协整与误差修正模型
协整和误差修正模型
协整和误差修正模型一、协整理论 1. d 阶单整序列对不平稳时间序列{}t Y 进行d 阶差分如下(d =1,2,…n)：1t t t Y Y Y -∆=- 一阶差分21()t t t t Y Y Y Y -∆=∆∆=∆-∆ 二阶差分……1111()d d d d t t t t Y Y Y Y ----∆=∆∆=∆-∆ d 阶差分若{}t Y 进行d 阶差分后成为平稳序列, 则称{}t Y 为d 阶单整序列。
记为{}~()t Y I d2. 协整定义如果时间序列{}{}{}(1)(2)(),,...,r tttY Y Y 都是d 阶单整序列，即，{}~(),1,2,...,jtY I d j r =，且存在12,,...,rβββ使得(1)(2)()12...~()r t t r t Y Y Y I d b βββ+++-其中b>0, 称序列{}{}{}(1)(2)(),,...,r t tt Y Y Y 存在(d,b) 阶协整关系。
3. 协整的意义若序列{}{}{}(1)(2)(),,...,r t tt Y Y Y 存在协整关系，则它们之间存在长期稳定关系，对它们进行回归，可排除伪回归现象。
4. 协整检验EG 两步法( see p.275)二、误差修正模型 ECM 方法：若{}{},t t X Y 都是1阶单整序列，它们存在协整关系，建立自回归模型 012131t t t t t Y X Y X ββββμ--=++++ (1) 整理得：011t ttt Y X e ββγμ-∆=+∆++ (2) 其中t e 为残差序列, 1t e -为误差修正项。
(1) 或(2) 称为ECM模型，用于短期分析。
它们的Eviews命令分别为：LS Y C X Y(-1) X(-1),或：GENR T=Y-Y(-1)GENR H=X-X(-1)GENR e= residLS T C H e(-1)三、实例根据下表，讨论时间序列的平稳性、协整关系以及它们的误差修正模型。
5.3 协整与误差修正模型 计量经济学PPT课件
• 非平稳的时间序列，它们的线性组合也可能成为 平稳的。称变量X与Y是协整的（cointegrated）。
3、协整
• 如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量 =(1,2,…,k)，使得Zt=XT ~ I(d-b)， 其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，则认为序列 {X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)， 为协整向量（cointegrated vector）。
5%的显著性水平下协 整的ADF检验临界值
为－3.521
注意：查什么临 界值表？
结论：中国居民总量消费的对数序 列lnY与总可支配收入的对数序列 lnX之间存在（1,1）阶协整。
注意：
这里采用由协整检 验临界值表算得的 临界值（－3.521 ），没有采用ADF 检验给出的临界值 （－1.953），是 正确的。但是，在 很多应用研究中忽 视了这一点，而直 接采用ADF检验给 出的临界值，则是 错误的，容易产生
• 均衡方程中应该包含均衡系统中的所有时间序 列，而协整方程中可以只包含其中的一部分时 间序列。
• 协整方程的随机扰动项是平稳的，而均衡方程 的随机扰动项必须是白噪声。
• 不能由协整导出均衡，只能用协整检验均衡。
五、误差修正模型 Error Correction Model, ECM
1、一般差分模型的问题
• 对于非稳定时间序列，可通过差分的方法将其 化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析 模型。
Yt 0 1 X t t
Yt 1X t vt vt t t1
计量经济学第五章协整与误差修正模型
根据需要对数据进行变换，如对数变换、差 分变换等，以满足模型对数据的要求。
模型参数估计方法选择
01
最小二乘法（OLS ）
适用于满足经典假设的线性回归 模型，通过最小化残差平方和来 估计模型参数。
02
广义最小二乘法（ GLS）
适用于存在异方差性的模型，通 过加权最小二乘法进行参数估计 ，以消除异方差性的影响。
误差修正模型定义
误差修正模型（Error Correction Model，简称ECM）是一种具有特定形式的计 量经济学模型，用于描述变量之间的长期均衡关系和短期动态调整过程。
该模型通过引入误差修正项，将变量的短期波动和长期均衡关系结合起来，从而 更准确地刻画经济现象。
误差修正项解释
误差修正项（Error Correction Term，简称ECT）是误差修正模型中的核 心部分，表示变量之间的长期均衡误差。
长期均衡
协整关系反映了时间序列之间的长期均衡，即使短期内有所偏离，长期内也会恢复到均 衡状态。
线性组合平稳
协整序列的线性组合可以消除非平稳性，得到平稳序列。
协整检验方法
EG两步法
首先通过OLS回归得到残差序列，然 后对残差序列进行单位根检验（如 ADF检验），判断其是否平稳。
Johansen检验
适用于多变量协整关系的检验，通过 构建似然比统计量来判断协整向量的 个数。
计量经济学第五章协 整与误差修正模型
汇报人：XX
目 录
• 协整理论概述 • 误差修正模型介绍 • 协整与误差修正模型关系 • 协整检验方法及应用举例 • 误差修正模型建立与评估 • 案例研究：金融市场波动性分析
01
协整理论概述
协整定义及性质
协整与误差修正模型
协整与误差修正模型有些时间序列，虽然他们本身非平稳，但是其线形组合确实平稳。
这个线形组合反映了变量之间的长期稳定的比例关系，称为协整关系。
第一节协整的定义与协整检验1、协整的定义如果时间序列nt t t y y y ,,21都是d 阶单整，即)(d I ，存在一个向量),(21n αααα =，使得)(~b d I y -'α，这里),,(21nt t t t y y y y =，0≥≥b d ，则称序列nt t t y y y ,,21是),(b d 阶协整的，记为),(~b d CI y t ，α为协整向量。
本部分只是介绍两个时间序列的协整关系，关于三个以上变量的协整关系将在另外一章予以讨论。
关于两个变量t x 和t y 是否协整，Engle 和Granger 于1987年提出了两步检验法，称为EG 检验。
序列t x 和t y 若都是d 阶单整的，用一个变量对另一个变量进行回归，即有t t t u x y ++=βα用αˆ和βˆ表示回归系数的估计值，则模型残差估计值为 tt t x y u βαˆˆˆ--= 若)0(~ˆI u，则t x 和t y 具有协整关系，且)ˆ(β-I 为协整向量，上式即为协整回归方程。
实例待定误差修正模型误差修正模型是由Davidsom 、Hendry 、Srba 和Yeo 于1978年提出的，称为DHSY 模型。
对)1,1(ADL 模型t t t t t x y x y αββββ++++=--131210移项后整理可得t t t t x y x y αββββββ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∆+=∆-12312101)1( 该方程即为ECM ，其中x y 2311βββ-+-是误差修正项，记为ecm 。
模型解释了因变量t y 的短期波动t y ∆是如何被决定的。
一方面，它受到自变量短期波动t x ∆的影响，另一方面，取决于ecm 。
如果变量t x 和t y 间存在着长期均衡关系，即有x y α=，式中的ecm 可以改写为x y 2311βββ-+= 可见，ecm 反映了变量在短期波动中偏离它们长期均衡关系的程度，称为均衡误差。
14 协整与误差修正模型
四、预测2004年的人均居民消费CONSP 预测2004年的人均居民消费 年的人均居民消费CONSP
预测2004年的人均国内生产总值 年的人均国内生产总值GDPP （一）预测 年的人均国内生产总值 1. 建立 建立LOGGDPP的ARMA模型 的 模型 2. 运用 运用ARMA模型预测 模型预测GDPP 模型预测 （二） 预测2004年的人均居民消费 预测 年的人均居民消费CONSP 年的人均居民消费 1. 运用误差修正模型（eq_log_ecm）； 运用误差修正模型（ ）； 2. 比较：直接对 比较：直接对consp和gdpp进行 进行OLS回归再预测； 回归再预测； 和 进行 回归再预测 • 根据预测值与实际值的相差程度，比较2种模型预测的效 根据预测值与实际值的相差程度，比较 种模型预测的效 从统计资料中得知， 果（从统计资料中得知，2004年人均居民消费实际值为 年人均居民消费实际值为 2155.1元）。 元
CONSP: Level-None Level-
武汉大学经济学系数量经济学教研室《2010实验教改项目组》编制
CONSP: 1st difference-Trend and Intercept difference-
武汉大学经济学系数量经济学教研室《2010实验教改项目组》编制
CONSP: 1st difference-Intercept difference-
武汉大学经济学系数量经济学教研室《2010实验教改项目组》编制
二、协整检验：Engle-Granger检验 协整检验：Engle-Granger检验
• 第二步：对该式残差序列进行 第二步：对该式残差序列进行ADF检验 检验 • genr e1=resid
第6章协整和误差修正模型
第6章协整和误差修正模型本章介绍含有非平稳变量结构方程或V AR的估计。
在一维模型中，我们已经看到，可以通过差分去掉一个随机趋势，得到的平稳序列，再用Box-Jenkins方法来估计模型。
在多维情况下，并不这样直接处理。
通常，整变量的线性组合是平稳的，这些变量称为协整的。
许多经济模型都有这种关系。
本章主要内容：1．介绍协整的基本概念，及在经济模型中的应用。
非平稳变量之间的均衡关系意味着它们的随机趋势是相联系的。
均衡关系意味着这些变量不能相互独立运动。
随机趋势之间的这种联系保证了这些变量是协整的。
2．考虑了协整变量的动态路径，由于协整变量的趋势是相互联系的，这些变量的动态路径反映了偏离均衡的偏差的联系。
详细分析了变量的变化与偏离均衡的偏差之间的联系。
3．讨论了协整检验的几种方法。
6.1整变量的线性组合考虑一个简单的货币需求模型：1）居民持有实际货币余额，使名义货币需求与价格水平成比例；2）当实际收入及交易次数的增加，居民希望持有更多的货币余额；3）利率是持有货币的机会成本，货币需求与利率负相关。
因而，方程设定形式（采用对数形式）如下：0123t t t t t m p y r e ββββ=++++ （6.1.1） 这里： t m =货币需求， t p =价格水平 t y =实际收入 t r =利率t e =平稳扰动项i β=待估计的参数在货币市场是均衡的条件下，可以得到货币供给、价格水平、实际收入和短期利率的时间序列数据，且要求1231,0,0βββ=><。
当然，在研究中需要检验这些限制。
货币需求的任何偏差{}t e 必须是暂时的。
如果{}t e 有随机趋势，偏离货币市场均衡的偏差不能消失。
所以，这里的关键假设是{}t e 是平稳的。
许多研究者认为，实际GDP 、货币供给、价格水平、利率都是I(1)变量。
每个变量都没有返回到长期水平的趋势。
但（6.1.1）说明：对这些非平稳变量，存在线性组合是平稳的。
第二讲 协整理论与误差修正模型
其残差序列是平稳序列，以它为误差修正项，可建立如下误差修正模型 表7 ECM模型回归结果
中变量的符号与长期均衡关系的符号一致，误差修正系数为负，符合反
向修正机制。回归结果表明，城镇居民人均可支配收入的短期变动对人
均消费支出存在正向影响，本期可支配收入每增加1%，本期人均消费将 增加0.884%；上期可支配收入每增加1%，本期人均消费将增加0.241%；
2．协整理论的重要意义
(1)避免伪回归。 (2) 估计量的“超一致性”。如果一组非平稳时间序列之间存在 协整关系，可以直接建立回归模型，而且，其参数的最小二乘估计量 具有超一致性，即以更快的速度收敛于参数的真实值。 (3) 区分变量之间的长期均衡关系和短期动态关系。 格兰杰和恩
格尔已证明，如果变量之间存在长期均衡关系，则均衡误差将显著影
当N>1时，意味着有N-1个协整参数需要估计。如果某些协整参数已事先 知道，那么计算临界值时，应相应减少N的值。作为一个极端情形，当全 部协整参数都已知时，应在附表8中N=1一栏中查找参数，计算临界值。 当N=1时，所涉及的变量只有一个。所以协整检验退化成为单整检验。 这时实际是做 ADF 检验。由此可见麦金农（ Mackinnon ）协整检验临界值 表实际上是协整检验和单整检验结合在一起，即把ADF 检验和 AEG 检验结 合在一起。所以N = 1对应的是ADF检验。N 2时，对应的是AEG 检验， 即协整检验。
(1)两变量的Engle-Granger检验
表2
双变量协整检验AEG临界值
例2
检验中国城镇居民人均消费性支出与人均可支配收入
（见表3.3与图3.1）时间序列的协整关系。
表3
中国城镇居民人均收入、人均消费（单位：元）
协整分析与误差修正模型
协整分析与误差修正模型1.协整分析协整分析用于找到两个或多个非平稳时间序列之间的长期关系。
当两个变量之间存在协整关系时，它们的线性组合将是平稳的。
协整关系可以解释为变量之间长期的平衡关系，即存在一种平衡机制使得变量保持在一个相对稳定的范围内。
协整分析的步骤如下：1）对非平稳时间序列进行单位根检验，例如ADF检验。
2）如果两个或多个时间序列都是非平稳的，那么可以进行线性组合，得到一个平稳的时间序列，通过单位根检验确定这个线性组合是否是平稳的。
3）如果线性组合是平稳的，那么就可以认为存在协整关系。
协整分析的优点是可以探索多个非平稳时间序列之间的关系，并且提供了具体的数值关系，能够描述长期平衡关系。
但是，协整分析不能提供因果关系，只能提供关联关系。
2.误差修正模型(ECM)误差修正模型是一种用于描述非平稳变量之间长期关系的模型。
它是在协整分析的基础上发展而来的。
误差修正模型的基本思想是，如果两个变量之间存在协整关系，那么它们之间的误差会随着时间的推移逐渐修正，回归到长期平衡关系。
因此，误差修正模型可以用来分析变量之间的动态行为。
基本的误差修正模型可以表示为：△Y_t=α+βX_t-1+γE_t-1+ε_t其中，△表示时间差分，Y_t和X_t分别表示被解释变量和解释变量，E_t表示长期误差修正项，ε_t表示短期误差项。
α、β和γ分别表示模型的截距和参数。
误差修正模型的步骤如下：1）进行协整分析，确定变量之间的协整关系。
2）构建误差修正模型，通过估计模型参数来描述长期关系。
3）进行模型检验，包括参数显著性检验、拟合优度检验等。
4）根据模型结果进行解释和预测。
误差修正模型的优点是能够同时分析长期和短期关系，提供了关于变量之间回归到长期平衡的速度信息。
同时，误差修正模型还可以用于预测和政策分析等方面。
但是，误差修正模型的局限性在于假设模型中的所有变量都是线性关系，不能很好地处理非线性关系。
综上所述，协整分析和误差修正模型是非平稳时间序列分析中常用的方法，它们能够揭示非平稳变量之间的长期关系，并对其动态行为进行建模和分析。
第4讲 协整与误差修正模型
现在的问题是：何原因造成的残差序列自相关？ 首先，模型没问题，因散点图呈线性关系。 其次，遗漏重要解释变量了吗？需要考虑政策变量吗？ 再次，是滞后性吗？需要考虑前期收入对即期消费的影响吗？ 有人做过研究：如用年度数据，发现前期收入比当期收入对消费的 影响都大。 最后，看时序图：
不难看出：x和y有明显共同趋势，需检验是否存在协整关系。 下面我们用EG两步法： 第一步：构建协整回归（见前） 第二步：对e做单位根检验 定义：genr e=y-yf，对e做单位根检验：
第4 讲
一、协整关系
协整与误差修正模型(ECM)
协整模型常用在经济学领域分析相关变量的长期均衡关系，也常 被用来分析金融中的套利等。自从20世纪90年代以来，国际著名杂志 发表了大量的相关文章。 协整分析是基于非平稳序列基础之上，而利用非平稳序列进行回 归，经常出现伪回归。而另一种情况却是更有应用价值的协整关系。
对二者取自然对数后进行单位根检验，发现在10%的水平下都不能拒 绝变量含有单位根。
如果暂时忽略非平稳性，直接设立以下回归方程，即 cont=c+βinct+et
回归后得：cont=−0.167+1.008inct
R2=0.998，且各系数也具有统计显著性。 试问：是不是伪回归呢？
为此，考察：et=cont − c − βinct
1 3 y x 是误差修正项，即（1） 可见（3）即为ECM模型，其中 (1 2 ) 中ecm 。
如果 xt 和 yt 间存在长期均衡关系，即 y ax ，则上述（3）式中 的ecm 正好可以改写成： 1 3
y
(1 2 )
x
可见，短期波动 yt 的影响因素有二：
第二步：做回归 （1）建立回归方程
协整和误差修正模型
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§4 误差修正模型
误差修正模型（Error Correction Model）简称为ECM， 常常作为协整回归模型的补充模型出现。（但协整理论诞生 于误差修正模型之后）。
协整模型度量序列之间的长期均衡关系，而误差修正模 型（ECM）则解释序列之间的短期波动关系 。
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4
•
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§2 协整的概念
一、协整（Co-intergration）
多数经济或金融时间序列都是非平稳的，例如消费
C和国民收入Y都是单位根过程。为了研究二者之间的关
系，一种方法是对它们进行差分，得到平稳变量，然后
对差分后的变量△C 和△Y进行回归。但这种方法的缺
陷是只揭示了收入增长和消费增长之间的关系，而不是
可以使用的检验方程有：
k
et et1 ieti t i1
（1）
k
et et1a ieti t
（2）
i1
k
2021/5/27et et1at ietit （3）
11
i1
注意：
（1）检验残差序列的平稳性时，检验方程中的常数项 和趋势项也可以加在原协整回归方程中。
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（3）多变量之间的协整关系可能不止一个，对于多 个协整关系检验，需要使用基于向量自回归（VAR）模 型的Johansen检验方法。
ut aX tbY t ~I(0)
其中，
a, b
t
1 b ut
I(0).
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二、恩格尔-格兰杰两步估计法
假设被检验的所有时间是单整阶数为1的序列，这种 假设不失一般性，因为当时间序列的单整阶数不为1时可 以通过差分变为阶数相同的I(1)时间序列。
计量经济学第五章 协整与误差修正模型
yt 0 1xt t
y与x相互独立（没有关系），但回归模型可以通过t检验与 F检验。 此时，随机误差项序列不是一个白噪声过程。
第一节 变量的协整关系与协整检验
很多经济或金融时间序列非平稳，可以通过若干次差分方 将其转化为平稳序列。
用转化后的变量建立模型，往往经济意义不明确、或者经 济意义改变。
第五章 协整与误差修正模型
本章主要教学内容： 第一节 变量的协整关系与协整检验 第二节 误差修正模型
第一节 变量的协整关系与协整检验
关注两个变量（时间序列）间的关系，若两个序列均为 平稳序列，则可采用格兰杰因果检验。
对非平稳序列不能采用格兰杰因果检验，通常的回归分析 方法可能产生虚假回归。
虚假回归：
则 yt xt t
虽然xt、yt是非平稳序列，但它们的一个线性关系却是平
稳的，即它们之间存在长期稳定的关系，因此可以用回归分析 的方法建立模型。
这种模型称为协整回归模型。协整理论的提出，从根本上 解决了虚假回归的问题。
4. 协整关系的例子
例1 持久收入理论 如果持久消费与持久收入成比例关系，暂时消费
时间序列单整性的性质：
Yt是均值为0的0阶单整过程，则Yt
方差是有限的； Yt的新信息对Yt的影响是暂时的。 当k足够大时，自相关系数ρk是稳定递减的。
时间序列单整性的性质：
Yt是初始值为0的1阶单整过程，则Yt
T趋向无穷大时， Yt方差是无穷大的； Yt的新信息对Yt的影响是永久性的。
阶数相同的其他解释变量与x形成协整关系。
yt 0 1x1t 2 x2t t
yt ~ I (1), x1t ~ I (2), x2t ~ I (2)
1x1t 2 x2t ~ I (1)
协整与误差修正模型
1、误差修正模型
前文已经提到，对于非稳定时间序列，可通过差分的方 法将其化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析模型。 如：建立人均消费水平（Y）与人均可支配收入（X） 之间的回归模型：
Yt 0 1 X t t
如果Y与X 具有共同的 向上或向下 的变化趋势 X,Y 成为 平稳 序列
t t t
称为协整回归(cointegrating)或静态回归(static regression)。
e et Y 第二步，检验t 的单整性。如果 为稳定序列，则认为变量t , X t Y 为(1,1)阶协整； et 为 1 阶单整， 如果 则认为变量 t , X t 为(2,1)阶协整； „。
• MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检 验的临界值，表9.3.1是双变量情形下不同样本 容量的临界值。
表 9.3.1 样本容量 25 50 100 ∝ 双变量协整 ADF 检验临界值 显 著 性 水 平 0.01 -4.37 -4.12 -4.01 -3.90 0.05 -3.59 -3.46 -3.39 -3.33 0.10 -3.22 -3.13 -3.09 -3.05
•
例9.3.1 检验中国居民人均消费水平CPC与人均国内生 产总值GDPPC的协整关系。
在前文已知CPC与GDPPC都是I(2)序列，而§2.10中已 给出了它们的回归式
CPCt 49.764106 0.45831 GDPPC t
R2=0.9981
通过对该式计算的残差序列作ADF检验，得适当检验 模型
Yt 1X t vt
式中，vt=t-t-1。
实际情况往往并非如此
如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其 均衡值，则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化Yt 大一些； 反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小 于第一种情形下的Yt 。 可见，如果Yt=0+1Xt+t 正确地提示了X与Y间的长 期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从 本质上说是“临时性”的。 因此，一个重要的假设就是:随机扰动项t 必须是平 稳序列。 显然，如果t有随机性趋势（上升或下降），则会导 致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被 消除。
第三章(3-5节)协整与误差修正模型
第三节协整理论——时间序列模型的协整关系一、问题来源来源：伪回归（虚假回归）现象MC（蒙特卡罗）的模拟结果发现：利用2个相互独立的非平稳序列、或者2个都包含时间趋势但彼此无关的序列，可能建立显著的回归模型；称这种现象为“伪回归”现象，所建立的模型是伪回归模型。
伪回归现象意味着传统统计检验方法失去意义，需要重新讨论对非平稳序列能否直接建立回归模型的问题。
二、平稳性（一）平稳时间序列定义：μ=)(t y E)(),(s r y y COV s t t =- （序列的相关性只与间隔有关，与时刻无关） 推论：)0()(r y D t = = 常数图形特征：（1）在均值周围波动，频繁穿越均值；（2）波动幅度大致相同；-2-112240260340360DJ PY图1 日元兑美元差分序列 图2上证综指收益率平稳时间序列的含义：任何外来冲击（或振动）对序列变动轨迹的影响是短暂的，t时刻的振动影响在t+1期会减弱，t+2期会更弱，随着时间推移这种影响会逐渐消失，序列将恢复到其平均水平（称外来冲击影响具有“短记忆”特征）。
但是，对于非平稳时间序列，振动的影响会无限地持续下去，t时刻的振动影响不会在以后的时期中衰减，所以序列也难以恢复到一个稳定状态，外来冲击影响有长记忆性。
（二）常见平稳序列1．白噪声过程（white noise ）0)(=t y E 2)(σ=t y D 0),(=-s t t y y COV记成： y t ~ i.i.d (0, σ2)古典回归模型中的随机误差项即为白噪声序列。
2．自回归过程（Auto regression —AR 过程）1t t t y y ρε-=+ ||1ρ<,εt ~ i.i.d (0, σ2)（三）常见非平稳序列1．趋势平稳过程（trend stationary）（又称为：退势平稳过程，确定趋势过程）。
y t =α + βt + εt , εt~i.i.d(0, σ2)性质：（1）E (y t )=α + βt ， D (y t ) = σ2 , COV(y t ，y t-s ) = 0（2）图形：围绕趋势线等幅波动，外来冲击影响短暂；（3）可以扩展成带趋势的AR 过程：1t t t y t y αβρε-=+++ ||1ρ<特点：由于存在长期趋势使得均值不是常数，所以是非平稳序列；但是序列始终围绕着趋势线波动，外来冲击是短记忆的，所以又具备平稳序列的特征。
第八章 协整与误差校正模型
协整的概念 问题：估计出来的货币需求函数是否揭示了货币需求的
长期均衡关系？
（1）如果上述货币需求函数是适当的，那么货币需求 对长期均衡关系的偏离将是暂时的，扰动项序列是平稳 序列，估计出来的货币需求函数就揭示了货币需求的长 期均衡关系。 （2）如果扰动项序列有随机趋势而呈现非平稳现象， 那么模型中的误差会逐步积聚，使得货币需求对长期均 衡关系的偏离在长时期内不会消失。 上述货币需求模型是否具有实际价值，关键在于扰 动项序列是否平稳。
0.4
-0.5
0.0
0.5
1.0
图8.1 两个I（1）非相关序列线性相关系数分布
伪回归
Phillips（1986）对“伪回归”的理论解释
x v t t 1 t 模型： x
y y u t t 1 t
t
2 0 1 vt ~ iid , ut 0 0
ˆ 确定发散，且须除以 T 说明： 估计量
P 有确定分布的随机变量，即 ˆT
1 2
可得到一个具
伪回归
（ 2）
模型残差平方和满足：
L 2 ˆ ˆ ˆ T u T ( y x ) H t t T T t 1 2 2 2
2
其中， H [ W ( r )] dr W ( r ) dr W ( r ) W ( r ) dr h 1 1 1 2
依照经典理论，一国或一地区的货币需求量主要取决 于规模变量和机会成本变量，即实际收入、价格水平 以及利率。以对数形式的计量经济模型将货币需求函 数描述出来，形式为：
l n M l n P l n Y ru t 0 1 t 2 t 3 t t
协整和误差修正模型
在式(5.4.3)两端减去 yt-1，在右边加减 2xt-1 得到 ：
yt 0 (1 1) yt1 2xt (2 3 )xt1 ut
(5.4.7)
利用 2 + 3 = k1 (1 - 1)， 0 = k0 (1 - 1)，式
(5.4.7)又可改写成
yt (1 1)( yt1 k0 k1xt1) 2xt ut
(5.4.8)
令 = 1-1，则式(5.4.8) 可写成
yt ( yt1 k0 k1xt1) 2xt ut
(5.4.9) 上式称为误差修正模型 (error correction model，
简记ECM)。当长期平衡关系是 y* = k0 + k1x* 时，误 差修正项是如 (yt - k0- k1xt) 的形式，它反映了 yt 关于 xt 在第 t 时点的短期偏离。一般地，由于式(5.4.3)中
| 1|<1 ，所以误差项的系数 = ( 1-1) < 0，通常称
为调整系数，表示在 t-1 期 yt-1 关于 k0 + k1xt-1 之间
利用ADF的协整检验方法来判断残差序列是否平稳， 如果残差序列是平稳的，则回归方程的设定是合理的， 说明回归方程的因变量和解释变量之间存在稳定的均衡 关系。反之，说明回归方程的因变量和解释变量之间不 存在稳定均衡的关系，即便参数估计的结果很理想，这 样的一个回归也是没有意义的，模型本身的设定出现了 问题，这样的回归是一个伪回归。
y1t 2 y2t 3 y3t k ykt ut
模型估计的残差为Biblioteka uˆt y1t ˆ2 y2t ˆ3 y3t ˆk ykt
（2）检验残差序列ût是否平稳，也就是判断序列 ût是否含有单位根。通常用ADF检验来判断残差序列 ût是否是平稳的。
时间序列的协整和误差修正模型
时间序列的协整和误差修正模型时间序列分析中，协整和误差修正模型是两个重要的概念。
协整是指两个或多个时间序列之间的长期关系，而误差修正模型是一种用来修正时间序列中的误差的模型。
协整是经济学家提出的一个概念，用来解决时间序列数据存在的非平稳性的问题。
在实际应用中，有很多时间序列数据是非平稳的，即其均值和方差不随时间变化而保持不变。
然而，这些非平稳的时间序列之间可能存在长期的关系，也就是说它们会随着时间变化而趋于稳定。
这种关系可以通过协整分析来检验和建模。
协整模型的一种常见形式是误差修正模型（Error Correction Model，ECM）。
误差修正模型是建立在协整模型的基础上的，它可以用来描述时间序列数据之间的长期关系，并且考虑了这些时间序列数据之间的短期变动。
在误差修正模型中，如果两个时间序列之间存在协整关系，那么它们之间的生成误差（随机扰动）会导致它们之间的偏离程度逐渐回归到长期均衡的水平。
因此，误差修正模型是通过引入误差修正项来解决协整关系中存在的短期波动的问题。
误差修正模型的基本思想是，当两个时间序列之间存在协整关系时，如果它们之间的误差超过一定的阈值，那么它们之间的误差就会被修正回长期均衡的水平。
这种修正过程可以通过引入一个误差修正项来实现，从而使得模型具备误差修正的能力。
总之，协整和误差修正模型是对时间序列数据进行建模和分析的重要工具。
协整可以用来检验和描述时间序列之间的长期关系，而误差修正模型则是在协整的基础上引入修正项，用来处理时间序列之间的短期波动。
这些方法在经济学和金融学等领域中具有广泛的应用价值。
协整和误差修正模型是时间序列分析中非常重要的概念。
协整是指两个或多个非平稳时间序列之间存在的长期关系，而误差修正模型则是通过引入误差修正项来描述时间序列的短期波动。
在实际应用中，许多经济和金融时间序列是非平稳的，即它们的均值和方差会随时间变化而发生变动。
这种非平稳性可能会导致误导性的统计结果，因为传统的统计方法要求时间序列数据是平稳的。
协整分析与误差修正模型
• MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检 验的临界值，表6.1.1是双变量情形下不同样本
容量的临界值。
样本容量 25 50 100 ∝
表 6.1.1 双变量协整ADF 检验临界值
显著性水平
Байду номын сангаас
0.01
0.05
同样地，检验残差项是否平稳的DF与ADF检验临界值 要比通常的DF与ADF检验临界值小，而且该临界值还受 到所检验的变量个数的影响。
表6.1.2给出了MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不 同变量协整检验的临界值。
样本 容量 25 50 100 ∝
表 6.1.2 多变量协整检验 ADF 临界值
第六章 协整与误差修正模型
一、长期均衡关系与协整 二、协整检验 三、误差修正模型
一、长期均衡关系与协整
问题的提出
• 经典回归模型（classical regression model）是建立在稳定 数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典回归 模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。
• 由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方 法带来了很大限制。
(**)
• 然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系： Zt 0 1Wt v1t X t 0 1Yt v2t
则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它 们的任意线性组合也是稳定的。例如
vt v1t v2t Zt 0 0 1Wt X t 1Yt
一定是I(0)序列。
例如：前面提到的中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶 单整，并且将会看到，它们是(2,2)阶协整，说明它们之间 存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意 义上讲，建立如下居民人均消费函数模型
协整与误差修正模型
协整与误差修正模型第六讲协整与误差修正模型一、非平稳过程与单位根检验二、长期均衡关系与协整三、误差修正模型一、非平稳过程与单位根检验1、非平稳过程1）随机游走过程（random walk）。
y t = y t-1 + u t, u t~ IID(0, σ2)10y=y(-1)+u5-5-10204060140160差分平稳过程（difference- stationary process）。
2）有漂移项的非平稳过程（non-stationary process with drift ）或随机趋势非平稳过程（stochastic trend process ）。
y t = μ + y t -1 + u t , u t ~ IID(0, σ2)迭代变换：y t = μ + (μ + y t -2 + u t -1) + u t = … = y 0 + μ t +∑-t i i u 1= μ t +∑-ti i u 120406080100-80-60-40-2020差分平稳过程3）趋势平稳过程（trend-stationary process）或退势平稳过程。
y t = μ+ α t + u t, u t~ IID(0, σ2)2520151055101520253035404550趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程：?y t = α + u t - u t-1。
所以应该用退势的方法获得平稳过程。
y t - α t = μ+ u t。
4）确定性趋势非平稳过程（non-stationary process with deterministic trend）y t = μ+ α t + y t-1+ u t, u t~ IID(0, σ2) 1801601401201008060400450500550600650700750800确定性趋势非平稳过程的差分过程是退势平稳过程，?yt = μ + α t + ut。
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(***)
一定是I(0)序列。 由于vt象（**）式中的t一样，也是Z、X、Y、W 四个变量的线性组合，由此（***）式也成为该四变量的 另一稳定线性组合。 （1, -0,-1,-2,-3）是对应于（**）式的协整 向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是对应于（***）式的协 整向量。
从协整的定义可以看出:
（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义 在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但 是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长 期稳定的比例关系。 例如：前面提到的中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶 单整，并且将会看到，它们是(2,2)阶协整，说明它们之间 存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意 义上讲，建立如下居民人均消费函数模型
检验程序：
对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同， 即需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否存在稳定的线 性组合。 在检验是否存在稳定的线性组合时，需通过设置一个变 量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行OLS估计并检 验残差序列是否平稳。 如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的OLS估 计及相应的残差项检验。 当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不能得 到平稳的残差项序列，则认为这些变量间不存在（d,d）阶 协整。
t t t
称为协整回归(cointegrating)或静态回归(static regression)。
e et Y 第二步，检验t 的单整性。如果 为稳定序列，则认为变量t , X t Y 为(1,1)阶协整； et 为 1 阶单整， 如果 则认为变量 t , X t 为(2,1)阶协整； „。
§9.3 协整与误差修正模型
一、长期均衡关系与协整 二、协整检验 三、误差修正模型
一、长期均衡关系与协整
0、问题的提出
• 经典回归模型（classical regression model）是建立在稳定 数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典回归 模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。 • 由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方 法带来了很大限制。 • 但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是 协整的（cointegration)，则是可以使用经典回归模型方法 建立回归模型的。 • 例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中： 因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能， 其原因在于，从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均 消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系，即它们之 间是协整的（cointegration）。
t Z t 0 1Wt 2 X t 3Yt
(**)
• 然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系：
X t 0 1Yt v2t
Zt 0 1Wt v1t
则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它 们的任意线性组合也是稳定的。例如
⒉协整
如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量 =(1,2,…,k)，使得 Zt= XT ~ I(d-b) 其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，则认为序列{X1t,X2t,…,Xkt} 是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)，为协整向量（cointegrated vector）。 在中国居民人均消费与人均GDP的例中，该两序列都是2 阶单整序列，而且可以证明它们有一个线性组合构成的新序列 为0阶单整序列，于是认为该两序列是(2,2)阶协整。 由此可见:如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整 阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不 可能协整。
2、多变量协整关系的检验—扩展的E-G检验
多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在 于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。 假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期 均衡关系：
Z t 0 1Wt 2 X t 3Yt t
(*)
其中，非均衡误差项t应是I(0)序列：
1、长期均衡
经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期 均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏 均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离 其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以 使其重新回到均衡状态。 假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述
Yt 0 1 X t t
同样地，检验残差项是否平稳的DF与ADF检验临界值 要比通常的DF与ADF检验临界值小，而且该临界值还受 到所检验的变量个数的影响。
表9.3.2给出了MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不 同变量协整检验的临界值。
表 9.3.2 样本 容量 25 50 100 ∝ 多变量协整检验 ADF 临界值 变量数=4 显著性水平 0.01 0.05 0.1 -5.43 -4.56 -4.15 -5.02 -4.32 -3.98 -4.83 -4.21 -3.89 -4.65 -4.1 -3.81 变量数=6 显著性水平 0.01 0.05 0.1 -6.36 -5.41 -4.96 -5.78 -5.05 -4.69 -5.51 -4.88 -4.56 -5.24 -4.7 -4.42 变量数=3 显著性水平 0.01 0.05 0.1 -4.92 -4.1 -3.71 -4.59 -3.92 -3.58 -4.44 -3.83 -3.51 -4.30 -3.74 -3.45
et 的单整性的检验方法仍然是DF检验或者ADF检验。
由于协整回归中已含有截距项，则检验模型中无需 再用截距项。如使用模型1
et et 1 i et i t
i 1 p
进行检验时，拒绝零假设H0：=0，意味着误差项et是 平稳序列，从而说明X与Y间是协整的。 需要注意是，这里的DF或ADF检验是针对协整回 归计算出的误差项 et 而非真正的非均衡误差t进行的。 而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量 是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际 情形大。 于是对et平稳性检验的DF与ADF临界值应该比正常 的DF与ADF临界值还要小。
Yt 1X t vt
式中，vt=t-t-1。
实际情况往往并非如此
如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其 均衡值，则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化Yt 大一些； 反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小 于第一种情形下的Yt 。 可见，如果Yt=0+1Xt+t 正确地提示了X与Y间的长 期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从 本质上说是“临时性”的。 因此，一个重要的假设就是:随机扰动项t 必须是平 稳序列。 显然，如果t有随机性趋势（上升或下降），则会导 致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被 消除。
• MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检 验的临界值，表9.3.1是双变量情形下不同样本 容量的临界值。
表 9.3.1 样本容量 25 50 100 ∝ 双变量协整 ADF 检验临界值 显 著 性 水 平 0.01 -4.37 -4.12 -4.01 -3.90 0.05 -3.59 -3.46 -3.39 -3.33 0.10 -3.22 -3.13 -3.09 -3.05
1、误差修正模型
前文已经提到，对于非稳定时间序列，可通过差分的方 法将其化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析模型。 如：建立人均消费水平（Y）与人均可支配收入（X） 之间的回归模型：
Yt 0 1 X t t
如果Y与X 具有共同的 向上或向下 的变化趋势 X,Y 成为 平稳 序列
CPCt 0 1GDPPC t t
变量选择是合理的，随机误差项一定是“白噪声”（即均 值为0，方差不变的稳定随机序列），模型参数有合理的经 济解释。
这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的，但却可以用 经典的回归分析方法建立回归模型的原因。
• 从这里，我们已经初步认识到：检验变 量之间的协整关系，在建立计量经济学模 型中是非常重要的。 而且，从变量之间是否具有协整关系 出发选择模型的变量，其数据基础是牢固 的，其统计性质是优良的。
三个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可 能经过线性组合构成低阶单整变量。
例如，如果存在：
Wt ~ I (1),Vt ~ I (2),Ut ~ I (2)
并且
Pt aVt bUt ~ I (1) Qt cWt eP ~ I (0) t
那么认为：
Vt ,U t ~ CI (2,1) Wt , P ~ CI (1,1) t
ˆ ˆ ˆ ˆ et 1.55et 1 1.49et 1 2.27et 3
（-4.47） (3.93) (3.05) LM(1)=0.00 LM(2)=0.00
t=-4.47<-3.75=ADF0.05，拒绝存在单位根的假设，残差项 是稳定的，因此中国居民人均消费水平与人均GDP是(2,2) 阶协整的，说明了该两变量间存在长期稳定的“均衡”关 系。
•
例9.3.1 检验中国居民人均消费水平CPC与人均国内生 产总值GDPPC的协整关系。
在前文已知CPC与GDPPC都是I(2)序列，而§2.10中已 给出了它们的回归式
CPCt 49.764106 0.45831 GDPPC t
R2=0.9981
通过对该式计算的残差序列作ADF检验，得适当检验 模型
二、协整检验
1、两变量的Engle-Granger检验
为了检验两变量Yt,Xt 是否为协整，Engle和Granger于 1987年提出两步检验法，也称为EG检验。 第一步，用OLS方法估计方程 Yt=0+1Xt+t 并计算非均衡误差，得到：