公务员考试中数学运算的基本公式及定理

公务员考试中数学运算的基本公式及定理
一 基本运算定律及公式
加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ） 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab ）c=a （bc ） 乘法分配律：（a+b ）c=ac+bc 乘方运算律：1p
p a
a
-=
，0
1a =（0a ≠）； ()()mn
m n
n m
a
a a ==；()n n n a a
b b
=（0a ≠，0b ≠）；()m m m
ab a b =；
m n
m
n
a
a a +=⋅；n
m n m
a a =平方差公式：
22()()a b a b a b -=+-
立方和（差）公式： 3
3
2
2()()a b a b a ab b ±=±+
完全平方公式： 222()2a b a ab b ±=±+ 完全立方公式：
33223()33a b a a b ab b ±=±+±
二 常见代数公式
1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设12,x x 是方程2
0ax bx c ++=（0a ≠）的两个根，则12b x x a +=-
，12c
x x a
⋅=。

2．不等式的性质及应用：
不等式的性质：
（1）若a -b >0，则a >b ；若a -b =0，则a =b ；若a -b <0，则a <b 。

（2）若a ≥c ，c ≥b ，则a ≥b 。

（传递性）
（3）若a ≥b ，则a ±c ≥b ±c ；若a ≥b ，c ≥d ，则a +c ≥b +d ，a -d ≥b -c ；（可加性） （4）若a >b ，c >0，则ac >bc ，a
b
c c
>；若a >b ，c <0，则ac <bc ，a b c c <；若a >b >0，c >d >0，
则ac >bd ，
c
b
d a >； （5）若a >b >0，则n n
a b ＞（n >1）；若a >b >0n n a b ＞n >1）。

重要不等式：
（1）0,0>>b a ，
ab b
a ≥+2
（当且仅当b a =时，等号成立）。

（2）如果a 、b ∈R ，则ab b a 22
2
≥+（当且仅当b a =时，等号成立）。

（3）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即
n
1
（12n a a a +++）≥
n
n a a a 21（12,,
,R n a a a +∈，当且仅当12n a a a ===时，等号成立）。

3．二次函数的基本性质：
二次函数c bx ax y ++=2
=224()24b ac b a x a a -++（a ≠0）。

当a >0，x =2b
a
-时，a b ac 442-为最小值；当a <0，x =2b
a
-时，a b ac 442-为最大值。

4．常见函数求导：d cx bx ax y +++=2
3
1，c bx ax y ++='232
1
；c bx ax y ++=2
2，b ax y +='22。

5．平均增长率：如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x
y N p =+。

6．比和比例的性质：
性质1：若a ∶b =c ∶d ，则a ×d =b ×c （即外项之积等于内项之积）。

性质2：若a ∶b =c ∶d ，则(a ±c )∶(b ±d )=a ∶b =c ∶d 。

性质3：若a ∶b =c ∶d ，则(a ±xc )∶(b ±xd )=a ∶b =c ∶d (x 为常数)。

三 数列公式
（一）等差数列 1．基本公式
（1）通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- （2）前n 项和n S 的公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
（3）等差中项：若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且A =2
a b
+。

2．等差数列的性质：
（1）在等差数列{}n a 中，若m +n =k +l ，则m n k l a a a a +=+；
（2）若{}n a 和{}n b 都是等差数列，则{}n a k ±、{}n n a b ±、{}n ka 等都是等差数列； （3）若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --，…也成等差
数列。

（4）从等差数列中，取出等距离的项所组成的新数列仍成等差数列。

3．等差数列中间项公式：
（1）当n 为奇数时，等差数列的中间项为n
S a n
n =
+2
1； （2）当n 为偶数时，等差数列的中间项为2
n a 和1
2+n a ，且有2
n a +1
2+n a =
2n S n。

（二）等比数列
1．基本公式
（1）通项公式：11n n a a q -=n k
k a q -=⋅
（2）前n 项和n S 的公式：11
(1)
1 , 1 , 1n n a q q na q S q --⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩。

（3）等比中项：如果a ，c ，b 成等比数列，则c 叫做a 与b 的等比中项，且2
ab c =。

2．等比数列的性质：
（1）在等比数列{}n a 中，若m +n =k +l ，m n k l a a a a ⨯=⨯； （2）若{}n a 和{}n b 都是等比数列，则{}n ka （k ≠0）、1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
、{}n n a b 、{}2
n a 等都是等比数列；
（3）若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --，…也成等比数列；
（4）从等比数列中，取出等距离的项所组成的新数列仍成等比数列。

（三）裂项公式
11
1)1(1+-=+n n n n
)1
1(1)(1d
n n d d n n +-=+
b
n a b b a n a b a n ab b n a n n +⨯-++⨯--⨯=++1
)(11)(111))((1
四 容斥原理、排列组合及概率
1．容斥原理：
两集合公式：|A B |=|A |+|B |-|A B |
三集合公式：|A B C |=|A |+|B |+|C |-|A B |-|B C |-|A C |+|A B C | 2．排列组合
排列数：A (1)(2)1m
n n n n n m =⨯-⨯-⨯⋯⨯-+（）=
!
()!
n n m -（n !=n ×（n -1）×（n -2）
×…×2×1）
组合数：(1)(2)(1)!!!()!
A C A m
n
m n m
m n n n n m n m m n m ⨯-⨯-⨯⨯-+===-（规定0
C 1n =） 常用关系式：C C m n m n n -=；11C C C r r r
n n n -++=；012C C C C 2n n
n n n n ++++=。

排列与组合的关系：A C m m
n n m =⋅！
二项式定理：01122211()C C C ...C C n n n n n n n n
n n n n n a b a a b a b ab b ----+=+++++
3.概率：
等可能事件概率：如果试验中可能出现的结果有n 个，而事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 发生的概率m P A n
=
（）。

条件概率：在事件A 发生（P (A )>0）的前提下，事件B 发生的概率P (B |A )=
)
()
(A P B A P 。

条件概率的变式，P (A ∩B )=P (B |A )×P (A )和P (A )=
)
()
(A B P B A P 。

事件A 发生的概率P （A ）与事件A 未发生的概率()P A 满足：1P
A P A +=（）（）。

二项分布：若某事件概率为p ，现重复试验n 次，该事件发生k 次的概率
C (1)k k n k
n
P p p -=-。

五 几何公式及定理
（一）平面图形
1.三角形
边
勾股定理 a 2+b 2=c 2（a 、b 为三角形的直角边，c 为斜边）
勾股定理逆定
理 如果三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

三边关系定理
及推论
①三角形两边之和大于第三边； ②三角形两边之差小于第三边。

角
三角形内角和
定理
三角形三个内角的和为180°。

三角形外角定
理及推论
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

边与角的关系等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边。

备注①在直角三角形中，30度角所对的边等于斜边的一半，且三边之比为1∶3∶2。

②在等腰直角三角形中，两个锐角均为45度，且三边之比为1∶1∶2。

③三角形的面积S=
2
1
ah，周长C=a+b+c（a、b、c为三角形的三边长，h为a边上的高）。

（2）三角形主要线段
条数图形性质
角平分线共3条，交
于一点。

若AD为∠BAC的角平分线，则∠1=∠2；AB∶AC=BD∶CD。

中线共3条，交
于一点。

①若BD为AC边上的中线，则AD=CD；ABD
S
∆
=BCD
S
∆
；
ABD
C
∆
-BCD
C
∆
=AB-BC。

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

高共3条，交
于一点。

①若CD为AB边上的高，则CD⊥AB。

②若∠ACB=90°，CD为AB边上的高，则CD2=AD×BD；
AC2=AD×AB；BC2=BD×AB。

（射影定理）
③若∠ACB=90°，CD为AB边上的高，则AC×BC=CD×AB
（等面积法）。

中位线共3条，两
两交于一
点。

①若DE为△ABC的中位线，则AD=BD，AE=CE；DE∥BC
且DE=
1
2
BC。

反之亦成立。

②三角形的三条中位线构成的三角形与原三角形相似。

备注①在等腰三角形中，底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线互相重合，俗称“三线合一”。

②在等边三角形中，三条高、中线、角平分线、中位线分别相等，且具有“三线合一”的性质（中位线除外）。

（3）三角形的全等
定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

性质①在全等的两个三角形中，对应边、对应角、对应中线、对应角的平分线、对应高分别相等；
②全等的两个三角形的周长、面积也分别相等。

判定方法①有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简称边角边
．．．（SAS）；
②有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简称角边角
．．．（ASA）；
③有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等，简称角角边．．．（AAS ）； ④三组对应边分别相等的两个三角形全等，简称边边边．．．
（SSS ）； ⑤斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称斜边、直角边．．．．．．
（HL ）。

（4）三角形的相似
定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

性质
①在相似的两个三角形中，对应边成比例，对应角相等；
②在相似的两个三角形中，周长比等于对应边的比（相似比）； ③在相似的两个三角形中，面积比等于对应边比的平方。

判定方法
①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似；
②如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角
形相似；
④如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； ⑤斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

2.四边形
平行四边形 长方形 正方形 梯形 面积公式
S =ah S =ab S =2
a S =
1
2
（a +b ）h 周长公式
C =2（a +b ） C =2（a +b ） C =4a
基本性质
两组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。

两组对边平行且相等；四个角均为直角；对角线相等且互相平分。

两组对边平行；四边相等，四个角均为直角；对角线相等且互相垂直平分。

一组对边平行，另一组对边不平行；梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半。

内角和与外角和定理 ①四边形的内角和为360°。

②四边形的外角和为360°。

备注
对角线互相垂直的四边形，其面积等于对角线乘积的一半。

3.多边形
（1）多边形的边与边之间的关系：多边形的任意一边的长小于其余边的和。

（2）多边形内角和公式：n 边形的内角的和为（n -2）×180°。

（3）多边形外角和定理：任意多边形的外角和为360°。

4.圆
（1）公式：面积S =πr 2，周长C =2πr =πd 。

（r 为半径，d 为直径） （2）直线与圆、圆与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系
相离
相交
相切
图形示例
交点个数
2
1
半径r与距离d之间的关系d＞r d＜r d=r 圆与圆的位置关系外离内含相交内切外切
图形示例
交点个数0 2 1
公切线条数 4 0 2 1 3 两圆半径r、R与距离d之间的关系d＞r+R d＜R-r R-r＜d＜r+R d=R-r d=R+r 注：d为直线与圆心的距离或圆心与圆心之间的距离。

（二）立体图形
1.基本定义及体积公式
几何体定义图形举例体积公式
多面体棱
柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，
并且每相邻两个四边形的公共边都互相平
行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

正四棱柱
ABCD-A1B1C1D1
V=Sh（S为底面积，
h为高）
棱
锥
如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是
有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做
棱锥。

三棱锥A-BCD
V=
1
3
Sh（S为底面
积，h为高）
旋转体
圆
柱
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边
旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。

OO1为旋转轴
V=πr2h（r为底面
半径，h为高）
圆
锥
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转
轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体
叫做圆锥。

AB为旋转轴
V=
1
3
πr2h（r为底
面半径，h为高）球
以半圆的直径为旋转轴，其弧边旋转所成的曲面
叫做球面。

球面所围成的几何体叫做球体，简称
球。

直径AB为旋转轴
V=
4
3
πr3（r为球的
半径）
正方体长方体圆柱体球体
表面积公式S=6a2S=2（ab+bc+ac）S=2πr2+2πrh S=4πr2
（三）几何问题基本理论
1.直线和线段的性质
（1）过两点有且只有一条直线；
（2）两点之间线段最短。

2.几何最值理论
（1）面积相等的所有平面图形中，越接近圆的图形，周长越小；
（2）周长相等的所有平面图形中，越接近圆的图形，面积越大；
（3）体积相等的所有立体图形中，越接近球体的几何体，表面积越小；
（4）表面积相等的所有立体图形中，越接近球体的几何体，体积越大。

即面积一定，圆周长最小；周长一定，圆面积最大；体积一定，球体的表面积最小；表面积一定，球体的体积最大。