2019四年级数的整除性(二)讲解
小学四年级整数和整除知识点
小学四年级整数和整除知识点
小学四年级整数和整除知识点
如何让小学生学会用数学的思维方式去观察和分析生活，如何帮助他们更好地学好数学这门学科呢?查字典数学网小学频道精心准备了小学四年级整数和整除知识点，希望对大家有所帮助!
四年级知识点：如下
1 、整数的意义：自然数和0都是整数。
2 、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
3、计数单位：一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
4 、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5、数的整除
整数a除以整数b(b 0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
如果数a能被数b(b 0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数(或a的因数)。
倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大。
数的整除知识点总结
一. 数的分类第一种分法 : 树状图 韦恩图整数第二种分法 整数第三种分法：正整数一些关于数的结论:是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二．整除1.整除定义概念：整数a 除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零,我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁,这里的a 相当于被除数,b 相当于除数2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数,商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽如正方形是特殊的长方形一样,即a 能被b 整除,则a 一定能被b 除尽,反之则不一定即a 能被b 除尽,则a 不一定能被b 整除;如4÷2=2, 4既能被2除尽,也能被2整除；4÷5=, 4能被5除尽,却不能说4能被5整除三．因数与倍数1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除,a 就叫做b的倍数,b就叫做a的因数约数;注意点：1.因数和倍数是相互依存的,不能简单的说某个数是因数,某个数是倍数;如：6÷3=2,不能说6是倍数,3是因数；要说6是3的倍数,3是6的因数;2.因数与倍数是建立在整除的基础上的,所以如4÷=20,一般是不说4是的倍数,是4的因数;2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身,没有最大的倍数;因数的个数是有限的,都能一一列举出来,倍数的个数是无限的;3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找,找出哪两个数的乘积等于这个数,那么这两个数就是这个数的因数;如16=1×16=2×8=4×4,那么16的因数就有1、2、4、8、16,计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数,注意按照一定的顺序以防遗漏;4.求一个数倍数的方法：这个数本身分别乘以1、2、3、4、5……即正整数得到的积就是这个数的倍数;若用n表示所有的正整数,则2的倍数可表示为2n, 5的倍数可表示为5n四．能被2、5、3整除的数的特点1.能被2整除的数即2的倍数个位上的数字是0、2、4、6、8,反之,个位上的数字是0、2、4、6、8的数也能被2整除2.能被5整除的数即5的倍数个位上的数字是0、5,反之,个位上的数字是0、5的数都能被5整除3.能被3整除的数即3的倍数各个位数上的数字之和是3的倍数,反之,各个位数上的数字之和是3的倍数的数都能被3整除4.能被2、5同时整除的数的个位数字都是0,个位数字为0的数也能被10整除,能被10整除的数一定能被2或5其中的一个或两个同时整除;五．奇数、偶数1.奇数与偶数的定义：能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数;按照能否被2整除来划分奇数与偶数2.奇数个位数上的数的特点：1、3、5、7、9偶数个位数上的数的特点：0、2、4、6、83.在连续的正整数中除1外,与奇数相邻的两个数是偶数,与偶数相邻的两个数是奇数4.相邻的奇数或偶数数字相差2,奇数可用2n-1或2n+1表示,偶数可用2n表示;5.奇数与偶数加法和乘法的运算特点奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数利用此结论可检验一些运算是否正确,同时也要注意结论的逆向运用,如偶数奇数可拆成哪些奇数或偶数的和、积六.素数、合数1.素数与合数定义：一个正整数如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数质数,如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫做合数;注意点：1.素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的,素数只有2个因数1和本身,合数至少有三个因数；任何一个数除1外都有1和它本身两个因数;2. 1既不是素数也不是合数;3．最小的素数是2,最小的合数是42.素数与奇数的联系和区别奇数不一定都是素数;√1既不是素数也不是合数,9、15等是奇数但是合数所有素数都是奇数; ×2是素数,但2是偶数3.合数与偶数的联系与区别合数不一定都是偶数;√9、15等都是合数,但它们是奇数偶数都是合数; ×2是偶数但2是素数注意:判断题对的要说明原因,错的要举出反例;七．素因数与分解素因数1.素因数与分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数;把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数;注意：1.求一个数的素因数时,先把这个数分解素因数,有几个素因数就写几个;如24=2×2×2×3,则素因数是2、2、2、3,而不是2、32.因数与素因数的区别：因数可以是素数或合数,素因数一定是素数;一个数的素因数一定是这个数的因数,因数的个数一定比素因数的个数多;2.分解素因数的方法树枝分解法：过程中注意不要漏写乘号,分解要彻底,直到没有合数出现,也不能出现1.要分解的合数写在等号左边,把它的素因数用相乘的形式写在等号右边,再把这几个素因数按从小到大的顺序排列;短除法：1.先用一个能整除这个合数的素数去除通常从最小的开始,偶数肯定先用2除,奇数一般从3开始一个个带入验算2.得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到得出的商是素数为止;3.然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式;3.由一个数分解素因数求这个数的因数12=2×2×3,素因数是2、2、3,除1外由单个的素因数组成因数有2、3,由两个素因数组成的因数有2×2=4,2×3=6,由三个素因数组成的因数有2×2×3=12,所以12的因数有1、2、3、4、6、12.4. 由一个数分解素因数求这个数因数的个数1所有素因数都相同时,因数的个数是它素因数的个数+1,如8=2×2×2,素因数是2、2、2,则8的因数的个数是它素因数的个数+1,即4个2素因数不完全相同时,因数的个数是每个素因数个数+1后相乘的积,如12=2×2×3,素因数2的个数是2,素因数3的个数是1,则12的因数的个数是2+1×1+1=6八.公因数与最大公因数1.公因数与最大公因数定义:几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.2.互素定义：如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素;如8和9注意：互素是两个数之间,素数是指一个数,互素的两个数的最大公因数就是1.两个互素的数未必都是素数; √8和9互素,但8和9都是合数两个不同的素数一定互素. √若缺少“不同的”,则错,因为3和3都是素数但不互素3. 求两个数最大公因数的方法：1 一般方法：写出两个数所有的因数,再找出它们共同的最大的因数2 分解素因数的方法：把这两个数分解素因数,再找出相同的素因数,把它们所有的公有的素因数相乘,所得的积就是它们的最大公因数;3 短除法：先用这两个数公有的素因数去除一般从最小的素因数开始,得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到两个数互素为止,这两个数的最大公因数就是左侧的除数的乘积. 类比用短除法分解素因数的方法4. 两个整数中,如果某个数是另一个数的因数,那么这个数就是这两个数的最大公因数;如果这两个数互素,那么它们的最大公因数就是1.九.公倍数和最小公倍数1.公倍数与最小公倍数定义:几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.2.求两个数最小公倍数的方法:1一般方法:从小到大分别依次写出几个这两个数的倍数,再找出它们共同的最小的倍数2分解素因数的方法: 把这两个数分解素因数,再找出相同的素因数,再取各自剩余的素因数,将这些数连乘所得的积,就是这两个数的最小公倍数.3短除法: 先用这两个数公有的素因数去除一般从最小的素因数开始,得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到两个数互素为止,这两个数的最小公倍数就是左侧的除数与底部商的乘积.注意点:1.用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时,过程都相同,只是最后写结论时注意需要乘哪些数.2.求两个数的最大公因数和最小公倍数,先判断这两个数是否存在因数倍数关系或互素关系,存在因数倍数关系时,最大公因数就是较小的那个数,最小公倍数就是较大的那个数;两数互素时,最大公因数就是1,最小公倍数就是它们的乘积.3.两个整数的公倍数一定能被这两个数整除.十.求三个整数的最大公因数和最小公倍数拓展1求三个整数的最大公因数:同样也是三种方法,只需找出三个数共同的因数,最大的因数就是最大公因数.注意与三个数的最小公倍数区分2求三个整数的最小公倍数:一般方法:写出三个数的倍数,再找出最小公倍数.分解素因数法:分别分解素因数,先找出三个数共同的素因数,再找出每两个数公有的素因数,再取各自剩余的素因数,把这些素因数连乘所得的积就是这三个数的最小公倍数.短除法:先用三个数公有的素因数去除直到三个数没有公有的素因数,再用其中两个数公有的素因数去除,直到除得的三个商两两互素为止即三对互素数。
小升初数学复习知识点：数的整除
2019年小升初数学复习知识点：数的整除数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；二、整除判断方法：1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
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死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
小升初数学知识点总结数的整除2
小升初数学知识点总结数的整除
摘要：温故而知新，大家只要做到这点，一定可以提高学习能力。
为大家了小升初数学：数的整除知识点，方便同学们查看复习，希望大家喜欢。
数的整除
1.把一个合数分解质因数，通常用短除法。
先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
2.求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。
3.求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除，一直除到互质(或两两互质)为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
4.成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质;相邻的两个自然数互质;当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质;两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。
总结：小升初数学：数的整除知识点就为大家介绍到这儿了，希望的可以帮助到大家，祝大家学习进步。
第3讲 数的整除(讲义)
第3讲数的整除（讲义）一、教学目标1. 理解数的整除和倍数的含义。
2. 掌握判定一个数是否能够整除另一个数的方法。
3. 熟悉整数的基本性质。
4. 能够自如地进行数的整除和倍数的运算。
二、教学内容1. “整除”的概念2. “倍数”的概念3. 判定一个数是否能够整除另一个数的方法4. 整数的基本性质5. 数的整除和倍数的运算三、教学过程步骤一：引入老师将一张纸条分成若干小张，要求学生将这些小张重新组合在一起，使得每个小组中的小张数量都相同。
在学生解决问题的过程中，引导学生认识“整除”和“倍数”的概念。
步骤二：讲解1. 整除：当一个数a能够被另一个数b整除时，就说a是b的倍数，b是a的约数，记作b|a。
2. 倍数：任何一个数的倍数就是这个数的整数倍。
3. 判定一个数是否能够整除另一个数的方法：（1）直接除法法：如果a÷b的余数为0，那么a能够被b整除。
（2）约数法：如果b是a的约数，那么a能够被b整除。
4. 整数的基本性质：（1）0是任何数的倍数，任何数都能够整除0。
（2）任何数的倍数包括负数，例如-3、-6、-9……都是3的倍数。
（3）一个数的倍数的和或差仍然是这个数的倍数。
（4）如果一个数既是a的倍数，又是b的倍数，那么这个数一定是a和b的公倍数。
5. 数的整除和倍数的运算：例如：8是4的倍数，4是2的倍数，那么8自然也是2的倍数。
因此，我们可以得出结论，如果一个数是另一个数的倍数，那么它也一定是这个数所有约数的倍数。
步骤三：检查通过口算、练习题检查学生对上述内容的掌握情况。
步骤四：拓展引导学生尝试用较难的练习题拓展知识，并且引导学生思考数的基本性质以及运算规律，以便学生能够运用所学的知识解决实际问题。
四、教学反思通过这节课的学习，孩子们能够掌握数的整除和倍数的基本概念，判定一个数是否能够整除另一个数的方法，以及整数的基本性质和运算规律。
同时也指导孩子们思考，通过练习题的实践操作来加深学习效果。
数的整除知识点
数的整除知识点数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。
数的整除1.整除——因数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7是63的因数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
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2 、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
3、计数单位：一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
4 、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5、数的整除整数a除以整数b(b 0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
如果数a能被数b(b 0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数(或a的因数)。
倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有：3、6、9、12其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。
四年级数学数的整除性(二)讲解
四年级数学数的整除性（二）讲解这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起.第1.3.5.…位称为奇数位.第2.4.6.…位称为偶数位。
也就是说.个位、百位、万位……是奇数位.十位、千位、十万位……是偶数位。
例如9位数768325419中.奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除.那么这个数就能被11整除。
例1判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13.偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24.因为24-13=11能被11整除.所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征.也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数.与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和.那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍.使其大于偶数位上的数字之和。
例2 求下列各数除以11的余数：（1）41873；（2）296738185。
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11＝0……7.所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17.偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。
因为17＜32.所以应给17增加11的整数倍.使其大于32。
（17+11×2）-32＝7.所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是.当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时.为了计算方便.也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和.再除以11.所得余数与11的差即为所求。
如上题（2）中.（32-17）÷11＝1……4.所求余数是11-4=7。
例3求除以11的余数。
分析与解：奇数位是101个1.偶数位是100个9。
（9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7.11-7=4.所求余数是4。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结一.数的分类第一种分法:树状图韦恩图整数正整数零负整数整数自然数负整数零正整数正奇数正偶数第二种分法整数奇数偶数整数奇数偶数第三种分法：正整数素数合数整数素数合数一些关于数的结论:1.0是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二．整除1.整除定义（概念）：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的a相当于被除数，b相当于除数2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽（如正方形是特殊的长方形一样），即a能被b整除,则a一定能被b除尽，反之则不一定（即a能被b除尽，则a不一定能被b整除）。
如4÷2=2,4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8,4能被5除尽，却不能说4能被5整除三．因数与倍数1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（约数）。
注意点：1.因数和倍数是相互依存的，不能简单的说某个数是因数，某个数是倍数。
如：6÷3=2，不能说6是倍数，3是因数；要说6是3的倍数，3是6的因数。
2.因数与倍数是建立在整除的基础上的，所以如4÷0.2=20，一般是不说4是0.2的倍数，0.2是4的因数。
2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。
因数的个数是有限的，都能一一列举出来，倍数的个数是无限的。
3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。
如16=1×16=2×8=4×4，那么16的因数就有1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。
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2 、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
3、计数单位：一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
4 、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5、数的整除整数a除以整数b(b 0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
如果数a能被数b(b 0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数(或a的因数)。
倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有：3、6、9、12其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4(或25)整除，这个数就能被4(或25)整除。
例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结一。
数的分类数可以根据不同的属性进行分类。
第一种分类方法是使用树状图或韦恩图，将整数分为自然数、正整数、负整数、零、正奇数和正偶数等。
第二种分类方法是将整数分为奇数和偶数。
第三种分类方法是将整数分为正整数、素数和合数。
需要注意的是，0是最小的自然数，-1是最大的负整数，1是最小的正整数。
同时，没有最大的整数、没有最小的负整数、没有最大的正整数，正整数、负整数和整数的个数都是无限的。
二。
整除整除是指一个整数a被另一个整数b整除，商是整数而余数为零的情况。
因此，b可以整除a，也可以说a能被b整除。
需要注意的是，要区分整除和除尽。
整除是特殊的除尽，即a能被b整除，则a一定能被b除尽，反之则不一定。
例如，4÷2=2，4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8，4能被5除尽，但不能说4能被5整除。
三。
因数与倍数因数是指一个整数a能被另一个整数b整除，b就是a的因数。
而倍数是指一个整数a能够整除另一个整数b，a就是b的倍数。
因数和倍数是相互依存的，不能简单地说某个数是因数或倍数。
一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。
因数的个数是有限的，可以一一列举出来，而倍数的个数是无限的。
求一个数的因数可以利用积与因数的关系，一对一对找出哪两个数的乘积等于这个数，然后按照一定的顺序列举出所有的因数。
求一个数的倍数可以将这个数本身分别乘以1、2、3、4、5等正整数，得到的积就是这个数的倍数。
四。
能被2、5、3整除的数的特点一个数能被2整除，当且仅当这个数的个位数是0、2、4、6、8.一个数能被5整除，当且仅当这个数的个位数是0或5.一个数能被3整除，当且仅当这个数的各位数字之和能够被3整除。
因此，一个数能被2、5、3整除的特点可以通过它的各位数字来判断。
1.能被2整除的数的个位数字是2、4、6、8，反之，个位数字是2、4、6、8的数也能被2整除。
四年级数学期末复习重点之整数与整除
2019 四年级数学期末复习要点之整数与整除小学数学是一很风趣的程，能够启示孩子的心智，能够培育孩子的思，小今日您来了四年数学期末复要点，希望能您的学有帮助。
1、整数的意：自然数和 0 都是整数。
2、自然数：我在数物体的候，用来表示物体个数的1，2， 3⋯⋯叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
3、数位：一 (个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、⋯⋯都是数位。
每相两个数位之的率都是10。
的数法叫做十制数法。
4 、数位：数位依据必定的序摆列起来，它所占的地点叫做数位。
5、数的整除整数 a 除以整数 b(b ≠ 0)，除得的商是整数而没有余数，我就 a 能被 b 整除，或许 b 能整除 a 。
假如数 a 能被数 b(b≠整0)除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的数 (或 a 的因数 )。
倍数和数是互相依存的。
因 35 能被 7 整除，因此35 是 7 的倍数， 7 是 35 的数。
一个数的数的个数是有限的，此中最小的数是1，最大的数是它自己。
比如：10 的数有 1、2、5、10，此中最小的数是1，最大的数是10。
一个数的倍数的个数是无穷的，此中最小的倍数是它自己。
3 的倍数有： 3、 6、 9、 12⋯⋯此中最小的倍数是 3 ，没有最大的倍数。
个位上是 0、2、 4、 6、 8 的数，都能被 2 整除，比如： 202、480、 304，都能被 2 整除。
个位上是 0 或 5 的数，都能被 5 整除，比如： 5、30、405 都能被 5 整除。
一个数的各位上的数的和能被 3 整除，个数就能被 3 整除，比如： 12、 108、204 都能被 3 整除。
一个数各位数上的和能被9 整除，个数就能被9 整除。
能被 3 整除的数不必定能被9 整除，可是能被9 整除的数一定能被 3 整除。
一个数的末两位数能被 4(或 25)整除，个数就能被 4(或 25) 整除。
比如： 16、404、1256 都能被 4 整除， 50、325、500、1675 都能被 25 整除。
四年级数学期末复习重点之整数与整除
四年级数学期末复习重点之整数与整除
2019四年级数学期末复习重点之整数与整除小学数学是一门很有趣的课程，可以启迪孩子的心智，可以培养孩子的逻辑思维，小编今天为您带来了四年级数学期末复习重点，希望能对您的学习有帮助。
1 、整数的意义：自然数和0都是整数。
2 、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
3、计数单位：一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
4 、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5 、数的整除
整数a除以整数b(b ≠ 0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
如果数a能被数b(b ≠ 0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数(或a的因数)。
倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
小学四年级整数和整除的重要知识点
小学四年级整数和整除的重要知识点（学习版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制学校：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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1.整除的概念和性质.ppt
知识方面
(1)整除的定义； (2)整除的基本性质；
(3)能被一些特殊整数（3、9、11）整除的正整数的特征； 思想方法方面
观察、归纳、猜想等合情推理思想； 类比；特殊到一般； 数学核心素养方面
0，2，4, 6, 8, 10，128.他们能被什么整数整除？ (2)0，5，20, 205,1055.他们能被什么整数整除？
1、一个整数的末位数字是0、2、4、6、8 ，则这个数能被2整除； 2、一个整数的末位数字是0、5，则这个数 能被5整除；
问题6.观察下列正整数，这几组数有什么规 律？他们能被什么整数整除？ (1)6，18，21, 108, 243，56382； (2)9，45，189，6651； (3)11，88，968； (4)121，1001,1331。
整除的概念：一般地，设a、b为整数，且b不为0，如果 存在整数q,使得a=bq,则称b整除a,或者a能被b整除。记 作b|a。并且称b是a的因数，a是b的倍数。如果这样的整 数q不存在，则称b不能整除a。
问题4：由整除的概念，你能否推出下列整除的基本性质？ (1)若a|b, b|a,则a=b,或a=-b； (2)若a|b, b|c,则a|c； (3)若a|b,a|c,则对任意整数x、y,恒有a|bx+cy.
1理解并掌握整除的定义； 2探索、掌握、证明整除的基本性质； 3探索、概括、并证明能被一些特殊整数（3、9、11 ）整除的正整数的特征；
问题1.两个整数的加法、减法、乘法运算， 结果仍为整数，除法呢？
问题2.请你们给出以前学过的一个整数能除 尽另一个整数的例子？ 问题3.如何从乘法角度判断一个整数能除尽 另一个整数？
结论： (1)一个正整数的各位数字之和能被3整除，则 这个正整数能被3整除。 (2)一个正整数的各位数字之和能被9整除，那 么这个正整数能被9整除； (3)一个正整数的奇数位数字之和与偶数位数字 之和的差能被11整除，那么这个正整数能被11 整除；
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。
理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。
一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除属于除尽的一种特殊情况。
二、整除的五条基本性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。
（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。
①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】：2、5都是10的因数，根据整除的基本性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。
任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基本性质（1），则这个数能被2或5整除。
又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基本性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。
《整除》课件2-优质公开课-浙教4下精品
8÷2＝4
8＝2×4
2.8能被哪些数整除？
8÷ 3＝2……2 8＝3×2＋2
8÷ 4＝2 8＝4×2
8÷ 5＝1……3 8＝5×1＋3
整除
整数a除以整数b(b≠0),所得的商是整数，余数 是0，就说a能被b整除。
在小学里讲数的整除时，所说的数一般指非 零自然数。非零自然数叫正整数。
为了研究方便，在研究整除时，我们所说的数 指的是整数（一般不包括0）。
分析：A有能被1和A，要使A是约数最少， A还能被a、b、c中不为1的另外两个数整除 ，最少能被5个数整除。
答：A至少能倍5个数整除。
浙教版课标 四年级数学下册
整数、小数、分数 自然数
用来表示物体个数的1、2、3、4、5等 等，叫做自然数。
1.在10个方格里涂颜色，要求每种颜色方格的个 数相同，有哪些涂法吗？
10÷ 2＝5
同一种颜色 方格的个数
2 3 4 5
颜色种数 未涂颜色方 格的个数
5
0
3
1
2
2
2
0
10÷ 5＝2
上是整数而有余数(余数不是0），我们可以说10 不能被3整除，也不能被4整除。
12能被1和12整除。
做一做
下面4组数中，谁被谁整除？
24
42倍4整除。
26和13
26被13整除。
75和25
75被25整除。
81和9
81倍9整除。
做一做
1.240÷40＝6，( 240 )能被(40和6 )整除。
2.在36，9，4，12这几个数中，选择两个说一 说它们的整除关系。
36能被9整除。 36能被4整除。 36能被12整除。 12能被4整除。
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2019四年级数的整除性（二）讲
解
这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。
也就是说，个位.百位.万位……是奇数位，十位.千位.十万位……是偶数位。
例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：
能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。
例1判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。
例2 求下列各数除以11的余数：
（1）41873；（2）296738185。
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11
=7÷11＝0……7，
所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。
因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7，
所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。
如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。
例3求除以11的余数。
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。
（9×100-1×101）÷11
=799÷11=72……7，
11-7=4，所求余数是4。
例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1
＝8，奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。
所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。
例4用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？
解：只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可。
有3377，3773，7337，7733。
例5用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。
分析与解：最大的没有重复数字的九位数是987654321，由
（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5
知，987654321不能被11整除。
为了保证这个数尽可能大，我们尽量调整低位数字，只要使奇数位的数字和增加3（偶数位的数字和自然就减少3），奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为5＋3×2=11，
这个数就能被11整除。
调整“4321”，只要4调到奇数位，1调到偶数位，奇数位就比原来增大3，就可达到目的。
此时，4，3在奇数位，2，1在偶数位，后四位最大是2413。
所求数为987652413。
例6 六位数能被99整除，求A和B。
分析与解：由99=9×11，且9与11互质，所以六位数既能被9整除又能被11整除。
因为六位数能被9整除，所以
A+2+8+7+5+B
＝22+A+B
应能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。
又因为六位数能被11整除，所以
（A＋8＋5）－（2＋7＋B）
＝A-B＋4
应能被11整除，即
A-B+4=0或A-B+4=11。
化简得B-A＝4或A-B＝7。
因为A+B与A-B同奇同偶，所以有
在（1）中，A≤5与A≥7不能同时满足，所以无解。
在（2）中，上.下两式相加，得
（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，
2B＝18，
B=9。
将B=9代入A＋B=14，得A＝5。
所以，A=5，B＝9。