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【精品】2020年湖北省武汉市江岸区九年级上学期数学期中试卷及解析

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2020学年九年级上期中数学试卷(含答案解析) 新教材 新大纲 练习 测试 模拟 复习 考试 期中 期末 中考.doc

2020学年九年级上期中数学试卷(含答案解析) 新教材 新大纲 练习 测试 模拟 复习 考试 期中 期末 中考.doc

2020学年湖北省黄石市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．a≠0B．a≠3C．a≠1且b≠﹣1D．a≠3且b≠﹣1且c≠03．如果将抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝x2+1D．y＝x2+3 4．若方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A．a是19的算术平方根B．b是19的平方根C．a﹣5是19的算术平方根D．b+5是19的平方根5．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一6．下面对于二次三项式﹣x2+4x﹣5的值的判断正确的是（）A．恒大于0B．恒小于0C．不小于0D．可能为07．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（）A．B．C．D．8．如图，△ABD是等边三角形，以AD为边向外作△ADE，使∠AED＝30°，且AE＝3，DE＝2，连接BE，则BE的长为（）A．4B．C．5D．9．抛物线y＝x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m为（）A．0B．1C．﹣1D．±110．如图1，在△ABC中，AB＝BC，AC＝m，D，E分别是AB，BC边的中点，点P为AC边上的一个动点，连接PD，PB，PE．设AP＝x，图1中某条线段长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是（）A．PD B．PB C．PE D．PC二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．函数y＝2（x+1）2+1，当x时，y随x的增大而减小．12．已知关于x的方程x2+3x+k2＝0的一个根是﹣1，则k＝．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为．14．一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，可列方程．15．如图，含有30°的直角三角板△ABC，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△AMN，使得点B落在BC边上的点M处，过点N的直线l∥BC，则∠1＝．16．已知四边形ABCD，∠ABC＝45°，∠C＝∠D＝90°，含30°角（∠P＝30°）的直角三角板PMN（如图）在图中平移，直角边MN⊥BC，顶点M、N分别在边AD、BC上，延长NM到点Q，使QM＝PB．若BC＝10，CD＝3，则当点M从点A平移到点D的过程中，点Q的运动路径长为．三、解答题（本大题共9小题，共72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列一元二次方程（1）x2﹣8x+1＝0；（2）2x2+1＝3x．18．（7分）元旦了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，求九（2）班有多少个同学？19．（7分）已知抛物线的顶点为（4，﹣8），并且经过点（6，﹣4），试确定此抛物线的解析式．并写出对称轴方程．20．（7分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，求线段OE的长．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．22．（8分）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．（1）三角尺旋转了多少度度；（2）连接CD，试判断△CBD的形状；．（3）求∠BDC的度数．度．23．（8分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y 箱．（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？24．（9分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段．（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB＝3，BD＝，求BC的长．25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．2018-2019学年湖北省黄石市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．【解答】解：A是中心对称图形；B既是轴对称图形又是中心对称图形；C是轴对称图形；D既不是轴对称图形又不是中心对称图形．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，牢记轴对称及中心对称图形的特点是解题的关键．2．要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．a≠0B．a≠3C．a≠1且b≠﹣1D．a≠3且b≠﹣1且c≠0【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．【解答】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a﹣3≠0，a≠3．故选B．【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a＝0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b＝0或c＝0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．3．如果将抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝x2+1D．y＝x2+3【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y＝x2+2﹣1，即y＝x2+1．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．4．若方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A．a是19的算术平方根B．b是19的平方根C．a﹣5是19的算术平方根D．b+5是19的平方根【分析】结合平方根和算术平方根的定义可做选择．【解答】解：∵方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b，∴a﹣5和b﹣5是19的两个平方根，且互为相反数，∵a＞b，∴a﹣5是19的算术平方根，故选：C．【点评】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟记定义是解答此题的关键．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为根号a．5．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2+4m＜0，解得m＜﹣1，然后根据一次函数的性质可得到一次函数y＝（m+1）x+m﹣1图象经过的象限．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，∴△＜0，∴△＝4﹣4（﹣m）＝4+4m＜0，∴m＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m﹣1＜﹣1﹣1，即m﹣1＜﹣2，∴一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第一象限，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．6．下面对于二次三项式﹣x2+4x﹣5的值的判断正确的是（）A．恒大于0B．恒小于0C．不小于0D．可能为0【分析】根据式子中含有x2和4x还有一个常数，因此我们易想到凑成完全平方公式，因此我们先提一个负号，凑成﹣[（x﹣2）2+1]，这时候我们就容易观察到中括号里面恒大于零，因此总体上就恒小于零．【解答】解：∵﹣x2+4x﹣5＝﹣（x2﹣4x+5）＝﹣[（x﹣2）2+1]＜0，∴原式恒小于0．故选：B．【点评】这道题比较灵活，需要分解常数来凑完全平方公式再去判断大小，同时我们需要在分解常数时候需要注意到前面的负号．7．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可知．【解答】解：∵a＞0，∴抛物线开口向上；∵b＜0，∴对称轴为x＝＞0，∴抛物线的对称轴位于y轴右侧；∵c＞0，∴与y轴的交点为在y轴的正半轴上．故选：A．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系．8．如图，△ABD是等边三角形，以AD为边向外作△ADE，使∠AED＝30°，且AE＝3，DE＝2，连接BE，则BE的长为（）A．4B．C．5D．【分析】如图，，作EF⊥AE，且EF＝DE，连接AF、DF；然后根据三角形全等的判定方法，判断出△ADF≌△BDE，所以BE＝AF；最后在直角三角形AEF中，根据勾股定理，求出AF的长度，即可求出BE的长为多少．【解答】解：如图，，作EF⊥AE，且EF＝DE，连接AF、DF，因为∠AEF＝90°，所以∠DEF＝90﹣30＝60°，DE＝EF，所以△DEF是等边三角形，所以∠EDF＝60°，∠ADF＝∠BDE，因为AD＝BD，DE＝EF，∠ADF＝∠BDE，所以△BDE≌△ADF，所以BE＝AF＝．故选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判断方法和性质，以及等边三角形的特征、勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：△BDE≌△ADF，进而判断出BE的长等于AF的长．9．抛物线y＝x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m为（）A．0B．1C．﹣1D．±1【分析】把原点坐标代入抛物线y＝x2﹣mx﹣m2+1，即可求出．【解答】解：根据题意得：﹣m2+1＝0，所以m＝±1．故选：D．【点评】此题考查了点与函数的关系，点在图象上，将点代入函数解析式即可求得．10．如图1，在△ABC中，AB＝BC，AC＝m，D，E分别是AB，BC边的中点，点P为AC边上的一个动点，连接PD，PB，PE．设AP＝x，图1中某条线段长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是（）A．PD B．PB C．PE D．PC【分析】观察图2，确定x为何值取得最小值即可一一判断．【解答】解：A错误，观察图2可知PD在x＝取得最小值．B、错误．观察图2可知PB在x＝取得最小值．C、正确．观察图2可知PE在x＝取得最小值．D、错误．观察图2可知PC在x＝m取得最小值为0．故选：C．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，灵活应用所学知识是解题的关键，学会利用函数的最值解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．函数y＝2（x+1）2+1，当x≤﹣1时，y随x的增大而减小．【分析】根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．【解答】解：∵函数的对称轴为x＝﹣1，又∵二次函数开口向上，∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，∵x≤﹣1时，y随x的增大而减小，故答案为：x≤﹣1．【点评】本题考查了二次函数的性质，能根据解析式推知函数图象是解题的关键，另外要能准确判断出函数的对称轴．12．已知关于x的方程x2+3x+k2＝0的一个根是﹣1，则k＝±．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把x＝﹣1代入原方程即可得k的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+k2＝0可得1﹣3+k2＝0，解得k2＝2，∴k＝±．故本题答案为k＝±．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．此题要注意，k2＝2，k＝±，漏掉一个k的值是易错点．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为45°．【分析】先根据OA＝OC，∠ACO＝45°可得出∠OAC＝45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接OA，如图，∵∠ACO＝45°，OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝45°，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝45°．故答案为：45°【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．14．一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，可列方程25（1﹣x）2＝16．【分析】由两次降价的百分率都为x结合原价及两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设两次降价的百分率都为x，根据题意，得25（1﹣x）2＝16．故答案为：25（1﹣x）2＝16．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．如图，含有30°的直角三角板△ABC，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△AMN，使得点B落在BC边上的点M处，过点N的直线l ∥BC，则∠1＝30°．【分析】首先根据直角的性质求出∠B＝60°，利用旋转的性质求出△ABM是等边三角形，进而求出∠NMC＝60°，再利用平行线的性质得到∠1+∠ANM＝∠NMC，结合∠ANM＝∠C＝30°，即可求出∠1的度数．【解答】解：∵△BAC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∵△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△AMN，∴AB＝AM，∴△ABM是等边三角形，∴∠AMB＝60°，∵∠AMN＝60°，∴∠CMN＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵l∥BC，∴∠1+∠ANM＝∠NMC，∵∠ANM＝∠C＝30°，∴∠1+30°＝60°，∴∠1＝30°．故答案为：30°【点评】本题主要考查了旋转的性质的知识，解答本题的关键是求出∠NMC＝60°，利用平行线的性质即可解题，此题难度不大．16．已知四边形ABCD，∠ABC＝45°，∠C＝∠D＝90°，含30°角（∠P＝30°）的直角三角板PMN（如图）在图中平移，直角边MN⊥BC，顶点M、N分别在边AD、BC上，延长NM到点Q，使QM＝PB．若BC＝10，CD＝3，则当点M从点A平移到点D的过程中，点Q的运动路径长为7．【分析】当点P与B重合时，AM＝AQ′＝3﹣3，DM＝DQ″＝10﹣3，易知点Q 的运动路径是Q′→M→Q″，△AMQ′，△MDQ″都是等腰直角三角形，由此即可解决问题．【解答】解：当点P与B重合时，AM＝AQ′＝3﹣3，DM＝DQ″＝10﹣3，易知点Q的运动路径是Q′→M→Q″，△AMQ′，△MDQ″都是等腰直角三角形，∵Q′M+MQ″＝（3﹣3）+（10﹣3）＝7∴点Q的运动路径长＝点P的运动路径长7，故答案为7．【点评】本题考查平移变换、运动轨迹、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共9小题，共72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列一元二次方程（1）x2﹣8x+1＝0；（2）2x2+1＝3x．【分析】（1）利用配方法得到（x﹣4）2＝15，然后利用直接开平方法解方程；（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x2﹣8x＝﹣1，x2﹣8x+16＝15，（x﹣4）2＝15，x﹣4＝±，所以x1＝4+，x2＝4﹣；（2）2x2﹣3x+1＝0，（2x﹣1）（x﹣1）＝0，2x﹣1＝0或x﹣1＝0，所以x1＝，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．18．（7分）元旦了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，求九（2）班有多少个同学？【分析】设九（2）班有x个同学，则每个同学交换出（x﹣1）件小礼物，根据全班交换小礼物共1560件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设九（2）班有x个同学，则每个同学交换出（x﹣1）件小礼物，根据题意得：x（x﹣1）＝1560，解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合题意，舍去）．答：九（2）班有40个同学．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19．（7分）已知抛物线的顶点为（4，﹣8），并且经过点（6，﹣4），试确定此抛物线的解析式．并写出对称轴方程．【分析】根据题意可以设出该抛物线的顶点式，然后根据该抛物线过点（6，﹣4），即可求得a的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线的顶点为（4，﹣8），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2﹣8，将点（6，﹣4）代入，得：4a﹣8＝﹣4，解得：a＝1，则此抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2﹣8＝x2﹣8x+8，其对称轴方程为x＝4．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，设出相应的函数解析式．20．（7分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，求线段OE的长．【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，又由直径的长求出半径OD的长，在直角三角形ODE中，由DE及OD的长，利用勾股定理即可求出OE的长．【解答】解：连接OD，如图所示：∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又CD＝16，∴CE＝DE＝CD＝8，又OD＝AB＝10，∵CD⊥AB，∴∠OED＝90°，在Rt△ODE中，DE＝8，OD＝10，根据勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，∴OE＝＝6，则OE的长度为6．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2＝21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2＝21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．22．（8分）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．（1）三角尺旋转了多少度150度；（2）连接CD，试判断△CBD的形状；等腰三角形．（3）求∠BDC的度数．15度．【分析】根据等腰三角形的定义判断．根据30°的直角三角形的性质及∠CBE＝180°，通过角的和差关系进行计算．【解答】解：（1）∵三角尺旋转的度数即为一条边旋转后与原边组成的角，∴三角尺的斜边AB旋转到EB后AB与BE所组成的角∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣30°＝150°．（2）∵图形旋转前后两图形全等，∴CB＝DB，故△CBD为等腰三角形．（3）∵三角形CBD中∠DBE为∠CBA旋转以后的角，∴∠DBE＝∠CBA＝30°，故∠DBC＝180°﹣∠DBE＝180°﹣30°＝150°，又∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝＝15°．【点评】此题根据等腰三角形的性质，即图形旋转后与原图形全等解答．23．（8分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y 箱．（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每月多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，求出最大值．【解答】解：（1）根据题意，得：y＝60+10x，由36﹣x≥24得x≤12，∴1≤x≤12，且x为整数；（2）设所获利润为W，则W＝（36﹣x﹣24）（10x+60）＝﹣10x2+60x+720＝﹣10（x﹣3）2+810，∵a＜0∴函数开口向下，有最大值，∴当x＝3时，W取得最大值，最大值为810，答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键．24．（9分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段AC．（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB＝3，BD＝，求BC的长．【分析】（1）根据题中给出的定义，由于∠DAB和∠DCB不是直角，因此AC就是损矩形的直径．（2）根据直角三角形斜边上中线的特点可知：此点应是AC的中点，那么可作AC的垂直平分线与AC的交点就是四边形外接圆的圆心．（3）本题可用面积法来求解，具体思路是用四边形ABCD面积的不同表示方法来求解，四边形ABCD的面积＝三角形ABD的面积+三角形BCD的面积＝三角形ABC的面积+三角形ADC的面积；三角形ABD的面积已知了AB的长，那么可过D作AB边的高，那么这个高就应该是BD•sin45°，以此可得出三角形ABD的面积；三角形BDC的面积也可用同样的方法求解，只不过AB的长，换成了BC；再看三角形ABC 的面积，已知了AB的长，可用含BC的式子表示出ABC的面积；而三角形ACD的面积，可用正方形面积的四分之一来表示；而正方形的边长可在直角三角形ABC中，用勾股定理求出．因此可得出关于BC的方程，求解即可得出BC的值．【解答】解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；（2）作图如图：∵点P 为AC 中点，∴PA ＝PC ＝AC ． ∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴BP ＝DP ＝AC ， ∴PA ＝PB ＝PC ＝PD ，∴点A 、B 、C 、D 在以P 为圆心， AC 为半径的同一个圆上；（3）∵菱形ACEF ，∴∠ADC ＝90°，AE ＝2AD ，CF ＝2CD ， ∴四边形ABCD 为损矩形，∴由（2）可知，点A 、B 、C 、D 在同一个圆上． ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，∴，∴AD ＝CD ，∴四边形ACEF 为正方形．∵BD 平分∠ABC ，BD ＝，∴点D 到AB 、BC 的距离h 为4，∴S △ABD ＝AB ×h ＝2AB ＝6，S △ABC ＝AB ×BC ＝BC ，S △BDC ＝BC ×h ＝2BC ，S △ACD ＝S 正方形ACEF ＝AC 2＝（BC 2+9）， ∵S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ＝S △ABD +S △BCD∴BC+（BC2+9）＝6+2BC∴BC＝5或BC＝﹣3（舍去），∴BC＝5．【点评】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，圆的内接四边形等知识点．（3）中如果无法直接求出线段的长，可通过特殊的三角形用面积法来求解．25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．【分析】（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b的值，即可得出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；（2）根据直角三角形的性质，推出AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，即AC2+BC2＝25＝AB2，即可确定△ABC是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC'＝2．连接C'D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2＝0，解得b＝∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．y＝x2﹣x﹣2＝（x2﹣3x﹣4 ）＝（x﹣）2﹣，∴顶点D的坐标为（，﹣）．（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B（4，0）∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′＝2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．∵ED∥y轴，∴∠OC′M＝∠EDM，∠C′OM＝∠DEM∴△C′OM∽△DEM．∴∴，∴m＝．解法二：设直线C′D的解析式为y＝kx+n，则，解得：．∴．∴当y＝0时，，．∴．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，作出辅助线，找对相似三角形．。

2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和32．平面直角坐标系内一点P（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（4，3）C．（﹣4，﹣3）D．（4，﹣3）3．二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，3）4．点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、以下列长度为半径画圆，能判断直线l与⊙P 相交的是（）A．1B．2C．3D．45．用配方法解一元二次方程x2+2x＝0，下列配方正确的是（）A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝1D．（x+1）2＝﹣1 6．已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，当a取下列值时，使方程无实数解的是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．17．如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点．若∠ADC＝α（α为锐角），则∠APB＝（）A．180°﹣αB．180°﹣2αC．75°+αD．3α8．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（）A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位9．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣110．如图，在⊙O中，直径AB＝，EF为弦，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，BD 交⊙O于点G．若BD＝2AC，CE＝EF，则CD＝（）A．B．C．6D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．一元二次方程ax2+2x＝0的一个根是1，则a＝．12．二次函数y＝2x2﹣2x的对称轴是．13．在⊙O中，圆心角∠AOB＝80°，点P是圆上不同于点A、B的点，则∠APB＝°．14．已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝．15．如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D 为半径OB上一动点．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形内部（不包括边界），则OD的取值范围为．16．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点的坐标为（b2﹣4ac，0），则a•b满足的条件是．三、解答题（共8题，共72分）17．解方程：x2﹣x﹣1＝0．18．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为．19．要在一幅长为20分米、宽8分米的画的外围配一个四条边宽度相等的画框，且画框的面积为画的面积的，求画框的宽度．20．利用所学的知识在下列网格中进行操作，要求：仅用无刻度的直尺、保留作图痕迹，如图点A、B、C在小正方形的顶点．（1）在图1中，作出△ABC的中线AD；确定一个格点P，使AP⊥AB；（2）在图2中，作出△ABC的高线CE．21．如图，在⊙O中，弦BC⊥OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，过点E 作⊙O的切线交BC于点H．（1）求证：EH＝FH；（2）若点C为的中点，AD＝2，OD＝1，求EH的长度．22．作为“第七届世界军人运动会”的举办地，“武汉每天不一样”，武汉越来越美，吸引大量游客来游玩．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置．宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用．根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调x元（x为10的正整数倍），设一天订住的房间数为y．（1）直接写出y与x的函数关系式：，自变量x的取值范围是；（2）若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？（3）房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？23．如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）（1）延长ED交CH于点F，求证FA平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明；（3）如图3，作▱ABGE，连结DG，点N为DG的中点，连结EN．若AC＝EN＝3，直接写出四边形ADGE的面积．24．已知抛物线C：y1＝﹣x2+bx+4．（1）如图，抛物线与x轴相交于两点（1﹣m，0）、（1+m，0）．①求b的值；②当n≤x≤n+1时，二次函数有最大值为3，求n的值．（2）已知直线l：y2＝2x﹣b+9，当x≥0时，y1≤y2恒成立，求b的取值范围．2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和3【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项是﹣2x，常数项是3，故选：C．2．平面直角坐标系内一点P（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（4，3）C．（﹣4，﹣3）D．（4，﹣3）【解答】解：∵点P（﹣4，3），∴关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3），故选：D．3．二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，3）【解答】解：二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．故选：B．4．点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、以下列长度为半径画圆，能判断直线l与⊙P 相交的是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵点P到圆心O的距离d为3，∴当d＜r时，直线l与⊙P相交，即r＞3故选：D．5．用配方法解一元二次方程x2+2x＝0，下列配方正确的是（）A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝1D．（x+1）2＝﹣1【解答】解：x2+2x＝0，x2+2x+1＝0+1，（x+1）2＝1，故选：C．6．已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，当a取下列值时，使方程无实数解的是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【解答】解：∵方程无实数解，∴△＝4+4a＜0，∴a＜﹣1，故选：A．7．如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点．若∠ADC＝α（α为锐角），则∠APB＝（）A．180°﹣αB．180°﹣2αC．75°+αD．3α【解答】解：连接BD，如图，∵点C为弧AB的中点，∴＝，∴∠BDC＝∠ADC＝α，∵∠APB+∠ADB＝180°，∴∠APB＝180°﹣2α．故选：B．8．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（）A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为（3，﹣2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），而点（3，﹣2）先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得点（0，0），抛物线y＝（x﹣3）2﹣2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得抛物线y＝x2．故选：D．9．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣1【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，而a、b、m、n为互不相等的实数，∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，∴ab＝mn﹣2，∴ab﹣mn＝﹣2．故选：C．10．如图，在⊙O中，直径AB＝，EF为弦，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，BD 交⊙O于点G．若BD＝2AC，CE＝EF，则CD＝（）A．B．C．6D．【解答】解：连接AG、OE，作OM⊥CD于M，交AG于N，则EM＝FM，∵AB是直径，∴∠AGD＝90°，∵AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，∴四边形ACDG是矩形，∴AC＝DG，AG＝CD，AG∥CD，∵OM⊥CD，∴OM⊥AG，∴AN＝GN，∵AC∥MO∥BD，∴CM＝DM，∴CE＝DF，∵CE＝EF，∴CE＝EF＝DF，∵OM∥BD，OA＝OB，∴ON＝BG，∴OM＝BG，∵AC＝DG，BD＝2AC，∴BG＝DG，设AC＝BG＝GD＝m，CE＝EF＝FD＝n，则AG＝CD＝3n，在Rt△ABG中，AG2+BG2＝AB2，在Rt△OME中，OM2+EM2＝OE2，∴解得n＝2，∴CD＝3n＝6，故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．一元二次方程ax2+2x＝0的一个根是1，则a＝﹣2．【解答】解：∵一元二次方程ax2+2x＝0的一个根为1，∴x＝1满足关于x的一元二次方程ax2+2x＝0，∴a+2＝0，解得，a＝﹣2；故答案是：﹣2．12．二次函数y＝2x2﹣2x的对称轴是直线x＝．【解答】解：根据题意得x＝﹣＝﹣＝．即对称轴是直线x＝，故答案为直线x＝．13．在⊙O中，圆心角∠AOB＝80°，点P是圆上不同于点A、B的点，则∠APB＝40或140°．【解答】解：如图，点P点在优弧AB上，则∠APB＝∠AOB＝×80°＝40°，点P点在劣弧AB上，则∠AP′B＝180°﹣40°＝140°，综上所述，∠APB的度数为40°或140°．故答案为40或140．14．已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝（x﹣1）（x+3）．【解答】解：∵y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+3），∴x2+mx+n＝（x﹣1）（x+3）．故答案为（x﹣1）（x+3）．15．如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D 为半径OB上一动点．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形内部（不包括边界），则OD的取值范围为﹣1＜OD＜．【解答】解：当点E落在半径OB上时，连接OC，如下图1所示，∵∠ADC＝90°，∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，点A（2，0），∴∠COD＝30°，OA＝OC＝2，∴CD＝OC•sin30°＝2×＝1，∴OD＝OC•cos30°＝2×＝，∴BD＝OB﹣OD＝2﹣，∵DE＝DB，∴OE＝OD﹣DE＝﹣（2﹣）＝2﹣2，当点E落在半径OA上时，连接OC，CD，如图2所示，由已知可得，CE＝CA＝CB，由上面的计算可知，OE＝2﹣2，∴点E的横坐标为：（2﹣2）×cos60°＝﹣1，点E的纵坐标为：（2﹣2）×sin60°＝3﹣，∴E（﹣1，3﹣），∴直线BE的解析式为y＝﹣x+2，∵CD⊥AE，C（，1），∴直线CD的解析式为y＝x+1﹣，令y＝0，解得x＝﹣1，∴D（﹣1），观察图形可知：OD的取值范围为﹣1＜OD＜．故答案为：﹣1＜OD＜．16．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点的坐标为（b2﹣4ac，0），则a•b满足的条件是ab＝0．【解答】解：因为二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点，所以△＝0，即b2﹣4ac＝0．因为二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点的坐标为（b2﹣4ac，0），所以此坐标为（0，0），所以抛物线经过原点，且对称轴为y轴，所以b＝0，因为a≠0，所以ab＝0．故答案为ab＝0．三、解答题（共8题，共72分）17．解方程：x2﹣x﹣1＝0．【解答】解：x2﹣x﹣1＝0，∴，．18．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为x．【解答】解：（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y1＝﹣x2+2…①；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2…②，联立①②并解得：x＝，从图象可以看出，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为：x＜；故答案为：x．19．要在一幅长为20分米、宽8分米的画的外围配一个四条边宽度相等的画框，且画框的面积为画的面积的，求画框的宽度．【解答】解：设画框的宽度为x分米，依题意，得：（20+2x）（8+2x）＝20×8×（1+），整理，得：x2+14x﹣15＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣15（不合题意，舍去）．答：画框的宽度为1分米．20．利用所学的知识在下列网格中进行操作，要求：仅用无刻度的直尺、保留作图痕迹，如图点A、B、C在小正方形的顶点．（1）在图1中，作出△ABC的中线AD；确定一个格点P，使AP⊥AB；（2）在图2中，作出△ABC的高线CE．【解答】解：（1）线段AD即为△ABC的中线；点P即为所求作的点；（2）线段CE即为所求．21．如图，在⊙O中，弦BC⊥OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，过点E 作⊙O的切线交BC于点H．（1）求证：EH＝FH；（2）若点C为的中点，AD＝2，OD＝1，求EH的长度．【解答】（1）证明：连结OE．∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，∵HE与⊙O相切于点E，∴OE⊥EH，∴∠OEA+∠AEH＝90°，在Rt△ADF中，∠A+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝∠AEH，又∵∠AFD＝∠HFE，∴∠HFE＝∠AEH，∴EH＝FH；（2）解：连结OC交AE于M，AC，∵点C为的中点，∴，∴∠AOC＝∠EOC，∴OC垂直平分EF于点M，∵OA⊥BC，∴，BD＝CD，∴，∴∠CAE＝∠BCA，∴AF＝CF，∵，∴DC＝BC＝AE＝AM，在Rt△ODC中，CD＝，设DF＝x，则AF＝﹣x，在Rt△ADF中，x2+22＝，解得：x＝，连接OH，设EH＝y，则OH2＝12+＝32+y2，解得：y＝∴EH＝．22．作为“第七届世界军人运动会”的举办地，“武汉每天不一样”，武汉越来越美，吸引大量游客来游玩．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置．宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用．根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调x元（x为10的正整数倍），设一天订住的房间数为y．（1）直接写出y与x的函数关系式：y＝40﹣，自变量x的取值范围是0＜x≤90且x为10的正整数倍；（2）若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？（3）房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？【解答】解：（1）y＝40﹣（0＜x≤90且x为10的正整数倍），故答案为：y＝40﹣；（2）设总利润为W元，则W＝（210+x﹣30）（40﹣）＝﹣（x+180）（x﹣400）﹣（x﹣110）2+8410＝7770，x1＝30，x2＝190＞90舍去∴x＝30∴房间的定价为210+30＝240元；（3）W＝﹣（x﹣110）2+8410 （）0＜x≤90且为10的正整数倍）∵﹣＜0，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴当x＝90时，W有最大值为8370元，∴当房价为300元时，宾馆有最大利润为8370元．23．如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）（1）延长ED交CH于点F，求证FA平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明；（3）如图3，作▱ABGE，连结DG，点N为DG的中点，连结EN．若AC＝EN＝3，直接写出四边形ADGE的面积．【解答】（1）证明：如图1中，∵△ADE由△ABC旋转得到．∴AC＝AD，∠ACF＝∠ADE＝∠ADF＝90°，∴FA平分∠CFE．（2）结论：2DM+AD＝DE．证明：如图2中，延长AD交BC于F，连CD．∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，AD＝CD＝AC，∵∠ACF＝90°，∴∠AFC＝30°，∴AC＝AF，∴AD＝DF，∴D为AF的中点，又∵M为AD的中点，∴DM＝FB，在Rt△AFC中，FC＝AC，∴DM＝FB＝（BC﹣CF）＝（BC﹣AC）＝（DE﹣AD）∴2DM+AD＝DE．（3）如图3中，连接CN，延长CN到M，使得NM＝CN，连接MG，ME，EC，延长CD交EG于J．∵DN＝GN，∠DNC＝∠MNG，NC＝NM，∴△NDC≌△NGM（SAS），∴GM＝CD，∠ADN＝∠MGN，∴CJ∥MG，∴∠CJG＝∠MGN，∵△ACD，△ABE都是等边三角形，∴∠ACD＝∠BAE＝60°，∵四边形AEGB是平行四边形，∴EG∥AB，∴∠AEG+∠EAB＝180°∴∠AEG＝120°，∴∠ACJ+∠AEJ＝180°，∴∠CAF+∠CJF＝180°，∵∠CJF+∠GJC＝180°，∴∠CAF＝∠GJC，∴∠CAF＝∠MGE，∵AE＝AB，∴四边形AEGB是菱形，∴AE＝GE，∴△CAE≌△MGE（SAS），∴EC＝EN，∠AEC＝∠CEM，∴∠CEM＝∠AEG＝120°∵CN＝NM，∴EN⊥CM，∴∠CEN＝∠MEN＝60°，∴CN＝EN＝3，MN＝2CN＝6∵S四边形ADGE＝S四边形AENC+S四边形EMGN﹣S△ACD﹣S△DNC﹣S△EMG＝S△AEC+S△ECM+S△MNG﹣S△ACD﹣S△DNC﹣S△EMG＝S△ECM﹣S△ACD＝×6×3﹣×32＝．24．已知抛物线C：y1＝﹣x2+bx+4．（1）如图，抛物线与x轴相交于两点（1﹣m，0）、（1+m，0）．①求b的值；②当n≤x≤n+1时，二次函数有最大值为3，求n的值．（2）已知直线l：y2＝2x﹣b+9，当x≥0时，y1≤y2恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）﹣x2+bx+4＝0x1+x2＝＝1﹣m+1+m＝2，b＝2；（2）抛物线开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小．i：n+1≤1即n≤0，当x＝n+1时，y有最大值，﹣（n+1）2+2（n+1）+4＝3，又∵n≤0，∴，ii：n≤1≤n+1即0≤n≤1，当x＝1时y有最大值，﹣12+2＜1+4＝3不成立，iii：n≥1时，当x＝n时，y有最大值，﹣n2+2n+4＝3，又∵n≥1，∴，综上所述：或；（3）y1≤y2，﹣x2+bx+4≤2x﹣b+9，x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0，①：△≤0，（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0，﹣4≤b≤4；②：△＞0则b＞4或b＜﹣4，i：，不成立，ii：，b≤2，又∵b＞4或b＜﹣4，∴b＜﹣4，综上所述b≤4．s。

【精品】2020年湖北省武汉市江汉区九年级上学期数学期中试卷及解析

【精品】2020年湖北省武汉市江汉区九年级上学期数学期中试卷及解析

2018学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列是几个汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．（3分）一元二次方程x（x﹣1）=0的根是（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或﹣13．（3分）下列右边的四个图形中，不能由图形M在同一平面内经过旋转得到的是（）A．①B．②C．③D．④4．（3分）如图，是一石拱桥的桥拱截面示意图，已知拱桥是一段优弧，桥拱顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A．8m B．4m C．6m D．3m5．（3分）对于函数y=﹣（x+1）2+2，下列说法正确的是（）A．函数的最小值为2 B．其图象与y轴的交点为（0，2）C．其图象顶点坐标为（1，2）D．其图象对称轴是直线x=﹣16．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=15°，连接OB，则∠OBC等于（）A．30°B．60°C．65°D．75°7．（3分）某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．1185x2=580 B．1185（1﹣x）2=580 C．1185（1﹣x2）=580 D．580（1+x）2=1185 8．（3分）方程2x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个正实数根D．有一个正实数根和一个负实数根9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，弦CE⊥BD于G，交AB于点F，下列结论不正确的是（）A．CH=DH B．AH=FH C．CD=CE D．CF=DE10．（3分）如图是函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象与x轴正半轴交于点（3，0），对称轴为直线x=1，则下列结论：①b2＞4ac；②当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0；③无论m为何实数，a+b≥m（ma+b）；④若t为方程ax2+bx+c+1=0的一个根，则﹣1＜t＜3，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是．12．（3分）若一元二次方程（m﹣1）x2+m2x﹣m=0有一根为1，则m=．13．（3分）若抛物线y=x2+3x﹣2与x轴两交点的坐标分别为（x1，0）、（x2，0），则x1+x2=．14．（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有人患有流感．15．（3分）△ABC内接于⊙O中，OD⊥BC于D，若∠OBD=15°，则∠A=．16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，AD是BC上的高，另有一Rt△DEF （其直角顶点在D点）绕D点旋转，在旋转过程中，DE，DF分别与边AB，AC交于M、N点，则线段MN的最小值为．三、解答题（共9小题，共72分）17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣1=0．18．（6分）二次函数的图象经过点（1，2）和（0，﹣1）且对称轴为x=2，求二次函数解析式．19．（6分）如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB的中点，求证：CD=CE．20．（7分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN最长可利用22m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．21．（7分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．①将△ABC关于x轴作轴对称变换得△A1B1C1，则点C1的坐标为；②将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得△A2B2C2，则点C2的坐标为；③△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，则对称中心的坐标为．22．（8分）如图，已知AE为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于H交⊙O于D．（I）求证：BAD=∠CAE；（2）若∠ACB=30°，CD=3，求⊙O的半径．23．（10分）某商家试销一种成本为50元/件的T恤，经试销发现：每周销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合一次函数关系，试销数据如下表：（1）求y与x的函数关系式；（2）若该商场前期投资2000元装修门面，则第一周扣除投资和成本后是盈利还是亏损，并求出最多盈利（或最少亏损）多少元？（3）若在第一周里，按盈利最大（或最少亏损）的销售单价进行销售后，在第二周物价部门进行了干预，规定试销期间单价不低于成本单价，获利又不得高于60%．则该商家经过这两周的营销，要在全部收回投资的基础上使利润达到975元，那么第二周应该确定销售单价为多少元？24．（10分）如图1，正方形ABCD中，点E是CD的延长线上一点，将△ADE沿AE对折至△AFE，FE的延长线与BC的延长线交于点G，连接AG．（1）求证：AG平分∠FAB；（2）如图2，GB的延长线交FA的延长线于点H，试探究线段DE、AH、BH三者之间的数量关系；（3）在（2）的条件填空：∠GAE=度；若DC=2DE，则=．25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折得到与原抛物线剩余的部分组成如图所示的图形，若直线y=kx+1与这个图形只有两个公共点，请求出此时k的取值范围．2018学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列是几个汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．2．（3分）一元二次方程x（x﹣1）=0的根是（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或﹣1【解答】解：x=0或x﹣1=0，所以x1=0，x2=1．故选：C．3．（3分）下列右边的四个图形中，不能由图形M在同一平面内经过旋转得到的是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①由M顺时针旋转90°得到，故①正确；②由M逆时针旋转90°得到，故②正确③由M逆时针旋转90°，在绕图形的右边向右旋转180°，故③正确；④由M平移得到，故④错误．故选：D．4．（3分）如图，是一石拱桥的桥拱截面示意图，已知拱桥是一段优弧，桥拱顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A．8m B．4m C．6m D．3m【解答】解：连接OA，∵CD=8m，OC=5m，∴OD=3m，∴AD==4m，由垂径定理得，AB=2AD=8m，故选：A．5．（3分）对于函数y=﹣（x+1）2+2，下列说法正确的是（）A．函数的最小值为2 B．其图象与y轴的交点为（0，2）C．其图象顶点坐标为（1，2）D．其图象对称轴是直线x=﹣1【解答】解：二次函数y=﹣（x+1）2+2的图象的开口向下，对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，2），函数有最大值2，其图象与y轴的交点为（0，1）．故选：D．6．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=15°，连接OB，则∠OBC等于（）A．30°B．60°C．65°D．75°【解答】解：∵连接OC，∵△ABC内接于⊙O，∠A=15°，∴∠BOC=2∠A=30°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB==75°．故选：D．7．（3分）某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．1185x2=580 B．1185（1﹣x）2=580 C．1185（1﹣x2）=580 D．580（1+x）2=1185【解答】解：依题意得：第一次降价的手机售价为：1185（1﹣x）元，则第二次降价的手机售价为：1185（1﹣x）（1﹣x）=1185（1﹣x）2=580；故选：B．8．（3分）方程2x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个正实数根D．有一个正实数根和一个负实数根【解答】解：∵a=2，b=﹣2，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）=12＞0，∴方程有两个不相等的实数根，且x=，一正一负．故选：D．9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，弦CE⊥BD于G，交AB于点F，下列结论不正确的是（）A．CH=DH B．AH=FH C．CD=CE D．CF=DE【解答】解：连接AC、AD，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴CH=DH，故A正确；∵CD⊥AB，CE⊥BD，∴∠FHC=∠FGB=90°，∵∠CFH=∠BFG，∴∠DCE=∠ABD，∵∠ACD=∠ABD，∴∠ACD=∠DCE，在△AHC和△FHC中，，∴△AHC≌△FHC（ASA），∴AH=FH，故B正确；∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴=，∴AC=AD，∵∠ACD=∠DCE，∴=∴AD=DE，∴AC=DE，∵△AHC≌△FHC，∴AC=CF，∴CF=DE，故D正确，无法求得CD=CE，根据排除法即可得知结论不正确的是C．故选：C．10．（3分）如图是函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象与x轴正半轴交于点（3，0），对称轴为直线x=1，则下列结论：①b2＞4ac；②当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0；③无论m为何实数，a+b≥m（ma+b）；④若t为方程ax2+bx+c+1=0的一个根，则﹣1＜t＜3，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，对称轴为x=1，与y轴交点在正半轴，与x轴有两个交点，∴a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，选项①正确；∵对称轴为x=1，图象与x轴的一个交点为（3，0），∴另一个交点是（﹣1，0），由图象可知当﹣1＜x＜3时，y＞0，∴ax2+bx+c＞0，选项②正确；∵当x=1时，函数有最大值，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥m（ma+b），故选项③正确；∵图象与x轴的一个交点为（3，0），（﹣1，0）若t为方程ax2+bx+c+1=0的一个根，则t为抛物线与直线y=﹣1的交点横坐标，由图象可知t＜﹣1或t＞3，故选项④错误，则正确的序号有①②③三个．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（﹣1，2）．【解答】解：∵点P（1，﹣2），∴关于原点的对称点的坐标是：（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）．12．（3分）若一元二次方程（m﹣1）x2+m2x﹣m=0有一根为1，则m=﹣1．【解答】解：把x=1代入（m﹣1）x2+m2x﹣m=0，得（m﹣1）×12+m2﹣m=0，解得m=±1．又∵m﹣1≠0，即m≠1．故m=﹣1．故答案是：﹣1．13．（3分）若抛物线y=x2+3x﹣2与x轴两交点的坐标分别为（x1，0）、（x2，0），则x1+x2=﹣3．【解答】解：∵抛物线y=x2+3x﹣2与x轴相交，∴x2+3x﹣2=0，由根与系数的关系，得：x1+x2=﹣=﹣3．故答案为：﹣3．14．（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有512人患有流感．【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，1+x+x（x+1）=64x=7或x=﹣9（舍去）．64+64×7=512（人）．经过第三轮后，共有512人患有流感．故答案为：512．15．（3分）△ABC内接于⊙O中，OD⊥BC于D，若∠OBD=15°，则∠A=75°或105°．【解答】解：如图1，圆心O在△ABC内，连接OB，OC，∴OB=OC，∵OD⊥BC于D，∴∠ODB=90°，∠BOC=2∠BOD，∵∠OBD=15°，∴∠BOD=75°，∴∠BOC=150°，∴∠A=BOC=75°；如图2，连接OB，OC，设E是圆上的一点，连接BE，CE，∴OB=OC，∵OD⊥BC于D，∴∠ODB=90°，∠BOC=2∠BOD，∵∠OBD=15°，∴∠BOD=75°，∴∠BOC=150°，∴∠E=BOC=75°；∴∠A=180°﹣∠E=105°，综上所述：∠A=75°或105°．故答案为：75°或105°．16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，AD是BC上的高，另有一Rt△DEF （其直角顶点在D点）绕D点旋转，在旋转过程中，DE，DF分别与边AB，AC交于M、N点，则线段MN的最小值为．【解答】解：∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∵AD是BC边上的高，∴∠DAC+∠C=90°∴∠B+∠DAC=90°，∴∠BDM+∠MDA=∠ADN+∠MDA=90°∴∠BDM=∠ADN，∴△BMD∽△AND，∴，∵，∴DM：DN=，∵△BMD∽△AND，∴∴，∴AN=BM∴，设BM为x，∴AN=，AM=6﹣x，∵∠BAC=90°，∴MN2=（6﹣x）2+（x）2=（）2+，故MN的最小值是，故答案为：．三、解答题（共9小题，共72分）17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣1=0．【解答】解：解法一：∵a=1，b=﹣2，c=﹣1∴b2﹣4ac=4﹣4×1×（﹣1）=8＞0∴∴，；解法二：（x﹣1）2=2∴∴，．18．（6分）二次函数的图象经过点（1，2）和（0，﹣1）且对称轴为x=2，求二次函数解析式．【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，二次函数的图象对称轴为x=2且图象过点（1，2），（0，﹣1），故可得：，解得：．即可得二次函数的解析式为：y=﹣x2+4x﹣1．19．（6分）如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB的中点，求证：CD=CE．【解答】证明：连接OC，∵在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，∴∠AOC=∠BOC，∵D、E分别是OA、OB的中点，OA=OB，∴OD=OE，在△COD和△COE中，，∴△COD≌△COE（SAS），∴CD=CE．20．（7分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN最长可利用22m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．【解答】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞22，故x1=10（不合题意舍去），当x=15时，BC=50﹣2×15=20（米）．答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．21．（7分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．①将△ABC关于x轴作轴对称变换得△A1B1C1，则点C1的坐标为（3，﹣1）；②将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得△A2B2C2，则点C2的坐标为（﹣1，3）；③△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，则对称中心的坐标为（，）．【解答】解：（1）点C1的坐标为（3，﹣1）；（2）点C2的坐标为（﹣1，3）；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心的坐标为．22．（8分）如图，已知AE为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于H交⊙O于D．（I）求证：BAD=∠CAE；（2）若∠ACB=30°，CD=3，求⊙O的半径．【解答】解：（1）连接DE，如图1．∵AE为⊙O的直径，AD⊥BC，∴∠ADE=∠AHC=90°．∴BC∥DE，∴∠BCD=∠CDE．∵∠BAD=∠BCD，∠CAE=∠CDE，∴∠BAD=∠CAE；（2）连接DO并延长，与⊙O相交于点F，连接FC，如图2．∵∠ACB=30°，∠AHC=90°，∴∠DAC=60°，∴∠DFC=∠DAC=60°．∵DF是⊙O的直径，∴∠DCF=90°，∴在Rt△DCF中，sin60°===，∴DF=2，∴⊙O的半径为．23．（10分）某商家试销一种成本为50元/件的T恤，经试销发现：每周销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合一次函数关系，试销数据如下表：（1）求y与x的函数关系式；（2）若该商场前期投资2000元装修门面，则第一周扣除投资和成本后是盈利还是亏损，并求出最多盈利（或最少亏损）多少元？（3）若在第一周里，按盈利最大（或最少亏损）的销售单价进行销售后，在第二周物价部门进行了干预，规定试销期间单价不低于成本单价，获利又不得高于60%．则该商家经过这两周的营销，要在全部收回投资的基础上使利润达到975元，那么第二周应该确定销售单价为多少元？【解答】解：（1）设y与x的函数关系式是：y=kx+b，，解得k=﹣1，b=130．即y与x的函数关系式是：y=﹣x+130；（2）由题意可得，第一周的盈利为：（x﹣50）（﹣x+130）﹣2000=﹣x2+180x﹣8500=﹣（x﹣90）2﹣400，则x=90时，第一周的盈利达到最大﹣400元，即第一周扣除投资和成本后亏损，并求出最少亏损400元；（3）由题意可得，，解得x=75．即第二周应该确定销售单价为75元．24．（10分）如图1，正方形ABCD中，点E是CD的延长线上一点，将△ADE沿AE对折至△AFE，FE的延长线与BC的延长线交于点G，连接AG．（1）求证：AG平分∠FAB；（2）如图2，GB的延长线交FA的延长线于点H，试探究线段DE、AH、BH三者之间的数量关系；（3）在（2）的条件填空：∠GAE=45°度；若DC=2DE，则=．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠B=∠ADC=∠ADE=90°，∵△AEF是由△AED翻折得到，∴AF=AD，∠F=∠ADE=90°，∴AF⊥CF，AB⊥BG，AF=AB，（2）如图2中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，∵∠ADE=∠ABM=90°，∴点M在线段BC上，DE=BM，∵∠EAM=90°，∴∠EAF+∠HAM=90°，∵∠EAD+∠DAM=90°，∴∠HAM=∠DAM，∵AD∥BC，∴∠DAM=∠AMH，∴∠HAM=∠AMH，∴AH=HM=BH+BM=BH+DE．（3）①如图2中，在△AGF和△AGB中，，∴△AGF≌△AGB，∴GF=GB，∵EF=ED=BM，∴GE=GM，在△AGE和△AGM中，，∴△AGE≌△AGM，∴∠GAE=∠GAM=45°②设正方形ABCD边长为2a，则CE=3a，BM=DE=a，AM==a，设AH=HM=x，在RT△AHB中，∵AH2=AB2+HB2，∴x2=4a2+（x﹣a）2，∴x=a，∴BH=a，∵∠HAB+∠FAB=180°，∠FAB+∠EGC=180°，∵∠ABH=∠ECG=90°，∴△ABH∽△GCE，∴=，∴=，∴CG=4a，∴==．故答案分别为45°，．25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折得到与原抛物线剩余的部分组成如图所示的图形，若直线y=kx+1与这个图形只有两个公共点，请求出此时k的取值范围．【解答】解：（1）当k=1时，抛物线的解析式为y=x2﹣1，直线的解析式为y=x+1，联立直线与抛物线，得：，解得x1=﹣1，x2=2，当x=﹣1时，y﹣x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3）；（2）设P（x，x2﹣1）如下图，过点P作PF∥y轴，交直线AB于F，则F（x，x+1），PF=y F﹣y P=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2，S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（x F﹣x A）+PF（x B﹣x F）PF，S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+∵当x=时，y P=（）2﹣1=﹣，∴△ABP面积的最大值为，此时点P的坐标（，﹣）；（3）如下图：令二次函数y=0，x2+（k﹣1）x﹣k=0，即：（x+k）（x﹣1）=0，x=﹣k，或x=1，C（﹣k，0），D（1，0），直线y=kx+1过（0，1），将抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k关于x轴对称，得：y=﹣x2﹣（k﹣1）x+k联立直线y=kx+1，得：x2+（2k﹣1）x+1﹣k=0△=（2k﹣1）2﹣4（1﹣k）=0得：k=或k=﹣（舍弃），∵k＞0，∴0＜k＜，∵直线y=kx+1经过点C（﹣k，0）时，k=1，∴由图象可知，0＜k＜或k＞1时，直线y=kx+1与这个图形只有两个公共点．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2021-2022学年湖北省武汉市江岸区部分学校九年级(上)期中数学试卷(解析版)

2021-2022学年湖北省武汉市江岸区部分学校九年级(上)期中数学试卷(解析版)

2021-2022学年湖北省武汉市江岸区部分学校九年级第一学期期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共10小题）.1．将一元二次方程x2﹣1＝﹣5x化为一般形式后，常数项为﹣1，二次项系数和一次项系数分别为（）A．1，5B．1，﹣5C．1，1D．﹣1，12．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2＝﹣9B．（x+4）2＝﹣7C．（x+4）2＝25D．（x+4）2＝7 3．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（）A．B．C．D．4．方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（）A．﹣6B．6C．﹣3D．35．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，OE＝12，AB＝10，那么直径CD的长为（）A．12.5B．13C．25D．266．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．3（1+x）＝10B．3（1+x）2＝10C．3+3（1+x）2＝10D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝107．已知点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）都在函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y28．如图，在边长为12的等边△ABC中，D为边BC上一点，BD＝8，点E是AC上一动点，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF．当点F恰好落在边AB上时，则△AEF的面积是（）A．4B．4C．8D．89．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．若＝1，则m 的值为（）A．3B．﹣1C．3或﹣1D．10．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF 取最小值时，线段EG的长为（）A．8B．7C．9D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上。

2020-2021学年湖北省武汉市江岸区九年级(上)期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年湖北省武汉市江岸区九年级(上)期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年湖北省武汉市江岸区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．3，﹣6，1B．3，6，1C．3，1，﹣6D．3，1，62．在以下绿色食品、可回收物、响应环保、节水四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）4．关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．2B．﹣2C．5D．﹣55．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所的图象的解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x+1）2﹣36．《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（）A．13寸B．26寸C．18寸D．24寸7．“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．2017年双十一淘宝销售额达到1682亿元．2019年双十一淘宝交易额达2684亿元，设2017年到2019年淘宝双十一销售额年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1682（1+x）＝2684B．1682（1+2x）＝2684C．1682（1+x）2＝2684D．1682（1+x）+1682（1+x）2＝26848．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）A．50°B．70°C．110°D．120°9．若无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，则m的值为（）A．0B．C．D．110．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴是直线x＝2，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，（）A．若x1﹣x2＜0，则x1+x2﹣4＜0B．若x1﹣x2＜0，则x1+x2﹣4＞0C．若x1﹣x2＞0，则a（x1+x2﹣4）＞0D．若x1﹣x2＞0，则a（x1+x2﹣4）＜0二、填空题（共6小题）.11．点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是．12．关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于．14．如图，把小圆形场地的半径增加6m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为m．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）上有五点（﹣1，p）、（0，t）、（1，n）、（2，t）、（3，0）：有下列结论：①b＞0；②关于x的方程x2+bx+c ＝0的两个根是﹣1和3；③p+2t＜0；④m（am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确的结论（填序号即可）．16．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD所成的锐角为60°，AC+BD＝10，则四边形ABCD的面积最大值为．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：x2+x﹣6＝0．18．（8分）10月11日，2020中国女超联赛在昆明海埂基地落幕，最终武汉车都江大队夺得冠军．本赛季共有x支球队参加了第一阶段的比赛，每两队之间进行一场比赛，第一阶段共进行了45场比赛，求x的值．19．（8分）已知，如图，AD＝BC．求证：AB＝CD．20．（8分）如图，已知A，B，C均在⊙O上，请用无刻度的直尺作图．（1）如图1，若点D是AC的中点，试画出∠B的平分线；（2）若∠A＝42°，点D在弦BC上，在图2中画出一个含48°角的直角三角形．21．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3．（1）若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为（直接写出结果）；（2）若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为（直接写出结果）；（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．22．（10分）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表：第x天售价（元/件）日销售量（件）1≤x≤30x+60300﹣10x已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元，请直接写出结果．23．（10分）【问题背景】如图1，P是正三角形ABC外一点，∠APB＝30°，则PA2+PB2＝PC2．小明为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小明完成他的作图；【迁移应用】如图2，在等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，使得∠BPC＝45°，若S△PAC＝4.5，求PC；【拓展创新】如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在四边形ABCD内部，且DE ＝EC，∠DEC＝90°，∠AEB＝135°，AD＝3，BC＝4，直接写出AB的长．24．（12分）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点为（0，0）．（1）求b，c的值；（2）如图1，若a＝1，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线PN⊥x轴交x轴于点N，交直线：y＝x+2于M点，设P点的横坐标为m，当2PM＝PN时，求m的值；（3）如图2，点P（0，y0）为y轴正半轴上一定点，点A，B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若∠APO＝∠BPy，求证：直线AB经过一个定点．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．3，﹣6，1B．3，6，1C．3，1，﹣6D．3，1，6【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．解：方程整理得：3x2﹣6x+1＝0，二次项系数为3；一次项系数为﹣6，常数项为1，故选：A．2．在以下绿色食品、可回收物、响应环保、节水四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念解答即可．解：A、不是中心对称图形．故本选项不合题意；B、不是中心对称图形．故本选项不合题意；C、是中心对称图形．故本选项符合题意；D、不是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：C．3．抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）【分析】根据二次函数的性质即可求解．解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），∴抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），故选：D．4．关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．2B．﹣2C．5D．﹣5【分析】设方程的另一个根为a，由根与系数的关系即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．解：设方程的另一个根为a，根据题意得：﹣1+a＝4，解得：a＝5．故选：C．5．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所的图象的解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x+1）2﹣3【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得图象的函数表达式是y＝（x﹣1）2+3，故选：A．6．《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（）A．13寸B．26寸C．18寸D．24寸【分析】根据垂径定理得出AE的长，再利用勾股定理求解．解：连接OA，AB⊥CD，由垂径定理知，点E是AB的中点，AE＝AB＝5，OE＝OC﹣CE＝OA﹣CE，设半径为r寸，由勾股定理得，OA2＝AE2+OE2＝AE2+（OA﹣CE）2，即r2＝52+（r﹣1）2，解得：r＝13，所以CD＝2r＝26，即圆的直径为26寸．故选：B．7．“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．2017年双十一淘宝销售额达到1682亿元．2019年双十一淘宝交易额达2684亿元，设2017年到2019年淘宝双十一销售额年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1682（1+x）＝2684B．1682（1+2x）＝2684C．1682（1+x）2＝2684D．1682（1+x）+1682（1+x）2＝2684【分析】是关于增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设从2017年到2019年年平均增长率为x，根据已知可以得出方程．解：如果设从2017年到2019年年平均增长率为x，那么根据题意得今年为1682（1+x）2，列出方程为：1682（1+x）2＝2684．故选：C．8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）A．50°B．70°C．110°D．120°【分析】根据旋转可得∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，得∠BAA′＝70°，根据∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′，进而可得∠CAA'的度数．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，∴∠BAA′＝∠BA′A＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°．故选：D．9．若无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，则m的值为（）A．0B．C．D．1【分析】先利用多项式乘多项式的法则展开，再根据代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值为非负数时△≤0以及平方的非负性即可求解．解：（x+1﹣3m）（x﹣m）＝x2+（1﹣4m）x+3m2﹣m，∵无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，∴△＝（1﹣4m）2﹣4（3m2﹣m）＝（1﹣2m）2≤0，又∵（1﹣2m）2≥0，∴1﹣2m＝0，∴m＝．故选：B．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴是直线x＝2，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，（）A．若x1﹣x2＜0，则x1+x2﹣4＜0B．若x1﹣x2＜0，则x1+x2﹣4＞0C．若x1﹣x2＞0，则a（x1+x2﹣4）＞0D．若x1﹣x2＞0，则a（x1+x2﹣4）＜0【分析】根据二次函数的性质和二次函数的图象及二次函数上点的坐标特征即可求解．解：∵直线x＝2是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，∴x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax+c，∵点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，∴y1＝ax12﹣24x1+c，y2＝ax22﹣4ax2+c，当x1＜x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0，∴ax12﹣4ax1+c﹣（ax22﹣4ax2+c）＜0，整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＜0，∵x1﹣x2＜0，∴a（x1+x2﹣4）＞0，故A，B不符合题意；当x1＞x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0，∴ax12﹣4ax1+c﹣（ax22﹣4ax2+c）＜0，整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＜0，∵x1﹣x2＞0，∴a（x1+x2﹣4）＜0，故C不符合题意，D符合题意；故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4）．【分析】根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可得出结论．解：M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4），故答案为：（﹣1，4）．12．关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是1．【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴22﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于80°．【分析】先根据补角的性质求出∠ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理即可得出∠AOC的度数．解：∵∠CBE＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣40°＝140°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣140°＝40°，∴∠AOC＝2∠D＝2×40°＝80°．故答案为：80°．14．如图，把小圆形场地的半径增加6m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为6+6m．【分析】设出小圆形的半径为rcm，表示出大圆形的半径，进而表示出大小圆的面积，由两个圆形面积之间的关系列方程求解即可．解：设小圆形场地的半径为rcm，则大圆形场地的半径为（r+6）cm，由题意得，π×（r+6）2＝π×r2×2，解得r1＝6+6，r2＝6﹣6＜0（舍去），故答案为：6+6．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）上有五点（﹣1，p）、（0，t）、（1，n）、（2，t）、（3，0）：有下列结论：①b＞0；②关于x的方程x2+bx+c ＝0的两个根是﹣1和3；③p+2t＜0；④m（am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确的结论①②④（填序号即可）．【分析】由抛物线的对称性可求对称轴为：x＝＝1，可得p＝0，即x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，可判断②；当x＝0，y＝c＝t＞0，可得p+2t＝0+2t＞0，可判断③；由抛物线中在对称轴的右边，y随x的增大而减小，可得的a＜0，由对称轴x＝1可得b＝﹣2a＞0，可判断①；由x＝3，y＝0，可得c＝﹣3a，由顶点坐标为（1，n），a＜0，可得am2+bm+c≤a+b+c，可得am2+bm≤﹣4a﹣c，可判断④，即可求解．解：∵当x＝0和x＝2时，y＝t，∴对称轴为：x＝＝1，∴当x＝3和x＝﹣1时，y的值相等，∴p＝0，∴x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，故②正确；∵当x＝0时，y＝t，且c＞0，∴t＝c＞0，∴p+2t＝0+2t＞0，故③错误；∵x＝2，y＝t＞0，x＝3，y＝0，∴在对称轴的右边，y随x的增大而减小，∴a＜0，∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，故①正确；∵当x＝3时，y＝0，∴9a+3b+c＝0，∴3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴﹣4a﹣c＝﹣4a+3a＝﹣a，∵顶点坐标为（1，n），a＜0，∴am2+bm+c≤a+b+c，∴am2+bm≤a+b，∴am2+bm≤﹣a，∴am2+bm≤﹣4a﹣c，故④正确，故答案为①②④．16．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD所成的锐角为60°，AC+BD＝10，则四边形ABCD的面积最大值为．【分析】根据四边形面积公式，S＝AC×BD×sin60°，根据sin60°＝得出S＝x （10﹣x）×，再利用二次函数最值求出即可．解：∵AC与BD所成的锐角为60°，∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD的面积S＝AC×BD×sin60°，设AC＝x，则BD＝10﹣x，所以S＝x（10﹣x）×＝﹣（x﹣5）2+，所以当x＝5，S有最大值．故答案为：．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：x2+x﹣6＝0．【分析】首先把方程左边进行因式分解得到（x+3）（x﹣2）＝0，然后解两个一元一次方程即可．解：∵x2+x﹣6＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3或x2＝2．18．（8分）10月11日，2020中国女超联赛在昆明海埂基地落幕，最终武汉车都江大队夺得冠军．本赛季共有x支球队参加了第一阶段的比赛，每两队之间进行一场比赛，第一阶段共进行了45场比赛，求x的值．【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）＝45，解方程即可得到结论．解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣1），∴共比赛了45场，∴x（x﹣1）＝45，解得：x1＝10，x2＝﹣9，∵x＞0，∴x＝10，答：x的值为10．19．（8分）已知，如图，AD＝BC．求证：AB＝CD．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到，则，所以AB＝CD．【解答】证明：∵AD＝BC，∴，∴，即，∴AB＝CD．20．（8分）如图，已知A，B，C均在⊙O上，请用无刻度的直尺作图．（1）如图1，若点D是AC的中点，试画出∠B的平分线；（2）若∠A＝42°，点D在弦BC上，在图2中画出一个含48°角的直角三角形．【分析】（1）连接OD并延长交⊙O于E，则利用垂径定理得到OD⊥AC，则＝，然后利用圆周角定理可判断∠ABE＝∠CBE；（2）延长AD交⊙O于M，作直径BN，连接MN，利用圆周角定理得到∠N＝∠A＝42°，∠BMN＝90°，则可计算出∠MBN＝48°．解：（1）如图1，BE为所作；（2）如图2，△BMN为所作．21．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3．（1）若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为﹣24≤y≤1（直接写出结果）；（2）若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为﹣1≤x≤0或4≤x≤5（直接写出结果）；（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．【分析】（1）化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求得；（2）求得y＝﹣8和y＝﹣3时x的值，然后根据二次函数的性质即可求得；（3）利用二次函数的性质，通过比较函数值的大小得到对应的m的范围．解：（1）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴对称轴为直线x＝2，有最大值1，当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3﹣2）2+1＝﹣24，∴若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为﹣24≤y≤1，故答案为﹣24≤y≤1；（2）把y＝﹣8代入y＝﹣x2+4x﹣3得，﹣8＝﹣x2+4x﹣3，解得x1＝5，x2＝﹣1，把y＝﹣3代入y＝﹣x2+4x﹣3得，﹣3＝﹣x2+4x﹣3，解得x3＝0，x4＝4，∴若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为﹣1≤x≤0或4≤x≤5，故答案为﹣1≤x≤0或4≤x≤5；（3）∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，∴y1＝﹣m2+4m﹣3，y2＝﹣（m+1）2+4（m+1）﹣3＝﹣m2+2m，∴y2﹣y1＝3﹣2m，令y2﹣y1＞0，即y2＞y1，此时m ＜，令y2﹣y1＝0，即y2＝y1，此时m ＝，令y2﹣y1＜0，即y2＜y1，此时m ＞，综上，m ＜，y2＞y1；m ＝，y2＝y1；m ＞，y2＜y1．22．（10分）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表：第x天售价（元/件）日销售量（件）1≤x≤30x+60300﹣10x已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元，请直接写出结果．【分析】（1）根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解；（2）由y＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，即可求解；（3）令y＝﹣10x2+100x+6000＝5400，解得x＝﹣4或x＝14，即可求解．解：（1）由题意得：y＝（x+60﹣40）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000；（2）y＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，∵﹣10＜0，故抛物线开口向下，当x＝5（天）时，y取得最大值为6250（元）．∴销售该商品第5天时，日销售利润最大，最大日销售利润6250元；（3）令y＝﹣10x2+100x+6000＝5440，解得x＝﹣4或x＝14，故当月有14天的日销售利润不低于5440元．23．（10分）【问题背景】如图1，P是正三角形ABC外一点，∠APB＝30°，则PA2+PB2＝PC2．小明为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小明完成他的作图；【迁移应用】如图2，在等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，使得∠BPC＝45°，若S△PAC＝4.5，求PC；【拓展创新】如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在四边形ABCD内部，且DE ＝EC，∠DEC＝90°，∠AEB＝135°，AD＝3，BC＝4，直接写出AB的长．【分析】【问题背景】按题意画出图形即可；【迁移应用】作线段BM垂直于BP交PC的延长线于点M，连接AM，证得∠PBC＝∠ABM，证明△PBC≌△MBA（SAS），得出∠AMP＝90°，由三角形的面积可求出答案；【拓展创新】将△AED绕点E顺时针旋转90°至△FEC，连接BF，证得∠FCE＝90°，由勾股定理求出FB＝5，证明△ABE≌△FBE（SAS），由全等三角形的性质得出AB＝FB＝5．解：【问题背景】如图1．【迁移应用】如图2，作线段BM垂直于BP交PC的延长线于点M，连接AM，∵∠BPM＝45°，∠PBM＝90°，∴△BPD为等腰直角三角形，∴BP＝BM，∵∠ABM+∠MBC＝∠ABC＝90°，∠PBM＝∠PBC+∠MBC＝90°，∴∠PBC＝∠ABM，在△PBC和△MBA中，，∴△PBC≌△MBA（SAS），∴∠AMP＝90°，∴＝4.5，∴PC＝3．【拓展创新】如图3，将△AED绕点E顺时针旋转90°至△FEC，连接BF，则AD＝CF＝3，AE＝EF，∠ADE＝∠FCE，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∵AD∥BC，∴∠ADE+∠EDC+∠ECD+∠ECB＝180°，∵ED＝EC，∠CED＝90°，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠ADE+∠ECB＝90°，∴∠FCE+∠ECB＝90°，即∠FCB＝90°，∴FB＝＝＝5，∵∠AEB＝135°，∠AEF＝90°，∴∠FEB＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠AEB＝∠FEB，在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AB＝FB＝5．24．（12分）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点为（0，0）．（1）求b，c的值；（2）如图1，若a＝1，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线PN⊥x轴交x轴于点N，交直线：y＝x+2于M点，设P点的横坐标为m，当2PM＝PN时，求m的值；（3）如图2，点P（0，y0）为y轴正半轴上一定点，点A，B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若∠APO＝∠BPy，求证：直线AB经过一个定点．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k＝ax2，即可求解；（2）PM＝PN，则|m+2﹣m2|＝m2，即可求解；（3）抛物线关于y轴对称，故点M在抛物线上，连接MP，∠MPO＝∠OPA＝∠BPy，故M、P、B三点共线，进而求解．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k＝ax2①，故b＝0，c＝0；（2）a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2，设点P的坐标为P（m，m2），则点M（m，m+2），∵2PM＝PN，则|m+2﹣m2|＝m2，解得m＝（舍去）或或或﹣1（舍去），故m＝或；（3）作点A关于y轴的对称轴M，∵抛物线关于y轴对称，故点M在抛物线上，连接MP，∵∠MPO＝∠OPA＝∠BPy，故M、P、B三点共线，设点A（p，ap2），则点M（﹣p，ap2），设直线PM的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线PM的表达式为y＝+y0②，联立①②并整理得：ax2+x﹣y0＝0，则x B+x M＝﹣，即x B﹣p＝﹣，则x B＝，将xB的值代入y＝ax2得，y＝，故点B的坐标为（，），由点B、A的坐标得，直线AB的表达式为y＝x﹣y0，当x＝0时，y＝﹣y0，故直线AB恒过点（0，﹣y0）．。

2023-2024学年湖北省武汉市江汉区九年级上学期数学期中试题及答案

2023-2024学年湖北省武汉市江汉区九年级上学期数学期中试题及答案

2023-2024学年湖北省武汉市江汉区九年级上学期数学期中试题及答案第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．1. 下列运动项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据“根据沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的平面图形叫做轴对称图形；绕某一点旋转180︒，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形”进行判断即可．【详解】解：A. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B ．2. 在一元二次方程252x x -=中，二次项系数为1时，常数项是（ ）A. 5- B. 5 C. 2 D. 2-【答案】D【解析】【分析】把一元二次方程化为一般形式()200ax bx c a ++=≠，即可得到答案．【详解】解：一元二次方程252x x -=化为一般形式为2520x x --=，则二次项系数为1，一次项系数为5-，常数项为2-，故选：D3. 一元二次方程2340x x --=的根的情况是（ ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根【答案】B【解析】【分析】利用判别式计算解答【详解】解：∵1,3,4a b c ==-=-，∴()()2243414250b ac ∆=-=--⨯⨯-=>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键．4. 如图，AB 是O 的直径，D ，C 是O 上的点，115ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数是（ ）A. 25︒B. 30︒C. 35︒D. 40︒【答案】A【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．【详解】解：∵115ADC ∠=︒，∴65B ∠=︒，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴180906525BAC ∠=︒-︒-︒︒=，故选：A ．【点睛】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关键．5. 若抛物线22y x x m =-++的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1-【答案】D【解析】【分析】先把抛物线转化为顶点式求得顶点坐标为()1,1m +，根据坐标轴上点的特征可得10m +=，再解方程即可．本题主要考查二次函数的顶点式以及二次函数的性质，掌握配方法，把二次函数化为顶点式是关键．详解】解：∵()222=11y x x m x m =-++--++，∴抛物线的顶点坐标为()1,1m +，∵顶点在x 轴上，∴10m +=，∴1m =-，故选：D ．6. 把抛物线22()1y x =-+先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的图像解析式是（ ）A. 2(5)1y x =--B. 2(1)1y x =+-【C. 2(1)3y x =++ D. 2(1)3y x =-+【答案】B【解析】【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】解：原抛物线的顶点为（2，1），向左平移3个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，-1）；可得新抛物线的解析式为2(1)1y x =+-，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．7. 如图，在ABC 中，48ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''△，若B 点的对应点B '恰好落在BC 边上，则CAC '∠的度数是（ ）A. 24︒B. 54︒C. 72︒D. 84︒【答案】D【解析】【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质；根据旋转的性质可得：BAB CAC ''∠=∠，AB AB '=，从而利用等腰三角形的性质可得48ABC AB B '∠=∠=︒，然后利用三角形内角和定理可得84BAB ¢Ð=°，即可解答．【详解】由旋转得：BAB CAC ''∠=∠，AB AB '=，∴48ABC AB B '∠=∠=︒，∴18084BAB B AB B ''=︒--=︒∠∠∠，∴84CAC BAB ''∠=∠=︒，故选：D ．8. 抛物线223y x x -=--的对称轴是直线（ ）A. 1x = B. =1x - C. 2x = D. 2x =-【答案】B【解析】【分析】根据“二次函数的对称轴公式为2b x a =-”进行求解即可．【详解】解：∵1a =-，2b =-， ∴对称轴为直线()21221b x a -=-=-=-⨯-，故选：B ．9. 如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BC CD =，将ABC 绕点C 旋转至EDC △，则下列说法不正确的是（ ）A. AC 平分BAD∠B. 点A ，D ，E 在同一条直线上C. 若60BAD ∠=︒，则AB AD +=D. 若AD AB CD -=，则120ABC ∠=︒【答案】C【解析】【分析】根据圆周角、弦、弧之间的关系即可判断选项A 选项；根据旋转的性质和圆内接四边形的性质即可判断B 选项；先求出1302BAC CAD BAD ∠∠=∠==︒，由旋转可知，30E BAC ∠=∠=︒，进一步得到AE AD DE AB AD =+=+，AC CE =，作CH AE ⊥于点H ，则90AHC CHE ∠=∠=︒，则,AH AC EH ==，进一步得到AE =，则AB AD +=，即可判断C 选项；在AD 截取AM AB =，连接CM ，证明CMD △是等边三角形，得到60CDM ∠=︒，由四边形ABCD 是O 的内接四边形即可得120ABC ∠=︒，即可判断D 选项．【详解】解：A ．∵BC CD =，∴ BCCD =，∴BAC CAD ∠=∠，∴AC 平分BAD ∠，故选项正确，不符合题意；B ． ∵将ABC 绕点C 旋转至EDC △，∴ABC EDC ∠=∠，∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180EDC ADC ∠+∠=︒，∴点A ，D ，E 在同一条直线上；故选项正确，不符合题意；C ．∵BC CD =，∴ BCCD =，∴BAC CAD ∠=∠，∵60BAD ∠=︒，∴1302BAC CAD BAD ∠∠=∠==︒，由旋转可知，30E BAC ∠=∠=︒，∴30CAE E ∠=∠=︒，DE AB =，∴AE AD DE AB AD =+=+，AC CE =，作CH AE ⊥于点H ，则90AHC CHE ∠=∠=︒，∴,AH AC EH ==，∴AE AH EH AC AC AC =+=+==，∴AB AD +=，故选项错误，符合题意；D ．在AD 截取AM AB =，连接CM ，∵BC CD =，∴ BCCD =，∴BAC CAD ∠=∠，∵AC AC =，∴()SAS BAC CAM ≌，∴CM BC =，∴CM CD =，∵AD AB CD -=，∴AD AM CD -=，∵AD AM MD -=，∴MD CD =，∴CM CD MD ==，∴CMD △是等边三角形，∴60CDM ∠=︒，∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180120ABC CDM ∠=︒-∠=︒,故选项正确，故选：C【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30︒角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质和添加适当的辅助线是解答此题的关键．10. 已知实数m ，n 满足()()2245265m m n n ++-+=，则23m n +的值是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1-【答案】D【解析】【详解】先把原式转化为()()222115=5m n ⎡⎤⎡⎤++⋅-+⎣⎦⎣⎦，可得当()220m +=，()210n -=时，等式成立，即可求得2m =-，1n =，再代入求值即可．【分析】解：()()2245265m m n n ++-+=，∴()()222115=5m n ⎡⎤⎡⎤++⋅-+⎣⎦⎣⎦，∵()220m +≥，()201n -≥，∴()220m +=，()210n -=，即20m +=，10n -=，∴2m =-，1n =，∴()23=2231=1m n +⨯-+⨯-，故选：D ．【点睛】本题考查非负数的性质、代数式求值，解一元一次方程，变形得出()()222115=5m n ⎡⎤⎡⎤++⋅-+⎣⎦⎣⎦是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定的位置．11. 点(1,4)M -关于原点对称的点的坐标是_______________________．【答案】()1,4-【解析】【分析】由关于原点对称的点的坐标特征可以得到解答．【详解】解：∵关于原点对称的点的坐标特征为：x x y y =-⎧⎨=-''⎩，由题意得：x=1，y=-4，∴14x y -''=⎧⎨=⎩，∴点 M(1,−4) 关于原点对称的点的坐标是（-1，4），故答案为（-1，4）．【点睛】本题考查图形变换的坐标表示，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题关键．12. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x 步，则可列方程为_____．【答案】x （x﹣12）＝864．【解析】【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵长为x 步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步．依题意，得：x （x﹣12）＝864．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13. 已知a ，b 是方程220230x x --=的两个实数根，则22a b +=________．【答案】4047【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得1a b +=，2023ab =-，再利用完全平方公式求值即可得．【详解】解：,a b 是方程220230x x --=的两个实数根，111a b -∴+=-=，202320231ab -==-，()()222221220234047a b a b ab ∴+=+-=-⨯-=，故答案为：4047．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．14. 如图所示的圆弧形拱门中，弦AB 和拱高CD 都是2m ，则该拱门的半径是________m ．【答案】54【解析】【分析】根据垂径定理可得11m 2AD AB ==，利用勾股定理可得()22221=AO AO -+，再求解即可．【详解】解：如图，∵CD AB ⊥，∴11m 2AD AB ==，∵CO AO =，2m CD =，∴()2m OD AO =-，在Rt AOD 中，222OD AD AO +=，即()22221=AO AO -+，解得54AO =，故答案为：54．15. 已知点(),m n 在抛物线22y ax ax c =++上，下列结论：①若a c =，则抛物线与x 轴只有一个公共点；②若抛物线与x 轴的公共点()1,0x ，()2,0x 满足12111x x +=，则2c a =-；③当50m -≤≤时，n 的取值范围是13n -≤≤，则a 的值是415±；④若点(),m p在直线2y ax c a =-+-上，当21m -<<-时，p n >，则抛物线开口向上．其中正确结论是________（填序号）【答案】①④【解析】【分析】利用根的判别式判断220cx cx c ++=的根情况，即可判断①；利用根与系数关系得到1212121121x x a x x x x c+===+，即可判断②；分0a >和a<0两种情况讨论函数的最值，即可判断③；利用()()()22122p n am am c a m m am c a -=-+-++=--++，当21m -<<-时，10,20m m +<+>，p n >，得到a 的取值范围，即可判断④．【详解】解：若a c =，则2222y ax ax c cx cx c =++=++，对于220cx cx c ++=来说，()22240c c ∆=-=，∴抛物线与x 轴只有一个公共点；故①正确；若抛物线与x 轴的公共点()1,0x ，()2,0x ，即220ax ax c ++=由两个实数根12x x 、，则112222,a c x x x x a a+=-=-=-，∴1212121121x x a x x x x c+===+，∴2c a =，故②错误，∵抛物线()2221y ax ax c a x c a =++=++-，∴抛物线对称轴为=1x -，当0a >时，抛物线开口向上，当50m -≤≤时，n 的取值范围是13n -≤≤，当=1x -时，()2221y ax ax c a x c a =++=++-有最小值c a -，即当=1x -时，最小值1c a -=-，当5x =-时，最大值()251153y a c a a c =-++-=+=，解得14a =，当a<0时，抛物线开口向下，50m -≤≤时，n 取值范围是13n -≤≤，的当=1x -时，()2221y ax ax c a x c a =++=++-有最大值c a -，即当=1x -时，最大值3c a -=，当5x =-时，最小值()251151y a c a a c =-++-=+=-，解得14a =-，即当50m -≤≤时，n 的取值范围是13n -≤≤，则a 的值是14±；故③错误；若点(),m p 在直线2y ax c a =-+-上，则2p am c a =-+-，点(),m n 在抛物线22y ax ax c =++上，则22n am am c =++，()()()22122p n am am c a m m am c a -=-+-++=--++，当21m -<<-时，10,20m m +<+>，p n >，∴()()120a m m -++>，即()()120a m m ++<，∴0a >，则抛物线22y ax ax c =++开口向上．故④正确，综上可知，正确的是①④，故答案为：①④16. 如图，已知O 上有三点()3,A a ，(),1B b -，(),0C c ，连接AC ，BC ，若30ACB ∠=︒，则b =________．【答案】6-【解析】【分析】连接AO 、OB ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，将OBE △逆时针旋转得到OAG △，过点G 作GH x ⊥轴于点H ，过点A 作AD GH ⊥于点D ，根据直角三角形的性质可得2OG OH =，再根据旋转的性质可得==90AGO BEO ∠∠︒，1AG BE ==，OG OE =，再由直角三角形的性质可得11==22GD AG ，利用勾股定理求得AD ==3OH ，即可求解．【详解】解：连接AO 、OB ，过点A 作AF x ⊥轴于点F ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，将OBE △逆时针旋转得到OAG △，过点G 作GH x ⊥轴于点H ，过点A 作AD GH ⊥于点D ，∵()3,A a ，(),1B b -，∴3OF =，1BE =，∵30ACB ∠=︒，∴==60AOB GOE ∠︒，∵GH x ⊥轴，∴30OGH ∠=︒，∴2OG OH =，由旋转的性质可得，==90AGO BEO ∠∠︒，1AG BE ==，OG OE =，∴60∠=︒AGD ，∵AD GH ⊥，∴30GAD ∠=︒，∴11==22GD AG ，∴==AD∴=3OH ，∴=2=23=6OG OH ⎛⨯ ⎝，∴==6OE OG -，即=6b ，故答案为：6-【点睛】本题考查圆周角定理、旋转的性质、勾股定理、直角三角形的性质，利用旋转的性质构造含30︒的直角三角形是解题的关键．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．17. 解方程：2430x x --=．【答案】12x =+，22x =【解析】【分析】利用公式法：x =求解即可．【详解】解：1a =，4b =-，3c =-，2244()413(28)b ac ∆=-=--⨯⨯-=∴方程有两个不相等的实数根，∴2===±x∴12x =，22x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．18. 二次函数()214y a x =++的图象的一部分如图所示，图象与x 轴的一个交点为()4,0A -，根据图象解答下列问题：（1）求a 的值；（2）直接写出该抛物线与x 轴的另一交点B 的坐标；（3）直接写出不等式()2140a x ++>的解集．【答案】（1）49a =-（2）()2,0（3）42x -<<【解析】【分析】（1）代入已知点的坐标即可得到a 的值；（2）根据抛物线的对称轴和与x 轴的一个交点，即可得到抛物线与x 轴的另一个交点；（3）利用图象在x 轴上方部分对应的自变量的取值范围即可得到不等式的解集．熟练掌握()2y a x h k =-+的图象和性质、图象法解不等式、抛物线与x 轴的交点问题等知识，数形结合思想是解题的关键．【小问1详解】解：把()4,0A -代入()214y a x =++得，()0414a 2=-++，解得49a =-，【小问2详解】由（1）可知，二次函数的解析式为()21449y x +-=+，由()21449y x +-=+得到二次函数的对称轴为直线=1x -，∵图象与x 轴的一个交点为()4,0A -，∴该抛物线与x 轴的另一交点B 的坐标为()2,0；【小问3详解】由二次函数()214y a x =++的图象与x 轴的两个交点为()4,0A -、()2,0B ，开口向下，∴当42x -<<时，二次函数()21449y x +-=+的图象在x 轴上方，∴不等式()2140a x ++>的解集为42x -<<．19. 九年级某班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的n 名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他n 名同学，这样全班43名同学恰好都接到了一次通知，求n 的值．【答案】21【解析】【分析】根据题意可得班长和班委共()1n +名，则剩余同学有()42n -名，由全班43名同学恰好都接到了一次通知且其他同学为n 名，可得班委与剩余同学的人数相同即可列方程求解．【详解】解：由题意可得，班长和班委共()1n +名，则剩余同学有()42n -名，则42=n n -，解得21n =，∴n 的值为21．20. 如图，AB ，CD 是O 的两条弦，180AOB COD ∠+∠=︒．（1）如图（1），若60AOB ∠=︒，且1AB =，直接写出CD 的长度；（2）如图（2），设O 的半径为r ，猜想AB ，CD 和r 的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1（2）222=4DC AB r +，证明过程见解析【解析】【分析】（1）过点O 作OE CD ⊥于点E ，根据等边三角形的判定与性质可得===1OA AB OD ，再根据等腰三角形的性质可得30ODC ∠=︒，2DC DE =，根据直角三角形的性质可得11==22OE OD ，再利用勾股定理求得DE =，即可求解；（2）延长DO 交O 于点F ，证明AOB FOC ≌，可得AB FC =，根据圆周角定理可得90DCF ∠=︒，再利用勾股定理即可得出结论．【小问1详解】解：过点O 作OE CD ⊥于点E ，∵60AOB ∠=︒，OA OB =，∴OAB 是等边三角形，∴===1OA AB OD ，∵180AOB COD ∠+∠=︒，∴120DOC ∠=︒，∵OD OC =， ∴()1=180120=302ODC ∠︒-︒︒，∵OE CD ⊥，∴11==22OE OD ，在Rt OED 中，==DE∴=2=2=DC DE ；【小问2详解】证明：延长DO 交O 于点F ，∵180AOB COD ∠+∠=︒，180COD COF ∠+∠=︒，∴COF AOB ∠=∠，∵===AO BO FO CO ，∴()AOB FOC SAS ≌，∴AB FC =，∵DF 是O 的直径，∴90DCF ∠=︒，∴222DC CF DF +=，∵=2DF r ，∴()222=2DC AB r +，即222=4DC AB r +．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．21. 如图，在由正方形组成的77⨯的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，A ，B ，C 三点均为格点，O 经过点C ，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（1）如图（1），若点O 是格点，作弦CD ，使CD AB ∥再作劣弧 CD的中点E ；（2）如图（2），若点O 不在网格线上，先将AB 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段MN （点M 与点A 对应），MN 与O 交于点P ，再在AB 上画点Q ，使BQ NP =．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）如图（1），由格点A 向下3个格点，向右1个格点为C ，从格点B 向下3个格点，向右1个格点为G ，连接AC 、BG 、CG ，则四边形ABGC 是平行四边形，AB CG ∥，延长CG 交O 于D ，则弦CD 即为所求，格点C 向左1个格点，向上4个格点为M ，则CM CG ⊥，格点M 向右3个格点为N ，连接ON ，交O 于点E ，则四边形CMNO 是平行四边形，ON CM ∥，ON CD ⊥，由垂径定理可知，点E 即为劣弧 CD的中点；（2）如图（2），格点C 向右3个格点，向上1个格点为M ，格点C 向右4个格点，向下3个格点为N ，连接MN ，交O 于点P ；连接CA CM CB CN 、、、，由顺时针旋转90︒可知ABC MNC △≌△，则ABC MNC ∠=∠，90BCN ∠=︒，连接CP ，连接PO 并延长交O 于D ，连接CD ，由直径所对的圆周角为直角可知90DCP ∠=︒，延长CD 交AB 于Q ，由90BCQ BCP NCP BCP ∠+∠=︒=∠+∠，可知BCQ NCP ∠=∠，则()ASA BCQ NCP ≌，BQ NP =，即点Q 即为所求．【小问1详解】解：如图（1），弦CD ，点E 即为所求；【小问2详解】解：如图（2），线段MN ，点P 、Q 即为所求；【点睛】本题考查了作垂线，旋转作图，平行四边形的判定与性质，垂径定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直径所对的圆周角为直角等知识．熟练掌握各知识，作垂线是解题的关键．22. 任意球直接得分是足球比赛的重要得分手段之一，已知足球球门的高度是2.43m ，某足球队员在球门正前方18m 的A 处练习踢任意球，防守队员组成的人墙站在离球门10m 的B 处，人墙的最大防守高度可以达2m ．把运行中的足球看作点，建立如图所示平面直角坐标系，发现运行过程中足球离地面的高度y （单位：m ）与足球离球门的水平距离x （单位：m ）满足函数关系式()26y a x h =-+．（1）若该队员踢出的任意球在运行过程中达到最大的高度为3m ，①求y 与x 的函数关系式；②足球能否越过人墙的防守最高点直接射进球门内？请说明理由；（2）若要确保踢出的任意球能直接射进球门内，请直接写出h 的取值范围．【答案】（1）()216348y x =--+；足球能越过人墙的防守最高点直接射进球门内 （2）2.67 3.24h <<【解析】【分析】（1）根据抛物线经过点()18,0和3h =即可求出；把10x =代入()216348y x =--+和2m 比较即可；（2）根据足球能直接射进球门和足球能越过人墙分别求出h 的值即可．小问1详解】解：∵任意球在运行过程中达到最大的高度为3m ，∴()263y a x =-+，由题意得：抛物线经过点()18,0，∴()218630a -+=，解得：148a =-，∴()216348y x =--+，解：由①得：()216348y x =--+，当10x =时，()218632483y x =--+=>，∴足球能越过人墙的防守最高点直接射进球门内；【小问2详解】解：∵足球球门的高度是2.43m ，抛物线经过点()18,0，∴()21860a h -+=，得1144a h =-，当 2.43m y <时，()2106 2.43144h h --+<，解得： 3.24h <，当2m y >时，()21062144h h --+>，解得： 2.67h >，∴h 的取值范围是2.67 3.24h <<；【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解不等式组等，解题的关【键是理解构建的二次函数模型，学会用不等式解决实际问题．23. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点．（1）如图（1），将射线AE 绕点A 顺时针旋转90︒后交CB 的延长线于点F ，求四边形AFCE 的面积；（2）如图（2），若E 是CD 的中点，G 是BC 边上一点，将线段AG 绕点G 顺时针旋转90︒后得到线段H G ，点H 恰好落在射线AE 上，求证：2CG BG =；（3）如图（3），若3DE CE =，点M 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且135B M E ∠=︒，请直接写出AM 的长度．【答案】（1）16 （2）证明见解析（3）2【解析】【分析】（1）由旋转的性质和正方形性质即可证明AED AFB ≌ ，可得四边形AFCE 的面积和正方形ABCD 面积相等，即可求解；（2）连接GE ，过点A 作AF AE ⊥交CB 的延长线于点F ，由（1）可得AED AFB ≌ ，由旋转可得AGH 是等腰直角三角形，45HAG ∠=︒，9045GAF HAG ∠=︒-∠=︒，进而证明EAG FAG ≌ ，得到2EG FG FB BG BG ==+=+，在Rt ECG 中，由勾股定理求解得到43BG =，843CG BG =-=，即可证明；（3）根据三角形内角和定理可得180135MBC ACB BMC BMC ∠=︒-∠-∠=︒-∠，由题意可得135EMC BMC ∠=︒-∠，可证MBC EMC ∽ ，由相似三角形的性质即可求解．【小问1详解】解：由旋转性质可得：AF AE =，90EAF ∠=︒，在正方形ABCD 中，AB AD =，90DAB ∠=︒，∴DAE BAF ∠=∠，的又∵90D BAF ∠=∠=︒，在AED △和AFB △中，90D ABF AD ABDAE BAF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA AED AFB ≌ ，∴四边形AFCE 的面积和正方形ABCD 面积相等，∴四边形AFCE 的面积为4416⨯=；【小问2详解】解：连接GE ，过点A 作AF AE ⊥交CB 的延长线于点F ，由（1）可得AED AFB ≌ ，∴122BF DE CD ===，AE AF =，∵线段AG 绕点G 顺时针旋转90︒后得到线段H G ，∴AG GH =，90AGH ∠=︒，∴45HAG ∠=︒，∴9045GAF HAG ∠=︒-∠=︒在AEG △和AFG 中，AE AF EAG FAGAG AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS EAG FAG ≌ ，∴2EG FG FB BG BG ==+=+，在Rt ECG 中，222EG EC CG =+，∴()()222224BG BG +=+-，解得：43BG =，∴843CG BG =-=，∴2CG BG =；【小问3详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90ACB ACD ∠=∠=︒，AC ==180135MBC ACB BMC BMC ∠=︒-∠-∠=︒-∠，由题意可得，135EMC BMC ∠=︒-∠，∴MBC EMC ∠=∠，∴MBC EMC ∽ ， ∴BC MC MC CE=，∴2414MC BC CE =⋅=⨯=，解得：2MC =（负值舍去）∴2AM =．【点睛】本题考查正方形的性质，旋转图形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明MBC EMC ∽ 是解题的关键．24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点()0,3C -，其对称轴为1x =．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图（1），已知点D 为第二象限抛物线上一点，连接AC ，若90ABD BAC ∠+∠=︒，求点D 的坐标；（3）(),P m n 和Q 分别是直线y x =--24和抛物线上的动点，且点Q 的横坐标比点P 的横坐标大4个单位长度，分别过P ，Q 作坐标轴的平行线，得到矩形PMQN ．设该抛物线在矩形PMQN 内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为t ．①如图（2），当12m =-时，请直接写出的t 值；②请直接写出t 关于m 的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--（2）41339⎛⎫- ⎪⎝⎭， （3）①214②()22289 (489 (40)69 0188 (1)m m m m m m t m m m m m ⎧---<-⎪⎪++-<<=⎨++≤≤⎪⎪+>⎩【解析】【小问1详解】解：∵抛物线与y 轴交于点()0,3C -，其对称轴为1x =，∴123b c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为：223y x x =--；【小问2详解】解：设直线BD 与y 轴交于点E ，令0y =，则2230x x --=，解得：11x =-，23x =，又∵A 在B 的左侧，∴()10A -，，()30B ，，∵90ABD BAC ∠+∠=︒，90BAC ACO ∠+∠=︒，∴ACO ABD ∠=∠，又∵90AOD BOE ∠=∠=︒，3OC OB ==，∴AOC EOB ≌，∴1OE OA ==，∴点E 的坐标为()01，，设直线BD 的解析式为y ax k =+，把()01，和()30，代入得：130k a k =⎧⎨+=⎩，解得：131a k ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴113y x =-+，解方程组211323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--⎩得43139x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或30x y =⎧⎨=⎩（舍去），∴点D 的坐标为41339⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 【小问3详解】解：①当12m =-时，点P 的坐标为132⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，这时点Q 横坐标为17422-+=，又∵点Q 在抛物线223y x x =--上，∴点Q 的坐标为7924⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴()921344t =--=；的②()222314y x x x =--=--，∴抛物线的顶点坐标为()14-，，当1m >时，如图，()()()2242432388t m m m m m =+-+----=+；当01m ≤≤时，如图，()()()224243469t m m m m =+-+---=++；P Q y y =时，()()2244243m m m --=+-+-，解得：4m =-+或4m =--（舍），当40m -<<时，如图，()()()2242432489t m m m m m =+-+----=++；当4m <-+时，如图，()()()2224424389t m m m m m ⎡⎤=---+-+-=---⎣⎦；综上所述，t 关于m的函数关系式为()22289(489(40)t 690188(1)m m m m m m m m m m m ⎧---<-+⎪⎪++-+<<=⎨++≤≤⎪⎪+>⎩．【分析】（1）运用待定系数法求解析式即可；（2）设直线BD 与y 轴交于点E ，可得AOC EOB ≌，然后求出直线BD 的解析式，联立解方程即可；（3）①把m 的值代入计算解题即可；②分情况画出图形，根据图形写出函数关系式即可．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，平移和全等三角形的判定和性质，利用数形结合思想、分类讨论的数学思想是解题的关键．。

湖北省2020学年九年级数学上学期期中试卷

湖北省2020学年九年级数学上学期期中试卷

九年级数学上学期期中试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C. D.2.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3.如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（）A. B. C. D.4.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元；若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应多植多少株？设每盆多植株，则可以列出的方程是（）A. B.C. D.5.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A. B.C. D.6.如图，已知二次函数的部分图象，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，A. B.C. D.以上都不对7.已知是一元二次方程较大的根，则下面对的估计正确的是（）A. B.C. D.8.已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（）A. B. C. D.9.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列四个结论错误的是（）A. B.C. D.10.已知二次函数，当自变量分别取、、时，对应的函数值分别为、、，则、、的大小关系是（）A. B.C. D.二、填一填（每小题3分，共18分）11.把方程变形为的形式后，________，________．12.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，则点在第________象限．13.抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：则抛物线的对称轴是________．14.某小区2018年屋顶绿化面积为平方米，计划2020年屋顶绿化面积要达到平方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是________．15.如图所示的抛物线的图象，那么的值是________．16.如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…．若点，，则点的坐标为________．三、用心做一做（本题共8小题，满分72分）17.解下列方程：；（2）．18.如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度，已知：作出关于点成中心对称的图形，并写出点对应点的坐标；作出把绕点逆时针旋转后的图形．写出点对应点的坐标．19.已知方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．20.已知关于的一元二次方程有实数根．求的取值范围；若中，，，的长是方程的两根，求的长．21.如图，某小区规划在一个长米，宽为米的矩形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为平方米，求道路的宽度．22.如图，已知二次函数的图象经过、两点．求这个二次函数的解析式；设该二次函数的对称轴与轴交于点，连接、，求的面积．23.如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点．求抛物线的解析式；是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．24.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得低于成本．当销售单价为元时，每天的销售利润是多少？求出每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；如果该企业每天的总成本不超过元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本每件的成本每天的销售量）答案1. 【答案】C【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确；、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误．故选：．2. 【答案】A【解析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围即可．【解答】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴．3. 【答案】B【解析】根据旋转的性质可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据旋转的性质可得．【解答】解：∵绕直角顶点顺时针旋转得到，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，由旋转的性质得．故选：．4. 【答案】A【解析】根据已知假设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，由题意得即可．【解答】解：设每盆应该多植株，由题意得，故选：．5. 【答案】B【解析】根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．【解答】解：根据题意，图象与轴交于负半轴，故为负数，又四个选项中，、的为，符合题意，故设二次函数的表达式为，抛物线过，，，所以，解得，，，这个二次函数的表达式为．故选．6. 【答案】C【解析】根据图象知道抛物线的对称轴为，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出．【解答】解：由抛物线图象可知其对称轴为，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与轴的两个交点关于对称，而关于的一元二次方程的两个根分别是，，那么两根满足，而，∴．故选．7. 【答案】C【解析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．【解答】解：解方程得：，∵是方程较大的根，∴，∵，∴，∴，故选：．8. 【答案】A【解析】由于关于的一元二次方程有一个非零根，那么代入方程中即可得到，再将方程两边同时除以即可求解．【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个非零根，∴，∵，∴，方程两边同时除以，得，∴．故选：．9. 【答案】D【解析】本题考查二次函数图象的相关知识与函数系数的联系．需要根据图形，逐一判断．【解答】解：、因为二次函数的图象与轴的交点在轴的上方，所以，正确；、由已知抛物线对称轴是直线，得，正确；、由图知二次函数图象与轴有两个交点，故有，正确；、直线与抛物线交于轴的下方，即当时，，即，错误．故选：．10. 【答案】D【解析】根据二次函数图象开口方向向上，对称轴为直线，然后利用增减性和对称性解答即可．【解答】解：∵，∴二次函数图象开口向上，又∵对称轴为直线，∴分别取、、时，对应的函数值分别为最小最大，∴．故选．11. 【答案】,【解析】把常数项移到等号的右边；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：移项，得，配方，得，所以，．故答案是：；．12. 【答案】三【解析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，求出和的值，继而判断点所在的象限即可．【解答】解：根据中心对称的性质，得：，，解得：，，∴点在第三象限．故答案为：三．13. 【答案】【解析】首先找出纵坐标相等的两个点，可根据这两个点的横坐标判断出抛物线的对称轴．【解答】解：由抛物线过、两点知：抛物线的对称轴为．故答案为：．14. 【答案】【解析】一般用增长后的量增长前的量（增长率），如果设这个增长率是，根据题意即可列出方程．【解答】解：设这个增长率是，根据题意可列出方程为：，，．所以，（舍去）．故．答：这个增长率为．故答案是：．15. 【答案】【解析】把原点坐标代入抛物线解析式计算即可求出的值，再根据抛物线的对称轴在轴的右边判断出的正负情况，然后即可得解．【解答】解：由图可知，抛物线经过原点，所以，，解得，∵抛物线的对称轴在轴的右边，∴，∴，∴．故答案为：．16. 【答案】【解析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，、、…每偶数之间的相差个单位长度，根据这个规律可以求得的坐标．【解答】解：∵，，∴，∴，∴的横坐标为：，且，∴的横坐标为：，∴点的横坐标为：．∴点的纵坐标为：．故答案为：．17. 【答案】解：，或，所以，；; （2），，所以，．【解析】利用因式分解法解方程；; 利用求根公式法解方程．【解答】解：，或，所以，；; （2），，所以，．18. 【答案】解：所作图形如图所示：；; 所作图形如图所示：．【解析】分别作出点、、关于点成中心对称的点，然后顺次连接，写出点对应点的坐标；; 分别将点、绕点逆时针旋转后的点，然后顺次连接，写出点对应点的坐标．【解答】解：所作图形如图所示：；; 所作图形如图所示：．19. 【答案】解：∵方程的一个根是，∴方程，即，解得；有方程，解得，所以另一根为．【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将代入原方程即可求得及另一根的值．【解答】解：∵方程的一个根是，∴方程，即，解得；有方程，解得，所以另一根为．20. 【答案】解：∵方程有实数根，∴，解得：，又因为是二次项系数，所以，所以的取值范围是且．; 由于是方程，所以把代入方程，可得，所以原方程是：，解得：，，所以的值是．【解析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，即可求出的取值范围．; 由于是方程，所以可以确定的值，进而再解方程求出的值．【解答】解：∵方程有实数根，∴，解得：，又因为是二次项系数，所以，所以的取值范围是且．; 由于是方程，所以把代入方程，可得，所以原方程是：，解得：，，所以的值是．21. 【答案】道路的宽为米．【解析】本题中草坪的总面积矩形场地的面积-三条道路的面积和+三条道路中重叠的两个小正方形的面积，据此可得出关于道路宽度的方程，求出道路的宽度．【解答】解：设道路的宽为米，由题意得：化简得：解得：，当时，道路的宽就超过了矩形场地的长和宽，因此不合题意舍去．22. 【答案】解：把、代入，得：解得，∴这个二次函数的解析式为．; ∵该抛物线对称轴为直线，∴点的坐标为，∴，∴．【解析】二次函数图象经过、两点，两点代入，算出和，即可得解析式．; 先求出对称轴方程，写出点的坐标，计算出，然后由面积公式计算值．【解答】解：把、代入，得：解得，∴这个二次函数的解析式为．; ∵该抛物线对称轴为直线，∴点的坐标为，∴，∴．23. 【答案】解：∵在直线上，∴，即，∵和在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的解析式；; 存在．设动点的坐标为，点的坐标为，∴，∵，∴开口向下，有最大值，∴当时，线段有最大值．【解析】将点坐标代入直线解析式，求出的值，然后把、坐标代入二次函数解析式，求出、，即可求得解析式；; 设动点的坐标为，点的坐标为，表示出的长度，然后利用配方法求出二次函数的最大值，并求出此时的值．【解答】解：∵在直线上，∴，即，∵和在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的解析式；; 存在．设动点的坐标为，点的坐标为，∴，∵，∴开口向下，有最大值，∴当时，线段有最大值．24. 【答案】解：当销售单价为元时，每天的销售利润元；; 由题得．∵销售单价不得低于成本，∴．; ∵该企业每天的总成本不超过元∴解得．由可知∵抛物线的对称轴为且∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，随增大而减小．∴当时，有最大，最大值，即销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元．【解析】根据题意先求得当单价为元时的销售量，然后根据利润销售量每件的利润求解即可；; 依据销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件列出函数关系式即可；; 每天的总成本每件的成本每天的销售量列出一元一次不等式，从而可求得的范围，然后利用二次函数的性质可求得最大值利润为元．【解答】解：当销售单价为元时，每天的销售利润元；; 由题得．∵销售单价不得低于成本，∴．; ∵该企业每天的总成本不超过元∴解得．由可知∵抛物线的对称轴为且∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，随增大而减小．∴当时，有最大，最大值，即销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元．。

【精】2020年湖北省武汉市江汉区九年级上学期数学期中试卷及解析

【精】2020年湖北省武汉市江汉区九年级上学期数学期中试卷及解析

2018-2019学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C．D．2．（3分）一元二次方程3x2﹣4x=7的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（）A．3，﹣4，﹣7 B．3，﹣4，7 C．3，4，7 D．3，4，﹣73．（3分）与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y=1+x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2x24．（3分）一元二次方程x2﹣3x=0的根是（）A．x=3 B．x1=0，x2=﹣3 C．x1=0，x2= D．x1=0，x2=35．（3分）用配方法解一元二次方程x2+3x﹣1=0，下列配方正确的是（）A．B．C．（x+3）2=10 D．（x+3）2=86．（3分）已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=﹣1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=37．（3分）S型电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（）A．1500（1+x）2=980 B．980（1+x）2=1500 C．1500（1﹣x）2=980 D．980（1﹣x）2=1500 8．（3分）关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≠0 B．k为一切实数C．k≥﹣且k≠0 D．k≥﹣9．（3分）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P是△ABC内不同于O的另一点；△A′BO′、△A′BP′分别由△AOB、△APB逆时针旋转而得，旋转角都为60°，则下列结论：①A′O′+O′O=AO+BO．②A′、O′、O、C在一条直线上．③A′P′+P′P=PA+PB．④PA+PB+PC＞AO+BO+CO．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷上的指定位置．11．（3分）已知点（a，﹣1）与点（2，b）关于原点对称，则a+b=．12．（3分）摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有x名学生，则根据题意列出的方程是．13．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为直线．14．（3分）将抛物线y=﹣x2+1向右平移1个单位再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为．15．（3分）若抛物线y=（m﹣1）x2+2mx+3m﹣2的顶点在坐标轴上，则m的值为．16．（3分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B旋转，得到△A1BC1．如图，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B旋转过程中，点P的对应点是点P1，线段EP1长度的取值范围为．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣2=0．18．（8分）已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）请直接写出此抛物线的顶点坐标及对称轴；（2）求出此抛物线与两坐标轴的交点坐标．19．（8分）如图，把△ABC绕点A顺时针旋转n度（0＜n＜180）后得到△ADE，并使点D落在AC的延长线上．（1）若∠B=17°，∠E=55°，求n；（2）若F为BC的中点，G为DE的中点，连AG、AF、FG，求证：△AFG为等腰三角形．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），A（4，0）．（1）画出将△OAB绕原点逆时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1（A的对应点）、B1的坐标；（2）若点B、B1关于某点中心对称，则对称中心的坐标为．（3）连接BB1交y轴于C，直接写出△A1BC的面积．21．（8分）如图，星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙（墙的长度为20m），其余部分用篱笆围成，且中间用一段篱笆把它分隔成了两个矩形，两个矩形各留一道1m宽的门，已知篱笆的总长度为34m．（1）设图中AB（与墙垂直的边）的长为x m，请用含x的代数式表示AD的长．（2）若整个苗圃园的总面积为96m2，求AB的长．22．（10分）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为每个40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）该公司当地物价部门规定，商品售价不得高于成本的1.9倍，当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？23．（10分）（1）如图1，平面直角坐标系中，一直角边为4的等腰直角三角板AOC的直角顶点O在原点的位置，点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOC绕点A逆时针旋转90°至△AKL的位置，直接写出点L的坐标；（2）如图2，将任意两个等腰直角三角板△BED和△PHF放至直角坐标系中，直角顶点E、H分别在y轴的正半轴和负半轴上，顶点B、F都在x轴的负半轴上，顶点D、P分别在第二象限和第三象限，BD和FP的中点分别为R、S，请判断△ORS的形状，并证明你的结论．（3）如图3，将第（1）问中的等腰直角三角板AOC绕O点旋转180°至△OMN的位置（M在x 轴上），G为线段OC延长线上任意一点，作TG⊥AG交x轴于T，交直线MN于Q，求的值．24．（12分）如图，已知抛物线经过A（1，0），C（0，4）两点，交x轴于另一点B，其对称轴是x=﹣1.5．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）点D在抛物线上，连接BD交y轴于点E，连接AE，若AE⊥BD，求点D的坐标；（3）将△AOC绕坐标平内一点Q（n，2）旋转180°后得到△A′O′C′（点A、C的对应点分别为A′、C′），当△A′O′C′的三条边与抛物线共有两个公共点时，求n的取值范围．2018-2019学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．2．（3分）一元二次方程3x2﹣4x=7的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（）A．3，﹣4，﹣7 B．3，﹣4，7 C．3，4，7 D．3，4，﹣7【解答】解：由3x2﹣4x=7得3x2﹣4x﹣7=0，所以，二次项系数是3，一次项系数﹣4，常数项﹣7．故选：A．3．（3分）与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y=1+x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2x2【解答】解：y=2（x﹣1）2+3中，a=2．故选：D．4．（3分）一元二次方程x2﹣3x=0的根是（）A．x=3 B．x1=0，x2=﹣3 C．x1=0，x2= D．x1=0，x2=3【解答】解：x2﹣3x=0x（x﹣3）=0x1=0，x2=3．故选：D．5．（3分）用配方法解一元二次方程x2+3x﹣1=0，下列配方正确的是（）A．B．C．（x+3）2=10 D．（x+3）2=8【解答】解：x2+3x=1，x2+3x+（）2=（）2+1，（x+）2=．故选：A．6．（3分）已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=﹣1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=3【解答】解：∵二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的一个根是x=1．∴设关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的另一根是t．∴1+t=4，解得t=3．即方程的另一根为3．故选：D．7．（3分）S型电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（）A．1500（1+x）2=980 B．980（1+x）2=1500 C．1500（1﹣x）2=980 D．980（1﹣x）2=1500【解答】解：依题意得：第一次降价的售价为：1500（1﹣x），则第二次降价后的售价为：1500（1﹣x）（1﹣x）=1500（1﹣x）2，∴1500（1﹣x）2=980．故选：C．8．（3分）关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≠0 B．k为一切实数C．k≥﹣且k≠0 D．k≥﹣【解答】解：当k=0时，此时方程为：x﹣1=0，满足题意．当k≠0时，由题意可知：△=（1﹣k）2+4k=1﹣2k+k2+4k=（k+1）2≥0，∴k为任意实数，故选：B．9．（3分）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选：C．10．（3分）如图，O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P是△ABC内不同于O的另一点；△A′BO′、△A′BP′分别由△AOB、△APB逆时针旋转而得，旋转角都为60°，则下列结论：①A′O′+O′O=AO+BO．②A′、O′、O、C在一条直线上．③A′P′+P′P=PA+PB．④PA+PB+PC＞AO+BO+CO．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：连PP′，如图，∵△A′BO′，△A′BP′分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，∴BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，∴△BOO′和△BPP′都是等边三角形，∴∠B OO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，∴A′O′+O′O=AO+BO，所以①正确；而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，∴∠A′O′O=∠O′OC=180°，即△O′BO为等边三角形，且A′，O′，O，C在一条直线上，所以②正确；A′P′+P′P=PA+PB，所以③正确；又∵CP+PP′+P′A′＞CA′=CO+OO′+O′A′，∴PA+PB+PC＞AO+BO+CO，所以④正确．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷上的指定位置．11．（3分）已知点（a，﹣1）与点（2，b）关于原点对称，则a+b=﹣1．【解答】解：∵点（a，﹣1）与点（2，b）关于原点对称，∴a=﹣2，b=1，∴a+b=﹣1，故答案为：﹣1．12．（3分）摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有x名学生，则根据题意列出的方程是x（x﹣1）=182．【解答】解：根据题意列出的方程是x（x﹣1）=182．13．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为直线x=．【解答】解：∵x=1和2时的函数值都是﹣1，∴对称轴为直线x==．故答案为x=．14．（3分）将抛物线y=﹣x2+1向右平移1个单位再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+3．【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y=﹣x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=﹣（x﹣1）2+1+2，即y=﹣（x﹣1）2+3．故答案为：y=﹣（x﹣1）2+3．15．（3分）若抛物线y=（m﹣1）x2+2mx+3m﹣2的顶点在坐标轴上，则m的值为0或0.5或2．【解答】解：①当抛物线y=（m﹣1）x2+2mx+3m﹣2的顶点在x轴上时，△=0，m﹣1≠0，△=（2m）2﹣4×（m﹣1）×（3m﹣2）=0，整理，得2m2﹣5m+2=0，解得m=0.5或2；②当抛物线y=（m﹣1）x2+2mx+3m﹣2的顶点在y轴上时，x=﹣=﹣=0，解得m=0．故答案为：0或0.5或2．16．（3分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B旋转，得到△A1BC1．如图，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B旋转过程中，点P的对应点是点P1，线段EP1长度的取值范围为．【解答】解：①如图1，过点B作BD⊥AC于点D，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=5×=，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2；②如图2，当P在AC上运动至点A，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BA1+BE=5+2=7，综上，线段EP1长度的取值范围为﹣2≤EP1≤7，故答案为：﹣2≤EP1≤7．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣2=0．【解答】解：移项，得x2﹣2x=2，配方，得x2﹣2x+1=2+1，即（x﹣1）2=3，开方，得x﹣1=±．解得x1=1+，x2=1﹣．18．（8分）已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）请直接写出此抛物线的顶点坐标及对称轴；（2）求出此抛物线与两坐标轴的交点坐标．【解答】解：（1）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴顶点坐标（2，﹣1），对称轴：直线x=2；（2）令x=0，得y=3，故与y轴交点为（0，3）令y=0，得x=1或x=3，故与x轴交点为（1，0），（3，0）．19．（8分）如图，把△ABC绕点A顺时针旋转n度（0＜n＜180）后得到△ADE，并使点D落在AC的延长线上．（1）若∠B=17°，∠E=55°，求n；（2）若F为BC的中点，G为DE的中点，连AG、AF、FG，求证：△AFG为等腰三角形．【解答】解：（1）∵△ADE是由△ABC旋转而来，∴∠ACB=∠E=55°，又∵∠B=17°，∴∠BAC=180°﹣55°﹣17°=108°，∵D落在AC延长线上，∴∠BAC即为旋转角，∴n=108°；（2）证明：∵△ADE是由△ABC旋转而来，∴AB=AD BC=DE，∠B=∠D，∵F、G分别是BC、DE的中点，∴BF=BC DG=DE，∴BF=DG，在△ABF与△ADG中，∴△ABF≌△ADG（SAS），∴AF=AG，∴△ADF是等腰三角形．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），A（4，0）．（1）画出将△OAB绕原点逆时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1（A的对应点）、B1的坐（2）若点B、B1关于某点中心对称，则对称中心的坐标为（1，3）．（3）连接BB1交y轴于C，直接写出△A1BC的面积．【解答】解：（1）如图，△OA1B1为所作，点A1的坐标为（0，4）、B1的坐标为（﹣2，4）；（2）如图，点B、B1关于点（1，3）中心对称；（3）∵B1A1∥BD，∴===，∴A1C=×2=，∴△A1BC的面积=×4×=．故答案为（1，3）．21．（8分）如图，星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙（墙的长度为20m），其余部分用篱笆围成，且中间用一段篱笆把它分隔成了两个矩形，两个矩形各留一道1m宽的门，已知篱笆的总长度为34m．（1）设图中AB（与墙垂直的边）的长为x m，请用含x的代数式表示AD的长．（2）若整个苗圃园的总面积为96m2，求AB的长．【解答】解：（1）AD=36﹣3x；（2）x（36﹣3x）=96，解之得：x1=4 x2=8．当x=4时，AD=24＞20 （舍去），当x=8时，AD=12＜20符合题意．答：当AB=8米时，可使总面积为96m2．22．（10分）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为每个40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）该公司当地物价部门规定，商品售价不得高于成本的1.9倍，当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）由题意可得：S=（x﹣40）（﹣10x+1200）=﹣10x2+1600x﹣48000；（2）S=﹣10x2+1600x﹣48000=﹣10（x﹣80）2+16000依题意：x≤40×1.9，即x≤76，对于二次函数S=﹣10（x﹣80）2+16000，当x≤80时，s随x的增大而增大，故当x最大为76时，s最大为15840元．23．（10分）（1）如图1，平面直角坐标系中，一直角边为4的等腰直角三角板AOC的直角顶点O在原点的位置，点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOC绕点A逆时针旋转90°至△AKL的位置，直接写出点L的坐标；（2）如图2，将任意两个等腰直角三角板△BED和△PHF放至直角坐标系中，直角顶点E、H分别在y轴的正半轴和负半轴上，顶点B、F都在x轴的负半轴上，顶点D、P分别在第二象限和第三象限，BD和FP的中点分别为R、S，请判断△ORS的形状，并证明你的结论．（3）如图3，将第（1）问中的等腰直角三角板AOC绕O点旋转180°至△OMN的位置（M在x 轴上），G为线段OC延长线上任意一点，作TG⊥AG交x轴于T，交直线MN于Q，求的值．【解答】解：（1）由题意AK=KL=OA=OC=4，AK⊥OA，∠LKA=90°，∴L（﹣8，4）．（2）结论：直角三角形，且∠SOR=90°．证明：如图1中，连结ER、RO，过点R做RI⊥RO交x轴于I，∵△BED为等腰直角三角形，R为斜边BD的中点，∴∠BRE=90°，BR=ER，∵RI⊥RO，∴∠ORI=90°，∴∠1=∠2，在四边形OBRE中，∠BRE=90°，∠BOE=90°，∴∠RBO+∠REO=180°，又∠5+∠RBO=180°，∴∠REO=∠5，在△REO和△RBI中，∠1=∠2，RE=RB，∠REO=∠5，∴△REO≌△RBI，∴RO=RI，又∠ORI=90°，∴∠3=∠4=45°，即∠3=45°，同理可得∠SOI=45°，∴∠SOR=90°，∴△SOR是直角三角形，且∠SOI=90°．（3）连接GM，过点Q做QE⊥GO交OG于E，∵等腰直角三角板AOC绕O点顺时针旋转180°至△OMN的位置（M在x轴上），∴AM，CN互相垂直平分且相等，∴四边形ANMC是正方形，∴GO是AM的中垂线，∠ANM=90°，∴AG=MG，∴∠GAM=∠GMA，又∵∠OAN=∠OMN=45°，∴∠GAM+∠OAN=∠GMA+∠OMN，即∠GAN=∠GMN，四边形GANQ中，∠ANQ=∠AGQ=90°，∴∠GAN+∠GQN=180°，而∠GMN+∠GMQ=180°，∠GAN=∠GMN，∴∠GQM=∠GMQ，∴QG=MG，又AG=MG，∴GA=GQ，在△AGO和△QGE中∠GOA=∠GEQ=90°，∠AGO=∠GQE，AG=GQ，∴△AGO≌△QGE，∴QE=GO，又NQ=QE∴NQ=GO=（GC+CO）=×（2GC+2CO）=×（GC+GC+CN）=×（GC+GN）∴=．24．（12分）如图，已知抛物线经过A（1，0），C（0，4）两点，交x轴于另一点B，其对称轴是x=﹣1.5．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）点D在抛物线上，连接BD交y轴于点E，连接AE，若AE⊥BD，求点D的坐标；（3）将△AOC绕坐标平内一点Q（n，2）旋转180°后得到△A′O′C′（点A、C的对应点分别为A′、C′），当△A′O′C′的三条边与抛物线共有两个公共点时，求n的取值范围．【解答】（1）∵抛物线对称轴是x=﹣1.5∴设其解析式为y=a（x+1.5）2+k，又抛物线经过A（1，0），C（0，4）两点，∴，∴，∴y=﹣（x+1.5）2+6.25；（2）令y=0，则0=﹣（x+1.5）2+6.25，解得x=1或x=﹣4，故B（﹣4，0），设E（0，m），在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，∴m2+12+m2+42=（1+4）2，∴m=2或﹣2，I．当m=2时，求得直线BD解析式为：y=0.5x+2，联立，解得：或，∴D（0.5，2.25），Ⅱ．当m=﹣2时，求得直线BD解析式为：y=﹣0.5x﹣2，联立，解得：或，∴D（1.5，﹣2.75），综上所述，D点坐标为（0.5，2.25）或（1.5，﹣2.75），（3）△AOC绕Q旋转180得到△A´O´C´，∴A´（2n﹣1，4），O´（2n，4），C´（2n，0），I．当△A´O´C´与抛物线在直线x=﹣1.5左侧的部分有两个公共点时，（2n﹣1＜﹣1.5），C´（2n，0）与点C重合是左临界点，A´（2n﹣1，4）在抛物线上是右临界点，∵y=﹣（x+1.5）2+6.25，∴0=﹣（2n+1.5）2+6.25，（2n﹣1＜﹣1.5），解得：n=﹣2，4=﹣（2n﹣1+1.5）2+6.25，（2n﹣1＜﹣1.5），解得：n=﹣1，∴n的范围是﹣2＜n＜﹣1，II．当△A´O´C´与抛物线在直线x=﹣1.5右侧的部分有两个公共点时，（2n﹣1＞﹣1.5），O´（2n，4）在抛物线上是左临界点，直线A´C´与抛物线唯一的公共点是右临界点，∴4=﹣（2n+1.5）2+6.25，（2n﹣1＞﹣1.5），解得：n=0，当直线A´C´与抛物线唯一的公共点，直线A´C´解析式为：y=﹣4x+8n，联立，∴x2﹣x+8n﹣4=0，依题意：△=0，即1﹣32n+16=0，解得：n=，∴n的范围是0＜n ＜，综上所述：当△A´O´C´的三条边与抛物线共有两个公共点时，n的取值范围是﹣2＜n＜﹣1，或0＜n ＜．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

湖北省武汉市江岸区2020届九年级上期中考试数学试题及答案(样卷全套)

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2020-2021学年度第一学期江岸区期中考试九年级数学试卷一、选择题1、若关于x的方程(a-1)x2+2x-1=0是一元二次方程，则a的取值范围是( )A.a≠1B.a＞1C.a＜1D.a≠02、一元二次方程x2-2x-3=0的根的情况是( )A.无实根B.有两个相等实根C.有两不等实根D.无法判断3、下列图形中既是中心对称又是轴对称图形的是( )等边三角形平行四边形正五边形正方形A B C D4、已知方程2x2-4x-3=0两根分别是x1和x2，则x1x2的值等于( )A.-3B.32C.3D.325、如图，△ABC≌△ADE，点D落在BC上，且∠B=60°，则∠EDC的度数等于( )A.45°B.30°C.60°D.75°6、如图，在圆O中，半径OC⊥弦AB于P，且P为OC的中点，则∠BAC的度数是( )A.45°B.60°C.25°D.30°7、如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼搭而成，第一图案需4根小木棒，则第六个图案需小木棒根数是( )A.42B.48C.54D.568、某树主干长出若干数目的支干，每个枝干又长出同样数目小分支，主干、支杆和小分支总数是57，若设主干长出x个支干，则可列方程是( )A.(1+x)2=57B.1+x+x2=57C.(1+x)x=57D.1+x+2x=579、将抛物线y=2x2-1,先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是( )A.(2，1)B.(1，2)C.(1,-1)D.(1，1)10、如图，∠MON=2020A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，点P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是( )A.3B.33C.2D.23二、填空题11、方程3x2-2x-1=0的二次项系数是________，一次项系数是______，常数项是______12、点A(-1，2)关于原点的对称点B的坐标是______13、小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b)进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数(x,-2x)放入其中，得到-1，则x=_______14、如图，圆O的直径AB为13cm，弦AC为5cm，∠ACB的平分线圆O于D，则CD长是_______cm15、抛物线y=ax2+bc+c的部分图象如图所示，则当y<0时，x的取值范围是______16、如图，等边△ABC和等边△ADE中，AB=27，AD=3，连CE，BE，当∠AEC=150°时，则BE=______三、解答题17、按要求解下列方程:x2+x-3=0(公式法)18、已知抛物线的顶点为(1,-4)，且过点(-2,5)(1)求抛物线解析式；(2)求函数值y>0时，自变量x的取值范围19、如图，AB为圆O的直径，CD⊥AB于弦E，CO⊥AD于F，求证:AD=CD2020图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上将△ABC绕点A顺时针旋转90°(1)画出旋转后的△AB′C′；(2)以点C为坐标原点，线段BC、AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，请直线写出点B′的坐标______；(3)写出△ABC在旋转过程中覆盖的面积_____21、如图，要设计一个宽2020，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:3，如果要使彩条所占面积是图案面积的925，应如何设计彩条的宽度？22、2020年十一黄金周商场大促销，某店主计划从厂家采购高级羽绒服和时尚皮衣两种产品共2020高级羽绒服的采购单价y1(元/件)与采购数量x1(件)满足y1=-20201+1500(0＜x1≤20201为整数)；时尚皮衣的采购单价y2(元/件)与采购数量x2(件)满足y2=-10x2+1300(0<x2≤20202为整数)(1)经店主与厂家协商，采购高级羽绒服的数量不少于时尚皮衣数量，且高级羽绒服采购单价不低于1240元，问该店主共有几种进货方案？(2)该店主分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出高级羽绒服和时尚皮衣，且全部售完，则在(1)问的条件下，采购高级羽绒服多少件时总利润最大？并求最大利润。

武汉地区2019-2020学年度九年级上期中考试数学试卷含答案

武汉地区2019-2020学年度九年级上期中考试数学试卷含答案

武汉地区2019-2020学年度九年级上期中考试数学试卷含答案数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．将方程x2－8x＝10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（）A．－8、－10 B．－8、10 C．8、－10D．8、102．下列四个图形分别是四场国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．一元二次方程x2＋3x－2＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根D．无法确定4．抛物线y＝－3(x＋1)2－2顶点坐标是（）A．(－1, 2) B．(－1,－2) C．(1,－2) D．(1,2)5. 若x1、x2是方程x2＋3x－6＝0的两根，则x1＋x2的值是（）A．－3 B．3 C．－6 D．66．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数是57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A．(1＋x)2＝57 B．1＋x＋x2＝57C．(1＋x)x＝57 D．1＋x＋2x＝577. 在△ABC中,∠CAB=26°，在同一平面内,将△ABC绕点A旋转α°到三角形AB'C'的位置使得CC'∥AB 则α=（）A．138 B．128 C．118 D．1088．如图，半径为5的⊙A中，已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的长为（）A．41B．61C．11 D．89．设A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y310．如图，中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△A’B’C’的位置，连接BC’，则线段BC’的长为（）A． B．C． D．1 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）B'C'A11．在平面直角坐标系中，点A(－3，2)关于原点对称点的坐标为__________12.如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为__________13．关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是__________14．已知点A(a，m)、B(b，m)、P(a＋b，n)为抛物线y＝x2－2x－2上的点，则n＝__________15．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a,b），若规定以下三种变换：①②③; 按照以上变换有：那么__________16．已知a、b是方程x2－2x＋m－1＝0（m≠1）的两根，在直角坐标系下有A(a，0)、B(0，b)，以AB为直径作⊙M，则⊙M的半径的最小值为_________三、解答题（共8小题，共72分）17．（本题8分）解方程：18. （本题8分）如图是一块车轮碎片的示意图，点O是这块轮片的圆心，AB＝24 cm，C 是弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝4 cm，求原轮片的半径19．（本题8分）如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建立直角坐标系，回答下列问题：（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到△,画出△，并直接写出的坐标；（2）将△绕点（0，-1）顺时针旋转90°得到△，画出；（3）观察图形发现，是由△ABC绕点顺时针旋转度得到的。

江岸区2019~2020学年度第一学期期中考试九年级数学试题

江岸区2019~2020学年度第一学期期中考试九年级数学试题

江岸区2019~2020学年度第一学期期中考试九年级数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x 2－2x ＋3＝0的一次项和常数项分别是（ ）A ．2 和3B ．－2和3C ．－2x 和3D ．2x 和3 2．在平面直角坐标系中，点A (－4，3)关于原点对称点的坐标为（ ） A ．(－4，－3) B ．(4，3) C ．(－4， 3)D ．(4，－3) 3．二次函数y ＝(x ＋2)2－3的顶点坐标是（ ）A ．(2，－3)B ．(－2，－3)C ．(2， 3)D ．(－2， 3)4．点P 到直线l 的距离为3，以点P 为圆心、以下列长度为半径画圆，能判断直线l 与⊙P 相交的是（ ） A ． 1 B ． 2 C ．3 D ．45．用配方法解一元二次方程x 2＋2x ＝0，下列配方正确的是（ ）A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝1D ．(x ＋1)2＝－1 6．已知一元二次方程x 2－2x －a ＝0，当a 取下列值时，使方程无实数解的是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．1 7．如图，在⊙O 中，点C 为弧AB 的中点．若∠ADC ＝α（α为锐角）则∠APB ＝（ ） A ．180°－αB ．180°－2αC ．75°＋αD ．3α8．抛物线y ＝(x －3)2－2经过平移得到抛物线y ＝x 2，平移过程正确的是（ ） A ．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位 B ．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 C ．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 D ．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位9．已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且(a ＋m )(a ＋n )＝2，(b ＋m )(b ＋n )＝2，则ab －mn 的值为（ ） A ． 4B ． 1C ．－2D ．－110．如图，在⊙O 中，直径AB ＝102，EF 为弦，AC ⊥EF 于点C ，BD ⊥EF 于点D ，BD 交⊙O 于点G ．若BD ＝2AC ，CE ＝EF ，则CD ＝（ ） A ．54 B ．34C ．6D ．2103 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．一元二次方程ax 2＋2x ＝0的一个根是1，则a ＝__________ 12．二次函数y ＝2x 2－2x 的对称轴是__________13．在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝80°，点P 是圆上不同于点A 、B 的点，则∠APB ＝________° 14．已知y ＝x 2＋mx ＋n 与x 轴交于点(1，0)、(－3，0)，则分解因式x 2＋mx ＋n ＝__________ 15．如图，已知⊙O 的半径为2，AB 所对的圆心角∠AOB ＝60°，点C 为AB 的中点，点D 为半径OB 上一动点．将△CDB 沿CD 翻折得到△CDE ，若点E 落在半径OA 、OB 、AB 围成的封闭图形内部（不包括边界），则OD 的取值范围为____________16．已知二次函数y ＝ax 2－bx ＋c 与x 轴存在一个公共点的坐标为(b 2－4ac ，0)，则ab 满足的条件是___________三、解答题（共8题，共72分） 17．（本题8分）解方程：x 2－x －1＝018．（本题8分）如图，已知抛物线y 1＝ax 2＋k 经过点(－2，－2)和(0，2) (1) 求y 1的解析式(2) 直接写出：抛物线y 1向右平移一个单位，当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围为__________19．（本题8分）要在一幅长为20分米、宽8分米的画的外围配一个四条边宽度相等的画框，且画框的面积为画的面积的83，求画框的宽度20．（本题8分）利用所学的知识在下列网格中进行操作，要求：仅用无刻度的直尺、保留作图痕迹，如图点A、B、C在小正方形的顶点(1) 在图1中，作出△ABC的中线AD；确定一个格点P，使AP⊥AB(2) 在图2中，作出△ABC的高线CE21．（本题8分）如图，在⊙O中，弦BC⊥OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC于点H(1) 求证：EH＝FH(2) 若点C为AE的中点，AD＝2，OD＝1，求EH的长度22．（本题10分）作为“第七届世界军人运动会”的举办地，“武汉每天不一样”，武汉越来越美，吸引大量游客来游玩．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置．宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用．根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调x元（x为10的正整数倍），设一天订住的房间数为y(1) 直接写出y与x的函数关系式：________________，自变量x的取值范围是______________(2) 若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？(3) 房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？23．（本题10分）如图，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）(1) 延长ED交CH于点F，求证F A平分∠CFE(2) 如图，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明(3) 如图，作□ABGE，连结DG，点N为DG的中点，连结EN．若AC＝EN＝3，直接写出四边形ADGE的面积24．（本题12分）已知抛物线C：y1＝－x2＋bx＋4(1) 如图，抛物线与x轴相交于两点(1－m，0)、(1＋m，0)①求b的值②当n≤x≤n＋1时，二次函数有最大值为3，求n的值(2) 已知直线l：y2＝2x－b＋9，当x≥0时，y1≤y2恒成立，求b的取值范围。

湖北省2020学年九年级数学上学期期中试卷2(含解析)

湖北省2020学年九年级数学上学期期中试卷2(含解析)

九年级数学上学期期中模拟试卷一．选择题（共10小题，满分30分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．xy+2=1 B．C．x2=0 D．ax2+bx+c=0 3．（3分）一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是（）A．x1=1，x2=6 B．x1=2，x2=3 C．x1=1，x2=﹣6 D．x1=﹣1，x2=6 4．（3分）抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）5．（3分）将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5 B．y=（x﹣4）2+5C．y=（x﹣8）2+3 D．y=（x﹣4）2+36．（3分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于（）A．8 B．10 C．11 D．127．（3分）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（）A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890B．（x﹣20）（50﹣）=10890C．x（50﹣）﹣50×20=10890D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=108908．（3分）把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=4，CD=5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A．B．C．D．49．（3分）如图已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB和AC于点E、F，给出以下五个结论正确的个数有（）①AE=CF②∠APE=∠CPF ③△BEP≌△AFP④△EPF是等腰直角三角形⑤当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），S四边形AEPF=S△ABC．A．2 B．3 C．4 D．510．（3分）二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，对称轴是x=﹣1．下列结论：①ab＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+2c＜0；④8a+c＜0．其中正确的是（）A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为．12．（3分）将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab= ．13．（3分）点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y=2x2﹣4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是．14．（3分）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为．15．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=．16．（3分）二次函数y=x2﹣2x﹣5的最小值是．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（7分）解方程（1）x（x﹣2）+x﹣2=0（2）（x﹣2）（x﹣5）=﹣2．18．（7分）已知，抛物线y=ax2+2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B 左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）当a＞0时，如图所示，若点D是第三象限抛物线上方的动点，设点D的横坐标为m，三角形ADC的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．19．（7分）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂足为点D，AB=12，OD=8，求⊙O半径的长．20．（8分）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，求a2﹣a+b+3ab的值．21．（8分）如图，在△ABC中，已知AB=AC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数．22．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）几秒后，△DPQ的面积是24cm2．23．（8分）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中 3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？24．（9分）我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．25．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．C．2．C．3．D．4．A．5．D．6．A．7．B．8．A．9．D．10．C．二．填空题11．【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，∴2m2﹣3m=1∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018故答案为：201812．【解答】解：x2﹣6x+5=0，x2﹣6x=﹣5，x2﹣6x+9=﹣5+9，（x﹣3）2=4，所以a=3，b=4，ab=12，故答案为：12．13．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+c，∴当x=﹣3时，y1=2×（﹣3）2﹣4×（﹣3）+c=30+c，当x=2时，y2=2×22﹣4×2+c=c，当x=3时，y3=2×32﹣4×3+c=6+c，∵c＜6+c＜30+c，∴y2＜y3＜y1，故答案为：y2＜y3＜y1．14．【解答】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），∵∠CBD=30°，∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；故答案是：60°．15．【解答】解：由题意得：AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C；∵CC′∥AB，且∠BAC=75°，∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°，∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°；由题意知：∠BAB′=∠CAC′=30°，故答案为30°．16．【解答】解：∵原式可化为y=x2﹣2x+1﹣6=（x﹣1）2﹣6，∴最小值为﹣6．故答案为：﹣6三．解答题（共9小题，满分72分）17．【解答】解：（1）x（x﹣2）+x﹣2=0（x﹣2）（x+1）=0x﹣2=0或x+1=0x1=2，x2=﹣1；（2）（x﹣2）（x﹣5）=﹣2x2﹣7x+12=0（x﹣3）（x﹣4）=0x﹣3=0或x﹣4=0x1=3，x2=4．18．【解答】解：（1）∵点B的坐标为（1，0），OC=3OB，∴点C的坐标为（0，3）或（0，﹣3），将点B（1，0）、C（0，3）或（0，﹣3）代入y=ax2+2ax+c，或，解得：或，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3．（2）过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，如图所示．∵a＞1，∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．当y=0时，有x2+2x﹣3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，∴点A的坐标为（﹣3，0），利用待定系数法可求出线段AC所在直线的解析式为y=﹣x﹣3．∵点D的横坐标为m，∴点D的坐标为（m，m2+2m﹣3），点E的坐标为（m，﹣m﹣3），∴DE=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m，∴S=DE×|﹣3﹣0|=﹣（m2+m）（﹣3＜m＜0）．∵﹣＜0，且S=﹣（m2+m）=﹣（m+）2+，∴当m=﹣时，S取最大值，最大值为．19．【解答】解：连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB=×12=6，在Rt△AOD中，OA===10，即⊙O半径的长为10．20．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，∴a+b=2，ab=﹣1，a2﹣2a=1，a2﹣a+b+3ab=a2﹣2a+b+a+3ab=1+2﹣3=0．21．【解答】解：（1）由题意得：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE；在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），（2）∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC，而∠CAE=100°，∴∠ACE==40°．22．【解答】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，∴PD=2PQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴PD2=AP2+AD2，PQ2=BP2+BQ2，∵PD2=4 PQ2，∴82+（2t）2=4[（10﹣2t）2+t2]，解得：t1=3，t2=7；∵t=7时10﹣2t＜0，∴t=3，答：3秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）设x秒后△DPQ的面积是24cm2，则×8×2x+（10﹣2x）•x+（8﹣x）×10=80﹣24，整理得x2﹣8x+16=0解得x1=x2=4．23．【解答】解：（1）设y=kx+b，将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120代入，得，解得，则y与x之间的函数关系式为y=﹣80x+560；（2）由题意，得（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80=160，整理，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6．∵3.5≤x≤5.5，∴x=4．答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）由题意得：w=（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80=﹣80x2+800x﹣1760=﹣80（x﹣5）2+240，∵3.5≤x≤5.5，∴当x=5时，w有最大值为240．故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．24．【解答】解：（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=AB′=AC′，∵DB′=DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=120°，∴∠B′=∠C′=30°，∴AD=AB′=BC，故答案为．②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为4．理由：∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，∵AB=AB′，AC=AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC=B′C′，∵B′D=DC′，∴AD=B′C′=BC=4，故答案为4．（2）猜想．证明：如图，延长AD至点Q，则△DQB'≌△DAC'，∴QB'=AC'，QB'∥AC'，∴∠QB'A+∠B'AC'=180°，∵∠BAC+∠B'AC'=180°，∴∠QB'A=∠BAC，又由题意得到QB'=AC'=AC，AB'=AB，∴△AQB'≌△BCA，∴AQ=BC=2AD，即．25．【解答】解：（1）∵OA=1，OB=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）．代入y=﹣x2+bx+c，得解得b=2，c=3．∴抛物线对应二次函数的表达式为：y=﹣x2+2x+3；（2）如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．∴PE⊥CD，PE=PA．由y=﹣x2+2x+3，得对称轴为直线x=1，C（0，3）、D（1，4）．∴DF=4﹣3=1，CF=1，∴DF=CF，∴△DCF为等腰直角三角形．∴∠CDF=45°，∴∠EDP=∠EPD=45°，∴DE=EP，∴△DEP为等腰三角形．设P（1，m），∴EP2=（4﹣m）2．在△APQ中，∠PQA=90°，∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣（﹣1）]2+m2∴（4﹣m）2=[1﹣（﹣1）]2+m2．整理，得m2+8m﹣8=0解得，m=﹣4±2．∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．如图，连结CQ、CB、CM，∵C（0，3），OB=3，∠COB=90°，∴△COB为等腰直角三角形，∴∠CBQ=45°，BC=3．由（2）可知，∠CDM=45°，CD=，∴∠CBQ=∠CDM．∴△DCM∽△BQC分两种情况．当=时，∴=，解得DM=．∴QM=DQ﹣DM=4﹣=．∴M1（1，）．当时，∴=，解得DM=3．∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1．∴M2（1，1）．综上，点M的坐标为（1，）或（1，1）．。

精品解析：湖北省武汉市江汉区2019-2020学年九年级上学期期中数学试题(解析版)

精品解析：湖北省武汉市江汉区2019-2020学年九年级上学期期中数学试题(解析版)
(3)写出抛物线在 上方所对应的函数值的范围即可.
【详解】（1）令 ，得： .
解得： ， .
∴与 轴的交点为： ， .
（2） 或 ；
（3） .
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数图像与不等式之间的关系，解答的关键在于把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.
9.如图，点P为⊙O外一点，连结OP交⊙O于点Q，且PQ=OQ，经过点P的直线l1，l2，都与⊙O相交，则l1与l2所成的锐角°＜α＜45°C.0°＜α＜60°D.0°＜α＜90°
【答案】C
【解析】
【分析】
本题利用切线的性质和30度所对的直角边等于斜边的一半这两个定理解决即可.
由题意得：OA=5，OB=3，
由勾股定理可得：AB=
即a=4
【点睛】本题考查了圆的性质和勾股定理，其中根据题意画出图形确定相应线段的长是解答本题的关键.
13.抛物线 与 轴有公共点，则实数 的取值范围是______.
【答案】 且
【解析】
【分析】
根据二次函数图像与一元二次方程的关系，运用一元二次方程根的判别式即可完成解答.
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义．
2.将一元二次方程 化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）
A.3，-6B.3，6C.3，1D.
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】

湖北省武汉市九年级上学期数学期中考试试卷附答案解析

湖北省武汉市九年级上学期数学期中考试试卷附答案解析

∴a＝−5，b＝−1. 故答案为：D.
【分析】关于原点对称点的坐标特征：横、纵坐标分别互为相反数，据此解答即可.
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：根据题意得：每人要赠送〔x﹣1〕张相片，有 x 个人，
∴全班共送：〔x﹣1〕x=1980， 故答案为：D.
【分析】 由全班有 x 名学，可得每人要赠送〔x﹣1〕张相片，利用一个人赠送的相片的张数×总人数= 全 班共送相片的总张数，列出方程即可. 8.【答案】 B 【解析】【解答】解：当 x=-1 时，y=-2a-a-4=-3a-4； 当 x=1 时，y=-2a+a-4=-a-4； 当 x=2 时，y=-8a+2a-4=-6a-4；
个相等的实数根，当△＜0 时，方程无实数根，据此判断即可.
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：因为
.
所以将抛物线
先向左平移 2 个单位，再向下平移 6 个单位即可得到抛物线
.
故答案为：C. 【分析】抛物线平移的规律：上加下减，左加右减，据此解答即可.
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵点
与
关于原点对称，
.
16.定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形
中，
，
，
，
，那么线段
________ .
三、解答题
17.解方程
18. 是关于 的一元二次方程
的两个实数根，求代数式
，
19.如图，△ABD、△ACE 都是等边三角形．求证：BE=DC．
的值.
20.如图，在
网格中的每个小正方形边长都为 1 个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，
三点在同一直线上.

2023-2024学年湖北省武汉市江岸区九年级上学期数学期中试题及答案

2023-2024学年湖北省武汉市江岸区九年级上学期数学期中试题及答案

2023-2024学年湖北省武汉市江岸区九年级上学期数学期中试题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 一元二次方程2356x x -+=化为一般形式()200ax bx c a ++=≠后，a ，b ，c 的值可以是（ ）A. 5a =-，3b =-，6c =B. 3a =-，5b =，6c =-C. 3a =-，5b =，6c =D. 5a =，3b =-，6c =-【答案】D 【解析】【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，把方程的变形为一般形式即可．【详解】解：一元二次方程2356x x -+=的一般形式为：25360x x --=，故5a =，3b =-，6c =-，故选：D ．2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 绿色饮品B. 绿色食品C. 有机食品D. 速冻食品【答案】D 【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别判断选项即可得出答案．【详解】解：A 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查轴对称图形以及中心对称图形的判断，熟练掌握两种特殊图形的概念是解题关键，做题时注意看清楚题目要选的是哪种图形.3. 一元二次方程27460x x -+=的根的情况为（ ）A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根C. 无实数根 D. 只有一个实数根【答案】C 【解析】【分析】根据判别式判断一元二次方程根的情况，能够熟练运用根的判别式是解决本题的关键．【详解】根据根的判别式可知，()244761520∆=--⨯⨯=-<，故方程无实根，故选：C ．4. 如图，A 、D 是O 上的两点，BC 是直径，AD BC ⊥，若32D ∠=︒，则ACD ∠的度数为（ ）A. 116︒B. 128︒C. 122︒D. 126︒【答案】A 【解析】【分析】利用垂径定理得出 AC DC=，通过同弧或等弧所对圆周角相等可得32CAD D ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可求解．【详解】解：∵AD BC ⊥，BC 是直径，∴ AC DC=，∴32CAD D ∠=∠=︒，∵180CAD D ACD ∠+∠+∠=︒，∴116ACD ∠=︒，故选：A ．【点睛】此题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和同弧或等弧所对圆周角相等的应用．5. 设a ，b 是方程220230x x +-=的两个实数根，则b ab a -+的值为（ ）A. 1 B. 1- C. 2022D. 2023【答案】C 【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记“若12x x 、是方程一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根，则1212b ca x x x x a+=-=，．”是解题关键．【详解】解：∵a，b 是方程220230x x +-=的两个不相等的实数根，∴1a b +=-，2023ab =-，∴()12023120232022b ab a -+=---=-+=，故选：C ．6. 如图所示，OA 、OB 、OC 都是O 的半径（点B 在劣弧AC 上，不包括端点A 、C ），则下列关系一定成立的是（ ）A. 2AOB BOC ∠=∠B. 2AOB ACB ∠=∠C. 2AOB CAB ∠=∠D. 2AOB OCA∠=∠【答案】B 【解析】【分析】本题考查圆周角定理，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”进行判断即可，能够熟练运用圆周角定理是解决本题的关键．【详解】解：根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半可知， AOB ∠为弧AB 所对的圆心角，弧AB 所对的圆周角为ACB ∠，的故2AOB ACB ∠=∠，故选：B ．7. 若点()13,A y -，()22,B y -，()33,C y 在二次函数()215y x =++的图象上，则1y ，2y ，3y 大小关系是（ ）A. 123y y y << B. 132y y y << C. 213y y y << D.312y y y <<【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．【详解】解： 点()13,A y -，()22,B y -，()33,C y 在反比例函数()215y x =++的图象上，19y ∴=，26y =，321y =，213y y y ∴<<．故选：C ．8. 如图，Rt ACB △中，90C ∠=︒，7AC =，5BC =，点P 从点B 出发向终点C 以1个单位长度/s 移动，点Q 从点C 出发向终点A 以2个单位长度/s 移动，P 、Q 两点同时出发，一点先到达终点时P 、Q 两点同时停止，则（ ）秒后，PCQ △的面积等于4．A. 1B. 2C. 4D. 1或4【答案】A 【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用，设t 秒后，PCQ △的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设t 秒后，PCQ △的面积等于4，由题意得：,2BP t CQ t ==，则5,CP t =-∵12PCQ CQ CP S =⋅△，∴()14252t t =⨯⨯-，整理得：2540t t -+=，解得：1214t t ==，（不合题意，舍去），即1秒后，PCQ △的面积等于4，故选：A ．9. 已知O 的半径2OA =，弦AB 、AC 的长分别是，则BOC ∠的度数为（ ）A. 30︒B. 120︒C. 30︒或150︒D. 30︒或120︒【答案】C 【解析】【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理逆定理及特殊角三角函数．分两种情况考虑，根据垂径定理及特殊角三角函数即可求解．【详解】解：当弦AB 、AC 在半径OA 的同侧时，如图，过O 作OD AB ⊥于D ，则12AD AB ==，2AOB AOD ∠=∠，∵sin AD AOD OA ==∠，∴60AOD ∠=︒，∴2120AOB AOD ∠=∠=︒；∵2228OA OC AC +==，∴=90AOC ∠︒，∴30BOC AOB AOC ∠︒=∠-∠=；当弦AB 、AC 在半径OA 的异侧时，如图，同理可求得120AOB ∠=︒，=90AOC ∠︒，则360150BOC AOB AOC ∠=︒-∠-∠=︒，即BOC ∠的度数为30︒或150︒；故选：C ．10. 已知抛物线2y x bx c =++（c 为常数）经过点()p m ,、()q m ,、()4,c ，当18q p ≤-<时，则m 的取值范围为（ ）A. 412c m c -≤<+B. 15124c m c -≤<+C. 12c m c <≤+ D. 324c m c -<+≤【答案】B 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质．先求出4b =-，可得抛物线的对称轴为直线22bx =-=，再根据抛物线的对称性可得4p q +=，进而得到()424q p q q q -=--=-，再结合18q p ≤-<，可得()212164q ≤-<，然后根据()22424m q q c q c =-+=-+-，即可求解．【详解】解：当4x =时，164y b c c =++=，∴4b =-，∴抛物线的对称轴为直线22bx =-=，∴抛物线解析式为24y x x c =-+，∵抛物线2y x bx c =++（c 为常数）经过点()p m ,、()q m ,，∴22p q+=，即4p q +=，∴4p q =-，∴()424q p q q q -=--=-，又18q p ≤-<，∴1248q ≤-<，∴1242q ≤-<，∴()212164q ≤-<，∵()22424m q q c q c =-+=-+-，∴15124c m c -≤<+，故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 在平面直角坐标系中，点()3,5-关于x 轴对称的点的坐标为__________．【答案】(-3，-5)【解析】【分析】根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【详解】在平面直角坐标系中，点（−3，5）关于x 轴对称的点的坐标为（−3，−5），故答案为：（−3，−5）．【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的坐标，关键是掌握点的变化规律．12. 把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为________．【答案】()213y x =-++【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线2y x =-向左平移1个单位所得抛物线的解析式为：()21y x =-+．由“上加下减”的原则可知，将抛物线()21y x =-+向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：()213y x =-++．故答案为：()213y x =-++．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．13. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么方程是_____．【答案】50+50(1+x)+50 (1+x)2=196【解析】【分析】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x ）万个，九月份生产零件50（1+x ）2万个，三个月之和即为总产量.【详解】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x ）万个，九月份生产零件50（1+x ）2万个，所以根据第三季度生产零件196万个可列方程为：50+50（1+x ）+50（1+x ）2=196．【点睛】本题考查一元二次方程应用中的增长率问题，需要注意第三季度产量是三个月之和.14. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，将ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到A BB '' ，此时点A '恰好在AB 边上，连结BB '，则A BB '' 的周长为________．【答案】3+3+【解析】【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理得到，22AB AC ==，BC =．再根据旋转的性质得到1AC A C '==，,2BC B C AB A B ACA BCB '''''====∠=∠，则可判断ACA ' 为等边三角形，从而得到BCB 'V 为等边三角形，可得到BB BC '==1A B '=，即可求解．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，∴30ABC ∠=︒，∵1AC =，∴22AB AC ==，∴BC ==∵将ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到A BB '' ，此时点A '恰好在AB 边上，∴1AC A C '==，,2BC B C AB A B ACA BCB '''''====∠=∠，∵60A ∠=︒，∴ACA ' 为等边三角形，∴60ACA BCB ''∠=∠=︒，1AA AC '==，BCB 'V 为等边三角形，∴BB BC '==，1A B '=，∴A BB '' 的周长为213A B BB A B ''''++==．故答案为：3【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．15. 已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a >）经过()3,2A -、()9,2B 两点，下列四个结论：①一元二次方程220ax bx c ++-=的根为13x =-，29x =；②若点()15,C y 、)2Dy 在该抛物线上，则12y y <；③对于任意实数t ，总有293at a b bt -≥-；④对于a 的每一个确定值()0a >，若一元二次方程2ax bx c p ++=（p 为常数）有根，则236p a ≥-．其中正确的结论是________（填写序号）【答案】①③④【解析】【详解】根据函数的解析式结合函数图象逐个分析，并判断每个选项的正误即可．【分析】解：∵()3,2A -、()9,2B 两点纵坐标相等，故当2y =时，39x =-或此时函数2y ax bx c =++变为22=0ax bx c ++-，故一元二次方程220ax bx c ++-=的根为13x =-，29x =成立，故①正确；由于()3,2A -、()9,2B 两点纵坐标相等，∴A，B 两点关于函数的对称轴对称，∴函数的对称轴为：3x =，∵0a >，∴函数的开口向上，故越靠近对称轴，函数的值越小，C 点离对称轴的距离为532-=，D 点离对称轴距离为3，∵23>，∴12y y >，故②错误；将293at a b bt -≥-变为；∵函数的对称轴为3x =，故当3x =时函数取最小值，将3x =代入函数解析式中得：93y a b c =++，故函数最小值为：93a b c ++，故293ax bx c a b c ++≥++，对于任意的实数t 都有：293at bt a b +≥+变形得293at a b bt -≥-，故③正确；∵32b a-=，则6b a =-，将()3,2A -、()9,2B 两点代入2y ax bx c =++中得：9328192a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩①②，3⨯+①②得，227c a =-，若一元二次方程2ax bx c p ++=则： 244b ac p a -≥，将227c a =-，6b a =-代入，化简得236p a ≥-，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题属于二次函数的综合题，能够熟练掌握二次函数的解析式与图象之间的关系是解决本题的关键．能够熟练掌握二次函数的解析式与图象之间的关系是解决本题的关键．16. 如图，已知ABC 是O 的内接三角形，O 的半径为2，将劣弧 AC 沿AC 折叠后刚好经过弦BC 的中点D ．若60ACB ∠=︒，则弦AC 的长为________．【答案】【解析】【分析】设折叠后的 AC 所在圆的圆心为O '，连接O A '，O D '，OA ，OB ，过点O作OE AB ⊥于点E ，解直角三角形得出AB =O ' 与O 为等圆，得出OA O A '=，OB OD =，A O B A OD'∠=∠，证明AOB AO D ' ≌，得出AB AD ==A 作AH BC ⊥于H ，设BH HD x ==，则2CD x =，3CH x =，根据勾股定理得出()(222x +=，求出x 的值，即可得出答案．【详解】解：设折叠后的 AC 所在圆的圆心为O '，连接O A '，O D '，OA ，OB ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，如图所示：∵OE AB ⊥，∴12AE BE AB ==，∵60ACB ∠=︒，∴2120A OD A C B '∠=∠=︒，2120AOB ACB ∠=∠=︒，∴1602AOE BOE AOB ∠=∠=∠=︒，∴sin 602AE AO =⨯︒==，∴AB =又∵O ' 与O 为等圆，∴OA O A '=，OB OD =，A O B A OD'∠=∠，∴AOB AO D ' ≌，∴AB AD ==过A 作AH BC ⊥于H ，设BH HD x ==，则2CD x =，3CH x =，∵60ACB ∠=︒，∴在Rt ACH中，tan 603AH CH x =⨯︒==，361cos 602CH x AC x ===︒，∵222AH BH AB +=，∴()(222x +=，解得：x =，∴AC =．【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂径定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合，根据勾股定理建立方程．三、解答题（共8小题）17. 解方程：22530x x ++=．【答案】11x =-，232x =-【解析】【分析】利用公式法求解可得．【详解】解：22530x x ++=2a =，5b =，3c =，∴2542310∆=-⨯⨯=>，∴514x -±==，∴11x =-，232x =-．【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程；根据系数特点选择适当的方法是解题的关键．18. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？【答案】应邀请7个球队参加比赛．【解析】【分析】设邀请x 个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x-1）场球，然后根据计划安排21场比赛即可列出方程求解．【详解】设邀请x 个球队参加比赛，依题意得1+2+3+…+x-1=21，即()x x 12-=21，∴x 2-x-42=0，∴x=7或x=-6（不合题意，舍去）．答：应邀请7个球队参加比赛．【点睛】此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．19. 已知函数224y x x =-++．（1）该函数的对称轴为________，顶点为________；（2）当x ________时，y 随x 增大而减小；（3）当03x <<时，函数值y 的取值范围是________．【答案】（1）1x =，()1,5（2）1≥（3）15y <£【解析】【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，再根据“二次函数()()20=-+≠y a x h k a 的对称轴为直线x h =，顶点坐标为(),h k ”即可求解；（2）根据二次函数的增减性，即可求解；（3）根据二次函数()()20=-+≠y a x h k a 的性质可得当1x =时，函数有最大值，最大值为5，再分别求出0x =，3x =时的函数值，即可求解．【小问1详解】解：224y x x =-++()215x =--+，∴该函数的对称轴为直线1x =，顶点为()1,5；故答案为：1x =，()1,5【小问2详解】解：∵10-<，∴抛物线开口向下，∴当1x ≥时，y 随x 增大而减小；故答案为：1≥小问3详解】解：∵抛物线开口向下，顶点为()1,5，∴当1x =时，函数有最大值，最大值为5，当0x =时，4y =，当3x =时，9641y =-++=，∴当03x <<时，函数值y 的取值范围是15y <£．故答案为：15y <£20. 如图，AB 是O 的直径，AC 是弦， BDCD =，DE AB ⊥于点E ，连接DO ．（1）求证：AC DO ∥；（2）若CD =DE AE 的长．【【答案】（1）见解析 （2）5【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理以及平行线的判定：（1）连接AD ，证明12DAB DAC CAB ∠=∠=∠，再由圆周角定理得CAB DOB ∠=∠，从而可得结论；（2）连接DB ，由勾股定理得出1EB =以及圆的半径，从而可得结论．【小问1详解】连接AD ，如图，∵ CDBD =，∴12DAB DAC CAB ∠=∠=∠，又12DAB DOB ∠=∠，∴CAB DOB ∠=∠，∴AC DO ∥，【小问2详解】连接DB ，∵ CD BD =，CD =∴CD BD ==又DE DE AB ⊥，∴在Rt DBE 中，222DB DE EB =+，∴1EB =，设OE x =，则1OB OD AO x ===+Rt DOE △中，222DE OE OD +=，222(1)x x +=+∴2x OE ==，13AO x =+=，∴325AE AO OE =+=+=21. 如图网格是由边长为1个单位长度的小正方形组成，每个小正方形的顶点叫做格点，点A 、B 、C 、O 都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，点A 对应点E ，点B 对应点F ．（1）在图1中，将线段AB 向右平移3个单位长度，画出平移后的线段EF ，再将线段BC 绕点F 顺时针旋转90︒，画出对应线段B C ''；（2）在图2中，先作点A 关于点O 对称点Q ，再过点O 作直线分别交AB 、AC 于点M 、N ，使得MO NO =．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据点的平移和线段绕点旋转，然后连接即可求解；（2）根据中心对称的性质即可作图．【小问1详解】如图，根据平移和旋转的性质，找到对应点，然后连接即可；∴EF ，B C ''即为所求；【小问2详解】的如图，根据网格作图特点，∵O 为AQ 中点，AC MQ ∥，∴OA OQ =，OAN OQM ∠=∠，∵AON QOM ∠=∠，∴AON QOM ≌，∴MO NO=∴点M ，N ，Q 即为所求．22. 某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x 天的成本y （元/件）与x （天）之间的关系如图所示，并连续50天均以80元/件的价格出售，第x 天该产品的销售量z （件）与x （天）满足关系式10z x =+．（1）第5天，该商家获得的利润是________元；第40天，该商家获得的利润是________元；（2）设第x 天该商家出售该产品的利润为w 元．①求w 与x 之间函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1125元的共有________天？（直接填写结果）【答案】（1）450，1000（2）①()805003080203050z z x w z x z x -≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，第30天利润最大，最大利润1200元； 8【解析】【分析】（1）求出BC 的解析式，即可；（2）①先求出w 与x之间的函数关系式，结合一次函数与二次函数的性质，即可求解；②的利用每件利润乘以总销量等于总利润，进而求出二次函数最值即可．【小问1详解】解：根据题意得：第5天，该商家获得的利润是()()8050510450-⨯+=元；设BC 的解析式为()0y kx b k =+≠，把()()30,50,50,70B C 代入得：30505070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：120k b =⎧⎨=⎩，∴20y x =+，当40x =时，60y =，即第40天时该产品的成本是60元/件，利润为：()()806040101000-+=元；故答案为：450；1000【小问2详解】解：①根据题意得：()805003080203050z z x w z x z x -≤≤⎧=⎨-+<≤⎩化简得230300030506003050x x w x x x +≤≤⎧=⎨-++<≤⎩当030x ≤≤时，30300w x =+，∵300k =>，∴w 随x 增大而增大，当30x =时，max 30303001200w =⨯+=，当3050x <≤时，250600w x x =-++，∵10a =-<开口向下，∴对称轴()502521x =-=⨯-，3050x <≤时，w 随x 增大而减小，又x 为整数，∴31x =时，2max 3150316001189w =-+⨯+=，∵11891200<，∴max 1200w =，此时30x =，即第30天利润最大，最大利润1200元，②230300030506003050x x w x x x +≤≤⎧=⎨-++<≤⎩当030x ≤≤时，303001125w x =+≥30825x ≥27.5≥x 又030x ≤≤且x 为整数∴2830,28x x ≤≤=或29或30当3050x <≤时，2506001125x x -++≥2505250x x -+≤令2505250x x -+=()()15350x x --=∴115x =，235x =∴1535x ≤≤又3050x <≤∴3035x <≤且x 为整数，∴31x =或32或33或34或35综上所述，第28，29，30，31，32，33，34，35天共计8天利润不低于1125元，故答案为：8【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润等于一件的利润乘以销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．23. （1）【问题背景】如图1，在ABC 中，AB AC =，2BAC α∠=，D ，E 为BC 边上的点，且DAE α∠=，ACE △绕点A 顺时针旋转2α得到ABF △，连接DF ，直接写出DF 与DE 的数量关系：________；（2）【类比探究】如图2，在ABC 中，60CAB ∠=︒，AB AC =，D 、E 均为BC 边上的点，且30DAE ∠=︒，2BD =，32EC =，求DE 的长；（3）【拓展应用】如图3，E 是正方形ABCD 内一点，90AEB ∠=︒，F 是BC 边上一点，且45EDF ∠=︒，若2AB =，请直接写出当DE 取最小值时CF =________．【答案】（1）DF DE =；（2（3）23【解析】【详解】解：（1）∵2,,BAC DAE αα∠=∠=∴2,BAD CAE BAC DAE ααα∠+∠=∠-∠=-=由旋转得，,AF AE =,BAF CAE ∠=∠∴,BAF BAD α∠+∠=即,DAF α∠=∴,DAF DAE ∠=∠在ADE V 和ADF △中，AE AFDAE DAFAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ,ADE ADF ≌∴DE DF =；（2）∵60CAB ∠=︒，AB AC =，∴ABC是等边三角形，∴60CAB B ACB ∠=∠=∠=︒，AB AC BC ==，将ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACF △，连接EF ，如图2，则AF AD =，2FC BD ==，60ACF B Ð=Ð=°，CAF BAD ∠=∠.∵60CAB ∠=︒，30DAE ∠=︒，∴30CAE BAD ∠+∠=︒，∴30EAF CAE CAF CAE BAD DAE ∠=∠+∠=∠+∠==∠︒.∵AE AE =，∴()SAS EAF EAD △≌△，∴EF DE =，过点F 作FG BC ⊥，交BC 的延长线于点G ，∵6060120ECF ACE ACF ︒︒∠=∠+∠=+=︒，∴60FCG ∠=︒，∴30CFG ∠=︒，∴112122CG FC ==⨯=，∴35122EG EC CG =+=+=，∴FG ===，DE EF ====（3）将CDF 绕点D 顺时针旋转90︒，得到ADG △，取AB 的中点O ，连接OD ，OE ，OF ，则112OA OB AB ===.如图3，∵DE OD OE ≥-，∴DE 取最小值时，点E 在OD 上，如图4所示：由旋转的性质得DF DG =，CDF ADG ∠=∠，∵45EDF ∠=︒，∴904545CDF ADE ∠+∠-︒=︒=︒，∴45ODG ADO ADG ADO CDF ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴ODF ODG ∠=∠，在ODF △和ODG 中，DF DG ODF ODGOD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ODF ODG △≌△，∴OF OG =.设CF x =，则1OF OG OA AG x ==+=+，2BF BC CF AB CF x =-=-=-，在Rt OBF △中，222(2)1(1)x x -+=+，解得23x =，∴当DE 取最小值时CF 的长为23.【分析】（1）先证明,DAF DAE α∠=∠=根据SAS 证明ADE ADF V V ≌可得DF DE =；（2）先证ABC 是等边三角形，得60CAB B ACB ∠=∠=∠=︒，AB AC BC ==，将ABD △绕点A 逆时针旋转60︒，得到ACF △，连接EF ，再证()SAS EAF EAD ≌ ，得EF DE =，过点F 作FG BC ⊥，交BC 的延长线于点G ，然后由含30︒角的直角三角形的性质得1CG =，则52=EG ，即可解决问题；（3）将CDF 绕点D 顺时针旋转90︒，得到ADG △，取AB 的中点O ，连接OD 、OE 、OF ，则112OA OB AB ===，由DE OD OE ≥-，得DE 取最小值时，点E 在OD 上，再由旋转的性质得DF DG =，CDF ADG ∠=∠，然后证()SAS ODF ODG △≌△，得OF OG =，设CF 的长为x ，则1OF OG x ==+，2BF x =-，在Rt OB F 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；正方形的内角为90︒，对边相等；根据SAS 证明三角形全等；全等三角形对应边相等，30︒角所对直角边等于的一半．24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y x mx =+-经过点()3,0A ，点C 是抛物线的顶点，连接AC ．（1）求抛物线的函数解析式及顶点C 的坐标；（2）设直线()0y kx k k =-≠与抛物线相交于P 、Q 两点（点P 在点Q 的左侧且点Q 在第四象限），当直线PQ 与直线AC 相交所成的一个角为45︒时，求点Q 的坐标；（3）如图2，作直线AP ，AG 分别交y 轴正、负半轴于点M 、N ，交抛物线于点P 、G ，设点M 、N 的纵坐标分别为m 、n ，且3=-mn ，求证：直线PG 经过一个定点．【答案】（1）2=23y x x --，顶点()1,4C -（2）Q 点坐标为()2,3-（3）见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，再利用抛物线的顶点坐标公式即可求解；（2）先求得直线PQ 过定点()1,0，再构造一线三等角，证明()AAS CAH ARG ≌△△，求得()1,2R -，再求得:31RC y x =--，根据平行线性质求得:33l y x =-+，联立即可求解；（3）设AP ：()()30y k x k =-≠，AG ：()()30y k x k =-'≠'，表示出M 、N 的坐标，由3m n ⋅=-，得到13k k '⋅=-，联立，根据根与系数的关系，求得1P x k =-，1G x k ='-，设PG ：()0y ax b a =+≠，联立，根据根与系数的关系，求得2P G x x a +=+，3P G x x b ⋅=--，据此求得13kk '=-，进一步计算即可求解．【小问1详解】解：∵23y x bx =+-经过点()3,0A ，∴9330b +-=，3=6b -，2b =-，∴抛物线解析式：2=23y x x --，对称轴212x -=-=，1x =时212134y =-⨯-=-，∴顶点()1,4C -，综上所述，抛物线解析式2=23y x x --，顶点()1,4C -；【小问2详解】解：∵()1y kx k k x =-=-，∴当10x -=，即1x =时，0y =，∴PQ 过定点()1,0，过A 作AR AC ⊥，AR AC =，连RC ，的过M 作l RC ∥交抛物线于P ，Q ，过A 作GH y ∥轴，过R 作RG GH ⊥于G ，过C 作CH GH ⊥于H ，∵90AHC RGA RAC ∠=∠=∠=︒，∴90CAH RAG ARG ∠=︒-∠=∠，∴()AAS CAH ARG ≌△△，∴4RG AH ==，2CH GA ==，∴()1,2R -，又()1,4C -，设直线RC 的解析式为y mx n =+，∴24m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，解得31m n =-⎧⎨=-⎩，∴:31RC y x =--，∵l RC ∥，∴设直线l 的解析式为3y x n '=-+，把()1,0代入得03n '=-+，解得3n '=，∴:33l y x =-+，联立23323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩，解得13x =-，22x =，又P Q x x <，∴2Q x =，()2,3Q -，∴Q 点坐标为()2,3-；【小问3详解】解：设AP ：()()30y k x k =-≠，AG ：()()30y k x k =-'≠'，∴()0,3M k -，()0,3N k -'，∵3m n ⋅=-，∴()()333k k '-⋅-=-，∴13k k '⋅=-，联立：2323y kx k y x x =-⎧⎨=--⎩，∴()22330x k x k -++-=，∴2A P x x k +=+，∴1P x k =-，同理：1G x k ='-，设PG ：()0y ax b a =+≠，联立：223y ax b y x x =+⎧⎨=--⎩，∴()2230x a x b -+--=，∴2P G x x a +=+，3P G x x b ⋅=--，∴112k k a -+-=+'，()()113k k b --=--'，∴4k k a +'=+，()13kk k k b -++=-'-'，∴kk a b '=-，∵13kk '=-，∴13b a =+，∴()11133y ax a a x =++=++，∴定点11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质是解题的关键．。

2020-2021学年湖北省武汉市江岸区九年级(上)期中数学试卷

2020-2021学年湖北省武汉市江岸区九年级(上)期中数学试卷

2020-2021学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．3，﹣6，1B．3，6，1C．3，1，﹣6D．3，1，62．（3分）在以下绿色食品、可回收物、响应环保、节水四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）4．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．2B．﹣2C．5D．﹣55．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所的图象的解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x+1）2﹣36．（3分）《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（）A．13寸B．26寸C．18寸D．24寸7．（3分）“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．2017年双十一淘宝销售额达到1682亿元．2019年双十一淘宝交易额达2684亿元，设2017年到2019年淘宝双十一销售额年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1682（1+x）＝2684B．1682（1+2x）＝2684C．1682（1+x）2＝2684D．1682（1+x）+1682（1+x）2＝26848．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）A．50°B．70°C．110°D．120°9．（3分）若无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，则m的值为（）A．0B．C．D．110．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴是直线x＝2，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，（）A．若x1﹣x2＜0，则x1+x2﹣4＜0B．若x1﹣x2＜0，则x1+x2﹣4＞0C．若x1﹣x2＞0，则a（x1+x2﹣4）＞0D．若x1﹣x2＞0，则a（x1+x2﹣4）＜0二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是．12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．13．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于．14．（3分）如图，把小圆形场地的半径增加6m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为m．15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）上有五点（﹣1，p）、（0，t）、（1，n）、（2，t）、（3，0）：有下列结论：①b＞0；②关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3；③p+2t＜0；④m（am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确的结论（填序号即可）．16．（3分）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD所成的锐角为60°，AC+BD＝10，则四边形ABCD的面积最大值为．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：x2+x﹣6＝0．18．（8分）10月11日，2020中国女超联赛在昆明海埂基地落幕，最终武汉车都江大队夺得冠军．本赛季共有x支球队参加了第一阶段的比赛，每两队之间进行一场比赛，第一阶段共进行了45场比赛，求x的值．19．（8分）已知，如图，AD＝BC．求证：AB＝CD．20．（8分）如图，已知A，B，C均在⊙O上，请用无刻度的直尺作图．（1）如图1，若点D是AC的中点，试画出∠B的平分线；（2）若∠A＝42°，点D在弦BC上，在图2中画出一个含48°角的直角三角形．21．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3．（1）若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为（直接写出结果）；（2）若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为（直接写出结果）；（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．22．（10分）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表：第x天售价（元/件）日销售量（件）1≤x≤30x+60300﹣10x已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元，请直接写出结果．23．（10分）【问题背景】如图1，P是正三角形ABC外一点，∠APB＝30°，则P A2+PB2＝PC2．小明为了证明这个结论，将△P AB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小明完成他的作图；【迁移应用】如图2，在等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，使得∠BPC＝45°，若S△P AC＝4.5，求PC；【拓展创新】如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在四边形ABCD内部，且DE ＝EC，∠DEC＝90°，∠AEB＝135°，AD＝3，BC＝4，直接写出AB的长．24．（12分）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点为（0，0）．（1）求b，c的值；（2）如图1，若a＝1，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线PN⊥x轴交x轴于点N，交直线：y＝x+2于M点，设P点的横坐标为m，当2PM＝PN时，求m的值；（3）如图2，点P（0，y0）为y轴正半轴上一定点，点A，B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若∠APO＝∠BPy，求证：直线AB经过一个定点．2020-2021学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．3，﹣6，1B．3，6，1C．3，1，﹣6D．3，1，6【解答】解：方程整理得：3x2﹣6x+1＝0，二次项系数为3；一次项系数为﹣6，常数项为1，故选：A．2．（3分）在以下绿色食品、可回收物、响应环保、节水四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形．故本选项不合题意；B、不是中心对称图形．故本选项不合题意；C、是中心对称图形．故本选项符合题意；D、不是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：C．3．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），∴抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），故选：D．4．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．2B．﹣2C．5D．﹣5【解答】解：设方程的另一个根为a，根据题意得：﹣1+a＝4，解得：a＝5．故选：C．5．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所的图象的解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x+1）2﹣3【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得图象的函数表达式是y＝（x﹣1）2+3，故选：A．6．（3分）《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（）A．13寸B．26寸C．18寸D．24寸【解答】解：连接OA，AB⊥CD，由垂径定理知，点E是AB的中点，AE＝AB＝5，OE＝OC﹣CE＝OA﹣CE，设半径为r寸，由勾股定理得，OA2＝AE2+OE2＝AE2+（OA﹣CE）2，即r2＝52+（r﹣1）2，解得：r＝13，所以CD＝2r＝26，即圆的直径为26寸．故选：B．7．（3分）“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．2017年双十一淘宝销售额达到1682亿元．2019年双十一淘宝交易额达2684亿元，设2017年到2019年淘宝双十一销售额年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1682（1+x）＝2684B．1682（1+2x）＝2684C．1682（1+x）2＝2684D．1682（1+x）+1682（1+x）2＝2684【解答】解：如果设从2017年到2019年年平均增长率为x，那么根据题意得今年为1682（1+x）2，列出方程为：1682（1+x）2＝2684．故选：C．8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）A．50°B．70°C．110°D．120°【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，∴∠BAA′＝∠BA′A＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°．故选：D．9．（3分）若无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，则m的值为（）A．0B．C．D．1【解答】解：（x+1﹣3m）（x﹣m）＝x2+（1﹣4m）x+3m2﹣m，∵无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，∴△＝（1﹣4m）2﹣4（3m2﹣m）＝（1﹣2m）2≤0，又∵（1﹣2m）2≥0，∴1﹣2m＝0，∴m＝．故选：B．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴是直线x＝2，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，（）A．若x1﹣x2＜0，则x1+x2﹣4＜0B．若x1﹣x2＜0，则x1+x2﹣4＞0C．若x1﹣x2＞0，则a（x1+x2﹣4）＞0D．若x1﹣x2＞0，则a（x1+x2﹣4）＜0【解答】解：∵直线x＝2是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，∴x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax+c，∵点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，∴y1＝ax12﹣24x1+c，y2＝ax22﹣4ax2+c，当x1＜x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0，∴ax12﹣4ax1+c﹣（ax22﹣4ax2+c）＜0，整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＜0，∵x1﹣x2＜0，∴a（x1+x2﹣4）＞0，故A，B不符合题意；当x1＞x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0，∴ax12﹣4ax1+c﹣（ax22﹣4ax2+c）＜0，整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＜0，∵x1﹣x2＞0，∴a（x1+x2﹣4）＜0，故C不符合题意，D符合题意；故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4）．【解答】解：M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4），故答案为：（﹣1，4）．12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴22﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．13．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于80°．【解答】解：∵∠CBE＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣40°＝140°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣140°＝40°，∴∠AOC＝2∠D＝2×40°＝80°．故答案为：80°．14．（3分）如图，把小圆形场地的半径增加6m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为6+6m．【解答】解：设小圆形场地的半径为rcm，则大圆形场地的半径为（r+6）cm，由题意得，π×（r+6）2＝π×r2×2，解得r1＝6+6，r2＝6﹣6＜0（舍去），故答案为：6+6．15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）上有五点（﹣1，p）、（0，t）、（1，n）、（2，t）、（3，0）：有下列结论：①b＞0；②关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3；③p+2t＜0；④m（am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确的结论①②④（填序号即可）．【解答】解：∵当x＝0和x＝2时，y＝t，∴对称轴为：x＝＝1，∴当x＝3和x＝﹣1时，y的值相等，∴p＝0，∴x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，故②正确；∵当x＝0时，y＝t，且c＞0，∴t＝c＞0，∴p+2t＝0+2t＞0，故③错误；∵x＝2，y＝t＞0，x＝3，y＝0，∴在对称轴的右边，y随x的增大而减小，∴a＜0，∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，故①正确；∵当x＝3时，y＝0，∴9a+3b+c＝0，∴3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴﹣4a﹣c＝﹣4a+3a＝﹣a，∵顶点坐标为（1，n），a＜0，∴am2+bm+c≤a+b+c，∴am2+bm≤a+b，∴am2+bm≤﹣a，∴am2+bm≤﹣4a﹣c，故④正确，故答案为①②④．16．（3分）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD所成的锐角为60°，AC+BD＝10，则四边形ABCD的面积最大值为．【解答】解：∵AC与BD所成的锐角为60°，∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD的面积S＝AC×BD×sin60°，设AC＝x，则BD＝10﹣x，所以S＝x（10﹣x）×＝﹣（x﹣5）2+，所以当x＝5，S有最大值．故答案为：．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：x2+x﹣6＝0．【解答】解：∵x2+x﹣6＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3或x2＝2．18．（8分）10月11日，2020中国女超联赛在昆明海埂基地落幕，最终武汉车都江大队夺得冠军．本赛季共有x支球队参加了第一阶段的比赛，每两队之间进行一场比赛，第一阶段共进行了45场比赛，求x的值．【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣1），∴共比赛了45场，∴x（x﹣1）＝45，解得：x1＝10，x2＝﹣9，∵x＞0，∴x＝10，答：x的值为10．19．（8分）已知，如图，AD＝BC．求证：AB＝CD．【解答】证明：∵AD＝BC，∴，∴，即，∴AB＝CD．20．（8分）如图，已知A，B，C均在⊙O上，请用无刻度的直尺作图．（1）如图1，若点D是AC的中点，试画出∠B的平分线；（2）若∠A＝42°，点D在弦BC上，在图2中画出一个含48°角的直角三角形．【解答】解：（1）如图1，BE为所作；（2）如图2，△BMN为所作．21．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3．（1）若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为﹣24≤y≤1（直接写出结果）；（2）若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为﹣1≤x≤0或4≤x≤5（直接写出结果）；（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴对称轴为直线x＝2，有最大值1，当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3﹣2）2+1＝﹣24，∴若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为﹣24≤y≤1，故答案为﹣24≤y≤1；（2）把y＝﹣8代入y＝﹣x2+4x﹣3得，﹣8＝﹣x2+4x﹣3，解得x1＝5，x2＝﹣1，把y＝﹣3代入y＝﹣x2+4x﹣3得，﹣3＝﹣x2+4x﹣3，解得x3＝0，x4＝4，∴若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为﹣1≤x≤0或4≤x≤5，故答案为﹣1≤x≤0或4≤x≤5；（3）∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，∴y1＝﹣m2+4m﹣3，y2＝﹣（m+1）2+4（m+1）﹣3＝﹣m2+2m，∴y2﹣y1＝3﹣2m，令y2﹣y1＞0，即y2＞y1，此时m ＜，令y2﹣y1＝0，即y2＝y1，此时m ＝，令y2﹣y1＜0，即y2＜y1，此时m ＞，综上，m ＜，y2＞y1；m ＝，y2＝y1；m ＞，y2＜y1．22．（10分）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表：第x天售价（元/件）日销售量（件）1≤x≤30x+60300﹣10x已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元，请直接写出结果．【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+60﹣40）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000；（2）y＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，∵﹣10＜0，故抛物线开口向下，当x＝5（天）时，y取得最大值为6250（元）．∴销售该商品第5天时，日销售利润最大，最大日销售利润6250元；（3）令y＝﹣10x2+100x+6000＝5440，解得x＝﹣4或x＝14，故当月有14天的日销售利润不低于5440元．23．（10分）【问题背景】如图1，P是正三角形ABC外一点，∠APB＝30°，则P A2+PB2＝PC2．小明为了证明这个结论，将△P AB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小明完成他的作图；【迁移应用】如图2，在等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，使得∠BPC＝45°，若S△P AC＝4.5，求PC；【拓展创新】如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在四边形ABCD内部，且DE＝EC，∠DEC＝90°，∠AEB＝135°，AD＝3，BC＝4，直接写出AB的长．【解答】解：【问题背景】如图1．【迁移应用】如图2，作线段BM垂直于BP交PC的延长线于点M，连接AM，∵∠BPM＝45°，∠PBM＝90°，∴△BPD为等腰直角三角形，∴BP＝BM，∵∠ABM+∠MBC＝∠ABC＝90°，∠PBM＝∠PBC+∠MBC＝90°，∴∠PBC＝∠ABM，在△PBC和△MBA中，，∴△PBC≌△MBA（SAS），∴∠AMP＝90°，∴＝4.5，∴PC＝3．【拓展创新】如图3，将△AED绕点E顺时针旋转90°至△FEC，连接BF，则AD＝CF＝3，AE＝EF，∠ADE＝∠FCE，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∵AD∥BC，∴∠ADE+∠EDC+∠ECD+∠ECB＝180°，∵ED＝EC，∠CED＝90°，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠ADE+∠ECB＝90°，∴∠FCE+∠ECB＝90°，即∠FCB＝90°，∴FB＝＝＝5，∵∠AEB＝135°，∠AEF＝90°，∴∠FEB＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠AEB＝∠FEB，在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AB＝FB＝5．24．（12分）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点为（0，0）．（1）求b，c的值；（2）如图1，若a＝1，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线PN⊥x轴交x轴于点N，交直线：y＝x+2于M点，设P点的横坐标为m，当2PM＝PN时，求m的值；（3）如图2，点P（0，y0）为y轴正半轴上一定点，点A，B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若∠APO＝∠BPy，求证：直线AB经过一个定点．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k＝ax2①，故b＝0，c＝0；（2）a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2，设点P的坐标为P（m，m2），则点M（m，m+2），∵2PM＝PN，则|m+2﹣m2|＝m2，解得m＝（舍去）或或或﹣1（舍去），故m＝或；（3）作点A关于y轴的对称轴M，∵抛物线关于y轴对称，故点M在抛物线上，连接MP，∵∠MPO＝∠OP A＝∠BPy，故M、P、B三点共线，设点A（p，ap2），则点M（﹣p，ap2），设直线PM的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线PM的表达式为y＝+y0②，联立①②并整理得：ax2+x﹣y0＝0，则x B+x M＝﹣，即x B﹣p＝﹣，则x B＝，将xB的值代入y＝ax2得，y＝，故点B的坐标为（，），由点B、A的坐标得，直线AB的表达式为y＝x﹣y0，当x＝0时，y＝﹣y0，故直线AB恒过点（0，﹣y0）．。

【5套打包】武汉市初三九年级数学上期中考试检测试卷(解析版)

【5套打包】武汉市初三九年级数学上期中考试检测试卷(解析版)

新九年级（上）数学期中考试试题及答案一、填空题（每小题3分，共30分）．1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列方程中，关于x的一元一次方程是（）A．x2+2x＝x2﹣1 B．+﹣2＝0C．ax2+bx+c＝0 D．（x+1）2＝2（x+1）3．平面直角坐标系中，与点（2，﹣3）关于原点中心对称的点是（）A．（﹣3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣2，3）D．（2，3）4．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标是（1，2）C．对称轴是x＝﹣1 D．与x轴有两个交点5．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表式是（）A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+26．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则（）A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6 C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝67．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．36°8．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y29．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝ax2﹣bx的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（﹣3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②④B．③④C．①③④D．①②二、填空题（每小题4分，共24分）11．把方程3x2＝5x+2化为一元二次方程的一般形式是．12．（a+2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则a所满足的条件是．13．抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为．14．已知实数x，y满足x2﹣6x++9＝0，则（x+y）2017的值是．15．如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．16．如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC＝2，AC＝2，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：3（x﹣2）2＝2（2﹣x）．18．（6分）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．（1）按要求作图：△ABC关于原点中心对称的△A1B1C1．（2）△A1B1C1中各个顶点的坐标．19．（6分）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是直线x＝﹣1．（1）求m，n的值；（2）x取什么值时，y随x的增大而减小？四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．我市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）．（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2015年底的绿地面积为公顷，比2014年底增加了公顷；在2013年，2014年，2015年这三年中，绿地面积增加最多的是年；（2）为满足城市发展的需要，计划到2017年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率．21．（7分）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积．22．（7分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？24．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE＝CF；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．25．（9分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．下列方程中，关于x的一元一次方程是（）A．x2+2x＝x2﹣1 B．+﹣2＝0C．ax2+bx+c＝0 D．（x+1）2＝2（x+1）【分析】根据一元一次方程的定义，一元二次方程的定义对各选项分析判断即可得解．解：A、化简可得2x＝﹣1，是一元一次方程，故本选项正确；B、未知数在分母上，不是整式方程，故本选项错误；C、没有对常数a、b不等于0的限制，所以不是一元一次方程，也不是一元二次方程，故本选项错误；D、整理得x2+2x+1＝2x+2，是一元二次方程，故本选项错误．故选：A．【点评】本题利用了一元二次方程的概念，一元一次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．3．平面直角坐标系中，与点（2，﹣3）关于原点中心对称的点是（）A．（﹣3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣2，3）D．（2，3）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．解：点（2，﹣3）关于原点中心对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选：C．【点评】本题考查了平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），比较简单．4．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标是（1，2）C．对称轴是x＝﹣1 D．与x轴有两个交点【分析】根据二次函数的性质对各开口方向、顶点坐标、对称轴以及与x轴交点的坐标进行判断即可．解：A、y＝（x﹣1）2+2，∵a＝1＞0，∴图象的开口向上，此选项错误；B、y＝（x﹣1）2+2顶点坐标是（1，2），此选项正确；C、对称轴是直线x＝1，此选项错误；D、（x﹣1）2+2＝0，（x﹣1）2＝﹣2，此方程无解，与x轴没有交点，故本选项错误．【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握利用顶点式求抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴与x轴交点的判定方法是解决问题的关键．5．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表式是（）A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2【分析】根据函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．解：y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表式是y＝（x+3）2﹣2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则（）A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6 C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝6【分析】根据根与系数的关系得到2+（﹣3）＝﹣b，2×（﹣3）＝c，然后可分别计算出b、c的值．解：根据题意得2+（﹣3）＝﹣b，2×（﹣3）＝c，解得b＝1，c＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x•x2＝．17．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．36°【分析】先求的分针旋转的速度为＝6（度/分钟），继而可得答案．解：∵分针旋转的速度为＝6（度/分钟），∴从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为6×5＝30（度），故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．8．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝3，图象开口向上；利用对称轴左侧y随x的增大而减小，可判断y1＞y2，根据C（3，y3）在对称轴上可判断y3＜y2；于是y1＞y2＞y3．解：由二次函数y＝x2﹣6x+c可知对称轴为x＝﹣＝﹣＝3，∴C（3，y3）在对称轴上，∵A（﹣1，y1），B（2，y2）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3．故选：A．【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据函数关系式，找出对称轴．9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝ax2﹣bx的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．解：A、对于直线y＝ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴x＝＞0，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误；B、对于直线y＝ax+b来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴x＝＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误；C、对于直线y＝ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，图象开口向上，对称轴x＝＞0，应在y轴的右侧，故符合题意；D、对于直线y＝ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误；故选：C．【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（﹣3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②④B．③④C．①③④D．①②【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；②根据对称轴求出b＝﹣a；③把x＝2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；④根据﹣3＜﹣2＜，结合抛物线的性质即可判断y1和y2的大小．解：①∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线x＝，∴﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∴abc＜0．故①正确；②∵由①中知b＝﹣a，∴a+b＝0，故②正确；③把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，∵抛物线经过点（2，0），∴当x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0．故③错误；④∵抛物线开口向下，对称轴为x＝，∴在对称轴的左边y随x的增大而增大，∵﹣3＜﹣2＜，∴y1＞y2．故④错误；综上所述，正确的结论是①②．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．把方程3x2＝5x+2化为一元二次方程的一般形式是3x2﹣5x﹣2＝0 ．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），据此即可求解．解：一元二次方程3x2＝5x+2的一般形式是3x2﹣5x﹣2＝0．故答案为：3x2﹣5x﹣2＝0．【点评】在移项的过程中容易出现的错误是忘记变号．12．（a+2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则a所满足的条件是a≠﹣2 ．【分析】根据一元二次方程的定义得出a+2≠0，求出即可．解：∵（a+2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，∴a+2≠0，∴a≠﹣2．故答案为：a≠﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（abc都是常数，且a≠0）．13．抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为 4 ．【分析】已知抛物线的对称轴，利用对称轴公式可求b的值．解：∵y＝2x2﹣bx+3，对称轴是直线x＝1，∴＝1，即﹣＝1，解得b＝4．【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法：公式法：y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是x＝．14．已知实数x，y满足x2﹣6x++9＝0，则（x+y）2017的值是﹣1 ．【分析】直接利用非负数的性质以及二次根式的性质求出x，y的值进而得出答案．解：∵x2﹣6x++9＝0，∴（x﹣3）2+＝0，解得：x＝3，y＝﹣4，故（x+y）2017＝（3﹣4）2017＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x的值是解题关键．15．如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为（9﹣2x）•（5﹣2x）＝12 ．【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（9﹣2x），宽为（5﹣2x），然后根据底面积是12cm2即可列出方程．解：设剪去的正方形边长为xcm，依题意得（9﹣2x）•（5﹣2x）＝12，故填空答案：（9﹣2x）•（5﹣2x）＝12．【点评】此题首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．16．如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC＝2，AC＝2，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是π+2．【分析】在△ABC中，BC＝2，AC＝2，根据勾股定理得到AB的长为4．求出∠CAB、∠CBA，顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是两个扇形的面积+△A′BC″的面积．根据扇形的面积公式可以进行计算．解：∵在Rt△ACB中，BC＝2，AC＝2，∴由勾股定理得：AB＝4，∴AB＝2BC，∴∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，∴∠ABA′＝120°，∠A″C″A′＝90°，S＝++×2×2＝π+2，故答案为：π+2．【点评】本题考查了扇形的面积计算，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，本题的关键是弄清顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的图形的形状．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：3（x﹣2）2＝2（2﹣x）．【分析】移项，利用因式分解法求得方程的解即可．解：3（x﹣2）2＝2（2﹣x）3（x﹣2）2﹣2（2﹣x）＝0（x﹣2）[3（x﹣2）+2]＝0x﹣2＝0，3x﹣4＝0解得：x1＝2，x2＝．【点评】此题考查用因式分解法解一元二次方程，掌握提取公因式法是解决问题的关键．18．（6分）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．（1）按要求作图：△ABC关于原点中心对称的△A1B1C1．（2）△A1B1C1中各个顶点的坐标．【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1点的坐标，然后描点即可；（2）由（1）可得）△A1B1C1中各个顶点的坐标．解：（1）如图，（2）A1（1，﹣3），B1（6，﹣1），C1（3，﹣1）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等腰三角形的性质．19．（6分）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是直线x＝﹣1．（1）求m，n的值；（2）x取什么值时，y随x的增大而减小？【分析】（1）根据二次函数过点P和二次函数的对称轴为x＝﹣1，可得出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（2）由二次函数的a的值大于0，结合函数的单调性，即可得出结论．解：（1）∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是直线x＝﹣1，∴有，解得．∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣2．（2）∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，当x≤﹣1时，函数递减；当x＞﹣1时，函数递增．故当x≤﹣1时，y随x的增大而减小．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标以及对称轴的解析式得出二元一次方程组；（2）由a＝1＞0及对称轴为x＝﹣1，结合二次函数的性质即可得知当x≤﹣1时，函数递减．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．我市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）．（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2015年底的绿地面积为60 公顷，比2014年底增加了 4 公顷；在2013年，2014年，2015年这三年中，绿地面积增加最多的是2014 年；（2）为满足城市发展的需要，计划到2017年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率．【分析】（1）根据统计图能看出2003年的绿化面积和2002年的绿化面积．（2）设04，05两年绿地面积的年平均增长率为x，根据计划到2005年底使城区绿地面积达到72.6公顷，可列方程求解．解：（1）2015年的绿化面积为60公顷，2014年绿化的面积为56公顷．60﹣56＝4，比2014年底增加了4公顷，这三年中增长最多的是2014年．故答案是：60；4；2014；（2）设2016，2017两年绿地面积的年平均增长率为x，60（1+x）2＝72.6．x＝10%或x＝﹣210%（舍去）．答：2016，2017两年绿地面积的年平均增长率10%．【点评】本题考查折线统计图及一元二次方程的应用的知识，从上面可看出每年对应的公顷数，以及2015年和2017年的公顷数，求出增长率．21．（7分）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积．【分析】（1）利用待定系数法把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c中，可以解得b，c的值，从而求得函数关系式即可；（2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；（3）由（2）可得顶点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO的面积．解：（1）把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c，得：，解得：，所以此抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+4；（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+4＝﹣2（x2+2x）+4＝﹣2[（x+1）2﹣1]+4＝﹣2（x+1）2+6，∴此抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）由（2）知：顶点C（﹣1，6），∵点A（0，4），∴OA＝4，∴S△CAO＝OA•|x c|＝×4×1＝2，即△CAO的面积为2．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键．22．（7分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）先计算出△＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）分类讨论：当b＝c时，△＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程解出k＝1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断．（1）证明：△＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：当b＝c时，△＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去，∴△ABC的周长为5．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：①当△＞0，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0，方程有两个相等的实数根；③当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？【分析】（1）根据销售额＝销售量×销售单价，列出函数关系式；（2）用配方法将（1）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；（3）把y＝150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．解：（1）由题意得出：w＝（x﹣20）∙y＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600，故w与x的函数关系式为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；（2）w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，∵﹣2＜0，∴当x＝30时，w有最大值．w最大值为200．答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．（3）当w＝150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150．解得x1＝25，x2＝35．∵35＞28，∴x2＝35不符合题意，应舍去．答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．【点评】本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．24．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE＝CF；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．【分析】（1）根据旋转的性质得AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，然后根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据菱形的性质得DF＝AF＝2，DF∥AB，再利用平行线的性质得∠1＝∠BAC＝45°，则可判断△ACF为等腰直角三角形，所以CF＝AF＝2，然后计算CF﹣DF即可．（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3，即∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF；（2）解：∵四边形ABDF为菱形，∴DF＝AF＝2，DF∥AB，∴∠1＝∠BAC＝45°，∴△ACF为等腰直角三角形，∴CF＝AF＝2，∴CD＝CF﹣DF＝2﹣2．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．25．（9分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y＝a（x﹣2）2+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）设直线AC解析式为y＝kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM＝AN，由对称性得到M （3，），即DM＝2，故AN＝2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P＝DQ＝，N′P＝AQ＝3，将y＝﹣代入得：﹣＝﹣x2+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标．解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA＝4，OC＝3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0＝4a+3，即a＝﹣，则抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3＝﹣x2+3x；（2）设直线AC解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：，故直线AC解析式为y＝﹣x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，则点D坐标为（1，）；（3）存在，分两种情况考虑：①当点M在x轴上方时，如答图1所示：四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM＝AN，由对称性得到M（3，），即DM＝2，故AN＝2，∴N1（2，0），N2（6，0）；②当点M在x轴下方时，如答图2所示：过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，∴MP＝DQ＝，NP＝AQ＝3，将y M＝﹣代入抛物线解析式得：﹣＝﹣x2+3x，解得：x M＝2﹣或x M＝2+，∴x N＝x M﹣3＝﹣﹣1或﹣1，∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．综上所述，满足条件的点N有四个：N 1（2，0），N2（6，0），N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题．新九年级（上）数学期中考试试题及答案一、填空题（每小题3分，共30分）．1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列方程中，关于x的一元一次方程是（）A．x2+2x＝x2﹣1 B．+﹣2＝0C．ax2+bx+c＝0 D．（x+1）2＝2（x+1）3．平面直角坐标系中，与点（2，﹣3）关于原点中心对称的点是（）A．（﹣3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣2，3）D．（2，3）4．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标是（1，2）C．对称轴是x＝﹣1 D．与x轴有两个交点5．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表式是（）A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+26．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则（）A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6 C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝67．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．36°8．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y29．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝ax2﹣bx的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（﹣3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②④B．③④C．①③④D．①②二、填空题（每小题4分，共24分）11．把方程3x2＝5x+2化为一元二次方程的一般形式是．12．（a+2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则a所满足的条件是．13．抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为．14．已知实数x，y满足x2﹣6x++9＝0，则（x+y）2017的值是．15．如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．16．如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC＝2，AC＝2，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：3（x﹣2）2＝2（2﹣x）．18．（6分）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．（1）按要求作图：△ABC关于原点中心对称的△A1B1C1．（2）△A1B1C1中各个顶点的坐标．19．（6分）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是直线x＝﹣1．（1）求m，n的值；（2）x取什么值时，y随x的增大而减小？四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．我市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）．（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2015年底的绿地面积为公顷，比2014年底增加了公顷；在2013年，2014年，2015年这三年中，绿地面积增加最多的是年；（2）为满足城市发展的需要，计划到2017年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率．。

2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和32．平面直角坐标系内一点P（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（4，3）C．（﹣4，﹣3）D．（4，﹣3）3．二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，3）4．点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、以下列长度为半径画圆，能判断直线l与⊙P 相交的是（）A．1B．2C．3D．45．用配方法解一元二次方程x2+2x＝0，下列配方正确的是（）A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝1D．（x+1）2＝﹣1 6．已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，当a取下列值时，使方程无实数解的是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．17．如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点．若∠ADC＝α（α为锐角），则∠APB＝（）A．180°﹣αB．180°﹣2αC．75°+αD．3α8．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（）A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位9．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣110．如图，在⊙O中，直径AB＝，EF为弦，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，BD 交⊙O于点G．若BD＝2AC，CE＝EF，则CD＝（）A．B．C．6D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．一元二次方程ax2+2x＝0的一个根是1，则a＝．12．二次函数y＝2x2﹣2x的对称轴是．13．在⊙O中，圆心角∠AOB＝80°，点P是圆上不同于点A、B的点，则∠APB＝°．14．已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝．15．如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D 为半径OB上一动点．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形内部（不包括边界），则OD的取值范围为．16．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点的坐标为（b2﹣4ac，0），则a•b满足的条件是．三、解答题（共8题，共72分）17．解方程：x2﹣x﹣1＝0．18．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为．19．要在一幅长为20分米、宽8分米的画的外围配一个四条边宽度相等的画框，且画框的面积为画的面积的，求画框的宽度．20．利用所学的知识在下列网格中进行操作，要求：仅用无刻度的直尺、保留作图痕迹，如图点A、B、C在小正方形的顶点．（1）在图1中，作出△ABC的中线AD；确定一个格点P，使AP⊥AB；（2）在图2中，作出△ABC的高线CE．21．如图，在⊙O中，弦BC⊥OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，过点E 作⊙O的切线交BC于点H．（1）求证：EH＝FH；（2）若点C为的中点，AD＝2，OD＝1，求EH的长度．22．作为“第七届世界军人运动会”的举办地，“武汉每天不一样”，武汉越来越美，吸引大量游客来游玩．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置．宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用．根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调x元（x为10的正整数倍），设一天订住的房间数为y．（1）直接写出y与x的函数关系式：，自变量x的取值范围是；（2）若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？（3）房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？23．如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）（1）延长ED交CH于点F，求证FA平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明；（3）如图3，作▱ABGE，连结DG，点N为DG的中点，连结EN．若AC＝EN＝3，直接写出四边形ADGE的面积．24．已知抛物线C：y1＝﹣x2+bx+4．（1）如图，抛物线与x轴相交于两点（1﹣m，0）、（1+m，0）．①求b的值；②当n≤x≤n+1时，二次函数有最大值为3，求n的值．（2）已知直线l：y2＝2x﹣b+9，当x≥0时，y1≤y2恒成立，求b的取值范围．2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和3【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项是﹣2x，常数项是3，故选：C．2．平面直角坐标系内一点P（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（4，3）C．（﹣4，﹣3）D．（4，﹣3）【解答】解：∵点P（﹣4，3），∴关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3），故选：D．3．二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，3）【解答】解：二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．故选：B．4．点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、以下列长度为半径画圆，能判断直线l与⊙P 相交的是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵点P到圆心O的距离d为3，∴当d＜r时，直线l与⊙P相交，即r＞3故选：D．5．用配方法解一元二次方程x2+2x＝0，下列配方正确的是（）A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝1D．（x+1）2＝﹣1【解答】解：x2+2x＝0，x2+2x+1＝0+1，（x+1）2＝1，故选：C．6．已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，当a取下列值时，使方程无实数解的是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【解答】解：∵方程无实数解，∴△＝4+4a＜0，∴a＜﹣1，故选：A．7．如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点．若∠ADC＝α（α为锐角），则∠APB＝（）A．180°﹣αB．180°﹣2αC．75°+αD．3α【解答】解：连接BD，如图，∵点C为弧AB的中点，∴＝，∴∠BDC＝∠ADC＝α，∵∠APB+∠ADB＝180°，∴∠APB＝180°﹣2α．故选：B．8．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（）A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为（3，﹣2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），而点（3，﹣2）先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得点（0，0），抛物线y＝（x﹣3）2﹣2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得抛物线y＝x2．故选：D．9．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣1【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，而a、b、m、n为互不相等的实数，∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，∴ab＝mn﹣2，∴ab﹣mn＝﹣2．故选：C．10．如图，在⊙O中，直径AB＝，EF为弦，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，BD 交⊙O于点G．若BD＝2AC，CE＝EF，则CD＝（）A．B．C．6D．【解答】解：连接AG、OE，作OM⊥CD于M，交AG于N，则EM＝FM，∵AB是直径，∴∠AGD＝90°，∵AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，∴四边形ACDG是矩形，∴AC＝DG，AG＝CD，AG∥CD，∵OM⊥CD，∴OM⊥AG，∴AN＝GN，∵AC∥MO∥BD，∴CM＝DM，∴CE＝DF，∵CE＝EF，∴CE＝EF＝DF，∵OM∥BD，OA＝OB，∴ON＝BG，∴OM＝BG，∵AC＝DG，BD＝2AC，∴BG＝DG，设AC＝BG＝GD＝m，CE＝EF＝FD＝n，则AG＝CD＝3n，在Rt△ABG中，AG2+BG2＝AB2，在Rt△OME中，OM2+EM2＝OE2，∴解得n＝2，∴CD＝3n＝6，故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．一元二次方程ax2+2x＝0的一个根是1，则a＝﹣2．【解答】解：∵一元二次方程ax2+2x＝0的一个根为1，∴x＝1满足关于x的一元二次方程ax2+2x＝0，∴a+2＝0，解得，a＝﹣2；故答案是：﹣2．12．二次函数y＝2x2﹣2x的对称轴是直线x＝．【解答】解：根据题意得x＝﹣＝﹣＝．即对称轴是直线x＝，故答案为直线x＝．13．在⊙O中，圆心角∠AOB＝80°，点P是圆上不同于点A、B的点，则∠APB＝40或140°．【解答】解：如图，点P点在优弧AB上，则∠APB＝∠AOB＝×80°＝40°，点P点在劣弧AB上，则∠AP′B＝180°﹣40°＝140°，综上所述，∠APB的度数为40°或140°．故答案为40或140．14．已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝（x﹣1）（x+3）．【解答】解：∵y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+3），∴x2+mx+n＝（x﹣1）（x+3）．故答案为（x﹣1）（x+3）．15．如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D 为半径OB上一动点．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形内部（不包括边界），则OD的取值范围为﹣1＜OD＜．【解答】解：当点E落在半径OB上时，连接OC，如下图1所示，∵∠ADC＝90°，∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，点A（2，0），∴∠COD＝30°，OA＝OC＝2，∴CD＝OC•sin30°＝2×＝1，∴OD＝OC•cos30°＝2×＝，∴BD＝OB﹣OD＝2﹣，∵DE＝DB，∴OE＝OD﹣DE＝﹣（2﹣）＝2﹣2，当点E落在半径OA上时，连接OC，CD，如图2所示，由已知可得，CE＝CA＝CB，由上面的计算可知，OE＝2﹣2，∴点E的横坐标为：（2﹣2）×cos60°＝﹣1，点E的纵坐标为：（2﹣2）×sin60°＝3﹣，∴E（﹣1，3﹣），∴直线BE的解析式为y＝﹣x+2，∵CD⊥AE，C（，1），∴直线CD的解析式为y＝x+1﹣，令y＝0，解得x＝﹣1，∴D（﹣1），观察图形可知：OD的取值范围为﹣1＜OD＜．故答案为：﹣1＜OD＜．16．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点的坐标为（b2﹣4ac，0），则a•b满足的条件是ab＝0．【解答】解：因为二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点，所以△＝0，即b2﹣4ac＝0．因为二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点的坐标为（b2﹣4ac，0），所以此坐标为（0，0），所以抛物线经过原点，且对称轴为y轴，所以b＝0，因为a≠0，所以ab＝0．故答案为ab＝0．三、解答题（共8题，共72分）17．解方程：x2﹣x﹣1＝0．【解答】解：x2﹣x﹣1＝0，∴，．18．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为x．【解答】解：（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y1＝﹣x2+2…①；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2…②，联立①②并解得：x＝，从图象可以看出，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为：x＜；故答案为：x．19．要在一幅长为20分米、宽8分米的画的外围配一个四条边宽度相等的画框，且画框的面积为画的面积的，求画框的宽度．【解答】解：设画框的宽度为x分米，依题意，得：（20+2x）（8+2x）＝20×8×（1+），整理，得：x2+14x﹣15＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣15（不合题意，舍去）．答：画框的宽度为1分米．20．利用所学的知识在下列网格中进行操作，要求：仅用无刻度的直尺、保留作图痕迹，如图点A、B、C在小正方形的顶点．（1）在图1中，作出△ABC的中线AD；确定一个格点P，使AP⊥AB；（2）在图2中，作出△ABC的高线CE．【解答】解：（1）线段AD即为△ABC的中线；点P即为所求作的点；（2）线段CE即为所求．21．如图，在⊙O中，弦BC⊥OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，过点E 作⊙O的切线交BC于点H．（1）求证：EH＝FH；（2）若点C为的中点，AD＝2，OD＝1，求EH的长度．【解答】（1）证明：连结OE．∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，∵HE与⊙O相切于点E，∴OE⊥EH，∴∠OEA+∠AEH＝90°，在Rt△ADF中，∠A+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝∠AEH，又∵∠AFD＝∠HFE，∴∠HFE＝∠AEH，∴EH＝FH；（2）解：连结OC交AE于M，AC，∵点C为的中点，∴，∴∠AOC＝∠EOC，∴OC垂直平分EF于点M，∵OA⊥BC，∴，BD＝CD，∴，∴∠CAE＝∠BCA，∴AF＝CF，∵，∴DC＝BC＝AE＝AM，在Rt△ODC中，CD＝，设DF＝x，则AF＝﹣x，在Rt△ADF中，x2+22＝，解得：x＝，连接OH，设EH＝y，则OH2＝12+＝32+y2，解得：y＝∴EH＝．22．作为“第七届世界军人运动会”的举办地，“武汉每天不一样”，武汉越来越美，吸引大量游客来游玩．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置．宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用．根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调x元（x为10的正整数倍），设一天订住的房间数为y．（1）直接写出y与x的函数关系式：y＝40﹣，自变量x的取值范围是0＜x≤90且x为10的正整数倍；（2）若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？（3）房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？【解答】解：（1）y＝40﹣（0＜x≤90且x为10的正整数倍），故答案为：y＝40﹣；（2）设总利润为W元，则W＝（210+x﹣30）（40﹣）＝﹣（x+180）（x﹣400）﹣（x﹣110）2+8410＝7770，x1＝30，x2＝190＞90舍去∴x＝30∴房间的定价为210+30＝240元；（3）W＝﹣（x﹣110）2+8410 （）0＜x≤90且为10的正整数倍）∵﹣＜0，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴当x＝90时，W有最大值为8370元，∴当房价为300元时，宾馆有最大利润为8370元．23．如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）（1）延长ED交CH于点F，求证FA平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明；（3）如图3，作▱ABGE，连结DG，点N为DG的中点，连结EN．若AC＝EN＝3，直接写出四边形ADGE的面积．【解答】（1）证明：如图1中，∵△ADE由△ABC旋转得到．∴AC＝AD，∠ACF＝∠ADE＝∠ADF＝90°，∴FA平分∠CFE．（2）结论：2DM+AD＝DE．证明：如图2中，延长AD交BC于F，连CD．∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，AD＝CD＝AC，∵∠ACF＝90°，∴∠AFC＝30°，∴AC＝AF，∴AD＝DF，∴D为AF的中点，又∵M为AD的中点，∴DM＝FB，在Rt△AFC中，FC＝AC，∴DM＝FB＝（BC﹣CF）＝（BC﹣AC）＝（DE﹣AD）∴2DM+AD＝DE．（3）如图3中，连接CN，延长CN到M，使得NM＝CN，连接MG，ME，EC，延长CD交EG于J．∵DN＝GN，∠DNC＝∠MNG，NC＝NM，∴△NDC≌△NGM（SAS），∴GM＝CD，∠ADN＝∠MGN，∴CJ∥MG，∴∠CJG＝∠MGN，∵△ACD，△ABE都是等边三角形，∴∠ACD＝∠BAE＝60°，∵四边形AEGB是平行四边形，∴EG∥AB，∴∠AEG+∠EAB＝180°∴∠AEG＝120°，∴∠ACJ+∠AEJ＝180°，∴∠CAF+∠CJF＝180°，∵∠CJF+∠GJC＝180°，∴∠CAF＝∠GJC，∴∠CAF＝∠MGE，∵AE＝AB，∴四边形AEGB是菱形，∴AE＝GE，∴△CAE≌△MGE（SAS），∴EC＝EN，∠AEC＝∠CEM，∴∠CEM＝∠AEG＝120°∵CN＝NM，∴EN⊥CM，∴∠CEN＝∠MEN＝60°，∴CN＝EN＝3，MN＝2CN＝6∵S四边形ADGE＝S四边形AENC+S四边形EMGN﹣S△ACD﹣S△DNC﹣S△EMG＝S△AEC+S△ECM+S△MNG﹣S△ACD﹣S△DNC﹣S△EMG＝S△ECM﹣S△ACD＝×6×3﹣×32＝．24．已知抛物线C：y1＝﹣x2+bx+4．（1）如图，抛物线与x轴相交于两点（1﹣m，0）、（1+m，0）．①求b的值；②当n≤x≤n+1时，二次函数有最大值为3，求n的值．（2）已知直线l：y2＝2x﹣b+9，当x≥0时，y1≤y2恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）﹣x2+bx+4＝0x1+x2＝＝1﹣m+1+m＝2，b＝2；（2）抛物线开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小．i：n+1≤1即n≤0，当x＝n+1时，y有最大值，﹣（n+1）2+2（n+1）+4＝3，又∵n≤0，∴，ii：n≤1≤n+1即0≤n≤1，当x＝1时y有最大值，﹣12+2＜1+4＝3不成立，iii：n≥1时，当x＝n时，y有最大值，﹣n2+2n+4＝3，又∵n≥1，∴，综上所述：或；（3）y1≤y2，﹣x2+bx+4≤2x﹣b+9，x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0，①：△≤0，（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0，﹣4≤b≤4；②：△＞0则b＞4或b＜﹣4，i：，不成立，ii：，b≤2，又∵b＞4或b＜﹣4，∴b＜﹣4，综上所述b≤4．s。

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2017学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A．2 B．0 C．0和2 D．13．（3分）若关于x的函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞24．（3分）已知方程2x2﹣x﹣1=0的两根分别是x1和x2，则x1+x2的值等于（）A．2 B．﹣ C．D．﹣15．（3分）如图，在△ABC中，C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则线段BE的长度为（）A．2 B．3 C．4 D．26．（3分）如图，在⊙O中，∠AOB=120°，P为弧AB上的一点，则∠APB的度数是（）A．100°B．110°C．120° D．130°7．（3分）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2﹣28．（3分）九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1190张卡片，设全班有x名学生，根据题意列出方程为（）A．x（x﹣1）=1190 B．x（x+1）=1190 C．x（x+1）=1190 D．x（x﹣1）=1190 9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，∠E=30°，的比值为（）交AB于点D，连接AE，则S ADC：S△ADEA．B．C．D．110．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜x A＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③若OC=2OA，则2b﹣ac=4；④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）点A（2，﹣1）关于原点对称的点B的坐标为．12．（3分）将二次函数y=x2﹣2x化为顶点式的形式为：．13．（3分）若关于x的方程﹣x2+5x+c=0的一个根为3，则c=．14．（3分）已知同一平面内存在⊙O和点P，点P与⊙O上的点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的半径为．15．（3分）将函数y=x2的图象向右平移2个单位得函数y1的图象，将y与y1合起来构成新图象，直线y=m被新图象依次截得三段的长相等，则m=．16．（3分）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，则Q点运动的路径为cm．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣3=0．18．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE（点A对应点为D），线段AC 交线段DE于点F，求∠EFC的度数．19．（8分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，A（1，0），B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）结合函数图象，写出当y＜3时x的取值范围．20．（8分）如图，在正方形网格中，每一小正方形的边长为1，格点ABC（三个顶点在相应的正方形的顶点处）在如图所示的位置：（1）△ABC的面积为：；（2）在网格中画出线段AB绕格点P顺时针旋转90°之后的对应线段A1B1；（3）在（2）的基础上，直接写出=．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D （1）求证：OD∥AC；（2）若AC=8，AB=10，求AD．22．（10分）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？23．（10分）已知矩形ABCD，点P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕P点顺时针旋转90°，点A恰好落在直线CD上点E处．（1）如图1，点E在线段CD上，求证：AD+DE=2AB；（2）如图2，点E在线段CD的延长线上，且点D为线段CE的中点，在线段BD上取点F，连接AF、PF，若AF=AB．求证：∠APF=∠ADB．（3）如图3，点E在线段CD上，连接BD，若AB=2，BD∥PE，则DE=．（直接写出结果）24．（12分）已知抛物线C1：y=﹣x2+mx+m+．（1）①无论m取何值，抛物线经过定点P；②随着m的取值变化，顶点M（x，y）随之变化，y是x的函数，则其函数C2关系式为；（2）如图1，若该抛物线C1与x轴仅有一个公共点，请在图1中画出顶点M满足的函数C2的大致图象，平行于y轴的直线l分别交C1、C2于点A、B，若△PAB为等腰直角三角形，判断直线l满足的条件，并说明理由；（3）如图2，抛物线C1的顶点M在第二象限，交x轴于另一点C，抛物线上点M与点P之=S△MCD，求二次函数的解析式．间一点D的横坐标为﹣2，连接PD、CD、CM、DM，若S△PCD2017学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．2．（3分）一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A．2 B．0 C．0和2 D．1【解答】解：x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，所以x1=0，x2=2．故选：C．3．（3分）若关于x的函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2【解答】解：∵函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，∴2﹣a≠0，即a≠2，故选：B．4．（3分）已知方程2x2﹣x﹣1=0的两根分别是x1和x2，则x1+x2的值等于（）A．2 B．﹣ C．D．﹣1【解答】解：∵方程2x2﹣x﹣1=0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2=﹣=，故选：C．5．（3分）如图，在△ABC中，C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则线段BE的长度为（）A．2 B．3 C．4 D．2【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，∴BE=AB﹣AE=2，故选：A．6．（3分）如图，在⊙O中，∠AOB=120°，P为弧AB上的一点，则∠APB的度数是（）A．100°B．110°C．120° D．130°【解答】解：在优弧AB上取点C，连接AC、BC，由圆周角定理得，∠ACB=AOB=60°，由圆内接四边形的性质得到，∠APB=180°﹣∠ACB=120°，故选：C．7．（3分）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2﹣2【解答】解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y=（x﹣1）2+2，故选：A．8．（3分）九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1190张卡片，设全班有x名学生，根据题意列出方程为（）A．x（x﹣1）=1190 B．x（x+1）=1190 C．x（x+1）=1190 D．x（x﹣1）=1190【解答】解：由题意可得，x（x﹣1）=1190，故选：D．9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，∠E=30°，的比值为（）交AB于点D，连接AE，则S ADC：S△ADEA．B．C．D．1【解答】解：过C作CF⊥AB于F，连接OE，设AC=a，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=∠E=30°，∴∠A=60°，∠ACF=30°，CF=a，AB=2AC=2a，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴=，∴OE⊥AB，∴OE=AB=a∴S△ADC ：S△ADE=•AD•CF：•AD•OE=：2．故选：C．10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜x A＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③若OC=2OA，则2b﹣ac=4；④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴﹣＞1，∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，①成立；②∵b＞﹣2a，a＜0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，②错误；③∵OC=2OA，∴A（﹣，0），∴ac2﹣bc+c=0，整理得：2b﹣ac=4，③成立；④∵抛物线的对称轴1＜﹣＜2，∴﹣2a＜b＜﹣4a，∵当x=1时，y=a+b+c＞0，∴a﹣4a+c＞0，即3a﹣c＜0，④正确．综上可知正确的结论有3个．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）点A（2，﹣1）关于原点对称的点B的坐标为（﹣2，1）．【解答】解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴点A（2，﹣1）关于原点的对称点的坐标为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．12．（3分）将二次函数y=x2﹣2x化为顶点式的形式为：y=（x﹣1）2﹣1．【解答】解：y=x2﹣2x=x2﹣2x+1﹣1=（x﹣1）2﹣1，故答案为y=（x﹣1）2﹣1．13．（3分）若关于x的方程﹣x2+5x+c=0的一个根为3，则c=﹣6．【解答】解：根据题意，将x=3代入方程﹣x2+5x+c=0，得：﹣9+15+c=0，解得：c=﹣6，故答案为：﹣6．14．（3分）已知同一平面内存在⊙O和点P，点P与⊙O上的点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的半径为3或5．【解答】解：P在⊙O内，直径为8+2=10，半径为5，P在⊙O外，直径为8﹣2=6，半径为3，故答案为：3或5．15．（3分）将函数y=x2的图象向右平移2个单位得函数y1的图象，将y与y1合起来构成新图象，直线y=m被新图象依次截得三段的长相等，则m=或4．【解答】解：∵二次函数y=x2的图象向右平移2个单位，∴平移后的解析式为：y=（x﹣2）2，把y=m代入y=x2得m=x2，解得x=±，把y=m代入y=（x﹣2）2得m=（x﹣2）2，解得x=2±，当0＜m＜1时，则﹣（﹣）=2﹣﹣，解得m=，当m＞1时，则2+﹣=﹣（2﹣），解得m=4，故答案为或4．16．（3分）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，则Q点运动的路径为2cm．【解答】解：如图，Q点运动的路径为QQ′的长，∵△ACQ和△ABQ′是等边三角形，∴∠CAQ=∠BAQ′=60°，AQ=AC=AQ′=2cm，∵∠BAC=90°，∴∠QAQ′=90°，由勾股定理得：QQ′===2，∴Q点运动的路径为2cm；故答案为：2．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣3=0．【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）=0x﹣3=0，x+1=0∴x1=3，x2=﹣1．18．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE（点A对应点为D），线段AC 交线段DE于点F，求∠EFC的度数．【解答】解：如图，∵△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，∴△ABC≌△DBE，∴∠A=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠DFA=∠ABD=60°，∴∠EFC=∠DFA=60°．19．（8分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，A（1，0），B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）结合函数图象，写出当y＜3时x的取值范围．【解答】解：（1）∵函数的图象过A（1，0），B（0，3），∴，解得：．故抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）由图象知抛物线的对称轴为x=﹣1，且当y=3时，x=﹣2或0，故当y＜3时x的取值范围为x＜﹣2或x＞0．20．（8分）如图，在正方形网格中，每一小正方形的边长为1，格点ABC（三个顶点在相应的正方形的顶点处）在如图所示的位置：（1）△ABC的面积为：3；（2）在网格中画出线段AB绕格点P顺时针旋转90°之后的对应线段A1B1；（3）在（2）的基础上，直接写出=．【解答】解：（1）△ABC的面积=×3×2=3；故答案为：3；（2）如图所示，线段A1B1即为所求；（3）如图所示，连接AA1，BB1∵AA1==，BB1===2，∴==，故答案为：．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D （1）求证：OD∥AC；（2）若AC=8，AB=10，求AD．【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB交⊙O于点D，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠DAB=∠D，∴∠CAD=∠D，∴AC∥OD；（2）解：连接BC，BD，BC与OD交于E，∵AD平分∠CAB交⊙O于点D，∴=，∴CE=BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠C=90°，∴BC==6，∴CE=BE=3，∴OE==4，∴DE=1，∴BD==，∴AD==3．22．（10分）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）由题意得：y=50﹣，且0≤x≤160，且x为10的正整数倍．（2）w=（180﹣20+x）（50﹣），即w=﹣x2+34x+8000；（3）w=﹣x2+34x+8000=﹣（x﹣170）2+10890抛物线的对称轴是：直线x=170，抛物线的开口向下，当x＜170时，w随x的增大而增大，但0≤x≤160，因而当x=160时，即房价是340元时，利润最大，此时一天订住的房间数是：50﹣=34间，最大利润是：34×（340﹣20）=10880元．答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元．23．（10分）已知矩形ABCD，点P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕P点顺时针旋转90°，点A恰好落在直线CD上点E处．（1）如图1，点E在线段CD上，求证：AD+DE=2AB；（2）如图2，点E在线段CD的延长线上，且点D为线段CE的中点，在线段BD上取点F，连接AF、PF，若AF=AB．求证：∠APF=∠ADB．（3）如图3，点E在线段CD上，连接BD，若AB=2，BD∥PE，则DE=3﹣．（直接写出结果）【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，∵∠APE=90°，∴∠APB+∠CPE=90°，∴∠BAP=∠CPE，在△ABP和△PCE中，，∴△ABP≌△PCE，∴AB=PC=CD，BP=CE，∴AD+DE=BC+DE=BP+PC+DE=CE+CP+DE=CP+CD=2AB；（2）如图，∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，∵AB∥DC，∴∠ABF=∠BDC，∴∠AFB=∠BDC，∴∠AFD=∠EDF，∵AB=CD=DE，AB∥CD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥AE，∵PA=PE，∠APE=90°，∴∠PAE=∠PEA=45°，∴∠PMN=∠PNM=45°，∵BD∥AE，∴∠FAE+∠AFD=180°，∠FDE+∠AED=180°，∵∠AFD=∠EDF，∴∠FAE=∠DEA，∵∠PAE=∠PEA，∴∠FAP=∠DEP，在△APF和△EPD中，，∴△APF≌△EPD，∴∠AFP=∠DEP，∵∠AFD=∠EDF，∴∠PFD=∠PDF，在Rt△PCD中，PC=PD，∴∠CDP=45°，∴∠ADP=45°，∴∠ADB=45°﹣∠PDF=45°﹣∠PFD，∵∠AMB=∠PFD+∠APF=45°，∴∠APF=45°﹣∠PFD，∴∠APF=∠ADB；（3）由（1）知，△ABP≌△PCE，∴PC=AB=2，由（1）知，AD+DE=2AB=4，∴AD=4﹣DE，∵DB∥PE，∴△CPE∽△CBD，∴，∵CB=AD=4﹣DE，CD=AB=2，CE=CD﹣DE=2﹣DE，∴，∴DE=3+（由于点E在线段CD上，且CD=2，所以舍去）或DE=3﹣，即：DE=3﹣，故答案为：3﹣．24．（12分）已知抛物线C1：y=﹣x2+mx+m+．（1）①无论m取何值，抛物线经过定点P（﹣1，0）；②随着m的取值变化，顶点M（x，y）随之变化，y是x的函数，则其函数C2关系式为y=；（2）如图1，若该抛物线C1与x轴仅有一个公共点，请在图1中画出顶点M满足的函数C2的大致图象，平行于y轴的直线l分别交C1、C2于点A、B，若△PAB为等腰直角三角形，判断直线l满足的条件，并说明理由；（3）如图2，抛物线C1的顶点M在第二象限，交x轴于另一点C，抛物线上点M与点P之=S△MCD，求二次函数的解析式．间一点D的横坐标为﹣2，连接PD、CD、CM、DM，若S△PCD【解答】解：（1）①当x=﹣1时，y=﹣﹣m+m+=0，∴无论m取何值，抛物线经过定点P（﹣1，0）；y=﹣x2+mx+m+=﹣（x﹣m）2+m2+m+，顶点坐标为（m，m2+m+），∵顶点M（x，y），y是x的函数，则其函数C2关系式为：y==（x+1）2；故答案为：①（﹣1，0）；②y=；（2）∵该抛物线C1与x轴仅有一个公共点，∴△==0，m2+2m+1=0，m1=m2=﹣1，∴抛物线C1关系式为：y=﹣﹣x﹣=﹣（x+1）2，如图1，抛物线C1、C2关于x轴对称，∵△PAB是等腰直角三角形，∴PA=PB，PA⊥PB，∵x轴⊥AB，∴x轴是AB的垂直平分线，∴BD=PD，当直线l在顶点P的右侧时，=x+1，解得x=1，x=﹣1（不能构成三角形，舍去），当直线l在顶点P的左侧时，有=﹣x﹣1，解得x=﹣3、x=﹣1（不能构成三角形，舍去），则直线l为：x=1或x=﹣3；（3）如图2，当x=﹣2时，y=﹣×4﹣2m+m+=﹣m﹣，∴D（﹣2，﹣m﹣），当y=0时，﹣x2+mx+m+=0，x2﹣2mx﹣2m﹣1=0，解得：x1=1，x2=2m+1，∴P（﹣1，0），C（2m+1，0），由（1）得：顶点M[m，（m+1）2]，过D作DH⊥PC于H，过M作MN⊥PC于N，交CD于T，则直线CD的解析式为：y=x﹣m﹣，∴T（m，﹣﹣），∵S=S△MCD，△PCD则PC•DH=MT•CH，（﹣1﹣2m﹣1）（﹣m﹣）=[﹣]（﹣2﹣2m﹣1），（m+1）（2m+3）=﹣（m+1）（m+2）（2m+3），（m+1）（2m+3）（m+4）=0，m1=﹣1，m2=﹣，m3=﹣4，∵抛物线C1的顶点M在第二象限，点D又在点M与点P之间，∴m1=﹣1，m2=﹣，不符合题意，舍去，∴m=﹣4，∴y=﹣x2﹣4x﹣4+=﹣x2﹣4x﹣，则二次函数的解析式为：y=﹣x2﹣4x﹣．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

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