离散数学第8讲

离散数学 第8讲
回顾上节课内容： 回顾上节课内容： 九条重要的推理定律； 九条重要的推理定律； 自然推理系统中的常用的推理规则； 自然推理系统中的常用的推理规则； 在自然推理系统中对推理进行构造证明。 在自然推理系统中对推理进行构造证明。
1
离散数学 第8讲
本节课基本知识点： 本节课基本知识点：
1、一阶逻辑的引入 、 2、一阶逻辑命题符号化 、 3、典型例题 、
见例4.1 见例
10
第四章 一阶逻辑基本概念
3、量词 、 用来表示个体常项或变项之间数量关系 的词。 量词分为两种： 的词。 量词分为两种： 全称量词： 全称量词 ： “ 一切 ” 、 “ 所有 ” 、 “ 凡 ” 、 “ 每一
任意”等意， 个 ” 、 “ 任意 ” 等意， 符号记作∀。 如 ： ∀x 表示个
‫∀ ר‬x(M(x) →H(x)) 或 ∃x(M(x)∧ ‫ ר‬H(x)) 真值不定。 真值不定。
17
第四章 一阶逻辑基本概念
例：在一阶逻辑中将下列命题符号化 。
（1）（所有的）兔子比（所有的）乌龟跑得快。 ） 所有的）兔子比（所有的）乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 ）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。 ）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。 （4）没有两只跑得同样快的兔子。 ）没有两只跑得同样快的兔子。 是兔子。 是乌龟。 解：令 H(x): x是兔子。W(y):y是乌龟。 是兔子 是乌龟 K(x,y):x比y跑得快。L(x,y):x和y跑得一样快。 跑得快。 跑得一样快。 比 跑得快 和 跑得一样快 则符号化为： 则符号化为：
13
第四章 一阶逻辑基本概念
在一阶逻辑中将下列命题符号化， 例：在一阶逻辑中将下列命题符号化，并讨论其 真值。 真值。
（1）所有的人都长头发。 ）所有的人都长头发。 （2）有的人吸烟。 ）有的人吸烟。 （3）没有人登上过木星。 ）没有人登上过木星。 （4）清华大学的学生未必都是高素质的。 ）清华大学的学生未必都是高素质的。 是人。 解：令 M(x): x是人。 是人 长头发。 （1） 令F(x): x长头发。则符号化为： ） 长头发 则符号化为：
11
第四章 一阶逻辑基本概念
例：在一阶逻辑中将下列命题符号化。 在一阶逻辑中将下列命题符号化。
（1）凡是人都呼吸。 ）凡是人都呼吸。 （2）有的人是左撇子。 ）有的人是左撇子。 当个体域为人类集合时： 令F(x): x呼吸。G(x): x是左撇子。则 呼吸。 是左撇子。 呼吸 是左撇子 （1）∀xF(x) ）
19
第四章 一阶逻辑基本概念
例：在一阶逻辑中将下列命题符号化 。
（1）每列火车都比有些汽车跑得快。 ）每列火车都比有些汽车跑得快。 （2）某些汽车比所有火车慢。 ）某些汽车比所有火车慢。 （3）每个人都喜爱自己的孩子。 ）每个人都喜爱自己的孩子。 （4）对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数。 ）对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数。 解： 是火车。 是汽车。 （1）令 H(x): x是火车。W(y):y是汽车。 ） 是火车 是汽车 K(x,y):x比y跑得快。 则符号化为： 跑得快。 则符号化为： 比 跑得快
谓词分类： 谓词分类： 谓词常项： 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词 如上例中F、 、 等命题 如上例中 、G、H等命题 谓词变项： 谓词变项：表示抽象或泛指性质或关系的谓 词 如上例中L命题 如上例中 命题
9
第四章 一阶逻辑基本概念
一般地， 一般地，用 P(x1 , x2 , …, xn) 表示含有n个命题变项的 元谓词， 个命题变项的n元谓词 表示含有 个命题变项的 元谓词，也可以看 作是以个体域为定义域， 作是以个体域为定义域 ， 以 {0，1}为值域 ， 为值域 元函数或关系。 的n元函数或关系。 元函数或关系 但它不是命题。 只有P是谓词常项 是谓词常项， 但它不是命题 。 只有 是谓词常项 ， x1 , x2 , …, xn为个体常项时，它才是命题。 为个体常项时， 不带任何个体变项的谓词称为0元谓词。参 不带任何个体变项的谓词称为 元谓词。 元谓词
真值为0 真值为0。
是有理数。 能表示成分数。 （3） 令D(x): x是有理数。F(x):x能表示成分数。则符号 ） 是有理数 能表示成分数 化为： 化为：
真值为１ 真值为１。
是参加考试的人. 取得好成绩。 （4）令M(x)：x是参加考试的人 H(x):x取得好成绩。则符 ） ： 是参加考试的人 取得好成绩 号化为： 号化为：
3
第四章 一阶逻辑基本概念
命题逻辑在推理方面存在局限性， 命题逻辑在推理方面存在局限性，有些简单的论断也 不能用命题逻辑进行推证。 不能用命题逻辑进行推证。 例如无法判断著名的“苏格拉底三段论” 例如无法判断著名的“苏格拉底三段论”的正确 性。 苏格拉底三段论： 苏格拉底三段论： 令 P:所有的人都是要死的， 所有的人都是要死的， 所有的人都是要死的 Q:苏格拉底是人， 苏格拉底是人， 苏格拉底是人 R:所以苏格拉底是要死的。 所以苏格拉底是要死的。 所以苏格拉底是要死的 在命题逻辑中， 表示上述命题， 在命题逻辑中，只能用 （P ∧ Q） →R 表示上述命题， ） 但它不是重言式。 但它不是重言式。 所以， 所以，这个简单而著名的论断就无法用命题逻辑予以推 证
7
第四章 一阶逻辑基本概念
将上述谓词分别记作大写字母F、 、 、 ， 将上述谓词分别记作大写字母 、G、H、L， 则上述可表示为： 则上述可表示为： (1)F(3) (2)G(x) (3)H(a,b) a:小李。b:小王。 小李。 小王 小王。 小李 (4)L(x,y)
8
第四章 一阶逻辑基本概念
(2) ∃xG(x)
当个体域为全总个体域时： 呼吸。 是左撇子。 是人。 令F(x): x呼吸。G(x): x是左撇子。M(x): x是人。则 呼吸 是左撇子 是人 （1）∀x(M(x) ）
→F(x)) (2) ∃x(M(x)∧ G(x))
12
第四章 一阶逻辑基本概念
说明： 说明：
在不同的个体域， （1）在不同的个体域，同一命题的符号化形式可 能相同也可能不同。 能相同也可能不同。 在不同的个体域， （2）在不同的个体域，同一命题的真值可能相同 也可能不同。 也可能不同。 约定以后如不指定个体域， （3）约定以后如不指定个体域，默认为全总个体 域。
5
第四章 一阶逻辑基本概念
4.1 一阶逻辑命题符号化
基本概念： 基本概念： 1、个体词：可以独立存在的具体的或抽象的客体 、个体词： 个体常项：具体的或特定，一般用a,b,c,…表示 个体常项：具体的或特定，一般用 表示 个体变项：抽象的或泛指的，一般用x,y,z,…表示 个体变项：抽象的或泛指的，一般用 表示 个体域：个体变项的取值范围： 个体域：个体变项的取值范围： 全总个体域:由宇宙间一切事物组成的 由宇宙间一切事物组成的. 全总个体域 由宇宙间一切事物组成的
2
第四章 一阶逻辑基本概念
为什么要研究谓词逻辑？ 为什么要研究谓词逻辑？ 为了刻画命题内部的逻辑结构。 为了刻画命题内部的逻辑结构。 命题逻辑中主要研究命题和命题演算， 命题逻辑中主要研究命题和命题演算，原 子命题是命题演算的基本单位。 子命题是命题演算的基本单位。 命题逻辑不再对原子命题进行分解 两个原子命题之间，常常有一些共同特征。 两个原子命题之间，常常有一些共同特征。 例如：张三是个大学生。李四是个大学生。 例如：张三是个大学生。李四是个大学生。 但命题逻辑却无法研究命题内部的逻辑结 构及命题之间的内在联系。 构及命题之间的内在联系。
体域内所有的x 体域内所有的x。 存在量词：“有一个”、“有的”、“存在”、 有一个” 有的” 存在” 至少有一个” 符号记作∃ “ 至少有一个 ” 等 ， 符号记作 ∃ 。 如 :∃y 表示个 体域内有个体y 而用∃ yG(y)等分别表 体域内有个体y。而用∃xF(x), ∃yG(y)等分别表 示在个体域里存在个体具有性质F 示在个体域里存在个体具有性质F和存在个体具 有性质G 有性质G。
∀x (H(x) → ∃ y(W(y) ∧ K(x,y)))
20
第四章 一阶逻辑基本概念
是火车。 是汽车。 （2）令 H(x): x是火车。W(x):x是汽车。 ） 是火车 是汽车 K(x,y):x比y跑得慢。 跑得慢。 则符号化为： 比 跑得慢 则符号化为： ∃ x(W(x) ∧ ∀ y(H(y) → K(x,y))) (x,y))) （3）令M(x): x是人。H(x):x是孩子。 ） 是人。 是孩子。 是人 是孩子 P(x,y):x是y的父母。 K(x,y):x喜爱 。 的父母。 喜爱y。 是 的父母 喜爱 则符号化为： 则符号化为： ∀x ∀y(M(x)∧H(y)∧P(x,y) → K(x,y)) (x,y)) （4）令M(x): x是实数。P(x,y): x > y。 ） 是实数。 。 是实数 则符号化为： 则符号化为： x(M(x)∧P(x,0 ∀x(M(x)∧P(x,0)→∃y(M(y) ∧P(y,x))) (y,x)))
是清华大学的学生。 是高素质的。 （ 4）令Q(x):x是清华大学的学生。 H(x):x是高素质的。 则 ） 是清华大学的学生 是高素质的 符号化为： 符号化为：
‫∀ ר‬x(Q(x) →H(x)) 真值为１ 真值为１。
15
第四章 一阶逻辑基本概念
在一阶逻辑中将下列命题符号化，并讨论其真值。 练：在一阶逻辑中将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）凡正数都大于零。 ）凡正数都大于零。 的素数。 （2）存在小于 的素数。 ）存在小于2的素数 （3）没有不能表示成分数的有理数。 ）没有不能表示成分数的有理数。 （4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩。 ）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩。 解： 是正数。 大于零。 （1） 令F(x): x是正数。M(x):x大于零。则符号化为： ） 是正数 大于零 则符号化为：