17-曲线方程

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第2讲曲线和曲面的矢量方程和参数方程

本讲任务上课内容一、关于形状数学描述的基本要求2.几何不变性上述三点，分别赋于参数u＝0，0.5，1，则可得过这三点的一条唯一的参数三次曲线。

p(u)＝2(u-0.5)(u-1)p0-4u(u-1)p1+2u(u-0.5)p2，其中p0, p1, p2, 分别为上述三点的位置矢量。

无论将这三点怎样同时旋转和平移，它们间的相对位置保持不变。

9/5211/52产品的形状总是有界的，形状的数学描述应易于定界。

这个要求能否得到满足也与描述形状的数学方法有关。

假如在某个xoy坐标系里一条曲线，一些x值对应多个y值，一些y值又对应多个x值。

若用标量函数描述这样一条曲线，要界定它的范围会是很困难的。

但若用参数矢函数p(u)＝[x(u) y(u)]描述，就可以简单地用a ≤u ≤b界定它的范围。

这里u＝a与u＝b分别为曲线在首末两端点的参数值。

一、关于形状数学描述的基本要求3.易于定界f (x , y ) = 0同样运用待定系数法求之！17/5212()[(),(),()]()()()[,]t x t y t z t x t y t z t t t t ==++∈p i j k ，]2,0[]sin ,[cos )(πθθθθ∈=p 例:]1,0[,)(332210∈+++=t t t t t a a a a p 曲线的表示1. 一般表示形式]0[][)(v /L ,t vt ,t sin a ,t cos a t ∈=ϖϖp 思考题：上面空间螺旋线的非参数方程表示形式是什么？Z,Y用X 表示，而参数化为Z,Y ,X 均用一个变量t 表示，简便，易懂圆螺旋线三次抛物线曲线被表示成参数u的矢函数p(u)=[x y x]=[x(u) y(u) z(u)]笛卡儿分量表示p(u)=x(u)i+y(u)j+z(u)k,其中i,j,k为单位矢量21/52Pz 0xatMNQ点P在圆柱面上等速地绕26/52矢函数：变矢量随着某个变化的标量即参数而变化，则称它为该参数的矢函数四、曲线论（导矢、自然参数方程、曲率）1.矢函数的导矢类似地，可以给出曲线在u=u 0处的高阶导矢。

解析几何求轨迹方程的常用方法

解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标〔x ，y 〕表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f 〔t 〕， y ＝g 〔t 〕，进而通过消参化为轨迹的普通方程F 〔x ，y 〕＝0。

4. 代入法〔相关点法〕：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，〔该点坐标满足某已知曲线方程〕，则可以设出P 〔x ，y 〕，用〔x ，y 〕表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程〕，该法经常与参数法并用。

一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为〔-4，0〕，〔4，0〕，C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

例2：已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，假设b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

第2讲-1-曲线的参数方程第1课时

课时作业
菜
单
新课标 ·数学选修4-4
课前自主导学
x＝1＋2cos α，已知直线 y＝x 与曲线 y＝2＋2sin α，
(α 为参数)相交于
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两点 A 和 B，求弦长|AB|.
【解】
x＝1＋2cos α，由 y＝2＋2sin α， x－1＝2cos α，得 y－2＝2sin α.
数．圆的参数方程中，其中参数 θ 的几何意义是 OM0 绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置时，OM0 转过的角度.
课时作业
菜
单
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参数方程的概念
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x＝1＋2t 已知曲线 C 的参数方程是 2 y ＝ at
(t 为参数，
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3＝1＋2t， 2 － 1 ＝ t ，
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这个方程组无解，因此点 Q 不在曲线 C 上．
菜
单
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课前自主导学
点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上． (1)对于曲线 C 的普通方程 f(x，y)＝0，若点 M(x1，y1)在
因此点 A(2,0)在曲线 C 上，对应参数 θ＝0，同理，把 B(－
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3 3，2)代入参数方程，得－ 3＝2cos θ， 3 ＝3sin θ. 2 3 cos θ＝－ 2 ， ∴ sin θ＝ 1. 2
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各种曲线方程

圆柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t图12.叶形线笛卡儿坐标标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))图23.螺旋线(Helical curve)圆柱坐标（cylindrical）方程：r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*3图34.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 8图45.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=0图56.螺旋线笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360))图67.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)图78.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*20图89.双弧外摆线卡迪尔坐标方程：l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)图910.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^3图1011.心脏线圆柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*360图1112.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)图1213.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=0图1314.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）图1415.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圆柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做图1516.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b图1617.4叶线（一个方程做的，没有复制）图1718.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta)y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)图1819. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =0图1920.螺旋线圆柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t图2021.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)图2122.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta) z=0图2223. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)图2324.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta) y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)图2425.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)图2526. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360))y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))图2627.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)图2728.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)29.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta30.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2 a = 0.005r = exp(a*theta)。

第九节曲线与方程-高考状元之路

第九节曲线与方程预习设计基础备考知识梳理1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是(2)以这个方程的解为坐标的点都是那么这个方程叫做，这条曲线叫做2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点).,(y x P(3)列式——列出动点P 所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x ，y 的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的条件是它们的方程所组成的方程组有实数解，可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．典题热身1．（2011．广东高考）设圆C 与圆1)3(22=-+y x 外切，与直线0=y 相切，则C 的圆心轨迹为 ( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆答案：A2．已知点P 是直线032=+-y x 上的一个动点，定点,1(-M Q ),2是线段PM 延长线上的一点，且 |,|||MQ PM =则Q 点的轨迹方程是( )012.=++y x A 052.=--y x B 012.=--y x C 052.=+-y x D答案：D3．已知两定点),0,1()0,1(21F F 、-且||21F F 是||1PF 与||2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是 ( )1916.22=+y x A 1169.22=+y x B 134.22=+y x c 143.22=+y x D 答案：C4．已知点),0,3()0,2(B A 、-动点),(y x P 满足=⋅PB PA ,2x 则点P 的轨迹方程是( )6.22=+y x A 16.22=+y x B 6.22=-y x c 62+=⋅x y D 答案：D5．直线12=-+ay a x 与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是答案：)1,0(1=/=/=+x x y x课堂设计方法备考题型一用直接法求轨迹方程【例1】如图，过第一象限的定点C(a ，b)作互相垂直的两直线CA 、CB 分别交x 、y 轴正半轴于A 和B ，试求线段AB 的中点M 的轨迹方程.题型二用定义法求轨迹方程【例2】一动圆与圆05622=+++x y x 外切，同时与圆091622=--+x y x 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．题型三用“相关点法”求轨迹方程【例3】已知P(4，O)是圆3622=+y x 内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足,90=∠APB 求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．技法巧点(1)弦长公式：直线b kx y +=与二次曲线C 交于),(111y x p 与),(222y x p 得到的弦长为22122121)()(||y y x x p p -+-=221221)()(kx kx x x -+-=2212)(1x x k -+=.4)(1212212x x x x k -++=(2)求轨迹的方法①直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量（如距离与角）的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x 、y 的等式就得到曲线的轨迹方程，②定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹（如直线与圆锥曲线）的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.在判断轨迹符合哪一个基本轨迹时，常常用几何性质列出动点满足的距离关系后，可判断轨迹是否满足圆锥曲线的定义．定义法与其他求轨迹方程的思维方法不同处在于：此方法通x-曲线定义直接判断出所求曲线轨迹类型，再利用待定系数法求轨迹方程．③代入法（相关点法）：当所求动点M 是随着另一动点P （称之为相关点）而运动，如果相关点P 所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或坐标代换法.失误防范1．求曲线方程时有已知曲线类型与未知曲线类毅，一般当已知曲线类型时一般用待定系数法求方程；当未知曲线类型时常用求轨迹方程的方法求曲线方程．2．求曲线轨迹方程时，常常要设曲线上任意一点的坐标为),,(y x 然后求x 与y 的关系．3．在求轨迹方程五种类型中，单从思维角度应该分为两个方面：一是用定义法，（从已知曲线类型、或从距离关系中）能判断到曲线类型时，再用待定系数法求曲线方程；二是，当未知曲线类型时用其他四种方法求曲线方程．4．仔细区分五种求轨迹方法，合理确定要选择的求轨迹方法，哪些类型、哪些已知条件适合哪一种方法，要融会贯通，不可乱用方法！随堂反馈1．已知动点M 到定点A(l ，O)与定直线3:=x l 的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程．2．设Q 是圆16)1(:22=++y x c 上的动点，另有),0,1(A 线段AQ 的垂直平分线交直线CQ 于点P ，当点Q 在圆上运动时，求点P 的轨迹方程．3．已知长为21+的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且,22PB AP = 求点P 的轨迹C 的方程．高效作业技能备考一、选择题1．已知定点21F F 、和动点P 满足2121|,2||PF PF PF +=-⋅=,4则点P 的轨迹为( )A ．椭圆B ．圆C ．直线D ．线段答案：B2．(2011．焦作模拟)设点A 为圆1)1(22=+-y x 的动点，PA 是圆的切线，且,1||=PA 则P 点的轨迹方程为( ) x y A 22=⋅ 4)1.(22=+-y x B x y C 22-=⋅ 2)1.(22=+-y x D答案：D3．方程01)4(22=+-+xy y x 的曲线形状是 ( )答案：C4．已知)0,2(),0,2(-N M 是面积为4的△MNP 的两个顶点，则顶点P 的轨迹方程为 ( )22.-==x x A 或 22=-=⋅y y B 或 4||||.=+y x c 4.22=+y x D答案：B5．曲线21x y --=与曲线)(0||R x ax y ∈=+的交点个数一定是 ( )A ．两个B ．4个C ．O 个D ．与a 的值有关答案：A6．（2011．北京）曲线C 是平面内与两个定点)0,1(1-F )0,1(2F 的距离的积等于常数)1(2>a a 的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则21PF F ∆的面积大于.212a 其中，所有正确结论的序号是A ．①B ．②C ．②③D ．①②③答案：C二、填空题7．若动点P 在曲线122+=x y 上移动，则点P 与点)1,0(-Q 连线中点的轨迹方程是答案：24x y =8．已知x y x 16lg |,2|lg ),2lg(-成等差数列，则点),(y x p 的轨迹方程是答案：)2(08422>=--x y x x9．已知两定点),0,2(),0,1(B A -动点P 满足,21||||=PB PA 则P 点的轨迹方程是答案：4)2(22=++y x 三、解答题10．（2011．济南模拟）已知定点F(O ，1)和直线,1:1-=y l 过定点F 与直线1l 相切的动圆圆心为点C ．(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线2l 交轨迹于两点P 、Q ，交直线1l 于点R ，求⋅的最小值．11．（2010．北京高考）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A(-l ，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于⋅-31 (1)求动点P 的轨迹方程；(2)设直线AP 和BP 分别与直线3=x 交于点M 、N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由，12．(2010．陕西省质检)设j i R y x 、,,∈为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量,)2(j y xi a ++=,)2(j y i b -+=α且.8||||=+b a(1)求点M(x ，y)的轨迹C 的方程；(2)过点(O ，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设=OP ,+是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 为菱形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由，。

2.1.1-2.1.2曲线与方程

2 2
建立坐标系设点的坐标
限(找几何条件) 代(把条件坐标化
∴ y = x ( y 4)
2
2 2 2
2
∴ y x y 8 y 16 2 ∴ x 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
化简
思考:( P 练习第 3 题)
37
如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 y 轨迹方程. B
f1 ( x, y) f 2 ( x, y) f3 ( x, y) f n ( x, y) 0
则曲线C是由：
f1 ( x, y) 0, f 2 ( x, y) 0, f3 ( x, y) 0,, f n ( x, y) 0
表示的曲线的全体构成的。
例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
B
C
D
①表示 B ②表示 C
③表示 D
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( ) D A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部
复习回顾:

第17章回归分析

§17.1 相关关系与相关系数17.1.1 相关关系17.1.2 相关系数17.1.3 相关系数r 的性质与示意图17.1.4 相关系数的检验§17.2 一元线性回归17.2.1 模型17.2.2 回归系数的最小二乘估计17.2.3 计算步骤17.2.4 回归方程的显著性检验17.2.5 利用回归方程作预测17.2.6 利用回归方程作控制§17.3 可化为一元线性回归的非线性回归17.3.1 问题17.3.2 确定曲线回归方程形式17.3.3 曲线回归方程中参数的估计17.3.4 曲线回归方程的比较§17.4 多元线性回归17.4.1 问题与模型17.4.2 回归系数的最小二乘估计17.4.3 回归方程的显著性检验17.4.4 对回归系数的显著性检验17.4.5 利用回归方程进行预测17.4.6 统计软件的应用§17.1 相关关系与相关系数17.1.1 相关关系在实际工作中，我们经常与变量打交道，它们是处在一个共同体中的若干个变量。

变量间常见的关系有两类：（1）确定性关系：譬如正方形的面积与边长之间有关系：S=a2，电路中有欧姆定律V=IR等。

这些变量间的关系完全是已知的，可以用函数y=f(x)来表示，x（可以是向量）给定后，y的值就唯一确定了。

（2）相关关系：变量间有关系，但是不能用函数来表示，譬如：例17.1.1 由专业知识知道，合金的强度y(×107Pa)与合金中碳的含量x(%)有关。

为了生产强度满足用户需要的合金，在冶炼时如何控制碳的含量？如果在冶炼过程中通过化验得12组数据，列于下表中：表17.1.1 合金钢的强度与钢中的碳含量数据序号i x i(%) y(×107Pa)1 0.10 42.02 0.11 43.03 0.12 45.04 0.13 45.05 0.14 45.06 0.15 47.57 0.16 49.08 0.17 53.09 0.18 50.010 0.20 55.011 0.21 55.012 0.23 60.0为解决这类问题就需要研究两个变量间的关系。

蝌蚪曲线方程公式

蝌蚪曲线方程公式
蝌蚪曲线是一种特殊的函数曲线，其形状类似于蝌蚪的身体轮廓，因此得名。

在数学中，蝌蚪曲线通常由一个数学方程来描述。

蝌蚪曲线的方程公式可以表示为：
x = 16(sin^3(t))
y = 13cos(t) - 5cos(2t) - 2cos(3t) - cos(4t)
其中，t表示参数，x和y分别表示曲线上的点的横坐标和纵坐标。

这个方程公式的图像形状独特，具有一个左右对称的封闭曲线。

蝌蚪曲线在数学的几何和物理领域中有着广泛的应用。

它被用于
描述物体的运动轨迹、流体的流动模式以及声音和光的传播等。

通过改变方程中的参数，我们可以对蝌蚪曲线的形状进行调整。

例如，改变sin和cos函数的系数，可以改变蝌蚪曲线的厚度和曲率。

调整参数的取值范围，可以改变曲线的大小和位置。

蝌蚪曲线的方程公式为数学家们研究曲线的性质和特点提供了
重要的工具。

通过分析方程，我们可以研究曲线的对称性、极值点、渐进线等特征。

这些研究对于数学的发展和应用都具有重要
意义。

蝌蚪曲线方程公式是一种描述独特曲线形状的数学工具。

通过
该公式，我们可以研究和应用到各种领域，为问题建模和解决提
供了有效的方法。

曲线法线方程

曲线法线方程是描述曲线上垂直于切线的一条直线方程，其在数学和物理学中具有广泛的应用。

本文将介绍曲线法线概念及其应用。

曲线法线的概念：曲线法线是指曲线上某一点处与该点切线垂直的一条直线。

在平面直角坐标系中，曲线法线与该点处的切线互为垂直。

曲线法线的斜率与切线斜率相乘为-1，即垂直关系的数学表达式。

曲线法线方程的应用：曲线法线方程的应用十分广泛。

在物理学中，曲线法线可用于描述物体运动的加速度。

在工程学中，设计轨迹曲线时需要关注曲线上某一点的运动轨迹及其速度变化，因此需要计算曲线法线方程。

在计算机图形学中，曲线法线可用于控制三维物体表面的渲染效果。

曲线法线方程的求解：曲线法线方程的求解需要先求出曲线上某一点的切线方程，然后利用斜率之间的垂直关系计算出曲线法线方程。

对于一条函数图像，它的曲线法线方程可以通过求导计算斜率，然后根据斜率之间的垂直关系求出曲线法线方程。

对于非函数图像，则需要通过参数方程或极坐标方程计算斜率，进而计算曲线法线方程。

曲线法线方程的实例：考虑抛物线y=x²，该曲线在点(1,1)处的切线斜率为2。

根据斜率之间的垂直关系，该点处的曲线法线斜率为-1/2。

而曲线法线方程为y-1= (-1/2)(x-1)。

这个式子便是描述曲线法线的数学方程。

总结：曲线法线方程是数学和物理学中的重要概念，它描述了曲线上与切线垂直的一条直线。

曲线法线方程具有广泛的应用，涉及物理学、工程学和计算机图形学等多个领域。

计算曲线法线方程需要先求出曲线上某一点处的切线方程，再根据斜率之间的垂直关系计算曲线法线方程。

【金榜教程】高考数学总复习第8章第8讲曲线与方程配套课件理新人教A

中 x1>0，x2>0，则xy＝＝xx11－＋22 xx22.，②① ∵△OAB 的面积பைடு நூலகம்定值 2， ∴S△OAB＝12OA·OB＝12( 2x1)( 2x2)＝x1x2＝2. ①2－②2 得 x2－y2＝x1x2，而 x1x2＝2，∴x2－y2＝2. 由于 x1>0，x2>0，∴x>0. 即所求点 M 的轨迹方程为 x2－y2＝2(x>0)．
例2 [2013·西安调研]已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12， 2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．
[审题视点] 由于椭圆过A，B两点，且以C、F为焦点，所以可利用椭圆的定义寻找点F所满足的关系．
[解] 设 F(x，y)为轨迹上的任意一点， ∵A、B 两点在以 C、F 为焦点的椭圆上， ∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中 a 表示椭圆的长半轴长)． ∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|. ∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA| ＝ 122＋92－ 122＋－52＝2.
当 x＝1 时，直线 MB 的斜率不存在．于是 x≠1 且 x≠－1，此时，MA 的斜率为x＋y 1，MB 的斜率为x－y 1，由题意，有x＋y 1·x－y 1＝4，化简可得，4x2－y2－4＝0. 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x2－y2－4＝0(x≠1 且 x≠ －1)．
奇思妙想：平面内与两定点A1(－a,0)、A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C的方程，并讨论C的
限时规范特训
15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。

新高考数学一轮二轮复习专题-专题十七圆锥曲线的方程(原卷版)-4月5月真题汇编

十七圆锥曲线的方程一、单选题1．（2021·全国高三专题练习）已知F 为抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，M 为其上一点，且|MF |＝2p ，则直线MF 的斜率为（）．A ．－3B ．±3C D ．2．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=3．（2020·全国高二课时练习）已知直线y ＝kx ＋t 与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是（） A ．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(－3，0) D ．(－2，0)4．（2020·全国高二课时练习）抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是（） A ．43 B ．25C ．85D ．35．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线C 的焦点在x 轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一点M (2，m )满足|MF |＝6，则抛物线C 的方程为（） A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x6．（2020·全国高二课时练习）“双曲线C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>”是“双曲线C 的渐近线方程为by x a=±”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件7．（2021·全国高三月考（理））已知点1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P 与12PF F △的内切圆圆心I 的直线交x 轴于点Q ，且2PI IQ =，则该椭圆的离心率为（） A ．12B ．13C ．14D ．238．（2019·湖南长沙市·长沙一中高二月考）已知椭圆22162x y m+=的一个焦点为()0,2，则m 的值为（） A ．1B ．3C ．5D ．89．（2020·全国高二单元测试）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为曲线的一条渐近线与直线20x y +=平行，则双曲线的方程为（）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．221164x y -=D ．22331520x y -=10．（2021·湖北高二期中）已知双曲线C ：()222210,0y x a b a b -=>>的渐近线方程为12y x =±，则双曲线的离心率为（）A B C D 11．（2021·湖南师大附中高三月考）如图，已知双曲线()222210x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）A ．53B ．54C ．43D ．3212．（2021·山东枣庄市·高三二模）已知椭圆C 与双曲线221x y -=有相同的左焦点1F 、右焦点2F ，点P 是两曲线的一个交点，且120PF PF ⋅=.过2F 作倾斜角为45°的直线交C 于A ，B 两点（点A 在x 轴的上方），且2AB AF λ=，则λ的值为（）A ．3+B ．3C ．2D ．2+13．（2021·全国高三专题练习（文））过曲线1C ：22221x y a b-=(0a b >>)的左焦点1F 做曲线2C ：222x y a +=的切线，设切点为M ，延长1F M 交曲线3C ：22y px =(0p >)于点N ，其中1C ､3C 有一个共同的焦点，若1MF MN =，则曲线1C 的离心率为（）A 1 BC D 114．（2021·全国高三专题练习）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．1015．（2021·甘肃高三二模（文））抛物线()220y px p =>准线上的点A 与抛物线上的点B 关于原点O 对称，线段AB 的垂直平分线OM 与抛物线交于点M ，若直线MB 经过点()4,0N ，则抛物线的焦点坐标是（） A ．()4,0B ．()2,0C ．()1,0D ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭16．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线()2:20C y px p =>，F 为C 的焦点，过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下列说法不正确的是（）A ．C 在点A 处的切线方程为()11y y p x x =+B ．2sin AOBp S θ=△ C ．过抛物线C 准线上的任意一点P 作C 的切线，则过两切点12,Q Q 的弦必过焦点F D ．22sin pAB θ=17．（2021·全国高三专题练习）已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于点A 、B ，若A 、B 两点在准线上的射影分别为M 、N ，线段MN 的中点为C ，则下列叙述不正确的是（） A ．AC BC ⊥B ．四边形AMCF 的面积等于AC MF ⋅ C ．AF BF AF BF +=⋅D ．直线AC 与抛物线相切二、多选题18．（2020·全国高二单元测试）（多选题）若椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和椭圆()222222222:10x y C a b a b +=>>的离心率相同，且12a a >，则下列结论正确的是（）A ．椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点B ．1122a b a b = C ．22221212a a b b -<-D ．1212a a b b -<-19．（2021·全国高三专题练习）曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线()222210,0x y a b a b+=>>上点()00,P x y 处的曲率半径公式为3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．对于半径为R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB ．椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点处的曲率半径的最大值为aC ．椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点处的曲率半径的最小值为2b aD ．对于椭圆()22211x y a a +=>上点01,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的曲率半径随着a 的增大而减小20．（2021·湖北荆门市·高三月考）已知抛物线22x y =，点1(,1),,12M t t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，过M作抛物线的两条切线,MA MB ，其中A ，B 为切点，直线AB 与y 轴交于点P ，则下列结论正确的有（） A ．点P 的坐标为(0,1)B ．OA OB ⊥C ．MAB △的面积的最大值为D ．||||PA PB 的取值范围是[2,2+ 21．（2020·全国高二课时练习）以椭圆22169x y +＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为（）A ．228016x y -＝1 B ．22459y x -＝1C ．221648x y -＝1 D ．22927y x -=122．（2021·湖北高二期中）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右端点分别为1A ，2A ，点P ，Q 是椭圆C 上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且1212PA PA k k ⋅=-，则下列说法正确的有（） A ．椭圆C的离心率为2B ．椭圆C 的离心率不确定 C ．11PA QA k k ⋅的值受点P ，Q 的位置影响D ．12cos A PA ∠的最小值为13-23．（2021·河北高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，长轴长为4，点)P在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（） A ．离心率的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B时，1QF QP +的最大值为2a +C ．存在点Q 使得120QF QF ⋅= D ．1211QF QF +的最小值为1 24．（2020·全国高二课时练习）(多选)已知直线y =kx +1与椭圆2215x y m+=，则（）A ．直线y =kx +1恒过定点(0，1)B ．方程2215x y m +=表示椭圆的条件为m >0C ．方程2215x y m+=表示椭圆的条件为0<m <5D ．直线与椭圆总有公共点的m 取值范围是m ≥1且m ≠525．（2021·广东茂名市·高三月考）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，C 的一条渐近线l的方程为y =，且1F 到l的距离为点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为()2,0，PQ 为12F PF ∠的平分线.则下列正确的是（）A ．双曲线的方程为221927x y -=B ．122PF PF =C ．1236PF PF +=D ．点P 到x 轴的距离为226．（2021·湖南师大附中高三月考）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（） A ．PQ 的最小值为4B ．已知曲线C 上的两点S ，T 到点F 的距离之和为10，则线段ST 的中点横坐标是4 C ．设()0,1M ，则12PM PP +≥D ．过()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条27．（2021·全国高三其他模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与双曲线22:11832x y Ω-=有相同的渐近线，且过点(6,P ，1F ，2F 为双曲线C 的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A ．若双曲线C 上一点M 到它的焦点1F 的距离等于16，则点M 到另一个焦点2F 的距离为10B ．过点(3,0)的直线l 与双曲线C 有唯一公共点，则直线l 的方程为43120x y --=C ．若N 是双曲线C 左支上的点，且1232NF NF ⋅=，则12F NF △的面积为16 D ．过点(2,2)Q 的直线与双曲线2222178x y a b -=--相交于A ，B 两点，且(2,2)Q 为弦AB 的中点，则直线AB 的方程为460x y --=第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、解答题28．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点与上顶点关于直线y x =-对称，又点12P ⎫⎪⎪⎝⎭在E 上．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点()1,0M 作直线l 的垂线，垂足为Q ，试证点Q 总在定圆上．29．（2021·云南高三二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A ，B 是一动点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且123111k k k +=，记B 点的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）过(1,0)C 的直线与E 交于M ，N 两点，过线段MN 的中点D 且垂直于MN 的直线与x 轴交于H 点，若4MN DH =，求直线MN 的方程．30．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线C 的中心在原点，抛物线2y =的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线:1l y kx =+与双曲线C 相交于A 、B 两点. （1）求双曲线C 的方程；（2）若OA OB ⊥，求实数k 值.31．（2021·浙江高二期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点为12,F F ，点M 在椭圆上运动，当时，12120F MF ∠=︒时，12MF F △的面积取得最大值O 是坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:2l x =与椭圆C 在第一象限交于点N ，过N 作两条关于直线l 对称的直线12l l ，，分别交椭圆于不同于N 的两点A ，B ．求证：//ON AB ．32．（2020·全国高二课时练习）椭圆E ：22x a＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2，0)，且离心率为2. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (4，0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．33．（2020·全国高二课时练习）过椭圆216x ＋24y ＝1内一点M (2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．（1）求此弦所在的直线方程；（2）求此弦长．34．（2020·全国高二单元测试）已知曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-. （1）若l 与C 左支交于两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A B 、两点，O 是坐标原点，且AOB，求实数k 的值.35．（2021·河北高三月考）已知坐标原点为O ，双曲线()2222C :10,0x y a b a b-=>>的. （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设过双曲线上动点()00,P x y 的直线0012y yx x -=分别交双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，求AOB 的外心M 的轨迹方程.36．（2020·全国高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；（2）焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(；（3）经过两点(，-1,2⎛ ⎪⎝⎭. 37．（2020·全国高二课时练习）如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，求抛物线的方程．38．（2020·全国高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；（2）与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-.39．（2021·云南昆明市·高三其他模拟（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A ，B 是一动点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且123111k k k +=，记B 点的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；（2）已知直线l ：1x ty =+，l 与曲线E 交于C ，D 两点，直线AC 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，直线AD 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点.当四边形MNPQ 的面积最小时，求直线l 的方程.40．（2020·全国高二课时练习）已知过点()1,1A -的直线l 与椭圆22184x y +=交于点B ，C ，当直线l 绕点()1,1A -旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程.41．（2021·湖南高三月考）已知椭圆2222C:1(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若1F AB 的周长为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为椭圆C 上的动点，过原点作直线与椭圆C 分别交于点M 、N （点P 不在直线MN 上），求PMN 面积的最大值.42．（2021·全国高三专题练习）设椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0A -、()10B ,，C 为椭圆M 上的点，且3ACB π∠=，ABC S =△（1）求椭圆M 的标准方程；（2）设过椭圆M 右焦点且斜率为k 的动直线与椭圆M 相交于E 、F 两点，探究在x 轴上是否存在定点D ，使得DE DF ⋅为定值？若存在，试求出定值和点D 的坐标；若不存在，请说明理由.43．（2021·湖南长沙市·长沙一中高二月考）已知抛物线E ：22x py =的焦点为F ，准线为l ，l 与y 轴的交点为P ，点M 在抛物线E 上，过点M 作MN ⊥l 于点N ，如图1．已知cos ∠FMN ＝35，且四边形PFMN 的面积为72．（1）求抛物线E 的方程；（2）若正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 都在抛物线E 上（如图2），求正方形ABCD 面积的最小值．44．（2021·全国高三专题练习）设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2,0)，直线l ：x=t ，曲线Γ：()280,0y x x t y =≤≤≥，l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 距离；（2）设3t =，||2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP 的面积；（3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．45．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆C ：22x ＋y 2＝1的右焦点为F ，过点F 的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：x ＝2与x 轴相交于点H ，过点A 作AD ⊥l ，垂足为D .（1）求四边形OAHB (O 为坐标原点)的面积的取值范围. （2）证明：直线BD 过定点E ，并求出点E 的坐标.46．（2021·甘肃高三二模（文））已知圆222:O x y b +=经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点2F ，且经过点2F 作圆O 的切线被椭圆C 截得的弦．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 经过椭圆C 的右焦点2F 与椭圆交于A ，B 两点，且0OA OB ⋅=，求直线l 的方程．47．（2021·全国高三专题练习）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C 1：24x ＋y 2＝1，椭圆C 2与C 1是“相似椭圆”，且椭圆C 2的短半轴长为b . （1）写出椭圆C 2的方程；（2）若在椭圆C 2上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围. 四、填空题48．（2020·全国高二课时练习）已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是________．49．（2021·全国高三二模（理））已知双曲线22221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 的直线l 交该双曲线的右支于M ，N 两点(M 点位于第一象限)，12MF F △的内切圆半径为1R ，12NF F △的内切圆半径为2R ，且满足124R R =，则直线l 的斜率为___________.50．（2021·全国高一课时练习）如图，已知点C 的坐标是(2,2)过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ，设点M 是线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程为__.51．（2020·全国高二课时练习）已知a >b >0，椭圆C 1的方程为2222x y a b +＝1，双曲线C 2的方程为2222x y a b -＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________．52．（2020·全国高二课时练习）若椭圆焦距为8，焦点在x 轴上，一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，则椭圆的标准方程为____________．53．（2020·全国高二课时练习）已知曲线221x y a b-=与直线x +y -1=0相交于P ，Q 两点，且0OP OQ ⋅=(O 为原点)，则11a b-=________. 54．（2020·全国高二课时练习）已知以F 1(-2，0)，F 2(2，0)为焦点的椭圆与直线40x ++=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________.55．（2020·全国高二课时练习）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆与直线280x y ++=相交于P ，Q 两点，若PQ =，则椭圆方程为_________________________.56．（2020·全国高二课时练习）若直线2y x b =+与椭圆2214x y +=无公共点，则b 的取值范围为____________.57．（2021·湖北荆门市·高三月考）已知椭圆22122:1x y C a b+=与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>有相同的焦点12,F F ，且两曲线在第一象限的交点为P ，若212PF F F ⊥，且2a b =，则双曲线2C 的离心率为_________．58．（2021·湖南高三月考）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点1F 作以焦点2F 为圆心的圆的切线，其中一个切点为M ，12F F M△的面积为2c ，其中c 为半焦距，线段1MF 恰好被双曲线C 的一条渐近线平分，则双曲线C 的离心率为________.。

第2讲-1-曲线的参数方程第2课时

当堂双基达标
y＋2 3＋sin θ ∴k＝＝ . x＋1 1＋cos θ
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∴sin θ－kcos θ＝k－3 即 1＋k2sin(θ＋φ)＝k－3.(φ 由 tan φ＝－k 确定) k－3 ∴sin(θ＋φ)＝ 2. 1＋k
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新课标 ·数学选修4-4
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2 1 － k 2 要，如 sin2α＋cos2α ＝1 ，(ex＋e－x)2－(ex－ e－x)2 ＝4， ( ) 1＋k2
课时作业
2k 2 ＋( 2) ＝1 等． 1＋k
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新课标 ·数学选修4-4
课前自主导学
2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及 y 的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，
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第 2 课时
课前自主导学
参数方程和普通方程的互化
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1.了解参数方程化为普通方程的意义．课标 2．理解参数方程与普通方程的解读互相转化与应用． 3．掌握参数方程化为普通方程的方法.
课时作业
菜
单
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可表示不同的曲线．
课时作业
菜
单
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将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示
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曲线的形状：
x＝2cos θ (1) y＝2sin θ

8-曲线与方程

第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1曲线与方程教材分析曲线与方程是人教A版高中数学选修2-1第二章“圆锥曲线与方程”第一节的内容，这一节具有承上启下的作用，在前面必修2部分已经学习了“直线的方程”、“圆的方程”.曲线与方程是它们的上位概念，学生的学习是上位学习.在已有学习的基础上，进行由“特殊”到“一般”的进一步抽象提升，引出一般意义上曲线与方程的关系，体验“数”与“形”的转化与结合，领会解析几何的基本思想方法——坐标法.同时介绍“求曲线的方程”的通法，为后续学习圆锥曲线等储备理论基础.课时分配本课时是曲线与方程的第一课时，主要解决的是曲线与方程的关系和曲线方程与方程曲线的概念，为下一步用方程研究曲线的性质做好铺垫.教学目标重点: 通过理解方程的解与曲线上的点一一对应的关系，理解曲线的方程、方程的曲线的概念；体会解析几何的核心思想方法——坐标法.难点：由特殊的“直线与圆”的方程，抽象出一般的曲线与方程的概念.知识点：能说出曲线的方程和方程的曲线的概念的定义，并结合具体例子对定义进行解释. 可以求出简单曲线的方程，画出简单方程的曲线.能力点：用合适的方式解释曲线的方程的作用，说明解析法的价值.教育点：结合直线、圆或者其他图形的方程的研究过程，解释求一般的曲线方程的步骤和过程.自主探究点：把自己在理解或解决曲线的方程和方程的曲线问题过程中的经验、困难或者教训与老师和同学交流，获得更好的理解和方法的改进.考试点：把曲线（图形）看成点运动的结果，把对一个整体图形的研究变为对图上任意点的特点的研究. 易错易混点：自觉按照规范的步骤分析解决相关问题，说明中的自变量范围的界定.拓展点：链接高考.教具准备实物投影机和粉笔课堂模式诱思探究一、创设情境师：在必修2关于几何问题的学习中，我们讨论的对象是直线和圆，然而直线和圆我们在初中都做了非常系统、深入的研究，那么，与初中相比，高中主要做的应该是什么呢？生：用解析的方法，用方程来研究.师：那么借助直线或圆的方程我们都研究过哪些问题了?生：直线的位置关系（如平行、相交、重合），直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系……老师在学生回答的基础上从如下几个方面做总结提升：第一，对比初、高中对直线和圆的研究，我们发现，研究的问题都是相似的，但是研究的方法不同.初中是借助平面几何图形复杂的推理论证解决问题，而高中是利用方程，凭借几条简单的数的运算法则解决问题的.第二，在今后的学习中，我们会发现方程的作用很强大，利用方程我们可以研究更多的几何图形（曲线），对几何图形的认识会更加深入、更加细致.师：本节课，我们将继续研究一般曲线与方程的关系，进一步体会曲线、方程两个不同领域的对象是怎样结合在一起的.【设计意图】从学生的认知基础出发，讨论初中、高中在研究直线、圆两个几何对象的异同点.高中主要是对这些几何对象和它们间的关系用代数的、主要是方程的方法、方程的语言做了重新的描述，于是，这些几何对象、几何关系就成为了代数的对象、代数的关系，实现了几何问题代数化.把借助形象、综合的几何性质进行推理的问题变成了代数运算问题（机械化，借助于几条稳定的而可靠的运算性质得到更为丰富的结论），对对象的认识更加准确. 进一步激发学生对一般曲线与方程关系的研究兴趣.二、探究新知先请学生独立解决如下几个问题：例1 写出下列曲线的方程⑴第一、三象限角分线⑵圆()4122=+-y x 关于y 轴的对称图形 ⑶设动点M 与两条坐标轴的距离的积是1，求动点M 的轨迹方程.例2 写出下列曲线的方程x学生独立解决的过程中教师进行巡视、观察，了解学生在解决问题过程中的智慧与困难，然后组织学生将自己的想法和困惑在全班交流.师：大家觉得这些题目哪个最熟悉，解决起来很容易？生：例1中前两个题目.师：哪些题目看似熟悉，但又与我们之前学习的曲线不太一样？生：例2的题目.师：哪个解决起来最困难？生：例1（3）.【设计意图】学生会根据自己对题目的熟悉程度，将问题分类，这些问题有旧有新，通过组织学生交流反思，引导学生不断认识自己的发展.（1）对熟悉的曲线如何求出方程师：好，那我们从大家认为最简单的问题说起.例1（1）的方程是什么？生1：x y =师：这个方程怎么得到的？生1：第一、三象限角分线是直线，倾斜角是45︒, 所以斜率是1.师：只有斜率就确定直线了？生1：直线过原点.师：很好，她发现角平分线是一条直线，确定直线需要两个要素（一点一斜率或两点），她抓住了一点一斜率，确定了直线的方程.例1（2）的方程是什么？生2：()4122=++y x . 师：这个方程怎么得到的？生2：由已知圆的方程求出圆心和半径，再根据对称性求出所求圆的圆心坐标为()0,1-，半径不变. 师：好，圆()4122=++y x 关于y 轴的对称图形还是圆，他抓住了确定圆的两个要素：圆心和半径得到了对称后圆的方程.师：大家为什么觉得这两个题目比较简单，容易写出方程？生：图形比较明确，就是熟悉的直线和圆.师：对于我们熟悉的曲线（如直线、圆），找到确定这些几何对象的要素（直线：一点一斜率；圆：圆心、半径）利用待定系数的方法就可以直接写出方程了.（2）对看似熟悉，但不“完整”的曲线如何求出方程师：哪些题目看似熟悉，但又与我们之前学习的曲线不太一样？生：例2的题目.师：好，那我们把大家的答案一起交流一下.例2（1）的方程是什么？生3：)0(1≠=y x .师：为什么要加一个限制条件？生3：因为图像与x 轴的交点被抠掉了.在方程中就要把0,1==y x 这个解去掉.师：如果不加限制，这个方程所表示的曲线是什么？生3：垂直于x 轴的整条直线！师：例2（2）的方程是什么？生4：)10(01≤≤=-+x y x .师：为什么要加这个范围？生4：图形是线段，是直线的一部分.在方程中就要给x 加限制.师：能不能不给x 加限制，只给y 加限制？如10≤≤y .生：可以，它们是一一对应的.师：我也看到有的同学把限制条件写成0≥x 或1≤x ，这样可以吗？生：不行，这样方程代表的是射线不是线段.师：例2（3）的方程是什么？生：)10,10(122≤≤≤≤=+y x y x .师：为什么刚才只给一个变量加以限制，现在要加两个?生：一个x 对应两个y .师：如果不给y 加限制，即)10(122≤≤=+x y x ，那么这个方程表示的曲线是什么？生：左半个圆.师：很好.通过这个例子我们看到仅仅使得曲线上点的坐标都满足方程，会出现方程的解不在曲线上的情况，所以就要对方程中的变量加以限制，使得方程的解所对应的点都在曲线上.才能说得到的方程是这个曲线的方程.由此，得出本节课的核心概念——曲线的方程、方程的曲线.并通过板书说明这一概念的本质是曲线上的点与方程的解之间的一一对应的关系.曲线与方程可以看作是同一事物的两种不同的表现形式，曲线的方程是曲线的代数形式，方程的曲线是方程的几何形式，曲线的性质可以在方程中体现出来，方程的性质也可以通过曲线反映出来.【设计意图】求曲线的方程，学生在直线与圆的部分已有学习经验，但是由于此前都是能够直接从几何性质出发通过代数推理得到不需要考虑x ，y 范围的方程问题，也就是对于直观的几何性质全部代数化的认识还不系统，比如，线段与直线的区别表现在方程中就是变量的取值范围，这就导致学生认识到说明“得到的方程的解与曲线上的点一一对应”的必要性，而这恰是本节课的教学重点，也即形成“曲线的方程和方程的曲线的概念”，因此，这里通过设计可能暴露学生认识缺陷的问题，通过对话澄清、强化概念.（3）对不熟悉的曲线，如何求出方程例1（3）：设动点M 与两条坐标轴的距离的积是1，求动点M 的轨迹方程.师：大家为什么认为这个问题比较难解决？生：不知道图形是什么样.师：对于这个曲线，我们仅凭题目中对它几何特征的描述，很难想象出它的图像，这时就体现出解析几何的好处了，我们可以先建立这个曲线的方程，然后利用方程来研究这个曲线.对于我们不熟悉的曲线，怎样获得它的方程呢？（可类比圆的方程的获得过程）生5：在曲线上任取一点()y x ,，则它方程为1=xy .生6：应该是1=⋅y x ，或1±=xy ，或()01≠±=x xy 师：为什么加绝对值了？生：是距离的乘积.师：很好，在写方程时我们要将几何条件全部代数化，要注意题目中的关键信息——距离.另外，用不用给x 加限制条件？生7：不用，0=x 的点不在曲线上.师：很好.0≠x 这个条件已经隐含在方程中了，就不用加这个限制条件了.教师引导学生回顾获得方程的思路，归纳得出：对于我们不熟悉的曲线，可以类比圆的方程的获得过程：把曲线看成点的集合，把静态的点集的问题变成了一个动点问题，再借助化动为静；通过直角坐标系把点变成了数对，把点满足的几何关系变成表示点的两个数（变数）间的代数关系，即得到方程.师：得到的这个方程一定是该曲线的方程吗？生：不行，还要“回得去”.【设计意图】有了之前对曲线与方程概念的剖析，学生马上意识到，应该对方程加以检验.生7: 设点1M 的坐标),(11y x 是方程1=⋅y x 的解，则111=⋅y x ，而1x 、1y 正是点1M 到纵轴、横轴的距离，因此点1M 到这两条直线的距离的积是1，点1M 是曲线上的点.师：很好.这样我们就从两个方面验证了方程1=⋅y x 就是该曲线的方程.【设计意图】通过三类难易程度不同的求曲线方程的问题，让学生从已有经验出发，逐步寻求获得曲线方程的方法，并通过与学生对话、交流，进一步提升学生对曲线的方程、方程的曲线的认识，并归纳总结出如下结论：曲线的方程第一，对于我们熟悉的曲线（如直线、圆），找到确定这些几何对象的要素（直线：一点一斜率；圆：圆心、半径）用待定系数法直接写出方程；第二，对于我们不熟悉的曲线（如（3）），可以类比圆的方程的获得过程：把曲线看成点的集合，通过直角坐标系把点变成了数对，把点满足的几何关系变成表示点的两个数（变数）间的代数关系，即得到方程.第三，有时候会发现，仅仅考虑代数推理的结果得到的方程与原曲线不一致，会出现方程的解不再曲线上的情况，因此，需要坐一下验证，要想说明得到的方程是该曲线的方程，必须满足两个条件：曲线上点的坐标都满足方程；方程的解所对应的点都在曲线上.三、理解新知由方程研究曲线师：得到方程，并不是解析几何最终的目的，我们是希望借助方程来研究与之对应的曲线.那么，通过方程1=⋅y x ，你能不能“看出”几何图形？生8：方程1=⋅y x 就是方程1±=xy ，曲线是两个反比例函数的图像.师：非常好！大家利用我们熟悉的函数图像，“看出了”几何图形.但是，如果得到的方程不是我们熟悉的函数，怎么借助方程研究曲线呢？生9：描点.师：很好，描点法是我们画图像的常用方法，它体现了方程的曲线这一概念的本质.我们先从方程中取几组解，这样就对应了几个点，将这些点连接起来就是方程的曲线.但是描点前应该对曲线的性质有一定的了解，比如：曲线的范围、对称性能否从方程中获得？生10：由方程1x y ⋅=可知0x ≠且0y ≠，因此方程的曲线与两坐标轴的没有交点.生11: 以x -代替x ，方程未改变，因此方程的图象关于y 轴对称，同理也关于x 轴、原点对称. 在学生讨论的基础上，总结：第一，获得了曲线的方程后，有时候相关的代数知识（包括函数）帮助我们“看出”几何图形的样子（例如1x y ⋅=），我们就有了更多研究几何的工具.第二，关于方程的曲线，我们已经非常熟悉的函数的图像相信已经让我们认识到了借助图像更加直观、形象地认识函数所刻画的对象的规律的价值.五、课堂小结首先请学生谈谈本节课的收获与体会，解决问题过程中感受到的经验或者困难，师生一起总结：第一，知识与技能方面：我们学习了曲线的方程、方程的曲线的概念，这个概念的本质就是曲线上的点与方程的解存在一一对应的关系.所以今后在求曲线的方程时要有意识地从这两个方面加以验证，养成检验的习惯.第二，思想方法方面：获得曲线的方程的方法就是将曲线视为点的集合，并将点所满足的条件用点的横、纵坐标之间的关系来表示，就得到了方程.这一过程体现了数形结合的思想方法.连接几何与代数的桥梁就是平面直角坐标系.第三，情感态度价值观方面：从对例1（3）的问题解决中可以看出解析法的价值，对不熟悉的曲线可以先建立它的方程，利用方程进一步研究曲线，真正实现了数与形和谐统一的内在美（几何对称与代数对称；从点与数对一一对应到曲线与方程一一对应等）.所以伟大的无产阶级领袖恩格斯评价解析几何是“数学史上的转折点”之一.六、布置作业1、必做题：37.14, 1.P A T B T习题2组：组：2、选做题：丛书356,(2012P T四川理科高考题21)七、反思提升1.曲线上点的坐标都是方程的解；方程的解都是曲线上的点，那么这个方程就叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线.学生对于这句话还是理解的，但是不清楚每句话的作用，也不太理解为什么要这样描述曲线的方程和方程的曲线，有比这更容易理解的描述为什么不用，比如：根据方程画出的图象就叫方程的曲线等.这主要是学生仅限于表面上的关系，就简避繁的习惯引起的，其实通过正例、反例的对照就可以让学生明白；通常直接法、定义法等求轨迹方程时，学生没有习惯验证一一对应，不能自觉地补点、抠点等等.教师应该引导学生将已知条件等价转化为所求方程，对于有些条件可以暂时不考虑，但是在求得方程之后要综合进行考虑这个条件的作用.曲线与方程是对应的，反过来曲线上扣去的点也是方程要去掉的解.2.本节课的亮点是能让学生全程参与建构概念，通过较为愉悦的课堂环境，使学生保持浓厚的学习兴趣.3.本节课的不足之处是由于给学生留下了较多的思考参与时间，练习相对少了点.八、板书设计。

高中数学2-4曲线与方程新人教B版选择性必修第一册

跟踪训练3 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的
2倍．求动点P的轨迹方程．
解析：设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.
则|8－x|＝2 x − 2 2 + y − 0 2 ，
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
题型4 代入法求曲线的方程
题型1 曲线与方程的概念
例1 (1)命题“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”是
命题“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的(
)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：根据曲线方程的概念，“曲线C的方程是f(x，y)＝0”
包含“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”和“以方
ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
状元随笔方法一：由平行四边形性质可知|MP|＝|ON|＝2，满足圆
的定义，注意去掉不满足条件的点；
方法二：根据对角线互相平分，利用代入法可求出轨迹方程．
题型3 直接法求曲线方程
例3 已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足条件|PA|＝
2|PB|，则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于(
)
A．9π
B．8π
C．4π
D．π
答案：C
解析：设 P(x ， y) ，由 |PA| ＝ 2|PB| ，知 x + 2 2 + y 2 ＝
2 x − 1 2 + y 2 ，化简整理，得(x－2)2＋y2＝4，
【思考探究】
1．为什么说“建立平面直角坐标系是解析几何的基础”？

多种曲线方程式

每一页的曲线类型如下：第1页：碟形弹簧、葉形线、螺旋线(Helical curve)、蝴蝶曲线和渐开线；第2页：螺旋线、对数曲线、球面螺旋线、双弧外摆线和星行线；第3页：心脏线、圆内螺旋线、正弦曲线、太阳线和费马曲线（有点像螺纹线）；第4页：Talbot 曲线、4叶线、Rhodonea 曲线、抛物线和螺旋线；第5页：三叶线、外摆线、Lissajous 曲线、长短幅圆内旋轮线和长短幅圆外旋轮线；第6页：三尖瓣线、概率曲线、箕舌线、阿基米德螺线和对数螺线；第7页：蔓叶线、tan曲线、双曲余弦、双曲正弦和双曲正切；第8页：一峰三驻点曲线、八字曲线、螺旋曲线、圆和封闭球形环绕曲线；第9页：柱坐标螺旋曲线、蛇形曲线、8字形曲线、椭圆曲线和梅花曲线；第10页：花曲线、空间感更强的花曲线、螺旋上升的椭圆线、螺旋花曲线和鼓形线；第11页：长命锁曲线、簪形线、螺旋上升曲线、蘑菇曲线和8字曲线；第12页：梅花曲线、桃形曲线、碟形弹簧、环形二次曲线和蝶线；第13页：正弦周弹簧、环形螺旋线、内接弹簧、多变内接式弹簧和柱面正弦波线；第14页：ufo（漩涡线）手把曲线、篮子、圆柱齿轮齿廓的渐开线方程和对数螺旋曲线；第15页：罩形线、向日葵线、太阳线、塔形螺旋线和花瓣线；第16页：双元宝线、阿基米德螺线的变形、渐开线方程、双鱼曲线和蝴蝶结曲线；第17页：“两相望”曲线、小蜜蜂、弯月、热带鱼和燕尾剪；第18页：天蚕丝、心电图、变化后的星形线、小白兔和大家好；第19页：蛇形线、五环、蜘蛛网、次声波和十字渐开线；第20页：内五环和蜗轨线；1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t图12.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))图23.螺旋线(Helical curve)圆柱坐标（cylindrical）方程：r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*3图34.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 8图45.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=0图56.螺旋线.笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360))y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t图67.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)图78.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*20图89.双弧外摆线卡迪尔坐标方程：l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)图910.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^3图1011.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*360图1112.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)图1213.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=0图1314.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）图1415.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做图1516.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b图16 17.4叶线（一个方程做的，没有复制）图1718.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)图1819. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =0图1920.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t图20圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)图2122.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta) z=0图2223. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)图2324.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta) y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)图2425.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)图2526. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360)) y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))图2627.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)图2728.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)图2829.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta图2930.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2a = 0.005r = exp(a*theta)图3031.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x图3132.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)图3233.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/2图3334.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/2图3435.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))图3536.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3+1图3637.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180))y = 2 * sin ( t *(5*360))z = 0图3738.螺旋曲线r=t*(10*180)+1theta=10+t*(20*180)z=t图3839.圆x = cos ( t *(5*180))y = sin ( t *(5*180))z = 0图3940.封闭球形环绕曲线rho=2theta=360*tphi=t*360*10图4041.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180))y = 100*t * sin ( t *(5*180))z = 0图4142.蛇形曲线x = 2 * cos ( (t+1) *(2*180))y = 2 * sin ( t *(5*360))z = t*(t+1)图4243.8字形曲线柱坐标theta = t*360r=10+(8*sin(theta))^2图4344.椭圆曲线笛卡尔坐标系a = 10b = 20theta = t*360x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)图4445.梅花曲线柱坐标theta = t*360r=10+(3*sin(theta*2.5))^2图4546.另一个花曲线theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=4*sin(theta*3)^2图4647.改一下就成为空间感更强的花曲线了;) theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=(r*sin(theta*3))^2图4748.螺旋上升的椭圆线a = 10b = 20theta = t*360*3x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)z=t*12图4849.甚至这种螺旋花曲线theta = t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2z = t*16图49 50 鼓形线笛卡尔方程r=5+3.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*10z=t*10图50 51 长命锁曲线笛卡尔方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c)y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)图51 52 簪形线球坐标方程：rho=200*ttheta=900*tphi=t*90*10图5253.螺旋上升曲线r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3z=t^3*(t+1)图5354.蘑菇曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*20*20图5455. 8字曲线a=1b=1x=3*b*cos(t*360)+a*cos(3*t*360)Y=b*sin(t*360)+a*sin(3*t*360)56.梅花曲线theta=t*360r=100+50*cos(5*theta) z=2*cos(5*theta)图5657.桃形曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*10*10图5758.名稱:碟形弹簧建立環境:pro/e圓柱坐r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24图5859.环形二次曲线笛卡儿方程：x=50*cos(t*360)y=50*sin(t*360)z=10*cos(t*360*8)图59 60 蝶线球坐标：rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2)theta=t*360phi=log(1+t*360)*t*360图60 61.正弦周弹簧笛卡尔：ang1=t*360ang2=t*360*20x=ang1*2*pi/360y=sin(ang1)*5+cos(ang2)z=sin(ang2)图61 62.环形螺旋线x=（50+10*sin(t*360*15))*cos(t*360) y=(50+10*sin(t*360*15))*sin(t*360)z=10*cos(t*360*5)图6263.内接弹簧x=2*cos(t*360*10)+cos(t*180*10)y=2*sin(t*360*10)+sin(t*180*10)z=t*6图63 64.多变内接式弹簧x=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*480*8)y=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*480*8)z=t*8图64 65.柱面正弦波线柱坐标：方程r=30theta=t*360z=5*sin(5*theta-90)图65 66. ufo （漩涡线）球坐标：rho=t*20^2theta=t*log(30)*60phi=t*7200图66 67. 手把曲线thta0=t*360thta1=t*360*6r0=400r1=40r=r0+r1*cos(thta1)x=r*cos(thta0)y=r1*sin(thta1)z=0图67 68.篮子圆柱坐标r=5+0.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*30z=t*5图6869. 圆柱齿轮齿廓的渐开线方程：afa=60*tx=10*cos(afa)+pi*10*afa/180*sin(afa)x=10*sin(afa)-pi*10*afa/180*cos(afa)z=0注：afa为压力角，取值范围是0到60，10为基圆半径。

最全的UG方程曲线及详细表达式

在UG中利用【规律曲线】|【根据方程】绘制各种方程曲线：1、极坐标（或柱坐标r,θ,z）与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：x=r*cos(θ)；y=r*sin(θ)；z=z2、球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：x=rsinθcosφ；y=rsinθsinφ；z=rcosθ在UG表达式中输入的theta=θ；phi=φ；r=rho【注：所有UG表达式中，必须先在名称栏输入t，公式栏输入0，类型为恒定的，即无单位。

t是UG自带的系统变量，其取值为0~1之间的连续数】1.直线直线的数学方程为y-y0=tan(θ)*(x-x0)，若直线经过点（10,20），倾角θ为30°，长度L为40，即UG表达式为：theta=30L=40xt=10+L*cos(theta)*tyt=20+L*sin(theta)*tzt=0效果如图1图1 图22.圆和圆弧圆的数学方程为(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2，若圆心坐标为（50,40），半径r为30，即UG 表达式为：r=30theta=t*360xt=50+r*cos(theta)yt=40+r*sin(theta)zt=0效果如图23.椭圆和椭圆弧椭圆的数学方程为(x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2=1，若椭圆中心坐标为（50,40），长半轴a为30（在X轴上），短半轴b为20，即UG表达式为：a=30b=20theta=t*360xt=50+a*cos(theta)yt=40+b*sin(theta)zt=0效果如图3图3 图44.双曲线双曲线的数学方程为x2/a2-y2/b2=1，若中心坐标为（0,0），实长半轴a为4（在x轴上），虚半轴b为3，y的取值范围为-5~+5内的一段，即UG表达式为：a=4b=3yt=10*t-5xt=a/b*sqrt(b^2+yt^2)或xt=-a/b*sqrt(b^2+yt^2)zt=0做出一半后进行镜像复制，效果如图45.抛物线抛物线I的数学方程为y2=2px，若抛物线的顶点为（30,20）焦点到准线的距离p=8，y的取值范围为-25~+25，即UG表达式为：p=8yt=50*t-25+20xt=(yt-20)^2/(2*p)+30zt=0效果如图5-1抛物线II数学参数方程：x=2pt2，y=2pt（其中t为参数）。

各种曲线方程大集合

各种曲线方程集合:各种曲线方程集合1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t图1 2.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))图2 3.螺旋线(Helical curve)圆柱坐标（cylindrical）方程： r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*3图34.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 8图45.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=0图56.螺旋线.笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t图67.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)图78.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*20图89.双弧外摆线卡迪尔坐标方程： l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)图910.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^3图1011.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*360图11 12.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)图1213.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=0图1314.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）图1415.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做图1516.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b图16 17.4叶线（一个方程做的，没有复制）图1718.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)图18 19. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =0图1920.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t图1920.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t图2021.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)圖2122.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta) z=0图2223. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)图2324.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta) y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)图2425.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)图2526. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360)) y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))图2627.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)图2728.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)图28 29.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta图29 30.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2a = 0.005r = exp(a*theta)图3031.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x图3132.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)图3233.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/2图33 34.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/2图3435.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))图3536.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3+1图36 37.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180))y = 2 * sin ( t *(5*360))z = 0图3738.螺旋曲线r=t*(10*180)+1theta=10+t*(20*180)z=t图3839.圆x = cos ( t *(5*180))y = sin ( t *(5*180))z = 0图3940.封闭球形环绕曲线rho=2theta=360*tphi=t*360*10图4041.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180)) y = 100*t * sin ( t *(5*180)) z = 042.蛇形曲线x = 2 * cos ( (t+1) *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360))z = t*(t+1)图4243.8字形曲线柱坐标theta = t*360r=10+(8*sin(theta))^2图4344.椭圆曲线笛卡尔坐标系a = 10b = 20theta = t*360x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)图44 45.梅花曲线柱坐标theta = t*360r=10+(3*sin(theta*2.5))^2图4546.另一个花曲线theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=4*sin(theta*3)^2图4647.改一下就成为空间感更强的花曲线了;) theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=(r*sin(theta*3))^2图4748.螺旋上升的椭圆线a = 10b = 20theta = t*360*3x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)z=t*12图48 49.甚至这种螺旋花曲线theta = t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2z = t*16图49 50 鼓形线笛卡尔方程r=5+3.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*10z=t*10图50 51 长命锁曲线笛卡尔方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c) y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)图51 52 簪形线球坐标方程：rho=200*ttheta=900*tphi=t*90*10图5253.螺旋上升曲线r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3z=t^3*(t+1)图53 54.蘑菇曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*20*20。

曲线的极坐标方程

上述方程统一表示椭圆,双曲线, 上述方程统一表示椭圆,双曲线,抛物线当0<e<1时,方程表示时椭圆, 是左焦点是左焦点, 椭圆,F是左焦点,L 是左准线. 是左准线. 当1<e时,方程表示双时曲线, 是右焦点是右焦点, 曲线,F是右焦点,L 是右准线. 是右准线. 当e=1时,方程表示抛时物线, 是焦点是焦点, 是物线,F是焦点,L是准线,开口向右. 准线,开口向右.
M y o x M
同一条曲线在两个不同坐标系中方程的互化 P54 例 3 化圆的直角坐标方程 2+y2-2ax=0为化圆的直角坐标方程x 为极坐标方程. 极坐标方程. 解题时,应用公式,注意整体替代. 解题时,应用公式,注意整体替代.把 x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入直角坐标方程得 ρ ρ θ ρ2-2aρcosθ = 0ρ(ρ-2acosθ)=0 ρ θ ρ θ 所示的极坐标方程是ρ 或所示的极坐标方程是ρ=0或ρ-2acosθ =0 θ 是极点, ρ =0 是极点, ρ=2acosθ θ 表示以(a, 为圆心为圆心, 为表示以 ,0)为圆心,a为 o (a,0) x , 半径,且过极点的圆, 半径,且过极点的圆,所以不必写出来. ρ =0不必写出来. 不必写出来
o x
把极坐标方程ρ2sin2θ =2tgθ化为直角坐标方程把极坐标方程ρ θ θ 解:把原方程化为ρsinθ ρcosθ = tg θ 把原方程化为ρ θ θ y x= ρcosθ ,y= ρsinθ ,— = tgθ θ θ θ x 它的直角坐标方程是 y xy= — y(x2-1)=0 y (x-1) (x+1)= 0 x 从极坐标方程直接看不出方程表示的曲线是什么,化为直角坐标方程后知道它表示的是什么, 是三条直线:y=0或x=1或x=-1 是三条直线: 或或