学案2.2特殊角的三角比
特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值三角函数是数学中常见且重要的概念之一，它描述了角度与三角比之间的关系。
在三角函数中，存在一些特殊角，它们的三角函数值具有特殊的性质和数值。
本文将探讨这些特殊角的三角函数值，并分析其应用。
1. 0度的三角函数值当角度为0度时，三角函数的值具有如下特点：- 正弦函数sin(0°) = 0- 余弦函数cos(0°) = 1- 正切函数tan(0°) = 0- 余切函数cot(0°) = 无穷由于三角函数与圆的关系，正弦函数和余切函数在0度时对应的值为0，即在单位圆上，角度为0度时，对应的点位于圆的原点位置；而余弦函数在0度时对应的值为1，即在单位圆上，角度为0度时，对应的点位于圆的X轴正方向上。
2. 30度的三角函数值当角度为30度时，三角函数的值具有如下特点：- 正弦函数sin(30°) = 1/2- 余弦函数cos(30°) = √3/2- 余切函数cot(30°) = √330度是一个较为常见的特殊角度，可以通过正六边形的内角和等于180度，再进行角度变换得到。
在单位圆上，角度为30度时，对应的点位于圆的边界上，与圆心连线成30度的角度。
3. 45度的三角函数值当角度为45度时，三角函数的值具有如下特点：- 正弦函数sin(45°) = √2/2- 余弦函数cos(45°) = √2/2- 正切函数tan(45°) = 1- 余切函数cot(45°) = 145度是一个特殊的直角三角形中，两个直角边相等时的角度。
在单位圆上，角度为45度时，对应的点位于圆的边界上，与圆心连线成45度的角度。
4. 60度的三角函数值当角度为60度时，三角函数的值具有如下特点：- 正弦函数sin(60°) = √3/2- 余弦函数cos(60°) = 1/2- 余切函数cot(60°) = 1/√360度是一个常见的特殊角度，可以通过正六边形的内角和等于180度，再进行角度变换得到。
九年级数学上册第2章解直角三角形2.230°45°60°角的三角比教案新版青岛版1224
学生独立完成
小组对照
学生独立完成后全班对照
学生谈收获
九年级数学上册第2章解直角三角形2.230°45°60°角的三角比教案新版青岛版1224
2、sin30º，cos30º，tan30º的值分别是多少？
取两个含30º的角的大小相等的三角尺，按下图的方式拼在一起，得到的△ABC是怎样的三角形？为什么？
质疑释疑 精讲点拨
利用上图，你会求出60º角的正弦，余弦和正切的值吗？与同学交流。
观察思考：
把30º，45º，60º角的正弦，余弦和正切的值填入下表：
3、会计算含有特殊角三角比的式子的值。
教学重点
利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的特殊三角函数值，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算。
教学难点
利用已有的数学知识推导出30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值。
教学过程
师生活动
激情导入：
在一副三角尺中，除了直角外，还有哪些锐角呢？
角ð
三角比
30º
45º
60º
sinð
cosð
tanð
从填写的表格中，你发现了哪些规律？与同学交流。
例1：求下列各式的值。
（1）sin30º·cos45º （2）tan45º-cos60º
例2：在Rt△ABC中 ，已知sinA= ，求锐角A的度数。
四、达标测评
1、求下列各式的值：
（1）sin30º-cos30º=
30°、45°、60°角的三角比
年级
初三
科目
数学
Байду номын сангаас课题
2.2 30°、45°、60°角的三角比
第2讲：特殊角(30°,45°,60°)的三角函数值-教案
【解析】根据特殊角的锐角三角函数值依次分析各选项即可作出判断.
∵ ， ，
∴
故选A.
【题干】已知α为锐角，sin（α﹣20°）= ，则α=（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
【答案】D
【解析】∵α为锐角，sin（α﹣20°）= ，
∴α﹣20°=60°，
∴α=80°，
故选D．
【题干】计算5sin30°+2cos245°-tan260°的值是( )
2.若0°＜α＜90°，且4sin2α﹣3=0，则α等于（ ）
A.30°B.45°C.60°D.90°
【答案】C
【解析】根据0°＜α＜90°可知α为锐角，再根据sin60°= 即可求解．
解：0°＜α＜90°，4sin2α﹣3=0，∴sinα= ．∴α=60°．
故选C．
3.计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（ ）
在Rt△AEB中，AE=AB·sin60°=2× = （cm）．∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO．
∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°．
在Rt△DCG中，CG=CD·cos30°=2× = （cm）．在Rt△BOC中，OC= BC=1．
2.先化简，再求值： ，其中x＝2sin60°＋1．
【答案】 见解析
【解析】（1）所示方案的线路总长为AB+BC=2a．
（2）在Rt△ABD中，AD=ABsin60°= a，
∴（2）所示方案的线路总长为AD+BC=（ +1）a．
（3）延长AO交BC于E，∵AB=AC，OB=OC，∴OE⊥BC，BE=EC= ．
在Rt△OBE中，∠OBE= 30°，OB= = a．
2.2 30°,45°,60°角的三角比 课件 青岛版数学九年级上册
则AB=13x,由勾股定理得 BC=12x, ∴ tanA=BACC=152xx=152.
知2－练
感悟新知
3-1.
已知tanα
=5，则2
3 sinα cosα sin2α＋cos2α
5 =____1_7____.
知2－练
感悟新知
知识点 3 互余两角的三角比之间的关系
∵ sinα=ac，cosα=bc，tanα=ab， ∴ sin2α＋cos2α=(ac)2＋(bc)2=a2＋c2 b2=cc22=1，
sinα cosα
a =bc
=ab=
tanα，即sin2α+cos2α=1，tanα=
csoinsαα.
c
感悟新知
特别提醒 已 知 sinα，cosα， tanα 中 的
知2－讲
关系
平方 关系 商的 关系
项目
速记内容
同一个锐角α 的正弦值与 余弦值的平方和等于1
同一个锐角α 的正弦与余 弦的比值等于它的正切值
巧记关系式 sin2α＋cos2α=1
tanα=csoinsαα
感悟新知
同一锐角的三角比之间的关系的推导：
知2－讲
如图2 .2-2 所示，在Rt △ ABC 中，∠ C= 90°，∠ A=α .
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1. 能利用特殊锐角的三角比的值进行计算，也可由特殊角的三
角比的值求出相应的锐角. 2. 2sin60°表示sin60°的2倍，书写时省略2 与sin60°之间的乘
号，且应将数字2放在前面，不要写成sin60°·2，以免误以 为是sin120° .
感悟新知
2.2 30°,45°,60°角的三角比教学设计2024-2025学年青岛版数学九年级上册
教学过程设计
1. 导入新课（5分钟）
目标： 引起学生对特殊角三角比的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道什么是三角比吗？它在我们的生活有什么作用？”
展示一些包含特殊角的日常生活中的图片，如等腰直角三角形、六边形等，让学生初步感受特殊角的存在。
简短介绍三角比的基本概念和在实际问题中的应用，为接下来的学习打下基础。
2. 特殊角三角比基础知识讲解（10分钟）
目标： 让学生了解特殊角三角比的基本概念、组成部分和计算方法。
过程：
讲解特殊角三角比的定义，包括正弦、余弦、正切的概念。
5. 综合题：
- 一个正六边形的边长为6厘米，求它的面积。
- 解答：正六边形可以分割为6个等边三角形，每个三角形的边长为6厘米。利用等边三角形的面积公式A = (sqrt(3)/4) * a^2，可以得出每个三角形的面积为(sqrt(3)/4) * 6^2 = 9sqrt(3)平方厘米。因此，正六边形的总面积为6 * 9sqrt(3) = 54sqrt(3)平方厘米。
板书设计
① 重点知识点：
- 特殊角三角比的定义
- 30°, 45°, 60°角的正弦、余弦、正切值
- 三角比的互化关系
- 特殊角三角比在实际问题中的应用
② 词、句：
- "sin30° = 1/2, cos30° = √3/2"
- "sin45° = cos45° = √2/2"
- "sin60° = √3/2, cos60° = 1/2"
2.2锐角三角比---特殊角的三角比
2、填空：
(1)已知tanａ= 3 ,则ａ=（ ） 3
(2)已知ａ为锐角，sin（ａ-20°）=
（）
1
2 ，则ａ=
(3)已知ａ为锐角，ａ= ,则tanａ=(
)
2
(1).2sin60°3tan30°1 30(1)2009
脑中有“图”，心中有
请同学们拿出
自己的学习工具— 1
2
—一副三角尺，思
考并回答下列问题：
3
1
1
2
1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？
30° 60°
45° 45°
2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如 果设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边 的长度。
新知探索:30°角的三角比
例1 计算: (1)sin300+cos450;
(2) sin2600+cos2600+tan450.
解: (1)sin300+cos450
1 2 1 2 .
22
2
(2) sin2600+cos2600-tan450
3
23121
1 2
2
1
44
0.
老师提示:
Sin2600表示 (sin600)2,
2
1
60°
3 2
1 2
3
正弦和余弦的相互关系
特殊三角函数值：
sin30°=
1 2
；cos60°=
1 2
；
sin60°=
3 2
cos30°=
3；
2
sin45°=
2.2三角比
练:在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝ 6 ,BC＝ 3 ,求∠A的度数；
解：在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝ 6 ,BC＝ 3
【跟踪练习】
求满足下列条件的锐角α .
(1) 2sinα － 3 = 0； (2) tanα－1 = 0; (3)tan( α-35°)=1.
解：(1) 2sinα － 3 = 0
（3）sin45°•
cos45°+
tan45°.
3 2
3 2
•
tan60°=
3 2
；
(1)原式=3 33-1+12 23= 3-1+ 43=543-1
3
(2)原式=1-212 +
13 3
2 2
=
3+
3-
2 2
=2
3-
2 2
3．已知α是锐角，当α＝ 45
时，tanα＝1，这时cosα＝
2 2
．
4. 3tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( D ) A．40° B．30° C．20° D．10°
1 3
3 3
C
B
7
tan
B
AC BC
3
∴∠A＝30°，∠B＝60°
直角三角形三边的关系. 直角三角形两锐角的关系.
B c
┌a
A
bC
直角三角形边与角之间的关系.
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.
30°
互余两角之间的三角函数关系.
45°
同角之间的三角函数关系
45° ┌ 60° ┌
知识的巩固运用
A的邻边 3
45°角的三角函数值
青岛版数学九上2.2《30°,45°,60°角的三角比》ppt-课件2
课前知识准备：
1.锐角三角比是通过直角三角形各边的比来定
义的。锐角α的三角比分别是怎样定义的？ 2.观察一副三角板中有哪些锐角？
3.化简:
1 2
=_____
2 =_____
3
一、复习回顾，引入新知：
温故知新 PPT模板：-/moban/
PPT素材：-/sucai/
PPT背景：-/beijing/
PPT论坛：
PPT课件：/kejian/
语文课件：/kejian/yuw en/ 数学课件：-/kejian/shuxue/
英语课件：/kejian/ying yu/ 美术课件：/kejian/me ishu/
---
实验与探究二
利用上面的方法，你能继续探究sin30°,cos30 °,tan30 ° 的值分别是多少吗？
因为∠A= ∠B=60 °， 所以△ABC 是等
边三角形，且CD是AB边上的高，AD=BD.
在Rt△ADC中，∠ADC=90°， ∠ACD=30°
设AC=1，那么AD=
1 2
AB=
1，
2
CD=
历史课件：/kejian/lish i/
回顾锐角三角比的定义，求出下列三角比： 如图：Rt△ABC中，∠C=90° BC=1，AC=2， 则sinA= ，cosA= ，tanB=______
A
B C
二、自主学习，合作探究
实验与探究一 利用带有45°的角的三角尺的性质，根据锐角三角比的定义，
解数：．因为A是锐角，并且sinA ＝
2
3，由于sin60
3
°=
,所以∠A= 60 °． 2
2
四、合作交流 挑战自我
如图，作边长为1 的正方形ABCD．延长边CB到D′， 使BD′＝BD，连接DD′．你能利用这个图形求出 22.5°角的正切的值吗？试一试．
人教版九年级下《28.1.3特殊角的三角函数值》学案(含答案)
28.1.3 特殊角的三角函数值学案一、新课导入1.课题导入情景：出示一副三角尺，老师手中的两块三角尺中有几个不同的锐角？问题：分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.本节课我们学习30°，45°，60°角的三角函数值.（板书课题）2.学习目标（1）推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.（2）能运用30°，45°，60°角的三角函数值进行简单的计算.（3）能由30°，45°，60°角的三角函数值求对应的锐角.3.学习重、难点重点：推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.难点：相关运算.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P65探究~P66例3上面的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：完成探究提纲.②通过计算，得到30°，45°,60°角的正弦值、余弦值、正切值如下表：③观察上表，sin30°，sin45°，sin60°的值有什么规律？cos30°，cos45°，cos60°呢？tan30°，tan45°，tan60°呢？2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生能否推导30°，45°，60°角的三角函数值.②差异指导：根据学情进行针对性指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.4.强化：特殊角的三角函数值的推导和记忆以及30°，45°，60°角的正弦值、余弦值、正切值的变化规律.第二层次学习1.自学指导（1）自学内容：教材P66例3~P67练习上面的内容.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：先自主学习，再同桌之间讨论交流，互相纠错.（4）自学参考提纲：①含30°，45°，60°角的三角函数值的计算题的解题要点是什么？熟练掌握特殊锐角的三角函数值.②求直角三角形中某锐角的解题要点是什么？先求该锐角的正弦值或余弦值或正切值，然后根据特殊锐角的三角函数值求该锐角的度数.③求下列各式的值：a.1-2sin30°cos30°;b.3tan30°-tan45°+2sin60°;=-1.c.(cos230°+sin230°)×tan60°.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生对特殊角的三角函数值表的掌握情况.②差异指导：根据学情指导学生记忆或推导特殊角的三角函数值.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化（1）求特殊锐角的三角函数值的关键是先把它转化为实数的运算，再根据实数的运算法则计算.（2）求锐角的度数的关键是先求其正弦值或余弦值或正切值，然后对应特殊锐角的三角函数值求角的度数.（3）当A、B为锐角时，若A≠B，则sin A≠sin B，cos A≠cos B,tan A≠tanB.三、评价1.学生自我评价：这节课你学到了什么？还有什么疑惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：根据学生的情感态度和学习效果等方面进行评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时中的特殊角是指30°，45°，60°的角，课堂上采用“自主探究”的形式，给学生自主动手的时间并提供创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究和合作的能力.本节课的最终教学目的是让学生理解并掌握30°，45°，60°角的三角函数值，并且能够熟记其函数值，然后利用它们进行计算.评价作业一、基础巩固（70分）3.(40分)求下列各式的值.（1）sin45°+cos45°;=2.（2）sin45°cos60°-cos45°;（3）cos245°+tan60°cos30°;=2.(4）1-cos30°sin60°+tan30°.的度数.∵∠B 是锐角且tan B =1,∴∠B =45°.∴∠C =180°-∠A -∠B =75°.二、综合应用（20分）是（D ）A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形6.(10分)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ，CD 为⊙O 的直径，D E ⊥AB 于点E ，三、拓展延伸（10分）7.(10分)对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）.（1）求sin 120°，cos 120°，sin 150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A 和∠B的大小.解：∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，∴三角形三个内角度数分别为30°,30°,120°.∴∠A=30°或120°，∠B=30°或120°.又∵sin A,cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，。
2.2特殊角的三角比
2 2 2 + = + AC BC 1 1 = 2． 2
B 1
BC 1 2 = = sin45°= ； AB 2 2
cos45°=
AC 1 2 = = ； AB 2 2
2
BC 1 = =1 ． tan45°= AC 1
A
45° 1
C
sin30°,cos30 °,tan30 °的值分别是多少？
45°
60°
sin α cosα
1 2
3 2 3 3
2 2
2 2 1
要能记 住有多 好
3 2 1 2
3
tanα
这张表还包含许多知识之间 的内在联系，你能发现那些 规律，请同学交流一下。
找到规律，事半功倍
角α
30°
45°
60°
三角比
sin α cosα tanα
1 2 3 2 3 3
2 2 2 2
0 1
4
课堂小测
3 30° 填空（1）若A为锐角， tanA= ,则A=_____ 3 1 3
sinA= _____，cosA=______ 2 2 ⑵已知cosB= 3 ,且∠A=90﹣∠B,则 sinA=____ 3 2
2
3 选择1 、 已知为锐角，cos = ， 则 sin 的值为（ B ） 2 3 1 3 A B C D 3 2 2 3 2 3 2、 在ABC中， 若 sin A = ，tan B = , 则这个三角形一定是 （ 2 3 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形
3Hale Waihona Puke 2,解：因为A是锐角，并且sinA ＝
3
sin60 ° = 3
九年级数学上册《角的三角比》教案、教学设计
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，以实际问题导入新课，激发学生的学习兴趣。
（2）运用直观演示法，通过动态图示、实际操作等方式，帮助学生形象地理解三角比的概念。
（3）采用启发式教学法，引导学生通过观察、思考、讨论，探索三角比的规律和性质。
九年级数学上册《角的三角比》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握角的三角比的定义，能够准确地运用三角比进行角的计算。
2.掌握正弦、余弦、正切三个三角比的概念，并能够熟练运用它们解决实际问题。
3.掌握三角函数的基本性质，如周期性、奇偶性、单调性等，并能运用这些性质解决相关问题。
4.能够运用三角函数解决直角三角形中的边角问题，以及与日常生活密切相关的问题。
（5）课后作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识，提高学生的关注学生在课堂上的表现，如积极参与讨论、主动提问等，给予鼓励和肯定。
（2）总结性评价：通过课后作业、测验等方式，评价学生对三角比知识的掌握程度。
（3）增值性评价：关注学生在学习过程中的进步，鼓励学生自我反思，提高学习效果。
教学过程：首先，向学生展示一幅图片，内容是一位同学在阳光下测量旗杆的高度。引导学生思考：“如何利用已知条件和数学知识来解决这个问题？”接着，组织学生进行小组讨论，让学生尝试运用已学的三角形知识来解决这个问题。
2.教学内容：从实际问题中提炼出三角比的概念。
教学过程：在学生讨论的基础上，教师引导学生观察旗杆与影子形成的直角三角形，提出三角比的定义。此时，教师解释三角比是描述三角形中角度与边长之间关系的数值，它是解决实际问题的关键。
2.2特殊角的三角比教学设计
2.2 30°、45°、60°角的三角比东鲁学校满萍修订【目标确定的依据】1.相关课程标准的陈述知道30°，45°，60°角的三角函数值。
2.教材分析内容分析：本节课引导学生推理得出30°，45°，60°角的三角比，并能根据30°，45°，60°角的三角比，反推出相应锐角的大小。
能计算含有30°，45°，60°角的三角比的式子的值。
重点：探索推理得出30°，45°，60°角的三角比。
难点：求解特殊角的三角比，实际运算含有这些三角比的式子。
教学突破：本节课可以采取鼓励学生自己动手测量，动脑思考，探索推理得出特殊角30°，45°，60°的三角比的方法，培养学生积极主动获取知识的意识；通过加强练习，让学生牢固掌握特殊角的三角比，并能实际运用到相应的计算题中。
3.学情分析上一节已经学习了三角比的概念与求法，也具备了勾股定理、等边三角形的有关知识，为本节学习做好铺垫；学生缺乏利用辅助线构造直角三角形的转化能力，在求特殊角30°，45°，60°角的三角比时考虑不到借助等边三角形或者等腰直角三角形的性质来处理，所以教师抛出问题后要善于引导学生探究，师生共同总结发现。
【学习目标】1.通过自主探索30,45,60角的三角比的过程，进一步体会三角比的意义。
2.通过自主学习30,45,60角的三角比的值，能根据特殊值直接求得相应的锐角。
3.通过合作探究特殊角的三角比的值，会计算含有特殊角三角比的式子的值。
【评价任务】1.动手画一画图，量一量，并算一算30°，45°，60°角的三角比。
（目标1）2.总结归纳30,45,60角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求一求相应的锐角。
第二十八章特殊角的三角函数值(教案)2020-2021学年人教版九年级数学下册
1.教学重点
（1）特殊角的三角函数定义：正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）的基本概念及其在直角三角形中的应用。
举例：明确30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦、正切值。
（2）特殊角的三角函数值：熟练掌握30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦、正切值。
举例：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=1/√3；sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1；sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3。
其次，学生在应用特殊角的三角函数值解决实际问题时，往往不知如何下手。在实践活动和小组讨论中，我注意到他们在分析问题和建立数学模型方面存在困难。为了解决这个问题，我计划在接下来的教学中，增加一些与实际问题相结合的例题，让学生们学会将实际问题转化为数学问题，并运用特殊角的三角函数值进行解决。
此外，学生在小组讨论中表现出了一定的积极性，但部分学生过于依赖同伴，缺乏独立思考。为了培养学生的独立思考能力，我将在下一节课中适当调整讨论环节，鼓励每个学生先独立思考，然后再进行小组交流。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了特殊角的三角函数值的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.提高学生的数学建模与问题解决能力：利用特殊角的三角函数值解决实际问题，让学生学会建立数学模型，提高问题解决能力。
4.培养学生的数学抽象与数学运算能力：让学生从具体的直角三角形中抽象出特殊角的三角函数值，并进行运算，提高数学抽象与运算能力。
解直角三角形角的三角比
2023-11-08contents •三角比的定义•直角三角形中的角•解直角三角形的方法•三角比的性质和证明•三角比的扩展和应用目录01三角比的定义在直角三角形中，一个锐角与斜边的比值叫做锐角三角比。
锐角三角比在钝角三角形中，一个钝角与斜边的比值叫做钝角三角比。
钝角三角比定义s i n (30°)=0.5，c o s (30°)=√3/2，tan(30°)=√3/3。
30°的锐角45°的锐角60°的锐角s i n (45°)=√2/2，c o s (45°)=√2/2，tan(45°)=1。
s i n (60°)=√3/2，c o s (60°)=1/2，tan(60°)=√3。
03特殊角的三角比值0201通过已知的三角比值，可以确定一个角度的大小。
确定角度大小在航海、航空和地理测量中，通过已知的两个角度和斜边长度，可以计算出两点之间的距离。
计算距离在几何学中，通过已知的三角比值和斜边长度，可以计算出三角形的面积。
计算面积三角比的应用02直角三角形中的角直角三角形中的三个角角A：90度，直角角B：锐角角C：锐角sinA = cosB tanA = cotB secA = cscB角A和角B的关系角A和角C的关系sinA = cosCtanA = cotCsecA = cscC03解直角三角形的方法已知直角三角形的一个角的大小，利用三角比值可以求出其他两个角的大小。
利用三角比值解直角三角形定义先确定已知角的大小，根据三角比值的定义，计算出其他两个角的大小。
方法常用于测量、定位、设计等领域。
应用方法先确定直角三角形的两条直角边或斜边的长度，再根据勾股定理计算出另一条边的长度。
定义勾股定理是直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
应用常用于几何学、物理学、工程学等领域。
利用勾股定理解直角三角形锐角三角函数是锐角三角形的三条边的比值，包括正弦、余弦和正切等。
2.2锐角三角比---特殊角的三角比
Sin2600表示 (sin600)2,
3 1 1 4 4
cos2600表示 (cos600)2, 其余类推.
0.
随堂练习 6
知识的运用
计算:
(1)sin600-cos450;(2)cos600+tan600;
2 0 0 0 3 sin 45 sin 60 2 cos45 . 2
0 1
0
(3).( 2 1) 8 6sin 45° (1)
2
2009
今天你有什么收获?
请你谈谈对本节学习内容的 体会和感受。
2 2 0 4 sin 30 cos2 600 2 cos2 450. 2
3 例2、（1)∠A为锐角sinA= ，求∠A 2
（2）已知ａ为锐角，tan（90°-ａ） = 3 ，求∠ａ （3）在Rt△ABC中, ∠C=90°，若 2 ，求sinA cosB= 1 2 （4）在△ABC中, 若| sinA|+（12 tanB）=0，求∠C
6
3
C
BC 3 2 解 sin A , AB 6 2
A 45 .
A
（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆 锥的底面半径OB的 3 倍，求 a ．
O
B
AO 3OB 解 tan 3, OB OB
60 .
当A，B为锐角 时，若A≠B，则 sinA≠sinB, cosA≠cosB, tanA≠tanB.
应用公式，变式练习．
(2)已知sin35°=0.5736，求cos 55°； (3)已知 cos 47°6′=0.6807，求sin42°54′．
(2) cos55°=cos(90°-35°)=sin35°=0.5736；
特殊锐角的三角比的值
特殊锐角的三角比的值内容分析特殊锐角的三角比的值是九年级数学上学期第二章第一节的内容，本讲主要讲解利用几何方探求30°、45°和60°这三个特殊锐角的三角比的值，重点是熟练运用其进行相关计算，难点是在几何图形中的灵活运用．知识结构模块一：求特殊锐角的三角比的值知识精讲1、特殊锐角的三角比的值ABCABC BAC【例1】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45A ∠=︒，BC = a ．求A ∠的三角比的值． 【难度】★ 【答案】22sin =A ，22cos =A ，1tan =A ，1cot =A ． 【解析】∵45A ∠=︒，∴2245sin sin =︒=A ，2245cos cos =︒=A ， 145tan tan =︒=A ，145cot cot =︒=A ． 【总结】本题主要考查特殊角45角的三角比的值．【例2】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，BC = a ．求A ∠的三角比的值． 【难度】★【答案】21sin =A ，23cos =A ，33tan =A ，3cot =A【解析】∵30A ∠=︒∴2130sin sin =︒=A ，2330cos cos =︒=A ， 3330tan tan =︒=A ，330cot cot =︒=A ． 【总结】本题主要考查特殊角30角的三角比的值．【例3】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，AC = a ．求A ∠的三角比的值． 【难度】★ 【答案】23sin =A ，21cos =A ，3tan =A ，33cot =A ． 【解析】∵60A ∠=，∴2360sin sin =︒=A ，2160cos cos =︒=A ，360tan tan =︒=A ，3360cot cot =︒=A ． 【总结】本题主要考查特殊角60角的三角比的值．例题解析【例4】 填空：tan 60°= ______；cot 45°= ______；sin 30°= ______；cos 45°= ______．【难度】★ 【答案】3，1，21，22【解析】主要考察特殊角的锐角三角比值．【例5】 用特殊锐角的三角比填空：（1）12=______ = ______； （2=______ = ______；（3）1=______ = ______；（4=______ = ______． 【难度】★【答案】（1）sin 30°，cos 60°；（2）sin 45°，cos45°；（3） tan45°，cot 45°；（4）sin 60°，cos30°． 【解析】主要考察特殊角的锐角三角比值．【例6】 已知，等腰ABC ∆的顶角A ∠=120°，求B ∠的三角比的值． 【难度】★ 【答案】21sin =B ，23cos =B ，33tan =B ，3cot =B【解析】∵等腰ABC ∆的顶角A ∠=120°，∴︒=∠=∠30C B ． ∴2130sin sin =︒=B ，2330cos cos =︒=B ，3330tan tan =︒=B ，330cot cot =︒=B ． 【总结】本题一方面考查等腰三角形的性质，另一方面考查特殊角30角的三角比的值．【例7】 正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，求OAB ∠的三角比的值． 【难度】★ 【答案】22sin =∠OAB ，22cos =∠OBA ，1tan =∠OAB ，1cot =∠OAB 【解析】∵正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ， ∴︒=︒⨯=∠=∠45902121BAC OAB ．∴2245sin sin =︒=∠OAB ，2245cos cos =︒=∠OAB ，145tan tan =︒=∠OAB ，145cot cot =︒=∠OAB ．【总结】本题一方面考查正方形的性质，另一方面考查45角的三角比的值．【例8】 求满足下列条件的锐角α：（1）cos 0α=； （2）0α=．【难度】★【答案】（1）︒=30α；（2）︒=45α．【解析】（1）由题意可得：cos α=︒=30α；（2）由题意可得：1tan =α，则︒=45α．【总结】本题主要是对特殊锐角三角比的值的综合运用．【例9】 若A ∠是锐角，且tan A cos A = ______． 【难度】★★ 【答案】23【解析】∵tan A =，∴︒=∠30A ，∴2330cos cos =︒=A ． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及它们之间的关系．【例10】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，cos B =12，求tan A 的值． 【难度】★★ 【答案】33 【解析】∵1cos 2B =，且∠B 是锐角，∴︒=∠60B ．∵︒=∠+∠90B A ， ∴︒=∠30A∴3330tan tan =︒=A ． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及它们之间的关系．【例11】 sin 45°+ cos 45°的值等于（ ）ABCD ．1【难度】★ 【答案】A【解析】sin 45°+ cos 45°=22222=+．【例12】 下列不等式，成立的是（ ）A ．sin60sin45sin30︒<︒<︒B ．cos60cos45cos30︒>︒>︒C ．tan60tan45tan30︒<︒<︒D ．cot30cot 45cot60︒>︒>︒【难度】★ 【答案】D【解析】A 答案，正确应为：sin60sin45sin30︒>︒>︒； B 答案，正确应为：cos60cos45cos30︒<︒<︒；C 答案，正确应为：tan60tan45tan30︒>︒>︒【总结】一个锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大，一个锐角的余弦值和余切值随着角度的增大而减小．【例13】 计算：（1）tan602sin452cos30︒+︒-︒；（2）()2tan 60tan 30︒+︒．【难度】★【答案】（1）2；（2）316． 【解析】（1）原式=23232322223=-+=⨯-⨯+（2）原式=31633433322=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．模块二：特殊锐角的三角比的值的应用例题解析【例14】 计算：（1）sin60tan 45cos30︒-︒︒；（2）tan 45tan301tan 45tan30︒-︒+︒︒．【难度】★【答案】（1）0；（2）32-【解析】（1）原式=01112323=-=-；（2）原式=3233333313313311331-=+-=+-=⨯+-． 【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．【例15】计算：)112341271tan 6012-⎛⎫++- ⎪︒+⎝⎭．【难度】★★ 【答案】3【解析】原式=()32132324321343243=--+-+=-++-+．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．【例16】【难度】★★ 【答案】213- 【解析】原式sin 60sin30sin 60sin30︒-︒=︒-︒=． 【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．【例17】计算：22cos 60cos 45sin 45︒+︒︒︒． 【难度】★★【答案】45【解析】原式=4521214122212222122=++=⨯⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛． 【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．【例18】 计算：cos60sin 45cos60cos45cos60sin 45sin30cos45︒+︒︒-︒+︒-︒︒+︒． 【难度】★★ 【答案】6- 【解析】原式=()()6212121212121222122212221222122-=--+-=+-+-+=+-+-+．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．【例19】 计算：()tan 4512sin30cos60cot 30sin 60cos60-︒︒-︒--︒+︒+︒．【难度】★★ 【答案】2-【解析】原式=213321212313212121-=-+--=++--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．【例20】sin301︒-．【难度】★★ 【解析】原式=321132121324211212314121=+-+=+-+=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+-． 【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．【例21】 已知030α︒<∠<︒，化简：1cot cot αα-．【难度】★★【答案】13cot 2--α【解析】∵030α︒<∠<︒， ∴330cot cot =︒>α．∴1cot cot cot 1cot 2cot 1ααααα-+=-+=．【总结】一个锐角的度数越大，余切值反而越小．【例22】 已知方程()2sin 2sin 2sin 120x x ααα-+++=有两个相等的实数根，求锐角α的大小．【难度】★★ 【答案】30°【解析】∵方程()2sin 2sin 2sin 120x x ααα-+++=有两个相等的实数根， ∴()()12sin sin 42sin 42+⨯⨯-+=∆ααα0sin 3216=-=α．∴21sin =α． ∴︒=30α．【总结】本题将根的判别式与锐角三角比结合在一起，完成相应计算．ααααsin 48sin 416sin 16sin 422--++=【例23】 已知ABC ∆中，30B ∠=︒，45C ∠=︒，BC = 15 cm ，求AB 的长． 【难度】★★【答案】AB=15315-【解析】解：过A 作AD ⊥BC ，垂足为D设x AD =，在ABD Rt △中，30B ∠=︒， ∴3cot ==AD BDB ，则x BD 3=；在ACD Rt △中，45C ∠=︒，∴1cot ==ADCDC ，则x CD =；∵BC = 15 cm ， ∴153=+x x ， 解得：215315-=x ．∴153152-==x AB cm ．【总结】本题是对锐角三角比的直接运用，注意在运用锐角三角比时，要将锐角放在直角三角形中．【例24】 已知ABC ∆中，30B ∠=︒，135C ∠=︒，BC = 15 cm ，求AB 的长． 【难度】★★【答案】AB=15315+【解析】解：过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ．设x AD =，在ABD Rt △中，30B ∠=︒，∴ 3cot ==ADBDB ，则x BD 3=；在ACD Rt △中，18045ACD ACB ∠=-∠=，∴1cot ==AD CDC ，则x CD =；∵BC = 15 cm ，∴153=-x x ，解得：215315+=x ．∴153152+==x AB cm ．【总结】本题是对锐角三角比的直接运用，注意在运用锐角三角比时，要将锐角放在直角三角形中．BA【例25】 已知ABC ∆中，45A ∠=︒，AC = 15 cm，BC =，求AB 的长． 【难度】★★★【答案】AB =AB = 【解析】（图1）（图2）解：过C 作CD ⊥BA ，垂足为D ． 在ACD Rt △中，45A ∠=︒，AC = 15， ∵22cos ==AC AD A ， ∴AD CD =在BCD Rt △中，∵222CB BD CD =+，∴BD =在图1中，AB AD BD =+==在图2中，AB AD BD =-==． 综上所述：AB 的长为【总结】在三角形中，已知一个角的度数，以及这个角的对边和一条邻边的长时，要注意分类讨论．ABA【例26】 已知1sin60cos60a =︒-︒，1tan 45cot30b =︒-︒，求224a ab b ++的值．【难度】★★★ 【答案】3233--．【解析】∵11sin 60cos60a ===︒-︒，1tan 45cot 30b ===︒-︒，∴()22242a ab b a b ab ++=++．而231+=+b a ，()2312+-=ab ，∴原式=()()3233314331231222--=+-=+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+． 【总结】本题主要考查锐角三角比在实数运算中的运用．【例27】 已知090θ︒<<︒，且sin 0θθ=，求2sin cos 2sin cos θθθθ+-．【难度】★★★ 【答案】7249+．【解析】∵sin 0θθ-=，∴sin θθ．∴2sin cos 2sin cos θθθθ+===-【总结】本题主要是考查换元的思想．【例28】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2a b +=，30A ∠=︒，求a 、b 、c 的值． 【难度】★★★【答案】13-=a ，33-=b ，232-=c 【解析】解：在ABC Rt △中， 3cot ==abA ，则a b 3=． ∵2a b +=， ∴23=+a a ， 解得：13-=a ，∴333-==a b ，2322-==a c ．【总结】本题是对特殊角锐角三角比的综合运用．【例29】 在ABC ∆中，A ∠、B ∠均是锐角，且(2tan 2sin 0B A +=，请判断ABC ∆的形状，并说明理由．【难度】★★★ 【答案】等边三角形．【解析】∵(2tan 2sin 0B A +=，∴03tan =-B ，03sin 2=-A ，解得：3tan =B ，23sin =A ． ∴︒=∠60B ，︒=∠60A ．∴ABC ∆为等边三角形．【总结】本题主要是对绝对值和平方的非负性和特殊角的锐角三角比的值的综合考查．【例30】 应用锐角三角比的定义，求sin 15°、tan 15°、sin 75°、tan 75°． 【难度】★★★【答案】42615sin -=︒，3215tan -=︒，sin 【解析】如图，作等腰△ABC ，且︒=∠=∠15C B ． 过点C 作CD ⊥BA 交BA 的延长线于点D ，则︒=∠15B ，75BCD ∠=︒，30CAD ∠=． 设x DC =，则x AB AC 2==，x DA 3=， BC x x ====．在Rt △BDC 中， ()42626126sin 15sin -=+=+===︒xxBCDCB ；()3232132tan 15tan -=+=+===︒x x BD DC B ； ()()42626322632sin 75sin +=++=++==∠=︒x x BC DB BCD ；()3232tan 75tan +=+==∠=︒xxCDDB BCD ．【总结】在求非特殊角的锐角三角比的值时，想办法将其跟特殊角结合起来，再去求值．【习题1】求满足下列条件的锐角α：（1）2cos 0α=；（2）()tan 10α+︒=【难度】★【答案】（1）45°；（2）50°． 【解析】（1）由题意可得：cos α=︒=45α；（2）由题意可得：︒=︒+6010α，则︒=50α．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．【习题2】 如果α∠是等腰直角三角形的一个锐角，则α∠的余弦值为______．【难度】★ 【答案】22【解析】∵α∠是等腰直角三角形的一个锐角，∴︒=45α，∴cos 2α= 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．【习题3】 若α是锐角，且cot α=()cos 90α︒-=______．【难度】★【答案】21【解析】∵cot α=︒=30α，∴()2160cos 90cos =︒=-︒α． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．随堂检测【习题4】 ABC ∆中，A ∠、B ∠都是锐角，且sin A =12，cos B，则ABC ∆三个角的大小关系是（ ）A ．C AB ∠>∠>∠ B ．BC A ∠>∠>∠ C ．A B C ∠>∠>∠D ．C B A ∠>∠>∠【难度】★ 【答案】D 【解析】∵sin A =12，cos B，∴︒=∠30A ，︒=∠45B ．∴︒=︒-︒-︒=∠1054530180C ，∴C B A ∠>∠>∠．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．【习题5】 计算：cos45sin30cos45sin30︒+︒︒-︒．【难度】★★ 【答案】223+ 【解析】原式=223121221222122+=-+=-+．【总结】本题主要是将特殊角的锐角三角比的值与实数运算结合在一起．【习题6】23tan 30︒+【难度】★★ 【答案】2【解析】原式 =2221122212333122=-+-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+． 【总结】本题主要是将特殊角的锐角三角比的值与实数运算结合在一起．【习题7】 ()131tan602sin 45-+︒+︒．【难度】★★【答案】32-【解析】 原式=32231233123112331-=-+-+-=++-+-．【总结】本题主要是将特殊角的锐角三角比的值与实数运算结合在一起．【习题8】在ABC ∆中，A ∠、C ∠均为锐角，若21sin cos 02A C ⎛-+= ⎝⎭，求B ∠的度数．【难度】★★ 【答案】︒=∠120B【解析】∵21sin cos 02A C ⎛-+= ⎝⎭， ∴023cos =-C ，0sin 21=-A ，解得：23cos =C ，21sin =A ． ∴︒=∠30C ，︒=∠30A ，∴︒=︒-︒-︒=∠1203030180B ．【总结】本题主要是对绝对值和平方的非负性和特殊角的锐角三角比的值的综合考查．【习题9】 已知ABC ∆中，60B ∠=︒，45C ∠=︒，BC = 20 cm ，求AC 的长．【难度】★★ 【答案】610230-【解析】解：过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ．设x AD =． 在ABD Rt △中，60B ∠=︒，∴ 33cot ==AD BD B ，则x BD 33=；在ACD Rt △中，45C ∠=︒，∴ 1cot ==ADCDC ，则x CD =； ∵BC = 20 cm ，∴2033=+x x ，解得：31030-=x ．∴6102302-==x AB ．【总结】本题是对锐角三角比的直接运用，注意在运用锐角三角比时，要将锐角放在直角三角形中．ABC【习题10】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，2a b -=，求a 、b 、c 的值． 【难度】★★★【答案】33+=a ，13+=b ，232+=c 【解析】解：在ABC Rt △中，60A ∠=︒， ∴ 33cot ==a b A ，则b a 3=． ∵2a b -=，∴23=-b b ，解得：13+=b ，∴333+==b a ，2322+==b c ．【总结】本题是对特殊角锐角三角比的综合运用．【作业1】（1）若1cos 2α=，则α∠=______； （2）若tan 1β=，则β∠=______．【难度】★【答案】（1）60°；（2）45°．【解析】主要考查特殊角的锐角三角比的值．【作业2】()151α+︒=，则锐角α的度数是______．【难度】★ 【答案】15°()151α+︒=，∴()tan 15α+︒=，∴︒=︒+3015α，∴︒=15α． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．【作业3】若225sin cos 304α+︒=，那么锐角α度数是（ ） A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【难度】★ 【答案】C【解析】∵225sin cos 304α+︒=，∴225sin 4α+=⎝⎭， ∴21sin 2α=，∴sin α=，∴︒=45α．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．课后作业【作业4】 下列等式中，成立的有（ ）① sin 30°+ sin 30°= sin 60°；②若cos A = sin B ，则=A B ∠∠；③若sin A = cos 30°，则锐角A = 60°； ④sin 60°+ sin 30° = 2（sin 30°+ cos 30°）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★★ 【答案】B【解析】①sin 30°+ sin 30°=12121=+，sin 60°=23，不成立； ②若cos A = sin B ，则+=90?A B ∠∠，所以②不成立； ③若sin A = cos 30°，则锐角A = 60°，成立； ④sin 60°+ sin 30° = 2132123+=+，2（sin 30°+ cos 30°）=3123212+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，所以不成立． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．【作业5】()12°121cot 3013sin 452-⨯-+-︒． 【难度】★★★ 【答案】3． 【解析】原式=)21112132⨯==．【总结】本题主要是将特殊角的锐角三角比的值与实数运算结合在一起．【作业6】 计算：sin 45cos45cos30cot 60tan 60︒+︒︒︒-︒．【难度】★★ 【答案】0．【解析】原式202+=+=+=． 【总结】本题主要是将特殊角的锐角三角比的值与实数运算结合在一起．【作业7】tan301tan30cot30︒-+︒-︒．【难度】★★【答案】332【解析】原式=︒-︒+-︒--︒30cot 30tan 130tan 160cot=332333331331=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---． 【总结】本题主要是将特殊角的锐角三角比的值与实数运算结合在一起．【作业8】在ABC ∆中，A ∠、B ∠均是锐角，且2sin 0A +=，请判断ABC ∆的形状，并说明理由．【难度】★★【答案】等腰直角三角形【解析】∵2sin 0A ， ∴02sin 2=-A ，031cot 31=-B ，解得：22sin =A ，1cot =B ．∴︒=∠45A ，︒=∠45B ，∴ABC ∆为等腰直角三角形．【总结】本题主要是对绝对值和平方的非负性和特殊角的锐角三角比的值的综合考查．【作业9】已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45A ∠=︒，3c a -=，求a 、b 、c 的值．【难度】★★★【答案】323+=a ，323+=b ，236+=c 【解析】解：在ABC Rt △中， 22sin ==c a A ，则a c 2=． ∵3c a -=3a -=，解得：323+=a ，∴323+==a b ，2362+==a c ．【总结】本题是对特殊角锐角三角比的综合运用．【作业10】 应用锐角三角比的定义，求sin 22.5°、tan 22.5°、sin 67.5°、tan 67.5°．【难度】★★★【答案】2225.22sin +=︒，125.22tan -=︒，()4224225.67sin -+=︒， 125.67tan +=︒． 【解析】如图，作等腰△ABC ，且22.5B ACB ∠=∠=过点C 作CD ⊥BA 交BA 的延长线于点D ．则︒=∠5.22B ，67.5BCD ∠=︒．设x DC =，则x AB AC 2==，x DA =，()x x x BD CD BC 2242122222+=++=+=．在Rt △BDC 中， sin 22.5sin DC B BC ︒==== =； ()1212112tan 5.22tan -=+=+===︒x xBD DC B ；()()224224224122241222412sin 5.67sin -⋅+-+=++=++==∠=︒x x BC DB BCD ；()1212tan 5.67tan +=+==∠=︒x x CD DB BCD ． 【总结】在求非特殊角的锐角三角比的值时，想办法将其跟特殊角结合起来，再去求值． 2224222424822224224224224+=+=+=+=-⋅+-()()4224222222412-+=-+=。
2.230度45度60度角的三角比
在本节课中，使用了多媒体课件，三角板，教科书。
一、教材分析本节主要讲解30度，45度，60度角的三角比求法及应用。
1、纵向分析：本节课在学习了平面图形的初步认识（七下），数的开方（八下），勾股定理（八下）、相似三角形（九上）及二次根式（八下）的基础上安排的。
主要内容是利用锐角三角比的定义，求30度，45度，60度的三角比及应用。
教材从学生熟悉的三角尺出发，引出求30度，45度，60度角的三角比问题。
然后利用三角尺，设计了利用三角尺求这些锐角的三角比的探索活动。
在这些活动中，利用了简单的平面图形三角形的相似，数的开方，勾股定理及二次根式的化简、分母有理化。
为便于学生记住这些角的三角比，教材“观察与思考”栏目中，让学生通过填表、观察，找出它们之间的规律。
然后通过例1、例2解决含有这些角的三角比的简单式子的计算和已知某个特殊锐角的三角比求该角的问题，为学习后续内容做好铺垫。
2、横向分析：教材首先引导学生利用直角三角形和三角比的定义，通过勾股定理探索最特殊的、学生易于接受的直角三角形中45度角的三角比，并由此得到启发，再通过构造、转化，利用两个含有30度角的全等的直角三角形构造一个等边三角形，利用等边三角形的高与边长的关系，再去解决30度，60度角的三角比的值，这种循序渐进的编排方式符合学生的认知规律。
教材在探索30度、45度的三角比时，不仅设计了活动的顺序、方式，同时也给出了完整的、规范的解答过程，以便于学生掌握解题的程序和步骤。
对于60度角的三角比，教科书没有提供探索过程和结论，而是给学生留下了自主探索与交流的空间。
在得到特殊角的三角比之后，教材提出“通过表格中的数据，你发现了那些规律”的拓展性问题，让学生继续深入的进行探索，不仅可以帮助学生记忆特殊角的三角比，也为学生学习下面的“挑战自我”、解直角三角形提供了有利的条件。
3、与高中知识的衔接：例1是教材中第一次出现含有三角比的算式。
在数学中，三角运算与指数是无理数的指数运算、对数运算、反三角函数运算统称超越运算，除了超越运算外还包含超越运算的解析式统称超越式。
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2.2 30,45,60角的三角比
学习目标：
1、经历探索30°、45°、60°角的三角比的过程，熟记这些特殊角的三角比，并能用它们进行计算。
2、能够根据300,450,600的三角比，求出相应锐角的大小。
3、能够运用300,450,600角的三角比解决简单的直角三角形问题。
课前预习
一、【知识回顾】 在 Rt △ABC 中，∠C=90°。
（1）a 、b 、c 三边之间的关系是 ， （2）∠A+∠B= 。
（3）sinA= cosA= tanA= cotA=
课中探究
二、【试验与探究】
三、例题解析：
1、求下列式子的值
000030cos 30tan 45sin 2
2
60cos ∙++
2、.,2
3
sin 的度数求锐角中，已知在A A ABC Rt =∆
四、跟踪训练
1、计算：
0000030cos 30sin 45cos 45sin 60cos 60sin 1∙-∙+∙）（
020045cos 230tan 330sin 2)2(+-
2、填空： ==
ααα，则是锐角，）已知（2
2
sin 1 ==
ααα,2
3
cos 2是锐角，）已知（ ==
ααα则是锐角，）已知（,3
3
cot 3 （4）锐角∠A 满足2sin （A －150）＝3，则∠A ＝ 五、课堂检测：
1、=∠==
∠∠∆C B A B A ABC 则且都是锐角中在,2
3
cos ,21sin ,,, 2、.sin ,2
1
cos 900
的值为则，已知中，在A B C ABC Rt =
=∠∆（ ） 21)
(A 22)B （ 2
3)(C 3)(D 3、计算0000
60sin 60cos 45sin 2
2
30cos 30sin ∙--
∙。