2018年海淀区九年级期中考试数学试题

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2018北京市海淀区初三(上)期中数学

18.（1）问题发现：如图 1，如果△ACB 和△CDE 均为等边三角形，点 A、D、E 在同一直线上，连接 BE.则 AD 与 BE
的数量关系为
；∠AEB 的度数为
度.
（2）拓展探究：如图 2，如果△ACB 和△CDE 均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点 A、D、E 在同一直线上，连
接 BE，判断线段 AE 与 BE 的位置关系，并说明理由.
∴S= BQ·BP=
=-t2+3t（0≤t≤3），
观察只有 C 选项符合，故选 C. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，动点问题的函数图象，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键. 二.填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分） 9. 【答案】（﹣1，2）. 【解析】试题分析：根据“平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， ∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．考点：关于原点对称的点的坐标． 10. 【答案】y=﹣x2+4.
= （x2﹣12x）+21
= [（x﹣6）2﹣36]+21
= （x﹣6）2+3，
故 y= （x﹣6）2+3，向左平移 2 个单位后，
得到新抛物线的解析式为：y= （x﹣4）2+3．故选 D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记函数图象平移的规律并正确配方将原式变形是解题关键． 3. 【答案】D 【解析】
3 / 23
22.已知关于 x 的方程 x2﹣2x+m=0 有两个不相等的实数根 x1、x2 （1）求实数 m 的取值范围；（2）若 x1﹣x2=2，求实数 m 的值． 23.解方程：x2+6x﹣2=0. 24.在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，点 A、C 的坐标分别是（0，4），（﹣1，0），将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90°，得到平行四边形 A′B′C′D′. （1）若抛物线经过点 C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，为点 M 在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此到点 M 的坐标.

2018-2019学年北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷-含答案

2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.抛物线y=x2+1的对称轴是（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线2.点P（2，-1）关于原点对称的点P′的坐标是（）A. B. C. D.3.下列App图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.4.用配方法解方程x2-2x-4=0，配方正确的是（）A. B. C. D.5.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）A.B.C.D. 26.将抛物线y=（x+1）2-2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（）A. B. 1 C. D. 27.如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（）A. B.C. D.8.已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A. 最小,最大B. 最小,最大C. 最小,最大D. 无法确定二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.写出一个以0和2为根的一元二次方程：______．10.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则ac______0（填“＞”或“=”或“＜”）．11.若关于x的方程x2-4x+k-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C=70°，则∠ADE的大小为______．13.已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是______（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．14.在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x，依题意，可列方程为______．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值______．16.如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB=CD，∠BED=α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD=α，②∠OAB=90°-α，③∠ABC=α中，一定成立的是______（填序号）．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.解方程：x（x+2）=3x+6．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18.如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．19.下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接正三角形．作法：如图，①作直径AB；②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．根据小董设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC=OB=BC，∴△OBC为等边三角形（______）（填推理的依据）．∴∠BOC=60°．∴∠AOC=180°-∠BOC=120°．同理∠AOD=120°，∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°．∴AC=CD=AD（______）（填推理的依据）．∴△ACD是等边三角形．20.已知-1是方程x2+ax-b=0的一个根，求a2-b2+2b的值．21.生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O为圆心AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为0.8a，顶棚到路面的距离是3.2a，点B 到路面的距离为2a．请你求出路面的宽度l．（用含a的式子表示）22.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+ax+b经过点A（-2，0），B（-1，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C，直接写出点C的坐标和∠BOC的度数．23.如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y与x的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD=BF，AE=3，求DF的长．25.有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x≥3时，y=______，当x＜3时y=______；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y=的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1=只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：______．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．（1）当a=-1时，求A，B两点的坐标；（2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C．①当a=2时，求PB+PC的值；②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．27.已知∠MON=α，P为射线OM上的点，OP=1．（1）如图1，α=60°，A，B均为射线ON上的点，OA=1，OB＞OA，△PBC为等边三角形，且O，C两点位于直线PB的异侧，连接AC．①依题意将图1补全；②判断直线AC与OM的位置关系并加以证明；（2）若α=45°，Q为射线ON上一动点（Q与O不重合），以PQ为斜边作等腰直角△PQR，使O，R两点位于直线PQ的异侧，连接OR．根据（1）的解答经验，直接写出△POR的面积．28.在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴外的一点，若平面内的点B满足：线段AB的长度与点A到x轴的距离相等，则称点B是点A的“等距点”．（1）若点A的坐标为（0，2），点P1（2，2），P2（1，-4），P3（-，1）中，点A的“等距点”是______；（2）若点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，求点A的坐标；（3）记函数y=x（x＞0）的图象为L，⊙T的半径为2，圆心坐标为T（0，t）．若在L上存在点M，⊙T上存在点N，满足点N是点M的“等距点”，直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=x2+1，∴抛物线对称轴为直线x=0，即y轴，故选：C．由抛物线解析式可直接求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．2.【答案】A【解析】解：点P（2，-1）关于原点对称的点P′的坐标是（-2，1），故选：A．根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答案．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．3.【答案】B【解析】解：A．此图案是轴对称图形，不符合题意；B．此图案既不是中心对称图形也不是轴对称图形，符合题意；C．此图案是轴对称图形，不符合题意；D．此图案是中心对称图形，不符合题意；故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．4.【答案】C【解析】解：∵x2-2x-4=0∴x2-2x=4∴x2-2x+1=4+1∴（x-1）2=5故选：C．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．此题主要考查了解一元二次方程的解法---配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5.【答案】A【解析】解：如图：连接OP，AO∵AB是⊙O切线∴OP⊥AB，∴AP=PB=AB在Rt△APO中，AP==∴AB=2故选：A．由题意可得OP⊥AB，AP=BP，根据勾股定理可得AP的长，即可求AB的长．本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，熟练运用垂径定理是本题是关键．6.【答案】D【解析】解：新抛物线的解析式为：y=（x+1）2-2+a=x2+2x-1+a，∵新抛物线恰好与x轴有一个交点，∴△=4-4（-1+a）=0，解得a=2．故选：D．根据“上加下减，左加右减”的规律写出平移后抛物线的解析式，由新抛物线恰好与x轴有一个交点得到△=0，由此求得a的值．考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与几何变换．由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查旋转对称图形，解题的关键是掌握如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．根据旋转对称图形的概念解答．【解答】解：A．此图案绕中心旋转36°或36°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；B．此图案绕中心旋转45°或45°的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意；C．此图案绕中心旋转90°不能与原来的图案重合，此选项不符合题意；D．此图案绕中心旋转90°不能与原来的图案重合，此选项不符合题意；故选B．8.【答案】A【解析】解：∵二次函数图象经过P1（-3，y1），P2（-1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，∴P1（-3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，∴y3最小，y1最大，故选：A．根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是解题的关键．9.【答案】x2-2x=0【解析】解：∵0+2=2，0×2=0，所以以0和2为根的一元二次方程为x2-2x=0，故答案为：x2-2x=0．此题为一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个即可．本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．10.【答案】＜【解析】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0．故答案为＜．首先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断ac与0的关系．考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．常数项c决定抛物线与y轴交点．11.【答案】k＜5【解析】解：根据题意得△=（-4）2-4（k-1）＞0，解得k＜5．故答案为k＜5．根据判别式的意义得到△=（-4）2-4（k-1）＞0，然后解一元一次不等式即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．12.【答案】110°【解析】解：∵∠C=70°，AB∥CD，∴∠B=70°∴∠ADE=110°．故答案为：110°．根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理．13.【答案】钝角三角形【解析】解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．又∵O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，∴△ABC是钝角三角形，故答案为钝角三角形．根据锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部；判断即可；本题考查三角形的外接圆与外心，解题的关键是记住：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．14.【答案】45.1（1+x）2=172.9【解析】解：设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x，根据题意得：45.1（1+x）2=172.9．故答案为：45.1（1+x）2=172.9．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x，根据统计图中2015年及2017年的我国新能源汽车保有量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.【答案】2（答案不唯一）【解析】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，∴当y＜0的x的取值范围是：1＜x＜3，∴x的值可以是2．故答案是：2（答案不唯一）．根据函数图象可以直接得到答案．考查了抛物线与x轴的交点坐标，需要学生熟悉二次函数图象的性质并要求学生具备一定的读图能力．16.【答案】①③【解析】解：如图，连接OC，设OB交CD于K．∵AB=CD，OD=OC=OB=OA，∴△AOB≌△COD（SSS），∴∠CDO=∠OBA，∵∠DKO=∠BKE，∴∠DOK=∠BEK=α，即∠BOD=α，故①正确，不妨设，∠OAB=90°-α，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OBE+∠BEK=90°，∴∠BKE=90°，∴OB⊥CD，显然不可能成立，故②错误，∵CD=AB，∴=，∴=，∴∠ABC=∠DOB=α，故③正确．故答案为①③．如图，连接OC，设OB交CD于K．利用全等三角形的性质以及圆周角定理一一判断即可；本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：x（x+2）-3（x+2）=0，（x+2）（x-3）=0，x+2=0或x-3=0，所以x1=-2，x2=3．【解析】先变形得到x（x+2）-3（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．18.【答案】证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，∴△ABC≌△DBE∴BA=BD．∴∠A=∠ADB．∵∠A=∠BDE，∴∠ADB=∠BDE．∴DB平分∠ADE．【解析】根据旋转的性质得到△ABC≌△DBE，进一步得到BA=BD，从而得到∠A=∠ADB，根据∠A=∠BDE得到∠ADB=∠BDE，从而证得结论．本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了邻补角定义．19.【答案】（1）；（2）三条边都相等的三角形是等边三角形；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 .【解析】（1）解：如图，△ACD为所作；（2）证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC=OB=BC，∴△OBC为等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）．∴∠BOC=60°．∴∠AOC=180°-∠BOC=120°．同理∠AOD=120°，∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°．∴AC=CD=AD（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），∴△ACD是等边三角形．故答案为三条边都相等的三角形是等边三角形；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等．（1）利用画圆的方法作出C、D两点，从而得到△ACD；（2）在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，利用等边三角形的判定方法得到△OBC为等边三角形，则∠BOC=60°，接着分别计算出∠COD=∠AOC=∠AOD=120°．然后根据圆心角、弧、弦的关系得到AC=CD=AD，从而判断△ACD是等边三角形．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．20.【答案】解：∵-1是方程x2+ax-b=0的一个根，∴1-a-b=0，∴a+b=1，∴a2-b2+2b=（a+b）（a-b）+2b=a-b+2b=a+b=1．【解析】根据一元二次方程的解的定义得到1-a-b=0，即a+b=4，然后利用整体代入的方法计算代数式a2-b2+2b的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根．21.【答案】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：AB=0.8a+3.2a+2a=6a，所以OC=OB=3a，OE=OB-BE=3a-2a=a，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过O，∴CD=2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE===2a，∴CD=2CE=4a，所以路面的宽度l为4a．【解析】连接OC，求出OC和OE，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理求出CD即可．本题考查了垂径定理和勾股定理，能求出CE的长是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．22.【答案】解：（1）∵抛物线y=x2+ax+b经过点A（-2，0），B（-1，3），∴ ，解得，∴y=x2+6x+8．（2）∵y=x2+6x+8=（x+3）2-1，∴顶点C坐标为（-3，-1），∵B（-1，3）．∴OB2=12+32=10，OC2=32+12=10，BC2=[（-3）-（-1）]2+（-1-3）2=20，∴OB2+OC2=BC2，则△OBC是以BC为斜边的直角三角形，∴∠BOC=90°．【解析】（1）将点B，C的坐标代入解析式得出关于a，b的方程组，解之可得；（2）将抛物线解析式配方成顶点式得出点C的坐标，再根据两点间的距离公式求出OB2=10，OC2=10，BC2=20，从而依据勾股定理逆定理求解可得．本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据题意灵活设出函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质与勾股定理逆定理．23.【答案】解：（1）∵大长方形的周长为6m，宽为xm，∴长为m，∴y=x•=-（0＜x＜2），（2）由（1）可知：y和x是二次函数关系，a=-＜0，∴函数有最大值，当x=-时，y最大=m2．答：窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2．【解析】（1）由题意可知窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y和x的函数关系式；（2）由（1）中的函数关系可知y和x是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．本题考查的是长方形的面积公式及二次函数的最值问题，属较简单题目．24.【答案】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴∠1=∠2，∵OA=OD，∴∠2=∠ADO，∴∠1=∠ADO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF=∠AED=90°，∴OD⊥ED，∵OD过0，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠1=∠2，CD=BD，∵CD=BF，∴BF=BD，∴∠3=∠F，∴∠4=∠3+∠F=2∠3，∵OB=OD，∴∠ODB=∠4=2∠3，∵∠ODF=90°，∴∠3=∠F=30°，∠4=∠ODB=60°，∵∠ADB=90°，∴∠2=∠1=30°，∴∠2=∠F，∴DF=AD，∵∠1=30°，∠AED=90°，∴AD=2ED，∵AE2+DE2=AD2，AE=3，∴AD=2，∴DF=2．【解析】（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；（2）求出∠1=∠2=∠F=30°，求出AD=DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，切线的判定定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．25.【答案】（1）x 3（2）根据（1）中的结果，画出函数y=的图象如下：（3）a＜0或a≥1或a=【解析】解：（1）当x≥3时，y===x；当x＜3时，y===3；故答案为x，3；（2）根据化简的解析式画出图象即可．（3）根据画出的函数图象，当a＜0时，直线y=ax+1与函数y=只有一个交点；当a≥1时，直线y=ax+1与函数y=3（x＜3）的图象有一个交点，与函数y=x（x≥3）无交点；当a=时，直线y=x+1经过点（3，3）．故若关于x的方程ax+1=只有一个实数根，实数a的取值范围：a＜0或a≥1或a=，故答案为a＜0或a≥1或a=．26.【答案】解：（1）当a=-1时，有y=-x2-2x．令y=0，得：-x2-2x=0．解得x1=0，x2=-2．∵点A在点B的左侧，∴A（-2，0），B（0，0）．（2）①当a=2时，有y=2x2-2x．令y=0，得2x2-2x=0．解得x1=0，x2=1．∵点A在点B的左侧，∴A（0，0），B（1，0）．∴PB=2．当x=3时，y C=2×9-2×3=12．∴PC=12．∴PB+PC=14．②点B在直线l左侧，如图所示：∵PB+PC≥14，∴3-x+ax2-2x≥14，可得：a≤-或a≥2．【解析】（1）把a=-1代入解析式解答即可；（2）①把a=2代入解析式解答即可；②根据PB+PC≥14，得出a的取值范围即可．本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用二次方程的解法解答．27.【答案】解：（1）①如图所示：②结论：AC∥OM．．理由：连接AP∵OA=OP=1，∠POA=60°，∴△OAP是等边三角形．∴OP=PA，∠OPA=∠OAP=60°，∵△PBC是等边三角形，∴PB=PC，∠BPC=60°，∴∠OPA+∠APB=∠BPC+∠APB，即∠OPB=∠APC，∴△OBP≌△ACP（SAS）．∴∠PAC=∠O=60°，∴∠OPA=∠PAC，∴AC∥OM．（2）作PH⊥OQ于H，取PQ的中点K，连接HK，RK．∵∠PHQ=∠PRQ=90°，PK=KQ，∴HK=PK=KQ=RK，∴P，R，Q，H四点共圆，∴∠RHQ=∠RPQ=45°，∴∠RHQ=∠POQ=45°，∴RH∥OP，∴S△POR=S△POH=××=．【解析】（1）①根据题意，周长图形即可；②只要证明△OBP≌△ACP（SAS）即可解决问题；（2）作PH⊥OQ于H，取PQ的中点K，连接HK，RK．只要证明OP∥RH即可解决问题；本题考查作图-复杂作图、平行线的判定、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．28.【答案】（1）P1，P3；（2）∵点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，∴AM=AN，∴点A在线段MN的垂直平分线上．设MN与其垂直平分线交于点C，点A的坐标为（m，n），如图1所示．∵点M（1，2），点N（1，8），∴点C的坐标为（1，5），AM=AN=n=5，∴CM=3，AC==4，∴m=1-4=-3或m=1+4=5，∴点A的坐标为（-3，5）或（5，5）．（3）依照题意画出图象，如图2所示．①当⊙T1过点O时，⊙T1与L没有交点，∵⊙T1的半径为2，∴此时点T1的坐标为（0，-2）；②当⊙T2与L相切时，设切点为M2，∵图象L的解析式为y=x（x＞0），∴∠M2OT2=30°．在Rt△M2OT2中，∠M2OT2=30°，M2T2=2，∴OT2=2M2T2=4，∴此时点T2的坐标为（0，4）．综上所述：t的取值范围为-2＜t≤4．【解析】解：（1）∵AP1=2-0=2，AP2==，AP3==2，∴点A的“等距点”是P1，P3．故答案为：P1，P3．（2）见答案;（3）见答案．【分析】（1）利用两点间的距离公式求出AP1，AP2，AP3的值，结合点A的坐标及“等距点”的定义，即可得出结论；（2）由点M，N为点A的等距点可得出AM=AN，进而可得出点A在线段MN的垂直平分线上，设MN与其垂直平分线交于点C，点A的坐标为（m，n），由点M，N的坐标可得出点C的坐标及AM，CM的长度，利用勾股定理可求出AC的长度，结合点C的坐标即可得出点A的坐标；（3）分两种情况考虑，①当⊙T1过点O时，由圆的半径可得出点T1的坐标；②当⊙T2与L相切时，设切点为M2，由图象L的解析式可得出∠M2OT2=30°，在Rt△M2OT2中，通过解含30度角的直角三角形可求出OT2的长度，进而可得出点T2的坐标．综上即可得出t的取值范围．本题考查了两点间的距离、线段的垂直平分线、一次函数的性质、勾股定理以及解含30度角的直角三角形，解题的关键是：（1）利用两点间的距离公式求出AP1，AP2，AP3的值；（2）利用“等距点”的定义找出点A在线段MN的垂直平分线上；（3）分⊙T过点O与⊙T与L相亲两种情况找出圆心的坐标．第21页，共21页。

2017-2018学年北京市海淀区九年级上期中数学试题含答案

第 1 页共 14 页初三第一学期期中学业水平调研数学2017.11学校班级___________姓名成绩一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．一元二次方程3610x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，6，1B ．3，6，1-C ．3，6-，1D ．3，6-，1-2．把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．21y x =-+D ．21y x =--3．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点. 若∠C =35°，则∠AOB 的大小为 A ．35° B ．55° C ．65° D ．70° 4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是A B C D 5．用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是 A ．()222x -= B．()222x +=C ．()222x -=-D ．()226x -=6．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是A ．45B ．60C ．90D ．120第 1 页共 14 页7．二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是A ．30x -<<B ．3x <-或0x >C ．3x <-或1x >D ．03x <<8．如图1，动点P 从格点A 出发，在网格平面内运动，设点P 走过的路程为s ，点P 到直线l 的距离为d . 已知d 与s 的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P 的运动路线的是A B C D二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．点P （1-，2）关于原点的对称点的坐标为________． 10．写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：________．11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 的延长线上一点．若∠B =110°，则∠ADE 的大小为________． 12．抛物线21y x x =--与x 轴的公共点的个数是________． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别为（0，2），（1-，0），将线段AB 绕点O 顺时针旋转，若点A 的对应点A '的坐标为（2，0），则点B 的对应点B '的坐标为________．14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4)y -，，2(1)y ，，则1y ________2y （填“＞”，“=”，或“＜”）．15．如图，⊙O 的半径OA 与弦BC 交于点D ，若OD =3，AD =2， BD =CD ，则BC 的长为________．lllll。

2017年-2018北京市海淀区初三年级第一学期期中数学试题（附答案解析）

2017年-2018北京市海淀区初三年级第⼀学期期中数学试题（附答案解析）AOA '海淀区九年级第⼀学期期中练习数学 2016.11学校姓名学号⼀、选择题（本题共30分，每⼩题3分）下⾯各题均有四个选项，其中只有⼀个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1．⼀元⼆次⽅程2320x x --=的⼆次项系数、⼀次项系数、常数项分别是 A ．3，1-，2- B ．3，1，2- C ．3，1-，2 D ．3，1，22．⾥约奥运会后，受到奥运健⼉的感召，群众参与体育运动的热度不减，全民健⾝再次成为了⼀种时尚，球场上也出现了更多年轻⼈的⾝影．请问下⾯四幅球类的平⾯图案中，是中⼼对称图形的是A B C D3．⽤配⽅法解⽅程2620x x ++=，配⽅正确的是A ．()239x += B ．()239x -= C ．()236x += D ．()237x +=4．如图，⼩林坐在秋千上，秋千旋转了80°，⼩林的位置也从 A 点运动到了A '点，则'OAA ∠的度数为 A ．40° B ．50° C ．70° D ．80°5．将抛物线22y x =平移后得到抛物线221y x =+，则平移⽅式为 A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位6．在△ABC 中，90C ?∠=，以点B 为圆⼼，以BC 长为半径作圆，点A 与该圆的位置关系为 A ．点A 在圆外 B ．点A 在圆内C ．点A 在圆上 D ．⽆法确定 7．若扇形的圆⼼⾓为60°，半径为6，则该扇形的弧长为C ．3πD ．4π 8．已知2是关于x 的⽅程230x ax a +-=的根，则a 的值为A ．4-B ．4C ．2D ．459．给出⼀种运算：对于函数nx y =，规定1-='n nx y ．例如：若函数41y x =，则有314y x '=．函数32y x =，则⽅程212y '=的解是A ．14x =，24x =-B ．123x =，223x =-C ．0==x xD ．2x =，2x =-10．太阳影⼦定位技术是通过分析视频中物体的太阳影⼦变化，确定视频拍摄地点的⼀种⽅法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对⽐视频中影⼦最短的时刻与同⼀天东经120度影⼦最短的时刻．在⼀定条件下，直杆的太阳影⼦长度l （单位：⽶）与时刻t （单位：时）的关系满⾜函数关系2l at bt c =++（a ，b ，c 是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影⼦最短时，最接近的时刻t 是A ．12.75B ．13C ．13.33D ．13.5⼆、填空题（本题共18分，每⼩题3分） 11．⽅程02=-x x 的解为．12．请写出⼀个对称轴为3x =的抛物线的解析式．13．如图，⽤直⾓曲尺检查半圆形的⼯件，其中合格的是图（填“甲”、“⼄”或“丙”），你的根据是_____________________________________________________________________________________________．14．若关于x 的⽅程220x x k --=有两个相等的实数根，则k 的值是．15．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C =45°，半径OB 的长为3，则AB 的长为．丙1413120.350.40.6Ol (⽶)t (时)CBAOyxO –1–2–3123–1–2–312316．CPI 指居民消费价格指数，反映居民家庭购买消费商品及服务的价格⽔平的变动情况．CPI 的涨跌率在⼀定程度受到季节性因素和天⽓因素的影响．根据北京市2015年与2016年CPI 涨跌率的统计图中的信息，请判断2015年1~8⽉份与2016年1~8⽉份，同⽉份⽐较CPI 涨跌率下降最多的⽉份是⽉；请根据图中提供的信息，预估北京市2016年第四季度CPI 涨跌率变化趋势是，你的预估理由是．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每⼩题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解⽅程：246x x +=．18．求抛物线22y x x =-的对称轴和顶点坐标，并画出图象．19．如图，A ，D 是半圆上的两点，O 为圆⼼，BC 是直径，∠D =35°，求∠OAC 的度数．D B O C A图220．已知：2230m m +-=．求证：关于x 的⽅程2220x mx m --=有两个不相等的实数根．21．如图，在等边△ABC 中，点D 是 AB 边上⼀点，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针⽅向旋转60°后得到CE ，连接AE ．求证：AE ∥BC ．22．如图1，在线段AB 上找⼀点C ，C 把AB 分为AC 和CB 两段，其中BC 是较⼩的⼀段，如果2BC AB AC ?=，那么称线段AB 被点C 黄⾦分割．⾦分割，已知太和殿到内⾦⽔桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离（5的近似值取2.2）．A C B图1B CDA EDOMB EC FA23．如图1是某公园⼀块草坪上的⾃动旋转喷⽔装置，这种旋转喷⽔装置的旋转⾓度为240°，它的喷灌区是⼀个扇形．⼩涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪⾯积，他测量出了相关数据，并画出了⽰意图．如图2，A ，B 两点的距离为18⽶，求这种装置能够喷灌的草坪⾯积．24．下表是⼆次函数2y ax bx c =++的部分x ，y 的对应值：x… 1-12-12 132 252 3 … y…m141-74- 2-74- 1-142…（1）⼆次函数图象的开⼝向，顶点坐标是，m 的值为；（2）当0x ＞时，y 的取值范围是；（3）当抛物线2y ax bx c =++的顶点在直线y x n =+的下⽅时，n 的取值范围是．25．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点A 作⊙O 的切线交BC的延长线于点F ，连接AE ．（1）求证：∠ABC =2∠CAF ；（2）过点C 作CM ⊥AF 于M 点，若CM = 4，BE = 6，求AE 的长．图1OA B240°图2xy–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O 26．⼩华在研究函数1y x =与22y x =图象关系时发现：如图所⽰，当1x =时，11y =，22y =；当2x =时，12y =，24y =；…；当x a =时，1y a =，22y a =．他得出如果将函数1y x =图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可以得到函数22y x =的图象．类⽐⼩华的研究⽅法，解决下列问题：（1）如果函数3y x =图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到的函数图象的表达式为；（2）①将函数2y x =图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数24y x =的图象；②将函数2y x =图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到图象的函数表达式为．（2）若抛物线与y 轴正半轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ，当△OAB 是等腰直⾓三⾓形时，求n 的值；（3）点C 的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC 有且只有⼀个交点，求n 的取值范围． xyy 2=2xOy 1=x–1–2–31234567–11234528．在菱形ABCD 中，∠BAD =α，E 为对⾓线AC 上的⼀点（不与A ，C 重合），将射线EB 绕点E 顺时针旋转β⾓之后，所得射线与直线AD 交于F 点．试探究线段EB 与EF 的数量关系．⼩宇发现点E 的位置，α和β的⼤⼩都不确定，于是他从特殊情况开始进⾏探究．（1）如图1，当α=β=90°时，菱形ABCD 是正⽅形．⼩宇发现，在正⽅形中，AC 平分∠BAD ，作EM ⊥AD 于M ，EN ⊥AB 于N ．由⾓平分线的性质可知EM =EN ，进⽽可得EMF ENB △≌△，并由全等三⾓形的性质得到EB 与EF 的数量关系为．（2）如图2，当α=60°，β=120°时，①依题意补②请帮⼩宇继续探究（1）的结论是否成⽴．若成⽴，请给出证明；若不成⽴，请举出反例说明；（3）⼩宇在利⽤特殊图形得到了⼀些结论之后，在此基础上对⼀般的图形进⾏了探究，设∠ABE =γ，若旋转后所得的线段EF 与EB 的数量关系满⾜（1）中的结论，请直接写出⾓α，β，γ满⾜的关系：．FD CA BEM CD A N B E图1 图2长度为点P 到AOB ∠的距离，记为()d P AOB ∠，．特别的，当点P 在AOB ∠的边上时，()0d P AOB ∠=，．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，A ()40，．（1）如图1，若M （0，2），N （1-，0），则()d M AOB ∠=，，()d N AOB ∠=，；（2）在正⽅形OABC 中，点B （4，4）．①如图2，若点P 在直线34y x =+上，且()22d P AOB ∠=，，求点P 的坐标；②如图3，若点P 在抛物线24y x =-上，满⾜()22d P AOB ∠=，的点P 有个，请你画出⽰意图，并标出点P ．图2xyy=3x+4CBA–1–2–3123456–1–2–3123456O21y xBAO 60°-12图3xyOCBA–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5123456789数学答案 2016．11⼀、选择题（本题共30分，每⼩题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACDBCA⼆、填空题（本题共18分，每⼩题3分）11．1201x x ==，； 12．()23y x =-（答案不唯⼀）；13．⼄，90°的圆周⾓所对的弦是直径； 14．1-； 15．32；16．8，第⼆空填“上涨”、“下降”、“先减后增”等，第三空要能⽀持第⼆空的合理性即可．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每⼩题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解法⼀：解：24410x x ++=， ----------------------------------------------------------------------------------1分 ()2210x +=， -------------------------------------------------------------------------------------3分210x =-±，1210x =-+，2210x =--． -------------------------------------------------------------5分解法⼆：解：2460x x +-=， ----------------------------------------------------------------------------------1分()2244416-4221b ac b x a-±-??-±-==， ----------------------------------------------------3分210x =-±，1210x =-+，2210x =--． -------------------------------------------------------------5分18．解：()211y x =--， -----------------------------------------------------------------------------------1分顶点为()11-，． ----------------------------------------------------------------------------------3分yxO –1–2–31223----------------------------------------------------------------------------5分19．解法⼀：解：∵35D ∠=°，∴35B D ∠=∠=°． ---------------------------------------------1分∵BC 是直径，∴90BAC ∠=°．∴90ACB ∠=°55ABC -∠=°． -------------------------------3分∵OA OC =，∴55OAC OCA ∠=∠=°． --------------------------------------5分解法⼆：解：∵35D ∠=°，∴270AOC D ∠=∠=°． ---------------------------------------------------------------------1分∵OA OC =，∴OAC OCA ∠=∠， ----------------------------------------------------------------------------3分∵180OAC OCA AOC ∠+∠+∠=°，∴55OAC ∠=°． ---------------------------------------------------------------------------------5分20．解：∵2230m m +-=，∴223m m +=． ---------------------------------------------------------------------------------1分∴248m m ?=+ -----------------------------------------------------------------------------------2分 ()242120m m =+=＞， ------------------------------------------------------------------4分∴原⽅程有两个不相等的实数根． -------------------------------------------------------------5分21．解：∵等边ABC △，∴AC BC =，60B ACB ∠=∠=°．DB O CAA E∵线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到CE ，∴CD CE =，60DCE ∠=°．∴DCE ACB ∠=∠．------------------------------------------------1分即1223∠+∠=∠+∠．∴13∠=∠． -----------------------------------------------------------------------------------------2分在BCD △与ACE △中，13BC AC CD CE =??∠=∠??=?，∴EAC ACB ∠=∠．--------------------------------------------------------------------------------4分∴AE BC ∥． --------------------------------------------------------------------------------------5分22．解：设太和门到太和殿的距离为x 丈， -----------------------------------------------------------1分由题意可得，()2100100x x =-. ----------------------------------------------------------------------------3分150505x =-+，250505x =--（舍）. --------------------------------------------4分 5050 2.260x ≈-+?=．答：太和门到太和殿的距离为60丈． ------------------------------------------------------------5分 23．解：过点O 作OC AB ⊥于C 点．∵OC AB ⊥，18AB =，∴192AC AB ==． ---------------------------------------1分∵OA OB =，360AOB ∠=°240-°120=°，∴1602AOC AOB ∠=∠=°． ---------------------------2分在Rt OAC △中，222OA OC AC =+，⼜∵12OC OA =，∴63r OA ==． -----------------------------------------4分∴240360S =πr 2=72π（m 2）．----------------------------------5分24．（1）上；()12-，；2；（说明：每空1分） ------------------------------------------------------3分 240°A C BO（3）3n >-． -------------------------------------------------------------------------------------------5分 25．（1）连接BD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=°． --------------------------1分∵AF 是⊙O 的切线，∴90BAF ∠=°.∴1290BAC BAC ∠+∠=∠+∠=°．∴12∠=∠. ∵AB=BC ，∴2122ABC ∠=∠=∠． ---------------------------------------------------------------------2分（2）∵12334∠=∠=∠∠=∠，，∴24∠=∠．∵AB 是直径，∴CE ⊥AE ．--------------------------------------------------------------------------------------------3分∵CM ⊥AF ，CM =4,∴CE =CM =4． --------------------------------------------------------------------------------------4分∵BE =6,∴AB =BC =BE +EC =10．在Rt △ABE 中，22221068AE AB BE =-=-=． ----------------------------------------------------5分26．（1）9y x =; -------------------------------------------------------------------------------------------1分（2）①4； ----------------------------------------------------------------------------------------------3分②214y x =． --------------------------------------------------------------------------------------5分27．（1）4-． ----------------------------------------------------------------------------------------------1分（2）241y x x n =-+-，4321AB EC FMOD()01A n -，，()20B ，　， ------------------------------------------------------------------2分 12n -=，3n =． --------------------------------------------------------------------------------------------3分（3）如图1，当抛物线顶点在x 轴上时，5n =，------------------------------------------------4分如图2，当抛物线过点C (3，0)时，4n =，--------------------------------------------------5分如图3，当抛物线过原点时，1n =， ---------------------------------------------------------6分结合图象可得，14n ≤<或5n =．------------------------------------------------------------7分–1–2–3123–1–2–3123O xyC –1–2–3123–1–2–3123y xO C –1–212345–1–2–3–412O xy C 28．（1）EB=EF ； ------------------------------------------------------------------------------------------1分（2）①；A BCDEF ---------------------------------------------------------------------2分②结论依然成⽴EB =EF ． -----------------------------------3分证法1：过点E 作EM ⊥AF 于M ，EN ⊥AB 于N ．∵四边形ABCD 为菱形，∴12∠=∠．∵EM ⊥AF ，EN ⊥AB ．∴=90FME N ∠=∠°，EM=EN ． -------------------4分∵60BAD ∠=°，120BEF ∠=°，∴3360F ∠+∠=°180BAD BEF -∠-∠=°．∵3180EBN ∠+∠=°，∴F EBN ∠=∠．------------------------------------------------------------------------------5分在△EFM 与△EBN 中，F EBN FME N EM EN ∠=∠??∠=∠??=?，，，∴△EFM ≌△EBN ．321NM F EDC图2 图3证法2：连接ED∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =AB ，∠DAC =∠BAE ．⼜∵AE =AE , ∴△ADE ≌△ABE ．∴ED =EB ，∠ADE =∠ABE ． ------------------------4分⼜∵∠DAB =60°，∠BEF =120°．∴∠F +∠ABE =180°．⼜∵∠ADE +∠FDE =180°， --------------------------5分∴∠F =∠FDE ．∴EF =ED ．∴EF =EB ． -------------------------------------------------------------------------------------6分（3）+=180αβ°或++=18022αβγ°． ------------------------------------------------------7分29．（1）1；1．（说明：每空1分） --------------------------------------------------------------------2分（2）①如图，点P 在EF 上时，OP =22，设P （x ，3x +4），()22348x x ++=，12225x x =-=-，（舍），P ()22--，， --------------------------------4分点P 在射线FG 上时，P 到射线OB 的距离为22，点P 与点C 重合，P ()04，， -------------------------------------5分∴P ()22--，，()04，．②4． -------------------------------------------------------------------------------------------------6分F E D CB A y xGFE–1–2–312345–1–2–3–4–51BCxy CBAO –1–2–312345–1–2–3–4–512345P 4P 2P 1P 3-------------------------------------------------------------8分（说明：每标对两个点得1分）1、发⽣以下情形，本协议即终⽌：(1)、公司因客观原因未能设⽴;(2)、公司营业执照被依法吊销;(3)、公司被依法宣告破产;(4)、甲⼄丙三⽅⼀致同意解除本协议。

2017-2018学年北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷

23．（5 分）古代丝绸之路上的花刺子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家﹣﹣“代数学之
父”阿尔•花拉子米．在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式
来证明曾用数字解释过的问题的正确性”．
以 x2+10x＝39 为例，花拉子米的几何解法如下：
如图，在边长为 x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为 x 和 5 的矩的坐标为
；
（2）请判断点 D 是否在直线 l 上，并说明理由；
（3）记函数 y＝
的图象为 G，点 M（0，t），过点 M 垂直于 y 轴的直
线与图象 G 交于点 P（x1，y1），Q（x2，y2）．当 1＜t＜3 时，若存在 t 使得 x1+x2＝4 成立，结合图象，求 k 的取值范围．
A．y＝x2+1
B．y＝x2﹣1
C．y＝﹣x2+1
D．y＝﹣x2﹣1
3．（3 分）如图，A，B，C 是⊙O 上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB 的度数为（）
A．35°
B．55°
C．65°
4．（3 分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（
D．70° ）
A．
B．
C．
D．
5．（3 分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）
﹣6，﹣1．
故选：D．
【点评】考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c 是常数且 a≠0）特别
要注意 a≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2 叫二次项，
bx 叫一次项，c 是常数项．其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．（3 分）把抛物线 y＝x2 向上平移 1 个单位长度得到的抛物线的表达式为（）

2018-2019学年北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷含答案解析

2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（2分）（2019•武汉模拟）抛物线y＝x2+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝0D．直线y＝1 2．（2分）（2018秋•门头沟区期末）点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）3．（2分）（2018秋•海淀区期中）下列App图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）（2018秋•海淀区期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（）A．（x﹣1）2＝3B．（x﹣1）2＝4C．（x﹣1）2＝5D．（x+1）2＝3 5．（2分）（2018秋•上杭县期末）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）A．2B．2C．D．26．（2分）（2018秋•克东县期末）将抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．27．（2分）（2018秋•槐荫区期末）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（）A．B．C．D．8．（2分）（2018秋•海淀区期中）已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018秋•海淀区期中）写出一个以0和2为根的一元二次方程：．10．（2分）（2001•济南）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac0（填“＞”或“＝”或“＜”）．11．（2分）（2018秋•海淀区期中）若关于x的方程x2﹣4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．12．（2分）（2018秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C＝70°，则∠ADE的大小为．13．（2分）（2018秋•海淀区期中）已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．14．（2分）（2018秋•海淀区期中）在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x，依题意，可列方程为．15．（2分）（2018秋•冷水江市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值．16．（2分）（2018秋•海淀区期中）如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABCα中，一定成立的是（填序号）．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）17．（5分）（2018秋•海淀区期中）解方程：x（x+2）＝3x+6．18．（5分）（2018秋•海淀区期中）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C 三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．19．（5分）（2018秋•上杭县期末）下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接正三角形．作法：如图，①作直径AB；②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．根据小董设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC＝OB＝BC，∴△OBC为等边三角形（）（填推理的依据）．∴∠BOC＝60°．∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝120°．同理∠AOD＝120°，∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．∴AC＝CD＝AD（）（填推理的依据）．∴△ACD是等边三角形．20．（5分）（2018秋•海淀区期中）已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，求a2﹣b2+2b的值．21．（5分）（2018秋•海淀区期中）生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O为圆心AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为0.8a，顶棚到路面的距离是3.2a，点B到路面的距离为2a．请你求出路面的宽度l．（用含a的式子表示）22．（5分）（2018秋•海淀区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+ax+b 经过点A（﹣2，0），B（﹣1，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C，直接写出点C的坐标和∠BOC的度数．23．（6分）（2016秋•东丽区期末）如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y与x的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24．（6分）（2018秋•海淀区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．25．（6分）（2018秋•海淀区期中）有这样一个问题：探究函数y的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x≥3时，y＝，当x＜3时y＝；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：．26．（6分）（2018秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．（1）当a＝﹣1时，求A，B两点的坐标；（2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C．①当a＝2时，求PB+PC的值；②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．27．（7分）（2018秋•海淀区期中）已知∠MON＝α，P为射线OM上的点，OP＝1．（1）如图1，α＝60°，A，B均为射线ON上的点，OA＝1，OB＞OA，△PBC为等边三角形，且O，C两点位于直线PB的异侧，连接AC．①依题意将图1补全；②判断直线AC与OM的位置关系并加以证明；（2）若α＝45°，Q为射线ON上一动点（Q与O不重合），以PQ为斜边作等腰直角△PQR，使O，R两点位于直线PQ的异侧，连接OR．根据（1）的解答经验，直接写出△POR的面积．28．（7分）（2018秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴外的一点，若平面内的点B满足：线段AB的长度与点A到x轴的距离相等，则称点B是点A的“等距点”．（1）若点A的坐标为（0，2），点P1（2，2），P2（1，﹣4），P3（，1）中，点A 的“等距点”是；（2）若点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，求点A的坐标；（3）记函数y x（x＞0）的图象为L，⊙T的半径为2，圆心坐标为T（0，t）．若在L上存在点M，⊙T上存在点N，满足点N是点M的“等距点”，直接写出t的取值范围．2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（2分）（2019•武汉模拟）抛物线y＝x2+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝0D．直线y＝1【解答】解：∵抛物线y＝x2+1，∴抛物线对称轴为直线x＝0，即y轴，故选：C．2．（2分）（2018秋•门头沟区期末）点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）【解答】解：点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，1），故选：A．3．（2分）（2018秋•海淀区期中）下列App图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．此图案是轴对称图形，不符合题意；B．此图案既不是中心对称图形也不是轴对称图形，符合题意；C．此图案是轴对称图形，不符合题意；D．此图案是中心对称图形，不符合题意；故选：B．4．（2分）（2018秋•海淀区期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（）A．（x﹣1）2＝3B．（x﹣1）2＝4C．（x﹣1）2＝5D．（x+1）2＝3【解答】解：∵x2﹣2x﹣4＝0∴x2﹣2x＝4∴x2﹣2x+1＝4+1∴（x﹣1）2＝5故选：C．5．（2分）（2018秋•上杭县期末）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）A．2B．2C．D．2【解答】解：如图：连接OP，AO∵AB是⊙O切线∴OP⊥AB，∴AP＝PB AB在Rt△APO中，AP∴AB＝2故选：A．6．（2分）（2018秋•克东县期末）将抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【解答】解：新抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣2+a＝x2+2x﹣1+a，∵新抛物线恰好与x轴有一个交点，∴△＝4﹣4（﹣1+a）＝0，解得a＝2．故选：D．7．（2分）（2018秋•槐荫区期末）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．此图案绕中心旋转36°或36°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；B．此图案绕中心旋转45°或45°的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意；C．此图案绕中心旋转60°或60°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；D．此图案绕中心旋转72°或72°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；故选：B．8．（2分）（2018秋•海淀区期中）已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定【解答】解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，∴y3最小，y1最大，故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018秋•海淀区期中）写出一个以0和2为根的一元二次方程：x2﹣2x＝0．【解答】解：∵0+2＝2，0×2＝0，所以以0和2为根的一元二次方程为x2﹣2x＝0，故答案为：x2﹣2x＝0．10．（2分）（2001•济南）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac＜0（填“＞”或“＝”或“＜”）．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0．故答案为＜．11．（2分）（2018秋•海淀区期中）若关于x的方程x2﹣4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜5．【解答】解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）＞0，解得k＜5．故答案为k＜5．12．（2分）（2018秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C＝70°，则∠ADE的大小为110°．【解答】解：∵∠C＝70°，AB∥CD，∴∠B＝110°∴∠ADE＝110°．故答案为：110°．13．（2分）（2018秋•海淀区期中）已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是钝角三角形（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．【解答】解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．又∵O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，∴△ABC是钝角三角形，故答案为钝角三角形．14．（2分）（2018秋•海淀区期中）在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x，依题意，可列方程为45.1（1+x）2＝172.9．【解答】解：设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x，根据题意得：45.1（1+x）2＝172.9．故答案为：45.1（1+x）2＝172.9．15．（2分）（2018秋•冷水江市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值2（答案不唯一）．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，∴当y＜0的x的取值范围是：1＜x＜3，∴x的值可以是2．故答案是：2（答案不唯一）．16．（2分）（2018秋•海淀区期中）如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABCα中，一定成立的是①③（填序号）．【解答】解：如图，连接OC，设OB交CD于K．∵AB＝CD，OD＝OC＝OB＝OA，∴△AOB≌△COD（SSS），∴∠CDO＝∠OBA，∵∠DKO＝∠BKE，∴∠DOK＝∠BEK＝α，即∠BOD＝α，故①正确，不妨设，∠OAB＝90°﹣α，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OBE+∠BEK＝90°，∴∠BKE＝90°，∴OB⊥CD，显然不可能成立，故②错误，∵CD＝AB，∴，∴，∴∠ABC∠DOBα，故③正确．故答案为①③．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）17．（5分）（2018秋•海淀区期中）解方程：x（x+2）＝3x+6．【解答】解：x（x+2）﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x﹣3）＝0，x+2＝0或x﹣3＝0，所以x1＝﹣2，x2＝3．18．（5分）（2018秋•海淀区期中）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C 三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．【解答】证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，∴△ABC≌△DBE∴BA＝BD．∴∠A＝∠ADB．∵∠A＝∠BDE，∴∠ADB＝∠BDE．∴DB平分∠ADE．19．（5分）（2018秋•上杭县期末）下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接正三角形．作法：如图，①作直径AB；②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．根据小董设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC＝OB＝BC，∴△OBC为等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）（填推理的依据）．∴∠BOC＝60°．∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝120°．同理∠AOD＝120°，∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．∴AC＝CD＝AD（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等）（填推理的依据）．∴△ACD是等边三角形．【解答】（1）解：如图，△ACD为所作；（2）证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC＝OB＝BC，∴△OBC为等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）．∴∠BOC＝60°．∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝120°．同理∠AOD＝120°，∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．∴AC＝CD＝AD（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），∴△ACD是等边三角形．故答案为三条边都相等的三角形是等边三角形；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等．20．（5分）（2018秋•海淀区期中）已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，求a2﹣b2+2b的值．【解答】解：∵﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，∴1﹣a﹣b＝0，∴a+b＝1，∴a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b＝a﹣b+2b＝a+b＝1．21．（5分）（2018秋•海淀区期中）生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O为圆心AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为0.8a，顶棚到路面的距离是3.2a，点B到路面的距离为2a．请你求出路面的宽度l．（用含a的式子表示）【解答】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：AB＝0.8a+3.2a+2a＝6a，所以OC＝OB＝3a，OE＝OB﹣BE＝3a﹣2a＝a，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过O，∴CD＝2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE2a，∴CD＝2CE＝4a，所以路面的宽度l为4a．22．（5分）（2018秋•海淀区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+ax+b 经过点A（﹣2，0），B（﹣1，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C，直接写出点C的坐标和∠BOC的度数．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+ax+b经过点A（﹣2，0），B（﹣1，3），∴，解得，∴y＝x2+6x+8．（2）∵y＝x2+6x+8＝（x+3）2﹣1，∴顶点C坐标为（﹣3，﹣1），∵B（﹣1，3）．∴OB2＝12+32＝10，OC2＝32+12＝10，BC2＝[（﹣3）﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，∴OB2+OC2＝BC2，则△OBC是以BC为斜边的直角三角形，∴∠BOC＝90°．23．（6分）（2016秋•东丽区期末）如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y与x的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．【解答】解：（1）∵大长方形的周长为6m，宽为xm，∴长为m，∴y＝x•（0＜x＜2），（2）由（1）可知：y和x是二次函数关系，a＜0，∴函数有最大值，当x时，y最大m2．答：窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2．24．（6分）（2018秋•海淀区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ADO，∴∠1＝∠ADO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∴OD⊥ED，∵OD过0，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，CD＝BD，∵CD＝BF，∴BF＝BD，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠4＝2∠3，∵∠ODF＝90°，∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠2＝∠1＝30°，∴∠2＝∠F，∴DF＝AD，∵∠1＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2ED，∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，∴AD＝2，∴DF＝2．25．（6分）（2018秋•海淀区期中）有这样一个问题：探究函数y的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x≥3时，y＝x，当x＜3时y＝3；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：a＜0或a≥1或a．【解答】解：（1）当x≥3时，y x；当x＜3时，y3；故答案为x，3；（2）根据（1）中的结果，画出函数y的图象如下：（3）根据画出的函数图象，当a＜0时，直线y＝ax+1与函数y只有一个交点；当a≥1时，直线y＝ax+1与函数y＝3（x＜3）的图象有一个交点，与函数y＝x（x ≥3）无交点；当a时，直线y x+1经过点（3，3）．故若关于x的方程ax+1只有一个实数根，实数a的取值范围：a＜0或a≥1或a，故答案为a＜0或a≥1或a．26．（6分）（2018秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．（1）当a＝﹣1时，求A，B两点的坐标；（2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C．①当a＝2时，求PB+PC的值；②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，有y＝﹣x2﹣2x．令y＝0，得：﹣x2﹣2x＝0．解得x1＝0，x2＝﹣2．∵点A在点B的左侧，∴A（﹣2，0），B（0，0）．（2）①当a＝2时，有y＝2x2﹣2x．令y＝0，得2x2﹣2x＝0．解得x1＝0，x2＝1．∵点A在点B的左侧，∴A（0，0），B（1，0）．∴PB＝2．当x＝3时，y C＝2×9﹣2×3＝12．∴PC＝12．∴PB+PC＝14．②点B在直线l左侧，∵PB+PC≥14，∴3﹣x+ax2﹣2x≥14，可得：a或a≥2，由题意得A（0，0），B（，0）又A在B的左侧，所以a只可能大于0结合图象和①的结论，可得：a＞0时，a≥2，27．（7分）（2018秋•海淀区期中）已知∠MON＝α，P为射线OM上的点，OP＝1．（1）如图1，α＝60°，A，B均为射线ON上的点，OA＝1，OB＞OA，△PBC为等边三角形，且O，C两点位于直线PB的异侧，连接AC．①依题意将图1补全；②判断直线AC与OM的位置关系并加以证明；（2）若α＝45°，Q为射线ON上一动点（Q与O不重合），以PQ为斜边作等腰直角△PQR，使O，R两点位于直线PQ的异侧，连接OR．根据（1）的解答经验，直接写出△POR的面积．【解答】解：（1）①如图所示：②结论：AC∥OM．．理由：连接AP∵OA＝OP＝1，∠POA＝60°，∴△OAP是等边三角形．∴OP＝P A，∠OP A＝∠OAP＝60°，∵△PBC是等边三角形，∴PB＝PC，∠BPC＝60°，∴∠OP A+∠APB＝∠BPC+∠APB，即∠OPB＝∠APC，∴△OBP≌△ACP（SAS）．∴∠P AC＝∠O＝60°，∴∠OP A＝∠P AC，∴AC∥OM．（2）作PH⊥OQ于H，取PQ的中点K，连接HK，RK．∵∠PHQ＝∠PRQ＝90°，PK＝KQ，∴HK＝PK＝KQ＝RK，∴P，R，Q，H四点共圆，∴∠RHQ＝∠RPQ＝45°，∴∠RHQ＝∠POQ＝45°，∴RH∥OP，∴S△POR＝S△POH．28．（7分）（2018秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴外的一点，若平面内的点B满足：线段AB的长度与点A到x轴的距离相等，则称点B是点A的“等距点”．（1）若点A的坐标为（0，2），点P1（2，2），P2（1，﹣4），P3（，1）中，点A 的“等距点”是P1，P3；（2）若点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，求点A的坐标；（3）记函数y x（x＞0）的图象为L，⊙T的半径为2，圆心坐标为T（0，t）．若在L上存在点M，⊙T上存在点N，满足点N是点M的“等距点”，直接写出t的取值范围．【解答】解：（1）∵AP1＝2﹣0＝2，AP2，AP32，∴点A的“等距点”是P1，P3．故答案为：P1，P3．（2）∵点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，∴AM＝AN，∴点A在线段MN的垂直平分线上．设MN与其垂直平分线交于点C，点A的坐标为（m，n），如图1所示．∵点M（1，2），点N（1，8），∴点C的坐标为（1，5），AM＝AN＝n＝5，∴CM＝3，AC4，∴m＝1﹣4＝﹣3或m＝1+4＝5，∴点A的坐标为（﹣3，5）或（5，5）．（3）依照题意画出图象，如图2所示．①当⊙T1过点O时，⊙T1与L没有交点，∵⊙T1的半径为2，∴此时点T1的坐标为（0，﹣2）；②当⊙T2上只有一个点M的“等距点”时，过点T2作T2M⊥图象L于点M，交⊙T2于点N，过点M作MD⊥x轴于点D，∵图象L的解析式为y x（x＞0），∴∠MOT＝60°，∠OT2M＝30°．∵点T2的坐标为（0，t），∴OM t，DM OM t，T2M t．由“等距点”的定义可知：MN＝T2M﹣T2N＝DM，即t﹣2t，解得：t．综上所述：t的取值范围为﹣2＜t．。

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2018-2019学度海淀区初三年中统考数学试题与解析数学试卷〔分数：120分时间：120分钟〕2018、11学校姓名准考证号【一】选择题〔此题共30分，每题3分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的、请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置、1、一元二次方程230x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A 、2,1,3B 、2,1,3-C 、2,1,3-D 、2,1,3-- 2、以下图形是中心对称图形的是A 、B 、C 、D 、3、二次函数2(+1)2y x =--的最大值是A 、2-B 、1-C 、1D 、24、⊙O 的半径是4，OP 的长为3，那么点P 与⊙O 的位置关系是 A 、点P 在圆内 B 、点P 在圆上 C 、点P 在圆外D 、不能确定5、将抛物线2y x =沿y 轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为A 、22y x =+B 、22y x =-C 、()22y x =+D 、()22y x =-6、扇形的半径为6，圆心角为60︒，那么这个扇形的面积为 A 、9πB 、6πC 、3πD 、π7、用配方法解方程243x x +=，以下配方正确的选项是A 、()221x -=B 、()227x -=C 、()227x +=D 、()221x +=8、二次函数c bx ax y ++=2的图象如下图，那么以下选项中不．正确的选．．．．项是．．A 、0a <B 、0c >C 、0<12ba-<D 、0a b c ++<9、如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径、假设 33=∠DBC ，那么A ∠等于A 、33B 、57C 、67D 、6610、小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y 〔米〕与旋转时间x 〔分〕之间的关系可以近似地用二次函数来刻画、经测试得出部分数据如下表：以下选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是 A 、7分B 、6、5分C 、6分D 、5、5分【二】填空题〔此题共18分，每题3分〕11、方程240x -=的解为_______________、12、请写出一个开口向上且经过〔0,1〕的抛物线的解析式_________、13、假设二次函数225y x =-的图象上有两个点(2,)A a 、(3,)B b ，那么a____b 〔填“<”或“=”或“>”〕、14、如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC =100°，那么∠ABC =______°、 15、用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上〔如示意图〕，假设四周下垂的最大长度相等，那么这个最大长度x 为_______取1、4〕、16、如图，O 是边长为1的等边△ABC 的中心，将AB 、BC 、CA 分别绕点A 、点B 、点C 顺时针旋转α〔0180α︒<<︒〕，得到'AB 、'BC 、'CA ，连接''A B 、''B C 、''A C 、'OA 、'OB 、〔1〕''A OB ∠=_______〬；〔2〕当α= 〬时，△'''A B C 的周长最大、【三】解答题〔此题共72分，第17~26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕17、解方程：232x x =-、18．假设抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值、 19．点〔3,0〕在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，求此抛物线的对称轴、20．如图，AC 是⊙O 的直径，PA ,PB 是⊙O 的切线，A ,B 为切点， 25=∠BAC 、求∠P 的度数、21．x =1是方程2250x ax a -+=的一个根，求代数式23157a a --的值、22、一圆柱形排水管的截面如下图，排水管的半径为1m ，水面宽AB 为1、6m 、由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1、2m ，求水面下降的高度、 23、关于x 的方程)0(0)3(32>=---a a x a x 、〔1〕求证：方程总有两个不相等的实数根；〔2〕假设方程有一个根大于2，求a 的取值范围、24、在设计人体雕像时，假设使雕像的上部〔腰以上〕与下部〔腰以下〕的高度的比等于下部与全部〔全身〕的高度比，那么可以增加视觉美感、按此比例，如果雕像的高为2m ，那取2、2〕、25、AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的弦，AB =2，AC AD =1，求∠CAD 的度数、 26、抛物线21y x bx c =++与直线22y x m =-+相交于A (2,)n -、B (2,3)-两点、〔1〕求这条抛物线的解析式；〔2〕假设14≤≤-x ，那么21y y -的最小值为________、 27、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点D 、P 为AB 延长线上一点，2PCD BAC ∠=∠、〔1〕求证：CP 为⊙O 的切线；〔2〕BP =1，CP =、①求⊙O 的半径；②假设M 为AC 上一动点，那么OM +DM 的最小值为、 28、探究活动：利用函数(1)(2)y x x =--的图象〔如图1〕和性质，探究函数y =象与性质、下面是小东的探究过程，请补充完整：〔1〕函数y =x 的取值范围是___________；〔2〕如图2，他列表描点画出了函数y =象；图1图2 解决问题：104x b -=的两根为1x 、2x ，且12x x <，方程21324x x x b -+=+的两根为3x 、4x ，且34x x <、假设1b <<1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系为〔用“<”连接〕、29、在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的⊙O 与x 轴负半轴交于点A ，点M 在⊙O 上，将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q 、点N 为x 轴上一动点〔N 不与A 重合〕，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P 、PQ 与x 轴所夹锐角为α、（1）如图1，假设点M 的横坐标为21，点N 与点O 重合，那么α=________︒；（2）假设点M 、点Q 的位置如图2所示，请在x 轴上任取一点N ，画出直线PQ ，并求α的度数；（3）当直线PQ 与⊙O 相切时，点M 的坐标为_________、图1图2备用图海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷参考答案【一】选择题〔此题共30分，每题3分〕【三】解答题〔此题共72分，第17~26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕17、解：2320.x x -+=……………………………………………1分0)2)(1(=--x x 、……………………………………………3分∴01=-x 或02=-x 、∴2,121==x x 、………………………………………………………5分 18、解：∵抛物线a x x y ++=32与x 轴只有一个交点，∴0∆=，………………………………………2分即940a -=、……………………………………………4分 ∴49=a 、……………………………………………5分 19、解：∵点〔3,0〕在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，∴k k -++⨯-=)3(33302、………………………………………2分 ∴9=k 、……………………………………………3分 ∴抛物线的解析式为91232-+-=x x y 、∴对称轴为2=x 、……………………………………………5分20、解：∵PA ,PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB 、………………………………………1分∴PBA PAB ∠=∠、………………………………………2分 ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA ⊥PA 、∴90=∠PAC º、………………………………………3分 ∵25=∠BAC º，∴65=∠PAB º、………………………………………4分∴502180=∠-=∠PAB P º、………………………………………5分 21、解：∵1=x 是方程0522=+-a ax x 的一个根，∴0512=+-a a 、………………………………………2分∴152-=-a a 、…………………………………………3分 ∴原式7)5(32--=a a ………………………………………4分10-=、………………………………………5分22、解：如图，下降后的水面宽CD 为1、2m ，连接OA ,OC ，过点O作ON ⊥CD 于N ，交AB 于M 、…………………………1分∴90ONC ∠=º、∵AB ∥CD ，∴90OMA ONC ∠=∠=º、 ∵ 1.6AB =， 1.2CD =， ∴10.82AM AB ==，10.62CN CD ==、…………………………2分在Rt △OAM 中， ∵1OA =，∴0.6OM ==、………………………………3分同理可得0.8ON =、………………………………4分∴0.2.MN ON OM =-=答：水面下降了0、2米、…………………………5分23、〔1〕证明：22)3()(34)3(+=-⨯⨯--=∆a a a 、……………………………1分∵0>a ， ∴2(3)0a +>、即0>∆、∴方程总有两个不相等的实数根、……………………………………………2分〔2〕解方程，得3,121ax x =-=、……………………………………………4分 ∵方程有一个根大于2，∴23>a、 ∴6>a 、……………………………………………5分24、解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有2::BC BC AC =，即AC BC 22=、设BC 为x m 、…………………………………1分依题意，得)2(22x x -=、、………………………………………3分解得,511+-=x 512--=x 〔不符合题意，舍去〕、……4分1 1.2≈、答：雕像的下部应设计为1、2m 、…………………………5分25、解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC 、………1分∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=º、在Rt △ACB 中，∵2=AB ，AC =∴BC =、∴45BAC ∠=º、………………2分 ∵1OA OD AD ===，∴60BAD ∠=º、………………3分∴105CAD BAD BAC ∠=∠+∠=º、………………4分当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得45BAC ∠=︒，60BAD ∠=︒、∴15CAD BAD BAC ∠=∠-∠=º、∴CAD ∠为15º或105º、…………………5分26、解：〔1〕∵直线m x y +-=22经过点B 〔2，-3〕，∴m +⨯-=-223、∴1=m 、……………………………………………1分 ∵直线22y x m =-+经过点A 〔-2，n 〕，∴5n =、……………………………………………2分 ∵抛物线21y x bx c =++过点A 和点B ，∴⎩⎨⎧++=-+-=.243,245c b c b∴⎩⎨⎧-=-=.3,2c b∴3221--=x x y 、……………………………………………4分〔2〕12-、……………………………………………5分 27、〔1〕证明：连接OC 、……………………………1分∵∠PCD =2∠BAC ，∠POC =2∠BAC ，∴∠POC =∠PCD 、……………………………2分 ∵CD ⊥AB 于点D ，∴∠ODC =90︒、∴∠POC+∠OCD =90º、 ∴∠PCD+∠OCD =90º、 ∴∠OCP =90º、 ∴半径OC ⊥CP 、∴CP 为⊙O 的切线、……………………………………………3分〔2〕解：①设⊙O 的半径为r 、在Rt △OCP 中，222OC CP OP +=、∵1,BP CP ==∴222(1)r r +=+、………………………4分解得2r =、∴⊙O 的半径为2、……………………………………………5分②3、……………………………………………7分 28、解：〔1〕1x ≤或2x ≥；……………………………………………2分〔2〕如下图：……………………………………5分1342x x x x <<<、、……………………………………………7分29、解：〔1〕60、……………………………………………2分〔2〕、……………………………………………3分连接,MQ MP 、记,MQ PQ 分别交x 轴于,E F 、∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴△MAQ 和△MNP 均为等边三角形、………………4分∴MA MQ =，MN MP =，60AMQ NMP ∠=∠=︒、 ∴AMN QMP ∠=∠、∴△MAN ≌△MQP 、、………………………………5分 ∴MAN MQP ∠=∠、 ∵AEM QEF ∠=∠，∴60QFE AMQ ∠=∠=︒、∴60α=︒、、 (6)〔3〕〔2，12〕或〔2-12-〕、………………………8分。

2017-2018学年北京市海淀区九年级上期中数学试题含答案

初三第一学期期中学业水平调研数学2017.11学校班级___________姓名成绩一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．题号答案12 3 4 5 6 7 81．一元二次方程 3x 2 6 x 1 0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A ．3，6，1B ．3，6，1C ．3， 6，1D ．3， 6，12．把抛物线 y x 向上平移 1 个单位长度得到的抛物线的表达式为A ． y x 1C ． yx 1B ． y x 1D ． yx 13．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点. 若∠C =35°，则∠AOB 的C大小为 A ．35° B ．55° C ．65° D ．70° 4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是OA BAB C D5．用配方法解方程 x 2 4 x 2 0 ，配方正确的是A ．x 222B ．x 222C ．x 22D ．x 266．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么 n 的值可能是A ．45B ．60C ．90D ．1207．二次函数yax 2 bx c与一次函数y mx n的图象如图所示，则满足．． 2 222 2 22ax2bx c mx n的x的取值范围是A．3x 0C．x 3或x 1 8．如图1，动点P从格点AB．x 3或x 0D．0x 3出发，在网格平面内运动，设点P走过的路程为s，点P到直线l的距离为d.已知d与s的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P的运动路线的是l d43A21 l l l lO图1A A A AA B C D二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．点P（1，2）关于原点的对称点的坐标为________．12345图2s10．写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：________．A B11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD的延长线上一点．若∠B=110°，则∠ADE的大小为________．OE D C12．抛物线y x2x 1与x轴的公共点的个数是________．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（1，0），将线段AB绕点O顺时针旋转，若y A点A的对应点A的坐标为（2，0），则点B的对应点B 的坐标为________．BO A'x14．已知抛物线y x22x经过点(4，y )，(1，y )12，则y 1________y（填“＞”，“=”，或“＜”）．215．如图，⊙O的半径OA与弦BC交于点D，若OD=3，AD=2，BD=CD，则BC的长为________．OB DAC16．下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知△：ABC．AB C 求作：BC边上的高AD．作法：如图，1（1）分别以点A和点C为圆心，大于AC的2长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；A POD Q B C（2）作直线PQ，交AC于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是_______________________________________________．三、解答题（本题共72分，第17题4分，第18~23题，每小题5分，第24~25题，每小题7分，第26~ 28题，每小题8分）17．解方程：x24x 30．18．如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是线段BC上的点，CD=2，以AD 为边作等边三角形ADE，连接CE．求CE的长．AEB D C19．已知m 是方程x23x 10的一个根，求m 32m 2m 2的值．20．如图，在⊙O中，AB CD．求证：∠B=∠C．BO C A D21．如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形A EFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG=2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃A EFG的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为_____________________（不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？A D GEH FB C22．关于x的一元二次方程x22m 1x m210有两个不相等的实数根x,x12．（1）求实数m的取值范围；（2）是否存在实数m，使得x x 012由．成立？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理23．古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家——“代数学之父”阿尔·花拉子米．在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”．»»以x210x 39为例，花拉子米的几何解法如下：如图，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和x55的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为x xx55x ____239____，从而得到此方程的正根是________．524．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），点P 的横坐标为2，将点A绕点P旋转，使它的对应点B恰好落在x轴上（不与A点重合）；再B绕点O逆时针旋转90°得到点C．（1）直接写出点B和点C的坐标；（2）求经过A，B，C三点的抛物线的表达式．yPO A x将点25．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点O作OD⊥BC交BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB=6，求四边形CAOD的面积．C DEA O B26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y x24x 4和直线l：y kx 2k(k 0)．（1）抛物线C的顶点D的坐标为________；（2）请判断点D是否在直线l上，并说明理由；x 2 4x 4，x 2,（3）记函数ykx 2k，x 2的图象为G，点M(0,t)，过点M垂直于y轴的直线与图象G交于点P(x，y )11，Q(x，y)22．当1t 3时，若存在t使得x x124成立，结合图象，求k的取值范围．y6543x27．对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d，到y轴的距1离为d2，若d d12，则称d1为点P的“引力值”；若d d12，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．例如，点P（2力值”为2．，3）到x 轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为23，所以点P的“引（1）①点A（1，4）的“引力值”为________；②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为________；（2）若点C在直线y 2x 4y8765432上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；1–4 –3–2–1O–1–2–3–412345678xy8765（3）已知点M是以D（3，4）为圆心，半径为2上的一个动点，那么点M的“引力值”d 4321的圆的取值范围是．–4 –3–2–1O–112345678x–2–3–428．在△R t ABC中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为点O，△将ABC绕点O 顺时针旋转至△DCE，连接BD，BE，如图所示．（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是________（填出满足条件的的角的序号）；（2）若∠A=α，求∠BEC 的大小（用含 α 的式子表示）；（3）点 N 是 BD 的中点，连接 MN ，用等式表示线段 MN 与 BE 之间的数量关系，并证明．ADMNBCEO初三第一学期期中学业水平调研数学参考答案一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）2017．11题号答案1D 2A 3D 4B 5A 6D 7A 8D二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分）9．（1，2 ）10．答案不唯一，例如yx211．110°12．213．（0，1）14．＞15．816．①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线．（注：写出前两个即可给 3 分，写出前两个中的一个得 2 分，其余正确的理由得 1 分）三、解答题（本题共 72 分）17．解法一：解： x2 4 x 4 1，x 221，………………2 分x 21，x11，x3 2．………………4 分解法二：解：x 1x 3，………………2 分x 10或 x 3 0，18．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB =BC =AC ，∠BAC =60°. ∴∠1+∠3=60°.………………1 分 ∵△ADE 是等边三角形，A1 3 2∴AD =AE ，∠DAE =60°.∴∠2+∠3=60°.………………2 分E∴∠1=∠2.在△ABD 与△ACE 中AB AC12 ，BDCAD AE ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）. ∴CE =BD .………………4 分 ∵BC =3，CD =2， ∴BD =BC -CD =1.∴CE =1．………………5 分 19．解：∵m 是方程 x 3 x 1 0的一个根，∴ m 23m 1 0.………………2 分∴ m 2 3m1 .∴原式m 2 6m 9 m 2m 23m 53 ．………………5 分24………………4 分20．方法 1：AB CD ，证明：∵在⊙O 中，∴∠AOB =∠COD .………………2 分 ∵OA =OB ，OC =OD ， 1∴在△AOB 中， B 90 AOB ， 21在△COD 中， C 90COD .………………4 分 2BOCAD∴∠B =∠C ．………………5 分方法 2：证明：∵在⊙O 中， AB CD，∴AB =CD .………………2 分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴△AOB ≌△COD （SSS ）.………………4 分 ∴∠B =∠C ．………………5 分2» »» »）………………3分21．解：（1）y 2x24x 16（或y4x 42x（2）由题意，原正方形苗圃的面积为16平方米，得2x24x 1616.解得：x 2，x 0（不合题意，舍去）.………………5分12答：此时BE的长为2米.有两个不相等的实数根，22．解：（1）∵方程x22m 1x m 210∴4，m 124m 218m 80∴m 1．………………2分0.（2）存在实数m使得x x12x x 0，即是说0是原方程的一个根，则m210.………………3分12解得：m 1或m 1.………………4分当m 1时，方程为x20，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去．∴m．………………5分123．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为x 5………………1分23925………………3分从而得到此方程的正根是3．………………5分24．（1）点B的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3）；………………2分（2）方法1：设抛物线的解析式为y ax2bx c. 因为它经过A（1，0），B（3，0），C（0，3），a b c 0,则9a 3b c 0,………………4分c 3.a 1,解得b 4,………………6分c 3.方法2：抛物线经过点A（1，0），B（3，0），故可设其表达式为………………4分因为点C（0，3）在抛物线上，a 01033，得a1.………………6分所以y a(x 1)(x 3)(a 0).∴经过A,B,C三点的抛物线的表达式为y x24x 3．………………7分方法3：抛物线经过点A（1，0），B（3，0），则其对称轴为x 2.设抛物线的表达式为y a x 22k.………………4分将A（1，0），C（0，3）代入，得a k 0, 4a k 3.解得a 1,k 1.………………6分∴经过A,B,C三点的抛物线的表达式为y x24x 3．………………7分25．（1）证明：∵在⊙O中，OD⊥BC于E，∴CE=BE.………………1分∵CD∥AB，∴∠DCE=∠B.………………2分AC DEO B在△DCE与△OBE 中DCE B,CE BE,CED BEO.∴△DCE≌△OBE（ASA）.∴DE=OE.∴E为OD 的中点．………………4分（2）解：连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.∵OD⊥BC，∴∠CED=90°=∠ACB.∴AC∥OD.………………5分AC DEO B∵CD∥AB，∴四边形CAOD 是平行四边形.∵E是OD 的中点，CE⊥OD，∴OC=CD.∵OC=OD，∴OC=OD=CD.∴△OCD是等边三角形.∴∠D=60°.………………6分∴∠DCE=90°-∠D=30°. ∴在△R t CDE中，CD=2DE.∵BC=6，∴CE=BE=3.∵C E2DE2CD24D E2，∴DE 3，C D 23.∴O D CD 23.∴S四边形C AODOD CE 63.………………7分26．（1）（2，0）；………………2分（2）点D 在直线l上，理由如下：直线l 的表达式为y kx 2k(k 0)，∵当x 2时，y 2k 2k 0，………………3分∴点D（2，0）在直线l 上．………………4分注：如果只有结论正确，给1分.（3）如图，不妨设点P在点Q左侧.由题意知：要使得x x 4成立，即是要求点P 与12y 6 5点Q 关于直线x 2对称.又因为函数y x24x 4的图象关于直线x 2对称，所以当1t 3时，若存在t使得x x 4 成立，即要求点Q12在y x24x 4(x 2,1y 3)的图象–2–14321OBP QA123456x上.………………6分根据图象，临界位置为射线y kx 2k(k 0,x 2)过–1–2y x24x 4(x 2)与y 1的交点A(3,1)处，以及射线y kx 2k(k 0,x 2)过y x24x 4(x 2)与y 3的交点B(23,3)处.此时k 1以及k 3，故k的取值范围是1k 3.………………8分27．（1）①1，②2；………………2分注：错一个得1分.（2）解：设点C的坐标为（x，y）.由于点C 的“引力值”为2，则x 2或y 2，即x 2，或y 2.当x 2时，y 2x 40，此时点C的“引力值”为0，舍去；当x2时，y 2x 48，此时C 点坐标为（-2，8）；当y 2时，2x 42，解得x 1，此时点C 的“引力值”为1，舍去；当y 2时，2x 42，x 3，此时C 点坐标为（3，-2）；综上所述，点C的坐标为（2，8）或（3，2）.………………5分注：得出一个正确答案得2 分.（3）1d 772.………………8分注：答对一边给2分；两端数值正确，少等号给2分；一端数值正确且少等号给1分.28．（1）③；………………1分（2）连接BM，OB，OC，OE.∵△R t ABC中，∠ABC=90°，M为AC的中点，1∴MA=MB=MC=AC.………………2分2∴∠A=∠ABM.∵∠A=α，∴∠BMC=∠A+∠ABM=2α.∵点M 和点O关于直线BC对称，AMNB CD∴∠BOC=∠BMC=2α.………………3分E ∵OC=OB=OE，∴点C，B，E 在以O 为圆心，OB为半径的圆上.O1∴BEC BOC2.………………4分（3）MN 12BE，证明如下：连接BM并延长到点F，使BM=MF，连接FD.∵∠A=α，∠ABC=90°，∴∠ACB=90°-∠A=90°-α.∴∠DEC=∠ACB=90°-α.A F∵∠BEC=α，D∴∠BED=∠BEC+∠DEC=90°.∵BC=CE，∴∠CBE=∠CEB=α.MN∵MB=MC，B C∴∠MBC=∠ACB=90°-α.∴∠MBE=∠MBC+∠CBE=90°.E ∴∠MBE+∠BED=180°.∴BF∥DE.………………6分∵BF=2BM，AC=2BM，∴BF=AC.∵AC=DE，∴BF=DE.∴四边形BFDE是平行四边形.………………7分∴DF=BE.∵BM=MF，BN=ND，1∴MN=DF.21∴MN=BE.………………8分2O注：如果只有结论正确，给1分.解答题解法不唯一，如有其它解法相应给分.。

2017-2018学年北京市海淀区2018届九年级上学期期中考试数学试题(图片版含答案)

A. 45 C. 90B. 60D. 120初三第一学期期中学业水平调研2017.11学校___________________ 姓名_________________________ 准考证号________________________ 一.选择题(本题共24分.每小题3分)下面各题均有四个选项.其中只有一个是符合题意的.请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.题号12345678答案1・一元二次方程3是&-1=0的二次项系数、八次项系数.常飲项分别是A. 3, 6. 1B. 3. 6. -1C. 3, -6, 12.把施物线 X 向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为A. j^c2+lB.尸宀1C.尸3.如图，A, B t C是OO上的三个点.若乙C=35。

，则乙"03的大小为A. 35°B. 55°C. 65°D. 70°4.下列手机手势解锁图案中，是中心对祢图形的是® ® ® ® ® IS ®(t-® ® ® (fc ®A B C D5.用配方法解方程?-4x+2=0,配方正确的是A. (x-2)*=2B.(珀2比2C. (X-2)J=-2D. (X-2)J=66.风力发电机可以在风力作用下发电.如图的转子叶片图案绕中心旋转”。

后能与原来的图案重合，那么〃的值可能是D. 3, -6, -I初三年级(数学)第1页(共&页)初三年级（数学）第2頁（共8页）二.填空题（本题共24分.毎小题3分）9. _____________________________________ 点P （-l, 2）关于原点的对称点的坐标为 .10. 写出一个图線开口向上，过点（0, 0）的二次函数的表达式: 11. 如图3.四边形MCP 内接于OO, E 为CQ 的延长线上一点.若乙弘110%则LADE 的大小为 ________ •12. 抛物线户#-4】与*轴的公共点的个敷是 ________ . 13・如图4.在平面直角坐标系◎中•点"•点8的塑标分别为（0, 2）,（", 0）.将线段绕点0順时针旋转，若点/的对应点彳的坐标为（2. 0）.则点B 的对应点F 的坐标为 ________ .14.已知枇物线经过点（-4, >r,）,（l,儿），则” ________________ y 3（填 “A”，“「或15・如图5. 00的半径CM 与弦BC 交于点0若00=31 4D=21BACD. II BC 的长为 __________ .7. 二次函数”与一次函数y^mx^n 的图彖如图所示，則鴻足 ax\bx-¥omx^n 的x 的取值范嗣是A ・-3<r<0 B. xv_3 或 r>0C ・ JCJ 3 或 x>l D. （kx<38. 如图1,动点P 从格点*出发.在网格平面内运动, 设点P 走过的路程为$,点P 到宜线/的距离为M.巳知〃与$的关系如图2所示.下列选项中，可能是点 P 的运动路线的是…»1:□•• 工・1• t •―*! ■P“ i一一… —tBS394K516.下面是"作已知三角形的髙"的尺规作图过程.巳知？△*BC.求作：BCHL上的禺AD.相交tP9 0两点；（2）柞直後PQ,交*C于点O；（3）以0为11心・0*为半径作O0.与C3的琏长钱支于点D.连H-4D.线技AD即为所作的高.谓回答：该尺規作图的依据是______________________________________________________三.解答巫（本题共72分.第17题4分，第18~23題.每小题5分.第2425虬毎小题7分, 第24 28题.每小題8分）17.解方程：込4/3-0・初三年拔（败学）第3页（共8页）18・如图.等边三角形/〃C的边长为3,点£＞是线段BC上的点.CD=2t以2为边作尊边三角形ADE.连接CE・求CE的长.19・已知加是方程兰-女+1=0的一个根.求S-3）•（叶2）（叭2）的值.20.如图.在OO 中.AB 二 CD.求证：LBnLC.21・如图.ABCD是一块边长为4米的正方形苗Iffl.园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状• 其中点EXiAB 边上•点G在4D的延长线上.DG =：2BE.设朋的长为x米，改适后苗圃4EFG的面积为y平方米.（1 ”与x之闾的函数关系式为________________ （不需写自变蚩的取值范围）；（2）根据改造方案•改造后的矩形苗H/4EFG的面积与原正方形苗［ffi ABCD的面积相尊，请问歧时BE的长为多少米？初三年圾（数学）第4页（共8页）22.关于x的一元二次方程入2（力-1 ）x+m,-l=O有网个不相等的实数根九帀.（1）求实数加的取值范何；（2）是否存往实数加，使得x円=0成立？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由23.古代丝禺之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家一“代数学之父”阿尔•花拉子米.在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”.以?*10r=39为例，花拉子米的几何解法如下：如图.在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形.通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为（x+）2=39+ ,从而猖到此方程的正根是_______24.如图.在平直直角坐标系中.点*的坐标为（1. 0）.点P的横坐标为2.将点*绕点p庶转.使它的对应点〃恰好落在X轴上（不与X点重合）$再将点B绕点g逆时针族转■初三年级（敛学）第5頁（关8页）妙得到点C.（1）直接写岀点B和点C的坐标；（2）求经过儿B. C三点的拋物线的表达式.初三年级(数学)第6页(共8萸)25.如图."为00的直衝点C在O0上.过点0作0。

2017-2018学年北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷-含详细解析

2017-2018学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.一元二次方程3x2-6x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 3，6，1B. 3，6，C. 3，，1D. 3，，2.把抛物线y=x2向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为（）A. B. C. D.3.如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）A.B.C.D.4.下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.5.用配方法解方程：x2-4x+2=0，下列配方正确的是（）A. B. C. D.6.风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（）A. 45B. 60C. 90D. 1207.二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是（）A.B. 或C.D.8.如图1，动点P从格点A出发，在网格平面内运动，设点P走过的路程为s，点P到直线l的距离为d．已知d与s的关系如图2所示，下列选项中，可能是点P的运动路线的是（）A. B. C. D.四、解答题（本大题共9小题，共56.0分）9.如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG=2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为______（不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？10.古代丝绸之路上的花刺子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家--“代数学之父”阿尔•花拉子米．在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”．以x2+10x=39为例，花拉子米的几何解法如下：如图，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为（x+______）2=39+______，从而得到此方程的正根是______．11.如图，AB为⊙O上，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB=6，求四边形CAOD的面积．12.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y=x2-4x+4和直线l：y=kx-2k（k＞0）．（1）抛物线C的顶点D的坐标为______；（2）请判断点D是否在直线l上，并说明理由；（3）记函数y=的图象为G，点M（0，t），过点M垂直于y轴的直线与图象G交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）．当1＜t＜3时，若存在t使得x1+x2=4成立，结合图象，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：一元二次方程3x2-6x-1=0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，-6，-1．故选：D．找出所求的系数及常数项即可．考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2.【答案】A【解析】解：把抛物线y=x2向上平移1个单位长度所得抛物线的表达式是y=x2+1．故选：A．直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C=35°，∴∠AOB=2∠C=70°．故选：D．由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4.【答案】B【解析】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．根据中心对称图形的概念判断．本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.【答案】A【解析】解：把方程x2-4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2-4x=-2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-4x+4=-2+4，配方得（x-2）2=2．故选：A．在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6.【答案】D【解析】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为120．故选：D．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．7.【答案】A【解析】解：由图可知，-3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是-3＜x＜0．故选：A．根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：画出四种情况的函数图象如图：故选：D．分别分析四种情况的函数的图象即可判断．本题考查了动点问题的函数图象，画出四种情况的图象是解题的关键．1.【答案】y=-2x2+4x+16【解析】解：（1）y=（4-x）（4+2x）=-2x2+4x+16，故答案为：y=-2x2+4x+16；（2）根据题意可得：-2x2+4x+16=16，解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），答：BE的长为2米．（1）根据题意可得DG=2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为16，进而可得矩形苗圃AEFG 的面积为16，进而可得：-2x2+4x+16=16，再解方程即可．此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．1.【答案】5；25；3【解析】解：x2+10x=39，（x+5）2=39+25，x+5=±8，x=3或-3，所以此方程的正根为3，故答案为：5，25，3．根据已知算式和图形得出即可本题考查了矩形的性质和解一元二次方程等知识点，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．1.【答案】证明：（1）在⊙O中，OD⊥BC于E，∴CE=BE，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠B，在△DCE与△OBE中，∴△DCE≌△OBE（ASA），∴DE=OE，∴E是OD的中点；（2）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OD⊥BC，∴∠CED═90°=∠ACB，∴AC∥OD，∵CD∥AB，∴四边形CAOD是平行四边形，∵E是OD的中点，CE⊥OD，∴OC=CD，∵OC=OD，∴OC=OD=CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠D=60°，∴∠DCE=90°-∠D=30°，∴在Rt△CDE中，CD=2DE，∵BC=6，∴CE=BE=3，∵CE2+DE2=CD2=4DE2，∴DE=，CD=2，∴OD=CD=2，∴四边形CAOD的面积=OD•CE=6．【解析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理证明即可；（2）根据平行四边形的判定和勾股定理解答即可．本题考查了垂径定理，关键是根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理解答．1.【答案】（2，0）【解析】解：（1）∵y=x2-4x+4=（x-2）2，∴顶点D的坐标为（2，0）；故答案为：（2，0）；（2）点D在直线l上．理由如下：直线l的表达式为y=kx-2k（k＞0），∵当x=2时，y=2k-2k=0，∴点D（2，0）在直线l上；（3）如图，不妨设点P在点Q的左侧，由题意知：要使得x1+x2=4成立，即是要求点P与点Q关于直线x=2对称，又∵函数y=x2-4x+4的图象关于直线x=2对称，∴当1＜t＜3时，若存在t使得x1+x2=4成立，即要求点Q在y=x2-4x+4（x＞2，1＜y＜3）的图象上，根据图象，临界位置为射线y=kx-2k（k＞0）过y=x2-4x+4（x＞2）与y=1的交点A（3，1）处，以及射线y=kx-2k（k＞0）过y=x2-4x+4（x＞2）与y=3的交点B（2+，3）处，此时，k=1以及k=，故k的取值范围是1＜k＜．（1）将抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点D的坐标即可；（2）将点D的坐标代入直线l的解析式判断即可；（3）根据抛物线的作法作出图形，再根据等式判断出点P、Q关于直线x=2对称，再根据抛物线的对称轴为直线x=2，从而判断出点Q在抛物线上，然后求出t=1和3时的临界的交点坐标，再求出k的值，写出k的取值范围即可．本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标的求解，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，难点在于判断出两点关于对称轴x=2对称．。

2017-2018学年北京市海淀区2018届九年级上学期期中考试数学试题(含答案)

初三第一学期期中学业水平调研数学2017.11一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案1．一元二次方程23610x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，6，1B ．3，6，1-C ．3，6-，1D ．3，6-，1-2．把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．21y x =-+D ．21y x =--3．如图，A，B ，C 是⊙O 上的三个点. 若∠C =35°，则∠AOB 的大小为 A ．35° B ．55° C ．65°D ．70° 4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是A BC D5．用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是 A ．()222x -= B ．()222x +=C ．()222x -=-D ．()226x -=6．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是A ．45B ．60C ．90D ．1207．二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+的图象如图所示，则满足CA BOy2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是A ．30x -<<B ．3x <-或0x >C ．3x <-或1x >D ．03x <<8．如图1，动点P 从格点A 出发，在网格平面内运动，设点P 走过的路程为s ，点P 到直线l 的距离为d . 已知d 与s 的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P 的运动路线的是A B C D二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．点P （1-，2）关于原点的对称点的坐标为________．10．写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：________．11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 的延长线上一点．若∠B =110°，则∠ADE 的大小为________． 12．抛物线21y x x =--与x 轴的公共点的个数是________． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别为（0，2），（1-，0），将线段AB 绕点O 顺时针旋转，若点A 的对应点A '的坐标为（2，0），则点B 的对应点B '的坐标为________．14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4)y -，，2(1)y ，，则1y ________2y （填“＞”，“=”，或“＜”）．15．如图，⊙O 的半径OA 与弦BC 交于点D ，若OD =3，AD =2， BD =CD ，则BC 的长为________．16．下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC ．OBA E D C xyA'BA ODAB C Ol A l A l Al A s d 123451234O l A图1 图2B CA求作：BC 边上的高AD ．作法：如图，（1）分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于P ，Q 两点；（2）作直线PQ ，交AC 于点O ；（3）以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，与CB 的延长线交于点D ，连接AD ．线段AD 即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是_______________________________________________．三、解答题（本题共72分，第17题4分，第18~23题，每小题5分，第24~25题，每小题7分，第26~ 28题，每小题8分） 17．解方程：2430x x -+=．18．如图，等边三角形ABC 的边长为3，点D 是线段BC 上的点，CD =2，以AD 为边作等边三角形ADE ，连接CE ．求CE 的长．19．已知m 是方程2310x x -+=的一个根，求()()()2322m m m -++-的值．DOQPB C AEB D CA20．如图，在⊙O 中，»»AB CD =．求证：∠B =∠C ．21．如图，ABCD 是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG 的形状，其中点E 在AB 边上，点G 在AD 的延长线上，DG =2BE ．设BE 的长为x 米，改造后苗圃AEFG 的面积为y 平方米．（1）y 与x 之间的函数关系式为_____________________（不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG 的面积与原正方形苗圃ABCD 的面积相等，请问此时BE 的长为多少米？22．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得120x x =成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．23．古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家——“代数学之父”阿尔·花拉子米．在研DCBA O H G FD A B C ExyPAO究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”．以21039x x +=为例，花拉子米的几何解法如下：如图，在边长为x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为x 和 5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为()2________39x +=+，从而得到此方程的正根是________．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1，0），点P 的横坐标为2，将点A绕点P 旋转，使它的对应点B 恰好落在x 轴上（不与A 点重合）；再将点B 绕点O 逆时针旋转90°得到点C ．（1）直接写出点B 和点C 的坐标；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式．25．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点O 作OD ⊥BC 交BC 于点E ，交⊙O 于点D ，CD ∥AB ．（1）求证：E 为OD 的中点；（2）若CB =6，求四边形CAOD 的面积．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：244y x x =-+和直线l ：2(0)y kx k k =->．（1）抛物线C 的顶点D 的坐标为________；（2）请判断点D 是否在直线l 上，并说明理由；55 5x x xx 5EC DA O B（3）记函数2442,22x x x y kx k x ⎧-+≤=⎨->⎩，，的图象为G ，点(0,)M t ，过点M 垂直于y 轴的直线与图象G 交于点11()P x y ，，22()Q x y ，．当13t <<时，若存在t 使得124x x =+成立，结合图象，求k 的取值范围．27．对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≤，则称1d 为点P 的“引力值”；若12d d >，则称2d 为点P 的“引力值”．特别地，若点P 在坐标轴上，则点P 的“引力值”为0．xy–1–2123456–1–2123456O例如，点P （2-，3）到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，因为23<，所以点P 的“引力值”为2．（1）①点A （1，4-）的“引力值”为________；②若点B （a ，3）的“引力值”为2，则a 的值为________；（2）若点C 在直线24y x =-+上，且点C 的“引力值”为2，求点C 的坐标；xy–1–2–3–412345678–1–2–3–412345678O（3）已知点M 是以D （3，4）为圆心，半径为2的圆上的一个动点，那么点M 的“引力值”d 的取值范围是．扫描二维码，查看视频详细解析28．在Rt △ABC 中，斜边AC 的中点M 关于BC 的对称点为点O ，将△ABC 绕点O 顺时针旋转至△DCE ，连接BD ，BE ，如图所示．xy–1–2–3–412345678–1–2–3–412345678O（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是________（填出满足条件的的角的序号）；（2）若∠A=α，求∠BEC的大小（用含α的式子表示）；（3）点N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明．初三第一学期期中学业水平调研数学参考答案2017．11EDNMB C AO一、选择题（本题共24分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DADBADAD二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（1，2-） 10．答案不唯一，例如2y x = 11．110° 12．2 13．（0，1）14．＞15．816．①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线．（注：写出前两个即可给3分，写出前两个中的一个得2分，其余正确的理由得1分）三、解答题（本题共72分） 17．解法一：解：2441x x -+=，()221x -=，………………2分21x -=±，11x =，23x =．………………4分解法二：解：()()130x x --=，………………2分 10x -=或30x -=，11x =，23x =．………………4分 18．解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =BC =AC ，∠BAC =60°. ∴∠1+∠3=60°.………………1分 ∵△ADE 是等边三角形， ∴AD =AE ，∠DAE =60°.∴∠2+∠3=60°.………………2分 ∴∠1=∠2.在△ABD 与△ACE 中12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌ △ACE （SAS ）. ∴CE =BD .………………4分 ∵BC =3，CD =2， ∴BD =BC -CD =1.321EDCBA∴CE =1．………………5分19．解：∵m 是方程2310x x -+=的一个根，∴2310m m -+=.………………2分 ∴231m m -=-.∴原式22694m m m =-++-………………4分()2235m m =-+3=．………………5分20．方法1：证明：∵在⊙O 中，»»AB CD =， ∴∠AOB =∠COD .………………2分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴在△AOB 中，1902B AOB ∠=︒-∠，在△COD 中，1902C COD ∠=︒-∠.………………4分∴∠B =∠C ．………………5分方法2：证明：∵在⊙O 中，»»AB CD =， ∴AB =CD .………………2分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴△AOB ≌△COD （SSS ）.………………4分 ∴∠B =∠C ．………………5分21．解：（1）22416y x x =-++（或()()442y x x =-+）………………3分（2）由题意，原正方形苗圃的面积为16平方米，得2241616x x -++=. 解得：12x =，20x =（不合题意，舍去）.………………5分答：此时BE 的长为2米. 22．解：（1）∵方程()222110xm x m +-+-=有两个不相等的实数根，∴()()224141880m m m ∆=---=-+>，∴1m <．………………2分（2）存在实数m 使得120x x =.120x x =，即是说0是原方程的一个根，则210m -=.………………3分DCBAO解得：1m =-或1m =.………………4分当1m =时，方程为20x =，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去． ∴1m =-．………………5分23．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为()25 x +………………1分39 25 =+………………3分从而得到此方程的正根是 3 ．………………5分24．（1）点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3）；………………2分（2）方法1：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++. 因为它经过A （1，0），B （3，0），C （0，3），则0,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩………………4分解得1,4,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩………………6分∴ 经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分方法2：抛物线经过点A （1，0），B （3，0），故可设其表达式为(1)(3)(0)y a x x a =--≠. ………………4分因为点C （0，3）在抛物线上，所以()()01033a --=，得1a =.………………6分∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分方法3：抛物线经过点A （1，0），B （3，0），则其对称轴为2x =. 设抛物线的表达式为()22y a x k =-+.………………4分将A （1，0），C （0，3）代入，得0,4 3.a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,1.a k =⎧⎨=-⎩………………6分∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分25．（1）证明：∵在⊙O 中，OD ⊥BC 于E ， ∴CE =BE .………………1分 ∵CD ∥AB ，∴∠DCE =∠B .………………2分在△DCE 与△OBE 中,,.DCE B CE BE CED BEO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DCE ≌△OBE （ASA ）.∴DE =OE .∴E 为OD 的中点．………………4分（2）解：连接OC .∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°. ∵OD ⊥BC ， ∴∠CED =90°=∠ACB . ∴AC ∥OD .………………5分 ∵CD ∥AB ，∴四边形CAOD 是平行四边形. ∵E 是OD 的中点，CE ⊥OD ， ∴OC =CD . ∵OC =OD ， ∴OC =OD =CD .∴△OCD 是等边三角形. ∴∠D =60°.………………6分 ∴∠DCE =90°-∠D =30°. ∴在Rt △CDE 中，CD =2DE . ∵BC =6， ∴CE =BE =3.∵22224CE DE CD DE +==， ∴3DE =，23CD =. ∴23OD CD ==.∴63CAOD S OD CE =⋅=四边形.………………7分OABDCEOABDCE26．（1）（2，0）；………………2分（2）点D 在直线l 上，理由如下：直线l 的表达式为2(0)y kx k k =->，∵当2x =时，220y k k =-=，………………3分 ∴点D （2，0）在直线l 上．………………4分注：如果只有结论正确，给1分.（3）如图，不妨设点P 在点Q 左侧.由题意知：要使得124x x =+成立，即是要求点P 与点Q 关于直线2x =对称.又因为函数244y x x =-+的图象关于直线2x =对称，所以当13t <<时，若存在t 使得124x x =+成立，即要求点Q在244(2,13)y x x x y =-+><<的图象上.………………6分根据图象，临界位置为射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与1y =的交点(3,1)A 处，以及射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与3y =的交点(23,3)B +处. 此时1k =以及3k =，故k 的取值范围是13k <<.………………8分27．（1）①1，②2±；………………2分注：错一个得1分.（2）解：设点C 的坐标为（x ，y ）.由于点C 的“引力值”为2，则2x =或2y =，即2x =±，或2y =±. 当2x =时，240y x =-+=，此时点C 的“引力值”为0，舍去；xyBAQ P–1–2123456–1–2123456O当2x =-时，248y x =-+=，此时C 点坐标为（-2，8）；当2y =时，242x -+=，解得1x =，此时点C 的“引力值”为1，舍去；当2y =-时，242x -+=-，3x =，此时C 点坐标为（3，-2）；综上所述，点C 的坐标为（2-，8）或（3，2-）.………………5分注：得出一个正确答案得2分. （3）7712d +≤≤.………………8分注：答对一边给2分；两端数值正确，少等号给2分；一端数值正确且少等号给1分. 28．（1）③；………………1分（2）连接BM ，OB ，OC ，OE .∵Rt △ABC 中，∠ABC =90°，M 为AC 的中点， ∴MA =MB =MC =12AC .………………2分 ∴∠A =∠ABM . ∵∠A =α，∴∠BMC =∠A +∠ABM =2α. ∵点M 和点O 关于直线BC 对称， ∴∠BOC =∠BMC =2α.………………3分 ∵OC =OB =OE ，∴点C ，B ，E 在以O 为圆心，OB 为半径的圆上.∴12BEC BOC α∠=∠=.………………4分（3）12MN BE =，证明如下：连接BM 并延长到点F ，使BM =MF ，连接FD . ∵∠A =α，∠ABC =90°， ∴∠ACB =90°-∠A =90°-α. ∴∠DEC =∠ACB =90°-α. ∵∠BEC =α，∴∠BED =∠BEC +∠DEC =90°. ∵BC =CE ， ∴∠CBE =∠CEB =α. ∵MB =MC ，∴∠MBC =∠ACB =90°-α. ∴∠MBE =∠MBC +∠CBE =90°. ∴∠MBE +∠BED =180°. ∴BF ∥DE .………………6分OMNAB DCEFOMNABDCE∵BF=2BM，AC=2BM，∴BF=AC.∵AC=DE，∴BF=DE.∴四边形BFDE是平行四边形.………………7分∴DF=BE.∵BM=MF，BN=ND，∴MN=12 DF.∴MN =12 BE.………………8分注：如果只有结论正确，给1分.解答题解法不唯一，如有其它解法相应给分.更多初中数学资料，初中数学试题精解请微信关注。

2018海淀区初三(下)期中数学

2018海淀区初三（下）期中数学学校：姓名：成绩：考生须知1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和稚考证号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项符合以意的选项只有一个．1.用三鱼板作△ABC 的边BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是2。

图1是数学家皮亚特的海恩的发明的索玛立方块．它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成．图2不可能是下面哪个组件的视图3.若正多边形的一个外角是120°，能则该正多边形的边数是A.6B.5C.4D.3 4．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是5.如果a-b=1，那么代数式的值是A.2B.-2C.1D.-16.在实数a 、b 、c 、d 在数籼上的对应点的位置如图所示．若b+d=0，则下列结论中正确的是,A.b+c ＞0B. ＞C.ad ＞bcD. ＞ 7.在线教育使学生足不出户也能连接全球优秀的教育资源．下面的统计图反映了我国在线教育用户规模的变化情况。

（以上数据摘自《2017年中国在线少儿英语教育自皮书》）根据统计图提供的信息，下列判断一定不合理的是A.2015年12月至2017年6月，我国在线教育用户規模逐渐上升B.2015年12月至2017年6月．我国手机在线教育课程用户规模占在线教育用户规模的比例持续上升C.2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模的平均值超过7000万D.2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模超过在线教育用户規模的70%8.如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y，定义（x,y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直鱼坐标系xoy中，直线x=1，y=3 将第一象限划分成4个区域，已知矩形的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是A.点A的横坐标有可能大于3B.矩形是正方形时，点A位于区域C.当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D.当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等二、填空题（本共16分，每小题2分）9.从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小，形状完全相同）中随机抽取一张。

2018年海淀区九年级第一学期期中数学试题10.18.docx

初三第一学期期中学业水平调研数学2018． 11学校 ___________________姓名 ________________准考证号 __________________1. 本调研卷共 8 页，满分100 分，考试时间120 分。

注2.在调研卷和答题纸上准确填写学校名称，姓名和准考证号。

意3.调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。

事4. 在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

项5.调研结束，请将本调研卷和答题纸一并交回。

一、选择题（本题共16 分，每小题 2 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．抛物线y x21的对称轴是A ．直线 x1B．直线 x 1C．直线 x 0D．直线y 1 2．点P(2，1)关于原点对称的点 P 的坐标是A ．( 2，1)B．( 2，1)C．( 1，2)D．(1，2) 3．下列 App 图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是A B C D4．用配方法解方程x22x 4 0 ，配方正确的是A ． x 123B． x 122D． x 124C． x 1535．如图，以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆的切线，点 P为切点.若大圆半径为2，小圆半径为1，则 AB的长为A ．23B ．22O5A P BC． D ．26y( x1)2向上平移 a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则 a ．将抛物线2的值为A ．1B． 1C．2D． 27．下图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是A B C D8．已知一个二次函数图象经过P1 ( 3， y1 ) ， P2 ( 1， y2 ) ， P3 (1，y3 ) ， P4 (3， y4 ) 四点，若y3 y2 y4，则 y1，y2，y3，y4的最值情况是A ．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定二、填空题（本题共16 分，每小题 2 分）y9．写出一个以 0 和 2 为根的一元二次方程：________．10．函数y ax2bx c 的图象如图所示，则ac0．（填“ >”，“ =”，或“ <”）O x 11．若关于x的方程x24x k 1 0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．12．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，E 为直径 CD 延长线上一点，且 AB∥ CD，若∠ C=70°，则∠ ADE 的大小为 ________．O DC EB A13．已知 O 为△ ABC 的外接圆圆心，若O 在△ ABC 外，则△ ABC 是 ________（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．14．在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017 年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015 年和 2017 年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至 2017 年新能源汽车保有量年平均增长率为x，依题意，可列方程为．2015年和 2017年我国新能源汽车保有量统计图保有量 / 万辆200172.91501005045.1020152017 年份15xOy 中，抛物线 yax bx c与 y．如图，在平面直角坐标系2x 轴交于（ 1，0），（ 3，0）两点，请写出一个满足 y0 的 x的值．O1 3x16．如图，⊙ O 的动弦 AB ， CD 相交于点 E ，且 ABCD ，BED (0 90 ) ．在① BOD ， ② OAB 90 ，③ ABC 1中，一定成立的2是（填序号）．三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 小题，每小题 6 分；第 27~28 小题，每小题7 分）17．解方程： x x2 3x 6 ．E．如图，将 △ABC 绕点B 旋转得到 △ DBE ，且A ，D ， C18三点在同一条直线上．B求证： DB 平分 ADE ．ACD19．下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.已知：⊙ O．A求作：⊙ O 的内接正三角形．O作法：如图，B①作直径 AB；②以 B 为圆心， OB 为半径作弧，与⊙ O 交于 C，D 两点；③连接 AC，AD， CD．所以△ACD 就是所求的三角形．根据小董设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙ O 中，连接 OC， OD ，BC， BD，∵OC=OB=BC，∴ △ OBC 为等边三角形（___________）（填推理的依据）．∴ ∠ BOC=60°．∴ ∠ AOC=180°-∠ BOC=120°．同理∠ AOD=120°，∴ ∠ COD= ∠AOC=∠ AOD =120°．∴AC=CD=AD （ ___________）（填推理的依据）．∴△ ACD 是等边三角形．20．已知 1 是方程x2ax b 0 的一个根，求a2b22b 的值．21．生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O 为圆心AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为0.8a ，顶棚到路面的距离是 3.2 a ，点B到路面的距离为 2a ．请你求出路面的宽度l ．（用含a的式子表示）A0.8a3.2aO2aBl22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y x 2ax b 经过点 A 2，0 ， B13，．（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）设抛物线的顶点为 C ，直接写出点 C 的坐标和BOC 的度数．y4B321A–5–4–3–2–1O 1 2x–1–223．用长为 6 米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x 米，窗户的透光面积为y 平方米（铝合金条的宽度不计）．x米（ 1）y与x之间的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；（ 2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24．如图，在 △ABC 中， AB AC ，以 AB 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D ，过点 D 作 AC 的垂线交AC 于点 E ，交 AB 的延长线于点 F ．（ 1）求证： DE 与⊙ O 相切；（ 2）若 CDBF ， AE3 ，求 DF 的长．25．有这样一个问题：探究函数y x 3 x 3的图象与性质．2小东根据学习函数的经验，对函数yx 3x 3的图象与性质进行了探究．2下面是小东的探究过程，请补充完成：（ 1）化简函数解析式，当x3 时， y___________，当 x 3 时 y____________；（ 2）根据（ 1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数yx 3x3的图象；2y y 6 6 554 4 3 3 2 2 11–5–4–3–2–1 O 12 3 4 5 6x –5–4–3–2–1 O 123 45 6 x–1 –1 –2 –2 –3 –3 –4–4备用图（ 3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x 的方程 ax x 3x312只有一个实数根，直接写出实数a 的取值范围： ___________________________ ．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ax22x(a0) 与 x 轴交于点A ，（点在点B BA的左侧）．（1）当 a1 时，求A，B两点的坐标；（2）过点P(3，0)作垂直于x轴的直线 l ，交抛物线于点 C ．①当 a 2 时，求 PB PC 的值；②若点 B 在直线 l 左侧，且 PB PC 14 ，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．27．已知∠ MON =，P为射线OM上的点，OP=1．（ 1）如图 1，60 ， A， B 均为射线ON 上的点， OA=1， OB OA，△ PBC 为等边三角形，且O， C 两点位于直线PB 的异侧，连接AC．①依题意将图 1 补全；②判断直线AC 与 OM 的位置关系并加以证明；（ 2）若45 ，Q为射线 ON 上一动点（ Q 与 O 不重合），以 PQ 为斜边作等腰直角△PQR，使 O，R 两点位于直线PQ 的异侧，连接 OR．根据（ 1）的解答经验，直接写出△ POR 的面积．图 1备用图28．在平面直角坐标系xOy 中，点 A 是 x 轴外的一点，若平面内的点 B 满足：线段AB 的长度与点 A 到 x 轴的距离相等，则称点 B 是点 A 的“等距点”．（1）若点 A 的坐标为（ 0， 2），点 P1（ 2， 2）， P2（ 1，4），P3（ 3 ，1）中，点A 的“等距点”是 _______________；（2）若点 M （ 1，2）和点 N（1， 8）是点 A 的两个“等距点” ，求点 A 的坐标；3 x （x 0）的图象为L，T的半径为2，圆心坐标为T (0, t ) .（3）记函数y3若在 L 上存在点M，T上存在点N，满足点N是点M的“等距点”，直接写出 t的取值范围．。

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