线性代数居余马第5章 特征值与特征向量

− 2 2 2 x1 0 − 2 2 2 x = 0 2 2 − 2 − 2 x3 0
5.1.2 特征值和特征向量的性质
定理5.1 若x1, x2 是A属于λ0的两个的特征向量，则 定理 k1x1+ k2x2也是A属于λ0的特征向量(其中 k1, k2是任意常数， 但 k1x1+ k2x2 ≠0 )。 证： x1，x2 是齐次线性方程组(λI− A) x=0的解，所以， ， ， k1x1+ k2x2 也是(λI− A) x=0 的解，故当 k1x1+ k2x2 ≠0 时，也是A的属于λ0 的特征向量。 (λ I− A) x=0的解空间 解空间称为A的关于λ的特征子空间 特征子空间，记作Vλ 。 解空间 特征子空间 dimVλ=n −r (λI− A)
λ1 λ2 A( x1 , x2 ,L, xn ) = ( x1 , x2 ,L, xn ) O λn
(1)
(2)
得
A xj = λj x j ( xj≠0, j=1,2,L,n)
(3)
即x1, x2,L, xn是A的n个线性无关的特征向量(因为P可逆，所以 x1, x2,L, xn线性无关)。必要性得证。
性质2 性质 矩阵A和AT的特征值相同。 证： det(λI− A) =det (λ I − A)T = det ((λ I)T−AT)= det (λ I − A T) *定理 定理5.3 设A是n阶矩阵，若 定理
∑a
i =1
n
ij
< 1 ( j = 1, 2 , L , n )
∑a
j =1
n
ij
i =1 i =1
− a12 L − a1n − a22 L − a2 n = ( −1) n A , 即 c = ( −1) n A n L L L − an 2 L − ann
所以， f (λ ) = λI − A = (λ − λ1 )(λ − λ 2 ) L (λ − λ n )
= λ − (∑ aii )λn−1 + L + (−1) n A
n i =1 n
由根与系数的关系及常数项相等，得
∑λ = ∑a
i =1 i i =1n Nhomakorabean
ii
和
∏λ
i =1
n
i
= A
由定理5.2 得：矩阵A可逆的充要条件是 A的任意一个 特征值不等于零；或 A为奇异阵的充要条件是A至少有一个 特征值等于零。 A的一个特征值可对应很多特征向量；但 A的一个特征 向量不能属于不同的特征值。 性质1 性质 若λ是A的特征值, x 是A的属于λ 的特征向量。则 (1) kλ 是kA的特征值（k为任意常数）； (2) λm是Am的特征值; (3)若A可逆，则λ−1为A−1的一个特征值，而且x 仍然是矩 阵kA, Am和A−1的分别对应于特征值 kλ, λm 和 λ−1的特征向量。 证 (2)(3) 由A x= λ x 得 A2 x= A(λ x)= λ (A x)= λ (λ x)= λ2 x，继续得Am x= λm x。 ， A−1(A x)= A−1(λ x)= λ (A−1 x), 所以， (A−1 x)= λ−1 x。
− 1 x1 0 − 2 2 − 2 x = 0 2 1 − 1 1 x3 0
则k1x1+ k2x2(∀k1, k2不全为0)是A的属于λ1的全部特征向量。
对于λ2= −2，求解(λ2I−A) x =0, 得基础解系： x3=(−1, −2, 1)T
定义5.1 设n阶矩阵A=(aij),则 定义
λ − a11
f (λ ) = λI − A = − a 21 L − a n1
− a12 L λ − a 22 L L − an2
− a1n − a2n
L L L λ − a nn
称为 A的 特征多项式。 (λ I− A) 称为A的 特征矩阵。| λI− A |=0 称为A的特征方程。 n 阶矩阵A的特征多项式在复数域上的 n 个根都是矩阵A 的特征值，其k重根叫做 k 重特征值。 例１ n 阶对角矩阵A ，上(下)三角形矩阵B的特征值 都是它们的n个主对角元 a11, a22, L ,ann。 因为它们的特征多项式为 |λI- A | =|λI- B |=(λ− a11)(λ− a22)L(λ−ann) I I
定理5.4 若矩阵A与B相似，则它们的特征多项式相等， 定理 即 λI − A= λ I − B 证 A∼B，即存在可逆矩阵P，使得 P−1AP=B 即 λ I − B= λ I − P −1AP =P−1(λ I − A)P =P−1λ I − AP = λ I − A 注意：此定理的逆命题不成立。例如：
0 0
L L
, L,
L − a1n 0 λ L − a2 n L L L L 0 0 0 L − ann
λ
− an 2 L λ
它们的和等于 n n n−1 −(a11+ a22+…+ ann) λn−1= − (∑ aii )λ , 即 c1 = −(∑ aii ) (*)式中不含λ的常数项为
− a11 − a21 L − an1
λ1 A( x1 , x 2 , x 3 ) = ( x1 , x 2 , x 3 ) 0 0 0 0 0 λ3
λ2
0
取
1 −1 −1 P = ( x1, x2 , x3 ) = 1 0 − 2, 0 1 1
0 0 0 Λ= 0 0 0 0 0 − 2
(1)
∑λ = ∑a
i =1 i i =1
n i =1
n
n
ii
( 2)
∏λ
i =1
n
i
= A
称A的主对角元的和 *证：设 证
λI − A =
∑ a ii
为A的迹，记作 tr(A)。
0 − a12 L 0 − an2 L 0 − a1n L L L λ − a nn
λ − a11
0 − a 21 L 0 − a n1
V 如例２ 如例２中， λ1 = { kx | x=(−1, −1, 1)T, k ∈R}=L((−1, −1, 1)T); Vλ2 = {k1x1+ k2x2 | x2=(1,1,0)T, x3=(1,0,1)T, k1,k2 ∈R} =L((1, 1, 0)T, (1, 0, 1)T)
定理5.2 若n 阶矩阵A=(aij) 的n个特征值为λ1,λ2,L,λn，则 定理
第5章 特征值和特征向量 矩阵的对角化
5.1 矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵 5.1.1 特征值和特征向量的基本概念
定义5.1 设A是复数域C上的n阶矩阵，如果存在数λ ∈ C 定义 和非零n维向量x，使得 A x= λ x 则称λ为A的特征值，x为A的属 ( 对应)于特征值λ的特征向量。 注意: 特征向量 x 是非零向量, 是齐次线性方程组 (λ I− A) x=0 的非零 解。 λ应满足 | λ I− A |=0 即λ是多项式 det(λI− A ) 的零点。
例２ 求矩阵
0 −2 −2 A= 2 −4 −2 −2 2 0
的特征值及特征向量。
解：A的特征方程为
λ 2 0 2 2 λ 2 2 2 = 0 λ +2 0 = λ(λ + 2) = 0 λI − A = − 2 λ + 4 2 = 0 λ +2 λ +2 2 −2 λ + 2 2 − 2 λ 2 −2 λ
λ
Vλ1
A的特征值为: λ1=0, λ2= −2(二重特征值)。 0 2 2 x1 0 − 2 4 2 x = 0 对于λ1=0，求解(λ1I − A)x=0，即 2 2 − 2 0 x3 0 得基础解系： x1=(−1, −1, 1)T。 k x1(k≠0为任意常数)是A的属于λ1的全部特征向量。 对于λ2= − 2，求解(λ2I − A) x =0, 即 得基础解系： x2=(1,1,0)T, x3=(1,0,1)T。 k1x1+ k2x2 （k1, k2是不全为零的任意常数） 是A关于λ2的全部的特征向量。
−1 λ −1 0 −1 λ −1 0 −1 − 2 = − 2 λ − 2 = −2 λ −2 λ +1 1 λ λ +1 3 0 λ +3
解 (1)
1 λI − A = − 2 λ + 2 1 −1
λ −1
= λ2 (λ + 2) = 0
A的特征值为: λ1=0 (二重特征值), λ2= −2。 对于λ1=0，求解(λ1I − A)x=0，即 − 1 1 得基础解系： x1=(1,1,0)T, x2=(− 1,0,1)T,
即
−3 1 −1x1 0 −2 0 −2x = 0 2 1 −1 −1x3 0
A的属于λ2的全部特征向量为 k3 x (k3≠0为任意常数)。 解 ：(2) 将 A xi = λi xi (i=1, 2, 3) 排成矩阵 (2)
则 AP=PΛ, 且 |P|≠0, 所以， P−1AP=Λ 为对角矩阵。
5.1.3 相似矩阵及其性质
定义5.3 对于矩阵A, B，若存在可逆矩阵P，使 P−1AP=B, 定义 则称A相似于B，记作A∼B 。 矩阵的相似关系是一种等价关系，具有以下性质： (1) 自反性 A∼A； 若A∼B，则B∼A； (2) 对称性 (3) 传递性 若A1∼A2, A2∼A3，则A1∼A3。 相似矩阵还有以下性质： (1) C−1(kA+t B) C =k C−1 AC +t C−1 B C (k, t∈F); (2) C−1(AB)C=(C−1 AC) (C−1 B C); (3) 若A∼B，则Am∼Bm（m为正整数）； (4) 若A∼B，则f(A)∼f(B)， 其中 f(x)=amxm+am-1xm-1+L+a1x+a0是个多项式。 f(A)=amAm+am-1Am-1+L+a1A+a0I (ai∈F, i=0,1,L,m)， f(B)=amBm+am-1Bm-1+L+a1B+a0I。