静电场的能量
第十章静电场中的能量
第十章静电场中的能量
1电势能和电势
一、静电力做功的特点
1．静电力做功：在匀强电场中，静电力做功W＝qEl cos θ.其中θ为静电力与位移方向之间的夹角．
2．特点：在静电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关．
(1)静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与具体路径无关，这与重力做功特点相似．
(2)无论是匀强电场还是非匀强电场，无论是直线运动还是曲线运动，静电力做功均与路径无关．
二、电势能
1．电势能：电荷在电场中具有的势能，用E p表示．
2．静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量．表达式：W AB＝
E p A－E p B.
(1)静电力做正功，电势能减少；
(2)静电力做负功，电势能增加．
3．电势能的大小：电荷在某点(A点)的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功E p A＝W A0.
4．电势能具有相对性
电势能零点的规定：通常把电荷在离场源电荷无限远处或把电荷在大地表面的电势能规定为零．
(1)电势能E p是由电场和电荷共同决定的，是电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷在电场中某点的电势能．
(2)电势能是相对的，其大小与选定的参考点有关。确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置。
(3)电势能是标量，有正负但没有方向。在同一电场中，电势能为正值表示电势能大于零势能点的电势能，电势能为负值表示电势能小于零势能点的电势能。
5．静电力做功与电势能变化的关系
(1)W AB＝E p A－E p B.
高中物理精品课件：静电场中的能量
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第十章 静电场中的能量
例2 如图所示，水平地面上方分布着水平向右的匀强电场．一L形的绝缘硬质管竖直固定在 匀强电场中，管的水平部分长为l1＝0.2 m，离水平地面的距离为h＝5.0 m，竖直部分长为l2＝0.1 m．一带正电的小球从管的上端口A由静止释放，小球与管间摩擦不计且小球通过管的弯曲部分(长 度极短，可不计)时没有能量损失，小球在电场中受的静电力大小为重力的一半．求：
A．Ea＝Eb＝Ec C．φa＞φb＞φc 【答案】C
B．Ea＞Eb＞Ec D．φa－φb＝φb－φc
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第十章 静电场中的能量
3．[科学推理]关于同一电场的电场线，下列表述正确的是( ) A．电场线是客观存在的 B．电场线越密，电场强度越小 C．沿着电场线方向，电势越来越低 D．电荷在沿电场线方向移动时，电势能减小 【答案】C
(1)粒子的末速度大小； (2)匀强电场的电场强度大小； (3)两板间的距离．
【答案】(1)2
3v0 3
(2)
3mv02 3qL
3L (3) 6 构建知识网络
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(3)判断电场强度的大小(定性)——电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强 度小，进而可判断电荷受静电力大小和加速度的大小．
2.10 静电场能量 静电力要点
H
h
1 1 2 We CU 2 U [hl 0 ( H h)l ] 2 2d
能量为：
分析：液面为什么会升高 h ，因为受到电场力的 作用。而电容器两极板间的电压 U 保持不变，即 导体板的电位不变，则电场力为
We We 1 F U 2 ( 0 )l r h 2d
故介质所受的电场力为：
0
Fx
d
1 2 Fx E ( 0 ) Ld 2
x
w
Fx 为正，说明介质片所受力的方向与我们设 定的方向相同，为进入极板间的方向。
2018/10/7
21
第二章
例：间距为 d 的两平行金属板，竖直的插入介 电常数为 的液体内，板间加电压 U 。试证 明两板间液面升高 1 U 2
2U l b ln a U E ar b r ln a
12
2018/10/7
第二章
因而单位长度的电场能量为：
2 1 We 0 E dV 2 V
1 2
b 2
U 2
a
2018/10/7
U
b 2 r (ln ) a
2
2rd r
b ln a
13
第二章
二、静电力：
1 f g dg dW dWe 2 We fg k const g
静电场的能量
ϕa =
Q 4πε 0 a
因此静电场总能量为
W=
Q2 8πε 0 a
方法之二:
1 v v W = ∫ E ⋅ Dd V 2 ∞
因为球内电场为零， 故只须对球外积分
2 Q 2 drdQ = W= ∫ r 2 2 2 (4πε 0 r ) 8πε 0
ε0
Q2
∫
∞
a
1 Q2 dr = . 2 8πε 0 a r
式中右边第二项散度体积分化为面积分
v v v r →∞ → 0 ∫ ∇ ⋅ (ϕD)dV = ∫ ϕD ⋅ dS
所以
1 W = ∫ ρϕdV 2
例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。 解 整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球 面上，方法之一:
பைடு நூலகம்
1 1 W = ∫ ρϕdV = Qϕ a 2 2
2、电荷体系在外电场中的能量
电荷体系在外电场中的能量为
W = ∫ ρϕ e dV
设电荷分布于小区域内，取区域内适当点为坐标 原点，把ϕe(x)对原点展开
3 ∂ 1 3 ∂2 v ϕ e (x ) = ϕ e (0) + ∑ xi ϕ e (0) + ∑ xi x j ϕ e (0) + L ∂xi 2! i , j =1 ∂xi ∂x j i =1
六、静电场的能量 电荷体系与 外电场的相互作用
第五讲 静电场中的能量
1 1 q 2 2 2 0 E dV 0 ( ) 4 r dr 2 R 2 2 4 0 r
Q2 8 0 R
带电导体球的总静电能，就是其所激发的静电场的总能量 也是该导体球的自能。 例2：带电为 Q1 , Q2 半径为 R1, R2 的两个均匀带电的导体球相距 为 r ，求带电体系的电场能量。 解1： 利用带电体系静电场能量公式 Q1
j 第 j个带电体的电荷面密度， sj
为该带电体的表面积
带电导体组的总静电能：
1 m W Q jU j 2 j 1 1 m 1 n 总静电能：W 2 Q jU j 与 点电荷系相互作用能比较 W 2 qiVi i 1 j 1 1 m W Q jU j 2 j 1
1 W UdV 2V
U为电荷元和电荷元以外的全部电荷共同产生
若电荷连续分布的若干带电导体为导体时：导体静电平衡 时 ， 电荷分布在导体表面，各个表面是等势面的特点。上式 化简为：设体系有m 各带电导体，其中第 j个带电体的静电能：
1 1 1 W j jU j ds j U j j ds j Q jU j 2 sj 2 sj 2
1 1 2 r 0 E dV DEdV V 2 2
二、例题：
例1：导体球带电 q 、半径为 R ，球外为真空，求导体球能量。 解1： 利用总静能公式
m 1, W
静电场的能量
能量密度
1、电容器中的能量与电场
We
QU 2
U Ed
Q S
E
0
Sd V
We
0
2
E 2V
能量密度
e
0 E2
2
1、此式表明有电场存在的区域（即 ： E 0 ）
就储存着电能。
2、在均匀电场、非均匀电场、变化电磁场中， 此式都普遍成立，只是此时的能量密度是逐点 变化的。
3、该结果由平行板电容器推得，但具有普遍意义。
在球体内取一半径为r，厚度为dr的球壳
r r dr的dq，
dq 4r 2dr
W 1 2
U dq
积分区间为电荷所在整个空间 0到R
dq 所在处的电势为：
3Q
Qr2
U 8 0R 8 0R3
代入 ：
1R
3Q2
W U dq
20
20 0R
解法二 利用能量密度
We
V edv
V
1
2
0
r
自能：把一个带电体上各部分电荷从无限分散 的状态会聚在一起，克服电场力所作的功。
A
（2）A、B各自是不可分割的整体，组成一个系统
把B从无穷远移近A，主要是克服两个带电体系 的相互作用力做功。这部分电能称为互能。
+ ++ +
+ +
静电场的能量
=
Eb
R2 e
ln
R2 R2 /
e
= Eb R2 2e
代入已知数据得
U max
=
3 ×106 2
× 10 − 2 e
=
9.10 ×103 V
24
例7 平行板电容器带电Q，间距d，缓慢拉动至
2d。求: 1) 电容器能量变化；2) 外力做功；3)
面板间吸引力。
解：1)
∆W
=W
末 −W初
=
Q2 2C末
−
R 0
Qr 4πε 0 R 3
2
4π
r 2dr
+
ε0 2
∞ R
Q 4πε 0 r 2
2
4π
r 2dr
= 3Q2
20πε 0 R
20
例4 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，所带电荷为Q。 若在两球壳间充以电容率为ε的电介质，求此电容器贮存 的电场能量。
解：由高斯定理， r
r
R r
qr 4πε 0 R3
dr
+
∞ R
q 4πε 0 r
2
dr
=
ρ 3ε 0
3 2
R2
−
1 2
r2
6
∫∫∫ 由
We
物理-静电场的能量
力需克服静电场力作的功dw;
再计算电量由0累积到Q的过程，外力的总功：
Q
dW 0 dW
如：前面例1（均匀带电球面的静电能）
Q
W
q
dq Q2
0 4 0 R
8 0R
++ +
+O
+Q
+ +
+R +
+++
三、连续分布电荷系统的静电能
思路(二)：考察带电体上所电荷元间
的相互作用能 带电体上任到一个电荷元dq，设
8πε0 i1 j1 rij
1 n
2 i1 qiUi
U i : 除 qi 外的所有电荷 在 qi 处的产生电势
q1 q2
q3 qi qn
二、点电荷系的相互作用能
练习：如图，在每边长为a 的正六边形各顶点处 有固定的点电荷，它们的电量相间的为Q或-Q。
(1) 试求此电荷系统的相互作用能；
(2) 若有外力将其中相邻的两个点
《大学物理》第三篇 电磁学
第二章 有导体、 电介质存在时的静电场
§ 3-2-5
静电场的能量
引入：静电场的能量从何而来
电场中蕴藏有能量 电场
电荷
电荷
相互作用能 电磁场携带有能量（实验已证实）
引入：静电场的能量从何而来
静电场的能量
一、 点电荷系的互作用能
We12 A q2 (U2 U ) q2U2
q1
q2
We21 A q1(U1 U ) q1U1
U2
q1
4 0 r12
,
U1
q2
4 0 r21
We12
q1q2பைடு நூலகம்
4 0 r12
,
We21
q1q2
4 0 r21
We
1 2
(We12
We 21 )
1 2
q2U 2
q3U3 )
1 3
2
i
qiUi
r12
q2
r23
We
1 2
n i
qiU i
q1
r13
q3
三 电荷连续分布的带电体的静电能(自能）
n
We qiUi i
We
1 2
Udq
U是 带电体所有电荷在无限小电荷元处的电势
Q
电荷体分布
We
1 2
v
Udq
电荷面分布
We
1 2
Udq s
电荷线分布
We
1 2
Udq
L
四 电荷连续分布的带电体系的静电能
We
1 2
Udq
Q1
Q2
其中：W表示各带电体的自能和带电体系见得互 作用能的总和
静电场能量电势能的计算方法
静电场能量电势能的计算方法静电场是指在物体表面或物体附近存在的电场，其能量可以通过计算电场的电势能来表示。本文将介绍静电场能量电势能的计算方法。
一、电势能的定义和计算公式
电势能是指电荷在电场中所具有的能量，它与电荷的电量大小和电场的强度有关。电势能的计算公式为：
U = qV，
其中，U表示电势能，q表示电荷的电量，V表示电场势。电场势可以通过电场的电势差来计算。
二、电场的电势差计算方法
1. 点电荷的电势差计算
对于点电荷，其电势差计算公式为：
V = k * (Q / r),
其中，V表示电势差，k表示电场常数，Q表示电荷的电量，r表示距离。
2. 均匀带电球壳的电势差计算
对于均匀带电球壳，其电势差计算公式为：
V = k * (Q / R),
其中，V表示电势差，k表示电场常数，Q表示球壳的总电量，R 表示球壳的半径。
3. 均匀带电平面的电势差计算
对于均匀带电平面，其电势差计算公式为：
V = E * d,
其中，V表示电势差，E表示电场强度，d表示距离。
三、电势能的计算方法
在了解了电场的电势差计算方法后，我们可以根据电势差的数值来计算电势能。具体的计算方法如下：
1. 对于点电荷的电势能计算
如果已知点电荷的电势差V，可以使用电势能的计算公式 U = qV 来计算电势能。
2. 对于均匀带电球壳的电势能计算
如果已知球壳的电势差V和球壳的总电量Q，可以使用电势能的计算公式 U = QV 来计算电势能。
3. 对于均匀带电平面的电势能计算
如果已知平面的电势差V和电场强度E，可以使用电势能的计算公式 U = EV 来计算电势能。
静电场能量
静电场能量是指由于电荷在静电场中所具有的能量。在一个静电场中，电荷之间存在电势差，当电荷在电场中移动时，它们会受到电势差的作用而发生势能的转化。
对于两个点电荷之间的静电场能量，可以使用库仑定律来计算。库仑定律描述了电荷之间的相互作用力与它们之间的距离和电荷量之间的关系。
静电场能量的表达式为：
E = k * (Q1 * Q2) / r
其中，E表示静电场能量，k是库仑常数（约为9 ×10^9 N·m^2/C^2），Q1和Q2分别是两个电荷的电荷量，r是两个电荷之间的距离。
静电场能量是正的，它的单位是焦耳（J）或电子伏特（eV）。当两个电荷之间的电荷量或距离增加时，静电场能量也会增加。静电场能量可以在电荷之间的相互作用中转化为其他形式的能量，如动能、热能等。
静电场的能量
9
R
所以在电容器中储存的能量为
We
Q2 A
2C
1 CU 2 2
1 2
QU
(3)
因为电容器中的电量和电压分别为:
Q = S = ES , UAB=Ed
由此可以求得电 容器中静电能量
We
1 2
QU
1 E 2 (Sd ) (4)
2
电容器中静电 能的能量wk.baidu.com度
we
We Sd
1 E2
2
1 2
DE
1 E2
2
(5)
对于非匀强电场，在体
元d 内的电场能量为
dWe wed
1 E 2d (6)
2
整个电场的能量可以表示为
We
dWe
1 2
E2d
1 2
DEd
(7)
在各向异性电介质中，一般说来 D 与 E 的方向
不同，这时电场能量密度应表示为：
we
1 D¸
2
E¸
8
1 DE
2
电场能量可以表示为：
We
1 2
D¸ E¸ d
能量是定域于场的，静电能是定域于静电场的。
在电容器充电过程中,设某时刻两极板间的电压
为UAB , 在外力作用下持续地将dq电量从负极板移 到正极板时，外力因克服静电场力作的功为
10-8-静电场的能量和能量密度
Q
终 了 时 刻 UA
q
uB Q
UB
7
二、电场能量
11-5 静电场的能量和能量密度
q
q
对平行板电容器
W
Q2
1 QU
1 CU 2
2C 2
2
W 1 CU 2 1 ( 0 S )( Ed )2
2
2d
1 2
0
E
2
(
Sd
)
1 2
0
E
2V
0 S d
电场存在 的空间体积
电场能量体密度——描述电场中能量分布状况
_
_
16
11-5 静电场的能量和能量密度 比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。
qR
qR
0
E
q
4 0r 2
rR rR
qr
E
4
0
q
R
3
4 0r 2
rR rR
W
R 0
1 2
0
E
2
4r 2dr
R
1 2
0
E
2
4r
U
2
4 π ε0
静电场的能量密度公式
静电场的能量密度公式
静电场的能量密度公式可以通过对电场能量进行分析得到。首先，我们需要知道电场能量在空间的不同位置上具体是多少。
静电场能量密度（U）是指单位体积空间中电场能量的大小。在充满静电场的空间中，任意体积元内包含的电场能量可以表示为：
dU = ε/2 E^2 dV
其中，dU是体积元dV内的电场能量，ε是真空介电常数（ε ≈ 8.85 × 10^-12 F/m），E是电场强度。
将电场能量密度公式积分，可以得到整个空间的静电场能量。设整个空间的体积为V，整个空间的静电场能量为U，可以表示为：
U = ∫(ε/2 E^2)dV
为了更好地理解这个公式，我们可以通过一个简单的例子来说明。假设有两个平行带电板，它们之间的距离为d，电场强度为E。我们希望计算这个空间中的电场能量密度。
首先，从第一个平行板开始，我们可以将其认为是一个电容器的上板。如果在该平行板上施加电势差ΔV，可以得到电场强度E = ΔV/d。根据前面的能量密度公式，可以得到该电场能
量密度为：
U₁ = ∫(ε/2E^2)dV = ∫(ε/2 (ΔV/d)^2)dV
对上述积分进行化简，使用ΔV/d = E，可以得到：
U₁ = ∫(ε/2 E^2)dV = (ε/2) E^2 ∫dV = (ε/2) E^2 V
同样的，对于第二个平行板，电场能量密度为：
U₂ = ∫(ε/2 E^2)dV = (ε/2) E^2 V
由于两个平行板之间的电场相等，整个空间的电场能量密度为：
U = U₁ + U₂ = (ε/2) E^2 V + (ε/2) E^2 V = ε E^2 V
第五讲 静电场中的能量
电荷q在静电场的电势能，是因为q与场源电荷之间静电力作用 的结果。故电势能属于q与场源电荷所组成的系统，是带电体系 具有的能量。 电势能 也称为带电体系的相互作用能，又称该带电体系的 静电能，是该体系总静电能的一部分。
W
q0U p
求两个带电体系相互作用能的公式之一。
N个点电荷构成的带电体系----点电荷系：
1 1 q 2 2 2 0 E dV 0 ( ) 4 r dr 2 R 2 2 4 0 r
Q2 8 0 R
带电导体球的总静电能，就是其所激发的静电场的总能量 也是该导体球的自能。 例2：带电为 Q1 , Q2 半径为 R1, R2 的两个均匀带电的导体球相距 为 r ，求带电体系的电场能量。 解1： 利用带电体系静电场能量公式 Q1
，
1 W QU 2
结论：该式是电容器的总静电能
5、静电场的能量：
电场能量密度
静电场能量
W 1 we 0E2 V 2 W we dV
V
1 0 E 2 dV 2
对于线性电介质的静电场能量
W
V
总结： 1、静电场的能量是激发静电场的带电体系的总静电能。 2、总静电能等于各带电体系的自能和各带电体之间的相互 作用能之和。 3、静电场的能量是由于激发电场的电荷分布在形成过程中 外力做功的结果。
1 1 2 r 0 E dV DEdV V 2 2
静电场的能量
③
思考：这三个公式的物理意义。 以平行板电容器为例，分别用上列三个公式计算 它在电容为C、蓄有电荷量为Q时的静电能量。 12
例1 如图所示，在一边长为d的立方体的每个顶 点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个 点电荷+2e，求此带电系统的相互作用能量 。 解：法一 8个顶点上的负电荷的相 互作用能为12对，即
q1 = q2 4πε 0 r
= q2U21
q1 在 q2 所在
处产生的电势
2
也可以先移动 q2
q2在 q1所
在处的电势
状态a
q2 W = q1 = qU 1 12 4πε0r 做功与路径无关 = q2U21
表达式相同 为了便于推广 写为
q1 r
q2
1 1 W = q1U1 + q2U 2 2 2
§8.4 静电场的能量 一.带电体系的静电能 electrostatic energy 状态a时的静电能是什么？ 定义：把系统从状态 a 无限 分裂到彼此相距无限远的状态 中静电场力做的功，叫作系统 在状态a时的静电势能。简称 静电能。
带电体系处于状态 a
或： 将这些带电 体从无限远 离的状态聚 合到状态a的 过程中，外 力克服静电 力做的功。
∞
2
16
例3求半径为R 带电量为Q 的均匀带电球的静电能 解法一: 计算带电体系的静电势能 设想球体是一层层电荷逐渐聚集而成, 某一层已聚集电荷q
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K 。b
K打到a电容器充电
R K打到b，电容器放电， 灯泡R发出强闪光
根据功能原理充电后电容
器所储存的能量应等于外力
搬运电荷过程中所做的功。
+ + + + + + + + +
dW Udq q dq C
U
E
+
- - - - - - - - - dq
W
1 C
Q qdq Q2
0
2C
W
We
Q2 2C
0 + + + + ++ + + + + + r E
-0 - - - - - - - - - - -
W0
1 2
C0U 2
W
1 CU 2 2
1 2
r
C
0U
2
rW0
4.一个平行板电容器的极板面积为S, 间距为d，用 电源充电后两极板上带电分别为 Q ，断开电源后 将电容器两极板间距离拉到2d，外力克服两极板的
2
1 E 2V
2
电场能量密度
we
W V
1 E 2 1 ED
2
2
电场空间所存储的能量
We
V wedV
1 E 2dV
V2
例1 如图所示,球形电容器的内、外半径分别
为 R1 和 R2，所带电荷为 Q ．若在两球壳间充以
电容率为 的电介质，问此电容器贮存的电场能量
为多少？
解：两球壳间的电场强度为
3. 一空气电容器充电后切断电源，电容器储能W0，
若此时在极板间灌入相对介电常量为 的煤r 油， 则电容器储能变为W0的________1___r 倍．如果灌煤
油时电容器一直与电源相连接，则电容器储能将是
W0的__________r__倍．
平行板电容器充电后与电源断开 Q 不变
0 ++++++++++
1 QU 2
1 CU 2 2
二、静电场的能量
1、讨论：充电电容器所储存的能量谁是其携带者？
We
1 2
CU
2
设此电容器是一个平行平板电容器则有：
We
1 2
CU 2
1 2
S
d
(Ed )2
1 E2(Sd)
2
1 2
E2V
上述分析表明：电场具有能量。它是静电场本身 所具有的能量。
2. 能量密度
We
1 CU 2
它浸没在相对介电常量为 r 的无限大各向同性
匀电介质中，这时它的静电能量
W =________W__0___r___．
2. 如图所示, 一球形导体，带有电荷q，置于一
任意形状的空腔导体中．当用导线将两者连接后，
则与未连接前相比系统静电场能量将
(A) 增大．
(B) 减小．
(C) 不变．
q
(D) 如何变化无法确定．
答案B
3. 一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后 在两极板间充满某种各向同性、均匀电介质，则 电场强度的大小E、电容C、电压U、电场能量W 四个量各自与充入介质前相比较，增大(↑)或减小 (↓)的情形为
(A) E↑，C↑，U↑，W↑． (B) E↓，C↑，U↓，W↓． (C) E↓，C↑，U↑，W↓． (D) E↑，C↓，U↓，W↑．
Q2d
吸引力所作的功为
2 0 S
Q2
两极板的相互吸引力为
2 0 S
平行板电容器充电后与电源断开 Q 不变
0 + + + + + + + + + +
d
E0
-0- - - - - - - - - -
C0
0
S d
0 + + + + + + + + + +
2d
E0
-0- - - - - - - - - -
静电能
W
1 dqV 2 Q
3Q 2
20 0R
真空中均匀带电的球面和球体，如果两者的半 径和总电量都相等，则带电球面的电场能量W1与 带电球体的电场能量W2相比，W1 ________W2
（填＜ 、＝、＞）。
§6-4 -2 电容器的能量 一 充电电容器的储能
1 充电电容器储存有能量的实验验证
K 。a
§6-4 静电场的能量
§6-4-1 点电荷系的静电势能
状态a
以两个点电荷系统为例 想象q1 q2 初始时相距无限远
q1 r q2
第一步 先把q1摆在某处 外力不作功
第二步 再把q2从无限远移过来 使系统处于状态a
使系统处于状态a，
状态a
外力克服q1的场作功等于该 q1 r q2
带电系统静电能的增加
E0
-0- - - - - - - - - -
Q2 W0 2C0
0 + + + + ++ + + + + + r E
-0 - - - - - - - - - - -
W
Q2
2C
Q2
2 rC0
W0
r
平行板电容器充电后未与电源断开 U 不变
0 ++++++++++
E0
-0- - - - - - - - - -
Q2 Q2d
W1 2C1 2 0 S
Q2 Q2d
W2 2C2
0S
W W2 -W1 Q2d 0S
两极板的相互吸引力
0 ++++++++++
d
E0 F1
- 0 - - - - - - - - - -
E1
注意：E1是一块板 产生的电场
E1
0 2 0
Q
2 0 S
Q2
F1 EQ 2 0 S
5. 一空气平行板电容器，电容为C，两极板间距
R2
)
2
4π
R2 R1
R2 R1
讨论
（1）W e
Q2 2 C C
4π
R2 R1 （球形电容器电容） R2 R1
（2）以上为求电容器电容的第二种方法，即先求 能量，再求电容
例2. 一绝缘金属物体，在真空中充电达某一电势值， 其电场总能量为W0．若断开电源，使其上所带电荷
保持不变，并把它浸没在相对介电常量为 的无r
0 ++++++++++
E0
-0- - - - - - - - - -
0 + + + + ++ + + + + + r E
-0 - - - - - - - - - - -
C C0 Q 不变
1
U r U0
E E0
r
We
Q2 2C
1 QU
2
1 CU 2 2
(B) E↓，C↑，U↓，W↓．
答案B
r
W Aq1 q2E1 dl q2 E1 dl
r
V1q2
q1q2
4 0r
q1在q2处产生的电势
W q2q1
4 0r
1 2
q1
q2
4 0r
1 2
q2
q1
4 0r
状态a
q1 r q2
1
1
2 q1V1 2 q2V2
q1在q2处产生的电势
q2在q1处产生的电势
W
1 2 q1V1
1 2 q2V2
状态a
q1 r q2
百度文库
1
W 2
i
qiVi
点电荷系
Vi
除 qi 以外的电荷在 qi 处的电势
若带电体连续分布
W 1 dqV 2 Q
dq
V : 所有电荷在dq 处的电势
如均匀 带电球面 带电量 Q半径 R
静电能
W 1 dq Q
2 Q 4 0R
Q2
80 R
如均匀 带电球体 带电量 Q半径 R
限大的各向同性均匀液态电介质中，问这时电场总
能量有多大？
解：因为所带电荷保持不变，故电场中各点的电 位移矢量 D 保持不变，
又
w
1 DE 2
1
2 0 r
D2
1
r
1
2 0
D02
w0
r
因为介质均匀，∴电场总能量 W W0 / r
1. 一个带电的金属球，当其周围是真空时， 储存的静电能量为W0，使其电荷保持不变，
1Q
E 4π r2
we
1 E 2
2
Q2
32 π2 r 4
R1 dr
r
R2
we
1
2
E2
Q2
32 π2
r4
变量
Q2
dWe wedV 8 π r 2 dr
R1 dr
r
R2
We
Q2
dWe 8 π
R 2 dr r R1 2
Q2
8π
1 (
R1
1 )
R2
Q2 1 1 1
Q2
We
8π
( R1
离为d．充电后，两极板间相互作用力为F．则两
极板间的电势差为______2_F_d__/ C____，极板上的电
荷为______2_F_d_C_____．
C
0
S d
Q2
F1 E1Q 2 0 S
F1
Q2
2 0 S
Q2 2Cd
F
Q 2FdC E1 2dC
U Ed 2E1d