【全国百强校】江苏省清江中学2016届高三考前一周双练冲刺模拟考试(三)数学试题解析(解析版)

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）1.已知集合{}1,1k A =-，{}2,3B =，且{}2A B =，则实数k 的值为 ．【答案】3 【解析】试题分析：由}2{=B A 知A ∈2,所以21=-k ,即3=k . 考点：集合的交集运算和元素与集合的关系. 2.设()212i a bi +=+（a ，R b ∈），其中i 是虚数单位，则ab = ． 【答案】12-考点：复数的乘法运算和对应相等的等量关系.3.若五个数1，2，3，4，a 的平均数为3，则这五个数的标准差是 ． 【答案】2 【解析】试题分析：由平均数的定义知354321=++++a,所以1510=+a ,即5=a ;由方差的计算公式可得2])35()34()33()32()31[(5122222=-+-+-+-+-=s . 考点：平均数和方差公式的运用及运算求解能力.4.右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 ．【答案】27考点：算法流程图的识读和运算求解能力.【易错点晴】本题主要考查的是算法流程的识读，属于一道图形结合的容易题．解题时一定要读懂流程图中提供的信息,搞清运行的内容,以便依次进行运算,进而回答题设中提出的问题.解题过程中按程序提供的信息先算1,0==n S 时n S ,的值再作判断,当取3=n 时,27=S ,再执行41=+n ,此时满足3>n ,应输出27=S ,这一点可能难以理解.5. 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ． 【答案】31 【解析】试题分析：从4,3,2,1四个数中任取两个数共有)4,3(),4,2(),3,2(),4,1(),3,1(),2,1(六种可能,其中一个数是另一个的两倍的可能只有)4,2(),2,1(一种,所以其概率为3162==p ,即概率是31. 考点：列举法、古典型概率公式及运用.6.将边长为a 的正方形CD AB 沿对角线C A 折起，使D a B =，则三棱锥D C -AB 的体积为 ．【答案】3122a考点：(1)直线与平面垂直的判定定理的运用；(2)三棱锥的体积公式运用.【易错点晴】本题主要考查的是简单几何体的体积的计算，属于一道中档偏难的试题．解答本题时一定要注意求三棱锥体积的关键是选底,选底的目的有两个:其一是能求出其面积；其二是能求出其上的高.本题的解题过程中巧妙地运用过AC 的中点的平面垂直于平面BOD ,从而将BOD ∆做底, AC 做高使问题简捷、巧妙地获解.体现了立体几何中转化与化归的数学思想的巧妙运用． 7.设函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,6x a π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围是 ．【答案】]2,6[ππ【解析】试题分析：因为],6[a x π-∈，所以]62,6[)62(πππ+-∈+a x ，而函数)(x f 的值域为]1,21[-，所以67622πππ≤+≤a ，所以26ππ≤≤a ，即实数a 的取值范围是]2,6[ππ. 考点：正弦函数的图象和基本性质.【易错点晴】本题主要考查的是三角函数的定义域与值域关系的问题，属于一道逆向型中档偏难的试题．解答本题时一定要明白定义域决定值域的思维方向,通过解不等式从而使本题获解.解答本题的的关键是确定定义域区间的右端点的数62π+a 的取值范围,进而建立不等式,最后通过解不等式使本题获解,体现了建模的数学思想的巧妙运用．8.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线C 与抛物线216yx =的准线交于A ，B 两点，AB =，则双曲线C 的实轴长为 ．【答案】4 【解析】试题分析：设双曲线的方程为222x y a -=,由点(4,-在双曲线上得()(2224a --=,即24a =,故2a =,所以双曲线的实轴长为4.考点：双曲线、抛物线的有关概念和基本性质. 9. 如图甲所示，在直角C ∆AB 中，C AB ⊥A 、D C A ⊥B ，D 是垂足，则有2DC AB =B ⋅B ，该结论称为射影定理．如图乙所示，在三棱锥CD A -B 中，D A ⊥平面C AB ，AO ⊥平面CD B ，O 为垂足，且O 在CD ∆B 内，类比直角三角形中的射影定理，则有 ．【答案】2C C CD S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅考点：类比推理的思维方式和空间直线与平面的位置关系的推证与判定.【易错点晴】本题主要考查的是类比推理的问题，属于一道中档题．解答本题时一定要明白思维迁移的方向,就是将平面的图形的有关问题推广到三维的空间,通过对应图形的比较,最后作出大胆的猜想,得到题中的结论,体现了合情推理的大胆性和简捷性,当然能对作出的结论再运用所学知识加以逻辑的推证,这样就更完美了.10.在C ∆AB 中，90∠B =，C 1BA =B =，点D 、E 分别在边C A 、AB 上，且D E 平行于C B ，F 是C B 的中点，则D DF E ⋅的最小值为 ．【答案】116- 【解析】试题分析：以点B 为原点,BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,设点)1,(x x D -,则()221111D DF ,0,122416x x x x x x ⎛⎫⎛⎫E ⋅=-⋅--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以当14x =时, D DF E ⋅的最小值为116-. 考点：平面向量的数量积公式和二次函数的最值及求法. 11. 若直线0x y m ++=上存在点P 可作圆:O 221x y +=的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，且60∠APB =，则实数m 的取值范围为 ． 【答案】]22,22[-考点：点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用. 12.已知函数()2221,0,0ax x x f x x bx c x ⎧--≥⎪=⎨++<⎪⎩是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D ．若C AB =B ，则实数t = ．【答案】74-考点：(1)分段函数的图象和性质及函数的基本性质的运用；(2)函数方程、数形结合的数学思想.13.设数列{}n a 的通项公式为132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足不等式113nni i i i a a ==>∑∑的正整数n 的集合为 ．【答案】{}1,2,3 【解析】试题分析：由于数列{}n a 的通项公式为123n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以数列{}n a 为等比数列,其首项为132a =,公比为132q =；数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等比数列,其首项为23,公比为223q =.不等式113n n i i i i a a ==>∑∑等价于1113n ni i i i a a ==>∑∑,即2311323231132n n⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅>--,解之得22193n⎛⎫<< ⎪⎝⎭,因为*∈N n ,所以n 只能取3,2,1,故n 值的集合应为}3,2,1{.考点：等比数列的通项公式及运用,不等式的解法和推理论证的能力.【易错点晴】本题主要考查的是不等式的求解问题，属于一道较难的试题．解答本题时，充分借助求和符号所赋予的内容，将其翻译转化，将其明确化，最后结合对未知数n 的值分类和列举、检验，从而求出满足题设条件的集合，使本题得到了巧妙的转化与化归,进而获解. 14. 若二次函数()2f x ax bx c =++（a b ≤）的值域为[)0,+∞，则b aa b c-++的最大值是 ．【答案】13考点：二次函数的图象和性质与换元法和基本不等式的运用,转化与化归的数学思想.【易错点晴】本题主要考查的是最值问题，属于一道较难的试题．解答本题的关键是利用题设条件将要求最值的表达式进行转化与化归,本题通过挖掘二次函数的值域,得到224c b a a =,从而找到了解题的突破口,进而经过两次换元从而将问题转化为基本不等式情境的问题,求出了最大值,使本题化难为易、避繁就简，体现数学中化归与转化的数学思想的巧妙运用.二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在C ∆AB 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()tan 2tan b c b A =-B ．（1）求角A 的大小；（2）设D C A ⊥B ，D 为垂足，若2b =，3c =，求D C A ⋅A 的值．【答案】(1) 3πA =；(2)727.考点：(1)正弦定理、余弦定理、向量的数量积公式及运用；(2)方程思想与化归的数学思想,运算求解能力和分析与解决问题的能力. 16.（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱111C C AB -A B 中，侧面11CC A A 是边长为2的菱形，1C 60∠A A =．在平面C AB 中，AB =，C 4B =，M 为C B 的中点，过1A ，1B ，M 三点的平面交C A 于点N ． （1）求证：N 为C A 中点； （2）求证：平面11A B MN⊥平面11CC A A ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.考点：(1)面面平行的性质定理和平面几何中平行线分线段成比例的逆定理及运用；(2)线面垂直、面面垂直的判定定理的运用及分析问题解决问题的能力.【易错点晴】本题主要考查的空间线面位置关系的推理证明题，属于一道中档偏难的试题,也是我们江苏必考的题型．解答这类问题时,务必要清楚所要求证的问题的判定定理的内容和条件,想方设法探寻出这些条件的所在,并将其推证明白.如本题中的第1问,解答时充分借助平面与平面平行的性质,证出了线线平行,进而确定点为中点;再如第2问,证明面面垂直,先将问题转化为证明线面垂直,最后运用经过一个平面的垂线的平面也与另一个平面垂直,体现了数学中转化与化归的数学思想的巧妙运用.17.（本小题满分14分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶 点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为V 3cm ．（1）求V 关于x 的函数关系式；（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．【答案】(1) V x =；(2)体积V 的最大值为1532,此时x =.考点：(1)勾股定理、三棱锥的体积公式及运用；(2)导函数在研究函数单调性、最值中的运用；（3）数学知识的应用意识与建模的数学思想及运算求解能力和分析解决问题的能力. 18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系x y O 中，已知()00R ,x y 是椭圆C :2212412x y +=上的一点，从原点O 向圆R :()()22008x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q ．（1）若直线OP ，Q O 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，Q O 的斜率存在，并记为1k ，2k ，求证：12210k k +=；（3）试问22Q OP+O 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】(1) ((228x y ±+±=；(2)证明见解析；(3)是定值,为36.考点：(1)直线与圆的位置关系及运用；(2)直线与椭圆的位置关系及运用；（3）方程思想与化归的数学思想；（4）抽象概括能力、化归转化的能力、运算求解能力和分析问题解决问题的能力.【易错点晴】本题主要考查的是运算求解能力和几何问题代数方法求解解析几何的数学思想和方法，属于一道中档偏难的试题．解答本题充分借助题设条件,运用方程的有关知识,将问题一一个个的转化为解方程或研究方程的解的问题,中间巧妙运用整体思维、转化化归、抽象概括等较为灵活的数学思想和方法,体现了算在思的前提下的运算求解能力的真正内涵与精髓.如本题中的第2问中将21,k k 视为二次方程()2220008280xk x y k y --+-=的两个根,时进而将问题巧妙转化,达到了四辆拨千斤的功效.还有第三问中的整体代换,将很难的计算问题进行了合理的转化与化归,从而使问题巧妙获证. 19.（本小题满分16分） 对于数列{}n a ，若从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，则称该等比数列为“差等比数列”，现已知11a =，设其差等比数列的首项为2，公比为q （0q >）． （1）是否存在0q >，使得数列{}n a 是等差数列或等比数列？若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由；（2）当12q <<时，若{}n n a b +是公差为q 的等差数列，且1b q =．试确定n 的取值范围，使得0n b <． 【答案】(1)存在3q =满足题设；(2)3n ≥时满足题设条件.（2）()()11n n n n a b a b q --+-+=，212n n n a a q ---=，∴212n n n b b q q ---=-， （10分）∴()()()()2311221121n n n n n n n b b b b b b b b nq q q q -----=-+-+⋅⋅⋅+-+=-++⋅⋅⋅++()1211n q nq q--=--， （12分）于是10b q =>，()2210b q =->，320b q =-<， （14分）且有()()()()121212111211n n n n n q q b b n q nq q q q q --+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥-=+---=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 12q <<，∴10n n b b +-<，综上，当3n ≥时，恒有0n b < （16分）考点：(1)等差数列、等比数列的有关概念及运算；(2)含正整数的解不等式的求解方法；（3）建构方程的思想、分类整合的思想和化归转化的数学思想；（4）运算求解能力、推理论证的能力、化归转化的能力和创新意识.20.（本小题满分16分） 已知函数()f x =-0x >）， 2.71828e =⋅⋅⋅．（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：ln x <；（3）证明：对任意正数m ，总存在0x ，当()0,x x ∈+∞时，都有ln x <．【答案】(1)单调减区间是640,81⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间是64,81⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)证明见解析；（3）证明见解析.考点：(1)导数值的符号与单调性的关系；(2)解不等式的求解及解答能力；（3）分类整合的思想、转化化归的数学思想；（4）运算求解的能力、化归转化的能力和分析问题解决问题的能力.数学附加题（三）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（选修4-1：几何证明选讲）如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知6AB =，CD =，求线段C A 的长度．【答案】30.考点：（1）圆中的有关结论及直角三角形中的射影定理及运用；（2）方程思想与化归转化的能力. B ．（选修4-2：矩阵与变换）若点()2,1A 在矩阵11a b ⎡⎤M =⎢⎥-⎣⎦对应变换的作用下得到点()4,5B ，求矩阵M 的逆矩阵． 【答案】112773177-⎡⎤⎢⎥M =⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：先运用待定系数法求矩阵M ，再求其逆矩阵即可．解: 2415⎡⎤⎡⎤M =⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即24215a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，∴24215a b +=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，∴1231⎡⎤M =⎢⎥-⎣⎦， 解法一：∴()12det 731M ==--，11212777731317777---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--M ==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦． 解法二：设1cd e f -⎡⎤M=⎢⎥⎣⎦，由11001-⎡⎤M M =⎢⎥⎣⎦，得32103201c d c d e f e f +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦∴31302021c d e f c d e f +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩，解得17273717c d e f ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩，∴112773177-⎡⎤⎢⎥M =⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 考点：（1）矩阵、逆矩阵的运算法则及运用；（2）方程思想与化归转化的能力. C ．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，设圆C经过点6π⎫P ⎪⎭，圆心是直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程． 【答案】2cos ρθ=.考点：（1）矩阵、逆矩阵的运算法则及运用；（2）方程思想与化归转化的能力. D.（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，1abc =．求证：111a b c++≥++．【答案】证明见解析.考点：基本不等式和同向不等式的可加性及运用. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22.（本小题满分10分） 已知点F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线:l 2p x =-，点M 是l 上的动点，过点M 垂直于y 轴的直线与线段F M 的垂直平分线相交于点N ． （1）求点N 的轨迹方程； （2）若2p =，直线y x =与点N 的轨迹交于A 、B 两点，试问N 的轨迹上是否存在两点C 、D ，使得A 、B 、C 、D 四点共圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 22y px =；(2)存在72a >且4a ≠，8a ≠的无数个圆()()()222244x a y a a a -++-=+-+满足条件. 【解析】试题分析：(1)借助点N 在线段F M 的中垂线上建立等式并化简即可；(2)依据题设条件建立方程,通过方程有无解的分析析作出推理和判断即可.考点：(1)轨迹方程与探求方法；(2)圆的方程及简单高次方程的求解等有关知识的运用. 23.（本小题满分10分） 设n *∈N 且4n ≥，集合{}1,2,3,,n M=⋅⋅⋅的所有3个元素的子集记为1A ，2A ，⋅⋅⋅，3C nA ．（1）求集合1A ，2A ，⋅⋅⋅，3C nA中所有元素之和S ；（2）记i m 为i A （1i =，2，⋅⋅⋅，3C n ）中最小元素与最大元素之和，求32016C 132016Cii m=∑的值．【答案】(1))1)(2(412--n n n ；(2)2017. 【解析】试题分析：(1)借助题设将含的所有子集的个数算出来并求和即可；(2)先依据题设条件分别算出子集中所含元素的个数i m ,再求其和∑=320141C i im,最后再算出比值32016C 132016Cii m=∑即可.考点：(1)基本组合数的计算公式及性质的运用；(2)求解运算能力和推理论证能力.：。