最新-山东省舜耕中学2018届高三数学一轮复习资料 第十四编 系列4选讲141 矩阵与变换作业 理 精品
山东省舜耕中学高三数学一轮复习资料 第四编 三角函数及三角恒等变换 4.3 三角函数的图像与性质(教师)理
高三数学（理）一轮复习教案 第四编 三角函数及三角恒等变换总第18期§4.3 三角函数的图像与性质基础自测 1. ①在(0,2π)上递减；②以2π为周期；③是奇函数. 写出一个同时满足上述条件的函数 （写出一个你认为正确的即可）. 答案 y=-sinx2.（2009·东海高级中学高三调研）将函数y=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx 的图象先向左平移3π,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 .答案 y=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx3.设函数y=acosx+b （a 、b 为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx 的最大值是 . 答案 54.函数y=|sinx|的一个单调增区间是 （写出一个即可）. 答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,ππ 5.（2008·全国Ⅱ理）若动直线x=a 与函数f(x)=sinx 和g(x)=cosx 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN|的最大值为 . 答案 2例题精讲例1 求下列函数的定义域：（1）y=lgsin(cosx);(2)y=x x cos sin -.解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0.∵-1≤cosx ≤1,∴0＜cosx ≤1.方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-2π+2k π＜x ＜2π+2k π,k ∈Z }. 方法二 利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0＜OM ≤1, ∴OM 只能在x 轴的正半轴上，∴其定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+-k k x k x ,2222|ππππ.（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx ≥0.方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2π］上 y=sinx 和y=cosx 的图象，如图所示. 在［0，2π］内，满足sinx=cosx 的x 为4π，45π， 再结合正弦、余弦函数的周期是2π, 所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+k k x k x ,24524|ππππ.方法二 利用三角函数线，如图MN 为正弦线，OM 为余弦线， 要使sinx ≥cosx,即MN ≥OM ，则4π≤x ≤45π（在［0，2π］内）. ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x k x ,24524|ππππ方法三 sinx-cosx=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-4πx ≥0，将x-4π视为一个整体，由正弦函数y=sinx 的图象和性质，可知2k π≤x-4π≤π+2k π, 解得2k π+4π≤x ≤45π+2k π,k ∈Z ，所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x kx x ,24542|πππ. 例2 求下列函数的值域： （1）y=xxx cos 1sin 2sin -;(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;(3)y=2cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ππ3+2cosx. 解 （1）y=x x x x cos 1sin cos sin 2-=x x x cos 1)cos 1(cos 22--=2cos 2x+2cosx=2221cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21.于是当且仅当cosx=1时取得y max =4,但cosx ≠1,∴y ＜4，且y min =-21,当且仅当cosx=-21时取得，故函数值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-4,21. （2）令t=sinx+cosx,则有t 2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=212-t .有y=f(t)=t+212-t =1)1(212-+t .又t=sinx+cosx=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πx ，∴-2≤t ≤2，故y=f(t)= 1)1(212-+t (-2≤t ≤2),从而知：f(-1)≤y ≤f(2),即-1≤y ≤2+21，即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-212,1.（3）y=2cos ⎪⎭⎫⎝⎛+x 3π+2cosx=2cos3πcosx-2sin 3πsinx+2cosx=3cosx-3sinx=23⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x sin 21cos 23=23cos ⎪⎭⎫⎝⎛+6πx . ∵⎪⎭⎫⎝⎛+6cos πx ≤1，∴该函数值域为［-23，23］.例3求函数y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π的单调区间.解 方法一 y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π化成y=-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx .∵y=sinu(u ∈R )的递增、递减区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k （k ∈Z ),⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππk k (k ∈Z ) ∴函数y=-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx 的递增、递减区间分别由下面的不等式确定2k π+2π≤x-4π≤2k π+23π（k ∈Z ),即2k π+43π≤x ≤2k π+47π（k ∈Z )， 2k π-2π≤x-4π≤2k π+2π（k ∈Z ),即2k π-4π≤x ≤2k π+43π（k ∈Z ) ∴函数y=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的单调递减区间、单调递增区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-432,42ππππk k （k ∈Z ),⎥⎦⎤⎢⎣⎡++472,432ππππk k （k ∈Z ) 方法二 y=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π可看作是由y=2sinu 与u=x -4π复合而成的.又∵u=x -4π为减函数，∴由2k π-2π≤u ≤2k π+2π（k ∈Z ), -2k π-4π≤x ≤-2k π+43π(k ∈Z ). 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）为y=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递减区间. 由2k π+2π≤u ≤2k π+23π (k ∈Z ),即2k π+2π≤4π-x ≤2k π+23π(k ∈Z )得 -2k π-45π≤x ≤-2k π-4π (k ∈Z ),即⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z )为y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π的递增区间综上可知：y=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）；递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）巩固练习1.求f(x)=)2cos(21x --π的定义域和值域.解 由函数1-2cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π≥0,得sinx ≤22,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-k k x k x ,42452|ππππ. 当sinx=cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=22时，y min =0; 当sinx=cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=-1时，y max =21+.所以函数的值域为［0，21+］.2.已知函数f(x)=xx x 2cos 1cos 3cos 224+-,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.解 由题意知cos2x ≠0，得2x ≠k π+2π，解得x ≠42ππ+k （k ∈Z ）. 所以f(x ）的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈k k x x x ,42ππ且,. 又f （x)= x x x 2cos 1cos 3cos 224+-=xx x 2cos 1cos )1cos 2(22--=cos 2x-1=-sin 2x.又定义域关于原点对称，∴f （x ）是偶函数. 显然-sin 2x ∈［-1，0］，但∵x ≠42ππ+k ,k ∈Z .∴-sin 2x ≠-21. 所以原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<--<≤-021211|y y y 或.3.（1）求函数y=sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 23π的单调递减区间；（2）求y=3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-46x π的周期及单调区间. 解 （1）方法一 令u=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 23π,y=sinu ，利用复合函数单调性， 由2k π-2π≤-2x+3π≤2k π+2π(k ∈Z ),得2k π-65π≤-2x ≤2k π+6π（k ∈Z ), -k π-12π≤x ≤-k π+125π (k ∈Z ),即k π-12π≤x ≤k π+125π（k ∈Z ).Z Z R∴原函数的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k (k ∈Z ). 方法二 由已知函数y=-sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ,欲求函数的单调递减区间，只需求y=sin ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx 的单调递增区间.由2k π-2π≤2x-3π≤2k π+2π（k ∈Z ),解得k π-12π≤x ≤k π+125π（k ∈Z ).∴原函数的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k （k ∈Z ）. （2）y=3tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-46x π=-3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-64πx ,∴T=ωπ=4π,∴y=3tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-46x π的周期为4π. 由k π-2π＜64π-x ＜k π+2π，得4k π-34π＜x ＜4k π+38π(k ∈Z ),y=3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-64πx的单调增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-384,344ππππk k (k ∈Z ） ∴y=3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-46x π的单调递减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-384,344ππππk k (k ∈Z ).回顾总结知识 方法 思想课后作业 一、填空题1.已知函数y=tan ωx 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内是减函数,则ω的范围是 .答案 -1≤ω＜02.（2009·徐州模拟）函数f(x)=sinx-3cosx (x ∈［-π，0］)的单调递增区间是 . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π3.函数f(x)=tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y=4π所得线段长为4π,则f （4π）的值是 . 答案 0 4.函数y=2sin （6π-2x ）(x ∈［0，π］)为增函数的区间是 . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ5.函数f(x)=lg(sin2x+3cos2x-1)的定义域是 . 答案 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+<<-k k x k x ,412|ππππ 6.给出下列命题：①函数y=cos ⎪⎭⎫⎝⎛+232πx 是奇函数；②存在实数α,使得sin α+cos α=23;③若α、β是第一象限角且α＜β,则tan α＜tan β; ④x=8π是函数y=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+452πx 的一条对称轴方程；⑤函数y=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π成中心对称图形.其中命题正确的是 （填序号）. 答案 ①④7.（2008·江苏，1）f(x)=cos(ωx-6π)最小正周期为5π，其中ω＞0，则ω= . 答案 108.（2009·东海高级中学高三调研）定义在R 上的函数f(x):当sinx ≤cosx 时，f(x)=cosx;当sinx ＞cosx 时，f(x)=sinx.给出以下结论： ①f(x)是周期函数 ②f(x)的最小值为-1③当且仅当x=2k π (k ∈Z )时，f(x)取最大值 ④当且仅当2k π-2π＜x ＜(2k+1)π(k ∈Z )时，f(x)＞0 ⑤f(x)的图象上相邻最低点的距离是2π.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上) 答案 ①④⑤ 二、解答题9.已知x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ，若方程mcosx-1=cosx+m 有解，试求参数m 的取值范围. 解 由mcosx-1=cosx+m 得cosx=11-+m m ,作出函数y=cosx 的图象（如图所示）， 由图象可得21≤11-+m m ≤1,解得m ≤-3. 10.设a =⎪⎭⎫⎝⎛++x x xsin cos ,42sin2π,b =(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a ·b .（1）求函数f(x)的解析式；（2）已知常数ω＞0，若y=f(ωx)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，求ω的取值范围；（3）设集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤ππ326x x，B={x||f(x)-m|＜2},若A ⊆B ，求实数m 的取值范围.解 （1）f(x)=sin 242x +π·4sinx+(cosx+sinx)·(cosx-sinx)=4sinx ·22cos 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x π+cos2x=2sinx(1+sinx)+1-2sin 2x=2sinx+1,∴f(x)=2sinx+1.（2）∵f(ωx)=2sin ωx+1,ω＞0.由2k π-2π≤ωx ≤2k π+2π,得f(ωx)的增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ωπωπωπωπ22,22k k ,k ∈Z . ∵f （ωx ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ωπωπ2,2. ∴-2π≥ωπ2-且32π≤ωπ2,∴ω∈ ⎝⎛⎥⎦⎤43,0. （3）由|f(x)-m|＜2,得-2＜f(x)-m ＜2,即f(x)-2＜m ＜f(x)+2. ∵A ⊆B ，∴当6π≤x ≤π32时，不等式f(x)-2＜m ＜f(x)+2恒成立. ∴f （x ）max -2＜m ＜f(x)min +2,∵f(x)max =f(2π)=3,f(x)min =f(6π)=2,∴m ∈（1，4）. 11.定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π,且当x∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π时，f （x ）=sinx.（1）求当x ∈［-π，0］时，f(x)的解析式； （2）画出函数f(x)在［-π，π］上的函数简图； （3）求当f(x)≥21时，x 的取值范围.解 （1）∵f(x)是偶函数，∴f （-x ）=f （x ）.而当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π时，f(x)=sinx.∴当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π时，f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx. 又当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2,ππ时，x+π∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，∵f （x ）的周期为π， ∴f （x ）=f(π+x)=sin(π+x)=-sinx.∴当x ∈［-π,0］时，f(x)=-sinx. （2）如图：（3）由于f(x ）的最小正周期为π,因此先在［-π，0］上来研究f(x)≥21, 即-sinx ≥21,∴sinx ≤-21,∴-65π≤x ≤-6π. 由周期性知，当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,65ππππk k ,k ∈Z 时，f(x)≥21. 12.已知a ＞0，函数f(x)=-2asin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx +2a+b,当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π时，-5≤f(x)≤1.（1）求常数a,b 的值；(2)设g(x)=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πx 且lg g(x)＞0,求g(x)的单调区间.解 （1）∵x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，∴2x+6π∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ67,6.∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21， ∴-2asin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ∈［-2a,a ］.∴f(x)∈［b,3a+b ］,又∵-5≤f(x)≤1,因此可得b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.（2）由（1）知a=2,b=-5,∴f （x ）=-4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx -1,g(x)=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πx =-4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+672πx -1=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx -1.又由lg g(x)＞0得g(x)＞1,∴4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx -1＞1,∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＞21,∴2k π+6π＜2x+6π＜2k π+65π,k ∈Z .由2k π+6π＜2x+6π≤2k π+2π(k ∈Z ),得g(x)的单调增区间为：⎥⎦⎤⎝⎛+6,πππk k （k ∈Z ）由2k π+2π≤2x+6π＜2k π+65π,得g(x)的单调减区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡++3,6ππππk k （k ∈Z ）.。
山东省舜耕中学高三数学一轮复习资料 第十四编 系列4选讲14.1 矩阵与变换教案 理
高三数学（理）一轮复习 教案 第十四编 系列4选讲总第69期 §14.1 矩阵与变换基础自测 1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-14= . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡82 2. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0211⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-x y x 2 3.设a,b ∈R ,若矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 01把直线l ：x+y-1=0变成为直线m:x-y-2=0，则a= ，b= .答案 2 -14.先将平面图形作关于直线y=x 的反射变换，再将它的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的三分之一，则整个变换可以用矩阵表示为 .答案 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡031205.设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡724k ，若AB=BA ，则k= . 答案 3例题精讲例1 已知变换T 把平面上的点A （2，0），B （3，1）分别变换成点A ′(2,1),B ′(3,2)，试求变换T 对应的矩阵M.解 设M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，则有M ： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡02→⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ·⎥⎦⎤⎢⎣⎡02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c a 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12，解得⎪⎩⎪⎨⎧==211c a ； M ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡13→⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ·⎥⎦⎤⎢⎣⎡13=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++d c b a 33=⎥⎦⎤⎢⎣⎡23，解得⎪⎩⎪⎨⎧==;21,0d b 综上，M=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212101. 例2 已知O （0，0），A （2，1），O ，A ，B ，C 依逆时针方向构成正方形的四个顶点.（1）求B ，C 两点的坐标； （2）把正方形OABC 绕点A 按顺时针方向旋转45°得到正方形AB ′C ′O ′，求B ′，C ′，O ′三点的坐标.解 （1）显然向量OA 绕O 点逆时针方向旋转90°得向量OC ，变换矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110. 所以有⎥⎦⎤⎢⎣⎡c c y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110·⎥⎦⎤⎢⎣⎡12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21，即OC =（-1，2），C 点坐标是（-1，2）. 又OB =OA +OC =（2，1）+（-1，2）=（1，3），所以B 点坐标是（1，3）.（2）变换矩阵是N =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22222222， AO =（-2，-1），AC =（-3，1），AB =（-1，2）.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22222222·⎥⎦⎤⎢⎣⎡----211132=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--2232222222223.即O A '=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,223，C A '=(-2,22),AB ′=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛223,22∴O O '=OA +O A '=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-222,4234，点O ′的坐标是（222,2234+-）, 同理，点C ′的坐标是(2-2,1+22),点B ′的坐标是⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2232,224. 例3 试从几何变换的角度求AB 的逆矩阵. （1）A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4001；（2）A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110. 解 （1）矩阵A 对应的是伸压变换，它将平面内的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，因此它的逆矩阵是A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021； 同理，矩阵B 对应的也是伸压变换，它将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的4倍，因此它的逆矩阵是B -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡41001；所以（AB ）-1=B -1A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡41001·⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡410021. （2）矩阵A 对应的是反射变换，它将平面内的点变为该点关于直线x-y=0的对称点，所以该变换的逆变换为其自身，A -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110；矩阵B 对应的也是反射变换，它将平面内的点变换为与其关于原点对称的点，所以B -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110； 所以，（AB ）-1=B -1A -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001. 例4 （14分）已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，并且矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）. （1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系. 解 （1）设M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=8⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡88，故⎩⎨⎧=+=+.8,8d c b a 2分⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42，故⎩⎨⎧=+--=+-.42,22d c b a 4分联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4,故M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4426. 6分（2）由（1）知，矩阵M 的特征多项式为f （λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ2-10λ+16， 故其另一个特征值为λ=2. 9分设矩阵M 的另一个特征向量是e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，则M e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 4426=2⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，所以⎩⎨⎧=+=+y y x xy x 244226, 12分 所以矩阵M 的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是2x+y=0. 14分巩固练习1.（2008·南京质检）二阶矩阵M 对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1） 与（0，-2）. （1）求矩阵M ；（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m:x-y=4,求l 的方程.解 （1）设M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11,⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-20 所以⎩⎨⎧-=--=-11d c b a ,且⎩⎨⎧-=+-=+-2202d c b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====4321d c b a ，所以M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321. （2）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 432且m ：x ′-y ′=4,所以(x+2y)-(3x+4y)=4,整理得x+y+2=0，所以直线l 的方程为x+y+2=0.2.将双曲线C ：x 2-y 2=1上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C ′，试求C ′的方程.解 由题意，得旋转变换矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡︒︒︒-︒45cos 45sin 45sin 45cos =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22222222， 任意选取双曲线x 2-y 2=1上的一点P （x 0,y 0），它在变换T M 作用下变为P ′(x ′0,y ′0),则有M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡''00y x ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+='-=')(22)(22000000y x y y x x ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'='+'=)(22)(22000000x y y y x x ，又因为点P 在曲线x 2-y 2=1上，所以20x -20y =1,即有20x '0y '=1.∴所求的C ′方程为xy=21.3.（2008·徐州模拟）已知M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7321. （1）求逆矩阵M -1；（2）若矩阵X 满足MX=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，试求矩阵X.解 （1）设M -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a，依题意有⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--+d c d c b a b a 723723=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+=--=+,172,03,072,13d c d c b a b a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==1327d c b a ∴M -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1327. （2）∵矩阵X 满足MX=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，∴矩阵X=M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1327⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡49. 4.（2008·苏州信息卷）已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3113，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量. 解 由3113--λλ=（λ-3）2-1=0，解得λ1=2, λ2=4.设矩阵M 的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡yx .当λ1=2时,由M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =2⎥⎦⎤⎢⎣⎡yx 可得⎩⎨⎧=-=+-00y x y x ,可见，α1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11是M 的属于λ1=2的特征向量.当λ2=4时，由M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =4⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 可得,⎩⎨⎧=+=+00y x y x ,可见，α2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11是M 的属于λ2=4的特征向量. 回顾总结 知识 方法 思想课后作业 一、填空题1.下列矩阵是二阶单位矩阵的是 . ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 ②⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 ③⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 ④⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000 答案 ①2.将圆x 2+y 2=1在矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 00对应的伸压变换下变成一个椭圆x 2+42y =1，则a+b= .答案 33.在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201对应的变换下，点A （2，1）将会转换成 . 答案 （2，5）4.若直线x-y-4=0在矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a11对应的变换作用下，把自己变为自己，则a,b 的值分别为 . 答案 0，25.将点（2，4）先经矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为 .答案 （-8，2）6.将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于y 轴对称的变换，再将它做关于直线y=x 对称的变换，则此平面变换所对应的二阶变换矩阵为 .答案 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022107.若矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡133b a 把直线l:2x+y-7=0变换成另一直线l ′:9x+y-91=0,则a= ,b= . 答案 0 -1 8.矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2321的所有特征向量为 . 答案 k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32和k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，（k ≠0） 二、解答题9.试求曲线y=sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021. 解 MN =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20021，即在矩阵MN 变换下⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x 221，则21y ′=sin2x ′,即曲线y=sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y=2sin2x.10.已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，并且矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.求直线l:x-y+1=0在矩阵M 的变换下的直线l ′的方程. 解 设M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=8⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡88，故⎩⎨⎧=+=+.8,8d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42，故⎩⎨⎧=+--=+-.42,22d c b a联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4,故M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4426. 设点（x ，y ）是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为（x ′,y ′）， 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4426⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 4426，即x=41x ′-81y ′,y=-41x ′+83y ′,代入直线l 的方程后并化简得x ′-y ′+2=0,即x-y+2=0.所以变换后的直线方程为x-y+2=0.11.（2008·如东质检）已知矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-111a ，其中a ∈R ，若点P （1，1）在矩阵A 的变换下得到点P ′（0，-3）. （1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的特征值及特征向量. 解（1）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-111a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-30得a+1=-3⇒a=-4. （2）由（1）知A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1411则矩阵A 的特征多项式为f （λ）=1411--λλ=（λ-1）2-4=λ2-2λ-3令f(λ)=0,得矩阵A 的特征值为-1或3.设矩阵A 的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，当λ=-1时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1411⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =(-1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，即⎩⎨⎧-=+--=-y y x xy x 4,所以y=2x. ∴矩阵A 的属于特征值-1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21. 当λ=3时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1411⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =3⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ,即⎩⎨⎧=+-=-y y x xy x 343,所以2x+y=0. ∴矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21.12.（2008·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2+y 2=1在矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程.解 设P （x 0,y 0）是椭圆上任意一点，点P （x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(0x ',0y '),则有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''00y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x ，即⎩⎨⎧='=',,20000y y x x 所以⎪⎩⎪⎨⎧'='=.,20000y y x x 又因为点P 在椭圆上，故420x +20y =1,从而(0x ')2+(0y ')2=1.所以曲线F 的方程为x 2+y 2=1. 13.已知矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3421，求特征值及特征向量. 解 矩阵A 的特征多项式为f(λ)=3421----λλ.令f(λ)=0,即λ2-4λ-5=0,得λ1=-1, λ2=5,所以矩阵A 的特征值为λ1=-1, λ2=5. 将λ1=-1代入二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=-+-0)3()4(0)2()1(y x y x λλ. ①，即⎩⎨⎧=--=--044022y x y x ,得x=y,它有无穷多个非零解⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x ,其中x ≠0,故⎥⎦⎤⎢⎣⎡11为矩阵属于特征值λ=-1的特征向量. 同样，将λ1=5代入二元一次方程组①，则⎩⎨⎧=+-=-024,024y x y x 得y=2x,它有无穷多个非零解⎥⎦⎤⎢⎣⎡xx 2，其中x ≠0,故⎥⎦⎤⎢⎣⎡21为矩阵属于特征值λ=5的特征向量.14.已知矩阵M 有特征值λ1=4及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡32，并有特征值λ2=-1及对应的一个特征向量e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11. （1）求矩阵M ；（2）求M 2 008e 2.解 （1）设M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32=4⎥⎦⎤⎢⎣⎡32=⎥⎦⎤⎢⎣⎡128，故⎩⎨⎧=+=+1232832d c b a .又⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=（-1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，故⎩⎨⎧=--=-11d c b a . 联立以上两个方程组， 解得a=1,b=2,c=3,d=2,故M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2321. （2）M2 008e 2=λ20082e 2=（-1）2 008⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11.。
山东省舜耕中学2012届高三数学一轮复习资料 第四编 三角函数及三角恒等变换 4.4 函数y=Asi
高三数学（理）一轮复习作业 第四编 三角函数及三角恒等变换总第19期§4.4 函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象及三角函数模型的简单应用班级 姓名 等第一、填空题1.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .2.（2008·全国Ⅰ理，8）为得到函数y=cos ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象，只需将函数y=sin2x 的图象向 平移 个单位长度.3.（2008·湖南理，6）函数f(x)=sin 2x+3sinxcosx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上的最大值是 .4.（2008·四川理，10）设f （x ）=sin （ωx+ϕ），其中ω＞0,则f(x)是偶函数的充要条件是 .5.函数y=3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+321πx 的周期、振幅依次是 6.若函数f(x)=2sin(ϕω+x )对任意x 都有f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 6π，则f ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π= . 7.（2008·辽宁理，16）已知f(x)=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πωx (ω＞0),f ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π,且f(x)在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛3,6ππ上有最小值，无最大值，则ω= . 8.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为 .二、解答题9.是否存在实数a ，使得函数y=sin 2x+acosx+85a-23在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由.10.已知函数f(x)=sin （ωx+6π）+sin （ωx-6π）-2cos 22x ω,x ∈R (其中ω＞0). (1)求函数f(x)的值域；(2)若对任意的a ∈R ，函数y=f(x),x ∈(a,a+π］的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f(x),x ∈R 的单调增区间.11.（2008·安徽理，17）已知函数f(x)=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx +2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx . (1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的值域.12.（2008·湖北理，16）已知函数f(t)=t t +-11，g(x)=cosx ·f(sinx)+sinx ·f(cosx),x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛1217,ππ. （1）将函数g(x)化简成Asin(ωx+ϕ)+B(A ＞0, ω＞０, ϕ∈［0，2π)）的形式；（2）求函数g(x)的值域.。
山东省济南市舜耕中学高三数学文下学期期末试题含解析
山东省济南市舜耕中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．参考答案：D略2. 函数的零点个数是(A)0 (B)l (C)2 (D)4参考答案：C略3. 函数（a>0且）的反函数是A. B.C. D.参考答案：A略4. 函数的图象大致是（）参考答案：D5. 如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使，BN与CM交于点P，若，，则的值为A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．12参考答案：D略6. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6＝6+a7，则S9的值是（）A．27 B．36 C．45 D．54参考答案：D【解答】解：在等差数列{a n}中，∵2a6＝a5+a7，又由已知2a6＝6+a7，得a5＝6，∴S9＝9a5＝54．7. 如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A、－B、C、D、2参考答案：D8. 已知向量，若为实数，∥，则=A．2 B．1 C．D．参考答案：C略9. 若复数，在复平面内对应的点关于y轴对称，且，则复数（）A．－1 B．1 C．D．参考答案：C，所以，故选C.10. 在△ABC中，，，若，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由可知，点是的中点，由，可以确定点是的中点，以为基底，表示出，最后确定的关系.【详解】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有：，因此，故本题选D.【点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的几何意义的理解.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设两直线与，若，则▲；若，则▲．参考答案：【知识点】两直线的位置关系H2由则（3+m ）（5+m ）-42=0,得m=-1或m=-7,当m=-1时重合，舍去。
山东省舜耕中学高三数学一轮复习资料 第三编 导数及其应用 3.2 导数的应用(教师)理
高三数学（理）一轮复习 教案 第三编 导数及其应用 总第13期 §3.2 导数的应用基础自测1.函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数g=f ′(x)的图象是如图所示的一条直线，则y=f(x)图象的顶点在第 象限. 答案 一2.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x ＞0时，f ′(x)＞0,g ′(x)＞0，则x ＜0时，f ′(x) 0,g ′(x) 0.(用“＞”, “=”,“＜”填空) 答案 ＞ ＜3.（·广东理，7）设a ∈R ,若函数y=e ax+3x,x ∈R 有大于零的极值点,则a 的取值范围是 . 答案 a ＜-34.函数y=3x 2-2lnx 的单调增区间为 ，单调减区间为 . 答案 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,33 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0 5.（·江苏，14）f(x)=ax 3-3x+1对于x ∈［-1,1］总有f(x)≥0成立，则a= .答案 4例题精讲例1 已知f(x)=e x-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解 f ′(x)= e x-a.(1)若a ≤0，f ′(x)= e x-a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增.若a ＞0, e x -a ≥0,∴e x≥a,x ≥lna. ∴f(x)的递增区间为（lna ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x)≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0，即a ≤e x在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x＞0,∴a ≤0.（3）方法一 由题意知e x-a ≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a ≥e x在（-∞，0］上恒成立. ∵e x在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，e x最大为1.∴a ≥1.同理可知e x-a ≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a ≤e x在［0，+∞）上恒成立.∴a ≤1，∴a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴f ′(0)=0,即e 0-a=0,∴a=1.例2 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x ）有极值.（1）求a,b,c 的值；（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值.解 （1）由f （x)=x 3+ax 2+bx+c,得f ′(x)=3x 2+2ax+b,当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a+b=0 ①当x=32时，y=f(x)有极值，则f ′（32）=0, 可得4a+3b+4=0 ②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x 3+2x 2-4x+5,∴f ′(x)=3x 2+4x-4, 令f ′(x)=0,得x=-2,x=32.∴ y=f(x)在[-3，1]上的最大值为13，最小值为2795例3 （14分）已知函数f(x)=x 2e -ax(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.解 ∵f （x ）=x 2e -ax（a ＞0）,∴f ′(x)=2xe -ax +x 2·（-a)e -ax =e -ax (-ax 2+2x). 3分 令f ′(x)＞0,即e -ax(-ax 2+2x)＞0,得0＜x ＜a2. ∴f(x)在（-∞,0),⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a上是减函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,0上是增函数.①当0＜a2＜1,即a ＞2时,f(x ）在（1，2）上是减函数, ∴f （x ）max =f （1）=e -a. 8分②当1≤a2≤2,即1≤a ≤2时， f(x)在（1,a 2）上是增函数，在（a 2,2）上是减函数， ∴f(x)max =f （a2）=4a -2e -2. 12分③当a2＞2时，即0＜a ＜1时，f(x)在（1，2）上是增函数， ∴f （x ）max =f （2）=4e -2a.综上所述，当0＜a ＜1时，f(x)的最大值为4e -2a,当1≤a ≤2时，f(x)的最大值为4a -2e -2,当a ＞2时，f(x)的最大值为e -a. 14分 例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为（12-x ）2万件.（1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）.解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x ∈［9,11］.(2)L ′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x). 令L ′=0得x=6+32a 或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a ≤5,∴8≤6+32a ≤328. 在x=6+32a 两侧L ′的值由正变负. 所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a ＜29时， L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). ②当9≤6+32a ≤328即29≤a ≤5时， L max =L(6+32a)=(6+32a-3-a)［12-(6+32a)］2=4(3-31a)3.所以Q(a)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-.529,)313(4,293),6(93a a a a答 若3≤a ＜29，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a)（万元）；若29≤a ≤5，则当每件售价为(6+32a)元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q(a)=4（3-31a ）3(万元).巩固练习1.已知函数f(x)=x 3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x 3-ax-1的图象不可能总在直线y=a 的上方.（1）解 由已知f ′(x)=3x 2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴f ′(x)=3x 2-a ≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立.∵3x 2≥0,∴只需a ≤0,又a=0时，f ′(x)=3x 2≥0,故f(x)=x 3-1在R 上是增函数，则a ≤0.（2）解 由f ′(x)=3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立，得a ≥3x 2,x ∈(-1,1)恒成立.∵-1＜x ＜1,∴3x 2＜3,∴只需a ≥3.当a=3时，f ′(x)=3(x 2-1), 在x ∈(-1,1)上，f ′(x)＜0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a ≥3.故存在实数a ≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减. （3）证明 ∵f(-1)=a-2＜a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a 的上方.2.求函数y=x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.解 先求导数,得y ′=4x 3-4x令y ′=0,即4x 3-4x=0. 解得xx 2=0,x 3=1.导数y ′的正负以及f(-2),f(2)如下表:从上表知,当x=±2时,函数有最大值13, 当x=±1时,函数有最小值4. 3.（·山东理，21）已知函数f(x)=nx )1(1-+aln(x-1),其中n ∈N *,a 为常数.(1)当n=2时,求函数f(x)的极值;(2)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x ≥2时,有f(x)≤x-1. (1)解 由已知得函数f(x)的定义域为{x|x ＞1}, 当n=2时,f(x)=2)1(1x -+aln(x-1), 所以f ′(x)=32)1()1(2x x a ---.①当a ＞0时,由f ′(x)=0,得 x 1=1+a 2＞1,x 2=1-a2＜1,此时f ′(x)=321)1())((x x x x x a ----.当x ∈(1,x 1)时,f ′(x)＜0,f(x)单调递减;当x ∈(x 1,+∞)时,f ′(x)＞0,f(x)单调递增.②当a ≤0时,f ′(x)＜0恒成立,所以f(x)无极值. 综上所述,n=2时, 当a ＞0时,f(x)在x=1+a2处取得极小值, 极小值为f （1+a2）=2a （1+ln a 2）.当a ≤0时,f(x)无极值.(2)证明 方法一 因为a=1, 所以f(x)=nx )1(1-+ln(x-1).当n 为偶数时, 令g(x)=x-1-nx )1(1--ln(x-1), 则g ′(x)=1+1)1(1+-n x -11-x=12--x x +1)1(+-n x n＞0 (x ≥2). 所以,当x ∈［2,+∞)时,g(x)单调递增,又g(2)=0, 因此,g(x)=x-1-nx )1(1--ln(x-1)≥g(2)=0恒成立,所以f(x)≤x-1成立.当n 为奇数时,要证f(x)≤x-1,由于nx )1(1-＜0,所以只需证ln(x-1)≤x-1, 令h(x)=x-1-ln(x-1), 则h ′(x)=1-11-x =12--x x ≥0(x ≥2), 所以,当x ∈［2,+∞)时,h(x)=x-1-ln(x-1)单调递增, 又h(2)=1＞0,所以当x ≥2时,恒有h(x)＞0, 即ln(x-1)＜x-1命题成立. 综上所述,结论成立. 方法二 当a=1时,f(x)=nx )1(1-+ln(x-1).当x ≥2时,对任意的正整数n,恒有nx )1(1-≤1,故只需证明1+ln(x-1)≤x-1. 令h(x)=x-1-(1+ln(x-1)) =x-2-ln(x-1),x ∈［2,+∞). 则h ′(x)=1-11-x =12--x x , 当x ≥2时,h ′(x)≥0,故h(x)在［2,+∞)上单调递增, 因此,当x ≥2时,h(x)≥h(2)=0, 即1+ln(x-1)≤x-1成立. 故当x ≥2时,有nx )1(1-+ln(x-1)≤x-1.即f(x)≤x-1.4.某造船公司年造船量是已知造船x 艘的产值函数为R （x ）=3 700x+45x 2-10x 3（单位：万元），成本函数为C （x ）=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f （x ）的边际函数Mf （x ）定义为Mf （x ）=f （x+1）-f （x ）. （1）求利润函数P （x ）及边际利润函数MP （x ）；（提示：利润=产值-成本） （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP （x ）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解 （1）P （x ）=R （x ）-C （x ）=-10x 3+45x 2+3 240x-5 000（x ∈N *，且1≤x ≤MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3 275 (x ∈N *,且1≤x ≤19).（2）P ′(x)=-30x 2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x ＞0,∴P ′(x)=0时,x=12，∴当0＜x ＜12时，P ′(x)＞0,当x ＞12时，P ′(x)＜0, ∴x=12时，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.（3）MP （x ）=-30x 2+60x+3 275=-30（x-1）2+3 305. 所以，当x ≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为［1，19］，且x ∈N *.MP （x ）是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.回固总结 知识 方法 思想课后作业 一、填空题1.已知f （x ）的定义域为R ，f （x ）的导函数f ′（x ）的图象如图所示，则下列说法中错误的有 （填序号）.①f(x)在x=1处取得极小值②f （x ）在x=1处取得极大值 ③f （x ）是R 上的增函数④f （x ）是（-∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数 答案 ①②④2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f ′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值点有 个. 答案 13.函数f(x)=x 2-2ax+a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g(x)=xx f )(在区间（1，+∞）上一定是 函数.（用“增”、“减”填空） 答案 增4.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 cm. 答案 85.已知f(x)=2x 3-6x 2+a (a 是常数）在［-2，2］上有最大值3，那么在［-2，2］上f(x ）的最小值是 . 答案 -37 6.已知函数f(x)=21x 4-2x 3+3m,x ∈R ,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m 的取值范围是 . 答案 m ≥237.已知函数f(x)=x 3-12x+8在区间［-3，3］上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M-m= . 答案 328.已知函数f(x)的导数f ′(x)=a(x+1)·(x-a),若f(x)在x=a 处取到极大值，则a 的取值范围是 . 答案 （-1，0） 二、解答题 9.设a ＞0,函数f(x)=12++x b ax ,b 为常数.（1）证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个； （2）若函数f(x ）的极大值为1，极小值为-1，试求a 的值. （1）证明 f ′(x)=222)1(2++--x a bx ax ,令f ′(x)=0,得ax 2+2bx-a=0(*)∵Δ=4b 2+4a 2＞0,∴方程（*)有两个不相等的实根，记为x 1,x 2(x 1＜x 2), 则f ′(x)=2221)1())((+---x x x x x a ,当x 变化时，f ′(x ）与f(x ）的变化情况如下表：f(x)的极大值点和极小值点各有一个.（2）解 由（1）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-=++=11)(11)(22222111x b ax x f x b ax x f即⎪⎩⎪⎨⎧+=+--=+②1①1222211x b ax x b ax两式相加，得a(x 1+x 2)+2b=x 22-x 21.∵x 1+x 2=-ab 2,∴x 22-x 21=0, 即(x 2+x 1)(x 2-x 1)=0, 又x 1＜x 2,∴x 1+x 2=0,从而b=0,∴a （x 2-1）=0，得xx 2=1, 由②得a=2.10.（·徐州模拟）已知函数f(x)=3342+x x ,x ∈［0，2］.（1）求f(x)的值域；（2）设a ≠0,函数g(x)=31ax 3-a 2x,x ∈［0，2］.若对任意x 1∈［0，2］，总存在x 2∈［0，2］，使f(x 1)-g(x 2)=0.求实数a 的取值范围.解 （1）方法一 对函数f(x)求导，f ′(x)=34·222)1(1+-x x .令f ′(x)=0,得x=1或x=-1.当x ∈(0,1)时，f ′(x)＞0,f(x)在(0,1）上单调递增；当x ∈(1,2)时，f ′(x)＜0,f(x)在（1，2）上单调递减.又f(0)=0,f(1)=32,f(2)=158, ∴当x ∈［0，2］时，f(x)的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0.方法二 当x=0时，f(x)=0; 当x ∈(0，2］时，f(x)＞0且 f(x)=34·xx 11+≤34·xx 121⋅=32，当且仅当x=x1,即x=1时，“=”成立. ∴当x ∈［0，2］时，f(x)的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0.(2)设函数g(x)在［0，2］上的值域是A. ∵对任意x 1∈［0，2］，总存在x 0∈［0，2］，使f(x 1)-g(x 0)=0,∴⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0 A.对函数g(x)求导，g ′(x)=ax 2-a 2. ①当x ∈(0,2),a ＜0时，g ′(x)＜0, ∴函数g(x)在（0，2）上单调递减. ∵g(0)=0,g(2)=38a-2a 2＜0,∴当x ∈［0，2］时，不满足⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0A ；②当a ＞0时，g ′(x)=a(x-a )(x+a )，令g ′(x)=0，得x=a 或x=-a （舍去）. （ⅰ)当x ∈［0，2］，0＜a ＜2时，列表：∵g(0)=0,g(a )＜0,又∵⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0A ，∴g （2）=2238a a -≥32. 解得31≤a ≤1.(ⅱ)当x ∈(0,2),a ≥2时，g ′(x)＜0, ∴函数在（0，2）上单调递减， ∵g （0）=0，g （2）=2238a a -＜0,∴当x ∈［0，2］时，不满足⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0 A.综上，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31. 11.已知函数f （x ）=x 3-ax 2-3x.（1）若f （x ）在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若x=-31是f （x ）的极值点，求f （x ）在［1，a ］上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b ，使得函数g （x ）=bx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由.解 （1）f ′(x)=3x 2-2ax-3∵f(x)在［1，+∞）上是增函数,∴f ′(x)在［1，+∞）上恒有f ′(x)≥0，即3x 2-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立 则必有3a≤1且f ′(1)=-2a ≥0,∴a ≤0. (2）依题意，f ′(-31)=0,即31+32a-3=0∴a=4,∴f （x ）=x 3-4x 2-3x令f ′（x ）=3x 2-8x-3=0， 得x 1=-31，x 2=3.则当x 变化时，f ′(x),f(x)的变化情况如下表：∴f （x ）在［1，4］上的最大值是f （1）=-6.（3）函数g （x ）=bx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，即方程x 3-4x 2-3x=bx 恰有3个不等实根∴x 3-4x 2-3x-bx=0， ∴x=0是其中一个根，∴方程x 2-4x-3-b=0有两个非零不等实根， ∴⎩⎨⎧≠-->++=∆030)3(416b b ,∴b ＞-7且b ≠-3.∴存在符合条件的实数b ，b 的范围为b ＞-7且b ≠- 3. 12.(·安徽理，函数f （x ）=xx ln 1（x ＞0且x ≠1）. （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）已知2x1＞x a对任意x ∈（0，1）成立，求实数a 的取值范围. 解 （1）f ′(x)=-xx x 22ln 1ln +，若f ′(x)=0,则x=e1.所以f(x)的单调增区间为（0, e1）， 单调减区间为（e1,1）和（1，+∞）. （2）在2x1＞x a两边取对数，得x1ln2＞alnx. 由于x ∈(0,1)，所以2ln a ＞xx ln 1. ①由（1）的结果知，当x ∈(0,1)时，f(x)≤f （e1）=-e. 为使①式对所有x ∈(0,1)成立，当且仅当2ln a＞-e, 即a ＞-eln2.。
山东省舜耕中学高三数学一轮复习资料 第四编 三角函数及三角恒等变换 4.4 函数y=Asin(
高三数学（理）一轮复习教案 第四编 三角函数及三角恒等变换总第19期§4.4 函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象及三角函数模型的简单应用基础自测1.（2008·天津理，3）设函数f （x ）=sin ⎪⎭⎫⎝⎛-22πx ，x ∈R ，则f （x ）是 （填序号）.①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为2π的奇函数 ④最小正周期为2π的偶函数 答案 ②2.（2008· 浙江理，5）在同一平面直角坐标系中,函数y=cos ⎪⎭⎫⎝⎛+232πx(x ∈[0,2π])的图象和直线y=21的交点个数是 个. 答案 23.为了得到函数y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+63πx ，x ∈R 的图象，只需把函数y=2sinx ，x ∈R 的图象上所有的点向 平移 单位，再把所有各点的横坐标变为原来的 倍. 答案 左6π3 4.下面有五个命题：①函数y=sin 4x-cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{α|α=2πk ,k ∈Z }.③在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有三个公共点. ④把函数y=3sin(2x+3π)的图象向右平移6π得到y=3sin2x 的图象. ⑤函数y=sin(x-2π)在［0,π］上是减函数，其中，真命题的编号是 . 答案 ①④5.已知函数f(x)=2sin ωx (ω＞0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值是-2，则ω的最小值等于 . 答案 23例题精讲例1 已知函数y=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx ,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象可由y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到.解 （1）y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的振幅A=2,周期T=22π=π，初相ϕ=3π. （2）令X=2x+3π,则y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx =2sinX ，列表，并描点画出图象：（3）方法一 把y=sinx 的图象上所有的点向左平移3π个单位，得到y=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx 的图象，再把y=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx 的图象上的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到y=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象，最后把y=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象.方法二 将y=sinx 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到y=sin2x 的图象；再将y=sin2x 的图象向左平移6π个单位；得到y=sin2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将y=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象.例2 如图为y=Asin （ωx+ϕ）的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N 为第一个零点，则A=-3，T=2⎪⎭⎫⎝⎛-365ππ=π，∴ω=2，此时解析式为y=-3sin （2x+ϕ）.∵点N ⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π，∴-6π×2+ϕ=0，∴ϕ=3π， 所求解析式为y=-3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：选修系列第十四章14.2第2课时含解析
第2课时不等式的证明1．不等式证明的方法（1）比较法:①作差比较法：知道a〉b⇔a－b〉0，a<b⇔a－b<0,因此要证明a〉b只要证明a－b〉0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法：由a〉b〉0⇔错误!>1且a>0，b>0，因此当a>0，b〉0时,要证明a>b,只要证明错误!>1即可,这种方法称为作商比较法．(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法．即“由因导果”的方法．（3)分析法：从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法．（4）反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法．②在证明不等式时,有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．(5)数学归纳法:一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤：①证明当n＝n0时命题成立；②假设当n＝k（k∈N＊，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．几个常用基本不等式（1）柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a，b,c，d都是实数,则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd)2（当且仅当ad＝bc时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α|｜β｜≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R,则x1－x22＋y1－y22＋错误!≥错误!.④柯西不等式的一般形式：设a1,a2,a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n 是实数，则(a错误!＋a错误!＋…＋a错误!)（b错误!＋b错误!＋…＋b错误!)≥（a1b1＋a2b2＋…＋a n b n）2，当且仅当b i＝0 （i＝1,2，…,n)或存在一个数k，使得a i＝kb i (i＝1,2，…，n）时，等号成立．(2）算术—几何平均不等式若a1，a2,…,a n为正数，则错误!≥错误!,当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．1．设a,b，m,n∈R，且a2＋b2＝5,ma＋nb＝5,求错误!的最小值．解根据柯西不等式(ma＋nb）2≤(a2＋b2）(m2＋n2），得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为错误!.2．若a，b，c∈(0,＋∞),且a＋b＋c＝1,求错误!＋错误!＋错误!的最大值．解（错误!＋错误!＋错误!)2＝（1×错误!＋1×错误!＋1×错误!)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当a＝b＝c＝错误!时，等号成立．∴（错误!＋错误!＋错误!）2≤3。
2018版高考数学(理)一轮复习题库：选修系列选修4-1第1讲相似三角形的判定及有关性质含解析
选修4—1 几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质一、填空题1．如图，已知M是▱ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，图中阴影部分面积与▱ABCD的面积之比为________．解析S△BMD＝错误!S△ABD＝错误!S▱ABCD,由BM∥CD，得△DCE∽△BME,则DE∶BE＝CD∶BM＝2∶1，所以S△DME∶S△BMD＝DE∶BD＝2∶3,即S△DME＝错误!S△BMD，又S△DME＝S△BCE，所以S阴影＝2S△DME＝错误!S△BMD＝错误!×错误!S▱ABCD＝错误!S▱ABCD，即S阴影∶S▱ABCD＝1∶3.答案1∶32．梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC＝a∶b。
中位线EF＝m，则MN的长是________．解析易知EF＝错误!(AD＋BC)，EM＝错误!AD.FN＝错误!AD。
又AD∶BC＝a∶b，设AD＝ak。
则BC＝bk。
∵EF＝错误!（AD＋BC）,∴m＝错误!(a＋b)，∴k＝错误!。
∴MN＝EF－EM－NF＝m－错误!ak－错误!ak＝m－ak＝错误!.答案错误!3. 如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________。
解析∵AB∥CD∥EF,∴错误!＝错误!，错误!＝错误!，∴错误!＝错误!,错误!＝错误!，∴4（BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF，∴错误!＝错误!＝错误!，∴EF＝3。
答案 34. 如图,在△ABC中，D是AC的中点,E是BD的中点，AE交于BC于F，则错误!＝________。
解析如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC,又在三角形BDG中，BE＝DE，即EF为三角形BDG的中位线，故BF＝FG,因此错误!＝错误!.答案错误!5。
如图,∠C＝90°,∠A＝30°，E是AB中点,DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC 的相似比是________．解析∵E为AB中点，∴错误!＝错误!，即AE＝错误!AB,在Rt△ABC中，∠A＝30°,AC＝错误!AB,又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为错误!＝错误!.故△ADE与△ABC的相似比为1∶错误!。
山东省枣庄市薛城区舜耕中学高三数学4月模拟考试试题
2015年山东省枣庄市舜耕中学高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解析】：解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．【点评】：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2﹣x＞0}，则A∩B=（）A．R B．（﹣∞，0）∪（1，2）C．∅D．（1，2]【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：根据集合的基本运算进行求解即可．【解析】：解：B={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1或x＜0}，则A∩B={x|1＜x≤2}，故选：D．【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．（5分）已知，，且，则=（）A．（2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（2，﹣4）或（﹣2，4）D．（4，﹣8）【考点】：平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】：平面向量及应用．【分析】：利用向量模的平方等于向量坐标的平方和向量共线坐标交叉相乘相等列出方程组求出．【解析】：解：设=（x，y），由题意可得，解得或，∴=（2，﹣4）或（﹣2，4）．故选：C．【点评】：本题考查向量模的求法，向量共线的充要条件：向量的坐标交叉相乘相等．4．（5分）若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≤2 C．a≥﹣2 D．a≤﹣2【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：先解绝对值不等式求出条件p，然后根据充分不必要条件的概念即可求得a的取值范围．【解析】：解：p：﹣2≤x≤2，q：x≤a；p是q的充分不必要条件；∴a≥2．故选A．【点评】：考查解绝对值不等式，充分不必要条件的概念，并且可借助数轴求解．5．（5分）某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：利用三视图判断组合体的形状，利用三视图的数据求解组合体的体积即可．【解析】：解：由三视图可知组合体是下部是半径为1的球体，上部是底面直径为2，母线长为2的圆锥，该几何体体积为两个几何体的体积的和，即：=．故选：D．【点评】：本题考查三视图求解组合体的体积，判断组合体的形状是解题的关键．6．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足，N点的坐标为（1，﹣3），点O为坐标原点，则的最小值是（）A．12 B．5 C．﹣6 D．﹣21【考点】：简单线性规划．【分析】：由=x﹣3y，设z=x﹣3y，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合线性规划即可得到结论．【解析】：解：设z==x﹣3y，由z=x﹣3y得y=x﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=x﹣，由图象可知当直线y=x﹣，经过点A时，直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（3，8），此时代入目标函数z=x﹣3y，得z=3﹣3×8=﹣21．∴目标函数z=x﹣3y的最小值是﹣21．故选：D．【点评】：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义以及向量的数量积公式是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．7．（5分）将函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象分别向左．向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由三角函数的图象平移得到平移后的两个函数的解析式，再由两函数的对称轴重合得到ωx+=ωx﹣或ωx+=ωx﹣+kπ，k∈Z．由此求得最小正数ω的值．【解析】：解：把函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin[ω（x+）﹣]=2sin（ωx+），向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin[ω（x﹣）﹣]=2sin（ωx﹣）．∵所得的两个图象对称轴重合，∴ωx+=ωx﹣①，或ωx+=ωx﹣+kπ，k∈Z ②．解①得ω=0，不合题意；解②得ω=2k，k∈Z．∴ω的最小值为2．故选：C．【点评】：本题主要考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，考查了三角函数的对称性，是中档题．8．（5分）如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为（）A．13 B．12 C．11 D．10【考点】：频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：根据频率和为1，求出小组15～20的频率，再求样本数据的平均值即可．【解析】：解：根据频率分布直方图，得；小组15～20的频率是（1﹣0.06+0.1）×5=0.2，∴样本数据的平均值是7.5×0.06×5+12.5×0.1×5+17.5×0.2=12．故选：B．【点评】：本题考查了利用频率分布直方图求数据的平均值的应用问题，是基础题目．9．（5分）已知P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA是圆C：x2+y2﹣2y=0的一条切线，A是切点，若PA长度最小值为2，则k的值为（）A． 3 B．C．2D．2【考点】：直线与圆的位置关系．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：利用PA是圆C：x2+y2﹣2y=0的一条切线，A是切点，PA长度最小值为2，可得圆心到直线的距离PC最小，最小值为，由点到直线的距离公式可得k的值．【解析】：解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，∵PA是圆C：x2+y2﹣2y=0的一条切线，A是切点，PA长度最小值为2，∴圆心到直线的距离PC最小，最小值为，∴由点到直线的距离公式可得=，∵k＞0，∴k=2故选：D．【点评】：本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．10．（5分）已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，0）C．（0，2）D．（﹣2，0）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在R上单调递减，所以根据题意得到x+a＜2a﹣x，即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，所以只需满足2（a+1）＜a，解该不等式即得实数a的取值范围．【解析】：解：二次函数x2﹣4x+3的对称轴是x=2；∴该函数在（﹣∞，0]上单调递减；∴x2﹣4x+3≥3；同样可知函数﹣x2﹣2x+3在（0，+∞）上单调递减；∴﹣x2﹣2x+3＜3；∴f（x）在R上单调递减；∴由f（x+a）＞f（2a﹣x）得到x+a＜2a﹣x；即2x＜a；∴2x＜a在[a，a+1]上恒成立；∴2（a+1）＜a；∴a＜﹣2；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：A．【点评】：考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性．二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）函数的定义域为{x|x＞2且x≠3}．【考点】：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【专题】：计算题．【分析】：根据对数函数及分式有意义的条件可得，解不等式可得【解析】：解：根据对数函数及分式有意义的条件可得解可得，x＞2且x≠3故答案为：{x|x＞2且x≠3}【点评】：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常考的基础型．12．（5分）某程序框图如图所示，现依次输入如下四个函数：①f（x）=cosx；②f（x）=③f（x）=lgx；④f（x）=，则可以输出的函数的序号是④．【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件（a）f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数；（b）f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．【解析】：解：由程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件：（a）f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数；（b）f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．由于f（x）=cosx不是奇函数，故不满足条件（a），由于f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件（b），由于f（x）=lgx为非奇非偶函数，故不满足条件（a），∵f（x）=，∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x）即f（x）=是奇函数，又∵f（0）==0，∴函数f（x）=的图象与x轴有交点，故f（x）=符合输出的条件，【点评】：本题考查的知识点是程序框图，其中根据程序框图分析出程序的功能是解答的关键．13．（5分）已知曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x﹣y+1=0，则实数a的值为1．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：计算题；导数的概念及应用．【分析】：由题意求导y′=acosx﹣sinx，从而可得acos0﹣sin0=1；从而解得．【解析】：解：y′=acosx﹣sinx，∵曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x﹣y+1=0，而x﹣y+1=0的斜率为1；故acos0﹣sin0=1；解得，a=1；故答案为：1．【点评】：本题考查了导数的求法及其几何意义的应用，属于基础题．14．（5分）（2015•烟台一模）已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线﹣=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K，点A在抛物线上，且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为32．【考点】：圆锥曲线的综合．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由双曲线﹣=1得右焦点为（4，0）即为抛物线y2=2px的焦点，可得p．进而得到抛物线的方程和其准线方程，可得K坐标．过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|=|AF|．可得|AK|=|AM|．可得|KF|=|AF|．进而得到面积．【解析】：解：由双曲线﹣=1得右焦点为（4，0）即为抛物线y2=2px的焦点，∴=4，解得p=8．∴抛物线的方程为y2=16x．其准线方程为x=﹣4，∴K（﹣4，0）．过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|=|AF|．∴|AK|=|AM|．∴∠MAK=45°．∴|KF|=|AF|．∴△AFK的面积为|KF|2=32．【点评】：熟练掌握双曲线、抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．15．（5分）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．【解析】：解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④【点评】：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）16．（12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2015年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）．甲80 110 120 140 150乙100 120 x 100 160经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为=120g/km．（1）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性；（2）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km 的概率是多少？【考点】：概率的应用．【专题】：计算题；应用题；概率与统计．【分析】：（1）由平均数==120求x，再求方差比较可得稳定性；（2）符合古典概型，利用古典概型的概率公式求解．【解析】：解：（1）由==120得，x=120；==120；S2甲=[（80﹣120）2+（110﹣120）2+（120﹣120）2+（140﹣120）2+（150﹣120）2]=600；S2乙=[（100﹣120）2+（120﹣120）2+（120﹣120）2+（100﹣120）2+（160﹣120）2]=480；因为S2甲＞S2乙；故乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性更好；（2）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，共有=10种情况，至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的情况有×+1=7种，故至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是．【点评】：本题考查了数据的分析与应用，同时考查了古典概型在实际问题中的应用，属于中档题．17．（12分）已知f（x）=•，其中=（2cosx，﹣sin2x），=（cosx，1），x∈R．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，且向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求边长b和c的值．【考点】：平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．【专题】：平面向量及应用．【分析】：（1）利用向量的数量积公式得到f（x）的解析式，然后化简求单调区间；（2）利用向量共线，得到b，c的方程解之．【解析】：解：（1）由题意知．3分∵y=cosx在a2上单调递减，∴令，得∴f（x）的单调递减区间，6分（2）∵，∴，又，∴，即，8分∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7.10分因为向量与共线，所以2sinB=3sinC，由正弦定理得2b=3c．∴b=3，c=2.12 分．【点评】：本题考查了向量的数量积公式的运用以及三角函数的化简与性质的运用．18．（12分）如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）若AF∥DE，DE=3AF，点M在线段BD上，且BM=BD，求证：AM∥平面BEF．【考点】：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）证明DE⊥AC，通过直线与平面垂直的判定定理证明AC⊥平面BDE．（2）延长EF、DA交于点G，通过AF∥DE，DE=3AF，推出，证明AM∥GB利用直线与平面平行的判定定理证明AM∥平面BEF．【解析】：证明：（1）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．…（2分）因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩DE=D，从而AC⊥平面BDE．…（5分）（2）延长EF、DA交于点G，因为AF∥DE，DE=3AF，所以，…（7分）因为，所以，所以，所以AM∥GB，…（10分）又AM⊄平面BEF，GB⊂平面BEF，所以AM∥平面BEF．…（12分）【点评】：本题考查直线与平面垂直的判定定理以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，an．Sn满足（t﹣1）Sn=t（an﹣2）（t为常数，t≠0且t≠1）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（﹣an）•log3（1﹣Sn），当t=时，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）利用（t﹣1）Sn=t（an﹣2），及Sn+1﹣Sn=an+1，推出an+1=tan，然后求出数列的通项公式．（2）利用时，化简出，然后利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn．【解析】：解：（1）由（t﹣1）Sn=t（an﹣2），及（t﹣1）Sn+1=t（an+1﹣2），作差得an+1=tan，即数列{an}成等比数列，，当n=1时，（t﹣1）S1=t（a1﹣2），解得a1=2t，故．（2）当时，，，，，，作差得，所以．【点评】：本题考查数列求和的方法，错位相减法的应用，等比数列的判断是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．20．（13分）已知函数f（x）=ex，g（x）=ax2+bx+c（a≠0）．（1）若f（x）的图象与g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b和c的值；（2）若a=c=1，b=0，试比较f（x）与g（x）的大小，并说明理由．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）分别求出f（x），g（x）的导数，求出切点和切线的斜率，得到方程，解得即可得到b，c；（2）对x讨论，①x=0时，易得f（x）=g（x），②x＜0时，f（x）＜g（x），③x＞0时，令h （x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣x2﹣1，运用导数，求出单调区间和极值，即可判断大小．【解析】：解：（1）由已知f（0）=1，f'（x）=ex，f'（0）=1，g（0）=c，g'（x）=2ax+b，g'（0）=b，依题意可得，解得；（2）a=c=1，b=0时，g（x）=x2+1，f（x）=ex，①x=0时，f（0）=1，g（0）=1，即f（x）=g（x）；②x＜0时，f（x）＜1，g（x）＞1，即f（x）＜g（x）；③x＞0时，令h（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣x2﹣1，则h'（x）=ex﹣2x．设k（x）=h'（x）=ex﹣2x，则k'（x）=ex﹣2，当x＜ln2时，k'（x）＜0，k（x）在区间（﹣∞，ln2）单调递减；当x＞ln2时，k'（x）＞0，k（x）在区间（ln2，+∞）单调递增．所以当x=ln2时，k（x）取得极小值，且极小值为k（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0即k（x）=h'（x）=ex﹣2x＞0恒成立，故h（x）在R上单调递增，又h（0）=0，因此，当x＞0时，h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞g（x）．综上，当x＜0时，f（x）＜g（x）；当x=0时，f（x）=g（x）；当x＞0时，f（x）＞g（x）．【点评】：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．21．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线y=x的距离为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知点M（2，1），斜率为的直线l交椭圆E于两个不同点A，B，设直线MA与MB 的斜率分别为k1，k2；①若直线l过椭圆的左顶点，求k1，k2的值；②试猜测k1，k2的关系，并给出你的证明．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（I）设椭圆的右焦点（c，0），由右焦点到直线y=x的距离为，可得，解得c．又由椭圆的离心率为，可得=，a2=b2+c2，解出即可．（II）①若直线l过椭圆的左顶点，则直线的方程是，联立方程组，解得，再利用斜率计算公式即可得出；②设在y轴上的截距为b，直线l的方程为y=x+b．与椭圆方程联立可得x2+2bx+2b2﹣4=0．利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．【解析】：解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点（c，0），由右焦点到直线y=x的距离为，∴，解得又由椭圆的离心率为，∴=，解得a2=8，b2=2，∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）①若直线l过椭圆的左顶点，则直线的方程是，联立方程组，解得，故．②设在y轴上的截距为b，∴直线l的方程为y=x+b．由得x2+2bx+2b2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2═﹣2b，x1x2=2b2﹣4．又，，故k1+k2=+=．又，，所以上式分子=+=x1x2+（b﹣2）（x1+x2）﹣4（b﹣1）=2b2﹣4+（b﹣2）（﹣2b）﹣4（b﹣1）=0，故k1+k2=0．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
山东省枣庄市薛城区舜耕中学高三4月模拟考试——数学
山东省枣庄市薛城区舜耕中学 2015届高三4月模拟考试数 学 试 题一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．2．集合{}{}202,0A x x B x x x A B =≤≤=->⋂=，则A ．RB ．C ．D ．3．已知，，且，则（ ） A ． B ．C ．或D ．4．若条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为，则该几何体体积为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知点的坐标满足5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，点的坐标为，点为坐标原点，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．7．将函数（）的图象分别向左．向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．下图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知是直线（）上一动点，是圆的一条切线，是切点，若线段长度最小值为，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，不等式()()2f x a f a x +>-在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．） 11．函数的定义域为 ．12．某程序框图如图所示，现依次输入如下四个函数：①；②；③；④，则可以输出的函数的序号是 ． 13．已知曲线在处的切线方程为，则实数的值为 ．14．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为 ．15．关于方程，给出下列四个命题：①该方程没有小于的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在内有且只有一个实数根；④若是方程的实数根，则，其中所有正确命题的序号是 ． 三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从年开始，将对二氧化碳排放量超过的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲．乙两品牌轻型汽车各抽取辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：）．经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为．（1）求表中的值，并比较甲．乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性；（2）从被检测的辆甲品牌轻型汽车中任取辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过的概率是多少？17．（本小题满分12分）已知函数，其中()2cos ,2a x x =，，．（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，角．．所对的边分别为、、，，，且向量与共线，求边长和的值． 18．（本小题满分12分）如图，是正方形，平面．（1）求证：平面；（2）若，，点在线段上，且，求证：平面．19．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，．满足（为常数，且）．（1）求数列的通项公式；（2）设()()3log 1n n n b a S =-⋅-，当时，求数列的前项和． 20．（本小题满分13分）已知函数，（）．（1）若的图象与的图象所在两条曲线的一个公共点在轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求和的值；（2）若，，试比较与的大小，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知椭圆（）的离心率为，右焦点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知点，斜率为的直线交椭圆于两个不同点．，设直线与的斜率分别为，，①若直线过椭圆的左顶点，求此时，的值；②试猜测，的关系，并给出你的证明．参考答案一．选择题1．C 2．D 3．B 4．A 5．D 6．D 7．C 8．B 9．D 10．A 二．填空题11．且} 12．④ 13． 14． 15．②③④ 三．解答题16．解：（1）由题可知，，所以，解得．又由已知可得，……………2分()()()()()2222221=801201101201201201401201501206005s ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦甲()()()()()2222221=1001201201201201201001201601204805s ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦乙因为，，……………5分所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好．……………6分（2）从被检测的辆甲品牌轻型汽车中任取辆，共有种二氧化碳排放量结果：()()80 11080 120，，，，()()80 14080 150，，，，()()110 120110 140，，，， ()()110 150120 140，，，，()()120 150140 150，，，，…………10分 设“至少有一辆二氧化碳排放量超过”为事件, 则，所以至少有一辆二氧化碳排放量超过的概率是．………12分17．解：（1）2()=2cos 21cos 2212cos(2)3f x x x x x x π-=+=++，……3分令，解得)63k x k k πππ-≤≤π+∈Z （， 所以的单调递减区间为 )63k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ，（．………6分（2）∵()12cos 213f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，∴，又，∴，即，…………8分∵，由余弦定理得()22222cos 37a b c bc A b c bc =+-=+-=．……① 因为向量与共线，所以，由正弦定理得，……②………11分 解①②得，．…………12分18．（1）证明：因为平面，所以．……………2分因为是正方形，所以，又, 从而平面．……………5分（2）解：延长交于点, 因为，，所以,…………7分 因为，所以,所以，所以,……10分 又平面，平面，所以平面．…………12分 19．解：（1）由，及11(1)(2)n n t S t a ++-=-，作差得，即数列成等比数列，， 当时，，解得，故．…5分（2）当时，，，()()32log =31n n n n nb S a -=-⋅………8分2324623333n n n T =++++, 234+112462 33333n n n T =++++,作差得234+1+1+122222221223+113333333333n n n n n n n n n T +=++++-=--=-， 所以．………12分20．解:（1）由已知，，，，，，……2分依题意：，所以；……5分 （2），时，，①时，，，即；………6分②时，，，即；………7分③时，令2()()()e 1x h x f x g x x =-=--,则． 设，则，当时,在区间单调递减； 当时,在区间单调递增．所以当时,取得极小值,且极小值为ln 2(ln 2)e 2ln 22ln 40k =-=-> 即()'()=e 20x k x h x x =->恒成立，故在上单调递增,又, 因此,当时, ,即．……12分 综上，当时,；当时,； 当时,．……13分21．解：（1）设椭圆的右焦点，由右焦点到直线的距离为，解得，又由椭圆的离心率为，，解得， 所以椭圆的方程为．…………4分（2）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，联立方程组2212182y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121200x x y y =⎧⎧=-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，故12k k ==．………7分 ②猜测：．证明如下：………8分设直线在轴上的截距为,所以直线的方程为．由2211282x y y x m ⎧=+⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩,得222240x mx m ++-=． 设．,则，．………10分 又 故1212121122y y k k x x --+=+--122112(1)(2)(1)(2)(2)(2)y x y x x x --+--=--． 又，，所以1221(1)(2)(1)(2)y x y x --+--122111=1)(2)1)(2)22x m x x m x +--++--（（1212(2)()4(1)x x m x x m =+-+-- 224(2)(2)4(1)0m m m m =-+----=故．………14分。
山东省舜耕中学高三数学一轮复习资料 第十四编 系列4选讲14.2 坐标系与参数方程教案 理
高三数学（理）一轮复习 教案 第十四编 系列4选讲总第70期 §14.2 坐标系与参数方程基础自测1.曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化为直角坐标方程为 . 答案 x 2+(y-2)2=4 2.直线⎪⎩⎪⎨⎧+=-=ty t x 2221(t 为参数)上到点A （1，2）的距离为42的点的坐标为 .答案 （-3，6）或（5，-2） 3.过点A （2，3）的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ty tx 232（t 为参数），若此直线与直线x-y+3=0相交于点B ，则|AB|= . 答案 25 4.直线⎩⎨⎧-=+-=ty t x 12(t 为参数)被圆（x-3）2+(y+1)2=25所截得的弦长为 .答案 82 5.若直线x+y=m 与圆⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin cos m y m x (ϕ为参数，m ＞0)相切，则m 为 .答案 2例题精讲例1 将极坐标方程sin θ=31化为直角坐标方程，并说明该方程表示什么曲线. 解 由sin θ=ρy ,ρ=22y x +,得sin θ=ρy =22y x y +=31.则y ＞0,平方得x 2+y 2=9y 2,即y 2=81x 2,y=±88x,因此，它表示端点除外的两条射线： y=88x (x ＞0)和y=-88x(x ＜0).例2 在极坐标系中，求过点A ⎪⎭⎫⎝⎛6,6π，并且平行于极轴的直线l 的极坐标方程.解 如图所示，设M （ρ，θ）为直线l 上的任意一点，则OM=ρ,∠MOC=θ. 过点A ，M 作极轴的垂线AB ，MC 交极轴与B ，C 两点.∵l ∥Ox ，∴MC=AB.则OA=6，∠AOB=6π. 所以MC=AB=3.由sin θ=OM MC =ρ3,得ρsin θ=3.所以ρsin θ=3为所求的直线l 的极坐标方程.例3 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ty t x 232,211（t 为参数）；（2）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x 2,12（t 为参数）；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y t t x 1,1（t 为参数）； （4）⎩⎨⎧==θθcos 5sin 4y x （θ为参数）. 解 （1）由x=1+21t 得，t=2x-2.∴y=2+23(2x-2).∴3x-y+2-3=0,此方程表示直线. （2）由y=2+t 得,t=y-2，∴x=1+（y-2）2.即(y-2)2=x-1,方程表示抛物线.（3）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y tt x 11 ∴①2-②2得，x 2-y 2=4,方程表示双曲线.（4）⎩⎨⎧==θθcos 5sin 4y x ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5cos 4sin y x θθ ①2+②2，得251622y x +=1表示椭圆. 例4 （2008²盐城调研）（10分）求直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531541（t 为参数）被曲线ρ=2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ所截的弦长.解：将方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531541ρ=2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ分别化为普通方程：3x+4y+1=0,x 2+y 2-x+y=0,5分圆心C ⎪⎭⎫⎝⎛-21,21半径为22，圆心到直线的距离d=101, 弦长=222d r -=2100121-=57.10分巩固练习① ②① ②1.在极坐标系中，已知三点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π、N （2，0）、P ⎪⎭⎫⎝⎛6,32π.（1）将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； （2）判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上. 解 （1）由公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，得M 的直角坐标为(1,-3);N 的直角坐标为（2，0）；P 的直角坐标为（3，3）. （2）∵k MN =123-=3，k NP =2303--=3.∴k MN =k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上. 2.求圆心在A ⎪⎭⎫⎝⎛6,πa （a ＞0），半径为a 的圆的极坐标方程. 解 如图所示，设M （ρ，θ）为圆上的任意一点（点O ，B 除外），则OM=ρ，∠MOx=θ. 连结BM ，OB=2a ，∠MOB=θ-6π. 在直角三角形OBM 中， cos ∠MOB=OB OM =a2ρ=cos （θ-6π），即ρ=2acos(θ-6π).(*)经检验，O （0，32π），B （2a ，6π）满足方程（*）， 所以ρ=2acos （θ-6π）为所求的圆的极坐标方程. 3.（2008²栟茶模拟）将参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==θθ2cos 4,sin 32y x (θ为参数)化为普通方程，并指出它表示的曲线.解 y=4cos2θ=4-8sin 2θ,由x=3sin 2θ,得sin 2θ=3x .∴y=4-38x ，即8x+3y-12=0. ∵x=3sin 2θ≥0，∴所求普通方程为8x+3y-12=0 (x ≥0).它表示一条射线. 4.已知经过点M （-1，1），倾斜角为4π的直线l 和椭圆2422y x +=1交于A ，B 两点，求线段AB 的长度及点M （-1，1）到A ，B 两点的距离之积.解 直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 221,221(t 为参数)，代入椭圆的方程，得2221422122⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t t =1.即3t 2+22t-2=0,解得t 1=-2,t 2=32.所以，由参数t 的几何意义，得|AB|=|t 1-t 2|=322--=324,|MA|²|MB|=|t 1t 2|=32. 回顾总结 知识 方法 思想课后作业 一、填空题1.已知点P （x,y ）在曲线⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 2y x (θ为参数)上，则x y的取值范围为 .答案 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-33,33 2.已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角α=6π，直线l 的参数方程为 . 答案 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 211231 3.极坐标系中，圆ρ=10cos ⎪⎭⎫⎝⎛-θπ3的圆心坐标为 .答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,5π4.点P 的直角坐标为(1,-3),则点P 的极坐标为 . 答案 （2，-3π） 5.已知曲线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x ,分别以t 和θ为参数得到两条不同的曲线,这两条曲线公共点个数为 . 答案 2或16.已知2x 2+3y 2-6x=0 （x,y ∈R ），则x 2+y 2的最大值为 . 答案 97.从极点O 作直线与另一直线l ∶ρcos θ=4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ²OP=12，则点P 的轨迹方程为 . 答案 ρ=3cos θ8.过点P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,210作倾斜角为α的直线与曲线x 2+2y 2=1交于M ，N ，则|PM|²|PN|的最小值为 .答案 43 二、解答题9.（2008²江苏，21）在平面直角坐标系xOy 中，设P(x,y)是椭圆32x +y 2=1上的一个动点，求S=x+y 的最大值.解 由椭圆32x +y 2=1的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin cos 3y x (ϕ为参数)， 可设动点P 的坐标为（3cos ϕ,sin ϕ）,其中0≤ϕ＜2π. 因此，S=x+y=3cos ϕ+sin ϕ=2²⎪⎪⎭⎫⎝⎛+ϕϕsin 21cos 23=2sin （ϕ+3π）. 所以当ϕ=6π时，S 取得最大值2. 10.（2008²宁夏，23）已知曲线C 1：⎩⎨⎧==,sin ,cos θθy x (θ为参数)，曲线C 2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.22,222t y t x (t 为参数).（1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1C ',2C '.写出1C ',2C '的参数方程. 1C '与2C '公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同?说明你的理由. 解 (1)C 1是圆,C 2是直线.C 1的普通方程为x 2+y 2=1,圆心C 1(0,0),半径r=1. C 2的普通方程为x-y+2=0. 因为圆心C 1到直线x-y+2=0的距离为1,所以C 2与C 1只有一个公共点. (2)压缩后的参数方程分别为1C ': ⎪⎩⎪⎨⎧==,sin 21,cos θθy x (θ为参数), 2C ': ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 42,222(t 为参数), 化为普通方程为1C ':x 2+4y 2=1, 2C ':y=21x+22, 联立消元得2x 2+22x+1=0,其判别式Δ=(22)2-4³2³1=0,所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点,和C 1与C 2公共点的个数相同.11.（2008²江苏信息卷）经过曲线C ：⎩⎨⎧=+=θθsin 3,cos 33y x (θ为参数)的中心作直线l:⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 33（t 为参数）的垂线，求中心到垂足的距离.解 由曲线C 的参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 3,cos 33y x 消去参数θ，得(x-3)2+y 2=9.曲线C 表示以（3，0）为圆心，3为半径的圆. 由直线l 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 33,消去参数t,得y=33x.表示经过原点，倾斜角为30°的直线.如图,在直角三角形OCD 中，OC=3，∠COD=30°， 所以CD=23.所以中心到垂足的距离为23.12.求圆心为A （2，0），且经过极点的圆的极坐标方程. 解 如图所示，设M （ρ，θ）为圆上的任意一点 （点O ，B 除外），则OM=ρ，∠MOx=θ. 连结BM ，在直角三角形OBM 中， cos θ=OB OM =4ρ，即ρ=4cos θ.（*） 经检验，O （0，2π），B （4，0）满足方程（*）， 所以ρ=4cos θ为所求的圆的极坐标方程.13.⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.(1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程.解 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.（1）x=ρcos θ,y=ρsin θ,由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ.所以x 2+y 2=4x.即x 2+y 2-4x=0为⊙O 1的直角坐标方程.同理x 2+y 2+4y=0为⊙O 2的直角坐标方程.（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==,0,011y x 或⎩⎨⎧-==.2,222y x即⊙O 1，⊙O 2交于点（0，0）和（2，-2）.过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.14.设点O 为坐标原点，直线l:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22422(参数t ∈R ）与曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧==μμ442y x （参数μ∈R）交于A ，B 两点.（1）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程； （2）求证：OA ⊥OB.（1）解 直线l 的普通方程为：x-y-4=0.曲线C 的普通方程为：y 2=4x. （2）证明 设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),由⎪⎩⎪⎨⎧-==,4,42x y x y 消去y,得x 2-12x+16=0,∴x 1+x 2=12,x 1x 2=16,∴k OA ²k OB =2121x x y y =2121)4)(4(x x x x --=21212116)(4x x x x x x ++-=-1,∴OA ⊥OB.。
最新-山东省舜耕中学2018届高三数学一轮复习资料 第十
高三数学（理）一轮复习 作业 第十三编 推理与证明总第68期 §13.3数学归纳法班级 姓名等第一、填空题1.用数学归纳法证明：“11+n +21+n +…+131+n ≥1(n ∈N *)”时，在验证初始值不等式成立时，左边的式子应是“ ”.2.如果命题P （n ）对于n=k(k ∈N *)时成立，则它对n=k+2也成立，又若P （n ）对于n=2时成立，P （n ）对所有 n 成立.①正整数 ②正偶数 ③正奇数 ④所有大于1的正整数3.利用数学归纳法证明不等式1+21+31+…+121-n ＜n(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n=k 变到n=k+1时，左边增加了 项.4.用数学归纳法证明“2n ＞n 2+1对于n ＞n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取 .5.凸n 边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f （n+1）= .6.证明22+n ＜1+21+31+41+…+n 21＜n+1(n ＞1)，当n=2时，中间式子等于 . 7.用数学归纳法证明不等式11+n +21+n +…+n n +1＜2413的过程，由n=k 推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是 .8.用数学归纳法证明1+21+31+…+121-n ＜2 (n ∈N ,且n ＞1)，第一步要证的不等式是 .二、解答题9.用数学归纳法证明： 1+221+231+…+21n ≥123+n n (n ∈N *).10.用数学归纳法证明（3n+1）·7n -1 (n ∈N *)能被9整除.11.数列{a n}满足S n=2n-a n(n∈N*).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式a n;（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.12.是否存在常数a、b、c使等式12+22+32+…+n2+（n-1）2+…+22+12=an（bn2+c）对于一切n∈N*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由.。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：选修系列第十四章14.2第1课时含解析
第1课时绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式｜x|〈a与｜x｜〉a的解集：不等式a>0a＝0a〈0|x｜<a （－a，a)∅∅|x｜〉a (－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞,0）∪（0,＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b｜≥c(c〉0)型不等式的解法：①|ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；（3）|x－a|＋｜x－b｜≥c（c〉0)和|x－a｜＋|x－b|≤c（c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质（1)如果a，b是实数，则｜a｜－｜b｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋|b｜,当且仅当ab≥0时，等号成立．（2）如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b｜＋｜b－c|，当且仅当(a－b)(b－c）≥0时，等号成立．1．（2015·山东改编)解不等式|x－1|－|x－5｜〈2的解集．解①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)〈2，∴－4〈2，不等式恒成立，∴x≤1。
②当1〈x〈5时，原不等式可化为x－1－(5－x）<2，∴x<4,∴1<x〈4，③当x≥5时，原不等式可化为x－1－（x－5）<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为（－∞，4)．2．若存在实数x使｜x－a｜＋|x－1｜≤3成立，求实数a的取值范围．解∵|x－a｜＋|x－1｜≥|（x－a）－（x－1）｜＝｜a－1｜，要使|x－a|＋｜x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3,∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋错误!a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．解设y＝｜2x－1|＋|x＋2｜＝错误!当x〈－2时,y＝－3x－1>5；当－2≤x〈错误!时，5≥y＝－x＋3〉错误!;当x≥错误!时，y＝3x＋1≥错误!,故函数y＝｜2x－1｜＋|x＋2|的最小值为错误!。
山东省济南市舜耕中学2020-2021学年高一数学文月考试题含解析
山东省济南市舜耕中学2020-2021学年高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合＝{|}，＝{| }，则∪＝( )A．{| } B．{|}C． D．{|或}参考答案：D2. 已知，则的值为（）A.2B.C.D.参考答案：B略3. 已知集合A＝{x|y＝x∈Z}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝_____参考答案：略4. 等差数列的公差不为零，首项的等比中项，则数列的前10项之和是A、90B、100C、145D、190参考答案：B5. 已知集合A={1,2,3}，集合B ={x|x2=x}，则A∪B=（）A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}参考答案：C ∵，，∴，故选C.6. 某影院有60排座位，每排70个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座号为15的所有听众进行座谈．这里运用的抽样方法是A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法参考答案：C略7. 函数的定义域是（）A. B. C. D.参考答案：D略8. 函数的图象关于()A．轴对称 B．直线对称C．点对称 D．原点对称参考答案：D9. 若函数g（x+2）=2x+3，则g（3）的值是（）A．9 B．7 C．5 D．3参考答案：C【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】由函数的解析式得，必须令x+2=3求出对应的x值，再代入函数解析式求值．【解答】解：令x+2=3，解得x=1代入g（x+2）=2x+3，即g（3）=5．故选C．【点评】本题的考点是复合函数求值，注意求出对应的自变量的值，再代入函数解析式，这是易错的地方．10. 已知集合,且,则的值为（）A．1 B．C．1或 D．1或或0参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （10分）已知函数f（x）=log a（a﹣a x）（a＞1），求f（x）的定义域和值域．参考答案：（﹣∞，1）;（﹣∞，1）.考点：函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：由对数函数的真数大于0，求解指数不等式可得函数的定义域；根据a x＞0，得到0＜a﹣a x＜a，再由a＞1，求解对数不等式得到函数的值域．解答：由a﹣a x＞0，得：a x＜a，再由a＞1，解得x＜1．所以，函数f（x）=log a（a﹣a x）（a＞1）的定义域为（﹣∞，1）．令a﹣a x=t，则y=f（x）=log a（a﹣a x）=log a t．因为a x＞0，所以0＜a﹣a x＜a，即0＜t＜a．又a＞1，所以y=log a t＜log a a=1．即函数f（x）=log a（a﹣a x）（a＞1）的值域为（﹣∞，1）．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数函数和对数函数的性质，是基础题．12. 函数为增函数的区间是.参考答案：略13. 已知函数关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是__________参考答案：14. 函数f（x）=+的定义域为．参考答案：【考点】函数的定义域及其求法．【分析】令被开方数大于等于0，分母非0，列出不等式，解不等式组，求出x的范围，写出区间形式即为函数的定义域．【解答】解：要使函数f（x）有意义，需解得x≥﹣1且x≠0故答案为[﹣1，0）∪（0，+∞）15. 有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮20000千克，乙每次购粮10000元，在两次统计中，购粮方式比较经济的是参考答案：乙略16. 某程序框图如右图所示，则该程序框图执行后，输出的结果S等于 .参考答案：4017. 若两个向量的夹角为，则称向量为“向量积”，其长度；已知，则____________。
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高三数学（理）一轮复习 作业 第十四编 系列4选讲总第69
期 §14.1 矩阵与变换
班级 姓名
等第
一、填空题
1.下列矩阵是二阶单位矩阵的是 .
①⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 ②⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 ③⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 ④⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1000 2.将圆x 2+y 2=1在矩阵A =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡b a 00对应的伸压变换下变成一个椭圆x 2+42y =1，则a+b= .
3.在矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1201对应的变换下，点A （2，1）将会转换成 . 4.若直线x-y-4=0在矩阵M =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-b a 11对应的变换作用下，把自己变为自己，则a,b 的值分别为 .
5.将点（2，4）先经矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2001变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为 .
6.将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于y 轴对称的变换，再将它做关于直线y=x 对称的变换，则此平面变换所对应的二阶变换矩阵为 .
7.若矩阵A =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡133b a 把直线l:2x+y-7=0变换成另一直线l ′:9x+y-91=0,则a= ,b= .
8.矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2321的所有特征向量为 . 二、解答题
9.试求曲线y=sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021.
10.已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡11，并且矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.求直线l:x-y+1=0在矩阵M 的变换下的直线l ′的方程.
11.已知矩阵A =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-111a ，
其中a ∈R ，若点P （1，1）在矩阵A 的变换下得到点P ′（0，-3）. （1）求实数a 的值；
（2）求矩阵A 的特征值及特征向量.
12.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2+y 2=1在矩阵A=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1002对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程.
13.已知矩阵A =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡3421，求特征值及特征向量.
14.已知矩阵M 有特征值λ1=4及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡32，并有特征值λ2=-1及对应的一个特征向量e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11. （1）求矩阵M ；（2）求M
2 018e 2.。