2018届高三数学一轮复习空间点、直线、平面之间的位置关系

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2018高考数学文科一轮复习讲义 3.3 第三节空间点、直线、平面之间的位置关系

①② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 第三节空间点、直线、平面之间的位置关系【考点点知】知己知彼，百战不殆本部分内容主要包括平面的有关概念，四个公理，等角定理以及异面直线的有关知识，是整个立体几何的基础，复习时应加深对有关概念、定理的理解，并结合实际题目加强应用训练．高考对本部分内容的考查主要以选择题的形式考查对概念定理的理解与应用，也可能是解答题的某一问．考点一: 三个公理1.公理1.如果一条直线上的两个点在同一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）.公理1用数学符号表述为：点A ∈面α，点B ∈面α，则直线AB ⊂α.2.公理2 .如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理2用符号表示为：A ∈α，A ∈β，则α∩β=a 且A ∈a .3.公理3.经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定平面）(1)推论1.经一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.(2)推论2.经过两条相交直线,有且只有一个平面.(3)推论3.经过两条平行直线,有且只有一个平面.考点二:异面直线的概念1.不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.考点三: 平行直线与等角定理1.公理4.平行于同一条直线的两条直线平行.2.等角定理.空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 考点四: 异面直线所成的角1.定义1 异面直线a 、b ，在空间中任取一点O ，过点O 分别引a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′，b ′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角．若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.2.两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O 的位置选取无关；两条异面直线所成的角θ∈（0,2π］. 【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007重庆理,3)若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）Ａ．5部分Ｂ．6部分Ｃ．7部分Ｄ．8部分思路透析: 以三条两两相交且不过同一点的三条直线看作是三个平面两两相交的被第四个平面所截得的截面图,如右图所示,由截面图可数得,三个平面把空间分成了7个部分, 故应选C. 点评:本题以平面将空间切割为考点,考查了空间想象能力及分析问题与解决问题的能力. 考生在解题过程中将该问题仅想象为空间直角坐标系中的三个平面两两相交的结论,而得错误结论D.例2.(基础·2006北京文)设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正．．确．的是( ) A.若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B.若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线C.若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BCD.若AB =AC ，DB =DC ，则AD BC思路透析: 本题考查了空间想象能力及推理论证能力,对四点的位置情况进行分类讨论可得出结论.A 、B 可由平面的公理可知其正确性，选项D ，只需取BC 的中点E ，易证BC 垂直于平面ADE ，故BC 垂直于AD ，故应选C.点评:空间四点的位置关系蕴含着空间所有的线面、线线、点面、点线、面面的位置关系,通过不同的角度的思维途径可以得到不同的结论.例3.(综合·2007浙江理,6)若P 两条异面直线l m ，外的任意一点，则（）Ａ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行Ｂ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直Ｃ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交Ｄ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面思路透析: 设过点P 的直线为n ，若n 与l 、m 都平行，则l 、m 平行，与已知矛盾，故选项A 错误．由于l 、m 只有惟一的公垂线，而过点P 与公垂线平行的直线只有一条，故B 正确．对于选项C 、D 可参考右图的正方体，设AD 为直线l ，''A B 为直线m ;若点P 在P 1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C 错误．若P 在P 2点，则由图中可知直线''2CC D P 及均与l 、m 异面，故选项D 错误.l 、m 的公垂线及过点P 与l 、m 公垂线平行的直线都是唯一的，故选B ．点评:通过的想象与模拟此类实际操作的实物模拟题型往往可以在想象的基础上得以解决.例4.(综合·2007启东期中) A 是△BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，（1）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）若AC ⊥BD ，AC =BD ，求EF 与BD 所成的角.思路透析:（1）证明：用反证法.设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾.故直线EF 与BD 是异面直线.（2）解：取CD 的中点G ，连结EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的锐角或直角即为异面直线EF 与BD 所成的角.在Rt △EGF 中，求得∠FEG =45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.点评:①证明两条直线是异面直线常用反证法；②求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90°；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”.注意，异面直线所成角的范围是（0，2π］. 例5.(创新探究·如图，a 、b 、c 为不共面的三条直线，且相交于一点O ，点M 、N 、P分别在直线a 、b 、c 上，点Q 是b 上异于N 的点，判断MN 与PQ 的位置关系，并予以证明.思路透析: 证法一：(反证法)假设MN 与PQ 共面于β，则点M 、N 、P 、Q ∈βββββ⊂⇒⎭⎬⎫∈∈⇒⎭⎬⎫∈⊂⇒∈c P O b O b b Q N ,又点同理a ⊂β，∴a 、b 、c 共面，与已知a 、b 、c 不共面矛盾，故MN 与PQ 为异面直线.证法二：⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈∈=b Q N a M b a ,0点M 、N 、Q 共面于MON⇒点Q ∉MN又Q ∈b 且异于NMON P c P MON OP 平面点平面∉⇒⎭⎬⎫∈⊄ 故平面MON 内一点Q 与平面外一点P 的连线PQ 与平面内不过Q 点的直线MN 是异面直线.点评:判定两条直线异面可以用异面直线的判定定理，有时也可以用反证法，在实际做题时要注意定理的符号表示.例6.(创新探究·设异面直线a 与b 所成的角为50°，O 为空间一定点，试讨论，过点O 与a 、b 所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l 有且仅有几条?思路透析:过点O 作a 1∥a ，b 1∥b ，则相交直线a 1、b 1确定一平面α.a 1与b 1夹角为50°或130°，设直线OA 与a 1、b 1均为θ角，作AB ⊥面α于点B ，BC ⊥a 1于点C ，BD ⊥b 1于点D ，记∠AOB =θ1，∠BOC =θ2（θ2=25°或65°），则有cos θ=cos θ1·cos θ2.因为0°≤θ1≤90°，所以0≤cos θ≤cos θ2.当θ2=25°时，由0≤cos θ≤cos25°，得25°≤θ≤90°；当θ2=65°时，由0≤cos θ≤cos65°，得65°≤θ≤90°.故当θ<25°时，直线l 不存在；当θ=25°时，直线l 有且仅有1条；当25°<θ<65°时，直线l 有且仅有2条；当θ=65°时，直线l 有且仅有3条；当65°<θ<90°时，直线l 有且仅有4条；当θ=90°时，直线l 有且仅有1条.点评:异面直线所成的角就是选点、平移后的平面角.上述解答首先将问题转化为：求过点O 与a 1、b 1均成θ角的直线的条数，进而通过讨论θ的范围去确定直线l 的条数.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗1.规律总结:(1)公理1的作用有两个：①作为判断和证明直线是否在平面内的依据，在学习公理1之前，判断直线是否在平面内，要看直线上所有的点是否在平面内，公理1则简化了判断证明过程，只需要看是否有两个点在平面内就可以了.②公理1可以用来检验某一个面是否平面，检验的方法为：把一条直线在面内旋转，固定两个点在面内后，如果其它点也在面内，则该面为平面.(2)公理2有下面一些作用：①判断和证明两平面相交;②证明点在直线上;③证明三点共线; ④证明三线共点.(3)公理3主要有下面一些作用：①说明过不共线三点存在平面; ②说明过不共线的三点只有一个平面;③判断三点是否共线; ④判断一个图形是否平面图形.(4)立体几何学习中有三种语言: 文字语言、符号语言、图形语言,在解题中这三种语言时时刻刻在进行着相互间的转化.下表反映了这三种语言的基本关系:(5)公理4说明了平行具有传递性，主要用来证明两条直线平行，它是证明两直线平行的重要依据.(6)求两条异面直线所成的角的一般步骤是：①构造：根据异面直线定义，用平移法作出异面直线所成的角.②认定：证明作出的角就是要求的角.③计算：求角值，常利用三角形.④结论.2.学以致用:(1)如下图，正四面体S —ABC 中，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是( ) A.33 B.32C.63D.62 (2)如图所示，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（） A ．EF 与1BB 垂直B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与11AC 异面(3)在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，得到四边形EFGH ．①四边形EFGH 是______________；②当对角线AC ＝BD 时，四边形EFGH 是______________；③当对角线满足条件______________时，四边形EFGH 是矩形；④当对角线AC 、BD 满足条件_______时，四边形EFGH 是正方形．(4)已知如图所示, 点E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB ，AD ，CB ，CD 上的点，且直线EF 和HG 交于点P ，求证：点B ，D ，P 在同一条直线上.答案:(1)C 解析:取AC 的中点E ，连结DE 、BE ，则DE ∥SA ，∴∠BDE 就是BD 与SA 所成的角.设SA =a ，则BD =BE =23 a ，DE =21 a ，cos ∠BDE =DE BD BE DE BD ⋅-+2222= 63. (2).D 解析: 连结1B C 、AC ,则EF 为1B AC ∆中AC 边上的中位线,∴EF//AC, ∵1BB AC ⊥, BD AC ⊥, ∴1,BB EF BD EF ⊥⊥,即结论A 、B 均成立;又EF 与CD 是异面直线得结论C 也成立; ∵11//AC AC , ∴11//EF AC , ∴11EF AC 与共面, 即得结论D 不成立, 故应选D.(3)①平行四边形 ②菱形 ③EF ⊥FG ④AC ⊥ BD ，且AC ＝BD 解析:①由三角形中位线定理可知EF21AC ，HG 21AC ，于是EF HG ，故四边形EFGH 为平行四边形；②当AC ＝BD 时，由EF ＝21AC ，EH ＝21BD ，得EF ＝EH ，即平行四边形EFGH 的邻边相等，故平行四边形EFGH 为菱形； ③要使平行四边形EFGH 为矩形，需且只须一个角是直角．如需EF ⊥FG ，则AC ⊥BD ；④要使平行四边形EFGH 为正方形，需且只须AC ⊥ BD ，且ACA ＝BD ；(4)本题即是要证P 点在直线BD 上，由于面ABD ∩面CBD ，故可以用公理2证得P ∈BD.∵E ，F 是AB ，AD 上点，∴EF ⊂平面ABD ，同理GH ⊂面BCD.∵EF ∩GH ＝P,∴P ∈EF,P ∈GH ，∴P ∈面ABD ，P ∈面BCD.∵面ABD ∩面BCD=BD ，∴P ∈BD 即B,D,P 三点共线.3.易错分析: (1)空间点、直线、平面的位置关系和证明在选择题中连续几年以组合题的形式出现，其中异面直线为难点热点,考生常会在求解过程中因计算失误而失分.解此问题的方法为空间想象－简单作图－举反例或论证.(2)利用中位线平移和利用补形平移是处理长方体中异面直线所成角的重要方法.但平移的方法及位置特征点学生往往找不准确.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.若a ，b 是异面直线，则只需具备的条件是A.a ⊂平面α，b ⊄平面α，a 与b 不平行B.a ⊂平面α，b ⊂平面β，α∩β=l ，a 与b 无公共点C.a ∥直线c ，b ∩c =A ，b 与a 不相交D.a ⊥平面α，b 是α的一条斜线2.如图，直线a 、b 相交于点O 且a 、b 成60°角，过点O 与a 、b 都成60°角的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条3.对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，且m 与l ( )A. 平行B. 相交C. 垂直D. 互为异面直线4.ABCD 是空间四边形，已知AB=CD ，AD=BC ，但AB ≠AD ，M 、N 为两对角线AC 、BD 的中点，则（）A ．MN 与AC 垂直，MN 与BD 不垂直B ．MN 与BD 垂直，MN 与AC 不垂直C ．MN 与AC 、BD 都不垂直 D ．MN 与AC 、BD 都垂直5.如右图所示，正三棱锥V ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,,D E F 分别是 ,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是（）A 030B 090C 060D 随P 点的变化而变化 6. 三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）Ａ 1条Ｂ 2条Ｃ 3条Ｄ 1条或2条二、填空题:7.已知直线a 和平面α、β，在a a a l ,,,βαβα⊄⊄=⋂α、β内的射影分别为直线b 和c ，则b 、c 的位置关系是 .8.已知,a b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 的位置关系____________________9.如下图，四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD =2AB =2，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角等于________.10.从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_______三、解答题:11.如下图，设△ABC 和△A 1B 1C 1的三对对应顶点的连线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，且1OA AO =1OB BO =1OC CO = 32. 试求111C B A ABC S S ∆∆的值.12.如下图，设不全等的△ABC 与△A 1B 1C 1不在同一平面内，且AB ∥A 1B 1，BC ∥B 1C 1，CA ∥C 1A 1.求证：AA 1、BB 1、CC 1三线共点.13. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB =a ，BC =b ，AA 1=c ，且a >b ，求：（Ⅰ）下列异面直线之间的距离：AB 与CC 1；AB 与A 1C 1；AB 与B 1C .（Ⅱ）异面直线D 1B 与AC 所成角的余弦值.14.如下图，在三棱锥P —ABC 中，AB =AC ，PB =PC ，E 、F 分别是PC 和AB 上的点且PE ∶EC =AF ∶FB =3∶2.（Ⅰ）求证：P A ⊥BC ；（Ⅱ）设EF 与P A 、BC 所成的角分别为α、β，求证：α+β=90°.【能力训练】参考答案一、选择题:1. C2. C3. C4. D5. B6. C二、填空题:7. 相交，平行或异面 8. 异面或相交 9. 30° 10. 48三、解答题:11.解析:依题意，因为AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，且1OA AO =1OB BO =1OC CO ，所以AB ∥A 1B 1，AC ∥A 1C 1，BC ∥B 1C 1.由平移角定理得∠BAC =∠B 1A 1C 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，△ABC ∽ △A 1B 1C 1，所以111C B A ABC S S ∆∆=（32）2=94. 12.证明：不妨设AB ≠A 1B 1，AA 1∩BB 1=S ，∵BC ∥B 1C 1，∴BB 1面BCC 1B 1，S ∈面BBC 1B 1.同理，S ∈面ACC 1A 1.∴S ∈CC 1，即AA 1、BB 1、CC 1三线共点于S .13.解析:（Ⅰ）BC 为异面直线AB 与CC 1的公垂线段，故AB 与CC 1的距离为b . AA 1为异面直线AB 与A 1C 1的公垂线段，故AB 与A 1C 1的距离为c .过B 作BE ⊥B 1C ，垂足为E ，则BE 为异面直线AB 与B 1C 的公垂线，BE =C B BC BB 11⋅=22cb bc +，即AB 与B 1C 的距离为22c b bc+.1（Ⅱ）解法一：连结BD 交AC 于点O ，取DD 1的中点F ，连结OF 、AF ，则OF ∥D 1B ，∴∠AOF 就是异面直线D 1B 与AC 所成的角.∵AO =222b a +，OF =21 BD 1=2222c b a ++，AF =2422c b +， ∴在△AOF 中，cos ∠AOF =OF AO AF OF AO ⋅-+2222=))((2222222c b a b a b a +++-. 解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结BG 、D 1G ，则AC ∥BG ，∴∠D 1BG （或其补角）为D 1B 与AC 所成的角.BD 1=222c b a ++，BG =22b a +，D 1G =224c a +，在△D 1BG 中，cos ∠D 1BG =BG B D G D BG B D ⋅-+1212212=－))((2222222c b a b a b a +++-，故所求的余弦值为))((2222222c b a b a b a +++-.14.证明：（Ⅰ）取BC 的中点D ，连结AD 、PD .则BC ⊥平面ADP ，AP ⊂平面ADP ，∴AP ⊥BC .（Ⅱ）在AC 上取点G ，使AG ∶GC =3∶2，连结EG 、FG ，则EG ∥P A ，FG ∥BC ，从而∠EGF 为P A 与BC 所成的角，由（1）知∠EGF =90°，而∠GEF 、∠GFE 分别是EF 与P A 、EF 与BC 所成的角α、β，∴α+β=90°.。

高中数学总复习：空间点、直线、平面之间的位置关系

练后悟通
共面、共线、共点问题的证明方法
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高中总复习·数学（提升版）
空间两条直线的位置关系
考向1 空间两条直线位置关系的判断
【例1】（1）已知α，β，γ是三个平面，α∩β＝ a ，α∩γ＝ b ，β∩γ
＝ c ，且 a ∩ b ＝ O ，则下列结论正确的是（
）
A. 直线 b 与直线 c 可能是异面直线
1， F 四点共面.
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（2） CE ， D 1 F ， DA 三线共点；
证明：∵ EF ∥ CD 1， EF ＜ CD 1，
∴ CE 与 D 1 F 必相交，
设交点为 P ，如图所示.
则由 P ∈ CE ， CE ⊂平面 ABCD ，
得 P ∈平面 ABCD .
同理 P ∈平面 ADD 1 A 1.
D. 没有公共点
解析：直线 m 与平面α平行，且直线 a ⊂α，则直线 m 和直线 a 的
位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，但不可能相交，故
选C.
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2. 如果直线 a ⊂平面α，直线 b ⊂平面β，且α∥β，则 a 与 b （
）

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2. 在三棱锥 A - BCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 上分别取 E ， F ， G ， H
四点，如果 EF ∩ HG ＝ P ，则点 P （
）
A. 一定在直线 BD 上
B. 一定在直线 AC 上
C. 在直线 AC 或 BD 上
D. 不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上
）
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高中总复习·数学（提升版）

高中数学高考一轮复习一轮复习第二节空间点直线平面之间的位置关系

课时作业(三十九)空间点、直线、平面之间的位置关系1．直线a与b垂直，且直线b垂直于平面α，则直线a与平面α的位置关系是()A．a⊥αB．a∥αC．a⊂αD．a⊂α或a∥αD[直线a与b垂直，且直线b垂直于平面α，则a⊂α或a∥α，故选D.]2．(多选)三个平面α，β，γ两两相交，则这三个平面的交线总共可能有()条．A．1 B．2 C．3 D．4AC[当三个平面交于一条直线，交线的条数是1，当三个平面两两相交，交线不重合时，有3条交线，综上可知空间中三个平面两两相交，交线的条数是1或3.故选AC.]3．(多选)正方体截面的形状有可能为()A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形ABD[画出截面图形如图：可以画出正三角形但不是直角三角形(如图1)；可以画出正方形(如图2).经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形(如图3)；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形(如图4)；故选ABD.]4.如图，在四面体ABCD中，一个平面与AB，BC，CD，DA分别交于点E，F，G，H(不含端点)，则下列结论错误的是()A．若AE∶BE＝CF∶BF，则AC∥平面EFGHB．若E，F，G，H分别为各棱的中点，则四边形EFGH为平行四边形C．若E，F，G，H分别为各棱的中点且AC＝BD，则四边形EFGH为矩形D．若E，F，G，H分别为各棱的中点且AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形C[若AE∶BE＝CF∶BF，则EF∥AC，EF⊂平面EFGH，AC⊄平面EFGH，所以AC∥平面EFGH，故A 正确；若E，F，G，H分别为各棱的中点，则EH∥FG，EF∥GH，四边形EFGH为平行四边形，故B正确；由于四边形EFGH 为平行四边形，且AC ⊥BD ，所以EF ⊥EH ，所以平行四边形EFGH 是矩形，故D 正确，而当AC ＝BD 时，EH ＝EF ，平行四边形EFGH 是菱形，C 错误．故选C.]5．(多选)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是DB 的中点，直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ，则下列结论正确的是( )A ．C 1，M ，O 三点共线B ．C 1，M ，O ，C 四点共面 C ．C 1，O ，A 1，M 四点共面D ．D 1，D ，O ，M 四点共面ABC [连接A 1C 1，AC ，则AC ∩BD ＝O ，又A 1C ∩平面C 1BD ＝M ，所以三点C 1，M ，O 在平面C 1BD 与平面ACC 1A 1的交线上，所以C 1，M ，O 三点共线，所以A ，B ，C 项均正确，D 项错误．故选ABC 项．]6．正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有________条．解析：如图，在正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有BB 1，DD 1，A 1B 1，A 1D 1，D 1C 1，B 1C 1，共6条．答案： 67．(开放型)如图，在三棱锥A -BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形； (2)当AC ，BD 满足条件____________时，四边形EFGH 为正方形．解析： (1)∵四边形EFGH 为菱形， ∴EF ＝EH ，∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF ∥AC ，EH ∥BD ，且EF ＝12 AC ，EH ＝12 BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .答案： (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD8．如图，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ，因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成的角即为异面直线AC 1与BC 所成的角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D 垂直于圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD .因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2 AD ，AD ∥BC ，所以∠C 1AD 即直线AC 1与AD 所成的角．所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2 ，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为2 . 答案：29．如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出l 的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长．解析： (1)如图，延长DM 与D 1A 1交于点O ，连接NO ，则直线NO 即为直线l .(2)因为l ∩A 1B 1＝P ，则易知直线NO 与A 1B 1的交点即为P .所以A 1M ∥DD 1，且M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，所以A 1也为D 1O 的中点．由图可知A 1P D 1N ＝OA 1OD 1 ＝12 ，所以A 1P ＝a 4 ，PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝3a4.知∠BAC ＝π2，AB10.如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已＝2，AC ＝23 ，P A ＝2.求：(1)三棱锥PABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解析： (1)S △ABC ＝12×2×23 ＝23 .三棱锥P -ABC 的体积V ＝13 S △ABC ·P A ＝13 ×23 ×2＝433 .(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2 ，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2 ＝34. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.11．已知平面α∩平面β＝直线l ，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，且A ，B ，C ，D ∉l ，点M ，N 分别是直线AB ，CD 的中点，则下列说法正确的是( )A ．当|CD |＝2|AB |时，M ，N 不可能重合B ．M ，N 可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 C ．当直线AB ，CD 相交，且AC ∥l 时，BD 可与l 相交 D ．当直线AB ，CD 异面时，MN 可能与l 平行B [A 选项：当|CD |＝2|AB |时，若A ，B ，C ，D 四点共面且AC ∥BD 时，则M ，N 两点能重合，可知A 错误；B 选项：若M ，N 可能重合，则AC ∥BD ，故AC ∥l ，此时直线AC 与直线l 不可能相交，可知B 正确；C 选项：当AB 与CD 相交，直线AC ∥l 时，直线BD 与l 平行，可知C 错误；D 选项：当AB 与CD 是异面直线时，MN 不可能与l 平行，可知D 错误．故选B.]12．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N ，E ，F 分别是A 1B 1，AD ，B 1C 1，C 1D 1的中点，则过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得截面的面积为________．解析：由题意，取CD 的中点Q ，BC 的中点P ，连接ME ，NQ ，FQ ，QP ，EP ，EQ ，在正方体中易知，ME 綊NQ ，所以MN ∥EQ ，因为MN ⊄平面EFQP ，EQ ⊂平面EFQP ，所以MN ∥平面EFQP ，故平面EFQP 就是过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得的截面，PQ ＝2 ，所以面积S ＝2 ×2＝22 .答案：2213．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.解析：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E，F，G，H四点共面．(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．因为EHBD＝AEAE＋EB ＝mm＋1，所以EH＝mm＋1BD.同理可得FG＝nn＋1BD，由EH＝FG，得m＝n.故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB.所以EF∥AC.又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°.从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.14．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为AD1，B1C上的动点，且满足AP＝B1Q，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是()①存在P，Q的某一位置，使AB∥PQ②△BPQ 的面积为定值③当P A >0时，直线PB 1与直线AQ 一定异面 ④无论P ，Q 运动到何位置，均有BC ⊥PQ A ．①②④ B ．①③ C ．②④D ．①③④D [如图，①当P ，Q 分别是AD 1与B 1C 的中点时，AB ∥PQ ，①正确；②设正方体棱长为2，当P 在A 处时，Q 在B 1处，△BPQ 的面积为2，当P 在AD 1的中点，Q 在B 1C 的中点时，△BPQ 的面积为2 ，故②错误；③当P A >0时，设直线PB 1与AQ 是共面直线，则AP 与B 1Q 共面，矛盾，故假设不成立，所以直线PB 1与AQ 是异面直线，③正确；④当P 与A 重合或P 与D 1重合时，易证BC ⊥PQ .当P 不与A ，D 1重合时，设点P 在平面ABCD 内的射影为M ，点Q 在平面ABCD 内的射影为N ，连接PM ，QN ，MN ，PQ ，由AP ＝B 1Q 知，AM ＝BN ，故BC ⊥MN ，又QN ⊥BC ，MN ∩QN ＝N ，所以BC ⊥平面PMNQ ，所以BC ⊥PQ ，故④正确．综上所述，正确命题的序号是①③④.]15．如图，已知多面体P ABCDE 的底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ⊥平面ABCD ，ED ∥P A ，且P A ＝3 ED ＝3 AB ，现将△CDE 以直线DE 为轴旋转一周后，则直线BP 与动直线CE 所成角的范围是________．解析：如图所示，将PB 平移到EB 1的位置，C 1点在以D 为圆心，半径为1的圆上运动．则∠B 1EC 1就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，EB 1，EC 1为定值，故最值由B 1C 1来确定，故当C 1在C 处线线角最小，在C 2处线线角最大．由于P A ＝3 ED ＝3 AB ，故∠PBA ＝∠EB 1D ＝π3 .而DE ＝DC ＝1，故∠ECD ＝π4 ，所以∠CEB 1＝π3 －π4 ＝π12.而∠EC 2D ＝∠ECD ＝π4 ，故∠B 1EC 2＝π－π4 －π3 ＝5π12 .所以所求线线角的取值范围是[π12 ，5π12 ].答案： [π12 ，5π12 ]。

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第三节空间点、直线、平面之间的位置关系[考纲传真 ] (教师用书独具 )1.理解空间直线、平面位置关系的定义 .2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．(对应学生用书第97 页 )[基础知识填充 ]1．平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．(2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理 2的三个推论推论 1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论 2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行图形语言关系相交关系符号语言a∥ b a∥αα∥β图形语言符号语言a∩b＝A a∩α＝Aα∩β＝l图形语言独有关系符号语言a，b 是异面直线a? α3.平行公理 (公理 4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a′∥ a，b′∥ b，把 a′与 b′所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角．π(2)范围： 0，2 .[知识拓展 ]异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．[基本能力自测 ]1．(思考辨析 )判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过 A 点的任意一条直线． ()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(4)若直线 a 不平行于平面α，且 a?α，则α内的所有直线与 a 异面． ()[答案 ] (1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编 )如图 7-3-1所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线B1 C 与 EF 所成的角的大小为 ()图7-3-1A．30°B．45°C．60°D．90°C[ 连接 B1D1，D1C，则 B1D1∥EF，故∠D1B1C 为所求的角，又 B1 D1＝ B1C＝D1 C，∴∠D1B1C＝ 60°.]3．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线A[A 不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B， C，D 是平面的基本性质公理． ]4．(2016 ·山东高考 )已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[ 由题意知 a? α， b? β，若 a，b 相交，则 a， b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则 a，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．]5．若直线 a⊥b，且直线 a∥平面α，则直线 b 与平面α的位置关系是 ________．b 与α相交或 b? α或 b∥α(对应学生用书第98 页 )平面的基本性质(1)以下命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C， E 共面，则 A，B，C， D，E 共面；③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2D．3(2)如图 7-3-2，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AA1的中点．求证：①E，C，D1，F 四点共面；②CE，D1F，DA 三线共点．图7-3-2(1)B[ ①中若有三点共线，则四点共面，不合题意，故①正确；②中若点A，B，C 在同一条直线上，则A，B，C，D，E 不一定共面，故②错误；③中，直线b，c 可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误． ](2)①如图，连接 EF，CD1， A1B．∵E，F 分别是 AB， AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C， D1，F 四点共面．②∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE 与 D1F 必相交，设交点为P，则由 P∈直线CE，CE? 平面 ABCD，得P∈平面ABCD.同理 P∈平面ADD 1A1.又平面 ABCD∩平面 ADD1 A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE， D1F，DA 三线共点．[规律方法 ] 1.证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．[变式训练 1](1)(2018 上·饶模拟 )如图 7-3-3 所示，在四面体 ABCD 中作截面 PQR，若 PQ 与 CB 的延长线交于点 M， RQ 与 DB 的延长线交于点 N，RP 与 DC 的延长线交于点 K.给出以下命题：图 7-3-3①直线 MN? 平面 PQR；②点 K 在直线 MN 上；③M，N， K， A 四点共面．其中正确结论的序号为 ________．【导学号： 79170240】1 1(2)如图 7-3-4 所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形， BC 綊2AD，BE 綊2FA，G，H 分别为 FA，FD 的中点．①证明：四边形 BCHG 是平行四边形；②C，D，F， E 四点是否共面？为什么？图7-3-4(1)①②③[ 由题意知， M∈PQ，N∈RQ，K ∈RP，从而点 M，N，K∈平面PQR.所以直线 MN? 平面 PQR，故①正确．同理可得点 M ，N，K∈平面BCD.从而点 M，N，K 在平面 PQR 与平面 BCD 的交线上，即点 K 在直线 MN 上，故②正确．因为 A?直线 MN，从而点 M ，N，K，A 四点共面，故③正确．]1(2)①证明：由已知 FG＝ GA， FH＝ HD ，得 GH 綊2AD.1又BC 綊2AD，∴GH 綊 BC，∴四边形 BCHG 是平行四边形．②C，D，F， E 四点共面，理由如下：1由BE 綊2AF，G 为 FA 的中点知 BE 綊 GF，∴四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥BG.由①知 BG∥CH，∴ EF∥CH，∴EF 与 CH 共面．又 D∈FH ，∴ C，D，F，E 四点共面．空间直线的位置关系(1)(2018 金·华模拟 )已知 a，b，c 为三条不同的直线，且a? 平面α， b? 平面β，α∩β＝c，给出下列命题：①若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a， b 中的一条相交；②若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直；③若 a∥ b，则必有 a∥ C．其中真命题有 ________．(填序号 ) 【导学号： 79170241】(2)(2017 郑·州模拟 )在图 7-3-5 中，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有 ________(填上所有正确答案的序号 )．①②③④图7-3-5(1)①③(2)②④[(1) 对于①，若 c 与 a，b 都不相交，则 c∥a，c∥b，从而 a∥b，这与 a 与 b 是异面直线矛盾，故①正确．对于②， a 与 b 可能异面垂直，故②错误．对于③，由 a∥b 可知 a∥β，又α∩β＝c，从而 a∥c，故③正确．(2)图①中，直线 GH∥MN；图②中， G，H，N 三点共面，但 M?平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图③中，连接MG，GM ∥HN，因此 GH 与 MN 共面；图④中， G，M，N 共面，但 H?平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面，所以在图②④中， GH 与 MN 异面． ][规律方法 ] 1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．(2)定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线．2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．[变式训练 2](2018 烟·台模拟 )a，b，c 表示不同的直线， M 表示平面，给出四个命题：①若 a∥ M，b∥M，则 a∥b 或 a， b 相交或 a，b 异面；②若 b? M， a∥b，则 a∥M；③若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b；④若 a⊥M，b⊥M ，则 a∥B．其中正确的为 ()A．①④B．②③C．③④D．①②A[对于①，当 a∥M，b∥M 时，则 a 与 b 平行、相交或异面，①为真命题．②中， b? M， a∥b，则 a∥M 或 a? M，②为假命题．命题③中， a 与 b 相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题． ]异面直线所成的角(1)如图 7-3-6，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AA1＝ 2AB＝2，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为 ()图 7-3-61 2A．5 B．53 4C．5 D.5(2)(2018 泸·州模拟 )如图 7-3-7 所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， O 是底面 ABCD 的中心， E、F 分别是 CC1，AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1所成角的余弦值等于 ________．图7-3-715 [(1) 连接 BC1，易证 1 1(1)D (2) 5 BC ∥AD，则∠A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角．连接 A1C1，由 AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝ 2，A1B＝BC1＝ 5，在△A1BC1中，由余弦定理得5＋ 5－ 2 4cos∠A1BC1＝＝.2×5×5 5(2)取 BC 的中点 G.连接 GC1，则 GC1∥FD 1，再取 GC 的中点 H，连接 HE、OH，∵E 是 CC1的中点，∴GC1∥EH.∴∠OEH 为异面直线所成的角．5 5在△OEH 中， OE＝ 3，HE＝2 ，OH＝2 .OE2＋EH2－OH2 3 15由余弦定理，可得 cos∠OEH＝2OE·EH ＝＝5 .]52· 3·2[规律方法 ] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点 )作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．[变式训练 3]如图7-3-8，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形， C 是圆柱下底面弧 AB 的中点， C1是圆柱上底面弧 A1 B1的中点，那么异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 ________．【导学号：79170242】图7-3-82[ 取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D，连接 C1D，AD，则因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，所以 AD∥BC，所以直线 AC1与 AD 所成角等于异面直线 AC1与 BC 所成角，因为 C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，所以 C1D⊥圆柱下底面，所以 C1 D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以 C1D＝2AD，所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为2，所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 2.]。

2018-2019学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间

归纳升华面 3 为依据找出一个交点，面面平行的主要特点是没有公共点．解题时要善于将自然语言或符号语言转化成图形语言，借助空间想象力作出判断．
[变式训练] α，β是两个不重合的平面，下面说法
中正确的是( ) A．平面 α 内有两条直线 a，b 都与平面 β 平行，那
答案：D
1．空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式：
直线与平面平行（直线与平面没有公共点）
按公共
直线与平面相交（直线与平面
(1)点数的分个类直面线不与平平行直线有无在唯数平一公面公共内共点（点）直）线与平面有
(2)按在内是平分否面类直直线线在在平平面面内外直直线线与与平平面面相平交行 2．判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法．
解析：如图所示：我们借助长方体模型，棱 AA1 所在直线有无数点在平面 ABCD 外，但棱 AA1 所在直线与平面 ABCD 相交，所以命题(1)不正确．
A1B1∥AB，A1B1 所在直线平行于平面 ABCD，但直线 AB⊂平面 ABCD，所以命题(2)不正确．
直线 l 与平面 α 平行，则 l 与 α 无公共点，l 与平面 α 内所有直线都没有公共点，所以命题(3)正确．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α.( ) (2)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．( ) (3)若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点．( )
归纳升华直线与平面的位置关系的判定
空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．本题借助几何模型判断，通过特例排除错误命题；对于正确命题，根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断．要注意多种可能情形．

2018年高三数学(理)一轮复习课件空间点、直线、平面之间的位置关系

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③④
答案
第八章
知识梳理双基自测
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
知识梳理核心考点学科素养
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5.(教材探究改编P46)如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则
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易知 EH∥BD∥FG,且
1
1 EH=2BD=FG,同理
EF∥AC∥HG,且
第八章
知识梳理双基自测
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
知识梳理核心考点学科素养
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2.直线与直线的位置关系
位置关系的分类
平行共面直线相交
异面直线:不同在任何
一个平面内
(2)异面直线所成的角 ①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线 a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角 (或夹角).
第八章
知识梳理双基自测
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
知识梳理核心考点学科素养
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(3)确定平面的三个推论 ①推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. ②推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. ③推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (4)异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.

高考数学大一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系理

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4．公理 2 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
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公理中“有且只有”一个平面的含义是什么？提示：平面存在且唯一，“有且只有”有时说成“确定”．
3 连接 AO，在 Rt△AOD 中，cos∠ADO＝DADO＝22＝34.
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求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
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(2014·大纲全国卷)已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的
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3．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
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(1)不相交的两条直线是异面直线吗？ (2)不在同一平面内的直线是异面直线吗？提示：(1)不一定，不相交的两条直线可能平行，也可能异面． (2)不一定，不在同一平面内的直线可能异面，也可能平行．
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(2)∵EF 綊12CD1，
∴直线 D1F 和 CE 必相交．设 D1F∩CE＝P.延长 D1F、CE 交于点 P. ∵P∈D1F 且 D1F⊂平面 AA1D1D，∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈EC 且 CE⊂平面 ABCD，∴P∈平面 ABCD，即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点，而平面 ABCD∩ 平面 AA1D1D＝AD，∴P∈AD. ∴CE、D1F、DA 三线共点．
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(2)已知空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是边 BC，CD 的中点．

高三数学一轮复习 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系

考点1
考点2
考点3
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对点训练1如图,空间四边形ABCD中,点E,F分别是AB,AD的中
点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.
(1)求证:E,F,G,H四点共面; (2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.
考点1
考点2
考点3
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证明 (1)∵E,F分别为AB,AD的中点, ∴EF∥BD.
一个平面.
(3)基本性质3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们
有且只有一条
过这个点的公共直线.
(4)推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平
面.
(5)推论2:经过两条相交直线
,有且只有一个平面.
(6)推论3:经过两条平行直线 ,有且只有一个平面.
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知识梳理双基自测自测点评
考点1
考点2
考点3
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②是异面直线.理由如下:
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体, ∴B,C,C1,D1不共面.
假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面α,使D1B⊂平面α,CC1⊂ 平面α,
∴D1,B,C,C1∈α,与B,C,C1,D1不共面矛盾. ∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.
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考点1
考点2
考点3
考点 1 平面的基本性质及应用
例1
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点, 求证:
(1)E,C,D1,F四点共面; (2)CE,D1F,DA三线共点. 思考如何利用平面的基本性质证明点共线和线共点?
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考点1
考点2

高考数学第一轮复习：《空间点、直线、平面的位置关系》

高考数学第一轮复习：《空间点、直线、平面的位置关系》最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.【教材导读】1．分别在两个平面内的直线就是异面直线吗？提示：不是．异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线，指的是找不出一个平面同时经过这两条直线，分别在两个平面内的直线可以平行、异面或相交．2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些？提示：直线与平面的位置关系有：相交、平行、在平面内．平面与平面的位置关系有：平行、相交．1．平面的基本性质及相关公(定)理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内判断直线在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α确定平面、直线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的寻找两平面的交线；证明线共点公共直线公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行//m n证明线线平行两角相等或互补的定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补A A'∠=∠A Aπ'∠+∠=判断或证明两角相等或互补2．空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥b a∥αα∥β交点个数000相交关系图形语言符号语言a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 交点个数11无数个其他关系图形语言符号语言a，b是异面直线aα交点个数0无数个3.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；(2)范围：0，π2.【重要结论】经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线．1．以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．(A)0 (B)1(C)2 (D)3B解析：①正确，若有三点共线，则四点必共面；②错误，当A、B、C共线时，A、B、C、D、E不一定共面；③错误，在正方体中，BC与AB共面，BC与CC1共面，但AB与CC1异面；④错误，也可以是空间四边形．2.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C l，直线AB∩l＝M，过A、B、C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()(A)点A(B)点B(C)点C但不过点M(D)点C和点MD解析：通过A、B、C三点的平面γ，即是通过直线AB与点C的平面，M∈AB，∴M ∈γ，而C∈γ.又∵M ∈β，C ∈β，∴γ和β的交线必通过点C 和点M .3．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6答案：C4．正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，直线BB 1与AD 1所成的角为( ) (A)π3 (B)π4 (C)π6(D)π2 B 解析：如图，因为BB 1∥AA 1，所以∠A 1AD 1为直线BB 1与AD 1所成的角，在Rt △AA 1D 1中，∠A 1AD 1＝π4.5．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是________________．答案：b 与α相交或bα或b ∥α考点一平面的基本性质及应用如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，AA 1的中点．求证： (1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．解析：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F四点共面．(2)因为EF∥CD1，EF＜CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理p∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA.所以CE，D1F，DA三线共点．【反思归纳】(1)证明点共面或线共面的常用方法①直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．②同一法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．③辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．(2)证明空间点共线问题的方法①公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．(3)证明三线共点的方法先选取两线交于一点，再证明该点在第三条线上即可．【即时训练】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC，，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解：C，D，F，E四点共面，证明如下：∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH.∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．法二如图所示，延长FE，DC分别与AB的延长线交于点M，M′，∴B为MA的中点．中点．∴M与M′重合．即EF与CD相交于点M(M′)，∴C，D，F，E四点共面．考点二空间两直线的位置关系(1)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠ 2.有以下四个结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．解析：(1)过N作NP⊥BB1于点P，连接MP，可证AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正确．过M、N分别作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于点R、S，则当M不是AB1的中点、N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③对．综上所述，其中正确的序号是①③.(2)平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：(1)①③(2)3【反思归纳】(1)空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，常常利用线面垂直的性质来解决．(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．【即时训练】(1)下列四个结论：①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行．②两条直线没有公共点，则这两条直线平行．③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为()(A)0 (B)1(C)2 (D)3(2)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()(A)AC⊥BD(B)AC∥截面PQMN(C)AC＝BD(D)异面直线PM与BD所成的角为45°答案：(1)A(2)C考点三异面直线所成的角问题已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()(A)32(B)155(C)105(D)33解析：解法一如图所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AB 1＝5，AD 1＝ 2.在△B 1D 1C 1中，∠B 1C 1D 1＝60°，B 1C 1＝1，D 1C 1＝2，所以B 1D 1＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以cos ∠B 1AD 1＝5＋2－32×5×2＝105，选择C.解法二如图，设M ，N ，P 分别为AB ，BB 1，B 1C 1的中点，连接MN ，NP ，MP ，则MN ∥AB 1，NP ∥BC 1，所以∠PNM 或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．易知MN ＝12AB 1＝52，NP ＝12BC 1＝22.取BC 的中点Q ，连接PQ ，MQ ，可知△PQM 为直角三角形，PQ ＝1，MQ ＝12AC .在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋1－2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7，所以AC ＝7，MQ ＝72.在△MQP 中，MP ＝MQ 2＋PQ 2＝112，则在△PMN 中，cos ∠PNM ＝MN 2＋NP 2－PM 22·MN ·NP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫11222×52×22＝－105，所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.答案：C【反思归纳】 (1)求异面直线所成角的常用方法及类型常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点、空间某特殊点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成角的三个步骤 ①作：通过作平行线，得到相交直线．②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．③求：通过解三角形，求出该角．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC 所成的角的余弦值为________．解析：如图取A1B1的中点F，连EF，则EF∥BC，∠AEF是异面直线AE与BC所成的角，设正方体的棱长为a，可得AE＝32a，AF＝52a，在△AEF中，运用余弦定理得cos∠AEF＝23，即异面直线AE与BC所成角的余弦值为23.借助正方体判定线面位置关系下列命题正确的是()(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行(C)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行解析：若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线不一定平行，还有可能相交，也可能异面，故A错．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面可能平行，也可能相交，故B错．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可能平行，也可能垂直．故D错．正确的只有C.故选C.易错提醒：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．设α、β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ()(A)若l⊥β，则α⊥β(B)若α⊥β，则l⊥m(C)若l∥β，则α⊥β(D)若α∥β，则l∥mA解析：依题意，若l⊥β，lα，则α⊥β，故A正确；若α⊥β，则l与m可能平行、垂直或异面，B错误；若l∥β，则α与β平行或相交，C错误；若α∥β，则l与m平行或异面，D错误，选A.2．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是()①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．(A)1(B)2(C)3 (D)4A解析：对于①，m，n的位置关系可能为相交、平行或异面，①错误；对于②，易知是正确的；对于③，直线n可能与平面β平行、相交或直线n在平面β内，③错误；对于④，易知正方体的相邻两个侧面的对角线在底面的射影互相垂直，但这两条直线显然不垂直，所以④错误．综上所述，真命题的个数为1，故选A.3．已知ABC－A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B1C1的中点，则下列命题正确的是()(A)在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45°(B)在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°(C)在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行(D)在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直B解析：如图，设该直三棱柱的棱长为2，过点M作MP⊥BC交BC于点P，连接AP，则MP＝2，AP＝ 3.因为2＞3，故在棱AA1上存在点N，使得MN与平面BCC1B1所成角的大小为45°.故选B.4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°C解析：延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°，故选C.5．下列命题正确的是()①三点确定一个平面；②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面．A．①③B．①④C．②④D．②③C解析：注意考查所给的问题：①不在同一条直线上的三点确定一个平面，原说法错误；②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，该说法正确；③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，可能相交或平行于另一个平面，原说法错误；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，该说法正确．综上可得：命题正确的是：②④.故选C.6．在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC所成角为60°，且AD＝3，则BC等于________．解析：将该四面体放入长方体中，如图，在直角三角形CBE中，CE＝3，∠BCE＝60°，＝2 3.所以斜边BC＝3cos 60°答案：2 37．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点，给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确的结论的序号都填上)解析：AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错．易知③④正确．答案：③④8.如图所示，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD、BC的中点，则异面直线AN、CM所成的角的余弦值是________．解析：连接ND，取ND中点为E，则ME∥AN，则∠EMC为异面直线AN、CM所成的角，因为AN＝ND＝MC＝32－12＝22，所以ME＝2，CE＝(2)2＋12＝3，则cos∠EMC＝CM2＋ME2－CE22CM·ME＝8＋2－32×22×2＝78.答案：789．A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD 与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾，故直线EF与BD是异面直线．(2)解：取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.能力提升练(时间：15分钟)10．下列说法错误的是()(A)两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内(B)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(C)如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直(D)如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行D解析：选项A，B，C均正确，故排除．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线不一定平行，D错误．故选D.11．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C 与BE所成角的余弦值为()(A)15(B)31010(C)1010(D)35B解析：如图连结A 1B .由题意知A 1D 1∥BC ，所以四边形A 1D 1CB 为平行四边形，故D 1C ∥A 1B .所以∠A 1BE 为异面直线D 1C 与BE 所成的角．不妨设AA 1＝2AB ＝2，则A 1E ＝1，BE ＝2，A1B ＝5，在△A 1BE 中，cos ∠A 1BE ＝A 1B 2＋EB 2－A 1E 22A 1B ·EB ＝5＋2－12×5×2＝31010，故选B. 12．直线AE 与平面A 1BCD 1所成角的正切值为( )(A)22(B)12 (C)32 (D) 2A 解析：连接AB 1交A 1B 于F ，连接EF ，由于AF ⊥A 1B ，AF ⊥BC ，所以AF ⊥平面A 1BCD 1，所以角FEA 为所求线面角，其正切值为AF EF ＝221＝22.故选A.13．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________．(填正确条件的序号)①x，y，z为直线；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x为直线，y，z为平面解析：本题考查线面之间的位置关系，易知③正确．答案：③14．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于________．解析：如图，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则BN⊥平面AEFD，设M在平面ABB1A1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为α，所以总能使MP 与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2＋5，所以所求轨迹的周长为2＋ 5.答案：2＋ 515．如图，AC是圆O的直径，B、D是圆O上两点，AC＝2BC＝2CD＝2，P A⊥圆O所在的平面，P A＝3，点M在线段BP上，且BM＝13BP.(1)求证：CM∥平面P AD；(2)求异面直线BP与CD所成角的余弦值．解：(1)作ME⊥AB于E，连接CE，如图，则ME∥AP.∵ME面P AD，AP面P AD，∴ME∥面P AD.因为AC是圆O的直径，AC＝2BC＝2CD＝2，所以AD⊥DC，AB⊥BC所以∠BAC＝∠CAD＝30°，∠BCA＝∠DCA＝60°，AB＝AD＝3，因为BM＝13BP，所以BE＝13BA＝33，tan∠BCE＝BEBC＝33，所以∠BCE＝∠ECA＝30°＝∠CAD，所以EC∥AD.∵EC面P AD，AD面P AD∴EC∥面P AD.又ME∩CE＝E，所以平面MEC∥平面P AD，又CM平面MEC，CM/ 平面P AD，所以CM∥平面P AD.(2)过点A作平行于BC的直线交CD的延长线于G，作BF∥CG，交AG于F，连接PF，如图所示，则∠PBF为异面直线BP与CD所成的角，设∠PBF＝θ. 易知AF＝1，PB＝6，BF＝2，PF＝2，故cos θ＝PB2＋BF2－PF22PB·BF＝6＋4－426×2＝64.即异面直线BP与CD所成角的余弦值为64.。

高考数学一轮复习2 第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系

第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲考向预测借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解公理1～4及其相关定理.命题趋势主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，主要以选择题和填空题的形式出现，主要为中低档题. 核心素养直观想象、逻辑推理1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内 (2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2． (3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线和平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内a⊂α有无数个公共点直线在平面外直线a与平面α平行a∥α没有公共点直线a与平面α斜交a∩α＝A有且只有一个公共点直线a与平面α垂直a⊥α(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．常见误区1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线即不平行，也不相交．2．在判断直线与平面的位置关系时最易忽视“线在平面内”．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若P∈α∩β且l是α，β的交线，则P∈l.()(2)三点A，B，C确定一个平面．()(3)若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面．()(4)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α.()(5)分别在两个平面内的两条直线是异面直线．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2．(多选)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行解析：选ABC.依题意，m∩α＝A，n⊂α，所以m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：选D.两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D.4．(易错题)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为________．解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求角，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：60°5．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．解析：(1)因为四边形EFGH为菱形，所以EF＝EH，故AC＝BD.(2)因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH，因为EF綊12AC，EH綊12BD，所以AC＝BD且AC⊥BD.答案：(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD平面的基本性质如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D中，E，F分别是AB和AA1的中点，求证：E，C，D1，F四点共面．【证明】如图所示，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝12A1B.又因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF与CD1确定一个平面α，所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面．【引申探究】(变问法)若本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？证明：如图，由本例知EF∥CD1，且EF＝12CD1，所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE且P∈D1F，又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1，所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线交于一点．共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．[提醒]点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．1.(多选)如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是()A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A1，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面解析：选ABC.连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M，所以三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，所以C1，M，O三点共线，所以选项A，B，C均正确，选项D错误．2．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．证明：(1)因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD .在△BCD 中，BGGC ＝DH HC ＝12，所以GH ∥BD ，所以EF ∥GH ，所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，所以P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . 所以P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点，又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，所以P ∈AC ，所以P ，A ，C 三点共线．空间两直线的位置关系(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【解析】如图，取CD 的中点F ，连接EF ，EB ，BD ，FN ，因为△CDE 是正三角形，所以EF⊥CD.设CD＝2，则EF＝3.因为点N是正方形ABCD的中心，所以BD＝22，NF＝1，BC⊥CD.因为平面ECD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC ⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝22，所以在等腰三角形BDE中，BM＝7，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直线．故选B.【答案】 B1．已知a，b是异面直线，A，B是a上的两点，C，D是b上的两点，M，N分别是线段AC，BD的中点，则MN和a的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：选A.若MN与AB平行或相交，则MN与AB共面，设该平面为α.因为C∈直线AM，D∈直线BN，所以C∈α，D∈α，所以b⊂α.又因为A∈α，B∈α，所以a ⊂α.这与a，b异面矛盾．故选A.2．(多选)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列说法正确的有()A．直线AM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线解析：选CD.因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故A错；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，故B错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确，故选CD.异面直线所成的角(1)如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．(2)四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________．【解析】(1)取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成的角即为异面直线AC 1与BC 所成的角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D 垂直于圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD .因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为2. (2)如图，取BC 的中点O ，连接OE ，OF ，因为OE ∥AC ，OF ∥BD ，所以OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角，而AC ，BD 所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ， EF ＝2EM ＝2×34＝32. 【答案】 (1)2 (2)12或32平移法求异面直线所成角的步骤具体步骤如下：1．直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C.如图，可补成一个正方体，所以AC1∥BD1.所以BA1与AC1所成的角为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形．所以∠A1BD1＝60°.即BA1与AC1所成的角为60°.2．(2021·济南市学习质量评估)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，则异面直线BD与CF所成角的余弦值为________．解析：如图，连接DE交FC于点O，取BE的中点G，连接OG，CG，则OG∥BD且OG＝12BD，所以∠COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角．设正方形ABCD的边长为2，则CE＝BE＝1，CF＝DE＝CD2＋CE2＝5，所以CO＝12CF＝5 2.易得BE⊥平面CDFE，所以BE⊥DE，所以BD＝DE2＋BE2＝6，所以OG＝12BD＝6 2.易知CE⊥平面ABEF，所以CE⊥BE，又GE＝12BE＝12，所以CG＝CE2＋GE2＝52.在△COG中，由余弦定理得，cos∠COG＝OC2＋OG2－CG22OC·OG＝⎝⎛⎭⎪⎫522＋⎝⎛⎭⎪⎫622－⎝⎛⎭⎪⎫5222×52×62＝3010，所以异面直线BD与CF所成角的余弦值为3010.答案：3010[A级基础练]1．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析：选D.依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．故选D.2．(多选)下列命题正确的是()A．梯形一定是平面图形B．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行C．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合解析：选AC.对于A，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，故A正确；对于B，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，故B错误；对于C，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，故C正确；对于D，若两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故D错误．3．(2021·安徽蚌埠第二中学期中)在四面体ABCD中，点E，F，G，H分别在直线AD，AB，CD，BC上，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定() A．在直线DB上B．在直线AB上C．在直线CB上D．都不对解析：选A.直线EF和GH相交，设其交点为M.因为EF⊂平面ABD，HG⊂平面CBD，所以M∈平面ABD且M∈平面CBD.因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以M∈BD，所以EF与HG的交点在直线BD上．故选A.4．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°解析：选C.由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．6．已知棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________．解析：如图，由题意可知MN ∥AC .又因为AC ∥A ′C ′，所以MN ∥A ′C ′.答案：平行7．(2020·高考全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥P -ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD ＝3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝________．解析：依题意得，AE ＝AD ＝3，在△AEC 中，AC ＝1，∠CAE ＝30°，由余弦定理得EC 2＝AE 2＋AC 2－2AE ·AC cos ∠EAC ＝3＋1－23cos 30°＝1，所以EC ＝1，所以CF ＝EC ＝1.又BC ＝AC2＋AB2＝1＋3＝2，BF ＝BD ＝AD2＋AB2＝6，所以在△BCF 中，由余弦定理得cos ∠FCB ＝BC2＋CF2－BF22BC×CF ＝22＋12－（6）22×2×1＝－14.答案：－148．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为________．解析：如图，将原图补成正方体ABCD -QGHP ，连接AG ，GP ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ，所以∠APG ＝π3. 答案：π39．如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出l 的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长．解：(1)如图，延长DM 与D 1A 1交于点O ，连接NO ，则直线NO 即为直线l .(2)因为l ∩A 1B 1＝P ，则易知直线NO 与A 1B 1的交点即为P .所以A 1M ∥DD 1，且M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，所以A 1也为D 1O 的中点．由图可知A1P D1N ＝OA1OD1＝12，所以A 1P ＝a 4，从而可知PB 1＝3a 4. 10．如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.[B级综合练]11．已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，给出下面四个结论：①若l与m不垂直，则l与α一定不垂直；②若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角也为30°；③l∥m是l∥α的必要不充分条件；④若l与α相交，则l与m一定是异面直线．其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选 A.对于①，当l与m不垂直时，假设l⊥α，那么由l⊥α一定能得到l⊥m，这与已知条件矛盾，因此l与α一定不垂直，故①正确；对于②，易知l与m所成的角为30°时，l与α所成的角不一定为30°，故②不正确；对于③，l∥m可以推出l∥α，但是l∥α不能推出l∥m，因此l∥m是l∥α的充分不必要条件，故③不正确；对于④，若l与α相交，则l与m相交或异面，故④不正确．故正确结论的个数为1，选A.12.如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，平面α垂直于对角线AC′，且平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形，记此截面六边形的面积为S，周长为l，则()A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值解析：选 B.设平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形ω，ω与正方体的棱的交点分别为I ，J ，N ，M ，L ，K (如图)．将正方体切去两个正三棱锥A A ′BD 和C ′-B ′CD ′，得到一个几何体V ，则V 的上、下底面B ′CD ′与A ′BD 互相平行，每个侧面都是等腰直角三角形，截面六边形ω的每一条边分别与V 的底面上的每一条边平行．设正方体的棱长为a ，A′K A′B′＝γ，则IK ＝γB ′D ′＝2a γ，KL ＝(1－γ)A ′B ＝2a (1－γ)，故IK ＋KL ＝2a γ＋2a (1－γ)＝2a .同理可证LM ＋MN ＝NJ ＋IJ ＝2a ，故六边形ω周长为32a ，即周长为定值．当I ，J ，N ，M ，L ，K 都在对应棱的中点时，ω是正六边形．其面积S ＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2×32＝334a 2，△A ′BD 的面积为12×(2a )2×32＝32a 2，当ω无限趋近于△A ′BD 时，ω的面积无限趋近于32a 2，故ω的面积一定会发生变化，不为定值．故选B.13．如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD 可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，所以GH綊BC .所以四边形BCHG 为平行四边形．(2)C ，D ，F ，E 四点共面，理由如下：由BE 綊12AF ，G 为F A 的中点知，BE 綊FG ，所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，所以EF 与CH 共面，又D ∈FH ，所以C ，D ，F ，E 四点共面．14.如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明：EG ＝FH .解：(1)证明：因为AE ∶EB ＝AH ∶HD ，所以EH ∥BD .又CF ∶FB ＝CG ∶GD ，所以FG ∥BD .所以EH ∥FG .所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形，理由如下：当EH ∥FG ，且EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形．因为EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，所以EH ＝m m ＋1BD . 同理可得FG ＝nn ＋1BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n .故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形．(3)证明：当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.[C级创新练]15．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.33 D.13解析：选A.如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，因为α∥平面CB1D1，则m1∥m，又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m1，所以B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．又因为B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，所以∠CD1B1＝π3，得sin∠CD1B1＝32，故选A.16．(2020·新高考卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．21 / 21 解析：如图，连接B 1D 1，易知△B 1C 1D 1为正三角形，所以B 1D 1＝C 1D 1＝2.分别取B 1C 1，BB 1，CC 1的中点M ，G ，H ，连接D 1M ，D 1G ，D 1H ，则易得D 1G ＝D 1H ＝22＋12＝5，D 1M ⊥B 1C 1，且D 1M ＝3.由题意知G ，H 分别是BB 1，CC 1与球面的交点．在侧面BCC 1B 1内任取一点P ，使MP ＝2，连接D 1P ，则D 1P ＝ D1M2＋MP2＝（3）2＋（2）2＝5，连接MG ，MH ，易得MG ＝MH ＝2，故可知以M 为圆心，2为半径的圆弧GH 为球面与侧面BCC 1B 1的交线．由∠B 1MG ＝∠C 1MH ＝45°知∠GMH ＝90°，所以GH ︵的长为14×2π×2＝2π2.答案：2π2。

高考数学第一轮知识点总复习第三节空间点、直线、平面之间的位置关系

故EF与GH共面，即E、F、G、H四点共面.
（2）EF∥GH，但EF≠GH,故EFHG是梯形. 如图，设FH与EG交于O点，
则O∈FH 平面DAC,O∈EG 平面BAC,
∴O∈(平面DAC∩平面BAC)=AC, 即直线AC过O点，故三直线FH、EG、AC共点.
易错警示
【例】过已知直线a外一点P,与直线a上的四个点A、B、C、D分别画四条直线. 求证:这四条直线在同一平面内.
(3)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
（4）异面直线的夹角 ①定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线a′∥a,b′∥b，我们把两相交直线a′、b′所成的角叫做异面直线a、b所成的角（或夹角）.
②两范条直围线：垂θ∈直（，0记, 作2].特a⊥别b地. ，如果两异面直线所成的角是
交点分别是M,N,P,Q,R,G,由直线a∩b=M,知直线a和
b确定平面α.由a∩c=N,b∩c=Q,知点N、Q都在平面
α内,故c α.同理可证d α,故直线a,b,c,d共面于α.
由(1)、(2)可知,两两相交且不共点的四条直线必在同
一平面内.
学后反思证多线共面的方法：（1）以公理、推论为依据先证两直线共面，然后再由公理1证第三条也在这个平面内.同理其他直线都在这个平面内. （2）先由部分直线确定平面，再由其他直线确定平面,然后证明这些平面重合.
如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点
的公共直线
若P∈α,P∈β,则 α∩β=a,且P∈a
公理4
公推理论1 2 的推推论2 论
推论3
平行于同一条直线的两条直线互相平行经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面两条相交直线确定一个平面

高三数学一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课件

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5.(2014·石家庄模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1
中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大
小为
.
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【解析】连接BD,B1D1,如图所示,易证 EF∥BD,BD∥B1D1,故∠CB1D1就是异面直线B1C与EF所成的角或所成角的补角. 连接D1C知△CB1D1为正三角形,故B1C与EF 所成的角为60°. 答案:60°
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【解析】选A.因为B,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和原理,是公理.而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理而不是公理.
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3.(2014·台州模拟)对于空间中的两条直线,“这两条直线为
异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )
A
B
⇒l⊂α
A,B,C三点不共
线⇒有且只有
一个平面α,使
A∈α,B∈α,C
∈α
3
推论 1
公理 2推的论推2 论
推论 3
图形
文字语言
符号语言
经过一条直线和_这__条__直__线__外__ _的__一__点__,有且
只有一个平面
点A∉a⇒A与 a确定一个平面α
两条_相__交__直线确定一个平面
直线
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2.空间直线的位置关系 (1)位置关系分类:
_相__交__直线：同一平面内,有且只有一个
位置关系
共面直线
公共点; _平__行__直线：同一平面内,没有公共点;
异面直线：不同在_任__何__一__个__平__面__内，没有公共点.

高考数学一轮复习讲义7.3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系[最新考纲]1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.知识梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．空间中两直线的位置关系(1)空间两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.(3)平行公理和等角定理①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．辨析感悟1．对平面基本性质的认识(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(×)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(×)(3)(教材练习改编)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)(4)(教材练习改编)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)2．对空间直线关系的认识(5)已知a，b是异面直线、直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．(√)(6)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)[感悟·提升]1．一点提醒做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如“有且只有”、“只能”、“最多”等．如(1)中两个不重合的平面还可把空间分成三部分．2．两个防范一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线，如(2)；二是搞清“三个公共点”是共线还是不共线，如(4)．3．一个理解异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线，如(6).考点一平面的基本性质及其应用【例1】(1)以下四个命题中，正确命题的个数是()．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是()．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形解析(1)①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．(2)如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，连接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案(1)B(2)D学生用书第112页规律方法判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．【训练1】如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是________．解析可证①中的四边形PQRS为梯形；②中，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；③中，可证四边形PQRS为平行四边形；④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．答案①②③考点二空间两条直线的位置关系【例2】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析把正四面体的平面展开图还原．如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.答案②③④规律方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．【训练2】在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．答案②④考点三异面直线所成的角【例3】在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与P A所成角的余弦值．审题路线(1)找出PB与平面ABCD所成角⇒计算出PO的长⇒求出四棱锥的体积．(2)取AB的中点F⇒作△P AB的中位线⇒找到异面直线DE与P A所成的角⇒计算其余弦值．解(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PO⊥面ABCD，∴∠PBO是PB与面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，∵BO＝AB·sin 30°＝1，∵PO⊥OB ，∴PO ＝BO ·tan 60°＝3，∵底面菱形的面积S ＝2×34×22＝2 3.∴四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13×23×3＝2.(2)取AB 的中点F ，连接EF ，DF ，∵E 为PB 中点，∴EF ∥P A ，∴∠DEF 为异面直线DE 与P A 所成角(或其补角)．在Rt △AOB 中，AO ＝AB ·cos 30°＝3＝OP ，∴在Rt △POA 中，P A ＝6， ∴EF ＝62.在正△ABD 和正△PDB 中，DF ＝DE ＝3，在△DEF 中，由余弦定理，得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－(3)22×3×62＝6432＝24. 即异面直线DE 与P A 所成角的余弦值为24.规律方法 (1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．【训练3】(2014·成都模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为________．解析如图，连接B1D1，D1C，B1C.由题意知EF是△A1B1D1的中位线，所以EF ∥B1D1.又A1B∥D1C，所以A1B与EF所成的角等于B1D1与D1C所成的角．因为△D1B1C为正三角形，所以∠B1D1C＝π3.故A1B与EF所成角的大小为π3.答案π31．证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．2．证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．3．异面直线的判定方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．学生用书第113页思想方法7——构造模型判断空间线面的位置关系【典例】(2012·上海卷)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n 异面，则()．A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能[解析]在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．[答案] D[反思感悟] 这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳．【自主体验】1．(2013·浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()．A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析本题可借助特殊图形求解，画一个正方体作为模型(如图)．设底面ABCD 为α，侧面A1ADD1为β.①当A1B1＝m，B1C1＝n时，显然A不正确；②当B1C1＝m时，显然D不正确；③当B1C1＝m时，显然B不正确．故选C.答案 C2．对于不同的直线m，n和不同的平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β.其中真命题的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4解析本题可借助特殊图形求解．画一个正方体作为模型(如图)设底面ABCD为α.①当A1B1＝m，B1C1＝n，显然符合①的条件，但结论不成立；②当A1A＝m，AC＝n，显然符合②的条件，但结论不成立；③与底面ABCD相邻两个面可以两两垂直，但任何两个都不平行；④由面面垂直的判定定理可知，④是正确的．只有④正确，故选A.答案 A对应学生用书P311基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()．A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.答案 D2．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF 的位置关系是()．A．相交B．异面C．平行D．垂直解析如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．答案 A3．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()．①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案 D4．(2013·山西重点中学联考)已知l，m，n是空间中的三条直线，命题p：若m ⊥l，n⊥l，则m∥n；命题q：若直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面，则下列命题为真命题的是()．A．p∧q B．p∨qC．p∨(綈q) D．(綈p)∧q解析命题p中，m，n可能平行、还可能相交或异面，所以命题p为假命题；命题q中，当三条直线交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也为假命题．所以綈p和綈q都为真命题，故p∨(綈q)为真命题．选C.答案 C5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为()．A．1 B．2 C．3 D．4解析有2条：A1B和A1C1.答案 B二、填空题6．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不＝同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×4224(对)．答案247.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．解析A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确．答案③④8．(2013·江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．解析取CD 的中点为G ，由题意知平面EFG 与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF 与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF 在平面内．所以直线EF 与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4. 答案 4 三、解答题 9.如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綉12AD ，BE 綉12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綉12AD .又BC 綉12AD ，∴GH 綉BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解由BE 綉12AF ，G 为F A 中点知，BE 綉FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綉CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC ，BD 交于点M ，求证：点C 1，O ，M 共线．证明如图所示，∵A1A∥C1C，∴A1A，C1C确定平面A1C.∵A1C⊂平面A1C，O∈A1C，∴O∈平面A1C，而O＝平面BDC1∩线A1C，∴O∈平面BDC1，∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上．∵AC∩BD＝M，∴M∈平面BDC1，且M∈平面A1C，∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M，∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·长春一模)一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()．A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°解析如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项A，B，C不正确．∴正确选项为D.图2中，BE∥CD，∠ABE为AB与CD所成的角，△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°.答案 D2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线()．A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条解析法一图1在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面(如图1)，这个平面与CD 有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．故选D.法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α(如图2)，因CD 与平面α不平行，图2所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．答案 D二、填空题3.(2013·安徽卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ ＜12时，S 为四边形；②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形；③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13；④当34＜CQ ＜1时，S 为六边形；⑤当CQ ＝1时，S 的面积为62.图1解析如图1，当CQ ＝12时，平面APQ 与平面ADD 1A 1的交线AD 1必平行于PQ ，且D 1Q ＝AP ＝52， ∴S 为等腰梯形，∴②正确；同理，当0＜CQ ＜12时，S 为四边形， ∴①正确；图2如图2，当CQ ＝34时，将正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1补成底面不变，高为1.5的长方体ABCD －A 2B 2C 2D 2.Q 为CC 2的中点，连接AD 2交A 1D 1于点E ，易知PQ ∥AD 2，作ER ∥AP ，交C 1D 1于R ，连接RQ ，则五边形APQRE 为截面S .延长RQ ，交DC 的延长线于F ，同时与AP 的延长线也交于F ，由P 为BC 的中点，PC ∥AD ，知CF ＝12DF ＝1，由题意知△RC 1Q ∽△FCQ ，∴RC 1CF ＝C 1QCQ ，∴C 1R ＝13，∴③正确；由图2知当34＜CQ ＜1时，S 为五边形，∴④错误；当CQ ＝1时，点Q 与点C 1重合，截面S 为边长为52的菱形，对角线AQ ＝3，另一条对角线为2，∴S ＝62，⑤正确．答案 ①②③⑤ 三、解答题4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求A 1C 1与B 1C 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．解 (1)如图，连接AC ，AB 1，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，知AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1，从而B 1C 与AC 所成的角就是A 1C 1与B 1C 所成的角．由△AB 1C 中，由AB 1＝AC ＝B 1C 可知∠B 1CA ＝60°，即A 1C 1与B 1C 所成角为60°.(2)如图，连接BD ，由(1)知AC ∥A 1C 1.∴AC 与EF 所成的角就是A 1C 1与EF 所成的角． ∵EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥BD . 又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥EF ，即所求角为90°. ∴EF ⊥A 1C 1.即A 1C 1与EF 所成的角为90°.学生用书第113页必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

2018版高考数学(理)一轮复习文档：第八章8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系含解析

1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类错误!(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角（或夹角)．②范围：错误!。

3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．【知识拓展】1．唯一性定理（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．（3）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．（4）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．2．异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a。

（√)(2)两个平面α，β有一个公共点A,就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( ×）（3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC。

（×）(4）经过两条相交直线，有且只有一个平面．（√）（5）没有公共点的两条直线是异面直线．（×）1．下列命题正确的个数为（)①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．3答案C解析②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．2．（2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n 满足m∥α，n⊥β，则( ）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案C解析由已知，α∩β＝l,∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确．3．（2017·合肥质检)已知l，m，n为不同的直线，α，β,γ为不同的平面，则下列判断正确的是（)A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β,则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝m,α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α答案C解析m,n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误;根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；根据线面平行的性质可知C 正确；若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C。

2018届高三数学一轮复习 空间点、直线、平面之间的位置关系

2018高考数学文科一轮复习讲义 3.3 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系

高中数学总复习：空间点、直线、平面之间的位置关系

高中数学高考一轮复习一轮复习 第二节 空间点直线平面之间的位置关系

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2018-2019学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间

2018年高三数学(理)一轮复习课件 空间点、直线、平面之间的位置关系

高考数学大一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系 理

最新-2018届高考数学一轮复习 83 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 新人教A版 精品