《数学竞赛》第三章数论2012.2

合集下载

数学竞赛中的数论问题3

2-4 数学竞赛中的数论问题（09-10-28）数论是研究自然数的一个数学分支. 一、数学竞赛中数论问题的基本内容主要有8个定义、15条定理.定义1 （带余除法）给定整数,,0,a b b ≠如果有整数(),0q r r b ≤<满足 a qb r =+，则q 和r 分别称为a 除以b 的商和余数．特别的，0r =时，则称a 被b 整除，记作b a ，或者说a 是b 的倍数，而b 是a 的约数．定义2 （最小公倍数）非零整数12,,,n a a a L 的最小公倍数是能被其中每一个()1i a i n ≤≤所整除的最小正整数，记作[]12,,,n a a a L ．定义3 （最大公约数）设整数12,,,n a a a L 中至少有一个不等于零，这n 个数的最大公约数是能整除其中每一个整数的最大正整数，记作()12,,,n a a a L ．定理1 对任意的正整数，有 ()[],,a b a b ab ⋅=．定义4 如果整数,a b 满足(),1a b =，则称a 与b 是互素的（以前也称为互质）．定义5 大于1且除1及其自身外没有别的正整数因子的正整数，称为素数（以前也称为质数）．其余大于1的正整数称为合数；数1既不是素数也不是合数．定理2 素数有无穷多个，2是唯一的偶素数．定义6 对于整数,,a b c ，且0c ≠，若()c a b -，则称,a b 关于模c 同余，记(mod )a b c ≡a (mod )b c ．作若则称,a b 关于模c 不同余，记作,,a b c 为非零整数，定理3 （整除的性质）设整数（1）若c b ，b a ，则c a ；（2）若c a ，则bc ab ；（3）若c a ，c b ，则对任意整数,m n ，有c ma nb +；（4）若(),1a b =，且a bc ，则a c ；（5）若(),1a b =，且,a c b c ，则ab c （6）若a 为素数，且a bc ，则a b 或a c ．定理4 （同余的性质）设,,,,a b c d m 为整数，0,m > （1）若(mod )a b m ≡且(mod )b c m ≡，则(mod )a c m ≡；（2）若(mod )a b m ≡且(mod )c d m ≡，则(mod )a c b d m +≡+且(mod )ac bd m ≡．（3）若(mod )a b m ≡，则对任意的正整数n 有(mod )nna b m =，且(mod )an bn mn ≡；（4）若(mod )a b m ≡，且对非零整数k 有(,,)k a b m ，则mod a b m k k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭．定理5 设,a b 为整数，n 为正整数，（1）若a b ≠，则()()nna b a b--；（2）若a b ≠-，则()()2121n n a b a b --++；（3）若a b ≠-，则()()22nn a b ab +-．定义7 设n 为正整数，k 为大于2的正整数, 12,,,m a a a L 是小于k 的非负整数，且10a >．若 12121m m m m n a ka k a k a ---=++++L ，则称数12m a a a L 为n 的k 进制表示．定理6 给定整数2k ≥，对任意的正整数n ，都有唯一的k 进制表示．定理7 任意一个正整数n 与它的十进制表示中的所有数字之和关于模9同余．定理8 （分解唯一性）每个大于1的正整数都可分解为素数的乘积，而且不计因数的顺序时，这种表示是唯一的1212k aaak n p p p =L .定理9 若正整数n 的素数分解式为 1212,k aaak n p p p =L 则n 的约数的个数为()()()()12111k d n a a a =+++L ，n 的一切约数之和等于121212111111k a a a k k p p p p p p ---⋅⋅⋅---L ．定义8 对任意实数x ，[]x 是不超过x 的最大整数．亦称[]x 为x 的整数部分，[][]1x x x ≤<+．定理10 在正整数!n 的素因子分解式中，素数p 作为因子出现的次数是23n n n p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 定理11 如果素数p 不能整除整数a ，则()11p p a--．定理12 设p 为素数，对任意的整数a ，有()mod pa a p ≡．定理13 设正整数1212.k aaak n p p p =L ，则不大于n 且与n 互素的正整数个数()n ϕ为()12111111k n n a a a ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ．定理14 整系数二元一次方程ax by c +=存在整数解的充分必要条件是(),c a b ．定理15 若()00,x y 是整系数二元一次方程ax by c +=的一个整数解，则方程的一切整数解可以表示为00,.x x bt y y at =-⎧⎨=+⎩()t Z ∈二. 数学竞赛中数论问题的重点类型主要出现8类问题.：1.奇数与偶数（奇偶分析法、01法）；2.约数与倍数、素数与合数；3.平方数；4.整除；5.同余；6.不定方程；7.数论函数、[]x 高斯函数、()n φ欧拉函数； 8.进位制（十进制、二进制）. 三. 例题选讲例1 有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，…，99，100.每盏灯由一个拉线开关控制着.最初，电灯全是关着的.另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？讲解（1）直接计算100次记录，会眼花缭乱.（2）拉电灯的开关有什么规律：电灯编号包含的正约数（学生）才能拉、不是正约数（学生）不能拉，有几个正约数就被拉几次.（3）灯被拉的次数与亮不亮（开、关）有什么关系：（4）哪些数有奇数个约数：平方数.（5）1～100中有哪些平方数：共10个：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100.答案：编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100共10个还亮. 例2 用[]x 表示不大于x 的最大整数，求122004366366366366⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L .讲解题目的内层有2004个高斯记号，外层1个高斯记号.关键是弄清[]x 的含义，进而弄清加法谁与谁加、除法谁与谁除：（1）分子是那些数相加，求出和来；由36651830200421963666⨯=<<=⨯，知分子是0～5的整数相加，弄清加数各有几个（2）除法谁除以366，求出商的整数部分.原式()036536612345175366⨯+++++⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1036687536614310236612.⨯+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦= 命题背景2004年有12个月、366天.例3 ()111959,IMO -证明对任意正整数n ，分数214143n n ++不可约.证明1 （反证法）假若214143n n ++可约，则存在1d >， ①使 ()214,143n n d ++= 从而存在(),,,1p q p q =，使214, 143, n dp n dq +=⎧⎨+=⎩②③ 消去n ，()()3322⨯-⨯，得()132d q p =- ④ 的 1d = ⑤由（1）、（5）矛盾，得1d =. 解题分析：（1）去掉反证法的假设与矛盾就是一个正面证法（2）式④是实质性的进展，表明()()131432214n n =+-+ 可见 ()214,1431n n ++=. 由此获得2个解法.证明2 设()214,143n n d ++=.存在(),,,1p q p q =，使214, 143, n dp n dq +=⎧⎨+=⎩①②消去n ，②×3-①×2，得()132d q p =- ③ 得 1d =.证明3 由()()131432214n n =+-+ 得 ()214,1431n n ++=.证明4 ()214,143n n ++ ()71,143n n =++ ④ ()71,1n =+ ⑤1=. 解题分析：第④ 相当于 ①-②；：第⑤ 相当于②-2（①-②）=②×3-①×2；所以③式与⑤式的效果是一样的.例4 （1906，匈牙利）假设12,,,n a a a L 是1,2,,n L 的某种排列，证明：如果n 是奇数，则乘积()()()1212n a a a n ---L 是偶数.解法1 （反证法）假设()()()1212n a a a n ---L 为奇数，则i a i -均为奇数，奇数个奇数的和还是奇数奇数=()()()1212n a a a n -+-++-L()()12120n a a a n =+++-+++=L L ，这与“奇数≠偶数”矛盾. 所以()()()1212n a a a n ---L 是偶数.评析这个解法说明()()()1212n a a a n ---L 不为偶数是不行的，体现了整体处理的优点，但掩盖了“乘积”为偶数的原因.解法2 （反证法）假设()()()1212n a a a n ---L 为奇数，则i a i -均为奇数，i a 与i 的奇偶性相反，{}1,2,,n L 中奇数与偶数一样多，n 为偶数但已知条件n 为奇数，矛盾. 所以()()()1212n a a a n ---L 是偶数.评析这个解法揭示了()()()1212n a a a n ---L 为偶数的原因是“n 为奇数”.那么为什么“n 为奇数”时“乘积”就为偶数呢？解法 3 121,2,,,,,,n n a a a L L 中有1n +个奇数，放到n 个括号，必有两个奇数在同一个括号，这两个奇数的差为偶数，得()()()1212n a a a n ---L 为偶数.例4-1（1986，英国）设127,,,a a a L 是整数，127,,,b b b L 是它们的一个排列，证明()()()112277a b a b a b ---L 是偶数.例4-2 π的前24位数字为 3.14159265358979323846264π=，记1224,,,a a a L 为该24个数字的任一排列，求证()()()12342324a a a a a a ---L 必为偶数.例5 ()2111979,IMO -设p 与q 为正整数，满足111112313181319p q =-+--+L ，求证p 可被1979整除（1979p ）111123131811111111223131813192413181111111112313181319236591111660661131813196601319661131898999066013196611318989p q =-+--⎛⎫⎛⎫=+++++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+++++-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++++++=+++⨯⨯⨯L L L L L L L 99019796606611319659!19791319!MM=⨯⨯⨯⨯=⨯L有1979整除1319!pq，从而1979整除1319!p ，但1979为素数，()1979,1319!1=，得p 可被1979整除例6 （1956，中国北京）证明3231122n n n ++-对任何正整数n 都是整数，并且用3除时余2.讲解只需说明()23131222n n n n -+=为整数，但不便说明“用3除时余2”，应说明()()3212131222n n n n n n ++++=是3的倍数.作变形()()()32222213111,3,81228n n n n n n ++++-=-= 命题得证.证明已知即()()321213111222n n n n n n ++++-=-， ①因为相邻2个整数(),1n n +必有偶数，所以3231122n n n ++-为整数.又①可变为 ()()32222213111228n n n n n n ++++-=-，因为相邻3个整数()()2,22,21n n n ++必有3的倍数，故()()22221n n n ++能被3整除；又()3,81=，所以()()222218n n n ++能被3整除；得3231122n n n ++-用3除时余2.例7．设多项式()n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110Λ的系数都是整数，并且有一个奇数α及一个偶数β使得()αf 及()βf 都是奇数，求证方程()0=x f 没有整数根．证明由已知有 ()()()0121mod21mod2n fa a a a α≡⇔++++≡L ， ①()()()1mod21mod2n f a β≡⇔≡， ②若方程()0=x f 存在整数根0x ，即()00f x =. 当0x 为奇数时，有()()()00120mod20mod2n f x a a a a ≡⇔++++≡L ，与①矛盾.有0x 为偶数时，有()()()00mod20mod2n f x a ≡⇔≡，与②矛盾.所以方程()0=x f 没有整数根．例8 ()2311986,IMO -设d 是异于2，5，13的任一整数.求证在集合{}2,5,13,d 中可以找到两个不同元素,a b ，使得1ab -不是完全平方数.证明因为2222513,21315,51318⨯-=⨯-=⨯-=，所以不是完全平方数只能是21,51,131d d d ---.若结论不成立，则存在正整数,,x y z ，使22221, 51, 131, d x d y d z -=-=-=①②③同时成立，由①知x 是奇数，设21x n =-代入①得 2221d n n =-+为奇数，代入②、③知,y z 均为偶数.设2,2y p z q ==，代入②、③后相减，有 ()()222d q p q p q p =-=+-.由于2d 为偶数，故,p q 同奇偶，()()q p q p +-可被4整除，得d 为偶数.这与上证d 为奇数矛盾.所以，在集合{}2,5,13,d 中可以找到两个不同元素,a b ，使得1ab -不是完全平方数.例9 (296IMO -)设,a b 为正整数，1ab +整除22a b +．证明221a b ab ++是完全平方数．（第130页例2-52）证明令221a b k ab +=+．k 是正整数．式中,a b 是对称的，不妨设a b ≥．(l)若a b =，则()2222211a k k a k k a =⇒-=⇒=+．本题获证． (2)若ab >，由带余除法定理，可设a bs t =-（2,0,,s t b s t ≥≤<是整数)，则2222222211a b b s bst t b ab b s bt +-++=+-+，易证此式大于1s -且小于1s +(可用放缩法证)．所以必有2222221b s bst t b s b s bt -++=-+化简得221b t s bt +=+，于是222211a b b t s ab bt ++==++，其中t b a <<．此时若0t =，则2k b =，本题获证．若0t >，可继续令11b ts t =-（11112,0,,s t t s t ≥≤<是整数），仿上可推得222222111111t t a b b t s ab bt tt +++===+++，此时若10t =，则2k t =，本题获证．若10t >，可如上法做下去．因120t t t >>>≥L ，且均为整数．故总能得到某个10i t +=，使2i k t =，是完全平方．综上本题获证．解决这道世界级难题的这种巧妙的证明方法叫“无穷递降法”，是17世纪法国数学家费马(Fermat ．1601一1665)首创和应用的一种方法．作业1、求方程3222009x x y +=的整数解.2、2009年9月9日的年、月、日组成“长长久久、永不分离”的吉祥数字20090909，而它也恰好是一个不能再分解的素数．若规定含素因子20090909的数为吉祥数，请证明最简分数111220090908m n =+++L 的分子m 是吉祥数．作业 1. 设10,a =)1231,2,n n a a n +==L ，证明对于n a 不可能有某一正整数N ，使2N a 能被1989整除.（P.185，32）证明由已知有12220n n n n n a a a a a +-=>+≥，得 1n n a a +>.又由已知有123n n a a +-=平方得 2211310n n n n a a a a ++-+-=，同理 2211310n n n n a a a a ---+-=，这表明11,n n a a +-是二次方程()()22310n n x a x a -+-= 的两个不等根，得113n n n a a a +-+=-，即 113n n n a a a +-=--.若存在某一正整数N ，使2N a 能被1989整除，则2N a 能被3整除，由221223N N N a a a --=--知22N a -能被3整除，如此类推，可得2a 能被3整除，但(211312a a =+=，这一矛盾说明，不存在某一正整数N ，使2N a 能被1989整除.作业2.已知实函数(,)f x y 满足(,0)1,f x = ① ((,),)(,).f f x y z f z xy z =+ ② 求(,)f x y 的表达式.解把①代入②，有()()()()1,,0,,01f y f f x y f y y y ==+=+，③ 进而 ()()(),111,1f x f x =+-()()()1,1,1f f x =- （由③）()()1,111f x =⋅-+()111x =+-+⎡⎤⎣⎦1x =+ ④ 一方面由④有()()(),,1,1,f f x y f x y =+⑤ 另一方面由②、③有()()(),,11,11 1.f f x y f xy xy =+=++⑥ 由⑤、⑥得(),111f x y xy +=++，即 (),1f x y xy =+.检验知(),1f x y xy =+为所求.。

数学竞赛中的数论问题题型全

数学竞赛中的数论问题定理4 ,a b 是两个不同时为0的整数，若00ax by +是形如ax by +（,x y 是任意整数）的数中的最小正数，则（1）00ax by +|ax by +；（2）00ax by +(),a b =．证明（1）由带余除法有()00ax by ax by q r +=++，000r ax by ≤<+，得 ()()0000r a x qx x b y qy ax by =-+-<+，知r 也是形如ax by +的非负数，但00ax by +是形如ax by +的数中的最小正数，故0r =，即00ax by +|ax by +．（2）由（1）有00ax by +|10a b a +=，00ax by +|01a b b +=，得00ax by +是,a b 的公约数．另一方面，,a b 的每一个公约数都可以整除00ax by +，所以00ax by +是,a b 的最大公约数，00ax by +(),a b =．推论若(),1a b =，则存在整数,s t ，使1as bt +=．（很有用）定理5 互素的简单性质：（1）()1,1a =．（2）(),11n n +=．（3）()21,211n n -+=．（4）若p 是一个素数，a 是任意一个整数，且a 不能被p 整除，则(),1a p =．推论若p 是一个素数，a 是任意一个整数，则(),1a p =或(),a p p =．（6）若()(),1,,1a b a c ==，则(),1a bc =．证明由(),1a b =知存在整数,s t ，使1as bt +=．有 ()a cs bct c +=，得 ()(),,1a bc a c ==．（7）若(),1a b =，则(),1a b a ±=，(),1a b b ±=， (),1a b ab ±=．证明 ()()(),,,1a b a b a b a ±=±==，()(),,1a b b a b ±==，由（6）(),1a b ab ±=．（8）若(),1a b =，则(),1m n a b =，其中,m n 为正整数．证明据（6），由(),1a b =可得(),1ma b =．同样，由(),1ma b =可得(),1m n a b =．定理7 素数有无穷多个，2是唯一的偶素数．证明假设素数只有有限多个，记为12,,,n p p p ，作一个新数 1211n p p p p =+>．若p 为素数，则与素数只有 n 个12,,,n p p p 矛盾．若p 为合数，则必有{}12,,,i n p p p p ∈，使|i p p ，从而|1i p ，又与1i p >矛盾．综上所述，素数不能只有有限多个，所以素数有无穷多个． 2是素数，而大于2的偶数都是合数，所以2是唯一的偶素数．注：这个证明中，包含着数学归纳法的早期因素：若假设有n 个素数，便有1n +个素数．（构造法、反证法）定理8（整除的性质）整数,,a b c 通常指非零整数（1）1a ，1|a -；当0a ≠时，|a a ，|0a ．（2）若b a ，0a ≠，则b a ≤;若b a ，b a >，则0a =;若0ab >，且,b a a b ，则a b =．证明由b a ，0a ≠，有a bq =，得a b q b =≥．逆反命题成立“若b a ，b a >，则0a =”; 由b a ≤且b a ≥得a b =，又0ab >，得a b =．（7）若(),1a b =，且a bc ，则a c ．证明由(),1a b =知存在整数,s t ，使1as bt +=，有()()a cs bc t c +=，因为a a ，a bc ，所以a 整除等式的左边，进而整除等式的右边，即a c ．（8）若(),1a b =，且,a c b c ，则ab c ．证明由(),1a b =知存在整数,s t ，使1as bt +=，有acs bct c +=，又由,a c b c 有12,c aq c bq ==代入得()()21ab q s ab q t c +=，所以ab c ．注意不能由a c 且b c 得出ab c ．如不能由630且10|30得出60|30．（9）若a 为素数，且a bc ，则a b 或a c ．证明若不然，则|a b /且|a c /，由a 为素数得()(),1,,1a b a c ==，由互素的性质（6）得(),1a bc =，再由a 为素数得|a bc /，与a bc 矛盾．定义6 对于整数,,a b c ，且0c ≠，若()c a b -，则称,a b 关于模c 同余，记作(mod )a b c ≡；若()|c a b -/，则称,a b 关于模c 不同余，记作a(mod )b c ．定理9（同余的性质）设,,,,a b c d m 为整数，0,m >若(mod )a b m ≡且(mod )c d m ≡，则(mod )a c b d m +≡+且(mod )ac bd m ≡．证明由(mod )a b m ≡且(mod )c d m ≡，有12,a b mq c d mq -=-=， ① 对①直接相加，有()()()12a c b d m q q +-+=+，得 (mod )a c b d m +≡+.对①分别乘以,c b 后相加，有()()()12ac bd ac bc bc bd m cq bq -=---=+，得 (mod )ac bd m ≡．（3）若(mod )a b m ≡，则对任意的正整数n 有(mod )nna b m =且(mod )an bn mn ≡.（4）若(mod )a b m ≡，且对非零整数k 有(,,)k a b m ，则mod a b m k k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭．证明由(mod )a b m ≡、，有 a b mq =+，又(,,)k a b m ，有,,a b mk k k均为整数，且 a b mq k k k=+，得 mod a b m k k k ⎛⎫≡ ⎪⎝⎭．定理10 设,a b 为整数，n 为正整数，（1）若a b ≠，则()()nna b a b--．()()123221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++．（2）若a b ≠-，则()()2121n n a b ab --++．()()212122232422322n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -------+=+-+--+．（3）若a b ≠-，则()()22nn a b ab +-．()()2221222322221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=+-+-+-．定义7 设n 为正整数，k 为大于2的正整数, 12,,,m a a a 是小于k 的非负整数，且10a >．若12121m m m m n a ka k a k a ---=++++，则称数12m a a a 为n 的k 进制表示．定理11 给定整数2k ≥，对任意的正整数n ，都有唯一的k 进制表示．如12121101010m m m m n a a a a ---=++++，109,0i a a ≤≤>（10进制） 12121222m m m m n a a a a ---=++++．101,0i a a ≤≤>（２进制）定理12 （算术基本定理）每个大于1的正整数都可分解为素数的乘积，而且不计因数的顺序时，这种表示是唯一的1212k k n p p p ααα=，其中12k p p p <<<为素数，12,,,k ααα为正整数．（分解唯一性）定理13 若正整数n 的素数分解式为 1212k k n p p p ααα=则n 的正约数的个数为()()()()12111k d n a a a =+++，n 的一切正约数之和为 ()121111212111111k k k p p p S n p p p ααα+++---=⋅⋅⋅---．证明对于正整数1212k k n p p p ααα=，它的任意一个正约数可以表示为1212k k m p p p βββ=，0i i βα≤≤ ， ①由于i β有0,1,2,,i α共1i α+种取值，据乘法原理得n 的约数的个数为()()()()12111k d n a a a =+++．考虑乘积()()()12010101111222k kk k p p p p p p pp p ααα+++++++++，展开式的每一项都是n 的某一个约数（参见①），反之，n 的每一个约数都是展开式的某一项，于是，n 的一切约数之和为()()()11101111kk kS n p p p pp p αα=++++++121111212111111k k k p p p p p p ααα+++---=⋅⋅⋅---．注构造法．定义8 （高斯函数）对任意实数x ，[]x 是不超过x 的最大整数．亦称[]x 为x 的整数部分，[][]1x x x ≤<+．定理14 在正整数!n 的素因子分解式中，素数p 作为因子出现的次数是 23n n n p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．证明由于p 为素数，故在!n 中p 的次方数是1,2,,n 各数中p 的次方数的总和（注意，若p 不为素数，这句话不成立）．在1,2,,n 中，有n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个p 的倍数；在n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个p 的倍数的因式中，有2n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个2p 的倍数；在2n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个2p 的倍数的因式中，有3n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个3p 的倍数；…，如此下去，在正整数!n 的素因子分解式中，素数p 作为因子出现的次数就为23n n n p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．注省略号其实是有限项之和．定理15 （费玛小定理）如果素数p 不能整除整数a ，则()11p p a--．证明2 改证等价命题：如果素数p 不能整除整数a ，则()mod pa a p ≡．只需对1,2,,1a p =-证明成立，用数学归纳法．（1）1a =，命题显然成立．（2）假设命题对()11a k k p =≤<-成立，则当1a k =+时，由于()|1,2,,1ip p C i p =-，故有()11111ppp p p p k k C kC k --+=++++ ()11mod p k k p ≡+≡+．（用了归纳假设）这表明，命题对1a k =+是成立．由数学归纳法得()mod pa a p ≡．又素数p 不能整除整数a ，有(),1a p =，得()11p p a--．定义9 （欧拉函数）用()n ϕ表示不大于n 且与n 互素的正整数个数．定理16 设正整数1212k k n p p p ααα=，则 ()12111111k n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．推论对素数p 有()()11,p p p pp αααϕϕ-=-=-．．第二讲数论题的范例讲解（12）()()()()()()22220mod 4,211mod 4,211mod8n n n ≡-≡-≡．（13）任何整数都可以表示为()221m n k =-．例1-1（1986，英国）设127,,,a a a 是整数，127,,,b b b 是它们的一个排列，证明()()()112277a b a b a b ---是偶数．（127,,,a a a 中奇数与偶数个数不等）例1-2 π的前24位数字为 3.14159265358979323846264π=，记1224,,,a a a 为该24个数字的任一排列，求证()()()12342324a a a a a a ---必为偶数．（暗藏3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,2,6,4中奇数与偶数个数不等）例2 能否从1,2,,15中选出10个数填入图的圆圈中，使得每两个有线相连的圈中的数相减（大数减小数），所得的14个差恰好为1,2,,14？解考虑14个差的和S ，一方面1214105S =+++=为奇数．另一方面，每两个数,a b 的差与其和有相同的奇偶性 (mod2)a b a b -≡+，因此，14个差的和S 的奇偶性与14个相应数之和的和/S 的奇偶性相同，由于图中的每一个数a 与2个或4个圈中的数相加，对/S 的贡献为2a 或4a ，从而/S 为偶数，这与S 为奇数矛盾，所以不能按要求给图中的圆圈填数．评析：用了计算两次的技巧．对同一数学对象，当用两种不同的方式将整体分为部分时，则按两种不同方式所求得的总和应是相等的，这叫计算两次原理成富比尼原理．计算两次可以建立左右两边关系不太明显的恒等式．在反证法中，计算两次又可用来构成矛盾．例3 有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨数之和都是偶数，问最少要把这些苹果和梨分成几堆？解（1）4堆是不能保证的．如4堆的奇偶性为：（反例）（奇奇），（偶偶），（奇偶），（偶奇）．（2）5堆是可以保证．因为苹果和梨数的奇偶性有且只有上述4种可能，当把这些苹果和梨分成5堆时，必有2堆属于同一奇偶性，其和苹果数与梨数都是偶数．例4 有n 个数121,,,,n n x x x x -，它们中的每一个要么是1，要么是1-．若1223110n nn x x x x x x x x -+++++=，求证4|n ．证明由{}1,1i x ∈-，有{}11,1i i x x +∈-，再由1223110n n n x x x x x x x x -+++++=，知n 个1i i x x +中有一半是1，有一半是1-，n 必为偶数，设2n k =．现把n 个1i i x x +相乘，有2222122311121(1)(1)1k kn n n n n x x x x x x x x x x x x ---+===，可见，k 为偶数，设2k m =，有4n m =，得证4|n ．例6 在数轴上给定两点1，在区间内任取n 个点，在此2n +个点中，每相邻两点连一线段，可得1n +条互不重叠的线段，证明在此1n +条线段中，以一个有理点和一个无理点为端点的线段恰有奇数条．证明将2n +个点按从小到大的顺序记为122,,,n A A A +…，并在每一点赋予数值i a ，使1, 1,i i i A a A ⎧=⎨-⎩当为有理数点时，　当为无理数点时.与此同时，每条线段1i i A A +也可数字化为1i i a a +（乘法） 1111,, 1,,i i i i i i A A a a A A +++-⎧=⎨⎩　当一为有理数点，另一为无理数时，当同为有理数点或无理数点时,记11i i a a +=-的线段有k 条，一方面112233412()()()()(1)(1)(1)k n k k n n a a a a a a a a -+++=-+=-... 另一方面 12233412()()()()n n a a a a a a a a ++ (2)1231212()1n n n a a a a a a a -++===-…，得()11k-=-，故k 为奇数．评析用了数字化、奇偶分析的技巧．二、约数与倍数最大公约数与最小公倍数的求法．（1）短除法．（2）分解质因数法．设1212,0,1,2,,k k i a p p p i k αααα=≥=，1212,0,1,2,,k k i b p p p i k ββββ=≥=．记 {}{}min ,,max ,i i i i i i γαβδαβ==，则 ()1212,k k a b p p p γγγ=，[]1212,k k a b p p p δδδ=．（3）辗转相除法 ()()()()()121,,,,,0n n n n a b b r r r r r r r -======．例7 （1）求()8381,1015，[]8381,1015；（2）()144,180,108，[]144,180,108．解（1）方法1 分解质因数法．由283811729,10155729,=⨯=⨯⨯得()8381,101529=，[]28381,1015571729293335=⨯⨯⨯=．方法2 辗转相除法．或 ()()()()()8381,1015261,1015261,23229,23229,029=====．[]()83811015838110158381,10158381352933358381,101529⨯⨯===⨯=．（2）方法1 短除法．由()22144,180,1082336=⨯=，得2144 180 108272 90 54336 30 27312 10 9 4 5 3[]43144,180,1082352160=⨯⨯=．方法2 分解质因数法．由42222314423,180235,10823,=⨯=⨯⨯=⨯，得 ()22144,180,1082336=⨯=，[]43144,180,1082352160=⨯⨯=．例8 正整数n 分别除以2,3,4,5,6,7,8,9,10得到的余数依次为1,2,3,4,5,6,7,8,9，则n 的最小值为．解依题意，对最小的n ，则1n +是2,3,4,5,6,7,8,9,10的公倍数3212357n +=⨯⨯⨯，得2519n =．例9 有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，如何利用它们从一桶油中倒出6升油来？解相当于求不定方程15276x y +=的整数解．由()15,273=知，存在整数,u v ，使15273u v +=，可得一个解2,1u v ==-，从而方程 ()1542726⨯+⨯-=．即往小容器里倒2次油，每次倒满之后就向大容器里倒，大容器倒满时，小容器里剩有3升油；再重复一次，可得6升．例10 对每一个2n ≥，求证存在n 个互不相同的正整数12,,,n a a a ，使i j i j a a a a -+，对任意的{},1,2,,,i j n i j ∈≠成立．证明用数学归纳法．当2n =时，取121,2a a ==，命题显然成立．假设n k =时，命题成立，即存在12,,,k a a a ，使 i j i j a a a a -+，对任意的{},1,2,,,i j k i j ∈≠成立．现取b 为12,,,k a a a 及它们每两个数之差的最小公倍数，则1k +个数12,,,,k b a b a b a b +++满足 ()()()()()(),,t t ij i j a b b a b b a b a b a b a b ⎧+-++⎪⎨+-++++⎪⎩即命题对1n k =+时成立．由数学归纳法知命题对2n ≥成立．例11 ()111959,IMO -证明对任意正整数n ，分数214143n n ++不可约．证明1 （反证法）假若214143n n ++可约，则存在1d >， ①使 ()214,143n n d ++=，从而存在(),,,1p q p q =，使214, 143, n dp n dq +=⎧⎨+=⎩②③消去n ，()()3322⨯-⨯，得 ()132d q p =-， ④的 1d =． ⑤由（1）、（5）矛盾，得1d =．解题分析：（1）去掉反证法的假设与矛盾就是一个正面证法．（2）式④是实质性的进展，表明 ()()131432214n n =+-+，可见 ()214,1431n n ++=．由此获得2个解法．证明2 设()214,143n n d ++=．存在(),,,1p q p q =，使214, 143, n dp n dq +=⎧⎨+=⎩①② 消去n ，②×3-①×2，得()132d q p =- ③ 得 1d =．证明3 由()()131432214n n =+-+ 得 ()214,1431n n ++=．证明4 ()214,143n n ++ ()71,143n n =++ ④()71,1n =+ ⑤ 1=．解题分析：第④ 相当于 ①-②；第⑤ 相当于②-2（①-②）=②×3-①×2；所以③式与⑤式的效果是一样的．例12 不存在这样的多项式 ()1110mm m m f n a n a na n a --=++++，使得对任意的正整数n ，()f n 都是素数．证明假设存在这样的多项式,对任意的正整数n ，()f n 都是素数，则取正整数n b =，有素数p 使 ()1110mm m m f b a b a ba b a p --=++++=，进而对任意的整数,k 有 ()()()()1110mm m m f b kp a b kp a b kp a b kp a --+=+++++++()1110m m m m a b a b a b a Mp --=+++++（二项式定理展开）()1P M =+，其中M 为整数，这表明()f b kp +为合数．这一矛盾说明，不存在这样的多项式,对任意的正整数n ，()f n 都是素数．三、平方数若a 是整数，则2a 就叫做a 的完全平方数，简称平方数． 1．平方数的简单性质（1）平方数的个位数只有6个：0,1,4,5.6.9．（2）平方数的末两位数只有22个：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．（3）()()()()2220mod 4,211mod 4n n ≡-≡．（４）()()2211mod 8n -≡．（6）凡是不能被3整除的数，平方后被3除余1．（7）在两个相邻整数的平方数之间，不能再有平方数．（8）非零平方数的约数有奇数个．（9）直角三角形的三边均为整数时，我们把满足222a b c +=的整数(),,a b c 叫做勾股数．勾股数的公式为2222,2,,a m n b mn c m n ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩其中,m n 为正整数，(),1m n =且,m n 一奇一偶．这个公式可给出全部素勾股数．2．平方数的证明方法（1）反证法．（2）恒等变形法．（3）分解法．设a 为平方数，且a bc =，(),1b c =，则,b c 均为平方数．（4）约数法．证明该数有奇数个约数． 3．非平方数的判别方法（1）若()221n x n <<+，则x 不是平方数．（2）约数有偶数个的数不是平方数．（3）个位数为2，3，7，8的数不是平方数．（4）同余法：满足下式的数n 都不是平方数．()2mod3n ≡， ()23mod4n ≡或， ()23mod5n ≡或， ()23567mod8n ≡或或或或，()2378mod10n ≡或或或．（5）末两位数不是：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．如个位数与十位数都是都是奇数的数，个位数是6、而十位数是偶数的数．例13 有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，…，99，100．每盏灯由一个拉线开关控制着．最初，电灯全是关着的．另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？讲解（1）直接统计100次拉线记录，会眼花缭乱．（2）拉电灯的开关有什么规律：电灯编号包含的正约数（学生）才能拉、不是正约数（学生）不能拉，有几个正约数就被拉几次．（3）灯被拉的次数与亮不亮（开、关）有什么关系：灯被拉奇数次的亮！（4）哪些数有奇数个约数：平方数．（5）1～100中有哪些平方数：共10个：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100．答案：编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100共10个灯还亮．例14 已知直角三角形的两条直角边分别为正整数,a b ，斜边为正整数c ，若a 为素数，求证()21a b ++为平方数．证明由勾股定理222c a b =+，有 ()()2c b c b a +-=，但a 为素数，必有 2,1,c b a c b ⎧+=⎨-=⎩解得 ()2112b a =-，从而 ()()()22212121a b a a a ++=+-+=+，为平方数．例15 求证，任意3个连续正整数的积不是平方数．证明设存在3个连续正整数1,,1n n n -+（1n >）的积为平方数，即存在整数m ，使 ()()211n n n m -+=，即 ()221n n m -=，但()21,1n n -=，故21,n n -均为平方数，有2221,,,n a n b m ab ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩得 ()222211211n a n n n =-≥--=->，（注意1n >）这一矛盾说明，3个连续正整数的积不是平方数．四．整除整除的判别方法主要有7大类．1．定义法．证b a a bq ⇔=，有三种方式．（1）假设a qb r =+，然后证明0r =．（定理4）（2）具体找出q ，满足a bq =．（3）论证q 的存在．例18 任意一个正整数m 与它的十进制表示中的所有数码之差能被9整除．证明设1110101010n n n n m a a a a --=⨯+⨯++⨯+，其中09,0i n a a ≤≤≠，则()()()()110111121111101101101911111111,n n nn n n n n n n m a a a a a a a a a a a ------++++=-+-++-⎛⎫=⨯-+⨯++⨯+ ⎪⎝⎭个个按定义 ()1109n n m a a a a --++++．2．数的整除判别法．（1）任何整数都能被1整除．（2）如果一个整数的末位能被2或５整除，那么这个数就能被2或５整除．（3）如果一个整数的末两位能被４或25整除，那么这个数就能被4或25整除．（4）如果一个整数的末三位能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除．（5）如果一个整数各数位上的数字之和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除．证明由()()101mod3,101mod9≡≡，有()1110110101010mod3n n n n n n a a a a a a a a ---⨯+⨯++⨯+≡++++，()1011010mod9n n a a a a a a -++⨯+≡++++如果一个整数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数的差能被7或11或1210a a a ()13132101001n n a a a a a a a -⨯--，()13210132101001n n a a a a a a a a a a --⇔⨯-，13，而7,11,13均为素数知，m 能被7或11或13()11101a a ++⨯++-3．分解法．主要用乘法公式．如()()123221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++．()()212122232422322n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -------+=+-+--+．()()2221222322221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=+-+-+-．例19 试证()()555129129++++++．证明改证()55545129+++．设555129S =+++，则()()()()()()()()()555555555512344123418273645918273645999,S m m m m m m m m =++++++++=++++++++=++++得9S ．又 ()()()()555555555192837465S =++++++++()()()()()5123441234192837465522225,m m m m m m m m =++++++++=++++得5S ．但()9,51=，得45S ，即()()555129129++++++．例20 ()2111979,IMO -设p 与q 为正整数，满足111112313181319p q =-+--+，求证p 可被1979整除（1979p ）证明111112313181319p q =-+--+ 1111111122313181319241318⎛⎫⎛⎫=+++++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111111231318131923659⎛⎫⎛⎫=+++++-++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111166066113181319=++++6601319661131898999066013196611318989990+++=+++⨯⨯⨯ 19796606611319659!19791319!MM=⨯⨯⨯⨯=⨯得1979整除1319!p ，但1979为素数，()1979,1319!1=，得p 可被1979整除．例20-1 2009年9月9日的年、月、日组成“长长久久、永不分离”的吉祥数字20090909，而它也恰好是一个不能再分解的素数．若规定含素因子20090909的数为吉祥数，请证明最简分数111220090908m n =+++的分子m 是吉祥数．证明：由111220090908m n =+++1111111200909082200909071004545410045455200909092009090920090909120090908220090907100454541004545520090909,122009090720090908p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ 其中p 为正整数，有 20090909122009090720090908n p m ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯，这表明，20090909整除1220090907200909m ⨯⨯⨯⨯⨯，但20090909为素数，不能整除12200909072009⨯⨯⨯⨯，所以20090909整除m ，得m 是吉祥数．4．余数分类法．例21 试证()()3121n n n ++．证明1 任何整数n 被3除其余数分为3类 3,31,32,n k n k n k k Z ==+=+∈，（1）3n k =时，有 ()()()()12133161,n n n k k k ++=++⎡⎤⎣⎦有()()3121n n n ++．（2）31n k =+时，有()()()()()1213313221,n n n k k k ++=+++⎡⎤⎣⎦ 有()()3121n n n ++．（3）32n k =+()()()()()121332165,n n n k k k ++=+++⎡⎤⎣⎦ 有()()3121n n n ++．综上得，()()3121n n n ++．证明 2 ()()()()222211214n n n n n n ++++=，得 ()()322221n n n ++，又()3,41=，得()()3121n n n ++．5．数学归纳法．6．反证法．7．构造法．例22 k 个连续整数中必有一个能被k 整除．证明设k 个连续整数为,1,2,,1a a a a k +++-，若这k 个数被k 除没有一个余数为0，则这k 个数的余数只能取1,2,,1k -，共1k -种情况，必存在两个数,,0a i a j i j k ++<-< ，使 1,a i kq r +=+2,a j kq r +=+ 其中12q q ≠，相减 ()12i j k q q -=-，有 12i j k q q k -=-≥，即 i j k -≥与i j k -<矛盾．故k 个连续整数中必有一个能被k 整除．也可以由()12i j k q q -=-得 ()120i j k q q k <-=-<，推出1201q q <-<，与12q q -为整数矛盾．例23 k 个连续整数之积必能被!k 整除．证明设k 个连续整数为,1,2,,1n n n n k +++-，（1）若这k 个连续整数为正整数，则()()()()121!!!!n n n n k n k k n k +++-=+()k nC =只须证明，对任何一个素数p ，分子中所含p 的方次不低于分母中所含p 的方次，由高斯函数的性质[][][]x y x y +≥+，有()s s s s k n k n k n k p p p p +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=≥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑ 得k nC为整数（证实了组合数的实际意义）（2）若这k 个连续整数中有0，则连乘积为0，必能被!k 整除．（3）若这k 个连续整数为负整数，则()()()()()()()()()121!1211!1,k kk nn n n n k k n n n n k k C-+++--------+=-=-由（1）知kn C -为整数，故()()()121!n n n n k k +++-为整数．例24 有男孩、女孩共n 个围坐在一个圆周上（3n ≥），若顺序相邻的3人中恰有一个男孩的有a 组，顺序相邻的3人中恰有一个女孩的有b 组，求证3a b -．证明现将小孩记作(1,2,,)i a i n =…，且数字化1,1, i i i a a a ⎧=⎨-⎩　表示男孩时表示女孩时则“3人组”数值化为12121212123,,,3,,,1,,,1,,,i i i i i i i i i i i i i i i i a a a a a a A a a a a a a a a a ++++++++++⎧⎪-⎪=++=⎨⎪⎪-⎩ 均为男孩均为女孩恰有一个女孩恰有一个男孩其中n j j a a +=．又设取值为3的i A 有p 个，取值为3-的i A 有q 个，依题意，取值为1的i A 有b 个，取值为1-的i A 有a 个，得 1212323413()()()()n n a a a a a a a a a a a a +++=+++++++++…… 3(3)(1)3()()p q a b p q b a =+-+-+=-+-，可见3a b -．例25 （1956，中国北京）证明3231122n n n ++-对任何正整数n 都是整数，并且用3除时余2．分析只需说明()23131222n n n n -+=为整数，但不便说明“用3除时余2”，应说明()()3212131222n n n n n n ++++=是3的倍数．作变形 ()()()32222213111,3,81228n n n n n n ++++-=-= ，命题可证．证明已知即()()321213111222n n n n n n ++++-=-， ① 因为相邻2个整数(),1n n +必有偶数，所以3231122n n n ++-为整数．又①可变为 ()()32222213111228n n n n n n ++++-=-，因为相邻3个整数()()2,22,21n n n ++必有3的倍数，故()()22221n n n ++能被3整除；又()3,81=，所以()()222218n n n ++能被3整除；得3231122n n n ++-用3除时余2．五、同余根据定义，同余问题可以转化为整除问题来解决；同时，同余本身有很多性质，可以直接用来解题．例26 正方体的顶点标上1+或1-，面上标上一个数，它等于这个面四个顶点处的数的乘积，求证，这样得出的14个数之和不能为0．证明记14个数的和为S ，易知，这14个数不是1+就是1-，若八个顶点都标上1+，则14S =，命题成立．对于顶点有1-的情况，我们改变1-为1+，则和S 中有4的数,,,a b c d 改变了符号，用/S 表示改变后的和，由()0mod2a b c d +++≡知 ()/20mod 4S S a b c d -=+++≡，这表明，改变一个1-，和S 关于模4的余数不变，重复进行，直到把所有的1-都改变为1+，则()/111142mod4S S ≡≡+++≡≡，所以，0S ≠．例27 设多项式()n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110 的系数都是整数，并且有一个奇数α及一个偶数β使得()αf 及()βf 都是奇数，求证方程()0=x f 没有整数根．证明由已知有()()()0121mod21mod2n fa a a a α≡⇔++++≡， ①()()()1mod21mod2n f a β≡⇔≡， ②若方程()0=x f 存在整数根0x ，即()00f x =．当0x 为奇数时，有()()()00120mod20mod2n f x a a a a ≡⇔++++≡，与①矛盾．有0x 为偶数时，有()()()00mod20mod2n f x a ≡⇔≡，与②矛盾．所以方程()0=x f 没有整数根．六、不定方程未知数的个数多于方程个数的整系数代数方程，称为不定方程．求不定方程的整数解，叫做解不定方程．解不定方程通常要解决3个问题，方程是否有解？有解时，有几个解，解数是有限还是无穷？求出全部解．例28 解方程719213x y +=．解法1 由()7,191=知方程有整数解．观察特解，列表得一个特解0025,2,x y =⎧⎨=⎩从而通解为2519,27.x t y t =-⎧⎨=+⎩方法总结：第1步，验证(),a b c ，经常是(),1a b =．第2步，求特解（观察、列举、辗转相除等）．第3步，代入公式．方法总结：()mod ax by c ax c b +=⇔≡或()mod by c a ≡．例29 求方程3222009x x y +=的整数解．解由2009的分解式，有 ()222212009741xx y +=⨯=⨯，有 21,1,1,1004,1005,22009,x x x y y x y ==-⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==+=⎩⎩⎩ 227,7,7,17,24.241,x x x y y x y ==-⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==+=⎩⎩⎩例30 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为．（1988，高中联赛）解法1 设甲、乙两队的队员按出场顺序分别为1234567,,,,,,A A A A A A A 和1234567,,,,,,B B B B B B B ．如果甲方获胜，设i A 获胜的场数是i x ，则07,17i x i ≤≤≤≤而且1277x x x +++= ， ①容易证明以下两点：在甲方获胜时（i ）不同的比赛过程对应着方程①的不同非负整数解；（ii ）方程①的不同非负整数解对应着不同的比赛过程，例如，解（2，0，0，1，3，1，0）对应的比赛过程为：1A 胜1B 和2B ；3B 胜1A 、和3A ；4A 胜3B 后负于4B ；5A 胜4B 、5B 和6B 但负于7B ；最后6A 胜7B 结束比赛．下面求方程①的非负整数解个数，设1i i y x =+，问题等价于方程123456714y y y y y y y ++++++=，正整数解的个数，将上式写成1111111111111114+++++++++++++=，从13个加号取6个的方法数613C 种．得甲方获胜的不同的比赛过程有613C 种．同理，乙方获胜的不同的比赛过程也有713C 种，合计61323432C =种比赛过程例31（1989，高中）如果从数1，2，…，14中按由小到大的顺序取出123,,a a a ，使同时满足 21323, 3a a a a -≥-≥，那么，所有符合上述要求的不同取法有多少种？解由已知得121323 10,30 30, 140,a a a a a a -≥--≥--≥-≥4项均为非负数，相加得()()()()121323133 147a a a a a a -+--+--+-=，于是123,,a a a 的取法数就是不定方程 12347x x x x +++=的非负整数解的个数，作一一对应11i y x =+，问题又等价于不定方 123411y y y y +++= 的正整数解．由 11111+++=，得310C 个解，即符合要求的不同取法有310C 种．七．数论函数主要是[]x 高斯函数，()n ϕ欧拉函数．例32 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为(A)10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (C) 410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D)510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （2010年全国高考数学陕西卷理科第10题）解法1 选（B ）．（求解对照）．规则是“六舍七入”，故加3即可进1．选310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．解法2 选（B ）．（特值否定）．取56x =，按规定应选5人，可否定(C)、(D)；再取57x =，按规定应选6人，可否定(A)．注：主要错误选(C) ，误为“五舍六入”．例33 用[]x 表示不大于x 的最大整数，求122004366366366366⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．讲解题目的内层有2004个高斯记号，外层1个高斯记号．关键是弄清[]x 的含义，进而弄清加法谁与谁加、除法谁与谁除：（1）分子是那些数相加，求出和来；由36651830200421963666⨯=<<=⨯，知分子是0～5的整数相加，弄清加数各有几个（2）除法谁除以366，求出商的整数部分．原式()036536612345175366⨯+++++⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1036687536614310236612.⨯+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦= 命题背景2004年有12个月、366天．例34 50!的标准分解式中2的指数．解 35678912450!23571113171923293137414347ααααααααα= 2的指数为2345505050505025126314722222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．图示（5条横线，25个偶数中2的方次，按横线求和）八、综合练习例35 整数勾股形中，证明（1）必有一条直角边长是3的倍数；（2）必有一条直角边长是4的倍数；（3）必有一条边长是5的倍数；（4）三角形的面积是6的倍数．证明当整数勾股形的三边有公约数时，可以先约去，使三边长,,x y z 互素，且满足222x y z +=.这时，若,x y 两个均为偶数，则z 也为偶数，与,,x y z 互素矛盾；若,x y 两个均为奇数，有()()221mod4,1mod4x y ≡≡，得 ()2222mod4z x y ≡+≡，这与平方数模4只能取0，1矛盾.所以，,x y 中有且只有一个为偶数，不妨设x 为偶数.（1）设,x y 中无一为3的倍数，则()()221mod3,1mod3x y ≡≡，得 ()2222mod3z x y ≡+≡，这与平方数模3只能取0，1矛盾，故,x y 中有一个为3的倍数. （2）由x 为偶数.，必有,y z 均为奇数，记2,21,21x m y p z q ==+=+有 ()()()22222222421214m x z y q p q q p p ==-=+-+=+--则 ()()211m q q p p =+-+右边是两个偶数的差，必为偶数，从而x 为4的倍数.（3）若,x y 中有5的倍数，命题已成立. 若,x y 均不是5的倍数，则若,x y 只能是形如51k ±或52k ±的正整数.若,x y 均为51k ±型，则()222112mod5z x y ≡+≡+≡这与平方数模5只能取0，1，4矛盾若,x y 均为52k ±型，则()222443mod5z x y ≡+≡+≡这与平方数模5只能取0，1，4矛盾.所以，,x y 只能分别取51k ±与52k ±型，有 ()222410mod5z x y ≡+≡+≡得25z ，但5是素数，得5z .（4）由上证（1）、（2）及()3,41=知，xy 是12的倍数，则12xy 是6的倍数，得三角形的面积是6的倍数．例36 已知ABC 内有n 个点，连同,,A B C 共有3n +个点，以这些点为顶点，把ABC 分割为若干个互不重叠的小三角形，现把,,A B C 分别染上红色、蓝色、黄色，而其余n 个点，每点任意染上红、蓝、黄三色之一，证明三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数．（斯潘纳定理）证明1 给这些小三角形的边赋值：当边的两端点同色时，记为0；当边的两端点异色时，记为1；再用三边之和给小三角形赋值：当三角形的三顶点同色时，和值为0，记这样的小三角形有a 个；当三角形的三顶点中仅有两点同色时，和值为2，记这样的小三角形有b 个；当三角形的三顶点两两异色时，和值为3，记这样的小三角形有c 个.下面用两种方法计算所有三角形赋值的总和S ，一方面02323S a b c b c =⨯+⨯+⨯=+. ①另方面，,,AB BC CA 的赋值均为1，和为奇数；而ABC 内的每一条连线，在上述S 的计算中都被计算了两次，和为偶数；这两者之和得S 为奇数，记为21S k =+ ② 由①，②得 2123k b c +=+可见c 为奇数，即三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数．（证明：n 个连续整数的乘积一定能被n!整除设a 为任一整数，则式： (a+1)(a+2)...(a+n) =(a+n)!/a! =n!*[(a+n)!/(a!n!)]而式中[(a+n)!/(a!n!)]恰为C(a+n,a),也即是从a+n 中取出a 的组合数，当然为整数。

数学竞赛第三章_数论20122

22.06.2020
第三章数论
15
3．2 同余
一、同余的定义和性质例题例3.求证：x14 +x24 + x34 + … + x144 =1599无
② 任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3 整除，所以也可以被2×3=6整除。
这个性质可以推广到任意个整数连续之积。
22.06.2020
第三章数论
8
3．1 整数的奇偶性和整除性
二、整数的整除性例题
例10. 设p是大于5的素数，求证：240|p4-1.
22.06.2020
第三章数论
10
第三章数论
3．2 同余
一、同余的定义和性质
定义
定义 1. 设
，若
，则称和对模同余，
记作 a≡b(modm)；
若不然，则称和对模不同余，记作 a≢b(modm)
例如：
，
等等。
22.06.2020
第三章数论
11
3．2 同余
一、同余的定义和性质
性质
（1）（反身性）
；
（2）（对称性）若
，则
（3）（传递性）若
，
（4）（同余式相加）若
，
（5）（同余式相乘）若
，
22.06.2020
第三章数论
性质
；，则
，则，则
；；
；
12
3．2 同余
一、同余的定义和性质
性质
反复利用（4）（5），可以对多个（模相同的）同余式建立加、减和乘
法的运算公式。特别地，由（5）易推出：

竞赛数学(张同君陈传理)数论3(不定方程)

不定方程分类
根据未知数的个数和方程的个数之间的关系，不定方程可分为一元不定方程、二元不定方程等。
整数解与特解概念
整数解
满足不定方程的整数解称为该不定方程的整数解。
特解
不定方程的一组特殊解，通常用于求解其他解或证明解的存在性。
线性不定方程性质
01
齐次线性不定方程
若线性不定方程的常数项为零，则称为齐次线性不定方程。齐次线性不
的解。
04
特殊类型不定方程处理方法
佩尔方程求解思路
佩尔方程形式
佩尔方程是一类形如x^2 - ny^2 = 1的不定方程，其中n为正整数且不是完全平方数。
求解步骤
通过连分数、二次剩余等方法找到一组特解，然后利用递推关系式求得所有解。
注意事项
在求解过程中需要注意n的取值范围以及特解的选择，避免陷入死循环或者得到无效解。
况下，可以通过消元法、代入法等方法求解。
02
线性不定方程求解方法
逐步满足法原理及步骤
原理：通过逐步满足方程中的条件，使问题不断简化，最终得到方程的解。
01
观察方程特点，确定一个未知数的取值范围；
03
02
步骤
04
在该范围内逐一尝试满足方程的整数解；
若找到一组解，则验证其正确性；
05
06
若无法找到解，则调整取值范围或尝试其他方法。
其他特殊类型问题探讨
其他特殊类型问题
除了佩尔方程和高次幂和型不定方程外，还有一些其他特殊类型的不定方程问题，如费马大定理相关的不定方程、涉及三角函数的不定方程等。
处理方法
针对不同类型的特殊问题，需要采用不同的处理方法。例如，费马大定理相关的不定方程可以通过代数数论的方法进行研究；涉及三角函数的不定方程可以通过三角恒等式进行化简和求解。

数论选讲

解：又
(m + n)m ≥ mm + nm ⇒ mn ≤ 1413 。
44 = 256,53 = 3125 > 1413 ⇒ m ≤ 4 。显然 m 为奇数。当 m = 1时，对任何正整数 n ，不可能有 (m + n)m = n +1 = nm +1413 = n +1413 。
当 m = 3 时，由 (3 + n)3 = n3 +1413 可得 n2 + 3n −154 = 0 ，即
（1）必有自然数 k ，使得 Ak+1 = Ak 。 (2) 若 A = 1986 ，问上述的 Ak 等于多少？并说明理
由。
证明：（1）n = 0 时，对任意 k ，有 Ak = A 。当 n = 1 时，显然 A ≥ f ( A) 。当 n ≥ 2 时，
f ( A) = 2n a0 + 2n−1 a1 +" + 2an−1 + an ≤ (2n + " + 2 + 1) ⋅ 9 = (2n+1 −1) ⋅ 9 ， A ≥ 10n an ≥ 10n = 10 ⋅10n−1 > 9 ⋅10n−1 > 9 ⋅ 23 ⋅10n−2 ≥ 9 ⋅ 23 ⋅ 2n−2 = 9 ⋅ 2n+1 > 9(2n+1 −1) ≥ f ( A)
一、基本知识
（一）整除与同余
1. 设 n 为正整数，则任意 n 个连续整数中有且仅有一个是 n 的倍数。 2. 若 p 为素数， n 为任意正整数，且 p a1 a2 "an ，则至少存在一个 ai ，使得 p ai 。
3. 若 ai ≡ bi (mod n),i = 1,2,", m ，则对任意的整数 ci (i = 1, 2,", m) ，均有

数论竞赛题

数论竞赛题数论竞赛题是在数学竞赛中常见的一类题型，主要考察学生在数论领域的理解和运用能力。

数论是研究整数性质及其运算规律的数学分支，涉及到诸多定理和性质。

以下是一个典型的数论竞赛题目，供参考。

题目：证明对于任意正整数 n，都存在一个正整数 k，使得 n(n+1)(n+2)(n+3) 可以被 24 整除。

解法：我们可以通过数学归纳法来证明这一命题。

首先，观察到 24 可以分解为 3 × 2^3。

我们分两种情况进行讨论：情况一：n 是 4 的倍数。

设 n=4k，其中 k 是一个正整数。

则有：n(n+1)(n+2)(n+3) = 4k(4k+1)(4k+2)(4k+3)= 4 × k × (4k+1) × 2 × (2k+1) × 3 × (2k+2) 。

我们发现此时，n(n+1)(n+2)(n+3) 能够被 24 整除。

情况二：n 不是 4 的倍数。

设 n=4k+r，其中 k 是一个正整数，r 是余数，r=1,2 或 3。

则有：n(n+1)(n+2)(n+3) = (4k+r)(4k+r+1)(4k+r+2)(4k+r+3)我们观察到，至少存在一个连续的四个数中，必然包含一个数能被 2 整除，一个数能被 4 整除，一个数能被 3 整除，因而有 2×4×3=24，即可以被 24 整除。

综上所述，对于任意的正整数 n，都存在一个正整数 k，使得 n(n+1)(n+2)(n+3) 能够被 24 整除。

证毕。

数论竞赛题通常涉及到数的整除性质、奇偶性、模运算等概念，要求学生具备较强的逻辑推理和数学证明能力。

通过解决这类题目，学生可以加深对数论相关概念和方法的理解，培养思考和解决问题的能力。

数学竞赛的精华数论

数学竞赛的精华数论数论是数学中的一个分支，研究数字的性质和相互关系。

在数学竞赛中，数论经常被认为是其中最具挑战性和精华的部分。

本文将探讨数论在数学竞赛中的重要性、常见的数论问题和一些解题技巧。

一、数论在数学竞赛中的重要性数论在数学竞赛中的重要性不言而喻。

首先，数论是一门富有深度的数学学科，其问题常常需要较高的抽象思维和逻辑推理能力。

这对于培养学生的数学思维、推理能力以及严谨的数学证明能力具有显著的作用。

其次，数论问题在数学竞赛中普遍存在，考察了学生对于基本数论概念的掌握和应用能力。

因此，掌握数论成为了数学竞赛中获胜的关键。

二、常见的数论问题在数学竞赛中，数论问题多种多样。

以下是一些常见的数论问题：1. 质数判定：给定一个正整数，判断其是否为质数。

质数判定是数论中的基本问题，可以通过试除法、欧拉筛法等方法解决。

2. 最大公约数与最小公倍数：给定两个正整数，求它们的最大公约数和最小公倍数。

最大公约数和最小公倍数是数论中的重要概念，可以通过辗转相除法等方法求解。

3. 同余关系与模运算：给定两个整数a和b，判断它们是否满足同余关系。

模运算是数论中的重要概念，在解决同余关系问题时起到了关键作用。

4. 整数分解：给定一个正整数，将其分解为质因数的乘积。

整数分解是数论中的重要问题，可以通过试除法等方法解决。

三、解题技巧在数论问题中，解题技巧起到了至关重要的作用。

以下是一些解题技巧：1. 利用举反例法：在数论问题中，举一反三往往是解题的核心。

通过运用举反例法，可以揭示问题的本质，帮助我们找到解题的思路。

2. 利用归纳法：数论问题中的递推和归纳思想常常被用来解决问题。

通过观察数列的规律，可以推导出问题的通用解法。

3. 利用模数的选择：模数的选择对于解决同余关系和模运算问题至关重要。

选择合适的模数可以简化计算，加快解题速度。

4. 利用逆元与同余定理：逆元和同余定理是解决同余关系问题的重要工具。

运用逆元和同余定理可以简化问题的分析与计算。

高中数学竞赛数论部分

初等数论简介绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。

1．请看下面的例子：（1）证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。

(1894年首届匈牙利数学竞赛第一题) （2） ①设n Z ∈，证明2131n -是168的倍数。

②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++能整除123n ⋅⋅⋅（1956年上海首届数学竞赛第一题）（3）证明：3231122n n n ++-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。

（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题）（4）证明：对任何自然数n ，分数214143n n ++不可约简。

（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）（5）令(,,,)a b g 和[,,,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证：[][][][]()()()()22,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =⋅⋅（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。

2.再看以下统计数字：（1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。

（2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占% 。

这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。

如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。

3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：(1)方程323652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（）A 、 0B 、1C 、3D 、无穷多（2007全国初中联赛5）（2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2102x abx a b -++=是否有两个整数解如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。

初中数学竞赛数论题

初中数学竞赛练习题集数论部分1。

求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .2。

设b a 、为整数,y x 、为整数，证明：形如by ax +的正整数中，最小值),(b a by ax =+00.3。

求方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解.4。

正整数n 满足当210≥≥k 时，有)(mod k k n 1-≡，求n 的最小值。

5。

a 是三位数，b 是一位数，且122++ab b a b a 、都是整数，求a b +的最大值与最小值。

6。

已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，且b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，求b 的值。

7。

试求出所有这样的正整数a 使得关于x 的二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根.8。

是否存在质数q p 、,使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？9.已知n m 、均为正整数,且n m >,n n m m +=+2220072006。

证明:n m -是为完全平方数。

10。

已知k 为常数，关于x 的一元二次方程0864222=+-+-x k x k k )()(的解都是整数，求k 的值.11。

已知n 为自然数，20091092+-n n 能表示为两个连续自然数之积，求n 的最大值.12.设a 是3的正整数次幂,b 是2的正整数次幂，试确定所有这样的b a 、，使得二次方程20x ax b -+=的根是整数。

13。

是否存在这样的正整数n ,使得2371n n +-能整除321n n n +++？请说明理由.14。

求使得2(1)(2)(3)12n n n n ++++可表示为2个正整数平方和的自然数n 的个数。

数学竞赛中的数论问题

数学竞赛中的数论问题数论是一门研究整数性质和整数运算规律的数学学科。

在数学竞赛中，数论问题经常会成为让人头痛的难题，因为数论问题经常需要具有深刻的数学思维和技巧才能解决。

一、简单的数论问题首先，我们先了解一些简单的数论问题。

例如：如果一个正整数能被15整除，则它一定也能被几个整数整除呢？首先我们可以列出15的因数，即1、3、5、15。

由此可知，如果一个正整数能被15整除，那么它一定也能被1、3、5、15这几个整数整除。

再比如，如果一个正整数能够同时被2和3整除，那么它一定也能被哪个整数整除呢？可以先求出2和3的最小公倍数，即6。

因此，如果一个正整数能够同时被2和3整除，那么它一定也能被6整除。

二、进阶的数论问题接着，我们来看一些进阶的数论问题。

例如：对于一个正整数n，如果n的因子个数是奇数个，那么n是不是一个完全平方数呢？我们用3作为例子来探讨。

3的因子只有1和3，那么它的因子个数是偶数。

但是，假如n的因子个数是奇数个，那么n一定是一个完全平方数。

再来看一个例子，已知a、b、c、d都是正整数，且满足a^2 +b^2 = c^2 + d^2，问a和b是否相等。

这个问题需要用到一些数学技巧来解决。

首先我们可以通过等式变形得到(b-a)(b+a) = (d-c)(d+c)这个等式。

设x=b-a，y=d-c，那么等式变为x(x+2a) =y(y+2c)。

因为x和2a、y和2c都是偶奇配对，所以x、y必定有一个为偶数。

设x=2k，则y(y+2c) = 4k(k+a)。

由于y(y+2c)是一个偶数，而k和k+a一定有奇偶性之分，因此k(k+a)是一个奇数。

因为两个奇数的积一定是一个奇数，所以k、k+a两者必有一个为奇数。

考虑将y(y+2c)分解质因数，如果y为偶数，则y和y+2c有公因数2，那么它们的积就有一个不止一个因子2，和k和k+a成了矛盾；如果y为奇数，则y和y+2c互质，那么它们的积y(y+2c)就有一个不止一个奇素因子，和k和k+a同样成了矛盾。

高中数学竞赛——数论

高中数学竞赛数论剩余类与剩余系1.剩余类的定义与性质(1)定义1 设m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分成m 类，相应m 个集合记为：K 0,K 1,…,K m-1,其中K r ={qm+r|q ∈Z,0≤余数r ≤m-1}称为模m 的一个剩余类(也叫同余类)。

K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类.(2)性质(ⅰ)i m i K Z 10-≤≤= 且K i ∩K j =φ(i ≠j). (ⅱ)每一整数仅在K 0,K 1,…,K m-1一个里.(ⅲ)对任意a 、b ∈Z ，则a 、b ∈K r ⇔a ≡b(modm).2.剩余系的定义与性质(1)定义2 设K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类，从每个K r 里任取一个a r ，得m 个数a 0,a 1,…,a m-1组成的数组，叫做模m 的一个完全剩余系,简称完系.特别地,0,1,2,…,m -1叫做模m 的最小非负完全剩余系.下述数组叫做模m 的绝对最小完全剩余系:当m 为奇数时,21,,1,0,1,,121,21--+----m m m ;当m 为偶数时,12,,1,0,1,,12,2--+--m m m 或2,,1,0,1,,12m m -+-. (2)性质(ⅰ)m 个整数构成模m 的一完全剩余系⇔两两对模m 不同余.(ⅱ)若(a,m)=1，则x 与ax+b 同时遍历模m 的完全剩余系.证明:即证a 0,a 1,…,a m-1与aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 同为模m 的完全剩余系, 因a 0,a 1,…,a m-1为模m 的完系时,若aa i +b ≡aa j +b(modm),则a i ≡a j (modm),矛盾!反之,当aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 为模m 的完系时,若a i ≡a j (modm),则有 aa i +b ≡aa j +b(modm),也矛盾!(ⅲ)设m1,m2是两个互质的正整数,而x,y分别遍历模m1,m2的完系,则m2x+m1y历遍模m1m2的完系.证明:因x,y分别历遍m1,m2个整数,所以,m2x+m1y历遍m1m2个整数.假定m2x/+m1y/≡m2x//+m1y//(modm1m2),其中x/,x//是x经历的完系中的数,而y/,y//是y经历的完系中的数.因(m1,m2)=1,所以,m2x/≡m2x//(modm1),m1y/≡m1y// (modm2),从而x/≡x//(modm1),y/≡y//(modm2),矛盾!3.既约剩余系的定义与性质(1)定义3如果剩余类K r里的每一个数都与m互质，则K r叫与m互质的剩余类.在与模m互质的全部剩余类中，从每一类中任取一个数所做成的数组，叫做模m的一个既约(简化)剩余系.如:模5的简系1,2,3,4;模12的简系1,5,7,11.(2)性质(ⅰ)K r与模m互质⇔K r中有一个数与m互质；证明:设a∈K r,(m,a)=1,则对任意b∈K r,因a≡b≡r(modm),所以,(m,a)=(m,r)= (m,b)=1,即K r与模m互质.(ⅱ)与模m互质的剩余类的个数等于)m(ϕ,即模m的一个既约剩余系由)m(ϕ个整数组成()m(ϕ为欧拉函数);(ⅲ)若(a,m)=1,则x与ax同时遍历模m的既约剩余系.证明:因(a,m)=1,(x,m)=1,所以,(ax,m)=1.若ax1≡ax2(modm),则有x1≡x2(modm),矛盾!(ⅳ)若a1,a2,…,aφ(m)是)m(ϕ个与m互质的整数,并且两两对模m不同余,则a1,a2,…,aφ(m)是模m的一个既约剩余系.证明:因a1,a2,…,aφ(m)是)m(ϕ个与m互质的整数,并且两两对模m不同余,所以,a1,a2,…,aφ(m)属于)m(ϕ个剩余类,且每个剩余类都与m互质,故a1,a2,…,aφ(m)是模m 的一个既约剩余系.(ⅴ)设m 1,m 2是两个互质的正整数,而x,y 分别历遍模m 1,m 2的既约剩余系,则m 2x+m 1y 历遍模m 1m 2的既约剩余系.证明:显然,既约剩余系是完系中所有与模互质的整数做成的.因x,y 分别历遍模m 1,m 2的完系时,m 2x+m 1y 历遍模m 1m 2的完系.由(m 1,x )=(m 2,y )=1, (m 1,m 2)=1得(m 2x,m 1)=(m 1y,m 2)=1,所以,(m 2x+m 1y,m 1)=1,(m 2x+m 1y,m 2)=1,故 (m 2x+m 1y, m 1m 2)=1.反之若(m 2x+m 1y, m 1m 2)=1,则(m 2x+m 1y,m 1)=(m 2x+m 1y,m 2) =1,所以,(m 2x,m 1)=(m 1y,m 2)=1,因(m 1,m 2)=1,所以,(m 1,x )=(m 2,y )=1.证毕.推论1若m 1,m 2是两个互质的正整数,则)()()(2121m m m m ϕϕϕ=.证明:因当x,y 分别历遍模m 1,m 2的既约剩余系时,m 2x+m 1y 也历遍模m 1m 2的既约剩余系,即m 2x+m 1y 取遍)(21m m ϕ个整数,又x 取遍)(1m ϕ个整数,y 取遍 )(2m ϕ个整数,所以, m 2x+m 1y 取遍)()(21m m ϕϕ个整数,故)()()(2121m m m m ϕϕϕ=.推论2 设整数n 的标准分解式为k k p p p n ααα 2121=(k p p ,,1 为互异素数, *1,,N k ∈αα ),则有)11()11)(11()(21kp p p n n ---= ϕ. 证明:由推论1得)()()()(2121k k p p p n αααϕϕϕϕ =,而1)(--=αααϕp p p ,(即从1到αp 这αp 个数中,减去能被p 整除的数的个数),所以,)())(()(11221112211------=kk k k p p p p p p n ααααααϕ )11()11)(11(21kp p p n ---= . 4.欧拉(Euler)与费尔马(Fermat)定理欧拉(Euler)定理设m 是大于1的整数,(a ,m)=1,则)(m od 1)(m a m ≡ϕ.证明:设r 1,r 2,…,r )(m ϕ是模m 的既约剩余系,则由性质3知a r 1,a r 2,…,a r )(m ϕ也是模m 的既约剩余系,所以, a r 1a r 2…a r )(m ϕ≡r 1r 2…r )(m ϕ(modm),即≡)(21)(m m r r r a ϕϕ )(21m r r r ϕ ,因()(21m r r r ϕ ,m)=1,所以,)(m od 1)(m a m ≡ϕ.推论(Fermat 定理) 设p 为素数,则对任意整数a 都有)(m od p a a p ≡.证明:若(a , p )=1,由1)(-=p p ϕ及Euler 定理得)(m od 11p a p ≡-即)(m od p a a p ≡;若(a , p )≠1,则p |a ,显然有)(m od p a a p ≡.例1设m>0,证明必有一个仅由0或1构成的自然数a 是m 的倍数.证明:考虑数字全为1的数:因1,11,111,1111,…中必有两个在modm 的同一剩余类中,它们的差即为所求的a .例2证明从任意m 个整数a 1,a 2,…,a m 中,必可选出若干个数,它们的和(包括只一个加数)能被m 整除.证明:考虑m 个数a 1,a 1+a 2,a 1+a 2+a 3,…,a 1+a 2+…+a m ,如果其中有一个数能被m 整除,则结论成立,否则,必有两个数属于modm 的同一剩余类,这两个数的差即满足要求.例3设f(x)=5x+2=f 1(x), f n+1(x)=f[f n (x)].求证:对任意正整数n,存在正整数m,使得2011|f n (m).证明:因f 2(x)=f[f(x)]=5(5x+2)+2=52x+5×2+2,f 3(x)=f[f 2(x)]=53x+52×2+5×2+2,..., f n (x)=5n x+5n-1×2+5n-2×2+ (2)因(5n ,2011)=1,所以,x 与f n (x)同时历遍mod2011的完系,1≤x ≤2011,所以,存在正整数m(1≤m ≤2011)使得f n (m)≡0(mod2011),即2011|f n (m).例4设123,,,a a a 是整数序列,其中有无穷多项为正整数,也有无穷多项为负整数.假设对每个正整数n ,数123,,,,n a a a a 被n 除的余数都各不相同.证明:在数列123,,,a a a 中,每个整数都刚好出现一次.证明:数列各项同时减去一个整数不改变本题的条件和结论,故不妨设a 1=0.此时对每个正整数k 必有∣a k ∣<k:若∣a k ∣≥k,则取n=∣a k ∣,则a 1≡a k ≡0(mod n),矛盾.现在对k 归纳证明a 1,a 2,…,a k 适当重排后是绝对值小于k 的k 个相邻整数.k=1显然.设a 1,a 2,…,a k 适当重排后为-(k -1-i),…,0,…,i (0≤i ≤k -1),由于a 1,a 2,…,a k ,a k+1是(mod k+1)的一个完全剩余系,故必a k+1≡i+1(mod k+1), 但 ∣a k+1∣<k+1,因此a k+1只能是i+1或-(k -i),从而a 1,a 2,…,a k ,a k+1适当重排后是绝对值小于k+1的k+1个相邻整数.由此得到:1).任一整数在数列中最多出现一次;2).若整数u 和v (u<v) 都出现在数列中,则u 与v 之间的所有整数也出现在数列中.最后由正负项均无穷多个（即数列含有任意大的正整数及任意小的负整数）就得到:每个整数在数列中出现且只出现一次.例5偶数个人围着一张圆桌讨论，休息后，他们依不同次序重新围着圆桌坐下,证明至少有两个人，他们中间的人数在休息前与休息后是相等的。

《数学竞赛辅导》——初等数论

数学竞赛辅导》——初等数论部分数论是竞赛数学中最重要的一部分，特别是在1991 年，IMO 在中国举行，国际上戏称那一年为数论年，因为6 道IMO 试题中有5 道与数论有关。

数论的魅力在于它可以适合小孩到老头，只要有算术基础的人均可以研究数论――在前几年还盛传广东的一位农民数学爱好者证明了哥德巴赫猜想，当然，这一谣言最终被澄清了。

可是这也说明了最难的数论问题，适合于任何人去研究。

初等数论最基础的理论在于整除，由它可以演化出许多数论定理。

做数论题，其实只要整除理论即可，然而要很快地解决数论问题，则要我们多见识，以及学习大量的解题技巧。

这里我们介绍一下数论中必需的一个内容：对于a,b N, q,r N，满足a bq r，其中0 r b。

除了在题目上选择我们努力做到精挑细选，在内容的安排上我们也尽量做到讲解详尽，明白。

相信通过对本书学习，您可以对数论有一个大致的了解。

希望我们共同学习，相互交流，在学习交流中，共同提高。

编者：刘道生2007-8-21 于江西赣州第一节整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数, 这是一种位值记数法。

进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系,数列问题等等。

在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。

基础知识给定一个 m 位的正整数 A ,其各位上的数字分别记为记为：A a m i a m 2a 。

（其中 a m 1 0 ）。

由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的m 1次多项式，即A a mi 10m1 a m 2 10m 2 a i 10 a 。

，其中 a ： {0,1,2, ,9}, i 1,2, ,m 1 且a m 10 ,像这种10的多项式表示的数常常简记为生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作A a m1a m2 a 0 ,以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。

初中数学竞赛中的数论问题

初中数学竞赛中的数论问题在初中数学竞赛中，数论是一个重要考察项目。

数论是数学中涉及模式、数学猜想、数学策略等内容，这些内容都属于数论。

数论问题在数学竞赛中常常被考察，一般分为四类：推理题、排列题、组合题和数学归纳题。

首先，推理题是数论问题中最基础的一类，也是最普遍的一类。

它要求考生从给定的数据中推断出规律，以求解问题。

比如，给定一组数，求出它们的总和，可以通过观察发现规律，从而求解该问题。

其次，排列题要求考生完成一定规律的排列，从而求解问题。

比如，给定一组数，要求考生把它们按从小到大的顺序排列，可以利用插入排序、冒泡排序、快速排序等算法来解决该问题。

组合题要求考生在给定的数据中，按照一定的原则组合出所有可能的组合，以求解问题。

比如，有三个ＡＢＣ三个字母，要求组合出所有可能的排列组合，可以使用排列组合算法来完成。

最后，数学归纳题要求考生从一系列特征相同的数据中，找出最后一个数学公式，从而求解问题。

比如，有一系列数，要求给出最后一个数字，可以通过数学归纳法来解决该问题。

通过以上介绍，可以看出，数论问题在初中数学竞赛中占有重要地位，考生必须掌握不同类型的数论问题的求解方法，才能取得更好的成绩。

首先，考生应该在做题之前，仔细分析题目，找出解题的思路，从而节约时间，提高效率。

其次，考生应该学习不同类型的数论问题，熟悉各种算法，以便在面对数论问题时，可以得心应手。

另外，考生也要注意练习，熟练掌握各种数论算法，以便在考试中能够准确求解数学问题，进一步提高自己的分数。

同时，考生也可以结合其他科目的知识，如物理、化学等，运用数论来求解问题，增加自己的考试分数。

总之，数论在初中数学竞赛中是一个重要的考察项目，考生要学会利用各种算法求解数论问题，在做题之前先从题目中分析出解题思路，做到准确、快速、有效地求解数学问题，取得优异的成绩。

《数学竞赛》第三章_数论2012.2

2017/3/22
第三章数论
11
3．2 同余
一、同余的定义和性质
性质
性质
（1）（反身性）（2）（对称性）若（3）（传递性）若（4）（同余式相加）若（5）（同余式相乘）若
2017/3/22
；，则，，，
第三章数论
；，则，则，则；
12
；；
3．2 同余
一、同余的定义和性质
2017/3/22 第三章数论 3
第三章数论
例题
3．1 整数的奇偶性和整除性
一、整数的奇偶性例1.在1, 2, 3, ⋯, 1999 这1999 个数的前面任
意添上正号或负号, 问它们的代数和是奇数
还是偶数? 例2.设a1 , a2 , ⋯, an 是自然数 1, 2, ⋯, n 的一个排列, 若n 为奇数,求证: ( a1 - 1) ( a2- 2) ⋯( ann) 为偶数。
2017/3/22 第三章数论 15
3． 2 同余
一、同余的定义和性质例题例3.求证：x14 +x24 + x34 + „ + x144 =1599无
整数解. 练习
1. （1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使 2n+1能被3整除的一切自然数n. 2. 求证31980+41981能被5整除.
例题
练习
习题3.2
5.求19992000被29除的余数.
2017/3/22 第三章数论 17
第三章数论
3．3 不定方程
不定方程是数论中最古老的分支之一。
历史
古希腊的丢番图（Diophantus）早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程. 中国是研究不定方程最早的国家.公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究.秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来. 百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”. 费马（Fermat）大定理（当n＞2时，xn＋yn＝zn没有非平凡的整数解），历经300余年，已由英国数学家安德鲁 · 维尔斯（A.Wiles ）证明。

数学竞赛中的数论问题

数学竞赛中的数论问题罗增儒引言数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支．什么是正整数呢？人们借助于“集合”和“后继”关系给正整数（当时也即自然数）作过本质的描述，正整数1，2，3，…是这样一个集合N +：（1）有一个最小的数1．（2）每一个数a 的后面都有且只有一个后继数/a ；除1之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数．这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理：（3）对N +的子集M ，若1M ∈，且当a M ∈时，有后继数/a M ∈，则M N +=．就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜想：1742年6月7日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由7开始，都可以表示为三个素数的和．后者是前者的推论，也可独立证明（已解决）．“表示为两个素数和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，简称1+1．欧拉认为这是对的，但证不出来．1900年希尔伯特将其归入23个问题中的第8个问题． 1966年陈景润证得：一个素数+素数⨯素数（1+2），至今仍无人超越．●陈景润的数学教师沈元很重视利用名人、名言、名事去激励学生，他曾多次在开讲时，说过这样的话:“自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论，哥德巴赫猜想则是皇冠上的明珠．……”陈景润就是由此而受到了启示和激励，展开了艰苦卓绝的终生奋斗和灿烂辉煌的奋斗终生，离摘取“皇冠上的明珠”仅一步之遥．●数论题涉及的知识不是很多，但用不多的知识来解决问题往往就需要较强的能力和精明多的技巧，有人说：用以发现数学人才，在初等数学中再也没有比数论教材更好的课程了．任何学生如能把当今一本数论教材中的练习做出，就应当受到鼓励，劝他（她）将来去从事数学方面的工作（U ．Dudley 《数论基础》前言）．下面，是一个有趣的故事．当代最高产的数学家厄尔多斯听说一个叫波萨（匈牙利，1948）的小男孩很聪明，就问了他一个问题加以考察（1959）：如果你手头上有1n +个正整数，这些正整数小于或等于2n ，那么你一定有一对整数是互素的，你知道这是什么原因吗？不到12岁的波萨只用了1分半钟，就给出了问题的解答．他将1～2n 分成（1，2），（3，4），…，（21,2n n -）共n 个抽屉，手头的1n +个正整数一定有两个属于同一抽屉，这两个数是相邻的正整数，必定互素．通过这个问题，厄尔多斯认定波萨是个难得的英才，就精心加以培养，不到两年，14岁的波萨就发表了图论中“波萨定理”．●重视数学能力的数学竞赛，已经广泛采用数论题目，是数学竞赛四大支柱之一，四大支柱是：代数，几何，初等数论，组合初步（俗称代数题、几何题、算术题和智力题）．高中竞赛加试四道题正好是四大模块各一题，分别是几何题、代数题、数论题、组合题，一试中也会有数论题．数论受到数学竞赛的青睐可能还有一个技术上的原因，就是它能方便地提供从小学到大学各个层面的、新鲜而有趣的题目．数论题的主要类型：在初中竞赛大纲中，数论的内容列有：十进制整数及表示方法；整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；简单的一次不定方程．在高中竞赛大纲中，数论的内容列有：同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x ]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*．根据已出现的试题统计，中学数学竞赛中的数论问题的主要有8个重点类型：（1）奇数与偶数（奇偶分析法、01法）；（2）约数与倍数、素数与合数；（3）平方数；（4）整除；（5）同余；（6）不定方程；（7）数论函数、[]x 高斯函数、()n ϕ欧拉函数；（8）进位制（十进制、二进制）．下面，我们首先介绍数论题的基本内容（10个定义、18条定理），然后，对数学竞赛中的数论问题作分类讲解．第一讲数论题的基本内容中学数学竞赛中的数论问题涉及的数论内容主要有10个定义、18条定理．首先约定，本文中的字母均表示整数．定义1 （带余除法）给定整数,,0,a b b ≠如果有整数(),0q r r b ≤<满足 a qb r =+，则q 和r 分别称为a 除以b 的商和余数．特别的，0r =时，则称a 被b 整除，记作b a ，或者说a 是b 的倍数，而b 是a 的约数．（,q r 的存在性由定理1证明）定义2 （最大公约数）设整数12,,,n a a a 中至少有一个不等于零，这n 个数的最大公约数是能整除其中每一个整数的最大正整数，记作()12,,,n a a a ．()12,,,n a a a 中的i a 没有顺序，最大公约数也称最大公因数．简单性质：()()1212,,,,,,n n a a a a a a =．一个功能：可以把对整数的研究转化为对非负整数的研究．定义3 （最小公倍数）非零整数12,,,n a a a 的最小公倍数是能被其中每一个()1i a i n ≤≤所整除的最小正整数，记作[]12,,,n a a a ．简单性质：如果k 是正整数,a b 的公倍数，则存在正整数m 使[],k m a b =证明若不然，有[],k m a b r =+（[]0,r a b <<），由[],,k a b 都是,a b 的公倍数得r 也是,a b 的公倍数，但[]0,r a b <<，与[],a b 的最小性矛盾．故[],k ma b =．定义4 如果整数,a b 满足(),1a b =，则称a 与b 是互素的（也称互质）．定义5 大于1且除1及其自身外没有别的正整数因子的正整数，称为素数（也称质数）．其余大于1的正整数称为合数；数1既不是素数也不是合数．定理1 若,a b 是两个整数，0b >，则存在两个实数,q r ，使()0a qb r r b =+≤<，并且,q r 是唯一性．证明1 先证存在性．作序列则a 必在上述序列的某两项之间，从而存在一个整数q ，使()1qb a q b ≤<+，即 0a qb b ≤-<，取 r a qb =-， 0r b ≤<，得 a qb r =+，即存在两个实数,q r ，使()0a qb r r b =+≤<．再证唯一性．假设不唯一，则同时存在11,q r 与12,q r ，使 ()1110a q b r r b =+≤<， ()2220a q b r r b =+≤<，相减 ()1221q q b r r -=-， 1221q q b r r b -=-<， 1201q q ≤-<，但12q q -为整数，故120q q -=，得12q q =，从而12r r =．注：如果取消0r b ≤<，当0r <或r b >，不保证唯一．经典方法：紧扣定义，构造法证存在性，反证法证唯一性．证明2 只证存在性，用高斯记号，由 01a a b b ⎡⎤≤-<⎢⎥⎣⎦，有 0a a b b b⎡⎤≤-<⎢⎥⎣⎦，记a r a b b ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故存在,,0a a q r a b r b b b⎡⎤⎡⎤==-≤<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦使()0a qb r r b =+≤<．证明3 只证存在性，作集合这是一个有下界的非空整数集，其中必有最小的，设x q =时，有最小值r ()0r ≥ a qb r =+．再证r b <，若不然，r b ≥，记1r b r =+，有即M 有1r 比r 更小，这与r 为最小值矛盾．故存在两个实数,q r ，使()0a qb r r b =+≤<．定理2 设,,a b c 是三个不全为0的整数，满足a qb c =+，其中q 也为整数，则()(),,a b b c =．证明设A =｛,a b 的公约数｝， B =｛,b c 的公约数｝．任取||||d a d c a bq d A d B A B d b d b =-⎧⎧∈⇒⇒⇒∈⇒⊆⎨⎨⎩⎩，任取||||d b d bd B d A B A d c d a bq c⎧⎧∈⇒⇒⇒∈⇒⊆⎨⎨=+⎩⎩，得 A B =．有A 中元素的最大值B =中元素的最大值，即()(),,a b b c =．注：这是辗转相除法求最大公约数的理论基础．经典方法：要证明A B =，只需证A B ⊆且B A ⊆．定理3 对任意的正整数,a b ，有 ()[],,a b a b ab ⋅=．证明因为ab 是,a b 的公倍数，所以,a b 的最小公倍数也是ab 的约数，存在q 使 [],ab q a b =，有 [],a b a qb=且[],a b b为整数，故q 是a 的约数．同理q 是b 的约数，即q 是,a b 的公约数．下面证明，q 是,a b 的最大公约数．若不然，(),q a b <．有[]()[],,,ab q a b a b a b =<． ①设()(),,ab b k a a b a b ==，可见k 是a 的倍数，同样()(),,ab ak b a b a b ==，k 是b 的倍数，即k 是,a b 的公倍数，则存在正整数m 使[],k ma b =，有()[][],,,abm a b a b a b =≥，得 []()[],,,ab q a b a b a b =≥与①矛盾，所以，(),q a b =，得证()[],,a b a b ab ⋅=．注也可以由[]()(),1,,aba b kq m ab a b a b q≤===，得(),q a b ≥，与(),q a b <矛盾．两步[](),,,ab q a b ab a b k ==可以交换吗？定理4 ,a b 是两个不同时为0的整数，若00ax by +是形如ax by +（,x y 是任意整数）的数中的最小正数，则（1）00ax by +|ax by +；（2）00ax by +(),a b =．证明（1）由带余除法有()00ax by ax by q r +=++，000r ax by ≤<+，得 ()()0000r a x qx x b y qy ax by =-+-<+，知r 也是形如ax by +的非负数，但00ax by +是形如ax by +的数中的最小正数，故0r =，即00ax by +|ax by +．（2）由（1）有00ax by +|10a b a +=， 00ax by +|01a b b +=，得00ax by +是,a b 的公约数．另一方面，,a b 的每一个公约数都可以整除00ax by +，所以00ax by +是,a b 的最大公约数，00ax by +(),a b =．推论若(),1a b =，则存在整数,s t ，使1as bt +=．（很有用）定理5 互素的简单性质：（1）()1,1a =．（2）(),11n n +=．（3）()21,211n n -+=．（4）若p 是一个素数，a 是任意一个整数，且a 不能被p 整除，则(),1a p =．证明因为(),|a p p ，所以，素数p 的约数只有两种可能：()(),1,,a p a p p ==．但a 不能被p 整除，(),a p p ≠，得(),1a p =．推论若p 是一个素数，a 是任意一个整数，则(),1a p =或(),a p p =．（5）若(),1a b =，则存在整数,s t ，使1as bt +=．（定理4推论）（6）若()(),1,,1a b a c ==，则(),1a bc =．证明由(),1a b =知存在整数,s t ，使1as bt +=．有 ()a cs bct c +=，得 ()(),,1a bc a c ==．（7）若(),1a b =，则(),1a b a ±=，(),1a b b ±=， (),1a b ab ±=．证明 ()()(),,,1a b a b a b a ±=±==， ()(),,1a b b a b ±==，由（6）(),1a b ab ±=．（8）若(),1a b =，则(),1m n a b =，其中,m n 为正整数．证明据（6），由(),1a b =可得(),1m a b =．同样，由(),1m a b =可得(),1m n a b =．定理6 设a 是大于1的整数，则a 的除1之外的最小的正约数q 必是素数，且当a 是合数时，q ≤证明用反证法，假设q 不是素数，则存在正整数数1q ，11q q <<，使1|q q ，但|q a ，故有1|q a ，这与q 是a 的除1之外的最小正约数矛盾，故q 是素数．当a 是合数时，设1a a q =，则1a 也是a 的一个正约数，由q 的最小性得1q a ≤，从而21q a q a ≤=，开方得q ≤定理7 素数有无穷多个，2是唯一的偶素数．证明假设素数只有有限多个，记为12,,,n p p p ，作一个新数1211n p p p p =+>．若p 为素数，则与素数只有 n 个12,,,n p p p 矛盾．若p 为合数，则必有{}12,,,i n p p p p ∈，使|i p p ，从而|1i p ，又与1i p >矛盾．综上所述，素数不能只有有限多个，所以素数有无穷多个． 2是素数，而大于2的偶数都是合数，所以2是唯一的偶素数．注：这个证明中，包含着数学归纳法的早期因素：若假设有n 个素数，便有1n +个素数．（构造法、反证法）秒定理8（整除的性质）整数,,a b c 通常指非零整数（1）1a ，1|a -；当0a ≠时，|a a ，|0a ．（2）若b a ，0a ≠，则b a ≤;若b a ，b a >，则0a =;若0ab >，且,b a a b ，则a b =．证明由b a ，0a ≠，有a bq =，得a b q b =≥．逆反命题成立“若b a ，b a >，则0a =”; 由b a ≤且b a ≥得a b =，又0ab >，得a b =．（3）若a b c d +=+，且|,|,|e a e b e c ，则|e d ．（4）若c b ，b a ，则c a ．证明（定义法）由c b ，b a ，有 12,b q c a q b ==，得 ()12a q q c =，即 c a ．（5）若c a ，则bc ab ．（6）若c a ，c b ，则对任意整数,m n ，有c ma nb +．证明（定义法）由c a ，c b ，有 12,a q c b q c ==，得 ()12ma nb mq nq c +=+，即 c ma nb +．（7）若(),1a b =，且a bc ，则a c ．证明由(),1a b =知存在整数,s t ，使1as bt +=，有()()a cs bc t c +=，因为a a ，a bc ，所以a 整除等式的左边，进而整除等式的右边，即a c ．注意不能由a bc 且|a b /得出a c ．如649⨯，但6|4/且6|9/．（8）若(),1a b =，且,a c b c ，则ab c ．证明由(),1a b =知存在整数,s t ，使1as bt +=，有acs bct c +=，又由,a c b c 有12,c aq c bq ==代入得()()21ab q s ab q t c +=，所以ab c ．注意不能由a c 且b c 得出ab c ．如不能由630且10|30得出60|30．（9）若a 为素数，且a bc ，则a b 或a c ．证明若不然，则|a b /且|a c /，由a 为素数得()(),1,,1a b a c ==，由互素的性质（6）得(),1a bc =，再由a 为素数得|a bc /，与a bc 矛盾．注意没有a 为素数，不能由a bc 推出a b 或a c ．如649⨯，但6|4/且6|9/．定义6 对于整数,,a b c ，且0c ≠，若()c a b -，则称,a b 关于模c 同余，记作(mod )a b c ≡；若()|c a b -/，则称,a b 关于模c 不同余，记作a(mod )b c ．定理9（同余的性质）设,,,,a b c d m 为整数，0,m > （1）若(mod )a b m ≡且(mod )b c m ≡，则(mod )a c m ≡；证明由(mod )a b m ≡且(mod )b c m ≡，有 12,a b mq b c mq -=-=，()12a c m q q -=+，得(mod )a c m ≡．（2）若(mod )a b m ≡且(mod )c d m ≡，则(mod )a c b d m +≡+且(mod )ac bd m ≡．证明由(mod )a b m ≡且(mod )c d m ≡，有12,a b mq c d mq -=-=， ① 对①直接相加，有()()()12a c b d m q q +-+=+，得 (mod )a c b d m +≡+.对①分别乘以,c b 后相加，有()()()12ac bd ac bc bc bd m cq bq -=---=+，得 (mod )ac bd m ≡．（3）若(mod )a b m ≡，则对任意的正整数n 有(mod )nna b m =且(mod )an bn mn ≡. （4）若(mod )a b m ≡，且对非零整数k 有(,,)k a b m ，则mod a b m k k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭．证明由(mod )a b m ≡、，有 a b mq =+，又(,,)k a b m ，有,,a b mk k k 均为整数，且 a b mq k k k=+，得mod a b m k k k ⎛⎫≡ ⎪⎝⎭．定理10 设,a b 为整数，n 为正整数，（1）若a b ≠，则()()nna b a b--．()()123221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++．（2）若a b ≠-，则()()2121n n a b ab --++．()()212122232422322n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -------+=+-+--+．（3）若a b ≠-，则()()22nn a b ab +-．()()2221222322221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=+-+-+-．定义7 设n 为正整数，k 为大于2的正整数, 12,,,m a a a 是小于k 的非负整数，且10a >．若12121m m m m n a k a k a k a ---=++++，则称数12m a a a 为n 的k 进制表示．定理11 给定整数2k ≥，对任意的正整数n ，都有唯一的k 进制表示．如12121101010m m m m n a a a a ---=++++，109,0i a a ≤≤>（10进制） 12121222m m m m n a a a a ---=++++．101,0i a a ≤≤>（２进制）定理12 （算术基本定理）每个大于1的正整数都可分解为素数的乘积，而且不计因数的顺序时，这种表示是唯一的1212k k n p p p ααα=，其中12k p p p <<<为素数，12,,,k ααα为正整数．（分解唯一性）证明1 先证明，正整数n 可分解为素数的乘积12m n p p p =． ①如果大于1的正整数n 为素数，命题已成立．当正整数n 为合数时，n 的正约数中必有一个最小的，记为1p ，则1p 为素数，有11n p a =，11a n <<．如果1a 为素数，命题已成立．当1a 为合数时，1a 的最小正约数2p 为必为素数，有11122n p a p p a ==，211a a n <<<．这个过程继续进行下去，由于n 为有限数，而每进行一步i a 就要变小一次，于是，经过有限次后，比如m 次，n 就变为素数的乘积12m n p p p =．下面证明分解式是唯一的．假设n 还有另一个分解式 12t n q q q =， ② 则有 1212m t p p p q q q =． ③因为等式的右边能被1q 整除，所以左边也能被1q 整除，于是1q 整除12,,,m p p p 中的某一个i p ，但i p 为素数，所以i p 与1q 相等，不妨设i p 为1p ，有11p q =．把等式③两边约去11p q =，得 2323m t p p p q q q =．再重复上述步骤，又可得22p q =，33p q =，…，直到等式某一边的因数被全部约完，这时，如果另一边的因数没有约完，比如右边没有被约完（m t <），则有121m m t q q q ++=． ④但12,,,m m t q q q ++均为素数，素数都大于1，有121m m t q q q ++>，这表明等式④不可能成立，两个分解式的因数必然被同时约完，即分解式是唯一的．将分解式按i p 的递增排列，并将相同的i p 合并成指数形式，即得1212k k n p p p ααα=．其中12k p p p <<<为素数，12,,,k ααα为正整数．证明2 用第二数学归纳法证明12m n p p p =，12m p p p ≤≤≤．（1）当2n =，因为2为素数，命题成立．（2）假设命题对一切大于1而小于n 的正整数已成立．这时，若n 为素数，命题成立；若n 不为素数，必存在,a b ，使 n ab =，1,1a n b n <<<<，由归纳假设，小于n 的,a b 可分解为素数的乘积得 //////1212s s s t n p p p q q q ++=，适当调整/i p 的顺序，可得命题对于正整数n 成立．由数学归纳法，命题对一切大于1的正整数n 成立．下面证明分解式是唯一的．假设n 的分解式不唯一，则至少有两个分解式12m n p p p =，12m p p p ≤≤≤， 12t n q q q =，12t q q q ≤≤≤，得 1212m t p p p q q q =．有 112|t p q q q 且112|m q p p p ，这就存在,i j q p ，使1|i p q 且1|j q p ，但11,,,i j p q q p 均为为素数，所以11,i j p q q p ==，又 111i j p q q p p =≥=≥，所以 11p q =．把等式两边约去11p q =，得2323m t p p p q q q =．再重复上述步骤，又可得22p q =，33p q =，…，直到等式某一边的因数被全部约完，这时，如果另一边的因数没有约完，比如右边没有被约完（m t <），则有121m m t q q q ++=．但12,,,m m t q q q ++均为素数，素数都大于1，有121m m t q q q ++>，这表明上述等式不可能成立，两个分解式的因数必然被同时约完，即分解式是唯一的．将分解式按i p 的递增排列，并将相同的i p 合并成指数形式，即得1212k k n p p p ααα=．其中12k p p p <<<为素数，12,,,k ααα为正整数．定理13 若正整数n 的素数分解式为 1212k k n p p p ααα=则n 的正约数的个数为()()()()12111k d n a a a =+++，n 的一切正约数之和为()121111212111111k k k p p p S n p p p ααα+++---=⋅⋅⋅---．证明对于正整数1212k k n p p p ααα=，它的任意一个正约数可以表示为1212k k m p p p βββ=，0i i βα≤≤ ， ①由于i β有0,1,2,,i α共1i α+种取值，据乘法原理得n 的约数的个数为()()()()12111k d n a a a =+++．考虑乘积 ()()()12010101111222k kk k p p p p p p pp p ααα+++++++++，展开式的每一项都是n 的某一个约数（参见①），反之，n 的每一个约数都是展开式的某一项，于是，n 的一切约数之和为121111212111111k k k p p p p p p ααα+++---=⋅⋅⋅---．注构造法．定义8 （高斯函数）对任意实数x ，[]x 是不超过x 的最大整数．亦称[]x 为x 的整数部分，[][]1x x x ≤<+．定理14 在正整数!n 的素因子分解式中，素数p 作为因子出现的次数是23n n n p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．证明由于p 为素数，故在!n 中p 的次方数是1,2,,n 各数中p 的次方数的总和（注意，若p 不为素数，这句话不成立）．在1,2,,n 中，有n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个p 的倍数；在n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个p 的倍数的因式中，有2n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个2p 的倍数；在2n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个2p 的倍数的因式中，有3n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个3p 的倍数；…，如此下去，在正整数!n 的素因子分解式中，素数p 作为因子出现的次数就为23n n n p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．注省略号其实是有限项之和．画线示意50!中2的指数．定理15 （费玛小定理）如果素数p 不能整除整数a ，则()11p p a --．证明1 考察下面的1p -个等式： 11a pq r =+，10r p ≤<，222a pq r =+，20r p ≤<……()111p p p a pq r ---=+，10p r p -≤<由于素数p 不能整除整数a ，所以，p 不能整除每个等式的左边，得121,,,p r r r -均不为0，只能取1,2,,1p -．下面证明121,,,p r r r -各不相等．若不然，存在,,11t s t s p ≤<≤-，使相减 ()()s t s t a p q q -=-．应有素数p 整除()s t a -，但素数p 不能整除a ，所以素数p 整除()s t -，然而由11t s p ≤<≤-可得 02s t p p <-≤-<，要素数p 整除()s t -是不可能的，得121,,,p r r r -各不相等．有()()1211211!p rr r p p -=-=-．再把上述1p -个等式相乘，有 ()11211!p p p aMp rr r ---=+，即 ()()11!1!p p aMp p --=+-，其中M 是一个整数．亦即 ()()11!1p p a Mp ---=．由于p 是素数，不能整除()1!p -，所以素数p 整除11p a--，得证证明2 改证等价命题：如果素数p 不能整除整数a ，则()mod p a a p ≡．只需对1,2,,1a p =-证明成立，用数学归纳法．（1）1a =，命题显然成立．（2）假设命题对()11a k k p =≤<-成立，则当1a k =+时，由于()|1,2,,1i p p C i p =-，故有()11mod p k k p ≡+≡+．（用了归纳假设）这表明，命题对1a k =+是成立．由数学归纳法得()mod p a a p ≡．又素数p 不能整除整数a ，有(),1a p =，得()11p p a--．定义9 （欧拉函数）用()n ϕ表示不大于n 且与n 互素的正整数个数．定理16 设正整数1212k k n p p p ααα=，则()12111111k n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．证明用容斥原理．设{}1,2,,S n =，记i A 为S 中能被i p 整除的数所组成的集合（1,2,i k =），用iA 表示i A 中元素的个数，有i inA p =，1212,,i j k i jkn n A A A A A p p p p p ==．易知，{}1,2,,S n =中与n 互素的正整数个数为12k A A A ，由容斥原理得注示意3n =的容斥原理．推论对素数p 有()()11,p p ppp αααϕϕ-=-=-．定理17 整系数不定方程ax by c +=（0ab ≠）存在整数解的充分必要条件是(),a b c ．证明记(),d a b =．（1）必要性（方程有解必须满足的条件）．若方程存在整数解，记为00,,x x y y =⎧⎨=⎩，则00ax by c +=，由|,|d a d b ，有00|d ax by +，得证(),|a b c ．（2）充分性（条件能使方程有解）．若|d c ，可设c de =由于形如ax by +的数中有最小正数00ax by +满足00ax by +(),a b =．两边乘以e ，得这表明方程有解00,.x ex y ey =⎧⎨=⎩定理18 若0ab ≠,(),1a b =，且00,,x x y y =⎧⎨=⎩是整系数不定方程ax by c +=的一个整数解，则方程的一切整数解可以表示为00,,x x bt y y at =-⎧⎨=+⎩()t Z ∈． ①证明直接代入知①是方程的整数解，下面证明任意一个整数解都有①的形式. 由()00,x y 是方程的一个解，有00ax by c +=，又方程的任意一个解(),x y 满足ax by c +=， ② 相减 ()()000a x x b y y -+-=． ③ 但(),1a b =，故有 ()0|a y y -，有00,x x y y t t Z b a--==∈- 得方程的任意一个整数解可以表示为00,,x x bt y y at =-⎧⎨=+⎩()t Z ∈．定义10 （平面整点）在平面直角坐标系上，纵横坐标都是整数的点称为整点（也称格点）．类似地可以定义空间整点．第二讲数论题的范例讲解主要讲几个重要类型：奇数与偶数，约数与倍数（素数与合数），平方数，整除，同余，不定方程，数论函数等．重点是通过典型范例来分析解题思路、提炼解题方法和巩固基本内容．一、奇数与偶数整数按照能否被2整除可以分为两类，一类余数为0，称为偶数，一类余数为1，称为奇数．偶数可以表示为2n ，奇数可以表示为21n -或21n +．一般地，整数被正整数m 去除，按照余数可以分为m 类，称为模m 的剩余类(){}mod i C x x i m =≡，从每类中各取出一个元素i i a C ∈，可得模m 的完全剩余系（剩余类派出的一个代表团），0,1,2,,1m -称为模m 的非负最小完全剩余系.通过数字奇偶性质的分析而获得解题重大进展的技巧，常称作奇偶分析，这种技巧与分类、染色、数字化都有联系，在数学竞赛中有广泛的应用．关于奇数和偶数，有下面的简单性质：（1）奇数≠偶数．（2）偶数的个位上是0、2、4、6、8；奇数的个位上是1、3、5、7、9．（3）奇数与偶数是相间排列的；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；．（4）奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和是偶数．（5）除2外所有的正偶数均为合数；（6）相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半．（7）偶数乘以任何整数的积为偶数．（8）两数和与两数差有相同的奇偶性，()mod 2a b a b +≡-．（9）乘积为奇数的充分必要条件是各个因数为奇数．（10）n 个偶数的积是2n 的倍数．（11）()11k -=的充分必要条件是k 为偶数，()11k-=-的充分必要条件是k 为奇数．（12）()()()()()()22220mod 4,211mod 4,211mod8n n n ≡-≡-≡．（13）任何整数都可以表示为()221mn k =-．……例1 （1906，匈牙利）假设12,,,n a a a 是1,2,,n 的某种排列，证明：如果n 是奇数，则乘积是偶数．解法1 （反证法）假设()()()1212n a a a n ---为奇数，则i a i -均为奇数，奇数个奇数的和还是奇数奇数=()()()1212n a a a n -+-++-()()12120n a a a n =+++-+++=，这与“奇数≠偶数”矛盾．所以()()()1212n a a a n ---是偶数．评析这个解法说明()()()1212n a a a n ---不为偶数是不行的，但没有指出为偶数的真正原因．体现了整体处理的优点，但掩盖了“乘积”为偶数的实质．解法 2 （反证法）假设()()()1212n a a a n ---为奇数，则i a i -均为奇数，i a 与i 的奇偶性相反，{}1,2,,n 中奇数与偶数一样多，n 为偶数．但已知条件n 为奇数，矛盾．所以()()()1212n a a a n ---是偶数．评析这个解法揭示了()()()1212n a a a n ---为偶数的原因是“n 为奇数”．那么为什么“n 为奇数”时“乘积”就为偶数呢？解法3 121,2,,,,,,n n a a a 中有1n +个奇数，放到n 个括号，必有两个奇数在同一个括号，这两个奇数的差为偶数，得()()()1212n a a a n ---为偶数．评析这个解法揭示了()()()1212n a a a n ---为偶数的原因是“当n 为奇数时，1,2,,n 中奇数与偶数个数不等，奇数多，某个括号必是两个奇数的差，为偶数”．类似题：例1-1（1986，英国）设127,,,a a a 是整数，127,,,b b b 是它们的一个排列，证明()()()112277a b a b a b ---是偶数．（127,,,a a a 中奇数与偶数个数不等）例1-2 π的前24位数字为 3.14159265358979323846264π=，记1224,,,a a a 为该24个数字的任一排列，求证()()()12342324a a a a a a ---必为偶数．（暗藏3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,2,6,4中奇数与偶数个数不等）例2 能否从1,2,,15中选出10个数填入图的圆圈中，使得每两个有线相连的圈中的数相减（大数减小数），所得的14个差恰好为1,2,,14？解考虑14个差的和S ，一方面1214105S =+++=为奇数．另一方面，每两个数,a b 的差与其和有相同的奇偶性 (mod2)a b a b -≡+，因此，14个差的和S 的奇偶性与14个相应数之和的和/S 的奇偶性相同，由于图中的每一个数a 与2个或4个圈中的数相加，对/S 的贡献为2a 或4a ，从而/S 为偶数，这与S 为奇数矛盾，所以不能按要求给图中的圆圈填数．评析：用了计算两次的技巧．对同一数学对象，当用两种不同的方式将整体分为部分时，则按两种不同方式所求得的总和应是相等的，这叫计算两次原理成富比尼原理．计算两次可以建立左右两边关系不太明显的恒等式．在反证法中，计算两次又可用来构成矛盾．例3 有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨数之和都是偶数，问最少要把这些苹果和梨分成几堆？解（1）4堆是不能保证的．如4堆的奇偶性为：（反例）（奇奇），（偶偶），（奇偶），（偶奇）．（2）5堆是可以保证．因为苹果和梨数的奇偶性有且只有上述4种可能，当把这些苹果和梨分成5堆时，必有2堆属于同一奇偶性，其和苹果数与梨数都是偶数．例4 有n 个数121,,,,n n x x x x -，它们中的每一个要么是1，要么是1-．若1223110n n n x x x x x x x x -+++++=，求证4|n ．证明由{}1,1i x ∈-，有{}11,1i i x x +∈-，再由1223110n n n x x x x x x x x -+++++=，知n 个1i i x x +中有一半是1，有一半是1-，n 必为偶数，设2n k =．现把n 个1i i x x +相乘，有2222122311121(1)(1)1k kn n n n n x x x x x x x x x x x x ---+===，可见，k 为偶数，设2k m =，有4n m =，得证4|n ．例5 n 个整数121,,,,n n a a a a -，其积为n ，其和为0，试证4|n ．证明先证n 为偶数，若不然，由121n n a a a a n -=知，121,,,,n n a a a a -全为奇数，其和必为奇数，与其和为0（偶数），故n 必为偶数．（121,,,,n n a a a a -中至少有1个偶数）再证n 为4的倍数，若不然，由n 为偶数知，121,,,,n n a a a a -恰有一个为偶数，其余1n -个数全为奇数，奇数个奇数之和必为奇数，加上一个偶数，总和为奇数，与121,,,,n n a a a a -之和为0矛盾，所以，n 为4的倍数，4|n ．（121,,,,n n a a a a -中至少有2个偶数）评析要证4|n ，只须证121,,,,n n a a a a -中至少有2个偶数，分两步，第一步证至少有1个偶数，第二步证至少有2个偶数．例6 在数轴上给定两点1，在区间内任取n 个点，在此2n +个点中，每相邻两点连一线段，可得1n +条互不重叠的线段，证明在此1n +条线段中，以一个有理点和一个无理点为端点的线段恰有奇数条．证明将2n +个点按从小到大的顺序记为122,,,n A A A +…，并在每一点赋予数值i a ，使与此同时，每条线段1i i A A +也可数字化为1i i a a +（乘法）记11i i a a +=-的线段有k 条，一方面另一方面 12233412()()()()n n a a a a a a a a ++…21231212()1n n n a a a a a a a -++===-…，得()11k-=-，故k 为奇数．评析用了数字化、奇偶分析的技巧．二、约数与倍数最大公约数与最小公倍数的求法．（1）短除法．（2）分解质因数法．设1212,0,1,2,,k k i a p p p i k αααα=≥=， 1212,0,1,2,,k k i b p p p i k ββββ=≥=．记 {}{}min ,,max ,i i i i i i γαβδαβ==，则 ()1212,k k a b p p p γγγ=， []1212,k k a b p p p δδδ=．（3）辗转相除法()()()()()121,,,,,0n n n n a b b r r r r r r r -======．例7 （1）求()8381,1015，[]8381,1015；（2）()144,180,108，[]144,180,108．解（1）方法1 分解质因数法．由得 ()8381,101529=，[]28381,1015571729293335=⨯⨯⨯=．方法2 辗转相除法．或23214221313823226110158381232232783812029232261q q q q r r r r ========或 ()()()()()8381,1015261,1015261,23229,23229,029=====． []()83811015838110158381,10158381352933358381,101529⨯⨯===⨯=．（2）方法1 短除法．由得 ()22144,180,1082336=⨯=，[]43144,180,1082352160=⨯⨯=．方法2 分解质因数法．由42222314423,180235,10823,=⨯=⨯⨯=⨯，得 ()22144,180,1082336=⨯=，[]43144,180,1082352160=⨯⨯=．例8 正整数n 分别除以2,3,4,5,6,7,8,9,10得到的余数依次为1,2,3,4,5,6,7,8,9，则n 的最小值为．解依题意，对最小的n ，则1n +是2,3,4,5,6,7,8,9,10的公倍数3212357n +=⨯⨯⨯，得2519n =．例9 有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，如何利用它们从一桶油中倒出6升油来？解相当于求不定方程15276x y +=的整数解．由()15,273=知，存在整数,u v ，使15273u v +=，可得一个解2,1u v ==-，从而方程 ()1542726⨯+⨯-=．即往小容器里倒2次油，每次倒满之后就向大容器里倒，大容器倒满时，小容器里剩有3升油；再重复一次，可得6升．例10 对每一个2n ≥，求证存在n 个互不相同的正整数12,,,n a a a ，使i j i j a a a a -+，对任意的{},1,2,,,i j n i j ∈≠成立．证明用数学归纳法．当2n =时，取121,2a a ==，命题显然成立．假设n k =时，命题成立，即存在12,,,k a a a ，使 i j i j a a a a -+，对任意的{},1,2,,,i j k i j ∈≠成立．现取b 为12,,,k a a a 及它们每两个数之差的最小公倍数，则1k +个数满足 ()()()()()(),,t t ij i j a b b a b b a b a b a b a b ⎧+-++⎪⎨+-++++⎪⎩即命题对1n k =+时成立．由数学归纳法知命题对2n ≥成立．例11 ()111959,IMO -证明对任意正整数n ，分数214143n n ++不可约．证明1 （反证法）假若214143n n ++可约，则存在1d >， ①使 ()214,143n n d ++=，从而存在(),,,1p q p q =，使消去n ，()()3322⨯-⨯，得()132d q p =-， ④ 的 1d =． ⑤由（1）、（5）矛盾，得1d =．解题分析：（1）去掉反证法的假设与矛盾就是一个正面证法．（2）式④是实质性的进展，表明 ()()131432214n n =+-+，可见 ()214,1431n n ++=．由此获得2个解法．证明2 设()214,143n n d ++=．存在(),,,1p q p q =，使消去n ，②×3-①×2，得()132d q p =- ③ 得 1d =．证明3 由()()131432214n n =+-+ 得 ()214,1431n n ++=．证明4 ()214,143n n ++ ()71,143n n =++ ④ ()71,1n =+ ⑤1=．解题分析：第④ 相当于 ①-②；第⑤ 相当于②-2（①-②）=②×3-①×2；所以③式与⑤式的效果是一样的．例12 不存在这样的多项式()1110mm m m f n a n a na n a --=++++，使得对任意的正整数n ，()f n 都是素数．证明假设存在这样的多项式,对任意的正整数n ，()f n 都是素数，则取正整数n b =，有素数p 使 ()1110mm m m f b a b a ba b a p --=++++=，进而对任意的整数,k 有()1110m m m m a b a b a b a Mp --=+++++（二项式定理展开）()1P M =+，其中M 为整数，这表明()f b kp +为合数．这一矛盾说明，不存在这样的多项式,对任意的正整数n ，()f n 都是素数．三、平方数若a 是整数，则2a 就叫做a 的完全平方数，简称平方数． 1．平方数的简单性质（1）平方数的个位数只有6个：0,1,4,5.6.9．（2）平方数的末两位数只有22个：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．（3）()()()()2220mod 4,211mod 4n n ≡-≡．（４）()()2211mod 8n -≡．（6）凡是不能被3整除的数，平方后被3除余1．（7）在两个相邻整数的平方数之间，不能再有平方数．（8）非零平方数的约数有奇数个．（9）直角三角形的三边均为整数时，我们把满足222a b c +=的整数(),,a b c 叫做勾股数．勾股数的公式为其中,m n 为正整数，(),1m n =且,m n 一奇一偶．这个公式可给出全部素勾股数．2．平方数的证明方法（1）反证法．（2）恒等变形法．（3）分解法．设a 为平方数，且a bc =，(),1b c =，则,b c 均为平方数．（4）约数法．证明该数有奇数个约数． 3．非平方数的判别方法（1）若()221n x n <<+，则x 不是平方数．（2）约数有偶数个的数不是平方数．（3）个位数为2，3，7，8的数不是平方数．（4）同余法：满足下式的数n 都不是平方数．()2mod3n ≡， ()23mod4n ≡或， ()23mod5n ≡或，()23567mod8n ≡或或或或， ()2378mod10n ≡或或或．（5）末两位数不是：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．如个位数与十位数都是都是奇数的数，个位数是6、而十位数是偶数的数．例13 有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，…，99，100．每盏灯由一个拉线开关控制着．最初，电灯全是关着的．另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的。

高中数学联赛数论专题

高中数学联赛数论专题数论是数学中的一个重要分支，涉及整数的性质和关系。

在高中数学联赛中，数论作为一个专题常常被提及，并且在竞赛题目中占据一定比例。

本文将从数论的基本概念、典型问题和解题思路等方面进行探讨。

一、数论的基本概念数论是研究整数的性质和关系的数学领域，其中核心概念包括因数、倍数、质数、互质等。

因数指的是能够整除某个整数的所有正整数，而倍数则是某个整数所能够整除的所有整数。

质数是只能被1和自身整除的整数，而互质则是两个数的最大公因数为1。

二、典型问题在高中数学联赛的数论专题中，常常会出现以下典型问题：1. 质因数分解：给定一个整数，要求将其分解为质因数的乘积。

质因数分解不仅是数论中的重要知识点，还是其他数学学科的基础。

2. 同余定理：同余定理是数论中的重要理论，涉及到整数之间的模运算。

常见的同余定理包括欧拉定理、费马小定理等。

3. 素数判定：判断一个数是否为素数是数论中的常见问题。

除了常规的试除法，还可以运用费马检验、米勒-拉宾素性测试等方法进行判定。

4. 数列问题：数论与数列密切相关，常常会涉及到数列的性质和规律。

例如斐波那契数列、约瑟夫环等经典问题。

5. 不定方程：不定方程指的是关于整数解的方程，解决不定方程需要灵活运用数论知识和技巧。

典型的不定方程问题包括费马方程、佩尔方程等。

三、解题思路在高中数学联赛中，解决数论问题的关键在于运用合适的方法和技巧。

下面给出几点解题思路供参考：1. 寻找规律：数论问题常常有一定的规律性，通过观察和归纳找出规律是解题的关键。

可以通过列数表、找数列规律等方法进行推断。

2. 利用等式性质：利用等式的性质可以化简或者变形给定的数论问题，将其转化为更容易解决的形式。

例如利用同余关系化简方程、利用性质求解方程等。

3. 利用定理和公式：数论中有很多重要的定理和公式，熟练掌握并恰当运用可以大大提高解题效率。

例如欧拉定理、费马小定理等。

4. 分类讨论：针对不同情况进行分类讨论，找出不同情况下的共同性质和规律。

欧几里得数学竞赛知识点

欧几里得数学竞赛知识点欧几里得数学竞赛（Euclidean Mathematics Contest）是一项面向中学生的数学竞赛，以培养学生的数学思维能力和解决问题的能力为目标。

该竞赛注重培养学生的几何直觉和创造力，并涵盖了广泛的数学知识点。

以下是一些常见的欧几里得数学竞赛知识点：1.几何学：欧几里得数学竞赛主要涉及几何学，包括平面几何和立体几何。

常见的几何知识点包括：平行线与垂直线的性质、三角形的性质（如相似三角形、直角三角形等）、多边形的性质（如正多边形、等腰三角形等）、圆的性质（如平行切线、切线与弦的性质等）等。

2.代数学：代数学也是欧几里得数学竞赛的重要内容之一、常见的代数知识点包括：数列与数列的性质（如等差数列、等比数列等）、方程的解法（如一元二次方程、一次方程等）、不等式与不等式的性质、函数与函数的性质（如一次函数、二次函数等）等。

3.数论：数论也是欧几里得数学竞赛中常见的知识点。

数论主要研究整数的性质与关系，常见的数论知识点包括：因数与倍数的性质、质数与合数的性质、最大公约数与最小公倍数的性质、模运算与同余定理、整数的奇偶性等。

4.组合数学：组合数学是欧几里得数学竞赛中的另一个重要内容。

组合数学主要研究集合的性质和排列组合等问题，常见的组合数学知识点包括：排列与组合的计数、二项式定理与多项式展开、概率与期望等。

5.解析几何：解析几何是欧几里得数学竞赛中的高阶内容。

解析几何主要研究几何图形与坐标之间的关系，常见的解析几何知识点包括：平面直角坐标系与空间直角坐标系、直线与曲线的方程、圆与球的方程、曲线的性质与参数方程等。

6.计算方法：除了数学的理论知识，欧几里得数学竞赛还注重学生的计算能力和解题技巧。

常见的计算方法包括：化简与整理表达式、代数运算的技巧与策略、几何图形的构造与判定等。

以上只是欧几里得数学竞赛的一部分常见知识点，实际上，欧几里得数学竞赛的题目题材多样，知识点广泛。

参加欧几里得数学竞赛的学生需要在学习过程中全面掌握数学各个领域的知识，并能够灵活运用这些知识解决问题。

高中竞赛数学辅导数论重要定理

数论一、欧拉定理设1m >的整数，()()(),1,1ma m a modm ϕ=≡则.例1设(10005x =+，求[]x 的末三位数.解由二项式定理，((()()()()10001000249950010002998349963998233100010001000552552352352323C C C ++-⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦是一个正整数.记(100015x =-，因为1051,01,x <-<<<所以从而{}11x x =.而1x x +是一个正整数，则{}{}11,x x +=所以{}{}1111.x x x =-=-于是[]{}111 1.x x x x x x x =-=-+=+-又因为 ()()500100031252251000x x mod +≡+ ，33100025= ，()100032505,mod ≡()()50010002500325252122mod =≡≡ ，又10003255,y =所以 ()3528y mod ≡ ，()25528y mod ≡ ，()528y mod ≡，则min 所以8 2.y k =+则()()()100033332558258525210002501000.k k mod mod =+=+≡=因为()11251251100,5ϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以()()10010021125,31125mod mod ≡≡，于是，有 ()()150050021125,31125mod mod ≡≡，()()50032232125mod ≡ ，又因为 ()150********mod ≡ ，()5003322552y =+ ，所以()35208y mod +≡，即()528y mod ≡-，所以()68min y mod =，于是，有86y k =+. 所以()()5003333223586256582k k =++=++所以[]()11250751111000x x x mod=+-≡+-≡.故[]x 的末三位数是001.二、费马小定理（1）p 为素数，且(),1,a p =则()11p a modp -≡；（2）p 为素数，则()p a a mod p ≡.例2 ,,,a b c d 为整数，证明()44240/b d c d a a ++-. 证明4240235= ，由于()()()2440,13,0,13,0,13,b c a moda mod a mod≡≡≡ 所以()()444403b d c d d b c a a a a a mod ++-=-≡.即443/()b d c d a a ++-.由于奇数的4次方被16除余1，偶数的4次方被16除余0，故有()()4444016b d c d d b c a a a a a mod ++-=-≡.即4442/()b d c d a a ++-.又由于()()()4440,15,0,15,0,15,b c a moda mod a mod≡≡≡ 则()()444405b d c d d b c a a a a a mod ++-=-≡，即445/()b d c d a a ++-.又2,3,5两两互素，故()44240/b dc d aa ++-.例 3 设整数199919991999,,0,a b c a b c d a b c ++==++满足记，求证d 不是素数.证明由于1999aa 与同奇偶，则()()()1999199919992,2,2,a a modb b modc c mod≡≡≡ 所以()19991999199902d a b c a b c mod=++≡++≡，即2/d .又 ()()6662221999199836663222aa aa aa aa aa a ==≡=≡()()()74258374753253a aa a a aa a a=≡==≡=()()389333a a a aa a mod ≡==≡≡ ，同理()()199919993,3,b b mod cc mod≡≡则()19991999199903d a b c a b c mod=++≡++≡.即3/d . 从而d 不是素数.例4 设{}()21np n n -≥是给定的素数，证明：数列中有无穷多项被p 整除.证明当2p =时，结论显然成立.当()()1221,21p p p modp ->=≡时，由于，所以，所以对任意的()()1,21p mm Z mod p -∈≡有，即()()121m p mod p -≡.特别地，取1,m kp k Z =-∈.则()()()()()112111kp p kp p mod p --≡≡--.令()()11,n kp p =--则()2n n mod p ≡，即()/2n p n -.三、威尔逊定理设p 是素数，则()()1!1p mod p -≡-()()1!1p modp ⇔-≡.证明考虑多项式()1p xmod p -.由费马小定理，当{}1,2,,1a p ∈- 时，有()11p a modp -≡所以11p a x --是多项式的根.则1,2,,1x x x p ---+ 均为11p x --的因式.则设()()()()11121p x x x x p Q x -----+ =.得()1Q x =，则()()()11121p x x x x p -----+ =.取x p =代入，得()111!p p p --=-所以()()1!1p mod p -≡-.例5 ()()1!1p p modp -≡-是素数，则.证明：若21p +为奇素数，则()()()()2!1021pp mod p +-≡+.证明：()()()()2!1021pp mod p +-≡+()()()()()()()()()()()()1!!121!1!121!121121p pp p mod p p p mod p p p p modp +⇔≡-+⇔-≡-+⇔-----≡-+⎡⎤⎣⎦()()()()()!21212211121p p p p p mod p ⇔+-+-+-≡-+()()()()()1212121p p p p mod p ⇔+-≡-+ ！()()()2!121p modp ⇔≡-+.而21p +为奇素数，有()()()2!121p mod p ≡-+.四、中国剩余定理设12,,,k m m m k 是个两两互素的正整数，则同余方程组()()()1122k k x b mod m x b mod m x b mod m ≡⎧⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩有整数解.令12.k Mm m m =则同余方程组在模M 下的解是唯一的. 令,i i iMM M m '=取使得()1i i i M M mod m '≡，则解为()111222k k k x M M b M M b M M b modM '''≡+++ .例 6 证明：对任意给定的正整数,n n 均有个连续正整数，其中每一个都有大于1的平方因子.分析：()()()2122210200n x mod p x mod p x n modp +≡+≡+≡则()()()2122212n x modp x mod p x n modp ≡-≡-≡-. 证明：设12,,,n p p p n 为个互不相同的素数，由中国剩余定理知，()()()2122212n x modp x mod p x n modp ≡-≡-≡-存在正整数解，设S 为一个正整数解，则12S S S n +++ ，，，满足要求.例7 任给正整数n ，存在n 个连续正整数，使得其中每一个数都不是幂数.证明设12,,,n p p p n 为个互不相同的素数，由中国剩余定理，同余方程组()()()211222212n n x p mod p x p mod p x p n mod p ⎛≡-≡-≡-⎝存在正整数解0000,12S S S S n +++ 则，，，满足要求.例8给定正整数n ，设()f n 是使()1f n k k =∑能被n 整除的最小正整数.证明：当且仅当n 为2的幂时，有()21f n n =-.分析：()112mk m m k =+=∑，因为()1/,2m m n +当21m n =-时， 1mk k =∑n/，所以()21f n n ≤-.则问题归结为：()()()()122122 1.m mn f n n f n n ==-≠<-当时，；当n 2时，证明：（1）当2mn =时，()2112122n k n n k -=-=∑. 当()1121.2rk r r r n k =+<-=∑时， ∵112,12122121m m r r n r r n +<+<<+≤+=-=- 即，∴()112/1,2/m m r r +++.∴()()112/,/.22mr r r r n ++即综上，知()21f n n =-.（2）分析：()2121,f n n r n <-⇔∃<-使1/,rk n k =∑即()1/2r r n +.（证明）2m n ≠当时，令()21.mn a a =为大于的奇数此时需证()12/1m a r r ++，即证存在()12/,/1m r a r ++即可.构造同余方程组()()1021m x mod x mod a +⎧≡⎪⎨≡-⎪⎩（1）由中国剩余定理知，同余方程组（1）有正整数解()12rr n ≤≤，则()12/,/1m r a r ++.从而有()12/1m a r r ++ ，即()12/2mr r a + ，()1/2r r n +.考虑r 的取值范围：若()()2,020,rn r mod n r mod a =≡⇒≡则这与()1x moda ≡-相矛盾，故2r n ≠.若()()121,1212m rn r modn r mod +=-≡-⇒≡-则，这与()102m x mod+≡相矛盾,故21r n ≠-.从而有12221r n n ≤≤-<-，于是得证21,r n ∃<-使()1/2r r n +.五、阶及应用定理1 设()1,,,1n n a a n >=为整数，且，则必有一个r()11,r n ≤≤-使得()1r a mod n ≡.证明： 011,,,n a a a - 均与n 互质，所以有()0,0,1,,1i a mod n i n ≡=- .由抽屉原则，,01,i j i j n ∃≤<≤-满足使得()j i a a mod n ≡，()1j i a modn -≡，令(),11,1r r j i r n a modn =-≤≤-≡则有.定义1：设()(),1,1m a n a modn m a =≡则满足的最小正整数叫做a n 对模的阶.注：若a n r 对模的阶为，则()1r a modn ≡. 当()11ii r a modn ≤<≡时，.定理2 设()(),1,,1m a n a n r a modn =≡对模的阶为若，则/.r m证明：令()110m qr r r r =+≤<，则()()1111qqr r r r r mqr r a aa a aaa mod n +==== .而()1mamodn ≡，所以()11r a mod n ≡.而a n r 对模的阶为的定,义知10r =.从而,/.m qr r m =即推论：若a n r 对模的阶为，则()/r n ϕ.特例：当n 为素数p 时，/1r p -.例9 设1,/21,3/.n n n n >+证明：证明：显然n 为奇数.假设 3.p n p =为的最小素因数，下证 ∵/21n n +，∴()210n mod n +≡， ()21n mod n ≡-， ∴()()2221,21n n mod n mod p ≡≡. 设2/2.p r r n 对模的阶为，则 ① 又由小费马定理知，()121p mod p -≡， ∴/1r p -. ② 由①，②知，()/2,1r n p -. ∵2/,n ∴()()22/2,1,2/2,1n p n p --.又若奇数()/2,1,/,/ 1.q n p q n q p --则 ∵p n 为的最小奇素约数，∴1q =.∴()2,1 2.n p -=由()/2,1r n p -，即/2,1r r >及知2r =. 由2p r 对模的阶为，知()21r mod p ≡，即()221mod p ≡，从而 3.p =而p n 为的最小素因数，则/,3/p n n 即.。

《数学竞赛》第三章 数论2012.2

数学竞赛中的数论问题3

数学竞赛中的数论问题题型全

数学竞赛第三章_数论20122

竞赛数学(张同君陈传理)数论3(不定方程)

数论选讲

数论竞赛题

数学竞赛的精华数论

高中数学竞赛数论部分

初中数学竞赛数论题

数学竞赛中的数论问题

高中数学竞赛——数论

《数学竞赛辅导》——初等数论

初中数学竞赛中的数论问题

《数学竞赛》第三章_数论2012.2

数学竞赛中的数论问题

高中数学联赛数论专题

欧几里得数学竞赛知识点

高中竞赛数学辅导数论重要定理

《数学竞赛》第三章数论2012.2