完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程
考研数学高等数学强化习题-不定积分
模块五 不定积分
Ⅰ经典习题
一．原函数与不定积分
1、设,0(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，1sin ,0
()0,
0x x g x x
x ⎧
≠⎪=⎨⎪=⎩下述命题成立的是（ ） （A ）()f x 在[1,1]-上存在原函数 （B ）(0)g '存在 （C ）()g x 在[1,1]-上存在原函数 （D ）1
()()x
F x f t dt -=
⎰
，则(0)F '存在
2、若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( ) (A) 1sin x + (B) 1sin x -
\
(C) 1cos x + (D) 1cos x -
3、在下列等式中,正确的结果是 ( ) (A)
()()d
f x dx f x dx
=⎰ (B) ()()f x dx f x '=⎰ (C) ()()df x f x =⎰ (D) ()()d f x dx f x =⎰
4、已知()F x 是()f x 的一个原函数，则()--=⎰
x
x e
f e dx _____.
二．有理函数积分
5、计算下列不定积分
（1）32211
++-⎰x x dx x （2）()()2223
11x dx x x +-+⎰ ;
（3）2
5
613
x dx x x +-+⎰ （4）2100
(1)-⎰x dx x （5）
21(21)(1)++⎰dx x x （6）21
(1)-⎰dx x x
（7）()
7
7
11x dx x x -+⎰ （8）226114(1)-+-⎰x x dx x x （9）
()()
2
2
1
21---⎰dx x
考研数学高等数学强化习题-不定积分
考研数学高等数学强化习题-不定积分
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
模块五 不定积分
Ⅰ经典习题
一．原函数与不定积分
1、设,0(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，1sin ,0
()0,0x x g x x
x ⎧
≠⎪=⎨⎪=⎩下述命题成立的是（ ） （A ）()f x 在[1,1]-上存在原函数 （B ）(0)g '存在
（C ）()g x 在[1,1]-上存在原函数 （D ）1()()x
F x f t dt -=⎰，则(0)F '存在
2、若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( )
(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -
3、在下列等式中,正确的结果是 ( )
(A) ()()d
f x dx f x dx =⎰ (B) ()()f x dx f x '=⎰
(C) ()()df x f x =⎰ (D) ()()d f x dx f x =⎰ 4、已知()F x 是()f x 的一个原函数，则()
--=⎰x x e f e dx _____.
二．有理函数积分
5、计算下列不定积分
（1）32211
++-⎰x x dx x （2）()()2223
11x dx x x +-+⎰ （3）2
5
613
x dx x x +-+⎰ （4）2100
(1)-⎰x dx x （5）21(21)(1)++⎰
dx x x （6）21
(1)
-⎰dx x x
（7）()
7
7
11x dx x x -+⎰ （8）226114(1)-+-⎰x x dx x x （9）()()
(完整版)考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料
持之以恒，厚积薄发 1 第四章 不定积分 性质第一类换元法计算第二类换元法原函数不定积分分部积分法简单分式的积分分段函数的积分 第四章 不定积分 2 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数的定义 原函数:若对于Ix，有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，称)(xF为)(xf在区间I内的原函数。 持之以恒，厚积薄发 3 原函数存在定理：连续函数必有原函数——即若)(xf在I上连续，则必存在)(xF，使得当xI时，)()(xfxF。 【例1】设)(xF是)(xf在(,)ab上的一个原函数，则()()fxFx在(,)ab上（ ） （A）可导 （B）连续 （C）存在原函数 （D）是初等函数 【答案】（C） 第四章 不定积分 4 【例2】（92二）若)(xf的导函数是xsin，则)(xf有一个原函数为 （A）xsin1. （B）xsin1. （C）xcos1. （D）xcos1. 【答案】（B） 持之以恒，厚积薄发 5 二、不定积分的定义 不定积分：在区间I内，)(xf的带有任意常数项的原函数CxF)(称为)(xf在区间I内的不定积分， 记为：dxxf)(，即CxFdxxf)()( 计算方法：求函数的不定积分，只要求得它的一个原函数，加上任意常数C即可。 第四章 不定积分 6 不定积分的几何意义：一个原函数对应于一条积分曲线；不定积分对应于积分曲线簇——无穷多条积分曲线，被积函数对应于切线的斜率——同一横坐标处切线平行。 【例3】若()fx的导函数是sinx,则()fx的原函数是_____. 【答案】12sinxCxC 持之以恒，厚积薄发 7 【例4】某曲线过点)2,1(，且其上任一点切线之斜率为该点横坐标之2倍，求此曲线方程。 【答案】12xy 第四章 不定积分 8 三、不定积分的性质 （1）))((dxxf 或))((dxxfd （2）dxxF)( 或)(xdF （3）dxxgxf))()(( （4）dxxkf)( 持之以恒，厚积薄发 9 【例5】（90二）设函数)(xf在),(上连续，则dxxfd)(等于 （A）)(xf （B）dxxf)( （C）Cxf)( （D）dxxf)(. 【答案】（B） 第四章 不定积分 10 【例6】（89三）在下列等式中，正确的结果是（ ） （A）)()(xfdxxf. （B）)()(xfxdf. （C）)()(xfdxxfdxd. （D）)()(xfxfd. 【答案】（C） 持之以恒，厚积薄发 11 【例7】（95三）设xxf1)(ln，则)(xf . 【答案】()xfxxeC 第四章 不定积分 12 四、基本积分表 （1）kdx （2）dxx （3）xdx （4）dxax ；dxex （5）21xdx （6）21xdx 持之以恒，厚积薄发 13 （7）xdxcos （8）xdxsin （9）xdxdxx22seccos1 （10）xdxdxx22cscsin1 （11）xdxxtansec （12）xdxxcotcsc 第四章 不定积分 14 【例8】 求下列不定积分 （1）dxx31； （2）dxxx)5(2； 【答案】(1)212Cx；（2）732221073xxC 持之以恒，厚积薄发 15 （3）dxxx23)1( （4）2xxedx； 【
考研复习高等数学不定积分——习题课
例3. 求
解:
x 2sin x cos x
原式
2 2 cos2 x
2 dx
2
x
d
tan
x 2
tan
x 2
dx
x tan x C 2
分部积分
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例4. 设
求积分
解:
令 x y t, 即 y xt
x
t
t
2
3
, 1
y
t
2
t
, 1
得
1 2
C1
1 2
C2
记作
C
得
1 2
1
C1
112121(212x(xx221C)12x2x)21C212C, C,C,,
x 1 x 1
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例9. 设 为 的原函数, 且
求
解: 由题设 F(x) f (x), 则
故
即 又
, 因此
不定积分—习题课
第四章
不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .
高等数学题库常微分方程
高等数学题库常微分方程
第6章常微分方程
习题一
一、填空题： 1、微分方程
1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。
2、设某微分方程的通解为()x
e
x c c y 221+=，且00
==x y
，10='=x y 则
___________1=c ，_____________2=c 。
3、通解为x
ce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。 4、满足条件()()=+?dx x f x f x
2的微分方程是__________。
5、 y y x 4='得通解为__________。
6、
1+=y dx
dy
的满足初始条件()10=y 的特解为__________。 7、设()n c c c x y y =,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数__________=n 。
8、设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微
分方程为___________
。二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x ==
2
π
2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，40
π
==x y
3、y
x e
y -='2，00
==x y
4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，4
π
=
=x y
三、求下列微分方程得通解：
1、122
2
+='y y y x 2、2
211y y x -='-
3、0ln =-'y y y x
高等数学100题不定积分及答案
sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 63、 cos 2x cos 3xdx =
1 10
sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 64、 tan x sec xdx = sec x + c
∫ 65、
tan2 x sec xdx =
1 2
secBiblioteka Baidu
x
tan
x
−
1 2
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+c
∫ 66、
tan x sec2 xdx =
arcsin
x 2
+
c
∫ 19、
dx = 1− 4x2
1 2
arcsin
2
x
+
c
∫ 20、
1−
x2 dx
= 2x 1−
x2
+
1 2
arcsin
x
+
c
∫ 21、
x
1−
x2 dx
= − 13 (1−
x
2
)
3 2
+
c
(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限
一、填空题
1、已知x x
f cos 1)2
(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)
1()34(lim 22
x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01
sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。
5、=-∞
→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0
,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→x
x x 6)
13ln(lim
0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 是非零常数，则________)(
lim =-+∞
→x
x a
x a x 。 11、已知当0→x 时，1)1(3
12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x
x
x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13、____________22lim
22=--++∞
→x x n 。
14、设8)2(
lim =-+∞
→x
x a
x a x ，则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞
→=____________。
二、选择题
1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
考研数学(三)题库 微积分(第八章 常微分方程)打印版【圣才出品】
8．一曲线在其上任一点的切线的斜率为－2x/y，则此曲线是（ ）。 A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【解析】由题意可知，y′＝－2x/y，解此一阶微分方程得 y2/2＝－x2＋c，即曲线为椭 圆。
9．微分方程 xdy－ydx＝y2eydy 的通解为（ ）。
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10．微分方程 y″－4y′＋5y＝0 的通解为（ ）。 A．ex（C1cos2x＋C2sin2x） B．C1e－x＋C2e5x C．e2x（C1cosx＋C2sinx） D．C1ex＋Ce－5x 【答案】C 【解析】原微分方程为齐次方程，其对应的特征方程为 r2－4r＋5＝0，解得 r＝2±i。 故方程通解为 y＝e2x（C1cosx＋C2sinx）。
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3．已知曲线 y＝y（x）经过原点，且在原点的切线平行于直线 2x－y－5＝0，而 y（x） 满足 y″－6y′＋9y＝e3x，则 y（x）等于（ ）。
A．sin2x B．x2e2x/2＋sin2x C．x（x＋4）e3x/2 D．（x2cosx＋sin2x）e3x 【答案】C 【解析】曲线所满足的非齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为 λ2－6λ＋9＝0，故 特征根为 λ＝3（二重）。故齐次方程的通解为 y0（x）＝（C1＋C2x）e3x 设非齐次方程的特 解为 Ax2e3x，代入微分方程，可得 A＝1/2，故非齐次方程的通解为 y（x）＝（C1＋C2x） e3x＋x2e3x/2。又因为曲线过原点，故 y（0）＝0；曲线在原点的切线平行于直线 2x－y－5 ＝0，故 y′（0）＝2。根据初值条件 y（0）＝0，y′（0）＝2，可得 C1＝0，C2＝2。故非 齐次方程的通解为 y（x）＝2xe3x＋x2e3x/2＝x（x＋4）e3x/2。故应选（C）。
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模块八不定积分
1、计算下列不定积分
（1
）
))
1
1dx ⎰
（2）()
2211x x
dx x x +++⎰
（3）32x e dx x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭⎰（4）cos 2cos sin x dx x x -⎰ （5
）（6）31
1
x x e dx e ++⎰
（7
）（8
）1dx x -⎰
（9）2
1
23dx x
+⎰
（10）21sin 24dx x π⎛
⎫
+ ⎪
⎝
⎭⎰
2、计算下列积分
（1
）x ⎰（2）4
4x
dx x +⎰
（3）3
82x dx x -⎰（4）21sin dx x x ⎰ （5）1x x dx e e -+⎰
（6）1ln ln ln dx x x x
⎰ （7）5sin cos x xdx ⎰（8）cot xdx ⎰ （9
）,()a b ≠
（10）4sin xdx ⎰（11）3tan xdx ⎰ 3、计算下列积分
（1
）（2）()322
11dx x +⎰
（3）()32
2
1x
dx x
-⎰（4
）3x ⎰ （5）()
322
1
1dx x -⎰
（6）()
32
22
1
dx x
a
+⎰
（7
）（8
） （9
）（10
）
4、计算下列积分
（1）2
ln x dx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
⎰（2
）2
xdx
（3）2
3x x e dx -⎰（4）arctan x xdx ⎰ （5
）⎰（6
）x ⎰ （7
(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程
1 .( 05,4 分)微分方程
xy 2y
xln x 满足
y(1)
22
x y)= x ln x.
2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x
分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得
dy
( 1
1)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1
x
e x yx
y Cxe x
, 其中
C 为任意常数 .
(二)奇次方程与伯努利方程
1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x
2 2xy y 2)dx (x 2
2xy)dy 0的通解
解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得
1-2u
2 du 3
dx, 1uu x
积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3
. 以 u y
代入得通解 x 2
xy y 2
.
xx
( y x 2
y 2
)dx xdy 0(x 0),
2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .
y x1 0
分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx ln
x, 两边乘 e x
=x 得
积分得
y(1)
x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.
9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的
解
解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2
)与 (-
考研+每日一题【不定积分合辑】【定积分合辑】持续更新中
考研+每日一题【不定积分合辑】【定积分合辑】持续更新中
考研积分合辑（ 不定积分篇 ）
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【35】一道涉及二倍角公式的不定积分计算
【36】一道涉及三角换元的不定积分计算
【38】一道包含抽象函数的的不定积分计算
【58】三道利用积分拆项、积化和差、平方和的积分计算
【61】分式中带有根式的换元积分计算方法
【63】抽象函数，已知函数的导数，利用积分计算原函数
【65】一类带有根式的不定积分，利用三角换元的推导过程
【66】分部积分的积分方法，分部积分的规则“反、对、幂、指、三”
【86】利用两次分布积分法，计算函数的积分
【113】利用二项式定理求正弦函数奇数次方的积分计算
考研积分合辑（ 定积分篇 ）
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【39】一道涉及换元及分部积分的定积分计算
【40】一道构造函数，利用零点定理来判断区间内根个数的计算
【49】一道关于反常积分的积分计算
【50】一道包含反常积分，积分换元的计算
【52】通过计算积分求极限的计算
【56】利用积分换元法及积分三角换元求极限
【59】谈论函数在某点处的连续性
【60】分段函数的定积分计算方法
【69】使用分部积分法和换元积分的定积分计算
【70】无穷积分，已知函数的关系式，求关系式中的未知数
【71】变限积分，由分段函数在某点连续，求函数中的未知数
更
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考研数学(二)题库(高等数学)-第八章 常微分方程【圣才出品】
7．方程 dy/dx＝y/x＋tan（y/x）的通解为（ ）。 A．sin（x/y）＝Cx B．sin（y/x）＝Cx C．sin（y/x）＝C/x D．sin（y/x）＝x＋C 【答案】B 【解析】原微分方程为 dy/dx＝y/x＋tan（y/x）。令 y/x＝u，则可变形为 u＋xdu/dx ＝u＋tanu，解得方程通解为 sinu＝sin（y/x）＝Cx。
2．设 y＝f（x）是 y″－2y′＋4y＝0 的一个解，若 f（x0）＞0 且 f′（x0）＝0，则 f（x） 在点 x0 处（ ）。
A．取得极大值 B．某邻域内单调递增 C．某邻域内单调递减 D．取得极小值 【答案】A 【解析】因为 y＝f（x）是微分方程 y″－2y′＋4y＝0 的一个解，故对于 x＝x0，有 f″ （x0）－2f′（x0）＋4f（x0）＝0。又因为 f′（x0）＝0，f（x0）＞0，可得 f″（x0）＜0， 故函数在 x＝x0 处取极大值。故应选（A）。
8．一曲线在其上任一点的切线的斜率为－2x/y，则此曲线是（ ）。 A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【解析】由题意可知，y′＝－2x/y，解此一阶微分方程得 y2/2＝－x2＋c，即曲线为椭 圆。
考研辅导典型例题不定积分
典型例题
一、直接积分法
所谓直接积分法就是用代数或三角恒等式，并用积分的性质和基本积分公式能直接求出不定积分，它要求初等数学有关公式很熟练。
【例1】 求
2
1x -.
解
原式()
31
1222
22x x x dx -==-+⎰
35
1
22242235
x x x C =-
++
【例2】 求下列不定积分
（1）421
1x dx x ++⎰ （2）()1dx x x +⎰
解 （1）()()442
22212121111x x dx dx x dx x x x -++⎡⎤==-+⎢⎥+++⎣⎦
⎰⎰⎰ ＝3
2arctan 3
x x x C -++ （2）
()1
1ln ln 111dx dx x x C x x x x ⎡⎤=-=-++⎢⎥++⎣⎦
⎰⎰ ＝ln
1
x
C x ++ 【例3】 求23523x x
x
dx -⎰
解 原式＝221
2525233ln 3
x x
dx x C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
⎰ ＝2532ln 2ln 3
x
x C ⎛⎫ ⎪
⎝⎭-
+-
【例4】 求下列不定积分 （1）2
tan xdx ⎰
（2）
22sin cos dx
x x ⎰
解 （1）(
)
2
2
tan sec 1tan xdx x dx x x C -=-+⎰
⎰＝
（2）222222221sin cos 1
1sin cos sin cos cos sin x x dx dx dx x x x x x x +⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰ ＝tan cot x x C -+
二、第一换元积分法
【例1】 求下列不定积分 （1）
1
(1)
不定积分的考研题库
不定积分的考研题库
不定积分的考研题库
在数学考研中，不定积分是一个重要的考点。解不定积分的题目需要运用到一系列的技巧和方法，同时也需要对基本的积分公式和性质有一定的了解。下面将通过一些例题来探讨不定积分的相关知识。
例题一：计算不定积分∫(x^2 + 3x - 2) dx。
解析：对于这个题目，我们可以直接按照积分的线性性质进行计算。即将不定积分分解为每一项的不定积分之和。所以，我们有：
∫(x^2 + 3x - 2) dx = ∫x^2 dx + ∫3x dx - ∫2 dx。
根据不定积分的基本公式，我们可以得到：
= (1/3)x^3 + (3/2)x^2 - 2x + C。
其中，C为任意常数。
例题二：计算不定积分∫(sin^2 x + cos^2 x) dx。
解析：对于这个题目，我们可以利用三角恒等式来化简。根据三角恒等式
sin^2 x + cos^2 x = 1，我们可以将被积函数化简为 1。所以，我们有：
∫(sin^2 x + cos^2 x) dx = ∫1 dx = x + C。
其中，C为任意常数。
例题三：计算不定积分∫(x^3 + x^2 + x + 1)/(x + 1) dx。
解析：对于这个题目，我们可以利用多项式除法来进行分解。将被积函数进行分解，我们有：
(x^3 + x^2 + x + 1)/(x + 1) = x^2 - x + 2 + (1/(x + 1))。
所以，我们有：
∫(x^3 + x^2 + x + 1)/(x + 1) dx = ∫(x^2 - x + 2) dx + ∫(1/(x + 1)) dx。
考研数学二(常微分方程)-试卷1.doc
考研数学二（常微分方程）-试卷1
(总分：64.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：11，分数：22.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________
2.微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2 =1的特解为( )（分数：2.00）
A.xy 2 =4。
B.xy=4。
C.x 2 y=4。
D.一xy=4。
3.设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则y(x)=( )（分数：2.00）
4.已知y 1 (x)和y 2 (x)是方程y"+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )（分数：2.00）
A.y=Cy 1 (x)。
B.y=Cy 2 (x)。
C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)。
D.y=c[y 1 (x)一y 2 (x)]。
5.设y 1，y 2是一阶线性非齐次微分方程y"+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy 1 +μy 2是该方程的解，λy 1一μy 2是该方程对应的齐次方程的解，则( )（分数：2.00）
6.设线性无关的函数y 1，y 2，y 3都是二阶非齐次线性方程y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)的解，C 1，C 2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（分数：2.00）
(完整版)考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料
第四章 不定积分
⎧⎪
⎧⎪
⎪⎪⎨⎪→→⎨⎪⎩⎪
⎪⎪⎪⎩性质第一类换元法计算第二类换元法
原函数不定积分分部积分法
简单分式的积分分段函数的积分
第一节 不定积分的概念与性质
一、原函数的定义
原函数:若对于I x ∈∀，有)()(x f x F ='或dx x f x dF )()(=，称)(x F 为)(x f 在区间I 内的原函数。
原函数存在定理：连续函数必有原函数——即若
F，使得当x∈I时，
(x
(x
)
f在I上连续，则必存在)
'。
)
(
F=
x
)
(x
f
【例1】设)
a b上的一个原函数，
f在(,)
F是)
(x
(x
则()()
a b上（）
+在(,)
f x F x
（A）可导（B）连续
（C）存在原函数（D）是初等函数
【答案】（C）
【例2】（92二）若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为
（A ）x sin 1+. （B ）x sin 1-. （C ）x cos 1+. （D ）x cos 1-. 【答案】（B ）
二、不定积分的定义
不定积分：在区间I内，)
f的带有任意常数项的
(x
原函数C
(称为)
)
F+
x
f在区间I内的不定积分，
(x
记为：⎰dx
(，即⎰+
x
f)
f)
(
)
(
x
=C
dx
x
F
计算方法：求函数的不定积分，只要求得它的一个原函数，加上任意常数C即可。
不定积分的几何意义：一个原函数对应于一条积分曲线；不定积分对应于积分曲线簇——无穷多条积分曲线，被积函数对应于切线的斜率——同一横坐标处切线平行。
【例3】若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 的原函数是_____.
【答案】12sin x C x C -++
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《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1． 求()x
f x e
-=在R 上的一个原函数。
2． 已知2
2
2
(sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。
3． 设
2
()f x dx x
C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰ 。
4．
计算
3。 5。
计算。 6． 计算
71
(2)
dx x x +⎰。 7。
计算。 8． 计算
21
13sin dx x +⎰。 9。 计算172
2
1sin cos dx x x
⎰
。
10． 计算
()
2
2
sin cos x dx x x x +⎰。
11． 计算
()()2
ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++⎰。
12． 设()arcsin xf x dx x C =+⎰
，则
1
()
dx f x =⎰
。 13． 设2
2
2(1)ln 2
x f x x -=-，且(())ln f x x ϕ=，求()x dx ϕ⎰。
14． 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +⎰。 15．
计算x
。 16． 计算
1sin 22sin dx x x +⎰。 17． 计算ln t tdt α
⎰
。 18． 计算()ln n x dx ⎰。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分
1．设02
()2
l kx x f x l c x l ⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩，求0
()()x x f t dt Φ=⎰。
2． 设1
()2()f x x f x dx =+⎰
，则()f x = 。
3． 计算
{}2
23
min 2,x dx -⎰
。
4． 已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则
2
2cos 1()x
dx f x π
π-+⎰＝ 。
5． 计算
101020
sin cos 4sin cos x x dx x x
π
---⎰
，并求20sin cos sin cos m m
n n x x
dx a x x π---⎰，这里的a 为任意的常数，
,m n 为正整数。
6．
计算
2
⎰
。 7． 计算2
(sin )
(cos )(sin )
f x dx f x f x π
+⎰。
8． 计算2008
2
200820080sin sin cos x
dx x x π+⎰。 9． 计算20
ln tan tdt π⎰。 10． 计算
2cos cos 33
()x x e e dx ππ
---⎰。 11． 计算131
1
x x
dx e e +∞
+-+⎰
。
12． 已知()()f x g x '=，()g x 连续，()(0)2f f π==，求
()20
()()11g x f x dx x x π
⎛⎫
- ⎪ ⎪++⎝⎭
⎰
。
13． 由
2(1)
()x x f t dt x +=⎰
，求连续函数()f x 在2x =处的值。
14． 设2
2
()x t F x e dt -=⎰
，则3
22()x F x dx -'=⎰ 。 15． 求定积分
2
2
sin arctan x x e dx π
π
-
⎰的值。 16． 计算2
sin 1cos x x
dx x
π+⎰
。 17． 设()22
32102()011x x x x x f x xe x e ⎧+-≤<⎪⎪
=⎨≤≤⎪⎪+⎩
，求1
()()x x f t dt -Φ=⎰。
18． 已知()f x
满足方程1
20
()3()f x x f x dx =，求()f x 。
19． 设函数()f x 连续，满足()0
3()1()2x
f t dt f x +=+⎰，求(0)f '。
20． 计算
()
2
21x
dx x +∞
+⎰
。
21．
4
20
32x x dx -+=⎰
。
22． 设函数()f x 连续，证明
()
()()()x u
x
f t dt du x u f u du =-⎰⎰
⎰。
23． 计算
2
(1)f x dx -⎰
，1
01
()101x
x x f x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩。