二次函数与一元二次方程公开课 ppt课件
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二次函数与一元二次方程(第1课时)PPT课件
(1) h和t的关系式是什么？
解 :1 .h 5 t24t.0
(2) 小球经过多少秒后落地?你 有几种求解方法?与同伴进行交
流. ①图象法
②解方程 -5t2+40t=0
议一议 二次函数与一元二次方程
画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(1)2.个,1个,0个程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(2) 一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验 证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x
轴下方的条件是（ D ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
小结 拓展 我思考，我进步
一个关系：二次函数图象与一元二次
我 方程根的关系:
们
函数
方程
的 收
y=ax2+bx+c(a≠0)
9
想一想 二次函数与一元二次方程
思考在本节一开始的小球上抛问题中,
何时小球离地面的高度是60m?你是如 何知道的? 能否达到80米？100米呢？
结论3 当y取定值时，二次函数可转
化为一元二次方程。
解 :1 .h 5 t24t.0
(2) 小球经过多少秒后落地?你 有几种求解方法?与同伴进行交
流. ①图象法
②解方程 -5t2+40t=0
议一议 二次函数与一元二次方程
画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(1)2.个,1个,0个程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(2) 一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验 证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x
轴下方的条件是（ D ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
小结 拓展 我思考，我进步
一个关系：二次函数图象与一元二次
我 方程根的关系:
们
函数
方程
的 收
y=ax2+bx+c(a≠0)
9
想一想 二次函数与一元二次方程
思考在本节一开始的小球上抛问题中,
何时小球离地面的高度是60m?你是如 何知道的? 能否达到80米？100米呢？
结论3 当y取定值时，二次函数可转
化为一元二次方程。
《二次函数与一元二次方程》PPT课件
（2）当h=20时，20t-5t2=20， 化简得t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m.
思考：结合图形，你知道为什么在1)中有两个点符合题意，而在2）中只有一个点符合题意？
情景思考
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．【注意】根据实际问题，讨论h的取值．
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
思考
判别式(△)b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
图象
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根
b2-4ac>0
（3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（4）当h=0时，20t-5t2=0，化简得t2-4t=0， t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面.
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 . 考虑下列问题:（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间?
思考：结合图形，你知道为什么在1)中有两个点符合题意，而在2）中只有一个点符合题意？
情景思考
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．【注意】根据实际问题，讨论h的取值．
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
思考
判别式(△)b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
图象
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根
b2-4ac>0
（3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（4）当h=0时，20t-5t2=0，化简得t2-4t=0， t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面.
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 . 考虑下列问题:（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间?
九年级数学二次函数与一元二次方程公开课课件
方程有两不相
函数与x轴有一个交点 根
方程有两相等
函数与x轴没有交点 方程没有根
方程的根的情况是由什么决定的？
判别式b2－4ac的符号
结论：
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，判别式又能 给我们什么样的结论？
（1）b2－4ac＞0 点
函数与x轴有两个交
（2）b2－4ac＝0 点
函数与x轴有一个交
（3）b2－4ac＜0 函数与x轴没有交点
有两个交点
b2-4ac = 0
有两个相等的实数根
有一个交点
b2-4ac < 0
没有实数根
没有交点
跟踪练习一
1 . 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是（-2，0）、（3，0）。
2.抛物线y=x2-4x+4与轴有 一 个交点，坐标是 （2，0） 。
友情提示：二次函数有哪几种表达形式？
例2 ：已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（2,0）
并经过点M（0,2），求抛物线的解析式？
思考： 你能用什么方法做呢? 哪个方法更好?
y
解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－2）
x
因为 点M( 0,2 )在抛物线上
o
所以：a(0+1)(0-2)=2 得 ： a=-1
5.若函数 y mx2 6x 1图象与x 轴是只有一个公共点,求m
的值解.：∵ 图象与x 轴是只有一个公共点 则△=0
即 36-4m=0 ∴ m=9
想一想 议一议
若一元二次方程ax 2+bx+c=0两个根为x 1 , x2 则一 元二次方程可化为 (x-x1)(x-x2)=0 若二次函数y=ax 2+bx+c的图象和x轴交点坐标(X1 ,0) (方X法2 称,0为),则二二次次函函数数的的交表点达式式。可表示为Y=a(x-x1)(x-x2)这种表示
《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT教学课件
情境引入
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共的
横坐标是多少？当x轴取公共点的横坐标，函数值是多少？
由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2
（2）y=x2-6x+9
（3）y=x2-x+1
两
（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有___个公共点，
-2,1
它们的横坐标是_____。当x取公共点的横坐
第二十二章 二次函数
二次函数与一元二次方程
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
解：（2）解方程20=20t-5t2。t2-4t+4=0。
t1=t2=2。当球飞行2s时，它的高度为20m。
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
解：（1）解方程0=20t-5t2。t2-4t=0。t1=0，
t2=4。当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，
二次函数与一元二次方程ppt课件
垂直于直线x=2于点E.
在Rt△AQF中,
AQ2=AF2+QF2=1+m2,
在Rt△BQE中,
BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,
∵AQ=BQ,∴1+m2=4+(3-m)2,∴m=2,
∴Q点的坐标为(2,2).
数学
返回目录
(3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形的对角线.
一个交点的横坐标为1,则另一个交点的横坐标为
A.-1
B.-2
C.2
D.3
D(
)
数学
返回目录
2.抛物线y=x2+4x+5-m与x轴有两个不同的交点,则m的取值
范
(
围
)
A.m<-1
B.0<m≤1
C.m<1
D.m>1
D
是
数学
返回目录
3.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x
∴两个交点之间的距离为1-(-3)=4,故选C.
答案:C
数学
返回目录
▶▶ 对应练习
1.抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为 ( B
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
)
数学
返回目录
2.已知二次函数y=(m-1)x2+3x-1与x轴有交点,则m的取值范
D
围是
(
)
5
A.m>4
5
C.m>- 且m≠1
A,B,∴A(1,0),B(0,3).
又∵抛物线y=a(x-2)2+k经过点A(1,0),
在Rt△AQF中,
AQ2=AF2+QF2=1+m2,
在Rt△BQE中,
BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,
∵AQ=BQ,∴1+m2=4+(3-m)2,∴m=2,
∴Q点的坐标为(2,2).
数学
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(3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形的对角线.
一个交点的横坐标为1,则另一个交点的横坐标为
A.-1
B.-2
C.2
D.3
D(
)
数学
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2.抛物线y=x2+4x+5-m与x轴有两个不同的交点,则m的取值
范
(
围
)
A.m<-1
B.0<m≤1
C.m<1
D.m>1
D
是
数学
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3.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x
∴两个交点之间的距离为1-(-3)=4,故选C.
答案:C
数学
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▶▶ 对应练习
1.抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为 ( B
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
)
数学
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2.已知二次函数y=(m-1)x2+3x-1与x轴有交点,则m的取值范
D
围是
(
)
5
A.m>4
5
C.m>- 且m≠1
A,B,∴A(1,0),B(0,3).
又∵抛物线y=a(x-2)2+k经过点A(1,0),
人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT优秀课件
函数
与一元二次方程
人教版九年级上册数学
回顾旧知
二次函数的一般式：
y ax2 bx c （a≠0）
___x___是自变量，__y__是__x__的函数。
当 y = 0 时， ax²+ bx + c = 0
ax²+ bx + c = 0
这是什么方程？ 一元二次方程与二次函数 有什么关系？
上一章中我们学习了“一元二次方程”
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
探究
下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.
（1） y = 2x2＋x－3
y
（2） y = 4x2 －4x +1
（3） y = x2 – x+ 1
o
x
令 y= 0，解一元二次方程的根
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的 飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
探究
（1） y = 2x2＋x－3 y
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
3
o
x 1 =－ ，x 2 = 1
x
2
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
人教版《二次函数与一元二次方程》PPT课件初中数学ppt
20.5 m
0m
0s
4s
（4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t2－4t =0 t 1 = 0，t 2 = 4
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
二次函数与一元二次方程的关系（1）
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
，4），（，）。
习题答案
1. （1）略. （2）1，3.
2. （1）x1 = 1，x2 = 2；（2）x1 = x2 = －3 ；
（3）没有实数根； （4）x1 = －1，x2 = 1 .
3. （1）略. （2）10m.
2
4. x = 1
例：利用函数图象求方 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方 向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考 虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要 多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要 多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
解：当 y = 0 时， x2 – x+ 1 = 0
因为（-1）2－4×1×1 = －3 < 0
o
x 所以与 x 轴没有交点。
二次函数与一元二次方程的关系（2）
确定二次函数图象与 x 轴的位置关系
解一元二次方程的根
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
0m
0s
4s
（4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t2－4t =0 t 1 = 0，t 2 = 4
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
二次函数与一元二次方程的关系（1）
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
，4），（，）。
习题答案
1. （1）略. （2）1，3.
2. （1）x1 = 1，x2 = 2；（2）x1 = x2 = －3 ；
（3）没有实数根； （4）x1 = －1，x2 = 1 .
3. （1）略. （2）10m.
2
4. x = 1
例：利用函数图象求方 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方 向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考 虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要 多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要 多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
解：当 y = 0 时， x2 – x+ 1 = 0
因为（-1）2－4×1×1 = －3 < 0
o
x 所以与 x 轴没有交点。
二次函数与一元二次方程的关系（2）
确定二次函数图象与 x 轴的位置关系
解一元二次方程的根
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT优质教学课件
因为
方程=0的解为
则二次函数草图为
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为R
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为R
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为
方法指导
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
解一元二次不等式的一般方法化标准：不等式右侧化为0，二次项系数化为正整数.判别式：确定对应一元二次方程有无实根.求实根：若有根，求根. 作草图：作出对应二次函数的草图.写解集：结合图像写一元二次不等式的解集.
实数
特别提醒：（1）二次函数的零点不是点，是二次函数图象与轴交点的横坐标. （2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.
A
3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的对应关系
设 ，方程 的判别式
判别式
解不等式 或 的步骤
求方程 的根
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
课堂小结
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
图像法解一元二次不等式
利用“三个二次的关系”求参数
一元二次不等式
三个基本知识
二次函数的零点
“三个二次”之间的关系
两个题型
教材认知
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
1.一元二次不等式一般地，我们把只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是__________________或 ，其中 、 、 均为常数， .
一个
C
2.二次函数的零点一般地，对于二次函数 ，我们把使 成立的_________的值叫作二次函数 的零点.
二次函数与一元二次方程公开课优秀课件ppt
解题技巧：利用判别式、对称轴等性质，结合图像和性质分析题目。
解题步骤：先观察方程形式和特点，选择合适的方法和步骤解题。
易错点：注意方程的解的情况和图像的交点情况，避免漏解或误解题目。
经典例题解析
解题思路清晰，问题建模合理 解题方法多样，学生易于掌握 题目难度适中，具有代表性 解析过程详细，学生易于理解
二次函数的定义
二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)
二次函数的定义域和值域：R
二次函数的单调性：在区间(-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)内递增，在区间(-b/2a,b/2a) 内递减 二次函数的对称性：二次函数的最小值在对称轴处取得，即当x=-b/2a时， ymin=(4ac-b2)/4a
二次函数的实际应用
股票：根据股票的涨跌情况，利用二次函数求出最佳买卖时机。 物理：利用二次函数求解单摆周期公式。 经济学：利用二次函数求解最优化问题，实现利益最大化。 工程：在桥梁、建筑等领域，利用二次函数进行结构设计，确保安全性和稳定性。
02
一元二次方程
一元二次方程的定义
只含有一个未知数
未知数的最高次数是2
二次函数的图像和性质
图像：抛物线形状， 开口方向，顶点， 对称轴
性质：增减性，最 值，奇偶性
表达式：一般式， 顶点式，交点式
实际应用：解决实 际问题，如最大利 润问题等
二次函数的解析式和极值
解析式： y=ax²+bx+c
极值：顶点坐标、 开口方向、对称 轴
图像变化：增减 性、最大数根
应用：用于解一 元二次方程、判 断根的情况、求
根的近似值等
二次函数与一元二
03
次方程的关系
解题步骤：先观察方程形式和特点，选择合适的方法和步骤解题。
易错点：注意方程的解的情况和图像的交点情况，避免漏解或误解题目。
经典例题解析
解题思路清晰，问题建模合理 解题方法多样，学生易于掌握 题目难度适中，具有代表性 解析过程详细，学生易于理解
二次函数的定义
二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)
二次函数的定义域和值域：R
二次函数的单调性：在区间(-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)内递增，在区间(-b/2a,b/2a) 内递减 二次函数的对称性：二次函数的最小值在对称轴处取得，即当x=-b/2a时， ymin=(4ac-b2)/4a
二次函数的实际应用
股票：根据股票的涨跌情况，利用二次函数求出最佳买卖时机。 物理：利用二次函数求解单摆周期公式。 经济学：利用二次函数求解最优化问题，实现利益最大化。 工程：在桥梁、建筑等领域，利用二次函数进行结构设计，确保安全性和稳定性。
02
一元二次方程
一元二次方程的定义
只含有一个未知数
未知数的最高次数是2
二次函数的图像和性质
图像：抛物线形状， 开口方向，顶点， 对称轴
性质：增减性，最 值，奇偶性
表达式：一般式， 顶点式，交点式
实际应用：解决实 际问题，如最大利 润问题等
二次函数的解析式和极值
解析式： y=ax²+bx+c
极值：顶点坐标、 开口方向、对称 轴
图像变化：增减 性、最大数根
应用：用于解一 元二次方程、判 断根的情况、求
根的近似值等
二次函数与一元二
03
次方程的关系
《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件
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31
2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察 结果你发现什么问题？这又说明什么？
提示：方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}． 不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．
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8
4．三个“二次”的关系
设 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
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解不 等式 y＞0
求方程 y＝0 的解
9
有两个相等的实
有两个不相等的实 数根 x1，x2(x1＜x2)
数根 x1＝x2＝ －2ba
没有 实数根
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30
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋ c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包 含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当 y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．
或 y 画函数 y＝ax2＋bx＋
＜0 c(a＞0)的图象
的步 得等的集 骤 不式解
y＞0 y＜0
{_x_|_x_＜__x_1_或___x_＞__x_2_} ___x__x_≠__－__2b_a__
__{__x|_x_1＜___x＜___x_2}___
___∅_
__R__ __∅__
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10
思考 3：若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a 应满 足什么条件？
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2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察 结果你发现什么问题？这又说明什么？
提示：方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}． 不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．
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4．三个“二次”的关系
设 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
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解不 等式 y＞0
求方程 y＝0 的解
9
有两个相等的实
有两个不相等的实 数根 x1，x2(x1＜x2)
数根 x1＝x2＝ －2ba
没有 实数根
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方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋ c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包 含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当 y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．
或 y 画函数 y＝ax2＋bx＋
＜0 c(a＞0)的图象
的步 得等的集 骤 不式解
y＞0 y＜0
{_x_|_x_＜__x_1_或___x_＞__x_2_} ___x__x_≠__－__2b_a__
__{__x|_x_1＜___x＜___x_2}___
___∅_
__R__ __∅__
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10
思考 3：若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a 应满 足什么条件？
二次函数二次函数与一元二次方程课件ppt
定义1
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$的函数叫做二次函数。
定义2
二次函数是关于$x$的二次多项式。
二次函数的基本形式
$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$是二次函数的基本形式。
需要注意：当$a > 0$时，$y$有最小值；当$a < 0$时，$y$ 有最大值。
2023
二次函数与一元二次方程 课件ppt
目录
• 引言 • 二次函数的定义与性质 • 一元二次方程的定义与解法 • 两者之间的关系 • 实际应用举例 • 复习与总结
01
引言
课程目标和目的
理解和掌握二次函 数与一元二次方程 的基本概念和性质 ；
培养学生的数学思 维能力和创新意识 。
会用二次函数与一 元二次方程解决实 际问题；
一元二次方程的定义
含有未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程 形式为ax²+bx+c=0（a≠0）的方程
一元二次方程的解法
直接开平方法 因式分解法
公式法
一元二次方程的应用
根的判别式 根与系数的关系
一元二次方程在经济生活中的应用
04
两者之间的关系
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程在形式上的统一性
圆和椭圆
二次函数在圆和椭圆等圆锥曲线的计算中有着广泛应用，圆的方程和椭圆的 方程都可以表示为二次函数的形式。
日常生活中的应用
房屋按揭贷款
房屋按揭贷款的还款总额与贷款总额成二次函数关系，通过求解一元二次方程可 以得到每月需要还款的金额。
最大利润问题
在商品销售中，销售额和利润率成二次函数关系，通过求解一元二次方程可以得 到最大利润。
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$的函数叫做二次函数。
定义2
二次函数是关于$x$的二次多项式。
二次函数的基本形式
$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$是二次函数的基本形式。
需要注意：当$a > 0$时，$y$有最小值；当$a < 0$时，$y$ 有最大值。
2023
二次函数与一元二次方程 课件ppt
目录
• 引言 • 二次函数的定义与性质 • 一元二次方程的定义与解法 • 两者之间的关系 • 实际应用举例 • 复习与总结
01
引言
课程目标和目的
理解和掌握二次函 数与一元二次方程 的基本概念和性质 ；
培养学生的数学思 维能力和创新意识 。
会用二次函数与一 元二次方程解决实 际问题；
一元二次方程的定义
含有未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程 形式为ax²+bx+c=0（a≠0）的方程
一元二次方程的解法
直接开平方法 因式分解法
公式法
一元二次方程的应用
根的判别式 根与系数的关系
一元二次方程在经济生活中的应用
04
两者之间的关系
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程在形式上的统一性
圆和椭圆
二次函数在圆和椭圆等圆锥曲线的计算中有着广泛应用，圆的方程和椭圆的 方程都可以表示为二次函数的形式。
日常生活中的应用
房屋按揭贷款
房屋按揭贷款的还款总额与贷款总额成二次函数关系，通过求解一元二次方程可 以得到每月需要还款的金额。
最大利润问题
在商品销售中，销售额和利润率成二次函数关系，通过求解一元二次方程可以得 到最大利润。
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Δ=b2-4ac > 0 Δ=b2-4ac= 0 Δ=b2-4ac < 0
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根
没有实数根
有两个交点 有一个交点 没有交点
例1.判断二次函数y=x2-2x-1与x轴的交点情况 解： a=1 b=-2 c=-1
∵ Δ=b2－4ac＝(-2)2－4×1×(－1)=8＞0
出这个公共点的坐标． • （3）当k取什么值时，抛物线与x轴没有公共点?
• 例3．已知：抛物线 yx2kxk2 • 求证：此抛物线与x轴必有两个不同交点．
即证明对应方程中的b2-4ac＞0
联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助
判别式解决，那么二次函数与一次 函数的交点个数又该怎么解决呢？
例如: 二次函数y＝x2－2x－3和一次函数 y＝x＋2有交点吗？有几个？
4.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=-2 ，
x是2=＿(53-，＿2，那＿0么＿)二＿( 次＿53 函＿，数＿0.y)= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标
5.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3 B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2x2 － 4x － 5
6、如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平
距离x（m）之间的函数关系式y=－ 1 x2+ 2 x+ 5 ，则
12
3
3
该运动员此次掷铅球的成绩是___1_0_____。
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x= － 1,
由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是
x1=1.3 ,x2=＿-＿3.＿3
四、随堂练习
1. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个
相等的实数根，则m=＿＿1＿，此时抛物线 y=x2－ 2x+m与x轴有＿1＿个交点.
2.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c
=＿1＿6.
3.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿b＿2－＿4a＿c ＿< 0.
∴函数与x轴有两个交点 练习1.不画图象判断下列函数的图象与x轴是 否有公共点，并说明理由． (1) y=x2-4x+3 (2) y=x2-6x+9
(3) y=x2-x+1
• 例2．已知抛物线 y=x2-2x+k
• （1）当k取什么值时，抛物线与x轴有两个交点？ • （2）当k取什么值时，抛物线与x轴有一个公共点？并求
ax²+ bx + c = 0
二次函数与一元二次 方程有什么关系？
yax2 bxc
一、复习回顾
1. 一次函数y=2x-4与x轴交点坐标是？
2x-4=0 x =2
（2,0）
新课引入
观察图象，说一说二次函数y=x2-2x的图象和x 轴有几个交点，分别是什么？
(0,0)
(2,0)
x2-2x=0
x1=0 x2=2
决函数问题，同样运用函数知识又可以解决
方程根的问题.(数形结合)
下列情形时，如果a＞0，抛物线y=ax2+bx+c的顶点在什么 位置？
（1）方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；
（2）方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；
（3）方程ax2+bx+c=0无实数根。
如果a＜0呢？
今 天 就休 到息 这一 吧会
如果不给你图象 你能得到交点坐标吗？
函数y＝x2－2x的图象与x轴两个交点为 （0，0） （2，0）
方程x2－2x ＝0的两根是
x1＝ 0 ,
x2 ＝ 2
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴 的交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋ bx＋c＝0的根;
（2）二次函数与x轴的交点问题可以
转化为一元二次方程去解决.
资料展示
求下列二次函数的图象与x轴的交点坐标
y=x2-2x+1
y=x2-2x+3
探究2、抛物线与x轴的公共点个数能不能
用一元二次方程的知识来说明呢？
y
与x轴的公 共点个数
102个
yx2 2x3
一元二次方程 20个等不根等根
根的个数 yx2 2x1
y x2 2x
O
x
归纳整理、理清关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二 次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
分析: 两个函数的交点是这两个函数的公共解， 先列出方程组，消去y后，再利用判别
式判断即可.
思考：以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击
出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气
阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t（单位：s） 之间具有函数关系 h=20t－5t2。
考虑下面问题： 小球从飞出到落地要用多少时间？
K≠0
b2-4ac≥0
8.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则
k的取值范围（ B ）
A
:k
7 4
B
:k
7且
4
k
0
B
C
:k
7 4
D：
k
7且
4
k
0
9.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0
时，图象与x轴交点情况是（c）
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
10.关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n﹦0没有实数，
则抛物线y﹦ x2﹣x﹣n的顶点在(A )
A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
五、总结提高
通过本节课的学习，你有哪些收获？ 还有什么疑惑？说给老师或同学听听. ①二次函数与一元二次方程的关系. ②二次函数与一元二次方程根的情况之间的 关系. ③事物是普遍联系的，运用方程知识可以解儿 Nhomakorabea……
……