2007年普通高考数学卷(四川.文)含详解

2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页 第Ⅱ卷3到10页 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷注意事项：1 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上3 本卷共12小题，每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径kn kkn n P P C k P --=)1()(一、选择题(1)设集合M ={4,5,6,8},集合N ={3,5,7,8}那么M ∪N = (A){3,4,5,6,7,8}(B){5,8}(C){3,5,7,8}(D){4,5,6,8}(2)函数f (x )=1+log 2x 与g （x ）=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是(3)某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153， 149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是 (A)150 2克 (B)149 8克 (C)149 4克 (D)147 8克(4)如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是(A ）BD ∥平面CB 1D 1 (B)AC 1⊥BD(C)AC 1⊥平面CB 1D 1 (D)异面直线AD 与CB 所成的角为60° （5）如果双曲线2422yx -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是(A)364 (B)362 (C)62 (D)32（6）设球O 的半径是1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 到B 、C 两点的球面距离都是2π，且二面角B-OA-C 的大小是3π，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A点的最短距离是(A)67π (B)45π (C)34π (D)23π（7）等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其降n 项和S n =100,则n = (A)9 (B)10 (C)11 (D)12(8)设A （a,1）,B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为A 4a-5b=3B 5a-4b=3C 4a+5b=14 D5a+4b=12(9)用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有 A 48个 B 36个 C 24个 D 18个(10)已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于A 3B 4C 32D 42（11）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得04万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0 6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为A 36万元B 31 2万元C 30 4万元D 24万元(12)如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2与l 3同的距离是2， 正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 A 23 B364 C473- D3212-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题横线上（13） 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是(14) 如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱长为1，则BC 1中与侧面ACC 1 A 1所成的角是(15) 已知⊙O 的方程是2220xy+-=，⊙O ′的方程是228100xyx +-+=，由动点P 向⊙O和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是(16) 下面有五个命题：①函数44sincosy x x=-的最小正周期是π ②终边在y 轴上的角的集合是{}|Z2k k παα=∈， ③在同一坐标系中，函数sin y x=的图像和函数y x=的图像有三个公共点 ④把函数3sin 23y x π= +（）的图像向右平移6π得到3sin 2y x=的图像 ⑤ 角θ为第一象限角的充要条件是sin θ＞0 其中，真命题的编号是三、解答题：本大题共6小题 共74分，解答应写出文字说明 证明过程或运算步骤 （17）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一般产品致冷商家的，商家符合规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这些产品（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0 3，从中任意取出4种进行检验，求至少要1件是合格产品的概率(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率（18）（本小题满分12分）已知1cos 72πααββα=-<<<13，cos （）=，且014(Ⅰ)求tan2α的值； （Ⅱ）求β(19) (本小题满分12分)如图，平面PCBM ⊥平面ABC ,∠PCB =90°,PM ∥BC ,直线AM 与直线PC 所成的角为60°，又AC =1,BC =2PM =2,∠ACB =90°(Ⅰ)求证：AC ⊥BM ;(Ⅱ)求二面角M -AB -C 的大小； （Ⅲ）求多面体PMABC 的体积（20）(本小题满分12分)设函数f （x ）=ax 3+bx +c （a ≠0）为奇函数，其图象在点（1,f （1））处的切线与直线x －6y －7=0垂直，导函数f ＇（x ）的最小值为－12 （Ⅰ）求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的单调递增区间，并求函数f （x ）在〔－1,3〕上的最大值和最小值（21）(本小题满分12分) 设F 1、F 2分别是椭圆2214xy +=的左、右焦点(Ⅰ)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且12PF PF ∙＝－34，求点P 的坐标；(Ⅱ)设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围（22）(本小题满分14分)已知函数f （x ）=x 2－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n +1,u ）（u ,N +），其中为正实数（Ⅰ）用x x 表示x n +1； （Ⅱ）若a 1=4，记a n =lg22n n x x +-，证明数列｛a 1｝成等比数列，并求数列｛x n ｝的通项公式；（Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <32007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修+选修Ⅰ）(含详细解析)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1、设集合{4,5,6,8}M =，集合{3,5,7,8}N =，那么M N = （ ）（A ）{3,4,5,6,7,8}（B ）{5,8} （C ）{3,5,7,8} （D ）{4,5,6,8}M =解析：选A2、函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）解析：选C3、某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（ ）（A ）150 2克 （B ）149 8克 （C ）149 4克 （D ）1478克解析：选Ｂ4、如图，1111ABC D A B C D -为正方体，下面结论错误．．的是（ ） （A ）//B D 平面11C B D （B ）1AC BD ⊥ （C ）1AC ⊥平面11C B D（D ）异面直线A D 与1C B 所成的角为60° 解析：选Ｄ5、如果双曲线22142xy-=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（ ）（A ）3（B ）3（C ） （D ）解析：选A 由点P 到双曲线右焦点0)的距离是2知P 在双曲线右支上 又由双曲线的第二定义知点P 到双曲线右准线的距离是3，双曲线的右准线方程是3x =，故点P 到y 36、设球O 的半径是1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 到B 、C 两点的球面距离都是2π，且二面角B O A C --的大小是3π，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是（ ）（A ）76π （B ）54π （C ）43π（D ）32π解析：选C42323d AB BC C A ππππ=++=++= 本题考查球面距离 7、等差数列{}n a 中，11a =，3514a a +=，其前n 项和100n S =，则n =（ ） （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 解析：选Ｂ8、设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若O A 与OB 在O C方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ ）（A ）453a b -= （B ）543a b -= （C ）4514a b += （D ）5414a b +=解析：选A 由O A 与OB 在O C 方向上的投影相同，可得：OA OC OB OC ⋅=⋅即4585a b +=+，453a b -=9、用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）（A ）48个 （B ）36个 （C ）24个 （D ）18个解析：选Ｂ 个位是2的有33318A =个，个位是4的有33318A =个，所以共有36个10、已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则A B 等于（ ）（A ）3 （B ）4 （C ） （D ） 解析：选C 设直线A B 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出A B 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB == 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系 自本题起运算量增大11、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得04万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0 6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ）（A ）36万元 （B ）31 2万元 （C ）30 4万元 （D ）24万元解析：选B 对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31 2万元 因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的32倍时可获最大利润 这是最优解法 也可用线性规划的通法求解 注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现12、如图，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则⊿ABC 的边长是（ ）（A ）23 （B ）364（C ）4（D ）3解析：选D 过点Ｃ作2l 的垂线4l ，以2l 、4l 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系 设(,1)A a 、(,0)B b 、(0,2)C -，由AB BC AC ==知2222()149a b b a -+=+=+=边长，检验A ：222()14912a b b a -+=+=+=，无解；检验B ：22232()1493a b b a -+=+=+=，无解；检验D ：22228()1493a b b a -+=+=+=，正确 本题是把关题 在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力全占全了 是一道精彩的好题 可惜区分度太小二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上13、1()nx x-的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是解析：8n =14、在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面11AC C A 所成的角是____________解析：1BC =B 到平面11AC C A 2，∴1sin 2θ=，30θ=︒15、已知O 的方程是2220x y +-=，'O 的方程是228100x y x +-+=，由动点P 向O 和'O 所引的切线长相等，则运点P 的轨迹方程是__________________解析：O ：圆心(0,0)O ，半径r ='O ：圆心'(4,0)O ，半径'r = 设(,)P x y ，由切线长相等得222x y +-=22810x y x +-+，32x =16、下面有5个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈；③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有3个公共点； ④把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象；⑤角θ为第一象限角的充要条件是sin 0θ>其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）解析：①4422sin cos sin cos 2y x x x x cos x =-=-=-，正确；②错误；③sin y x =，tan y x =和y x =在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误 故选①④三、解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这些产品（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0 8，从中任意取出4种进行检验，求至少要1件是合格产品的概率（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率解析：本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有4()1()10.20.9984P A P A =-=-=（Ⅱ）记“商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为i 件” (1,2)i =为事件i A11173122051()190C C P A C ==2322203()190C P A C ==∴商家拒收这批产品的概率1251327()()19019095P P A P A =+=+=故商家拒收这批产品的概率为279518、（本小题满分12分）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且π02βα<<<（Ⅰ）求tan 2α的值； （Ⅱ）求β解析：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力（Ⅰ）由1cos 7α=，π02α<<，得sin 7α===∴sin 7tan cos 71ααα===于是22tan tan 21tan 47ααα===--（Ⅱ）由π02βα<<<，得02παβ<-<又∵13cos()14αβ-=，∴sin()14αβ-===由()βααβ=--，得c o s c o s [(βααβ=-- cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317147142=⨯+=∴π3β=19、（本小题满分12分）如图，平面P C B M ⊥平面ABC ，90P C B ∠=︒，//PM BC ，直线A M 与直线P C 所成的角为60°，又1A C =，22B C P M ==，90A C B ∠=︒（Ⅰ）求证：A C B M ⊥；（Ⅱ）求二面角M A B C --的大小；（Ⅲ）求多面体P M A B C 的体积解析：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力（Ⅰ）∵平面P C B M ⊥平面ABC ，A C B C ⊥，A C ⊂平面ABC∴A C ⊥平面P C B M又∵BM ⊂平面P C B M ∴A C B M ⊥（Ⅱ）取B C 的中点N ，则1C N = 连接A N 、M N∵平面P C B M ⊥平面ABC ，平面PCBM 平面A B C B C =，PC BC ⊥∴P C ⊥平面ABC∵//PM CN =，∴//M N PC =，从而M N ⊥平面ABC作N H AB ⊥于H ，连结M H ，则由三垂线定理知A B M H ⊥ 从而M H N ∠为二面角M A B C --的平面角 ∵直线A M 与直线P C 所成的角为60°，∴60A M N ∠=︒在A C N ∆中，由勾股定理得AN =在R t A M N ∆中，cot 33M N AN AM N =⋅∠==在R t B N H ∆中，sin 15AC N H BN ABC BN AB=⋅∠=⋅=⨯=在R t M N H ∆中，tan 35M N M H N N H∠===故二面角M A B C --的大小为tan3arc（Ⅱ）如图以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -设0(0,0,)P z 0(0)z >，有(0,2,0)B ，(1,0,0)A ，0(0,1,)M z0(1,1,)AM z =- ，0(0,0,)CP z =由直线A M 与直线P C 所成的角为60°，得cos 60AM C P AM C P ⋅=⋅⋅︒即200z z =，解得03z =∴(1,1,3AM =-，(1,2,0)A B =-设平面M A B 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则由003020n AM x y z n AB x y ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-+=⎩，取1z =，得1(4,n =取平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)n =则12cos ,n n <>121213n n n n ⋅===⋅由图知二面角M A B C --为锐二面角，故二面角M A B C --的大小为arccos13（Ⅲ）多面体P M A B C 就是四棱锥A B C P M -11111()(21)13323236PM ABC A PM BC PM BC V V S AC PM C B C P AC -==⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+=20、（本小题满分12分）设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-（Ⅰ）求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力（Ⅰ）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-即33ax bx c ax bx c --+=--- ∴0c =∵2'()3f x ax b =+的最小值为12- ∴12b =-又直线670x y --=的斜率为16因此，'(1)36f a b =+=- ∴2a =，12b =-，0c =（Ⅱ）3()212f x x x =-2'()612)(2)f x x =-=，列表如下：所以函数()f x 的单调增区间是(,-∞和)+∞∵(1)10f -=，f =-(3)18f =∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =，最小值是f =-21、（本小题满分12分）设1F 、2F 分别是椭圆2214xy +=的左、右焦点（Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1254P F P F ⋅=- ，求点P 的坐标；（Ⅱ）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力（Ⅰ）易知2a =，1b =，c =∴1(0)F，20)F 设(,)P x y (0,0)x y >> 则22125(,,)34P F P F x y x y x y ⋅=--=+-=- ，又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211342x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩(1,2P （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件 可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k=+，1221614k x x k+=-+由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >①又A O B ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>，∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414k k k kk=+⋅+⋅-+++22212(1)21641414k k k kk+⋅=-+++224(4)014k k-=>+∴2144k -<< ②综①②可知2344k <<，∴k的取值范围是(2,(,2)22--22、（本小题满分14分）已知函数2()4f x x =-，设曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线与x 轴的交点为1(,0)n x +(*)n N ∈，其中1x 为正实数（Ⅰ）用n x 表示1n x +； （Ⅱ）若14x =，记2lg2n n n x a x +=-，证明数列{}n a 成等比数列，并求数列{}n x 的通项公式；（Ⅲ）若14x =，2n n b x =-，n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明3n T <解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力（Ⅰ）由题可得'()2f x x =所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x -=-即2(4)2()n n n y x x x x --=-令0y =，得21(4)2()n n n n x x x x +--=-即2142n n n x x x ++=显然0n x ≠，∴122n n nx x x +=+（Ⅱ）由122n n nx x x +=+，知21(2)22222n n n nnx x x x x +++=++=，同理21(2)22n n nx x x +--=故21122()22n n n n x x x x ++++=--从而1122lg2lg22n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a += 所以，数列{}n a 成等比数列故111111222lg 2lg 32n n n n x a a x ---+===-即12lg2lg 32n n n x x -+=-从而12232n n n x x -+=-所以11222(31)31n n n x --+=-（Ⅲ）由（Ⅱ）知11222(31)31n n n x --+=-，∴1242031n n n b x -=-=>- ∴111112122223111113313133n nn n n nb b ----+-==<≤=-+当1n =时，显然1123T b ==<当1n >时，21121111()()333n n n n b b b b ---<<<< ∴12n n T b b b =+++111111()33n b b b -<+++ 11[1()]3113nb -=-133()33n=-⋅<综上，3n T <(*)n N ∈。