分块矩阵的应用论文
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(3)将A的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵K再加到另一行的对应子矩阵上去
(riK rj表示将第j行左乘K再加到第i行).
将上述定义中的“行”换成“列”，“左乘”换成“右乘”，即得分块矩阵的初等
列变换的定义，分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换•
2
2.1用分块矩阵解决行列式的问题
利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一，但通常所用的
分块矩阵的应用
引言
矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线 性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可 以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等， 矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用， 则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的 计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来 使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生
1
1.1分块矩阵的定义
矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素（数）一 样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.
定义1设A是一个m n矩阵，若用若干横线条将它分成r块，再用若干纵线条将它
A11...
分成s块，于是有rs块的分块矩阵，即A ....
Ar1.
1.2分块矩阵的相关运算性质
1.2.1加法
AAijr s，BBijr s，
其中Aij，Bij的级数相同，
A BAijBijr s
1.2.2 数乘
kA
1.2.3 乘法
1.2.4 转置
AAjis r
1.2.5分块矩阵的初等变换
分块矩阵A的下列三种变换称为初等行变换:
(1)对调A的两行(用斤rj表示对调i、j两行);
(2)用一个可逆阵K左乘A的某一行的所有子矩阵(用K rБайду номын сангаас表示用K左乘第i行);
换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵,
Ab
其中A0,并且AC CA，则可求得AD BC;分块矩阵也可以在求解线性
C D
方程组应用•
本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方 面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利
矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的•就如矩阵的元素（数）一 样,特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处 因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，- 般来说,不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩 阵时常用的方法•比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可 以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变
定理2.2 ([3])若n阶方阵P可分为P其中A为r阶方阵,B为
C D
r n r矩阵，C为n r r矩阵，D为n r阶方阵，则有
(1)当A为可逆矩时|p| |a||d ca1b；
(2)当D为可逆矩阵时IPID A BD1C .
(3) 在进行行列式的求值运算时，若能找到符合本定理条件要求的矩阵分块方法，就
《高等代数》教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格，多数为形式较特 殊的行列式•下面给出了一个应用围较为广泛的行列式的分块矩阵求值方法•
引理2.1 ([3])若A为k阶方阵，B为r阶方阵，C为r k矩阵,则有
A0
A B
C B
在上述引理中，要求子块当中有一个为零矩阵，更一般的有如下的结论.
A B
(riK rj表示将第j行左乘K再加到第i行).
将上述定义中的“行”换成“列”，“左乘”换成“右乘”，即得分块矩阵的初等
列变换的定义，分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换•
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2.1用分块矩阵解决行列式的问题
利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一，但通常所用的
分块矩阵的应用
引言
矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线 性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可 以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等， 矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用， 则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的 计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来 使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生
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1.1分块矩阵的定义
矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素（数）一 样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.
定义1设A是一个m n矩阵，若用若干横线条将它分成r块，再用若干纵线条将它
A11...
分成s块，于是有rs块的分块矩阵，即A ....
Ar1.
1.2分块矩阵的相关运算性质
1.2.1加法
AAijr s，BBijr s，
其中Aij，Bij的级数相同，
A BAijBijr s
1.2.2 数乘
kA
1.2.3 乘法
1.2.4 转置
AAjis r
1.2.5分块矩阵的初等变换
分块矩阵A的下列三种变换称为初等行变换:
(1)对调A的两行(用斤rj表示对调i、j两行);
(2)用一个可逆阵K左乘A的某一行的所有子矩阵(用K rБайду номын сангаас表示用K左乘第i行);
换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵,
Ab
其中A0,并且AC CA，则可求得AD BC;分块矩阵也可以在求解线性
C D
方程组应用•
本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方 面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利
矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的•就如矩阵的元素（数）一 样,特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处 因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，- 般来说,不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩 阵时常用的方法•比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可 以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变
定理2.2 ([3])若n阶方阵P可分为P其中A为r阶方阵,B为
C D
r n r矩阵，C为n r r矩阵，D为n r阶方阵，则有
(1)当A为可逆矩时|p| |a||d ca1b；
(2)当D为可逆矩阵时IPID A BD1C .
(3) 在进行行列式的求值运算时，若能找到符合本定理条件要求的矩阵分块方法，就
《高等代数》教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格，多数为形式较特 殊的行列式•下面给出了一个应用围较为广泛的行列式的分块矩阵求值方法•
引理2.1 ([3])若A为k阶方阵，B为r阶方阵，C为r k矩阵,则有
A0
A B
C B
在上述引理中，要求子块当中有一个为零矩阵，更一般的有如下的结论.
A B