不等式知识点_整理

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不等式知识点

不等式的知识要点1. 不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a>⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a+>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a+>+⇒>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,. （7）bc ac c b a<⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d >><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b an n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号）0,2b a ab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b+≤+（当仅当a=b 时取等号）（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若n n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩定义域 ○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅> （5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为。

常见不等式的解法知识点总结

常见不等式的解法知识点总结一、基本不等式性质：1.改变不等式方向：对于不等式a<b，如果将两边同时取反，即将其转化为-a>-b，不等式方向会改变。

2.加减同一个数：对于任意实数a，b和c，如果a<b，那么a+c<b+c；如果a>b，那么a-c>b-c。

3.乘除同一个正数：对于任意正数a，b和c，如果a<b，那么a*c<b*c；如果a>b，那么a/c>b/c。

但是，当乘除同一个负数时，不等号方向会反转。

4.取倒数：当一个不等式两边同时取倒数时，不等号的方向会改变。

二、一元一次不等式的解法：1. 用常数计算法：对于形如 ax+b>0 或 ax+b<0 的一元一次不等式，我们可以先计算出 a 的正负性或者大小关系，然后根据 a 的正负性或者大小关系，确定不等式的解集。

2. 画数轴法：对于形如 ax+b>0 或 ax+b<0 的不等式，我们可以在数轴上画出关于 x 的对应的一次方程的解集，然后根据不等号的方向，确定不等式的解集。

3.分析法+图解法：对于一元一次不等式，我们可以通过手工计算和图解的方法，找出不等式的解集。

三、一元二次不等式的解法：1. 变形法：对于形如 ax^2+bx+c>0 或 ax^2+bx+c<0 的一元二次不等式，我们可以通过变形，将其转化为一元二次方程的解法。

首先，我们将不等式转化为一元二次方程，然后通过求解一元二次方程的解来确定不等式的解集。

2. 区间取值法：对于形如 ax^2+bx+c>0 或 ax^2+bx+c<0 的一元二次不等式，我们可以使用区间取值法。

首先，我们求出一元二次函数的零点，然后根据一元二次函数的开口方向和零点的位置，确定不等式的解集。

四、绝对值不等式的解法：1.绝对值的定义：首先，我们需要了解绝对值的定义，即，x，表示x的绝对值，其定义如下：当x≥0时，x，=x；当x<0时，x，=-x。

不等式知识点大全

不等式知识点大全一、不等式的基本概念：1.不等式的定义：不等式是一个包含不等号（>，<，≥，≤）的数学语句。

2.不等式的解集：解集是满足不等式的所有实数的集合。

3.不等式的求解方法：解不等式的方法主要有代入法、分析法、图像法和区间法等。

二、一元一次不等式：1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数与一个实数的大小关系。

2.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的解集可以用一个开区间或闭区间表示。

三、二次不等式：1.二次不等式的定义：二次不等式是指含有一个未知数的二次函数与一个实数的大小关系。

2.二次不等式的解集：二次不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。

四、绝对值不等式：1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。

2.绝对值不等式的解集：绝对值不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。

五、分式不等式：1.分式不等式的定义：分式不等式是指含有一个未知数的分式与一个实数的大小关系。

2.分式不等式的解集：分式不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。

六、三角不等式：1.三角不等式的定义：三角不等式是指三角函数与一个实数之间的大小关系。

2.三角不等式的解集：三角不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。

七、复合不等式：1.复合不等式的定义：复合不等式是由两个或多个不等式通过与或或连接构成的不等式。

2.复合不等式的解集：复合不等式的解集是满足所有不等式的实数的交集或并集。

八、常用的不等式：1.平均不等式：包括算术平均不等式、几何平均不等式、加权平均不等式等。

2.布尔不等式：包括与或非不等式和限制条件不等式等。

3.等价不等式：等式两边取绝对值后变为不等式。

4.单调性不等式：利用函数单调性性质证明不等式。

5.导数不等式：利用函数的导数性质证明不等式。

6.积分不等式：利用积分性质及定积分的性质来推导不等式。

不等式知识点整理

不等式知识点1.不等式的性质⑴(对称性或反身性)a b b a >⇔<; ⑵(传递性)a b b c a c >>⇒>，;⑶(可加性)a b a c b c >+>+⇒,此法则又称为移项法则; (同向可相加)a b c d a c b d ⇒>>+>+， ⑷(可乘性)0a b c ac bc ⇒>>>，； 0a b c ac bc ⇒><<，.(正数同向可相乘)00a b c d a c b d ⇒>>>>>，⑸(乘方法则)00n na b n N a b >>∈⇔>>（） ⑹(开方法则)0,20nna b n N n a b >>∈⇔>>（≥）⑺(倒数法则)110a b a b ab⇒>><，掌握不等式的性质，应注意：条件与结论间的对应关系，是“⇒”符号还是“⇔”符号；运用不等式性质的关键是不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。

2. 重要不等式.基本不等式：0,0a b >>，则2b a +≥ab （当且仅当a =b 时取“=”号）注:该不等式可推出（不等式链）：当a 、b 为正数时,22222()111122a b ab a b a ba ba b ab+++++其中，亦可写作剟（当且仅当a = b 时取“=”号）即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数基本不等式的推广：①()a b c a b b c c a a b R 222++≥++∈，，当且仅当时取等号。

a b c == ② 000a b m n >>>>，，，则1b b m a n a aa mb nb++<<<<++③ 基本不等式的推广：若0(1,2,,)i a i n >= ，则1212nn n a a a a a a n+++ …当且仅当12n a a a === 时取“=”号； ④ 若0t >，则12t t+≥；若0t <，则12t t+≤- ；⑤ 2(0,0)a b a b ba+≥>>，当且仅当a b =时取得等号。

不等式知识点汇总

不等式知识点汇总不等式是数学中的一个重要概念，它在解决各种数学问题和实际生活中的优化问题中都有着广泛的应用。

下面我们来对不等式的相关知识点进行一个汇总。

一、不等式的定义用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子，叫做不等式。

例如：3 ＜ 5，x ＋ 2 ＞ 5，y 1 ≤ 3 等都是不等式。

二、不等式的基本性质1、对称性：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a 。

2、传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c 。

3、加法性质：如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。

4、乘法性质：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b 且c ＜ 0，那么 ac ＜ bc 。

这些基本性质是解决不等式问题的基础，需要牢记并能够熟练运用。

三、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（其中a ≠ 0）的不等式叫做一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（如果有分母）。

2、去括号。

3、移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。

4、合并同类项。

5、系数化为 1：根据不等式的性质，将未知数的系数化为 1。

例如，解不等式 2x ＋ 5 ＞ 9 ，首先移项得到 2x ＞ 9 5 ，即 2x ＞4 ，然后系数化为 1 ，得到 x ＞ 2 。

四、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0（其中a ≠ 0）的不等式叫做一元二次不等式。

解一元二次不等式通常需要先求出对应的一元二次方程的根，然后根据二次函数的图象来确定不等式的解集。

例如，对于不等式 x² 3x ＋ 2 ＜ 0 ，先解方程 x² 3x ＋ 2 ＝ 0 ，因式分解为（x 1)（x 2) ＝ 0 ，解得 x ＝ 1 或 x ＝ 2 。

然后根据二次函数 y ＝ x² 3x ＋ 2 的图象，开口向上，与 x 轴的交点为 1 和 2 ，所以不等式的解集为 1 ＜ x ＜ 2 。

不等式知识点总结

不等式知识点总结一、不等式的基本概念。

1. 不等式的定义。

- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。

例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。

2. 不等式的解与解集。

- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。

- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。

3. 解不等式。

- 求不等式解集的过程叫做解不等式。

例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。

二、不等式的基本性质。

1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。

例如5>3，那么3 < 5。

2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。

例如7>5，5>3，那么7>3。

3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。

例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。

- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。

例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。

4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。

例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。

不等式知识点总结

不等式知识点总结不等式是数学中重要的概念，经常在解决实际问题和证明不等式性质时使用。

下面我将对不等式的定义、性质以及解不等式的方法进行总结。

1. 不等式的定义不等式是数学中用不等号表示的关系式。

不等式包括大于等于、小于等于、大于、小于四种形式。

例如：a≥b表示a大于等于b；c<b表示c小于b。

2. 不等式的性质（1）传递性：如果a≥b，b≥c，那么a≥c。

如果a<b，b<c，那么a<c。

（2）对称性：如果a≥b，那么b≤a；如果a<b，那么b>a。

（3）加法性：如果a≥b，那么a+c≥b+c；如果a<b，那么a+c<b+c。

（4）乘法性：如果a≥b，且c>0，那么ac≥bc；如果a≥b，且c<0，那么ac≤bc。

3. 不等式的解法（1）加减法解法：对于形如ax+b≥0或ax+b<0的一元一次不等式，可以通过加减法解法进行求解。

例如：5x+3>2x+7，首先将等式化简得到3x>-4，然后除以系数3得到x>-4/3。

（2）乘法解法：对于形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的二次不等式，可以通过乘法解法进行求解。

例如：x²+2x-4>0，首先求出二次方程x²+2x-4=0的根，然后根据二次曲线的凹凸性判断不等式的解集。

（3）分段解法：对于形如|x-a|<b的不等式，可以通过分段解法求解。

例如：|x-3|<5，可以将不等式分为两个部分，x-3<5和x-3>-5，然后求解这两个部分的解集，并取其交集作为原不等式的解集。

4. 不等式的应用（1）代数不等式的应用：代数不等式常常应用于经济学、物理学、生物学等实际问题分析中。

例如：求最大值、最小值、稳定性等。

（2）几何不等式的应用：几何不等式常常应用于解决关于图形的问题，如边长关系、面积关系等。

高中不等式知识点总结

高中不等式知识点总结一、知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc;a > b, c < 0ac < bc;⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。

3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。

当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。

综合法:以已知或已证明的不等式为基础，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。

平均不等式常用于综合法的标度。

分析方法:不等式两边的关系不够清晰。

通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到一个容易证明或已知成立的结论。

4.不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式:如果两个不等式有相同的解集，那么这两个不等式称为同解不等式。

同解变形:当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形称为同解变形。

不等式知识点汇总

不等式一、不等式的性质1、对称性：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >。

2、传递性：如果b a >，c b > 那么c a >。

3、加法单调性：如果b a >，那么c b c a +>+。

推论1：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+。

（相加法则）推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->-。

（相减法则）4、乘法单调性：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac <。

推论1：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >。

（相乘法则）如果0>>b a 且d c <<0，那么db c a >。

（相除法则）推论2：如果0>>b a , 那么n n b a >)1(>∈n N n 且。

5、性质5：如果0>>b a ，那么nn b a >)1(>∈n N n 且。

二、算术平均数与几何平均数1、如果123,,,,n a a a a R +∈L ，2,n n N ≥∈，则： 12na a a n+++L 叫做这n 个正数的算术平均数；n 个正数的几何平均数。

2、基本不等式：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）；如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”）；如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）；如果+∈R c b a ,,，那么33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）。

三、极值定理已知y x ,都是正数，则：1、如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 2；2、如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值241s 。

高一数学不等式知识点整理归纳

高一数学不等式知识点整理归纳一、不等式的基本性质1. 对称性：若 $a > b$，则 $b a$；若 $a b$，则$b > a$。

2. 传递性：若 $a > b$ 且 $b > c$，则 $a > c$；若$a b$ 且 $b c$，则 $a c$。

3. 加法性质：若 $a > b$，则 $a + c > b + c$。

4. 乘法性质：若 $a > b$ 且 $c > 0$，则 $ac > bc$；若 $a > b$ 且 $c 0$，则 $ac bc$。

二、一元一次不等式形如 $ax + b > 0$ 或 $ax + b 0$（$a \neq 0$）的不等式。

解法步骤：1. 移项：将常数项移到不等式的另一边。

2. 化简：将 $x$ 的系数化为 $1$，注意当系数为负数时，不等号方向改变。

三、一元二次不等式形如 $ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c 0$（$a \neq 0$）的不等式。

解法：1. 求出方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根（可用求根公式 $x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 4ac}}{2a}$ ）。

2. 根据二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像与 $x$ 轴的交点，确定不等式的解集。

当 $a > 0$ 时：若方程有两个不同实根 $x_1$ ， $x_2$ （$x_1x_2$），则不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集为 $x x_1$或 $x > x_2$ ；不等式 $ax^2 + bx + c 0$ 的解集为 $x_1x x_2$ 。

初中数学不等式知识点大全

初中数学不等式知识点大全一、不等式的定义不等式是数与数之间大小关系的一种表示形式。

对于实数a、b，若存在一个符号“>”或“<”，使得它们之间满足关系式“a>b”或“a<b”，则称“a与b之间存在不等关系”，这种关系用不等式符号“>”或“<”来表示。

二、不等式的性质1.加减性质：如果一个不等式两边同加（减）一个相同的实数，不等式的方向不变。

2.正数倍性质：如果一个不等式两边同乘以一个正实数，不等式的方向不变。

3.负数倍性质：如果一个不等式两边同乘以一个负实数，不等式的方向反转。

4.零倍性质：如果一个不等式两边同乘以零，不等式的方向不变。

三、常见的不等式形式1. 单变量一次不等式：形如ax+b>0（或<0），其中a、b为实数，x为变量。

2. 绝对值不等式：形如，ax+b，>0（或<0），其中a、b为实数，x为变量。

3. 二次不等式：形如ax²+bx+c>0（或<0），其中a、b、c为实数，x为变量。

4. 有理不等式：形如$\frac{f(x)}{g(x)} >0$（或<0），其中f(x)、g(x)为有理式，x为变量。

5. 分式不等式：形如$\frac{f(x)}{g(x)} >n$（或<n），其中f(x)、g(x)为整式，n为实数，x为变量。

四、不等式的解集表示方法1.集合表示法：使用集合符号表示不等式的解集。

2.区间表示法：使用数轴上的区间表示不等式的解集，包括开区间、闭区间和半开半闭区间。

3.集合与区间混合表示法：使用集合符号和数轴上的区间混合表示不等式的解集。

五、不等式的求解方法1.移项法：将不等式中含有变量的项移到一边，将常数项移到另一边，得到简化的不等式。

2.加减法：根据不等式的性质，可以通过加减相同的实数使不等式变得简单。

3.乘除法：根据不等式的性质，可以通过乘除相同的实数使不等式变得简单。

数学基本不等式知识点提纲

数学基本不等式知识点提纲一、平均不等式1. 算术平均数不等式：对于任意正实数 a1、a2、...、an，有 (a1+a2+...+an)/n >= √(a1·a2·...·an)2. 几何平均数不等式：对于任意正实数 a1、a2、...、an，有 (a1·a2·...·an)^(1/n) >= (a1+a2+...+an)/n二、平方不等式1. 平方差不等式：对于任意实数 a 和 b，有 (a-b)^2 >= 0，即 a^2 + b^2 >= 2ab2. 平方均值不等式：对于任意非负实数 a1、a2、...、an，有(a1^2+a2^2+...+an^2)/n >= (a1+a2+...+an)^2/n^2三、柯西-施瓦茨不等式对于任意实数 a1、a2、...、an 和 b1、b2、...、bn，有(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2 <= (a1^2+a2^2+...+an^2)·(b1^2+b2^2+...+bn^2)四、三角不等式1. 绝对值不等式：对于任意实数 a 和 b，有 |a+b| <= |a| + |b|2. 三角形不等式：对于任意实数 a、b 和 c，有 |a+b| <= |a| + |b|； |a-b| <= |a| + |b|； |a-b| <= |a| - |b|五、其他不等式1. 极值不等式：若函数 f(x) 在 [a,b] 上连续，且在 (a,b) 内可导，且在 a 和 b 处均有极值，那么在 [a,b] 上 f(x) 的最大值不超过其极值，最小值不低于其极值。

2. 线性不等式：对于任意实数 a、b、c，若 a > b，那么 ac > bc，若 c > 0，那么 ac > bc。

3. 加权不等式：对于任意正实数 a 和 b，若 p 和 q 是实数且 p+q=1，那么a^p·b^q >= pa + qb这些是数学基本不等式的一些知识点提纲，可以根据具体需要深入研究各个不等式的性质和应用。

不等式知识点总结

不等式1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有： 1对称性：a>b ⇔b<a ；2传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ； 3可加性：a>b ⇒a+c>b+c ；4可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。

5同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； 6异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒. 7正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。

8乘方法则：若a>b>0，n ∈N+，则n nb a >；9开方法则：若a>b>0，n ∈N+，则n n b a >；10倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。

2、绝对值不等式（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}；｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。

（2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤-3、不等式的证明：(1) 常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法； (2) 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； (3) 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

4、一元二次不等式ax 2+box>0(a>0)解法.：一元二次不等式的解集其实就和二次项系数、二次方程的根以及不等号有关,因而可以总结解一元二次不等式的一般步骤:先把二次项系数化成正数,再解对应二次方程,最后根据方程的根的情况,结合不等号的方向写出解集(可称为“三步曲”法).一元二次方程的解的讨论0>∆0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅∅5、整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.+-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2xm-1x mx（自右向左正负相间） 6、分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f7、含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. （1）ax a a a x <<-⇔><)0(；（2）ax a x a a x >-<⇔>>或)0(；（3）ax f a a a x f <<-⇔><)()0()(；（4）a x f a x f a a x f >-<⇔>>)()()0()(或；（5）)()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇔<；（6）)()()()()()(x g x f x g x f x g x f >-<⇔>或；（7）ax b b x a a b b x a -≤≤-≤≤⇔>>≤≤或)0(；（8）⎪⎩⎪⎨⎧≠<⇔⎩⎨⎧≠<⇔><0)(])([)(0)()()()0()()(22x g x g a x f x g x g a x f a a x g x f 。

不等式知识点总结

不等式知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，它描述了数的大小关系。

在不等式中，通过使用不等号（<, ≤, >, ≥）来表示不同数的大小关系。

1. 基本不等式：- 加减法不等式：如果a > b，则有a + c > b + c，a - c > b - c； - 乘法不等式：如果a > b 且 c > 0，则有ac > bc；如果a > b且 c < 0，则有ac < bc；- 除法不等式：如果a > b 且 c > 0，则有a/c > b/c；如果a >b 且c < 0，则有a/c < b/c；- 幂不等式：如果a > b 且 n > 1，则有a^n > b^n；如果0 < a < b 且 0 < n < 1，则有a^n > b^n。

2. 不等式的性质：- 传递性：如果a > b 且 b > c，则有a > c；- 对称性：如果a > b，则有b < a；- 反身性：对于任意的a，有a = a；- 加减性：如果a > b，则有a + c > b + c；- 乘除性：如果a > b 且 c > 0，则有ac > bc，a/c > b/c。

3. 不等式的求解：- 确定不等式的解集：通过比较不等式中的数的大小关系，可以确定不等式的解集。

例如，对于不等式2x + 1 > 5，可以通过移项得到2x > 4，再除以2得到x > 2，解集为{x | x > 2}。

- 不等式的逆运算：对于不等式a > b，可以通过取倒数、开平方、开n次方等逆运算来改变不等式的大小关系。

- 不等式的绝对值：当不等式中存在绝对值时，需要对绝对值进行分类讨论，分别讨论绝对值的正负情况，然后求解不等式。

不等式知识点归纳

不等式知识点归纳1.不等式的基本性质不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类．在解不等式时，只能用双向性质；在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质．（1）a b b a <⇔>对称性（2）c a c b b a >⇒>>,传递性（3）c b c a b a+>+⇒>加法单调性（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,同向不等式相加（5）d b c a d c b a->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,. 或 c b c a >（乘法单调性）（7）bc ac c b a <⇒<>0, 或 c bca <（8）bd ac d c b a>⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a ba b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n且平方法则（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b an n 且开方法则倒数性质①a>b,ab>0.11b a <⇒②a<0<b.11b a <⇒③a>b>0,0<c<d.d b c a >⇒ ④0<a<x<b 或a<x<b<0.a x b 111<<⇒ 有关分数的性质:若a>b>0,m>0,则①真分数的性质： ②假分数的性质：).(;0>--->++<m b m a mb a b m a m b a b ).(;0>---<++>m b m b m a b a m b m a b a比例的几个性质①比例基本性质：；②反比定理：；③更比定理：；④合比定理；；⑤分比定理：；⑥合分比定理：；⑦分合比定理：；⑧等比定理：若，，则.①，则.【说明】：（，糖水的浓度问题）.【拓展】：.②，，则；2.比较大小：分类讨论1.作差比较法；2.作商比较法（常用于指数式或均为正数的两式）.（1）作差法步骤：作差——变形——判断差的符号.作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小.（2）两种方法的关键是变形.常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的. 1．比较法(1)作差比较法①理论依据：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔a －b ＜0.②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．(2)作商比较法①理论依据：b ＞0，ab ＞1⇒a ＞b ；b ＜0，ab ＞1⇒a ＜b .②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2.平方法、开方法、倒数法等3.用同向不等式求差的范围.c b y xd a cy d bx a d y c b x a -<-<-⇒⎩⎨⎧-<-<-<<⇒⎩⎨⎧<<<<4.倒数关系在不等式中的作用..110;110b a b a ab b a b a ab >⇒⎩⎨⎧<><⇒⎩⎨⎧>>5．不等式的解法：注意“系数化正”附：化归方法在不等式中的具体运用：（1）异向化同向；（2）负数化正数；（3）减式化加式；（4）除式化乘式；（5）多项化少项；（6）高次化低次．注:1.求不等式的解集、定义域及值域时，结果一定要用集合或区间表示，不能用不等式表示． 2.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即ａ＞ｂ＞ｏ，ａ＜ｂ＜ｏ．解不等式应遵守的原则：1.凡是x的系数为负数的因式首先要[ 即标准式]2.分式不等式不能两边同乘上公分母而约去分母，只能移项通分。

完整版)不等式知识点归纳大全

完整版)不等式知识点归纳大全不等式》知识点总结一、解不等式1.解不等式时，最终需要用集合的形式表示解集。

不等式解集的端点值通常是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

2.解分式不等式f(x)。

a（a≠0）的一般思路是移项通分，分子分母分解因式，使x的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回。

3.含有两个绝对值的不等式需要分类讨论、平方转化或换元转化去绝对值。

4.解含参不等式时，常常需要分类等价转化。

按参数讨论时，最后需按参数取值分别说明其解集；按未知数讨论时，最后需要求并集。

二、利用重要不等式求函数的最值1.在利用重要不等式a+b≥2ab以及变式ab≤(a+b)²求函数的最值时，需要注意a、b∈R⁺（或a、b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a+b其中之一应是定值（一正二定三等四同时）。

2.常用的不等式有：a、2(a²+b²+c²)≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）；b、a+b+c≥√(3(ab+bc+ca))（当且仅当a=b=c时，取等号）。

三、含立方的几个重要不等式1.对于正数a、b、c，有a³+b³+c³≥3abc（当且仅当a=b=c 时，取等号）。

2.对于正数a、b、c，有(a+b+c)³≥27abc（当且仅当a=b=c 时，取等号）。

四、最值定理1.积定和最小：当x、y>0，且x+y≥2xy时，若积xy=P （定值），则当x=y时和x+y有最小值2P。

2.和定积最大：当x、y>0，且x+y≥2xy时，若和x+y=S （定值），则当x=y时积xy有最大值S²/4.3.已知a、b、x、y∈R，且ax+by=1，有x/y+y/x的最小值为(a+b+√(a²+b²))/2.4.对于已知x>0、y>0、x+2y+2xy=8的等式，x+2y的最小值为4，最大值为8.注：删除了一些明显有问题的段落，并对每段话进行了小幅度的改写。

不等式知识点总结

不等式知识点总结不等式是数学中一种比较大小关系的表示方法。

在日常生活中，我们经常会遇到各种比较大小的问题，比如比较两个数的大小、判断一个数是否大于等于另一个数等等。

而不等式的研究就是为了解决这类问题。

一、不等式的表示形式不等式可以有多种表示形式，其中比较常见的有以下几种：1.简单不等式：简单不等式是指只有一个不等关系符号的不等式，如x>2、y<-32.复合不等式：复合不等式是指由多个简单不等式组合而成的不等式，如x>2且y<-33.一元二次不等式：一元二次不等式是指由一个二次方程组成的不等式，如x^2-3x>24.绝对值不等式：绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，如，2x-1，>3二、不等式的性质1.加减性质：若a>b，则a±c>b±c。

2. 乘除性质：若a > b，且c > 0，则ac > bc；若a > b，且c < 0，则ac < bc。

3.倒数性质：若a>b，且a、b都大于0，则1/a<1/b。

4.平方性质：若a>b，且a、b都大于等于0，则a^2>b^2这些性质可以方便我们在处理不等式时进行各种变形和推导。

三、不等式的解的表示方法1.解集表示法：对于一元不等式，我们可以将其解集表示为一个区间。

对于简单不等式和复合不等式，解集可以用开区间、闭区间或半开半闭区间表示。

2.解数表示法：对于一元不等式，我们也可以将其解表示为一个数的集合。

比如x>2，解集可以表示为{x，x>2}。

3.图形表示法：有时候，我们可以将不等式的解表示为直线、曲线、区域等图形。

四、不等式的解法不等式的解法可以分为两种基本方法：代数法和图形法。

1.代数法：代数法是指通过代数计算和逻辑推理的方法求解不等式。

代数法通常包括以下几个步骤：a)将不等式根据不等号关系和变量进行整理和变形。

基本不等式知识点

基本不等式知识点1.不等式的性质：不等式具有与等式类似的运算性质，例如可以进行加减乘除运算，并且可以对不等式的两边同时进行相同的运算。

但需要注意的是，当不等式两边同时乘或除以负数时，不等号的方向会发生改变。

2.加法不等式：对于实数a、b和c，若a<b，则a+c<b+c。

即不等式两边同时加上相同的数，不等式的关系保持不变。

3.减法不等式：对于实数a、b和c，若a<b，则a-c<b-c。

即不等式两边同时减去相同的数，不等式的关系保持不变。

4.乘法不等式：对于实数a、b和正数c，若a<b且c>0，则a·c<b·c。

即不等式两边同时乘以正数，不等式的关系保持不变。

需要注意，当c为负数时，不等号的方向会发生改变。

5.除法不等式：对于实数a、b和正数c，若a<b且c>0，则a/c<b/c。

即不等式两边同时除以正数，不等式的关系保持不变。

需要注意，当c为负数时，不等号的方向会发生改变。

6.平方不等式：对于实数a和正实数b，若a>b，则a²>b²。

即不等式两边同时取平方，不等式的关系保持不变。

7.绝对值不等式：对于任意实数a和正实数b，若，a，<b，则-b<a<b。

即如果一个实数的绝对值小于一个正实数，则这个实数的取值范围在-b和b之间。

8.基本不等式的应用：基本不等式可以应用于各类数学问题的解决，例如求解方程组、解决最值问题等。

这些应用需要根据具体问题，结合基本不等式的性质，并运用合适的不等式进行推导。

以上是基本不等式的主要知识点。

通过掌握这些知识点，我们能够更好地理解不等式的性质，并有效地运用于解决实际问题。

在学习和应用过程中，我们可以通过大量的练习，加深对基本不等式的理解和掌握，提高解决问题的能力。

不等式知识点整理

不等式知识点整理一、不等关系：1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a ；0<-⇔<b a b a ；0=-⇔=b a b a .2．不等式的性质：（1）a b b a <⇔> （自反性）（2）c a c b b a >⇒>>, （传递性）（3）c b c a b a +>+⇒> （可加性）（4）bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0, （可乘性）（5）d b c a d c b a +>+⇒>>, （同向加法）（6）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0；（同向乘法）（7）n n n n b a b a n N n b a >>⇒>∈>>,1,,0。

（同向乘方）3．常用的基本不等式和重要的不等式（1）0,0,2≥≥∈a a R a ，当且仅当0a =取“=”.（2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则（当且仅当a b =时取“=”）（3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（当且仅当a b =时取“=”）注：2a b +. （4）222()22a b a b ++≥（当且仅当a b =时取“=”）（5）2222()33a b c a b c ++++≥（当且仅当a b c ==时取“=”）（6）22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当a b c d=时取“=”）（柯西不等式）4、最值定理：设,0,x y x y >+≥由（1）如积xy P =为定值，则当且仅当x y =时x y +有最小值；（2）如和x y S +=为定值，则当且仅当x y =时x y ⋅有最大值2()2S . 即：积定和最小，和定积最大.注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.5．含绝对值的不等式性质： b a b a b a +≤±≤±（注意等号成立的情况）.二、不等式的证明方法1．比较法（1）作差比较法：作差——变形（通分、因式分解等）——判别符号；（2）作商比较法：作商——变形（化为幂的形式等）——与1比大小.（分母要为正的）2．综合法——由因导果（由前面结论）3．分析法——执果索因注：（1）一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法；（2）还可以用放缩法、换元法等综合证明不等式.三、解不等式1．一元一次不等式 )0(≠>a b ax （1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0 ；（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,0. 2．一元二次不等式 )0(,02>>++a c bx ax（1）步骤：一看开口方向（a 的符号），二看判别式 ac b 42-=∆的符号，三看方程的根写解集.（2）重要结论：20ax bx c ++>(0)a ≠解集为R （即02>++c bx ax 对R x ∈恒成立），则0,0a >∆<.（注：若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证0=a ）.3．绝对值不等式（1）零点分段讨论⎩⎨⎧≤-≥=←00a a a a a （2）转化法：)()()()()()(x g x f x g x f x g x f -<>⇒>或 )()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇒<（3）数形结合4．高次不等式、分式不等式——序轴标根法步骤：①形式：()0()P x Q x >或()()0P x Q x >（移项，一边化为0，不要轻易去分母）；②因式分解，化为积的形式（x 系数符号>0——标准式）； ③序轴标根；④写出解集.5．．注意含参数的不等式的解的讨论．．．．．．．．．．．．．．．.四、一个有用的结论关于函数xp x y +=1．0p >时，当0x >时p x +≥；当0x <时p x x+≤-.在0(、[上是减函数；在-∞（、[)+∞上是增函数. 2．0p <时，在()0-∞，、0+∞（，）上为增函数.。

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