(完整word版)辅助角公式的推导
辅助角公式的推导(最新整理)
个角 ,它的终边经过点 P.设 OP=r,r=
a2 b2 ,由三角函数的定义知
的终边 y
P(a,b)
r
sin = b = b , r a2 b2
cos = a a . r a2 b2
O
x
图1
所以 asin +bcos == a2 b2 cos sin + a2 b2 sin cos
32 3
（２）
23
2 [sin(
) cos
cos(
) sin ]
33
3
3
3
2
2 sin(
)
33
在本例第（１）小题中， a 3 ， b 1，我们并没有取点Ｐ（ 3 ，－１），
而取的是点Ｐ（ 3 ，１）．也就是说，当 a 、 b 中至少有一个是负值时．我们
可以取Ｐ（ a ， b ），或者Ｐ（ b ， a ）．这样确定的角1 （或2 ）是锐角，
4
中 1
(0,
2
)
，
tan 1
b a
， 1 的具体位置由
sin 1 与
cos1 决定， 1 的
大小由 tan 1
b a
决定．
类 似 地 ， a sin b cos a2 b2 cos( ) ， 的 终 边 过 点 Ｐ
（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2 ，则 2 2k . 由诱导公式有
出.或由 tan = b 和(a,b)所在的象限来确定. a
推导之后,是配套的例题和大量的练习.
但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令
a =cos , a2 b2
b
=sin ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易
辅助角公式的推导
利用三角函数的倍角公式推导
三角函数的倍角公式也是推导辅助角 公式的重要工具，通过将复杂的三角 函数表达式转化为简单的三角函数倍 角形式，可以进一步简化计算。
利用三角函数的倍角公式，可以将形如 $sin(2x)$或$cos(2x)$的表达式转化为 $2sinx*cosx$或$cos^2x-sin^2x$的形式 ，从而将问题简化为已知的三角函数形式 。
在现代数学和工程领域，辅助角公式已经成为解决各种复杂问
题的基本工具之一，其应用范围不断扩大。
02
辅助角公式的推导过程
利用三角函数的和差化积公式推导
三角函数的和差化积公式是推导辅助 角公式的重要基础，通过将复杂的三 角函数表达式转化为简单的三角函数 和差形式，可以进一步简化计算。
VS
利用三角函数的和差化积公式，可以 将形如$sin(x+y)$或$cos(x+y)$的表 达式转化为$sinx*cosy+cosx*siny$ 的形式，从而将问题简化为已知的三 角函数形式。
辅助角公式推导
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导过程 • 辅助角公式的应用举例 • 辅助角公式的扩展与推广 • 辅助角公式的注意事项与限制条
件
目录
01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
辅助角公式是三角函数中用于 将一个复杂三角函数式转化为 简单三角函数式的一组公式。
它通过添加或减去一个或多个 角，将给定的角转换到易于处 理的位置，从而简化计算过程。
辅助角公式通常以正弦、余弦、 正切等基本三角函数形式表示。
辅助角公式的应用场景
解决三角函数问题
辅助角公式在解决涉及三角函数 的数学问题中非常有用，例如求 解三角函数的值、化简复杂的三 角函数表达式等。
辅助角公式定义
辅助角公式定义辅助角公式是高中数学三角函数中的一个重要公式。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开解决很多三角函数难题的大门。
先来说说辅助角公式到底长啥样儿。
辅助角公式是：$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$，其中$\tan\varphi = \frac{b}{a}$。
我记得有一次给学生们讲这个公式的时候，发生了一件特别有意思的事儿。
当时我在黑板上写下这个公式，然后问大家：“同学们，你们看这个公式像不像一个神秘的密码？”结果有个调皮的学生喊了一句：“老师，这密码太难破解啦！”全班哄堂大笑。
其实啊，辅助角公式的作用可大着呢！比如说，当我们遇到像$3\sin x + 4\cos x$这样的式子，如果要求它的最大值、最小值或者周期，直接看可不好弄。
但是用辅助角公式一转化，就变成了$5\sin(x +\varphi)$，其中$\tan\varphi = \frac{4}{3}$。
这样一来，问题是不是一下子就简单多啦？咱们再深入一点，为啥这个公式能这么神奇呢？这就得从三角函数的基本性质说起啦。
大家都知道正弦函数和余弦函数的值域都是$[-1,1]$，但是通过辅助角公式的整合，就能够把两个不同的三角函数合并成一个，从而更方便地进行分析和计算。
那在解题的时候，怎么能准确地运用辅助角公式呢？这就需要我们先观察式子中的系数$a$和$b$，然后求出$\varphi$的值。
这里要特别注意正负号哦，可别搞错了。
我曾经遇到过这样一道题：已知函数$f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$，求它的最小正周期和最大值。
这时候，我们就可以用辅助角公式把$f(x)$转化为$2\sin(x + \frac{\pi}{3})$。
因为正弦函数的最小正周期是$2\pi$，所以$f(x)$的最小正周期就是$2\pi$。
而正弦函数的最大值是$1$，所以$f(x)$的最大值就是$2$。
三角恒等变换之辅助角公式
辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θϕ+或sin cos a b θθ+cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①=cos ϕ=sin ϕ,则asin θ+bcos θθcos ϕ+cos θsin ϕ)θ+ϕ),(其中tan ϕ=b a)②=sin ϕ=cos ϕ,则asin θ+bcos θθsin ϕ+cos θcos ϕθ-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos ϕ=sin ϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θθ+)θϕ+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设由三角函数的定义知 sin ϕ=b rcos ϕ=a r=.所以asin θ+bcos θϕ sin θϕcos θ)θϕ+.(其中tan ϕ=ba)2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角ϕ的终边经过点P(b,a),设OP=r,则由三角函数的定义知sinϕ=ar,cosϕ=b rasinθ+bcosθsin cos cos ϕθϕθ+s()θϕ-. (其中tanϕ=ab)例3cosθθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(,1),设角ϕ的终边过点P,则OPϕ=12,cosϕ=2.∴cosθθ+=2cosϕsinθ+2sinϕcosθ=2sin(θϕ+).tanϕ=3.26kπϕπ=+,cosθθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ+,(其中tanϕ=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ-,(其中tanϕ=ab)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asinθ+bcosθsinθcosθ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sinαα-为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点(1,-)在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.则sin2ϕ=-,1cos2ϕ=.满足条件的最小正角为53π,52,.3k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)22552sin()2sin(2)2sin().33kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点P(-,1)在第二象限,OP=2,设角ϕ过P点.则1sin2ϕ=,cos2ϕ=-.满足条件的最小正角为56π,52,.6k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin sin cos cos)22552cos()2cos(2)2cos().66kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=-=--=-三.关于辅助角的范围问题由sin cos)a bθθθϕ+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1ϕ,则12kϕϕπ=+.由诱导公式(一)知1 sin cos))a bθθθϕθϕ+=+=+．其中1(0,2)ϕπ∈，1tan baϕ=，1ϕ的具体位置由1sin ϕ与1cos ϕ决定，1ϕ的大小由1tan baϕ=决定．类似地，sin cos )a b θθθϕ+=-，ϕ的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2ϕ，则22.k ϕϕπ=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθϕθϕ+=-=-，其中2(0,2)ϕπ∈，2tan abϕ=，2ϕ的位置由2sin ϕ和2cos ϕ确定，2ϕ的大小由2tan abϕ=确定．注意：①一般地，12ϕϕ≠；②以后没有特别说明时，角1ϕ（或2ϕ）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθϕ+=+的形式或2sin cos )a b θθθϕ+=-的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．cos αα-；（２）sin()cos()6363ππαα-+-． 解：（１）1cos sin cos )222(sin cos cos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）小题中，a =1b =-１），而取的是点Ｐ１）．也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的角1ϕ（或2ϕ）是锐角，就更加方便．例6 已知向量(cos(),1)3ax π=+,1(cos(),)32b x π=+-,(sin(),0)3c x π=+,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+的最大值及相应的x的值.解:21()cos()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++=21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++=22cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++max()22h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈. 此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中心角为45︒,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin(cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+=13sin(2)22θϕ-+,其中11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11arctan 2ϕ=. 04πθ<<,111arctan 2arctan .222πθϕ∴<+<+2min 322l ∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对角线l的最小值为12-.θNBMAQPO图3。
《辅助角公式》 讲义
《辅助角公式》讲义一、引入在三角函数的学习中，我们常常会遇到形如＼（a\sin x ＋b\cos x\）这样的式子。
为了更方便地对其进行分析和处理，我们引入了一个非常重要的公式——辅助角公式。
二、什么是辅助角公式辅助角公式的一般形式为：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）。
这个公式的作用在于将两个不同的三角函数\（＼sin x\）和\（＼cos x\）合并成一个单一的三角函数\（＼sin(x ＋＼varphi)＼），从而简化计算和分析。
三、辅助角公式的推导为了推导辅助角公式，我们可以利用三角函数的和角公式：＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）令＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝ R\sin(x ＋＼varphi)＼）则＼（R\sin(x ＋＼varphi) ＝ R(＼sin x\cos\varphi ＋＼cosx\sin\varphi) ＝ R\cos\varphi\sin x ＋ R\sin\varphi\cos x\）所以＼（R\cos\varphi ＝ a\），＼（R\sin\varphi ＝ b\）两边平方相加可得：＼（R^2(＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi) ＝a^2 ＋ b^2\）因为\（＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi ＝ 1\），所以＼（R ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）则\（＼tan\varphi ＝＼frac{＼sin\varphi}｛＼cos\varphi} ＝＼frac{b}｛a}＼）这样就得到了辅助角公式：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）四、辅助角公式的应用（一）化简三角函数表达式例 1：化简\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x\）首先，＼（R ＝＼sqrt{（＼sqrt{3}）＾2 ＋ 1^2} ＝ 2\）＼（＼tan\varphi ＝＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛6}＼）则\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x ＝ 2\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛6}）＼）例 2：化简＼（5\sin x 12\cos x\）＼（R ＝＼sqrt{5^2 ＋（－12)＾2} ＝ 13\）arctan\frac{12}｛5}＼）则＼（5\sin x 12\cos x ＝ 13\sin(x ＼arctan\frac{12}｛5}）＼）（二）求三角函数的最值例 3：求函数＼（y ＝ 2\sin x ＋ 2\sqrt{3}＼cos x\）的最大值和最小值先将其化为辅助角公式的形式：＼（R ＝＼sqrt{2^2 ＋（2\sqrt{3}）＾2} ＝ 4\）＼（＼tan\varphi ＝＼sqrt{3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛3}＼）则＼（y ＝ 4\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）因为\（＼sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）的最大值为＼（1\），最小值为\（－1\）所以＼（y\）的最大值为＼（4\），最小值为\（－4\）（三）求解三角函数方程例 4：求解方程＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 2\）将左边化为辅助角公式：＼（R ＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2} ＝ 5\）arctan\frac{4}｛3}＼）则＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＼）原方程变为＼（5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝ 2\）＼（＼sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝＼frac{2}｛5}＼）则＼（x ＋＼arctan\frac{4}｛3} ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5}＼），＼（k\in Z\）＼（x ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5} ＼arctan\frac{4}｛3}＼），＼（k\in Z\）五、使用辅助角公式的注意事项（一）正确确定辅助角\（＼varphi\）要根据\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）来确定\（＼varphi\）的值，同时要注意\（＼varphi\）所在的象限。
三角函数辅助角公式推导
三角函数辅助角公式推导
三角函数辅助角公式：
1、什么是三角函数辅助角公式？
三角函数辅助角公式是求解三角函数方面的有效方法。
它以一种概括性的方式给出了三角函数的一些性质与关系，充分利用了三角函数的观察规律，使求解三角函数平方等式变得更加简便。
2、三角函数辅助角公式的特点
（1）三角函数辅助角公式给出了三角函数各式表达式之间相互转换的方法，使用起来更简便易懂。
（2）三角函数辅助角公式提供了一种统一的框架，能够将拥有不同函数数和系数参数的复杂三角函数表达式转换为简单的函数表达式，有效地减少了计算量。
（3）三角函数辅助角公式能够直观地给出式子的一些定义域与性质，尤其方便了数学分析和总结求解三角函数的步骤。
3、应用三角函数辅助角公式的方法
（1）将式子的变量被系数化
可将被求解式子利用导数的两个公式乘积变化，用化简后的式子减去原式，最后得到变量被系数化的新式子，即可得到解析解。
（2）将式子按照基本公式变换
可以利用常见的基本公式，坐标变换，分式变换，拉格朗日准则，增减法则等等，利用其特点变换式子，直到式子变为对应系数辅助角公式求解，得到解析解。
（3）根据形式，求解方程
一旦从特定形式的函数表达式出发，可以根据性质及合理化的观测、推理来推导出已知方程的解，从而得到解析解。
4、三角函数辅助角公式的优点
（1）能有效提高解三角函数问题的效率。
（2）能更加直观地表达它们之间的关系，使解题更容易理解。
（3）辅助角公式的存在释放了很多解三角函数问题的手段，使求解三角函数问题变得更加灵活。
（4）能更方便地求解广泛的三角函数问题，扩大了应用的范围。
三角函数辅助角公式 推导过程是什么
三角函数辅助角公式推导过程是什么辅助角公式是一种高等三角函数公式，下面小编整理了三角函数辅助角公式公式及推导过程，供大家参考！1 三角函数辅助角公式是什幺辅助角公式是一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+\arctan(b/a)]（a>0）。
虽然该公式已经被写入中学课本，但其几何意义却鲜为人知。
设要证明的公式为asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) (tanM=b/a)以下是证明过程：设asinA+bcosA=xsin(A+M)∴asinA+bcosA=x((a/x)sinA+(b/x)cosA)由题,（a/x) +(b/x) =1,sinM=a/x,cosM=b/x∴x=√(a +b )∴asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=b/a1 三角函数辅助角公式推导过程三角函数辅助角公式推导：asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]令a/√(a²+b²)=cosφ，b/√(a²+b²)=sinφasinx+bcosx=√(a²+b²)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a²+b²)sin(x+φ)其中，tanφ=sinφ/cosφ=b/a，φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同. 简单例题：（1）化简5sina-12cosa5sina-12cosa=13(5/13sina-12/13cosa)。
辅助角公式的推导精编版
辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θϕ+或sin cos a b θθ+cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①=cos ϕ=sin ϕ,则asin θ+bcos θθcos ϕ+cos θsin ϕ)θ+ϕ),(其中tan ϕ=b a)②=sin ϕ=cos ϕ,则asin θ+bcos θθsin ϕ+cos θcos ϕθ-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos ϕ=sin ϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θθ+)θϕ+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设由三角函数的定义知 sin ϕ=b rcos ϕ=a r=.所以asin θ+bcos θϕ sin θϕcos θ)θϕ+.(其中tan ϕ=ba)2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角ϕ的终边经过点P(b,a),设OP=r,则由三角函数的定义知sinϕ=ar,cosϕ=b rasinθ+bcosθsin cos cos ϕθϕθ+s()θϕ-. (其中tanϕ=ab)例3cosθθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(,1),设角ϕ的终边过点P,则OPϕ=12,cosϕ=2.∴cosθθ+=2cosϕsinθ+2sinϕcosθ=2sin(θϕ+).tanϕ=3.26kπϕπ=+,cosθθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ+,(其中tanϕ=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ-,(其中tanϕ=ab)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asinθ+bcosθsinθcosθ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sinαα-为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点(1,-)在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.则sin2ϕ=-,1cos2ϕ=.满足条件的最小正角为53π,52,.3k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)22552sin()2sin(2)2sin().33kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点P(-,1)在第二象限,OP=2,设角ϕ过P点.则1sin2ϕ=,cos2ϕ=-.满足条件的最小正角为56π,52,.6k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin sin cos cos)22552cos()2cos(2)2cos().66kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=-=--=-三.关于辅助角的范围问题由sin cos)a bθθθϕ+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1ϕ,则12kϕϕπ=+.由诱导公式(一)知1 sin cos))a bθθθϕθϕ+=+=+．其中1(0,2)ϕπ∈，1tan baϕ=，1ϕ的具体位置由1sin ϕ与1cos ϕ决定，1ϕ的大小由1tan baϕ=决定．类似地，sin cos )a b θθθϕ+=-，ϕ的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2ϕ，则22.k ϕϕπ=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθϕθϕ+=-=-，其中2(0,2)ϕπ∈，2tan abϕ=，2ϕ的位置由2sin ϕ和2cos ϕ确定，2ϕ的大小由2tan abϕ=确定．注意：①一般地，12ϕϕ≠；②以后没有特别说明时，角1ϕ（或2ϕ）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθϕ+=+的形式或2sin cos )a b θθθϕ+=-的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．cos αα-；（２）sin()cos()6363ππαα-+-． 解：（１）1cos sin cos )222(sin cos cos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）小题中，a =1b =-１），而取的是点Ｐ１）．也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的角1ϕ（或2ϕ）是锐角，就更加方便．例6 已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1(cos(),)32b x π=+-r ,(sin(),0)3c x π=+r ,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+r r r r 的最大值及相应的x的值.解:21()cos()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++=21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++=22cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++max()2.2h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈. 此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中心角为45︒,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin(cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+=13sin(2)22θϕ-+,其中11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11arctan 2ϕ=. 04πθ<<Q ,111arctan 2arctan .222πθϕ∴<+<+2min 322l ∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对角线l的最小值为12-.θNBMAQPO图3。
初中数学公式：辅助角公式
初中数学公式：辅助角公式
初中数学公式大全：辅助角公式
即将开始的初中期中考试大家做好准备了吗，下面小编为大家带来的是辅助角公式，备考的同学们要做好笔记啦。
辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
初中数学正方形定理公式
关于正方形定理公式的.内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。
正方形定理公式
正方形的特征：
①正方形的四边相等；
②正方形的四个角都是直角；
③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
正方形的判定：
①有一个角是直角的菱形是正方形；
②有一组邻边相等的矩形是正方形。
希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。
初中数学平行四边形定理公式
同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。
平行四边形
平行四边形的性质：
①平行四边形的对边相等；
②平行四边形的对角相等；
③平行四边形的对角线互相平分；。
辅助角公式的推导
辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θϕ+或sin cos a b θθ+cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,表达一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①=cos ϕ=sin ϕ,则asin θ+bcos θθcos ϕ+cos θsin ϕ)θ+ϕ),(其中tan ϕ=b a)②=sin ϕ=cos ϕ,则asin θ+bcos θθsin ϕ+cos θcos ϕθ-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos ϕ=sin ϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θθ+)θϕ+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设由三角函数的定义知 sin ϕ=b rcos ϕ=a r=.所以asin θ+bcos θϕsin θϕcos θ)θϕ+.(其中tan ϕ=ba)2.若在平面直角坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角ϕ的终边经过点P(b,a),设OP=r,则由三角函数的定义知sin ϕ=ar,cos ϕ=b rasin θ+bcos θsin cos cos ϕθϕθ+s()θϕ-.(其中tan ϕ=a b)例3cos θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(,1),设角ϕ的终边过点P,则OPϕ=12,cos ϕ=2.cos θθ+=2cos ϕsin θ+2sin ϕcos θ=2sin(θϕ+).tan ϕ=3.26k πϕπ=+,cos θθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式 asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ+,(其中tan ϕ=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ-,(其中tan ϕ=ab)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asinθ+bcosθsinθcosθ)的道理,以与为什么只有两种形式的结果.例4化sinαα-为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点(1,-)在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.则sin2ϕ=-,1cos2ϕ=.满足条件的最小正角为53π,52,.3k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)22552sin()2sin(2)2sin().33kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点P(-,1)在第二象限,OP=2,设角ϕ过P点.则1sin2ϕ=,cos2ϕ=-.满足条件的最小正角为56π,52,.6k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin sin cos cos)22552cos()2cos(2)2cos().66kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=-=--=-三.关于辅助角的围问题由sin cos)a bθθθϕ+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1ϕ,则12kϕϕπ=+.由诱导公式(一)知1 sin cos))a bθθθϕθϕ+=+=+．其中1(0,2)ϕπ∈，1tan baϕ=，1ϕ的具体位置由1sin ϕ与1cos ϕ决定，1ϕ的大小由1tan baϕ=决定．类似地，sin cos )a b θθθϕ+=-，ϕ的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2ϕ，则22.k ϕϕπ=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθϕθϕ+=-=-，其中2(0,2)ϕπ∈，2tan abϕ=，2ϕ的位置由2sin ϕ和2cos ϕ确定，2ϕ的大小由2tan abϕ=确定．注意：①一般地，12ϕϕ≠；②以后没有特别说明时，角1ϕ（或2ϕ）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθϕ+=+的形式或2sin cos )a b θθθϕ+=-的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５ 化以下三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．cos αα-；（２）sin()cos()6363ππαα-+-． 解：（１）1cos sin cos )222(sin cos cos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）小题中，a =1b =-１），而取的是点Ｐ１）．也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的角1ϕ（或2ϕ）是锐角，就更加方便．例6 已知向量(cos(),1)3ax π=+,1(cos(),)32b x π=+-,(sin(),0)3c x π=+,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+的最大值与相应的x的值.解:21()cos()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++=21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++=22cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++max()22h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈. 此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉与辅角的围,在相应围求三角函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中心角为45︒,半径为1,矩形PQMN 接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin(cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+=13sin(2)22θϕ-+,其中11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11arctan 2ϕ=. 04πθ<<,111arctan 2arctan .222πθϕ∴<+<+2min 322l ∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时,矩形的对角线l的最小值为12-.θNBMAQPO图3。
辅助角公式通用课件
随着数学与其他学科的交叉融合 ，辅助角公式将会在更多领域发
挥其重要的作用。
未来研究的方向与展望
对于辅助角公式的深入研究，可以进一步探索其与其他数学知识的联系 和区别，促进数学知识的系统化。
可以尝试推广辅助角公式，将其应用于更广泛的数学问题中，以拓展数 学的应用领域。
可以结合现代数学技术和方法，研究辅助角公式的计算方法和算法，提 高其计算效率和精度。
角）的三角函数值。
辅助角公式在解决三角函数问题 时具有广泛的应用，可以简化计
算过程，提高解题效率。Fra bibliotek辅助角公式的推导过程涉及到三 角函数的诱导公式和和差公式等 基础知识，需要学生熟练掌握。
辅助角公式的应用前景展望
随着数学教育的普及和提高，辅 助角公式将会被更广泛地应用于
解决实际问题中。
在物理、工程、经济等领域，辅 助角公式也有着广泛的应用前景 ，可以用于解决各种涉及三角函
实际应用案例
通过实际应用案例，可以深入理解辅助角公式的应用场景和优势，如物理、工 程、经济等领域的问题解决。
05 辅助角公式的习题与解答
辅助角公式的常见习题
习题1
01
已知角α的终边在第二象限，求α的集合。
习题2
02
已知sinα=-√3/2，求α在哪个象限。
习题3
03
已知cosα=1/2，求α的值。
02 辅助角公式的推导与证明
三角函数的和差化积公式
三角函数的和差化积公式是三角函数 中非常重要的公式之一，它可以将两 个三角函数的和差形式转化为积的形 式，从而简化计算。
这个公式在解决三角函数问题时非常 有用，可以大大简化计算过程。
具体来说，对于任意两个角度α和β， 三角函数的和差化积公式为： sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ。
辅助角公式推导
辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θϕ+或sin cos a b θθ+cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①=cos ϕ=sin ϕ,则asin θ+bcos θθcos ϕ+cos θsin ϕ)θ+ϕ),(其中tan ϕ=ba)②=sin ϕ=cos ϕ,则asin θ+bcos θθsin ϕ+cos θcos ϕθ-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos ϕ=sin ϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θθ+)θϕ+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设由三角函数的定义知sin ϕ=b rcos ϕ=a r =.所以asin θ+bcos θϕ sin θϕcos θ)θϕ+.(其中tan ϕ=ba)2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角ϕ的终边经过点P(b,a),设OP=r,则由三角函数的定义知sinϕ=ar,cosϕ=b rasinθ+bcosθsin cos ϕθϕθ+s()θϕ-. (其中tanϕ=ab)例3cosθθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(,1),设角ϕ的终边过点P,则OPϕ=12,cosϕ=2.∴cosθθ+=2cosϕsinθ+2sinϕcosθ=2sin(θϕ+).tanϕ=3.26kπϕπ=+,cosθθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ+,(其中tanϕ=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ-,(其中tanϕ=ab)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asinθ+bcosθsinθcosθ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sinαα-为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点(1,-)在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.则sin2ϕ=-,1cos2ϕ=.满足条件的最小正角为53π,52,.3k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)22552sin()2sin(2)2sin().33kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点P(-,1)在第二象限,OP=2,设角ϕ过P点.则1sin2ϕ=,cos2ϕ=-.满足条件的最小正角为56π,52,.6k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin sin cos cos)22552cos()2cos(2)2cos().66kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=-=--=-三.关于辅助角的范围问题由sin cos)a bθθθϕ+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1ϕ,则12kϕϕπ=+.由诱导公式(一)知1 sin cos))a bθθθϕθϕ+=+=+．其中1(0,2)ϕπ∈，1tan baϕ=，1ϕ的具体位置由1sin ϕ与1cos ϕ决定，1ϕ的大小由1tan baϕ=决定．类似地，sin cos )a b θθθϕ+=-，ϕ的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2ϕ，则22.k ϕϕπ=+由诱导公式有2sin cos ))a b θθθϕθϕ+=-=-，其中2(0,2)ϕπ∈，2tan abϕ=，2ϕ的位置由2sin ϕ和2cos ϕ确定，2ϕ的大小由2tan abϕ=确定．注意：①一般地，12ϕϕ≠；②以后没有特别说明时，角1ϕ（或2ϕ）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθϕ+=+的形式或2sin cos )a b θθθϕ+=-的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．cos αα-；（２）sin()cos()6363ππαα-+-． 解：（１）1cos sin cos )222(sin coscos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）sin()cos()63631sin()cos()]32323)cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）小题中，a =1b =-１），而取的是点Ｐ１）．也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的角1ϕ（或2ϕ）是锐角，就更加方便．例6 已知向量(cos(),1)3ax π=+,1(cos(),)32b x π=+-,(sin(),0)3c x π=+,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+的最大值及相应的x的值.解:21()cos()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++=21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++=22cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++max()2.2h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈. 此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中心角为45︒,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin(cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+=13sin(2)22θϕ-+,其中11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11arctan 2ϕ=. 04πθ<<,111arctan 2arctan .222πθϕ∴<+<+2min 322l ∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对角线l的最小值为12-.θNBMAPO图3。
辅助角公式是什么要注意哪些地方
辅助角公式是什么要注意哪些地方
辅助角公式属于高等三角函数公式中的一个，在考试中使用的频率也是很高。
下面是由编辑为大家整理的“辅助角公式是什么要注意哪些地方”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
辅助角公式是什么
辅助角公式是一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+arctan(b/a)](a>0)。
辅助角公式的具体内容
该公式的主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数，以此来求解有关最值问题。
拓展阅读：辅助角公式的记忆方法
很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，分母的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a(即正弦的系数a在分母)。
如果用余弦来表示，那反正切就要变成a/b(余弦的系数b在分母)。
辅助角公式
For personal use only in study and research; not for commercial use推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据诱导公式得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，分母的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者公式应用例1求sinθ/(2cosθ+√5)的最大值解：设sinθ/(2cosθ+√5)=k 则sinθ-2kcosθ=√5k∴√[1+(-2k)²]sin(θ+α)=√5k平方得k²=sin²(θ+α)/[5-4sin²(θ+α)]令t=sin²(θ+α) t∈[0,1]则k²=t/(5-4t)=1/(5/t-4)当t=1时有kmax=1辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化例2化简5sina-12cosa解：5sina-12cosa=13(5/13*sina-12/13*cosa)=13(cosbsina-sinbcosa)=13sin(a-b)其中，cosb=5/13,sinb=12/13例3π/6≤a≤π/4 ,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值解：令f(a)=sin²a+2sinacosa+3cos²a=1+sin2a+2cos²a=1+sin2a+(1+cos2a)(降次公式)=2+(sin2a+cos2a)=2+（√2）sin(2a+π/4)(辅助角公式)因为7π/12≤2a+π/4≤3π/4所以f(a)min=f(3π/4)=2+(√2)sin(3π/4)=3仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
辅助角公式
推导对于fx=asinx+bcosxa>0型函数;我们可以如此变形;设点a;b为某一角φ-π/2<φ<π/2终边上的点;则;因此就是所求辅助角公式..又因为;且-π/2<φ<π/2;所以;于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示针对b>0的情况;设点b;a为某一角θ-π/2<θ<π/2终边上的点;则;因此同理;;上式化成若正弦和余弦的系数都是负数;不妨写成fx=-asinx-bcosx;则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时;经常忘记反正切到底是b/a还是a/b;导致做题出错..其实有一个很方便的记忆技巧;就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx;的位置永远是你用来表示函数名称的系数..例如用正弦来表示asinx+bcosx;则反正切就是b/a即正弦的系数a 在分母..如果用余弦来表示;那反正切就要变成a/b余弦的系数b在分母..疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为-π/2;π/2 其实是在分类讨论a>0或b>0的时候;已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了;此时辅助角的范围是2kπ-π/2;2kπ+π/2k是整数..而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变;况且在-π/2;π/2内辅助角可以利用反正切表示;使得公式更加简洁明了..提出者;原名李心兰;字竟芳;号秋纫;别号壬叔..出身于读书世家;其先祖可上溯至南宋末年汴梁今人李伯翼..生于1811年 1月22日;逝世于1882年12月9日;人;是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和;创立了二次的幂级数展开式..1就是现在的他研究各种;和对数函数的幂级数展开式;这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就..1在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献..他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用..同治七年;李善兰到北京担任同文馆天文﹑算学部长﹐执教达13年之久﹐为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献.. 李善兰为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献..继之后;李善兰成为清代数学史上的又一杰出代表..他一生翻译西方科技书籍甚多;将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传入中国;对促进近代科学的发展作出卓越贡献..1公式应用例1求sinθ/2cosθ+√5的最大值解：设sinθ/2cosθ+√5=k 则sinθ-2kcosθ=√5k∴√1+-2k2sinθ+α=√5k平方得k2=sin2θ+α/5-4sin2θ+α令t=sin2θ+α t∈0;1则k2=t/5-4t=1/5/t-4当t=1时有kmax=1辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化例2化简5sina-12cosa解：5sina-12cosa=135/13sina-12/13cosa=13cosbsina-sinbcosa=13sina-b其中;cosb=5/13;sinb=12/13例3π/6≤a≤π/4 ;求sin2a+2sinacosa+3cos2a的最小值解：令fa=sin2a+2sinacosa+3cos2a=1+sin2a+2cos2a=1+sin2a+1+cos2a公式=2+sin2a+cos2a=2+√2sin2a+π/4辅助角公式因为7π/12≤2a+π/4≤3π/4所以famin=f3π/4=2+√2sin3π/4=3。
辅助角公式正弦形式
辅助角公式正弦形式
辅助角公式指的是通过辅助角来简化三角函数的计算。
对于正弦函数，辅助角公式的正弦形式为：
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
其中，a和b为任意角度。
这个公式可以通过三角函数的和角公式推导得到。
如需计算sin(α+β)，可取任意一边为直角边，一边为斜边的直角三角形，设辅助角θ=⟨α，β⟩。
根据三角函数定义：sin(α) = B/C ，cos(α) = A/C。
辅助角θ的正弦和余弦分别为sin(θ) = c/C = c/H，cos(θ) = a/C = a/H。
其中，a，b，c分别为直角边的长度，C为斜边的长度，H为斜边的长度。
使用辅助角求解sin(α+β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)。
sin(α)cos(β) = (B/C)(a/H) = AB/CH ，cos(α)sin(β) = (A/C)(b/H) = AB/CH。
因此，sin(α+β) = (AB/CH) + (AB/CH) = 2AB/CH。
根据直角三角形的关系，可得CH = A / cos(θ) = A /(a/H) = AH/a。
代入sin(α+β) = 2AB/CH，得sin(α+β) = 2AB/(AH/a) =
2ABa/AH= 2sin(α)cos(β)。
因此，sin(α+β) = 2sin(α)cos(β)。
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辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θϕ+或sin cos a b θθ+cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①=cos ϕ=sin ϕ,则asin θ+bcos θθcos ϕ+cos θsin ϕ)θ+ϕ),(其中tan ϕ=b a)②=sin ϕ=cos ϕ,则asin θ+bcos θθsin ϕ+cos θcos ϕθ-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos ϕ=sin ϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θθ+)θϕ+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设由三角函数的定义知 sin ϕ=b rcos ϕ=a r=.所以asin θ+bcos θϕ sin θϕcos θ)θϕ+.(其中tan ϕ=ba)2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角ϕ的终边经过点P(b,a),设OP=r,则由三角函数的定义知sinϕ=ar,cosϕ=b rasinθ+bcosθsin cos cos ϕθϕθ+s()θϕ-. (其中tanϕ=ab)例3cosθθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(,1),设角ϕ的终边过点P,则OPϕ=12,cosϕ=2.∴cosθθ+=2cosϕsinθ+2sinϕcosθ=2sin(θϕ+).tanϕ=3.26kπϕπ=+,cosθθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ+,(其中tanϕ=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ-,(其中tanϕ=ab)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asinθ+bcosθsinθcosθ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sinαα-为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点(1,-)在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.则sin2ϕ=-,1cos2ϕ=.满足条件的最小正角为53π,52,.3k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)22552sin()2sin(2)2sin().33kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点P(-,1)在第二象限,OP=2,设角ϕ过P点.则1sin2ϕ=,cos2ϕ=-.满足条件的最小正角为56π,52,.6k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin sin cos cos)22552cos()2cos(2)2cos().66kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=-=--=-三.关于辅助角的范围问题由sin cos)a bθθθϕ+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1ϕ,则12kϕϕπ=+.由诱导公式(一)知1 sin cos))a bθθθϕθϕ+=+=+．其中1(0,2)ϕπ∈，1tan baϕ=，1ϕ的具体位置由1sin ϕ与1cos ϕ决定，1ϕ的大小由1tan baϕ=决定．类似地，sin cos )a b θθθϕ+=-，ϕ的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2ϕ，则22.k ϕϕπ=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθϕθϕ+=-=-，其中2(0,2)ϕπ∈，2tan abϕ=，2ϕ的位置由2sin ϕ和2cos ϕ确定，2ϕ的大小由2tan abϕ=确定．注意：①一般地，12ϕϕ≠；②以后没有特别说明时，角1ϕ（或2ϕ）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθϕ+=+的形式或2sin cos )a b θθθϕ+=-的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．cos αα-；（２）sin()cos()6363ππαα-+-． 解：（１）1cos sin cos )222(sin coscos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）小题中，a =1b =-１），而取的是点Ｐ１）．也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的角1ϕ（或2ϕ）是锐角，就更加方便．例6 已知向量(cos(),1)3ax π=+,1(cos(),)32b x π=+-,(sin(),0)3c x π=+,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+的最大值及相应的x的值.解:21()cos()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++=21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++=22cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++max()2.2h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈.此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中心角为45︒,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin(cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+=13sin(2)22θϕ-+,其中11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11arctan 2ϕ=. 04πθ<<,111arctan 2arctan .222πθϕ∴<+<+2min 322l ∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对角线l的最小值为12-.θNBMAPO图3。