2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点15 基本不等式及其应用(2)(原卷word版)

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2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练：不等式、线性规划含解析

当y=-3x+z过点B(3,-4)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为zmax=3×3+(-4)=5.
8.已知变量x,y满足约束条件若x+2y≥-5恒成立,则实数a的取值范围为()
A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)
C.[-1,1]D.[-1,1)
答案:C
解析:设z=x+2y,要使x+2y≥-5恒成立,即z≥-5.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,要使不等式组成立,则a≤1,由z=x+2y,得y=- x+ ,
18.已知存在实数x,y满足约束条件则R的最小值是.
答案:2
解析:根据前三个约束条件作出可行域如图中阴影部分所示.由存在实数x,y满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.
16.已知x,y∈(0,+∞),2x-3= ,则的最小值为.
答案:3
解析:由2x-3= ,得x+y=3,故 (x+y) (5+4)=3,当且仅当 (x,y∈(0,+∞))时等号成立.
17.若函数f(x)= lgx的值域为(0,+∞),则实数a的最小值为.
答案:-2
解析:函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),由 >0及函数f(x)的值域为(0,+∞)知x2+ax+1>0对∀x∈{x|x>0,且x≠1}恒成立,即a>-x- 在定义域内恒成立,而-x- <-2(当x≠1时等号不成立),因此a≥-2.
A.{x|x>2,或x<-2}B.{x|-2<x<2}

新高考数学复习考点知识提升专题训练12---基本不等式的应用

新高考数学复习考点知识提升专题训练（十二）基本不等式的应用(一)基础落实1．下列等式中最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝2t ＋1tC ．y ＝4t ＋1t(t >0)D ．y ＝t ＋1t解析：选C A 中x ＝－1时，y ＝－5<4；B 中t ＝－1时，y ＝－3<4；C 中y ＝4t ＋1t ≥24t ·1t＝4，当且仅当t ＝12时，等号成立；D 中t ＝－1时，y ＝－2<4.2．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：选B 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时取等号．3．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3 B ．3 C ．62 D ．62－3 解析：选D y ＝3(x 2＋1)＋6x 2＋1－3≥23(x 2＋1)·6x 2＋1－3＝218－3＝62－3，当且仅当x 2＝2－1时等号成立，故选D.4．(多选)设y ＝x ＋1x －2，则( )A ．当x >0时，y 有最小值0B ．当x >0时，y 有最大值0C ．当x <0时，y 有最大值－4D ．当x <0时，y 有最小值－4解析：选AC 当x >0时，y ＝x ＋1x －2≥2x ·1x －2＝2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故A 正确，B 错误；当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立，故C 正确，D 错误．故选A 、C.5．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，等号成立． 6．如果a >0，那么a ＋1a ＋2的最小值是________．解析：因为a >0，所以a ＋1a ＋2≥2a ·1a＋2＝2＋2＝4，当且仅当a ＝1时等号成立．答案：47．若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为________．解析：∵2m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋2m n ＋nm ≥3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝1－22，n ＝2－1时，等号成立，即最小值为3＋2 2. 答案：3＋2 28．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，且x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，所以，当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 89．(1)已知x <3，求4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解：(1)∵x <3，∴x －3<0， ∴4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3 ＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，∴4x －3＋x 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ·x ＋y 4＝14⎝⎛⎭⎫4＋y x ＋3x y ≥1＋234＝1＋32，当且仅当y x ＝3x y ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时等号成立．故1x ＋3y 的最小值为1＋32.10.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1 800平方米的矩形地块(如图所示)，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值分别为多少？解：(1)由题意得，xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝a (x －4)＋b (x －6)＝a (x －4)＋2a (x －6) ＝(3x －16)a ＝(3x －16)×y －63＝xy －6x －163y ＋32＝1 832－6x －163y ，其中6<x <300,6<y <300.(2)由(1)可知，6<x <300,6<y <300，xy ＝1 800,6x ＋163y ≥26x ·163y ＝26×16×600＝480，当且仅当6x ＝163y 时等号成立，∴S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－480＝1 352，此时9x ＝8y ，xy ＝1 800，解得x ＝40，y ＝45，即x 为40，y 为45.(二)综合应用1．(多选)一个矩形的周长为l ，面积为S ，则下列四组数对中，可作为数对(S ，l )的有( ) A ．(1,4) B ．(6,8) C ．(7,12)D.⎝⎛⎭⎫3，12 解析：选AC 设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .由xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22知，S ≤l 216，故A 、C 成立．2．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：选C1a ＋1b＋2ab ≥21a ·1b＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当1a ＝1b 且1ab＝ab ，即a ＝b ＝1时取等号．3．已知x >－1，则(x ＋10)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．解析：(x ＋10)(x ＋2)x ＋1＝(x ＋1＋9)(x ＋1＋1)x ＋1＝(x ＋1)2＋10(x ＋1)＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1＋10，∵x >－1，∴x ＋1>0，∴(x ＋1)＋9x ＋1＋10≥29＋10＝16，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立．答案：164．若a >0，b >0，且a 2＋b 22＝1，求a 1＋b 2的最大值．解：∵a >0，b >0，a 2＋b 22＝1， ∴a 1＋b 2＝a 2(1＋b 2)＝2a 2·1＋b 22＝2a 2·1＋b 22≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12＋b 2222 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1222＝324，当且仅当正数a ，b 满足a 2＝1＋b 22且a 2＋b 22＝1，即a ＝32，b ＝22时等号成立．∴a 1＋b 2的最大值为324.(三)创新发展1．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a 3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23，又a >0，则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a (x 2＋1)·1x 2＋1＝2a ，当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1，即a ＝1(x 2＋1)2时，等号成立，则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≥192．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米．(1)写出x 与y 的关系式；(2)求出仓库面积S 的最大允许值．为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解：(1)由于铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，由题意可得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，即4x ＋9y ＋2xy ＝320，解得y ＝320－4x2x ＋9，由于x >0且y >0，可得0<x <80，所以，x 与y 的关系式为y ＝320－4x2x ＋9(0<x <80)．(2)S ＝xy ＝x ·320－4x2x ＋9＝x ·338－2(2x ＋9)2x ＋9＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫3382x ＋9－2＝338x 2x ＋9－2x ＝169(2x ＋9)－169×92x ＋9－2x ＝169－2x －169×92x ＋9＝178－(2x ＋9)－169×92x ＋9＝178－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2x ＋9)＋169×92x ＋9≤178－2(2x ＋9)×169×92x ＋9＝100，当且仅当2x ＋9＝169×92x ＋9，即⎩⎨⎧x ＝15，y ＝203时，等号成立，因此，仓库面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁栅长应设计为15米．。

基本不等式及其应用-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)解析版

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第04练基本不等式及其应用（精练）1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最值问题．3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．一、单选题1．（2022·全国·高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（）A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a>>二、多选题2．（2022·全国·高考真题）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．221x y +≥三、填空题3．（2023·天津·高考真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b ==，用,a b表示AE =；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．四、解答题4．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．【A 级基础巩固练】一、单选题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若0x >，则22y x x=+的最小值是（）A ．B C ．4D ．22．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知04x <<）A ．12B ．1C D ．33．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（）A ．3-B ．3C ．1D ．6【答案】B【分析】利用基本不等式，直接计算即可.取得等号，满足题意4．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．165．（2023·湖南岳阳·模拟预测）若0,0a b >>且1a mb +=，若ab 的最大值为8，则正常数m =（）A ．1B ．2C ．3D ．46．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（）A ．1B ．2C ．4D ．87．（23-24高一下·福建南平·期中）已知0a >，0b >，230a b +-=，则21a b++的最小值为（）A ．2B ．1C ．32D ．348．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知向量()2,1a m m =+，(),12b n =，若向量a ，b 共线且0m >，则n 的最大值为（）A ．6B ．4C ．8D ．39．（23-24高一下·浙江·期中）已知实数a ，b ，满足310ab +=（1b >），则31b a ++的取值范围是（）A ．()(),04,-∞⋃+∞B ．()4,+∞C ．(][),04,-∞+∞U D ．[)4,+∞10．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知0a >，0b >，2a b +=，则（）A ．01a <≤B ．01ab <≤C ．222a b +>D ．12b <<11．（2024·山东枣庄·一模）已知0,0a b >>，则“2a b +>”是“222a b +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知,a b 均为正实数，240a b -+≤，则23a ba b++的最小值为（）A ．135B ．145C ．3D ．513二、多选题13．（2024高三·全国·专题练习）已知x ≥1，则下列函数的最小值为2的有（）A ．22xy x =+B ．2y =C ．13y xx=-D ．411y x x =-+14．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知正数a ，b 满足5a b ab +=，则（）A ．151a b+=B ．a 与b 可能相等C 6≥D ．a b +的最小值为6+【答案】BD15．（23-24高二下·浙江·期中）已知正数,a b 满足()()111a b --=，则下列选项正确的是（）A ．111a b+=B ．25ab b+³C ．4a b +≥D ．228a b +≤三、填空题16．（23-24高一上·北京·期中）已知()8233y x x x =+>，则当x =时，y 取最小值为．17．（2024·上海徐汇·二模）若正数a b 、满足1a b+=，则2a b +的最小值为.18．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数,a b 满足232a b a b =+，则a 的最小值是．19．（23-24高二下·云南·阶段练习）设0,0m n >>，若直线:22l mx y +=过曲线11x y a -=+（0a >，且1a ≠）的定点，则11m n+的最小值为．20．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.21．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙CD 修建一个直角梯形花坛ABCD ，设直角边AD x =米，2BC x =米，若12AD AB BC ++=米，问当x =米时，直角梯形花坛ABCD 的面积最大．22．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知02a <<，则2a a+-的最小值为．四、解答题23．（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位；cm ）满足关系：()()161102C x x x =≤≤+，设()f x 为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．(1)求()f x 的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．24．（23-24高一上·陕西渭南·阶段练习）已知0a >，0b >，0c >，求证：(1)6b c a c a ba b c+++++≥；(2)()()()2222226a b c b a c c a b abc +++++≥.25．（23-24高一上·浙江·期末）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本()R x 万元，且()228020,05064002015200,50x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本）(1)求2024年的利润()W x （单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式．(2)2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？26．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）完成下列不等式的证明：(1)对任意的正实数a ，b ，c，证明：a b c ++(2)设a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=，证明：13ab ac bc ++≤.【B 级能力提升练】一、单选题1．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知0,0x y >>，且41x y +=，则2y xxy+的最小值为（）A ．5B ．C ．4D ．2．（2023·河南信阳·模拟预测）若51x -<<-，则函数()22f x x ++=+有（）A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值1-D ．最大值1-所以函数()f x 有最大值1-.故选：D.3．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x ，y 满足3x >，且2312xy x y +-=，则x y +的最小值为（）A ．1+B ．8C ．D ．1+4．（2024·辽宁·一模）已知20m n >>，则2m mm n n+-的最小值为（）A ．3+B ．3-C ．2+D ．25．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式中不成立．．．的是（）A ．01ab <<B ．122a b ->C >D ．114a b+>【答案】C【分析】对于AB ，利用对数函数的性质即可判断；对于CD ，利用对数的运算得到1a b +=，结合基本不等式即可判断.【详解】因为lg 2,lg5a b ==，所以lg 2lg 5lg101a b +=+==，6．（2024·辽宁大连·一模）若()()ln 0,01f x m n n x+=>>--奇函数，则41m n ++的最小值为（）.A ．65B ．95C ．4D ．57．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）故宫博物院收藏着一幅《梧桐双兔图》.该绢本设色画纵约176cm ，横约95cm ，挂在墙上最低点B 离地面194cm ，小兰身高160cm (头顶距眼睛的距离为10cm).为使观测视角θ最大，小兰离墙距离S 应为（）A．B ．94cm C．D ．76cm8．（2024·全国·模拟预测）已知0x >，0y >且1x y +=，则222211x y x y +++的最小值为（）A ．15B ．25C ．35D ．459．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中ABCD 区域是休闲健身区，以CD 为底边的等腰三角形区域PCD 是儿童活动区，P ，C ，D 三点在圆弧上，AB 中点恰好在圆心O ，则当健身广场的面积最大时，OB 的长度为（）A ．100米B ．150米C．米D．由于2AD BC OC ==-都是上底为21R t -，下底为所以，健身广场的面积S 从而，健身广场的面积最大的时候，恰好就是()22111tt t t t -+=-+=()223323223t t t +-+-≤=二、多选题10．（2023·浙江绍兴·二模）已知0a >，0b >，a b ab +=，则（）A ．1a >且1b >B ．4ab ≥C ．49a b +≤D ．11b ab+>11．（2024·全国·模拟预测）已知0a >，0b >且2a b+=，则下列说法正确的是（）A ．ab 有最小值4B ．a b +有最小值92C ．2ab a +有最小值D的最小值为12．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知0,1a b a b >>+=．则下列结论正确的有（）A ．a 32B ．22122a b ++的最小值为C ．1422a b a b+的最小值为3D ．sin 1a b +<三、填空题13．（23-24高一下·河北保定·开学考试）若正数,m n 满足2212516m n +=，则mn 的最大值为．14．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若1x >，1y >，10xy =，则lg lg x y 的最大值为.15．（2024·全国·模拟预测）已知1x >，0y >，且2x y +=，则11y x +-的最小值是．17．（2024·上海普陀·二模）若实数a ，b 满足20a b -≥，则24ab+的最小值为.18．（23-24高一上·浙江·期末）已知22321(,R)x xy y x y -+=∈，则222x y +的最小值为．四、解答题19．（2024·全国·二模）已知实数0,0a b >>，满足a b +=(1)求证：2224a b +≥；(2)求()()2211ab ab++的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)1220．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知0a >，0b >，且2a b +=．(1)求证：11413a b +≥+；(2)求证：42aab b+≥．21．（23-24高一下·甘肃白银·期中）养鱼是现在非常热门的养殖项目，为了提高养殖效益，养鱼户们会在市场上购买优质的鱼苗，分种类、分区域进行集中养殖．如图，某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形鱼塘（记为菱形ABCD ）进行鱼类养殖，为了方便计算，将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米．某养鱼户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖，用不锈钢网将该鱼塘隔离成ABD ，DEFB ，CEF 三块区域，图中,BD EF 是不锈钢网露出水面的分界网边，E 在鱼塘岸边DC 上（点E 与D ，C 均不重合），F 在鱼塘岸边BC ．上（点F 与B ，C 均不重合）．其中△ECF 的面积与四边形DEFB 的面积相等，△DAB 为等边三角形．(1)若测得EC 的长为80米，求CF 的长．(2)已知不锈钢网每平方米的价格是20元，为了节约成本，试问点E ，F 应如何设置，才能使得购买不锈钢1.414=）22．（2023·贵州黔西·一模）设a，b，c均为正数，且1a b c++=，证明：(1)2221 3a b c++≥；(2)333a cb ac b abc++≥．23．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知0a >，0b >．(1)若4a b -=，证明：471a b +≥+．(2)若8a b ab ++=，求a b +的最小值．(3)若229327a b ab ++=，求3a b +的最大值．【C 级拓广探索练】一、单选题1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）设正实数,,x y z 满足22-3+4-=0x xy y z ，则当xyz取得最大值时，212+-x y z 的最大值为（）A ．9B ．1C ．94D ．32．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x 为正实数，y 为非负实数，且22x y +=，则1x y +++的最小值为（）A ．34B ．94C ．32D ．923．（2024·全国·模拟预测）设{}max ,,x y z 为,,x y z 中最大的数.已知正实数,a b ，记max 8,2M a b⎧=⎨⎩，则M 的最小值为（）A ．1B C ．2D ．44．（22-23高一上·河南·阶段练习）已知22321x xy y -+=(),R x y ∈，则22x y +的最小值为（）A 6B 6C ．6D ．6二、多选题5．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知0,0,21x y x y >>+=，则（）A ．42x y +的最小值为B ．22log log x y +的最大值为3-C ．y x xy --的最小值为1-D ．22221x y x y +++的最小值为16正确；三、填空题6．（2023·山西·模拟预测）已知0,0a b >>，且122a b +=，则161211a b +--的最小值是.7．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知实数,x y 满足22221x xy y -+=，则22x y -的最大值为.四、解答题8．（2023·全国·模拟预测）已知(),,0,x y z ∈+∞，且1x y z ++=．(1)1z>-；(2)求222544x y z xy yz xz +++++的最大值．，三式相加，可得：9．（23-24高一上·山东青岛·期末）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射t ml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间x（单位：小时）的关系如下：162,06,89,618.2t xxyx t x⎧⎛⎫-≤≤⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<≤⎪⎪⎝⎭⎩当血药浓度不低于2ug/ml时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2ml．(1)若注射1ml药品，求药品的有效治疗时间；(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml 药品，12小时之后又注射a ml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求a的最小值．。

2020年高考数学二轮重难点复习：基本不等式的应用附答案详解

2020年高考数学二轮重难点复习：基本不等式的应用1.1 2020年高考定位高考对基本不等式内容的考查主要有:理解基本不等式在不等式证明、函数最值求解方面的重要应用.试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.通过不等式的基本知识、基本方法在三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融会贯通，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生的数学素质及创新意识.1.2应考策略掌握高考考查基本不等式的常见题型，主要有以下四个方面:一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法)等；三是利用基本不等式构造不等式；四是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式解决.掌握利用基本不等式求最值时，要满足的三个条件，即一正，二定，三相等，而且求解时要逐一检验.1.3知识解读从知识的本质角度看.首先基本不等式是通过“x2≥0这个基本的数量不等式对x进行替换得到的；其次，反映了算术平均数与几何平均数之间的一种不等量关系；再次，基本不等式有很好的几何意义，用它可以很好地解决实际生活中的一些最大值与最小值问题.因此，基本不等式的内容对学生厘清数学知识内部联系与解决实际问题很有好处.从知识的作用角度看.首先，由基本不等式可以推出许多重要的不等式，例如:当a>0，b>0时，有等；其次，基本不等式是研究其他不等式的重要基础；再次，证明基本不等式的方法是证明不等式的基本方法之一.因此，基本不等式本身及其证明方法为学生的后续学习奠定了基础.从学生应用的角度看.学习和应用基本不等式有利于学生观察、分析、抽象、概括、归纳、总结等能力的培养，有利于学生对数学知识的整合，如:几何与代数的整合，信息技术与数学的整合等.1.4常用变式两边同加.两边同除以a，.两边同除以b，.两边同除以ab，.用－a代替a，.用代替a，b，.1.5应用方式“应用基本不等式求最值”问题需要适当的情境，观察、分析、确定问题中的五个方面:最值的类型、运算的方式、数量的形式、数量的条件、数量的关系，之后才能规范、合理、正确地应用“基本不等式”解决相应的问题，即直接规范正确使用，间接变形合理使用，构造关系变式使用.利用基本不等式时，要注意“正、定、等”三要素，正，即x，y都是正数；定，即不等式另一边为定值；等，即当且仅当x=y时取等号.利用基本不等式时，要注意“积定和最大，和定积最小”这一口诀，并且适当运用拆、拼、凑等技巧.特别应该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等号成立的条件是否同时成立.2问题精解2.1利用基本不等式求最值要点:应用基本不等式求和的最小值或积的最大值；构造基本不等式满足的条件求最值.2.1.1运用换元变换，简化条件关系例1求函数的最小值.2.1.2选择消元变形，构造数量关系例2若正数a，b满足，求的最小值，并求此时a，b的值.2.1.3分析最值类型，转化结构关系例3设x，y为实数，若，则2x+y的最大值是.2.2基本不等式在实际问题中的应用要点:构造函数模型，利用基本不等式求实际问题中的最值问题.例4：如图，有一块边长为1(hm)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设.(I)用t表示PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值.(Ⅱ)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少(hm2)?2.3基本不等式与其他知识的综合应用要点:(1)基本不等式与函数、方程的综合(2)基本不等式与解三角形的综合；(3)基本不等式与解析几何等其他知识的综合应用.例5已知函数.(I)判断f(x)在区间(0，+∞)内的增减性，并证明你的结论；(Ⅱ)解关于x的不等式f(x)>0；(Ⅲ)若f(x)+2x≥0在区间(0，+∞)内恒成立，求a的取值范围.3两点说明3.1两次应用基本不等式时要检验两次等号能否同时取到。

基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。

2020届高考数学(理)算法初步、选讲部分、不等式考点15不等式的综合应用(含解析)

【答案】 C 3.求不等式－ 2x2＋ x＋ 3<0 的解集．【解析】化－ 2x2＋ x＋ 3<0 为 2x2－ x－ 3>0，解方程2x2Fra bibliotek x－ 3＝ 0
得
x1＝－
3 1， x2＝ 2，
∴不等式 2x2－ x－ 3>0 的解集为 (－ ∞ ，－ 1)∪ (3，＋ ∞ )， 2
3 即原不等式的解集为 (－ ∞，－ 1)∪ (2，＋ ∞)． 4.解关于 x 的不等式： x2－ (a＋ 1)x＋ a<0. 【解析】由 x2－ (a＋1)x＋ a＝ 0，得 ( x－ a)(x－ 1)＝0，∴ x1＝ a， x2＝1， ①当 a>1 时， x2－ (a＋ 1)x＋ a<0 的解集为 {x|1< x<a}，
1.设 a log 0.2 0.3 ， b log 2 0.3，则（
）
A． a b ab 0
B． ab a b 0
C． a b 0 ab
D． ab 0 a b
1
1
11
【解析】 ∵ a log 0.2 0.3 ， b log 2 0.3 ，
log 0.30.2, lo g0.3 2 ，
lo g0.3 0.4 ，
化为一元一次不等式，或一元二次不等式．
去绝对值符号常见的方法
(1) 根据绝对值的定义． (2)分区间讨论 (零点分段法 )． (3)图象法．
5．绝对值三角不等式 (1)| a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，
|a－ b|的几何意义表示数轴上两点间的距离．
(2)| a＋ b|≤ |a|＋ |b|(a， b∈ R， ab≥ 0 时等号成立 )．
C． 0≤c≤ 30

天津市2020年高考数学二轮复习专题不等式线性规划课件文

或��
<
1 2
.
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-5-
题后反思 1.解一元二次不等式先化为一般形式
ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集;解分式不等式首先要移项、通分、化简,然后转化为整式不等式求解.
由
�� + 3�� = 0,
=
3,可得
A(3,0),此时
zmax=3,故选
D.
-28-
�� ≤ 2��, 3.(2017 天津河西高三质量调查)若变量 x,y 满足约束条件 �� + �� ≤ 1,
B.[-3,2]
C.[0,2]
D.[0,3]
-9-
答案： B 解析画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义可得目标函数在点 A(0,3)处取得最小值 z=0-3=-3,在点 B(2,0)处取得最大值 z=2-0=2.故选 B.
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-10-
题后反思利用图解法解决线性规划问题的一般方法: (1)作出可行域.将约束条件中的每一个不等式当作等式,作出相应的直线,并确定原不等式的区域,然后求出所有区域的交集; (2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线); (3)求出最终结果.在可行域内平行移动目标函数等值线,从图中能判定问题有唯一最优解,或者是有无穷最优解,或是无最优解.
答案：D
解析
原不等式化为(x-t)
��-

2020江苏高考数学(文理通用)二轮培优新方案课件：第14讲基本不等式及其应用、简单的线性规划问题

答案：2 2
3．设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0.则当xzy取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为________．
解析：xzy＝x2－3xxyy＋4y2＝xy＋41xy－3≤4－1 3＝1，当且仅当 x＝ 2y 时等号成立，此时 z＝2y2，2x＋1y－2z＝－y12＋2y＝－1y－12＋1≤1，当且仅当 y＝1 时等号成立，故所求的最大值为 1.
考法三多元最值问题 [例 3] (1)(2019·南京、盐城一模)若正实数 a，b，c 满足 ab ＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则 c 的最大值为________． (2)(2019·苏北三市期末)已知 x>0，y>0，z>0，且 x＋ 3y＋z ＝6，则 x3＋y2＋3z 的最小值为________．
∴x＋12y＋1的最小值为 4 3. xy
答案：4 3
课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效
一、小题考法——求“准”求“快”
考法一简单的线性规划问题
[例 1] (1)(2019·南通模拟)已知变量 x，y 满足约束条件
x＋y－1≤0， 3x－y＋1≥0， x－y－1≤0，
则 z＝2x＋y 的最大值为________．
y当且仅当y＝3

2
3时取等号，得

x3＋y2＋3z＋2＋247≥3(x＋
3y
＋z)＝18，x3＋y2＋3z≥347当且仅当x＝1，y＝3 2 3，z＝21取等号.
[答案]
8 (1)7
37 (2) 4
[解题方略] 多变量函数的最值问题，常常将条件和结论统一起来，进行合理的消元和换元，将问题转化为函数或不等式问题．
第 14 讲基本不等式及其应用、简单的线性规划问题课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高

2024年新高考版数学专题1_2.2 基本不等式及不等式的应用(分层集训)

b,x,y>0,则 a2 + b2 ≥ (a b)2 ,当且仅当 a = b 时等号成立.根据权方和不等式
x y xy
xy
可以比较容易得出,函数f(x)=
2 x
+
1
9 2x
0
x
1 2
的最小值为
(
)
A.16 B.25 C.36 D.49
答案 B
2.(2022山东平邑一中开学考,6)实数a,b满足a>0,b>0,a+b=4,则 a2 + b2
x
0
x
2
答案 C
2.(2022重庆西南大学附中月考)已知x,y>0,x+9y+xy=7,则3xy的最大值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C
3.(多选)(2023届山东潍坊五县联考,9)设a>0,b>0,a+b=1,则下列不等式中
一定成立的是( )
A.ab≤ 1
4
B. a + b ≥ 2
2.(多选)(2023届重庆南开中学质检,10)已知正数x,y满足x+2y=4,若存在正
数x,y使得 1 +x≤t-2y- 1 成立,则实数t的可能取值是( )
2x
y
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 CD
3.(2021广东佛山南海石门中学模拟,5)已知x,y∈(0,+∞),且x+y=1,若不等
.
c
a2
答案 - 5 8
6
13.(2022河北曲阳一中月考,14)已知a,b∈R,且a> b >0,则a2+ 1 的最
2
(2a b)b

2020年高考数学(理)二轮复习精品考点学与练不等式与线性规划(考点解读)(解析版)

不等式与线性规划与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．高考备考时，应切实理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．①作差(商)法；②利用函数的单调性．2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质(1)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(2)同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(4)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)；3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．4．牢记常见类型不等式的解法．(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．5．简单线性规划(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．(2)简单的线性规划问题解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．高频考点一不等式性质及解不等式例1、(1)若a ，b ∈R ，且a >|b |，则( )A ．a <－bB ．a >bC ．a 2<b 2D.1a >1b (2)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集为⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞【解析】 (1)∵a >|b |，|b |≥b ，∴a >b .故选B.(2)∵不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13， ∴易知a <0且⎩⎨⎧ b a ＝－56，－1a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5，∴不等式x 2－bx －a <0可化为x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3.故选A.【答案】 (1)B (2)A【方法技巧】 1．解一元二次不等式主要有两种方法：图象法和因式分解法．2．解含参数的“一元二次不等式”时，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据相应一元二次方程的根是否存在，即Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论．3．解决恒成立问题可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．4．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．5．解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题.【举一反三】(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x x ＋2＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}。

2020届江苏高考数学(理)总复习讲义：基本不等式及其应用

答案： 25
1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当 a＝ b 时等号成立”的含义是“ a＝ b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致． [ 小题纠偏 ]
9 1． (2019 ·启东检测 )函数 y＝ x＋x－ 1(x＞ 1)的最小值为 ________．解析： ∵ x＞ 1，∴ x－ 1＞ 0，
3－ x2
解析：由题意得 y＝
，
2x
所以
2
x＋
y＝
2
x＋
3
－
x2 ＝
3
x2
＋
3
＝
3
2x
2x 2
1 x＋x
≥ 3，
当且仅当 x＝ y＝ 1 时，等号成立．
答案： 3
3． (2017
·天津高考
)若
a，
b∈
R，
ab＞
0
，则
a
4＋
4b4＋ ab
1
的最小值为
________ ．
解析：因为
ab＞
0，所以
a
4＋
20 000 ＋ (8x ＋ 20) ·
10＋ 160 ＝ x
5 80 10 2 x＋ x ＋4 160(x＞ 1)．
5
(2) S(x)＝ 80
10 2
x＋
＋ 4 160≥ 80 x
10 × 2
2 x·5 ＋ 4 160 ＝ 1 600＋ 4 160＝ x
5 760，当且仅当 2 x＝ 5 ，即 x＝ 2.5 时，等号成立，此时 a＝ 40， ax＝ 100. x

2020年高考数学复习专题基本不等式及其应用课件

解析：根据题意，由于x＜0，则函数y＝
x2＋x＋1 x
＝
x＋1x＋1＝－－x－1x＋1≤－2 1，
（－x）×－1x＋1＝－
当x＝－1时取得等号，故可知函数的最大值为－1.
答案：－1
10．若lg a＋lg b＝0，则2a＋1b的最小值是________．解析：因为lg a＋lg b＝lg ab＝0，所以ab＝1，且a>0，b>0，
() A．10
B．6 3
C．4 6 D．18 3
答案：D
5．已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最
小值为( )
A．8
B．4
C．2
D．0
答案：A
6．函数y＝x＋x－1 1＋5(x>1)的最小值为(
)
A．6
B．7
C．8
D．9
答案：C
7．若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则
4 x＋y
的最大值
因为2x＋5y＝20，所以2 10xy≤20，
xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有
2x＋5y＝20， 2x＝5y，
解得
x＝5， y＝2，
此时xy有最大值
10.所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
所以当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值，最大值为1.
为( )
2
4
1
4
A.5
B.9
C.2
D.7
答案：B
8．正数a，b满足
1 a
＋
9 b
＝1，若不等式a＋b≥－x2＋
4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是
() A．[3，＋∞)

新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解5---基本不等式及其应用(解析版)

新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解专题2.2 基本不等式及其应用【考纲解读与核心素养】1. 掌握基本不等式ab b a ≥+2(a ，b ＞0)及其应用. 2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.【知识清单】1．重要不等式当a 、b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时，等号成立．2．基本不等式当a >0，b >0时有ab b a ≥+2，当且仅当a=b 时，等号成立． 3．基本不等式与最值已知x 、y 都是正数．(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值．(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值．4.常用推论（1）22ab 2a b +≤（,R a b ∈）（2）2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ （3）20,0)112a b a b a b +≤≤>>+ 【典例剖析】高频考点一：利用基本不等式证明不等式例1. 已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥【答案】见解析【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号）即()()()8a b b c c a abc +++≥.【方法技巧】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【变式探究】1.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝， ∴11+=1+=2+a b b a a a+.同理，11+=2+a b b . ∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b=，即1a=b=2时取“＝”． ∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 2.求证:47(3)3a a a +≥>- 【答案】见解析【解析】证明:443333a a a a +=+-+--由基本不等式和3a >得4433333a a a a +=+-+≥--=237= 当且仅当433a a =--即5a =时取等号. 高频考点二：利用基本不等式求最值例2. （2019年高考天津卷文）设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.【答案】92 【解析】(1)(21)2212525x y xy y x xy xy xy xy xy++++++===+. 因为0,0,24x y x y >>+=，所以2422x y x y +=≥⋅，即22,02xy xy ≤<≤，当且仅当22x y ==时取等号成立.又因为192255=22xy +≥+⨯，所以(1)(21)x y xy ++的最小值为92. 例3．（浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考）若实数、满足，且，则的最小值是__________，的最大值为__________．【答案】2【解析】实数、满足，且，则，则，当且仅当，即时取等号，故的最小值是2，，当且仅当，即时取等号故的最大值为，故答案为：2，．【规律方法】利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 注意：形如(0)a y x a x=+>的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【变式探究】1.（陕西省2019年高三第三次教学质量检测）若正数,m n 满足12=+n m ，则11m n +的最小值为（） A ．223+ B ．32+ C ．222+ D ．3 【答案】A【解析】由题意，因为12=+n m ，则111122()(2)332322n m n m m n m n m n m n m n+=+⋅+=++≥+⋅=+，当且仅当2n m m n =，即2n m =时等号成立，所以11m n+的最小值为223+，故选A. 2.设当________时，取到最小值．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，故当时，取得最小值是，故答案是.【总结提升】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．高频考点三：基本不等式的实际应用例4. （2017·江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 .【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.【规律方法】1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！【变式探究】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为（）A.6B.2C.4D.22【答案】C【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以2EB x =，22AE y =．AB EB AE =+222x y +≥2222x y ⋅＝2xy ，即2xy 4xy ≤，所以绿地面积最大值为4，故选C ．高频考点四：基本不等式的综合运用例5. （2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知函数2()(1)1f x m x mx m =+-+-（m R ∈）．（1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围；（2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[11]D -⊆，，求m 的取值范围．【答案】（1）3m ≥；（2）1|11x x m ⎧⎫≤≤-⎨⎬+⎩⎭.；（3）3m ≥. 【解析】（1）①当10m +=即1m =-时，()2f x x =-，不合题意； ②当10m +≠即1m ≠-时，()()210{4110m m m m +>∆=-+-≤，即21{340m m >--≥，∴1{33m m m >-≤-≥，∴m ≥ （2）()f x m ≥即()2110m x mx +--≥即()()1110m x x ⎡⎤++-≥⎣⎦①当10m +=即1m =-时，解集为{|1}x x ≥②当10m +>即1m >-时，()1101x x m ⎛⎫+-≥ ⎪+⎝⎭∵1011m -<<+，∴解集为1{|1}1x x x m ≤-≥+或 ③当10m +<即21m -<<-时，()1101x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭ ∵21m -<<-，所以110m -<+<，所以111m ->+ ∴解集为1{|1}1x x m ≤≤-+ （3）不等式()0f x ≥的解集为D ，[]1,1D -⊆，即对任意的[]1,1x ∈-，不等式()2110m x mx m +-+-≥恒成立，即()2211m x x x -+≥-+恒成立，因为210x x -+>恒成立，所以22212111x x m x x x x -+-≥=-+-+-+恒成立，设2,x t -=则[]1,3t ∈，2x t =-，所以()()2222131332213x t t x x t t t t t t-===-+-+---++-，因为3t t+≥，当且仅当t =时取等号，所以22313x x x -≤=-+，当且仅当2x =所以当2x =22max11x x x ⎛⎫-+= ⎪-+⎝⎭所以233 m例6．设函数（Ⅰ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当取最大值时，设，且，求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】（Ⅰ）因为函数的对称轴为，且开口向上，所以在上单调递减，所以，∴.（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得，即，所以.所以.∵，则当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为.【总结提升】基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．【变式探究】1．(2019·北京海淀模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1) D．(－22－1,22－1)【答案】B【解析】由f(x)＞0得32x－(k＋1)3x＋2＞0，解得k＋1＜3x＋23x.而3x＋23x≥22(当且仅当3x＝23x，即x＝log32时，等号成立)，∴k＋1＜22，即k＜22－1.2.（天津市河北区2019届高三二模）已知首项与公比相等的等比数列中，若，n*∈N，满足，则的最小值为__________．【答案】1【解析】设等比数列公比为，则首项由得：，则：，，，,m n*∈N，.则（当且仅当，即时取等号）.故填.。

2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练：2 不等式、线性规划

专题能力训练2　不等式、线性规划　专题能力训练第12页　一、能力突破训练1.(2019全国Ⅱ,理6)若a>b ,则( )A.ln(a-b )>0 B.3a <3b C.a 3-b 3>0 D.|a|>|b|答案:C解析:取a=2,b=1,满足a>b ,但ln(a-b )=0,排除A;∵3a =9,3b =3,∴3a >3b ,排除B;∵y=x 3是增函数,a>b ,∴a 3>b 3,故C 正确;取a=1,b=-2,满足a>b ,但|a|<|b|,排除D .故选C .2.已知函数f (x )=(x-2)(ax+b )为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,则f (2-x )>0的解集为( )A.{x|x>2,或x<-2}B.{x|-2<x<2}C.{x|x<0,或x>4}D.{x|0<x<4}答案:C解析:∵f (x )=ax 2+(b-2a )x-2b 为偶函数,∴b-2a=0,即b=2a ,∴f (x )=ax 2-4a.∴f'(x )=2ax.又f (x )在区间(0,+∞)内单调递增,∴a>0.由f (2-x )>0,得a (x-2)2-4a>0,∵a>0,∴|x-2|>2,解得x>4或x<0.3.已知集合M={x|y=log 2(-4x-x 2)},N=,则M ∩N=( ){x |(12)x≥4}A.(-4,-2] B.[-2,0)C.(-4,2]D.(-∞,-4)答案:A解析:由题意,得M={x|-4x-x 2>0}=(-4,0),N==(-∞,-2],则M ∩N=(-4,-2].{x |(12)x ≥4}4.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是( ){x -y +5≥0,y ≥a ,0≤x ≤2A.(-∞,5) B.[7,+∞)C.[5,7) D.(-∞,5)∪[7,+∞)答案:C解析:满足约束条件的可行域如图所示.由图可知,若不等式组{x -y +5≥0,0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形,{x -y +5≥0,y ≥a ,0≤x ≤2则a 的取值范围是5≤a<7.5.已知函数f (x )=(ax-1)(x+b ),若不等式f (x )>0的解集是(-1,3),则不等式f (-2x )<0的解集是( )A .(-∞,-32)∪(12,+∞)B.(-32,12)C .(-∞,-12)∪(32,+∞)D.(-12,32)答案:A解析:由f (x )>0,得ax 2+(ab-1)x-b>0.∵其解集是(-1,3),∴a<0,且解得a=-1或a=(舍去),∴a=-1,b=-3.{1-aba =2,-ba =-3,13∴f (x )=-x 2+2x+3,∴f (-2x )=-4x 2-4x+3,由-4x 2-4x+3<0,得4x 2+4x-3>0,解得x>或x<-,故选A.12326.设函数f (x )=则不等式f (x )>f (1)的解集是( ){x 2-4x +6,x ≥0,x +6,x <0,A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞)C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)答案:A解析:由题意,得f (1)=3,则原不等式可化为解得-3<x<1或{x <0,x +6>3或{x ≥0,x 2-4x +6>3,x>3,所以原不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞).7.已知x ,y 满足约束条件若目标函数z=3x+y 的最小值为-5,则z 的最大值{x -2y +4≥0,x +y +a ≥0,2x +y -2≤0,为( )A.2B.3C.4D.5答案:D解析:画出x ,y 满足的可行域如图所示,z=3x+y 变形为y=-3x+z ,数形结合可得在点A 处z 取得最小值-5,在点B 处取得最大值,由得A (-2,1).{3x +y =-5,x -2y +4=0,代入x+y+a=0,得a=1.由得B (3,-4).{x +y +1=0,2x +y -2=0,当y=-3x+z 过点B (3,-4)时,目标函数z=3x+y 取得最大值,最大值为z max =3×3+(-4)=5.8.已知变量x ,y 满足约束条件若x+2y ≥-5恒成立,则实数a 的取值范围为( ){x +y ≤1,x -y ≤1,x ≥a ,A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)C.[-1,1]D.[-1,1)答案:C解析:设z=x+2y ,要使x+2y ≥-5恒成立,即z ≥-5.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,要使不等式组成立,则a ≤1,由z=x+2y ,得y=-x+,12z2平移直线y=-x+,由图象可知当直线经过点A 时,直线y=-x+的截距最小,此时z 最小,12z212z2即x+2y=-5,由解得即A (-1,-2),此时a=-1,所以要使x+2y ≥-5恒成{x +2y =-5,x -y =1,{x =-1,y =-2,立,则-1≤a ≤1,故选C.9.若变量x ,y 满足则z=2x+y 的最大值是 . {x 2+y 2≤1,x ≥0,y ≥0,答案:5解析:作出可行域如图所示,z=2x+y 可化为y=-2x+z.由图可知,当直线y=-2x+z 与圆相切于点A 时,直线在y 轴上的截距最大,即z 最大,此时=1,解得z=(负值舍去).|-z |22+12510.若x ,y 满足约束条件则z=x+3y 的最小值是 ,最大值是 .{x -y ≥0,2x +y ≤6,x +y ≥2,答案:-2　8解析:由约束条件画出可行域,如图所示的阴影部分.{x -y ≥0,2x +y ≤6,x +y ≥2由z=x+3y ,可知y=-x+13z3.由题意可知,当目标函数的图象经过点B 时,z 取得最大值,当目标函数的图象经过点C 时,z 取得最小值.由{y =x ,2x +y =6,得{x =2,y =2,此时z 最大=2+3×2=8,由{2x +y =6,x +y =2,得{x =4,y =-2,此时z 最小=4+3×(-2)=-2.11.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元. 答案:216 000解析:设生产产品A x 件,生产产品B y 件,由题意得{1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,即{3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ,y ∈N .目标函数z=2 100x+900y ,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),作直线y=-x ,当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z 取最大值,73由{5x +3y =600,10x +3y =900,解得{x =60,y =100,所以z max =2 100×60+900×100=216 000.12.已知实数x ,y 满足则z=的最小值是 .{x -y +1≥0,x +y -1≥0,x ≤3,x +y +4x +1答案:54解析:z==1+,画出不等式组表示的可行域,如图所示.由得B (3,-2).x +y +4x +1y +3x +1{x -3=0,x +y -1=0,表示可行域内的点(x ,y )与点A (-1,-3)连线的斜率,y +3x +1由图可知斜率的最小值为k AB =,-2-(-3)3-(-1)=14所以z==1+的最小值为x +y +4x +1y +3x +154.二、思维提升训练13.已知x ,y 满足约束条件若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数{x +y -2≤0,x -2y -2≤0,2x -y +2≥0,a 的值为( )A 或-1B 或2.12.12C.1或2D.-1或2答案:D解析:在平面直角坐标系内作出不等式组所表示的平面区域,如图所示的△ABC ,目标函数z=y-ax 可变形为y=ax+z ,z 的几何意义为直线y=ax+z 在y 轴上的截距.因为z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,所以直线y=ax+z 与区域三角形的某一边平行,当直线y=ax+z 与边线x+y-2=0平行时,a=-1符合题意;当直线y=ax+z 与边线x-2y-2=0平行时,a=不符合题意;当直线y=ax+z 与边线2x-y-2=0平行时,a=2符合题意,综上所述,实12数a 的值为-1或2.故选D.14.若关于x 的不等式x 2-(a+1)·x+a ≤0的解集是[-4,3]的子集,则实数a 的取值范围是( )A.[-4,1] B.[-4,3]C.[1,3] D.[-1,3]答案:B解析:由x 2-(a+1)x+a ≤0,得(x-a )(x-1)≤0.若a=1,则不等式的解集为{1},满足{1}⊆[-4,3];若a<1,则不等式的解集为[a ,1],若满足[a ,1]⊆[-4,3],则-4≤a<1;若a>1,则不等式的解集为[1,a ],若满足[1,a ]⊆[-4,3],则1<a ≤3.综上,-4≤a ≤3.15.若实数x ,y 满足约束条件则z=ln y-ln x 的最小值是 . {4x -y -1≥0,y ≥1,x +y ≤4,答案:-ln 3解析:作出可行域如图所示,联立{x +y =4,y =1,解得B (3,1).∵目标函数z=ln y-ln x=ln ,yx 的最小值为k OB =,y x 13∴z=ln y-ln x 的最小值是-ln 3.16.已知x ,y ∈(0,+∞),2x-3=,则的最小值为 .(12)y 1x+4y答案:3解析:由2x-3=,得x+y=3,故(x+y )(5+4)=3,当且仅当(12)y 1x+4y =13·(1x +4y )=13(5+4x y+yx )≥13(x ,y ∈(0,+∞))时等号成立.{x +y =3,4x y =y x ,即{x =1,y =217.若函数f (x )=lg x的值域为(0,+∞),则实数a 的最小值为 .x 2+ax +1x -1·答案:-2解析:函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1,+∞),由>0及函数f (x )的值域为(0,+∞)知lgxx -1x 2+ax+1>0对∀x ∈{x|x>0,且x ≠1}恒成立,即a>-x-在定义域内恒成立,而-x-<-2(当x ≠11x 1x 时等号不成立),因此a ≥-2.18.已知存在实数x ,y 满足约束条件则R 的最小值是 .{x ≥2,x -2y +4≥0,2x -y -4≤0,x 2+(y -1)2=R 2(R >0), 答案:2解析:根据前三个约束条件作出可行域如图中阴影部分所示.由存在实数{x ≥2,x -2y +4≥0,2x -y -4≤0x ,y 满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R 的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R 最小.由图可知R 的最小值为2.。

2020年高考数学二轮提升专题训练考点15 基本不等式及其应用(2)

考点15 基本不等式及其应用（2）【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2017苏北四市一模）已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________．【答案】. 36【解析】因为正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，所以ab －5≥29ab，当且仅当9a ＝b 时等号成立，即ab －5ab －6≥0，解得ab ≥6或ab ≤－1(舍去)，因此ab ≥36，从而(ab )min ＝36. 2、(2015镇江期末）已知正数x ，y 满足1x ＋1y ＝1，则4x x －1＋9yy －1的最小值为________．【答案】25【解析】因为1y ＝1－1x ，所以4x x －1＋9y y －1＝4x x －1＋91－1y＝4x x －1＋9x ＝4＋4x －1＋9(x －1)＋9＝13＋4x －1＋9(x －1)＝13＋4x －1＋9(x －1)．又因为1y ＝1－1x >0，所以x >1，同理y >1，所以13＋4x －1＋9(x －1)≥13＋24×9＝25，当且仅当x ＝53时取等号，所以4x x －1＋9y y －1的最小值为25.3、（2016苏州期末）已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________．【答案】. 4＋423【解析】思路分析两元问题通常化为一元问题，先尝试消去一个变量．由题意得b ＝14a ，所以0<14a <1，即a ∈(14，1)，消去b ，得11－a ＋21－b ＝11－a ＋8a 4a －1＝11－a＋24a －1＋2.解法1 若注意到4(1－a )＋(4a －1)＝3，记S ＝11－a ＋24a －1，则S ＝44－4a ＋24a －1＝13[(4－4a )＋(4a －1)](44－4a ＋24a －1)＝2＋23[4－4a 4a －1＋24a －14－4a ]≥2＋423，当且仅当4－4a4a －1＝24a －14－4a时等号成立，所以最小值为4＋423. 解法211－a ＋24a －1＝2a ＋11－a 4a －1，令2a ＋1＝x ，原式＝2x－2x 2＋9x －9＝2－2x －9x＋9≥29－22x ·9x＝2＋423. 以下同解法1.4、(2016苏北四市期末）已知正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，则b c ＋ca ＋b 的最小值为________．【答案】. 2－12【解析】因为正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，所以b c ＋1≥a c ，2b c ＋1≥a c ＋b c ，其中b c >0，ac>0，所以b c ＋c a ＋b ＝b c ＋1a c ＋b c ≥b c ＋12bc ＋1，(*)令t ＝2b c ＋1(t >1)，则b c ＝t 2－12，所以(*)可化为b c ＋12b c＋1＝t 2－12＋1t≥2t 2·1t －12＝2－12，当且仅当t 2＝1t即t ＝2时取等号，于是b c ＋c a ＋b ≥2－12，即b c ＋c a ＋b 的最小值为2－12.5、(2017无锡期末）已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，则acb＋cab－c2＋5c－2的最小值为________．【答案】. 10＋ 5【解析】思路分析根据目标式的特征，进行恰当的变形，利用基本不等式知识求解．因为a＞0，b＞0，所以ab＋1ab－12＝ab＋a＋b24ab－12＝ab＋a2＋2ab＋b24ab－12＝5a4b＋b4a≥52，当且仅当b＝5a时等号成立．又因为c＞2，由不等式的性质可得acb＋cab－c2＋5c－2＝cab＋1ab－1 2＋5c－2≥52c＋5c－2.又因为52c＋5c－2＝52(c－2)＋5c－2＋5≥10＋5，当且仅当c＝2＋2时等号成立．所以acb＋cab－c2＋5c－2的最小值为10＋ 5.解后反思多变量函数的最值问题，通常需要消元．本题的关键是首先通过固定变量c(视a，b为主元)，然后利用代换(齐次化)，配凑等技巧对代数式进行两次变形，为利用基本不等式创造了条件，并结合不等式的性质，巧妙地求得了最小值．6、(2019通州、海门、启东期末）已知实数a>b>0，且a＋b＝2，则3a－ba2＋2ab－3b2的最小值为________．【答案】3＋54【解析】思路分析1注意到问题中含有两个变量a，b，且满足a＋b＝2，因此可以考虑进行消元，将问题转化为只含有一个变量的问题来加以处理．思路分析2注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式、二次式，为此想到将它们转化为齐次式来加以处理，即将分子利用条件a＋b＝2，通过常数代换转化为二次式，进而将齐次式化为单变量的问题来加以处理．思路分析3注意到所求的代数式的分母可以因式分解为(a＋3b)(a－b)，因此，将a＋3b，a－b分别作为两个新的变量m，n，从而将问题转化为以新变量m，n的形式来加以处理．解析1(消元法)：因为a＋b＝2，所以0<b＝2－a<a，解得1<a<2，从而3a－ba2＋2ab－3b2＝3a－（2－a）a2＋2a（2－a）－3（2－a）2＝2a－1－2（a2－4a＋3），令t＝2a－1∈(1，3)，则3a－ba2＋2ab－3b2＝2t－t2＋6t－5＝26－（t＋5t）≥26－25＝3＋54，当且仅当t＝5时等号成立．解析2(化齐次式法)：因为a＋b＝2，所以3a－ba2＋2ab－3b2＝（a＋b）（3a－b）2（a2＋2ab－3b2）＝32＋2（－ab＋2b2）a2＋2ab－3b2＝32＋2（2－ab）（ab）2＋2·ab－3，令u＝2－ab，因为a＋b＝2，a>b>0，所以2－b>b>0，故0<b<1，从而u＝2－ab＝2－2－bb＝3－2b∈(－∞，1)，则3a－ba2＋2ab－3b2＝32＋2uu2－6u＋5＝32＋2u＋5u－6当u∈(0，1)时，u＋5u－6>0，此时3a－ba2＋2ab－3b2>32；当u<0时，u＋5u－6＝－⎝⎛⎭⎪⎫－u＋5－u－6≤－6－25，此时3a－ba2＋2ab－3b2≥32＋2－6－25＝3＋54，当且仅当u＝－5时等号成立．因此3a－ba2＋2ab－3b2的最小值为3＋54.解析3(换元法)：因为3a－ba2＋2ab－3b2＝3a－b（a－b）（a＋3b），令m＝a－b，n＝a＋3b，从而a＝3m＋n4，b＝n－m4，从而3a－ba2＋2ab－3b2＝3a－b（a－b）（a＋3b）＝5m＋n2mn＝12(1m＋5n)，由a＋b＝2得m ＋n ＝4(m ，n>0)，故由(m ＋n)(1m ＋5n )＝6＋n m ＋5mn ≥6＋25，当且仅当n ＝5m 时等号成立，此时3a －b a 2＋2ab －3b 2＝12(1m ＋5n )≥3＋54. 【问题探究，变式训练】题型一运用基本不等式解决含参问题知识点拨：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题，例1、(2019扬州期末）已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为_________．【答案】、(－∞，9]【解析】、m≤x＋y 恒成立，m≤(x＋y)min .解法1(消元法) 由x ＋4y －xy ＝0，得y ＝xx －4，因为x ，y 是正实数，所以y>0，x>4，则x ＋y ＝x ＋x x －4＝x ＋x －4＋4x －4＝x ＋4x －4＋1＝(x －4)＋4x －4＋5≥2（x －4）·4x －4＋5＝9，当且仅当x ＝6时，等号成立，即x ＋y 的最小值是9，故m≤9.解法2(“1”的代换) 因为x ，y 是正实数，由x ＋4y －xy ＝0，得4x ＋1y ＝1，x ＋y ＝(x ＋y)·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝4y x ＋xy ＋5≥24y x ·xy＋5＝9，当且仅当x ＝6，y ＝3时，等号成立，即x ＋y 的最小值是9，故m≤9.解法3(函数法) 令t ＝x ＋y ，则y ＝t －x ，代入x ＋4y －xy ＝0，得x 2－(3＋t)x ＋4t ＝0.Δ＝(t ＋3)2－16t ＝t 2－10t ＋q≥0，得t≤1或t≥9.又y ＝x x －4>0，且x>0，则x>4，故t>4，从而t≥9.所以m≤9.解后反思对于含有多个变量式的最值如何求？解法1用了最基本的方法一消元转化为一元变量，对于一元变量的求量值的方法就很多了，这里用了基本不等式法，解法2直接运用了不等式中的“1”的代换法的技巧，显得很方便．一般地，在条件与结论中分别含有mx ＋ny 以及ax＋by(m，n，a，b为正常数，x，y为正参数)形式的代数式时，要求相关的最值，利用两式相乘来构造基本不等式的形式求最值是一种基本手段；解法3则采用了方程的思想，通过将问题转化为方程有解，进而转化为方程有解来解决，这种解法用来求二元函数的最值问题是非常有效的．这里的解法1是虽然是通法，但往往计算相对比较复杂，而解法2有一定的技巧，但求解比较方便．解法3则比较通用，没有技巧，计算也不复杂．【变式1】、(2017镇江期末）已知不等式(m－n)2＋(m－ln n＋λ)2≥2对任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立，则实数λ的取值范围为________．【答案】、[1，＋∞)【解析】、思路分析由于条件“(m－n)2＋(m－ln n＋λ)2≥2”中平方和的特征，可联想到两点(m，m＋λ)，(n，ln n)的距离公式，而点(m，m＋λ)，(n，ln n)分别是直线y＝x＋λ和曲线f(x)＝ln x上动点，故可转化为直线y＝x＋λ和曲线f(x)＝ln x上点之间的距离大于等于 2.条件“不等式(m－n)2＋(m－ln n＋λ)2≥2对任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立”可看作“直线y＝x＋λ以及曲线f(x)＝ln x上点之间的距离恒大于等于2”．如图，当与直线y＝x＋λ平行的直线与曲线f(x)＝ln x相切时，两平行线间的距离最短，f′(x)＝1x＝1，故切点A(1,0)，此切点到直线y＝x＋λ的距离为|1＋λ|2≥2，解得λ≥1或λ≤－3(舍去，此时直线与曲线相交)．【变式2】、(2016徐州、连云港、宿迁三检）已知对满足x＋y＋4＝2xy的任意正实数x，y，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围是________．【答案】、⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174【解析】、思路分析不等式x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0的构造比较特殊，可以化为关于x ＋y 的不等式，再根据不等式及x ＋y ＋4＝2xy 求出x ＋y 的范围即可．对于正实数x ，y ，由x ＋y ＋4＝2xy 得x ＋y ＋4＝2xy ≤x ＋y 22，解得x ＋y ≥4，不等式x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0可化为(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令t ＝x ＋y (t ≥4)，则该不等式可化为t 2－at ＋1≥0，即a ≤t ＋1t对于任意的t ≥4恒成立，令u (t )＝t ＋1t (t ≥4)，则u ′(t )＝1－1t 2＝t 2－1t2>0对于任意的t ≥4恒成立，从而函数u (t )＝t ＋1t (t ≥4)为单调递增函数，所以u (t )min ＝u (4)＝4＋14＝174，于是a ≤174.易错警示在求函数u (t )＝t ＋1t(t ≥4)的最小值时，有的考生直接用基本不等式求出u (t )min ＝2，没有注意到t ≥4的限制，从而得到错误的答案a ≤2.【关联1】、在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1,0)，B (0,1)，C (a ，b )，D (c ，d )，若不等式CD →2≥(m －2)OC →·OD →＋m (OC →·OB →)·(OD →·OA →)对任意实数a ，b ，c ，d 都成立，则实数m 的最大值是________．【答案】、 5－1【解析】、思路分析本题首先将所给不等式中的向量用坐标代入，然后再将其转化为关于a ，b ，c ，d 四元的不等式问题，再利用基本不等式处理最值问题．CD →2≥(m －2)OC →·OD →＋m (OC →·OB →)·(OD →·OA →)对任意实数a ，b ，c ，d 都成立等价于a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥m (ac ＋bd ＋bc )对任意a ，b ，c ，d 都成立，由于求m 的最大值，所以可只考虑m >0的情形，当ac ＋bd ＋bc ≤0时，a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥m (ac ＋bd ＋bc )恒成立，当ac ＋bd ＋bc >0时，则需m ≤a 2＋b 2＋c 2＋d 2ac ＋bd ＋bc恒成立，下面用待定系数法求a 2＋b 2＋c 2＋d 2ac ＋bd ＋bc 的最小值，a 2＋b 2＋c 2＋d 2ac ＋bd ＋bc ＝a 2＋xc 2＋yb 2＋d 2＋1－y b 2＋1－xc 2ac ＋bd ＋bc ≥2xac ＋2ybd ＋21－x 1－ybcac ＋bd ＋bc，令x ＝y ＝1－x 1－y，其中x ，y ∈(0,1)，解得x ＝3－52，x ＝5－12，所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2ac ＋bd ＋bc ≥5－1，所以m ≤⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2＋c 2＋d 2ac ＋bd ＋bc min＝5－1，故m 的最大值为5－1.题型二不等式的综合运用知识点拨：多变量式子的最值的求解的基本处理策略是“减元”或应用基本不等式，其中“减元策略”的常见方法有：①通过消元以达到减少变量的个数，从而利用函数法或方程有解的条件来研究问题；②通过“合并变元”以代换的方式来达到“减元”，一般地，关于多变元的“齐次式”多用此法．而应用基本不等式求最值时，要紧紧抓住“和”与“积”的关系来进行处理，为了凸现“和”与“积”的关系，可以通过换元的方法来简化问题的表现形式，从而达到更易处理的目的，例2、(2018镇江期末）已知a ，b∈R ，a ＋b ＝4，则1a 2＋1＋1b 2＋1的最大值为________．【答案】、2＋54【解析】、思路分析1 将1a 2＋1＋1b 2＋1通分，变形为关于(a ＋b)和ab 的式子，将ab 作为一个变元，用导数作为工具求最大值，或用不等式放缩求最大值，但要先求出ab 的取值范围．思路分析2 注意到所研究的问题的条件与所求均为对称形式，若直接进行消元去处理会打乱它的对称性，为此，应用均值换元来进行处理．解法1(ab 作为一个变元) ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4， 1a 2＋1＋1b 2＋1＝a 2＋b 2＋2（a 2＋1）（b 2＋1）＝（a ＋b ）2－2ab ＋2（a ＋b ）2－2ab ＋a 2b 2＋1＝2（9－ab ）17－2ab ＋a 2b 2.设t ＝9－ab≥5，则2（9－ab ）17－2ab ＋a 2b 2＝2t t 2＋80－16t ≤2t 85t －16t ＝5＋24，当且仅当t 2＝80时等号成立，所以，1a 2＋1＋1b 2＋1的最大值为5＋24. 解法2(均值换元) 因为a ＋b ＝4，所以，令a ＝2＋t ，b ＝2－t ，则f(t)＝1a 2＋1＋1b 2＋1＝1t 2＋4t ＋5＋1t 2－4t ＋5＝2（t 2＋5）（t 2＋5）2－16t 2，令u ＝t 2＋5≥5，则g(u)＝2u u 2－16u ＋80＝2u ＋80u－16≤285－16＝2＋54，当且仅当u ＝45时等号成立．所以1a 2＋1＋1b 2＋1的最大值为5＋24.解后反思 “减元”是解决不等式求最值问题的重要途径，常用的减元方法有代入消元、换元消元、二合一消元、放缩消元，本题通过变形先将条件代入，所求式子就变成了ab 的函数2（9－ab ）17－2ab ＋a 2b 2，而这样的分式常将低次的看成一个整体进行换元，从而达到化简的目的．当然，本题也可以直接进行消元，然后利用导数的方法来求它的最大值，只不过，此法比较繁琐．而应用均值换元的方法保持了它的对称性，从而运算比较简单，比较容易操作．【变式1】、(2018扬州期末）已知正实数x ，y 满足5x 2＋4xy －y 2＝1，则12x 2＋8xy －y 2的最小值为________．【答案】73【解析】、思路分析1 注意到所给出的条件比较复杂，且左边能进行分解因式，因此，通过双变量换元，将它转化为以新的变量为元的问题来加以处理．思路分析2 注意到条件与所研究的结论是关于x ，y 的二次齐次式，因此，利用“常数1的代换”，将所研究的问题转化为“单变量”的问题来加以解决．思路分析3 注意到条件与所研究的结论是关于x ，y 的二次齐次式，因此，利用“基本不等式”进行放缩，将所研究的问题转化为条件等式的“倍式”来加以解决．思路分析4 令t ＝12x 2＋8xy －y 2，这样，它就与已知条件构成了两个方程，它们所构成的方程组有解，通过消元后，得到关于一个元的方程，利用方程有解来进行处理．解法1(双变量换元) 因为x>0，y>0，且满足5x 2＋4xy －y 2＝1，由此可得(5x －y)(x ＋y)＝1，令u ＝5x －y ，v ＝x ＋y ，则有u>0，v>0，uv ＝1，并且x ＝u ＋v 6，y ＝5v －u6，代入12x 2＋8xy －y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋v 62＋8·u ＋v 6·5v －u 6－⎝ ⎛⎭⎪⎫5v －u 62＝u 2＋9v 2＋22uv 12≥2u 2·9v 2＋22uv 12＝28uv 12＝28×112＝73，当且仅当u ＝3v ，uv ＝1，即u ＝3，v ＝33，亦即x ＝239，y ＝39时，12x 2＋8xy －y 2取得最小值73.解法2(常数1的代换) 因为x>0，y>0，且满足5x 2＋4xy －y 2＝1，由此可得(5x －y)(x ＋y)＝1，因为x>0，y>0，x ＋y>0，所以5x －y>0，即有0<y x <5，令t ＝yx ，则0<t<5，所以12x 2＋8xy －y 2＝12x 2＋8xy －y 21＝12x 2＋8xy －y 25x 2＋4xy －y 2＝1＋7x 2＋4xy 5x 2＋4xy －y 2＝1＋7＋4·yx 5＋4·y x －⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝1＋4t ＋7－t 2＋4t ＋5. 再令f(t)＝1＋4t ＋7－t 2＋4t ＋5(0<t<5)．令f′(t)＝4（－t 2＋4t ＋5）－（4t ＋7）（－2t ＋4）（－t 2＋4t ＋5）2＝2（2t －1）（t ＋4）（－t 2＋4t ＋5）2＝0，因为0<t<5，所以t ＝12.当t∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12时，f′(t)<0，f(t)单调递减；当t∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5时，f′(t)>0，f(t)单调递增，所以当t ＝12时，f(t)取极小值，也是最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝73.此时x ＝2y ，结合5x 2＋4xy －y 2＝1，解得x ＝239，y ＝39，即当x ＝239，y ＝39时，12x 2＋8xy －y 2取得最小值73.解法3(基本不等式) 因为x>0，y>0，设u>0，v>0，则ux 2＋vy 2≥2uvxy.12x 2＋8xy －y 2≥12x 2＋8xy －y 2＋(2uvxy －ux 2－vy 2)，即12x 2＋8xy －y 2≥(12－u)x 2＋(8＋2uv)xy －(v ＋1)y 2.令(12－u)x 2＋(8＋2uv)xy －(v ＋1)y 2＝t(5x 2＋4xy －y 2)＝t ，则12－u ＝5t ，8＋2uv ＝4t ，v ＋1＝t ，解得t ＝73，u ＝13，v ＝43，所以12x 2＋8xy －y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353x 2＋8xy －73y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋43y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫353x 2＋8xy －73y 2＋213x 2·43y 2＝353x 2＋283xy －73y 2＝73(5x 2＋4xy －y 2)＝73，当且仅当x ＝2y ，结合5x 2＋4xy －y 2＝1，解得x ＝239，y ＝39，即当x ＝239，y ＝39时，12x 2＋8xy －y 2取得最小值73. 解法4(利用方程组有解) 令t ＝12x 2＋8xy －y 2＝7x 2＋4xy ＋1，则y ＝t －1－7x24x，代入5x 2＋4xy －y 2＝1并化简得81x 4－(30t －46)x 2＋(t －1)2＝0，从而以u ＝x 2(u>0)为元的二次方程 81u 2－(30t －46)u ＋(t －1)2＝0有正数解，故⎩⎨⎧Δ＝4（15t －23）2－4×81（t －1）2≥0，30t －46>0，解得t≥73，当t ＝73时，x ＝239，y ＝39 ，故等号成立，从而12x 2＋8xy －y 2取得最小值73.【变式2】、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知对任意的x ∈R,3a (sin x ＋cos x )＋2b sin2x ≤3(a ，b ∈R )恒成立，则当a ＋b 取得最小值时，a 的值是________．【答案】－45【解析】、由a ＋b 取最小值，故令3(sin x ＋cos x )＝2sin2x ＝λ＜0，则a ＋b ≥3λ，即a ＋b 的最小值是3λ.设sin x ＋cos x ＝t ，其中t ∈[－2，2]，则sin2x ＝t 2－1.由λ＝3t ＝2(t 2－1)，解得t ＝－12，则λ＝－32，此时－32(a ＋b )≤3，所以a ＋b ≥－2.当a ＋b 取最小值－2时，3at ＋2(－a －2)(t 2－1)≤3对t ∈[－2，2]恒成立，即2(a ＋2)t 2－3at －2a －1≥0对t ∈[－2，2]恒成立．记f (t )＝2(a ＋2)t 2－3at －2a －1，t ∈[－2，2]．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0是f (t )的最小值，所以只能把f (t )看成以t 为自变量的一元二次函数，所以⎩⎨⎧2a ＋2＞0，3a 4a ＋2＝－12，解得a ＝－45.【变式3】、(2017南京三模）已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8bc的取值范围为 ▲ ．【答案】．[27，30]【解析】、本题所给条件为关于,,a b c 的三元不等式，所以首先利用整体思想将其转化为,a b c c的二元问题，再根据条件和结论的特征，利用线性规划的思想解决取值范围.由题意可得：28232a bc c c c a b ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，设,a b x y c c ==，则28232,0x y x yx y ⎧+≤⎪⎪+≤⎨⎪⎪>⎩，所求可转化为：38t x y =+.又28232x y x y +≤⎧⎪⎨+≤⎪⎩可化为28333222221,0x y x y x x x y +≤⎧⎪⎪≥=+⎨--⎪>>⎪⎩，可行域如下图所示，当直线38t x y =+与曲线322xy x =-相切时有最小值，当直线38t x y =+经过点A 时有最大值.令28322x y x y x +=⎧⎪⎨=⎪-⎩，解得()2,3A ，即max 30t =.又322x y x =-，所以()263'822y x -==--，解得3x =，94y =,即切点坐标为93,4⎛⎫⎪⎝⎭, 所以min 27t =，即t 的取值范围为[27，30].【变式4】、(2017苏锡常镇调研（一））若正数x ，y 满足15x －y ＝22，则x 3＋y 3－x 2－y 2的最小值为________．【答案】、1【解析】、思路分析本题最主要的解法是代入消元，然后用导数解决，但计算比较复杂，其余解法是猜特殊值．解法1 由已知y ＝15x －22，所以x 3＋y 3－(x 2＋y 2)＝x 3＋(15x －22)3－[x 2＋(15x －22)2]＝3 376x 3－15 076x 2＋22 440x －11 132.令f (x )＝3 376x 3－15 076x 2＋22 440x －11 132，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2215，＋∞，则f ′(x )＝8(633x －935)(2x －3)，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2215，935633上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫935633，32上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增．所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1.解法2 由f (x )＝x 3－x 2，得f ′(x )＝3x 2－2x .令g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)，故g (x )＝(x －x 0)2(x ＋2x 0－1)．当x 0≥12时，g (x )≥0，令x 0＝32，则x 3－x 2≥154x －92；令x 0＝12，则x 3－x 2≥－14x ，即y 3－y 2≥－14y ，所以x 3＋y 3－x 2－y 2≥14(15x －y )－92＝1.解法3 因为y 3－y 2＋14y ＝14y (4y 2－4y ＋1)＝14y (2y －1)2≥0.当y ＝12时，x ＝32.所以y 3－y 2≥－14y ①.令u ＝x 3－x 2，则u ′＝3x 2－2x .当x ＝32时，u ′＝154，u ＝x 3－x 2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，98.切线为y ＝154⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＋98，即y ＝154x －92，即证x 3－x 2≥154x －92②.令h (x )＝x 3－x 2－154x ＋92，h ′(x )＝3x 2－2x －154＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32.令h ′(x )＝0得x ＝32.当x ＝32时，h (x )min ＝0，所以x 3－x 2≥154x －92(x ＞0)恒成立，①＋②得x 3＋y 3－x 2－y 2≥15x －y 4－92＝224－92＝11－92＝1. 解法4 由题意y ＝15x －22＞0，则x ＞2215，y ＞0，又x 3＋y 3－x 2－y 2＝(x 3－x 2)＋(y 3－y 2)，其中y 3－y 2≥－14y ，当且仅当y ＝12时取等号．那么，当x ＝32时，f (x )＝x 3－x 2在x ＝32处的导数为k ＝3x 2－2xx ＝32＝154.x 3－x 2≥154x －92等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322(x ＋2)≥0，此式成立．因此有(x 3－x 2)＋(y 3－y 2)≥－y 4＋154x －92＝1，当且仅当x ＝32，y ＝12时取等号．解法 5 x 3＋y 3－x 2－y 2＝x 3＋94x ＋y 3＋14y －x 2－y 2－94x －14y ≥3x 2＋y 2－x 2－y 2－94x －14y ＝2x 2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－94x －14y －92≥6x －94x －14y －92＝154x －14y －184＝15x －y －184＝1，当且仅当x ＝32，y ＝12时等号成立．解后反思本题考查代数推理与等价转化的数学思想方法，能力要求高，运算较繁．如何找到解决问题的突破口是关键．我们可以这样思考，从条件正数x ，y 满足15x －y ＝22出发，可以发现x ＞1，将x 3＋y 3－x 2－y 2写成x 2(x －1)＋y 2(y －1)，如果y ＞1，那么x 3＋y 3－x 2－y 2不可能有最小值，因此估计0＜y ＜1，从二分法的角度思考，猜想y ＝12，代入条件可得x ＝32，此时可以猜得其最小值为1，下面再用基本不等式的方法加以证明．【变式5】、(2016泰州期末）若正实数x ，y 满足(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)，则x ＋12y的最大值为________．【答案】322－1【解析】、思路分析处理双元最值问题，常用消元法或整体法，也可以构建方程转化为方程有解去处理．如本题，思考方向一，可以设x ＋12y＝z ，代入之后转化为关于y 的方程(4z 2－5)y 2－8(z －1)y ＋8＝0在(2，＋∞)上应有解，由Δ≥0解出z 的范围，并验证最大值成立；思考方向二，消去x 再用均值不等式去处理；思考方向三，观察得到⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋22＝9，直接通过均值不等式整体去处理；思考方向四，通过等比中项，引用一个新的参数q ，把x ＋12y用q 来表示再整理求最值．解法1 令x ＋12y ＝z ，则2xy ＝2yz －1，代入(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)整理得(4z 2－5)y 2－8(z －1)y ＋8＝0 (*)，由题意得y －2≥0，该方程在[2，＋∞)应有解，故Δ≥0，即64(z－1)2－32(4z 2－5)≥0，化简得2z 2＋4z －7≤0, 故0<z ≤－1＋322.检验：当z ＝322－1时，方程(*)可化为(17 －122)y 2－(122－16)y ＋8＝0，此时y 1＋y 2＝122－1617－122>0，y 1·y 2＝817－122>4，故方程必有大于2的实根，所以x ＋12y 的最大值为322－1. 解法2 (2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2y ，则x ＝⎝⎛⎭⎪⎫5＋2y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2y ＋1y 2，所以x ＋12y ＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2y ＋1y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋12＋94＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋1－1 ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y＋12＋94＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋12－1＝322－1，当且仅当－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋12＋94＝1y ＋1，即y ＝432－4>2时等号成立，所以x ＋12y 的最大值为322－1. 解法3 由(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)得⎝⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＝9－⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋22，即⎝⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋22＝9，所以9＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋22≥122x －1y ＋2y ＋22，所以x ＋12y ≤322－1.解法4 (2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)即⎝⎛⎭⎪⎫x －12y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1y ，所以12－1y ，x －12y ，52＋1y 成等比数列，设公比为q(q>1)，将x ，1y用q表示，则x＋12y ＝3q－1q2＋1＋12＝3q －1＋2q －1＋2＋12≤322－1，当且仅当q－1＝2q－1，即q＝2＋1时等号成立．解后反思处理此类双元最值问题，要有方程、减元和整体意识，要多观察题中给出式子的结构特点及条件与所求的联系，要带着方向和目标去解题，并能熟练掌握和运用不等式链：ab≤a＋b2≤a2＋b22(a，b>0)和ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R).【变式6】、(2016南京三模）若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则x－2y5x2－2xy＋2y2的最大值为________．【答案】2 4【解析】、思路分析在2x2＋xy－y2＝1中，独立变量有两个，因为用x表示y或用y表示x均不方便，可引入第三个变量来表示x，y.由2x2＋xy－y2＝1，得(2x－y)(x＋y)＝1，设2x－y＝t，x＋y＝1t，其中t≠0.则x＝13t＋13t，y＝23t－13t，从而x－2y＝t－1t，5x2－2xy＋2y2＝t2＋1t2，记u＝t－1t，则x－2y5x2－2xy＋2y2＝u u2＋2＝1u＋2u≤12u·2u＝24，当且仅当u＝2u，即u＝2时取等号，即最大值为24.思想根源实质上，已知条件为(2x－y)(x＋y)＝1，而x－2y5x2－2xy＋2y2＝2x－y－x＋y2x－y2＋x＋y2.相当于：已知ab＝1，求a－ba2＋b2的最大值．【变式7】、（2016南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调）设实数x，y满足x24－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是________．【答案】6＋4 2【解析】、思路分析1 注意到所求的代数式为二次齐次式，所以应用“1的代换”将它进行转化．思路分析2 令t ＝3x 2－2xy ，由此来消去y ，转化为关于x 的方程，利用方程有解来加以解决．思路分析3 注意到x 24－y 2＝1是一个可分解的二次式，因此，将它分解为两个一次因式，令其中一个为t ，将x ，y 转化为t 的代数式来加以处理．解法1 因为x 24－y 2＝1，所以3x 2－2xy ＝3x 2－2xyx 24－y 2＝3－2yx 14－⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2，令k ＝y x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则3x 2－2xy ＝3－2k 14－k 2＝43－2k1－4k 2，再令t ＝3－2k ∈(2,4)，则k ＝3－t 2，故3x 2－2xy ＝4t－t 2＋6t －8＝4－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋8t ＋6≥46－28＝6＋42，当且仅当t ＝22时等号成立．解法2 令t ＝3x 2－2xy ，则y ＝3x 2－t 2x ，代入方程x 24－y 2＝1并化简得8x 4＋(4－6t )x 2＋t 2＝0，令u ＝x 2≥4，则8u 2＋(4－6t )u ＋t 2＝0在[4，＋∞)上有解，从而由⎩⎨⎧Δ＝4－6t2－32t 2≥0，6t －416>0，得t 2－12t ＋4≥0，解得t ≥6＋42，当取得最小值时，u＝2＋322满足题意．解法 3 因为x 24－y 2＝1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y ，所以令x 2＋y ＝t ，则x 2－y ＝1t ，从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ，则3x 2－2xy ＝6＋2t 2＋4t2≥6＋42，当且仅当t 2＝2时等号成立．解后反思本题的思维入口宽，可从多个角度来加以思考，从而考查了学生的思维的灵活性以及选择性．解题过程中，要善于从不同的角度来认识问题，这样就可以更快地找到解题的途径．【变式8】、已知正实数x ，y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围为 ▲ ．【答案】[1，83]【解析】法一：令t =xy ，则x =t y ，于是24310t y y y t y+++=．所以， 10=21(3)(4)y t ty+++≥，解得1≤t ≤83．当21(3)(4)y t t y +=+时，得y =423t t++．当t =1时，y =1，x =1；当t =83时，y =43， x =2．所以，1≤t ≤83为所求．法二：令t =xy ，则y =t x，于是23410+++=t x x xx t．可得(1+4t )x 2－10x +2+3t =0，由△＝100－4(1+4t)(2+3t )≥0，得1≤t ≤83．。

2020年高考数学人教版专题复习基本不等式及其应用难点点拨

∴ A(0,0)，B(1,3) 当点P与点A（或B）重合时，| PA | | PB | 0 ；当点P与点A 、B都不重合时，
∵ P为直线 x my 0 与 mx y m 3 0 的交点，
且易知此两直线垂直，APB为直角三角形，
所以 | PA | | PB | | PA |2 | PB |2 5 ， 2
设 x，y 为实数，若4x2 y2 xy 1，则2x+y的最大值是 .
解：依题意有
1 4x2 y2 xy (2x y)2 3xy (2x y)2 3 2x y 2
(2x y)2 3 (2x y)2 22
可得 5 (2x y)2 1 , 即| 2x y | 2 10 ，
85ຫໍສະໝຸດ 当且仅当 2x y 10 5
时，2x+y
取得最大值 2
10．
5
设 a+b=2， b>0 ，则当 a=
时, 1 | a | 取得最小值. 2|a| b
设 a+b=2， b>0 ，则当 a=
解：Q a b 2
时, 1 | a | 取得最小值. 2|a| b
1 |a| ab|a| a b |a| 2|a| b 4|a| b 4|a| 4|a| b
8x y
10
2
16 18
当且仅当y=2x时取等号．
所以x+y的最小值为18．
高分必备
对于
a>0，b
>0，有
1
2
1
ab
（当且仅当a=b时取等号）
ab a b 2
a2 b2 2
应用基本不等式求最值，注意理解： “一正、二定、三相等”
设 x，y 为实数，若4x2 y2 xy 1，则2x+y的最大值是 .

高三数学二轮复习 1513一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用课件理人教版

4．解分式不等式首先要把不等式的一端通过移项等
变换化成一端为 0 的情况，再转换为整式不等式来解．需
要
注
意
含
有
等
号
的
分
式
不
等
式
的
变
换
：
fx gx
≥0
⇔
f(x)·g(x)>0 或 f(x)＝0；gfxx≤0⇔f(x)·g(x)<0 或 f(x)＝0.
5．简单的一元高次不等式采用标根法(或叫标区间法、穿根法)求解，其一般步骤为：
[点评] 解含字母参数的不等式时要分类讨论求解．当二次项系数中含有字母时要分二次项系数大于 0、等于 0、小于 0 进行讨论．二次项系数的正、负对不等号的方向和不等式的解集均有影响．其次，对相应方程根的大小进行讨论．最后结合相应的二次函数的图象求得不等式的解集．
【探究 1】解关于 x 的不等式 x2－2mx＋m＋1>0. 分析：这个不等式左端的二次三项式的二次项系数为正，其对应方程的判别式为 Δ＝4(m2－m－1)，这个判别式的符号不确定，我们就要根据这个判别式与 0 的大小关系确定不等式的解．
• (2)建立不等式求参数的取值范围．常见的问题有：①在集合问题中的应用；②在方程(组)的解的讨论中的应用；③在函数、导数和数列问题中的应用；④在平面向量、解析几何和立体几何中的应用；⑤在概率与统计中的应用等等．解决这类问题的基本方法是根据条件列出相关的不等式(组)进行求解．或利用函数单调性、均值不等式求其值域．
(3)当 a>0 时，原不等式化为(x－1)x－1a<0，对应方程(x－1)x－1a＝0 的两根为 1 和1a. ①当 0<a<1 时，1a>1，∴1<x<1a； ②当 a＝1 时，原不等式可化为(x－1)2<0，无解； ③当 a>1 时，1a<1，∴1a<x<1.

2020版高考数学新增分大一轮复习第二章不等式2.4基本不等式及其应用讲义含解析

§2.4 基本不等式及其应用1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二教材改编2．[P100A 组T1]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max＝81.3．[P100A 组T2]若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 答案 25解析设矩形的一边为x m ，面积为y m 2则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m,0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2. 因为x ，1x同号，所以若x ＋1x≥2，则x >0，1x>0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件，故选C.5．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，等号成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.6．(2018·温州市适应性考试)已知2a＋4b＝2(a ，b ∈R )，则a ＋2b 的最大值为________．答案 0解析因为2＝2a＋4b≥22a ＋2b，当且仅当a ＝b ＝0时等号成立，所以a ＋2b ≤0，即a ＋2b的最大值为0.题型一利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)(2019·台州质检)当x >0时，x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，则实数a 的值为________．答案 4解析因为当x >0，a >0时，x ＋a x ＋1＝x ＋1＋a x ＋1－1≥2a －1，当且仅当x ＋1＝ax ＋1时，等号成立，又x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，所以2a －1＝3，解得a ＝4.命题点2 常数代换法例2(2018·浙江部分重点中学调研)已知a >0，b >0，且满足a ＋2b ＝2.若不等式abt ＋(t －2)a －b ≤1恒成立，则实数t 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94解析因为对于任意的a >0，b >0，a ＋2b ＝2，不等式abt ＋(t －2)a －b ≤1恒成立，即1a ＋2b ＋1≥t 恒成立．因为1a ＋2b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋b ＋12＝54＋b ＋12a ＋a 2(b ＋1)≥54＋1＝94，当且仅当b ＋12a ＝a 2(b ＋1)，即a ＝b ＋1＝43，b ＝13时，取到最小值，所以t ≤94. 命题点3 消元法例3已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b ( )A ．有最大值145B ．有最小值145C ．有最小值3D ．有最大值3答案 B解析 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4， ∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4. 又∵a ，b >0，∴aa ＋b ≤aa 2＋a ＋4，∴－aa ＋b≥－aa 2＋a ＋4，∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12a ·4a＋1＝145，当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法．跟踪训练1(1)(2018·杭州高级中学高考仿真测试)若正数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则2x ＋y 的最小值是( ) A.22B.2C.32D. 3 答案 D解析由x 2＋2xy －1＝0，得y ＝12x －x 2，所以2x ＋y ＝2x ＋12x －x 2＝32x ＋12x ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≥3x ·1x ＝3，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立，此时y ＝33，符合题意，所以2x ＋y 的最小值为3，故选D.(2)(2018·浙江绍兴一中模拟)已知x ，y >0，且x ＋y ＋1x ＋12y ＝194，则3x －716y 的最小值是________．答案－14解析因为x ＋y ＋1x ＋12y ＝194，所以3x －716y ＝3x －716y ＋x ＋y ＋1x ＋12y －194＝x ＋4x ＋y ＋116y －194≥92－194＝－14，当且仅当x ＝4x ，y ＝116y ，即x ＝2，y ＝14时，取等号．题型二基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →(m >0，n >0)，则m ＋2n 的最小值为( ) A ．3B ．4C.83D.103答案 A解析 ∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23()AC →－AB → ＝13AB →＋23AC →＝13m AM →＋23n AN →， ∵M ，P ，N 三点共线，∴13m ＋23n＝1，∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＋23n ＝13＋43＋2n 3m ＋2m 3n ≥53＋22n 3m ×2m 3n＝53＋43＝3，当且仅当m ＝n ＝1时等号成立．命题点2 求参数值或取值范围例5(2018·杭州七校联考)设x ，y 是正实数，若不等式x 4x ＋y ＋y x ＋4y ≤a ≤x x ＋4y ＋y4x ＋y 恒成立，则实数a 的值是________．答案 25解析令t ＝y x>0，则x 4x ＋y ＋y x ＋4y ＝14＋y x ＋yx1＋4y x＝14＋t ＋t 1＋4t ＝14＋t －14＋16t ＋14＝4＋16t －4－t (4＋t )(4＋16t )＋14＝15t 16＋68t ＋16t 2＋14＝1516t ＋16t＋68＋14≤15100＋14＝25，当且仅当t ＝1，即x ＝y 时，取等号，所以a ≥25.又x x ＋4y ＋y 4x ＋y ＝11＋4y x ＋yx4＋y x＝11＋4t ＋t 4＋t ＝11＋4t －44＋t＋1＝4＋t －4－16t (1＋4t )(4＋t )＋1＝1－15t4＋17t ＋4t2＝1－154t ＋4t＋17≥1－1525＝25，当且仅当t ＝1，即x ＝y 时，取等号，所以a ≤25.综上，a ＝25.跟踪训练2(2018·金华名校统练)已知正实数x ，y 满足x －y >0，x ＋y －2≤0，若m ≤2x ＋3y＋1x －y恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3＋224解析2x ＋3y ＋1x －y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ×44≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y 4＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ·x ＋3y －y ＋x 4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋2(x －y )x ＋3y ＋x ＋3y x －y ≥14⎝⎛⎭⎪⎫3＋2 2(x －y )x ＋3y ·x ＋3y x －y ＝3＋224，当且仅当x ＋y ＝2，2(x －y )x ＋3y ＝x ＋3yx －y 时取等号，此时x ＝22－1，y ＝3－22，符合题意，所以2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为3＋224，即m ≤3＋224.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．例某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2， ∴x ＝3－2m ＋1，每万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)，∴2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．素养提升利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立，故选B.2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1 D ．x ＝y 或y ＝1答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件．故选C. 3．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b的最小值为( )A.53B ．3C ．5D ．9 答案 D解析由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝4＋1＋4b a＋ab≥5＋24b a ·ab＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1b的最小值为9，故选D.4.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.5．(2018·杭州模拟)若实数x ，y ，z 满足2x＋2y＝2x ＋y,2x＋2y ＋2z ＝2x ＋y ＋z，则z 的最大值为( ) A ．2－log 23 B ．2＋log 23 C.43 D ．log 23答案 A 解析因为2x ＋y＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以2x ＋y≥4.又2x＋2y＋2z＝2x ＋y ＋z，所以2x ＋y＋2z ＝2x ＋y·2z，所以2z＝2x ＋y2x ＋y －1＝1＋12x ＋y －1，由2x ＋y ≥4得2z的最大值为43，从而z 的最大值为2－log 23.6．(2018·嘉兴市教学测试)已知x ＋y ＝1x ＋4y＋8(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．53B ．9C ．4＋26D ．10 答案 B解析由题意可知(x ＋y )2＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋8＝5＋8(x ＋y )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ，由基本不等式可知y x＋4x y≥2y x ·4x y＝4(当且仅当y ＝2x 时取等号)，令t ＝x ＋y (t >0)，则t 2≥5＋8t ＋4，即t 2－8t －9＝(t －9)·(t ＋1)≥0，得t ≥9，从而当x ＝3，y ＝6时，x ＋y 取得最小值，最小值为9，故选B.7.(2019·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y的最小值为( )A.32B ．2C.52D.92 答案 D解析设AD →＝mAB →＋nAC →，AE →＝λAB →＋μAC →， ∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1， ∵AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →＝()m ＋λAB →＋()n ＋μAC →，则x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2，∴1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ()x ＋y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝92，当且仅当x ＝23，y ＝43时，等号成立．故1x ＋4y 的最小值为92，故选D. 8．(2018·湖州五校模拟)已知x 2－3xy ＋2y 2＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.10－6 B.10＋6 C ．210＋6 D ．210－6答案 D解析方法一 ∵x 2－3xy ＋2y 2＝(x －y )(x －2y )＝1，∴可设x －y ＝t ，x －2y ＝1t(t ≠0)，∴x＝2t －1t ，y ＝t －1t，代入所求式子得x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝5t 2＋2t2－6≥210－6，当且仅当5t 2＝2t2时等号成立，∴x 2＋y 2的最小值为210－6.方法二设x 2＋y 2＝t 2，x ＝t cos θ，y ＝t sin θ，代入已知等式得，t 2cos 2θ－3t 2sin θcos θ＋2t 2sin 2θ＝1，∴1t 2＝cos 2θ－3sin θcos θ＋2sin 2θ＝1－32sin2θ＋1－cos2θ2＝32－12(3sin2θ＋cos2θ)＝32－12×10·sin(2θ＋φ)≤3＋102，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010. ∴t 2≥23＋10＝210－6，∴x 2＋y 2的最小值为210－6.9．(2018·绍兴市适应性考试)已知正数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则当x ＝________时，1x－y 取得最小值为________．答案2222－2 解析因为x ，y 为正数，则2x ＋y ＝2⇒y ＝2－2x >0⇒0<x <1，所以1x －(2－2x )＝1x＋2x －2≥22－2，当且仅当1x ＝2x ，即x ＝22时等号成立．10．已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1b的最小值为________．答案 2 2解析由题意得(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ，代入已知得(a ＋b )2＝4(ab )3＋4ab ，两边同除以(ab )2得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ab 2＝4(ab )3a 2b 2＋4ab a 2b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ≥4·2ab ·1ab＝8，当且仅当ab ＝1时取等号．所以1a ＋1b≥22，即1a ＋1b的最小值为2 2.11．(2019·嘉兴市基础测试)若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．答案 18解析 ∵2m ＋n ≥22mn ，∴mn ＝2m ＋n ＋6≥22mn ＋6，即mn ≥22mn ＋6，令t ＝2mn >0，则12t 2≥2t ＋6，解得t ≤－2或t ≥6，又t >0，∴t ≥6，即2mn ≥6，∴mn ≥18，当且仅当2m ＝n ＝6时，等号成立，故mn 的最小值为18.12．(2018·绍兴市上虞区质检)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，x 2＋4y 2＋9z 2＝1，则z 的最小值是________．答案－19解析因为1－9z 2＝(x ＋2y )2－2·x ·2y ≥(x ＋2y )2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，又x ＋2y ＝1－3z ，则1－9z 2≥12(1－3z )2，解得－19≤z ≤13，即z 的最小值为－19.13．(2018·浙江知名重点中学考前热身联考)已知实数x ，y 满足x ＋2y ＋3＝xy ，且对任意的实数x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，21510B ．(－∞，25]C ．[25，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫21510，＋∞ 答案 A解析因为x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，所以x ＋y －3>0，所以不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0可转化为(x ＋y －3)＋1x ＋y －3≥a .令t ＝x ＋y －3，t >0，则f (t )＝t ＋1t≥a ，且函数f (t )在区间[1，＋∞)上单调递增．方法一等式x ＋2y ＋3＝xy 可化为(x －2)(y －1)＝5，令m ＝x －2，n ＝y －1，则m >0，n >0，且mn ＝5，则t ＝m ＋n ≥2mn ＝25，当且仅当m ＝n ，即x ＝y ＋1，即x ＝2＋5，y ＝1＋5时等号成立，故f (t )≥f (25)＝25＋125＝21510，所以a ≤21510.方法二 x ＋2y ＋3＝xy 可化为y ＝1＋5x －2(x >2)，故直线x ＋y －3－t ＝0与函数y ＝1＋5x －2(x >2)的图象有公共点，当两者相切时是临界位置，此时y ′＝－5(x －2)2＝－1，得x ＝2＋5，y ＝1＋5，此时，t ＝25，数形(图略)结合可知当t ≥25时，符合题意，故f (t )≥f (25)＝25＋125＝21510，所以a ≤21510.14．对任意实数x >1，y >12，不等式x 2a 2(2y －1)＋4y2a 2(x －1)≥1恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4C.142D ．2 2 答案 D解析依题意得a 2≤x 22y －1＋4y2x －1.令x －1＝m >0,2y －1＝n >0，则x 22y －1＋4y 2x －1＝(m ＋1)2n ＋(n ＋1)2m ≥(2m )2n ＋(2n )2m ＝4m n ＋4n m≥24m n ×4nm＝8，即x 22y －1＋4y 2x －1≥8，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，因此x 22y －1＋4y 2x －1的最小值是8，从而a 2≤8，－22≤a ≤22，且a ≠0，故实数a 的最大值是2 2.15．(2018·宁波模拟)已知x ，y 均为非负实数，且x ＋y ≤1，则4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4 B ．[1,4] C ．[2,4] D ．[2,9]答案 A解析因为x ≥0，y ≥0，所以(x ＋y )22≤x 2＋y 2≤(x ＋y )2，则4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2＝4(x 2＋y 2)＋[1－(x ＋y )]2≤4(x ＋y )2＋[1－(x ＋y )]2＝5(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1，又因为0≤x ＋y ≤1，所以4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2≤5(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1≤4，当且仅当xy ＝0且x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1时，等号成立；另一方面4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2＝4(x 2＋y 2)＋[1－(x＋y )]2≥2(x ＋y )2＋[1－(x ＋y )]2＝3(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1，又因为0≤x ＋y ≤1，所以4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2≥3(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1≥23，当且仅当x ＝y 且x ＋y ＝13，即x ＝y ＝16时，等号成立．综上所述，4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4，故选A.16．(2018·杭州学军中学模拟)若x ，y ∈R 满足2sin 2(x ＋y －1)＝(x ＋1)2＋(y －1)2－2xyx －y ＋1，则xy 的最小值为________．答案 (π－2)216解析 2sin 2(x ＋y －1)＝(x ＋1)2＋(y －1)2－2xy x －y ＋1＝x 2＋2x ＋1＋y 2－2y ＋1－2xyx －y ＋1＝(x －y ＋1)2＋1x －y ＋1＝x －y ＋1＋1x －y ＋1，又因为2sin 2(x ＋y －1)∈[0,2]，x －y ＋1＋1x －y ＋1≥2或x －y ＋1＋1x －y ＋1≤－2，所以x －y ＋1＋1x －y ＋1＝2，此时⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝1，sin 2(x ＋y －1)＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，sin (2x －1)＝±1，则2x －1＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π4＋12＋k π2，k ∈Z ，则xy ＝x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋12＋k π22，k ∈Z ，所以当k ＝－1时，xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋12＋k π22取得最小值(π－2)216.。

2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点14 基本不等式及其应用(1)(解析版)

考点14 基本不等式及其应用（1）【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、（2019年苏州学情调研）若正实数x y ，满足1x y +=，则4yxy +的最小值是 ▲ ．【答案】、8【解析】、因为正实数x y ，满足1x y +=，所以4()444yy x y y xxy xy x y ⨯++=+=++424448y x x y≥⨯+=+=，当且仅当4y x x y =，即2y x =，又1x y +=，即12,33x y ==，等号成立，即4yx y +取得最小值8.2、(2018苏锡常镇调研（一））已知a>0, b>0，且2a ＋3b ＝ab ，则ab 的最小值是________．【答案】 2 6【解析】、思路分析利用基本不等式，化和的形式为积的形式．因为ab ＝2a ＋3b ≥22a ·3b ，所以ab≥26，当且仅当2a ＝3b＝6时，取等号．3、(2017苏北四市期末）. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________．【答案】. 8【解析】、解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2y －3·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x －6＞0，所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x －6＋6≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －6·13x－6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x－6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解后反思从消元的角度看，可以利用等式xy ＋3x ＝3消“实数x ”或消“实数y ”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟．4、(2015苏北四市期末）已知a ，b 为正数，且直线 ax ＋by －6＝0与直线 2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________．【答案】25【解析】、由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b ＝1(a ，b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ×a b＝25(当且仅当b a ＝a b即a ＝b ＝5时取等号)．5、(2017南京、盐城、徐州二模）已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．【答案】24【解析】、思路分析注意研究目标，故先要将cos(α＋β)应用两角和的余弦公式展开，然后利用同角三角函数式将tan α表示为β的函数形式，利用求函数的最值方法可得到结果．由cos(α＋β)＝sin αsin β得cos αcos β－sin αsin β＝sin αsin β，即cos αcos β＝sin α⎝⎛⎭⎪⎫sin β＋1sin β，由α，β均为锐角得cos α≠0，tan β>0，所以tan α＝sin αcos α＝cos βsin β＋1sin β＝sin βcos βsin 2β＋1＝tan β2tan 2β＋1＝12tan β＋1tan β≤122＝24，当且仅当2tan β＝1tan β，即tan β＝22时，等号成立．解后反思根据所求的目标，将所求的目标转化为相关的变量的函数，是研究最值问题的基本方法．6、(2016宿迁一模）若a 2－ab ＋b 2＝1，a ，b 是实数，则a ＋b 的最大值是________．【答案】2【解析】、解法1 因为a 2－ab ＋b 2＝1，即(a ＋b )2－3ab ＝1，从而3ab ＝(a ＋b )2－1≤3a ＋b 24，即(a ＋b )2≤4，所以－2≤a ＋b ≤2，所以(a ＋b )max ＝2.解法2 令u ＝a ＋b ，与a 2－ab ＋b 2＝1联立消去b 得3a 2－3au ＋u 2－1＝0，由于此方程有解，从而有Δ＝9u 2－12(u 2－1)≥0，即u 2≤4，所以－2≤u ≤2，所以(a ＋b )max ＝2.解法3 由于a 2－ab ＋b 2＝1与代数式a ＋b 是对称的，根据对称极端性原理，当a ＝b 时取得最值，此时a 2＝1，从而a ＝±1，所以(a ＋b )max ＝2a ＝2.7、(2017苏北四市一模）已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝2，则a 2＋2a ＋b 2b ＋1的最小值为________．【答案】2＋223【解析】、思路分析令b ＋1＝c ，通过换元，使得“别扭”变“顺眼”，本题就变得比较常规了．设b ＋1＝c ，则b ＝c －1，a ＋c ＝3，且0<a <2,1<c <3.所以a 2＋2a ＋b 2b ＋1＝a ＋2a ＋c －12c＝a＋c ＋2a ＋1c －2＝1＋2a ＋1c ＝1＋13(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1c ＝2＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋2c a ≥2＋223，当且仅当a ＝2c ，即c＝3(2－1)∈(1,3)时，取等号．8、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3<x <4}，则c 2＋5a ＋b 的最小值为________．【答案】 4 5思路分析先根据一元二次不等式的解集，确定a<0，以及a ，b ，c 的关系，再将所求c 2＋5a ＋b运用消元法，统一成单变量a 的函数问题，运用基本不等式求最值．依题意得a<0，且3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，即⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝7，c a＝12，则⎩⎨⎧b ＝－7a ，c ＝12a ，所以c 2＋5a ＋b ＝144a 2＋5a －7a ＝144a 2＋5－6a ＝(－24a)＋⎝⎛⎭⎪⎫5－6a ≥2（－24a ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫5－6a ＝45，当且仅当144a 2＝5，即a ＝－512时取等号，所以所求最小值为4 5.9、(2015扬州期末）设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是________．【答案】5－12思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y 较易，所以消去y .解法1 由x 2＋2xy －1＝0得y ＝1－x 22x ，从而x 2＋y 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－x 22x 2＝5x 24＋14x 2－12≥2516－12＝5－12，当且仅当x ＝±415时等号成立．思路分析2 由所求的结论x 2＋y 2想到将条件应用基本不等式，构造出x 2＋y 2，然后将x 2＋y 2求解出来．解法2 由x 2＋2xy －1＝0得1－x 2＝2xy ≤mx 2＋ny 2，其中mn ＝1(m ，n >0)，所以(m ＋1)x 2＋ny 2≥1，令m ＋1＝n ，与mn ＝1联立解得m ＝5－12，n ＝5＋12，从而x 2＋y 2≥15＋12＝5－12. 【问题探究，变式训练】题型一、利用基本不等式求最值问题知识点拨：利用基本不等式求最值的问题，关键是对复杂的代数式进行合理的代数变形，配凑出使用基本不等式的条件，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！．例1、(2019苏锡常镇调研）已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则bb a a 421222+++的最小值为．【答案】、..11【解析】、思路分析：由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本不等式的条件，转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解．1174274))(41()(24212421222=+⨯≥++=++++=+++=+++baa b b a a b b a b a b a b b a a b b a a 当且仅当b a a b 4=，即⎪⎩⎪⎨⎧==3231b a 时取“=”，所以b b a a 421222+++的最小值为.11【变式1】、(2019常州期末）已知正数x ，y 满足x ＋y x ＝1，则1x ＋xy 的最小值为________．【答案】、4【解析】、思路分析多元条件等式下的最值问题通常可以考虑消元之后利用基本不等式或函数知识求解．解法1(直接消元) 由x ＋y x ＝1得y ＝x －x 2，故1x ＋x y ＝1x ＋x x －x 2＝1x ＋11－x ＝1x （1－x ）≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝4，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取“＝”．故1x ＋xy 的最小值为4.解法2(直接消元) 由x ＋y x ＝1得y x ＝1－x ，故1x ＋x y ＝1x ＋11－x，以下同解法1.解法3(消元，分离常数凑定值) 同解法1，2得1x ＋x y ＝1x ＋11－x ＝1－x ＋x x ＋1－x ＋x 1－x ＝2＋1－xx ＋x 1－x ≥4，当且仅当1－x x ＝x 1－x ，即x ＝12时取“＝”．故1x ＋xy的最小值为4. 解法4(“1”的代换) 因为x ＋y x ＝1，所以1x ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x ＝2＋y x 2＋x 2y ≥4，当且仅当yx 2＝x 2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝14时取“＝”．故1x ＋xy 的最小值为4. 【变式2】、(2019镇江期末）已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1x ＋4y ，则x ＋y 的最小值为________．【答案】、3【解析】、思路分析本题既可用权方和不等式也可运用“1”的代换求解．解法1 因为x>0，y>0，所以x ＋y ＝12x ＋22y ≥（1＋2）2x ＋y ，得x ＋y≥3，当且仅当x ＝1，y ＝2时取等号．解法2 x ＋y ＝（x ＋y ）2＝（x ＋y ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y ≥5＋24＝3，当且仅当y x＝4xy，即x ＝1，y ＝2时取等号．【变式3】、(2019苏北三市期末）已知a>0，b>0，且a ＋3b ＝1b －1a ，则b 的最大值为________．【答案】、 13【解析】、由a ＋3b ＝1b －1a ，得1b －3b ＝a ＋1a .又a>0，所以1b －3b ＝a ＋1a ≥2(当且仅当a ＝1时取等号)，即1b －3b≥2，又b>0，解得0<b≤13，所以b 的最大值为13.【变式4】、(2019宿迁期末）已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则1＋4a ＋3bab 的最小值为________. 【答案】、252【解析】、解法1(消元法) 由a ＋2b ＝2得a ＝2－2b ＞0，所以0＜b ＜1，令f(b)＝1＋4a ＋3bab＝9－5b2b －2b 2，f′(b)＝－10b 2＋36b －18（2b －2b 2）2＝－2（5b －3）（b －3）（2b －2b 2）2.当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，35时，f′(b)<0，f(b)单调递减；当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫35，1时，f′(b)>0，f(b)递增，所以当b ＝35时，f(b)有唯一的极小值，也是最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝252.解法2(齐次化) 因为a ＋2b ＝2，所以1＋4a ＋3b ab ＝12a ＋b ＋4a ＋3b ab ＝9a ＋8b2ab ＝（9a ＋8b ）（a ＋2b ）4ab ＝9a 4b ＋4b a ＋132≥29a 4b ·4b a ＋132＝252，当且仅当a ＝45，b ＝35时取等号，所以所求的最小值为252. 解后反思求互相制约的双变元问题的最值，最直接的方法就是消元后转化为一元问题，如解法1；对于分式的最值问题也常常通过齐次化后用基本不等式求解，如解法2.解法2用到了“1”的代换．【变式5】、(2018苏锡常镇调研（二））已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b+的最小值为 ▲ ．【答案】、【解析】、解题过程：因为223()()44()4a b a b ab ab ab +=-+=+，所以3222114()44()()48()a b ab ab ab a b ab ab ab +++===+≥，故2211≥+b a ，当且仅当⎩⎨⎧=-=4)(12b a ab ，即⎩⎨⎧-=+=1212b a 时取得等号，所以11a b +的最小值为.22题型二利用基本不等式解决多元问题知识点拨：多元最值问题是最典型的代数问题，代数问题要注重结构的观察和变形，变形恰当后，直接可以构造几何意义也可以使问题明朗化，具体归纳如下：(1)多元最值首选消元：三元问题→二元问题→一元问题． (2)二元最值考查频率高，解决策略如下：策略一：消元．策略二：不好消元——用基本不等式及其变形式，线性规划，三角换元． (3)多元问题不好消元的时候可以减元，常见的减元策略：策略一：齐次式——同除减元．策略二：整体思想——代入消元或者减元．策略三：局部思想——锁定主元(本题就是)．例2、(2019南京、盐城一模）若正实数a ，b ，c 满足ab ＝a ＋2b ，abc ＝a ＋2b ＋c ，则c 的最大值为________．【答案】、 87【解析】、思路分析1 注意到求c 的最大值，所以将参数c 进行分离，为此，可以利用abc ＝a ＋2b ＋c 进行分离得c ＝a ＋2b ab －1＝a ＋2b a ＋2b －1＝1＋1a ＋2b －1，从而将问题转化为求a ＋2b 的最小值；思路分析2 结合abc ＝a ＋2b ＋c 与ab ＝a ＋2b 化简得abc ＝ab ＋c 来进行分离得c ＝ab ab －1＝1＋1ab －1，进而求ab 的最小值．思路分析3 由于所求解的c 与a ，b 有关，而a ，b 不对称，因此，将2b 看作一个整体，则它与a 就是对称的，根据对称原理可以猜想得到问题的答案．解法1 由abc ＝a ＋2b ＋c 得，c ＝a ＋2b ab －1＝a ＋2b a ＋2b －1＝1＋1a ＋2b －1，由ab ＝a ＋2b 得，1b ＋2a＝1，所以a ＋2b ＝(a ＋2b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a ＝4＋a b ＋4b a ≥4＋2a b ·4b a ＝4＋4＝8，故c≤87. 解法2 因为abc ＝a ＋2b ＋c ，ab ＝a ＋2b ，所以abc ＝ab ＋c ，故c ＝ab ab －1＝1＋1ab －1，由ab＝a ＋2b 利用基本不等式得ab≥22ab ，故ab≥8，当且仅当a ＝4，b ＝2时等号成立，故c ＝1＋1ab －1≤1＋18－1＝87.解法3(对等性猜测) 因为已知条件可以改写为“12·a·2b＝a ＋2b ，12·a·2b·c＝a ＋2b ＋c”，故a 与2b 对等，不妨设a ＝2b ，解得a ＝2b ＝4，c ＝87，故c 的最大值为87.解后反思解法1，2都是应用了分离参数的方法，即将所求的参数c 用a ，b 表示出来，从而将问题转化为求与a ，b 有关的代数式的最值问题来加以解决，其中解法2更容易把握．这是两种基础的解法．而解法3则是将“非对称式”应用整体转化的方法转化为“对称式”来加以处理，对思维能力的要求很高．【变式1】、(2019苏北三市期末）已知x>0，y>0，z>0，且x ＋3y ＋z ＝6，则x 3＋y 2＋3z 的最小值为________．【答案】、374【解析】、思路分析本题消元后转化为二元问题研究．解法1(配方＋导数求函数最值) x 3＋y 2＋3z ＝x 3＋y 2＋3(6－x －3y)＝x 3－3x ＋y 2－33y ＋18＝x 3－3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －3322＋454≥x 3－3x ＋454，当且仅当y ＝332时取等号．设g(x)＝x 3－3x ，g′(x)＝3x 2－3.令g′(x)＝0得x ＝1，得g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而g(x)min ＝g(1)＝－2，所以(x 3＋y 2＋3z)min ＝－2＋454＝374，即所求最小值为374，当且仅当x ＝1，y ＝332，z ＝12时取等号．解法2(基本不等式配凑) 由x 3＋1＋1≥3x(当且仅当x ＝1，取等号)，y 2＋274≥33y ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当y ＝332取等号，得x 3＋y 2＋3z ＋2＋274≥3(x＋3y ＋z)＝18，x 3＋y 2＋3z≥374(当且仅当x ＝1，y ＝332，z ＝12取等)．【变式2】、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________．【答案】、8【解析】、由a ，b ，c 均为正数，abc ＝4(a ＋b)，得c ＝4a ＋4b ，代入得a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋4a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋4b ≥2a ·4a＋2b ·4b＝8，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立，所以a ＋b ＋c 的最小值为8.解后反思 1. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是：参数是否为正；二定是：和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；三相等是：最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点：一是相等时参数是否在定义域内；二是多次用“≥”或“≤”时等号能否同时成立)．2. 研究多变量问题的基本方法是简化问题，即进行减元处理，而减元的基本策略就是消元，这一点要高度重视．【变式3】、(2018苏州期末）已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝1，1a ＋b ＋1c ＝1，则c 的取值范围是________．【答案】、⎝⎛⎦⎥⎤1，43【解析】、思路分析由第二个等式知，要求出c 的取值范围，只要先求出a ＋b 的取值范围，而这可由第一个等式求得．解法1 因为a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ∈[4，＋∞)，所以1a ＋b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，从而1c ＝1－1a ＋b ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1，得c ∈⎝⎛⎦⎥⎤1，43.解法2 由题两等式得ab ＝a ＋b ，c ＋(a ＋b)＝c(a ＋b)，所以c ＋ab ＝c(ab)，即c ＝ab ab －1＝1＋1ab －1.因为ab ＝a ＋b≥2ab ，所以ab≥4，所以c ＝1＋1ab －1∈⎝⎛⎦⎥⎤1，43. 【变式4】、(2018南京、盐城一模）若不等式k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为________．【答案】、 100【解析】、思路分析本题首先用正弦定理将三角函数转化为边，然后再利用三角形中的边的不等关系，消元后转化为二元问题研究．二元问题的最值问题，可以用基本不等式来处理．解法1(函数的最值) 因为k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C ，所以由正弦定理可得kb 2＋ac>19bc ，即k>19bc －ac b 2.因为△ABC 为任意三角形，所以a>|b －c|，即19bc －ac b 2<19bc －|b －c|c b 2＝ ⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ，0<c b ≤1，－⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ，c b >1.当0<c b ≤1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ≤19；当c b >1时，－⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ≤100，即19bc －|b －c|c b 2的最大值为100，所以k≥100，即实数k 的最小值为100. 解法2(基本不等式) 因为k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C ，所以由正弦定理可得kb 2＋ac>19bc ，即k>19bc －ac b 2.又19bc －ac b 2＝c b ⎝ ⎛⎭⎪⎫19－a b .因为c<a ＋b ，所以c b <1＋a b ，即c b ⎝⎛⎭⎪⎫19－a b <⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a b ⎝⎛⎭⎪⎫19－a b ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－a b 24＝100(要求最大值，19－a b 至少大于0)．当且仅当1＋a b ＝19－a b ，即a b＝9时取等号．题型三运用双换元解决不等式问题知识点拨：若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系。