一道高考试题引发的对立体几何教学的思考

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2023年全国新高考1卷立体几何大题的教学启示

2023年全国新高考1卷立体几何大题的教学启示2023年全国新高考1卷的立体几何大题，一直以来都备受关注。

这不仅是因为立体几何在数学中的重要性，更是因为它对学生的思维能力、空间想象力和解决问题的能力都提出了挑战。

我们有必要对这一题型进行全面评估，并从中汲取教学的启示。

一、对立体几何大题进行深入的解剖在2023年全国新高考1卷的立体几何大题中，考查了许多立体图形的性质、空间几何想象和推理能力。

学生需要能够理解立体图形的特点、计算体积和表面积，并且能够运用立体几何知识解决实际问题。

这对学生的空间想象力和数学推理能力提出了挑战。

二、深度解析题目所涉及的知识点评估这一题型不仅要看到表面的难度，更需要深入挖掘其中所涉及的知识点。

只有深入理解了立体几何的性质和运用方法，才能更好地指导教学和学生学习。

三、教学启示和个人观点在教学中，我们应该注重培养学生的空间想象力和数学推理能力。

通过丰富的教学实例和引导，帮助学生理解立体图形的性质，掌握计算体积和表面积的方法，并且能够灵活运用到解决实际问题中。

只有如此，学生才能在应对高考中的立体几何大题时游刃有余。

四、总结与回顾通过对2023年全国新高考1卷立体几何大题的全面评估，我们不仅更好地理解了立体几何这一题型，更深刻地认识到了教学的重要性。

在教学中，我们要注重培养学生的空间想象力和数学推理能力，引导他们掌握立体图形的性质和计算方法。

我们也要灵活运用丰富的教学资源，帮助学生掌握解决问题的方法和技巧。

在2023年全国新高考1卷立体几何大题的教学启示中，我们应该看到更多的是教学的重要性和学生能力的培养。

只有通过深入的教学和学习，我们才能更好地应对未来的挑战。

希望我的文章对你有所启发，也欢迎你对立体几何大题教学的个人观点和理解进行补充和共享。

期待你的回复。

2023年全国新高考1卷的立体几何大题，一直以来都备受关注。

这不仅是因为立体几何在数学中的重要性，更是因为它对学生的思维能力、空间想象力和解决问题的能力都提出了挑战。

一道立体几何高考题评卷引发的思考

思想方法和能力．
一
解法２：连接ＯＤ、ＯＥ．经计算得ＡＤ＝ＡＥ＝２、／，
ＣＤ＝ＢＥ＝、／，ＯＣ＝ＯＢ＝３．在ＡＯＣＤ中，ＯＤ２＝ＣＯＺ＋ＣＤ２ — ２Ｃ０・ＣＤ・００８ＯＣＤ＝５，．・．ＯＤ＝Ｖ丐一（或在Ｒｔ
ＡＦ＝２．以及ＯＦ上ＤＥ且ＯＦ＝１．又ＡＦｎＤＥ＝Ｆ．故
９０。，ＢＣ＝６，Ｄ、Ｅ分别是ＡＣ、ＡＢ上的点，ＣＤ＝
ＢＥ＝、／．０为ＢＣ的中点．将ＡＡＤＥ沿ＤＥ折起，得到如图６所示的四棱椎ＡＢＣＤＥ，其中ＡＯ＝、／丁．
ｌ＋（
责任编校
徐国坚
离中２０１３年第７ — ８期
数学有数
・．
・
ＯＥ、ＯＦＧ平面ＢＣＤＥ，ＯＥｎＯＦ＝Ｆ，． ‘ ０上平
．
设ｎ＝（，Ｙ，）为平面ＡＣＤ
面ＢＣＤＥ．
评分标准：第（１）问共６分．（１）证明出Ａ０垂直于一条（较难的）直线给４分；（２）证明出Ａ０垂直于另一条（简单的）直线给１分：（３）使用线面垂直判定定理的正确表达给１分．思路二：利用面面垂直的性质定理证明线面垂直．解法３：参看解法１证明ＤＥ上平面ＡＯＦ，则可
１１＿ ¨
１一ｋ时，ｄ（。）＝
生
２－２ｋ＋ｋ

一题多解多解归一——一道数学立体几何高考题的思考

又由ＢＥ一／／ＡＦ，Ｇ是的中点知，ＢＥ一／／ＧＨ，
２
ＥＦｆＢＧ
／＿ＦＡＢ＝９００，ＢＣ／／ＡＤ，ＢＥ＃
１ＡＦ
，
１
Ｄ
２
Ｇ、日分别是、肋的中
曰
Ｃ
点。问题：Ｃ、Ｄ、、Ｆ四点是否共面？为什么？分析：我学习过的证明（判断）是否共面的方法有两类：一类是几何法；一类是向量法。本题两类方法都可以使用。而且每类方法中还可以应用不同的公理和定理解决这个问题。所以这道题的解法很多，我整理了十种方法和大家共同探讨。方法一：应用公理３的推论２： “ 两条相交直线可以确定一个平面 ” 判断。证明：Ｃ，Ｄ，Ｆ，Ｅ四点共面；延长ＤＣ交ＡＢ的延长线
延长ＦＥ￣Ａ＂Ｂ的延长线于Ｇ同理可得Ｇ（Ｇ）
ＧＥ
—
ＧＢ
—
ＢＥ
一
１
ＧＦＧＡＡＦ２
故里：
，
ＧＡＧＡ
即Ｇ与Ｇ，重合
因此直线ＣＤ、肼相交于Ｇ，即Ｃ，Ｄ，Ｅ四点共面。方法二：利用公理３的推论３： “ 两条平行直线可以确定一个平面” 和公理１： “ 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这直线上所有的点都在这个平面内” 。Ｃ，Ｄ，Ｆ，Ｅ四点共面。理由如下：由题意知，彤＝，

立体几何中的最值问题探究——从一道高考题谈起

所
以［（１＋
槡３）犪］２
＝２狓２狓
槡６＝
＋２
槡２犪．
点评：本题采用了空间问题平面化的解题策略，
考查考生的转化思想及直观想象能力，即通过转化与
直观想象，能够得出正方形形状的包装纸如何产生，
它与犘犘′ 有什么关系，从而由正方形的面积最小找到
二、主要题型探究
１．求线段与周长的最值这类问题，一般采用将几何体的侧面展成平面的方法解决，利用平面图形的性质加以计算．图２例１有一个所有棱长都是犪的正四棱锥，现在
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教学参谋新颖试题２０２０年２月
犇犕．
（２）在菱形犃犅犆犇中，因为 ∠犅犃犇＝６０°，所以
∠犃犇犆＝１２０°，于是犛△犇犌犎
１＝２
× 犇犌 × 犇犎
×
三、解题策略总结
通过以上分析，我们可以得到如下立体几何中的最值问题的求解策略：
１．建立函数关系，应用函数思想将几何问题代数化，把动态问题用目标函数表示出来．如何求出函数的最值，途径颇多．可用一次函数的端点法；二次数的配方法；三角函数的有界性和高次函数的导数法等．２．关注图形特征，利用几何性质法从几何图形中可以直接发现有关最值．如线段的具有距离的最小性，二面角的平面角具有角的最小性，球的大圆上的劣弧长具有球面距离的最小值等．合理应用图形的几何性质，可以避免烦琐的代数运算．３．将立体图形展开，化曲为平将几何体展成平面，是求立体几何最值的特殊方法，也是常用方法，这个方法可以把空间最值问题转化为平面上的最值问题．４．采用变量分析法这种方法要求我们能够透过现象看本质，对几何体中的各种元素，要看清哪些在动，哪些不动，弄清它们之间的内在关系，从而找到动态变化元素的最值．总而言之，立体几何的最值问题的求解，一般有三种最常用的解题思路：（１）根据几何体的结构特征，变动态为静态求最值；（２）将几何体平面化，将立体图形平面化；（３）建立函数，将几何问题代数化．犉

一道2020年全国高考立体几何题的多解及教学反思

一道2020年全国高考立体几何题的多解及教学反思在2020年的全国高考中，立体几何题一直是考试中的难点之一。

本文将通过对一道立体几何题的多解及教学反思，探讨学生在解题过程中的思维方式和教学中的不足之处。

这道立体几何题如下：在空间直角坐标系中，已知点A（2，1，1）、B（4，2，3）。

设C为曲线x^2+2y^2=4z上的一点，且直线AC与线段BC的夹角为直角。

求曲线C的方程。

这道题要求我们求解曲线C的方程。

通过分析题目中给出的条件，我们可以得到以下解题思路。

解法一：首先，我们需要确定直线AC和线段BC的具体位置。

根据题目条件，直线AC与线段BC的夹角为直角。

因此，直线AC与BC的向量相互垂直。

接下来，我们可以求解直线AC的方程。

设直线AC的方程为l1：x = 2 + m，y = 1 + n，z = 1 + p，其中m、n、p为参数。

将l1代入曲线的方程中，得到：(2 + m)^2 + 2(1 + n)^2 = 4(1 + p)。

化简后得到：4 + 4m + m^2 + 2 + 4n^2 + 4n = 4 + 4p。

化简后得到：m^2 + 2n^2 + 4m + 4n - 4p = 0。

这个方程表示了直线AC和曲线C的交点。

我们需要进一步确定参数m、n和p的取值范围。

由于点C位于曲线上，将C的坐标代入曲线的方程中，得到：x^2 + 2y^2 = 4z，(2 + m)^2 + 2(1 + n)^2 = 4(1 + p)。

化简后得到：m^2 + 4m + 2n^2 + 4n - 4p = 0。

将直线AC的方程和曲线C的方程联立，求解参数m、n和p。

解法二：另一种解题思路是利用点积和向量的知识。

根据题目中给出的条件，直线AC和线段BC垂直。

因此，向量AC和向量BC的点积为0。

设向量AC为a（m，n，p），向量BC为b（4 - 2，2 - 1，3 - 1） = b（2，1，2）。

根据向量的点积性质，我们可以得到方程：m·2 + n·1 + p·2 = 0。

从2021年新高考ⅰ卷第12题反思立体几何教学

从2021年新高考ⅰ卷第12题反思立体几何教学近年来，随着以北京师范大学为主要依托单位的第四届全国高中数学改革试点，新高考内容的出炉推进了新高考数学科的改革。

其中，第一次使用数学立体几何学知识的实际应用情况，刘金柱教授就以2021年新高考第12题：圆柱张开的视图面积计算为例，分析立体几何教学的可行性。

2021年新高考卷的第12题中，学生需要拉伸一个圆柱，不停地张开它，直到它变成一个球，要求学生利用圆柱体的高度和半径，计算出张开过程中各视图面积之和，给出了利用立体几何中空间体积、表面积、体积公式来解答的机会，新高考数学改革试点精心考虑了利用新高考解决实际问题的实践性教学。

立体几何学乃数学几何学的一个分支，也是中学阶段必修的一门学科，它涉及体积、表面积、锥体、椭圆体等内容。

在中学时期的立体几何教学中，传统的学习策略依赖于熟悉形体特性，学生通过手摸形体、看图等活动加深记忆，而在新高考中，学生不仅必须掌握几何形体的特性，而且还要学会熟练运用几何原理解决实际问题。

新高考试题的出现在深刻反映了21世纪数学素养的培养要求，但也暴露了中学数学教学的不足，也就是立体几何教学中缺乏实践性，以及学生缺乏在实际问题中将知识运用的能力。

为了提高学生实际应用的能力，教师要在立体几何教学中更多引入实践环节，让学生熟悉空间体积和表面积的概念，并尝试解决实际问题。

此外，教师也可以在教学过程中学习和运用现代化教学手段，比如数字化教学环境、三维技术模型，以及VR技术等，利用这些技术手段帮助学生更好地理解立体几何学。

由于虚拟的体积和表面积实际上没有物质的存在，所以学生能够更好地体会到空间几何形体表面积变化的情况，辅助学生将理论和实际结合起来，实现从被动学习到主动学习的过程。

总之，2021年新高考第12题的出现，催生了立体几何教学的改变，它强调了实践性，也提高了学生实践应用的能力，同时要求教师引入现代化教学手段，更好地满足学生多样化的发展需求，从而培养学生更优秀的数学素养。

高中数学立体几何高考试题分析与教学策略研究

高中数学立体几何高考试题分析与教学策略研究立体几何是高中数学中一个重要的分支,主要研究空间中的图形和体积,并通过对图形的分析和计算来解决实际问题。

在高中数学教学中,学习立体几何具有重要的意义,主要体现在以下几个方面:①学习立体几何可以帮助学生发展几何思维,增强空间想象力和逻辑思维能力。

学生需要通过观察、分析和计算,理解和应用各种空间图形的性质和特征,从而培养自身的数学思维和创造性思维。

②培养学生解决问题的能力。

在学习立体几何的过程中,学生需要掌握解决空间图形和体积问题的方法和技巧,运用数学的思维和方法解决实际问题。

这些过程可以培养学生解决问题的能力和技能,提高学生的综合素质。

③提高学生的实际应用能力。

立体几何的应用非常广泛,如在建筑、机械等领域中需要用到立体几何来解决实际问题。

学习立体几何可以帮助学生认识到数学与实际应用之间的关系,提高学生的实际应用能力,为学生的未来发展打下坚实的基础。

④帮助学生理解数学的基本概念。

立体几何是数学中的一个基本分支,通过学习立体几何可以帮助学生更好地理解数学中的基本概念,如点、线、面等。

学生通过学习立体几何,可以更好地理解数学的基本概念,为未来深入的学习打下基础。

高中数学中的立体几何是一门相对来说较为抽象的学科,对学生来说难度较大,以下是可能会成为难点的方面:①立体几何需要学生有很强的空间想象力。

例如,学生需要将三维图形投影到二维平面上进行分析和计算。

这对部分学生来说可能会比较困难,需要通过不断的练习来提高自己的空间想象力。

②在立体几何中,有很多基本概念需要学生掌握,如点、线、面等。

这些概念看似非常简单,但是需要深入理解,否则会对后续的学习造成困难。

③立体几何中的空间图形具有很多特殊的性质和特征,如对称性、旋转性等。

学生需要通过不断的练习和实践,掌握其性质和特征,并且能够将这些性质和特征应用到具体的问题中。

④在立体几何中,学生需要掌握体积计算的方法和技巧,比如如何计算各种几何体的体积、如何进行体积的加减、乘除等运算。

由07浙江高考立体几何题引起的思考

由07浙江高考立体几何题引起的思考钟董甫（浙江海盐元济高级中学 314300）甘建飞（浙江海盐元济高级中学 314300）基于立体几何的教学要求、考查目标，每年的立体几何考查既有相似之处，又不尽相同．今年我省对立体几何的考查不失传统又新颖别致，从分布看选择题、填空题、解答题各一题，分值依次为5分、4分、14分，共23分，占总分的15.3﹪，主要考查点线面的位置关系、线面所成角与二面角的求法．虽然学生在学习立体几何时有一定难度，但实际考查要求还是比较恰当，几年来比较稳定．然对大多数考生仍有一定的困难，空间想象能力的欠缺与数学思想方法的匮乏是主要的原因．以下笔者通过解答题（文20、理19）的深度分析，引发一些思考，以期对教学有指导意义． 1.数据分析 1.1整卷位置分析空间想象能力是公认的能力难点，虽教学目标和考纲要求，甚至新课程标准，它们的定位恰当，不刻意追求高难度的问题解决；可临场测试中仍问题多多．今年高考文科第19题（同理科的20题）难度适当，但对考生临场是心理承受的难关，时间过半，重任在前，过这道坎不易． 1.2.临场抽样分析考后学生抽样情况表明，一般地理科考生60分钟左右完成了选择与填空，70分左右时解答19题；文科考生60分钟左右完成了选择与填空，80分左右时解答20题．前面的70分钟时间经历了考试焦虑到情绪稳定这一过程，其中选择与填空后几题会有起伏；待到立几的解答时，大多数考生焦虑现象重起，原因是本题的解决还是有难度，能否顺利解决对后续到来的21、22题影响深远，中差生力求保底，优秀生追求高分，时间、情绪、思维交织纠缠．1.3难度得分估计从07高考数学理科平均95.79分与文科82.27分看，卷面难度适当，难度系数与以往一样0.6左右．本题的难度系数估计在0.68左右，也就是得分9.5分左右，难在图形的认识与方法的选择．本题的解决影响深远，由于方法不当耗时过多，造成没有充裕时间考虑21、22题，再加上考题数学思想立意较高，故考分不易超过140分． 2.问题解决 2.1问题评价【题】在如图1所示的几何体中，⊥EA 平面ABC ，⊥DB 平面ABC ，BC AC ⊥，且BD BC AC ===AE 2，M 是AB 的中点，（1）求证：EM CM ⊥；（2）求CM 与平面CDE 所成的角．【命题构成】问题的叙述回避了具体几何体——四棱锥的名称，淡化几何体概念，用线面位置关系，即用“⊥EA 平面ABC ，⊥DB 平面ABC ”描述题干，体现新课程理念．与以往一样，几何体的直观图给出，本问题等腰ABC Rt ∆水平放置，直角梯形ABDE 垂直放置，也就是把四棱锥ABDE C -“放倒”，增加了求解难度，我的第一感觉是“平面ACEMDECBA图1与平面DCE 的空间感”差，似乎E D C A 、、、四点共面，其他教师也有同感． 2.2问题（1）的解决一般地在空间几何体中求证线线垂直，几何法采用证明线面垂直，即证一条直线垂直过另一条直线的平面，体现“线线垂直→线面垂直→线线垂直”转化过程，充分利用线面垂直的判定与性质，不论他们是相交垂直还是异面垂直；向量法则证充要条件——所在直线上的两向量数量积为零；由于本问题的特殊性，也可通过计算CE EM CM 、、的长度，运用勾股定理证明．因本问题难度不大，故不再赘述，以下探讨问题2的求法． 2.3问题（2）的解决 2.3.1图形探究构成本题的几何体主体结构为：等腰ABC Rt ∆与直角梯形ABDE 所在平面相互垂直，所成几何体——四棱锥ABDE C -的直观图如何放置，便是探究的第一个要点．直观图顾名思义“直观”，怎样的直观图更有利于问题的解决呢？以下选择不同的视角，给出8个直观图，供大家参考．MDECBAAB C EDMMDECBAMDECBAABCEDMABCEDM MDECBAMDE CBA图2图3图4图5图6图7图8 图9【评价】直观图的画法以“水平放置图形为三角形或直角梯形，水平坐标系夹角o 45或o135”两个标准划分，通过比较可以发现，多个图形比原题更具空间感，利于几何法的求解；对于建立坐标系向量法求解也不错；至于体积法，更能轻松获得方法求解． 2.3.2几何法求解【分析】几何法特点是难度大，但耗时少．难在作线面所成角，方便在计算量不大．但解题数学思想、方法内涵丰富，即便是计算的失误，也不会得低分．【解答】如图10，过点M 作⊥MF DE 于F ，连结CF ， ∵⊥CM 平面AEDB ， ∴由三垂线定理得CF DE ⊥，∴⊥DE 平面MCF ，故平面MCF ⊥平面CDE ，∴点M 在平面CDE 上的射影在交线CF 上，故MCF ∠为CM 与平面CDE 所成的角．设BD BC AC ==a AE 22==，连结MD ME 、， ∵在直角梯形AEDB 中a AE a MB AM ===,2a AE BD AB DE 3)(,22=-+=∴BMD AME AEDB MDE S S S S ∆∆∆--=梯形22222222)2(a a a a a a a ⋅-⋅-⋅+=2223a =，∵=∆MDE S 222321a MF DE =⋅， ∴a MF 2=，又∵在ABC Rt ∆中，a CF 2=，∴在MCF Rt ∆中，CF MF =，o MCF 45=∠，所以CM 与平面CDE 所成的角为45度．【评价】选择如图10的直观图，容易联想三垂线情节，作出线面所成角．至于应用“面积法”求MF 的长是其中一种方法，也可通过计算a MD a ME 6,3==，得MDE ∆为直角三角形，从而求得MF 的长，或解析法求点M 到直线DE 距离（即对直角梯形建系）．当然通过解斜CDE ∆求CF 的长同样得解． 2.3.3向量法求解【分析】向量法特点是方法简单，耗时较多．向量方法是几何问题的代数方法，当然建立空间坐标系得恰当，其中的代数计算量较大．由于过程的平白，一个坐标的错误，一个运算的失误都可能造成满盘皆输，得分可能不高．【解答1】以M 为原点，分别以直线MC MA 、为z x 、轴建立空间直角坐标系（如图11），设AE =a ，则各点坐标：)0,0,0(M ，)2,0,0(a C ，)0,,2(a a E ，)0,2,2(a a D -，∴)2,0,0(a MC =→，)2,,2(a a a CE -=→，)2,2,2(a a a CD --=→，设平面CDE 的法向量→n ),,1(00z y =，则由0,0=•=•→→→→CD n CE n 得方程组：图10FMDECBAD⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+02220220000az ay a az ay a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==32200z y ， ∴→n )3,22,1(=，23||=→n ， ∴22,cos >=<→→MC n ， ∴向量→n 与→MC 的夹角大小为o45，∵直线CM 与平面CDE 所成的角为向量→n 与→MC 夹角的余角， ∴直线CM 与平面CDE 所成的角为o45．【解答2】首先证明MD ME ⊥，后以M 为原点，分别以直线MC MF ME 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系（如图12），则同样地可得各点坐标，待定平面CDE 的法向量求解．过程略．【评价】对选择数学（B ）学习的考生本题难度不大，向量方法易联想，但过程中须谨慎，建系适当、运算正确是不失分的保障． 2.3.4体积法求解【分析】体积法可求点M 到平面CDE 的距离，从而可求线面所成角．方法易选择，作图容易，难度不大，但有一定的计算量．【解答】过点M 作⊥MH 平面CDE 于H ，连结CH （如图13），则MCH ∠为CM 与平面CDE 所成的角．设a AE =，则=∆MDE S 2223a ，∴3a V MDE C =-，∵CDE ∆中，a DE a CD a CE 3,22,5===，由余弦定理得1010cos =∠ECD ，∴10103sin =∠ECD ， ∴23a S CDE =∆， ∵331a S MH CDE =⋅∆，∴a MH =， ∴在MCH Rt ∆中，22sin =∠MCH ，∴直线CM 与平面CDE 所成的角为o45． 2.4背景挖掘与问题的推广 2.4.1挖掘背景本问题的几何体主体结构为等腰ABC Rt ∆与直角梯形ABDE 所在平面相互垂直，解读本题，除了对空间线面、面面位置关系需要认识深刻，还得对平面图形——直角梯形ABDE 深入刻画，考生只有具备扎实的几何功底，才能顺利解决本问题．从上求解分析看到向量法优势明显．【背景1】如图14，直角梯形ABDE 中，设a AE =，则a BD 2=，a BM AM 2==，易由勾股定理得MED ∆为直角三角形，其实也可由BM AM BD AE ⋅=⋅判定AME ∆∽BDM ∆，从而得∠=∠Rt EMD ．它的平面背景是：直角梯形不垂直底边的腰与以垂直于底边的腰为直径的圆相切．AHM DECB A图13图14FMDEBA【背景2】在主体结构中，只要保持CM ⊥平面AEDB ，也就是等腰ABC Rt ∆可退化为等腰三角形；当我们发现MD ME ⊥后，可推断出，几何体的空间背景是：四面体同一顶点的三条棱两两互相垂直（如图15）． 2.4.2问题推广【推广1】在如图10所示的几何体中，⊥EA 平面ABC ，⊥DB 平面ABC ，BC AC ⊥，BC AC =，M 是AB 的中点，且BD AE AM ⋅=2，（1）求证：EM CM ⊥；（2）求CM 与平面CDE 所成的角．说明：由背景1，将直角梯形推广．图10中，⊥MF DE 于F ，以下证明AM MF =，如图14．【证明】如图14，由BM AM BD AE ⋅=⋅及DBE MAE ∠=∠可判定AME ∆∽BDM ∆，从而得BDM AME ∠=∠，∵oBDM BMD 90=∠+∠，代入得oAME BMD 90=∠+∠，∴oEMD 90=∠， ∵22222)(4)(4)(AE BD BD AE AE BD AM AE BD AB DE -+⋅=-+=-+=BD AE +=，又∵BMD AME AEDB MDE S S S S ∆∆∆--=梯形2)(BD AE AM +⋅=，且2MFDE S MDE ⋅=∆，∴AM MF =；另法：)()(2222BM BD AM AE ME MD +⋅+=⋅)()(22BD AE BD BD AE AE ⋅+⋅⋅+=)(BD AE BD AE +⋅⋅=)(BD AE AM += ∴由面积相等得AM MF =．【推广2】在如图10所示的几何体中，⊥EA 平面ABC ，⊥DB 平面ABC ，ABC ∆为正三角形，M 是AB 的中点，且BD AE AM ⋅=2，（1）求证：EM CM ⊥；（2）求CM 与平面CDE 所成的角．说明：续推广1将等腰直角三角形CAB 改变为正三角形．【略解】由ABC ∆中AM CM 3=，以及AM MF =得MF CM 3=，从而得直线CM与平面CDE 所成的角为o30．【推广3】在如图10所示的几何体中，⊥EA 平面ABC ，⊥DB 平面ABC ，BC AC =，M 是AB 的中点，kAM AC =)1(>k ，且BD AE AM ⋅=2（1）求证：EM CM ⊥；（2）求CM 与平面CDE 所成的角．说明：续推广1将等腰直角三角形CAB 推广为一般的等腰三角形．【略解】由ABC ∆中AM k CM ⋅-=12，以及AM MF =得MF k CM ⋅-=12，从而得直线CM 与平面CDE 所成的角为1cot 2-k arc ．CM E D图152.5几点想法本问题的解决在考试进程中承前启后，解题方法的选择至关重要，可以说高分的获得从这里开始，应该说鲜明的几何体直观图帮助我们走进空间世界，简捷的数学方法会大大降低求解难度．对照分析最后说两点思考，不当之处批评指正确．一是直立四棱锥，可以降低几何法、体积法求解的难度，提高本题的得分，同时提高整卷的得分；二是文理“并蒂”命题，文科卷改直角梯形为矩形（如图16），可降低求解难度，适合文科考生，提高整卷得分．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

教学案例由一道立体几何体看学生学习立体几何的困惑

由一道立体几何题看学生学习立体几何的困惑与反思第八师高级中学赵康在近几年的教学中，我发现越来越多的学生在做立体几何题时常常感到很吃力，特别是像我们学校平行班的学生，有一多半的学生看到题目就无从下手，或者心里知道谁和谁垂直，就是不知道该如何去写，他们往往是东一句西一句说不到重点，或者是想当然的写一些自相矛盾的话，思维很混乱。

空间想象能力不强，对立体几何基本定理记忆不牢固，语言缺乏逻辑性、书写不规范是他们普遍存在的问题。

就在最近，学生们在做一套数学学考检测试卷时，我发现班里近三分之一的同学在做立体几何题时一个字也没写，写了的同学得满分的也是少之又少。

下课后我问了一些一个字没写的同学，其中有人说：“立体几何太难了，做题时就直接跳过”。

还有人说：“看题看了半天，就是不知道该从哪入手”。

还有的同学说：“那个图看起来挺复杂的，在图上捉摸了好长时间，就是看不出哪条直线和平面垂直。

”还有同学说：“我看那条线和那个面像垂直啊，所以就直接用了。

”看来，大部分同学也很想做出这类题，也花了不少时间研究，那么究竟是什么原因让他们做不出题？看不懂图？下面我想就一道题作为例子探讨。

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC，E为PC上的点．（1）求证：平面AEC⊥平面PBD；（2）若E为PC中点，求AE与平面PBD所成的角．正确的解法在此省略。

我想说说我看到的学生的几种错误的做法。

同学甲：∵ABCD是正方形∴AC⊥BD∴BD⊥面AEC∴面AEC⊥PBD同学乙：设AC、BD交于O点，链接EO则EO⊥BD，又∵AC⊥BD∴BD⊥面AEC∴面AEC⊥面PBD同学丙：∵ABCD是正方形∴AC⊥BD又∵AC⊂面AEC,BD⊂面PBD∴面AEC⊥平面PBD这几种做法都是学生中常见的错误的做法。

甲同学虽然知道AC⊥BD,却忽略了要证明线面垂直，就必须要证一条线和平面内的两条相交直线垂直。

而乙同学更是想当然的把E点当成了PC的中点，这显然是不符合题意的。

浙江省数学高考立体几何试题的剖析和思考

２０１３年浙江省数学高考理科试题第２Ｏ题是
ＭＤ且２ＰＯ＝ＭＤ，故ＱＦＯＰ为平行四边形，ＰＱ∥ ＯＦ，因此Ｐ９ ∥平面ＢＣＤ．
・
２２・
中学教研（数学）
解法１如图５，作
出二面角的平面角鹏Ｃ，求出二面角的平
力（即“ 亲其师，悟其道 ” ），从而提高学生研究问题的能力（这远比学生多做几个题目要 “ 划算得多” ），这是我们数学教学要不懈努力的目标．
参考文献
研而生疑，疑而生思，思而后得．剖析高考试题
背后的本质（背景或题源）是破除题海最 “ 给力 ” 的武器，高考试题的本质正是在思维的层层深人中揭
对一类高考试题本质的追溯［Ｊ］．中学数学教学参考：上旬，２０１３（６）：ｌ一３．
— —
浙江省数学高考立体几何试题的剖析和思考
◆章显联应国刚
１阅卷概况
（鲁迅中学浙江绍兴３１２０００）
（２）若二面角Ｃ．ＢＭ－Ｄ的大小为６Ｏ。，求Ｚ＿ＢＤＣ的大小．
３试题剖析
分配到的题是理科卷第２０题（立体几何试题）．若
３．１第（１）小题解析
２位阅卷者给出的分数相差２分以上，则需组长或副组长等３— ４位教师仲裁，２位阅卷者给出的分
第８期
章显联，等：浙江省数学高考立体几何试题的剖析和思考

高考数学立体几何试题探究思考与体会——以2019 年浙江高考数学卷第19 题为例

㊀㊀㊀解题技巧与方法１２５㊀数学学习与研究㊀２０２０２５高考数学立体几何试题探究思考与体会高考数学立体几何试题探究思考与体会㊀㊀㊀以２０１９年浙江高考数学卷第１９题为例Һ徐㊀胜㊀（浙江省丽水学院附属高级中学，浙江㊀丽水㊀３２３０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ立体几何是高中数学的重点知识，有着举足轻重的作用，而线面关系证明和线面角的求解是近几年高考热点．本文将从数和形的角度分析，列举寻找线面角的各种途径，把握数学核心本质，帮助学生突破难点，遨游立体几何．ʌ关键词ɔ立体几何；线面角立体几何是高中数学的主干内容，也是历年高考数学命题的重要考点之一，其通过丰富的几何载体，考查学生对空间基本图形的位置关系的掌握，尤其是平行和垂直关系的判断和证明，以及线线㊁线面㊁面面角等度量关系的计算是不变的主题和方向．近三年来，浙江省数学高考随着文理合卷的新变化，对立体几何的命题在注重基础㊁突出重点㊁体现数学本质和核心素养方面做了积极的探索和实践，形成了简洁独特的命题风格．下面笔者以２０１９年浙江省高考数学第１９题为例，就本题的求解策略㊁背景及教学价值谈谈自己的思考和体会．一㊁原题呈现（２０１９年浙江省高考数学第１９题）如图１，已知三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１，平面Ａ１ＡＣＣ１ʅ平面ＡＢＣ，øＡＢＣ＝９０ʎ，øＢＡＣ＝３０ʎ，Ａ１Ａ＝Ａ１Ｃ＝ＡＣ，Ｅ，Ｆ分别是ＡＣ，Ａ１Ｂ１的中点．图１（１）证明：ＥＦʅＢＣ；（２）求直线ＥＦ与平面Ａ１ＢＣ所成角的余弦值．本题主要考查立体几何的核心内容：垂直关系的证明及线面角的计算．题目背景是熟悉的斜三棱柱，两个小题之间存在合理的逻辑关系，证明垂直为寻找线面角铺垫，而线面交点的不确定性，又使该题在常规背景下有所创新．命题者希望通过本题的考查，检测学生的直观想象㊁逻辑推理㊁数学运算等数学核心素养．试题的设计注重基础性，主要表现在熟悉的图形，阶梯式设计；解法上注重通性通法，主要体现在几何法㊁坐标法，注重考查学生分析问题㊁解决问题的能力．二㊁解法探究英国数学家西尔维斯特曾说过：几何看来有时候要领先于分析，但事实上，几何的先行于分析，只不过像一个仆人走在主人的前面一样，是为主人开路的．几何也好，分析也罢，都是解决问题的重要方法，形可直观，数可入微，数形结合，突破几何．１．第一小题解法解㊀（１）连接Ａ１Ｅ，ȵＡ１Ａ＝ＡＣ，Ｅ为中点，ʑＡ１ＥʅＡＣ，面Ａ１ＡＣＣ１ʅ面ＡＢＣ，面Ａ１ＡＣＣ１ɘ面ＡＢＣ＝ＡＣ，ʑＡ１Ｅʅ面ＡＢＣ，ʑＡ１ＥʅＢＣ．ȵＡＢʅＢＣ，ＡＢʊＡ１Ｆ，ʑＡ１ＦʅＢＣ，ʑＢＣʅ面Ａ１ＥＦ，ʑＢＣʅＥＦ．点评：要证明线线垂直，方法多样，本题容易想到用线面垂直来证明线线垂直，而要判定线面垂直，又需要用到条件所给面面垂直性质定理，证明过程体现了三种垂直关系的转化思想．２．第二小题求线面角本题的一大亮点和难点是直线与平面的交点位置不明确，斜足未定，给找线面角增加了一定的困难，在线面角不容易被发现的时候，容易想到用空间向量法来求值．解法１（空间向量法）用空间向量法来展开研究立体几何中的线面关系，求空间角㊁距离等问题，这是数形结合的继续，是现代的数学双基．用空间向量有效避开了找线面角的难点，本题第一问也可以用向量的方法来解决，在平常的教学中要注意模型化．解法２（几何法１：找垂面）（２）取ＢＣ中点Ｍ，连接ＦＭ，ＥＭ，Ａ１Ｍ．（图略）ȵＥ为ＡＣ中点，ʑＥＭʊＡＢ，则ＥＭʅＢＣ，易证四边形Ａ１ＥＭＦ为矩形．又由（１）知，ＥＦʅＢＣ，ʑＢＣʅ面Ａ１ＥＭＦ，ʑ面Ａ１ＢＣʅ面Ａ１ＥＭＦ，设ＥＦ与Ａ１Ｍ交于点Ｎ．ʑＥＦ在面Ａ１ＢＣ上的射影为ＭＮ，即直线ＥＦ和面Ａ１ＢＣ所成角为øＥＮＭ．设ＡＣ＝２，计算ＥＮ＝１５４，ＭＮ＝１５４，ＥＭ＝３２，. All Rights Reserved.㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２６数学学习与研究㊀２０２０２５由余弦定理，得ｃｏｓøＥＮＭ＝３５．点评：要找线面角，关键是找线在面内的射影，可通过作经过线的垂面，从而找到两个面的交线，就是线在面内的射影．解法３（几何法２：直接找垂线）（２）取ＢＣ中点Ｍ，连接ＥＭ，Ｂ１Ｍ，过Ｂ１作Ｂ１ＯʅＡ１Ｍ于点Ｏ．（如图２所示）图２由Ａ１ＦʊＥＭ，Ａ１Ｆ＝ＥＭ，且Ａ１ＥʅＥＭ，易知四边形Ａ１ＥＭＦ为矩形．由（１）知，ＢＣʅ面Ａ１ＥＦ，ȵＥＨ⊂面Ａ１ＥＦ，ʑＢＣʅＥＨ，又ȵＡ１ＭɘＢＣ＝Ｍ，ʑＥＨʅ面Ａ１ＢＣ，ʑＥＨ与面Ａ１ＢＣ所成角为øＥＮＨ．设ＡＣ＝２，算得ＥＭ＝３２，Ａ１Ｍ＝１５２，ＥＮ＝１５４，在әＡ１ＥＭ中用等面积法，可得ＥＨ＝１５５，ｓｉｎøＥＮＨ＝ＥＨＥＮ＝４５，ʑｃｏｓøＥＮＨ＝３５．解法４（几何法３：平移斜线找垂线）（２）取ＢＣ中点Ｍ，连接ＥＭ，Ｂ１Ｍ，过Ｂ１作Ｂ１ＯʅＡ１Ｍ．（图略）易知ＥＭʊＦＢ１，ＥＭ＝ＦＢ１，ʑ四边形ＦＥＭＢ１为平行四边形，ʑＥＦʊＭＢ１．由（１）知，ＢＣʅ面Ａ１ＥＦ，Ｂ１Ｏ⊂面Ａ１ＥＦ，ʑＭＢ１与Ａ１ＢＣ所成角即为øＢ１ＭＯ．ȵＥＦʊＭＢ１，ʑＥＦ与面Ａ１ＢＣ所成角即为øＢ１ＭＯ．计算得ｃｏｓøＢ１ＭＯ＝３５．解法５（几何法４：等体积法）（２）过点Ｅ作ＥＨʅ面Ａ１ＢＣ，记ＥＦɘ面Ａ１ＢＣ＝Ｏ，则øＥＯＨ为ＥＦ与面Ａ１ＢＣ所成角．（图略）设ＡＣ＝２，则ＢＣ＝１，ＡＢ＝３，ＥＡ１＝３．计算得ＳәＡ１ＢＣ＝１５４，ＳәＥＢＣ＝３４，由ＶＥ－Ａ１ＢＣ＝ＶＡ１－ＥＢＣ，得ＥＨ＝１５５．作ＢＣ中点Ｍ，连接Ｂ１Ｍ，ＦＭ，ＥＭ，由（１）知ＢＣʅ面Ａ１ＥＭＦ，易得四边形Ａ１ＥＭＦ为矩形，从而Ｏ为ＥＦ中点，ʑＯＥ＝１２ＥＦ＝１５４，ʑｓｉｎøＥＯＨ＝４５，ｃｏｓøＥＯＨ＝３５，即ＥＦ与面Ａ１ＢＣ所成角的余弦值为３５．点评：要求线面角，关键在于先找到线面角，根据线面角的定义，必须先找到线在面内的射影，要找射影，可通过经过斜线作垂面或者过斜线上一点作面的垂线得到，而要作出这条垂线，又需在垂面当中去寻找．在探寻线面角的过程中，需要学生通过几何体的结构特征形成直观想象，学会有逻辑地思考和推理，养成正确的思维方式，提高数学核心素养．三㊁追根溯源本题从命题意图上较好地体现了‘浙江省普通高中学科指导意见“和‘普通高中数学课程标准“的导向作用．立体几何的重点是提升直观想象㊁逻辑推理㊁数学运算和数学抽象的素养．课本人教２０１７版必修二第６６页对线面角有明确的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．书本中例题２对线面角的求解过程也是根据定义先作出辅助线，再根据定义找到线在面内的射影，进而求解计算．要求线面角，关键要找线在面上的射影，那么如何突破呢？关键在于先找垂面再找垂线．四㊁变式拓展基于以上思考，将原高考题做如下变式：变式１㊀（图略）在四棱锥Ｃ－Ａ１ＡＢＢ１中，平面Ａ１ＡＣʅ平面ＡＢＣ，øＡＢＣ＝９０ʎ，øＢＡＣ＝３０ʎ，Ａ１Ａ＝Ａ１Ｃ＝ＡＣ，Ｅ，Ｆ分别是ＡＣ，Ａ１Ｂ１的中点．求直线ＥＦ与平面Ａ１ＢＣ所成角的余弦值．分析：本题截去原题中的三棱锥，其他条件，所求不变，变换图形背景以四棱锥为载体，给学生的不同思维方式提供发挥的空间．变式２㊀（图略）在直角梯形Ａ１ＡＢＣ中，已知øＡＢＣ＝９０ʎ，øＢＡＣ＝３０ʎ，Ａ１Ａ＝Ａ１Ｃ＝ＡＣ，现将梯形沿ＡＣ翻折，使二面角Ａ１－ＡＣ－Ｂ为直二面角，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，Ａ１Ｃ的中点．求直线ＥＦ与平面Ａ１ＡＣ所成角的正弦值．（下转１２９页）. All Rights Reserved.㊀㊀㊀１２９㊀数学学习与研究㊀２０２０２５率㊁居民体质合格率为影响程度从大到小的主要影响因素．所以，为解决失配性慢性病，可以从增加植被绿化面积入手，并积极改善城市饮用水源水质，提高居民体质．三㊁结合模型与其他城市分析结合计算中反映的对健康水平影响较大的几个指标，主要有居民体质合格率㊁城市生活污水处理率㊁深圳市传染病发病数这几个重要因素．对比北京㊁上海以及中国的健康行动计划，建议加入以下计划：（１）加强体医结合和非医疗健康干预．制订体育锻炼标准和科学运动指南，建立并完善针对不同人群㊁不同环境㊁不同身体状况的运动处方库，形成体医结合的健康管理和服务模式，加大红十字会在建设多元化健康养老服务网络中的重要作用．（２）大力发展运动医学和康复医学，推广太极拳㊁健身气功等中医传统运动项目；促进科学健身指导服务机构的发展，鼓励社会资本开办各类机构；加强体质监测，开展运动风险评估．（３）加强河网水系沟通，深入推进河道综合整治和生态修复；实施土壤污染防治行动计划，开展全市土壤（地下水）环境状况调查以及风险评估；按照优先保护类㊁安全利用类㊁严格管控类等，对农用地土壤实施分类管控，重点加强耕地和水源保护区的土壤保护．四㊁结㊀论本文利用熵权⁃灰色关联理论给出深圳居民健康水平发展评估模型㊁指标㊁流程，完成能够支持基于时间的健康水平动态测控需求的社会公共卫生与环境评估和居民个体评估．结合模型分析结果，对比国内其他城市相关工作，为健康深圳行动计划提出补充，使健康深圳行动计划的实施更上一层楼．ʌ参考文献ɔ［１］周慧秋，侯代男．基于熵权－灰色关联分析的黑龙江省政策性农业保险实施效果评价［Ｊ］．北方园艺，２０１８，（０００）００９：１８４－１９３．［２］贾国林．城市环境工程污水处理存在问题浅析［Ｊ］．化工管理，２０１９（３２）：７５－７６．［３］上海市卫生健康委员会．健康上海２０３０规划纲要［ＥＢ／ＯＬ］．［２０１９－５－１１］．ｈｔｔｐ：ʊｗｓｊｋｗ．ｓｈ．ｇｏｖ．ｃｎ／ｓｈ１／２０１８０５２５／３１２７５．ｈｔｍｌ．［４］北京市卫生和计划生育委员会．北京市实施‘ 健康北京２０３０规划纲要“行动计划（２０１８年－２０２０年）［ＥＢ／ＯＬ］．［２０１９－５－１１］．ｈｔｔｐ：ʊｗｊｗ．ｂｅｉｊｉｎｇ．ｇｏｖ．ｃｎ／ｚｗｇｋ／ｇｈｊｈ１／２０１８１０／ｔ２０１８１０１０＿２４９４１１．ｈｔｍ？ｖｑｅｐｅｉｘｌｗｊｃｃｖｑｇｔ．㊀（上接１２６页）分析：翻折问题．从平面图形到空间图形的变化，对学生空间直观想象能力提出更高要求．寻找线面角知，需要在平面ＡＢＣ中过Ｅ作ＥＤʅＡＣ，易证射影为ＤＦ，ʑøＥＦＤ为所求角．五㊁考题追踪立体几何主要考查两大问题，一类是空间位置关系的论证，这类问题要熟练掌握公理㊁定理㊁定义之间的逻辑关系；另一类问题是空间角的计算，如线面角㊁二面角等，考查学生的空间想象能力㊁逻辑推理能力㊁化归与转化能力和运算求解能力等．纵观近几年浙江卷立体几何高考题，虽题目背景不同，题型却都类似，知识考查全面，解法灵活多样，本题的解法在以往高考题中也有较好的表现．（２０１８年浙江高考数学１９题）已知多面体ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１，ＡＡ１，ＢＢ１，ＣＣ１均垂直于平面ＡＢＣ，øＡＢＣ＝１２０ʎ，ＡＡ１＝４，ＣＣ１＝１，ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＢ１＝２．（１）证明：ＡＢ１ʅ平面Ａ１Ｂ１Ｃ１；（２）求直线ＡＣ１与平面ＡＢＢ１所成角的正弦值．分析：（１）通过计算，由勾股定理得到线线垂直，从而证明线面垂直．（２）由（１）得面Ａ１ＡＢＢ１ʅ面Ａ１Ｂ１Ｃ１，延长Ａ１Ｂ１，过Ｃ１作Ｃ１ＤʅＡ１Ｂ１，ʑøＣ１ＡＤ为所求角，再计算求值．（２０１７年浙江高考数学１９题）已知四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ，әＰＡＤ是以ＡＤ为斜边的等腰直角三角形，ＢＣʊＡＤ，ＣＤʅＡＤ，ＰＣ＝ＡＤ＝２ＤＣ＝２ＣＢ，Ｅ为ＰＤ中点．（１）证明：ＣＥʊ平面ＰＡＢ；（２）求直线ＣＥ与平面ＰＢＣ所成角的正弦值．由上面三道高考题可以看出，无论背景㊁图形㊁条件怎样变化，始终不变的是垂面与垂线，找垂面㊁作垂线是解决这一类问题的关键，教师在平常的教学中应在关键处下功夫．ʌ参考文献ɔ中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准：２０１７年版［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１８．. All Rights Reserved.。

一道立体几何题引发的教学思考

一道立体几何题引发的教学思考摘要】高考考查内容强调基础性，这是素质教育必须坚持的目标。

学生只有具备了扎实的基础知识和基本技能，才有学习专业知识和专业技能的可能。

本文从一道立体几何题出发，谈一谈对数学教学，尤其是在习题课中如何发挥一道题目的最大作用，谈一谈自己的体会。

【关键词】基础性目标；教学方法；一题多解数学是培养理性思维的重要学科，有助于学生树立科学精神与科学态度。

在高考评价体系中，明确了必备知识、关键能力、学科素养、核心价值“四层”考查内容，同时强调了基础性、综合性、应用性、创新性“四翼”考查要求。

高考考查内容强调基础性，这是素质教育必须坚持的目标。

学生只有具备了扎实的基础知识和基本技能，才有学习专业知识和专业技能的可能。

因此，高考考查内容应关注学科的主干知识，关注学生未来生活、学习和工作所必须具备的、不可或缺的知识、能力和素养[1]。

学生在学习数学的过程中，要会举一反三，不能为了做题而做题，做题的目的是查找自己淡忘的或者没有掌握的知识、方法，与每道题目相关的、相似的概念、公式都要弄明白，要通过做题了解自己，发现自己的不足，查漏补缺。

以下题为例，进行说明。

例题：如图（1），正四面体P-ABC中，M、N分别是PC、AB的中点，求异面直线MN和PA所成的角。

题目分析：通过这道题目，要帮助学生复习一些相关的概念及性质。

1．首先要明确正四面体概念，与此相关的是正三棱锥的概念。

正棱锥：底面是正多边形，其余各面是全等的等腰三角形的棱锥叫正棱锥。

正棱锥包括正三棱锥，正四棱锥，正五棱锥等。

因此，正三棱锥就是底面是正三角形即等边三角形，其余各面是全等的等腰三角形的棱锥。

正三棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形。

正三棱锥当侧面也是等边三角形的时候才叫正四面体，也就是说正四面体是特殊的正三棱锥，正四面体的四个面都是等边三角形，正四面体所有棱长都相等。

图（3）图（4）2．通过题目的问题思考：异面直线所成的角的概念及其求法首先，明确两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小正角。

一道高考题引发的思考——我的一些教学反思

一道高考题引发的思考——我的一些教学反思高考作为一项重要的考试，对于很多学生和教师来说都是一个重要的里程碑。

过去的几年里，我一直致力于提高自己的教学水平，以帮助学生取得更好的成绩。

然而，最近一道高考数学题引发了我的思考，让我意识到还有很多需要改进的地方。

这道高考数学题是一道综合题，涉及到几何、代数和概率。

题目要求学生利用所学知识，进行推理和计算，并给出准确的答案。

作为老师，我在看到这道题目时感到一丝挑战和好奇。

我想知道学生们是否能够灵活运用所学知识解决问题。

在上课讲解这道题目之前，我给学生们一些时间进行个人思考。

在这个过程中，我意识到学生们在理解问题、推理和计算上都存在着一些困难。

于是，我决定改变我的教学方法，希望能够更好地帮助学生。

首先，我引导学生们通过分析题目，找出关键信息。

我给他们提供了一些提示，让他们从多个角度来理解问题。

我鼓励他们积极思考，让他们相信自己可以解决这道题目。

其次，我在讲解解题思路时，采用了一些具体的例子帮助学生理解。

我尽量用简单的语言和直观的图像来解释概念和计算方法。

通过这种方式，学生们更容易理解抽象的数学概念。

另外，我为学生们提供了一些练习题，让他们在课后进行巩固。

我给他们提供了解题思路和详细的步骤解析，以帮助他们更好地掌握解题方法。

我鼓励学生们多做练习，相信通过不断的练习，他们会用更熟练的方法解决这类问题。

在教学过程中，我还特别注重与学生的互动。

我鼓励学生们主动提问，并给予他们充分的回答。

我还鼓励他们相互之间进行合作，讨论解题思路。

通过合作学习，学生们可以互相促进，共同进步。

此外，在教学中我给学生们提供了一些拓展资料，让他们了解数学在实际生活中的应用。

我通过与生活实际问题的联系，让学生们更深入地理解数学的重要性和应用性。

经过一段时间的努力，我发现学生们对这道高考题目的理解和解决能力有了较大的提高。

他们能够运用所学知识，灵活地解决类似的问题。

我感到非常欣慰，这意味着我的教学方法是有效的。

一道高考立体几何试题的评析及教学反思

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教学参谋新颖试题２０２０年２月
因为犈犎平面犅犆犌犈，所以平面犃犅犆 ⊥ 平面犅犆犌犈．
证法一显然优于证法二，究其原因应该是一些学生对线面垂直的感性认识只停留在 “竖直方向 ”上的垂直，没有很好体会各个方向上的空间垂直，此类学生的空间想象能力有待提高．
图３图４
３．求二面角犅－犆犌－犃大小的方法解法一：（向量法）由（１）知犈犎 ⊥ 平面犃犅犆，以犎为坐标原点，犎→犆的方向为狓轴的正方向，建立如图４所示的空间直角坐标系犎－狓狔狕．由已知，菱形犅犆犌犈的边长为２，∠犈犅犆＝６０°，可
求得犅犎＝１，犈犎＝槡３．则犃（－１，１，０），犆（１，０，０），犌（２，０，槡３），犆→犌＝（１，
狀·犿狀犿
＝槡２３．
因此二面角犅－犆犌－犃的大小为３０°．
解法二：（几何法）
过犈作犈犓 ⊥ 犆犌，交
犆犌于犓，连接犇犓，由（１）知
犃犅 ⊥ 面犅犆犌犈，所以犃犅 ⊥
犆犌．
又犇犈 ∥ 犃犅，所以犇犈
Hale Waihona Puke 图５⊥犆犌，故犆犌 ⊥ 面犇犓犈，所以 ∠犇犓犈为二面角犅－
０，槡３），犃→犆＝（２，－１，０）．
设平面犃犆犌犇的法向量为狀＝（狓，狔，狕），则烅烄烆犃犆→犆→犌··狀狀＝＝００，，即烅烄烆２狓狓＋－槡狔３狕＝＝００．，所以可取狀＝（３，６，
－槡３）．又平面犅犆犌犈的法向量可取为犿＝（０，１，０），所以
ｃｏｓ〈狀，犿〉＝
图１图２

高考中立体几何解答题的研究与思考

渗透转化的思想。高考不仅可以反映出数学课程中的新内容
和新理念，而且还可以评估学生对数学知识的掌握程度。在解
答高考题时，学生并不会遇到相同的题目，但是题型较为相似，
如果学生可以把数学知识内化为自己的能力，在遇到相似的题
目时稍加思考便可以得出正确的答案，有效地解决数学问题。
为了加深学生对数学知识的印象，教师在讲解完每一个章节的
识，规范地在黑板上板书正确的解题步骤，特别是在一开始教
授立体几何内容时，需要让学生养成严谨使用文字语言和符号
语言的习惯，避免出现遗漏和失误。
（三）强化转化和化归的思想，发掘知识的内在联系
在证明面面平行、线面平行、异面直线平行或垂直时，需要
学生充分考虑到平面和平面、平面和直线以及异面中直线之间
的相互联系。在解决一些实际问题时，比方说证明异面直线相
基于此，本文浅要阐述了高考中立体几何解答题考查的考点，
并分别从加深对定义和命题的理解，培养推理能力、注重通法
的讲解和练习，探寻解题方法的本质以及强化转化和化归的思
想，发掘知识的内在联系等方面，提出高考中立体几何解答题
的教学方法。
关键词：高考；立体几何；解答题
与初中阶段的数学相比，高中数学知识逻辑性较强，且涉
高考成绩。
参考文献
［1］许建芳 . 高考立体几何解答题复习的深度思考［J］. 中
学数学教学，2019（03）：7-9.
［2］徐晓宇，屈黎明 . 向量法解立体几何题的点坐标求法
——2017 年高考浙江卷立体几何解答题的方法总结［J］. 数学
教学，2018（08）：33-36.
［3］李莹莹 . 高考中立体几何解答题的研究与思考［D］. 河
括线与线平行、线与面平行和面面平行的判定应用，主要是通

高考数学技巧掌握立体几何的关键解题思路

高考数学技巧掌握立体几何的关键解题思路在高考数学考试中，立体几何是一个重要的考点。

对于很多学生来说，立体几何题目的解答常常是一大难题。

因此，掌握一些解题思路和技巧是非常关键的。

本文将为大家分享一些高考数学中解答立体几何题目的关键思路。

一、认真审题第一步，我们需要仔细阅读题目。

在阅读题目的过程中，我们要特别注意题目中给出的条件和要求。

立体几何题目通常会给出图形的特征、已知条件以及需要求解的问题。

清晰地理解题意能够帮助我们更好地进行解题。

同时，我们需要注意题目中是否给出了明确的几何信息。

例如，是否给出了图形的尺寸、图形的形状等等。

这些信息对于我们后续的解题过程非常重要。

二、建立几何模型在解答立体几何题目时，我们需要建立一个几何模型，以帮助我们更好地理解题意和解题。

几何模型通常是一个几何图形，可以是一个三维立体图形或者是一个平面图形。

建立几何模型的过程可以通过手绘图形或者是使用几何软件来完成。

无论是哪种方式，我们需要将题目中给出的信息和条件准确地反映在模型中。

只有建立了准确的几何模型，我们才能更好地进行后续的解题过程。

三、运用几何定理和公式在解决立体几何题目时，我们需要熟练掌握一些几何定理和公式。

这些定理和公式是我们解题的基础，可以帮助我们快速定位解题的关键点。

例如，在求解体积问题时，我们可以运用立方体的体积公式V = a³，圆柱体的体积公式V = πr²h等等。

在求解表面积问题时，我们也可以运用球体表面积公式S = 4πr²，正方体表面积公式 S = 6a²等等。

掌握这些公式可以让我们在解题过程中更加得心应手。

此外，我们还要熟悉一些几何定理，如平行线之间的性质、相似三角形的性质等等。

掌握这些定理可以帮助我们在解题过程中判断图形之间的关系，进而快速解题。

四、利用空间想象力在解答立体几何题目时，想象力是一个非常重要的因素。

我们需要善于利用我们的空间想象力，去想象和理解立体图形之间的位置关系和形状。

2022年全国新高考I卷立体几何大题的教学启示

2022年全国新高考I卷立体几何大题的教学启示摘要：通过对2022年全国新高考I卷第19题立体几何大题的特点与易错点分析研究，对教学如何提高数学运算能力、重视推理论证能力、挖掘知识本质内涵三个方面的启示作用，利于教师的教学水平提高，学生的思维发散，学生的数学核心素养提升。

关键词：立体几何试题透析教学启示2022年高考数学科考完后，不少考生深受打击，特别有部分考生说立体几何大题一分没拿。

立体几何是研究现实世界中物体的形状，大小与位置关系的数学分支。

[1]由于其有高度的抽象性，是考查数学抽象、逻辑推理、直观想象等素养的重要载体，给学生学习带来不少困难，因此对立体几何的高考试题研究是很有价值的，对我们数学学科的日常教学与高考备考工作有很重要的导向作用。

1试题透析1.1试题（2022年全国新高考I卷第19题）如图1，直三棱柱的体积为4，△的面积为.（1）求到平面的距离；（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.1.2试题的特点与易错点分析此题以直三棱柱为载体，直三棱柱是特殊的棱柱，其侧棱与底面垂直，主要是考查点到平面的距离与二面角的正弦值。

与以往考查有所不同，第一问一般是直线、平面位置关系的证明，这里把体积、面积、点到平面的距离等知识综合在一起考查是本题最大的亮点，不少考生在考试时无法很好进行知识迁移与转化，导致无法准确算出结果。

第二问是二面角的正弦值求解，学生使用空间向量法时，并没有证明线线两两垂直就直接建立空间直角坐标系，也有在计算方面出比现较多错误；使用综合法处理时，很多学生无法找出二面角的平面角，更加无从下手。

由此可以看出，学生无法很好地解决此题主要存在以下几种情况：（1）限时运算能力弱，无法准确使用或灵活转化公式计算，空间向量法计算错误率高。

（2）逻辑推理能力弱，不能对已知条件进行化归转化与知识迁移来论证，思维不活跃。

（3）对立体几何二面角等相关概念、知识点理解不透彻，无法找出与求出二面角等。

一道立体几何高考题的解题评析及教学反思

一道立体几何高考题的解题评析及教学反思作者：林瑞记郑伊楠来源：《数学教学通讯·高中版》2019年第10期[摘 ;要] 立体几何是高考考查的重要模块，它既能考查学生的数学知识水平，又能锻炼学生的数学素养. 文章依据高考阅卷场上学生作答的实际情况，评析了学生在解答立体几何问题的常见方法，并就切身阅卷的反馈做了教学反思.[关键词] 立体几何;解题评析;教学反思从近几年来看，立体几何主要考查空间中线线、线面和面面位置关系的证明，求解出线面角、二面角的正弦、余弦值，以及空间向量的应用. 2018年的高考理科数学全国Ⅱ卷第20题主要考查学生对空间立体几何图形的直观想象、逻辑推理和数学运算素养. 立体几何题型的考查，不仅能检验学生的知识水平，而且也是检验学生思维品质的试金石. 本文通过对该题的深度解析，结合考生的实际答题情况，反思我们中学一线教师课堂教学中存在的问题. 笔者抛砖引玉，望与君共勉.（2018年全国Ⅱ卷第20题）如图1，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O为AC中点.（1）证明：PO⊥平面ABC;（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.立体几何解题的战略点拨（1）证明直线与平面垂直时，通常是通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直，而直线与直线垂直的证明可利用勾股定理、等腰三角形的三线合一等知识点来完成. 首先，利用等腰三角形的性质可得PO⊥AC，再利用勾股定理证明PO⊥OB，最后结合线面垂直的判定定理可证得结果. （2）处理空间直线与平面所成角、二面角的问题，通常是利用空间向量来解决. 可根据（1）中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出点M（含有参量）的坐标，再依据已知条件求得此参数，最后求解即可.考生解立体几何题的方法评析（1）证明：因为PA=PC=AC=4，所以△PAC是等边三角形. 又因为O为AC中点，所以PO⊥AC. 在△ABC中，有AB2+BC2=AC2，且AB=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，连接BO，则BO=2. 又易知PO=2 ，则在△POB中，PO2+OB2=PB2=16，所以PO⊥OB.PO⊥ACPO⊥OBAC∩OB=O？圯PO⊥平面ABC.立体几何的第一问被大多数高中老师看作是送分题，但是在实际的阅卷过程中，笔者发现大部分学生第一问没答出来，原因大都是在将线面垂直定理生搬硬套，而忘记了基本的勾股定理. 这应该引起高中数学教师在课堂教学中关于知识的系统性问题的反思.（2）方法一：由（1）可知：AC⊥OB，PO⊥平面ABC，可建立如图2的空间直角坐标系.显然，平面PAC的一个法向量为 =（2，0，0）. 依题意有A=（0，-2，0），B=（2，0，0），C=（0，2，0），P=（0，0，2 ）， =（0，2，2 ），=（0，2，-2 ），设点M=（a，2-a，0）（0<a≤2），则 =（a，4-a，0），设平面PAM的一个法向量为n=（x，y，z）. 由 ·n=0， ·n=0，得2y+2 z=0，ax+（4-a）y=0. 令z=-a，得n=（（a-4）， a，-a）. 由已知，cos〈，n〉= = ，解之得a=-4（舍），a= ，所以n=- ，，- . 设PC与平面PAM所成角为θ，则sinθ=cos〈，n〉= = ，所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 .方法二：建立与方法一相同的空间直角坐标系，设平面PAC的一个法向量为 =（2，0，0）. 依题意有：A=（0，-2，0），B=（2，0，0），C=（0，2，0），P=（0，0，2 ）， =（2，2，0）， =（-2，2，0）， =（0，2， 2 ）， =（0，2，-2 ）.设 =λ =（-2λ，2λ，0）（0≤λ<1），则 = +λ =（2-2λ，2+2λ，0）.设平面PAM的一个法向量为n=（x，y，z），由 ·n=0， ·n=0，得2y+2 z=0，（2-2λ）x+（2+2λ）y=0.令z=1，得n= ，- ，1. 由已知，cos〈，n〉= = ，解之得λ=3（舍），λ= . 所以n=（2 ，- ，1），设PC与平面PAM所成角为θ，则sinθ=cos〈，n〉= ，所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 .方法一与方法二被学生们尊称为解立体几何问题的“万能钥匙”，是绝大多数考生运用的方法，虽然它们看似所设的参量不同，但其本质殊途同归. 阅卷中出错的学生主要表现在计算能力弱、空间想象能力差和知识点错误. 在教授立体几何相关知识时，教师应该反思是否曾有的放矢地培养学生的直观想象、数学抽象等能力，让学生真正做到心有猛虎的同时依然细嗅蔷薇.方法三：建立与方法一相同的空间直角坐标系，设AM与OB相交于点N=（λ，0，0）（0<λ≤2），具体如图3所示.依题意有：A=（0，-2，0）， C=（0，2，0），P=（0，0，2 ），则 =（0，2，-2 ）， =（λ，2，0）， =（0，2，2 ），平面PAC的一个法向量为 =（2，0，0）.设平面PAM的一个法向量为n=（x，y，z），由 ·n=0， ·n=0，得2y+2 z=0，λx+2y=0. 令z=1，得n= ，- ，1.由cos〈，n〉= = ，解之得λ=-1（舍），λ=1. 所以n=（2 ，- ，1），设PC与平面PAM 所成角为θ，则sinθ=cos〈，n〉= ，所以PC与平面PAM所成角的正弦值為 .同样是设参数求解问题，能运用方法三解决该问题的学生，体现了其较优的空间想象的思维品质. 当点N在坐标轴上时，较之与方法一或方法二，大大地减小了计算的难度，用巧妙的思考置换复杂的运算. 这就要求教师在平时的知识讲解中，应适时地点拨学生、引导学生举一反三并不断地锻炼思维能力，毕竟每一堂精彩的数学课，总能让学生深深地体会在山重水复之后依旧柳暗花明.方法四：过点M作MN⊥AC于点N，作EN⊥PA于点E，作CD⊥PA于点D，连接ME，并建立如图4所示的空间直角坐标系，有A=（0，-2，0），C=（0，2，0）， P=（0，0，2 ），则 =（0，2，2 ）.由MN⊥ACPO⊥MNAC∩PO=O？圯MN⊥平面PAC，所以MN⊥PA.同理有EM⊥PA，所以∠MEN是二面角M-PA-C的平面角，則∠MEN=30°. 设MN=a，有△ANE∽△ACD，则 = ，得 = ，所以EN= . 又因为 =tan30°= ，即EN= MN= a，所以有 a= ，解之得a= ，故M= ，，0. 设平面PAM的法向量为m=（x，y，z）. 因为m· =0，m· =0，得2y+2 z=0，x+2y=0. 令z=1，得m=（2 ， - ，1），设PC与平面PAM所成角为θ，则sinθ=cos 〈，m〉= ，所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 .方法四的解法也就是所谓的综合法，因为综合法对空间几何图形中的点、线、面之间的关系理解程度、作图能力和空间想象能力要求较高，所以在考场上能运用综合法并且将题目做得全对的考生寥寥无几. 这也体现出高中数学教师对向量法的“趋之若鹜”，而对于综合法的教授“无人问津”的现象. 但是，综合法能很好地培养学生的空间想象能力，这应该成为以后的高中数学老师教学中应当有意识加强的模块.方法五：设AM与OB交于点N，过点O作OD⊥PA并交PA于点D，连接DN，具体如图5所示.因为ON⊥ACON⊥POAC∩PO=O？圯ON⊥平面PAC，从而ON⊥PA，DN⊥PA.所以∠ODN是二面角M-PA-C的平面角，故∠ODN=30°.在等边△PAC中，易求得OD= ，所以在Rt△ODN中，ON=1.又因为 =cos30°，解之得S△PAN=4. 设点O到平面PAN的距离为d，则有 ·d·S△PAN= ·PO·S△AON，解之得d= . 取PA的中点为F，则OF∥PC，OF= PC=2. 设PC 与平面PAM所成角为θ，所以PC与平面PAM所成角的正弦值为sinθ= = .方法五是受到了方法三的启发，而另辟蹊径的一种解法. 这是一种相对讨巧的综合解法，它跳脱了向量法的计算和综合法的繁杂，能运用该方法解决问题的考生，体现了其思维的可贵之处. 阅卷后不难发现向量法备受学生的钟爱，这与高中数学老师的推崇密不可分，这也是高考应试的无奈之举. 但是，如果想要让学生能够做到欲穷千里目，为今后学生的长远发展做好铺垫，恐怕还得要求教师先帮助学生在数学的大厦里更上一层楼.方法六：过点C作CD⊥PA并交PA于点D，具体如图6所示.因为△PAC为等边三角形，易得CD=2 . 设点C到平面PAM的距离为d，由二面角M-PA-C为30°，所以sin30°= = = ，解之得d= . 设PC与平面PAM所成角为θ，所以PC与平面PAM所成角的正弦值为sinθ= = .能用方法六解决该问的考生的确值得赞赏，能够将题目简明扼要、抽丝剥茧，这是在深刻地理解了二面角的定义基础上，实现思维上挣脱了常规的向量法和综合法的束缚，体现了考生可贵的直观想象素养和较强的逻辑推理能力，好似会当凌绝顶，回首一览众山小.解立体几何题的教学反思立体几何的考查方式主要是证明和计算，内容主要是垂直、平行关系和角度计算. 解决立体几何问题的方法主要有综合法和向量法，二者解决问题的思维路径如图7所示：向量法解立体几何问题的难点主要在于求法向量，对空间想象、作图等能力要求不高，这也是备受考生青睐的主要原因. 向量法引入高中有助于学生感受数与形的联系，也是学生以后学习高等代数等学科的重要纽带. 综合法与向量法相比较解决问题要更复杂，但对于训练学生的直观想象、数学抽象素养的效果要更好. 笔者以为，向量法的教授应该在综合法之后，一方面，学习了几何的基础性知识对于学生学好向量法是有铺垫作用的;另一方面，学生在高一物理学科学习了有关“矢量”的概念之后，对于向量的学习会更具有代入感，也更容易接受.有一句被很多教师信奉的格言：老师要想给学生一碗水，前提是自己至少得有一桶水. 笔者认为教师应与时俱进，现在也许一桶水已远远不够，学生需要的可能是一车水，抑或是教师秉持终身学习的教育理念，让自己成为不断产生活水的源泉.。

对2017年高考数学全国卷ⅱ立体几何解答题的审思

对2017年高考数学全国卷ⅱ立体几何解答题的审思2017年高考数学全国卷ⅱ立体几何解答题，全面考察了学生对几何形状的理解、分析能力和解决问题的能力，它的考查内容既充分体现
了科学认知和实际操作的综合素养，又体现了新时代几何能力要求的
多元化发展。

对学生而言，这是一次艰苦卓绝的竞争。

2017年高考数学全国卷ⅱ立体几何解答题的审思：
1．熟悉立体几何的概念：首先要熟悉立体几何中常见的概念，如点、线、面、向量、直线段与线段的内积等，以及对几何表述的更多理解。

2．多样化的解题方法：重点关注常见的解答题技巧，包括思维推理、定理证明、运用已知量解出来未知量、实证、比例法等，以便更好的
应对考试题。

3．多练结合讲解：强调练习的过程，通过练习，不断加深立体几何知识的熟练程度，必要时可以结合教科书等多资源进行讲解，以便更好
的理解与应用。

4．合理的时间安排：最后，在学习的过程中要注意正确合理的安排时间，要相对把握学习的节奏，因为要掌握立体几何学习的巨大知识量，所以需要耐心跟踪学习，突击也需要适时安排。