函数11-2

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考点11 二次函数的图象性质及相关考点-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(原卷版)

考点11 二次函数的图象性质及其相关考点二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点。

而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。

出题形式虽然多是选择、填空题，但解答题中也时有出现，且题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。

一、二次函数的表达式二、二次函数的图象特征与最值三、二次函数图象与系数的关系四、二次函数与方程、不等式（组）五、二次函数图象上点的坐标特征考向一、二次函数的表达式1.二次函数的3种表达式及其性质作用2.二次函数平移的方法：①转化成顶点式（已经是顶点式的此步忽略），②“左加右减（x），上加下减（y）”；1．把y＝（2﹣3x）（6+x）变成y＝ax2+bx+c的形式，二次项，一次项系数为，常数项为．2．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2﹣63．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝2x2+1先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x﹣3）2+3B．y＝2（x+3）2+3C．y＝2（x﹣3）2+1D．y＝2（x+3）2+24．抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（）A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（0，﹣3）D．（0，3）5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，3）．若抛物线y＝mx2+2mx+m+3（m为常数，m≠0）向右平移a（a＞0）个单位长度，平移后的抛物线的顶点在线段AB上，则a的取值范围为．考向二、二次函数的图象特征与最值1.对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）：对称轴：直线；顶点坐标：；a＞二次函数有最小值；a ＜二次函数有最大值；2.图象的增减性问题：抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围；1．已知二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A ．函数有最小值1，有最大值3B ．函数有最小值﹣1，有最大值3C ．函数有最小值﹣1，有最大值0D ．函数有最小值﹣1，无最大值2．如图是四个二次函数的图象，则a 、b 、c 、d 的大小关系为（）A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a3．如图是二次函数y＝ax2+bx的大致图象，则一次函数y＝（a+b）x﹣b的图象大致是（）A．B．C．D．4．在同一坐标系中一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（）A．B．C．D．5．已知二次函数y＝x2﹣2x+2在m≤x≤m+1时有最小值m，则整数m的值是（）A．1B．2C．1或2D．±1或26．如图，点P是抛物线y＝﹣x2+2x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为．考向三、二次函数图象与系数的关系二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶1．抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝−1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b +c ＝0；④6a ﹣2b +c ＜0；⑤若点（0.5，y 1），（﹣2，y 2）均在抛物线上，则y 1＞y 2，其中正确的判断是（）A ．②③④⑤B ．②③④C ．②③⑤D ．②④⑤2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的y 与x的部分对应值如表：x﹣1013y0﹣1.5﹣20根据表格中的信息，得到了如下的结论：①二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2；④若y＞0，则x＞3；⑤a（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）．其中所有正确的结论为（）A．①②④B．②③⑤C．②③④D．①③⑤3．无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（）A．a＞0B．C．或a＞0D．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（）A．①③④B．①②③⑤C．①②③④D．①②③④⑤5．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m（1）①函数的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；②该顶点所在直线的解析式为；在平面直角坐标系中画出该直线的图象；（2）当m＝1时，二次函数关系式为，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；（3）已知点A（﹣3，1）、B（1，1）连结AB．若抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围；（4）把二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m（x≤2m）的图象记为G，当G的最低点到x轴的距离为1时，直接写出m的值．考向四、二次函数与方程、不等式（组）1.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程之间的关系：1)求交点：①求抛物线与x轴交点坐标→直接让y=0，即：ax2+bx+c=0②求抛物线与某直线l的交点坐标→联立抛物线与直线解析式，得新组成的一元二次方程，解新方程即的两图象交点横坐标，再代入直线或抛物线解析式即可得交点坐标。

第11讲函数专题2 (教师)

第11讲函数复习专题2.函数图象与零点（教师）一、教学目标：1.会运用函数图象理解和研究函数的性质．2.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．3．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解二、重点难点：1.函数图像及运用2.函数零点与方程关系三、教学方法：“一学二记三应用” 四、知识梳理：（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成.（２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.的图像的画法：先画时，再将其关于对称，得轴左侧的图像. 的图像画法：先画的图象，然后位于轴上方的图象不变，位于轴下方的图象关于轴翻折上去. 的图象关于对称；的图象关于点对称.的图象关于轴对称的函数图象解析式为；关于轴对称的函数解析式为；关于原点对称的函数解析式为.(3)熟记基本初等函数的图象，以及形如的图象五．课前评估：1．[2022·重庆六校联考]函数f (x )＝sin πxx2的大致图象为( )0(0(()()a a a a f x f x a ><−−−−−−−→+向左平移个单位）向右平移个单位）0(0(()()+k k k f x f x k ><−−−−−−−→向上平移k 个单位）向下平移个单位）11(101(()()(0,1)f x f x w ωωωωωω><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的纵坐标不会，横坐标缩短为原来的）图像上所有点的纵坐标不会，横坐标伸长为原来的）1(01(()()(0,1)A A A f x Af x A A ><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的横坐标不会，纵坐标伸长为原来的）图像上所有点的横坐标不会，纵坐标缩短为原来的A ）()f x 0x ≥()y f x =y y ()f x()y f x =x x x ()()f a x f a x +=-()y f x =x =a ()()f a x f a x +=--()y f x =(a,0）()y f x =x (y f x =-）y (-y f x =）-(-y f x =）1y x x=+xyf x () = x +1x–1–2–3–41234–1–2–3–41234O答案：D 解析：易知函数f (x )＝sinπxx 2为奇函数且定义域为{x |x ≠0}，只有选项D 满足， 2．[2022·福州质检]若函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e －x ＋1D ．f (x )＝e －x －1答案：D 解析：与y ＝e x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )的图象向右平移1个单位长度，得y ＝e －x 的图象，∴f (x )的图象是由y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度得到的，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.3．[2022·全国卷Ⅱ]函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )A BCD答案：B 解析：∵ y ＝e x －e －x是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴ f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e>0，排除D 选项．又e>2，∴ 1e <12，∴ e －1e>1，排除C 选项．故选B.题型一识图与辨图例1（1）（2022年高考浙江卷）在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (x +12)(a >0，且a ≠1)的图象可能是答：D（2）在同一直角坐标系中，函数()2f x ax =-， ()()log 2a g x x =+（0a >，且1a ≠）的图象大致为（）A. B. C. D.（3）（2022年高考全国3卷）函数3222x xxy -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．答：B（4）（2022年高考全国1卷）函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．答：D课堂练习1：（1）（内江市高中2022届第一次模拟考试题）函数()()21=ln 2x f x x e -+-的图象大致是（）2sin cos ++x xx xA. B C. D.答：C （2）．（2022届吉林省五地六校联考高三考前适应卷）已知函数()(22)ln ||x x f x x -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C .题型二图象初等变换例2 （1）（江西省红色七校2022届高三第一次联考理科数学科试题）设，则函数的图象的大致形状是（）答：B（2）已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)答案：C 解析：由图②知，图象关于y 轴对称，对应的函数是偶函数．对于A ，当x >00a >()y x x a =-时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；所以C选项是正确的．（3）已知函数，则函数的大致图象是（）A. B. C. D.解析】，函数在处图象有跳跃点，选项AC错误；当（4）．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案：C解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．（5）[2022·咸宁模拟]已知a>0，且a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象可能是图中的()答案：B解析：通解因为y＝a x与y＝log a x互为反函数，而y＝log a x与y＝log a(－x)的图象关于y轴对称，根据图象特征可知选B.优解首先，曲线y＝a x只可能在x轴上方，曲线y＝log a(－x)只可能在y轴左边，从而排除A，C；其次，y＝a x与y＝log a(－x)的增减性正好相反，排除D，选B.（6）（提高）函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除B 、D ；又由当时，函数，排除C ，故选A.[规律方法] 识图常用方法：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．课堂练习2.（1）.函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【解析】根据函数表达式得到,故函数是奇函数，排除D 选项，当x 趋向于正无穷时，函数值趋向于0，并且大于0，排除B ；当x 从左侧趋向于1时，函数值趋向于负无穷，故排除 C.故答案为:A. （2）函数的图象可能是（）A. B. C. D. 【解析】试题分析：化简函数的解析式，判断函数的对称性，利用函数的值判断即可．详解：函数f （x ）==，可知函数的图象关于（2，0）对称，排除A ，B ．当x ＜0时，ln （x ﹣2）2＞0，（x ﹣2）3＜0，函数的图象在x 轴下方，排除D ，故选：C ．题型三零点判断与运用例3 （1）[2022·南昌调研]函数f (x )＝2x ＋ln 1的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)答案：B 解析：易知f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x－ln(x －1)在(1，＋∞)上单调递减且连续，当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x>0，所以f (x )>0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln1＝1，f (3)＝23－ln2＝2－3ln23＝2－ln83，8＝22≈2.828>e ，所以8>e 2，即ln8>2，所以f (3)<0.所以f (x )的零点所在的大致区间是(2,3)，故选B.（2）．[2022·山东枣庄模拟]函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝x 12与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，如图所示．由图知，两个函数图象只有一个交点，所以函数f (x )的零点只有1个．故选B. a c 若()2019()()f x x a x b =---的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是（） A ． a c b d >>> B ．a b c d >>> C.c d a b >>> D ．c a b d >>>答：由()2019()()f x x a x b =---，又()()2019f a f b ==，c ，d ，为函数()f x 的零点，且a b >，c d >，所以可在平面直角坐标系中作出函数()f x 的大致图像，如图所示，由图可知c a b d >>>，故选D.（4） [2022·河南省实验中学模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))－1的图象与x 轴的交点个数为( )A ．3 B ．2 C ．0 D ．4答案： A 解析：y ＝f (f (x ))－1＝0，即f (f (x ))＝1.当f (x )≤0时，得f (x )＋1＝1，f (x )＝0. 所以log 2x ＝0，得x ＝1；由x ＋1＝0，得x ＝－1.当f (x )>0时，得log 2f (x )＝1，所以f (x )＝2.由x ＋1＝2，得x ＝1(舍去)；由log 2x ＝2，得x ＝4. 综上所述，函数y ＝f (f (x ))－1的图象与x 轴的交点个数为3.故选A. （5）（提高）已知函数,则函数的零点个数是( ）A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【解析】分析：令函数的零点个数问题的根的个数问题．结合图象可得的根，方程有1解，有3解，有3解.从而得到函数的零点个数详解：令函数的零点个数问题的根的个数问题．即的图象如图，结合图象可得的根方程有1解，有3解，有3解.综上，函数的零点个数是7．故选A.（6）（提高）定义在实数集上的函数满足，当时，，则函数的零点个数为__________．【解析】分析：先根据函数的奇偶性与周期性画出函数的图象，以及的图象，根据的图象在上单调递增函数，当时，，当时，的图象与函数无交点，结合图象可知有个交点.详解：定义在上的函数，满足，上的偶函数，因为满足，函数为周期为的周期函数，且为上的偶函数，因为时，，所以，在上递增，且值域为，根据周期性及奇偶性画出函数的图象和的图象，如图，根据的图象在上单调递增函数，当时，，当时，的图象与函数无交点，结合图象可知有个交点，故答案为.课堂练习3：(1)已知函数f (x )＝1x －a为奇函数，g (x )＝ln x －2f (x )，则函数g (x )的零点所在区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解：由函数f (x )＝1x －a为奇函数，可得a ＝0，则g (x )＝ln x －2f (x )＝ln x －2x ，所以g (2)＝ln2－1<0，g (3)＝ln3－23>0，所以g (2)·g (3)<0，可知函数的零点在(2,3)之间。

11-2-4电子云的角度分布图

p 电子云的角度分布图 m = 0,±1 以2p z为例(m 0)
Y () 3 cos 4π
z
Y 2 () 3 cos2
4π
z
z
y
y
y
x
Y2 2pz
x
Y2 2p x
x
Y2 2py
波函数角度与电子云的角度分布图的区别
1) 角度波函数 Yl,m 只与量子数 l，m 有关而与主量子数 n 无关。对于 l，m 相同而 n 不同的状态，波函数和电子云的角度分布图都分别是相同的。例如，1s、2s、 3s 或者 2px、3px、4px的角度分布图相同，如此类推。
z
z
z
+
y
-
－
y +
－+ y
x
Y2p z
z
x
Y2p x
z
x
Y2p y
z
y
y
y
x
Y2 2pz
x
Y2 2p x
x
Y2 2py
虚线部分 pz 轨道的角度分布图
实线部分 pz 电子云的角度分布图
实线部分虚线部分
原子轨道角度分பைடு நூலகம்图电子云的角度分布图
2) 由于 Y(pz) 值有正负值，故它的图上对应位置分别标注了正负号，该符号可用于判断共价键的方向性。而Y2(pz) 值都是正值，故它的图形无正负号之分。
3) 由于Y2(pz) 值小于对应的 Y(pz) 值，所以电子云的角度分布图比波函数的角度分布图“瘦”些。
波函数角度与电子云的角度分布图的区别
波函数角度与电子云的角度分布图的区别虚线部分轨道的角度分布图实线部分电子云的角度分布图实线部分原子轨道角度分布图虚线部分电子云的角度分布图

新高考一轮复习人教A版第二章第十一讲导数与函数的单调性课件(60张)

【题后反思】根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)单调递增(减)的充要条件是对任意的 x∈(a，b) 都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
解：函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－a＋x 1x＋1＝
ax－1x－1
x
.
①当 0<a<1 时，1a>1， ∴x∈(0,1)和1a，＋∞时，f′(x)>0； x∈1，a1时，f′(x)<0， ∴函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上单调递减；
综上，当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，a1上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当 a>1 时，函数 f(x)在0，a1和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1上单调递减.
【题后反思】 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝
33a或－
3a 3.
当 x＞ 33a或 x＜－ 33a时，f′(x)＞0；
当－ 33a＜x＜ 33a时，f′(x)＜0.
因此 f(x)在－∞，－ 33a， 33a，＋∞上单调递增，在－ 33a， 33a上单调递减.

4.2.2指数函数的图象与性质(课件)高一数学(湘教版2019必修第一册)

(3)函数是区间(−∞, +∞)上的减函数.
当然，作出来的图象是有限的，接下来我们借助“网络画板”，来看一下底
数对指数函数图象走势的影响吧！
新知探索
从动画中看指数函数 = ( > 0且 ≠ 1)的性质，和理性认识相符.
新知探索
1

如果底数 ∈ (0,1)，则它的倒数 > 1.若点(, )在函数 = (0 < < 1)的
(4)课本P110的习题4.2的10、11、12、13、14、15题.
谢谢学习
Thank you for learning
新知探索
活动1(例3)：作出指数函数 = 2 和 = 10 的图象.
通过列表、描点连线(也可借助信息技术在计算机上作图)，得图以下.

…
−2
−1
0
1
2
…
= 2
…
0.25
0.5
1
2
4
…

= 10
…
…
−1
0.1
−0.5
0.32
0
1
0.5
3.16
1
10
…
…
新知探索
活动(例3)：作出指数函数 = 2 和 = 10 的图象.
1
73
=
1
，
343
例析
例 6
一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩余的量是原来的84%，画
出这种物质的剩余量随时间变化的图象，并从图象上观察大约要经过多少年，剩余
量是原来的50%.
解可设原来的量是1个单位，经过年后，剩余量是个单位.
可得函数解析式为 = 0.84 .列表如下：

普通物理学 §11-02 平面简谐波的波函数

质点的振动速度，加速度
v y t
2
角波数 k
x u ) ]
2π

A sin[ (t
2
a
y t
2
A cos[ (t
x u
) ]
11 – 2 平面简谐波的波函数
二
波函数的物理意义
x u ) ] A cos[ 2 π ( t T x )]
1 (t
x1 u ) 2π ( t T x1
2 (t
x2 u
) 2π (
t T

x2
)
波程差
x 21 x 2 x 1
2π x

)
12 1 2 2 π
x 2 x1

2π
x 21
11 – 2 平面简谐波的波函数例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y ( 5 cm ) cos π [( 2.50s
-1
) t ( 0 . 01 cm
-1
) x ].
解：方法一（比较系数法）.
y A cos 2π ( t T x

)
把题中波动方程改写成
y ( 5 cm ) cos 2π [( 2.50 2 s )t (
y (1 . 0 ) cos[ 2 π ( t 2 .0 x 2 .0 ) π 2 ]
t 1 .0 s
y (1 . 0 ) cos[
π 2
π x]
波形方程
y /m
(1 . 0 ) sin( π x )
1.0
o
-1.0
2.0
t 1 . 0 s 时刻波形图

11_2无穷积分的性质与收敛判别

a
g( x )dx 收敛性相同;
a
g( x )dx 收敛可得
a
f ( x )dx 收敛;
a
(iii) 若c , 则由
g( x )dx 发散可得
f ( x )dx 发散.
前页后页返回
f ( x) c 0, 故存在 G a , 使 x G , 有证 (i) 由 xlim g ( x ) f ( x) c c , g( x ) 2 c 3c g( x ) f ( x ) g( x ). 即 2 2 c 若 f ( x )dx 收敛, 则可得 g( x )dx 收敛,从而 a a 2
f ( x )dx
u2 u1
f ( x )dx 0,
从而 F (u) 是单调递增的 ( u [a , )). 由单调递
F ( u) 存在的充要条增函数的收敛判别准则, ulim
件是 F ( u) 在 [a , ) 上有界,即 M 0, 使
u [a , ), 有
a
u
f ( x )dx M .
前页后页返回
证设 F ( u) a f ( x )dx , 则
u
u
a
f ( x ) dx 收敛的充要
条件是 lim F ( u) 存在. 由于 f ( x ) 0, 当 u1 u2 时，
a
u2
f ( x )dx
u1 a
前页后页返回

a
f ( x )dx 条件收敛.
二、非负函数无穷积分的收敛判别法
引理(非负函数无穷积分的判别法) 设定义在
[a , ) 上的非负函数 f 在任何 [a , u] 上可积, 则

11-2 平面简谐波的波函数

-
x u
)=
Acos ω
t
-
x u
+
0
上页下页返回退出
P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
Acos ω
t
-
x u
+
0
波函数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进的平面简谐波的波函数。
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
上页下页返回退出
2
1
2
x2 x1
2
x
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
o
x
x x
上页下页返回退出
当t=t1时，y
A
cos
t1
x u
0
当t=
t1+Δt时，y
A
cos
t1
t
x u
0
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x1和x2表示，则
y(t1)
A cos
t1
x1 u
0
y
A cos
2
(
t
mx
)
0
y Acos(t mkx 0 )
k 2 角波数
y
y
A cos(t
Aei
(t
mx u
)0
m2 x
i (t
Ae
0
mk ) u
)
上页下页返回退出
波动表式的意义：
x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A
cos

十二个不可积分函数

十二个不可积分函数摘要：一、引言二、不可积分函数的定义与性质1.定义2.性质三、十二个不可积分函数1.指数函数2.对数函数3.三角函数4.双曲函数5.反三角函数6.贝塞尔函数7.椭圆函数8.勒让德函数9.柱状函数10.抛物线函数11.rational function12.分式函数四、不可积分的原因与判断方法1.原因2.判断方法五、不可积分函数的应用1.物理学2.工程学3.经济学4.生物学六、结论正文：一、引言在数学领域，积分是一种重要的数学运算，它广泛应用于各个学科。

然而，并非所有的函数都可以进行积分。

本文将介绍十二个不可积分函数，它们的特性以及其在实际应用中的重要作用。

二、不可积分函数的定义与性质1.定义不可积分函数是指在实数域上不能用初等函数表示其原函数的函数。

这类函数具有独特的性质，使得我们无法使用常见的积分方法对其进行求解。

2.性质不可积分函数具有以下几个性质：（1）奇偶性：不可积分函数可以是奇函数或偶函数。

（2）周期性：不可积分函数可以是周期函数，但其周期不一定为有理数。

（3）连续性：不可积分函数在其定义域上具有连续性。

三、十二个不可积分函数1.指数函数指数函数的形式为y = a^x，其中a 为正常数且a ≠ 1。

当a > 1 时，函数在实数域上为增函数；当0 < a < 1 时，函数在实数域上为减函数。

2.对数函数对数函数的形式为y = log_a(x)，其中a 为正常数且a ≠ 1。

对数函数的定义域为(0, +∞)，其在定义域上为增函数。

3.三角函数三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x) 和正切函数tan(x) 等。

它们在实数域上具有周期性，并在其定义域上具有奇偶性。

4.双曲函数双曲函数包括双曲正弦函数sinh(x)、双曲余弦函数cosh(x) 和双曲正切函数tanh(x) 等。

它们在实数域上具有连续性。

5.反三角函数反三角函数包括反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x) 和反正切函数arctan(x) 等。

§11-2正弦稳态网络函数

+
R
+
•
•
U1
C
U2
-
-
[例 2] 超前滞后网络。下图所示二阶 RC 电路常用于测量技术及电子技术中，试求电压转移函数，并说明它的相频特性。
+
R
•
U1
-
C
+
R
C
•
U2
-
测试练习
练习题：146 页 13-2，13-3 [例 1 求解] 1. 作出电路的相量模型。
+
R
+
•
1
•
U1
jωC
U2
-
-
2. 利用串联电路的分压关系可得
U1
Au 称为电压增益或电压放大倍数。
+
•
U1
-
N0ω
+
•
U 2 ZL
-
图（a）
•
I1 N0ω
•
I 2 ZL
图（b）
•
2.
电流转移函数： Ai
=
Ai (jω) =
I2
•
。如图（b）所示。
I1
Ai 称为电流增益或电流放大倍数。
•
3.
转移阻抗函数： ZT
=
ZT (jω) =
U2
•
。如图（c）所示。
I1
2E
cos(ωt
+
θ e
)
就可按下式求得该正弦激励下的稳态响应为
•
•
r(t ) = Re[ 2 R e jωt ] = Re[ 2H ( jω) E e jωt ] =
2R
cos(ωt
+

第十一章国民收入的决定：AE-NI模型

一、消费函数(1)
1、消费函数、边际消费倾向、平均消费倾向(2)
⑵边际消费倾向：增加的消费与增加的收入的比率。 MPC= c 。 y dc 若△c与△y的量都很小，则MPC= 。 dy ⑶平均消费倾向：指任一收入水平上消费支出在收入中的比率。
c APC= 。 y
一、消费函数(3)
18 12 A 6 B C D c=c（y） G F E
y 0 6 18 图11-1:非线性的消费函数
450
一、消费函数(5)
3、线性消费函数：边际消费倾向为一常数
公式：c=a+by 式中，a为自发消费量，b为边际消费倾向， by为引致消费。用图形表示，线性消费函数的曲线是一条向右上方倾斜的直线，各点的斜率相同。
2、消费曲线：用几何图形表示消费与收入之间的函数关系(1)（图11-1） ①450线上所有的点，收入与消费支出相等 ; ②消费曲线与450线的交点为B，B点的左方，表示消费大于收入，而B点右方的点表示收入大于消费。 ③随着消费曲线向右延伸，
C
18 12 A 6 B C D
消费增加，但增加的幅度越
产出大于需求。
0
5000
8000
y （亿美元）
图11-7：消费加投资曲线和450线相交决定均衡收入
三、使用储蓄函数决定收入（1）
1、均衡收入的决定 ∵i=s， s=y-c=-a+（1-b）y ∴i=-a+（1-b）y
ai y= 1 b
三、使用储蓄函数决定收入（2）
2、图形表示
i曲线和s曲线交点对应的收入是均衡收入，小于均衡收入，表明投资大于储蓄，产品供不应求；反之，储蓄大于投资，供过于求。

人教版高中数学教案：第2章：函数,教案,课时第 (11)

第十一教时教材：函数的单调性与奇偶性综合练习（《教学与测试》第21、22课）目的：通过对例题（习题）的判析，使学生对函数的单调性与奇偶性有更深刻的理解。

过程：一、复习函数单调性与奇偶性的定义、图象的直观形态、单调区间、判定方法等概念。

二、处理《教学与测试》第21、22课例题例一．（P43 例一）注意突出定义域：x≠1 然后分区间讨论例二．（P43 例二）难点在于：判断x2 + x1x2 + x2 > 0 应考虑用配方法而且：∵x1, x2中至少有一个不为0, ∴……反之，倘若x1, x2全为0 x2 + x1x2 + x2 = 0 例三．（P43 例三）难点在于：分 a > 0, a = 0, a < 0 讨论应突出“二次函数”，再结合图象分析例四．（P45 例一）1、2题已讲过；第3题是两个函数之乘积, 尤其后者要利用幂指数概念例五．（P45 例二）此题是常见形式：应注意其中的“转换．．”关系例六．（P45 例三）此题是单调性与奇偶性综合题，注意思路分析。

三、补充：例七、已知函数f (x), g (x)在R上是增函数，求证：f [g (x)]在R上也是增函数。

证：任取x1, x∈ R 且x1 < x2∵g (x) 在R上是增函数∴g (x1) <g (x2)又∵f (x)在R上是增函数∴f [g (x1)] < f [g (x2)]而且x1 < x2 ∴f [g (x)] 在R上是增函数同理可以推广：若f (x)、g (x)均是R上的减函数，则f [g (x)]是R上的增函数若f (x)、g (x)是R上的一增、一减函数，则f [g (x)]是R上的减函数例八、函数f (x)在[0, )∞+上单调递减，求)1(2xf-的递减区间。

解：f (x) 定义域：[0, )∞+又∵21x-≥0 ∴只要1 -x2≥0 即x2≤1 ∴- 1 ≤x≤1 当x∈ [ 0, 1] 时, u =21x-关于x递增, f (u)关于x递减∴单调区间为[-1，0]例九、已知函数f (x) 是定义在R上的奇函数，给出下列命题：1．f (0) = 02．若f (x) 在[0, )∞+上有最小值-1，则f (x) 在)(0,∞-上有最大值1。

专题11-2 反比例函数图像和性质(知识解读)-2023-2024学年八年级(0002)

专题11.2反比例函数图像和性质（知识解读）【学习目标】1.能根据解析式画出反比例函数的图象，2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．【知识点梳理】考点1 反比例函数系数k的几何意义考点2 反比例函数解析式的确定待定系数法1.设所求反比例函数解析式为：2.找出反比例函数图像上一点P（a,b），并将其代入解析式得k=ab；3.确定反比例函数解析式利用k得几何意义题中已知面积时，考虑利用k得几何意义，由面积得，再综合图像所在象限判段kK的几何意义在反比例函数上任取一点P(x，y),过这个点分别作x轴，y 轴的垂线PM、PN，于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM·PN===k基本图形面积基本图形面积得正负，从而得出k的值，代入解析式即可考点3 反比例与一次函数的综合、k b【典例分析】【考点1 反比例函数系数k的几何意义】【典例1】（2022•梁溪区校级二模）已知反比例函数的图象如图所示，若矩形OABC的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6【变式1-1】（2022秋•南开区校级期末）如图，A为反比例函数y＝（k＞0）图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S＝3，则k的值为（）△AOBA．1.5B．3C．D．6【变式1-2】（2022秋•德州期末）如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S＝2，则k的值为（）△AOBA．2B．4C．﹣2D．﹣4【变式1-3】（2021秋•霸州市期末）反比例函数的图象如图所示，则△ABC的面积为（）A．B．C．3D．6【典例2】（2021秋•广汉市期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，P A⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（）A．1B．2C．3D．4【变式2-1】（2022秋•河北区期末）如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，P A⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（）A．4B．2C．1D．6（2022秋•裕华区校级期末）如图四个都是反比例函数y＝的图象．其【变式2-2】中阴影部分面积为6的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【典例3】（2020秋•商河县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数y＝（x＞0）、y＝﹣（x ＞0）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（）A．9B．6C．D．3【变式3-1】（2021•贵池区二模）如图，直线x＝t（t＞0）与反比例函数y＝（x ＞0）、y＝（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC 的面积为3，则k的值为（）A．2B．3C．4D．5【变式3-2】（深圳模拟）如图，A、B是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则S＝．【考点2 反比例解析式的确定】【典例4】（2022秋•道县期末）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A （﹣2，6）．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）若（1，y1），（3，y2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1，y2的大小．【变式4-1】（2022秋•德江县期中）已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．（1）求这个函数的表达式；（2）点B（10，），C（﹣3，﹣5）是否在这个函数的图象上？【变式4-2】（2022春•衡阳期中）已知y是x的反比例函数，且函数图象过点A （﹣3，8）．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x取何值时，y＝．【变式4-3】（2022•富阳区二模）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（2，3）．（1）求这个反比例函数的表达式：（2）判断点B（﹣1，6）是否在这个函数图象上，并说明你的理由；（3）点C（x1，y1），D（x2，y2）是图象上的两点，若x1＜x2，比较y1和y2的大小，并说明你的理由．【考点3 反比例与一次函数的综合】【典例5】（2022秋•简阳市期末）已知k≠0，函数y＝kx+1与y＝在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式5-1】（2022秋•钢城区期末）一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式5-2】（2022秋•祁阳县期末）函数y＝x+k与函数同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．【变式5-3】（2022秋•祁阳县校级期末）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（）A．B．C．D．【典例6】（2022秋•天元区校级期末）如图，直线y＝k1x+b与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是（）A．1＜x＜5B．x＞5或0＜x＜1C．x＞5或x＜1D．1≤x≤5【变式6-1】（2023•龙川县校级开学）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（1，4），B（3，1）两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是（）A．x＜1B．1＜x＜3C．x＞3D．x＞4【变式6-2】（2022秋•顺平县期末）反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b 的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（n，1）．不等式kx+b﹣＜0的解集是（）A．0＜x＜2B．x＞8C．0＜x＜2或x＞8D．2＜x＜8【典例7】（2022•朝阳）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，则不等式ax＞的解集为（）A．x＜﹣2或x＞2B．﹣2＜x＜2C．﹣2＜x＜0或x＞2D．x＜﹣2或0＜x＜2【变式7-1】（2023•太谷区一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+3（k是常数，且k≠0）与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣3，﹣2），B（2，m）两点，则不等式kx+3＞的解集是（）A．﹣3＜x＜2B．x＜﹣3或x＞2C．﹣3＜x＜0或x＞2D．0＜x＜2【变式7-2】（2022秋•莲池区校级期末）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣3或x＞3B．x＜﹣3或0＜x＜3C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3D．﹣3＜x＜0或x＞3【变式7-3】（2022秋•岚山区校级期末）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为2，当y1＜y2＜0时，x的取值范围是（）A．0＜x＜2或x＞2 B．0＜x＜2C．x＜﹣2D．﹣2＜x＜0【典例8】（2022春•银川期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，2）在反比例函数的图象上，点B在OA的延长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AD．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若，设点C的坐标为（a，0），求线段BD的长．【变式8-1】（2022•湘潭县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且AD＝3．若点D的坐标为（4，n）．（1）求反比例函数y＝的表达式．（2）设点E是x轴上一动点，若△CEB的面积等于6，求点E的坐标．【变式8-2】（2022•太康县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC的边AB、BC分别交于点M、N，且M为AB的中点，点B（4，3）．（1）求反比例函数的解析式．（2）求△MON的面积．【变式8-3】（2022春•惠山区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，2）在反比例函数的图象上，点B在OA的延长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC，AD．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若点C的横坐标为6，①求点D的坐标；②求线段BD的长；③求S．△ACD。

高等数学A第2章11-3(高阶导数隐函数求导法则)精品PPT课件

(3)物体运动的加速度，是距离函数关于时间的二阶导数, 即 a(t)ddvtdd22tys(t).
二、简单函数高阶导数的习例例1.设f(x)xn,求各阶导. 函数例 2 .设 yax,求 y(n ). 例 3 .设 f(x ) cx o ,求 s f(n )(x ). 例 4 . 设 y f (x l ) 且 n , f ( u ) 可 ,求 y .导例5.由ddxyy1,求dd2yx2.
叫y做 f(x)的二.阶导数记 :y为或 f(x )或 d d 22 yx 或 d2 d f(2 x x ).
即 f(x )lim f(x x )f(x ).
x 0
x
记号与求导过程: d d22 yxd dxd dx yd d(dx)y dd dx 22 yx.
类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数. 记为 f(x),y,dd3x3y.
内容小结
课堂思考与练习
一、高阶导数的定义与记号问题:变速直线运动的加速度.
设sf(t), 则瞬时速 v(t)度 f(为 t) 加速 a是度速 v对度时 t的间变化率 a ( t ) v ( t ) [ f ( t ) ] .
定义: 若 yf(x)的导 yf数 (x)在 x处可 ,这导个
解：设 uco x,v sx2,则
u (k)co x sk 2 (k1, 2 ,2 , 0)
v 2 x ,v 2 ,v ( k ) 0( k 3 ,4 , ,2 )0
y ( 2 ) 0 u ( 2 ) v 0 C 2 1 u ( 1 0 ) v 9 C 2 2 u ( 1 0 ) v 8
f(x)sinx2 c ox s 2 2 c ox s2 2
f(x)sinx22cosx32

11_2反比例函数的图像与性质(1)xxg

课题：11.2反比例函数的图像与性质（1）【学习目标】1. 能描点画出反比例函数的图形。

【重点难点】重点：画出反比例函数的图像，了解图像所经过的象限。

难点：画出反比例函数的图像，了解图像所经过的象限。

【新知导学】读一读：阅读课本P127-P129想一想：问题1：在下列坐标系中画出一次函数12-=x y画函数图像的一般步骤是什么？问题2：根据反比例函数表达式xy 6=，回答下列问题 1．x 、y 所取值的符号有什么关系？这个函数的图像会在哪些象限？2.x 、y 的值能够为0吗？这个函数的图像与x 轴、y 轴有交点吗？3.当x>0时，随着x 的增大（减小），y 怎样变化？当x<0时，随着x 的增大（减小），y 怎样变化？这个函数的图像与x 轴、y 轴的位置关系有什么特征？【新知归纳】1.反比例函数(0)ky k x =≠的图像是________ 2.当k>0时，()0ky k x =≠的图像在_______象限；当k<0时，()0ky k x=≠的图像在_____象限。

【例题教学】例1.画出反比例函数 y ＝6x 的图象．(1)列表： X y=6x（2）、描点：（3）、连线：例2. 在例1的直角坐标系中画出反比例函数y ＝-6x 的图像，并比较y ＝6x 与y ＝-6x 的图像特征。

课题：11.2反比例函数的图像与性质（1）班级姓名学号【当堂训练】1.在所给坐标系中画出下列函数的图像（1）8y x = （2）8y x=-课题：11.2反比例函数的图像与性质（1）班级姓名学号【课后巩固】YX123456-1-2-3-4-5-6123456-1-2-3-4-5-6o1.如果点（3，－4）在反比例函数k y x=的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是( )A.（3,4）B. （－2，－6）C.（－2，6）D.（－3，－4）2.如果函数212m y mx 是反比例函数，那么=m ____________.3.下列图象中表示函数xy 1-=的图象是（）4. 在所给坐标系中画出下列函数的图像（1）16y x = （2）16y x=-等第日期。

高等数学11 第一节函数的概念和性质

如函数 y x. 3 x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.函数的周期性
设函数 y f x 的定义域为Df ,如果存在一个
常数 T 0 ,使得对任意 x Df有 x T Df ,且
f x T f x,则称函数 f x为周期函数, T 称为f x
的周期.
显然,若是T周期函数的f 周x期,则也是kT f x的周期 k 1,2,通,3, 常说的周期就是最小正周期.
I 上是单调减少的. 它们统称为单调函数.使函数保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间 .
如函数 y ln x在0, 内是单调增加的,函数 y x在 ,内是单调减少的.
4.函数的有界性
设函数 y f x在区间 I上有定义,如果存在正常数 M ,使得对于区间 I 内所有x ,恒有 f x M , 则称函数 f x在区间 I 上有界.如果这样的M 不存在,则称f x在区间 I 上无界.
解 ⑴ f x与gx不是相同的函数,因为定义域不同. ⑵ f x与 gx是相同的函数,因为定义域与对应
法则都相同.
注求函数定义域时应注意的一般规律
① 开偶次方,根号内的表达式不小于零; ② 对数中的真数必须大于零; ③ 分式中的分母不能为零; ④ 反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能
大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
如函数y sin x 和 y cos x 都是以2 为周期的周期函数.
3.函数的单调性
设函数 y f x在区间 I上有定义,对I 内的任意两点 x1, x2 ,当 x1 x2时,若有f x1 f x2 ,则称f x 在 I 上是单调增加的;若有 f x1 f x2 ,则称 f x在
如函数 y sin x 在区间 ,内是有界的.