＝mn ，又m ＋mn ＝－2 ①，n ＋mn ＝3 ②，①＋②得，m ＋n ＋2mn ＝1，∴m＋n＋2(m＋n)＝1，∴m＋n＝13．【点睛】本题考查了新定义的运算，正确理解特征数的定义是解题的关键．26．（1）a=﹣1，b=5，c=﹣2，数轴详见解析；（2）6；（3）运动4秒后，点Q可以追上点P；（4）M对应的数为2或﹣223．【解析】【分析】（1）根据题意易得a，b，c的值，然后在数轴上表示出来即可；（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为AB的长；（3）用AB的长度除以点Q与点P的速度差即可得解；（4）分析M点在不同的位置时，所得到的M的值即可.【详解】（1）∵a是最大的负整数，∴a=﹣1，∵b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，∴b=3+2=5，∵c是单项式﹣2xy2的系数，∴c=﹣2，如图所示：（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为5﹣（﹣1）=6；（3）∵动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒12个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，∴AB=6，两点速度差为：2﹣12，∴6÷（2﹣12）=4，答：运动4秒后，点Q可以追上点P；（4）存在点M，使P到A、B、C的距离和等于10，当M在AB之间，则M对应的数是2，当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣22 3 .综上所述，M对应的数为2或﹣223．【点睛】本题主要考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离.解此题的关键在于根据题意准确画出数轴上各点所表示的数.。
数学数学第六章 实数的专项培优练习题(及解析
数学数学第六章 实数的专项培优练习题(及解析一、选择题1．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p×q （p ，q 都是正整数，且p≤q ），如果p×q 在n 的所有分解中两个因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的黄金分解，并规定：F(n)=p q ，例如：18可以分解为1×18；2×9；3×6这三种，这时F(18)=3162=，现给出下列关于F(n)的说法：①F(2) =12；② F(24)=38；③F(27)=3；④若n 是一个完全平方数，则F(n)=1，其中说法正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．16的算术平方根是（ ）A ．2B ．2±C ．4D ．4±3．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：A ＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m 、n ，再取这两个数的相反数，那么，所有A 的和为（ ） A ．4mB ．4m +4nC ．4nD ．4m ﹣4n4．若a ，b 均为正整数，且7a >，32b <，则+a b 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．下列说法正确的是（ ）A ．14是0.5的平方根 B ．正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0C ．27的平方根是7D ．负数有一个平方根 6．若一个正数x 的平方根为27a -和143a -，则x =（ ）A ．7B ．16C ．25D ．497．按照下图所示的操作步骤，若输出y 的值为22，则输入的值x 为（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．±98．在实数227，0，﹣4，2中，是无理数的是（ ） A ．227B ．0C ．﹣4D ．29．如图，若实数m ＝﹣7+1，则数轴上表示m 的点应落在（ ）A ．线段AB 上B ．线段BC 上C ．线段CD 上D ．线段DE 上10．252的平方根是a ，﹣125的立方根是b ，则a ﹣b 的值是（ ）A ．0或10B ．0或﹣10C ．±10D ．0二、填空题11．[x )表示小于x 的最大整数，如[2.3)=2，[-4)=-5，则下列判断：①[385-)= 8-；②[x )–x 有最大值是0；③[x ) –x 有最小值是-1；④x 1-≤[x )<x ，其中正确的是__________ （填编号）．12．+（y+2）2=0，则(x+y)2019等于_____． 13．写出一个3到4之间的无理数____．14．一个正数的平方根是21x -和2x -，则x 的值为_______． 15．用⊕表示一种运算，它的含义是：1(1)(1)xA B A B A B ⊕=++++，如果5213⊕=，那么45⊕= __________． 16．a※b 是新规定的这样一种运算法则：a※b=a+2b，例如3※（﹣2）=3+2×（﹣2）=﹣1．若（﹣2）※x=2+x，则x 的值是_____．17．已知2m =，则m 的相反数是________．18．规定用符号[]x 表示一个实数的整数部分，如[3.65]3,1==，按此规定1⎡=⎣_____．19．设a ，b 都是有理数，规定 *=a b ()()48964***-⎡⎤⎣⎦=__________．20．若x ，y 为实数，且|2|0x +=，则(x+y) 2012的值为____________．三、解答题21．阅读型综合题对于实数x y ，我们定义一种新运算(),L x y ax by =+（其中a b ，均为非零常数），等式右边是通常的 四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为(),L x y ，其中x y ，叫做线性数的一个数对．若实数 x y ，都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x y ，叫做正格线性数的正格数对．（1）若(),3L x y x y =+，则()2,1L = ，31,22L ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）已知(),3L x y x by =+，31,222L ⎛⎫=⎪⎝⎭．若正格线性数(),18L x kx =，（其中k 为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出；若没有，请说明理由． 22．我们规定：a p -＝1p a（a ≠0），即a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数．例：24-＝214（1）计算：25-＝__；22-（﹣）＝__； （2）如果2p -＝18，那么p ＝__；如果2a -＝116，那么a ＝__； （3）如果a p -＝19，且a 、p 为整数，求满足条件的a 、p 的取值． 23．我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：(1)线段OA 的长度是多少?(要求写出求解过程) (2)这个图形的目的是为了说明什么?(3)这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)A ．数形结合B ．代入C ．换元D ．归纳 24．阅读下列材料： 问题：如何计算1111122334910++++⨯⨯⨯⨯呢？ 小明带领的数学活动小组通过探索完成了这道题的计算．他们的解法如下： 解：原式1111111(1)()()()22334910=-+-+-++- 1110=-910=请根据阅读材料，完成下列问题： （1）计算：111112233420192020++++⨯⨯⨯⨯；（2）计算：111126129900++++； （3）利用上述方法，求式子111115599131317+++⨯⨯⨯⨯的值． 25．阅读下列材料：小明为了计算22019202012222+++++的值，采用以下方法：设22019202012222s =+++++ ① 则22020202122222s =++++ ②②-①得，2021221s s s -==- 请仿照小明的方法解决以下问题：（1）291222++++=________；（2）220333+++=_________；（3）求231n a a a a ++++的和（1a >，n 是正整数，请写出计算过程）.26．已知a 是最大的负整数，b 是多项式2m 2n ﹣m 3n 2﹣m ﹣2的次数，c 是单项式﹣2xy 2的系数，且a 、b 、c 分别是点A 、B 、C 在数轴上对应的数．（1）求a 、b 、c 的值，并在数轴上标出点A 、B 、C ．（2）若M 点在此数轴上运动，请求出M 点到AB 两点距离之和的最小值； （3）若动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴负方向运动，点P 的速度是每秒12个单位长度，点Q 的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q 能追上点P ？（4）在数轴上找一点N ，使点M 到A 、B 、C 三点的距离之和等于10，请直接写出所有的N 对应的数．（不必说明理由）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将2，24，27，n 分解为两个正整数的积的形式，再找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数进行排除即可． 【详解】 解：∵2=1×2， ∴F （2）=12，故①正确； ∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，且4和6的差绝对值最小 ∴F （24）=42=63，故②是错误的； ∵27=1×27=3×9，且3和9的绝对值差最小 ∴F （27）=31=93，故③错误；∵n 是一个完全平方数，∴n 能分解成两个相等的数的积，则F （n ）=1，故④是正确的. 正确的共有2个． 故答案为B ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算与信息获取能力，解决本题的关键是弄清题意、理解黄金分解的定义．2．C解析：C【分析】本题是求16的算术平方根，应看哪个正数的平方等于16，由此即可解决问题．【详解】∵（±4）2=16，∴16的算术平方根是4．故选：C．【点睛】此题主要考查了算术平方根的运算．一个数的算术平方根应该是非负数．3．C解析：C【分析】根据题意得到m，n的相反数，分成三种情况⑴m，n；-m，-n ⑵m，-m；n，-n ⑶m，-n；n，-m 分别计算，最后相加即可.【详解】解：依题意，m，n（m＜n）的相反数为﹣m，﹣n，则有如下情况：m，n为一组，﹣m，﹣n为一组，有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2nm，﹣m为一组，n，﹣n为一组，有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0m，﹣n为一组，n，﹣m为一组，有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m所以，所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n故选：C．【点睛】本题主要考查了新定义的理解，注意分类讨论是解题的关键.4．B解析：B【分析】的范围，然后确定a、b的最小值，即可计算a+b的最小值．【详解】23．∵a a为正整数，∴a的最小值为3．12．∵b b为正整数，∴b的最小值为1，∴a+b的最小值为3+1=4．故选B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：确定a、b的最小值．5．B解析：B 【分析】根据0.5是0.25的一个平方根可对A 进行判断；根据一个正数的平方根互为相反数可对B 进行判断；根据平方根的定义对C 、D 进行判断． 【详解】A 、0.5是0.25的一个平方根，所以A 选项错误；B 、正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0，所以B 选项正确；C 、72的平方根为±7，所以C 选项错误；D 、负数没有平方根． 故选B ． 【点睛】本题考查了平方根：若一个数的平方定义a ，则这个数叫a 的平方根，记作a≥0）；0的平方根为0．6．D解析：D 【解析】 【分析】首先根据正数的两个平方根互为相反数，列的方程：（27a -）+（143a -）=0，解方程即可求得a 的值，代入即可求得x 的两个平方根，则可求得x 的值． 【详解】∵一个正数x 的平方根为27a -和143a -， ∴（27a -）+（143a -）=0， 解得：a=7.∴27a -=7，143a -=-7， ∴x=(±7)2 =49. 故选D. 【点睛】此题考查平方根，解题关键在于求出a 的值.7．C解析：C 【分析】根据操作步骤列出方程，然后根据平方根的定义计算即可得解. 【详解】由题意得：23522x -=， ∴29x =， ∵2(39)±=， ∴3x =±，故选：C.【点睛】此题考查平方根的定义，求一个数的平方根，利用平方根的定义解方程，正确理解计算的操作步骤得到方程是解题的关键.8．D解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：227是分数，属于有理数，故选项A不合题意；0是整数，属于有理数，故选项B不合题意；2=-，是整数，属于有理数，故选项C不合题意；是无理数，故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是关键．9．B解析：B【分析】+1的取值范围进而得出答案．【详解】解：∵实数m，23<<∴﹣2＜m＜﹣1，∴在数轴上，表示m的点应落在线段BC上．故选：B．【点睛】10．A解析：A【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【详解】2＝25，∴25的平方根是±5，﹣125的立方根是﹣5，∴a＝±5，b＝﹣5，当a＝5时，原式＝5﹣（﹣5）＝10，当a＝﹣5时，原式＝﹣5﹣（﹣5）＝0，故选：A．【点睛】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．二、填空题11．③，④【分析】①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可，②由定义得[x)x变形可以直接判断，③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，④由定义解析：③，④【分析】①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x)<x≤[x)+1，[385-)<385-<-8，[385-)=-9即可，②由定义得[x)<x变形可以直接判断，③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，④由定义知[x)<x≤[x)+1，由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，又[x)<x联立即可判断．【详解】由定义知[x)<x≤[x)+1，①[385-)=-9①不正确，②[x)表示小于x的最大整数，[x)<x，[x) -x<0没有最大值，②不正确③x≤[x)+1，[x)-x≥-1，[x)–x有最小值是-1，③正确，④由定义知[x)<x≤[x)+1，由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，∵[x)<x，∴x1-≤[x)<x，④正确．故答案为：③④．【点睛】本题考查实数数的新规定的运算，阅读题给的定义，理解其含义，掌握性质[x)<x≤[x)+1，利用性质解决问题是关键．12．-1【分析】根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.【详解】解：∵+（y+2）2=0∴∴(x+y)2019=-1故答案为：-1.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，熟解析：-1【分析】根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.【详解】（y+2）2=0∴1020 xy-=+=⎧⎨⎩12 xy=⎧∴⎨=-⎩∴(x+y)2019=-1故答案为：-1.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握性质，并求出x与y是解题的关键. 13．π（答案不唯一）．【解析】考点：估算无理数的大小．分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解．解：3到4之间的无理数π．答案不唯一．解析：π（答案不唯一）．【解析】考点：估算无理数的大小．分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解．解：3到4之间的无理数π．答案不唯一．14．-1【分析】根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，∴2x-1+2-x=0，解得：x=-1．故答案为：-解析：-1【分析】根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，∴2x-1+2-x=0，解得：x=-1．故答案为：-1．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质以及解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．15．【分析】按照新定义的运算法先求出x，然后再进行计算即可.【详解】解：由解得：x=8故答案为.【点睛】本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x的解析：17 45【分析】按照新定义的运算法先求出x，然后再进行计算即可.【详解】解：由1521=21(21)(11)3x ⊕=++++ 解得：x=8 18181745==45(41)(51)93045⊕=+++++ 故答案为1745. 【点睛】 本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x 的值.16．4【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x ，进而可得方程﹣2+2x=2+x ，解得：x=4.故答案为：4．点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根解析：4【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x ，进而可得方程﹣2+2x=2+x ，解得：x=4. 故答案为：4．点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根据新定义的代数式计算即可.17．【分析】根据相反数的定义即可解答．【详解】解：的相反数是，故答案为：．【点睛】本题考查了求一个数的相反数以及实数，解题的关键是熟知只有符号不同的两个数是相反数．解析：2【分析】根据相反数的定义即可解答．【详解】解：m 的相反数是2)2-=，故答案为：2【点睛】本题考查了求一个数的相反数以及实数，解题的关键是熟知只有符号不同的两个数是相反数．18．-3【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵3＜＜4∴-3＜＜-2∴-3故答案为-3．【点睛】本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本解析：-3【分析】1⎡⎣的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵34∴-3＜1--2∴1⎡=⎣-3故答案为-3．【点睛】19．1【分析】根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．【详解】∵，∴=（）（）=（2+2）（3-4）=4（-1）==2-1=1．故答案为：1【点睛】本题考查平方解析：1【分析】根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．【详解】∵*=a b∴()()48964***-⎡⎤⎣⎦=*）=（2+2）*（3-4）=4*（-1）==2-1=1．故答案为：1【点睛】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 20．1【分析】先根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出x 、y 的值，再代入计算有理数的乘方即可．【详解】由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：解得则故答案为：1．【点睛】本题考查了解析：1【分析】先根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出x 、y 的值，再代入计算有理数的乘方即可．【详解】由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：2030x y +=⎧⎨-=⎩解得23x y =-⎧⎨=⎩则201220122012()(23)11x y +=-+==故答案为：1．【点睛】本题考查了绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的乘方运算，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握．三、解答题21．（1）5，3；（2）有正格数对，正格数对为()26L ，【分析】（1）根据定义，直接代入求解即可；（2）将31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入(),3L x y x by =+求出b 的值，再将(),18L x kx =代入(),3L x y x by =+，表示出kx ，再根据题干分析即可．【详解】解：（1）∵(),3L x y x y =+∴()2,1L =5，31,22L ⎛⎫= ⎪⎝⎭3 故答案为：5，3；（2）有正格数对． 将31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入(),3L x y x by =+， 得出，1111323232L b ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，， 解得，2b =，∴()32L x y x y =+，，则()3218L x kx x kx =+=， ∴1832x kx -=∵x ，kx 为正整数且k 为整数 ∴329k +=，3k =，2x =，∴正格数对为：()26L ，． 【点睛】本题考查的知识点是实数的运算，理解新定义是解此题的关键．22．（1）125；14；（2）3；±4．（3）当a＝9时，p＝1；当a＝3时，p＝2；当a＝﹣3时，p＝2.【分析】（1）根据题意规定直接计算.（2）将已知条件代入等式中，倒推未知数.（3）根据定义，分别讨论当a为不同值时，p的取值即可解答.【详解】解：（1）5﹣2＝125；（﹣2）﹣2＝14；（2）如果2﹣p＝18，那么p＝3；如果a﹣2＝116，那么a＝±4；（3）由于a、p为整数，所以当a＝9时，p＝1；当a＝3时，p＝2；当a＝﹣3时，p＝2．故答案为（1）125；14；（2）3；±4．（3）当a＝9时，p＝1；当a＝3时，p＝2；当a＝﹣3时，p＝2.【点睛】本题考查新定义，能够理解a的负P次幂等于a的p次幂的倒数这个规定定义是解题关键.23．；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A.【分析】（1）首先根据勾股定理求出线段OB的长度，然后结合数轴的知识即可求解；（2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；（3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答．【详解】解：(1)OB2＝12+12＝2，∴OB，∴OA＝(2)数轴上的点和实数是一一对应关系(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．故选A.【点睛】本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．24．（1）原式＝20192020（2）原式＝99100（3）原式＝417【分析】（1）类比题目中的拆项方法，类比得出答案即可；（2）先把原式拆分成题（1）原式的样子，再根据（1）的拆项方法，类比得出答案即可；（3）分母是相差4的两个自然数的乘积，类比拆成以两个自然数为分母，分子为1的两个自然数差的14即可．【详解】解：（1）原式＝（1－12）＋（12－13）＋（13－14）＋……＋（12019－12020）＝1－1 2020＝2019 2020；（2）原式＝1111 12233499100 ++++⨯⨯⨯⨯＝（1－12）＋（12－13）＋（13－14）＋……＋（199－1100）＝1－1 100＝99 100（3）原式＝14×（4444155********+++⨯⨯⨯⨯）＝14×（1－15＋15－19＋19－113＋113－117）＝14×（1－117）＝14×1617＝4 17【点睛】本题考查算式的规律，注意分子、分母的特点，解题的关键是根据规律灵活拆项，并进一步用规律解决问题．25．（1）1021-；（2）21332-；（3）111naa+--【分析】（1）设式子等于s，将方程两边都乘以2后进行计算即可；（2）设式子等于s，将方程两边都乘以3，再将两个方程相减化简后得到答案；（3）设式子等于s，将方程两边都乘以a后进行计算即可.【详解】（1）设s=291222++++①， ∴2s=29102222++++②， ②-①得：s=1021-，故答案为：1021-；（2）设s=220333+++①， ∴3s=22021333+++②，②-①得：2s=2133-， ∴21332s -=, 故答案为： 21332-； （3）设s=231n a a a a ++++①， ∴as=231n n a a a a a +++++②，②-①得：（a-1）s=11n a +-，∴s=111n a a +--. 【点睛】此题考查代数式的规律计算，能正确理解已知的代数式的运算规律是难点，依据规律对于每个式子变形计算是关键.26．（1）a=﹣1，b=5，c=﹣2，数轴详见解析；（2）6；（3）运动4秒后，点Q 可以追上点P ；（4）M 对应的数为2或﹣223． 【解析】【分析】（1）根据题意易得a ，b ，c 的值，然后在数轴上表示出来即可；（2）当M 点在线段AB 上时，M 点到AB 两点距离之和的最小值为AB 的长； （3）用AB 的长度除以点Q 与点P 的速度差即可得解；（4）分析M 点在不同的位置时，所得到的M 的值即可.【详解】（1）∵a 是最大的负整数，∴a=﹣1，∵b 是多项式2m 2n ﹣m 3n 2﹣m ﹣2的次数，∴b=3+2=5，∵c 是单项式﹣2xy 2的系数，∴c=﹣2，如图所示：（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为5﹣（﹣1）=6；（3）∵动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒12个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，∴AB=6，两点速度差为：2﹣12，∴6÷（2﹣12）=4，答：运动4秒后，点Q可以追上点P；（4）存在点M，使P到A、B、C的距离和等于10，当M在AB之间，则M对应的数是2，当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣22 3 .综上所述，M对应的数为2或﹣223．【点睛】本题主要考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离.解此题的关键在于根据题意准确画出数轴上各点所表示的数.。
七年级下册《实数》培优测试卷及答案(K12教育文档)
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七年级《实数》培优测试卷一、选择题(每小题3分,共33分）1、若x 是9的算术平方根，则x 是（ ）A 、3B 、－3C 、9D 、812、下列说法不正确的是（ ）A 、251的平方根是15± B 、－9是81的一个平方根 C 、0.2的算术平方根是0。
04 D 、－27的立方根是－33、若a 的算术平方根有意义,则a 的取值范围是（ ）A 、一切数B 、正数C 、非负数D 、非零数4、在下列各式中正确的是( ）A 、2)2(-＝－2B 、 3C 、16＝8D 、22＝25、估计76的值在哪两个整数之间（ ）A 、75和77B 、6和7C 、7和8D 、8和96、下列各组数中,互为相反数的组是（ ）A 、－2与2)2(-B 、－2和38-C 、－21与2 D 、︱－2︱和2 7、在－2，4，2，3.14， 327-，5π，这6个数中，无理数共有( ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个8、计算33841627-+-+的值是（ ）。
A 、1B 、±1C 、2D 、79、以下不能构成三角形边长的数组是( ）A 、1，5，2B 、3，4，5C 、3，4，5D 、32，42，5210、若有理数a 和b 在数轴上所表示的点分别在原点的右边 和左边，则2b －︱a －b ︱等于（ )A 、aB 、－aC 、2b ＋aD 、2b －a 11已知04)3(2=-+-b a ，则b a 3的值是（ ）。
完整版)实数培优专题
完整版)实数培优专题实数培优拓展1、利用概念解题：例1.已知：$M=b^{-1}a+8$是$a+8$的算术数平方根，$N=2a-b+4b-3$是$b-3$的立方根，求$M+N$的平方根。
练：1.若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是多少？34x-3y=-2，求$x+y$的算术平方根与立方根。
2.已知$x+2y=3$，求$(x+y)x$的值。
3．若$2a+1$的平方根为$\pm3$，$a-b+5$的平方根为$\pm2$，求$a+3b$的算术平方根。
例2、解方程$(x+1)^2=36$.练：（1）$(x-1)^2=9$（2）$(x+1)^2=25$2、利用性质解题：例1已知一个数的平方根是$2a-1$和$a-11$，求这个数．变式：①已知$2a-1$和$a-11$是一个数的平方根，则这个数是多少；②若$2m-4$与$3m-1$是同一个数的两个平方根，则$m$为多少。
例2．若$y=3-x+x-3+1$，求$(x+y)x$的值。
例3．$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义：⑴⑵⑶⑷例4．已知$31-2x$与$33y-2$互为相反数，求$\frac{1+2x}{y}$的值。
例5.若$(a+3)^2=3+a$，则$a$的取值范围是多少？例6.对于每个非零有理数$a,b,c$，式子$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$的所有可能的值是什么？练：1.若一个正数$a$的两个平方根分别为$x+1$和$x+3$，求$a$。
2.若$(x-3)^2+\frac{2005abcabc}{abcabc}$的值为$y-1=0$，求$x+y$的平方根。
3.已知$y=1-2x+4x^{-2}+2$，求$x$的值。
4.当$x$满足下列条件时，求$x$的范围：①$(2-x)^2=x-2$；②$3-x=x-3$；③$x=x^7$。
5.若$-3a=3y+2$，求$a$与$y$的大小关系。
3、利用取值范围解题：例1.已知$2\leq x\leq 5$，$3\leq y\leq 6$，求$\frac{(x+y)^3-20}{7}$的取值范围。
北师大版八上第二章实数培优专题(含答案)
第二章《实数》培优专题一、解答题1．已知：9y =-，求xy 的立方根.2．已知实数a ，b ，c ||c a -.3．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：(21=+，善于思考的小明进行了以下探索：设a +(2m =+(其中a 、b 、m 、n 均为整数)，则有：a +222m n =++，∴a ＝m 2+2n 2，b ＝2mn ，这样小明就找到了一种把类似a +的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +(2m =+，用含m 、n 的式子分别表示a 、b 得：a＝ ，b ＝ ；(2)利用所探索的结论，用完全平方式表示出：＝ ．(3)4．化简求值：(1)已知a 是√13的整数部分，(2)已知：实数a ，b a b - .5．求√3+√5√3−√5的值．解：设x =√3+√5√3−√5，两边平方得：x 2=(√3+√5)2+(√3−√5)2+2√(3+√5)(3−√5)，即x 2=3+√5+3−√5+4，x 2=10 ∴x =±√10．∵√3+√5√3−√5＞0，∴√3+√5+√3−√5=√10． 请利用上述方法，求√4+√7+√4−√7的值．6．（1）已知x y ==①求x +y 的值；②求2x 2+2y 2﹣xy 的值（2）若x 、y 都是实数，且y ＝8+，求x +3y 的平方根7．已知A =√n −m +3m−n是n －m ＋3的算术平方根，B =√m +2n m−2n+3是m ＋2n 的立方根，求B－A 的平方根8．观察下面的变形规律：1=- = = =，… 解答下面的问题：(1)若n = ；(2)计算：）×1+）9．像(√5+2)(√5﹣2)＝1、√a •√a ＝a (a ≥0)、(√b +1)(√b ﹣1)＝b ﹣1(b ≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，√5与√5，√2 +1与√2﹣1，2√3+3√5与2√3﹣3√5等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：(1)化简：3√3；(2)计算：2−√3√3−√2；(3)比较√2018−√2017与√2017−√2016的大小，并说明理由．10．已知,a b (10b --=，求20152016a b -的值.11．阅读理解∵在√4<√5<√9，即2<√5<3，∴1<√5−1<2.∴√5−1的整数部分为1，小数 部分为√5−2. 解决问题已知a 是√17−3的整数部分，b 是√17−3的小数部分，求(−a)3+(b +4)2的平方根.12．已知点A(5,a)与点B(5,-3)关于x 轴对称，b 为11）+a b 的值。
初二实数培优竞赛训练(珍贵资料)
硕磊学校初一实数提高训练例1已知一个立方体盒子的容积为216cm 3，问做这样的一个正方体盒子(无盖)需要多少平方厘米的纸板?例2若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。
例3下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴 上的点是——对应的。
正确的个数是()A 、1B 、2C 、3D 、4例 4 (1)已知 X-2 +(y+4)2 + J x +y -2z=0,求(xz)y 的平方根。
(2)设、、2的整数部分为a,小数部分为b ，求-16ab-8b 2的立方根。
卄 x, y, m 适合于关系式 J3x +5y _3 _m + J2x +3y _m = (3 )若 _ 、 、、x x y-2004. 2004 -x - y,试求m-4的算术平方根。
(4)设a b 是两个不相等的有理数，试判断实数3是有理数还是无理数，并说明理由。
b + x/3例5( 1)已知2m-3和m-12是数p 的平方根，试求 p 的值。
(2)已知 m ，n 是有理数，且. 5 2)m • (3 - 2 5) n • 7 = 0，求 m ，n 的值。
(3)△ ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 满足a -1 b^ 4b ^0，求c 的取值范围。
训练题： 一、填空题(4)已知x 二(二2?4 +a求x 的个位数字。
1、』(-9)的算术平方根是 _______ 。
2、已知一块长方形的地长与宽的比为3: 2，面积为3174平方米，则这块地的长为_________ 米。
3、已知(b -1)^0,则3a- ,b =____________________ 。
5、设等式.,a(x-a) •a(y-a)二x-a- ；a- y在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不相等的实数,2 2则送xy-y2的值是_______________________ 。
x -xy y6、已知a、b为正数，则下列命题成立的：若 a • b = 2,则•一ab 乞1;若a - b = 3,则ab ;若 a • b = 6,则••一ab 三3.根据以上3个命题所提供的规律，若a+6=9，则丽乞_______________ 。
初中数学《 实数》培优专题
第 1 页 共 2 页初一数学《实数》培优专题讲座 班级________ 姓名________评价________第一部分 实数典型问题精析一、典型例题例题1、【概念类 】已知x y x y +=-=-234323，，求x y +的算术平方根与立方根。
例题2、【取值范围类】 已知有理数a 满足20042005-+-=a a a ，求a -20042的值。
例题3、【估算思想】估计10＋1的值是（ ） （A ）在2和3之间 （B ）在3和4之间 （C ）在4和5之间（D ）在5和6之间例题4、【数形结合思想】 实数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，那么化简|a+b|+2)(a b -的结果是（ ）A 、2bB 、2aC 、－2aD 、－2b例题5、【分类思想】 在所给的数据:,57.0,,31,5,232π-0.585885888588885…(相邻两个5之间8的个数逐次增加1个)其中无理数个数( ).(A)2个 (B)3 (C)4个 (D)5个例题6、【非负性问题】已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.第二部分 实数解题技巧练习一【巧用被开方数的非负性求值.】 1、若,622=----y x x 求y x的立方根.图1第 2 页 共 2 页二【巧用正数的两平方根是互为相反数求值】2、已知：一个正数的平方根是2a －1与2－a ，求a 的平方的相反数的立方根.三【巧用算术平方根的最小值求值】3、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.（即负的平方根）四【巧用整体思考问题的数学思想】 4、已知x +2y =10,4x +3y =15, 求x +y 的平方根五【巧用实数大小方法----估算法、相减法】 5、比较513-与的51大小。
【要求分别用估算法和相减法解答】六【巧用数形结合的数学思想】6 、 如图2，数轴上表示1、2的对应点为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，求点C 所表示的数。
初二实数培优竞赛训练(可用)
实数提高训练例1 已知一个立方体盒子的容积为216cm 3,问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？ 例2 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。
例 3 下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的。
正确的个数是（ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、4例4 （1） 已知22(4)20,()y x y x y z xz -++++-=求的平方根。
（2）设2a 2的整数部分为，小数部分为b ，求-16ab-8b 的立方根。
（3）若,,3532320042004,4x y m x y m x y m x y x y m +--++-=+-+---适合于关系式试求的算术平方根。
（4）设a 、b 是两个不相等的有理数，试判断实数33a b ++是有理数还是无理数，并说明理由。
例5 （1）已知2m-3和m-12是数p 的平方根，试求p 的值。
（2）已知m ，n 是有理数，且(52)(325)70m n ++-+=，求m ，n 的值。
（3）△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 满足21440a b b -+-+=，求c 的取值范围。
（4）已知1993332()43a a a x a a -+--=-+-，求x 的个位数字。
训练题：一、填空题1、2(9)-的算术平方根是 。
2、已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为 米。
3、已知231(1)0,a b a b ++-=+=则 。
4、已知22114,)1x y x x y x +-+-+=+3则(2= 。
5、设等式()()a x a a y a x a a y -+-=---在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不相等的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是 。
6、已知a 、b 为正数，则下列命题成立的： 若32,1;3,6, 3.2a b ab a b ab a b ab +=≤+=≤+=≤则若则；若则 根据以上3个命题所提供的规律，若a+6=9，则ab ≤ 。
七下数学《实数》培优训练题
七上数学《实数》培优训练题典型例题例1 已知一个立方体盒子的容积为216cm 3,问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？例2 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。
例3 下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的。
正确的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4例4 （1） 已知22(4)0,()y x y xz -++=求的平方根。
（2a 2，小数部分为b ，求-16ab-8b 的立方根。
（3）若,,x y m = 4m -试求的算术平方根。
例5 （1）已知2m-3和m-12是数p 的平方根，试求p 的值。
（2）已知m ，n 是有理数，且2)(370m n +-+=，求m ，n 的值。
（3）已知19932(4a x a-=+，求x 的个位数字。
培优训练题一、填空题1的算术平方根是 。
2、已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为 米。
32(1)0,b -== 。
4、已知x y y +=则= 。
5、已知实数211,,a-b 0,24c a b c c c ab-+=满足则的算术平方根是 。
6、已知实数a 满足0,11a a a =-++=那么 。
7、设A B ==则A 、B 中数值较小的是 。
812 5.28,y -=则x= ,y= .9有意义的x 的取值范围是 。
10、若101,6,a aa +=且的值为 。
11、一个正数x 的两个平方根分别是a+1和a-3，则a= ,x= .二、选择题：1( )A 、-6B 、6C 、±6D 、2、下列命题：①（-3）2的平方根是-3 ；②-8的立方根是-23；④平方根与立方根相等的数只有0；其中正确的命题的个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、若3,b a b ++a ，则的值为（ ）A 、0B 、1C 、-1D 、24、使等式2(x =成立的x 的值（ ）A 、是正数B 、是负数C 、是0D 、不能确定5、如果0,a 那么（ ）A 、B 、-C 、D 、-6、下面5个数：13.1416,1ππ-，其中是有理数的有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个三、解答题：1、已知0,0,150,xy x y -=且2、已知,,x y z 适合关系式= 试求x,y,z 的值。
七年级下册《实数》培优测试卷及答案
七年级下册《实数》培优测试卷及答案一、选择题（每小题3分，共33分）1、若x是9的算术平方根，则x是（）A、3B、－3C、9D、812、下列说法不正确的是（）A、的平方根是B、－9是81的一个平方根C、0、2的算术平方根是0、04D、－27的立方根是－33、若的算术平方根有意义，则a的取值范围是（）A、一切数B、正数C、非负数D、非零数4、在下列各式中正确的是（）A、＝－2B、＝3C、＝8D、＝25、估计的值在哪两个整数之间（）A、75和77B、6和7C、7和8D、8和96、下列各组数中，互为相反数的组是（）A、－2与B、－2和C、－与2D、︱－2︱和27、在－2，，，3、14，，，这6个数中，无理数共有( )A、4个B、3个C、2个D、1个8、计算的值是（）。
A、1B、1C、2D、79、以下不能构成三角形边长的数组是（）A、1，，2B、，，C、3，4，5D、32，42，5210、若有理数a和b在数轴上所表示的点分别在原点的右边和左边，则－︱a－b︱等于（）A、aB、－aC、2b＋aD、2b－a11已知，则的值是（）。
A、B、－C、D、二、填空题（每小题4分，共32分）12、81的平方根是__________，。
的平方根是，的立方根是13已知一个正数的两个平方根是和，则= ，= 、14、比较大小：2____4。
若＝5、036，＝15、906，则＝__________。
15、若的整数部分为a，小数部分为b，则a＝________，b＝_______。
16 若m、n互为相反数，则＝_________。
若，则a______0。
17、若＝0，则m＝________，n＝_________。
18 绝对值小于π的整数有________、已知=0，则 = 、19、实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示化简＝________________。
三、解答题（每题5分，共20分）20 计算、＋－、21 求下列各式中的x（1）、4x2－16＝0 （2）、27（x－3）3＝－64 （3）23 、若5a＋1和a－19是数m的平方根，求m的值。
北师大版八年级数学上册第二章实数 平方根和算术平方根培优训练
北师大版八年级上册第二章实数 平方根和算术平方根培优训练一、【知识要点】1.平方根： 一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为二次方根。
即：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。
平方根的表示方法：一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。
这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”.2、平方根的性质：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数； 0只有1个平方根，是0本身； 负数没有平方根。
求一个数的平方根的运算叫做开平方，也就是已知指数、幂求底数的运算。
3、算术平方根：正数有两个平方根,其中正数的正的平方根,叫这个正数的算术平方根.例如，4的平方根是2±，2叫做4的算术平方根，记作4=2； 2的平方根是2±，2叫做2的算术平方根，记作22=。
二、【经典例题】 题型1求平方根1、36的平方根是 ； 22(4)-的算术平方根是 。
3、下列计算正确的是（ ）A 4=±2B 2(9)81-= C.636=± D.992-=-4、下列说法中正确的有 。
①只有正数才有平方根； ②-2是4的平方根； 164±；④2a 的算术平方根是a ⑤2(6)-的平方根是-6 93=±5、如果a 是b 的一个平方根，则b 的算术平方根是7、2)8(-= ；2)8(= ；若72=x ，则=x _____。
8、22)4(+x 的算术平方根是（ ）A 、 42)4(+x B 、22)4(+x C 、42+x D 、42+x9、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a10、若9,422==b a ，且0<ab ，则b a -的值为 （ ）A. 2-B.5±C. 5D. 5-题型2运用算术平方根进行运算计算下列各式的值1、811441691+-；2、()3616512522⨯--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯题型3平方根性质的运用1、一个正数x 的平方根分别是1a +和3a -，则a = ；x = 。
八年级数学北师版 第2章 实数 训练习题课件全章热门考点整合专训
15，所以
171－4>4－1
. 15
又因为 17－4>0，4－ 15>0，所以 17－4<4－ 15.
21．已知 a－b＝ 3＋ 2，b－c＝ 3－ 2，求 2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)的值．
解：因为 a－b＝ 3＋ 2，b－c＝ 3－ 2， 所以(a－b)＋(b－c)＝( 3＋ 2)＋( 3－ 2)，即 a－c＝2 3. 所以 2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)＝(a2－2ab＋b2)＋(b2－2bc＋ c2)＋(a2－2ac＋c2)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝( 3＋ 2)2＋ ( 3－ 2)2＋(2 3)2＝5＋2 6＋5－2 6＋12＝22.
2．(2018·恩施州)64的立方根为( C )
A．8 B．－8
C．4
D．－4
3．在实数52，π3， 2，－ 116，3.14，0， 2－1，3 －9，| 4－1| 中，整数有___0_，__|__4_－__1_|____________________________； 有理数有___52_，__－_____11_6_，__3_.1_4_，__0_，__|__4_－__1_|_____________； 无理数有__π3_，____2_，___2_－__1_，___3_－__9_____________________．
4．下列各式一定是二次根式的是( D ) A. a B. x3＋1 C. 1－x2 D. x2＋1
5．二次根式 4 5a， 2a3， 8a， b， 13(其中 a，b 均大于 或等于 0)中，是最简二次根式的有( C )
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
6．(2018·荆州)如图，两个实数互为相反数，在数轴上的 对应点分别是点A、点B，则下列说法正确的是( ) B
北师大版八年级数学上册第二章实数 平方根和算术平方根培优训练
北师大版八年级上册第二章实数 平方根和算术平方根培优训练一、【知识要点】1.平方根： 一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为二次方根。
即：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。
平方根的表示方法：一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。
这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”.2、平方根的性质：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数； 0只有1个平方根，是0本身； 负数没有平方根。
求一个数的平方根的运算叫做开平方，也就是已知指数、幂求底数的运算。
3、算术平方根：正数有两个平方根,其中正数的正的平方根,叫这个正数的算术平方根.例如，4的平方根是2±，2叫做4的算术平方根，记作4=2； 2的平方根是2±，2叫做2的算术平方根，记作22=。
二、【经典例题】 题型1求平方根1、36的平方根是 ； 22(4)-的算术平方根是 。
3、下列计算正确的是（ ）A 4=±2B 2(9)81-= C.636=± D.992-=-4、下列说法中正确的有 。
①只有正数才有平方根； ②-2是4的平方根； 164±；④2a 的算术平方根是a ⑤2(6)-的平方根是-6 93=±5、如果a 是b 的一个平方根，则b 的算术平方根是7、2)8(-= ；2)8(= ；若72=x ，则=x _____。
8、22)4(+x 的算术平方根是（ ）A 、 42)4(+x B 、22)4(+x C 、42+x D 、42+x9、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a10、若9,422==b a ，且0<ab ，则b a -的值为 （ ）A. 2-B.5±C. 5D. 5-题型2运用算术平方根进行运算计算下列各式的值1、811441691+-；2、()3616512522⨯--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯题型3平方根性质的运用1、一个正数x 的平方根分别是1a +和3a -，则a = ；x = 。
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第二讲 实数---数的开方一、 知识要点：1、平方根的定义：若x 2=a,则_____叫做_____的一个平方根。
记作：x=_______.其中_______叫a 的算术平方根。
2、平方根的性质：一个正数的平方根有______个，它们互为_______；0的平方根是 ；负数 平方根；一个非负数的算术平方根______个。
3、立方根的定义：若x 3=a ，则______叫做_______的立方根，记x=______，4、立方根的性质：互为相反数的两个数的立方根之和为_______。
==5、平方与开平方、立方与开立方互为逆运算。
6、相关公式：2______= （0a≥）；(2______= （0a≥）2a=；3_______= ；3_______=；___=。
7、 三个非负数：a ≥， 2a ≥ ，≥ ， （a ≥0）8、 平方根等于本身的数是 立方根等于本身的数是 算术平方根等于本身的数是 二、经典例题讲解 例1：81的平方根是_______，()196--的算术平方根是 ，()25-的立方根是_______。
例2：1与3x y +-互为相反数，则y x =______。
2、若x+y=_______。
3、设x 、y 为实数，且104254-+-+=x x y ，则yx -的值是________4、比较大小：3__2--例3：的两个正方形拼成一个正方形的边长为例4：1、实数P 在数轴上的位置如图1所示， 化简=-+-22)2()1(p pͼ1p2、实数a,b,c||b c -3、 若1＜a ＜3，化简13a a-+-的值4、 已知14x <<，化简：()()2214-+-x x5、已知x 是 的整数部分，y 是 的小数部分，求的平方根．三、课堂训练（易错题）一．选择题1．的平方根为（）2．一个数的平方是4，这个数的立方是（）．=±5 =﹣5 ±=54.若|a﹣|+（b+1）2=0，则的值是（）．5．实数的平方根为（）±±的值为（）．＜＜2 +﹣＜9．下列各选项中，最小的实数是（）10．在实数、、0、、3.1415、π、、2.123122312223…,中，无理数的个数为（）11．下列说法中正确的是（）12．估算的值是在（）13．数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是（）14．一个立方体的体积是9，则它的棱长是（）15．下列语句：①﹣1是1的平方根．②带根号的数都是无理数．③﹣1的立方根是﹣1．④的立方根是2．⑤（﹣2）2的算术平方根是2．⑥﹣125的立方根是±5．⑦有理数和数轴上的点一一对应．其中正确的有（），y﹣27=0，则x+y的值是（）17．使为最大的负整数，则a的值为（）．19．两个无理数的和，差，积，商一定是（）20．若3,b a b小数部分是a，3小数部分是则的值为（）++A、0B、1C、-1D、2二．填空题1．若（x﹣15）2=169，（y﹣1）3=﹣0.125，则=_________．2．已知：a和b都是无理数，且a≠b，下面提供的6个数a+b，a﹣b，ab，，ab+a﹣b，ab+a+b可能成为有理数的个数有_________个．3．的平方根与﹣的立方根的积为_________．三．解答题计算：﹣++．数的开方培优竞赛训练1. 若0a b -++=，则a b+的值为（ ）A.B.C. D.-2. 在绝对值不超过100的数中，平方根和立方根都为整数的有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 3. 若,x y 为实数，在下列式子中，能使x y=成立的是（ ）A.x y= B.= C.= D.=4. 下列判断中正确的是（ ）. （A ）若ba b a ==，则 （B ）若ba b a ==，则22（C ）若ba b a ==，则2)( （D ）若ba b a ==，则335. 若aa =-2)3(-3，则a 的取值范围是( ).（A ） a ＞3 （B ） a ≥3 （C ） a ＜3 （D ） a ≤3 6.．． 已知．．:．（．1．）． 211-=3．．；． （．2．）． 221111-=33．．．；． （．3．）．222111111-=333．．．．；． （．4．）．222211111111-=3333．．．．．．．观察上面几道题的计算结果，你能发现什么规律．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．?．猜测下式的结果：．．．．．．．．7. 当x = _______时，有最大值，最大值是________8. 观察下列各式：===，……请你将猜想得到的规律用含自然数n （n ≥1）的代数式表示出来：_________．9.已知02732=-++bba ，求ba 2-的平方根及ba 9的立方根。
10.已知x ＜3，求32---x x 的值。
11.已知aa a =-+-92018201，求28201-a的值。
12.已知a 、b 分别是6-的整数部分和小数部分，求2a －b 的值。
13、设3333.03.0==x ①，则 333.310=x②，则②—①得39=x，即31=x 故313.0= ．（1）根据上述提供的方法，把①7.0；②3.1 化为分数；（2）想一想是不是任何无限循环小数都可以化为分数？（简答即可）14.已知a ，b 是有理数，并且满足等式23，求a ，b 的值第二讲 实数---数的开方二、 知识要点：1、平方根的定义：若x 2=a,则__x___叫做_a ___的一个平方根。
记作：x=_a±______.其中_a_叫a 的算术平方根。
2、平方根的性质：一个正数的平方根有__两个____个，它们互为_相反数______；0的平方根是 0 ；负数 没有 平方根；一个非负数的算术平方根__一___个。
3、立方根的定义：若x 3=a ，则__x____叫做_a______的立方根，记x=_3a_____，4、立方根的性质：互为相反数的两个数的立方根之和为___0____。
==5、平方与开平方、立方与开立方互为逆运算。
6、相关公式：2______= （0a≥）；(2______-= （0a≥） 2a3_______= ；(3_______=；___=。
7、 三个非负数：a ≥， 20a ≥ ，≥ ， （a ≥0）8、 平方根等于本身的数是 0 立方根等于本身的数是 0，1，-1 算术平方根等于本身的数是 二、经典例题讲解 例1：81的平方根是_±3_，()196--的算术平方根是 14 ，()25-的立方根_325___。
例2：1与3x y +-互为相反数，则y x =__1___。
2、若x+y=___1__。
3、设x 、y 为实数，且104254-+-+=x x y ，则yx -的值是___1.5_____4、比较大小：3__2--例3：的两个正方形拼成一个正方形的边长为 2例4：1、实数P 在数轴上的位置如图1所示， 化简=-+-22)2()1(p p 1ͼ16、 实数a,b,c||b c -=a7、 若1＜a ＜3，化简13a a-+-的值.答案：28、 已知14x <<，化简：()()2214-+-x x 答案：39、已知x 是 的整数部分，y 是 的小数部分，求 的平方根．答案：9三、课堂训练（易错题）一．选择题1．（雅安）的平方根为（C）．=±5 =﹣5 ±=54.若|a﹣|+（b+1）2=0，则的值是（ A ）．5．实数的平方根为（D）±±6．已知，那么（a+b）2008的值为（ B ）D．．＜＜2 ＜＜﹣＜10．在实数、、0、、3.1415、π、、2.123122312223…,中，无理数的个数为（D）12．估算的值是在（ C ）14．一个立方体的体积是9，则它的棱长是（D）15．下列语句：①﹣1是1的平方根．②带根号的数都是无理数．③﹣1的立方根是﹣1．④的立方根是2．⑤（﹣2）2的算术平方根是2．⑥﹣125的立方根是±5．⑦有理数和数轴上的点一一对应．其中17．使为最大的负整数，则a的值为（ A ）．20．若3,b a b++小数部分是a，3小数部分是则的值为（ B ）A、0B、1C、-1D、2二．填空题1．若（x﹣15）2=169，（y﹣1）3=﹣0.125，则=_3或1________．2．已知：a和b都是无理数，且a≠b，下面提供的6个数a+b，a﹣b，ab，，ab+a﹣b，ab+a+b可能成为有理数的个数有____6_____个．3．的平方根与﹣的立方根的积为_____1±____．三．解答题计算：﹣++．答案：9数的开方培优竞赛训练8.若a b-++=，则a b+的值为（ B ）A.B. C.D.-9. 在绝对值不超过100的数中，平方根和立方根都为整数的有（ B ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 10. 若,x y 为实数，在下列式子中，能使x y=成立的是（ C ）A.x y= B.= C.= D.=11. 下列判断中正确的是（D ）. （A ）若ba b a ==，则 （B ）若ba b a ==，则22（C ）若ba b a ==，则2)( （D ）若ba b a ==，则3312. 若aa =-2)3(-3，则a 的取值范围是( B ).（A ） a ＞3 （B ） a ≥3 （C ） a ＜3 （D ） a ≤3 13.．．． 已知．．:．（．1．）． 211-=3．．；． （．2．）． 221111-=33．．．；． （．3．）．222111111-=333．．．．；． （．4．）．222211111111-=3333．．．．．．．观察上面几道题的计算结果，你能发现什么规律．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．?．猜测下式的结果：．．．．．．．．答案：．．．1001333.⋅⋅⋅⋅⋅⋅14. 当x = ___0__时，有最大值，最大值是__3_____8. 观察下列各式：===，……请你将猜想得到的规律用含自然数n （n ≥1）的代数式表示出来：_________．9.已知02732=-++bba ，求ba 2-的平方根及ba 9的立方根。
答案：6±，-310.已知x ＜3，求32---x x 的值。
答案：-1 11.已知aa a =-+-92018201，求28201-a的值。
答案：201912..已知a 、b 分别是6-的整数部分和小数部分，求2a －b 的值。
答案：1313、设3333.03.0==x ①，则333.310=x②，则②—①得39=x，即31=x 故313.0= ．（1）根据上述提供的方法，把①7.0；②3.1 化为分数；（2）想一想是不是任何无限循环小数都可以化为分数？（简答即可）答案：97，3414.已知a ，b 是有理数，并且满足等式23，求a ，b 的值答案：a==32-，b=613。