第八章 组合变形构件的强度
第八章 组合变形 构件的强度计算1
P
D1
=159.4MPa<[ ]
图示矩形截面梁，截面宽度b＝90mm，高度h＝180mm。 梁在两个互相垂直的平面内分别受有水平力F1和铅垂 力F2 。若已知F1＝800N， F2＝1650N， L ＝1m，试 求梁内的最大弯曲正应力并指出其作用点的位置。 M y = F1 L F2 M z = F2 L
或单向压缩)，故：
FN M z ,max s max = + A Wz
强度条件
max≤ [ ]
例1
• 最大吊重P=8kN的起重机， AB杆的工字钢，材料为A3 钢，[]=100MPa，选择工 字钢型号。
“M”
“N”
Mmax=12kN· m
N=40kN
先按弯曲正应力选择工字钢型号； 再按组合变形的最大正应力校核强度，必要 时选择大一号或大二号的工字钢； 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
-3
2
求内力(作用于截面形心) 取研究对象如图
N=P kN, -2 My =42.5´ 10 P kNm
危险截面 各截面相同 应力分布
危险截面 各截面相同 应力分布
N引起的应力
My引起的应力
N P = MPa σ¢ = A 15
σⅱ t max =
M y zo Iy M y z1 Iy
z
x
F1
L L
σ max =
My Wy
+
Mz Wz
组合变形构件的强度
第八章 组合变形构件的强度8．1概 述到现在为止，我们所研究过的构件，只限于有一种基本变形的情况，例如拉伸(或压缩)、剪切、扭转和弯曲。
而在工程实际中的许多构件，往往存在两种或两种以上的基本变形。
例如图8—1a 中悬臂吊车的横梁AB ，当起吊重物时，不仅产生弯曲，由于拉杆BC 的斜向力作用，而且还有压缩(图8—lb)。
又如图8—2a 所示的齿轮轴，若将啮合力P 向齿轮中心平移、则可简化成如图8—2b 所示的情况。
载荷P 使轴产生弯曲变形；矩为C m 和D m 的两个力偶则使轴产生扭转变形。
这些构件都同时存在两种基本变形，前者是弯曲与压缩的组合；后者则是弯曲与扭转的组合。
在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就称为组合变形。
由于我们所研究的都是小变形构件，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷所引起的应力或变形不受其他载荷的影响。
因此，对组合变形构件进行强度计算，可以应用叠加原理，采取先分解而后综合的方法。
其基本步骤是：(1)将作用在构件上的载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每组载荷作用下，只产生一种基本变形；(2)分别计算构件在每种基本变形情况下的应力；(3)将各基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。
当构件危险点处于单向应力状态时，可将上述应力进行代数相加；若处于复杂应力状态，则需求出其主应力，按强度理论来进行强度计算。
本章将讨论弯曲与拉伸(或压缩)的组合以及弯曲与扭转的组合构件的强度问题。
8．2 弯曲与拉伸 (或压缩) 的组合在外力作用下，构件同时产生弯曲和拉伸(或压缩)变形的情况，称为弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。
图8—1所示悬臂吊的横梁同时受到横向载荷和纵向载荷的作用，这是弯曲与拉伸(或压缩)组合构件的一种受力情况。
在工程实际中，常常还遇到这样一种情况，即载荷与杆件的轴线平行，但不通过横截面的形心，此时，杆件的变形也是弯曲与拉伸(或压缩)的组合，这种情况通常称为偏心拉伸(或压缩)。
第八章组合变形时的强度计算
Iy
IY
由 mz 产生的正应力
s"' MZ .y Fyp y
IZ
IZ
假设C 点在第一象限内,根据杆件的变形可知, s ',s '',s ''' 均为拉应
力，由叠加原理，即得 C点处的正应力为：
σ σ' σ'' σ'''
任意横截面 n-n上的 C点的正应力为
c
σ F F zP z F yP y
与y轴的夹角θ为：
tgθ z0 Mz Iy Iy tgφ y0 My Iz Iz
公式中角度 是横截面上合成弯矩 M 的矢量与 y 轴的夹角 . 横截面上合成弯矩 M 为：
M
M
2 y
M
2 z
tgθ Iy tgφ Iz
讨论：
（1） 一般情况下，截面的 IzIy ,故中性轴与合成弯矩 M 所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。导致挠曲线与外 力（合成弯矩）所在面不共面,此为斜弯曲的变பைடு நூலகம்特征。
s s ' s '' My z - Mz y
Iy
Iz
式中，Iy和Iz分别为横截面对于两对称轴y和z的惯性矩； M y和Mz分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且 其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向相一致。在具体计算中，
也可以先不考虑弯矩M y、Mz和坐标y、z的正负号，以它们的 绝对值代入，然后根据梁在P1和P2分别作用下的变形情况， 来判断上式右边两项的正负号。
FN A
Mz Wz
158 MPa
s
所以强度是安全
【例8-4】矩形截面柱如图所示。P1的作用线与杆轴线重合， P2作用在 y 轴上。已知， P1= P2=80kN，b=24cm , h=30cm。 如要使柱的m—m截面只出现压应力，求P2的偏心距e。
第八章 组合变形构件的强度
弯曲与拉伸（或压缩）组合变形构件的应力和强度计算 弯曲与拉伸（或压缩）
P = Pcosϕ x P = Psin ϕ y
（1）轴向 分力P 为轴向外力，在此力有单独作用下， 分力Px为轴向外力，在此力有单独作用下，杆将产生 轴向拉伸，杆横截面上各点将产生数值相等的拉应力， 轴向拉伸，杆横截面上各点将产生数值相等的拉应力， 其值为： 其值为：
例8-1 悬臂吊车如图示。横梁用25a号工字钢制成，梁长l=4m, 悬臂吊车如图示。横梁用25a号工字钢制成 梁长l=4m, 号工字钢制成， 斜杆与横梁的夹角α=30 电葫芦重Q =4kN， 斜杆与横梁的夹角α=30o，电葫芦重Q1=4kN，起重量 Q2=20kN，材料的许用应力[σ]=100MPa，试校核横梁的强度。 =20kN，材料的许用应力[ ]=100MPa，试校核横梁的强度。
解：（1）外力分析 ：（1 （2）作内力图
1 M = Q = 0.2Q l 4 1 T = Q = 0.18Q D 2
（3）求最大安全载荷 由于轴的危险点牌复杂应力状态， 由于轴的危险点牌复杂应力状态，故应按强度理论进行 强度计算。采用第三强度理论： 强度计算。采用第三强度理论：
M2 +T2 σeq3 = ≤[σ] W 即 :
解：（1）计算内力 ：（1 由于钢板在截面1 处有一半圆槽，因而外力P 由于钢板在截面1-1处有一半圆槽，因而外力P对此截面为偏 心拉伸，其偏心距之值为： 心拉伸，其偏心距之值为：
b b−r e= − = 0.5cm 2 2 截面1 处的轴力和弯矩分别为： 截面1-1处的轴力和弯矩分别为：
N = P =80kN =80000N M = Pe =80000×0.005= 400N.m
15000 6000 σt max = + 3 =32.5M <[σ] Pa 2 πd πd 4 32
第八章 组合变形的强度计算
FAx A FAy FN
l/2
F2
C
B F1
b
cmax
σcmax
l/2
FB F1
h
z
y
＋
z
=
z
M
M max F2 l 4
tmax
Mmax max Wz
σtmax
5.强度计算 （脆性材料）
F M max 1 max t t max A Wz F M c max max 1 max c A Wz
y My M y max Wy
z
My
讨论：无棱角的截面如何确定危险点
b
h
z
y
z
z
Mz
My
y
z
F
y
F
y
t max
Mz M y Wz Wy
Mz M y c max Wz Wy
此时，应先找出组合变形的 中性轴，距中性轴最远的点有最 大的正应力。
F
l
Mz Fy x Fx cos
M y Fz x Fx sin
3.应力计算 (计算A(y，z)点的正应力)
Mz A Mz y Iz
A A A
Mz y M y z A Iz Iy
M y A
M yz Iy
§8-3
概述 两相互垂直平面内的弯曲
拉伸（压缩）与弯曲
§8-4
扭转与弯曲
§8-1 概述
组合变形：由两种或两种以上基本变形组合形成的变形。 工程实例：
组合变形构件的强度计算
eP
Mz
P
z
y
h
b
竖杆的危险点在横截面的 内侧边缘处 ;
4、计算危险点处的正应力
tmax
FN A
Mz Wz
158MPa
tmax [ ]
立柱满足强度条件。
组合变形构件的强度计算
_+
z ++
_+
++
组合变形构件的强度计算
例2 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示， 材料的许用拉应力[]t＝30MPa，许用压应力[]c＝
吊斗上方的吊杆AE的各段均是38毫米×38毫米的正
方形截面，A、E两处铰接，且ED＝BC＝380毫米，
DC＝1200毫米，BA＝1650毫米。求吊杆AB、BC、
CD各段的最大拉应力。
E
D
B
C
A
组合变形构件的强度计算
7、矩形截面简支梁长度为L＝2米，受均布载荷 q=30KN/m与拉力P＝500KN的联合作用。求梁内 最大正应力和跨度中央截面处中性轴的位置。
22
min
x
y
2
1 2
x
y
2
4
2 xy
1 2 4 2 0
22
1
2
1 2
2 4 2
2 0
3
2
1 2
2 4 2
强度校核
r3 1 3
2 4 2 105MPa [ ], 安全。
组合变形构件的强度计算
组合变形构件的强度计算
1、在矩形截面杆的中间截面挖去t/2=5mm的槽。 P＝10KN， 杆件的许用应力[σ]＝160MPａ。 校核杆件的强度。
P2 e bh2 6
材料力学第8章 组合变形_OK
14
FBy、FCy使梁发生弯曲变形。FBx、F
第8章 组合变形
由静平衡方程可求得
FB 40kN FCx FBx FBcos30 34.6kN
略不计。将以上两项正应力叠加后
就得到横截面上任意点的总应力为
' " FN (x) M z (x) y
（8－1）
A
Iz
式中A为横截面面积，Iz为截面对z轴的惯性矩。叠加后的正
应力分布如图8－4(d)所示。
11
第8章梁组发合变生形弯曲变形时固定端处弯
矩最大，固定端处为弯曲的危险截
面；由于轴力是常量，每个横截面
M
Wz
32M
d 3
31.29MPa
30
第8章 组合变形 应力叠加后，最大拉应力发生在立柱的右侧，其值为
t max 32.51MP a t
最大压应力发生在立柱的左侧，其值为
c max 30.07MP a c
由此例可以看出，偏心拉压中的偏心距越大，弯曲 应力所占比例就越高。因此，要提高偏心拉压杆件的强度， 就应尽可能减小偏心距或尽量避免偏心受载。
第8章(4）组合强变形度计算。由型钢表查得N
o20a号工字钢横截面面积A=35.5cm2
=35.5×10-4m2，抗弯截面系数Wz=23
7cm3=237×10-6m3。危险截面J的上
边缘各点的应力为 σcmax
FN A
M max W
3354.5.6110034
28103 237106
9.75118.14127.9MPa[σ]
组合变形时的强度计算
§84弯曲与扭转组合变形
一、单向弯曲与扭转组合变形
1.引例：以钢制摇臂轴为例。
①外力向形心简化(建立计算模型)：
②作弯矩、扭矩图(找危险截面)：
由弯矩图知：A截面|M|→max；全梁Mn处处相同，
∴A截面为危险截面：
|TMn AP|aPL
③危险截面的危险点：A截面K1、K2点，t、s数值均为最大，
⑤用强度准则进行强度计算
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或
外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时， 梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。
斜弯曲：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内
同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面
∴K1、K2点均为危险点：
K1点：
sstmax|M W A z|
tMn W n
K2点：sscmax|M W A z|
tMn W n
y
A d
z
L
Tn
_
PL
M
_
P C
B a x
P Pa
K1
st Pa
K1 A
t s
s K2 t
K2
ss t
s
Байду номын сангаас
④对危险点进行应力分析：(从K1、K2点取单元体，因它们的 s、t数值分别相同，危险程度也相同，不妨取K1点研究)：
一、单向弯曲与扭转组合变形
④对危险点进行应力分析(s1≥s2≥s3)
在梁的任意横截面m—m上，由P1和P2引起的弯矩值依次为：
在梁的任意横截面m—m上，由P 和P 引起的弯矩值依次为： 试校核此夹具竖杆的强度。
材料力学第8章组合变形强度计算
e
偏心受拉——拉弯组合 偏心受压——压弯组合
正应力计算
任意一点单向应力状态 正应力代数相加
M
N
内力单独作用
N N A My M Iz
e N
(-) (+) (+) (+)
组合应力 N My N M
A
N
M
Iz
最大最小正应力
e
截面边缘应力最大或最小 边缘到弯矩中性轴的距离分别为y1和y2
F e a 1 , A 5
F e b 1 A 5
A 180 30 10 3600 F a b 2 2
N
2.5 A 2.5 180 a b 30 10 2.5 mm e F 3600
b E b 200103 50106 10
MPa MPa
梯形分布
（2）计算 F 和 e 的数值
Wz h 5 mm , A 30 6 180 mm2 A 6
max
min
N e F e 1 1 A Wz / A A 5
103 kPa
103k和抗压能力相同，最大应力满足条件
2. 脆性材料
e N M N 1 max f 或 [ ] A Wz A Wz / A
常用作受压，当压力作用于截面核心内时
c max
e N M N 1 f c 或 [ c ] A Wz A Wz / A N e 1 f t 或 [ t ] A Wz / A
压力梯 M 216 h 3 e 0.206 m 0.5 m 形分布 N 1050 6 6
第八章组合变形构件的强度-
Fx F cos; Fy F sin 2.内力分析
FN Fx F cos FS Fy F sin M z Fy (l x) 上侧受拉
F sin(l x)
m
xm l
z
Fx
x
Fy
F
y
z
FS
FN x
y Mz
§8-2 弯曲与拉伸(或压缩)得组合
一、拉(压)与弯曲组合变形
第八章组合变形构件的强度
第八章 组合变形构件得强度
轴向拉(压)
F
内
FN
力
FN F
扭转
m
x
T
T m
F
应
T
力
FN (x)
A
max
(ρ) T ρ Ip
对称弯曲
FS
M
σ
τ FS
M
My
;
FS
S
z
Iz
bI z
§8-1 概述 一、组合变形
F2
F1
Me
F1 — 轴向拉伸 F2 — 弯曲变形 Me — 扭转变形
F2
2
F1
1
z
FN F1
A bh
x 3
My Wy
F1 b h b2
2 6
3F1 bh
4
l
l
y
Mz Wz
F1 h b h2
2 6
3F1 bh
1
F1 bh
3F1 bh
3F1 bh
F1 bh
3
2
F1 bh
3F1 bh
3F1 bh
7 F1 bh
4
F1 bh
3F1 bh
3F1 bh
第八章-组合变形强度计算
T 15kN·m + x
M x
20kN.m
W D 3 (1 a 4 ) 32
34
例8-6、确定图示手摇绞车所能起吊的重量P。
材料为Q235钢
[]80MPa
400
400
[t]48MPa
d=30mm
M 0.18 P
解：1、外力分析（略）
2、内力分析
T m ax 0.18 P
塑
性材
M max
料
M m ax Wz
脆
性 材
M
m
ax
料
M max
y m ax
IZ
M max
M max
y m ax
IZ
12
4、强度计算 单向应力状态 强度条件 max [ ]
计算最大应力
塑性材料
m ax
M m ax
N
脆性材料
拉弯组合变形(若拉伸应力大于弯曲压应力，则只需校 核拉应力强度)
M2 0.75T2 W
32
例8-5、空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构，受力如图。AB杆
的外径 D=140mm，内、外径之比α= d/D=0.8，材料的许用应力
[]=160MPa。试用第三强度理论校核AB杆的强度。
10kN
解： (1) 外力分析 将力向AB杆的B截面形心简化得
F 25 kN
m ax
M m ax
N
m ax
M m ax
N
压弯组合变形(若压缩应力大于弯曲拉应力，则只需
校核压应力强度)
08第八章 组合变形构件的强度
M z1 17106 125 40(MP a) c Iy 5310 104
t
c
t max t N 242.67 26.7(MPa) [ t ] c max c N 402.67
37.3(MPa) [ c ]
N
∴该立柱安全！
1020 3 [ 102025 2 ] 12
PPLeabharlann 7.27105 mm 4M P zC 500 m N
N 应力分析如图
max
t
M
N M z max A I yc
100 103 500 103 55 800 7.27105
N M
12537.8162.8MPa
My
Mz
－
2 2 2 M M y M z2 2.1 4.2
+
4.7(kNm)
z
y
d
P
m l
P
l
M 2 T 2 r3 W
4.7 2 1.52 10 6 3.14100 3 32
T My Mz
－
50.3MPa
－
安全!
+
[例7] 图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，轮子
( z P , yP )
，z0）
M y z0 P M z y0 yz x A Iz Iy
P M z y0 M y z0 令： x 0 A Iz Iy
y
中性轴
即
y P y0 z P z 0 P P y P y0 P z P z0 P ( 1 2 2 ) 0 2 2 A iz iy A Aiz Ai y
§8 –3 弯曲与扭转的组合
第八章组合变形构件的强度
偏心距e。
P
εa
P
e e h
【解】1）将P向轴线平移。
M e Pe
P
2）由虎克定律得：
Me
z
εb
b
εa
P
εb
Me
a b
a
E
b
E
1 E
1 E
P A
P A
Me Wz
Me Wz
1 E
1 E
P bh P bh
12Pe b h3
12Pe b h3
P
Ebh( a
2
e
h(
a
b)
6( a b)
A
F
+
σ'
2)当梁上只有P作用时，其弯
P ab
矩图和应力图为：
A
B
C
σ''
正应力：σ M (x) y
Iz
3)F、P同时作用时正应力：
Pab/(a+b)
+
AC
B
σmin σ σmax
F M (x) y
A
Iz
4)整个梁正应力在C截面上 下边缘取得极值：
Hale Waihona Puke 5)梁处于单向应力状 态，强度条件为：
σ
态，处于二向应力状态。
τ
5)强度计算：
eq3 2 4 2
2 m
ax
4
2max
M ma Wz
x
2
4
Tm W
ax t
2
M max Wz
2
4
T max 2W z
2
1 W
z
M
2 m
ax
T
8-第八章组合变形时的强度资料
第八章组合变形8.1 组合变形和叠加原理一、组合变形的概念1. 简单基本变形：拉、压、剪、弯、扭。
2. 组合变形：由两种或两种基本变形的组合而成的变形。
例如：烟囱、传动轴、吊车梁的立柱等。
烟囱：自重引起轴向压缩+ 水平方向的风力而引起弯曲；传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲+ 扭转立柱：荷载不过轴线，为压缩= 轴向压缩+ 纯弯曲Ph g水坝qPh g二、组合变形的计算方法1. 由于应力及变形均是荷载的一次函数，所以采用叠加法计算组合变形的应力和变形。
2. 求解步骤①外力分解和简化②内力分析——确定危险面。
③应力分析：确定危险面上的应力分布，建立危险点的强度条件。
§8.2 斜弯曲一、 斜弯曲的概念1. 平面弯曲：横向力通过弯曲中心，与一个形心主惯性轴方向平行,挠曲线在纵向对称面内。
2. 斜弯曲：横向力通过弯曲中心，但不与形心主惯性轴平行挠曲线不位于外力所在的纵向平面内。
二、斜弯曲的应力计算 1. 外力的分解对于任意分布横向力作用下的梁，先将任意分布的横向力向梁的两相互垂直的形心主惯性矩平面分解，得到位于两形心主惯性矩平面内的两组力。
位于形心主惯性平面内的每组外力都使梁发生平面弯曲。
如上所示简支梁。
2. 内力计算形心主惯性平面xOy 内所有平行于y 轴的外力将引起横截面上的弯矩z M ，按弯曲内力的计算方法可以列出弯矩方程z M 或画出z M 的弯矩图。
同样，形心主惯性平面xOz 内所有平行于z M 矩方程y M 或画出其弯矩图。
合成弯矩：2Z 2y M M M +=合成弯矩矢量M 与y 轴的夹角为：y z M Mtan =ϕ以上弯矩z M 和y M 均取绝对值计算，由力偶的矢量表示法可知，合成弯矩M 3. 计算xyz I zI y yz M M +=''+'=σσσ4. 轴的位置两平面弯曲组合成斜弯曲，只在横截面上正应力为零的点的连线才是斜弯曲的中性轴。
设中性轴上任一点的坐标）（00,y z ，将0y ，0z 代入应力计算公式，并令σ等于方程：零，得中性轴： 0M M 0y 0z =+yz I z I y中性轴与y 轴的夹角α,ϕαtan tan z z 00I I M M I I y z y y z y =⋅==5. 最大正压力中性轴把横截面分为两个区域，一个受拉区，另一个受压区，离中性轴最远的点，正应力最大。
组合变形时的强度计算.
式中角度φ是横截面上合成弯矩M矢量与y轴间的夹角。一 般情况下，由于截面的Iy不等于Iz ，因而中性轴与合成弯矩M所 在的平面并不相互垂直。并由于截面的挠度垂直于中性轴，所 以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内。故这种弯曲称为斜弯 曲。
§83 拉伸(压缩)与弯曲组合变形
q P y P
一、计算方法：
§84弯曲与扭转组合变形
一、单向弯曲与扭转组合变形 1.引例：以钢制摇臂轴为例。 ①外力向形心简化(建立计算模型)： ②作弯矩、扭矩图(找危险截面)：
由弯矩图知：A截面|M|→max；全梁Mn处处相同，
∴A截面为危险截面：
|M A | PL T Pa n
③危险截面的危险点：A截面K1、K2点，t、s数值均为最大， ∴K1、K2点均为危险点： |M A | Mn t K1点： s s tmax Wz Wn |M A | Mn t K2点：s s cmax Wz Wn
2
s
s
2
⑤进行强度计算： s r 3 s 2 4t 2 [s ] 1) 2 M 2 Tn (圆轴：Wn=2Wz) sr3 [s ] 2) Wz 2 2 3) s r 4 s 3t [s ] 2 M 2 0.75Tn s r 4 [s ] 4) Wz 2.讨论： 公式1)、3)可用于一般构件中只有一对s的平面应力状态； 公式2)、4)只能用于圆轴单向弯扭变形。 二、双向弯曲和扭转强度计算(基本步骤与前相同)
例 图 示 皮 带 轮 传 动 轴 ， 传 递 功 率 N=7kW ， 转 速 n=200r/min 。皮带轮重量 Q=1.8kN 。左端齿轮上啮合力 Pn 与齿 轮 节 圆 切 线 的 夹 角 ( 压 力 角 ) 为 20o 。 轴 材 料 的 许 用 应 力 [s]=80MPa，试按第三强度理论设计轴的直径。 解：①外力简化(建立计算模型)：外力向AB轴轴 线简化，并计算各力大小。
材料力学-第八章组合变形
M z y M y sin
Iz
Iz
x
M y z M z cos
Iy
Iy
x
y
z
y
z
M
y sin
z
cos
对于圆形截面
因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横 截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示， 然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计 算公式为：
A
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN (a)
500
解：
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
（1）分析载荷 如图b所示
5 kN
12 kN (b)
T 1.5 kN m
（2）作内力图 x
如图c、d、e、f 所示
(c)
MC MD
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
FN A
F (2a)2
1 4
F a2
（2）开槽后的正应力
My
FN F
My
Fa 2
FN
2
max
FN A
My Wy
F 2a2
Fa / 2 2a2 a2 /
6
2
F a2
2a
2a
z
a
所以：
2
1
8
y
§8.3 斜弯曲
F1
材料力学 强度理论与组合变形
第八章强度理论与组合变形§8-1 强度理论的概念１．不同材料在同一环境及加载条件下对“破坏”（或称为失效）具有不同的抵抗能力（抗力）。
例1常温、静载条件下，低碳钢的拉伸破坏表现为塑性屈服失效，具有屈服极限σ，s铸铁破坏表现为脆性断裂失效，具有抗拉强度σ。
图9-1a,bb２．同一材料在不同环境及加载条件下也表现出对失效的不同抗力。
例2常温静载条件下，带有环形深切槽的圆柱形低碳钢试件受拉时，不再出现塑性变形，而沿切槽根部发生脆断，切槽导致的应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸型应力状态。
图（9-2a,b）例3 常温静载条件下，圆柱形铸铁试件受压时，不再出现脆性断口，而出现塑性变形，此时材料处于压缩型应力状态。
图（9-3a ）例4 常温静载条件下，圆柱形大理石试件在轴向压力和围压作用下发生明显的塑性变形，此时材料处于三向压缩应力状态下。
图９－３b３．根据常温静力拉伸和压缩试验，已建立起单向应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，其强度条件为 []σσ≤ ，根据薄壁圆筒扭转实验，可建立起纯剪应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，强度条件为 []ττ≤ 。
建立常温静载一般复杂应力状态下的弹性失效准则——强度理论的基本思想是： １）确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设； ２）根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。
３）实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。
§8-２四个强度理论１．最大拉应力准则（第一强度理论）基本观点：材料中的最大拉应力到达材料的正断抗力时，即产生脆性断裂。
表达式：u σσ=+max复杂应力状态321σσσ≥≥， 当01>σ， 1m a xσσ=+简单拉伸破坏试验中材料的正断抗力b u σσσ==1，032==σσ 最大拉应力脆断准则： b σσ=1(9-1a)相应的强度条件：[]bb n σσσ=≤1(9-1b)适用范围：虽然只突出 1σ 而未考虑 32,σσ 的影响，它与铸铁，工具钢，工业陶瓷等多数脆性材料的实验结果较符合。
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应力分析：分析每组载荷下横截面上的应力
重点：确定危险点及其应力状态 强度分析：危险点强度校核 单向应力状态——强度条件 复杂应力状态——强度理论
外力分组 关键两点： 关键两点： 应力叠加
第八章 组合变形构件的强度
弯曲与拉伸（压缩） § 8-2 弯曲与拉伸（压缩）的组合
第八章 组合变形构件的强度 轴向力与横向力同时作用
FN
Px φx P
M(x) = −P (l − x) y
= −Psinφ(l − x)
M
Pyl
FNA=Px=Pcosφ MA= -Pyl = -Plsinφ
③应力
弯 曲 与 拉 伸 （ 压 缩 ） 的 组 合
第八章 组合变形构件的强度
FN Mmax Mmax ⋅y σ ′′ = ⋅ y σ = σ′ +σ′′ = + A Iz Iz
组合变形的概念
在外力的作用下， 在外力的作用下，构件同时产生 两种或两种以上基本变形的情况
组合变形求解原理——叠加原理 叠加原理 组合变形求解原理
条件：所求物理量与外力成正比
小变形 线弹性
第八章 组合变形构件的强度
组合变形杆件强度分析的步骤
外力分析：构件上的外力分组，其中每组载荷
对应一种基本变形
内力分析：计算每组载荷作用下的内力
小
第八章 组合变形构件的强度
作业：习题 8-3，8-7
第八章 组合变形构件的强度
§ 8-1 概
述
弯曲与拉伸（压缩） § 8-2 弯曲与拉伸（压缩）的组合
§ 8-3 弯曲与扭转的组合
小
结
第八章 组合变形构件的强度
§ 8-1 概
述
第八章 组合变形构件的强度
P q
hγ
水坝
第八章 组合变形构件的强度
C
组合变形的实例一——悬臂吊车 组合变形的实例一
A NB YB B YA XA B A XA XB
1 组合变形：在外力作用下，同时发生两种或 两种以上基本变形的情况。 2 组合变形杆件的求解原理：叠加原理 3 组合变形构件强度求解的步骤： （1）外力分析——确定变形； ）外力分析——确定变形； （2）内力分析——确定危险截面 ）内力分析——确定危险截面 （3）应力分析——确定危险点 ）应力分析——确定危险点 （4）强度分析
M 2 +T2 ≤ [σ ] Wz
W = 2W
πd3
πd 3
M T 2 M 2 T 2 = ( ) 2 + 4( ) = = ( ) + 4( ) Wz 2Wz Wz Wp
M T = ( ) 2 + 3( ) 2 = Wz Wp
M 2 + 0.75T 2 ≤ [σ ] Wz
第八章 组合变形构件的强度
F ⋅ ab l t
FAy
Fr FAz
y
FBy
z F Bz x
My T
m1
x
F t
y m1 z x
MCy
m0
MC
y
C为危险截面,叠加C截面上的弯矩 为危险截面,叠加 截面上的弯矩 为危险截面
MC = M
2 Cy
+M
2 Cz
z
MCz
y
第八章 组合变形构件的强度
⑶ 应力分析
z C1 m1 C1 x C2 y
A
P
XB
= =
P 杆AB： 轴向拉压与弯曲的 组合变形
XA, XB —轴向外力—轴向拉压 YA,YB, P—横向外力—平面弯曲
B
+
A YA
YB B
P
第八章 组合变形构件的强度
z 组合变形的实例二——齿轮轴 组合变形的实例二 m A C Pt 轴AB: B m RA m y m1 x Pt m1 RB
σ = 2 ( ) 2 + τ 2 = σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ] = σ1 − σ 3 2
1 = [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] = σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ ] 2
σ r4
用内力表示
σ r3 σ r4
W P , W= z 对于圆轴： P = 16 32
MC z
y
τ
σ C2
x
τ C ,max
1
m = 1 Wp
σC
1
MC = = −σ C2 W
τC ,max
1
τC ,max
1
σC
1
σC
1
σ max σ σ = ± ( )2 + τ 2 2 σ min 2
第八章 组合变形构件的强度
⑷ 强度分析
σ r3
σ 1 σ σ 2 2 = ± ( ) +τ 2 σ 3 2
= =
扭转与弯曲的 组合变形
+
RA Pt RB
m,m1——力偶——扭转 RA,Pt,RB——横向力——弯曲
第八章 组合变形构件的强度
组合变形的实例三——偏心压柱 组合变形的实例三
P
e
P
m=P.e
P
m=P.e
=
R 偏心压柱
=
+
M=m=P.e
R
+
M=m=P.e
=
轴向压缩
弯曲
第八章 组合变形构件的强度
计算简图
第八章 组合变形构件的强度
轴AB长为 ，AC=a, BC=b。 AB长为l 长为
mo A C B
x
F t
Fr
解:⑴ 外力分析
mo
FAz m1
z
FBz
x
F t
FAy
Fr
y
FBy
第八章 组合变形构件的强度
内力分析， ⑵ 内力分析，画出每组载荷下对应的内力图
A Mz C B z x
x
Fr ⋅ ab l
FN σ′ = A
σA上
+
=
σA下
σt max = σA上
′′ = σ′ +σmax =
FN Mmax + A Wz
= FN Mmax − A W Z
≤ [σt ]
≤ [σc ]
σcmax = σA下 = σ′ − σ′′ax m
第八章 组合变形构件的强度
§ 8-3 弯曲与扭转的组合
第八章 组合变形构件的强度
弯 曲 与 拉 （ 压 缩 ） 的 组 合 伸
y A
①外力
P = P⋅ cosφ ——轴向力 x 轴向力 横向力 P = P⋅ sin φ ——横向力
y
B Py
Px φx P
力
∴
轴向
第八章 组合变形构件的强度
A
弯 曲 与 拉 伸 （ 压 缩 ） 的 组 合
y
B x Py Px +
②内力
FN = P = P⋅ cos φ x