基于拉格朗日乘子的三维位场约束反演方法

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基于拉格朗日乘子的三维位场约束反演方法
张 毅1,2） 李 斐2） 鄢建国2） 李 辉1）
1）湖北省地震局地震大地测量重点实验室，武汉 430071
2）武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室，武汉 430074
一般来说，地球物理数据是地下物质某种物性参数在特定空间中的响应，而地球物理反演正好相反，它是通过获得不同的模型参数估计来拟合实际观测数据。

由于地下模型参数网格个数通常远远大于观测数据个数，反演方程通常是欠定，反演结果并不唯一。

通过在模型目标函数中添加最小模型及最平缓模型的限制，构建L 2范数条件下的反演方法，解决了反演问题中解的非唯一性问题。

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()()()()()[()()]()()() ref ref m s ref x y V V V ref z m ref V
w z m m w z m m m w z m m dv dv dv x y w z m m dv W m m z φαααα∂−∂−⎡⎤⎡⎤
=−++⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣
⎦∂−⎡⎤
+=−⎢⎥∂⎣⎦∫∫∫∫ 其中，w (z )为深度加权函数。

在位场反演的过程中，由于该函数随深度的迅速衰减，会产生类似电场中的“趋
肤效应”，即反演结果基本趋向集中于地表。

为了克服这种效应，Li & Oldenburg （1996, 1998）引入了深度加权函数，用来近似地补偿核函数随着深度的衰减。

实际观测数据中通常都含有一定的噪音，这些噪声既可能来源于采集时仪器或者人工误差，也可能来自数据后处理过程中的误差。

因此，定义一个合理的评价数据的误差数据目标函数，即数据拟合差是十分有必要的。

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)(obs pre d N
i i obs i pre i d d d W d d −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=∑εφ 利用Tikhonov 正则化理论构建反演目标函数：min ：φ（m ）=φd +μφm ，其中μ为Tikhonov 正则化参数。

对反演目标函数求最小值，得到无约束下三维位场反演方法：
()T T T T T obs T
d d m m d d m m ref G W W G W W m G W W d W W m μμ+=+
在实际地球物理反演过程中，通常会有大量的地质、地球物理等先验约束信息。

通过拉格朗日乘子法，可以构建约束条件下的三维位场数据反演目标函数，使物性分布特征等先验信息可以添加进反演过程之中。

此时，反演过程还需要满足如下关系式：
012..s t m m or m m m = ≤≤
引入拉格朗日乘子、松弛变量以及惩罚函数，并求取最小值可以得到：
()()()12322
00112200011221122121122
T T T T T obs T
d d m m d d m m ref T T T G W W G W W M F F F m G W W d W W m F F F M F m F m F m M F z F z μμλλλ⎡⎤++++=+⎢⎥⎣⎦
−+−++++−
通过拉格朗日乘子法中约束项的引入，使反演目标函数得到适当扩展，重新构建了新的三维位场反演的目标函数，由于各种先验信息在反演过程中的使用，会在一定程度上对反演结果起到“聚焦”的作用，同时也更加符合实际情况。