(完整word版)辅助角公式的推导
(完整word版)三角函数常用公式表
07高中数学会考复习提纲（2）（三角函数）
第四章 三角函数
1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角； （2）、与α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360|
αββ}
（3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，
就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。
2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1
（2）、度数与弧度数的换算：π= 180弧度，1弧度)180( =π
（3）、弧长公式：r l ||α= （α是角的弧度数） 扇形面积：2
||2
1
21r lr S α===
3、三角函数 （1）、定义：（如图） （2）、各象限的符号： y
r
y x r x x
r
x y r y =
=====ααααααcsc cot cos sec tan sin
（3）、 特殊角的三角函数值
4、同角三角函数基本关系式
（１）平方关系： （２）商数关系： （３）倒数关系：
1cos sin 22=+αα α
α
αcos sin tan = 1cot tan =αα αα22sec tan 1=+ α
α
αsin cos cot =
1csc sin =αα αα22csc cot 1=+ 1sec cos =αα
（4）同角三角函数的常见变形：（活用“1”）
αsin
x y
+
+ _ _ O x
y
+
+
_
_ αcos
O
αtan
x
y
+ +
_
_
O
=r αsec αsin
(完整word版)三角函数公式大全(高一所有的三角函数公式),推荐文档
三角公式汇总
一、任意角的三角函数
在角α的终边上任取．．
一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =
αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r =αsec 余割：y
r =αcsc 二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。 商数关系：αααcos sin tan =，α
ααsin cos cot =。 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。
三、和角公式和差角公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+
βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-
βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+
βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-
βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=
+ β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 四、二倍角公式
αααcos sin 22sin =
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α
αα2tan 1tan 22tan -= αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-
(完整word版)高数公式大全
平方关系：
sin A2( a )+cos A2( a )=1
tan A2( a )+仁sec A2( a )
C0t A2( a )+ 仁CSC A2( a )
•积的关系：
sin a=tan a*cos a
cos a =cot a*sin a
tan a=sin a*sec a
cot a=cos a*csc a
sec a=tan a*csc a
csc a =sec a *cot a
•倒数关系：
tan a，cot a =1
sin a，CSC a =1
cos a，sec a =1
直角三角形 ABC 中,
角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边
余弦等于角 A 的邻边比斜边
正切等于对边比邻边 ,
三角函数恒等变形公式
两角和与差的三角函数：
cos( a + B )=cos a，-sOs (&• sin B
cos( a B )=cos a，cos B +sin a* sin B
sin( a±B )=sin a，cos B±cos a，sin B
tan( a + B )=(tan a +tan-tanf(a • tan B )
tan( -B )=(tan -tan B )/(1+tan a，tan B )
三角和的三角函数：
sin( a + B + Y )=sin a* cos B，cos Y +cos a，sin B‘ cos ys+cos • sircos B sirsir v Y cos( a + B + Y )=cos a，cos B cosco s y sin B -ssin a cos B -sisin ar sin B‘ cos Y
三角函数公式大全(诱导、和差及万能)(可编辑修改word版)
三角函数诱导公式
目录:
诱导公式的本质
常用的诱导公式
其他三角函数知识
公式推导过程
诱导公式的本质
常用的诱导公式
其他三角函数知识
公式推导过程
诱导公式的本质
所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α 的三角函数转化为角α 的三角函数。
常用的诱导公式
公式一：设α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinαk∈z
cos（2kπ+α）=cosαk∈z
tan（2kπ+α）=tanαk∈z
cot（2kπ+α）=cotαk∈z
sec（2kπ+α）=secαk∈z
csc（2kπ+α）=cscαk∈z
公式二：设α 为任意角，π+α 的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα cot
（π+α）=cotα
sec(π+α)=-secα
csc(π+α)=-cscα
公式三：任意角α 与-α 的三角函数值之间的关系：
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα tan
（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
sec(-α)=secα
csc(-α)=-cscα
公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α 与α 的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinα cos
（π－α）=－cosα tan
（π－α）=－tanα cot
（π－α）=－cotα
sec(π-α)=-secα
csc(π-α)=cscα
公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α 与α 的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinα
高中数学：第三章 三角恒等变换3.2 Word版含答案
§3.2简单的三角恒等变换
学习目标
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.
3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．
知识点一 半角公式
思考1 我们知道二倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换α，结果怎样？
★答案★ 结果是cos α＝2cos 2α2－1＝1－2sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α
2.
思考2 根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin α2，cos α2，tan α
2.
★答案★ ∵cos 2α2＝1＋cos α2，∴cos α
2＝±
1＋cos α
2
， 同理sin α
2
＝±
1－cos α2，∴tan α
2＝sin
α2cos
α
2
＝±
1－cos α
1＋cos α
.
思考3 利用tan α＝sin αcos α和二倍角公式又能得到tan α
2与sin α，cos α怎样的关系？
★答案★ tan α2＝sin
α2cos α2＝sin α2·2cos α
2cos α2·2cos
α2
＝sin α
1＋cos α
，
tan α
2＝sin
α2cos α2＝sin α2·2sin α
2cos α2·2sin
α2
＝1－cos αsin α
.
梳理
知识点二 辅助角公式
思考1 a sin x ＋b cos x 化简的步骤有哪些？ ★答案★ (1)提常数，提出a 2＋b 2得到 a 2＋b 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a a 2＋b 2 sin x ＋b a 2＋b 2cos x .
高中数学--三角函数知识点总结完整版(word文档表格式)
★三角函数知识网络
一、弧度制与任意角的三角函数
二、同角三角函数的基本关系与三角函数的诱导公式
3. 关于诱导公式口诀:（奇变偶不变，符号看象限）
三、两角和与差及二倍角的三角函数
sin sin αtan tan β
αβ
四、简单的三角恒等变换
五、三角函数的图像与性质
正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质：
（1）定义域：都是R
（3）周期性：
（6）正切函数tan y x =的图象和性质：
六、函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质及三角函数模型的简单应用
七、正弦定理和余弦定理、
形式一：2
2
2
2cos a b c bc A
=+-
三角公式及推导(祥尽解释)
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三角公式及推导(祥尽解释)
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三角公式及推导（祥尽解释）
1-----诱导公式：
常用的诱导公式有以下几组：
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
三角函数中辅助角公式的应用
辅助角公式在高考三角题中得应用
对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下：
a b 2 2
y=asinx=bcosx a b (sin x·cosx·) 。
2 2 2 2
a b a b
上式中的
a
2 2
a b
与
b
2 2
a b
的平方和为1，故可记
a
2 2
a b
=cosθ，
b
2 2
a b
=sinθ，
则
y 2
a
2
b ( s i xnco s
c o s x s i n )
2
a
2
b s i nx( )
。
2
2 sin( ) ，（* ）其中θ由由此我们得到结论：asinx+bcosx=
a b x
a b
cos , sin 来确定。通常称式子（* ）为辅助角公式，它可以将多
2 2 2 2
a b a b
个三角式的函数问题，最终化为y=Asin( x )+k 的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。
一. 求周期
例1 求函数y 2 x x x
cos( ) cos( ) 3 sin 2 的最小正周期。
4 4
解：
y 2 cos(x )sin( x
4
) 3 sin
4
2x
sin( 2x) 3 sin 2x
2
3 sin 2x cos2x
2 sin(2x )
6
所以函数y 的最小正周期T=π。
评注：将三角式化为y=Asin( x )+k 的形式，是求周期的主要途径。
二. 求最值
，求f(x) 的最大值和最小值。例2. 已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x。若x [0, ]
2
1
解：f(x)=(cos 2x+sin 2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x= 2 2
(word完整版)经典三角函数公式及其图像大全,推荐文档
经典三角函数公式及其图像大全
三角函数是中学课程里，非常重要的一部分，应将其作为学习的一个重点。
⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=2
1R 2
α=3602R n ⋅π
2．S ⊿=2
1a a h ⋅=2
1ab C sin =2
1bc A sin =2
1ac B sin =R
abc 4=2R 2A sin B sin C sin
=A
C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B
A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p ---
(其中)(2
1c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)
3.正弦定理：
A a sin =
B b sin =C
c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）
4.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos
c 2
=a 2
+b
2
-2ab C cos bc
a c
b A 2cos 2
22-+=
⒌同角关系：
⑴商的关系：①θtg =x
y =
θ
θ
cos sin =θθsec sin ⋅ ②θθθ
θ
θcsc cos sin cos ⋅===
y x ctg ③θθθtg r
y
⋅==cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ⋅==
=tg x r ⑤θθθctg r
x
⋅==
sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ⋅==
=ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅θθθθθθctg tg
(完整word版)三角函数公式及求导公式
一、诱导公式
口诀：（分子）奇变偶不变，符号看象限。
1. sin (α+k•360)=sin α
cos (α+k•360)=cos a
tan (α+k•360)=tan α
2. sin(180°+β)=-sinα
cos(180°+β)=-cosa
3. sin(-α)=-sina
cos(-a)=cosα
4*. tan(180°+α)=tanα
tan(-α)=tanα
5. sin(180°-α)=sinα
cos(180°-α)=-cosα
6. sin(360°-α)=-sinα
cos(360°-α)=cosα
7. sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
8*. Sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
9*. Sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+a)=-sinα
10*.sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
二、两角和与差的三角函数
1. 两点距离公式
2. S(α+β): sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
C(α+β): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
3. S(α-β): sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
C(α-β): cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
4. T(α+β):
T(α-β):
5*.
三、二倍角公式
1. S2α: sin2α=2sinαcosα
2. C2a: cos2α=cos¬2α-sin2a
3. T2α: tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)
高中数学二轮复习教师用书：专题二+第2讲 小题考法——三角恒等变换与解三角形+Word版含答案
第2讲 小题考法——三角恒等变换与解三角形
一、主干知识要记牢 1．两组三角公式
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β． ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β． ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β
．
辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)． (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α．
②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α．
错误！未指定书签。
降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α
2．
③tan 2α＝2tan α
1－tan 2α．
2．正弦定理
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C
＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R ；
a ∶
b ∶
c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ． 3．余弦定理
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．
推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ，
cos C ＝a 2＋b 2－c 2
(完整word版)三角函数公式及求导公式
一、诱导公式口诀：(分子)奇变偶不变，符号看象限。
1. sin ( a +k?360)=sin a
cos ( a +k?360)=cos a
tan ( a +k?360)=tan a
2. sin(180 °-si^ )a
cos(180 ° + 汇0=a
3. sin(-a )-=sina
cos(-a)=cos a
4*. tan(180 ° +a )=tan a
tan(-a )=tan a
5. sin(180 -a°)=sin a
cos(180 -°a )=-cos a
6. sin(360 -a°)=-sin a
cos(360 -°a )=cos a
7. sin( -a/2=cos a
cos( n-/2 )=sin a
8*. Sin(3 n〃2=cos a
cos(3 n-/2 )-sin a
9*. Sin( n /2+ a )=cos a
cos( n /2+a)si n a
10*.sin(3 n /2+-c©s)=a
cos(3 n /2+ a )=sin a
二、两角和与差的三角函数
1. 两点距离公式
2. S( a + 3 ): sin( a + 3 )=sin a cos 3 +cos a sin 3 C( a + 3 ): cos( a + 3 )=coin aa cesi 33
3. S( -a3 ): sin(-3 )a=sin a c-ocoss3a sin 3
C( a-3 ): cos(-3 a)=cos a cos 3 +sin a sin 3
4. T( a +3 ):
T( a-3 ):
(完整word版)三角函数恒等变形公式
三角函数恒等变形公式
以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数
两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A²+B²)^(1/2)
cost=A/(A²+B²)^(1/2)
tant=B/A
Asinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)
(完整word版)辅助角公式的推导
辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+的推导
在三角函数中,有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法，
教师们总结出公式sin cos a b θθ+
)θϕ+或sin cos a b θθ+
cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用。
但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推！本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担；同时说明“辅助角"的范围和常见的取角方法，帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用，优化解题过程与方法；最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用，让学生把握辅助角与原生角的范围关系，以更好地掌握和使用公式.
一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例
例1
α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α—3
π
)。
其证法是从右往左展开证明，也可以从左往右“凑”，使等式得到证明，并得出结论: 可见，
α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.
一般地，asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导
例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式。 解: asin θ+bcos θ
sin θ
cos θ），
①
令
ϕ
=sin ϕ,
高中全部数学公式完整本自己整理Word版
三角函数
①合角公式
②倍角公式
③半角公式
④万能公式
⑤和差化积
⑥积化和差
⑦辅助角公式
⑧诱导公式
sin →cos 和tan →cot
是加减
的关系，若原来的角加减后的角的新函数值与原来的符号不同，则要加负号
⑨其它
⑩三角函数的图像
对称轴
对称中心
增区间
减区间
对称轴
对称中心
增区间
减区间
对称中心
增区间
⑾正弦定理
⑿余弦定理
不等式
对称性
传递性
推论
推论
已知，
，，
求范围？
均值不等式
①
②当
为定值时，当且仅当时,
③当
为定值时，当且仅当时,
④
时取等号
若②③中不能取到等号则用调和函数
注：，再根据x的值域来确定定义域
平面向量
三点共线
①
②
三线共点
因为A
、G、D共线
因为
C、
G、
E共线
基底不平行，任意存在唯一实数使
(向量
关于的分解式)
①
②
若，则
③
④若则
空间向量
共面向量
三点共线
四点共面
直线方程
①点斜式
已知过,斜率为k
②斜截式
已知截距为b
，斜率为k
③截距式
若
则，
④一般式
平行
②
③且
垂直
①且
②
③
相交
①
②
④
重合
②
③且
圆锥曲线
弦长公式
椭圆
一个动点到两个定点的距离之和为定值的点形成的轨
迹为椭圆。
通径
准线
焦半径
共焦点椭圆系
当三角形PF 1F 2面积最大时，P 为短轴端点
双曲线
一个动点到两个定点的距离之差为定值
2a
的点形成的轨迹为双曲线。离心率越大，开口越大。 |PF1|-|PF2|=2a
渐近线
共焦点双曲线系
共渐近线双曲线系
抛物线
一个动点到一个定点的距离等于这个动点到定直线的距离的点形成的轨迹为抛物线。
焦半径（抛物线上任意一点到
F 的距离）
过焦点的通径最短
圆
（弧度）
圆心
半径r
一般式
圆—线
相交 相切
相离
弦长
圆—圆
（此式为两圆的交点所在的直线的方程）
三角函数常用公式表(可编辑修改word版)
1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角；
（2）
、与终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合{
| = + k ⋅ 360 , k ∈ Z }
（3）
、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。
2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做 1
弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
（2）、度数与弧度数的换算：180 = 弧度，1 弧度= (180) ≈ 57 18'
y P （x ，y ） （3）、弧长公式： l =|| r
（
是角的弧度数）
r
扇形面积： S =
1
lr == 2 1
|
| r 2
2 r = x 2 + y 2 > 0
x 3、三角函数 （1）、定义：（如图）
（2）、各象限的符号：
y y
sin = y
r tan = y
x sec =
r
+
x + _
+ cos = x
r
cot
= x y csc
= r y O
x
O
_
_
_
+
tan
的角度 0︒ 30︒ 45︒
60︒
90︒
120︒ 135︒ 150︒ 180︒ 270︒ 360︒
的弧度
0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6
3 2
2 sin 0 1 2 2 2
3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 - 1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2
- 1 2 - 2 2 - 3 2 - 1
1 tan
3 3
1
3
—
- 3
- 1
- 3 3 0
—
4、同角三角函数基本关系式 （１）平方关系：
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辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+的推导
在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ
θ+为一个角
的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学
生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式
sin cos a b θθ+
)θϕ+或sin cos a b θθ+
cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个
学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法
教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1
α+cos α=2sin （α+
6π）=2cos （α-3
π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出
结论: 可见
α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.
一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θ
θ+为一个角的一个三角函数的形式.
解: asin θ+bcos θ
sin θ
cos θ),
①
=cos ϕ
=sin ϕ,
则asin θ+bcos θ
θcos ϕ+cos θsin ϕ)
θ+ϕ),(其中tan ϕ=
b a
)
②
=sin ϕ
=cos ϕ,则
asin θ+bcos θ
θsin ϕ+cos θcos ϕ
θ-ϕ),(其中tan ϕ=
a b
) 其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=
b
a
和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习.
但是这种推导方法有两个问题:
一是为什么要令
=cos ϕ
=sin ϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推
导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θ
θ+
)θϕ+来得更自然
能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.
首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角
函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设
由三角函数的定义知 sin ϕ=
b r
cos ϕ
=a r
=
.
所以asin θ+bcos θ
ϕ sin θ
ϕcos θ
)θϕ+.(其中tan ϕ=b
a
)
2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),
如图2所示,则总有一个角ϕ的终边经过
点P(b,a),设OP=r,则
由三
角函数的定义知
sinϕ=a
r
,
cosϕ=b r
asinθ+bcosθ
sin cos cos ϕθϕθ
+
s()
θϕ
-. (其中tanϕ=
a
b
)
例3
cos
θθ
+为一个角的一个三角函数的形式.
解:在坐标系中描点
P(,1),设角ϕ的终边过点P,则OP
ϕ=1
2
,cosϕ=
2
.
∴
cos
θθ
+=2cosϕsinθ+2sinϕcosθ=2sin(θϕ
+
).tanϕ=
3
.
2
6
k
π
ϕπ
=
+,cos
θθ
+=2sin(
6
π
θ+).
经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式
asin
θ+bcosθ=
(
sinθ+
cosθ)=
)
θϕ
+,(其中tanϕ=
b
a
).或者
asin
θ+bcosθ=
(
sinθ+
cosθ)=
)
θϕ
-,(其中tanϕ=
a
b
)
我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解
asinθ+bcosθ
sinθ
cosθ)的道理,以
及为什么只有两种形式的结果.
例4
化sinαα
-为一个角的一个三角函数的形式.
解法一:点
(1,-)在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.
则
sin
2
ϕ=-,
1
cos
2
ϕ=.满足条件的最小正角为
5
3
π,
5
2,.
3
k k Z
ϕππ
=+∈
1
sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)
22
55
2sin()2sin(2)2sin().
33
k
αααααϕαϕ
αϕαππαπ
∴-=-=+
=+=++=+
解法二:点
P(-,1)在第二象限,OP=2,设角ϕ过P点.则
1
sin
2
ϕ=
,cos
2
ϕ=-.满足条件的最小正角为
5
6
π,
5
2,.
6
k k Z
ϕππ
=+∈
1
sin2(sin cos)2(sin sin cos cos)
22
55
2cos()2cos(2)2cos().
66
k
αααααϕαϕ
αϕαππαπ
∴-=-=+
=-=--=-
三.关于辅助角的范围问题
由sin cos)
a b
θθθϕ
+=+中,点P(a,b)的位置可知,终
边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).
设满足条件的最小正角为
1
ϕ,则
1
2k
ϕϕπ
=+.由诱导公式(一)知
1 sin cos))
a b
θθθϕθϕ
+=+=+．其