曲线的凸性和拐点
微积分 第四章 第五节 曲线的凸性、拐点与渐近线
曲线 在 [0,) 为下凸的；
点(0,0)是曲线的拐点.
y
y x3
Ox
7
例2 求曲线 y 3x4 4 x3 1的凹凸区间及拐点.
解 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36 x( x 2).
3
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
， ex(1) y e x (1 )e y
取 ，即得 ． 1
ex ey
x y
e 2
2
2
11
故 (0, 0) 不是拐点.
所以曲线无拐点.
y
y 3 x2
o
x
10
利用函数曲线弧的凹凸性可以证 明一些不等式
*例 4
试证明 ex
ey
x y
e 2
，其中 x
y．
2
证 令 y ex ，显然 y ex 0 ，所以 y 在 ex (,) 上是凹的，
据定义有，对于任意 x y 及 (0,1) ，有
第五节 曲线的凸性与拐点
一、曲线的凸性与拐点
问题:如何研究曲线的弯曲方向? y
o
x
1
曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向.
设 f ( x) 是定义在区间 I 上的函数， P1 , P2 是曲线 C：
y f ( x) ( x I ) 上的任意两点, 线段 P1P2 称为曲线 C 的
弦，C 上介于 P1 , P2 之间的曲线段 P1P2 称为 C 的弧.
y f (x)
o x1 x1 x2 x2
2
xo
x1 x1 x2 x2
曲线的凹凸性与拐点【一元分析学经典讲义】
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例1 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 . 解 ∵ y′ = 3 x 2 , y′′ = 6x ,
当x < 0时， y′′ < 0,
∴ 曲线 在(−∞ ,0]为上凸的； −∞ 为上凸的；
当x > 0时， y′′ > 0, ∴曲线 在[0,+∞ )为凸的；
注意到, 注意到 点( 0,0 )是曲线由凹变凸的分界 点.
则 f ′′( x ) = [ f ′( x )]′在x0两边变号 ,
∴ f ′( x )在x0取得极值 ,由可导函数取得极值的 条件,
∴ f ′′( x0 ) = 0.
方法1: 方法1:设函数 f ( x )在x0的邻域内二阶可导 , 且f ′′( x0 ) = 0,
(1) x0两近旁 f ′′( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点; ( 2) x0两近旁 f ′′( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
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图形上任意弧段位 于所张弦的上方
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I , 定义 设f ( x)在区间 上有定义 若∀x1 , x2 ∈ I和∀λ ∈(0,1) 恒有 f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf ( x1 ) + (1 − λ) f ( x2 ), 那末称 f ( x)为I上的下凸函数 简称凸函数 ; ，
( 理2 定 2 如 f (x)在 x0 − δ , x0 + δ )内 在 阶 理 果 存 二 导
( x0 , f ( x0 ))是拐点的必要条件是f "( x0 ) = 0. 数则 , 点
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y y
o
凹
x
o
x
弦在曲线上方
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1 )
凸
f ( x)
y
f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x2 )
x1 x 2 x x 2 2
o
x1 x1 x 2 2
x2 x
o
x1
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
一、曲线凹凸的定义
对 I 上任意两点x1 , x2， 定义1：若函数 f ( x)在区间 I上连续，
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) （1）如果恒有 f ( 2 ) 2 那么称 f ( x)在 I 上的图形是凸的。
_
（2）如果恒有 那么称
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
f ( x )的极值点. 拐点：
凹
f ( x) 0
凸
f ( x) 0
f ( x )
f ( x )
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
四、计算凹凸区间与拐点的步骤
1）求函数的定义域； 2）求 f ( x)； 3）求出 f ( x) 0的点，和 f ( x) 不存在的点；
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点在数学中，曲线的凹凸性以及拐点对于研究曲线的性质和变化具有重要的意义。
凹凸性可以帮助我们理解曲线的弯曲程度以及变化趋势，而拐点则是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该处发生方向的变化。
本文将介绍曲线的凹凸性与拐点的概念，以及它们在数学和其他实际应用中的重要性。
一、凹凸性的定义与判断凹凸性是描述曲线在某一区间上的弯曲程度的性质。
我们有以下两个定义来判断曲线的凹凸性：1. 凹曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线上方，则称该曲线为凹曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凹曲线。
2. 凸曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线下方，则称该曲线为凸曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凸曲线。
凹凸性的判断可以通过曲线的二阶导数来进行。
如果曲线的二阶导数大于0，则曲线为凹曲线；如果二阶导数小于0，则曲线为凸曲线。
而当二阶导数恰好为0时，需要考虑其他方法。
二、拐点的定义与判断拐点是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该点处方向发生改变。
我们有以下定义来判断曲线是否存在拐点：1. 拐点：如果曲线在某一点处既没有切线也没有二阶切线（即曲线在该点处没有明确的方向），则称该点为拐点。
判断曲线是否存在拐点可以通过曲线的三阶导数来进行。
如果曲线的三阶导数存在不连续的点，则该点即为拐点。
值得注意的是，如果曲线的三阶导数的符号在该点的左右两侧不同，也可以判断该点为拐点。
三、凹凸性与拐点的应用与意义凹凸性和拐点不仅仅在数学领域中有重要性，还被广泛应用于其他学科和实际问题中，如物理学、经济学等。
在物理学中，凹凸性可以帮助解释某一物体的形状和弯曲程度，例如在光学中，曲率半径越小的曲面会导致光线的弯曲程度越大。
因此，通过研究光线在曲面上的传播可以利用凹凸性来分析光的折射和反射现象。
在经济学中，凹凸性可以用来描述供需曲线的变化趋势。
曲线的凹凸性与拐点
曲线上的
七、作业
知识回顾 Knowledge Review
若函数上连续在内具有一二阶导数则1若果在内有2若果在内有拐点三拐点拐点
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
yoxFra bibliotekox
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
凹
弦在曲线上方
o
x
凸
弦在曲线下方
那么称 f (x)在 I上的图形是凹的。
二、曲线凹凸的判定
观察：
y
y
o
x
凹：切线的的斜率递增 f (x) 递增，即 f (x) 0
o
x
凸：切线的的斜率递减 f (x) 递减，即 f (x) 0
二、曲线凹凸的判定
定理：若函数f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一、 二阶导数，则
（1）若果在(a, b)内有 f (x) 0， 那么 f (x)在[a,b]内图像是凸的.
（2）若果在(a, b)内有 f (x) 0， 那么 f (x)在[a,b]内图像是凹的.
三、拐点
拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。 拐点
凸凹
凸
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
4）判断二阶导数在上述点左右两侧的符号，确定曲 线的凹凸区间和拐点。
五、应用举例
例判断函数 f (x) 2x3 3x2 36x 25的凹凸区间与拐点.
六、小结
1.凹凸的定义：曲线与弦的位置关系 点和弦上点的位置关系 2.凹凸的判定：二阶导数的符号；
《高等数学》曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点上一节我们利用导数研究了函数的单调性和极值。
函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升和下降，但曲线在上升或下降的过程中还有一个弯曲方向的问题。
例如，图143--中有两条曲线弧，虽然它们都是上升的，但图形却有显著不同，ACB 是向上凸的曲线弧，而ADB 是向上凹的曲线弧，它们的凹凸性不同，接下来我们就来研究曲线的凹凸性及其拐点。
一、曲线凹凸性的定义从几何上看，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结着两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方（图)(243a --），而有的曲线弧，则正好相反（图)(243b --）。
曲线的这种性 图143-- 质就是曲线的凹凸性 。
因此曲线的凹凸性可以用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述，下面给出曲线凹凸性的定义。
)(a )(b图243--定义1 设)(x f 在区间I 连续，若对于I 上任意两点1x 和2x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；若恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。
一般情况下，在函数的整个定义域内，其曲线的凹凸性并不一致。
通常把连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。
二、曲线凹凸性的判定曲线的凹凸性有明显的几何特征。
当x 逐渐增加时，对于凹曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐增加的（如图)(343a --），即导函数)(x f '是单调增加函数；而对于凸曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐减少的（如图)(343b --），即导函数)(x f '是单调减少函数。
与此几何特征相对应，有下述判断曲线凹凸性的定理。
)(a )(b图343--定理1 设函数)(x f 在I 内具有一阶和二阶导数，若在I 内 （1）0)(>''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凹的； （2）0)(<''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凸的。
曲线的凹凸性与拐点
o
x
凸：切线的的斜率递减 f (x) 递减，即 f (x) 0
二、曲线凹凸的判定
定理：若函数f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一、 二阶导数，则 （1）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
那么 f (x)在[a,b]内图像是凸的. （2）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
凹
弦在曲线上方
o
x
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1)
f (x) f (x2 )
那么 f (x)在[a,b]内图像是凹的.
三、拐点
拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。 拐点
凸凹
凸
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
三、拐点
拐点
凸
f (x) 0
凹
f (x) 0
凸
f (x) 0
f (x)
f (x)
f (x)
拐点：f (x)的极值点.
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
凸
y
f (x)
f ( x1)
f (x2 )
o x1 x1 x2 2
x2 x
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
2
2
o x1
x1 x2
曲线的凹凸性及曲率
第十八页
例3. 描绘
解: 1) 定义域为
的图形.
无对称性及周期性.
2) y x2 2x , y 2x 2,
令 y 0,
令 y 0,
1 1 2 3
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y
0
0
y
0
y
2
4 3
x 1 3 (极大)
2a
即抛物线的顶点处曲率最大
第二十六页
4、2 曲率圆与曲率半径
设 P 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
D
P 处作曲线的切线和法线, 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使
C
R P1
P
T
DP R 1
o
x
K
R lim s
s0
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 P 处的
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.
(3) 若 ( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y f ( x) 的拐点， 且 f ( x) 在 x0 连续，则 f ( x0 ) 0 ，
第七页
求拐点的一般步骤：
①求函数的二阶导数 f (x) ；
②令 f (x) 0，解出全部根，并求出所 有二阶导数不存在的点；
③对步骤②求出的每一个点，检查其左、 右邻近的 f (x) 的符号，如果异号则该点为曲 线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．
的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一 点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸
的．
y
y f (x) B
y f (x)
y
函数的凸性与拐点解读
§ 5 函数的凸性与拐点一． 凸性的定义及判定：1． 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义1 设函数)(x f 在区间I 上连续. 若对∈∀21,x x I 和)1,0(∈λ恒有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+则称曲线 )(x f y = 在区间I 的凸函数, 反之, 如果总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+则称曲线 )(x f y = 在区间I 的凹函数.若在上式中, 当21x x ≠时, 有严格不等号成立, 则称曲线)(x f y =在区间],[b a 上是严格凸(或严格凹)的.引理 )(x f y =为区间I 上的凸函数的充要条件是:对I 上任意三点: 321x x x << , 总有23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- 定理6.13 设函数)(x f 在区间I 上可导, 则下面条件等价:(i) 为I 上凸函数(ii) 为I 上的增函数(iii) 对I 上的任意两点21,x x 有))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥2． 利用二阶导数判断曲线的凸向:Th 6.14 设函数)(x f 在区间),(b a 内存在二阶导数, 则在),(b a 内⑴ )( ,0)(x f x f ⇒<'' 在 ),(b a 内严格上凸;⑵ )( ,0)(x f x f ⇒>'' 在 ),(b a 内严格下凸.证法一 ( 用Taylor 公式 ) 对),,(,21b a x x ∈∀ 设2210x x x +=, 把)(x f 在点0x 展开成具Lagrange 型余项的Taylor 公式, 有,)(2)())(()()(201101001x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ 202202002)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ. 其中 1ξ 和 2ξ在 1x 与 2x 之间. 注意到 )(0201x x x x --=-, 就有 []20222011021))(())((21)(2)()(x x f x x f x f x f x f -''+-''+=+ξξ, 于是, 若有⇒<'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f <+⇒< ,即 )(x f 严格上凸.若有⇒>'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f >+⇒> ,即)(x f 严格下凸.证法二 ( 利用Lagrange 中值定理. ) 若,0)(>''x f 则有)(x f '↗↗.不妨设 21x x <, 并设 2210x x x +=, 分别在区间],[01x x 和],[20x x 上应用Lagrange 中值定理, 有))(()()( ),,(10110011x x f x f x f x x -'=-∍∈∃ξξ,))(()()( ),,(02202202x x f x f x f x x -'=-∍∈∃ξξ.有),()( ,2122011ξξξξf f x x x '<'⇒<<<< 又由 00210>-=-x x x x ，⇒))((101x x f -'ξ<))((022x x f -'ξ, ⇒)()()()(0210x f x f x f x f -<-， 即 ⎪⎭⎫⎝⎛+=>+22)(2)()(21021x x f x f x f x f ， )(x f 严格下凸. 可类证0)(<''x f 的情况.3． 凸区间的分离: )(x f ''的正、负值区间分别对应函数)(x f 的下凸和上凸区间.二. 曲线的拐点: 拐点的定义.例1 确定函数2)(x xe x f -=的上凸、下凸区间和拐点.解 f 的定义域为), , (∞+∞-),21()(22x e x f x -='- 2)32(2)(2x e x x x f --=''. 令0)(=''x f , 解得 23 , 0 , 23321==-=x x x . 在区间) , 23 ( , ) 23 , 0 ( , ) 0 , 23 ( , ) 23 , (∞+--∞-内f '' 的符号依次为 +-+- , , , ， ⇒. 拐点为: .23 , 23 , ) 0 , 0 ( , 23 , 232323⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---e e倘若注意到本题中的)(x f 是奇函数, 可使解答更为简捷.Jensen 不等式及其应用:Jensen 不等式: 设函数)(x f 为区间],[b a 上的凸函数, 则对任意 ],[b a x i ∈, 1,,1,01==>∑=ni i i i λλ , 有Jensen 不等式:)()(11i n i ni i i i x f x f ∑∑==≤λλ,且等号当且仅当n x x x === 21时成立.证 令∑==nk k x n x 101, 把)(k x f 表为点0x 处具二阶Lagrange 型余项的Taylor 公式，仿前述定理的证明，注意∑==-n k k x x10,0)( 即得所证.例2 证明: 对,,R ∈∀y x 有不等式 )(212y x yx e e e +≤+. 例3 证明均值不等式: 对+∈∀R n a a a ,,,21 , 有均值不等式n a a a n11121+++ n a a a a a a n n n +++≤≤ 2121 . 证 先证不等式na a a a a a n n n +++≤ 2121 . 取x x f ln )(=. )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸, 由Jensen 不等式, 有∑∑∑∑∏=====⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤==n k n k k n k k k n k k n n k k x n x n f x f n x n x 111111ln 1)(1ln 1ln . 由)(x f ↗↗ ⇒ na a a a a a n n n +++≤ 2121 . 对+∈R na a a 1,,1,121 用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端. 例4 证明: 对R ∈∀n x x x ,,,21 , 有不等式 nx x x n x x x n n 2222121 +++≤+++ . ( 平方根平均值 ) 例5 设6=++z y x ，证明 12222≥++z y x .解 取2)(x x f =, 应用Jensen 不等式.例6 在⊿ABC 中, 求证 233sin sin sin ≤++C B A . 解 考虑函数x x x f x x x f sin . 0 , 0 sin .0 ,sin )(⇒<<-=''≤≤=ππ在 区间) , 0 (π内凹, 由Jensen 不等式, 有233sin 33)()()(3sinC sinB sinA ==⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤++=++∴πC B A f C f B f A f . 233sinC sinB sinA ≤++⇒. 例7 已知1 ,,,=++∈+c b a c b a R . 求证 6737373333≤+++++c b a .解 考虑函数3)(x x f =, )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸. 由Jensen 不等式, 有 ≤+++++=+++++3)73()73()73(3737373333c f b f a f c b a 28)8()7(37373733===+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++≤f c b a f c b a f . ⇒ 6737373333≤+++++c b a .例8 已知 .2 , 0 , 033≤+>>βαβα 求证 2≤+βα.( 解 函数3)(x x f =在) , 0 (∞+内严格下凸. 由Jensen 不等式, 有=+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2)()(228)(33βαβαβαβαf f f ⇒=≤+ ,122233βα 2 , 8)(3≤+⇒≤+βαβα.)。
曲线的凹凸与拐点概述课件
对于凹函数，其图像在任何一点处切线的斜率都大于0；对于凸函数，其图像在任何一点 处切线的斜率都小于0。
应用
在经济学、生物学、工程学等领域中，凹函数和凸函数都有广泛的应用。例如，在经济学 中，凹函数可以描述成本、收益等经济变量的变化规律；在生物学中，凸函数可以描述种 群数量、资源分配等生物变量的变化规律。
凸
对于给定曲线y = f(x)，如果在区间(a,b)内，对于任意 x1<x2<x3，都有f(x2) > f(x1) + (x2 - x1) * (x3 - x2) / (x3 x1)，则称f(x)在区间(a,b)内是凸函数。
拐点的定义
• 拐点：对于给定曲线y = f(x)，如果存在点x0，使得f'(x0) = 0，且在x0的左侧和右侧，f'(x)的符号相反，则称x0为拐点。
二次函数
在极值点处有拐点，因为极值点 处函数的单调性发生改变。
三角函数
在正弦函数和余弦函数的周期性 变化过程中，每一个周期内都有
两个拐点。
拐点的应用
经济预测
利用拐点预测经济周期的转换点。
科学计算
在求解函数的极值点和最值点时，拐点是一个重 要的参考指标。
工程设计
在机械工程中，拐点被用来确定机构的临界状态 和设计参数。
04 曲线凹凸与拐点的实际意义
CHAPTER
经济中的应用
股价走势分析
通过分析股票价格的拐点，可以 判断股票价格的未来趋势，为投 资者提供参考。
经济学模型
拐点在经济学模型中可以用于描 述经济变量的转折点或变化趋势 的转折点。
自然科学中的应用
生态学
拐点可以描述生态系统中的转折点， 如气候变化对生物多样性的影响等。
微积分4.4曲线的凹凸性、拐点与渐近线
在各个部分区间内讨论二阶导数的符号, 确定曲线是否存在 拐点, 若在拐点, 求出拐点.
例2 判断曲线 y(x1)3 x5 的凸性, 并求其拐点. 解 定 义 域 为 (- ,)
15
而 y 8x5 3 5x2 3, y 10 4 x 1
x -
x
其 中 a 和 b 为 常 数 ,且 a 0 ,则称直线 y = ax + b为曲线
y =ƒ(x) 的斜渐近线. (如图)
y
αM˘•
•
Q
y=ƒ(x)
•
L:y=ax+b
o »α
x
22
分析: 如果曲线 y =ƒ(x)有斜渐近线 y = ax + b, 则由定义知,
必有
lim[f(x)ax]b 或lim [f(x)ax]b
f (x0) 0 或 f ( x0 )不存在.
但是, 若f (x0) 0或 f ( x0 )不存在时, 曲线 y f (x)
上的点 (x0, f (x0))不一定是拐点, 还必须用下面的定理判断.
13
定理4.4.3 (拐点存在的充分条件) 设函数 y = ƒ(x)在 x0 的某邻域内二阶可导 (f(x0)可 以 不 存 在 ),且f(x0)0 或 f(x0)不 存 在 ,
从而, 当 f ( x ) 存在时, 则可用二阶导数的符号来判别
曲线的凹凸性.
6
定理4.4.1 设函数 y = ƒ(x)在 I 内有二阶导数, 则
(1 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凹 的 ；
(2 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凸 的 .
数学分析第四节曲线的凹凸性与拐点
0
(0, )
－ 凸
0 拐点
+ 凹
不存在 非拐点
+ 凹
曲线在(,1 / 5) 为凸的. 在 (1 / 5,) 内为凹的.
拐点为点(1 / 5, f (1 / 5)) (1 / 5,1.2 25 ).
1 3
凹曲线在切线的上侧随着x的增大切线斜率随之增大即凸曲线在切线的下侧随着x的增大切线斜率随之增大即定理曲线凹凸性的判定法设函数yf若在ab内则曲线弧yf若在ab内则曲线弧yf定理结论可由函数进行验证
第四节 曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸性与拐点的定义
二、曲线凹凸性的判别
返回
第四节 曲线的凹凸性与拐点
2
故 y x arctan x 在 (, ) 内为凹的.
例 判定曲线弧 y x 的凹凸性.
3
解 所给曲线在 (, ) 内为连续曲线弧.由于
2 y ( x ) 3x , y (3x ) 6 x. 3 y 0 y x 当x<0时， ,可知 为凸的.
y 0 , y x 为凹的. 当x>0时， 2 5 1 3 2 3 y x , y x . y在x 0处不存在. 3 9 y 0 ,曲线 y 3 x 为凹的. 当x<0时，
3
o x
y 0 ,曲线 y 3 x 为凸的. 当x>0时，
2 定理结论可由函数 y ax 进行验证. y ,曲线为凸的.
例 判定曲线弧 y x arctan x 的凹凸性. 解 所给曲线在 (, ) 内为连续曲线弧.由于 x y arctan x , 2 1 x
1 (1 x ) x 2 x 2 y 0, 2 2 2 2 2 1 x (1 x ) (1 x )
曲线的凸凹性与拐点课件
凸函数的性 质
凸函数的性质
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x_1, x_2 \in I$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。
凸函数的性质还包括
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x \in I$， 都有$f(\frac{x + x}{2}) \leq f(x)$。
定义
对于函数$f(x)$，如果$f''(x_{0})=0$ 且$f'(x_{0})\neq 0$，那么点 $(x_{0},f(x_{0}))$称为函数$f(x)$的拐 点。
拐点的求法
求解方法一
直接求解法。通过观察函数的导数形式，确定导数在某一点为零，然后进一步求 解二阶导数在该点的值，判断其是否为零。
VS
极值的意义
极值反映了函数在某一点附近的变化情况， 是局部的、暂时的最大值或最小值。
极值的求法
01
02
03
04
判断函数的单调性
根据导数与函数单调性的关系， 判断函数在某区间内的单调性，
寻找极值点。
求导数
根据函数表达式求出导数，并 找到导数为零的点。
判断导数的符号
判断导数在零点附近的符号变 化，以确定极值的存在性。
凹函数的几何特征
曲线开口向下，即函数图像是向内凹的。
凹函数的性 质
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $f(x_{1}) \leq f(x_{2})$。
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $\frac{f(x_{1})}{x_{1}} \leq \frac{f(x_{2})}{x_{2}}$。
掌握曲线的凹凸性和拐点的判定方法
掌握曲线的凹凸性和拐点的判定方法
在数学和物理学中，我们经常需要分析曲线的性质，如凹凸性
和拐点。
掌握这些判定方法可以帮助我们更好地理解曲线的行为和
特征。
本文将介绍一些常用的方法来判断曲线的凹凸性和拐点。
凹凸性的判定方法
一阶导数的方法
曲线的凹凸性与一阶导数的正负相关。
若曲线上任意一点处的
一阶导数大于零，则曲线在该点上是凸的；若一阶导数小于零，则
曲线在该点上是凹的。
二阶导数的方法
曲线的凹凸性也可以通过二阶导数来判断。
求曲线的二阶导数，然后观察二阶导数的正负性。
若二阶导数恒大于零，则曲线是凸的；若二阶导数恒小于零，则曲线是凹的。
切线的方法
通过画出曲线上某一点的切线，观察切线与曲线相交的情况可以判断凹凸性。
如果曲线上的切线位于曲线下方，那么曲线在该点是凹的；如果切线位于曲线上方，曲线在该点是凸的。
拐点的判定方法
拐点是曲线上的特殊点，曲线在该点上发生凹凸性的变化。
下面介绍一些常用的方法来判断拐点。
二阶导数的方法
寻找曲线上的拐点可以通过观察二阶导数的零点来判断。
如果二阶导数在某一点处为零并且两侧符号不同，那么该点就是曲线的拐点。
曲率的方法
曲线上某一点的曲率表示了曲线在该点上的弯曲程度。
拐点处的曲率会发生突变。
因此，通过计算曲线在不同点处的曲率，并观察曲率的变化情况，可以确定曲线上的拐点。
总结
通过使用一阶导数、二阶导数和曲率等方法，我们可以判断曲线的凹凸性和拐点。
这些方法在数学和物理学的分析中是常用的，能够帮助我们更全面地了解曲线的特性。
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.一、 曲线的凹凸性 从图3-12（a ），（b ）可以观察到.定义1 如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而增大，即()f x '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而减少，即()f x '单调减少.而函数()f x '的单调性又可用它的导数，即()f x 的二阶导数()f x ''的符号来判定，故曲线()y f x =的凹凸性与()f x ''的符号有关.定理1 设函数()f x 在区间(,)a b 上具有二阶导数.（1）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''>0，那么曲线在(,)a b 上是凹的； （2）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''<0，那么曲线在(,)a b 上是凸的. 例1 判定曲线ln y x =的凹凸性. 解 函数的定义域为(0,)+∞，而 211,y y x x'''==- 因此曲线ln y x =在(0,)+∞内是凸的. 例2 讨论曲线3y x =的凹凸区间.解 函数的定义域为(,)-∞+∞， 23,6y x y x '''==显然，当0x >时，0y ''<；当0x <时，0y ''>.因此(,0)-∞为曲线的凸区间，(0,)+∞为曲线的凹区间.二、 曲线的拐点在例2 中，点(0,0)为凸的曲线弧与凹的曲线弧的连接点，对这种点有如下定义. 定义2 在连续曲线上，凹凸曲线弧的分界点，称为曲线的拐点. 下面来讨论曲线()y f x =拐点的求法.由于拐点是曲线凹凸弧的连接点，如果()f x ''存在且连续，则在拐点的左右近旁()f x ''必然异号，因此曲线拐点的横坐标0x ，是可能使()f x ''=0的点，从而可知求拐点的步骤为：（1） 求()f x ''；（2） 令()f x ''=0，解出方程()f x ''=0在某区间内的实根0x ；（3） 对每一个实根0x ，考察()f x ''在0x 的左右近旁的符号，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相反，则点00(,())x f x 是拐点，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相同，则点00(,())x f x 不是拐点.例3求曲线453151x x y -=的凹凸区间与拐点. 解 函数的定义域为(,)-∞+∞ 3434x x y -='，)1(444223-=-=''x x x x y 令 0y ''=，得 1,0==x x .由于0=x 的左右近旁y ''不改变符号，（0，0）不是拐点.当1<x 时，0<''y ；当 1>x 时，0>''y . 所以曲线在)1,(-∞内是凸的，在+∞,1(）内是凹的；（)152,1-为拐点. 注意：使()f x ''不存在而()f x 连续的点，也可能成为曲线的拐点. 例4 求曲线53y x =的拐点.解 定义域为(,)-∞+∞， 2353y x '=，1310,(0)9y x x -''=≠ 因为令0y ''=时，方程 131009x -=无解.而当0x <时，0y ''<；当0x >时，0y ''>， 即曲线在区间(,0)-∞内是凸的，在区间(0,)+∞内是凹的，又曲线在点0x =处是连续的，所以点（0，0）是曲线的拐点.三、 函数绘图 1、渐近线定义3 如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定 直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.例如直线 0,0x y x ya b a b -=+=为双曲线12222=-by a x 的渐近线.但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种情况的渐近线予以讨论.（1）水平渐近线如果当自变量x →∞时，函数()f x 以常量C 为极限，即lim ()x f x C →∞=，则称直线y C =为曲线()y f x =的水平渐近线.（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）如果当自变量0x x →时，函数()f x 为无穷大量，即0lim ()x x f x →=∞，则称直线0x x =为曲线()y f x =的铅直渐近线.说明：对x →∞时，有时也可能仅当x →+∞或x →-∞；对0x x →，有时也可能仅当0x x +→或0x x -→.例5 求下列曲线的水平或垂直渐近线.（1）3223x y x x =+- （2）22x y -=.解 （1）因为323lim 23x x x x →-=∞+-， 321lim 23x x x x →=∞+- 所以直线 3,1x x =-=是两条铅直渐近线.（2） 因为220x x -=，所以直线0y =为其水平渐近线.2、函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤为：（1） 确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性； （2） 确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点； （3） 考察渐近线；（4） 作一些辅助点；（5） 由上面的讨论，画出函数的图形例6 作函数32()31fx xx =-+的图形.解 （1）函数定义域为(,)-∞+∞；（2）2()36f x x x '=-， 令()0f x '= 得 120,2x x ==；f ''”表示上升且为凸的，”表示上升且为凹的.（3（4）取辅助点（1,3)--、（3，1）；（6） 画图（如图3-13）例7作函数1)2(12---=x x y 的图形.解 定义域为),2()2,(+∞⋃-∞ 342)2()2()2)(1(2)2(--=-----='x xx x x x y 令0='y ，得0=x ； 4623)2()1(2)2()2(3)2(-+=-----=''x x x x x x y ， 令0=''y ，得1-=x ；列表：渐近线：因为∞=---+→]1)2(1[lim 22x x x ，所以2=x 是铅直渐近线；又因为1]1)2(1[lim 2-=---∞→x x x ，所以1-=y 是水平渐近线. 作辅助点：（)1,1-、)0,255(-、)45,0(-. 作图：（如图3-14）习题1、判定下列曲线的凹凸性： （1）)0(2≠++=a cbx ax y ； （2）x x y arctan =.2、求下列曲线的拐点及凹凸区间：（1）53523-+-=x x x y ； （2）321--=x y .3、求下列曲线的水平或垂直渐近线：（1）1232-+-=x x x y ； （2）x e y 1=；（3）)1ln(xey +=； （4）11+-=x e y x . 4、作函数的图形：（1）1612823++-=x x x y ； （2）2x e y -=； （3）3443x x y -=； （4）xxe y -=.。
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【导语】
前面我们研究了函数的单调性．但同样是上升(或下降)的曲
线弧却有不同的弯曲状况，如图，弧 ACB 向上弯曲， 弧 ADB 却
向下弯曲．本节主要研究曲线的弯曲状况，即曲线的凸性．
【正文】
§4.7 曲线的凸性和拐点(1)
在一些曲线弧上，如果任取两点，则连接这两点间的弦总位于这两点间的弧段上方（如图(1)）
，而有的曲线弧，则正好相反（如图(2)）．曲线的这种性质就是曲线的凸性．
定义2 设函数()f x 在(,)a b 上有定义．如果对任意的12,(,)x x a b ∈，及任意的01α≤≤，都有
1212((1))()(1)()f x x f x f x αααα+−+−≤
成立，则称函数)(x f 在区间),(b a 内下凸，(,)a b 称为函数()f x 的下凸区间；
如果对任意的12,(,)x x a b ∈，及任意的01α≤≤，都有
1212((1))()(1)()f x x f x f x αααα+−+−≥
成立，则称)(x f 在区间),(b a 内上凸，(,)a b 称为函数()f x 的上凸区间．
Remark1 若函数)(x f 在区间),(b a 内下凸，则曲线)(x f y =也称为区间),(b a 内的下凸曲线．
Remark2 可以证明：若函数()f x 在区间(,)a b 上是下凸函数，则()f x 在区间(,)a b 上连续． Remark3 可以证明：函数)(x f 在区间),(b a 内下凸的充分必要条件是：对任意的12,,,(,)n x x x a b ∈ ，及任意n (2)n ≥个非负数12,,,n ααα ，121n ααα+++= ，都有
11221122()()()()n n n n f x x x f x f x f x αααααα++++++ ≤
成立．
例1 用定义证明函数2()f x x =是下凸函数．
证 设,αβ非负，且1αβ+=，则
21212()()f x x x x αβαβ+=+
221122()2()x x x x ααββ=++
22221122()()()x x x x ααββ+++≤
2212
()()x x ααββαβ=+++ 221212()().x x f x f x αβαβ=+=+
所以2()f x x =是下凸函数．
如果函数)(x f 在区间),(b a 内具有二阶导数，
那么可以利用二阶导数的符号来判定函数的凸性．
定理10 设函数)(x f 在区间),(b a 内具有二阶导数．
（1）若当),(b a x ∈时，0)(>′′x f ，则函数)(x f 在区间),(b a 内下凸；
（2）若当),(b a x ∈时，0)(<′′x f ，则函数)(x f 在区间),(b a 内上凸．
定义3 设))(,(00x f x M 为曲线)(x f y =上一点．若曲线在点M 的两侧有不同的凸性，则点M 称为曲线)(x f y =的拐点．
注 极值点和驻点是指x 轴上的点，而拐点是指曲线上的点．
定理11（拐点的必要条件） 若函数)(x f 在0x 的某个邻域0(,)U x δ内具有二阶导数，
且))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点，则0)(0=′′x f ．
0)(0=′′x f 仅仅是拐点的必要条件．例如，对于函数4x y =，由于2120y x ′′=≥，因此曲线4x y =在),(∞+−∞内是下凸的，这时虽然0)0(=′′y ，但)0,0(并不是该曲线的拐点．
定理12 设函数)(x f 在0x 的某个邻域内具有二阶导数，且0)(0=′′x f ．如果)(x f ′′在0x 的左、右两侧异号，那么))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点；如果)(x f ′′在0x 的左、右两侧同号，那么))(,(00x f x 不是曲线)(x f y =的拐点．
对于)(x f ′′不存在的点0x ，))(,(00x f x 也可能是曲线)(x f y =的拐点．
判别曲线的凸性与拐点的一般步骤如下：
① 确定函数的定义域； ② 求)(x f ′′，并找出定义域内0)(=′′x f 与)(x f ′′不存在的点，这些分界点将定义域分成若干区间；
③ 列表，由)(x f ′′在分界点两侧的符号判别曲线的凸性与拐点．
【本讲总结与下讲预告】。