收敛加速的方法ppt课件

▪将一个计算过程反复进行
▪一种常见常用的计算技术
▪构造有效的迭代格式
▪选取合适的迭代初值
▪对迭代格式进行收敛性分析
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迭代原理 迭代是一种逐次逼近过程求解问题的方法. 已知方程 f ( x) 0的一个近似根后，通常使用某个固定公式反 复校正根的近似值
作法：迭代的三个主要部分
1 选取初值
把给定的方程 f ( x) 0 改写成等价形式
f (x)= 0 x ( x)
(1)
若存在 x*,使得x* ( x*) ,则称x*为不动点。
在根x*的附近取一点x0作为x*的预测值,也叫迭代初 值。
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2 按迭代格式进行计算
把x0代入(1)的右端，得
x1 ( x0 )
如果 x1 x0 ，则 x1 x* 。
如果 x1 x0 ，把 x1作为根的新的预测值代入(1)，得
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唯一性：
设在[a, b] 上存在两个根x1*和x2*，则 ( x1*) x1 * ( x1*) x1 *
由微分中值定理
| x1* x2* || ( x1* ) ( x2* ) |
| ( ) || x1* x2* |
L 1 ，必有
L | x1* x2* |
|
x1*
x
第二章 非线性方程的求根方法 简单迭代法 不动点迭代的收敛性 迭代序列的收敛速度 收敛加速的方法
1
问题的提出 很多实际问题中,都涉及到解函数方程 f (x) 0,这里 f ( x)可以是代数多项式,也可以是超越函 数.
一般情况下,用计算机求解非线性方程分两步进行: 1. 对方程 f ( x) 0的根进行隔离.找出隔根区间(区间内 只有一个根).
x xk
1 2
(ak
bk
)
x
=
1 2
(ak
x )
1 2
(bk
x
)
1 2 ( ak
x
bk
x
)
1 2
(( x
ak
)
bk
x )),
7
因此
x xk
1 2 (bk
ak )
ba 2k1 .
因此,二分法产生的序列收敛.
利用二分法收敛定理,对于事先给定的精度要求,可以估 计出二分法结果满足要求的迭代次数.
1.32588
8
1.32472
4
1.32494
从表中可看到 x7与 x8完全相同，这时可认为x8已 满足方程， x8 即为所求根的近似值。
x* x8 1.32472
上述迭代过程是收敛的。
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如果将方程改写成下列形式
据此有迭代公式
x x3 1
xk1
x
3 k
1,
迭代初值仍取 x0 =1.5，则有
第四步: 若 b a 1,则转第二步;否则输出 x0,结束.
作业：1、用二分法求方程 f ( x) x3 4x2 10 0
在区间[1,2］内的一个实根，要求误差不超过0.005。
11
2.2 迭代法
111
一种圆周率的计算方案: 初值: x0=1
4
(1)n
1
3
5
7
迭代格式: xn xn1 2n 1 ( n=1,2,3,······)
4
1
对任意 k 0,设第 k 个区间为[ak,bk],取中点 xk 2 (ak bk ) , 计算 f(xk).
若 f(xk)=0，则 xk 就是方程的根; 若 f(xk) f(ak)<0, 取 ak+1=ak, bk+1= xk; 若 f(xk) f(bk)<0, 取 ak+1= xk, bk+1= bk.
此时区间[ak+1, bk+1]的长度为[ak,bk]的一半. 二分法计算过程中产生有根区间序列
[a, b] [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [ak , bk ]
有如下性质:
ba (1) bk ak 2k
(2) ak1 ak , bk1 bk
(3) f(ak) f(bk)<0
5
由此可见，如果二分过程无限地进行下去（ k ），则有限区间必定缩为一点x*，该点显然就是所 求的根。 实际上，我们不可能去完成这种无穷过程，也无必 要，只需得到满足一定精度的近似值就可以了。 如果令有根区间[an,bn]的中点 xk (ak bk ) 2 为 x*的近 似值，则在二分过程中，得到下列以x*为极限的近 似根序列
x0 , x1 , , xk ,
由于
6
定理 2.2 设 x 为方程 f ( x) 0 在区间[a,b]内的唯一根,
f ( x)满足 f (a) f (b) 0,则二分法计算过程中第 k 个区间
[a,b]的中点 xk 满足不等式
x
xk
1 2 (bk
ak )
1 2k1
(b
a
).
证明 因为ak x bk ,所以
3 如果 f ( x0 ) f (b) 0，则 f ( x)在区间[ x0 ,b]内有零点;
如果后两种情况之一发生,则意味着找到一个比原
来的区间长度小一半的有根区间,舍去无根区间,将有根
区间再次一分为二,如此周而复始,实际上就是将有根区
间缩小到充分的小,从而找到满足精度的近似根.
算法
对 区 间 [a,b] 取 中 点
|
1 1
L
|
xk 1
xk
|
证
xk
x*
( xk1 ) (x*)
| xk x* || ( xk1 ) ( x* ) | | ( ) || xk1 x* |
| xk x* | L | xk1 x* |
23
| xk x* | Lk | x0 x* |
lim |
k
xk
x*
|
lim Lk
k 0,1,2,
x1 2.375, x2 12.39
当 k增大时，xk随之增大而不趋于任何极限，此时迭 代过程发散。
通过此例说明，迭代过程只有在一定条件下才可能
收敛。一个发散的过程没有任何意义。
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定理2.3 如果 (x) C1[a, b] ,满足条件:
(1) a (x) b ; (2) | (x) | L 1
[1, 1.5］内的一个实根，要求误差不超过0.005。 解 由公式估计所要 二分的次数
k ln(1.5 1) ln 0.01 5.644 ln 2
即只要二分6次，便能达到所要求的精度。
9
计算结果 f (1) 1 0, f (1.5) 0
k
ak
bk
xk
f(xk)
0
1.0
1.5
1.25
x2 ( x1 ) 如果 x2 x1 ，则 x2 x* 。
如果 x2 x1 ，把 x2作为根的新的预测值代入(1)......
如此重复上述步骤，则有迭代公式
xk1 ( xk ) ( k = 0, 1, 2, ···)
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其中，( x) ：迭代函数，得到迭代序列
x0 , x1 , , xk ,
* 2
|
0 即x1*
x2*
x*
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定理2.4 如果 (x) C1[a, b] ,满足条件:
(1) a ( x) b ; (2) | ( x) | L 1
则对任意的 x0∈ [a, b] , 迭代格式 xk1 ( xk )
产生的序列 { xk }收敛到不动点x*,且有事后误
差估计式
|
x*
xk
Th2.4 给的是一个全局收敛的迭代法.条件不易检验， L不 易得,实际应用时通常只在不动点 x*的邻近考察其收敛性。
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三 局部收敛性和收敛阶
定义 2.2 如果存在( x)的不动点 x的某个邻域
U( x, ) [x , x ],
对任意的 x0 U ( x , ), 迭代过程 xk1 ( xk )产生的序 列{ xk }均收敛于 x,则称迭代公式是局部收敛的. 定理 2.5（局部收敛性的充分性条件）设( x)在 x ( x)
x0
1 (a 2
b) , 计 算
f
( x0 ) . 若
f ( x0 ) 0 , 则 x0 就 是 方 程 的 根 ; 若 f ( x0 ) f (a) 0 , 取
a1 a,b1 x0;若 f ( x0 ) f (b) 0取a1 x0 ,b1 b.
ba 此时区间[a1,b1]的长度为[a,b]的一半， b1 a1 2
在x =1.5附近的根 x*。
解 设将方程改写成下列形式
由此得迭代公式
x 3 x1
xk1 3 xk 1, k 0,1,2,
迭代初值取x0 =1.5，计算值用6位数字表示。
迭代结果如下表
18
k
xk
k
xk
0
1.5
5
1.32476
1
1.35721
6
1.32473
2
1.33086
7
1.32472
3
p1
o x* x2
x1
x0
x
如果 p1, p2 , , pk , 逐渐逼近p*，－－－迭代过程收敛
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y (x)
y
y=x
p*
p0
p0
p1
p1
p2
o
x
x2
x1 x0 x*
如果 p1, p2 , , pk , 逐渐远离p*，－－－迭代过程发散
（无意义）
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例2.2 求方程 f (x)=x3 – x – 1 = 0
的根 x邻近有连续的一阶导数,且
'(x) 1
则迭代过程局部收敛.
证明 因'( x)连续,所以存在 x的一个邻域 U( x, ) [x , x ],
当 x U( x, )时,有 '( x) L 1,且
-
1
1.25
1.5
1.375
+
2
1.25 1.375 1.3125
-
3
1.3125 1.375 1.3438
+
4
1.3125 1.3438 1.3281
+
5
1.3125 1.3281 1.3203
-
6
1.3203 1.3281 1.3242
-
x6 1.3242 x* x* x6 0.005
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对于预先给定的精度 0，只需要
便有
k ln(b a) ln 2 ,
ln 2
x xk
这时 xk 就是满足精度要求的近似值
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二分法优点：是方程求根问题的一种直接搜索方法 ，算法简单、直观、实用，收敛性总能得到保证。 缺点（局限性）：不能求重根；计算速度慢。 思考：为什么不能求重根？
例2.1 用二分法求方程 f ( x) x3 x 1 0 在区间
1 1
L
|
xk 1
xk
|
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估计迭代次数 满足精度 要求所需的迭代次数
只需要 1
1 L
xk1
xk
成立即可.
注意 当L越小时,序列{ xk }收敛越快.
在实际算法设计中,我们常用条件 xk1 xk 作 为迭代结束;也可以用相对误差 xk1 xk 作为
xk1
迭代终止条件。
为避免出现死循环,可以设置一个最大的迭代次数.
3 判别收敛 如果迭代序列的极限存在，则迭代过程收敛，显然有
lim
k
xk
x*
如果迭代序列的极限不存在，则称迭代过程发散。
上述迭代过程也称不动点迭代法。
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来自百度文库
几何意义
方程 x ( x) 求根，在几何上就是确定曲线 y ( x)
与直线 y x 的交点 p*
y
y=x
y (x)
p0
p0
p1 p* p2
则方程 x ( x) 在 [a, b] 有唯一的不动点 x*。
证 若(a) a 或 (b) b ,显然 (x) 有不动点 设 (a) a , (b) b 则有 (a) a, (b) b
记 (x) (x) x 则有 (a) (b) 0
所以,存在x*,使得 (x*) 0
即 (x*) x * , x*即为不动点.
n
|
x0
x*
|
0
( 0<L<1 )
所以,
lim
k
xk
x* ，故迭代格式收敛
| xk x* || xk xk1 xk1 x* |
| xk xk1 | | xk1 x* |
| xk xk1 | L | xk x* |
(1 L) | xk x* || xk xk1 |
|
x*
xk
|
算法 2.1 (二分法求解非线性方程)
第一步:输入误差限0 ,1,计算 y1 f (a), y2 f (b);
第二步:计算
x0
1 2
(a
b),
y0
f ( x0 ),
若 y0
0,则输
出 x0 ,结束否则转第三步;
第 三 步 : 若 y0 y1 0, 则 令 b x0 , y2 y0 ; 否 则 a x0, y1 y0,转第四步;
此区间有唯一的根 x.
[a,b]称为有根区间.
二分算法
原理:
把区间[a,b]二等分,分点为 x0
1 (a 2
b),计算函
数值 f ( x0 ),则可能出现三种情况:
1 如果 f ( x0 ) 0，则 x0是 f ( x)在区间[a,b]的零点.
则
x a b 2
3
2 如果 f ( x0 ) f (a) 0,则 f ( x)在区间[a, x0 ]内有零点;
2. 利用迭代法计算满足一定精度的根的近似值.在隔 根区间找到一个(或者多个)出发值 x0,按某种方法产 生一个序列 x0 ,..., xn ,...此序列在某种条件下收敛于 方程的根 x.
2
2.1 二分法
设函数 f ( x)在区间[a,b]上连续,且 f (a) f (b) 0,根据 连续函数的性质知 f ( x) 0在[a,b]内有根.不妨设它在