常系数非齐次线性微分方程组特解公式的新推导及其应用

现在我们利用引理１来证明：
定理１嘲 设Ａ不是Ａ的特征根，则一阶常系数非齐次线性微分方程组（３）有特解公式：
ｚ’（￡）一一∥×（Ａ一旭）＿“＋Ｄ磁’（￡）
（４）
二ｉ
证明：。．‘Ａ不是系数矩阵Ａ的特征根＇．．．Ａ一旭可逆。令ｚ—ｅ＊ｙ，则方程组（３）可化为
岁一（Ａ一，ｔＥ）ｙ＋Ｒ（￡）
（５）
现设ｑｂ（ｔ）是与方程（５）相应的齐次线性线性方程组岁一（Ａ一地）ｙ的基解矩阵，则易知有（垂叫（￡））７
作为定理２，３的直接应用，我们又有：
定理４高阶常系数非齐次线性微分方程组
Ａ（Ｄ）ｚ一厂０）
（１７）
有特解公式
ｚ。一Ａ＿１（Ｄ）厂０）一ｅ１（ｙ。）
ｙ。一薯腻㈣扎）ｄｔｆ
ｑ８’
其中，（￡）一（ｏ，…，０，厂（￡））丁（扎２一孢个ｏ）。
证略。
定理５ 记Ｌ（Ｄ）一杪＋口。眇－１＋…＋‰一－Ｄ＋％为算子多项式，Ｒ（ｆ）为玑次多项式。若Ａ不
常系数非齐次线性微分方程组特解公式的新推导６５００９２）
摘要： 首先利用推广的分部积分法导出一阶线性方程组的两个特解公式，然后将有关的结果应用到 高阶线性方程（组），得出了特解的一些新公式。 关键词：分部积分；常系数线性微分方程组；特解 中图分类号：０１７５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７－－９７９３（２００４）０４－－０００１－－０５
一一西－１０）（Ａ一旭），或者说，有
西－１（￡）一一（西－１０））７（Ａ一地）ｑ
（６）
利用上式及常数变易法［１’２］，分部积分公式（１），就有方程组（５）的特解为：
ｒ
ｒ
ｙ‘一圣ｏ）ｌ西ｑｏ）Ｐｍ（ｔ）ｄｔ一一西（ｔ）ｌ（垂＿１０））７（Ａ—ＡＥ）－１Ｐ，。（ｔ）ｄｔ
Ｊ
Ｊ
ｒ
一一西（ｆ）（西＿１０）（Ａ一旭）一１Ｒ（￡）＋ｌ西＿１０）（Ａ一旭）－１Ｐ＇ｍ（ｔ）出
１６
１
３
１６
１６
１６
１６
ｊＪ
＿＿。－＼４ｔ３百＋学＋篙）
总之，从本文所得到的结果来看，当入不是特征方程的根时，常系数非齐次线性微分方程组的特解 是唯一的，并且是可以用公式化形式来表达的；当入是特征方程的根时，可以按照定理６给出常系数非 齐次线性微分方程的特解公式，按照定理２可以给出一阶方程组的特解，尤其是给出其近似的特解，但 是这种结果对于高阶方程组则无法凑效，此时就需要考虑利用逆算子的形式幂级数展开法来求解，详细 的情况可参见文献Ｅ５－１。
有特解公式
Ａ（Ｄ）ｚ—ｅ２。Ｐｍ＠）
（１４）
ｚ。一Ａ－１（Ｄ）矿Ｐｍ（￡）一ｅ１（ｙ。），
ｙ－一一矿妻（Ｆ∞）一旭）＿（㈩）怒Ⅷ）
ｕ＂
叠ｉ
其中ｐ。（ｔ）一（ｏ，…，ｏ，Ｐ。（ｔ））Ｔ（ｎｚ—ｎ个ｏ），Ｅ－－Ｅｎ２为１２２阶单位矩阵。
万方数据
·４·
云南师范大学学报（自然科学版）
第２４卷
证明：记Ｙ＝＠，Ｄｘ，…，驴＿１ｚ）丁，则方程组（１４）可化为方程组
Ｊ
ｒ
一一（Ａ一旭）－１巳（ｆ）＋西０）Ｉ西＿１（￡）（Ａ一旭）＿１Ｐ７。０）出
Ｊ
ｒ
一一（Ａ—ＡＥ）叫只。＠）一西（ｆ）ｌ（垂－１０））’（Ａ—ＡＥ）＿２Ｐ’。（ｔ）ｄｔ
Ｊ
ｒ
一一（Ａ—ＸＥ）＿１Ｐ。０）一（Ａ一旭）ｑＰ７。０）＋西（￡）Ｉ西＿１（￡）（Ａ一旭）一２Ｐ００）出
依次类推，并注意到胖’（ｆ）一０，ｋ≥ｍ＋１，最后得到方程组（５）的特解为公式：
推论 设系数矩阵Ａ是幂零矩阵，即存在正整数Ｎ＞０，使得ＡＮ＝０，则方程组（７）的特解为：
州ｔ）一蚤胪１（ｊ：０）凡）彬
（１２）
证明略。
２两个特解公式应用到高阶常系数非齐次线性微分方程（组）
在本节中，我们把§１中的有关结果进一步应用到高阶常系数非齐次线性微分方程（组）。为此，记
ｅｉ（ｚ）为取向量ｘ（ｘｌ，．－＇’Ｘ。）丁的第ｉ个分量的投影，即ｅｌ（ｚ）一Ｘｉ；记ＦＡ（ｒ）为矩阵多项式Ａｐ）一Ｅｒ＂＋
是特征方程Ｌ（ｒ）一，＋ａｌ，＿１＋…＋％一，ｒ＋％一０的根，则，ｌ阶常系数非齐次线性微分方程
Ｌ（Ｄ）ｚ＝扩只。０）
（１９）
有特解公式
ｚ。一Ｌ＿１（Ｄ）扩Ｐｍ０）一ｅ１（ｙ。），
ｙ．一一∥交（ＦＬ（ｒ）一旭）＿“＋１）ｐ篡（￡）
‘２０’
ｉ；
其中ｐ。（￡）一（Ｏ，…，０，Ｐｍ（￡））丁（咒一１个０），Ｅ为砚阶单位矩阵。
利用推广的分部积分法，且将定理１的推导方法稍作修改后即可得到方程组（７）的特解表示为：
ｚ飞）一耋胪Ⅲ代）∥＋∞）ｐ沁）力（（ｆｏ胁渺卜
（１１）
万方数据
第４期
化存才： 常系数非齐次线性微分方程组特解公式的新推导及其应用
·３·
为由式子（１１）证明特解公式（８）及其收敛性，我们需要估计式（１１）右端的两项，且沿用熟知的函数矩阵 Ｂ（￡）一（ｂｉｊ（￡））。×。和向量函数厂（￡）一（厂１（￡），厂２（￡），…，＾（￡））丁的模如下：
万方数据
·２·
云南师范大学学报（自然科学版）
第２４卷
考虑一阶常系数非齐次线性微分方程组
ｘ—Ａｘ＋矿Ｐ，。０），或者（ＥＤ—Ａ）ｘ一矿Ｐ，。０）
（３）
其中Ｄ—ｄ／ｄｔ，Ａ为，ｚ阶常数矩阵，ｚ一（ｚ１（ｆ），…，矗（￡））Ｔ，Ｐｒｏ（ｔ）一（Ｒ。（￡），…，■（ｆ））Ｔ，尸，（￡）为观
次多项式，ｍ—ｍａｘ（ｍ１，．”，％）。
一～３为特征方程的单根（足一１），且有
５
１
Ｆ。，。，ｚ一（！。：），Ｆ。，一。严＋３Ｅ一（１ １：），ｃＦ。，一。，ｚ＋３Ｅ，叫一
１６ １
１６ ３
１６
１６
由公式（２１），取ｔｏ一０，得到方程（２２）的特解为：
一一‰㈨案 ３㈦Ｗ ５
１
５
１
∽３川）＋ 匕＋３）＋ １６
１６
＼≠２＋３￡＋４／］ １ ３
１６
从而就有
ｚ。一（Ｄ－－Ｄ－－ｋｅｌ∽）一（ｆ０）‘“∽彬
经整理得（２１）。
例．求下列微分方程的特解：
万方数据
第４期
化存才： 常系数非齐次线性微分方程组特解公式的新推导及其应用
·５·
Ｌ（Ｄ）ｘ一（Ｄ３＋Ｄ２—５Ｄ＋３）ｘ—ｅ－３ｔ（￡２＋３ｔ＋４）
（２２）
解：Ｌ（ｒ）一ｒ３＋ｒｚ一５ｒ＋３一（ｒ＋３）（ｒ一１）２一（ｒ＋３）Ｌ１◇），其中Ｌ。（ｒ）一（ｒ一１）２。于是Ａ
求常系数线性微分方程组的特解是微分方程理论的重要内容之一，但在微分方程的初等解法中，这 部分的内容却太简略了［１’２］，这样就使得有些重要的思想和方法（如算子方法等）没有引起足够的重视。 在我们前期的工作中，我们从算子方法入手寻求常系数线性微分方程（组）的新解法，先后给出了算子分 解方法［３］，初等行变换法Ｈ］，逆算子的形式幂级数展开法［５］，变系数线性微分方程（组）的算子方法［６｜，以 及算子方法在推导待定系数法中的应用等［７］。在本文中，我们将首先利用推广的分部积分法导出文献 Ｅｓ：ｉ中的关于一阶线性方程组的两个特解公式，然后再将有关的结果应用到高阶线性方程组，从而得出 特解的一些新公式。
１ 一阶常系数非齐次线性微分方程组两个特解公式的新推导
在文献Ｅｓ］中，我们已经利用逆算子的形式幂级数展开法得到了一阶常系数非齐次线性微分方程组 的许多特解公式。在本节中，我们将用推广的分部积分法来导出其中的两个基本的特解公式。
引理１（推广的分部积分公式） 设ｑＳ（ｔ）一（仍（￡））。×。，厂（￡）一（＾（￡），＾（￡），…＾（￡））丁，其中％， 工（￡）都在ｋ，６］上连续可微，则有分部积分公式
定理６ 若Ａ是特征方程Ｌ（ｒ）一，＋口。，－１＋…＋％一。ｒ＋ａｎ一０的是重根（惫≥Ｏ），且有分解式
Ｌ（，．）一（ｒ—Ａ）‘Ｌ。（ｒ），则咒阶常系数非齐次线性微分方程（１９）有特解公式
ｚ。一Ｌ－１（Ｄ）Ｐ砧Ｐ，。０）一ｅ１（ｙ。），
ｙ。一一矿（Ｊ：。）‘㈣（ＦＬｌ（ｒ，一旭）＿（ｍ，恕№）∥
ＱＤ
其中ｐ。（￡）一（ｏ，…，０，Ｐ。（ｔ））Ｔ锄一１个ｏ），Ｅ为，ｚ阶单位矩阵。 证明：因Ａ是特征方程Ｌ（ｒ）一，＋ａ。，＿１＋…＋翰一。ｒ＋％一０的ｋ重根，且有分解式Ｌ（ｒ）一（ｒ
—Ａ）４Ｌ－（ｒ），故Ａ不再是厶（ｒ）的根，且有算子分解式Ｌ（Ｄ）一厶（Ｄ）（Ｄ—Ａ）‘。于是ｎ阶常系数非齐次 线性微分方程（１９）有特解公式
ｚ。一Ｌ一１（Ｄ）ｅ≈Ｐ，。（￡）一（Ｄ—Ａ）一‘Ｌｆｌ矿Ｐｍ０） 对Ｌ＿１ｅ沁Ｐ。（￡）应用定理５的结果，就有Ｌｆｌ矿Ｐｍ（￡）一已１＠。），其中
ｚ＊一一矿奎（Ｒ１（ｒ，一征）－“＋Ｄ砖沁）
定理２［５］ 一阶常系数非齐次线性微分方程组（７）有特解的公式：
ｚ。（ｔ）一∑∥－１㈠：）厂（ｆ）∥， ｔ∈Ａ
（８）
其中记号ｆ Ｉ｝·ｄｔ‘表示ｋ次积分口］：
㈦·∥一心…ｃＪ！。㈣…出，如
㈨
证明：设西（ｆ）是与方程组（７）相应的齐次线性方程组ｘ一如的基解矩阵，则有
（西－１（￡））７一一西＿１＠）Ａ
（１０）
参 考文献：
ｆ１］ 叶彦谦．常微分方程讲义（第二版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８３．５０一７０． ［２］ 王高雄．常微分方程讲义（第二版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８３．９０一１２０． ［３］ 化存才．ｎ阶常系数线性微分方程求解新探Ｄ］．西南民族学院学报，１９９４，（３）：２６３—２６６． ｒ４－１ 化存才．算子矩阵理论与常系数线性微分方程组求解（Ｉ）［Ｊ］．西南民族学院学报，１９９６，（１）：ｎ３—１２２． ［５］ 化存才．算子矩阵理论与常系数线性微分方程组求解（ＩＩ）［Ｊ］．西南民族学院学报，１９９６，（３）：２３１－－２４０． ［６３ 化存才．变系数线性微分方程（组）的一种算子方法［Ｊ］．西南民族学院学报，１９９７，（４）：３６２－－３６９． ｆ７］ 化存才．常系数非齐次线性微分方程（组）待定系数法的新的推导方法［Ｊ］．云南师范大学学报，２００３，（４）：１—２ ［８３ 徐和生．线性多变量系统的分析与设计［Ｍ］．北京：国防工业出版社，１９８７．１５０－－２６０．