辽宁省大连市第二十高级中学高二数学上学期期末考试试题理

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2014-2015学年辽宁省大连二十中高二(上)期末数学试卷(理科)

2014-2015学年辽宁省大连二十中高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2010•云南模拟）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．2．（5分）（2011•天津）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）（2014秋•普兰店市校级期末）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为60°，则λ的值为（）A．B．C．D．±4．（5分）（2012•河北）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣75．（5分）（2010•揭阳模拟）直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B．C．D．6．（5分）（2014秋•普兰店市校级期末）设x+3y=2，则函数z=3x+27y的最小值是（）A．12 B．27 C．6 D．307．（5分）（2014秋•普兰店市校级期末）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x 的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为y=±2x，则该双曲线的方程为（）A．5x2﹣=1 B．﹣=1 C．5x2﹣=1 D．﹣=18．（5分）（2014秋•普兰店市校级期末）下列等式中，使M，A，B，C四点共面的个数是（）①=﹣﹣；②=++；③++=；④+++=．A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）（2014秋•普兰店市校级期末）已知f（n）=若a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+…+a2014=（）A．﹣1 B．2012 C．0 D．﹣201210．（5分）（2015•天津校级二模）设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）（2014秋•府谷县校级期末）将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足=﹣+，则||的值为（）A．B．2 C．D．12．（5分）（2014•安徽模拟）若直线l被圆C：x2+y2=2所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．+y2=1 C．y=x2D．x2﹣y2=1二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）（2014秋•普兰店市校级期末）已知A（2，1，0），B（0，3，1），C（2，2，3），则在上的正投影的数量为．14．（5分）（2011•东城区模拟）若实数x，y满足，则z=2x+2y的最大值为，最小值为．15．（5分）（2012•包头一模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线方程为．16．（5分）（2014秋•普兰店市校级期末）正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，底面边长为1，侧棱长为2，且MN是AB′，BC′的公垂线，M在AB′上，N在BC′上，则线段MN的长度为．三．解答题：本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）（2014秋•秦安县校级期末）已知函数f（x）=ax2+x﹣a，a∈R（1）若不等式f（x）有最大值，求实数a的值；（2）若不等式f（x）＞﹣2x2﹣3x+1﹣2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a＜0，解不等式f（x）＞1．18．（12分）（2014•芙蓉区校级模拟）已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1．1）求{a n}、{b n}的通项公式；2）若c n=a n b n，{c n}的前n项和为T n，求T n．19．（12分）（2014秋•普兰店市校级期末）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点O 是正方形ABCD对角线的交点，AA1=4，AB=2，点E，F分别在CC1和A1A上，且A1F=CE （Ⅰ）求证：B1F∥平面BDE（Ⅱ）若A1O⊥BE，求CE的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角A1﹣BE﹣O的余弦值．20．（12分）（2014秋•赣州期末）如图，F为抛物线y2=2px的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．（1）求该抛物线的方程；（2）如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围．21．（12分）（2013•河北）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．22．（12分）（2014秋•普兰店市校级期末）已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P点的坐标及l的方程，若不存在，说明理由．2014-2015学年辽宁省大连二十中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C 7．C 8．A 9．C 10．D 11．A 12．B二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．14．64 15．x2-=1 16．三．解答题：本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．18．19．20．21．22．。

大连二十中2020—2021年高二数学上学期期末试卷及答案

大连二十中2020—2021年高二数学上学期期末试卷及答案高二数学（理科）试卷考试时刻：120分钟试题分数：150分命题人：李飞卷Ⅰ一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 关于常数m 、n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=的曲线是双曲线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2. 命题“所有能被2整除的数差不多上偶数”的否定．．是 A ．所有不能被2整除的数差不多上偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数3. 已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则P 到另一焦点距离为 A ．2 B ．3 C ．5 D ．74 . 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范畴”,q 是“乙降落在指定范畴”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范畴”可表示为 A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∨5. 若双曲线22221x y a b-=3A ．2± B. 12± C. 2 D.22±6. 曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为A. 22B. 22-C. 12D. 12-7．已知椭圆)0(1222222>>=+b a b y a x 的焦点与双曲线12222=-bx a y 的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线2bx ay =的焦点坐标为 A. )0,43(B. )0,123(C. )123,0( D.)43,0( 8．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为123,,P P P ，① ② ③若屋顶斜面与水平面所成的角差不多上α，则A. 123P P P ==B. 123P P P =<C. 123P P P <=D. 123P P P <<9. 马云常说“廉价没好货”,他这句话的意思是:“不廉价”是“好货”的A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 设0>a ，c bx ax x f ++=2)(，曲线)(x f y =在点P （)(,00x f x ）处切线的倾斜角的取值范畴是]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范畴为A. ]1,0[aB. ]21,0[aC. ]2,0[a bD. ]21,0[a b - 11. 已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且60POB ∠=︒.若关于β内异于O 的任意一点Q ，都有60POQ ∠≥︒，则二面角AB αβ--的大小是A. 30︒B.45︒C. 60︒D.90︒12. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为 A ． 1312522=-y x B ．1351222=-y x C ．1512322=-y x D ．1125322=-y x卷Ⅱ二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1DD 的中点，O 为底面正方形ABCD 的中心，P 为棱11A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为． 14. 函数2()ln '(1)54f x x f x x =-+-，则(1)f ＝________．15.已知b a,是夹角为60的两单位向量，向量b c a c⊥⊥,，且||1c =,c b a y c b a x -+-=+-=3,2，则><y x,cos = .16. 过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AFFB= ．三、解答题:本大题共6小题,共70分,解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)过点(1,1)-作函数3()f x x x =-的切线，求切线方程.18.(本小题满分12分)已知集合{}|(1)(2)0A x ax ax =-+≤，集合{}|24.B x x =-≤≤ 若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范畴.19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形,//AD BC ,90BAD ∠=,PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===,,M N 分别为,PC PB 的中点.（Ⅰ）求证：PB DM ⊥；（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值．20. (本小题满分12分)已知三棱柱'''C B A ABC -如图所示，四边形''B BCC 为菱形，oBCC 60'=∠，ABC ∆为等边三角形，面⊥ABC 面''B BCC ，F E 、分别为棱'CC AB 、的中点.（Ⅰ）求证：//EF 面''BC A ；（Ⅱ）求二面角B AA C --'的大小．21. (本小题满分12分)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且椭圆上点到左焦点距离的最小值为1.（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程.22. (本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>过点，直线(1y k x =-）(0)k ≠与椭圆C 交于不同的两点M N 、,MN 中点为P ，O 为坐标原点，直线OP 斜率为12k-. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 的右顶点为A ，当AMN ∆k 的值.Cxyz2020-2021学年度上学期期末考试高二数学（理科）参考答案一．选择题CDBAC CDABB DB 二．填空题2π1- 5216- 322-三．解答题17.解：设切点为3(,)m m m -，则切线方程为32(31)()y m m m x m -+=--，┅┅┅┅┅┅2分将点(1,1)-带入，解得0m =或32， ┅┅┅┅┅┅┅ 8分因此切线方程为y x =-或234270x y --= ┅┅┅┅┅┅┅10分 18.解：（1）0a >时，21[,]A a a =-，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，因此212,4a a-≥-≤， 104a <≤，检验14a =符合题意；┅┅┅┅┅┅┅4分（2）0a =时，A R =，符合题意；┅┅┅┅┅┅┅8分（3）0a <时，12[,]A a a =-，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，因此122,4a a-≥≤-，102a -≤<，检验12a =-不符合题意. 综上11(,]24a ∈-.┅┅┅┅┅┅┅12分19. 解如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，设1BC =，则 1(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,1,0),(1,,1),(0,2,0)2A P B C M D .（I ）因为3(2,0,2)(1,,1)2PB DM ⋅=-⋅-0=，因此.PB DM ⊥（II ）因为(2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0=，因此PB AD ⊥，又因为PB DM ⊥，因此PB ⊥平面.ADMN因此,PB DC <>的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角. 因为cos ,||||PB DC PB DC PB DC ⋅<>=⋅105=，因此CD 与平面ADMN 所成的角的正弦为510 20. （Ⅰ）证明（方法一）取B A '中点D ，连接DC ED ,，因为D E ,分别为B A AB ',中点，因此'//,'21AA ED AA ED =，┅┅┅┅┅┅┅３分因此CF ED CF ED //,=，因此四边形EFCD 为平行四边形，因此CD EF //，又因为BC A CD BC A EF ''面，面⊂⊄，因此//EF 面BC A '；┅┅┅┅┅┅┅６分（方法二）取'AA 中点G ，连接FG EG ,，因为G E ,分别为',AA AB 中点，因此B A EG '//又因为G F ,分别为','AA CC 中点，因此''//C A FG ┅┅┅┅┅┅┅３分且G GF EG EFG GF EFG EG =⊂⊂ ,,面面，'''',''',''''A B A C A BC A B A BC A C A =⊂⊂ 面面因此面//EFG 面''BC A ，又⊂EF 面EFG ，因此//EF 面BC A '┅┅┅┅┅┅６分（方法三）取BC 中点O ，连接',OC AO ，由题可得BC AO ⊥，又因为面⊥ABC 面''B BCC ，因此⊥AO 面''B BCC ，又因为菱形''B BCC 中oBCC 60'=∠，因此BC O C ⊥'. 能够建立如图所示的空间直角坐标系 ┅┅┅┅┅┅┅7分不妨设2=BC ，可得)0,0,1(C ，)0,3,0('C)3,0,0(A ，)0,0,1(-B ，)3,3,1('-A ，)0,3,2('-B ，因此)0,23,21(),23,0,21(F E -因此)3,3,0('),0,3,1('),23,23,1(==-=BA BC EF ，┅┅┅┅┅┅┅9分设面BC A '的一个法向量为),,(c b a n =，则⎩⎨⎧=+=+03303c b b a ，不妨取3=a ，则)1,1,3(),,(-=c b a ，因此0=⋅n，又因为⊄EF 面BC A '，因此//EF 面BC A '.┅┅┅┅┅┅┅12分（Ⅱ）（方法一）过F 点作'AA 的垂线FM 交'AA 于M ，连接BF BM ,.因为'//','AA CC CC BF ⊥，因此'AA BF ⊥，因此⊥'AA 面MBF ，因此BMF ∠为二面角B AA C --'的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分因为面⊥ABC 面''B BCC ，因此A 点在面''B BCC 上的射影落在BC 上，因此41cos 'cos 'cos =∠∠=∠ACB BCC ACC ，因此AC MF ACC ==∠415'sin ，不妨设2=BC ，因此215=MF ，同理可得215=BM .┅┅┅┅┅┅┅10分因此532153415415cos =-+=∠BMF ，因此二面角B AA C --'的大小为53arccos ┅┅┅┅┅┅┅12分（方法二）接（Ⅰ）方法三可得)0,3,1('),3,0,1(-=--=AA AB ，设面B AA '的一个法向量为),,(1111z y x n =，则⎩⎨⎧=+-=--03031111y x z x ，不妨取31=x ，则)1,1,3(),,(111-=z y x .┅┅┅┅┅┅┅８分又)0,3,1('),3,0,1(-=-=AA AC ，设面C AA '的一个法向量为),,(2222z y x n =，则⎩⎨⎧=+-=-03032222y x z x ，不妨取32=x ，则)1,1,3(),,(222=z y x .┅┅┅┅┅┅┅１０分因此53||||,cos 212121=⋅⋅>=<n n n n n n ，因为二面角B AA C --'为锐角，因此二面角B AA C --'的大小为53arccos ┅┅┅┅┅┅┅１2分21.解：（Ⅰ）设左右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，椭圆上点P 满足,2||||2,2||||2121c PF PF c a PF PF ≤-≤-=+因此,||1c a PF c a +≤≤-P 在左顶点时||1PF 取到最小值12-=-c a ，又21=a c ，解得1,1,2===b c a ，因此1C 的方程为 1222=+y x .(或者利用设),(y x P 解出x aca PF +=||1得出||1PF 取到最小值12-=-c a ，关于直截了当说明P 在左顶点时||1PF 取到最小值的，酌情扣分)；┅┅┅┅┅┅┅4分（Ⅱ）由题明显直线l 存在斜率，因此设其方程为m kx y +=，┅┅┅┅┅┅┅5分联立其与1222=+y x ，得到 0224)21(222=-+++m kmx x k ，0=∆，化简得01222=--k m ┅┅┅┅┅┅┅8分联立其与22:4C y x =，得到042=+-m y y k ，0=∆，化简得01=-km ，┅┅┅┅┅┅┅10分解得2,22==m k 或2,22-=-=m k因此直线l 的方程为222+=x y 或222--=x y ┅┅┅┅┅┅┅12分 22. 解：（Ⅰ）由题可得直线过点（1,0），在椭圆内，因此与椭圆一定相交，交点设为),(),,(2211y x N y x M ，则2121x x y y k --=，OP 斜率为2121x x y y ++，因此2122212221-=--x x y y ，┅┅┅┅┅┅┅3分又1221221=+b y a x ，1222222=+b y a x ，因此02222122221=-+-by y a x x ，因此222b a =，又 11222=+ba ，解得2,422==b a ，因此椭圆C 的方程为12422=+y x ；┅┅┅┅┅┅┅6分（Ⅱ）(1y k x =-）与椭圆C 联立得：0424)21(2222=-+-+k x k x k ，┅┅┅┅┅┅┅8分AMN ∆面积为31021)32(82||||2||||21222121=++=-=-kk k x x k y y ，解得1±=k .┅┅┅┅┅┅┅12分。

辽宁省大连市高二数学上学期期末考试试题理-人教版高二全册数学试题

2016～2017学年度第一学期期末考试试卷高二数学（理科）注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I 卷一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设命题21:,04p x x x ∀∈-+≥R ，则p ⌝为（） A.21,04x x x ∃∈-+≥R B.21,04x x x ∃∈-+<RC.21,04x x x ∃∈-+≤RD.21,04x x x ∀∈-+<R2.已知椭圆2215x y k +=的一个焦点坐标为(2,0)，则k 的值为（） A ．1 B ．3 C ．9 D ．813.已知,,a b c 均为实数，则 “2b ac =”是“,,a b c 构成等比数列”的（） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.抛物线214x y =的准线方程是（） A ．116x =B ．116x =-C ．116y = D.116y =- 5.在等差数列{}n a 中，134561,20,a a a a a =+++=则8a =（） A ．7B ．8 C ．9 D ．106.已知ABC ∆的两个顶点()()5,0,5,0A B -，周长为22，则顶点C 的轨迹方程是（）A ．2213611x y +=B ．()22103611x y y +=≠C ．221916x y +=D ．()2210916x y y +=≠7.函数()ln xf x x=，则（） A ．x e =为函数()f x 的极大值点B ．x e =为函数()f x 的极小值点C ．1x e =为函数()f x 的极大值点D ．1x e=为函数()f x 的极小值点 8.如图所示，在正方体1111-ABCD A B C D 中，已知M N ，分别是BD 和AD 的中点，则1B M 与1D N 所成角的余弦值为（）A ．3010 B.3015C.3030D.1515（第8题图）9.已知数列{}n a ，1a ＝1，122nn n a a a +=+，则10a 的值为（） A.5 B.15 C.112 D. 21110.若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值X 围是（） A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3-∞ 11.已知(),0,x y ∈+∞，且满足1122x y+=，那么4x y +的最小值为（） A ．322- B ．232+ C ．322+ D ．232-12.已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若直线y x =与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形12PF QF 为矩形，则双曲线的离心率为（） A ．26+ B.26+ C.22+ D.22+第II 卷二、填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） 13.若)1,2,7(),0,3,1(),5,2,3(-=-=-=c b a ，则=⋅+c b a )(_______. 14.11e edx x=⎰__________. 15.椭圆C 的中心在坐标原点，左、右焦点12,F F 在x 轴上，已知,A B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x ⊥轴，2//PF AB ，则此椭圆的离心率为_____. 16.已知(,)f x y ax by =+，若1(1,1)2f ≤≤且-1(1,1)1f ≤-≤，则(2,1)f 的取值X 围为______.三、解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=，n ∈+N ．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）已知{}n b 是等差数列，且满足12b a =，3123b a a a =++，求数列{}n b 的通项公式.18.(本小题满分12分)已知抛物线()220y px p =>，焦点到准线的距离为4，过点()1,1P -的直线交抛物线于,A B 两点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）如果点P 恰是线段AB 的中点，求直线AB 的方程.19.(本小题满分12分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12,22AA AC CB AB ====. (Ⅰ)证明：1BC ∥平面1A CD ； (Ⅱ)求锐二面角1D A C E --的余弦值. （第19题图） 20.（本小题满分12分）在圆224x y +=上任取一点P ，点P 在x 轴的正射影为点Q ，当点P 在圆上运动时，动点M 满足2PQ MQ =，动点M 形成的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）点(2,0)A 在曲线C 上，过点()1,0的直线l 交曲线C 于,B D 两点，设直线AB 斜率为1k ，直线AD 斜率为2k ，求证：12k k 为定值.21.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，22==AD AB ，3π=∠DAB ，DC PD AD PD ⊥⊥,.(Ⅰ)证明：平面⊥PBC 平面PBD ；（第21题图） (Ⅱ)若二面角D BC P --为6π，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值.22.（本小题满分12分）设函数()2x f x x e =．（Ⅰ）求曲线()f x 在点()1,e 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x ax <对(),0x ∈-∞恒成立，某某数a 的取值X 围；（Ⅲ）求整数n 的值，使函数()()1F x f x x=-在区间(),1n n +上有零点． 2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学（理科）参考答案一．选择题1．B 2. C 3. A 4.D 5.C 6.B 7.A 8.A 9.D 10.C 11.C 12.D二．填空题13. 7- 14. 215. 571,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦三．解答题17. （Ⅰ）由题设可知{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，………………………2分所以13n n a -=，…………………………………………………………………………………4分1331132n n n S --==- (6)分（Ⅱ）设数列{}n b 的公差为d12312333,13b a b a a a S ===++==，31102b b d ∴-==，5,d ∴=.....................................................................8分 52n b n ∴=- (10)分18. （Ⅰ）由题设可知4p =，所以抛物线方程为28y x =……………………………4分（Ⅱ）方法一：设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=-又21122288y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，相减整理得1212128842y y x x y y -===--+-…………………………………8分所以直线AB 的方程是4(1)1y x =---，即430x y +-=.…………………………12分方法二：由题设可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)1y k x =--，1122(,),(,)A x y B x y ，由28(1)1y x y k x ⎧=⎨=--⎩，消去x ，得28880ky y k ---=，…………………………………6分易知2132()5602k ∆=++>，128y y k+=，又122y y +=-所以82k=-，4k =-………………………………………………………8分所以直线AB 的方程是4(1)1y x =---，即430x y +-=.……………………………12分19.解：(Ⅰ)连结1AC ,交1A C 于点O ，连结DO ,则O 为1AC 的中点，因为D 为AB 的中点，所以OD ∥1BC ,又因为OD ⊂平面1A CD ,1BC ⊄平面1A CD ,1BC ∴∥平面1A CD ……4分(Ⅱ)由12,22AA AC CB AB ====，可知AC BC ⊥,以C 为坐标原点，CA 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，1CC 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz ，则()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2D E A ,()1,1,0CD =,()0,2,1CE =,()12,0,2CA =设(),,n x y z =是平面1A CD 的法向量，则100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0220x y x z +=⎧⎨+=⎩可取()1,1,1n =--.……………………………6分同理，设m 是平面1A CE 的法向量，则10m CE m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取()2,1,2m =-.…………………………8分从而3cos ,3n m n m n m⋅〈〉==…………………10分所以锐二面角1D AC E --的余弦值为3……………………………………………12分 20.解：（Ⅰ）设点M 坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则00,2y x x y == 因为点()00,P x y 在圆224x y +=，所以22004x y +=①把00,2x x y y ==代入方程①，得2244x y +=，即2214x y +=，所以曲线C 的方程为2214x y +=.……………………………………………………………4分（Ⅱ）方法一：由题意知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为1x my =+，1122(,),(,)B x y D x y由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得22(4)230m y my ++-=，易知216480m ∆=+>，得12122223,44m y y y y m m --+==++…………………………8分 12121212212121212(2)(2)(1)(1)()1y y y y y y k k x x my my m y y m y y ===-----++222333244m m m -==--+++．所以123kk =-为定值………………………………12分方法二：（ⅰ）当直线l 斜率不存在时，(1,,B D所以123332212124k k -=⋅=---………………………………………………………………6分（ⅱ）当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)B x y D x y由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得2222(14)8440k x k x k +-+-=，易知248160k ∆=+>，22121222844,1414k k x x x x k k-+==++……………………………8分 []22121212121212121212()1(1)(1)(2)(2)(2)(2)2()4k x x x x y y k x x k k x x x x x x x x -++--===-----++ 2222222(44814344164164k k k k k k k --++==---++）．所以1234k k =-为定值…………………………12分21.解：（Ⅰ）∵PD AD ⊥,PD CD ⊥AD CD D =,AD ABCD ⊂平面 CD ABCD ⊂平面∴PD ⊥平面ABCD ，BC ABCD ⊂平面∴BC PD ⊥………………………2分又213AB AD DAB π==∠=，， ∴2221221cos33BD π=+-⨯⨯⨯= 又sin sin BD ABA ADB=∠ 322sin 13ADB ⨯∴∠==,90ADB ∠= AD BD ⊥,又因为AD ∥BC∴BC BD ⊥……………………………………………………………………4分又∵D BD PD =⋂,BD ⊂平面PBD ,PD ⊂平面PBD∴⊥BC 平面PBD而⊂BC 平面PBC ∴平面⊥PBC 平面PBD …………………………6分(Ⅱ)由（Ⅰ）所证，⊥BC 平面PBD所以∠PBD 即为二面角P BC D --的平面角，即∠PBD 6π=而3=BD ，所以1=PD ……………………………………………………………8分分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系。

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2015-2016学年辽宁省大连二十中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）对于实数m，n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1对应的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数3．（5分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为（）A．2B．3C．7D．54．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q5．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A．±2B．C．D．6．（5分）曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（）A．B．C．D．7．（5分）若椭圆（a＞b＞0）的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）8．（5分）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（）A．P3＞P2＞P1B．P3＞P2=P1C．P3=P2＞P1D．P3=P2=P1 9．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件10．（5分）设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）A．[0，]B．[0，]C．[0，||]D．[0，||]11．（5分）已知点O在二面角α﹣AB﹣β的棱上，点P在α内，且∠POB=60°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥60°，则二面角α﹣AB﹣β的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，点A在双曲线第一象限的图象上，若△AF1F2的面积为1，且tan∠AF1F2=，tan∠AF2F1=﹣2，则双曲线方程为（）A．B．C．=1D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是度．14．（5分）函数f（x）=lnx﹣f′（1）x2+5x﹣4，则f（1）=．15．（5分）已知是夹角为60°的两单位向量，向量，且，，则=．16．（5分）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则=．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）过点（1，﹣1）作函数f（x）=x3﹣x的切线，求切线方程．18．（12分）已知集合A={x|（ax﹣1）（ax+2）≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}．若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．（Ⅰ）求证：PB⊥DM；（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．20．（12分）已知三棱柱ABC﹣A′B′C′如图所示，四边形BCC′B′为菱形，∠BCC′=60°，△ABC为等边三角形，面ABC⊥面BCC′B′，E、F分别为棱AB、CC′的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面A′BC′；（Ⅱ）求二面角C﹣AA′﹣B的大小．21．（12分）已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1．（1）求C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点，直线y=k（x﹣1）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M、N，MN中点为P，O为坐标原点，直线OP斜率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）椭圆C的右顶点为A，当△AMN得面积为时，求k的值．2015-2016学年辽宁省大连二十中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）对于实数m，n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1对应的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选：B．2．（5分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”故选：D．3．（5分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为（）A．2B．3C．7D．5【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：2a=3+d⇒d=2a ﹣3=7．故选：C．4．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选：A．5．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A．±2B．C．D．【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴，解得．∴其渐近线的斜率为．故选：B．6．（5分）曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴y'==y'|x==|x==故选：B．7．（5分）若椭圆（a＞b＞0）的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）【解答】解：∵椭圆（a＞b＞0）的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点∴2a2﹣2b2=a2+b2，即a2=3b2，=．抛物线ay=bx2的方程可化为：x2=y，即x2=y，其焦点坐标为：（0，）．故选：D．8．（5分）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（）A．P3＞P2＞P1B．P3＞P2=P1C．P3=P2＞P1D．P3=P2=P1【解答】解：∵三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都是α，三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积都相同，可设为S0，则由面积射影公式，得：P1=S0÷cosα，P2=S0÷cosα，P3=S0÷cosα，∴P1=P2=P3．故选：D．9．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B．10．（5分）设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）A．[0，]B．[0，]C．[0，||]D．[0，||]【解答】解：∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是[0，]，∴f′（x0）=2ax0+b∈[0，1]，∴P到曲线y=f（x）对称轴x=﹣的距离d=x0﹣（﹣）=x0+∴x0∈[，]．∴d=x0+∈[0，]．故选：B．11．（5分）已知点O在二面角α﹣AB﹣β的棱上，点P在α内，且∠POB=60°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥60°，则二面角α﹣AB﹣β的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由题意可知，满足题意的图形如图：点O在二面角α﹣AB﹣β的棱上，点P在α内，且∠POB=60°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥60°，因为斜线与平面内直线所成角中，斜线与它的射影所成角是最小的，所以，二面角α﹣AB﹣β的大小是90°．故选：D．12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，点A在双曲线第一象限的图象上，若△AF1F2的面积为1，且tan∠AF1F2=，tan∠AF2F1=﹣2，则双曲线方程为（）A．B．C．=1D．【解答】解：设∠F1AF2=θ由已知可求得，∴，由焦点三角形面积得，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是90度．【解答】解：∵A1B1⊥面ADD1A1，AM⊂面ADD1A1，∴A1B1⊥AM．设面A1B1O与面ADD1A1的交线为A1F，面A1B1O与面BCC1B1的交线为B1E，则F，E为AD，BC的中点，∴AM⊥A1F．∵A1F∩A1B1=A1，∴AM⊥面A1FEB1，∵OP⊂面A1FEB1，∴AM⊥OP．∴直线OP与直线AM所成的角是90°故答案为：90°14．（5分）函数f（x）=lnx﹣f′（1）x2+5x﹣4，则f（1）=﹣1．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣f′（1）x2+5x﹣4，∴f′（x）=﹣2f′（1）x+5，∴f′（1）=6﹣2f′（1），解得f′（1）=2．∴f（x）=lnx﹣2x2+5x﹣4，∴f（1）=﹣1．故答案为：﹣1．15．（5分）已知是夹角为60°的两单位向量，向量，且，，则=．【解答】解：∵是单位向量，∴||=||=||=1，∵夹角为60°，，∴=||•||cos60°=，=0，=0，∴||2=2=（2﹣+）2=42+2+2﹣4+4﹣2=4．||2=2=（﹣+3﹣）2=2+92+2﹣6+2﹣6=8．∴||=2，||=2．=（2﹣+）•（﹣+3﹣）=﹣22﹣32﹣2+7+4﹣3=﹣，∴===﹣．故答案为﹣．16．（5分）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则=．【解答】解：设直线l的方程为：x=y﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），由x=y﹣，代入x2=2py，可得y2﹣3py+p2=0，∴y1=p，y2=p，从而，==．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）过点（1，﹣1）作函数f（x）=x3﹣x的切线，求切线方程．【解答】解：设切点为（m，m3﹣m），f（x）=x3﹣x的导数为f′（x）=3x2﹣1，切线的斜率为k=3m2﹣1，则切线方程为y﹣m3+m=（3m2﹣1）（x﹣m），将点（1，﹣1）代入，可得﹣1﹣m3+m=（3m2﹣1）（1﹣m），解得m=0或，所以切线方程为y=﹣x或23x﹣4y﹣27=0．18．（12分）已知集合A={x|（ax﹣1）（ax+2）≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}．若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＞0时，，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以，，检验符合题意；┅┅┅┅┅┅┅（4分）（2）a=0时，A=R，符合题意；┅┅┅┅┅┅┅（8分）（3）a＜0时，，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以，，检验不符合题意．综上．┅┅┅┅┅┅┅（12分）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．（Ⅰ）求证：PB⊥DM；（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．【解答】（本题满分13分）解：（Ⅰ）解法1：∵N是PB的中点，PA=AB，∴AN⊥PB．∵PA⊥平面ABCD，所以AD⊥PA．又AD⊥AB，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，AD⊥PB．又AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN．∵DM⊂平面ADMN，∴PB⊥DM．…（6分）解法2：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设BC=1，可得，A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），，D（0，2，0）．因为，所以PB⊥DM．…（6分）（Ⅱ）解法1：取AD中点Q，连接BQ和NQ，则BQ∥DC，又PB⊥平面ADMN，∴CD与平面ADMN所成的角为∠BQN．设BC=1，在Rt△BQN中，则，，故．所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为．…（13分）解法2：因为．所以PB⊥AD，又PB⊥DM，所以PB⊥平面ADMN，因此的余角即是CD与平面ADMN所成的角．因为．所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为．…（13分）20．（12分）已知三棱柱ABC﹣A′B′C′如图所示，四边形BCC′B′为菱形，∠BCC′=60°，△ABC为等边三角形，面ABC⊥面BCC′B′，E、F分别为棱AB、CC′的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面A′BC′；（Ⅱ）求二面角C﹣AA′﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）（方法一）取A'B中点D，连接ED，DC，因为E，D分别为AB，A'B中点，所以，（3分）所以ED=CF，ED∥CF，所以四边形EFCD为平行四边形，所以EF∥CD，又因为EF⊄面A'BC，CD⊂面A'BC，所以EF∥面A'BC．（6分）（方法二）取AA'中点G，连接EG，FG，因为E，G分别为AB，AA'中点，所以EG∥A'B又因为F，G分别为CC'，AA'中点，所以FG∥A'C'（3分）且EG⊂面EFG，GF⊂面EFG，EG∩GF=G，A'C'⊂面A'BC'，A'B⊂面A'BC'，A'C'∩A'B=A'，所以面EFG∥面A'BC'，又EF⊂面EFG，所以EF∥面A'BC．（6分）（方法三）取BC中点O，连接AO，OC'，由题可得AO⊥BC，又因为面ABC⊥面BCC'B'，所以AO⊥面BCC'B'，又因为菱形BCC'B'中∠BCC'=60°，所以C'O⊥BC．可以建立如图所示的空间直角坐标系，（7分）不妨设BC=2，可得C（1，0，0），，B（﹣1，0，0），，，所以所以，┅┅┅┅┅┅┅（9分）设面A'BC的一个法向量为，则，不妨取，则，所以，又因为EF⊄面A'BC，所以EF∥面A'BC．（12分）解：（Ⅱ）（方法一）过F点作AA'的垂线FM交AA'于M，连接BM，BF．因为BF⊥CC'，CC'∥AA'，所以BF⊥AA'，所以AA'⊥面MBF，所以∠BMF为二面角C﹣AA'﹣B的平面角．（8分）因为面ABC⊥面BCC'B'，所以A点在面BCC'B'上的射影落在BC上，所以，所以，不妨设BC=2，所以，同理可得．（10分）所以，所以二面角C﹣AA'﹣B的大小为．（12分）（方法二）接（Ⅰ）方法三可得，设面AA'B的一个法向量为，则不妨取，则．（8分）又，设面AA'C的一个法向量为，则，不妨取，则．（10分）所以，因为二面角C﹣AA'﹣B为锐角，所以二面角C﹣AA'﹣B的大小为┅┅┅┅（12分）21．（12分）已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1．（1）求C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可得e==，由椭圆的性质可得，a﹣c=﹣1，解方程可得a=，c=1，则b==1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）直线l的斜率显然存在，可设直线l：y=kx+m，由，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由直线和椭圆相切，可得△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，即为m2=1+2k2，①由，可得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，由直线和抛物线相切，可得△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0，即为km=1，②由①②可得或，即有直线l的方程为y=x+或y=﹣x﹣．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点，直线y=k（x﹣1）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M、N，MN中点为P，O为坐标原点，直线OP斜率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）椭圆C的右顶点为A，当△AMN得面积为时，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）由题可得直线过点（1，0），在椭圆内，所以与椭圆一定相交，交点设为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则，OP 斜率为，所以，┅┅┅┅┅┅┅（3分）又，，所以，所以a 2=2b 2，又，解得a 2=4，b 2=2，所以椭圆C 的方程为；┅┅┅┅┅┅┅（6分）（Ⅱ）椭圆C 的方程为；椭圆C 的右顶点为A （2，0），直线过点P （1，0），|AP |=1．y=k （x ﹣1）与椭圆C 联立得：（1+2k 2）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣4=0，┅┅┅┅┅┅┅（8分），x 1+x 2=，x 1x 2=，y 1﹣y 2=k （x 1﹣x 2）．△AMN面积为：=，解得k=±1．┅┅┅┅┅┅┅（12分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下)x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x第21页（共21页）①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

辽宁省大连市2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题(1)

辽宁省大连市2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．抛物线212y x =的准线方程为（） A ．18x =-B ．14x =-C ．12x =-D ．1x =-2．命题：“20,0x x x ∀>-≥”的否定是（） A ．20,0x x x ∀≤-> B ．20,0x x x ∀>-≤ C ．20,0x x x ∃>-< D ．20,0x x x ∃≤->3．若0ab >，则b aa b+的最小值是（） A ．1BC ．2D．4．{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（） A ．64B ．100C ．110D ．1205．命题:1p x ≥，命题1:1q x≤，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知实数,x y 满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =-的最小值是（）A ．5B ．5-C ．52D ．52-7．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A ．B ．6C ．D ．128．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量1AB,AD,AA 两两的夹角均为60°,且|AB |=1,|AD |=2,|1AA |=3,则|1AC |等于( )A ．5B ．6C ．4D ．89．已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为 A ．1B ．2C ．-1D ．-210．关于x 的不等式0ax b ->的解集为(),1-∞-，则关于x 的不等式()()20x ax b -+<的解集为（） A ．()1,2- B ．()1,2C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),12,-∞⋃+∞11．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离）A ．225514y x -= B ．22154x y -= C ．22154y x -= D ．224515y x -= 12．若()f x 的定义域为R ，()2f x '<恒成立，()12f -=，则()24f x x >+的解集为（） A ．()1,1- B ．(),1-∞-C ．()1,-+∞D ．(),-∞+∞二、填空题13．{}n a 是公比为正数的等比数列，若354,16a a ==则数列{}n a 的前5项和为___．14．直线1y x =-与椭圆22142x y +=相交于,A B 两点，则AB = 15．12,F F 为椭圆2222:1x y C a b+=左右焦点，A 为椭圆上一点，2AF 垂直于x 轴，且三角形12AF F 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为___．16．点P 是圆()22:24C x y ++=上的动点，定点()2,0F ，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q 的轨迹方程是___．三、解答题17．过抛物线2:2E y px =的焦点F 的一条直线与抛物线E 交于()()1122,,,P x y Q x y 两点.求证：212.y y p =-18．已知等差数列{}n a ()n N*∈的前项和为nS，且335,9.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}()n b n N *∈，若2235,b a b a ==，求数列{}n n a b +的前n 项和(1)(21)02ab b =-+->19．如图所示，四边形ABCD 是直角梯形，ABC BAD 90∠∠==，SA ⊥平面ABCD ，SA AB BC 2===，AD 1=．()1求SC 与平面ASD 所成的角余弦值； ()2求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦值．20．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值．（1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围．21．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面1,//,,1,2ABCD AB DC AB AD AD CD AA AB ⊥====,E 为棱1AA 的中点.（1）证明：11B C CE ⊥；（2）求二面角11B CE C --的正弦值.22．已知椭圆C 的中心是坐标原点O ，它的短轴长，焦点(),0F c ，点10,0A c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且2.OF FA =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点A 的直线与椭圆C 相交于,P Q 两点，且以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ，若存在，求出直线PQ 的方程；不存在，说明理由.参考答案1．A 【解析】结合抛物线的标准方程可得：抛物线212y x =的准线方程为11248x =-=-. 本题选择A 选项. 2．C 【解析】全称命题的否定是特称命题，改量词，否结论，所以命题：“20,0x x x ∀>-≥”的否定是20,0x x x ∃>-<.本题选择C 选项. 3．C 【解析】0,0,0,2b a b a ab a b a b >∴>>∴+≥=，等号当且仅当,b a a b =即a b =时等号成立.则b aa b+的最小值是2. 本题选择C 选项. 4．B 【详解】设等差数列的公差为d ，由a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，可得：111146728a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩解方程组可得1a 1,d 2101109101002S a d ⨯∴=+=. 故选：B考点：等差数列通项公式及求和 5．A 【解析】对于命题q ，求解11x ≤有1110,0,(1)0,0 1.x x x x x x x--≤∴≤∴-≥∴≤≥或显然命题p 对应的集合为命题q 对应集合的真子集，所以p 是q 的充分不必要条件.本题选择A 选项. 6．B 【解析】作出不等式组2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，其中13A -（，），由2,2z x y y x z =-∴=-，将直线l ：2y x =进行平移，观察y 轴上的截距变化，可得：当l 经过点()1,3A -时，目标函数z 达到最小值， ∴z 最小值为2(1)3 5.⨯--=- 本题选择B 选项.7．C 【分析】根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解. 【详解】设另一焦点为F ，由题F 在BC 边上，所以ABC ∆的周长l AB BC CA AB BF CF CA =++=+++==故选：C 【点睛】此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算. 8．A 【分析】结合图形先表示出1AC =1AB AD AA ++，再计算21AC ，即可解决问题．【详解】在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中有，11AC AB AD CC =++=1AB AD AA ++ 所以有1AC =1AB AD AA ++，于是有21AC =21AB AD AA ++21AC =2220001112cos602cos602cos60AB AD AA AB AD AB AA AD AA +++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=25所以15AC =，答案选A 【点睛】求空间向量的模有两种方法：一是平方法，即利用2a a a =⋅，其实质转化为数量积求解；二是从标法，即利用公式2a x y =+9．B 【解析】设切点00(,)P x y ，则，又001|1x x y x a===+' 00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=，故答案选B ．10．D 【解析】0ax b ax b ->⇒>,由于解决为1x <-,故0a <,且1ba=-,故()()20x ax b -+=的开口向下,两个根为1,2,所以解集为1,2x x .故选D . 11．A 【解析】试题分析：抛物线焦点为()1,0，所以双曲线中1c =，245c e a b a ====，双曲线方程为225514y x -=考点：双曲线抛物线方程及性质 12．B 【解析】设()()24F x f x x =--，则()()2F x f x '='-，因为()2f x '<恒成立,所以()()20,F x f x '='-<即函数F (x )在R 上单调递减. 因为()12f -=,所以()()()112142240F f -=--⨯--=+-=，则不等式即()()240F x f x x =-->，据此可得：()()()241F x f x x F =-->-.所以1x <-，即不等式()24f x x >+解集为(,1)-∞-. 本题选择B 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效． 13．31 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，2531644a q a ∴===，解得2q ，3122412a a q ∴===， ∴数列{}n a 的前5项和()()55151********a q S q-⨯-===--.14．3.54 【解析】试题分析：把1y x =-代入椭圆22142x y +=化简可得23420x x --=，∴121242,33x x x x +==-，由弦长公式可得()12123AB x x x =-=+=考点：直线与椭圆方程相交的弦长问题151 【解析】由椭圆的通径公式可得：22b AF a=，由抛物线方程可得122F F c =，三角形12AF F 为等腰直角三角形，则：212AF F F =，即：22b c a =，整理可得：2222,210a c ac e e -=∴+-=，求解关于e 的方程可得：1e =-±椭圆的离心率0e >1.16．2213y x -=【解析】由垂直平分线的性质有QP QF =，所以2QF QC QP QC CP -=-==，又42CF =>，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是C ，F 为焦点，以4为实轴长的双曲线，2224a c ∴==，，12a c ∴==，，b ∴= 所以点Q 的轨迹方程是2213y x -=.点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义． 17．证明见解析【解析】【试题分析】当直线斜率不存在时,可求得12,P P 两点的坐标,可得212y y p =-成立.当直线斜率存在时,用点斜式设出直线方程,联立直线方程和抛物线方程,消去x ,用韦达定理证明. 【试题解析】当过焦点F 的直线垂直于x 轴时，则212y y p =-成立，当直线不与x 轴垂直时，设2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得2220ky py p --= 所以212y y p =- .18．(1)21n a n =-；(2)()21312nn T n =+-. 【解析】试题分析：（1）由39S =，可得23a =，则数列的公差 2.d =通项公式为()222 1.n a a n d n =+-=-（2）由(1)可得22353,9b a b a ====，则公比 3.q =从而13n n b -=，分组求和可得()21312nn T n =+-. 试题解析：（1）由39S =，得239a =，所以2 3.a = 又因为35a =，所以公差 2.d = 从而()222 1.n a a n d n =+-=-（2）由(1)可得22353,9b a b a ====，所以公比 3.q =从而2123n n n b b q--=⋅=，则()1213n n n a b n -+=-+，分组求和可得()21312nn T n =+-. 点睛：数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．19．（1）3；（2）3【分析】（1）建立直角坐标系，求出SC 和平面ASD 的一个法向量，设SC 与平面ASD 所成的角为θ，利用向量法求解即可；（2）分别求出平面SAB 和平面SCD 的法向量，利用向量法求解平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦值．【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，S （0，0，2），C （2，2，0），D （1，0，0），＝（2，2，﹣2），∵AB ⊥平面SAD ，故平面ASD 的一个法向量为＝（0，2，0），设SC 与平面ASD所成的角为θ，则sin θ＝cos ,SC AB =•SC AB SC AB＝，故cos θSC 与平面ASD所成的角余弦为：3. （2）平面SAB 的一个法向量为：m ＝（1，0，0），∵＝（2，2，﹣2），＝（1，0，﹣2），设平面SCD 的一个法向量为＝（x ，y ，z ），由⇒，令z ＝1可得平面SCD 的一个法向量为＝（2，﹣1，1）显然，平面SAB 和平面SCD 所成角为锐角，不妨设为α，则cos α＝＝，即平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦值为 .【点睛】本题考查了二面角的平面角和直线与平面所成角，注意向量法的合理运用，属于中档题.20．解：（1）1,22a b =-=-，递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23-，1）．（2）1,2c c <->或【分析】（1）求出f '（x ），由题意得f '（23-）＝0且f '（1）＝0联立解得a 与b 的值，然后把a 、b 的值代入求得f （x ）及f '（x ），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x ∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f （2），代入求出最大值，然后令f （2）＜c 2列出不等式，求出c 的范围即可．【详解】（1）()32f x x ax bx c =+++，f '（x ）＝3x 2+2ax +b由()2124'0393'1320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=⎩解得，122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩f '（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1），函数f （x ）的单调区间如下表：所以函数f （x ）的递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23-，1）．（2）因为()[]3212122f x x x x c x =--+∈-，，，根据（1）函数f （x ）的单调性，得f （x ）在（﹣1，23-）上递增，在（23-，1）上递减，在（1，2）上递增，所以当x 23=-时，f （x ）2227=+c 为极大值，而f （2）＝22227c c +>+，所以f （2）＝2+c 为最大值．要使f （x ）＜2c 对x ∈[﹣1，2]恒成立，须且只需2c ＞f （2）＝2+c ．解得c ＜﹣1或c ＞2．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．21．(1)证明见解析；(2)7. 【详解】试题分析：以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得：()()()()()()110,0,0,0,0,2,1,0,10,2,2,1,2,1,0,1,0A B C B C E（1）易得()()111,0,1,1,1,1CE B C =-=--,则110B C CE ⋅=,11.B C CE ⊥ （2）由题意可得平面1B CE 的一个法向量()3,2,1m =--，平面1CEC 的一个法向量为()111,0,1B C =-，则111111,7m B C cos m B Cm B C ⋅=-⋅><=,故二面角11B CE C --的正弦值为7试题解析：如图所示，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得()()()()()()110,0,0,0,0,2,1,0,10,2,2,1,2,1,0,1,0A B C B C E ，，（1）证明：易得()()111,0,1,1,1,1CE B C =-=--,于是110B C CE ⋅=, 所以11.B C CE ⊥（2）()11,2,1B C =--,设平面1B CE 的一个法向量(),,m x y z =，则100m B C m CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即20x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩消去x ，得20y z +=，不妨令1z =，所以平面1B CE 的一个法向量为()3,2,1m =--由（1）知，11,B C CE ⊥又11111,,,CC B C CE CC C CE CC ⊥⋂=⊂平面1CEC ，所以11B C ⊥平面1CEC ，故()111,0,1B C =-为平面1CEC 的一个法向量，于是111111,714m B C cos m B C m B C ⋅<===->⋅,从而1121,.7sin m B C ><=所以二面角11B CE C --的正弦值为722．(1)22162x y +=；(2)答案见解析.【解析】【试题分析】(1)利用2OF FA =列方程,可求得2c =,由题意可知b =由此求得a ,且出去椭圆的标准方程.(2) 设直线PQ 的方程为()3y k x =-,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,利用圆的直径所对的圆周角为直角,转化为两个向量的数量积为零建立方程,由此求得k 的值. 【试题解析】（1）由题意知，()10,0,,0b F c A c c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()10,0,2,0OF c FA c c ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由2OF FA =，得204c c c=-，解得： 2.c = 2226,a b c ∴=+=∴椭圆的方程为22162x y +=3=（2）()3,0A ，设直线PQ 的方程为()3y k x =-联立()223162y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()222213182760k x k x k +-+-=设()()1122,,,P x y Q x y ，则2212122218276,1313k k x x x x k k-+==++ ()22222121212222276543399131313k k k y y k x x x x k k k k ⎡⎤-⎡⎤=-++=-+=⎢⎥⎣⎦+++⎣⎦由已知得OP OQ ⊥，得12120x x y y +=，即22222227633060131313k k k k k k--+==+++解得：k =，符合0,∆>∴直线PQ的方程为()35y x =±-.。

2019-2020学年辽宁省大连市高二上学期期末考试数学试卷及答案

2019-2020学年辽宁省大连市高二上学期期末考试数学试卷及答一、单选题1．如图，记直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，倾斜角分别为12,αα则下列结论正确的是（）A ．1212,k k αα>>B ．1212,k k αα><C ．1212,k k αα<>D ．1212,k k αα<<2．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b == ,1AA c = ，则与BM相等的向量是（）A ．1122a b c++B ．1122a b c--+C ．1122a b c-+D ．1122-++a b c3．抛物线2:4C y x =的焦点坐标是（）A ．(1,0)B ．(2,0)C ．(1,0)-D ．(2,0)-4．已知二面角l αβ--的两个半平面α与β的法向量分别为,a b ，且,a b 6π<>= ，则二面角l αβ--的大小为（）A ．6πB ．56πC ．6π或56πD ．6π或3π5．已知A 、B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，则炮弹爆炸点的轨迹是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A C 的中点，则异面直线CE 与BD 所成的角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（）A ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)4x y -++=C ．22(4)(2)4x y ++-=D ．22(2)(1)1x y ++-=8．已知抛物线2:8C y x =上一点P ，直线12:2,:34140l x l x y =--+=，则P 到这两条直线的距离之和的最小值为（）A ．2B ．4C ．125D ．2459．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为6，过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，若AB 中点坐标为(1,1)-，则C 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．221189x y +=C ．221459x y +=D ．2217236x y +=10．如图，椭圆222:116x y C a +=的焦点为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，交y 轴于点H .若1F 、H 是线段MN 的三等分点，则2F MN 的周长为（）A ．5B ．65C ．45D ．511．在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等②存在一个平面与正方体的6个面所成的二面角的正弦值都相等③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等其中真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．412．设F 是双曲线22221x y a b-=的右焦点，双曲线两渐近线分别为1l ，2l ，过点F 作直线1l 的垂线，分别交1l ，2l 于A ，B 两点，若A ，B 两点均在x 轴上方且3OA =，5OB =，则双曲线的离心率e 为（）A ．52B ．2C 5D ．6二、填空题13．已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若向量1133OP OA OB OC λ=++，且点P 与,,A B C 共面，则实数λ=__________.14．直线2210ax y ++=与20x y --=平行，则实数a =__________.三、双空题15．已知方程22149x y k k+=--，当这个方程表示椭圆时，k 的取值的集合为________；当这个方程表示双曲线时，k 的取值的集合为_________.16．已知()11,M x y 为圆22:1C x y +=上一点，则过C 上点M 的切线方程为________，若()22,N x y 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上一点，则过E 上点M 的切线方程为_____________.四、解答题17．过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线交C 于,A B 两点，l 为C 的准线，0为坐标原点.过B 做1BB l ⊥于1B ，设()()1122,,,A x y B x y .（1）求12y y ⋅的值；（2）求证：1,,A O B 三点共线.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//,,ABCD AD BC AB AD E ⊥为PD中点且12BC AB PA AD ===.（1）求证：//CE 平面PAB ；（2）求二面角E AC D --的余弦值.19．已知直线:20l x y ++=与圆222:(2)(0)C x y r r -+=>相切，O 为原点，(2,0)A -.（1）若过A 的直线1l 与C 相交所得弦长等于4，求直线1l 的方程；（2）P 为C 上任意一点，求||||PO PA 的值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，椭圆C 过点(2,0).（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为12的直线l 与C 交于,A B 两点，已知(2,1)P ，求PAB △面积的最大值.21．如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，90BAC ︒∠=，111,2,AB BC BB DC DC =====，平面1CC D ⊥平面11ACC A .（1）M 为三角形1DCC 内（含边界）的一个动点，且1AM DC ⊥，求M 的轨迹的长度；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成角的正弦值为4？若存在，求BPBC的值；若不存在，说明理由.22．已知平面内的两点(0,(0,A B -，过点A 的直线1l 与过点B 的直线2l 相交于点C ，若直线1l 与直线2l 的斜率乘积为12-，设点C 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）设P 是E 与x 轴正半轴的交点，过P 点作两条直线分别与E 交于点,M N ，若直线,PM PN 斜率之积为4-，求证：直线MN 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.数学试题参考答案1-10BDACC DABBA 11-12DC13．13；14．1-；15．(,4)-∞(4,9)16．111x x y y +=22221x x y ya b+=17．（1）由题意可设直线:2AB pl x my =+，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，化简得2220(*)y pmy p --=,222440p m p =+> .由题知12,y y 为方程（）的根，所以212y y p =-.（2）因为11211122AO y y p k y x y p===，又因为122B O y k p =-，由（1）可知212y y p =-，所以12122B O y p k p y ==-，所以1AO B O k k =，所以1,,A B O 三点共线.18．（1）证明：取PA 中点F ，连接,EF BF .因为PAD △中，,E F 为中点，所以//EF AD 且12EF AD =.又因为//BC AD 且12BC AD =，所以//BC EF 且BC EF =.所以四边形BCEF 为平行四边形，所以//CE BF ，又因为CE ⊄平面,PAB BF ⊂平面PAB ，所以//CE 平面PAB .（2）以A 为坐标原点，,,AB AD AP分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.设1PA =，所以平面ACD 的法向量为设(0,0,1)AP =.又1(1,1,0),0,1,2C E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(1,1,0),0,1,2AC AE ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，设面EAC 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则有：001002x y AC n y z AE n +=⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩，可求得平面EAC 的一个法向量为(1,1,2)n =-.设二面角E AC D --大小为θ，则0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6cos |cos ,|3n AP θ=<>= ，所以二面角E AC D --的余弦值为63.19．（1）解：由题知圆心(2,0)C ，因为l 与圆C 相切，所以422r ==，所以圆22:(2)8C x y -+=.设圆心C 到1l 的距离为d ，由题有842d =-=，设1:(2)l y k x =+，所以221d k ==+，解得33k =±，所以13:(2)3l y x =±+.（2）设()00,P x y ，所以()22220000|||2PO x y PA x y =+=++，所以()22002200||||2x y PO PA x y+=++因为()220028x y -+=，所以()()()22000220008244||2||882282x x x PO PA x x x +--+===+++--.20．（1）由题知2a =，因为12c a =，所以1c =，所以b =，所以22:143x y C +=.（2）设直线1:2l y x m =+，联立2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消掉y 整理得2230x mx m ++-=，由()22430m m ∆=-->，可解得24m <，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212,3x x m x x m +=-=-.所以2||AB ==，因为P (2,1)到l的距离为d =，所以2214||2222PABm m S AB d +-==⨯=△，当且仅当224m m =-，即22m =时，PABS .21．（1）作1CH DC ⊥，连接AH ，由题知1CC ⊥平面ABC ，所以1CC AC ⊥，因为平面1CC D ⊥平面11ACC A ，平面1CC D ⋂平面111ACC A CC =，所以AC ⊥平面1DCC ，所以1AC DC ⊥，因为1CH DC ⊥，且1CH DC H =∩，所以1DC ⊥平面ACH ，所以M 的轨迹为线段CH ，在1DCC △中可解得455CH =;（2）存在.以A 为坐标原点，,,AC AA AB分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,所以11(0,0,0),(0,0,1),(0,2,1)A C C D B B ，所以1(0,2,0),BB BD ==，设平面1BB D 的法向量(,,)n x y z = ，所以20y y z =⎧⎪++=，所以平面1BB D的一个法向量3)n =-，设,[0,1]BP BC λλ=∈，所以1,1)DP DB BC λλ=+=---，所以4=解得12λ=或56λ=-（舍），所以12BP BC =.22．解：（1）设(,)C x y，由题得12y y x x -+⋅=-，化简得221168x y +=，经检验所求方程为22:1(0)168x y E x +=≠（2）由题知(4,0)P ，设直线MN 方程为,(4,4)x my t t =+∈-，设()()1122,,,M x y N x y ，联立22,1,168x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 化简得()22222160m y mty t +++-=，由()()2222442160m t m t ∆=-+->，化简得228160m t -+>，且2121222216,22mt t y y y y m m -+=-=++，由题得1212444y y my t my t -=⋅+-+-，整理得()()221212144(4)4(4)0m y y m t y y t ++-++-=，代入整理得：(928)(4)0t t --=，解得289t =或4t =（舍），所以直线MN 过点28,09⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

辽宁省大连市第二十高级中学高三数学上学期期末考试试

2015-2016学年度上学期期末考试高三数学试卷（理科）考试时间：120分钟试题分数：150分参考公式：球的体积公式：343V R π=，其中R 为半径. 卷Ⅰ一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集R U =，集合}06|{},42|{2≤--=<<=x x x B x x A ，则)(B C A R I 等于 A ．)2,1( B ．)4,3( C ．)3,1( D ．)4,3()2,1(Y2.已知,21,21i z i m z -=+=若21z z为实数，则实数m 的值为A ．2B ．2-C ．21D ．21- 3.已知向量,满足2)(=+⋅a b a ，且2||,1||==b a ，则a 与b 的夹角为A ．4πB ．3πC ．6π D ．32π4.已知31)2sin(=+απ，则)2cos(απ+等于A ．97B ．97-C ．92D ．32-5. 43)2(xx -的展开式中的常数项为A ．32B ．64C ．32-D ．64-6. “2=m ”是“直线0)7()1(3=--++m y m x 与直线032=++m y mx 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 由直线x y 2=及曲线224x y -=围成的封闭图形的面积为 A ．1 B ．3 C ．6 D ．98. 某四面体的三视图如图所示，其主视图、左视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 A ．34πB ．π3C ．π23D ．π9. 若执行右面的程序框图，则输出的k 值是A ．4 B. 5 C. 6 D. 731n n =+开始 n =3，k =0 n 为偶数n =8输出k 结束k =k +1 是否是否2n n =10. 从抛物线x y 42=图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5||=PM ，设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为A ．10B ．20C ．40D ．8011. 实数y x ,满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥+-≤-+**02204N y N x y x y x ，则y x z -=的最小值为 A ．2- B ．1- C ．0 D ．112. 已知函数)1(-=x f y 的图象关于点)0,1(对称，且当)0,(-∞∈x 时，0)()(<'+x f x x f 成立（其中)(x f '是)(x f 的导函数），若),3(log )3(log ),3(33.03.0ππf b f a ⋅=⋅= )91(log )91(log 33f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>卷Ⅱ二．填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4,613==a S ，则公差d 等于___________.14．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线经过点)6,3(，则该渐近线与圆16)2(22=+-y x 相交所得的弦长为___________.15．定义运算：⎩⎨⎧<≥=∇)0( )0( xy y xy x y x ，例如：343=∇，44)2(=∇-，则函数)2()(22x x x x f -∇=的最大值为____________.16．设}{n a 是等比数列，公比2=q ，n S 为}{n a 的前n 项和.记*12,17N n a S S T n nn n ∈-=+，设0n T 为数列}{n T 的最大项，则=0n T ___________.三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,所对的边长，且.53cos cos c A b B a =- （Ⅰ）求BAtan tan 的值；（Ⅱ）若︒=60A ，求222sin c b a Cab -+的值.18．（本小题满分12分）为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷” 冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与. 志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物. 每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作. 相关统计数据如下表所示：到班级宣传整理、打包衣物总计 20人30人50人（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?（Ⅱ）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的分布列及数学期望. 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90PAB ABC ∠=∠=o，//AD BC ，2PA AB BC AD ===，E 是PC 的中点．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求二面角A PD E --的余弦值．20．（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，经过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点的直线E BC30x y --=与C 相交于,M N 两点，P 为MN 的中点，且OP 斜率是14-． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)直线l 分别与椭圆C 和圆D ：222()x y r b r a +=<<相切于点A B 、，求||AB 的最大值． 21．（本小题满分12分）设函数xax a x x f -+-=1ln )(. (Ⅰ)若1>a ，求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)若3>a ，函数3)(22+=x a x g ，若存在]2,21[,21∈x x ，使得9|)()(|21<-x g x f 成立，求a 的取值范围.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，F 为BD 中点，连接AF 交CH 于点E ，（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB ；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O 的半径． 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为212212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24(sin cos )40ρρθθ-++=，. （Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=．（I ）求证：22213a b c ++≥；（II ）求证：2221a b c b c a++≥． E F H C BO A D2015-2016学年度上学期期末考试高三数学试卷（理科）参考答案一．选择题1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．D 8．C 9．A 10．A 11．C 12．B 二．填空题 13．2- 14．5516 15．4 16． 929+三．解答题17．解：（Ⅰ）由正弦定理C c B b A a sin sin sin ==，得,sin 53cos sin cos sin C A B B A =- 又B A B A B A C sin cos cos sin )sin(sin +=+=，,cos sin 58cos sin 52A B B A =∴可得.4cos sin cos sin tan tan ==AB B A B A …………(6分) （Ⅱ）若︒=60A ，则3tan =A ，得,43tan =Babc b a C 2cos 222-+=Θ， 2351tan tan tan tan 21)tan(21tan 21cos 2sin sin 222-=-+⋅=+-===-+∴B A B A B AC C C c b a C ab … (12分) 18. 解：（Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是515010= 所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有120210⋅=人，参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有130310⋅=人，……2分故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是23257110C P C =-=………4分（Ⅱ）女生志愿者人数0,1,2X =则21222033(0)95C P X C === 1112822048(1)95C C P X C === 2822014(2)95C P X C === ……………9分∴X 的分布列为 ……………10分X0 1 2P3395 4895 1495∴X 的数学期望为33481476()01295959595E X =⋅+⋅+⋅= ……………12分 19. （Ⅰ）证明：侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90PAB ABC ∠=∠=o，//AD BC ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，AD AB ⊥，如图，以点A 为坐标原点，分别以直线AD ， AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. ………………………………2分设22PA AB BC AD ====，E 是PC 的中点，则有，(0,0,2)P ，(1,0,0)D ，(0,2,0)B ，(2,2,0)C ，(1,1,1)E ，于是(0,1,1)DE =u u u r ，(0,2,2)PB =-u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r，因为0DE PB •=u u u r u u u r ，0DE PC •=u u u r u u u r，所以DE PB ⊥，DE PC ⊥，且PB PC P =I ，因此DE ⊥平面PBC …………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)AB ==1n u u u r，设平面PCD 的法向量为 2(,,)x y z =n ，(1,0,2)PD =-u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r，则220,0,PD PC ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n u u u r u u u r 所以20,2220,x z x y z -=⎧⎨+-=⎩不妨设1z =，则2(2,1,1)=-n ，于是126cos ,662<>==-⋅n n ， …………………………………………………10分由题意可知所求二面角为钝角，因此二面角A PD E --的余弦值为6-．……………12分20. 解：（1）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则121214y y x x +=-+，12121y y x x -=-，2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，由此可得212122121214y y y y b a x x x x +-=-⋅=+-，224a b =，又由题意知，C 的右焦点是3,0)，故223a b -=，因此24a =，21b =，所以椭圆C 的方程是2214x y +=；…………（6分）（2）设,A B 分别为直线l 与椭圆和圆的切点，00(,)A x y ，直线l 的方程为：y kx m =+，代入2214x y +=得 x yE B A C PD222(14)8440k x kmx m +++-=，判别式0∆=，得2214m k =+①，024414km kx k m=-=-+，220041k m y kx m m m -=+=-= 直线l 与222x y r +=相切，所以21r k=+，即222(1)m r k =+，再由①得22214r k r -=-，22234r m r =-，222200||AB x y r =+-222161k r m +=-222221161434r r r r r -+-=--2245()r r =-+，因为44242222=⋅≥+r rr r ，当2(1,2)r =∈时取等号，所以2245()1r r-+≤，因此当2(1,2)r =∈时，||AB 的最大值是1．…………（12分）21. 解：(Ⅰ)函数的定义域为),0(+∞，2222)]1()[1()1(11)(xa x x x a ax x x a x a x f ---=---=---='，令0)(='x f ，得1,121-==a x x .()1>a ………（2分）①当11<-a ，即21<<a 时，函数)(x f 在),1(),1,0(+∞-a 上单调递增，在)1,1(-a 上单调递减；………（3分）②当11=-a ，即2=a 时，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增；………（4分）③当11>-a ，即2>a 时，函数)(x f 在),1(),1,0(+∞-a 上单调递增，在)1,1(-a 上单调递减；………（5分）（Ⅱ）当3>a ，即21>-a 时，函数)(x f 在)1,21[上为增函数，在]2,1(上为减函数，所以函数)(x f 在]2,21[∈x 上的最大值为.02)1(<-=a f ………（6分）因为函数)(x g 在]2,21[上单调递增，所以)(x g 的最小值为034)21(2>+=a g ，…（7分）所以)()(x f x g >在]2,21[∈x 上恒成立. ………（8分）要存在]2,21[,21∈x x ，使得9|)()(|21<-x g x f 成立，只需要9)1()21(<-f g ，即92342<-++a a ，解得48<<-a ………（11分）又3>a ，所以a 的取值范围是).4,3(………（12分）22. 证明：因为AB 是直径，所以∠ACB＝90°又因为F 是BD 中点，所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB因此∠BCF=∠C AB ……………………5分（Ⅱ）解：直线CF 交直线AB 于点G ，由FC=FB=FE 得：∠FCE=∠FEC 可证得：FA ＝FG ，且AB ＝BG由切割线定理得：（1＋FG ）2＝BG×AG=2BG 2……①在Rt△BGF 中，由勾股定理得：BG 2＝FG 2－BF 2……②由①、②得：FG 2-2FG-3=0解之得：FG 1＝3，FG 2＝－1（舍去）所以AB ＝BG ＝22 所以⊙O 2 ………10分23. 解：（Ⅰ）将212212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数t，化为普通方程20x y +-= 再将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入20x y +-=，得cos sin 2ρθρθ+=……………………………5分（Ⅱ）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程 2cos sin 24(sin cos )40ρθρθρρθθ+=⎧⎨-++=⎩ 因为0,02ρθπ≥≤<，所以可解得1120ρθ=⎧⎨=⎩或2222ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，因此l 与C 交点的极坐标分别为(2,0)，(2,)2π．……………………………10分24. 证明：（I ）∵222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，∴222a b c ab bc ca ++≥++，∵2()1a b c ++=，∴2222221a b c ab bc ca +++++=，∴2223()1a b c ++≥，即22213a b c ++≥； …………5分（II ）∵22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a+≥， ∴222()2()a b c a b c a b c b c a +++++≥++，即222a b c a b c b c a++≥++， ∵1a b c ++=，∴2221a b c b c a++≥． …………10分GE F HCBOAD。

2020年辽宁省大连市第二十中学高二数学理联考试卷含解析

2020年辽宁省大连市第二十中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为（）A.2B.C.D.参考答案：A略2. 设集合，，则（）A． B． C． D．参考答案：D略3. 下列命题①“若，则互为相反数”的逆命题；②“若”的逆否命题；③“若，则”的否命题。

其中真命题个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：B4. 函数满足，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：A5. 已知直线l，m和平面A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则参考答案：C略6. 已知向量，且，则（）A. 5B.C.D.参考答案：C【分析】根据向量平行可求得，利用坐标运算求得，根据模长定义求得结果. 【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查向量模长的求解，涉及到利用向量共线求解参数、向量的坐标运算问题，属于基础题.7. 等差数列{a n}的首项为a，公差为1，数列{b n}满足b n=．若对任意n∈N*，b n≤b6，则实数a的取值范围是（）A．（﹣8，﹣6）B．（﹣7，﹣6）C．（﹣6，﹣5）D．（6，7）参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的通项公式，求得数列{a n}的通项，进而求得b n，再由函数的性质求得．【解答】解：∵{a n}是首项为a，公差为1的等差数列，∴a n=n+a﹣1．∴b n==．又∵对任意的n∈N*，都有b n≤b6成立，可知，则必有7+a﹣1＜0且8+a﹣1＞0，∴﹣7＜a＜﹣6；故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，用函数处理数列思想的方法求解，是基础题．8. 不等式对于恒成立，那么的取值范围是( ) A．B．C．D．参考答案：B略9. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、参考答案：A10. 直线的倾斜角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为.参考答案：略12. 如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形。

辽宁省高二上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1．已知，是椭圆的两个焦点，P 是C 上一点（端点除外），则的周长为1F 2F 22:1916x y C +=12PF F △（）A ．14B ．16C ．D ．8+6+【答案】C【分析】根据椭圆的定义和标准方程求得正确答案.【详解】由题可知，的周长为． 4a =c ==12PF F △228a c +=+故选：C2．已知，则（）14,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭:(1)P X ==A ． B ． C ．D ．8813281427827【答案】B【分析】根据二项分布的知识求得正确答案.【详解】因为，所以． 14,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:3141232(1)C 3381P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭故选：B3．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向{},,a b c 2m a b =+ n a c =-量是（）A ．B ．C ．D ．22a b c +- 4a b c ++ b c - 22a b c -- 【答案】C【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.【详解】因为， 22(2)()a b c a b a c +-=++-，42(2)()a b c a b a c ++=+-- ，222()a b c a c --=-(2)a b -+ 所以向量，，均与向量，共面． 22a b c +- 4a b c ++ 22a b c --m n 故选：C4．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（）2212516x y +=32e =A ．B ．C ．D ．22154x y -=22145x y -=221413x y -=22149x y -=【答案】B【分析】根据已知条件求得双曲线的实半轴、虚半轴，从而求得双曲线方程.【详解】椭圆的焦点为．2212516x y +=(3,0)±因为所求双曲线的离心率， 32e =所以其实半轴长为2， =故所求双曲线的方程为．22145x y -=故选：B5．已知抛物线C ：的焦点为F ，抛物线C 上有一动点P ，，则的最小值216x y =()2,5Q PF PQ +为（） A ．6 B ．8C ．7D ．9【答案】D【分析】利用抛物线定义将焦半价转化成到准线距离，再根据三点共线时满足题意即可求得结PF 果.【详解】记抛物线C 的准线为，作于T ，如下图所示：:4l y =-PT l ⊥抛物线定义可知，，且，所以 8p =PF PT =PF PQ PT PQ QT +=+≥当P ，Q ，T 三点共线时，有最小值， PF PQ +最小值为． 592p+=故选：D6．甲、乙、丙等7人站成一排照相，要求队伍最中间只能站甲或乙，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（） A ．728种 B ．848种C ．918种D ．1008种【答案】D【分析】根据甲或乙在中间进行分类讨论，结合排列与组合的知识求得正确答案.【详解】若甲站最中间，则不同的站法有种；1545C A 480=若乙站最中间，甲和丙站在乙的一侧，则不同的站法有种；124224C A A 96=若乙站最中间，甲和丙站在乙的两侧，则不同的站法有种．11243324C C A A 432=故总的站法有1008种．故选：D7．在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另焦点我有一椭圆，从一个焦点发出的一条光线经2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 椭圆内壁上一点反射后经过另一个焦点，若，且，则椭圆的离心率C P 2F 1260F PF ∠=︒132PF a =C 为（）A ．BCD 12【答案】D【分析】根据椭圆的定义得，，进而结合余弦定理得，再求离心率212PF a =132PF a =22716c a =即可.【详解】解：由椭圆的定义得：， 122PF PF a +=因为，所以． 132PF a =212PF a =所以，在中，由余弦定理得，12PF F △2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-︒所以，整理得，22229131742442224a a c a a a =+-⨯⨯⨯=22716c a =所以，． c =e =故选：D8．在某城市中，A ，B 两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A 地出发去往B 地，途经C 地，则不同的路线有（）A ．105种B ．210种C ．260种D ．315种【答案】A【分析】根据分步乘法计数原理以及组合数的计算求得正确答案.【详解】由题可知，不同的路线有种．1337C C 105=故选：A二、多选题9．甲、乙两人进行1次投篮，已知他们命中的概率分别为和，且他们是否命中相互独立，则1213（）A ．恰好有1人命中的概率为B ．恰好有1人命中的概率为 1223C ．至少有1人命中的概率为D ．至少有1人命中的概率为2356【答案】AC【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.【详解】由题可知，恰有1人命中的概率为，A 正确，B 不正确．1211123232⨯+⨯=2人均未命中的概率为，故至少有1人命中的概率为，C 正确，D 不正确．121233⨯=23故选：AC10．已知圆，直线，下列结论正确的是（） 22:60C x y x ++=:510l kx y k -++=A ．直线l 恒过点 (5,1)-B ．若直线l 平分圆C ，则 12k =C ．圆心C 到直线l 的距离的取值范围为⎡⎣D ．若直线l 与圆C 交于点A ，B ，则面积的最大值为ABC :92【答案】AD【分析】根据直线过定点、直线和圆的位置关系、圆的几何性质等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，令，得，即直线l 恒过点，A 正确． 1(5)y k x -=+5x =-1y =(5,1)-圆C 化为标准方程得，所以圆心． 22(3)9x y ++=(3,0)C -因为直线l 平分圆C ，所以直线l 过圆C 的圆心，所以，解得，B 错误．3510k k -++=12k =-圆心C 到直线l ，最小值为0． =因为直线l 不能表示，所以圆心C 到直线l 的距离不能为2， 5x =-故圆心C 到直线l 的距离的取值范围为，C 错误．([0,2)⋃设圆心C 到直线l 的距离为d ，的面积为ABC :12d ⨯⨯=当时，面积的最大值为，D 正确． 292d =ABC :92故选：AD11．已知离散型随机变量X 的分布列如下，则（） X 1 234P 2p 23p 212p p -+213p p -+ A ． B ． C ． D ． 12p =13p =5(2)9P X >=56()81D X =【答案】BCD【分析】根据分布列中概率的性质、数学期望、方差等知识确定正确答案. 【详解】由题意可知，，解得或．26521p p -+=12p =13p =当时，，故，A 不正确，B 正确.12p =311(4)10244P X ==-+=-<13p =，C 正确． 415(2)(3)(4)999P X P X P X >==+==+=， ()()222223()63124139E X p p p p p p =++-++-+=则．D 正确．222212332342312356()12349999999981D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：BCD12．如图，平行六面体的体积为，，，1111ABCD A B C D -11A AB A AD ∠=∠16AA =4AB AD ==，且，M ，N ，P 分别为的中点，则（）3DAB π∠=111,,AB CC C DA ．与MC APB ．平面 MP :BDNC ．1DN AC ⊥D ．P 到平面MNC 【答案】AD【分析】先求出底面积，再根据棱柱的体积求出高，依题意可得在底面的投影在上，设出投1A AC 影O ，证明投影O 为的中点，即可以O 为坐标原点，的方向分别为x ，y ，z 轴的正AC 1,,OA OB OA方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量对选项一一验证即可. 【详解】因为，且，4AB AD ==3DAB π∠=所以四边形的面积为．ABCD 44sin3π⨯⨯=因为平行六面体的体积为 1111ABCD A B C D -所以平行六面体 1111ABCD A B C D -=因为， 11A AB A AD ∠=∠所以在底面的投影在上． 1A AC 设在底面的投影为O ，1A则， 1AO =因为， 16AA =所以 OA ===因为，2AC OA ==所以O 为的中点．AC 以O 为坐标原点，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标1,,OA OB OA系，则，，，，，，，A (C -(0,2,0)B (0,2,0)D-M 1A (N -．(P --则，，，，(MN =--(AP =--1(AC =--(MP =--，，，．(DN =-(1,0)MC =-- (0,4,0)DB =(BN =-- 因为，cos ,MC AP == 所以与，故A 正确． MC AP 设平面的法向量为， BDN ()111,,mx y z =则， 11112040BN m y DB m y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩令，则．1x =m =因为，0MP m ⋅=-++30=≠所以与平面不平行，故B 错误．MPBDN 因为，1((0(60DN AC ⋅=-⨯-++-=≠所以与不垂直，故C 错误．DN 1AC设平面的法向量为，MNC ()222,,xn y z =则，2222200n MN y n MC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩令．2x =n =-因为，||||MP n n ⋅==所以P 到平面D 正确． MNC 综上所述：选项AD 正确，故选：AD.三、填空题13．若直线与垂直，则______． 1:20l x my -+=2:3(2)10l x m y ++-=m =【答案】1或##或13-3-【分析】根据两直线垂直列方程，由此求得的值.m 【详解】因为，所以，解得或． 12l l ⊥3(2)0m m -+=1m =3-故答案为：1或3-14．某兴趣小组对某地区不同年龄段的人群阅读经典名著的情况进行了相关调查，相关数据如下表．年龄区间 [)0,10 [)10,15 [)15,20 [)20,25[)25,30赋值变量x 1 2 3 4 5 人群数量y 2378a若由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为，则______． 2.10.3y x =-=a 【答案】10【分析】根据回归直线方程过样本中心点求得正确答案. 【详解】由题意可知，，1234535x ++++==23782055a ay +++++==则，解得． 20 2.130.35a+=⨯-10a =故答案为：10四、双空题15．已知，则_____，______．（用5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-0a =13535222a a a ++=数字作答）【答案】 32144132【分析】利用赋值法求得正确答案.【详解】令，则．1x =50232a ==令，则． 32x =512502552222a a a a ⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭令，则，12x =5125025322a a a a a a ⎛⎫=-+-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭则， 315351441216222a a a ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭则． 13535144122232a a a ++=故答案为：；32144132五、填空题16．已知双曲线的左焦点为，过F 的直线l 与C 的左支交于点A ，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>(3,0)F -与C 的其中一条渐近线在第一象限交于点B ，且，（是坐标原点），则2AB FA =||3OB =O =a ______．【分析】根据已知条件求得点坐标并代入双曲线的方程，化简求得的值. A a 【详解】作轴，垂足为，轴，垂足为．1AA x ⊥1A 1BB x ⊥1B 因为，，， ||3OB c ==OB bk a=222c a b =+所以，．因为， 1OB a =1BB b =2AB FA =所以， 111113AA A F BB B F ==解得，，则．113AA b =11()3A F a c =+11(2),33A a c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，整理得，解得222211(2)991a cb a b --=1(23)c a =-a =【点睛】关键点睛：求双曲线标准方程中的，可考虑利用已知条件列等量关系式，通过等量关,a b 系式来求得的值，在解题过程中，要注意结合图象，利用数形结合的数学思想方法来进行求解.,a b六、解答题17．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表．经常锻炼不经常锻炼总计男 35 女 25 总计100已知从这100名学生中任选1人，经常锻炼的学生被选中的概率为． 12(1)完成上面的列联表；(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．附：，其中，．22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++()20P k αχ=≥0.1 0.05 0.01 0.001k2.7063.841 6.635 10.828【答案】(1)列联表见解析(2)有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关【分析】（1）先计算出经常锻炼的学生人数，进而补全列联表.22⨯（2）计算的值，由此作出判断.2χ【详解】（1）设这100名学生中经常锻炼的学生有x 人，则，解得． 11002x =50x =列联表完成如下．经常锻炼不经常锻炼总计男 35 25 60 女15 25 40 总计50 50 100 （2）由（1）可知，， 22100(35251525) 4.16760405050χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为，所以有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．4.167 2.706>18．在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线的焦点，是抛物线C 上一2:2(0)C y px p =>()00,M x y 点，，且． ||5MF =4tan 3OFM ∠=(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且线段的中点坐标为，求直线l 的方程．AB (6,8)【答案】(1)216y x =(2)2y x =+【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得，从而求得抛物线的方程.p C （2）设，，利用点差法求得直线的斜率，进而求得直线的方程.()11,A x y ()22,B x y l l 【详解】（1）因为是抛物线C 上一点，，且， ()00,M x y ||5MF =4tan 3OFM ∠=所以 200000252432y px p x y p x ⎧⎪⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎪-⎩根据对称性，不妨设点M 在第一象限，解得，00148x y p =⎧⎪=⎨⎪=⎩故抛物线C 的方程为．216y x =（2）设，，则 ()11,A x y ()22,B x y 2112221616y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减得，即． ()22121216y y x x -=-12121216y y x x y y -=-+因为线段AB 的中点坐标为，所以，则，(6,8)1216y y +=12121y y x x -=-故直线l 的方程为．2y x =+19．如图，在正四棱柱中，E ，F ，G 分别是，，的中点．1111ABCDA B C D -1BB 1CC BC ．124AA AB ==(1)证明：平面DEG ；1//D F (2)求平面DEG 与平面的夹角的余弦值．11CC D D 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）通过构造平行四边形的方程，根据线面平行的判定定理证得平面DEG. 1//D F（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面DEG 与平面的夹角的余弦值.11CC D D 【详解】（1）连接，，．1A D 1A E 1B C 因为E ，G 分别是，的中点，所以．1BB BC 1EG B C ∥易证得四边形为平行四边形，所以，所以，11A DCB 11A D B C ∥1EG A D ∥则E ，G ，，D 四点共面，平面DEG 即平面．1A 1A DGE 连接EF ，易证得四边形为平行四边形，所以．11EFD A 11D F A E ∥因为平面DEG ，平面DEG ，所以平面DEG ．1A E ⊂1D F ⊄1D F ∥（2）以D 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， DA则，，，，．(0,0,0)D (1,2,0)G (2,2,2)E (1,2,0)DG = (2,2,2)DE = 设为平面DEG 的法向量，则 (,,)m x y z = 0,0,m DG m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以令，可得． 20,2220.x y x y z +=⎧⎨++=⎩2x =(2,1,1)m =-- 易得DA ⊥平面，所以平面的一个法向量为．11CC D D 11CC D D (2,0,0)DA =cos ,||||m DA m DA m DA ⋅〈===〉⋅ 故平面DEG 与平面．11CC D D20．已知圆C 经过，两点，且圆心C 在直线上．(3,10)A -(5,8)B -20x y +=(1)求圆C 的标准方程；(2)若P 是直线上的动点，Q 是圆C 上的动点，定点，求的最大210x y -+=(8,6)M --||||PQ PM -值．【答案】(1)22(5)(10)4x y ++-=(2)15【分析】（1）根据圆的几何性质求得圆心坐标和半径，进而求得圆的标准方程.（2）利用点关于直线对称点以及三点共线来求得的最大值.(8,6)M --210x y -+=||||PQ PM -【详解】（1）依题可设圆心C 的坐标为，(,2)a a -因为||||AC BC ==解得，5a =-则圆心C 的坐标为，圆C 的半径，(5,10)-||2r AC ==故圆C 的标准方程为．22(5)(10)4x y ++-=（2）因为，所以．||||2PQ PC ≤+||||||||2PQ PM PC PM -≤-+设点关于直线对称的点为，(8,6)M --210x y -+=()00,M x y '则， 00008621022628x y y x -+-+⎧-⨯+=⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎩解得，即． 00102x y =-⎧⎨=-⎩(10,2)M -'-因为，所以，||PM PM '=||||||PC PM PC PM CM '=-≤'-当且仅当P，C ，三点共线时，等号成立．M '，所以的最大值为15．13=||||PQ PM -21．抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中．求：(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；(2)取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望．【答案】(1) 511(2)分布列见解析，数学期望为10191000【分析】（1）根据条件概型的知识求得正确答案.（2）根据取出的一次性筷子的双数求得分布列，并求得数学期望.【详解】（1）设事件A 为第1次取出的是一次性筷子，事件B 为第2次取出的是非一次性筷子，则．()(|)()P AB P A B P B =其中，， 3()523410P AB =⨯=233333()()()545550P B P AB P AB =+=⨯+⨯=所以． ()5(|)()11P AB P A B P B ==（2）记取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）为X ，则，0,1,2X =， 3327(0)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 233323332549(1)5445545551000P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 2132123147(2)54554544200P X ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=X 的分布列为 X0 1 2 P 27125 549100 47200X 的数学期望． 27549471019()01212510002001000E X =⨯+⨯+⨯=22．已知椭圆，C ． 2222:1(0)x y C a b a b +=>>2+(1)求C 的方程；(2)若圆的切线l 与C 交于点A ，B ，求的最大值． 2243x y +=||AB 【答案】(1) 22142x y +=【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.,a b C （2）根据直线的存在是否存在进行分类讨论，根据弦长公式求得的表达式，结合二次函数l ||AB 的性质求得的最大值．||AB【详解】（1）因为C ，所以 c a =因为C ，2+所以，解得，2a c +=2a =c 因为，所以，故C 的方程为． 222a b c =+b =22142x y +=（2）当l 的斜率不存在时，可得:l x =当，，则．:l x =AB||AB =当时，同理可得 :l x =||AB =当l 的斜率存在时，设．:l y kx m =+因为l 与圆相切，所以圆心到l2243x y +=(0,0)=即．()22413k m +=联立得． 22,1,42y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222214240k x kmx m +++-=设，，则，． ()11,A x y ()22,B x y 122412km x xk +=-+21222412mx x k -=+||AB=====令，2121k t +=≥则，||AB ===≤=当且仅当，即时，等号成立． 2t =212k =． ≥||AB 【点睛】利用椭圆的离心率求得椭圆的方程，关键点在于根据条件列方程，求得，是两个,a b ,a b参数，所以需要两个条件（方程）来求解.求直线和椭圆相交所得弦长，需要到弦长公式，其中的是通过联立直线方程和椭圆方程，然后利用根与系数关系来求得. 1212,x x x x。

辽宁省大连市第二十高级中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题

辽宁省大连市第二十高级中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题一．选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知()()2,1,0,1,0,2,a b ==-且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（）A. 1B. 14 C. 34 D. 752、设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的（） A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、即不充分也不必要条件3、已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为60°，则λ的值为（）A.D. 4、已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a += （） A 、7 B 、 5 C 、-5 D 、-75、直线220x y -+=经过椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（） A、12 CD 、 236、设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是 ( ) A 、12 B 、 6 C 、27 D 、307、已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线214x y =的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为2y x =±，则该双曲线的方程为（）A 、224515y x -= B 、22154x y -= C 、22154y x -= D 、225514y x -=8、下列等式中，使M,A,B,C 四点共面的个数是（）①;OM OA OB OC =--②111;532OM OA OB OC =++③0;MA MB MC ++=④0OM OA OB OC +++= A. 1 B. 2 C. 3 D. 49、已知,()n n f n n n ⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数若 1n a f n f n =++（）（），则122014a a a ++⋅⋅⋅+=（）A 、1-B 、2012C 、0D 、-201210、设直线l ：y ＝2x ＋2，若l 与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为2－1的点P 的个数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、311、将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足11BP BA BC BD 22=-+,则BP 的值为（） A.32 B.2 C.10-24 D.9412、若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是 ( )A 、22(1)1x y -+= B ．2y x = C. 2212x y += D ．221x y -=卷Ⅱ二．填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13、已知(2,1,0)A ,(0,3,1)B ,(2,2,3)C ,则AC 在AB 上的正投影的数量为14、若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-≥+-020022y x y x y x ，则22x y z +=的最大值为_______，最小值为______ .15、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线方程为16、正四棱柱''''ABCD A B C D -中，底面边长为1，侧棱长为2，且MN 是'AB ,'BC 的公垂线，M 在'AB 上，N 在'BC 上，则线段MN 的长度为三．解答题本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分10分）已知f(x)＝2ax x a +-， (1)若函数()f x 有最大值178，求实数a 的值；(2)若不等式()f x ＞22312x x a －－＋－对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； 18、（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，53=a ，137=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且有12-=n n b S （1）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若n n n b a c =，{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ；19、（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，点O 是正方形ABCD 对角线的交点，14,2AA AB ==，点E ，F 分别在1CC 和1A A 上，且1A F CE =（Ⅰ）求证：1B F ∥平面BDE （Ⅱ）若1AO BE ⊥，求CE 的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角1A BE O --的余弦值．20、（本小题满分12分）如图，F 为抛物线px y 22=的焦点，A （4，2）为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，且PA PF +的最小值为8。

2019-2020学年辽宁省大连市第二十高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2019-2020学年辽宁省大连市第二十高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，，，则的大小顺序是（）A B CD参考答案：B略2. 函数f（x）=（a+1）tan2x+3sinx+a2﹣3a﹣4为奇函数的充要条件是( )A．a=4 B．a=﹣1 C．a=4或a=﹣1 D．a∈R参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据充要条件的定义结合函数奇偶性的性质进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=（a+1）tan2x+3sinx+a2﹣3a﹣4为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即（a+1）tan2x﹣3sinx+a2﹣3a﹣4=﹣，即（a+1）tan2x+a2﹣3a﹣4=﹣（a+1）tan2x﹣（a2﹣3a﹣4），则，即，即，则a=﹣1，当a=﹣1时，f（x）=3sinx为奇函数，则函数f（x）=（a+1）tan2x+3sinx+a2﹣3a﹣4为奇函数的充要条件是a=﹣1，故选：B【点评】本题主要考查充要条件的求解，根据函数奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键．3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】把化为，故把的图象向左平移个单位，即得函数y=cos2x的图象．【解答】解： =，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象．故选 C．【点评】本题考查诱导公式，以及y=Asin（ωx+?）图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键．4. 甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局，若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（）A． B．C． D．参考答案：A略5. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：（1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1,2,3， (100)（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生.如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是( )A.88%B. 90%C. 92%D.94%参考答案：B6. 已知函数f（x）=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣） B．[，）C．（﹣，﹣] D．（﹣1，﹣]参考答案：C【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出原函数的导函数，得到函数f（x）的单调区间，再由f2（x）+af（x）＞0求得f（x）的范围，结合函数f（x）的单调性可得使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解的实数a的取值范围．【解答】解：∵f′（x）=，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当a＞0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）＜﹣a或f（x）＞0，此时不等式f2（x）+af （x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a=0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）≠0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a＜0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）＜0或f（x）＞﹣a，要使不等式f2（x）+af （x）＞0恰有两个整数解，必须满足f（3）≤﹣a＜f（2），得＜a≤，故选：C．7. 设函数，若是的极大值点，则a的取值范围为（）A. (－1,0)B. (－1,+∞)C. (0,+∞)D. (－∞,－1)∪(0,+∞)参考答案：B试题分析：,,,由得，,?若,由,得,当时,,此时单调递增；时,,此时单调递减；所以是的极大值点．?若,则由,得或．时的极大值点,,解得．综合??得,的取值范围时．故选B．考点：函数的极值．【方法点晴】本题是一道关于函数极值题目,考虑运用导数求函数的极值．对求导,得,由得,将代入到导函数中,可得,接下来分和两种情况,结合函数的单调性,分别求出的极大值点,从而建立的不等式求解即可．8. 在3和9之间插入两个正数，使前3个数成等比数列，后3个数成等差数列，则这两个正数之和为（）A． B． C．D．参考答案：A略9. 为了表示散点图中n个点与某一条直线在整体上的接近程度,我们常用下面四个量中的（A）（B）（C）（D）参考答案：C10. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面参考答案：B【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A 错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大值是．参考答案：2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由题意和三视图知，需要从对应的长方体中确定三棱锥，根据三视图的数据和几何体的垂直关系，求出四面体四个面的面积，再确定出它们的最大值．【解答】解：将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为4、3、4，由三视图可知该三棱锥为B﹣A1D1C1，由三视图可得，A1D1=CC1=4、D1C1=3，所以BA1=A1C1=5，BC1==4，则三角形BA1C1的面积S=×BC1×h=×4×=2，因为A1D1⊥平面ABA1B1，所以A1D1⊥A1B，则三角形BA1D1的面积S=×BA1×A1D1=×4×5=10，同理可得，三角形BD1C1的面积S=×BC1×D1C1=×3×4=6，又三角形A1D1C1的面积S=×D1C1×A1D1=×4×3=6，所以最大的面为A1BC1，且面积为2，故答案为：2．【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积以及体积的求法，考查计算能力12. 在正方体中，P为对角线的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有_____________（个）.参考答案：413. 从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球（），共有种取法，在这种取法中，可以分为两类：一类是取出的个球全部为白球，另一类是取出的m个球中有1个黑球，共有种取法，即有等式：成立.试根据上述思想可得(用组合数表示)参考答案：略14. 已知直线与函数的图象相切，则切点坐标为。

辽宁高二上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1．（） 3524A A =A ．10 B ．5 C ．20 D ．4【答案】B【分析】用排列数公式展开即可求得.A (1)(2)(1)mn n n n n m =⨯-⨯-⨯⨯-+ 【详解】． 3524A 5435A 43⨯⨯==⨯故选：B2．已知圆C ：与直线l ：相切，则（） 2225x y +=()3400x y m m -+=>m =A ．15 B ．5 C ．20 D ．25【答案】D【分析】根据圆与直线相切的判定列式求解得出答案. 【详解】易知C 的圆心为原点O ，设O 到直线l 的距离为d ，因为圆C 与直线l 相切，则，解得. 5d ==25m =故选：D.3．若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则（） 22y mx =223x y -=m =A ．B ．C ．D-【答案】A【分析】由双曲线的定义求得双曲线的右焦点，再求得抛物线的准线，即可得到的值. 2mx =-m【详解】由双曲线即得右焦点为，223x y -=22133y x -=)再由抛物线的准线为，22y mx =2m x =-因此，则. 2m-=m =-故选：A.4．在的展开式中，系数为有理数的项是（）72A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【分析】根据二项式定理展开式的通项可确定系数为有理数时的取)2177C kkk k T -+⎛= ⎝k 值，即可得出结果.【详解】在的展开式中，根据通项可知，72)2177C kkk kT -+⎛= ⎝时系数为有理数，即第五项为．4k=)43424157C T T +⎛== ⎝故选：C5．某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解学情，A 表示“抽到的2名成员都是女生”，B 表示“抽到的2名成员性别相同”，则（） ()|P A B =A ．B ．C ．D ．715233457【答案】D【分析】由条件概率计算公式可得答案.【详解】由题可知，，，. ()2264210C C 7C 15P B +==()26210C 1C 3P AB ==()()()5|7P AB P A B P B ==故选：D6．向量在向量上的投影向量为（）()3,2,1m =- ()3,2,3n =-A ．B ．C ．D ．646,,111111⎛⎫- ⎪⎝⎭313,,221122⎛⎫-⎪⎝⎭323,,111111⎛⎫- ⎪⎝⎭323,,111111⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据向量的投影向量求法直接得出答案.【详解】向量在向量上的投影向量为. ()3,2,1m =- ()3,2,3n =-2323,,111111m n n n⋅⎛⎫=- ⎪⎝⎭故选：C.7．某市场供应的电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙73%27%90%厂产品的合格率是．若从该市场供应的电子产品中任意购买一件电子产品，则该产品不是合格80%品的概率为（） A ．B ．C ．D ．17.2%14.3%12.7%87.3%【分析】利用条件概率和事件的独立性求解概率.【详解】设表示买到的产品来自甲，乙厂，表示买到的产品为合格品， ,A B C 则,()73%,()27%P A P B ==|90%,80%(|),()P C A P C B ==所以, ()()(|)()(|)73%90%+27%80%=87.3%P C P A P C A P B P C B =+=⨯⨯所以该产品不是合格品的概率为， 1()=12.7%P C -故选:C.8．某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天夜班，则这五天排夜班方式的种数为（） A ．800 B ．842 C ．864 D ．888【答案】C【分析】采用间接法，先计算没有限制条件的种数，再减去一人连排三天夜班、四天夜班、五天夜班的种数即可.【详解】所有可能值班安排共有种，若连续安排三天夜班，则连续的工作有三种可能， 54（1）从四人中选一人连排三天夜班，若形如▲▲▲□□或□□▲▲▲排列：共有种； 11432C C 24＝若形如▲▲▲□▲或▲□▲▲▲排列：共有种；11432C C 24＝若形如▲▲▲□○或▲▲▲○□或□○▲▲▲或○□▲▲▲排列：共有种； 12432C A 48＝若形如□▲▲▲□排列：共有种；1143C C 12＝若形如○▲▲▲□或□▲▲▲○排列：共有种； 1243C A 24＝因此，选一人连排三天夜班共有132种．（2）从四人中选一人连排四天夜班，则连续的工作日有两种可能，从四人中选一人连排四天夜班，形如▲▲▲▲□或□▲▲▲▲排列，共有种．11432C C 24=（3）从四人中选一人连排五天夜班，形如▲▲▲▲▲，则只有4种可能．故满足题意的排夜班方式的种数为． 54132244864---=故选：C.二、多选题9．已知，且，则（） (),X B n p :()()393927E X D X -=-=A ． B ．C ．D ． 18n =16n =14p =34p =【答案】BD【分析】由题得，解方程组即得解.39279(1)27np np p -=⎧⎨-=⎩【详解】由题意可知，则，解得，.()()39927E X D X -==39279(1)27np np p -=⎧⎨-=⎩34p =16n =故选：BD10．已知椭圆C ：的一个焦点为F ，P 为C 上一动点，则（）22179x y +=A ．C 的短轴长为B ．的最大值为PF C ．C 的长轴长为6 D ．C 【答案】ACD【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD ，再利用椭圆性质即可判断B 选项，进而得出结果.【详解】由标准方程可知，，，22179x y +=29a =27b =所以，，3a=b =c==所以短轴长为，即选项AC 正确； 2b =26a =离心率D 正确； c e a ==由椭圆性质得故选项B 错误. max 3PF a c =+=故选：ACD11．已知关于变量x ，y 的4组数据如表所示：x 6 8 10 12 y a1064根据表中数据计算得到x ，y 之间的线性回归方程为，x ，y 之间的相关系数为r （参ˆ 1.420.6yx =-+考公式：），则（）A ． B ．变量x ，y 正相关 C ．r 12a =D ．r =r =【答案】AC【分析】根据回归直线必过点解得，所以选项A 正确；由回归方程和表格可知选项B()x y 12a =错误；利用相关系数求出，所以选项C 正确，选项D 错误. r =【详解】回归直线必过点，，，解得，所以选项(),x y 9x =10641.420.684a y x +++=-+==12a =A 正确；由回归方程和表格可知，变量x ，y 负相关，所以选项B 错误；C 正确，选项4x y r==D 错误. 故选：AC12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A ．B ．2cos ,3CQPF =122CQ AB AD AA =--+C ．点到直线CQD ．异面直线CQ 与BD1C 【答案】BCD【分析】利用向量的线性运算求出，所以选项B 正确；以为坐标原点，122CQ AB AD AA =--+1A 所在直线为x 轴，所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出选项ACD 的1A F 11A B几何量判断即得解.【详解】，所以选项B 正确； ()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+ 如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，1A ()10,1,0B ()11,1,0C -()11,0,0D -()0,1,1Q -，，，，()1,1,1C --()11,2,1QC =--()1,2,2CQ =- ()110,1,0PF A B == 则，所以选项A 错误；2cos ,3CQ PF ==- 设，则点到直线CQ 的距离C 正173QC CQ m CQ ⋅==-1C d==确；因为，所以，()111,1,0BD B D ==--cos ,CQ BD ==tan ,CQ BD = 所以选项D 正确. 故选：BCD三、填空题13．已知平面α的一个法向量为，，，则直线AB 与平面α所成(1,m =-()2,1,2A -()1,2,2B 角的正弦值为___________.【分析】根据线面角的向量求法求解即可.【详解】因为，()1,3,0AB =-所以直线AB 与平面α所成角的正弦值为cos ,m AB m AB m AB ⋅=== 14．甲､乙两人各自在1小时内完成某项工作的概率分别为0.6，0.8，两人在1小时内是否完成该项工作相互独立，则在1小时内甲､乙两人中只有一人完成该项工作的概率为___________. 【答案】0.44##1125【分析】由独立事件和互斥事件的概率公式进行求解.【详解】由独立事件概率乘法公式可得：甲完成而乙没有完成工作的概率为， ()0.610.80.12⨯-=乙完成工作而甲没有完成的概率为， ()10.60.80.32-⨯=故概率为. 0.120.320.44+=故答案为：0.44四、双空题15．若，则___________，()()56016221x x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+123456a a a a a a -+-+-=2a =___________.【答案】 24170-【分析】第一空，令，可得，再令，可得； 0x =0a =1x -0123456a a a a a a a -+-+-+第二空，所求即为展开式中的系数，又， 2x ()()()()55522121221x x x x x +-=-+-则为展开式中，系数与2倍系数之和. 2a ()521x -x 2x 【详解】令，则，()()()5221f x x x =+-()002f a ==-，()01234561243f a a a a a a a -=-+-+-+=-故； ()1234562243241a a a a a a -+-+-=---=因，()()()()55522121221x x x x x +-=-+-则，所以. ()()()4232432255C 212C 2170a x x x x x =⋅-+⋅-=-270a =-故答案为：241；.70-五、填空题16．已知P 为抛物线C ：上一点，F 为焦点，过P 作抛物线的准线的垂线，垂足为H ，216x y =-若的周长不小于30，则点P 的纵坐标的取值范围是___________. PFH △【答案】(],5-∞-【分析】设点P 的坐标为，求出的各边即得的周长为，再利(),m n PFH △PFH △()24n +-用函数的单调性解不等式得解.【详解】如图，设点P 的坐标为，则. 准线与y 轴的焦点为A ， (),m n 216m n =-4y =则，4PF PH n ==-==所以的周长为. PFH △()24n -设函数， ()()()240f n n n =-≤则为减函数（减函数+减函数=减函数）， ()f n 因为，所以的解为. ()530f -=()30(5)f n f ≥=-5n ≤-故答案为：(],5-∞-六、解答题17．如图，在底面为矩形的四棱锥E -ABCD 中，底面ABCD ，，G 为棱BE 的中点.⊥AE AE AB =(1)证明：平面BCE .AG ⊥(2)若，，，求. 4AB =6AD =3ED EF =AG CF ⋅【答案】(1)证明见解析；(2).83-【分析】（1）根据已知，利用线面垂直的判定定理可得平面ABE ，从而得到，利用BC ⊥BC AG ⊥等腰三角形的中线性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明平面BCE ；AG BE ⊥AG ⊥（2）以A 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出AB,AG CF 的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示即得解.【详解】（1）证明：因为底面ABCD ，所以，⊥AE AE BC ⊥又，，平面ABE ，所以平面ABE ， AB BC ⊥AB AE A = ,AB AE ⊂BC ⊥则.BC AG ⊥因为G 为棱BE 的中点，，所以， AE AB =AG BE ⊥又，平面BCE . BC BE B = ,BC BE ⊂所以平面BCE .AG ⊥（2）以A 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. AB依题意可得，，，.()0,0,0A ()4,6,0C ()2,0,2G 80,2,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，， ()2,0,2AG = 84,4,3CF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 所以.()()882404233AG CF ⋅=⨯-+⨯-+⨯=-18．已知椭圆C ：的左、右焦点分别为，，P 为C 上一点，且，2221(0)5x y a a +=>1F 2F 15PF =．21PF =(1)求，的坐标．1F 2F (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 的中点为，求直线l 的斜率． ()2,1P -【答案】(1)，的坐标分别为，1F 2F ()2,0-()2,0(2) 109【分析】（1）根据椭圆的定义求出长半轴长，根据的关系求解. ,,a b c （2）把设出的两个点代入椭圆方程，化简整理成斜率的形式即可求解. 【详解】（1）因为， 1226PF PF a +==所以，3a =所以，，2224c a b =-=2c =故，的坐标分别为，．1F 2F ()2,0-()2,0（2）设A ，B 两点的坐标分别为，，()11,x y ()22,x y 则， 22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得．()()()()12121212590x x x x y y y y -++-+=因为弦AB 的中点在椭圆内，所以，()2,1P -121242x x y y +=-⎧⎨+=⎩所以直线l 的斜率． 1212109AB y y k x x -==-19．一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z （单位：）mm 服从正态分布，且.()2240,N σ()2480.95P z ≤=(1)求或的概率；232z <248z >(2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X 表示零件尺寸小于232加或大于248的零件个mm mm 数，求的概率. 2X =【答案】(1) 0.1(2) 0.027【分析】（1）由正态分布的对称性求解；（2）利用X 服从二项分布求解.()3,0.1X B :【详解】（1）因为零件尺寸z 服从正态分布，()2240,N σ所以，()()24812480.05P z P z >=-≤=因为，所以. 2322482402+=()()2322480.05P z P z <=>=故或的概率为. 232z >248z >0.050.050.1+=（2）依题意可得，()3,0.1X B :所以.()()2232C 0.110.10.027P X ==⨯⨯-=20．如图，三棱柱的底面ABC 是正三角形，侧面是菱形，平面平面111ABC A B C -11ACC A 11ACC A ⊥ABC ，E ，F 分别是棱，的中点.11A C BC(1)证明：平面.EF ∥11ABB A (2)若，，，求平面ABC 与平面EFG 所成角的余弦值. 2AC =160ACC ∠=︒12C G GC =【答案】(1)证明见解析【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)取AC 的中点O ，连接OB ，，证明OB ，OC ，两两垂直，以O 为原点，OB ，OC ，1OC 1OC 1OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求解. 【详解】（1）取的中点，连接，.11A B M ME MB 因为E ，F 分别是棱，BC 的中点，所以，， 11A C 11ME B C BF ∥∥111122ME B C BC BF ===所以四边形MEFB 为平行四边形，.EF MB ∥因为平面，平面，所以平面. EF ⊄11ABB A MB ⊂11ABB A //EF 11ABB A （2）取AC 的中点O ，连接OB ，. 1OC 因为四边形是菱形，所以.11ACC A 1CA CC =因为，所以为等边三角形. 160ACC ∠=︒1ACC △因为O 为AC 的中点，所以.1C O AC ⊥因为平面平面ABC ，平面平面，平面，所以平11ACC A ⊥11ACC A ABC AC =1C O ⊂11ACC A 1C O ⊥面ABC .因为底面ABC 是正三角形，所以.OB AC ⊥以O 为原点，OB ，OC ，所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 1OC 因为，所以，则，，，，所2AC=1C O BO =)B(0,E-1,02F ⎫⎪⎪⎭20,3G ⎛ ⎝以，. 3,2EF =50,,3EG ⎛= ⎝设平面EFG 的法向量为，则 (),,n x y z =3.025.03n EF y n EG y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩令，则.5z=()4,n =因为是平面ABC 的一个法向量，(10,OC =且111cos ,OC n OC n OC n⋅===令平面ABC 与平面EFG 所成角为，由图可知为锐角， θθ所以. cos θ=21．某甜品屋店庆当天为酬谢顾客，当天顾客每消费满一百元获得一次抽奖机会，奖品分别为价值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽奖，抽到价值为5元，10元，15元的甜品的概率分别为12，，，且每次抽奖的结果相互独立. 1316(1)若某人当天共获得两次抽奖机会，设这两次抽奖所获甜品价值之和为元，求的分布列与期X X 望.(2)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”但“有蛀牙”的有35人，“不爱吃甜食”且”无蛀牙”的也有35人. 有蛀牙无蛀牙爱吃甜食不爱吃甜食完成上面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析“爱吃甜食”是否更容易导致青少0.05α=年“蛀牙”. 附：，.()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++ ()20P k αχ=≥0.05 0.01 0.005k 3.8416.6357.879【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：503(2)列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关【分析】（1）由题意可得的所有可能取值为，分别求出对应的概率，即可的的X 10,15,20,25,30X 分布列，从而求得数学期望；（2）由已知填充列联表，根据公式计算出，比较临界值即可. 2χ【详解】（1）由题意可得的所有可能取值为，X 10,15,20,25,30，()2111024P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()111152233P X ==⨯⨯=，()2111520226318P X ⎛⎫==⨯⨯+= ⎪⎝⎭，()111252369P X ==⨯⨯=，()21130636P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则X 的分布列为 X 10 15 2025 30P 14 13 51819136故. ()1151150101520253043189363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由题意可得列联表如下：有蛀牙无蛀牙爱吃甜食 85 45 不爱吃甜食 3535所有，()2220045358535 4.4871208070130χ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯查表可得，()23.8415%P χ≥=因为，2 3.841χ>所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关.22．在①C 的渐近线方程为 ②C 这两个条件中任选一个，填在题中的横线y x =±上，并解答．已知双曲线C 的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C 上，且______． (2,P (1)求C 的标准方程；(2)已知C 的右焦点为F ，直线PF 与C 交于另一点Q ，不与直线PF 重合且过F 的动直线l 与C 交于M ，N 两点，直线PM 和QN 交于点A ，证明：A 在定直线上．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)22122x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据①②提供的渐近线方程和离心率得出之间的关系，再利用在双曲,,a bc (2,P 线上即可求得C 的标准方程；（2）根据坐标位置可利用对称性求得Q 点坐标，分别别写出直线PM 和QN 的直线方程，求得交点A 的坐标表示，利用韦达定理即可证明. 【详解】（1）选①因为C 的渐近线方程为，所以， y x =±1ba=故可设C 的方程为，22x y λ-=代入点P 的坐标得，可得，222(λ-=2λ=故C 的标准方程为．22122x y -=选②．因为C，=a b =故可设C 的方程为，22x y λ-=代入点P 的坐标得，可得，222(λ-=2λ=故C 的标准方程为．22122x y -=（2）由（1）可知F 的坐标为，由双曲线的对称性，可知点Q 的坐标为． ()2,0(设点M ，N 的坐标分别为，直线l 的方程为，1122(,),(,)M x y N x y ()2y k x =-联立直线和双曲线方程得，()222214420k x k x k --++=所以，，212241k x x k +=-2122421kx x k +=-直线PM ：，2)y x=-2y k x k ⎛=-⎝直线QN ：2)y x -2y k x k ⎛=- ⎝消去y ，得， 12121111212222x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭整理得， ()()12121242x x x x x x x +-=--则．()12121224x x x x x x x --=+-因为，所以A 的横坐标为1． 2222121221224242111444241k k x x x x k k k x x k +-----===+---故A 在定直线上．1x =。

辽宁省大连市2020-2021学年高二上学期期末数学试卷

2020-2021学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是（）A．1B．2C．4D．82．若直线l1、l2的方向向量分别为＝（1，2，﹣2），＝（﹣2，3，2），则l1与l2的位置关系是（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1、l2相交不垂直D．不能确定3．已知点G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则+++等于（）A．4B．3C．2D．4．（2x﹣y）5的展开式中x2y3的系数为（）A．80B．﹣80C．40D．﹣405．已知直线l的方程为3x﹣4y＝b，圆C的方程为x2+y2﹣2x+2y+1＝0，则“b ＝2”是“l与C相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种B．6种C．9种D．18种7．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（其中c＞0），过焦点F1向双曲线的一条渐近线作垂线，交双曲线C的右支于点P，若∠F1PF2＝，则双曲线C的渐近线方程为（）A．x±y＝0B．2x±y＝0C．x±2y＝0D．x±y＝0 8．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝AA1＝2，设点M是棱A1C1的中点，点P在底面ABC所在平面内，若平面B1MP分别与平面AA1C1C和平面ABC所成的锐二面角相等，则点P到点B的最短距离是（）A．B．C．1D．二、多项选择题（共4小题）.9．方程＝1表示的曲线可能是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线10．已知抛物线y2＝4x焦点为F，点A（1，3），点P在抛物线上，则下列结论正确的是（）A．|PA|+|PF|的最小值为3B．|PA|+|PF|的最大值为7C．|PA|﹣|PF|的最小值为﹣2D．|PA|﹣|PF|的最大值为311．关于（﹣1）2020及其展开式，下列说法正确的有（）A．该二项展开式中第六项为C x1007B．该二项展开式中非常数项的系数和为﹣1C．该二项展开式中不含有理项D．92020除以100的余数是112．如图所示，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，AD＝1，CD＝，∠ADC ＝，沿直线AC将△ABC翻折成△AB′C，下列说法正确的是（）A．•＝﹣2B．•＝1C．直线AC与B'D成角余弦的最大值为D．点C到平面AB'D的距离的最大值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．＝．14．在四棱锥P﹣ABCD中，＝（4，﹣2，4），＝（﹣4，1，0），＝（﹣6，2，﹣8），则这个四棱锥的高h＝．15．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙和马，乙同学喜欢牛、兔、马和羊，丙同学这十二个吉祥物都喜欢，如果让三位同学都能选到自己喜欢的礼物，那么不同的选法有种．16．已知F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则＝，双曲线C的离心率为．四、解答题（共6小题）.17．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C 于A、B两点．（Ⅰ）当经过圆心C时，求直线l的方程；（Ⅱ）求弦长AB的最小值，以及此时直线l的方程．18．在①•＝﹣4，②＝3，③以AB为直径的圆与准线相切，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求出直线l的一般方程．问题：已知抛物线C：y2＝4x，过x轴正半轴上一点M，倾斜角为的直线l 交抛物线C于A，B两点，____，求直线l的一般方程．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求直线A1B1与平面A1BD成角的正弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|＝1，若动点P（x，y）满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点D（0，2），斜率为k的直线l交曲线C于M，N两点．如果△DMN的重心恰好在x轴上，求k的取值范围．21．如图，正方形ABCD边长为1，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED ＝FB＝1（E，F在平面ABCD同侧），G为线段EC上的动点．（Ⅰ）求证：AG⊥DF；（Ⅱ）求AG2+BG2的最小值，并求取得最小值时二面角B﹣AG﹣C的余弦值．22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，且|F1F2|＝2，左、右顶点为M，N．（Ⅰ）若椭圆E的离心率e＝，设点P（﹣4，n）（n≠0），直线PN交椭圆E于点Q，且直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；（Ⅱ）斜率为k的直线l过F2，且与曲线E交于A，B两点，当k变化时，△ABF1的内切圆面积有最大值，求椭圆E的离心率e的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是（）A．1B．2C．4D．8解：由y2＝2px＝8x，知p＝4，又焦点到准线的距离就是p．故选：C．2．若直线l1、l2的方向向量分别为＝（1，2，﹣2），＝（﹣2，3，2），则l1与l2的位置关系是（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1、l2相交不垂直D．不能确定解：∵直线l1、l2的方向向量分别为＝（1，2，﹣2），＝（﹣2，3，2），＝﹣2+6﹣4＝0，∴l1与l2的位置关系是l1⊥l2．故选：A．3．已知点G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则+++等于（）A．4B．3C．2D．解：如图，，，，，∴＝．故选：A．4．（2x﹣y）5的展开式中x2y3的系数为（）A．80B．﹣80C．40D．﹣40解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式为T r+1＝•（2x）5﹣r•（﹣y）r，令r＝3，可得展开式中x2y3的系数为﹣•22＝﹣40，故选：D．5．已知直线l的方程为3x﹣4y＝b，圆C的方程为x2+y2﹣2x+2y+1＝0，则“b ＝2”是“l与C相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：圆C的方程为x2+y2﹣2x+2y+1＝0即（x﹣1）2+（y+1）2＝1，圆心是（1，﹣1），半径是r＝1，b＝2时，直线l：3x﹣4y﹣2＝0，圆心（1，﹣1）到直线3x﹣4y﹣2＝0的距离是d＝＝1＝r，故直线和圆相切，是充分条件，若直线l和圆相切，则圆心（1，﹣1）到直线3x﹣4y﹣b＝0的距离d＝＝r＝1，即|b﹣7|＝5，解得：b＝2或b＝12，故“b＝2”是“l与C相切”的充分不必要条件，故选：A．6．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种B．6种C．9种D．18种解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31＝6+3＝9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C．7．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（其中c＞0），过焦点F1向双曲线的一条渐近线作垂线，交双曲线C的右支于点P，若∠F1PF2＝，则双曲线C的渐近线方程为（）A．x±y＝0B．2x±y＝0C．x±2y＝0D．x±y＝0解：设过焦点F1向渐近线y＝﹣x作垂线，垂足为M，如图所示，∴点F1到y＝﹣x的距离为MF1＝＝b，∵∠F1MO＝∠F1PF2＝，∴OM∥PF2，又O为F1F2的中点，∴M为PF1的中点，即PF1＝2MF1＝2b，在Rt△PF1F2中，PF2＝＝＝2a，由双曲线的定义知，PF1﹣PF2＝2a，即2b﹣2a＝2a，∴b＝2a，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x．故选：B．8．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝AA1＝2，设点M是棱A1C1的中点，点P在底面ABC所在平面内，若平面B1MP分别与平面AA1C1C和平面ABC所成的锐二面角相等，则点P到点B的最短距离是（）A．B．C．1D．解：设点P在平面AA1C1C内的射影为P'，M在平面ABC内的射影为M'，平面B1MP分别与平面AA1C1C所成的锐二面角为α，平面B1MP分别与平面ABC所成的锐二面角为β，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点C的射影为C1，B1的射影为B，则有，，又因为α＝β，所以cosα＝cosβ，故，因为，设点P到M'B的垂直距离为h，则，在Rt△M'BC中，M'B＝，所以，故点P到点B的最短距离为PB⊥M'B时，即点P到点B的最短距离为．故选：A．二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．方程＝1表示的曲线可能是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线解：当m＝7时，曲线表示圆；当m∈（7，10），m∈（4，7）时，求出表示椭圆，当m∈（7，+∞），m∈（﹣∞，4）时，曲线表示双曲线，故选：ABD．10．已知抛物线y2＝4x焦点为F，点A（1，3），点P在抛物线上，则下列结论正确的是（）A．|PA|+|PF|的最小值为3B．|PA|+|PF|的最大值为7C．|PA|﹣|PF|的最小值为﹣2D．|PA|﹣|PF|的最大值为3解：如图1，点A在抛物线外，|PF|+|PA|≥|AF|，故|PA|+|PF|的最小值为|FA|＝3，如图2，只有当F，P，A三点共线时|PA|﹣|PF|最大，最大值为|FA|＝3，故选：AD．11．关于（﹣1）2020及其展开式，下列说法正确的有（）A．该二项展开式中第六项为C x1007B．该二项展开式中非常数项的系数和为﹣1C．该二项展开式中不含有理项D．92020除以100的余数是1解：（﹣1）2020的其展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•，令r＝5，可得第六项为﹣•，故A错误；∵令r＝2020，可得常数项为1，令x＝1，可得（﹣1）2020的所有项的系数和为0，故该二项展开式中非常数项的系数和为﹣1，故B正确．当r＝0，2，4，…，2020时，展开式为有理项，故C错误；92020＝（10﹣1）2020＝•102020﹣•102019+…+•102﹣•10+．由于等号右边除了最后一项外，其余的各项都能被100整除，它除以100的余数，即除以100的余数，故92020除以100的余数是1，故D正确，故选：BD．12．如图所示，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，AD＝1，CD＝，∠ADC＝，沿直线AC将△ABC翻折成△AB′C，下列说法正确的是（）A．•＝﹣2B．•＝1C．直线AC与B'D成角余弦的最大值为D．点C到平面AB'D的距离的最大值为解：如图：由平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，AD＝1，CD＝，∠ADC＝，取AC中点为O，则，，，故cos∠AOD＝cos（2∠ACD）＝1﹣2sin2∠ACD＝．取为基底向量，由已知得，，设．结合图形以及诱导公式可知：（当半平面ACD与半平面ACB反向时取最小值，同向时取最大值）．故＝＝＝﹣2，故A对；＝（）•（）＝＝＝，故B错；AC＝，＝，设直线AC与B'D成角余弦为β，则＝，当时，分母最小，故cosβ的值最大为，故C正确；当B点绕着AC转到CD⊥BD，即时，C点到平面AB′D的距离小于或等于，结合CD⊥AD，可知CD⊥平面AB′D，而此时，有AB＝BD+AD＝3，故平面AB′D不存在，故D选项错误．故选：AC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．＝8．解：根据题意，＝1+6+1＝8，故答案为：8．14．在四棱锥P﹣ABCD中，＝（4，﹣2，4），＝（﹣4，1，0），＝（﹣6，2，﹣8），则这个四棱锥的高h＝．解：因为在四棱锥P﹣ABCD中，＝（4，﹣2，4），＝（﹣4，1，0），＝（﹣6，2，﹣8），设平面ABCD的法向量为，则有，即，取x＝1，则，则根据在上投影的绝对值可得四棱锥的高h＝．故答案为：．15．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙和马，乙同学喜欢牛、兔、马和羊，丙同学这十二个吉祥物都喜欢，如果让三位同学都能选到自己喜欢的礼物，那么不同的选法有70种．解：根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选龙，那么同学乙选牛、兔、马和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，此时的选法有C41A101＝40种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔和羊的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，此时的选法有C31A101＝30种则不同的选法共有40+30＝70种，故答案为：70．16．已知F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则＝，双曲线C的离心率为．解：由双曲线的定义知，|AF2|﹣|AF1|＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a，∴|AF2|＝4a，|AB|+|AF1|﹣|BF2|＝2a，即|AB|＝|BF2|，∵∠F1AF2＝，∴∠BAF2＝π﹣＝，∴△ABF2为等边三角形，∴|AB|＝|AF2|＝4a，∴＝＝＝．在△AF1F2中，由余弦定理知，cos∠F1AF2＝，∴cos＝，化简得7a2＝c2，∴离心率e＝＝．故答案为：；．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C 于A、B两点．（Ⅰ）当经过圆心C时，求直线l的方程；（Ⅱ）求弦长AB的最小值，以及此时直线l的方程．解：（Ⅰ）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝9的圆心为C（1，0），∵直线l过点P，C，∴直线l的斜率k＝＝2，∴直线l的方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0；（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，弦AB最短，此时l⊥PC，直线l的方程为y﹣2＝﹣（x﹣2），即x+2y﹣6＝0．18．在①•＝﹣4，②＝3，③以AB为直径的圆与准线相切，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求出直线l的一般方程．问题：已知抛物线C：y2＝4x，过x轴正半轴上一点M，倾斜角为的直线l 交抛物线C于A，B两点，____，求直线l的一般方程．解：设M（a，0），∵直线l的倾斜角为，∴，则直线l的方程为y＝．联立，3x2﹣（6a+4）x+3a2＝0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则，，＝＝．若补充①，•＝﹣4，则x1x2+y1y2＝﹣4，即a2﹣4a＝﹣4，得a＝2．直线l的方程为；若补充②，＝3，则，，即y1＝﹣3y2，x1+3x2＝4a，联立，解得．代入抛物线方程，可得，解得a＝1．直线l的方程为；若补充③，以AB为直径的圆与准线相切，则，∴，解得a＝1，则直线l的方程为．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求直线A1B1与平面A1BD成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AB1交A1B于点E，连接DE，因为四边形AA1B1B为平行四边形，所以E为AB1的中点，因为D是AC的中点，所以DE∥B1C，因为DE⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD．（Ⅱ）解：以D为原点，以DC为x轴，DB为y轴，以过D点平行于AA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，因为AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，所以D（0，0，0，），B（0，2，0），A1（﹣1，0，3），B1（0，2，3），所以＝（0，2，0），＝（﹣1，0，3），＝（1，2，0），设平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），所以，取＝（3，0，1），则cos＜，＞＝＝＝，所以直线A1B1与平面A1BD成角的正弦值为．20．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|＝1，若动点P（x，y）满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点D（0，2），斜率为k的直线l交曲线C于M，N两点．如果△DMN的重心恰好在x轴上，求k的取值范围．解：（Ⅰ）由A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|＝1，可得x02+y02＝1，又动点P（x，y）满足，即（x，y）＝（x0，2y0），则x＝x0，y＝2y0，即x0＝，y0＝，可得（）2+（）2＝1，即为+＝1，则动点P的轨迹C的方程为+＝1；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx+m，与椭圆方程4x2+5y2﹣20＝0联立，可得（4+5k2）x2+10kmx+5m2﹣20＝0，△＝100k2m2﹣4（4+5k2）（5m2﹣20）＞0，即为4+5k2﹣m2＞0，设M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2＝﹣，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝k•（﹣）+2m＝，因为△DMN的重心恰好在x轴上，可得＝0，即＝﹣2，可得4+5k2＝﹣4m，所以﹣4m﹣m2＞0，解得﹣4＜m＜0，则0＜4+5k2＜16，解得﹣＜k＜．21．如图，正方形ABCD边长为1，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED ＝FB＝1（E，F在平面ABCD同侧），G为线段EC上的动点．（Ⅰ）求证：AG⊥DF；（Ⅱ）求AG2+BG2的最小值，并求取得最小值时二面角B﹣AG﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵正方形ABCD边长为1，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，∵ED＝FB＝1（E，F在平面ABCD同侧），G为线段EC上的动点，∵D（0，0，0），F（1，1，1），E（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），＝（1，1，1），＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，1，0），＝﹣1+1＝0，＝﹣1+1＝0，∴DF⊥AE，DF⊥AC，∵AE∩AC＝A，AE⊂平面ACE，AC⊂平面ACE，∴DF⊥平面ACE，∵AG⊂平面ACE，∴AG⊥DF．（Ⅱ）解：设G（0，t，1﹣t）（0≤t≤1），则AG2+BG2＝1+t2+（1﹣t）2+1+（1﹣t）2+（1﹣t）2＝4t2﹣6t+5＝4（t﹣）2+，当t＝时，取得最小值，此时G（0，，），＝（﹣1，，），＝C（0，1，0），＝（﹣1，1，0），设平面ABG的一个法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，可得＝（1，0，4），由（1）可知平面AGC的一个法向量为＝＝（1，1，1），则cos＜，＞＝＝＝，故二面角B﹣AG﹣C的余弦值为．22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，且|F1F2|＝2，左、右顶点为M，N．（Ⅰ）若椭圆E的离心率e＝，设点P（﹣4，n）（n≠0），直线PN交椭圆E于点Q，且直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；（Ⅱ）斜率为k的直线l过F2，且与曲线E交于A，B两点，当k变化时，△ABF1的内切圆面积有最大值，求椭圆E的离心率e的取值范围．解：（Ⅰ）∵|F1F2|＝2，∴c＝1，又e＝，∴a＝2，b＝，故椭圆的方程是：+＝1，故N（2，0），设PN的直线方程为y＝k（x﹣2），代入P（﹣4，n）得：n＝﹣6k，故k＝﹣，∴PN的方程为：y＝﹣（x﹣2），联立，得：（27+n2）x2﹣4n2x+4n2﹣108＝0，设Q（x1，y1），则N（x2，y2）＝（2，0），由x1x2＝＝2•，故x1＝，y1＝﹣（x1﹣2）＝﹣（﹣2）＝，故Q（，），则K MQ＝k2＝＝＝，而K MP＝k1＝＝﹣，故k1k2＝﹣•＝﹣，是定值；（Ⅱ）内切圆的半径r＝＝＝，设直线AB的方程是：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），＝•2c•|y1﹣y2|＝|k|•|x1﹣x2|，联立（a2＝b2+1），得（b2+a2k2）x2﹣2a2k2x+a2（k2﹣b2）＝0，则：x1+x2＝，x1x2＝，△＝4a2b4（k2+1），故|x1﹣x2|＝＝＝，∴r＝＝＝b2•，设b2+a2k2＝t（t≥b2），则k2＝，故r＝b 2＝＝＝，由t≥b2，则0＜≤，△ABF1的内切圆面积有最大值，即内切圆的半径取到最大值，故函数y＝﹣b 2+（1﹣b2）+1能取到最大值，故对称轴＝∈（0，]，故＞0，解得：b＜1，故a2＝b2+1＜2，故1＜a ＜，故e ＝的取值范围是（，1）．21。

大连市高二上学期期末数学理试题有答案

大连市08-09学年普通高中高二上学期期末考试高二数学（理科）试题一．选择题{每小题5分，共60分}1．下列命题是全称命题的是（ )A.圆有内接三角形B.有一个函数，既是奇函数又是偶函数C.有的四边形是矩形D.,x ∃使092=-x2．命题：“R x ∈∀，都有012>+-x x ”的否定是（）A R x ∈∀，都有012≤+-x xB R x ∈∃，使012>+-x x ”C R x ∈∃，使012≤+-x x ”D 以上选项均不正确3．.一元二次方程)1(02)1(2≠=++-a x x a 有两个异号实根的一个充分不必要条件是 ( )A. 1<aB. 0<aC. 1>aD. 0>a4．“1=a ”是函数a x x f -=)( 在区间[),1+∞上为增函数的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件5．以221412x y -=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A ．2211612x y +=B 。

2211216x y +=C ．221164x y +=D 。

221416x y += 6．双曲线2214x y k+=的离心率(1,2e ∈，则k 的取值范围是（）A ． (,0)-∞B 。

(12,0)-C ． (3,0)-D 。

(60,12)--7．.已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（） A ．72. B 。

3 C 。

4 D 。

258．．抛物线22x y =的焦点坐标是（）A ．)0,1(B 。

)0,41( C 。

)81,0( D 。

)41,0(9．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长为（）A ．15B ．152C ．215 D ．1510．已知)32,2,2(=+b a ，)0,2,0(=-b a ，则><b a,c o s 等于( )A.36 B .66 C. 31 D. 61 11. 正方体1AC 中，直线1BC 与平面BD A 1所成角的余弦值为（）A.42 B. 32 C. 33 D. 23 12．设椭圆的两个焦点分别为21,F F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△21P F F 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（） A 、22B 、212－C 、22－D 、12－二．填空题（每小题4分，共16分）13．“若M a ∉或P a ∉,则P M a ⋂∉”逆否命题是 .14.. 若圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点为P （2，—1），则直线AB 的方程_____________________. 15. 已知A （1，0，3），B （1，2，1），B （0，2，1），则平面ABC 的一个单位法向量为__________________。

辽宁省大连市第二十高级中学高二数学上学期期末考试试题文

2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（文）试卷考试时间：120分钟试题分数：150分卷Ⅰ一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在等差数列{}n a 中，21=a ，1053=+a a ，则=7a （） A.5 B.8 C.10 D.142.下列命题中的真命题为（）A.,0Z x ∈∃使得 3410<<xB.,0Z x ∈∃ 使得 0150=+xC.01,2=-∈∀x R xD.02,2>++∈∀x x R x 3. 下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（） A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b > D ．1ab> 4. 原命题“若3x ≤-，则0x <”的逆否命题是（） A ．若3x <-，则0x ≤ B ．若3x >-，则0x ≥ C ．若0x <，则3x ≤- D ．若0x ≥，则3x >-5.“双曲线渐近线方程为x y 2±=”是“双曲线方程为)0(422≠=-λλλ为常数且y x ”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件6.如果一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（） A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项7. 若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则22x y +的最大值是（）A ． 4B ．9C ．10D ．128. 若0,0a b >>，且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于（） A ．2B ．3C ．6D ．99. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率为（）A.3B.2C.5D.6 10. 若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞11. ( )．A. 3 C. 12.设函数)(x f 是定义在),0(+∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且满足0)(2)('>+x f x xf ，则不等式2017)6(66)2017()2017(+<++x f x f x 的解集为（）A.{}2011|->x x B.{}20112017|-<<-x x C.{}02011|<<-x x D.{}2011|-<x x卷Ⅱ二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.共20分. 13. 抛物线2x y =的焦点坐标为__________.14. 直线m x y +-=是曲线x x y ln 32-=的一条切线，则=m __________.15. 已知21,F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于B A ,两点,若12||||22=+B F A F ,则||AB =__________.16. 设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则n a a a a ⋅⋅⋅321的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知抛物线方程为x y 82=，直线l 过点)4,2(P 且与抛物线只有一个公共点，求直线l 的方程.18．（本小题满分12分）已知函数4431)(3+-=x x x f ，[3,4]x ∈-，求函数的最大值和最小值。