鲁科版必修二4.3《向心力的实例分析》WORD教案02

4.3 向心力的实例分析
【学习目标】
1、知道如果一个力或几个力的合力的效果是使物体产生向心加速，它就是圆周运动的物体所受的向心力。

会在具体问题中分析向心力的来源。

2、理解匀速圆周运动的规律。

3、知道向心力和向心加速度的公式也适用于变速圆周运动，会求变速圆周运动中物体在特殊点的向心力和向心加速度。

【学习重点】
1、理解向心力是一种效果力。

2、在具体问题中能找到向心力，并结合牛顿运动定律求解有关问题。

【知识要点】
1)水平面的圆周运动
①汽车转弯
汽车在水平的圆弧路面上的做匀速圆周运动时(如图6-1甲所示)，是什么力作为向心力的呢?如果不考虑汽车翻转的情况，我们可以把汽车视为质点.汽车在竖直方向受到的重力和支持力大小相等、方向相反，是一对平衡力；如果不考虑汽车行驶时受到的阻力，则汽车所受的地面对它的摩擦力就是向心力，如图6-1乙所示.如果考虑汽车行驶时受到的阻力F f ，则静摩擦力沿圆周切线方向的分F t (通常叫做牵引力)与阻力F f 平衡，而静摩擦力指向圆心的分力F n 就是向心力，如下图丙所示，这时静摩擦力指向圆心的分力F n 也就是汽车所受的合力.
②火车转弯
火车转弯时，是什么力作为向心力呢?如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力F 就是使火车转弯的向心力(如下左图所示).
设转弯半径为r ，火车质量为m ，转弯时速率为v ，则，F=m r
v 2
.由于火车质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力要很大，铁轨容易受到损坏.
实际在修筑铁路时，要根据转弯处的半径r 和规定的行驶速度v 0，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G 和支持力F N 的合力来提供，如上右图所示.必须注意，虽然内外轨有一定的高度差，但火车仍在水平面内做圆周运动，因此向心力是沿水平
方向的，而不是沿“斜面”向上.F=Gtg α=mgtg α，故mgtg α=m r
v 20, 通常倾角α不太大，可近似取tg α=h/d ，则hr=d g
v 20.
2)竖直平面内的圆周运动
①汽车过凸桥
我们先来分析汽车过拱桥最高点时对桥的压力.设汽车的
质量为m ，过最高点时的速度为v ，桥面半径为r.汽车在拱桥最高点时的受力情况如上图所示，重力G 和桥对它的支持力F 1的合力就是汽车做圆周运动的向心力，方向竖直向下(指向
圆心)所以G-F 1=m r v 2，则F 1=G-m r
v 2
. 汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力和反作用力
故压力F 1′＝F 1＝G-m r
v 2
. ②水流星
水流星中的水在整个运动过程中均由重力和压力提供向心力，如下图所示，要使水在最
高点不离开杯底，则N ≥0
由 N ＋mg=m R
v 2
.则 V ≥gR 【典型例题】
例1 长度不同的两根细绳，悬于同一点，另一端各系一个质量相同的小球，使它们在同一水平面内作圆锥摆运动，如下图所示，则( )
A.它们的周期相同
B.较长的绳所系小球的周期较大
C.两球的向心力与半径成正比
D.两绳张力与绳长成正比
分析 设小球作圆锥摆运动时，摆长为L ，摆角为θ，小球受到拉力为T 0与重力mg 的作用，由于加速度a 水平向右，拉力T 0与重力mg 的合力ma 的示意图如下图所示，由图可知mgtg θ=ma
因 a=ω2R=22
T 4πLsin θ得T=2πg L /cos θ，
Lcos θ为旋转平面到悬点的高度，容易看出两球周期相同
T 0sin θ=m 224T πLsin θ T 0=22
4T
π L 224T π一定，T 0∝L F 向＝22
4T
π r ，F 向∝r 故正确选项为A 、C 、D 例2 质量为m 的汽车，以速度V 通过半径R 的凸形桥最高点时对桥的压力为 ，当速度V ′＝ 时对桥的压力为零，以速度V 通过半径为R 凹型最低点时对桥的压力为 .
分析 汽车以速率V 作匀速圆周运动通过最高点时，牵引力与摩擦力相平衡，汽车在竖直方向的受力情况如下图所示.
汽车在凸桥的最高点时，加速度方向向下，大小为a=v 2
/R,由F=ma
mg-N 1=mv 2/R
所以，汽车对桥的压力
N 1′=N 1=mg-mv 2/R
当N 1′=N 1=0时，v ′=Rg .
汽车在凹桥的最低点时，竖直方向的受力如下图所示，此时汽车的加速度方向向上，同理可得，N
2′=N 2=mg ＋mv 2/R.
小结 由分析可以看出，圆周运动中的动力学问题只是牛顿第二定律
的应用中的一个特例，与直线运动中动力学的解题思路，分析方法完全相
同，需要注意的是其加速度a=v 2/R 或a=ω2R 方向指向圆心.
例3 在水平转台上放一个质量为M 的木块，静摩擦因数为μ，转台
以角速度ω匀速转动时，细绳一端系住木块M ，另一端通过转台
中心的小孔悬一质量为m的木块，如右图所示，求m与转台能保持相对静止时，M到转台中心的最大距离R1和最小距离R2.
分析 M在水平面内转动时，平台对M的支持力与Mg相平衡，拉力与平台对M的摩擦力的合力提供向心力.
设M到转台中心的距离为R，M以角速度ω转动所需向心力为Mω2R，若Mω2R＝T＝mg，此时平台对M的摩擦力为零.
若R1＞R，Mω2R1＞mg，平台对M的摩擦力方向向左，由牛顿第二定律
f+mg=Mω2R1，当f为最大值μMg时，R1最大.所以，M到转台的最大距离为
R1=(μMg+mg)/Mω2.
若R2＜R，Mω2R2＜mg，平台对M的摩擦力水平向右，由F=ma.
mg-f=Mω2R2
f=μMg时，R2最小，最小值为R2=(mg-μMg)/Mω2.
小结本例实际上属于一个简单的连接体，直线运动中关于连接体的分析方法，在圆周运动中同样适用.
例4 长L=0.5m，质量可忽略的杆，其下端固定于O点，上端连接一个零件A，A的质量为m=2kg，它绕O点做圆周运动，如下图所示，在A通过最高点时，求下列两种情况下杆受的力：
(1)A的速率为1m/s，(2)A的速率为4m/s.
分析杆对A的作用力为竖直方向，设为T，重力mg与T的合力提供
向心力，由F=ma，a=v2/R，得mg+T=mv2/R
T=m(v2/R-g)
(1)当v=1m/s时，T=2(12/0.5-10)N=-16N
(2)当v=4m/s时，T=2(42/0.5-10)N=44N
(1)问中T为负值，表明T与mg的方向相反，杆对A的作用力为支持力.
讨论(1)由上式，当v=Rg时，T＝0，当v＞Rg时，T为正值，对A的作用力为拉力，当v＜Rg时，T为负值，对A的作用力为支持力.
(2)如果把杆换成细绳，由于T≥0，则有v≥Rg.
例5 如下图甲所示，质量为m的物体，沿半径为R的圆形轨道自A点滑下，A点的法线为水平方向，B点的法线为竖直方向，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，物体滑至B点时
的速度为v ，求此时物体所受的摩擦力.
解析：物体由A 滑到B 的过程中，受到重力、
轨道对其弹力及轨道对其摩擦力的作用，物体一般
做变速圆周运动.已知物体滑到B 点时的速度大小
为v ，它在B 点时的受力情况如图6-12乙所示.其
中轨道的弹力F N 、重力G 的合力提供物体做圆周运
动的向心力，方向一定指向圆心.故 甲 乙
F N -G=m R v 2 F N =mg+m R
v 2
， 则滑动摩擦力为
F 1=μF N =μ(mg+m R
v 2
). 【达标训练】
1.若火力按规定速率转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力，则火车以较小速率转弯时
( )
A.仅内轨对车轮有侧压力
B.仅外轨对车轮有侧压力
C.内、外轨对车轮都有侧压力
D.内、外轨对车轮均无侧压力 2.把盛水的水桶拴在长为l 的绳子一端，使这水桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水桶转到最高点时不从桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是( ) A. gl 2 B. 2/gl C. gl D.2gl
E.0
3.A 、B 、C 三个物体放在旋转圆台上，静摩擦系数均为μ，A 的质量为2m ，B 、C 的质量均为m ，A 、B 离轴为R ，C 离轴为2R ，则当圆台旋转时：(设A 、B 、C 都没有滑动，如下图所示)( )
A.C 物的向心加速度最大
B.B 物的静摩擦力最小
C.当圆台转速增加时，C 比A 先滑动
D.当圆台转速增加时，B 比A 先滑动
4.如下图所示：在以角速度ω旋转的光滑的细杆上穿有质量分别为m 和M 的两球，两球用轻细线连接.若M ＞m,则( )
A.当两球离轴距离相等时，两球都不动
B.当两球离轴的距离之比等于质量之比时，两球都不动
C.若转速为ω时两球不动，那么转速为2ω时两球也不会动
D.若两球滑动，一定向同一方向，不会相向滑动
5.如下图所示，一小球套在光滑轻杆上，绕着竖直轴OO′匀速转动，下列关于小球的说法中正确的是( )
A.小球受到重力、弹力和摩擦力
B.小球受到重力、弹力
C.小球受到一个水平指向圆心的向心力
D.小球受到重力、弹力的合力是恒力
6.m为在水平传送带上被传送的物体，A为终端皮带轮.如下图
所示，A轮半径为r，则m可被平抛出去时，A轮的角速度至少
为 .
参考答案
g
1.A
2.C
3.ABC
4.CD
5.B
6.
r。