12.3.2角平分线的性质(2)(19)

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角平分线的性质(二)

§12.3 角平分线的性质（二）【教学目标】1、让学生理解角平分线性质的逆定理并能灵活应用进行有关的计算和证明；2、能够按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明并规范学生书写；3、经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力。

【教学重点与难点】教学重点：角平分线性质的逆定理的证明和应用；教学难点：角平分线性质的逆定理的应用；【教学手段】多媒体。

【教学方法】讨论法、讲授法、情境教学法。

【教学过程】【复习回顾】首先请同学回忆上节课内容，角平分线的性质是什么？我们是如何证明的？简单回顾一下。

如图，在△ABC 中，AB=AC,AD 是∠BAC 的角平分线DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别是E 、F ，有下列四个结论：①AD 上任意一点到点C 、点B 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③BD=CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE=∠CDF.其中，正确的结论是：_____学生回答：教师总结：本题综合运用了三角形全等和角平分线性质定理来解题，那么同学们要注意理解角平分线的性质定理。

今天这节课我们接着来探讨角平分线的性质定理。

【讲授新课】思考：我们知道，命题有原命题和逆命题，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，它的逆命题成立吗？你能把它写出来吗？1.讨论归纳：学生自主探究，教师提醒。

2.多媒体展示并证明逆定理注意让学生明确命题中的已知和求证，把文字语言转化数学语言，图形结合，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。

教师总结：已知：如图,QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，QD ＝QE ．求证：点Q 在∠AOB 的平分线上．B A E DC F证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共边）QD=QE∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠ QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上教师总结：所以，我们发现角平分线的性质逆定理是成立的，即角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意数学符号语言是怎么表示的。

角平分的性质(第2课时)

12.3.2 角平分线的性质（2）教学设计一、内容和内容解析1.内容角平分线的性质的逆定理，即角平分线的判定。

2.内容解析角平分线的性质的逆定理是在学生学习了角平分线性质的基础上，进一步研究角平分线的判定方法。

角平分线的性质的逆定理的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质的逆定理提供了思路和方法。

这是全等三角形知识的运用和延续。

角平分线的性质的逆定理证明，运用了三角形全等的“HL”判定方法和全等三角形的性质。

角的平分线的性质的逆定理提供了之前所学“三角形三条角平分线交于一点”的猜想的证明，同时还能得到这个交点到三角形三边的距离相等的结论，是今后学习圆的内心的基础。

基于以上法分析，确定本节课的教学重点：证明角平分线的性质的逆定理。

二、目标和目标解析1、目标（1）证明角的平分线的性质（2）能用角的平分线的性质的逆定理解决简单问题。

2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能在教师的引导下或与同学合作，经历猜想、验证的过程，并能运用三角形全等的“HL”的判定方法和全等三角形的性质证明角平分线的性质的逆定理。

达成目标（2）的标志是：能直接利用角平分线的性质的逆定理进行简单的计算和相关的证明。

三、教学问题诊断分析在本课的学习中，学生在解决问题时，对应当使用角平分线的性质还是角平分线的性质的逆定理常常感到很困难，其主要原因是没有理解好这两者之间的区别和联系。

教学时，教师在引入课题部分，通过类比设置疑问的方式引起学生对此问题的注意；在证明定理后，又引导学生从两个定理的已知、结论、作用等方面进行对比、分析；在巩固练习时，带领学生从已知及求证的内容出发分析问题，对应当使用何种定理进行判断，从而使学生能准确运用角平分线性质定理的逆定理解决问题。

基于以上分析，确定本节课的教学难点：运用角平分线的性质的逆定理解决问题。

四、教学过程设计1、知识回顾如图，已知点P 是∠AOB 的平分线上的一点，PD ⊥AO,PE ⊥BO ，垂足分别为D ，E 。

12.3角的平分线的性质(2)

12.3角的平分线的性质(2)〖课前回顾〗如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是．若AC ∶AB ＝3∶5,则S △AC D S △ADB =〖学习目标〗 1.能够利用角平分线的性质和判定进行推理和计算，2能够利用角平分线的性质和判定解决一些实际问题〖自主学习〗。

1.阅读课本P49思考，完成下列问题．角的内部______________________的点在角的平分线上．根据问题画出图形，并写出：已知：求证：证明：几何语言：2.阅读课本P50的例题并完成书中问题：点P 在∠BAC 的平分线上吗？3题图 DC B A巩固练习：1.如图，BD=CD ，BF ⊥AC 于F ，CE ⊥AB 于E ．求证：点D 在∠BAC 的角平分线上．2.如图，CD ⊥AB,BE ⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD 相交于点O,OB=OC, 求证∠1=∠2〖课堂小结〗本节课你有什么收获？〖自我测试〗1.三角形中到三边距离相等的点是（）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点2如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，下面给出四个结论：①DA 平分∠EDF ②AE ＝AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等，其中正确的结论有： ( )A ．1个B ．2个C 3个D ．4个A B CD EF课后作业:1、下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC 中∠BAC 的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F 是OC 上除点P 、O 外一点，连接DF 、EF ，求证DF=EF.3、已知，如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC ，ME ⊥AD 。

12.3.2角平分线的性质(2)

P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中 PO＝PO PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） ∴ ∠ POD＝∠POE
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。几何语言： ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD= PE
A
D
C P O E B
P到OA的距离角平分线上的点 P到OB的距离
不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上
再见
课堂练习
如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 B 求证： AD平分∠BAC
F
A D
E
C
课堂练习
如图, D, E, F分别是△ABC三边上的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G. 求证: AD平分∠BAC. A
D M 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，结论：三角形的三条角平分线交于 C B E 一点，并且这点到三边的距离相等. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE. 同理，PE=PF. 想一想，点P在∠A的平分线上 ∴PD＝PE=PF. 吗？这说明三角形的三条角平分线即点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 有什么关系？ N P F
课堂练习

12.3 角的平分线的性质第2课时角平分线的判定

距离
面积
周长

条件
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
O
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.这个交点叫作三角形的内心.
到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( ) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
B
变式：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求点O到△ABC三边的距离和.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.

角的平分线的性质(第2课时)精选教学PPT课件

1．判断题：（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( X )
A M
Q
O
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题：
（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则
OQ是∠AOB 的平分线；
(X )
A
M
Q
O
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题：（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm，且Q 到OB
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问1 你能ห้องสมุดไป่ตู้明这个结论的正确性吗？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？
这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等．
应用角平分线性质定理的逆定理
距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．(√ )
A
M
Q
O
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等．
（1）这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可建多少个？
S
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等．
P NM
变式拓展
变式2 如图，P 点是△ABC
A
的两个外角平分线 BM，CN 的交
点，求证：点 P 在∠BAC 的平分 B
C
线上．
P NM
变式拓展
变式3 如图，将问题3中“S 区”去掉，广告牌P 到两条公路和一条铁路的距离相等．这个广告牌P 应建在何处？

人教版数学八年级上册知识分类训练-12.3-角平分线的性质(含详案)

人教版八年级上册知识分类训练12.3 角平分线的性质1、角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

2、角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

用数学语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，点Q在∠AOB的平分线上∴ QD＝QE4、角平分线的判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

用数学语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．5、尺规作角的平分线：画法：①以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．②分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．③作射线ＯＣ．所以，射线ＯＣ即为所求．针对训练1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（）A．4B．3C．2D．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC 于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（）A．12B．18C．24D．363．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝4，则PQ的长不可能是（）A．3.9B．4C．4.3D．5.54．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（）A．1B．2C．3D．45．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC，则△BCD 的面积为（）A．15B．12C．8D．66．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24B．27C．30D．337．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，若BA＝5，AC＝2，S△ABC＝14，则S△ABD ＝．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，如果AB＝10，△ADB的面积是15，则CD的长为．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝4，则点D到AB的距离为．10．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是．11．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2．AB＝6．BC＝4，求△ABC的面积．12．如图在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB于点，DF⊥AC于点F．求证：AD是△ABC的角平分线．13．如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．求证：AC平分∠DAB．14．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）证明AP＝AQ．15．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．16．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．（1）求证：DE平分∠ADC；（2）求证：AB+CD＝AD．17．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°．（1）求∠ACE的度数；（2）求证：AE平分∠CAF；（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．参考答案1．解：过P作PE⊥AO于E，∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，∴PE＝PD＝2，∴点P到OA的距离是2．故选：C．2．解：过点G作GH⊥AB于点H，根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，∵∠C＝90°，∴AC⊥CG，∵GH⊥AB，∴CG＝GH，∵CG＝3，∴，故选：B．3．解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝4，∴当PQ⊥AM时，PQ＝PA＝4，∴PQ≥4，∴PQ的长不可能3.9．故选：A．4．解：过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，∴PQ＝PW，PW＝PR，∴PR＝PQ，∵点P到AC的距离为3，∴PQ＝PR＝3，则点P到AB的距离为3，故选：C．5．解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝4，∵BC＝6，∴△BCD的面积＝BC•DE＝×6×4＝12，故选：B．6．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．故选：B．7．解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC于点E，F，∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE＝DF，设DE＝DF＝h，∵BA＝5，AC＝2，S△ABC＝14，∴AB•h+AC•h＝14，即×5h+×2h＝14，解得h＝4，∴S△ABD＝AB•DE＝×5×4＝10．故答案为：10．8．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝10，△ADB的面积是15，∴，∴DE＝3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，∴CD＝DE＝3，故答案为：3．9．解：过点D，作DE⊥AB，交AB于点E，∵∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，∴DE＝CD＝4，故答案为：4．10．解：作DH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，∴DH＝DP＝5，∴△ODQ的面积＝OQ•DH＝4×5＝10，故答案为：10．11．解：如图，过点D作DF⊥BC于点F．∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，又∵AB＝6，BC＝4，∴＝．12．证明：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF，即点D到AB和AC的距离相等，∴AD是△ABC的角平分线．13．证明：∵CE⊥AD于E，CF⊥AB，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF，在△CDE与△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB．14．（1）解：如图所示，BQ为所求作；（2）证明：∵BQ平分∠ABC，∴∠ABQ＝∠CBQ，∵∠BAC＝90°∴∠AQP+∠ABQ＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠CBQ+∠BPD＝90°，∵∠ABQ＝∠CBQ，∴∠AQP＝∠BPD，又∵∠BPD＝∠APQ，∴∠AQP＝∠APQ，∴AP＝AQ．15．证明：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，，∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OD＝OE，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOF＝∠EOF，在△ODF和△OEF中，，∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF．16．证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，∴BE＝EF，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∴CE＝EF，又∵∠C＝90°，EF⊥AD，∴DE是∠ADC的平分线．（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，∴AB＝AF，DC＝DF，∴AB+CD＝AF+FD＝AD．17．（1）解：∵∠ACB＝110°，∴∠ACD＝180°﹣110°＝70°，∵EH⊥BD，∴∠CHE＝90°，∵∠CEH＝55°，∴∠ECH＝90°﹣55°＝35°，∴∠ACE＝180°﹣35°﹣110°＝35°；（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM＝EH，∵∠ACE＝∠ECH＝40°，∴CE平分∠ACD，∴EN＝EH，∴EM＝EN，∴AE平分∠CAF；（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝AC•EN+CD•EH＝（AC+CD）•EM＝21，即，解得EM＝3，∵AB＝8.5，∴S△ABE＝AB•EM＝．。

人教版数学八年级上册12.3角平分线的性质教学设计

（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成小组，并给出一些实际的几何问题，让学生运用角平分线的性质进行解决。例如，证明一条线段是某个角的平分线，或者求解一个角的度数等。学生会在小组内进行讨论和合作，共同解决问题。通过这样的讨论，学生能够更好地理解和运用角平分线的性质，并培养他们的合作和交流能力。
2.实践性作业：我会设计一些实际问题，让学生运用所学的角平分线性质进行解决。例如，设计一道题目要求学生测量一张纸张的某个角的平分线长度，或者求解一个实际图形中某个角的度数等。通过这样的实践性作业，学生能够将所学的知识运用到实际问题中，提高他们的实践操作能力。
3.合作性作业：我会设计一些需要学生合作完成的作业，让他们在小组内进行讨论和交流。例如，设计一道题目要求学生共同探究角平分线的性质，并用自己的语言进行描述和证明。通过这样的合作性作业，学生能够培养合作和交流的能力，提高他们的团队协作能力。
（三）情感态度与价值观
在本节课的教学中，学生将培养以下情感态度和价值观：
1.对数学学习的兴趣：学生通过观察和实验，发现角平分线的性质，增强对数学学习的兴趣；
2.探究精神：学生在探索角平分线的性质的过程中，培养独立思考和解决问题的能力；
3.合作意识：学生在与同伴的合作与交流中，培养团队协作的能力，提高沟通和表达能力；
4.严谨态度：学生在学习和证明角平分线的性质时，培养严谨的科学态度，注重细节和逻辑性。
二、学情分析
在开展人教版数学八年级上册12.3角平分线的性质的教学之前，对学生的学情进行分析是必要的。首先，学生在之前的学习中已经掌握了角的概念、线段的长度等基础知识，具备了一定的几何图形观察和推理能力。然而，对于角平分线的性质，他们可能还没有直观的认识，需要通过观察、实验和证明来建立。

人教版八年级数学上册教案：12.3角的平分线的性质

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角的平分线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在小组讨论环节，我尝试提出一些开放性问题，引导学生深入思考角的平分线在实际生活中的应用。我发现同学们的想象力很丰富，能够从不同角度提出问题和解决问题。这种讨论方式有助于他们形成批判性思维和解决问题的能力。
然而，我也意识到在教学中还存在一些不足。首先，对于教学难点的处理，我可能需要更多的耐心和细致的讲解。特别是在性质证明这一部分，我应该放慢速度，让学生有足够的时间消化和理解。其次，对于学生的个别差异，我需要给予更多的关注，为不同层次的学生提供适当的学习支持。
人教版八年级数学上册教案：12.3角的平分线的性质
一、教学内容
人教版八年级数学上册教案：12.3角的平分线的性质
1.角平分线的定义：从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。
2.角平分线的性质：
（1）角的平分线将角平分成两个相等的角；
（2）角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
五、教学反思
在今天的教学中，我发现同学们对角的平分线的性质这一部分内容表现出很大的兴趣。通过引入日常生活中的实例，他们能够更直观地理解角的平分线的概念。在理论讲授环节，我注意到有些同学对性质的理解还有待加强，特别是在性质证明的部分。这让我意识到，除了直观的演示，还需要通过更多的例题和练习来巩固他们的理解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

角平分线的性质PPT课件

∵OC是∠AOB的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
应用这个性质所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：证明两条线段相等.
证明的书写格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE
三者缺一不可，否
则不可证明两线段
相等
5.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点）
6.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
情景导入
旧知回顾
判定三角形全
SSS：三边分别相等的两个三角形全等
等的基本事实
SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
有哪些？
ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
求证：BD＝DF.
点拨：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在
的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有
一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，
这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∠C＝90°，∴DE＝DC.
在△BDE和△FDC中，
DE=CD ,
∠DEB=∠C,
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
F
E
B
D
C
新知探究
2.角平分线的性质的应用
如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC
于点P，若PC＝4，AB=14.

12.3角的平分线的性质二

求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（画出图形，写出已知和求证，再加以证明）.
2．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，
BE、CD相交于点O，OB＝OC.
求证：∠OAB＝∠OAC.
小组交流解题思路，将错题展示在小黑板上，分析错因
达
标
测
评
1. 已知△ABC的外角平分线BD、CE相交于点P.
导学案设计
题目
12.3角的平分线的性质二
课时
1
学校
星火
一中
教者
刘占国
年级
八年
学科
数学
设计
来源
网络
教学
时间
学
习
目
标
1．知道角平分线性质定理的逆命题,并会进行应用；
2．注意区别这两个定理的条件和结论，熟练用来解题
重
点
角平分线的性质定理
难
点
角平分线的性质定理
学习方法
小组合作，探究，讨论
学
习
过
程
活动一复习角平分线的性质定理
求证：点P在∠A的平分线上
2．如图：在△ABC中，∠B=∠C=50°，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，求∠BAD的度数.
3．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF、EF，求证:DF＝EF
教与学反思
一、得1、本设计采取了“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的基本模式，安排多种形式的实践活动，让学生经历了知识的形成与应用的过程，从而为更好地理解，掌握角平分线的性质与判定作准备，发展学生应用数学的意识与能力，增强学生学好数学的愿望和信心。2、数学知识不是静态的结果，而是一种主动构建的过程，教学法中采用探究，讨论，演示等形式，使学生与学习内容相互作用，从而获得主动认知，主动构建，充分发展的结果，学生通过画图，类比证明来完成学习任务，学生学得有趣，符合学生认知特点。二、失1、本节课虽然体现了学生的主动性，孩子的上课积极性比较高，参与程度广，但教材的整合与取舍体现的不够突现，原因是所带班级的基础比较差，学习能力较弱，所以在整合与取舍方面步子迈得较小了一些，力求孩子在40分钟内扎实有效的掌握双基。2、本设计只注重双基的训练，忽视了数学思想方法的渗透，数学知识的迁移，让学生在思考的过程中激发学习兴趣，从而训练学生的思维。三、措施1、加强教学的钻研和学习，在学生学习能力和学习习惯上多下功夫，达到授之以渔，而是授之以鱼。2、加强基本功的学习，因为教材的整合和取舍不是简单的二节课并为一节课，也不是刻意的不讲某一部分的内容，我个人的理解是对教材创造性的使用，面对不同的学生，教师要采取不同的方法，这就需要教师具备相当扎实的基本功，对教材烂熟于心，做到前后知识的衔接，达到课堂教学过程过渡自然，使学生在轻松的氛围中学会知识，快乐学习。

人教版八年级数学上册12.3第2课时角的平分线的判定及性质的应用

上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证： 4．如图，B是∠CAF内一点，点D在AC上，点E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证：AB平分∠CAF.
例2 如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD. (3)若BC＝12，AD＝13，求S△AMD.
1 2
S梯形ABCD.
∵S梯形ABCD＝12 (CD＋AB)·BC＝12 ×13×12＝78，
∴S△AMD＝12 ×78＝39.
ห้องสมุดไป่ตู้ 练习
1．教材P50 练习第2题． 2．如图，点P是∠MON内一点，PA⊥ON于点A， PB⊥OM于点B，且PA＝PB.若∠MON＝50°，C为OA 上一点且∠OPC＝30°，则∠PCA的度数为( B ) A．50° B．55° C．60° D．80°
AB平分∠CAF. (3)若BC＝12，AD＝13，求S△AMD.
(1)若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请证明你的结论；
∴∠BFD＝∠CED＝90°.
证∴ 明D如C证·下BM：＝明过点EM：F作·BMN过E. ⊥A点D于点BE.作BM⊥AC于点M，BN⊥AF于点N.
(3) 我们能不能证明上面的结论？
(1)若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请证明你的结论； 3-5，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上
标如出图它 12又的. 位∵置，比M例尺E为⊥1:200A00)D？，∠B＝90°，∴AM平分∠BAD；
∵S梯形ABCD＝ (CD＋AB)·BC＝ ×13×12＝78，∴S△AMD＝ ×78＝39.
4．如图，B是∠CAF内一点，点D在AC上，点E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证：AB平分∠CAF.

八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.3角平分线的性质(图文详解)

条件是：_______________，并给予证明.
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF，在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）

八年级数学《角平分线的性质2》教案

中学课堂教学设计
年级科总第课时
时间年月日第周星期个性化补充课题12.3角的平分线的性质2
教学目标1、角的平分线的性质
2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
重点难点教学重点：:角平分线的性质及其应用．教学难点：灵活应用两个性质解决问题．
课时一课时
教学过程措施一、提出问题：
我们已得角的平分线的性质：
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上？
二、探究：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．
教学过程措施由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这两个性质有什么联系吗？
分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．三、思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
2．比例尺为1：20000是什么意思？
四、例题（同教材）
五、作业设计：
六、板书设计：
七、教学后记：
备注：年级、学科、课时、时间、周次、个性化补充、作业设计、教学后记、板书设计为任课教师必填项目。

八年级数学上全等三角形12.3角的平分线的性质第2课时角的平分线的判定人教

【点拨】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC.
即∠AOC＝∠BOD.
在△AOC和△BOD中， OA＝OB， ∠AOC＝∠BOD， OC＝OD， ∴△AOC≌△BOD.
∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，故②正确．
如图，设AC与OB交于点E. ∵∠AEO＝∠BEM，∴∠AMB＋∠OBD＝∠OAC＋∠AOB， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确．作OG⊥AM于点G，OH⊥DM于点H， ∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH. ∴MO平分∠AMD，故④正确． ∵MO平分∠AMD，∴∠AMO＝∠DMO. 假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
*5.(2020·鄂州)如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC ＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°.连接AC，BD 交于点M，连接OM.下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO 平分∠AMD.其中正确的结论个数有( )个．
A．4 B．3 C．2 D．1
(1)CO平分∠ACD；证明：如图，过点O作OE⊥AC于点E. ∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，∴OB＝OE. ∵O为BD的中点，∴OB＝OD.∴OE＝OD. 又∵∠D＝90°，∴点O在∠ACD的平分线上，即CO平分∠ACD.
(2)AB＋CD＝AC. 证明：∵OE⊥AC，∠B＝90°，∴∠B＝∠AEO＝90°.
证明：如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥OB，垂足分别为E，
F，则∠AEP＝∠BFP＝90°.
∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠PBO＝180°，∴∠1＝∠PBO.
在△PAE和△PBF中， ∠ ∠A1＝EP∠＝P∠BFB，FP， PA＝PB， ∴△PAE≌△PBF(AAS)．∴PE＝PF.

12.3 角的平分线的性质(2课时)

12．3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质一、基本目标【知识与技能】1．初步掌握角的平分线的性质定理．2．掌握用尺规作已知角的平分线的方法．3．能使用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．【过程与方法】在利用尺规作图时，让学生在动手操作的过程中深刻理解角平分线的画法及发现角平分线的性质．【情感态度与价值观】在探索角的平分线的画法和性质中培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心．二、重难点目标【教学重点】1．利用尺规作已知角的平分线．2．角平分线的性质的证明及使用．【教学难点】角平分线性质的应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P48～P49的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.2．角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．它的题设是角的平分线上的点，结论是此点到角的两边的距离相等.3．一般情况下，我们要证明一个几何命题时，能够按照类似的步骤实行，即(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；(3)经过度析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 4．已知：如图，∠AOB . 求作：∠AOB 的平分线OC .略环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB 、AC 于E 、F 两点，再分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M .若∠ACD ＝120°，求∠MAB 的度数．【互动探索】(引发学生思考)明确尺规所作的射线AP 是∠CAB 的平分线．要求∠MAB ，只需先求得∠CAB .【解答】∵AB ∥CD ， ∴∠ACD ＋∠CAB ＝180°. 又∵∠ACD ＝120°， ∴∠CAB ＝60°.由作法知，AM 是∠CAB 的平分线， ∴∠MAB ＝12∠CAB ＝30°.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的平分线是解题的关键．【例2】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：CF ＝EB .【互动探索】(引发学生思考)要求CF ＝EB ，需证Rt △DCF ≌Rt △DEB ，而由角平分线的性质可得DE ＝DC ，从而解决问题．【证明】∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ， ∴DE ＝DC .在Rt △DCF 和Rt △DEB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝BD ，DC ＝DE ，∴Rt △DCF ≌Rt △DEB (HL)， ∴CF ＝EB .【互动总结】(学生总结，老师点评)角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在使用时一定要注意是两条“垂线段”相等．活动2 巩固练习(学生独学)1．如下列图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，若BC ＝16，BD ＝9，则点D 到AB 的距离是( C )A ．9B ．8C ．7D ．62．如下列图，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点，DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为点E 、F .求证：CE ＝CF .证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥CG ， ∴DE ＝DF .在Rt △CDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL)， ∴CE ＝CF .活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ∥CD ，M 为BC 边上的一点，且AM 平分∠BAD ，DM 平分∠ADC .求证：(1)AM ⊥DM ； (2)M 为BC 的中点．【互动探索】(1)要证AM⊥DM，可转化为求∠AMD＝90°.由平行线中，同旁内角的角平分线相交成的角等于90°可得结论；(2)要证M为BC的中点，即证BM＝CM.由题意知，需作辅助线MN(如图)，利用角平分线的性质得出结论．【证明】(1)∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°，∴∠MAD＋∠ADM＝90°，∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM.(2)过点M作NM⊥AD交AD于点N.∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD.∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM，∴BM＝CM，即M为BC的中点．【互动总结】(学生总结，老师点评)在已知角的平分线的前提下，作角两边的垂线段是常用辅助线之一．角平线的性质是证线段相等的另一途径．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第2课时角的平分线的判定一、基本目标【知识与技能】理解角平分线的性质定理的逆定理(即判定定理)，能利用角平分线的判定定理解决实际问题．【过程与方法】经历探究角平分线的性质定理的逆定理的过程，进一步体验证明几何命题的步骤，能够灵活使用性质定理解决实际问题．【情感态度与价值观】在探究角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的水平与探索精神，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验．二、重难点目标【教学重点】角的平分线的判定定理的证明及应用．【教学难点】角的平分线的判定定理的应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P50的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.2．(1)三角形的三条角平分线相交于一点，它到三边的距离相等.(2)三角形内，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点.3．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为30°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】已知：如图，△ABC.求作：点P，使得点P在△ABC内，且到三边AB、BC、CA的距离相等．作法：(提示)作三个内角平分线交于一点P，点P即为所求作的点．【例2】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D，求证：AD是∠BAC的平分线．【互动探索】(引发学生思考)证明一条射线是角平分线常添加的辅助线是什么？【证明】过点D分别作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠EAG的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．【互动总结】(学生总结，老师点评)在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为点D、C，AD与BC相交于点P，若P A＝PB，则∠1与∠2的大小是(A)A．∠1＝∠2B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2D．无法确定2．如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A ＝40°，则∠BOC＝(A)A．110°B．120°C．130°D．140°3．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就能够作出一个锐角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线．”你认为小明的想法准确吗？请说明理由．解：小明的想法准确．理由如下：作PC⊥OB于点C，设另一把直尺与OA交于点D.∵PC⊥OB，PD⊥OA，PD＝PC，∴射线OP就是∠BOA的平分线．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？如何选？请作简要说明并画出图形．【互动探索】△ABC的内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，那么此题只有一处站址吗？【解答】∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC内角平分线的交点P1满足条件．如图，点P2是△ABC两条外角平分线的交点，过点P2作P2E⊥AB，P2D⊥BC，P2F⊥AC，∴P2E＝P2F，P2F＝P2D，∴P2E＝P2F＝P2D，∴点P2到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点P2到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个，如图P2、P3、P4.综上所述，到三条公路的距离相等的点有4个，故可供选择的地址有4处．【互动总结】(学生总结，老师点评)由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，得三角形内角平分线的交点满足条件，然后利用角平分线的性质，证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，则可供选择的站址有4处．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！。

12.3.2角的平分线的判定(分层作业)(原卷版)

12.3.2 角的平分线的判定夯实基础篇一、单选题：1．在 ABC 中， AB BC = ，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放.它们一组较短的直角边分别在 AB ， BC 上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P ， BP 交边 AC 于点D ，则下列结论错误的是（）A ．BP 平分 ABC ∠B ．AD DC = C ．BD 垂直平分 AC D ．2AB AD =2．如图，已知△ABC ，求作一点P ，使P 到∠A 的两边的距离相等，且P A =P B.则对点P 位置的判断，正确的是（）A ．P 为∠A 、∠B 两角平分线的交点B ．P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点C ．P 为AC 、AB 两边上的高的交点D ．P 为AC 、AB 两边的垂直平分线的交点3．如图，已知 BD AE ⊥ 于点 B ， DC AF ⊥ 于点 C ，且 DB DC = ， 40BAC ︒∠= ， 130ADG ︒∠= ，则 CDG ∠ 的度数为（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒4．如图，在△AB C 中，∠B ＝42°，AD ⊥BC 于点D ，点E 是BD 上一点，EF ⊥AB 于点F ，若ED ＝EF ，则∠AEC 的度数为( )A ．60°B ．62°C ．64°D ．66°5．如图，在四边形 ABCD 中， 90A BDC ∠=∠=︒ ， C ADB ∠=∠ ，点P 是 BC 边上的一动点，连接 DP ，若 3AD = ，则DP 的长不可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．56．如图，在Rt △AB C 中，∠C ＝90˚，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB ＝10，S △ABD ＝25，则CD 的长为（）A ．2.5B ．4C ．5D ．10二、填空题： 7．如图，PM =PN ，∠BOC =30°，则∠AOB = .8．如图，已知∠B =∠D =90°，CB =CD ，∠2=57°，则∠1= °.9．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝．10．有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有个.∠的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四11．在正方形网格中，AOB∠两边距离相等的点是点.个格点中到AOB12．如图，在△AB C中，∠ABC=100°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD=20°，连接DE，则∠CED的大小=（度）．三、解答题：13．已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求证：AD平分∠BA C．14．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边上的点，CE ＝BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等．求证：AD 平分∠BA C ．15．如图，点P 为 ABC ∠ 和 MAC ∠ 的平分线的交点．求证：点P 在 ACN ∠ 的平分线上．16．如图，四边形ABC D 中AD =AB ，∠DAB +∠BCD =180°，求证：CA 平分∠DCB能力提升篇一、单选题：1．如图，△AB C 中，AD 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，AD ，BE 相交于点O ，连接CO ，则有（）A ． ≌B ．C ．CO 平分D ． 2．如图， 90B C ∠=∠=︒ ，M 是 BC 的中点， DM 平分 ADC ∠ ，且 110ADC ∠=︒ ，则 MAB ∠= （）A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒3．已知：如图，∠GBC ，∠BAC 的平分线相交于点F ，BE ⊥CF 于H ，若∠AFB =40°，∠BCF 的度数为（）A ．40°B ．50°C ．55°D ．60°4．如图，△AB C 中，∠ABC 、∠EAC 的角平分线BP 、AP 交于点P ，延长BA 、BC ，PM ⊥BE ，PN ⊥BF ，则下列结论中正确的个数（）①CP 平分∠ACF ；②∠ABC +2∠APC ＝180°；③∠ACB ＝2∠APB ；④S △P AC ＝S △MAP +S △NCP ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：5．如图，O 是△ABC 内一点，且O 到三边AB ，BC ，CA 的距离OF ＝OD ＝OE ，若∠BAC ＝80°，则∠BOC 的度数为 .6．在△AB C 中，∠ABC =100°，∠ACB =20°，CE 平分∠ACB 交AB 于E ，D 在AC 上，且∠CBD =20°，则∠CED 的度数是．7．如图， DE AB ⊥ 于E ， DF AC ⊥ 于F ，若 BD CD = ， BE CF = ，则下列结论：DE DF =① ； AD ② 平分 BAC ∠ ； AE AD =③ ； 2AC AB BE -=④ 中正确的是．三、解答题：8．如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD =CD 、BE =CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）直接写出AB +AC 与AE 之间的等量关系．9．如图，△AB C 中，点D 在BC 边上，∠BAD =100°，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，且∠AEF =50°，连接DE .（1）求∠CAD 的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB=7，AD=4，CD=8，且S△ACD=15，求△ABE的面积.。

八年级数学上册第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质12.3.2角平分线的判定教案

第十二章全等三角形12。

3角的平分线的性质课时2 角的平分线的判定【知识与技能】掌握角的平分线的判定，能灵活运用角的平分线的判定解题.【过程与方法】通过学生自主探索、操作、领会和感悟角的平分线的判定，并能体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.【情感态度与价值观】通过认识的升华,使学生进一步理解数学，也使学生关注数学、热爱数学.角的平分线的判定.灵活运用角的平分线的判定解题.多媒体课件。

教师出示教材P49思考:如图12—3—4,要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500 m。

这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1∶20 000）？学生先自主思考，教师对学生的回答进行简单的点评,再将这个问题作为本节课开始的一个悬念.探究1:角的平分线的判定教师提出问题：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.那么，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢?探究新知让学生以四人为一个小组合作学习，动手操作、探究,获得问题的结论.从实践中可知:角的平分线上的点到角的两边的距离相等,将条件和结论互换:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.教师指出条件和结论，学生叙述证明过程，教师板演:已知：如图12-3—5，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E,PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上。

证明：经过点P作射线OC，如图12-3—5.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。

∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)，∴∠DOP=∠EOP，即∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的平分线。

∴点P在∠AOB的平分线上.然后教师解决情境导入中的那个问题，让学生根据上面的结论,确定这个集贸市场应该建于何处.学生分组讨论后回答。

接着师生共同探究角的平分线的性质与判定的区别与联系：角的平分线的性质说明了角的平分线上的点的纯粹性,即只要是角的平分线上的点，它到此角的两边一定等距离,而无一例外；角的平分线的判定反映了角的平分线的完备性,即只要是到角的两边距离相等的点，都一定在角的平分线上，而绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等(角的平分线）。