极坐标与参数方程基本知识点

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极坐标与参数方程知识点

极坐标与参数方程知识点极坐标与参数方程是数学中的重要概念，它们在描述曲线和图形的过程中具有重要的作用。

本文将详细介绍极坐标与参数方程的知识点，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。

首先，让我们来了解极坐标的概念。

极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它使用极径和极角两个参数来确定一个点的位置。

在极坐标系中，一个点的位置可以用一个有序对(r,θ)来表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与正向极轴的夹角。

通过极坐标系，我们可以更直观地描述曲线和图形，特别是对于圆形、螺旋线等特殊曲线更为方便。

接下来，让我们了解参数方程的概念。

参数方程是用参数的形式表示曲线上各点的坐标的方程。

在参数方程中，通常用参数t来表示曲线上的点的位置，通过对参数t的取值范围的限定，可以描述出曲线的形状和特征。

参数方程的优点是可以更灵活地描述曲线的特性，例如可以描述出螺旋线、心形线等复杂曲线。

极坐标与参数方程的关系在于，有些曲线既可以用极坐标方程表示，也可以用参数方程表示。

例如，螺旋线可以用极坐标方程r=θ来表示，也可以用参数方程x=tcos(t), y=tsin(t)来表示。

通过极坐标方程和参数方程的转换，我们可以更灵活地处理曲线的性质，方便我们进行曲线的分析和计算。

在实际应用中，极坐标和参数方程经常用于描述复杂的曲线和图形，例如天体运动、工程建模等领域。

通过熟练掌握极坐标与参数方程的知识，我们可以更深入地理解曲线的性质，为解决实际问题提供更有力的工具。

总的来说，极坐标与参数方程是数学中重要的概念，它们在描述曲线和图形的过程中发挥着重要的作用。

通过深入学习和掌握极坐标与参数方程的知识，我们可以更好地理解和运用这两个概念，为数学建模和实际问题的解决提供更有力的支持。

希望本文的介绍可以帮助读者更好地理解极坐标与参数方程的知识点，欢迎大家深入学习和应用。

极坐标与参数方程知识点总结大全

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点及坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点及点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标及直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,及极轴垂直的直线过点,及极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这及点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个及参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数及参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程及普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

极坐标与参数方程知识点总结

极坐标与参数方程知识点总结文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换()()⎩⎨⎧>•='>•='0,0,:μμλλϕy y x x 的作用下,点()y x P ,对应到点()y x P '',,称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图(1)所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对()θρ,叫做点M 的极坐标,记作M ()θρ,.一般地,不作特殊说明时,我们认为θρ,0≥可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为()()R ∈θθ,0。

和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定πθρ20,0<≤>,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标()θρ,表示;同时,极坐标()θρ,表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是()y x ,,极坐标是()()0,≥ρθρ,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由θtan 确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即()()()()θπρθπρθπρθρ+--+-+,,,,2,,,都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程θρ=点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,4ππM 可以表示为⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+45,424,424,4ππππππππM M M 或或等多种形式,其中,只有⎪⎭⎫⎝⎛4,4ππM 的极坐标满足方程θρ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标()y x ,都是某个变数t 的函数()()⎩⎨⎧==t g y t f x ①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点()y x M ,都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数()y x ,的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数()y x ,中的一个与参数t 的关系,例如()t f x =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()t g y =,那么()()⎩⎨⎧==t g y t f x 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使()y x ,的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

极坐标与参数方程知识点总结

第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换()()⎩⎨⎧>•='>•='0,0,:μμλλϕy y x x 的作用下,点()y x P ,对应到点()y x P '',,称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图(1)所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对()θρ,叫做点M 的极坐标,记作M ()θρ,.一般地,不作特殊说明时,我们认为θρ,0≥可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为()()R ∈θθ,0。

和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定πθρ20,0<≤>,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标()θρ,表示;同时,极坐标()θρ,表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是()y x ,,极坐标是()()0,≥ρθρ,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由θtan 确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即()()()()θπρθπρθπρθρ+--+-+,,,,2,,,都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程θρ=点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,4ππM 可以表示为⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+45,424,424,4ππππππππM M M 或或等多种形式,其中,只有⎪⎭⎫⎝⎛4,4ππM 的极坐标满足方程θρ=. 二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标()y x ,都是某个变数t 的函数()()⎩⎨⎧==t g y t f x ①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点()y x M ,都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数()y x ,的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数()y x ,中的一个与参数t 的关系,例如()t f x =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()t g y =,那么()()⎩⎨⎧==t g y t f x 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使()y x ,的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

极坐标和参数方程知识点总结大全

极坐标与参数方程一、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（）A ．23B ．23-C ．32D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（）A ．1(,2B ．31(,)42-C ．D ．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（） A ．2y x =-B ．2y x =+C ．2(23)y x x =-≤≤D ．2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。

应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。

这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。

圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。

4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。

极坐标与参数方程基本知识点汇编

极坐标与参数方程基本知识点、极坐标知识点的作用下，点P （x, y ）对应到点P （x ,y ），称「为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换..，简称伸缩变换一.。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点 0,从0引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系， 0点叫做极点，射线Ox 叫做极轴|① 极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素, 缺一不可.3•点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点 0与点M 的距离|0M |叫做点M 的极径，记为T ;以极轴Ox 为始边，射线 0M 为终边的.xOM 叫做点M 的极角，记为二。

有序数对（罕）叫做点M 的极坐标，记为M （丁）•极坐标（「）与（「 2k 二）（k Z ）表示同一个点。

极点 0的坐标为（0,* R ） •4.若「：0,则- 0,规定点（-「，力与点（「门）关于极点对称，即（-‘门）与（，,二二）表示同一点。

如果规定「・0,0_二_2二，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（匸门）表示;同时，极坐标（二二）表示的点也是唯一确定的。

5 •极坐标与直角坐标的互化:（1）互化的前提条件① 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;1伸缩变换：设点P （x, y ）是平面直角坐标系中的任意一点,在变换x =\ x, a > 0),y =「y,(4>0).②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位•(2)互化公式6.曲线的极坐标方程:1.直线的极坐标方程：若直线过点M (订门o),且极轴到此直线的角为:,则它的方程为：「sin( v -:)=【0sin( v0 -:)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴(3)直线过M(b,—)且平行于极轴2 方程：(1) r -「(卩三R)或写成匚=二及=7( 2) 「COST - a (3) p sin 0 =b 2•圆的极坐标方程：若圆心为MC'j。

(完整版)极坐标与参数方程知识点总结大全

极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.练习1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数A ．B ．C ．D ．2323-3232-2．下列在曲线上的点是（）sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数A ．B ．C ．D ．1(,231(,)42-3．将参数方程化为普通方程为（）222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数A ．B ．C ．D ．2y x =-2y x =+2(23)y x x =-≤≤2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。

应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。

这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。

圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。

极坐标系与参数方程知识点总结

千里之行，始于足下。

极坐标系与参数方程知识点总结
极坐标系与参数方程是描述平面上的点与曲线的两种坐标系统。

1. 极坐标系：
极坐标系由极径（r）和极角（θ）组成，其中极径表示点到原点的距离，极角表示点在极坐标系中的方向。

- 极径：通常用正数表示，表示点到原点的距离。

- 极角：一般用弧度表示，表示点所在的射线与参考射线（通常为 x 轴正半轴）的夹角。

2. 参数方程：
参数方程是一组用参数表示的方程，通过为变量赋予不同的值来表示曲线上的点。

- 参数：参数是代表自变量的符号，可以用任意字母表示。

- 方程组：在参数方程中，通常会有两个或更多的方程，每个方程用参数表示一个坐标分量，用来描述曲线上的点。

极坐标系和参数方程在描述一些特殊曲线时非常有用，例如圆、椭圆、双曲线等。

其中，使用极坐标系描述曲线更加方便，而使用参数方程描述曲线更加灵活。

应用场景：
1. 极坐标系常用于描述圆心在原点的圆形曲线，以及玫瑰线、阿基米德螺线等特殊曲线。

2. 参数方程常用于描述具有特定形状的曲线，如椭圆的参数方程为 x = a * cos(t), y = b * sin(t)，其中 t 为参数，a 和 b 分别为椭圆在 x 轴和 y 轴上的半径。

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锲而不舍，金石可镂。

3. 参数方程也常用于描述轨迹问题，例如描述一个物体在运动过程中的位置随时间而变化的轨迹。

总结：
极坐标系和参数方程是两种用于描述平面上曲线的坐标系统，它们在不同场景下有不同的应用。

熟练掌握这两种坐标系统的表示方法和转换方法，可以更好地理解和描述曲线的性质和特点。

极坐标和参数方程知识点总结

千里之行，始于足下。

极坐标和参数方程知识点总结极坐标是一种表示平面上点位置的坐标系统，它是由点到原点的距离（称为极径）和点与极轴的夹角（称为极角）所确定的。

在极坐标系中，每个点的坐标可以表示为(r,θ)的形式，其中r为极径，θ为极角。

参数方程是一种用一对参数变量来表示曲线上的点的坐标的方法。

对于平面上的曲线，常用的参数方程形式为x=f(t)和y=g(t)，其中t为参数变量，f(t)和g(t)分别表示x和y的函数关系。

以下是极坐标和参数方程的一些重要知识点总结：1. 极坐标的转换关系：- 直角坐标到极坐标的转换：x=r*cos(θ)，y=r*sin(θ)- 极坐标到直角坐标的转换：r=sqrt(x^2+y^2)，θ=tan^(-1)(y/x)2. 常见曲线的极坐标方程：- 直线：θ=常数- 圆：r=常数- 椭圆：r=a*b/sqrt(b^2*cos^2(θ)+a^2*sin^2(θ))3. 参数方程的表示方式：- 曲线方程：(x,y)=(f(t),g(t))- 曲线长度的计算公式：L=∫sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt4. 参数方程的性质：- 曲线方向：随着参数变量的增大，曲线的运动方向- 曲线对称性：参数方程对称性特点取决于函数f(t)和g(t)的对称性第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

- 曲线切线方向：曲线上某点的切线方向由参数方程的导数决定5. 参数方程与极坐标之间的关系：- 参数方程可以转换为极坐标方程，极径r=f(t)，极角θ=g(t)- 极坐标方程可以转换为参数方程，x=f(θ)*cos(θ)，y=f(θ)*sin(θ)需要注意的是，极坐标和参数方程在一些问题中可以更方便地描述曲线的特性，而在其他问题中直角坐标系可能更适用。

因此，在应用中需要根据具体问题选择合适的坐标系表示。

极坐标与参数方程知识点总结大全

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程半径为的圆,半径为,注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

极坐标与参数方程基本知识点

极坐标与参数方程基本知识点一、极坐标知识点1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2。

极坐标系的概念：在平面内取一个定点O,从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴。

①极点;①极轴；①长度单位;①角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径,记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ，则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点.如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示;同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：（1）互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；①极轴与x 轴的正半轴重合①两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式6。

曲线的极坐标方程:1．直线的极坐标方程:若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：sin()sin()ρθ-α=ρθ-α几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点（2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴（3）直线过(,)2M b π且平行于极轴方程：(1）)R (∈=ραθ 或写成及（2）a =θρcos （3)ρsinθ=b2．圆的极坐标方程：若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为：2222cos()0r ρρρθθρ--+-=几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点，r 为半径（2)当圆心位于)0,(a C （a 〉0）,a 为半径（3）当圆心位于)2,(πa C )0(>a ,a 为半径方程:(1）r =ρ（2）θρcos 2a = (3）θρsin 2a =7.在极坐标系中,)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.二、参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()()x f t y f t =⎧⎨=⎩,该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数.（在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数.）相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2．曲线的参数方程（1）圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 。

极坐标和参数方程知识点总结

极坐标和参数方程知识点总结在数学的广阔天地中，极坐标和参数方程是两个独具特色且非常有用的工具。

它们为我们解决各类几何和物理问题提供了新的视角和方法。

接下来，让我们一同深入探索极坐标和参数方程的奥秘。

一、极坐标极坐标是一种用距离和角度来表示平面上点的位置的坐标系统。

在极坐标系中，一个点由极径和极角来确定。

1、极坐标的定义极径：表示点到极点（通常是坐标原点）的距离，用符号ρ 表示。

极角：表示极径与极轴（通常是 x 轴正半轴）所成的角，用符号θ 表示。

2、极坐标与直角坐标的转换（1）直角坐标转极坐标极径ρ ＝√（x²＋ y²)极角θ ＝ arctan(y ／ x) （需要根据点所在的象限确定θ 的取值）（2）极坐标转直角坐标x ＝ρ cosθy ＝ρ sinθ3、常见的极坐标曲线（1）圆圆心在极点，半径为 a 的圆的极坐标方程：ρ ＝ a圆心在点（a, 0)，半径为 a 的圆的极坐标方程：ρ ＝2a cosθ（2）直线过极点且与极轴夹角为α 的直线的极坐标方程：θ ＝α过点（a, 0) 且垂直于极轴的直线的极坐标方程：ρ cosθ ＝ a4、极坐标的应用在物理学中，描述物体的平面运动轨迹，如圆周运动，极坐标常常能使问题简化。

二、参数方程参数方程是通过引入参数来表示曲线或曲面的方程。

1、参数方程的定义对于平面曲线，如果曲线上任意一点的坐标 x 和 y 都可以表示为某个变量 t 的函数，即 x ＝ f(t)，y ＝ g(t)，那么我们称这两个方程为该曲线的参数方程，t 称为参数。

2、参数方程的常见形式（1）直线的参数方程若直线过点（x₀, y₀)，倾斜角为α，则直线的参数方程为：x ＝ x₀＋ t cosαy ＝ y₀＋t sinα （t 为参数）（2）圆的参数方程圆心在点（a, b)，半径为 r 的圆的参数方程为：x ＝ a ＋r cosθy ＝ b ＋r sinθ （θ 为参数）（3）椭圆的参数方程焦点在 x 轴上的椭圆 x²／ a²＋ y²／ b²＝ 1 的参数方程为：x ＝a cosθy ＝b sinθ （θ 为参数）3、参数的几何意义在直线的参数方程中，参数 t 通常具有几何意义，如表示直线上动点到定点的距离。

极坐标和参数方程知识点总结大全

(1)极坐标系
极坐标系有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．
如图所示 ,在平面内取一个定点 ,叫做极点,自极点引一条射线 ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，
它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为 ∈[0，2 ）。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
练习
1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）
A． B． C． D．
2．下列在曲线上的点是（）
A． B． C． D．
极坐标与参数方程
一、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即
并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．

极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结知识点和题型总结：一、伸缩变换伸缩变换是指点P(x,y)在变换作用下对应到点P'(x',y')，其中x' = λx (λ。

0)，y' = μy (μ。

0)。

这个变换称为伸缩变换。

二、极坐标和直角坐标的转换1、极坐标定义在平面上，点M的极坐标表示为(ρ,θ)，其中ρ表示OM 的长度，θ表示∠MOx的角度，且θ∈[0,2π)，ρ≥0.点P的直角坐标为(x,y)，极坐标为(ρ,θ)。

2、直角坐标转换为极坐标x = ρcosθ，y = ρsinθ。

3、极坐标转换为直角坐标ρ = √(x²+y²)，tanθ = y/x (x≠0)，x = ρcosθ，y = ρsinθ。

4、直线和圆的极坐标方程方法一：先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程。

方法二：1）若直线过点M(ρ,θ)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ-α) = ρsin(θ-α)。

2）若圆心为M(ρ,θ)，半径为r的圆方程为ρ²-2ρrcos(θ-θ)+ρ²-r² = 0.三、参数方程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2、常见曲线的参数方程1）直线的标准参数方程过定点(x,y)，倾角为α的直线：x = x+tcosα，y = y+tsinα (t为参数)。

其中参数t的几何意义是点P(x,y)，点M对应的参数为t，则PM = |t|。

直线上P1,P2对应的参数是t1,t2.|P1P2| = |t1-t2| = √((x1-x2)²+(y1-y2)²)。

极坐标和参数方程知识点总结

极坐标和参数方程知识点总结一、极坐标基础知识极坐标是一种描述平面上点位置的方式，它由两个值组成：极径和极角。

极径表示点到原点的距离，而极角表示点到正半轴的夹角。

二、极坐标与直角坐标系的转换在直角坐标系中，一个点可以用它在x轴和y轴上的投影表示。

而在极坐标系中，一个点可以用它与原点的距离和与正半轴的夹角来表示。

两种坐标系之间可以通过以下公式进行转换：x=r*cosθy=r*sinθ其中，r为极径，θ为极角。

三、常见图形的极坐标方程1. 圆：r=a2. 点：r=03. 直线：θ=k4. 简单叶形线：r=a*cos(2θ)5. 简单心形线：r=a*(1-sinθ)四、参数方程基础知识参数方程是一种描述曲线运动状态的方式，它由两个函数组成：x(t)和y(t)。

这两个函数分别表示曲线上每个点在x轴和y轴上的位置。

五、参数方程与直角坐标系的转换在直角坐标系中，一个曲线可以用y=f(x)的形式表示。

而在参数方程中，一个曲线可以用x(t)和y(t)的形式表示。

两种坐标系之间可以通过以下公式进行转换：x=f(t)y=g(t)其中，t为参数。

六、常见图形的参数方程1. 直线：x=at+b，y=ct+d2. 圆：x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ3. 椭圆：x=a*cosθ，y=b*sinθ4. 双曲线：x=a*secθ，y=b*tanθ七、极坐标与参数方程的联系极坐标和参数方程都是描述曲线运动状态的方式。

它们之间有一定的联系，可以通过以下公式进行转换：r=sqrt(x^2+y^2)tanθ=y/x其中，r为极径，θ为极角。