【配套K12】安徽省铜陵市高中数学 第一章《三角函数》任意角的三角函数2学案(无答案)新人教A版必修4
2020-高中数学 第一章 三角函数 1.2.1.2 任意角的三角函数(二)学案(含解析)新人教A
学习资料第2课时任意角的三角函数(二)1.相关概念（1)单位圆:以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆．（2）有向线段：带有方向(规定了起点和终点)的线段．规定：方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之为负值．2．三角函数线错误!（1)三角函数线的方向．正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．（2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值．[小试身手］1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√"，错误的打“×"）（1)角的三角函数线是直线．()（2）角的三角函数值等于三角函数线的长度．(）（3）第二象限的角没有正切线．(）答案：(1)×(2）×(3）×2．有下列四个说法:①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等；③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边相同．不正确说法的个数是(）A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①正确．当α确定时其sin α是确定的．②不正确．例如错误!和错误!。
③正确，④不正确．答案：C3．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是（ ） A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′ B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′ C ．正弦线MP ，正切线AT D ．正弦线PM ,正切线AT解析：α为第三象限角，故正弦线为MP ，正切线为AT ,所以C 正确． 答案：C4．已知sin α〉0，tan α<0，则α的（ ） A ．余弦线方向向右,正切线方向向下 B ．余弦线方向向右，正切线方向向上 C ．余弦线方向向左,正切线方向向下 D ．余弦线方向向上，正切线方向向左解析：因为sin α>0,tan α〈0,所以α是第二象限角，余弦、正切都是负值,因此余弦线方向向左，正切线方向向下．答案：C类型一 三角函数线的作法例1 做出错误!的正弦线、余弦线和正切线．【解析】 角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P 。
安徽省铜陵市高中数学第一章《三角函数》任意角的三角函数2学案(无答案)新人教A版必修4(2021年
安徽省铜陵市高中数学第一章《三角函数》任意角的三角函数2学案（无答案）新人教A版必修4
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任意角三角函数（2）
展示课（时段：正课时间： 60分钟 )
学习主题: 1、探究任意角的三角函数值在各象限的正负号，并会判断一个角的三个三角函数值的正负性；
2、探究三角函数的诱导公式（一）;
【主题定向·五环导学·展示反馈】
主题性展示（10分钟）
例题导析重点：证明过程难点：如何定象限
板书:呈现例3的规范
解答；
展示例3；
③通过例3的展示,总结各类三角函数值在各象限中符号的记忆方法;
④对诱导公式一进行探究与解析。
建议:
重点放在符号的记忆方法上；。
高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(第2课时)导学案 新人教A版必修4
第2课时三角函数线1.了解三角函数线的定义和意义.2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.掌握三角函数线的简单应用.三角函数线(1)有向线段：带有的线段叫做有向线段.(2)定义：如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合).过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sin α＝，cos α＝，tan α＝.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的线、线、线，统称为三角函数线.①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外.②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向单位圆与α的终边(或反向延长线)的交点.③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x 轴正方向或y轴正方向反向的为负值.④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后.⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.【做一做1－1】如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则角α的( )A.正弦线是PM ，正切线是A ′T ′B.正弦线是MP ，正切线是A ′T ′C.正弦线是MP ，正切线是ATD.正弦线是PM ，正切线是AT【做一做1－2】 不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是( )A.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线B.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条C.正弦线、余弦线、正切线都可能不存在D.正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在答案：(1)方向 (2)MP OM AT 正弦 余弦 正切 【做一做1－1】 C 【做一做1－2】 D三角函数线的应用 剖析：三角函数线是三角函数值的直观表达形式，从三角函数线的方向可看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可看出三角函数值的绝对值大小.三角函数线的主要作用是解三角方程和不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是以后画三角函数图象的基础.题型一 解三角方程【例1】 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并写出α组成的集合.分析：先作出直线y ＝12与单位圆的交点P ，Q ，再连接OP ，OQ 即得.反思：形如sin α＝m ，cos α＝n ，tan α＝t 的等式，可借助于三角函数线写出α组成的集合.其步骤是：①在单位圆中画出α的终边；②在［0,2π)内找出满足条件的角；③用终边相同的角的集合写出.题型二 解简单的三角不等式【例2】 解不等式sin α≥－12.分析：由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin 76π＝－12，则在坐标系中画出－π6和76π，确定α的终边位置.反思：解简单的三角不等式时，常借助于三角函数线，转化为终边在某区域内的角的范围.如本题转化为求终边在优弧»AB 对应的扇形区域内角的范围. 题型三 易错辨析易错点 错解函数的定义域【例3】 求函数y ＝1＋2cos x ＋lg(2sin x ＋3)的定义域.错解：要使函数有意义，则需满足1＋2cos x ≥0且2sin x ＋3＞0，即cos x ≥－12，且sin x ＞－32.所以2k π＋4π3≤x ≤2k π＋8π3且2k π－π3＜x ＜2k π＋4π3，其中k ∈Z .其交集为空集，故无定义域.错因分析：因两个不等式中的k 各自独立，因此上述两集合是有公共部分的，如图所示.反思：解三角不等式组时，先解每个三角不等式，再取它们的交集.取交集时，要注意各自解集中k 的独立性.答案：【例1】 解：如图，作直线y ＝12交单位圆于点P ，Q ，连接OP ，OQ ，则射线OP ，OQ 为角α的终边．由于sin π6＝12，sin 5π6＝12，则OP 是π6的终边，OQ 是5π6的终边．所以α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π，k ∈Z .则α组成的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π，k ∈Z. 【例2】 解：如图所示，作直线y ＝－12交单位圆于A ，B 两点，则∠xOA ＝7π6，∠xOB＝－π6.过在直线AB 上方的圆弧上任一点P 作PM ⊥x 轴于M ，则MP ＝sin α.则α的终边不能与直线AB 下方的圆弧有交点，则有2k π－π6≤α≤2k π＋7π6(k ∈Z )．即原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－π6≤α≤2k π＋76π，k ∈Z. 【例3】 正解：要使函数有意义，则需同时满足1＋2cos x ≥0且2sin x ＋3＞0，即cos x ≥－12，且sin x ＞－32.由cos x ≥－12，知2k π－2π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .由sin x ＞－32，知2n π－π3＜x ＜2n π＋4π3，n ∈Z ， ∴x 的取值范围是{x |2k π－π3＜x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．1．下列各式正确的是( ) A.sin 1＞sin 3πB.sin 1＜sin 3πC.sin 1＝sin3πD.sin 1≥sin3π2．已知tan x ＝1，则x ＝________.3．不等式cos x ＞0的解集是________. 4．在单位圆中画出满足cos α＝12的角α的终边，并写出α组成的集合.5．求函数y 的定义域.答案：1．B 1和π3的终边均在第一象限，且π3的正弦线大于1的正弦线，则sin 1＜πsin3. 2．x ＝π4＋k π(k ∈Z ) 3．{x |2k π－π2＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z }． 如图所示，OM 是角x 的余弦线，则有cos x＝OM ＞0，∴OM 的方向向右．∴角x 的终边在y 轴的右方．∴2k π－π2＜x ＜2kx ＋π2，k ∈Z . 4. 解：如图所示，作直线x ＝12交单位圆于M ，N ，连接OM ，ON ，则OM ，ON 为α的终边．由于πcos 3＝12，5πcos 3＝12，则M 在π3的终边上，N 在5π3的终边上，则α＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z .所以α组成的集合为S ＝π5π|2π2π,Z 36k k k ααα⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭或. 5．解：要使函数有意义，自变量x 的取值需满足－1－2cos x ≥0， 得cos x ≤12-，如图所示，则x 的终边在阴影部分的区域内．由于2πcos3＝12-，4πcos 3＝12-， 则M 在2π3的终边上，N 在4π3的终边上，则2π3＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z .所以函数的定义域是2π4π|2π2π,Z 33x k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.。
安徽省铜陵市高中数学 第一章《三角函数》任意角2考察
任意角2考查内容：任意角考查主题：了解任意角的定义，象限角和轴线角，会运用终线相同的角的定义。
考查形式：封闭式训练，导师不指导、不讨论、不抄袭.温馨提示：本次训练时间约为60分钟，请同学们认真审题，仔细答题，安静、自主的完成训练内容.板块一考查主题：终边相同的角概念回归（每题5分）1.所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S= ，即任一与角α终边相同的角。
基础巩固2.若α是第四象限角，则180°+α是（）Ａ．第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角3. 若α=1690°，角θ与α终边相同，且-360°<θ<360°，则θ= 。
4.与-463°终边相同的最小的正角是，最大的负角是。
5.与610°角终边相同的角表示为（其中k∈Z）（）A．360°k+230° B. 360°k+250° C. 360°k+70° D. 180°k+270°发展提升10分）6.写出与50°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360°<θ<720°的元素θ写出来。
板块二考查主题：象限角和轴线角概念回归（每题5分）1.角的在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
2.象限角的集合表示：第一象限角：；第二象限角：；第三象限角： ；第四象限角： ； 基础巩固3.下列命题中正确的是（ ）A ．终边与始边重合的角是零角B ．终边和始边都相同的两个角一定相等C ．小于90°的角是锐角D ．第一象限角不一定是锐角4 .若︒+︒•=∂30180k ，则α在（ ）A ．第一或第三象限 B.第一或第二象限C. 第二或第四象限D. 第三或第四象限发展提升（15分，第一问10分、第二问5分。
第二问只要结论，不要过程）5.已知α是第四象限角（1）求2α是第几象限角? （2）并直接猜想3α是第几象限角，板块三 综合运用（每题10分）1、在οο360~0范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限的角；（1）-150° （2）650° （3）-950°2、已知角α满足οο360180<<α，如果角α5与角α有相同的始边又有相同的终边，求角α；3、已知角θ的终边与ο168角的终边相同，求在]360,0[οο内与3θ角的终边相同的角；。
必修4第一章 任意角三角函数(2)教案
5 , , 4 2 4
B.
, 4
C.
5 , 4 4
5 3 , , 4 4 2
2 6. 设 0 x 2 ,且 (cos x sin x) sin x cos x ,则
教
重点
材 分
难点
任意角的三角函数定义；
析
三角函数是基本初等函数的之一，是中学教学的重要内容之一，也是学习高 等数学的基础，它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，三角 函数是函数的一个特例，与指数函数、对数函数具有相同的地位，但是在具体的 定义方式上又有所不同，应该按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中，揭 示彼此之间的关系，认识新概念的本质属性。
我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。
2
学习目标：利用符号规律判断三角函数值的符号 例 1．试确定下列三角函数值的符号 (1) sin156 (2) cos 256 (3) sin 2 (4) cos 4
例 2．由下列条件判断角 所在的象限: (1) sin cos 0 (2) tan sin 0 .
合 作 探 究
学习目标：诱导公式一的简单应用 例 3、求下列各式的值 总结： （1）能准确判定角的终边位置是判断角的三角函值符号的关健； （2）要熟记三角函 数在各象限的符号规律.
不 议 不 讲
25 15 tan( ) 3 4 （2） sin 810 tan 765 tan1125 cos 360
不 练 不 讲
A. 0 x
B.
4
x
7 4
C.
高中数学 第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(一)第二课时 任意角的三角函数(二)教案 新人教A版必修4
第二课时 任意角的三角函数（二）【复习回顾】1、 三角函数的定义；2、 三角函数在各象限角的符号；3、 三角函数在轴上角的值；4、 诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、 三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，则请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？ 我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向 时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment ）.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα== 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．已知42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.【评价设计】1． 作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒ （2）'cos15018︒、cos121︒ （3）5π、tan 5π 2．练习三角函数线的作图.。
安徽省铜陵市高中数学第一章《三角函数》考查—三角函数诱导公式(一)学案(无答案)新人教A版必修4(
安徽省铜陵市高中数学第一章《三角函数》考查—三角函数诱导公式（一）学案（无答案）新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省铜陵市高中数学第一章《三角函数》考查—三角函数诱导公式（一）学案（无答案）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为安徽省铜陵市高中数学第一章《三角函数》考查—三角函数诱导公式（一）学案（无答案）新人教A版必修4的全部内容。
考查-三角函数诱导公式（一）考查内容:三角函数的诱导公式(一) 考查主题: 了解三角函数的诱导公式，会运用诱导公式求三角函数值。
考查形式： 封闭式训练，导师不指导、不讨论、不抄袭. 温馨提示： 本次训练时间约为40分钟，请同学们认真审题，仔细答题，安静、自主的完成训练内容。
基础巩固（5分*7题=35分)1．sin225° = __________.2．sin （- 错误!） + 2sin （— 750°） – tan(错误!) = .3．化简sin αcos(π + α)tan( — π – α） = 。
4．函数f (x ） = sinxcosx ，则.)67(πf = 5．cos （— 错误!） +3sin 错误! = ____________.6．4cos1650° — 3sin1740° = ____________.7．已知f (x ） = 3sin （x + 错误!）,sin θ = 错误!（0〈θ〈2π)，则f (θ) = __________。
发展提升(8分＊3题=24分）8．tan（- 150°）cos（—210°）cos420°tan(-600°)÷sin（- 330°)= _______________。
高中数学 第一章 三角函数 第二节 任意角的三角函数(第三课时)示范教案数学教案
第一章第二节任意角的三角函数第三课时整体设计教学分析与三角函数的定义域、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，是按照一切从定义出发的原则进行的，通过对基本关系的推导，应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成，学会通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵．同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，至于角的表达形式是至关重要的，如sin24π＋cos24π＝1等，二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如tanα中的α是使得tanα有意义的值，即α≠kπ＋π2，k∈Z.已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键和必要的，有时由于角的终边的位置不确定，因此解的情况不止一种，解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置；二是利用平方关系开方时，漏掉了负的平方根．三维目标1．通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式，并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明．2．同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用：(1)求值(知一求二)；(2)化简三角函数式；(3)证明三角恒等式．通过本节的学习，学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明．3．通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法． 重点难点教学重点：课本的三个公式的推导及应用．教学难点：课本的三个公式的推导及应用．课时安排1课时教学过程导入新课先请学生回忆任意角的三角函数定义，然后引导学生先计算后观察以下各题的结果，并鼓励学生大胆进行猜想，教师点拨学生能否用定义给予证明，由此展开新课．计算下列各式的值：(1)sin 290°＋cos 290°；(2)sin 230°＋cos 230°；(3)sin60°cos60°；(4)sin135°cos135°. 推进新课新知探究提出问题①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角？若不能，角α应受什么影响？如图1，以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形，而且OP ＝1.图1由勾股定理有OM 2＋MP 2＝1.因此x 2＋y 2＝1，即sin 2α＋cos 2α＝1(等式1)．显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．根据三角函数的定义，当α≠k π＋π2，k ∈Z 时，有 sin αcos α＝tan α(等式2)． 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．②对于同一个角的正弦、余弦、正切，至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值．活动：问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系，然后教师点拨学生思考这两个公式的用处．同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件，及使等式分别有意义的角的取值范围．问题②可让学生展开讨论，点拨学生从方程的角度进行探究，对思考正确的学生给予鼓励，对没有思路的学生教师点拨其思考的方法，最后得出结论“知一求二”．讨论结果：①在上述两个等式中，不是所有的角都可以是任意角，在第一个等式中，α可以是任意角，在第二个等式中α≠k π＋π2，k ∈Z . ②在上述两个等式中，只要知道其中任意一个，就可以求出其余的两个．知道正弦(余弦)，就可以先求出余弦(正弦)，用等式1；进而用等式2求出正切．应用示例思路1例1已知sin α＝45，并且α是第二象限的角，求cos α，tan α的值．活动：同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握，先让学生接触比较简单的应用问题，明确和正确地应用同角三角函数关系．可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin 2α＋cos 2α＝1，故cos α的值最容易求得，在求cos α时需要进行开平方运算，因此应根据角α所在的象限确定cos α的符号，在此基础上教师指导学生独立地完成此题．解：因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1－sin 2α＝1－(45)2＝925. 又因为α是第二象限角，所以cos α<0.于是cos α＝－925＝－35， 从而tan α＝sin αcos α＝45×(－53)＝－43. 点评：本题是直接应用关系求解三角函数值的问题，属于比较简单和直接的问题，让学生体会关系式的用法．应使学生清楚tan α＝－43中的负号来自α是第二象限角，这也是根据商数关系直接运算后的结果，它不同于在选用平方关系式的三角函数符号的确定．例2已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值． 活动：教师先引导学生比较例1、例2题设条件的相异处，根据题设条件得出角的终边只能在第二或第三象限．启发学生思考仅有cos α<0是不能确定角α的终边所在的象限的，它可能在x 轴的负半轴上(这时cos α＝－1)．解：因为cos α<0，且cos α≠－1，所以α是第二或第三象限角．如果α是第二象限角，那么sin α＝1－cos 2α＝1－－8172＝1517，tan α＝sin αcos α＝1517×(－178)＝－158， 如果α是第三象限角，那么sin α＝－1517，tan α＝158. 点评：在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候，应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限，分类讨论所有的情况，得出所有的解．思路2例1已知tan α为非零实数，用tan α表示sin α、cos α. 活动：引导学生思考讨论：角的终边在什么位置；能否直接利用基本关系式求出sin α或cos α的值．由tan α≠0，只能确定α的终边不在坐标轴上．关于sin α、cos α、tan α的关系式只有tan α＝sin αcos α，在这个式子中必须知道其中两个三角函数值，才能求出第三个，因此像这类问题的求解，不能一步到位，需要公式的综合应用．其步骤是：先根据条件判断角的终边的位置，讨论出现的所有情况．然后根据讨论的结果，利用基本关系式求解．分情况求出cos α，进而求出sin α.解：因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝1－cos 2α.又因为tan α＝sin αcos α， 所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝1－cos 2αcos 2α＝1cos 2α－1. 于是1cos 2α＝1＋tan 2α，cos 2α＝11＋tan 2α. 由tan α为非零实数，可知角α的终边不在坐标轴上，从而cos α＝⎩⎪⎨⎪⎧ 11＋tan 2α，当α为第一、第四象限角，－11＋tan 2α，当α为第二、第三象限角， sin α＝cos αtan α＝⎩⎪⎨⎪⎧ tan α1＋tan 2α，当α为第一、第四象限角，－tan α1＋tan 2α，当α为第二、第三象限角.点评：要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解．需要学生认真细致分析题目的条件，灵活运用公式，需要较高的思维层次.例2求证：1－sin x ＝cos x. 活动：先让学生讨论探究证明方法，教师引导思考方向．教材中介绍了两种证明方法：证法一是从算式一边到另一边的证法，算式右边的非零因式1＋sin α，在左边没有出现，可考虑左边式子的分子、分母同乘以1＋sin x ，再化简；在证法二中可以这样分析，要让算式成立，需证cos 2x ＝(1＋sin x )(1－sin x )，即cos 2x ＝1－sin 2x ，也就是sin 2x ＋cos 2x ＝1，由平方关系可知这个等式成立，将上述分析过程逆推便可以证得原式成立．证法一：由cos x ≠0，知sin x ≠1，所以1＋sin x ≠0，于是 左边＝cos x 1＋sin x 1－sin x 1＋sin x ＝cos x 1＋sin x 1－sin 2x ＝cos x 1＋sin x cos 2x ＝1＋sin x cos x＝右边． 所以原式成立．证法二：因为(1－sin x )(1＋sin x )＝1－sin 2x ＝cos 2x ＝cos x cos x ，且1－sin x ≠0，cos x ≠0，所以cos x 1－sin x ＝1＋sin x cos x. 教师启发学生进一步探究：除了证法一和证法二外你可否还有其他的证明方法．教师和学生一起讨论，由此可探究出证法三．依据“a －b ＝0⇔a ＝b ”来证明恒等式是常用的证明方法，由学生自己独立完成．证法三：因为cos x1－sin x－1＋sin x cos x ＝cos x cos x －1＋sin x 1－sin x 1－sin x cos x＝cos 2x －1－sin 2x 1－sin x cos x ＝cos 2x －cos 2x 1－sin x cos x＝0，所以cos x1－sin x＝1＋sin xcos x.点评：这是一道很有训练价值的经典例题，教师要充分利用好这个题目．从这个例题可以看出，证明一个三角恒等式的方法有很多．证明一个等式，可以从它的任何一边开始，证得它等于另一边；还可以先证得另一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立．例3化简1－sin2440°.活动：引导学生探究：原式结果为cos440°时是不是最简形式，还应怎么办？教师引导学生运用诱导公式一化简为cos80°，由于cos80°>0，因此cos280°＝|cos80°|＝cos80°，此题不难，让学生独立完成．解：原式＝1－sin2360°＋80°＝1－sin280°＝cos280°＝cos80°.点评：恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式．提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点：(1)所含的三角函数种类最少；(2)能求值(指准确值)的尽量求值；(3)不含特殊角的三角函数值.变式训练化简1－2sin40°cos40°.答案：cos40°－sin40°.点评：提醒学生注意：1±2sinαcosα＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，这是一个很重要的结论.知能训练课本本节练习．解答：1.sin α＝－35，tan α＝34. 2．当φ为第二象限角时，sin φ＝32，cos φ＝－12. 当φ为第四象限角时，sin φ＝－32，cos φ＝12. 3．当θ为第一象限角时，cos θ≈0.94，tan θ≈0.37. 当θ为第二象限角时，cos θ≈－0.94，tan θ≈－0.37.4．(1)cos θtan θ＝cos θsin θcos θ＝sin θ； (2)2cos 2α－11－2sin 2α＝2cos 2α－sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－2sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α－sin 2α＝1. 5．(1)左＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝右；(2)左＝sin 2α(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＝1＝右． 课堂小结由学生回顾本节所学的方法知识：①同角三角函数的基本关系式及成立的条件，②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置，从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出)．“知一求二”的解题步骤一般为：先确定角的终边位置，再根据基本关系式求值，若已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其他关系求值；若已知正切或余切，则构造方程组求值．教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题，并让学生总结本节用到的思想方法．作业1．化简(1＋tan2α)cos2α；答案：12．已知tanα＝2，求sinα＋cosαsinα－cosα的值．答案：3.设计感想公式的推导和应用是本节课的重点，也是本节课的难点．公式的应用实际上是求可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题，这类问题可按下列情形分别处理：(1)如果这个三角函数式的值的符号可以确定，则可以根据算术平方根的定义直接得到结果；(2)如果这个三角函数式的值的符号不可以确定，则可根据题设条件，经过合理的分类讨论得到结果．三角函数式的化简，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则，它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式，同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求，在教学时要注意进行相关知识的复习．证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法一般有以下三种：(1)依据相等关系的传递性，从等式一边开始，证明它等于另一边，证明时一般遵循由繁到简的原则．(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子．(3)依据等价转化思想，证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．教材上在运用这一方法时使用的是综合法，初学恒等式的证明时，运用等价转化的方法可以使证明的思路更清楚一些，实际上，使用综合法时不一定要求进行等价转化，只需证明等式成立的充分条件即可(教师知道即可)，证明方法中分别运用到了分式的基本性质和算式的基本性质．使学生明白，如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数，为了便于将算式两边沟通，可通过“切化弦”使两边的三角函数相同．备课资料备用习题1．如果sin x ＋cos x ＝15，且0<x <π，那么tan x 的值是( )A ．－43B ．－43或－34C ．－34 D.43或－34答案：A2．若sin θ－cos θ＝2，则sin θ·cos θ＝________，tan θ＋1tan θ＝________， sin 3θ－cos 3θ＝________，sin 4θ＋cos 4θ＝________.答案：－12 －2 22 123．若a ≠0，且sin x ＋sin y ＝a ，cos x ＋cos y ＝a ，则sin x ＋cos x ＝____________.答案：a4．已知tan α＝－12，求下列各式的值： (1)2cos α－sin αsin α＋cos α； (2)2sin 2α＋sin α·co s α－3cos 2α.答案：解：(1)原式＝2－tan αtan α＋1＝错误!＝5. (2)原式＝2sin 2α＋sin α·cos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋tan α－3tan 2α＋1＝错误!＝－错误!.5．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＋1＝2sin 2α. 答案；证明：由已知有1＋tan 2α＝2tan 2β＋2＝2(1＋tan 2β)，∴1＋sin 2αcos 2α＝2(1＋sin 2βcos 2β)． ∴2cos 2α＝cos 2β.∴2(1－sin 2α)＝1－sin 2β.∴sin 2β＋1＝2sin 2α.。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数学案 新人教A版必修4(2021年整理)
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1.2.1任意角的三角函数课前预习学案一、预习目标:1.了解三角函数的两种定义方法；2.知道三角函数线的基本做法.二、预习内容：根据课本本节内容,完成预习目标，完成以下各个概念的填空.三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)；(2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.二、重点、难点重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）;终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一).难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)；三角函数线的正确理解.三、学习过程（一）复习:1、初中锐角的三角函数______________________________________________________2、在Rt△ABC中，设A对边为a,B对边为b，C对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为_______________________________________________(二）新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角,α终边上任意一点P (除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值_______叫做α的正弦,记作_______，即________ （2）比值_______叫做α的余弦，记作_______，即_________ (3）比值_______叫做α的正切,记作_______，即_________; 2．三角函数的定义域、值域3．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr 对于第一、二象限为_____（0,0y r >>），对于第三、四象限为____（0,0y r <>）;②余弦值xr 对于第一、四象限为_____(0,0x r >>)，对于第二、三象限为____（0,0x r <>）；③正切值yx对于第一、三象限为_______（,x y 同号）,对于第二、四象限为______（,x y 异号)．4．诱导公式由三角函数的定义，就可知道：__________________________即有：_________________________ _________________________ _________________________5．当角的终边上一点(,)P x y 的坐标满足_______________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示—-三角函数线。
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数二学案含解析新人教A版必修
学习资料内容标准学科素养1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域．2。
了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题。
应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第10页[基础认识］知识点三角函数线阅读教材P15~17,思考并完成以下问题在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴，过点A(1，0）作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP,OM，AT的关系吗?当α的终边不在坐标轴上时（1）以M为起点，P为终点，规定当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正方向且表示正值,当MP与y轴反向时,MP的方向为负方向且表示负值，那么,sin α可否用线段MP表示？提示：MP＝y＝sin α.(2)如果以O为起点，M为终点，规定OM方向与x轴同向时，表示正值,OM方向与x轴方向反向时，表示负值，那么,cos α与OM有什么关系?提示：OM＝x＝cos α.（3)如果以A为起点，T为终点，AT方向与y轴方向相同时表示正值，AT方向与y轴方向相反时表示负值，那么tan α与AT有什么关系?提示：tan α＝AT＝错误!.知识梳理如图为角α的三种三角函数,则sin α＝MP,cos α＝OM,tan α＝AT.有向线段MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线．思考有向线段MP与线段MP有什么不同？提示：有向线段MP就是由M指向P,规定了起点和终点，有方向．线段MP只是两点M、P间的线段，无方向．[自我检测］1．如图,在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线为PM,正切线为A′T′B．正弦线为MP，正切线为A′T′C．正弦线为MP，正切线为ATD．正弦线为PM，正切线为AT答案：C2．当x∈［0，2π]时,不等式sin x≥错误!的解集为______．答案:错误!授课提示：对应学生用书第11页探究一三角函数线及其作法[例1]分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．（1）－错误!；（2）错误!.[解析］正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.方法技巧三角函数线的画法（1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足,从而得正弦线和余弦线．（2）作正切线时，应从A（1，0）点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角）或α终边的反向延长线（α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.跟踪探究 （1)作出－π3的正弦线；（2）作出4π3的正切线．解析：(1）作出－π3的正弦线MP ，如图所示．(2）作出错误!π的正切线AT 如图所示．探究二 利用函数线比较大小 [教材P 69第11题]比较大小:sin 378°21′，tan1 111°。
高中数学必修4第一章第二节《任意角的三角函数》全套教案
任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数【教学目标】知识技能：1.掌握任意角的三角函数的定义。
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。
过程与方法：1.理解并掌握任意角的三角函数的定义。
2.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。
3.通过对定义域、三角函数值的符号判断，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
情感态度与价值观：体验知识探索过程，获得发现问题、解决问题的能力【教学重点难点】重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的符号的规律。
难点：任意角的三角函数概念的建构过程【学前准备】：多媒体，预习例题电脑、三角板问题4：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？（老师引导，学生探究）（使角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合.在角α的终边上取一点P ）。
如图，建立平面直角坐标系，设P 点坐标为（x,y ）,则22||y x OP +=， 从而x yyx xy x y=+=+=αααtan ,cos ,sin 2222 问题5：若α是的的终边落到第二、三、四象限时，问题4的方法还使用吗？ 思考1：对于确定的角α，上述三个比值是否随点P 在角α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？引导学生利用相似的知识不难得到：a b xyb a a y x x b a by x y b y a x ba y x AB PMOB OM OA OP ==+=+=+=+=⇒==++⇒==αααtan ,cos ,sin 222222222222归纳结论(强调)：当α为锐角时，三个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随P 在终边上的移动而变化。
通过类比再把锐角进一步推广到任意角都是成立的。
所以，三个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数。
问题6：为了使sin α，cos α的表示式更简单，你认为点P 的位置选在何处最好？此时，sin α，cos α分别等于什么？单位圆交于点P （x ，y ），为了不与当α为锐角时的三角函数值发生矛盾，让学生尝试总结sin α，cos α，tan α对应的值应分别如何定义？:引导学生总结归纳出利用单位圆定义任意角的三角函数：设α是任意角，它的终边与单位圆交于点P （x ，y ），则： （1） y 叫做α的正弦（sine ），记作sin α，即sin α=y 。
【配套K12】高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数教案苏教版必修4
1．2.1 任意角的三角函数整体设计教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．三维目标1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号的掌握；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．推进新课新知探究任意角的三角函数1．任意角的三角函数的定义．角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，则角α的三角函数定义为：2．各象限角的三角函数值的符号如下图所示．图1三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余弦．教师提示：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．如图2.设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(x ，y)，它与原点的距离r ＝x 2＋y 2>0.过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y.图2根据初中学过的三角函数定义，我们有sin α＝MP OP ＝y r ，cos α＝OM OP ＝x r ，tan α＝MP OM ＝y x. 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢？教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画出图形，看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变．也就是说，对于确定的角α，比值y r 和x r 都惟一确定，故正弦、余弦都是角α的函数．当α＝π2＋k π(k∈Z )时，角α的终边在y 轴上，故有x ＝0，这时tan α无意义．除此之外，对于确定的角α(α≠π2＋k π，k∈Z )，比值y x也是惟一确定的，故正切也是角α的函数．sin α、cos α、tan α分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为三角函数(trigonometric function)．由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号，如图3所示．图3与学生一起讨论得到以上结论后，教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)：“它的终边与单位圆交于点P(x ，y)”包含两个对应关系．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2)sin α不是sin 与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的．研究函数我们首先要考虑它的定义域，教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域．对于正弦函数sin α＝y r，因为y 恒有意义，即α取任意实数，y 恒有意义，也就是说sin α恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tan α＝y x ，因为x ＝0时，y x无意义，即tan α无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，y x恒有意义，即tan α恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠π2＋k π(k∈Z )．(由学生填写下表)三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号，当点P 在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P 在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切、余切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面结论的探究． 应用示例思路1例1已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦和正切值．图4解：因为x ＝2，y ＝－3，所以r ＝22＋－2＝13.所以sin α＝y r ＝－313＝－31313，cos α＝x r ＝213＝21313， tan α＝y x ＝－32. 点评：本例是已知角α终边上一点的坐标，求角α的三角函数值问题．可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上，再由定义得解.图5的终边与单位圆的交点坐标为(12，－32)．例2见课本本节例2.思路2例1已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3sec α＝________.活动：要让学生独立思考这一题目，本题虽然是个填空题，看似简单但内含分类讨论思想，教师可以找两个学生来板演这个例题．对解答思路正确的学生给以鼓励，对思路受阻的学生教师要引导其思路的正确性，并适时地点拨学生：假如是个大的计算题应该怎样组织步骤？解析：设角α终边上任一点为P(k ，－3k)(k≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋－2＝10|k|.(1)当k>0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k＝－31010，sec α＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3sec α＝10×(－31010)＋310＝－310＋310＝0. (2)当k<0时，r ＝－10k ，α为第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，sec α＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3sec α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0. 综合以上两种情况均有10sin α＋3sec α＝0.答案：0点评：本题的解题关键是要清楚当k>0时，P(k ，－3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P(k ，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内，这与角α的终边在y ＝－3x 上是一致的．例2求函数y ＝sin α＋tan α的定义域．活动：教师让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求，根据函数有意义的特征来求自变量的范围．对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应注意这种情况．同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．解：要使函数y ＝sin α＋tan α有意义，则sin α≥0且α≠k π＋π2(k∈Z )． 由正弦函数的定义知道，sin α≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负． ∴角α的终边在第一、二象限或在x 轴上或在y 轴非负半轴上，即2k π≤α≤π＋2k π(k∈Z )．∴函数的定义域是{α|2k π≤α<π2＋2k π，或π2＋2k π<α≤(2k＋1)π，k∈Z }． 点评：本题的关键是弄清楚要使函数式有意义，必须sin α≥0，且tan α有意义，由此推导出α的取值范围就是函数的定义域.知能训练课本本节练习1～6.课堂小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到．作业课本习题1.2 1,5,6.设计感想关于三角函数定义法，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．这两种方法本质上是一致的．正因为这样，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习．理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握．教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合．在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解．备课资料一、关于余切、正割、余割函数设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆的交点P(x ，y)，那么除角α的正弦、余弦、正切外，还可定义角α的余切、正割、余割，它们分别是cot α＝x y ，sec α＝r x ，csc α＝r y. 角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割统称为角α的三角函数．二、备用习题1．角α的终边经过点P(2a,3a)(a≠0)，则cos α的值是( ) A.1313 B.1312C ．±1313D ．±213132．已知tan αcos α>0，且tan αsin α<0，则α在( ) A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限D ．第三、四象限3．下列各三角函数值中，负值的个数是( )①sin(－660°) ②tan160° ③cos(－740°) ④sin(－420°)cos570°A ．1B ．2C ．3D ．4 4.－－－－＝__________.5．确定下列各式的符号：(1)sin105°cos230°；(2)cos6tan6；(3)tan191°－cos191°.6．已知tanx>0，且sinx ＋cosx>0，则角x 是第__________象限角．参考答案：1.D 2.A 3.A 4.325．解：(1)∵105°、230°分别是第二、三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°cos230°<0.(2)∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角． ∴cos6>0，tan6<0.∴cos6tan6<0.(3)∵tan191°>0，cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.6．一 解析：由tanx>0，知x 为第一或第三象限角，而当x 是第三象限角时，sinx与cosx都取负值，这与sinx＋cosx>0矛盾，故知角x是第一象限角．第2课时导入新课思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？由此导入新课．思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆．由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法．我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来．推进新课新知探究活动：1.任意角的三角函数的几何表示，即三角函数线．2．有向线段，有向线段的数量及单位圆来表示三角函数．教师指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)，x轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P的坐标．显然，线段OM的长度为|x|，线段MP的长度为|y|，它们都只能取非负值．当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段：如果x>0，OM与x轴同向，规定此时OM具有正值x；如果x<0，OM与x轴正向相反(即反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x.如果y>0，把MP看作与y轴同向，规定此时MP具有正值y；如果y<0，把MP看作与y 轴反向，规定此时MP具有负值y，所以不论哪一种情况，都有MP＝y.引导学生观察OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段．于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sin α＝y r ＝y 1＝y ＝MP ，cos α＝x r ＝x1＝x ＝OM.这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线．类似地，我们把OA 、AT 也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有tan α＝y x ＝ATOA＝AT.这条与单位圆有关的有向线段AT ，叫做角α的正切线(如图6、7)．当角α终边在y 轴的右侧时(图6)，在角α终边上取点T(1，y′)，则tan α＝y′1＝y′＝AT(A 为单位圆与x 轴正半轴的交点)；当角α终边在y 轴的左侧时(图7)，在角α终边的反向延长线上取点T(1，y′)，由于它关于原点的对称点Q(－1，－y′)在角α终边上，故有tan α＝－y′－1＝y′＝AT.图6 图7即总有tan α＝AT.因此，我们把有向线段AT 叫做角α的正切线． 有向线段MP 、OM 、AT 都称为三角函数线．当角α的终边在不同象限时，其三角函数线如图8所示．图8师生共同讨论探究，最后一致得出以下几点：(1)当角α的终边在y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在． (2)当角α的终边在x 轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．应用示例例1如图9，α、β的终边分别与单位圆交于点P、Q，过A(1,0)作切线AT，交射线OP 于点T，交射线OQ的反向延长线于点T′，点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，sinβ＝________，cosβ＝________，tanβ＝________.图9活动：根据三角函数线的定义，可知sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT，sinβ＝NQ，cosβ＝ON，tanβ＝AT′.答案：MP OM AT NQ ON AT′点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不能随意颠倒.例2证明恒等式11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋sec 2α＋11＋csc 2α＝2. 活动：引导学生总结证明恒等式的方法与步骤，特别地，在证明三角恒等式时，一般地是从较繁的一边推向较简的一边．从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法，即从左边推向右边；从右边推向左边；左、右两边同推向第三个式子．证法一：设M(x ，y)为角α终边上异于原点的一点，|OM|＝r ，由三角函数定义，有 sin α＝y r ，cos α＝x r ，sec α＝r x ，csc α＝ry .原式左边＝11＋y 2r 2＋11＋x 2r 2＋11＋r 2x 2＋11＋r 2y 2＝r 2r 2＋y 2＋r 2r 2＋x 2＋x 2r 2＋x 2＋y2r 2＋y 2 ＝r 2＋y 2r 2＋y 2＋r 2＋x 2r 2＋x 2 ＝2＝右边． ∴原等式成立．证法二：左边＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋1cos 2α＋11＋1sin 2α＝11＋sin α＋11＋cos α＋cos 2α1＋cos α＋sin 2α1＋sin α ＝1＋sin 2α1＋sin 2α＋1＋cos 2α1＋cos 2α ＝2 ＝右边． ∴左边＝右边． ∴原等式成立．点评：根据本题的特点，被证式的左边比较复杂，故可由左边证向右边.左边＝＋r x ＋y x 1＋r x －y x＝x ＋r ＋yx ＋r －y ＝＋r ＋＋r ＋＋r －＋r ＋＝＋r ＋2＋2－y 2＝2r 2＋2xy ＋2xr＋2ry2x 2＋2xr ＝＋＋＋＝r ＋yx，知能训练课本本节练习7、8.课堂小结本节课我们学习了有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示．三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域以及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．作业利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则(1)sin α＋cos α>1；(2)sin 2α＋cos 2α＝1.证明：如图10，记角α与单位圆的交点为P ，过P 作PM⊥x 轴于M ，则sin α＝MP ，cos α＝OM.图10(1)在Rt△OMP 中，MP ＋OM>OP ， 即sin α＋cos α>1.(2)在Rt△OMP 中，MP 2＋OM 2＝OP 2， 即sin 2α＋cos 2α＝1.设计感想对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义．在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，以便为了以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础．教师要让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决．教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力．备课资料一、一个三角不等式的证明已知θ∈(0，π2)，求证：sin θ<θ<tan θ.证明：如图11，设锐角θ的终边交单位圆于点P ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP 于点T ，过点P 作PM⊥x 轴于点M ，则MP ＝sin θ，AT ＝tan θ，的长为θ，连结PA.图11∵S △OPA <S 扇形OPA <S △OAT ，∴12|OA||MP|<12|OA|2·θ<12|OA||AT|. ∴|MP|<θ<|AT|，则MP<θ<AT ，即sin θ<θ<tan θ. 二、备用习题1．若π4<θ<π2，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )A ．tan θ<cos θ<sin θB ．sin θ<tan θ<cos θC ．cos θ<tan θ<sin θD ．cos θ<sin θ<tan θ 2．若0<α<2π，则使sin α<32和cos α>12同时成立的α的取值范围是( ) A ．(－π3，π3) B ．(0，π3)C ．(5π3，2π)D ．(0，π3)∪(5π3，2π)3．在(0,2π)内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是__________． 4．设0<β<α<π2，求证：α－β>sin α－sin β.5．当α∈[0,2π)时，试比较sin α与cos α的大小． 参考答案：1.D 2.D 3.(π4，5π4)4．证明：如图12，设单位圆与角α、β的终边分别交于P 1、P 2，作P 1M 1⊥x 轴于M 1，作P 2M 2⊥x 轴于M 2，作P 2C⊥P 1M 于C ，连结P 1P 2，图12则sin α＝M 1P 1，sin β＝M 2P 2，α－β＝，∴α－β＝>P 1P 2>CP 1＝M 1P 1－M 1C ＝M 1P 1－M 2P 2＝sin α－sin β，即α－β>sin α－sin β.5．解：如图13.(1)当0≤α<π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 1(x 1，y 1)，此时x 1>y 1，而sin α＝y 1，图13cos α＝x 1，∴cos α>sin α.(2)当α＝π4时，x 1＝y 1，此时sin α＝cos α.(3)当π4<α≤π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 2(x 2，y 2)，此时y 2>x 2，而sin α＝y 2，cos α＝x 2，∴sin α>cos α.(4)当π2<α≤π时，sin α≥0，cos α<0，∴sin α>cos α.(5)当π<α<5π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 3(x 3，y 3)，此时x 3<y 3<0，而sin α＝y 3，cos α＝x 3，∴sin α>cos α.(6)当α＝5π4时，有sin α＝cos α.(7)当5π4<α≤3π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 4(x 4，y 4)，此时y 4<x 4<0，而sin α＝y 4，cos α＝x 4，∴sin α<cos α.(8)当3π2<α<2π时，cos α≥0，sin α<0，∴cos α>sin α.综上所述，当α∈(π4，5π4)时，sin α>cos α；当α＝π4或5π4时，sin α＝cos α；当α∈[0，π4)∪(5π4，2π)时，sin α<cos α.。
高中数学第一章三角函数第二节任意角的三角函数(第二课时)示范教案新人教A版必修4
第一章第二节任意角的三角函数第二课时整体设计教学内容分析本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好地理解任意角的三角函数的定义．在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用．《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用．学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣．我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍有太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味．所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索．如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义．第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象(周期振荡现象)，解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函数内容处理上的一个突出特点．根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号．设计理念本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图象，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣．并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程中的强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力．教学目标1．借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好地理解任意角的三角函数的定义．2．从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号．3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．教学重点与难点1．教学重点：任意角三角函数的定义．2．教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域．教学过程第一部分——情景引入问题1：如图1是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？图1设计意图高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解．这个数学模型很好地融合了初中对三角函数的定义，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，揭示函数的本质．第二部分——复习回顾锐角三角函数让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”分析：作图如图2很容易知道：从起始位置OA 运动30秒后到达P 点位置，由题意知∠AOP ＝30°，作PH 垂直地面交OA 于M ，又知MH ＝h 0，所以本问题转变成求PH 再次转变为求PM .图2要求PM 就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数．问题2：锐角α的正弦函数如何定义？学生自主探究：学生很容易得到图3sin α＝|MP ||OP |＝|MP |R⇒|MP |＝R sin α⇒|PH |＝h 0＋R sin α⇒h ＝h 0＋R sin α， 所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒，你离地面的高度h 为多少”．h 1＝h 0＋R sin30°；h 2＝h 0＋R sin45°.教师总结：t °在锐角的范围中，h ＝h 0＋R sin t °.第三部分——引入新课问题3：请问t 的范围为多少？随着时间的推移，你离地面的高度h 为多少？能不能猜想h ＝h 0＋R sin t °？分析：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦．今天我们就要来学习任意角的三角函数．问题4：如图4建立直角坐标系，设点P (x P ，y P )，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)?图4学生自主探究：sin α＝|MP ||OP |＝y P R， cos α＝|OM ||OP |＝x P R ，tan α＝|MP ||OM |＝y P x P.问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？分析：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明．设计意图让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系．通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样． 问题6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？学生自主探究：学生通过上面已知知识得到sin α＝|MP ||OP |＝y P R， 学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天轮座舱在第150秒时，离地面的高度h?通过摩天轮知道：h ＝h 0＋R sin150°＝h 1＝h 0＋R sin30°，由此得到：sin150°＝12. 设计意图通过这个，让学生检验当α为第二象限角时sin α＝|MP ||OP |＝y P R是否正确． 问题7：当α为第三象限或第四象限角时，sin α＝|MP ||OP |能成立吗？ 设计意图让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差．(可以让学生取t ＝210，从而h ＝h 0＋R sin210°，得到sin210°＝－12，发现这与sin α＝|MP ||OP |不相符，实际上是sin α＝－|MP ||OP |.) 教师总结：我们通过这个模型知道如何在某些范围内计算自己此时离地面的高度，用数学模型h ＝h 0＋R sin t °来表示，当摩天轮转动时，角度的概念也不知不觉地推广到了任意角，对于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了，我们更应该用点P 的横坐标来代替|MP |或－|MP |，那么这样就能够很好地表示出任意角的正弦函数的定义．第四部分——给出任意角的三角函数的定义如图5，已知点P (x ，y )为角α终边上的点，点P 到顶点O 的距离为R ，则图5 sin α＝y R(α∈R )cos α＝x R(α∈R ) tan α＝y x (α≠π2＋k π) 分析：让学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离．问题8：当摩天轮的半径R ＝1时，三角函数的定义会发生怎样的变化？学生自主探究：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化．教师进一步给出单位圆的定义．第五部分——例题讲解例1已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，求角α的正弦、余弦和正切值．分析：让学生现学现卖，用上面的定义二就可以得到答案．例2求5π3的正弦、余弦和正切值． 学生自主探究：让学生自己思考并独立完成．然后与课本的解答对比一下，发现本题的难点．教师讲解：本题题意很简单，但是如何入手却是难点，关键是对本节课的三角函数定义的要点有没有领会清楚(任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离)，因此本题的重点之处是如何利用单位圆找到这个点P ，如图6可以知道∠POM ＝π3，又点P 在第四象限，得到P (12，－32)，这样就可以很容易得到本题的答案． 图6不妨让学生取R ＝|OP |＝4，能否也得到点P 的坐标，得到的三角函数值是否与单位圆的一样？这样可以让学生更深刻地体验三角函数的定义．例3求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角．⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ<0，tan θ>0.①② 活动：教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系，提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系．可以知道：三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号，当点P 在第一、二象限时，纵坐标y >0，点P 在第三、四象限时，纵坐标y <0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．第六部分——巩固练习练习1.例2变式：求7π6的正弦、余弦和正切值． 练习2.问题9：通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号．独立完成课本本节的“探究”．设计意图练习1、练习2的设计与例2、例3衔接，主要目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利用坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角函数的有关问题的思想方法．并在特殊情形中体会数形结合的思想方法．第七部分——小结与作业学生自我总结作业：课本本节练习1,2,3教学反思1．教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上．背景创设是学生熟悉的摩天轮，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利于学生的思考．2．情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好地引入在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质．3．通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展．这和课程标准的理念是一致的．4．《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一，在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间，促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识，提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，使其上升为一种数学意识，自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断．在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略，使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界，是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器，同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力．增进了他们对数学的理解和应用数学的信心．。
安徽省铜陵市高中数学 第一章《三角函数》任意角的三角函数1学案(无答案)新人教A版必修4
2、三角函数中的自变量、函数值分别是什么
（完成在右侧重点识记处）
师友对子
互助互惠
（6分钟）
迅速找到自己的师友小对子，对自学指导内容进行交流：
①明确任意角的三角函数值
②理清例1、例2■用红笔及时的修正和标记。
检测型展示
【看解答·理思路】
1、例1中，首先作∠AOB=，再利用单位圆求出点B（，），最后运用公式求解；
2、仿照例1的理思路，自我在课本上整理例2的解题思路；
【看例题·再总结】
总结已知任意角α终边上任意一点时，三角函数的求法；
同类演练
用1分钟时间自主研读下列题目，并在作答区解答：
已知角 的终边经过点P（3，-4），求角 的正弦、余弦和正切值
概念认知
·
例题导析
主题一：概念认知自研课本11→12页
☆初中链接（结合课本图1.2-1）
Sinα==,cosα==
tanα==;
☆圆中过渡（பைடு நூலகம்合课本图1.2-2）
1、若将点P放入半径为1的圆中，上面的三角函数值为：Sinα==,
cosα==，tanα==;
2、单位圆是指以为圆心，为半径的圆；
☆高中延伸（结合课本图1.2-3）
4人共同体
小组任务安排
板书组:组员在科研组长带领下安排1-2人进行板书规划，其他同学继续互动，冲刺挑战。
非板书组：组员在科研组长带领下，进行预展。
①主持人的确定
②展示流程的梳理③展示人员的确定④组内进行预展示
主题型展示
重点：求三角函数值
难点：例2的处理
板书：呈现例1、例2的规范解答；
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……Sin(30°+k×360°)=sin°
☆总结归纳
1、通过上面的探究，试总结三类三角函数值的公式；（完成在课本13页的探究处）
用文字描述你所总结出的公式；
共同体合学
冲刺与挑战
（10分钟）
小组任务安排
板书组:
组员在科研组长带领下安排1-2人进行板书规划，其他同学继续互动，冲刺挑战。
由①式得角θ的终边可能位于：
由②式得角θ的终边可能位于：
通过取交集得出结论；
总结如何记忆三类三角函数值在各象限中的正负号；
主题三：公式生成自研课本13页的探究
☆规律探究
1、写出与已知角终边相等的角：30°=°+360°=°+2×360°……我们得出：30°=°+K×360°，总结：α=+K·2π
2、Sin(30°+360°)=sin390°=sin°
展示主题
（内容·方式）
随堂笔记
（成果记录·同步演练）
规律探究
·
例题导析
·
问题探究
主题一：规律探究自研课本13页的探究
☆学法指导（结合课本13页探究）
1、三角函数中的自变量是，函数值是；
2、结合自变量的取值范围，分别探究三类三角函数的定义域（完成在右侧重点识记处）
3、结合复习巩固中的三角函数的表达式，自我探究三类三角函数在各象限中的正负性
任意角三角函数（2）
展示课（时段：正课时间：60分钟）
学习主题：1、探究任意角的三角函数值在各象限的正负号，并会判断一个角的三个三角函数值的正负性；
2、探究三角函数的诱导公式（一）；
【主题定向·五环导学·展示反馈】
课堂
结构
自研自探
合作探究
展示表现
总结归纳
课程
结构
自学指导
（内容·学法）
互动策略
（内容·形式）
同类演练
同类演练（15+2分钟）
用1分钟时间自主研读下列题目，并在作答区解答：
判断下列各式的符号
1、
2、
【温馨提示】
首先根据弧度数判定自变量属于哪个象限
【规范答题区】
尝试性完成书本P15习题3、5、6（不能解决的问题即是明日分享的好素材）
学习主题报告
对三角函数的各象限的符号与诱导公式一通过自研自探将设主ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ以报告形式呈现（对规律性东西进行小结，对认知性问题可提出自我见解，可尝试性给出问题，并在互动时与对子分享）
非板书组：
组员在科研组长带领下，进行预展。
①确定主持人
②展示流程的梳理
③展示人员的确定
④组内进行
预展
主题性展示
（10分钟）
例题导析
重点：证明过程
难点：如何定象限
板书：呈现例3的规范解答；
展示例3；
③通过例3的展示，总结各类三角函数值在各象限中符号的记忆方法；
④对诱导公式一进行探究与解析.
建议：
重点放在符号的记忆方法上；
定义域是：
tanα的自变量是：
定义域是：
三角函数·诱导公式一：
Sin()=
sin
cos()=
cos
tan()=
tan
等级评定：★
主题二：例题导析自研课本例3
1、本题是一道证明题，根据三角函数值的正负性，判断角的终边落在那个象限中；
2、命题的已知有，sinθ0且tanθ0；
要证明的结论是，角θ为第象限角；
（完成在课本13页的探究处）
师友对子
互助互惠
（5分钟）
迅速找到自己的师友小对子，对自学指导内容进行交流：
①明确各类三角函数的定义域
②探究各类三角函数在各象限中的符号；
检测性展示
（4分钟）
导师就师友对子成果进行双基反馈性检效展示
以抽查形式展开
检测小练笔内容
【重点识记】
Sinα的自变量是：
定义域是：
cosα的自变量是：