2018年长宁区高考数学二模含答案
上海市2018年嘉定(长宁)区高三年级第二次质量调研(二模)数学试卷(简答)
2019年嘉定区高三年级第二次质量调研一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}25,B x x x R =<<∈，则AB =2.已知复数z 满足34zi i =+(i 是虚数单位)，则||z =3.若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=4. 在41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为5.已知一个圆锥的主视图(如右图所示)是边长分别为5，5，4的三角形，则该圆锥的侧面积为6.已知实数x ，y 满足011x y y x ≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最小值为7.设函数()f x =其中a 为常数)的反函数为()1f x -，若函数()1f x -的图像经过点()0,1，则方程()12f x -=的解为8.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为(结果用数值表示)9.已知直线1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，若线段AB 中点的坐标为(m ，2)，线段AB 的长为10.在ABC 中，已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足12CP CA mCB =+，若△ABC的面积为3ACB π∠=，则CP 的最小值为11.已知有穷数列{}n a 共有m 项，记数列{}n a 的所有项和为S(1)，第二项及以后所有项和为S(2),… …第n （1n m ≤≤）项及以后所有项和为S(n)，若S(n)是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当1n m ≤<时，n a =12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()()2log f x x a =+，若对于x 属于[]0,1都有2211log 32()f x tx -++≥-，则实数t 的取值范围为二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)13.已知x R ∈，则“11x>”是“1x <”的（ ） A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件14.产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图 (%)在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较:环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015二季度与2015年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是( )(A)2015年第三季度环比有所提高 (B)2016年第一季度同比有所提高(C)2017年第三季度同比有所提高 (D)2018年第一季度环比有所提高15.已知圆()2229x y -+=的圆心为C ，过点()2,0M -且与x 轴不重合的直线l 交圆A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间。
2018届长宁区中学考试数学二模
2017学年长宁区第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟 满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（ ）（A ） 第一象限； （B ） 第二象限； （C ） 第三象限； （D ） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ）（A ） a a a 632=+； （B ）428x x x =÷； （C ） aa 121=； （D ）6321)(a a -=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ） （A ）4； （B ）x 2； （C ）92； （D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ） （A ） 3.5； （B ） 4； （C ） 2； （D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点， 那么d 的值可以取（ ）（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ， 下列四个命题中真命题是（ ）（A ） 若AB =CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （B ） 若∠DBC =∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （C ） 若ODCOOB AO =，则四边形ABCD 一定是矩形； （D ） 若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形．二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：=--︒0)3(30sin ． 8． 方程6+=-x x 的解是 ．9． 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-1)12(303x x 的解集是 ．10．已知反比例函数xky =的图像经过点（-2017，2018），当0>x 时，函数值y 随 自变量x 的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）11．若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ．13．抛物线522++=mx mx y 的对称轴是直线 ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的 通话次数的频率是 ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC =15，CD =9，EF =6，∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为 ．16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC =CD =4，52=AD ，若AD a =，DC b =，用a 、b 表示DB = ． 17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC 是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于 ． 18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在 边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于 ．第14题图ABCDE F第15题图第16题图D CBA第18题图ABCD三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=-+②12①06522 ． ，y x y xy x21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，135sin =∠ABC ．（1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．ADB 第21题图22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ，且AGGF BE AD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．第22题图AC DEFGB第23题图如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．备用图第24题图在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．OAC DBO BA C DBAO长宁区参考答案和评分建议一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．21-； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大； 11．43-=m ； 12．53； 13．1-=x ；14．7.0；15．︒140； 16．→→-a b 21； 17．255或535++； 18．215-．三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) =2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分) =2)1(2+x (1分) 当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分) 20．（本题满分10分）解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x 得06=+y x 或0=-y x （2分）将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=-120y x y x （2分）解方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-==131136y x ， 解方程组（Ⅱ）⎩⎨⎧==11y x （4分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）另解：由②得12-=x y ③ （1分） 把③代入①，得0)12(6)12(522=---+x x x x （1分） 整理得：0619132=+-x x （2分）解得：1,13621==x x （2分） 分别代入③，得1,13121=-=y y （2分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分） 设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE ∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F ∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE //∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分）∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分） 在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分）22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100）， （50,250） （1分）代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分） （2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分）整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x =70或者x =250（舍去） （2分）答：门票价格应该定为70元. （1分）23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BGDG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分）（2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGD BD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分）∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分）24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分）∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分） （3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ，∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分） 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P实用标准文档文案大全 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8，∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO ，AO =5， ∴322=-=AC AO CO （1分）5=OD ，2=-=∴OC OD CD （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分） ∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO xx x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分） （3）①当OB //AD 时， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ，则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121 ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO ，AO =5， ∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分） ②当OA //BD 时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ， 则由①的方法可得524==BM DG ， 在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO ，DO =5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ， 在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA ，∴622=+=DG AG AD （ 3分） 综上得6514或=AD。
上海市长宁区2018年中考二模数学试卷含答案
2018学年第二学期初三数学教学质量检测试卷201804（考试时间：100分钟 满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（ ▲ ）（A ） 第一象限； （B ） 第二象限； （C ） 第三象限； （D ） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ▲ ）（A ） a a a 632=+； （B ）428x x x =÷； （C ） aa 121=； （D ）6321)(aa-=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ▲ ） （A ）4； （B ）x 2； （C ）92； （D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ▲ ） （A ） 3.5； （B ） 4； （C ） 2； （D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点， 那么d 的值可以取（ ▲ ）（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ， 下列四个命题中真命题是（ ▲ ）（A ） 若AB =CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （B ） 若∠DBC =∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （C ） 若ODCOOB AO =，则四边形ABCD 一定是矩形； （D ） 若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形．二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：=--︒0)3(30sin ▲ ． 8． 方程6+=-x x 的解是 ▲ ．9． 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-1)12(303x x 的解集是 ▲ ．10．已知反比例函数xky =的图像经过点（-2017，2018），当0>x 时，函数值y 随 自变量x 的值增大而 ▲ ．（填“增大”或“减小”）11．若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲ ． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ▲ ．13．抛物线522++=mx mx y 的对称轴是直线 ▲ ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的 通话次数的频率是 ▲ ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC =15，CD =9，EF =6，∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为 ▲ ．16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC =CD =4，52=AD ，若a AD =，=，用、表示= ▲ ． 17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC 是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于 ▲ ． 18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在 边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于 ▲ ．第14题图ABCDE F第15题图第16题图D CBA第18题图ABCD三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=-+②12①06522 ． ，y x y xy x21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，135sin =∠ABC ．（1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ，且AGGF BE AD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．ACDB第21题图第22题图AC DEFGB 第23题图24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．备用图第24题图长宁区2017学年第二学期初三数学参考答案和评分建议2018.3一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．21-； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大； 11．43-=m ； 12．53； 13．1-=x ；14．7.0；15．︒140； 16．→→-a b 21； 17．255或535++； 18．215-．三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) =2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分)=2)1(2+x (1分) 当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分) 20．（本题满分10分）解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x得06=+y x 或0=-y x （2分）将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=-120y x y x （2分）解方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-==131136y x ， 解方程组（Ⅱ）⎩⎨⎧==11y x （4分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）另解：由②得12-=x y ③ （1分） 把③代入①，得0)12(6)12(522=---+x x x x （1分）整理得：0619132=+-x x （2分）解得：1,13621==x x （2分）分别代入③，得1,13121=-=y y （2分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE ∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE //∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分） ∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分）在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分）22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100）， （50,250） （1分）代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分） （2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分） 整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x =70或者x =250（舍去） （2分）答：门票价格应该定为70元. （1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵BC AD // ∴BGDG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分） ∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分） ∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分）∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分） （3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分） 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8，∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO ，AO =5，∴322=-=AC AO CO （1分）5=OD ，2=-=∴OC OD CD （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3 ∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分）∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO xx x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分）（3）①当OB //AD 时， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ，则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121 ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO ，AO =5，∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分）②当OA //BD 时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，则由①的方法可得524==BM DG ， 在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO ，DO =5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ，在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA ，∴622=+=DG AG AD （ 3分）综上得6514或=AD欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
2018年长宁区高考数学二模含答案
2018年长宁(嘉定)区高考数学二模含答案考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A ，则实数=m _______．2．nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n ___________．3．已知复数z 满足i 342+=z （i 为虚数单位），则=||z ____________．4．已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离，则点P 的轨迹方程为______________．5．已知数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则=∞→2limnnn a S _______．6．设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_________．7．将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________．8．三棱锥ABC P -及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB 的长为________．9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小 球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相 加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三PA B C 主视图等奖的概率为____________．10．已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ，则实数a 的取值围是_________． 11．在△ABC 中，M 是BC 的中点，︒=∠120A ，21-=⋅AC AB ，则线段AM 长的最 小值为____________．12．若实数x 、y 满足112244+++=+y x y x ，则yxS 22+=的取值围是____________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．“2=x ”是“1≥x ”的………………………………………………………………（ ）．（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件14．参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2,4322t y t x （t 为参数，且30≤≤t ）所表示的曲线是………………（ ）．（A ）直线 （B ）圆弧 （C ）线段 （D ）双曲线的一支15．点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，M 是CD 的中点，则当P 沿M C B A ---运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数)(x f y =的图像的形状大致是下图中的……………………………………………………………（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）16．在计算机语言中，有一种函数)(x INT y =叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示y 等于不超过x 的最大整数，如0)9.0(=INT ，3)14.3(=INT ．已知⎪⎭⎫⎝⎛⨯=n n INT a 1072，11a b =，110--=n n n a a b （*N ∈n 且2≥n ），则2018b 等于………………………（ ）．（A ）2 （B ）5 （C ）7 （D ）8（反面还有试题）三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数⎪⎭⎫⎝⎛++=62sin sin 2)(2πx x x f ． （1）求函数)(x f 的最小正周期和值域；（2）设A ，B ，C 为△ABC 的三个角，若31cos =B ，()2=A f ，求C sin 的值． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，︒=∠90BAD ，AD ∥BC ，2=AB ，1=AD ，4==BC PA ，⊥PA 平面ABCD ．（1）求异面直线BD 与PC 所成角的大小； （2）求二面角D PC A --的余弦值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益．现准备制定一个奖励方案：奖金y （单位：万元）随收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的%20．（1）若建立函数)(x f y =模型制定奖励方案，试用数学语言．．．．表述该团队对奖励函数)(x f 模型的基本要求，并分析函数2150+=xy 是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该团队采用模型函数2310)(+-=x ax x f 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．DPA B C20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的焦距为32，点)2,0(P 关于直线xy -=的对称点在椭圆Γ上．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆Γ交于两个不同的点C 、D （点C 在点D 的上方），试求△COD 面积的最大值；（3）若直线m 经过点)0,1(M ，且与椭圆Γ交于两个不同的点A 、B ，是否存在直线0l ：0x x =（其中20>x ），使得A 、B 到直线0l 的距离A d 、B d 满足||||MB MA d dA =恒成立？若存在 ，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2)1(4+=n n a S ．数列}{n b 满足21=b ，42=b ，且等式112+-=n n n b b b 对任意2≥n 成立．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）将数列}{n a 与}{n b 的项相间排列构成新数列1a ，1b ，2a ，2b ，…，n a ，n b ，…，设该新数列为}{n c ，求数列}{n c 的通项公式和前n 2项的和n T 2．（3）对于（2）中的数列}{n c 的前n 项和n T ，若n n c T ⋅≥λ对任意*N ∈n 都成立，数λ的取值围．2017学年长宁、嘉定高三年级第二次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．3 2．4 3．5 4．x y 42= 5．416．4 7．π322 8．24 9．167 10．]1,1[- 11．2112．]4,2( 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项． 13．A 14．C 15．B 16．D三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）12cos 212sin 232cos 212sin 232cos 1)(+-=++-=x x x x x x f 162sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx ， ……………………………（每对一步得1分）（4分）所以，)(x f 的最小正周期π=T ，值域为]2,0[． ……………………………（6分）（2）由2)(=A f ，得162sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πA ， ………………………………………（2分） 因为π<<A 0，所以611626πππ<-<-A ，故262ππ=-A ，3π=A ． ……（5分）因为在△ABC 中，31cos =B ，所以322sin =B ， …………………………（6分）所以，[]B A B A B A B A C sin cos cos sin )sin()(sin sin +=+=+-=π 6223322213123+=⋅+⋅=． …………………………………………（8分） 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）法一：以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系， ………………………………………………（1分） 则)0,0,2(B ，)0,1,0(D ，)0,4,2(C ，)4,0,0(P ， ………………………（2分） 所以，)0,1,2(-=，)4,4,2(-=， ………………………………………（3分） 因为044=+-=⋅PC BD ，所以，PC BD ⊥． ……………………………………（5分） 所以，异面直线BD 与PC 所成角的大小为︒90． …………………………………（6分） （1）法二：连结AC ，因为︒=∠90BAD ，所以21tan ==∠AB AD ABD ，………（1分） 由AD ∥BC ，得︒=∠90ABC ，所以21tan ==∠BC AB ACB ， ………………（2分） 所以ACB ABD ∠=∠，于是︒=∠+∠90DBC ACB ，即AC BD ⊥， …………（4分） 又⊥PA 平面ABCD ，所以BD PA ⊥，所以⊥BD 平面PAC ，故PC BD ⊥．所以，异面直线BD 与PC 所成角的大小为︒90． ………………………………（6分） （2）由（1）⊥BD 平面PAC ，所以)0,1,2(-=是平面PAC 的一个法向量．（1分）设平面PCD 的一个法向量为),,(z y x n =，因为)4,4,2(-=PC ，)0,3,2(=CD ，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0n n 得⎩⎨⎧=+=-+,032,0442y x z y x取1=z ，则6-=x ，4=y ，故)1,4,6(-=n． ……………………………………（5分）设BD 与n 的夹角为θ，则2652651626516||||cos ==⋅=n BD BDθ． ……………（7分） 由图形知二面角D PC A --为锐二面角，所以二面角D PC A --的余弦值为26526516． ……………………………………（8分）19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）设函数模型为)(x f y =，根据团队对函数模型的基本要求，函数)(x f y =满足： 当]1000,10[∈x 时，①)(x f 在定义域]1000,10[上是增函数；②9)(≤x f 恒成立；③5)(xx f ≤恒成立． …………………………………………（3分，每项得1分） 对于函数2150+=xy ，当]1000,10[∈x 时，)(x f 是增函数；9232021501000)1000()(max <+=+==f x f ，所以9)(≤x f 恒成立；但10=x 时，5102151)10(>+=f ，即5)(xx f ≤不恒成立．因此，该函数模型不符合团队要求． ………………………………（6分，每项得1分） （2）对于函数模型2203102310)(++-=+-=x a x a x x f ， 当0203>+a 即320->a 时递增． ………………………………………………（2分） 当]1000,10[∈x 时，要使9)(≤x f 恒成立，即9)1000(≤f ，所以1000183≥+a ，3982≥a ； ……………………………………………………（4分） 要使5)(x x f ≤恒成立，即52310xx a x ≤+-，015482>+-a x x 恒成立，得出5192≥a ． ………………………………………………………………………（6分）综上所述，3982≥a ． …………………………………………………………………（7分）所以满足条件的最小正整数a 的值为328． ………………………………………（8分）20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）（1）点)2,0(P 关于直线x y -=的对称点为)0,2(-， ……………………………（1分） 因为)0,2(-在椭圆Γ上，所以2=a ，又322=c ，故3=c ， ………………（3分）则1222=-=c a b ．所以，椭圆Γ的方程为1422=+y x ． ……………………（4分） （2）由题意，直线l 的斜率存在，设l 的方程为2+=kx y ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,222y x kx y 得01216)14(22=+++kx x k ， ………………………………（1分）由△0)14(124)16(22>+⋅-=k k ，得342>k ． ………………………………（2分）设),(C C y x C ，),(D D y x D ，则14162+-=+k k x x D C ，14122+=k x x D C ，且||||C D x x >， ||||||||||21||||21C D C D C D POC POD COD x x x x x PO x PO S S S -=-=⋅⋅-⋅⋅=-=△△△，所以，144814164)()222222+-⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+=-=k k k x x x x x x S D C D C C D COD（△ 222222)14()34(16)14(4864+-=+-=k k k k ． …………………………………………………（3分） 令t k =-342，则0>t ，所以，8161616816)4(16222++=++=+=tt t t t t t S COD △， 因为816≥+tt （当且仅当4=t 时等号成立），此时12≤COD S △． ……………（5分） 所以，当且仅当4=t ，即472=k 时，△COD 的面积取最大值1． …………（6分）（3）当直线m 的斜率不存在时，m 的方程为1=x ，此时B A d d =，||||MB MA =，等式||||MB MA d d B A =成立； ………………………………………………（1分）当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为)1(-=x k y ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,14,)1(22y x x k y 得0448)14(2222=-+-+k x k x k ， ……………………（2分）设）11,(y x A ，),(22y x B ，则1482221+=+k k x x ，14442221+-=k k x x ， 由题意，1x 与2x 一个小于1，另一个大于1，不妨设211x x >>，则212120222210)1(||)1(||||||y x x x y x x x MA d MB d B A +-⋅--+-⋅-=⋅-⋅2122022210)1)(1(||)1)(1(||-+⋅---+⋅-=x k x x x k x x |]1||||1||[|11202102-⋅---⋅-⋅+=x x x x x x k )]1)(()1)([(11202102-----⋅+=x x x x x x k[]02))(1(212121002=+++-⋅+=x x x x x x k ，所以，02))(1(2212100=+++-x x x x x x ， ………………………………（4分）即014)1(814)1(82222200=+-+++-k k k k x x ，解得40=x ． …………………………（5分） 综上，存在满足条件的直线4=x ，使得||||MB MA d d B A =恒成立． ………………（6分）21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（1）由2)1(4+=n n a S ，即1242++=n n n a a S ，所以1241211++=+++n n n a a S ，两式相减得，)(2412211n n n n n a a a a a -+-=+++， …………………………………（1分）故0)2)((11=--+++n n n n a a a a ， ………………………………………（2分） 因为0>n a ，所以21=-+n n a a ． ………………………………………（3分） 又由211)1(4+=a a 得11=a ．所以，数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列．所以，数列}{n a 的通项公式为12-=n a n ． …………………………………………（4分）（2）由题意，数列}{n b 是首项为2，公比为2的等比数列，故nn b 2=．…………（1分）所以，⎪⎩⎪⎨⎧=.,2,,2为偶数为奇数n n n c n n ………………………………………………………（3分）数列}{n a 的前n 项和2n S n =，数列}{n b 的前n 项和2221)21(21-=--='+n n n S ．…（5分）所以，22122-+='+=+n n n n n S S T ． ………………………………………………（6分）（3）当n 为偶数时，设k n 2=（*N ∈k ），由（2）知，22122-+=+k k k T ，k k c 22=，由k k c T 22⋅≥λ，得kk k 22212⋅≥-++λ， …………………………………………（1分）即222222212+-=-+≤+kk k k k λ， …………………………………………………（2分） 设222)(2+-=k k k f ，则12122)1)(3(2222)1()()1(+++--=---+=-+k k k k k k k k f k f ， 所以，当3≤k 时，)(k f 单调递增，当3≥k 时，)(k f 单调递减． ………………（3分） 因为23)1(=f ，当3≥k 时，2222)(2>+-=kk k f ，所以，23)1()]([min ==f k f ． 所以，23≤λ． …………………………………………………………………………（4分）当n 为奇数时，设12-=k n （*N ∈k ），则k k k k k k c T T 222122212--+=-=+-，222-+=k k ， …………………………………………………………………………（5分）由1212--⋅≥k k c T λ，得)12(222-⋅≥-+k k kλ，即12222--+≤k k k λ， ……………（6分）设1222)(2--+=k k k g k ，则12221222)1()()1(212--+-+-++=-++k k k k k g k g k k0)12)(12(3)32(222>+-+-+=k k k k k ，故)(k g 单调递增，1)1()]([min ==g k g ，故1≤λ．…（7分）综上，λ的取值围是]1,(-∞． ……………………………………………………（8分）。
长宁区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
长宁区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（ ）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()321f f f <-<2． 已知x ，y 满足约束条件，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．13． 已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的右焦点F ，直线x=与其渐近线交于A ，B 两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．54B ．162C ．54+18D ．162+185． 已知2a =3b =m ，ab ≠0且a ，ab ，b 成等差数列，则m=（ ）A ．B ．C ．D ．66． 若⎩⎨⎧≥<+=-)2(,2)2(),2()(x x x f x f x则)1(f 的值为（ ） A ．8 B ．81 C ．2 D ．217． 如果函数f （x ）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f （x ）在区间上是（ ）A ．增函数且最小值为3B ．增函数且最大值为3C ．减函数且最小值为﹣3D ．减函数且最大值为﹣38． 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公比q=2，S k+2﹣S k =48，则k 等于（ ）A ．7B ．6C ．5D ．49． 设集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={y|y=2x }，则AB （ ）A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）D ．（1，2）10．已知f （x ）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f （x ）＞xf ′（x ）恒成立，则不等式x 2f （）﹣f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（1，+∞）D ．（2，+∞）11．某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（ ）A.83 B ．4 C.163 D ．20312．已知命题p ：2≤2，命题q ：∃x 0∈R ，使得x 02+2x 0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ） A ．￢p B ．￢p ∨qC ．p ∧qD ．p ∨q二、填空题13．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()()21xf x ex ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是14．由曲线y=2x 2，直线y=﹣4x ﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．15．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为 ．16．已知||=1，||=2，与的夹角为，那么|+||﹣|= ．17．1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆，则该双曲线的离心率为______________.【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．18．命题“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）三、解答题19．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。
上海市长宁区2018年中考二模数学试卷含答案
2018学年第二学期初三数学教学质量检测试卷201804（考试时间：100分钟 满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（ ▲ ）（A ） 第一象限； （B ） 第二象限； （C ） 第三象限； （D ） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ▲ ）（A ） a a a 632=+； （B ）428x x x =÷； （C ） aa 121=； （D ）6321)(aa-=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ▲ ） （A ）4； （B ）x 2； （C ）92； （D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ▲ ） （A ） 3.5； （B ） 4； （C ） 2； （D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点， 那么d 的值可以取（ ▲ ）（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ， 下列四个命题中真命题是（ ▲ ）（A ） 若AB =CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （B ） 若∠DBC =∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （C ） 若ODCOOB AO =，则四边形ABCD 一定是矩形； （D ） 若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形．二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：=--︒0)3(30sin ▲ ． 8． 方程6+=-x x 的解是 ▲ ．9． 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-1)12(303x x 的解集是 ▲ ．10．已知反比例函数xky =的图像经过点（-2017，2018），当0>x 时，函数值y 随 自变量x 的值增大而 ▲ ．（填“增大”或“减小”）11．若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲ ． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ▲ ．13．抛物线522++=mx mx y 的对称轴是直线 ▲ ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的 通话次数的频率是 ▲ ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC =15，CD =9，EF =6，∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为 ▲ ． 16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC =CD =4，52=AD ，若a AD =，b DC =，用a 、b 表示=DB ▲ ． 17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC 是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于 ▲ ． 18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在 边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于 ▲ ．第14题图 AB CDE F第15题图第16题图D CBA第18题图AB CD三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=-+②12①06522 ． ，y x y xy x21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，135sin =∠ABC ．（1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点 G 、F ，且AG GF BE AD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．ACDB第21题图第22题图ACDEF GB第23题图24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bxaxy与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结AD、DC，求ACD∆的面积；（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、AD、BD. 已知圆O的半径长为5 ，弦AB的长为8．（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；（2）如图2，设AC=x，ySSOBDACO=∆∆，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．备用图第24题图长宁区2017学年第二学期初三数学参考答案和评分建议2018.3一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．21-； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大； 11．43-=m ； 12．53； 13．1-=x ；14．7.0；15．︒140； 16．→→-a b 21； 17．255或535++； 18．215-．三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) =2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分) =2)1(2+x (1分)当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分) 20．（本题满分10分）解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x得06=+y x 或0=-y x （2分）将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=-120y x y x （2分）解方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-==131136y x ， 解方程组（Ⅱ）⎩⎨⎧==11y x （4分） 所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）另解：由②得12-=x y ③ （1分） 把③代入①，得0)12(6)12(522=---+x x x x （1分）整理得：0619132=+-x x （2分）解得：1,13621==x x （2分）分别代入③，得1,13121=-=y y （2分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ，⎩⎨⎧==1122y x . （2分）21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE ∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE //∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分） ∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分）在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分）22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100）， （50,250） （1分）代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分） （2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分） 整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x =70或者x =250（舍去） （2分）答：门票价格应该定为70元. （1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵BC AD // ∴BGDG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分） ∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分） ∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分）∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分） （3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分） 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8，∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO Θ，AO =5，∴322=-=AC AO CO （1分）5=OD Θ，2=-=∴OC OD CD （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3 ∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO Θ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分）∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO xx x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分）（3）①当OB //AD 时， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ，则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121Θ ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO Θ，AO =5，∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分）②当OA //BD 时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，则由①的方法可得524==BM DG ， 在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO Θ，DO =5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ，在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA Θ，∴622=+=DG AG AD （ 3分）综上得6514或=AD。
2018年上海市长宁区中考数学二模试卷(附解析)(解析版)
2018年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.函数的图象不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】∵在函数中，k=2>0，b=-1<0，∴该函数的图象经过第一、三、四象限，不过第二象限.故选B.2.下列式子一定成立的是（）A. 2a+3a=6aB. x8÷x2=x4C. D. （﹣a﹣2）3=﹣【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法法则、分数指数运算法则、幂的乘方法则进行计算即可.【详解】解：A：2a+3a=(2+3)a=5a，故A错误；B：x8÷x2=x8-2=x6，故B错误；C：=，故C错误；D：(-a-2)3=-a-6=-，故D正确.故选D.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法法则、分数指数运算法则、幂的乘方法则.其中指数为分数的情况在初中阶段很少出现.3.下列二次根式中，的同类二次根式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将每个选项的二次根式化简后再判断.【详解】解：A：，与不是同类二次根式；B：被开方数是2x，故与不是同类二次根式；C：=，与是同类二次根式；D：=2，与不是同类二次根式.故选C.【点睛】本题考查了同类二次根式的概念.4.已知一组数据2、x、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（）A. 3.5；B. 4；C. 2；D. 6.5．【答案】A【解析】∵数据组2、x、8、5、5、2的众数是2，∴x=2，∴这组数据按从小到大排列为：2、2、2、5、5、8，∴这组数据的中位数是：(2+5)÷2=3.5.故选A.5.已知圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，要使这两圆没有公共点，那么d的值可以取（）A. 11；B. 6；C. 3；D. 2．【答案】D【解析】∵圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，∴当d>4+7或d<7-4时，这两个圆没有公共点，即d>11或d<3，∴上述四个数中，只有D选项中的2符合要求.故选D.点睛：两圆没有公共点，存在两种情况：（1）两圆外离，此时圆心距>两圆半径的和；（2）两圆内含，此时圆心距<大圆半径-小圆半径.6.已知在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，且AC=BD，下列四个命题中真命题是（）A. 若AB=CD，则四边形ABCD一定是等腰梯形；B. 若∠DBC=∠ACB，则四边形ABCD一定是等腰梯形；C. 若，则四边形ABCD一定是矩形；D. 若AC⊥BD且AO=OD，则四边形ABCD一定是正方形．【答案】C【解析】A、因为满足本选项条件的四边形ABCD有可能是矩形，因此A中命题不一定成立；B、因为满足本选项条件的四边形ABCD有可能是矩形，因此B中命题不一定成立；C、因为由结合AO+CO=AC=BD=BO+OD可证得AO=CO，BO=DO，由此即可证得此时四边形ABCD是矩形，因此C中命题一定成立；D、因为满足本选项条件的四边形ABCD有可能是等腰梯形，由此D中命题不一定成立.故选C.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：sin30°﹣（﹣3）0=_____．【答案】-【解析】【分析】sin30°=,a0=1(a≠0)【详解】解：原式=-1=-故答案为：-.【点睛】本题考查了30°的角的正弦值和非零数的零次幂.熟记是关键.8.方程的解是_________．【答案】x=-2【解析】方程两边同时平方得：，解得：，检验：（1）当x=3时，方程左边=-3，右边=3，左边右边，因此3不是原方程的解；（2）当x=-2时，方程左边=2，右边=2，左边=右边，因此-2是方程的解.∴原方程的解为：x=-2.故答案为：-2.点睛：（1）根号下含有未知数的方程叫无理方程，解无理方程的基本思想是化“无理方程”为“有理方程”；（2）解无理方程和解分式方程相似，求得未知数的值之后要检验，看所得结果是原方程的解还是增根.9.不等式组的解集是_____．【答案】x＞3【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集.【详解】解：解不等式①得：x>3解不等式②得：x所以不等式组的解集是：x>3.故答案为：x>3.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）.10.已知反比例函数的图像经过点（-2017，2018），当时，函数值y随自变量x的值增大而_________．（填“增大”或“减小”）【答案】增大【解析】∵反比例函数的图像经过点（-2017，2018），∴k=-2017×2018<0，∴当x>0时，y随x的增大而增大.故答案为：增大.11.若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________．【答案】m=-【解析】∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴△=，解得：.故答案为：.12.在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是________．【答案】【解析】∵在：等腰三角形、圆、矩形、菱形和直角梯形中属于中心对称图形的有：圆、矩形和菱形3种，∴从这5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率为：.故答案为：.13.抛物线y=mx2+2mx+5的对称轴是直线_____．【答案】x=﹣1【解析】【分析】根据抛物线的对称轴公式可直接得出.【详解】解：这里a=m，b=2m∴对称轴x=故答案为：x=-1.【点睛】解答本题关键是识记抛物线的对称轴公式x=.14.小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的通话次数的频率是________．学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...【答案】0.7【解析】由图可知：小明家3月份通话总次数为20+15+10+5=50（次）；其中通话不足10分钟的次数为20+15=35（次），∴通话时间不足10分钟的通话次数的频率是35÷50=0.7.故答案为：0.7.15.如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50°，则∠ADC的度数为_____．【答案】140°【解析】如下图，连接BD，∵点E、F分别是边AB、AD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD，BD=2EF=12，∴∠ADB=∠AFE=50°，∵BC=15，CD=9，BD=12，∴BC2=225，CD2=81，BD2=144，∴CD2+BD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=50°+90°=140°.故答案为：140°.16.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，BC=CD=4，AD=2，若，用、表示=_____．【答案】【解析】【分析】过点A作AE⊥DC，利用向量知识解题.【详解】解：过点A作AE⊥DC于E，∵AE⊥DC，BC⊥DC，∴AE∥BC，又∵AB∥CD，∴四边形AECB是矩形，∴AB＝EC，AE＝BC＝4，∴DE===2，∴AB=EC=2=DC，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：.【点睛】向量知识只有使用沪教版(上海)教材的学生才学过，全国绝大部分地区将向量放在高中阶段学习.17.如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB=5，则它的周长等于_____．【答案】5+3或5+5．【解析】由题意可知，存在以下两种情况：（1）当一条直角边是另一条直角边的一半时，这个直角三角形是半高三角形，此时设较短的直角边为a，则较长的直角边为2a，由勾股定理可得：，解得：，∴此时较短的直角边为，较长的直角边为，∴此时直角三角形的周长为：；（2）当斜边上的高是斜边的一半是，这个直角三角形是半高三角形，此时设两直角边分别为x、y，这有题意可得：①，②S△=，∴③，由①+③得：，即，∴，∴此时这个直角三角形的周长为：.综上所述，这个半高直角三角形的周长为：或.故答案为：或.点睛：（1）读懂题意，弄清“半高三角形”的含义是解题的基础；（2）根据题意，若直角三角形是“半高三角形”，则存在两种情况：①一条直角边是另一条直角边的一半；②斜边上的高是斜边的一半；解题时这两种情况都要讨论，不要忽略了其中一种.18.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的长为1，点P是线段BD上的一点，联结CP，将△BCP沿着直线CP 翻折，若点B落在边AD上的点E处，且EP//AB，则AB的长等于________．【答案】【解析】如下图，设AB=，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=，AD=BC，∠A=∠ADC=90°，AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADB=∠DBC，∵△PCE是由△PCB沿CP翻折得到的，∴∠CEP=∠DBC，CE=BC=AD，∵PE∥AB，AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠DCE=∠CEP，∴∠DCE=∠ADB，∴△CDE∽△DAB，∴，即，又∵BD=1，∴AD2=，∵在Rt△ABD中，AB2+AD2=BD2，∴，即，解得：（舍去），∴AB=.故答案为：.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.先化简，再求值：，其中x=．【答案】 .【解析】【分析】首先把除法运算转化成乘法运算，分式的分子、分母能分解因式的先分解因式，进行约分，然后进行减法运算，最后代值计算.【详解】原式=﹣•=﹣=﹣=，当x==﹣1时，原式===1．故答案为：【点睛】这是个分式混合运算题，运算顺序是先乘除后加减，加减法时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分.20.解方程组：【答案】,.【解析】【分析】先将方程①变形为（x+6y）（x﹣y）=0得x+6y=0或x﹣y=0，分别与方程组成二元一次方程组，从而求出方程的解.【详解】解：方程①可变形为（x+6y）（x﹣y）=0得x+6y=0或x﹣y=0将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）或（Ⅱ）解方程组（Ⅰ），解方程组（Ⅱ），所以原方程组的解是,．故答案为：,.【点睛】此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.21.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，BC=24，．（1）求AB的长；（2）若AD=6.5，求的余切值．【答案】（1）13（2）【解析】试题分析：（1）过点A作AE⊥BC于点E，结合AB=AC，BC=24可得BE=12，在Rt△AEB中，由sin∠ABC=设AE=5k，AB=13k，由勾股定理可得解得BE=12k=12，由此可得k=1，从而可得AB=13；（2）过点D作DF⊥BC于点F，则易得BD=19.5，AE∥DF，从而可得结合AE=5，BE=12，AB=13即可求得DF=，BF=18，由此可得CF=BC-BF=6，结合∠DFC=90°即可得到cot∠DCB= .试题解析：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为点E，∵AB=AC，∴BE=BC=12，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，sin∠ABC=，设AE=5k，AB=13k，∵AB2=AE2+BE2，∴169k2=25k2+BE2，解得BE=12K=12，∴k=1，∴AE=5，AB=13；（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F，∵AD=6.5，AB=13，∴BD=AB+AD=19.5，∵AE⊥BC，DF⊥BC ，∴∠AEB=∠DFB=90°，∴AE∥DF，∴，又∵ AE=5，BE=12，AB=13，∴DF=，BF=18，∴CF=BC=BF=6，∵在Rt△DCF中，∠DFC=90°，∴cot∠DCB= .22.某旅游景点的年游客量y（万人）是门票价格x（元）的一次函数，其函数图像如下图．（1）求y关于x的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？【答案】（1）y=-x+300（2）70【解析】试题分析：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，代入图中两点的坐标，列出方程组，解方程组求得k、b的值，即可得到所求的解析式；（2）设门票价格定为x元，结合（1）可列出方程（x-20）(-x+300)=11500，解方程即可.试题解析：（1）设，函数图像过点（200,100），（50,250）代入解析式得：，解得：，∴y关于x的解析式为：；（2）设门票价格定为x元，依题意可得：，整理得：，解之得：x=70或者x=250（舍去），答：门票价格应该定为70元.23.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E在BC的延长线，联结AE分别交BD、CD于点G、F，且．（1）求证：AB//CD；（2）若，BG=GE，求证：四边形ABCD是菱形．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由AD∥BC易得，结合可得，由此即可得到AB∥CD；（2）结合已知和（1）中结论易得四边形ABCD是平行四边形，由此可得BC=AD，结合BC2=GD·BD可得，结合∠ADG=∠BDA可得△ADG∽△BDA，从而可得∠DAG=∠ABD，在证∠DAG=∠E，∠E=∠DBC，∠ABD=∠BDC即可得到∠BDC=∠DBC，从而可得BC=CD结合四边形ABCD是平行四边形即可得到结论了.试题解析：（1）∵AD∥BC，∴，∵,∴，∴AB∥CD；（2）∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，∵BC2=GD·BD，∴AD2=GD·BD，即，又∵∠ADG=∠BDA，∴△ADG∽△BDA，∴∠DAG=∠ABD，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∵AD∥BC，∴∠DAG=∠E，∵BG=GE ，∴∠DBC=∠E，∴∠BDC=∠DBC，∴BC=CD ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形.24.如图在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx﹣3与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（﹣1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结AD、DC，求△ACD的面积；（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．【答案】（1）y=（x﹣1）2﹣4，D的坐标是（1，﹣4）；（2）3；（3）P1（，﹣）或P2（2，﹣2）．【解析】【分析】(1)将B、C的坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，即可求出表达式，将表达式写成顶点式，即可直接写出D点坐标.(2)先求出△ACD三边的长度，利用勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，从而求出面积.(3)先说明∠BAC=∠BCD，∠BCD即为△OPC中的∠OCP，接下来分情况讨论另外有一对角相等时△OPC 与△ABC.【详解】解：（1）点B（﹣1，0）、C（3，0）在抛物线y=ax2+bx﹣3上，∴，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，故顶点D的坐标是（1，﹣4）；（2）∵A（0，﹣3），C（3，0），D（1，﹣4），∴AC=3，CD=2，AD=，∴CD2=AC2+AD2，∴∠CAD=90°，=•AC•AD=×3×=3；∴S△ACD（3）∵∠CAD=∠AOB=90°，==，∴△CAD∽△AOB，∴∠ACD=∠OAB，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAC=∠OCA=45°，∴∠OAC+∠OAB=∠OCA+∠ACD，即∠BAC=∠BCD，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，且△ABC为锐角三角形，则△POC也为锐角三角形，点P在第四象限，由点C（3，0），D（1，﹣4）得直线CD的表达式是：y=2x﹣6，设P（t，2t﹣6）（0＜t＜3）过P作PH⊥OC，垂足为点H，则OH=t，PH=6﹣2t，①当∠POC=∠ABC时，由tan∠POC=tan∠ABC得=，∴=3，解得：t=，∴P1（，﹣）；②当∠POC=∠ACB时，由tan∠POC=tan∠ACB=tan45°=1，得=1，∴=1，解得：t=2，∴P2（2，﹣2），综上得：P1（，﹣）或P2（2，﹣2）．故答案为：（1）y=（x﹣1）2﹣4，D的坐标是（1，﹣4）；（2）3；（3）P1（，﹣）或P2（2，﹣2）．【点睛】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式，二次函数图象中三角形的面积计算和三角形相似的判定，综合性很强，难度大.25.在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；（2）如图2，设AC=x，=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．【答案】（1）2；（2）y=（0＜x＜8）;（3）AD=或6．【解析】【分析】(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.(2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论.【详解】解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，∴OD⊥AB，AC=AB=4，在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，∴CO==3，∴OD=5，∴CD=OD﹣OC=2；（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则由（1）可得AH=4，OH=3，∵AC=x，∴CH=|x﹣4|，在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，∴CO===，∴CD=OD﹣OC=5﹣，过点DG⊥AB于G，∵OH⊥AB，∴DG∥OH，∴△OCH∽△DCG，∴，∴DG==，=AC×OH=x×3=x，∴S△ACOS△BOD=BC（OH+DG）=（8﹣x）×（3+）=（8﹣x）×∴y===（0＜x＜8）（3）①当OB∥AD时，如图3，过点A作AE⊥OB交BO延长线于点E，过点O作OF⊥AD，垂足为点F，则OF=AE，∴S=AB•OH=OB•AE，AE===OF，在Rt△AOF中，∠AFO=90°，AO=5，∴AF==∵OF过圆心，OF⊥AD，∴AD=2AF=．②当OA∥BD时，如图4，过点B作BM⊥OA交AO延长线于点M，过点D作DG⊥AO，垂足为点G，则由①的方法可得DG=BM=，在Rt△GOD中，∠DGO=90°，DO=5，∴GO==，AG=AO﹣GO=，在Rt△GAD中，∠DGA=90°，∴AD==6综上得AD=或6．故答案为：（1）2；（2）y=（0＜x＜8）;（3）AD=或6．【点睛】本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.。
2018年浙江省杭州市高考数学二模试卷
一元二次方程的根的分布与系数的关系
中点坐标公式
【解析】
（I）根据导数的几何意义求出切线方程；
根据直线方程分别求出 ， 的纵坐标，得出 的值．
【解答】
解： 由 可得 ，直线 的斜率 ，
所以直线 的方程 ，
即 .
由题意得，点 的纵坐标 ，所以 中点坐标为 ，
设 ， ，直线 的方程为 ，
∴ ．
证明：令 得 ，
设 ，
则函数 在 上单调递减，且 ， ，
所以存在 ，使 ，即 ，
所以 ，
所以 ，且 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
所以 ．
如图，过抛物线 上一点 （点 不与原点 重合）作抛物线 的切线 交 轴于点 ，点 是抛物线 上异于点 的点，设 为 的重心（三条中线的交点），直线 交 轴于点 ．
2018年浙江省杭州市高考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1.已知集合 ， ，则
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
根据集合交集的定义进行求解即可．
【解答】
解：∵ ， ，
∴ .
故选 .
2.设 ，若 （ 是虚数单位），则 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】
∴ ,
∵ ， ，
∴函数 的最小正周期是 ，最大值是 .
因为 ，
令 ，
求得 ，
所以单调递减区间为 ．
如图，在等腰三角形 中， ， ， 为线段 的中点， 为线段 上一点，且 ，沿直线 将 翻折至 ，使 ．
证明：平面 平面 ；
2018年长宁区高考数学二模含标准答案
20１8年长宁(嘉定)区高考数学二模含答案考生注意:1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码.２.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写,超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分.3.本试卷共有21道试题,满分１５0分,考试时间120分钟.一.填空题(本大题共有1２题,满分54分,第1～6题每题４分，第７～１２题每题５分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A ，则实数=m _______．2.n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项,则正整数=n _________＿_. 3.已知复数z 满足i 342+=z （i 为虚数单位），则=||z __________＿_．4．已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离,则点P 的轨迹方程为_＿＿__＿＿__＿＿_＿＿.5．已知数列}{n a 是首项为1,公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和,则=∞→2lim nn n a S _＿_____. ６.设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_____＿_＿_.7.将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为____＿______. 8.三棱锥ABC P -及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB 的长为＿___＿__＿.9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小 球的抽奖箱中,每次取出一球记下编号后放回,连续取两次，若取出的两个小球编号相 加之和等于6,则中一等奖，等于5中二等奖,等于4或3中三等奖.则顾客抽奖中三左视图 P A C 主视图等奖的概率为_＿______＿＿_＿.10．已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ,则实数a 的取值范围是_＿__＿____． １1.在△ABC 中,M 是BC 的中点,︒=∠120A ,21-=⋅AC AB ,则线段AM 长的最 小值为__＿_＿＿____＿_.12．若实数x 、y 满足112244+++=+y x y x ，则y x S 22+=的取值范围是＿＿＿_________.二．选择题（本大题共有４题，满分20分，每题５分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.1３.“2=x ”是“1≥x ”的………………………………………………………………( )．（Ａ)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充分必要条件 （Ｄ）既非充分又非必要条件1４.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2,4322t y t x (t 为参数,且30≤≤t )所表示的曲线是………………（ ）. （Ａ)直线 (Ｂ）圆弧 (C ）线段 （D ）双曲线的一支15．点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，M 是CD 的中点,则当P 沿M C B A ---运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数)(x f y =的图 像的形状大致是下图中的……………………………………………………………( ）（A ） （B ） (C) (Ｄ)１６．在计算机语言中,有一种函数)(x INT y =叫做取整函数(也叫高斯函数)，它表示y 等于不超过x 的最大整数,如0)9.0(=INT ,3)14.3(=INT .已知⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n INT a 1072，11a b =，110--=n n n a a b (*N ∈n 且2≥n )，则2018b 等于………………………（ ）．(A ）2 (Ｂ)5 （C ）7 （D ）8（反面还有试。
(汇总3份试卷)2018年上海市长宁区二轮总复习数学能力测试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．如图，已知函数3y x =-与k y x =的图象在第二象限交于点()1,A m y ，点()21,B m y -在ky x=的图象上，且点B 在以O 点为圆心，OA 为半径的O 上，则k 的值为( )A ．34-B ．1-C ．32-D ．2-【答案】A【解析】由题意(),3A m m -，因为O 与反比例函数ky x=都是关于直线y x =-对称，推出A 与B 关于直线y x =-对称，推出()3,B m m -，可得31m m =-，求出m 即可解决问题； 【详解】函数3y x =-与ky x=的图象在第二象限交于点()1,A m y ， ∴点(),3A m m -O 与反比例函数ky x=都是关于直线y x =-对称， A ∴与B 关于直线y x =-对称，()3,B m m ∴-， 31m m ∴=-，12m ∴=-∴点13,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭133224k ∴=-⨯=-故选：A ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的图像与性质，圆的对称性及轴对称的性质.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是发现A ，B 关于直线y x =-对称． 2．下列各曲线中表示y 是x 的函数的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确．故选D．3．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为()A．16 B．14 C．12 D．10【答案】B【解析】根据切线长定理进行求解即可.【详解】∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BC＝5，∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，故选B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.4．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC ＝26°，则∠OBC的度数为()A．54°B．64°C．74°D．26°【答案】B【解析】根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．【详解】∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO ＝∠NCO ，∠AMO ＝∠CNO ， 在△AMO 和△CNO 中，MAO NCO AM CNAMO CNO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AMO ≌△CNO(ASA)， ∴AO ＝CO ， ∵AB ＝BC ， ∴BO ⊥AC ， ∴∠BOC ＝90°， ∵∠DAC ＝26°， ∴∠BCA ＝∠DAC ＝26°， ∴∠OBC ＝90°﹣26°＝64°． 故选B ． 【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质． 5．如果1∠与2∠互补，2∠与3∠互余，则1∠与3∠的关系是（ ） A ．13∠=∠ B ．11803∠=-∠ C ．1903∠=+∠ D ．以上都不对【答案】C【解析】根据∠1与∠2互补，∠2与∠1互余，先把∠1、∠1都用∠2来表示，再进行运算． 【详解】∵∠1+∠2=180° ∴∠1=180°-∠2 又∵∠2+∠1=90° ∴∠1=90°-∠2∴∠1-∠1=90°，即∠1=90°+∠1． 故选C ． 【点睛】此题主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度． 6．下列函数中，y 随着x 的增大而减小的是（ ） A ．y=3x B ．y=﹣3xC ．3y x=D ．3y x=-【答案】B【解析】试题分析：A 、y=3x ，y 随着x 的增大而增大，故此选项错误；B 、y=﹣3x ，y 随着x 的增大而减小，正确；C 、3y x=，每个象限内，y 随着x 的增大而减小，故此选项错误； D 、3y x=-，每个象限内，y 随着x 的增大而增大，故此选项错误； 故选B ．考点：反比例函数的性质；正比例函数的性质． 7．如图，正比例函数11y k x =的图像与反比例函数22k y x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为2，当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜-2或x ＞2B ．x ＜-2或0＜x ＜2C ．-2＜x ＜0或0＜x ＜2D ．-2＜x ＜0或x ＞2【答案】D【解析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B 点坐标，再由函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称， ∴A 、B 两点关于原点对称，∵点A 的横坐标为1，∴点B 的横坐标为-1，∵由函数图象可知，当-1＜x ＜0或x ＞1时函数y 1=k 1x 的图象在22k y x=的上方， ∴当y 1＞y 1时，x 的取值范围是-1＜x ＜0或x ＞1． 故选：D ． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y 1＞y 1时x 的取值范围是解答此题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点A 在x 轴正半轴上，OC 是△OAB 的中线，点B 、C 在反比例函数y=2x（x ＞0）的图象上，则△OAB 的面积等于（ ）A ．2B ．3C ． 4D ．6【答案】B【解析】作BD ⊥x 轴于D ，CE ⊥x 轴于E ，∴BD ∥CE ， ∴CE AE ACBD AD AB ==， ∵OC 是△OAB 的中线， ∴12CE AE AC BD AD AB ===， 设CE=x ，则BD=2x ，∴C 的横坐标为2x，B 的横坐标为1x ，∴OD=1x ，OE=2x，∴DE=OE-OD=2x ﹣1x =1x ，∴AE=DE=1x，∴OA=OE+AE=213x x x +=，∴S △OAB =12OA•BD=12×32x x⨯=1．故选B.点睛：本题是反比例函数与几何的综合题，熟知反比例函数的图象上点的特征和相似三角形的判定和性质是解题的关键.9．如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 延长线上，连接AD ．下列结论一定正确的是（ ）A ．∠ABD ＝∠EB ．∠CBE ＝∠C C ．AD ∥BC D ．AD ＝BC【答案】C【解析】根据旋转的性质得，∠ABD ＝∠CBE=60°, ∠E ＝∠C,则△ABD 为等边三角形，即 AD ＝AB=BD,得∠ADB=60°因为∠ABD ＝∠CBE=60°，则∠CBD=60°,所以，∠ADB=∠CBD，得AD∥BC.故选C.10．反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（）A．t＜B．t＞C．t≤D．t≥【答案】B【解析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出x2﹣2x+1﹣6t=0，又因两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，根据根的判别式以及根与系数的关系可求解．【详解】由题意可得：﹣x+2=，所以x2﹣2x+1﹣6t=0，∵两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∴解不等式组，得t＞．故选：B．点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是利用两个函数的解析式构成方程，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解.二、填空题（本题包括8个小题）A B C D E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分11．高速公路某收费站出城方向有编号为,,,,钟通过小客车的数量分别都是不变的.同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：收费出口编号,A B,B C,C D,D E,E A通过小客车数量（辆）260 330 300 360 240A B C D E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个出口的编号是___________. 在,,,,【答案】B【解析】利用同时开放其中的两个安全出口，20分钟所通过的小车的数量分析对比，能求出结果．【详解】同时开放A、E两个安全出口，与同时开放D、E两个安全出口，20分钟的通过数量发现得到D 疏散乘客比A快；同理同时开放BC与CD进行对比，可知B疏散乘客比D快;同理同时开放BC 与 AB 进行对比，可知C 疏散乘客比A 快; 同理同时开放DE 与 CD 进行对比，可知E 疏散乘客比C 快; 同理同时开放AB 与 AE 进行对比，可知B 疏散乘客比E 快; 所以B 口的速度最快 故答案为B ． 【点睛】本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．因式分解：x 2﹣3x+（x ﹣3）=_____． 【答案】 (x-3)(x+1)；【解析】根据因式分解的概念和步骤，可先把原式化简，然后用十字相乘分解，即原式=x 2﹣3x+x ﹣3 =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣3）（x+1）；或先把前两项提公因式，然后再把x-3看做整体提公因式：原式=x （x ﹣3）+（x ﹣3）=（x ﹣3）（x+1）. 故答案为（x ﹣3）（x+1）．点睛：此题主要考查了因式分解，关键是明确因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.再利用因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），进行分解因式即可. 13．抛物线y=（x ﹣2）2﹣3的顶点坐标是____． 【答案】（2，﹣3）【解析】根据：对于抛物线y=a （x ﹣h ）2+k 的顶点坐标是(h,k). 【详解】抛物线y=（x ﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）. 故答案为（2，﹣3） 【点睛】本题考核知识点：抛物线的顶点. 解题关键点：熟记求抛物线顶点坐标的公式.14．如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB=10，AC=6，则DF 的长为__．【答案】1【解析】试题分析：如图，延长CF 交AB 于点G ，∵在△AFG 和△AFC 中，∠GAF=∠CAF ，AF=AF ，∠AFG=∠AFC ， ∴△AFG ≌△AFC （ASA ）．∴AC=AG ，GF=CF ． 又∵点D 是BC 中点，∴DF 是△CBG 的中位线． ∴DF=12BG=12（AB ﹣AG ）=12（AB ﹣AC ）=1． 15．用一个半径为10cm 半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为 ． 【答案】5【解析】试题分析：根据图形可知圆锥的侧面展开图的弧长为2π×10÷2=10π（cm ），因此圆锥的底面半径为10π÷2π=5（cm ），因此圆锥的高为：=5（cm ）．考点：圆锥的计算16．如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若12ABCS=，则图中阴影部分面积是 .【答案】4【解析】试题分析：由中线性质，可得AG=2GD ，则11212111222232326BGFCGEABGABDABCSSS S S ===⨯=⨯⨯=⨯=，∴阴影部分的面积为4；其实图中各个单独小三角形面积都相等本题虽然超纲，但学生容易蒙对的. 考点：中线的性质.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为A(1,0)，等腰直角三角形ABC 的边AB 在x 轴的正半轴上，∠ABC=90°，点B 在点A 的右侧，点C 在第一象限。
2018年陕西省高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年陕西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|2x＜4}，则A∪B＝（）A．∅B．{x|x∈R}C．{x|x≤1}D．{x|x＞2}2．（5分）若（1﹣mi）（m+i）＜0，其中i为虚数单位，则m的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣43．（5分）已知向量＝（2，3），＝（x，4），若⊥（﹣），则x＝（）A．1B．C．2D．34．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a1＝2，其中公差d≠0，若a5是a3和a8的等比中项，则S18＝（）A．398B．388C．199D．1895．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x＝对称D．关于直线x＝对称6．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行输出的k值是（）A．9B．8C．7D．67．（5分）已知⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0，点M（﹣2，0）是⊙C外一点，则过点M的圆的切线的方程是（）A．x+2＝0，7x﹣24y+14＝0B．y+2＝0，7x+24y+14＝0C．x+2＝0，7x+24y+14＝0D．y+2＝0，7x﹣24y+14＝08．（5分）由不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）A．9﹣B．9﹣πC．1﹣D．1﹣9．（5分）已知函数f（x）＝sin x sin（x+3θ）是奇函数，其中θ∈（0，），则f（x）的最大值（）A．B．C．1D．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．B．13πC．D．11．（5分）已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，点P 是双曲线右支上一点，若P点的横坐标x0＝a时，F1P⊥F2P，则该双曲线的离心率e 为（）A．B．C．2D．12．（5分）已知函数f（x）＝e x+2（x＜0）与g（x）＝ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，e）C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）二项式（﹣x2）10展开式中含x10项的系数是．14．（5分）设函数f（x）＝，则函数f（log26）的值为．15．（5分）已知函数f（x）＝2lnx和直线l：2x﹣y+6＝0，若点P是函数f（x）图象上的一点，则点P到直线l的距离的最小值为．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且b＝5且•＝5，则△ABC的面积为．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22题一第23题为选考题，考生根据要求作答．满分60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n＝n﹣4．（I）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（II）设数列{S n}的前n项和为T n，求T n．18．（12分）某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中频率作为概率）19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB，∠ABC＝90°，侧面A1ABB1⊥底面ABC．（I）求证：AB1⊥平面A1BC；（II）若AC＝5，BC＝3，∠A1AB＝60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．20．（12分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当点P在椭圆上运动时，求证：以BD为直径的圆与直线PF恒相切．21．（12分）设函数f（x）＝ae x+x2，g（x）＝sin x+bx，直线l与曲线C1：y＝f（x）切于点（0，f（0））且与曲线C2：y＝g（x）切于点（，g（））．（1）求a，b的值和直线l的方程；（2）证明：ae x+x2﹣bx﹣sin x＞0．四.（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的方程为x﹣y﹣＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C极坐标方程为2cosθ＝ρ（1﹣cos2θ）．（1）写出直线l的一个参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，试求AB的中点N的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+2|﹣3|x|≥a．（1）当a＝0，解该不等式；（2）a为何值时，该不等式成立．2018年陕西省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|2x＜4}，则A∪B＝（）A．∅B．{x|x∈R}C．{x|x≤1}D．{x|x＞2}【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|2x＜4}＝{x|x＜2}，则A∪B＝{x|x∈R}．故选：B．2．（5分）若（1﹣mi）（m+i）＜0，其中i为虚数单位，则m的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4【解答】解：由（1﹣mi）（m+i）＝2m+（1﹣m2）i＜0，得，即m＝﹣1．故选：A．3．（5分）已知向量＝（2，3），＝（x，4），若⊥（﹣），则x＝（）A．1B．C．2D．3【解答】解：根据题意，向量＝（2，3），＝（x，4），则﹣＝（2﹣x，﹣1），若⊥（﹣），则有•（﹣）＝2（2﹣x）+3×（﹣1）＝0，解可得：x＝故选：B．4．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a1＝2，其中公差d≠0，若a5是a3和a8的等比中项，则S18＝（）A．398B．388C．199D．189【解答】解：数列{a n}是等差数列，a1＝2，其中公差d≠0，∵a5是a3和a8的等比中项，∴（2+4d）2＝（2+2d）（2+7d），化为d（d﹣1）＝0，d≠0．联立解得：d＝1，则S18＝18×2+×1＝189．故选：D．5．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x＝对称D．关于直线x＝对称【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，即，∴ω＝2．∴f（x）＝sin（2x+），对于A和C：当x＝时，∴f（）＝sin（2×+）＝1，∴A不对，C对．对于B：当x＝时，∴f（）＝sin（2×+）＝，∴B不对．对于D：：当x＝时，∴f（）＝sin（2×+）＝0，∴D不对．故选：C．6．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行输出的k值是（）A．9B．8C．7D．6【解答】解：模拟程序的运行，可得k＝1，S＝100满足条件S＞0，执行循环体，S＝97，k＝2满足条件S＞0，执行循环体，S＝91，k＝3满足条件S＞0，执行循环体，S＝82，k＝4满足条件S＞0，执行循环体，S＝70，k＝5满足条件S＞0，执行循环体，S＝55，k＝6满足条件S＞0，执行循环体，S＝37，k＝7满足条件S＞0，执行循环体，S＝16，k＝8满足条件S＞0，执行循环体，S＝﹣8，k＝9此时，不满足条件S＞0，退出循环，输出k的值为9．故选：A．7．（5分）已知⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0，点M（﹣2，0）是⊙C外一点，则过点M的圆的切线的方程是（）A．x+2＝0，7x﹣24y+14＝0B．y+2＝0，7x+24y+14＝0C．x+2＝0，7x+24y+14＝0D．y+2＝0，7x﹣24y+14＝0【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝16，故圆心是（2，3），半径是4，点M（﹣2，0）是⊙C外一点，显然x+2＝0是过点M的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于P（a，b），则MP的斜率是，直线直线MP的方程是：bx﹣（a+2）y+2b＝0，故，解得：，故切线方程是7x+24y+14＝0，故选：C．8．（5分）由不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）A．9﹣B．9﹣πC．1﹣D．1﹣【解答】解：画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，如图．△ABC的面积为S1＝，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2＝π，∴其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P＝1﹣＝1﹣．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝sin x sin（x+3θ）是奇函数，其中θ∈（0，），则f（x）的最大值（）A．B．C．1D．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝sin x sin（x+3θ）是奇函数，可得sin x sin（x+3θ）是偶函数，∵θ∈（0，），∴3θ＝，可得θ＝．那么：f（x）＝sin x sin（x+）＝sin x cos x＝sin2x．∵sin2x的最大值为1；∴f（x）的最大值为1×．故选：A．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．B．13πC．D．【解答】解：如图所示：三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1，则：△ABC为直角三角形．所以：r＝＝．所以：V＝．故选：D．11．（5分）已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，点P是双曲线右支上一点，若P点的横坐标x0＝a时，F1P⊥F2P，则该双曲线的离心率e 为（）A．B．C．2D．【解答】解：把x＝代入双曲线方程可得y＝±，∴|PF1|2＝（）2+，|PF2|2＝（﹣c）2+，∵F1P⊥F2P，|F1F2|＝2c，∴（）2++（﹣c）2+＝4c2，化简可得：16a2+7b2＝9c2，∴9a2＝2c2，∴e＝＝．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝e x+2（x＜0）与g（x）＝ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，e）C．D．【解答】解：由题意知，方程f（﹣x）﹣g（x）＝0在（0，+∞）上有解，即e﹣x+2﹣ln（x+a）﹣2＝0在（0，+∞）上有解，即函数y＝e﹣x与y＝ln（x+a）在（0，+∞）上有交点，函数y＝g（x）＝ln（x+a）的图象是把由函数y＝lnx的图象向左平移且平移到过点（0，1）后开始，两函数的图象有交点，把点（0，1）代入y＝ln（x+a）得，1＝lna，∴a＝e，∴a＜e故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）二项式（﹣x2）10展开式中含x10项的系数是210．【解答】解：由＝．令，得r＝6．∴二项式（﹣x2）10展开式中含x10项的系数是．故答案为：210．14．（5分）设函数f（x）＝，则函数f（log26）的值为12．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴函数f（log26）＝f（log26+1）＝＝6×2＝12．故答案为：12．15．（5分）已知函数f（x）＝2lnx和直线l：2x﹣y+6＝0，若点P是函数f（x）图象上的一点，则点P到直线l的距离的最小值为．【解答】解：f′（x）＝，设与直线l平行且与函数f（x）的图象相切于点P（x0，y0）的直线方程为：2x﹣y+m＝0，则＝2，解得x0＝1．∴P（1，0）．∴点P到直线l的距离的最小值为切点P到直线l的距离d＝＝．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且b＝5且•＝5，则△ABC的面积为．【解答】解：根据题意，在△ABC中，，则有＝1﹣，即+＝1，变形可得：b2+c2﹣a2＝bc，则cos A＝＝，则sin A＝，又由b＝5且•＝5，即有bc cos A＝5，则c＝2，则△ABC的面积S＝bc sin A＝，故答案为：．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22题一第23题为选考题，考生根据要求作答．满分60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n＝n﹣4．（I）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（II）设数列{S n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（I）∵S n﹣2a n＝n﹣4．n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，∴S n﹣2（S n﹣S n﹣1）＝n﹣4，化为：S n﹣n+2＝2[S n﹣1﹣（n﹣1）+2]，n＝1时，a1﹣2a1＝1﹣4，解得a1＝3，∴S1﹣1+2＝4．∴{S n﹣n+2}为等比数列，首项为4，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（I）知：S n﹣n+2＝2n+1，可得：S n＝2n+1+n﹣2．于是T n＝（22+23+……+2n+1）+（1+2+……+n）﹣2n＝+﹣2n＝2n+2﹣4+．18．（12分）某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中频率作为概率）【解答】解：（1）由直方图可得：20（x+0.0175+0.0225+0.005+x）＝1，∴x＝0.0025．（2）新手中上学时间不少于 1 小时的频率为：20（0.005+0.0025）＝0.15，∴新生中可以申请住宿的人数为：1200×0.15＝180人．（3）X的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知每一个学生上学所需时间少于40分钟的概率为20（0.0025+0.0175）＝0.4．∴P（X＝0）＝（1﹣）4＝，P（X＝1）＝••（1﹣）3＝，P（X＝2）＝•（）2•（1﹣）2＝，P（X＝3）＝•（）3•（1﹣）＝，P（X＝4）＝（）4＝．∴X的分布列为：∴E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB，∠ABC＝90°，侧面A1ABB1⊥底面ABC．（I）求证：AB1⊥平面A1BC；（II）若AC＝5，BC＝3，∠A1AB＝60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在侧面A1ABB1中，因为A1A＝AB，所以四边形A1ABB1为菱形，所以对角线AB1⊥A1B，…（2分）因为侧面A1ABB1⊥底面ABC，∠ABC＝90°，所以CB⊥侧面A1ABB1，因为AB1⊂平面A1ABB1内，所以CB⊥AB1，…（4分）又因为A1B∩BC＝B，所以AB1⊥平面A1BC．…（6分）（Ⅱ）解：在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝3，所以AB＝＝4，又菱形A1ABB1中，因为∠A1AB＝60°，所以△A1AB为正三角形，如图，以菱形A1ABB1的对角线交点O为坐标原点OA1方向为x轴，OA方向为y轴，过O且与BC平行的方向为z轴建立如图空间直角坐标系，则A1（2，0，0），B（﹣2，0，0），C（﹣2，0，3），B1（0，﹣2，0），C1（0，﹣2，3），∴＝（﹣2，2，0），＝（2，2，﹣3），设＝（x，y，z）为平面A1CC1的法向量，则，取x＝3，得＝（3，，4），又＝（0，﹣2，0）是平面A1BC的一个法向量，∴cos＜＞＝＝＝﹣，∴二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值为﹣．…（12分）20．（12分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当点P在椭圆上运动时，求证：以BD为直径的圆与直线PF恒相切．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为+＝1 （a＞b＞0），F（c，0）；由题意知，解得b＝，c＝1；所以椭圆C的方程为+＝1，离心率为e＝＝；（Ⅱ）证明：由题意可设直线AP的方程为y＝k（x+2）（k≠0），则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）；由，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0；设点P的坐标为（x0，y0），则﹣2x0＝，所以x0＝，y0＝k（x0+2）＝；因为点F坐标为（1，0），当k＝±时，点P的坐标为（1，±），直线PF⊥x轴，点D的坐标为（2，±2），此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y±1）2＝1与直线PF相切；当k≠±时，则直线PF的斜率为k PF＝＝，所以直线PF的方程为y＝（x﹣1），点E到直线PF的距离为d＝＝＝2|k|；又因为|BD|＝4|k|，所以d＝|BD|，故以BD为直径的圆与直线PF相切；综上，当点P在椭圆上运动时，以BD为直径的圆与直线PF恒相切．21．（12分）设函数f（x）＝ae x+x2，g（x）＝sin x+bx，直线l与曲线C1：y＝f（x）切于点（0，f（0））且与曲线C2：y＝g（x）切于点（，g（））．（1）求a，b的值和直线l的方程；（2）证明：ae x+x2﹣bx﹣sin x＞0．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ae x+x2，g（x）＝sin x+bx，∴f′（x）＝ae x+2x，g′（x）＝cos x+b，f（0）＝a，f′（0）＝a，b，，曲线C1：y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线为y＝ax+a，曲线C2：y＝g（x）在点（，g（））处的切线为，即y＝bx+1，依题意有a＝b＝1，直线l方程为y＝x+1．证明：（2）由ae x+x2﹣bx﹣sin x＞0，得ae x+x2＞sin x+bx，∴ae x+x2﹣（x+1）＞sin x+bx﹣（x+1）由（1）知a＝b＝1，则e x+x2﹣（x+1）＞sin x+x﹣（x+1），设F（x）＝e x+x2﹣x﹣1，则F′（x）＝e x+2x﹣1，当x∈（﹣∞，0）时，∵0＜e x＜1，∴F′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，∵e x＞1，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，∴F（x）≥F（0）＝0，当x＝0时，等号成立，∴设G（x）＝sin x+x﹣（x+1）＝sin x﹣1，等号成立，又∵F（x）与G（x）不同时为0，∴F（x）＞g（x），∴e x+x2﹣x﹣sin x＞0，∴ae x+x2﹣bx﹣sin x＞0．四.（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的方程为x﹣y﹣＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C极坐标方程为2cosθ＝ρ（1﹣cos2θ）．（1）写出直线l的一个参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，试求AB的中点N的坐标．【解答】解：（1）直线l的方程为x﹣y﹣＝0，转换为参数方程为：（t 为参数）．曲线C极坐标方程为2cosθ＝ρ（1﹣cos2θ）．转换为直角坐标方程为：y2＝2x．（2）将（t为参数）代入y2＝2x，得到：3t2﹣2t﹣4＝0，设A、B对应的参数为t1和t2，则：，A（x1，y1）B（x2，y2），中点N（x0，y0），则：＝2+＝，＝．故中点坐标为：N（）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+2|﹣3|x|≥a．（1）当a＝0，解该不等式；（2）a为何值时，该不等式成立．【解答】解：（1）a＝0时，原不等式为|x+2|﹣3|x|≥0，故|x+2|≥3|x|，故x2+4x+4≥9x2，解得：﹣≤x≤1，故不等式的解集是{x|﹣≤x≤1}；（2）令F（x）＝|x+2|﹣3|x|，由题意得F（x）max≥a，∵F（x）＝|x+2|﹣|x|﹣2|x|≤|x+2﹣x|﹣2|x|＝2﹣2|x|≤2，当且仅当x＝0时，上述不等式等号同时成立，∴F（x）max＝2，∴a∈（﹣∞，2]时，该不等式成立．。
最新-上海市长宁、青浦、宝山、嘉定2018届高三4月(四
2018年青浦区高考数学（理科）二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，补集，并集.【参考答案】(2,1]-【试题分析】{}{}|||2,|22A x x x x x =∈=-R ＜＜＜，{}2|430,B x x x x =-+∈R ≥ {}13x x =≤或≥，所以(2,1]A B =- .故答案为(2,1]-.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或涨掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算.【参考答案】1【试题分析】因为1i 1z z -=+，所以21i (1i)1(1)i i 1i (1i)(1i)z z z ---=+⇒===-++-， 则22||0(1)1z =+-=.故答案为1.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数函数的性质与图像、反函数.【参考答案】（3,1）【试题分析】因为函数1()2x f x a -=+经过定点（1,3），根据互为反函数的两个函数之间的关系知，函数()f x 的反函数经过定点（3,1），故答案为（3,1）.4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.【参考答案】32【试题分析】2222223(1)3(1)P C 3(1)32lim 42(1)(1)2(1)22n n n n n n n n n n n n n n n→++++++====+++++∞，故答案为32. 5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】23π 【试题分析】设直线220x y +-=与条坐标轴的交点分别为A ,B ,则A (1,0)，B （0,2），于是AOB △绕y 轴旋转一周，该几何体为底面半径为1，高为2的圆锥， 所以2211212333V R h π=π=⨯π⨯⨯=，故答案为23π. 6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】3【试题分析】由sin 2sin 0θθ+=得，2sin cos sin θθθ=-，所以1cos 2θ=-，因为(,2θπ∈π)，所以3sin 2θ=，tan 3θ=-，又22tan tan231tan θθθ==-，故答案为3. 7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】(,2][0,2]-∞-【试题分析】当0x >时，因为()240x f x =-≤，所以02x <≤，又因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以(0)0,f =()y f x =在(,0)-∞上单调递增，并且(2)(2)0f f -=-=，所以()02f x x ⇒≤≤-，综上，不等式()0f x ≤的解集为(,2][0,2]-∞- ，故答案为(,2][0,2]-∞- .8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质.【参考答案】24y x = 【试题分析】设抛物线的焦点坐标为(,0)2p ，线段OA 的中点坐标为11(,)22，因为1OA k =,所以经过抛物线焦点的线段OA 的垂直平分线的斜率0122112p k -==-，所以2p =，则抛物线的标准方程为24y x =，故答案为24y x =.9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程.【参考答案】(0,1) 【试题分析】因为2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将51,52515x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①代入 sin cos ,sin cos x y θθθθ=⋅⎧⎨=+⎩代入得2255(1)2(1)155t t -+--=，解得5t =或52-,将5t =、52-代入①求得0,1x y =⎧⎨=⎩或3,22x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，因为πsin cos 2(sin )24y θθθ=+=+-≥，所以只有0,1x y =⎧⎨=⎩符合题意，故答案为(0,1). 10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.【参考答案】5 【试题分析】1(2)nx x +的展开式中第m 项为的系数11C 2m n m m n b -+-=，因为342b b =，所以2233C 22C 2n n n n --=，即23C C n n =，得5n =，故答案为5. 11. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/简单集合体的研究/椎体；数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】6235+ 【试题分析】如图，在棱长均为2的正四棱锥P ABCD -中，因为2AD PD ==,所以22BD =,2DO =,所以222PO PD DO =-=,23234PAD S =⨯=△, 122222PDB S =⨯⨯=△,12222ABD S =⨯⨯=△,从正四棱锥的5个顶点中任取3个点，可以构成的三角形的个数为35C 10=，其中顶点在侧面的三角形的有4个，在对角面的有2个，在底面的有4个，故342224623105E ξ⨯+⨯+⨯+==. 第11题图 cna112.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】226n n + 【试题分析】因为212++3n a a a n n ++=…①，所以14a =，当2n ≥时，2121+(1)+3(1)n a a a n n -++=--…②，①-②得，22n a n =+，所以2(22)n a n =+,116a =也适合此式，所以2(22)n a n =+，2(22)4(1)11n a n n n n +==+++，所以数列{}1n a n +是首项为182a =，公差为4的等差数列，所以12+231n a a a n ++=+… (844)2n n ++226n n =+，故答案为226n n +. 13.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题或资料进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/随机变量的分布及数字特征.【参考答案】{48,51,54,57,60}【试题分析】因为20道选择题每题3分，甲最终的得分为54分，所以甲答错了2道题，又因为甲和乙有两道题的选项不同，则他们最少有16道题的答案相同，设剩下的4道题正确答案为AAAA,甲的答案为BBAA,因为甲和乙有两道题的选项不同，所以乙可能的答案为BBCC,BCBA,CCAA,CAAA,AAAA 等，所以乙的所有可能的得分值组成的集合为{48,51,54,57,60}，故答案为{48,51,54,57,60}.14.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/平面直线的方程/直线的一般式方程；方程与代数/不等式/基本不等式. 【参考答案】642+ 【试题分析】如图，设000(,)a M x x x -0(12)x ≤≤由题意得(1,1)A a -，(22)2a B -，，(1,1)2a AB =+ ，所以直线AB 的方程为1(1)112x y a a ---=+，化为一般式方程为3(1)22a y x a =+-，所以003(,(1))22a N x x a +-, 所以003||||22a a MN a x x =-- 003|2|22a a a x x -⋅≤3=(2)2a -，当且仅当002a a x x =，即02[1,2]x =∈时取等号，因为||1MN ≤恒成立，所以3(2)12a -≤，642a +≤,所以a 的最大值为642+，故答案为642+.第14题图 cna2 二、选择题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/同角三角比.【正确选项】B【试题分析】由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故答案为B.16.【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.【正确选项】D【试题分析】直线1l 与2l 可能是与平面α平行的平面中的相交直线，故A 选项不正确；直线l 上的点可能是位于平面α两侧的点，故B 选项不正确；直线l 与平面α所形成的角大小可以取到0和π2，故C 选项不正确；垂直同一平面的两直线平行，故D 选项正确.故答案为D.17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关平面与几何的基本知识.【知识内容】平面与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【正确选项】C【试题分析】由于a b ⊥ 且||||1a b == ，那么||2a b += ，所以2()()||||||cos 0c a c b c c a b a b α--=-++⋅= ，即||2c o s c α= ，由于1cos 1α-≤≤，所以||c 的最大值为2.故答案为C.18.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/对数函数的性质和图像；函数与分析/三角函数/正弦函数与余弦函数的图像.【正确选项】B【试题分析】因为存在实数1234,,,x x x x 满足1234()()()()f x f x f x f x a ====，所以函数()f x 与直线y a =的图像有4个交点，如图，因此123403315x x x x <<<<，≤≤，因为3()|log |,03f x x x =<<，所以3132313212|log ||log |,log log ,1x x x x x x =-==，又因为π()sin(),3156f x x x =≤≤的图像关于直线9x =对称，所以3418x x +=，所以1234331(18)x x x x x x =⋅⋅-，因为339x <<，所以12344581x x x x <<,故答案为B.第18题图 cna3 三、解答题19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题7分.【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.（2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】（1）图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.（2）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角.【参考答案】（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，………………………………………2分因为⊥1CC 平面111A B C ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………4分 所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………5分（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ， 由（1），(0,2,0)CB = 是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………7分 )2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=CD ，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n = ，则有 10,0,n CB n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ， 所以)2,2,1(-=n ， …………………………………………10分 设CB 与n 的夹角为θ，则42cos 233||||CB n CB n θ⋅===⨯⋅ ， …………………11分 由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos ． ……………………………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.【测量目标】（1）运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形.（2）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】（1）函数与分析/三角函数/函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质.（2）函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理；图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.【参考答案】（1）π()3sin cos 12sin 16f x x x x ωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， ……………3分 又πT =，所以，2=ω， ………………………………………………5分 所以，π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． …………………………………………………6分 （2）π()2sin 2106f B B ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，故π1sin 262B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以，ππ22π66B k +=+或π5π22π66B k +=+（Z ∈k ）， 因为B 是三角形内角，所以π3B =．……9分 而3cos 2BA BC ac B ⋅=⋅= ，所以，3=ac ， …………………………11分 又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ， 所以，7=a ． …………………………………14分 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.（2）分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步应用.【知识内容】（1）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.（2）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故 11()22f f x f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，即11()3f x -≤≤， ……………………………2分 故|()|1f x ≤，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………4分 所以，上界M 满足1M ≥，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………6分（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故|()|3g x ≤在]2,0[∈x 上恒成立，即3()3g x -≤≤，所以，31243x xa -++⋅≤≤（]2,0[∈x ）， …………8分 所以41214242x x x x a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤（]2,0[∈x ）， 令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故2242t t a t t ---≤≤在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立， 所以，22max min (4)(2)t t a t t ---≤≤（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………11分 令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；…12分 令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h t p ．…13分 所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………14分 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.【测量目标】（1）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/平面直线的方程/直线的斜率与倾斜角.（3）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质；方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】（1）由221344x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得03624)43(22=+-+kx x k ， 所以2144(4)0k ∆=->，设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………2分 因为PA AB = ，所以122x x =，代入上式求得556=k . ………………………4分 （2）由图形可知，要证明BFO AFP ∠=∠，等价于证明直线AF 与直线BF 的倾斜角互补，即等价于0=+BF AF k k . …………………………………………6分21212122112211)(3211323311x x x x k x x k x kx x kx x y x y k k BF AF +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+++=+ 022433643243222=-=++⋅-=k k k k k k . …………………………………………9分 所以，BFO AFP ∠=∠. …………………………………………………10分（3）由0∆>，得042>-k ，所以212121211||||3()422ABF PBF PAF S S S PF x x x x x x ∆∆=-=⋅-=⋅⋅+-△ 4341822+-=k k ， ………………………………………………………………13分 令42-=k t ，则0>t ，1634322+=+t k 故222184181816343163ABF k t S k t t t -===+++△ 183342316=⋅≤（当且仅当t t 163=，即3162=t ，3212=k 取等号）. ……15分 所以，△ABF 面积的最大值是433. ……………………………………………16分 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列、等比数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】（1）由已知，12++=n n n a a b ①, 121++=n n n b b a ②， ………1分 由②可得，11++=n n n b b a ③， ……………………………2分将③代入①得，对任意*N ∈n ，2n ≥，有112+-+=n n n n n b b b b b ， 即112+-+=n n n b b b ，所以{}n b 是等差数列． …………………………4分 （2）设数列{}n b 的公差为d ，由101=a ，152=a ，得2251=b ，182=b ，……6分 所以2251=b ，232=b ，所以2212=-=b b d ， ……………………7分 所以，)4(2222)1(225)1(1+=⋅-+=-+=n n d n b b n ， ………………8分 所以，2)4(2+=n b n ，2)4(2)3(2212+⋅+==-n n b b a n n n ， ……………………9分 2)4)(3(++=n n a n ． …………………………………………………………10分 （3）解法一：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………11分 所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……13分 故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ， 即)3()4)(2(+++<n n n n a 当*N ∈n 时恒成立， …………………………………………14分 令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ， 则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立. ………………………………17分 故1a ≤，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞. ………………………………18分解法二：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………………11分 所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……13分 故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ， 所以，原不等式对任意*N ∈n 恒成立等价于08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意*N ∈n 恒成立， ……………………………………14分设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，10a -≤，当1=a 时，083)(<--=n n f 恒成立； …………………………15分 当1<a 时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为01223<--⋅-=a a x ， )(x f 在),0(∞+上单调递减，即)(n f 在*N 上单调递减，故只需0)1(<f 即可，由0154)1(<-=a f ，得415<a ，所以当1a ≤时，n n b aS <4对*N ∈n 恒成立． 综上，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………18分。
届上海市长宁区高考数学模拟试卷及答案
届上海市长宁区高考数学模拟试卷及答案2018届上海市长宁区高考数学模拟试卷及答案高考数学的题型是怎么样的呢?那就多做一些高考数学模拟试卷让我们熟悉一下里面的题型吧，以下是店铺为你整理的2018届上海市长宁区高考数学模拟试卷，希望能帮到你。
2018届上海市长宁区高考数学模拟试卷题目一、填空题(共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.设集合A={x||x﹣2|<1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=.2.函数y=sin(ωx﹣)(ω>0)的最小正周期是π，则ω=.3.设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为.4.若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4，1)，则实数a= .5.已知(a+3b)n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n= .6.甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种.7.若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3.8.若数列{an}的所有项都是正数，且+ +…+ =n2+3n(n∈N*)，则 ( )= .9.如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为.10.有以下命题：①若函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)的值域为{0};②若函数f(x)是偶函数，则f(|x|)=f(x);③若函数f(x)在其定义域内不是单调函数，则f(x)不存在反函数;④若函数f(x)存在反函数f﹣1(x)，且f﹣1(x)与f(x)不完全相同，则f(x)与f﹣1(x)图象的公共点必在直线y=x上;其中真命题的序号是.(写出所有真命题的序号)11.设向量 =(1，﹣2)， =(a，﹣1)， =(﹣b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A、B、C三点共线，则 + 的最小值为.12.如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm.二、选择题(共4小题，每小题5分，满分20分)13.“x<2”是“x2<4”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若无穷等差数列{an}的首项a1<0，公差d>0，{an}的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是( )A.Sn单调递增B.Sn单调递减C.Sn有最小值D.Sn有最大值15.给出下列命题：(1)存在实数α使 .(2)直线是函数y=sinx图象的一条对称轴.(3)y=cos(cosx)(x∈R)的值域是[cos1，1].(4)若α，β都是第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ.其中正确命题的题号为( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)16.如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是( )A.(﹣∞， ]B.[3，+∞)C.[﹣2 ，2 ]D.[﹣3，3]三、解答题(共5小题，满分76分)17.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2;(1)求三棱锥A﹣BCD的体积;(2)设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小(结果用反三角函数值表示).18.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2 .(I)求角A的大小;(II) 若a= ，b+c=3，求b和c的值.19.某地要建造一个边长为2(单位：km)的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为(1，2)，曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b(k>0)的图象，与线段DB交于点N(点N不与点D重合)，且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：(1)求证：b=﹣ ;(2)设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标;②将四边形MABN的面积S表示成t的函数S=S(t)，并求S的最大值.20.已知函数f(x)=9x﹣2a•3x+3：(1)若a=1，x∈[0，1]时，求f(x)的值域;(2)当x∈[﹣1，1]时，求f(x)的最小值h(a);(3)是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n>m>3;②当h(a)的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由.21.已知无穷数列{an}的各项都是正数，其前n项和为Sn，且满足：a1=a，rSn=anan+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N;(1)求证：an+2﹣an是一个定值;(2)若数列{an}是一个周期数列(存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有an+T=an成立，则称{an}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期;(3)若数列{an}是各项均为有理数的等差数列，cn=2•3n﹣1(n∈N*)，问：数列{cn}中的所有项是否都是数列{an}中的项?若是，请说明理由，若不是，请举出反例.2018届上海市长宁区高考数学模拟试卷答案一、填空题(共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.设集合A={x||x﹣2|<1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} .【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义求解.【解答】解：|x﹣2|<1，即﹣1集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}2.函数y=sin(ωx﹣)(ω>0)的最小正周期是π，则ω= 2 .【考点】正弦函数的图象.【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值.【解答】解：∵y=sin(ωx﹣)(ω>0)，∴T= =π，∴ω=2.故答案是：2.3.设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出.【解答】解：复数 = = = 对应的点到原点的距离= = .故答案为： .4.若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4，1)，则实数a= 3 .【考点】反函数.【分析】由题意可得函数f(x)=log2(x+1)+a过(1，4)，代入求得a的值.【解答】解：函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4，1)，即函数f(x)=log2(x+1)+a的图象经过点(1，4)，∴4=log2(1+1)+a∴4=1+a，a=3.故答案为：3.5.已知(a+3b)n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n= 6 .【考点】二项式系数的性质.【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值.【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6.故答案：66.甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60 种.【考点】排列、组合及简单计数问题.【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案.【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种.故答案为60.7.若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3.【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案.【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr= π×2，解得r= .故圆锥的高h= = ，∴圆锥的体积V= πr2h= cm3.故答案为： .8.若数列{an}的所有项都是正数，且+ +…+ =n2+3n(n∈N*)，则 ( )= 2 .【考点】数列的求和;极限及其运算.【分析】利用数列递推关系可得an，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出.【解答】解：∵ + +…+ =n2+3n(n∈N*)，∴n=1时， =4，解得a1=16.n≥2时，且+ +…+ =(n﹣1)2+3(n﹣1)，可得：=2n+2，∴an=4(n+1)2.=4(n+1).∴ ( )= =2.故答案为：2.9.如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为.【考点】余弦定理.【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案.【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC= =﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为： .10.有以下命题：①若函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)的值域为{0};②若函数f(x)是偶函数，则f(|x|)=f(x);③若函数f(x)在其定义域内不是单调函数，则f(x)不存在反函数;④若函数f(x)存在反函数f﹣1(x)，且f﹣1(x)与f(x)不完全相同，则f(x)与f﹣1(x)图象的公共点必在直线y=x上;其中真命题的序号是①②.(写出所有真命题的序号)【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】①函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0.②利用偶函数的定义和性质判断.③利用单调函数的定义进行判断.④利用反函数的性质进行判断.【解答】解：①若函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0，为常数函数，所以f(x)的值域是{0}，所以①正确.②若函数为偶函数，则f(﹣x)=f(x)，所以f(|x|)=f(x)成立，所以②正确.③因为函数f(x)= 在定义域上不单调，但函数f(x)存在反函数，所以③错误.④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1(x≤0)的交点坐标有(﹣1，0)，(0，1)，显然交点不在直线y=x上，所以④错误.故答案为：①②.11.设向量 =(1，﹣2)， =(a，﹣1)， =(﹣b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A、B、C三点共线，则 + 的最小值为8 .【考点】基本不等式.【分析】A、B、C三点共线，则=λ ，化简可得2a+b=1.根据 + =( + )(2a+b)，利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量 =(1，﹣2)， =(a，﹣1)， =(﹣b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，∴ = ﹣ =(a﹣1，1)， = ﹣ =(﹣b﹣1，2)，∵A、B、C三点共线，∴ =λ ，∴ ，解得2a+b=1，∴ + =( + )(2a+b)=2+2+ + ≥4+2 =8，当且仅当a= ，b= ，取等号，故 + 的最小值为8，故答案为：812.如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13 cm.【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题.【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径.【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d= =13故答案为：13.二、选择题(共4小题，每小题5分，满分20分)13.“x<2”是“x2<4”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】先求出x2<4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可.【解答】解：由x2<4，解得：﹣2故x<2是x2<4的必要不充分条件，故选：B.14.若无穷等差数列{an}的首项a1<0，公差d>0，{an}的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是( )A.Sn单调递增B.Sn单调递减C.Sn有最小值D.Sn有最大值【考点】等差数列的前n项和.【分析】Sn=na1+ d= n2+ n，利用二次函数的单调性即可判断出结论.【解答】解：Sn=na1+ d= n2+ n，∵ >0，∴Sn有最小值.故选：C.15.给出下列命题：(1)存在实数α使 .(2)直线是函数y=sinx图象的一条对称轴.(3)y=cos(cosx)(x∈R)的值域是[cos1，1].(4)若α，β都是第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ.其中正确命题的题号为( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【考点】正弦函数的定义域和值域;两角和与差的正弦函数;正弦函数的对称性;余弦函数的定义域和值域.【分析】(1)利用辅助角公式将可判断(1);(2)根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断(2);(3)根据余弦函数的性质可求出y=cos(c osx)(x∈R)的最大值与最小值，从而可判断(3)的正误;(4)用特值法令α，β都是第一象限角，且α>β，可判断(4).【解答】解：(1)∵ ，∴(1)错误;(2)∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴(2)正确;(3)根据余弦函数的性质可得y=cos(cosx)的最大值为ymax=cos0=1，ymin=cos(cos1)，其值域是[cos1，1]，(3)正确;(4)不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α>β，但tanα故选B.16.如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是( )A.(﹣∞， ]B.[3，+∞)C.[﹣2 ，2 ]D.[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题.【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+ ≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f(y)= + ，利用基本不等式可求得f(y)min=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立.通过对sinx>0、sinx<0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案.【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔ + ≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f(y)= + ，则asinx+1﹣sin2x≤f(y)min，当y>0时，f(y)= + ≥2 =3(当且仅当y=6时取“=”)，f(y)min=3;当y<0时，f(y)= + ≤﹣2 =﹣3(当且仅当y=﹣6时取“=”)，f(y)max=﹣3，f(y)min不存在;综上所述，f(y)min=3.所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立.①若sinx>0，a≤sinx+ 恒成立，令sinx=t，则0由于g′(t)=1﹣ <0，所以，g(t)=t+ 在区间(0，1]上单调递减，因此，g(t)min=g(1)=3，所以a≤3;②若sinx<0，则a≥sinx+ 恒成立，同理可得a≥﹣3;③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R;综合①②③，﹣3≤a≤3.故选：D.三、解答题(共5小题，满分76分)17.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2;(1)求三棱锥A﹣BCD的体积;(2)设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小(结果用反三角函数值表示).【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;异面直线及其所成的角.【分析】(1)由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积.(2)以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小.【解答】解：(1)如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2 ，∴BD= =2 ，CD= =2 ，则VA﹣BCD= = == .(2)以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，2，2)，D(2 ，0，0)，C(0，0，0)，B(0，2，0)，M( )，=(2 ，﹣2，﹣2)， =( )，设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ= = = .θ=arccos .∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos .18.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2 .(I)求角A的大小;(II) 若a= ，b+c=3，求b和c的值.【考点】余弦定理;解三角形.【分析】(I)在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos(B+C)]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值.(II)由余弦定理及a= ，b+c=3，解方程组求得b和c的值.【解答】解：(I)在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos(B+C)]﹣4cos2A+2=7，又∵cos(B+C)=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0.解得，∴ .(II)由 .又 .由 .19.某地要建造一个边长为2(单位：km)的正方形市民休闲公园OABC，将其中的`区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为(1，2)，曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b(k>0)的图象，与线段DB交于点N(点N不与点D重合)，且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：(1)求证：b=﹣ ;(2)设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标;②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S(t)，并求S的最大值.【考点】函数模型的选择与应用.【分析】(1)根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2;由，消去y得△=0即可证明b=﹣ ;(2)写出点P的坐标(t，2t2)，代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标;令y=2求出N的坐标;②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S(t)，利用基本不等式求出S的最大值.【解答】(1)证明：函数y=ax2过点D(1，2)，代入计算得a=2，∴y=2x2;由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=(﹣k)2﹣4×2×b=0，解得b=﹣ ;(2)解：设点P的横坐标为t，则P(t，2t2);①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣ =2t2，解得k=4t;y=4tx﹣2t2令y=0，解得x= ，∴M( ，0);令y=2，解得x= + ，∴N( + ，2);②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S(t)=2×2﹣×2×[ +( + )]=4﹣(t+ );由t+ ≥2• = ，当且仅当t= ，即t= 时“=”成立，所以S≤4﹣2 ;即S的最大值是4﹣ .20.已知函数f(x)=9x﹣2a•3x+3：(1)若a=1，x∈[0，1]时，求f(x)的值域;(2)当x∈[﹣1，1]时，求f(x)的最小值h(a);(3)是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n>m>3;②当h(a)的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由.【考点】函数的最值及其几何意义;函数的值域.【分析】(1)设t=3x，则φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2，φ(t)的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f(x)的值域;(2)由函数φ(t)的对称轴为t=a，分类讨论当a< 时，当≤a≤3时，当a>3时，求出最小值，则h(a)的表达式可求;(3)假设满足题意的m，n存在，函数h(a)在(3，+∞)上是减函数，求出h(a)的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论.【解答】解：(1)∵函数f(x)=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2，对称轴为t=a.当a=1时，φ(t)=(t﹣1)2+2在[1，3]递增，∴φ(t)∈[φ(1)，φ(3)]，∴函数f(x)的值域是：[2，6];(Ⅱ)∵函数φ(t)的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[ ，3]，当a< 时，ymin=h(a)=φ( )= ﹣ ;当≤a≤3时，ymin=h(a)=φ(a)=3﹣a2;当a>3时，ymin=h(a)=φ(3)=12﹣6a.故h(a)= ;(Ⅲ)假设满足题意的m，n存在，∵n>m>3，∴h(a)=12﹣6a，∴函数h(a)在(3，+∞)上是减函数.又∵h(a)的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6(n﹣m)=(n﹣m)•(m+n)，又∵n>m>3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n>m>3矛盾.∴满足题意的m，n不存在.21.已知无穷数列{an}的各项都是正数，其前n项和为Sn，且满足：a1=a，rSn=anan+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N;(1)求证：an+2﹣an是一个定值;(2)若数列{an}是一个周期数列(存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有an+T=an成立，则称{an}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期;(3)若数列{an}是各项均为有理数的等差数列，cn=2•3n﹣1(n∈N*)，问：数列{cn}中的所有项是否都是数列{an}中的项?若是，请说明理由，若不是，请举出反例.【考点】数列递推式.【分析】(1)由rSn=anan+1﹣1，利用迭代法得：ran+1=an+1(an+2﹣an)，由此能够证明an+2﹣an为定值.(2)当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2= ，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r>0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期.(3)因为数列{an}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2(r+ )，化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出Sn.【解答】(1)证明：∵rSn=anan+1﹣1，①∴rSn+1=an+1an+2﹣1，②②﹣①，得：ran+1=an+1(an+2﹣an)，∵an>0，∴an+2﹣an=r.(2)解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2= ，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+ ，a+r，2r+ ，a+2r，3r+ ，….当r>0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，….所以当a>0且a≠1时，该数列的周期是2，(3)解：因为数列{an}是一个有理等差数列，a+a+r=2(r+ )，化简2a2﹣ar﹣2=0，a= 是有理数.设 =k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，an=1，Sn=n.r≠0时(k﹣r)(k+r)=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，an= ，Sn= ，∵cn=2•3n﹣1(n∈N*)，an=1时，不符合，舍去.an= 时，若2•3n﹣1= ，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k= ，不是整数，因此数列{cn}中的所有项不都是数列{an}中的项. 【2018届上海市长宁区高考数学模拟试卷及答案】。
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
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综上可得若输出的结果为 1，则输入 x 的值为 3 或﹣2， 故选：A． 7．（5 分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午 5：00﹣6：00 之间送货上门，
已知小李下班到家的时间为下午 5：30﹣6：00．快递员到小李家时，如果小李未到家， 则快递员会电话联系小李．若小李能在 10 分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则， 就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为（ ）
求 m 的取值范围．
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2018 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）已知复数 z 满足 z（• 1﹣2i）＝（i i 是虚数），则复数 z 在复平面内对应的点在（ ）
到的绵是（ ）
A．174 斤
B．184 斤
C．191 斤
D．201 斤
6．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 1，则输入 x 的值为（ ）
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A．3 或﹣2
B．2 或﹣2
C．3 或﹣1
D．﹣2 或﹣1 或 3
7．（5 分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午 5：00﹣6：00 之间送货上门，
对称
12．（5 分）已知点 I 在△ABC 内部，AI 平分∠BAC， 述条件的所有△ABC，下列说法正确的是（ ）
，对满足上
A．△ABC 的三边长一定成等差数列 B．△ABC 的三边长一定成等比数列 C．△ABI，△ACI，△CBI 的面积一定成等差数列 D．△ABI，△ACI，△CBI 的面积一定成等比数列 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
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2018年长宁区高考数学二模含答案2018年长宁(嘉定)区高考数学二模含答案考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A Y ，则实数=m _______． 2．nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n ___________． 3．已知复数z 满足i342+=z（i 为虚数单位），则=||z ____________．4．已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x的距离，则点P 的轨迹方程为______________．5．已知数列}{na 是首项为1，公差为2的等差数列，nS 是其前n 项和，则=∞→2lim nn n aS_______． 6．设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数yx z -=3的最大值为_________．7．将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________． 8．三棱锥ABC P -及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB 的长为________．9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小 球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相 加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三2 2 432左视图PA BC主视图等奖的概率为____________． 10．已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_________．11．在△ABC 中，M 是BC 的中点，︒=∠120A ，21-=⋅，则线段AM 长的最小值为____________． 12．若实数x 、y 满足112244+++=+y x y x，则yxS 22+=的取值范围是____________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．“2=x ”是“1≥x ”的………………………………………………………………（ ）．（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件14．参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2,4322t y t x （t 为参数，且30≤≤t ）所表示的曲线是………………（ ）．（A ）直线 （B ）圆弧 （C ）线段 （D ）双曲线的一支15．点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，M 是CD的中点，则当P沿MC B A ---运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数)(x f y =的图 像的形状大致是下图中的……………………………………………………………（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）16．在计算机语言中，有一种函数)(x INT y =叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示y 等1 12 2.5y O x y O x 1 1 2 2.5 y O x1 12 2.5yO x1 12 2.5于不超过x 的最大整数，如0)9.0(=INT ，3)14.3(=INT ．已知⎪⎭⎫⎝⎛⨯=nnINT a 1072，11a b =，110--=n n n aa b （*N ∈n 且2≥n ），则2018b 等于………………………（ ）．（A ）2 （B ）5 （C ）7 （D ）8（反面还有试题）三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++=62sin sin2)(2πx x x f ．（1）求函数)(x f 的最小正周期和值域；（2）设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若31cos =B ，()2=A f ，求C sin 的值．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，︒=∠90BAD ，AD ∥BC ，2=AB ，1=AD ，4==BC PA ，⊥PA 平面ABCD ．（1）求异面直线BD 与PC 所成角的大小； （2）求二面角D PC A --的余弦值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）DPA BC某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益．现准备制定一个奖励方案：奖金y （单位：万元）随收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的%20．（1）若建立函数)(x f y =模型制定奖励方案，试用数学语言．．．．表述该团队对奖励函数)(x f 模型的基本要求，并分析函数2150+=x y 是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该团队采用模型函数2310)(+-=x ax x f 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的焦距为32，点)2,0(P 关于直线x y -=的对称点在椭圆Γ上． （1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆Γ交于两个不同的点C 、D （点C 在点D 的上方），试求△COD 面积的最大值；（3）若直线m 经过点)0,1(M ，且与椭圆Γ交于两个不同的点A 、B ，是否存在直线0l ：0x x =（其中2>x），使得A 、B 到直线0l 的距离Ad 、Bd 满足||||MB MA ddBA=恒成立？若存在 ，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列}{na 的各项均为正数，其前n 项和为nS ，且满足2)1(4+=n na S．数列}{nb 满足21=b ，42=b，且等式112+-=n n nb b b对任意2≥n 成立．（1）求数列}{na 的通项公式；（2）将数列}{na 与}{nb 的项相间排列构成新数MO xy l PCD·列1a ，1b ，2a ，2b ，…，na ，nb ，…，设该新数列为}{n c ，求数列}{nc 的通项公式和前n 2项的和nT 2．（3）对于（2）中的数列}{nc 的前n 项和nT ，若nnc T⋅≥λ对任意*N ∈n 都成立，求实数λ的取值范围．2017学年长宁、嘉定高三年级第二次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．3 2．4 3．5 4．xy 42=5．41 6．4 7．π322 8．24 9．167 10．]1,1[- 11．2112．]4,2(二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项． 13．A 14．C 15．B 16．D三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）12cos 212sin 232cos 212sin 232cos 1)(+-=++-=x x x x x x f162sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx ， ……………………………（每对一步得1分）（4分）所以，)(x f 的最小正周期π=T ，值域为]2,0[． ……………………………（6分） （2）由2)(=A f ，得162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA ， ………………………………………（2分）因为π<<A 0，所以611626πππ<-<-A ，故262ππ=-A ，3π=A ． ……（5分） 因为在△ABC中，31cos =B ，所以322sin =B ， …………………………（6分）所以，[]B A B A B A B A C sin cos cos sin )sin()(sin sin +=+=+-=π 6223322213123+=⋅+⋅=． …………………………………………（8分）18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）法一：以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系， ………………………………………………（1分）则)0,0,2(B ，)0,1,0(D ，)0,4,2(C ，)4,0,0(P ， ………………………（2分）所以，)0,1,2(-=BD ，)4,4,2(-=PC ， ………………………………………（3分）因为044=+-=⋅PC BD ，所以，PC BD ⊥． ……………………………………（5分） 所以，异面直线BD 与PC 所成角的大小为︒90． …………………………………（6分） （1）法二：连结AC ，因为︒=∠90BAD ，所以21tan ==∠AB AD ABD ，………（1分）由AD∥BC，得︒=∠90ABC ，所以21tan ==∠BC AB ACB ， ………………（2分）所以ACBABD ∠=∠，于是︒=∠+∠90DBC ACB ，即ACBD ⊥， …………（4分）又⊥PA 平面ABCD ，所以BD PA ⊥，所以⊥BD 平面PAC ，故PC BD ⊥． 所以，异面直线BD与PC所成角的大小为︒90． ………………………………（6分） （2）由（1）⊥BD 平面PAC ，所以)0,1,2(-=是平面PAC 的一个法向量．（1分） 设平面PCD 的一个法向量为),,(z y x n=ρ， 因为)4,4,2(-=，)0,3,2(=，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0CD n n ρρ得⎩⎨⎧=+=-+,032,0442y x z y x取1=z ，则6-=x ，4=y ，故)1,4,6(-=n ρ．……………………………………（5分）设BD 与n ρ的夹角为θ，则2652651626516||||cos ==⋅=n BD ρρθ． ……………（7分） 由图形知二面角D PC A --为锐二面角，所以二面角D PC A --的余弦值为26526516． ……………………………………（8分） 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）设函数模型为)(x f y =，根据团队对函数模型的基本要求，函数)(x f y =满足：当]1000,10[∈x 时，①)(x f 在定义域]1000,10[上是增函数；②9)(≤x f 恒成立； ③5)(xx f ≤恒成立． …………………………………………（3分，每项得1分）对于函数2150+=xy ，当]1000,10[∈x 时，)(x f 是增函数； 9232021501000)1000()(max <+=+==f x f ，所以9)(≤x f 恒成立；但10=x 时，5102151)10(>+=f ，即5)(xx f ≤不恒成立． 因此，该函数模型不符合团队要求． ………………………………（6分，每项得1分）（2）对于函数模型2203102310)(++-=+-=x a x a x x f ， 当203>+a 即320->a 时递增． ………………………………………………（2分）当]1000,10[∈x 时，要使9)(≤x f 恒成立，即9)1000(≤f ， 所以1000183≥+a ，3982≥a ； ……………………………………………………（4分）要使5)(x x f ≤恒成立，即52310xx a x ≤+-，015482>+-a x x 恒成立， 得出5192≥a ． ………………………………………………………………………（6分） 综上所述，3982≥a ． …………………………………………………………………（7分） 所以满足条件的最小正整数a的值为328． ………………………………………（8分）20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）（1）点)2,0(P 关于直线x y -=的对称点为)0,2(-， ……………………………（1分） 因为)0,2(-在椭圆Γ上，所以2=a ，又322=c ，故3=c ， ………………（3分）则1222=-=c a b ．所以，椭圆Γ的方程为1422=+y x． ……………………（4分） （2）由题意，直线l 的斜率存在，设l 的方程为2+=kx y ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,222y x kx y 得1216)14(22=+++kx x k ， ………………………………（1分）由△0)14(124)16(22>+⋅-=k k ，得342>k ． ………………………………（2分）设),(CCy x C ，),(D D y x D ，则14162+-=+k k x x D C ，14122+=k x x D C ，且||||C D x x >，||||||||||21||||21C D C D C D POC POD COD x x x x x PO x PO S S S -=-=⋅⋅-⋅⋅=-=△△△，所以，144814164)()222222+-⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+=-=k k k x x x x x x S D C D C C D COD（△222222)14()34(16)14(4864+-=+-=k k k k ． …………………………………………………（3分）令t k =-342，则0>t ，所以，8161616816)4(16222++=++=+=tt t t t t tS COD△，因为816≥+t t （当且仅当4=t 时等号成立），此时12≤COD S △． ……………（5分）所以，当且仅当4=t ，即472=k 时，△COD 的面积取最大值1． …………（6分）（3）当直线m 的斜率不存在时，m 的方程为1=x ，此时BAd d =，||||MB MA =，等式||||MB MA d d BA =成立； ………………………………………………（1分）当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为)1(-=x k y ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,14,)1(22y x x k y 得448)14(2222=-+-+k x k x k ， ……………………（2分）设）11,(y x A ，),(22y xB ，则1482221+=+k k x x ，14442221+-=k k x x ， 由题意，1x 与2x 一个小于1，另一个大于1，不妨设211x x >>，则212120222210)1(||)1(||||||y x x x y x x xMA d MB d BA+-⋅--+-⋅-=⋅-⋅2122022210)1)(1(||)1)(1(||-+⋅---+⋅-=x k x x x k x x|]1||||1||[|11202102-⋅---⋅-⋅+=x x x x x x k)]1)(()1)([(11202102-----⋅+=x x x x x x k[]02))(1(2121212=+++-⋅+=x x x x x x k ， 所以，02))(1(22121=+++-x x x x x x ， ………………………………（4分）即014)1(814)1(8222220=+-+++-k k k k x x ，解得40=x ． …………………………（5分）综上，存在满足条件的直线4=x ，使得||||MB MA ddBA =恒成立． ………………（6分）21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（1）由2)1(4+=nna S ，即1242++=nnna a S ，所以1241211++=+++n n n a a S ， 两式相减得，)(2412211nn nn n a a a a a -+-=+++， …………………………………（1分） 故0)2)((11=--+++nn n n a a a a ， ………………………………………（2分）因为0>na ，所以21=-+nn a a ． ………………………………………（3分）又由211)1(4+=a a 得11=a ．所以，数列}{na 是首项为1，公差为2的等差数列． 所以，数列}{na 的通项公式为12-=n a n． …………………………………………（4分）（2）由题意，数列}{nb 是首项为2，公比为2的等比数列，故nnb 2=．…………（1分） 所以，⎪⎩⎪⎨⎧=.,2,,2为偶数为奇数n n n c nn ………………………………………………………（3分）数列}{n a 的前n 项和2n S n =，数列}{nb 的前n 项和2221)21(21-=--='+n nnS ．…（5分） 所以，22122-+='+=+n nnnn S S T ． ………………………………………………（6分）（3）当n 为偶数时，设k n 2=（*N ∈k ），由（2）知，22122-+=+k k k T ，kkc 22=，由kk c T 22⋅≥λ，得kk k 22212⋅≥-++λ， …………………………………………（1分） 即222222212+-=-+≤+kkk k k λ， …………………………………………………（2分） 设222)(2+-=kk k f ，则12122)1)(3(2222)1()()1(+++--=---+=-+k k k k k k k k f k f ，所以，当3≤k 时，)(k f 单调递增，当3≥k 时，)(k f 单调递减． ………………（3分）因为23)1(=f ，当3≥k 时，2222)(2>+-=kk k f ，所以，23)1()]([min ==f k f ．所以，23≤λ． …………………………………………………………………………（4分）当n 为奇数时，设12-=k n （*N ∈k ），则kk kkk k c T T 222122212--+=-=+-，222-+=kk ， …………………………………………………………………………（5分） 由1212--⋅≥k k c T λ，得)12(222-⋅≥-+k k kλ，即12222--+≤k k kλ， ……………（6分） 设1222)(2--+=k k k g k ，则12221222)1()()1(212--+-+-++=-++k k k k k g k g k k 0)12)(12(3)32(222>+-+-+=k k k k k ，故)(k g 单调递增，1)1()]([min==g k g ，故1≤λ．…（7分）综上，λ的取值范围是]1,(-∞． ……………………………………………………（8分）。