极坐标与参数方程高考题练习含答案
高考数学题极坐标与参数方程大训练含答案
高考23题(极坐标与参数方程)大训练1.(1)在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C 上运动，求圆C 的极坐标方程； (2)．设直线l 经过点)3,2(πP ，倾斜角6πα=，写出直线l 的极坐标方程.2．(2009·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M 、N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求出M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．3.已知曲线C 的极坐标方程是=ρ2sin θ ，设直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （2）设直线l 与x 轴的交点是,M N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值.4.已知曲线1C 的参数方程为210cos ,10sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=． （1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程. （2）曲线1C ，2C 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．5.(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．6.(本题满分12分)已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．7.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．8.(2013·高考课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．9.(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．10.（2013·福建高考理科·Ｔ21）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛4,2π，直线l 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ，且点A 在直线l 上。
高中数学极坐标与参数方程大题及答案
高中数学极坐标与参数方程大题及答案一、题目1.将直角坐标方程x2+y2=4转化为极坐标方程，并求出对应的参数方程；2.已知曲线的极坐标方程为 $r=2\\cos\\theta$，求对应的直角坐标方程并作图；3.曲线的参数方程为 $x=\\sin\\theta$，$y=\\cos\\theta$，求对应的直角坐标方程并判断曲线形状。
二、解答1. 将直角坐标方程转化为极坐标方程给定直角坐标方程x2+y2=4，我们可以假设 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$，将其带入方程得：$(r\\cos\\theta)^2+(r\\sin\\theta)^2=4$化简得：$r^2(\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta)=4$由于 $\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta=1$，所以方程可以简化为r2=4，即r=±2。
因此，直角坐标方程x2+y2=4对应的极坐标方程为r=2和r=−2。
对应的参数方程为：当r=2时，$x=2\\cos\\theta$，$y=2\\sin\\theta$；当r=−2时，$x=-2\\cos\\theta$，$y=-2\\sin\\theta$。
2. 求曲线的直角坐标方程并作图已知曲线的极坐标方程为 $r=2\\cos\\theta$，我们将其转化为直角坐标方程。
利用极坐标与直角坐标的关系 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$，我们将$r=2\\cos\\theta$ 代入得：$x=2\\cos\\theta\\cos\\theta=2\\cos^2\\theta$$y=2\\cos\\theta\\sin\\theta=\\sin2\\theta$所以，曲线的直角坐标方程为 $x=2\\cos^2\\theta$，$y=\\sin2\\theta$。
我们现在来作图，首先确定参数的范围。
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．解答：解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为普通方程为（4分）点到直线的距离（6分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M（，），则x+y==sin（），由于θ∈R，则x+y的最大值为1．7．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．解解（1）∵P点的极坐标为，答：∴=3，=．∴点P的直角坐标把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得，即∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0设，则线段PQ的中点．那么点M到直线l的距离.，∴点M到直线l的最小距离为．8．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解答：解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．9．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．解答：解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．10．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．解答：解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：[0，]．12．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos （）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．解答：解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．13．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4=0．∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N，∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴．又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．解答：解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．解答：解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y=x，曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB的长度．16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．解答：解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．17．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．。
【练习】极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题
(Ⅰ) 写出直线 的参数方程;(Ⅱ) 求 的取值范围.
38．在直角坐标系xoy中，直线 的参数方程为 （t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为 。
26．已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（t为参数）．
（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍，分别得到曲线．写出的参数方程．与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由．
27．求直线被曲线所截的弦长。
28．已知圆的方程为
9．在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）。求极点在直线上的射影点的极坐标；若、分别为曲线、直线上的动点，求的最小值。
10．已知极坐标系下曲线的方程为，直线经过点，倾斜角.
（Ⅰ）求直线在相应直角坐标系下的参数方程;
（Ⅱ）设与曲线相交于两点，求点到两点的距离之积.
7．在极坐标系中，极点为坐标原点O，已知圆C的圆心坐标为，半径为，直线的极坐标方程为.（1）求圆C的极坐标方程；（2）若圆C和直线相交于A，B两点，求线段AB的长.
8．平面直角坐标系中，将曲线（为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线．以坐标原点为极点，的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线的方程为，求和公共弦的长度．
（Ⅱ）设B（ ）C（ ）
联立得
由韦达定理得 ， （7分）
由弦长公式得
3．解：（1）∵点 的直角坐标是 ，直线 倾斜角是 ，…………（1分）
极坐标与参数方程-习题及答案
金材教育 极坐标与参数方程未命名1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα （α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2.（1（写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程（（2）直线y =x 与C 1交于异于原点的A ,与C 2交于点B ，求线段AB 的长. 【答案】(1)x 2+(y −1)2=1；C 2:x +y =4. (2)|AB |=√2.【解析】分析：（1）利用sin 2α+cos 2α=1，将曲线C 1的参数方程化为普通方程，由{x =ρcosθy =ρsinθ 求出C 2的直角坐标方程；（2）由直线的参数方程的意义，求出线段AB 的长。
详解：（1）C 1:{x =cosαy =1+sinα (α为参数）的普通方程是x 2+(y −1)2=1.∵ρsin (θ+π4)=2√2，整理得√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2，∴C 2的直角坐标方程为x +y =4； 故C 1:x 2+(y −1)2=1；C 2:x +y =4.（2）直线y =x 的极坐标方程为θ=π4，C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ， ∴点A (√2,π4),B (2√2,π4)，即ρA =√2,ρB =2√2， 于是|AB |=ρB −ρA =√2.点睛：本题主要考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法等，属于基础题。
考查了推理论证能力，运算求解能力。
2．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点，曲线与曲线交于，求的值．【答案】（1）；（2）85。
【解析】试题分析：（1）根据曲线的参数方程，两式相加消去参数，即可得到普通方程；由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4，可化为直角坐标方程；（2）将，代入直角坐标方程，整理后，利用=t1t2即可求解．试题解析：（1）两式相加消去参数t可得曲线的普通方程，由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4，整理可得曲线的直角坐标方程．（2）将代人直角坐标方程得利用韦达定理可得，所以|MA||MB|=考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．3．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：{x=√55ty=9+2√55t（t为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,9)，求1|PA |+1|PB |. 【答案】(1)x 2+(y −4)2=16；2x −y +9=0. (2)4√59. 【解析】分析：（1）消元法解出直线C 1的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆C 2的直角坐标方程（2）将直线C 1的参数方程为代入圆C 2的直角坐标方程并化简整理关于t 的一元二次方程。
极坐标和参数方程高考题老师专用
极坐标和参数方程高考题（3）一、填空题（12道题，每道题6分，共计72分）1． 曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)，若以点O (0,0)为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是________．答案 ρ＝－4cos θ解析 曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)的普通方程为(x ＋2)2＋y 2＝4，∴x 2＋y 2＝－4x ，若以点O (0,0)为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 则方程为ρ＝－4cos θ.2． 已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，255解析 消去参数θ得曲线方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分．消去参数t得曲线方程为y 2＝45x ，表示抛物线，可得两曲线有一个交点，联立两方程，解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.3． 已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝3sin φ(φ为参数，a >0)，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t y ＝－1－t(t 为参数)，曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，则曲线C 的普通方程为________．答案 x 24＋y 23＝1解析 直线l 的普通方程是x ＋y ＝2，与x 轴的交点为(2,0)，又曲线的普通方程为x 2a 2＋y 23＝1，代入交点(2,0)可得a ＝2，∴则曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.4． (2013·重庆)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则AB ＝____.答案 16解析 将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3得t ＝±2，从而y ＝±8.所以A (4,8)，B (4，－8)．所以AB ＝|8－(－8)|＝16.5． 已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为______.答案 (－1,1)，(1,1)解析 圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1， 直线l 的直角坐标方程为y ＝1.⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －1)2＝1，y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴l 与⊙C 的交点的直角坐标为(－1,1)，(1,1)．6． 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．答案 2解析 依题意，曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1；曲线C 2的直角坐标系下的方程为x －y ＋1＝0.易判断圆心(0,1)在直线x －y ＋1＝0上．故C 1与C 2的交点个数为2.7． 点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数，θ∈R )上，则yx 的取值范围是________．答案 [－33，33] 解析 消去参数θ得曲线的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝1，圆心为(－2,0)，半径为1，设yx ＝k ，则直线y ＝kx ，即kx －y ＝0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d ＝|－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，由图象知k 的取值范围是－33≤k ≤33，即y x 的取值范围是[－33，33]．8． 若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝______. 答案 －1解析 直线l 1：kx ＋2y －4－k ＝0. 直线l 2：2x ＋y －1＝0.∵l 1与l 2垂直，∴2k ＋2＝0，∴k ＝－1.9． 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4 (ρ∈R )，它与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于两点A 和B ，则AB ＝________. 答案14解析 极坐标方程θ＝π4(ρ∈R )对应的平面直角坐标系中方程为y ＝x ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)⇒(x －1)2＋(y －2)2＝4.圆心(1,2)，r ＝2.圆心到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|2＝22，AB ＝2r 2－d 2＝24－12＝14. 10． (2012·广东)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．答案 (1,1)解析 化参数方程为普通方程然后解方程组求解． C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)， C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1)．11． 设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，求l 1与l 2间的距离___________．解 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)化为普通方程3x －y －2＝0，因此l 1与l 2间的距离为d ＝|4＋2|32＋(－1)2＝3105.12． 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程______________． 解 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0. 故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.二、解答题（6道题，每道题13分，共计78分，第一问5分，第二问8分）13． (2012·江苏)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 解 在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.14． 已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数)，极点在直角坐标原点，极轴与x 轴正半轴重合． (1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值． 解 (1)极点为直角坐标原点O ，∵ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，∴ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝22， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，可化为直角坐标方程：x ＋y －1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程：x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为M (0，－2)，半径r ＝2.∴点M 到直线的距离为d ＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.15． 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t ，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点． (1)写出曲线C 和直线l 的普通方程； (2)若PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值． 解 (1)y 2＝2ax ，y ＝x －2.(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t (t 为参数)，代入y 2＝2ax ，得到t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0， 则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )． 因为MN 2＝PM ·PN ，所以(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝t 1t 2，解得a ＝1(a ＝－4，舍去)． 经验证，符合题意，故a ＝1.16．(2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．17.(10分)在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫42，π4，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)．(1)求直线OM 的直角坐标方程；(2)求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值． 规范解答解 (1)由点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫42，π4， 得点M 的直角坐标为(4,4)，所以直线OM 的直角坐标方程为y ＝x .[4分](2)由曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，化成普通方程为(x －1)2＋y 2＝2， 圆心为A (1,0)，半径为r ＝2，由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为MA －r ＝5－ 2.[10分]评分细则 (1)得出M 的直角坐标给2分；(2)得出曲线C 的参数方程给2分；最小值直接写出没有中间过程扣2分．阅卷老师提醒 参数方程和极坐标方程的综合是高考命题的一贯方式，解决的基本思想是化为普通方程(直角坐标方程)，要求计算准确，注意参数的范围．18.在平面直角坐标系中，以坐标原点为几点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]极坐标与参数方程高考精练（经典39题）1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点.(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t ty ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=.（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。
（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。
(完整版)极坐标与参数方程高考习题练习含答案
欢迎阅读极坐标系与参数方程高考题练习2014年一．选择题1. (2014北京)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ B ）.A.C 2.ρ4=A.ρ=C.ρ= 0sin cos 2ρθθθ∴=≤≤ ⎪+⎝⎭ 所以选A 。
二．填空题1. (2014湖北)（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______. 2. (2014湖南)直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，（α为参数）交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.3 (2014重庆)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-，则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____. .【答案】5 【解析】4 (2014上海)已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。
【答案】 31【解析】.C (2014陕西)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是C5 (2014天津)在以O 为极点的极坐标系中，圆θρ4sin =和直线a =θρsin 相交于,A B 两点.若ΔAOB 是等边三角形，则a 的值为___________. 解：3 圆的方程为2224x y ，直线为y a .因为AOB 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得3a .6. (2014广东)（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿三．解答题1. (2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.(Ⅰ).直线ld =则||PA =当(sin θ当(sin θ2. (20142cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y +垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.3. （2014辽宁）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【答案】 （1） π∈[0,θθsin 2,θcos ，==y x （2） 03θsin ρ4-cos θ 2ρ=+ 【解析】（1）（2）4（2014 （I （II 解：圆C (2)故圆（2013）A ． C ．=()cos=12R πθρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和（2013天津数学（理））已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则|CP | =1（2013上海卷（理））在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为_____152+_____ 解析：2（2013北京卷（理））在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于____1_____. 3重庆数学（理））在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数)相交于,A B 两点,则______AB = 【答案】1642013广东（理））(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),C 在点()1,1处的切线为 ， 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则切线的极坐标方程为 .【答案】x+y=2 ；sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭5（2013陕西（理））C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为______ .【答案】R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 26（2013江西（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________【答案】2cos sin 0ρθθ-=7（2013湖南卷（理））在平面直角坐标系xoy中,若,3cos, :(t)C:2sin x t xly t a yϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点,则常数a的值为________.【答案】38（2013湖北（理））在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为cossinx ay bθθ=⎧⎨=⎩()0a bϕ>>为参数，.)中,（2013α与β=(Ⅰ(Ⅱ9（20132C(I)12(II)设P为1C的圆心,Q为1C与2C交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为()3312x t at Rby t⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b的值【答案】10（2013福建（理））坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos(4a πρθ-=,且点A 在直线上.(1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)由点)4A π在直线cos(4a πρθ-=上,可得a =(Ⅱ)11（2013程为.【答案】0 ①12（2013新课标1（理））选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】将45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩消去参数,化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=,即1C :22810160x y x y +--+=,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得,28cos 10sin 160ρρθρθ--+=,∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=; (Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=,由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为(2,4π),(2,)2π. 【2012新课标文23】已知曲线C 1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2．正三角形ABC 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，） （Ⅰ）求点A 、B 、C 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围． 解析：【2012辽宁文23】在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=。
极坐标与参数方程经典练习题 带详细解答
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q的极坐标为7)4π。
（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。
5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程． 8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为1221122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A的极坐标为4π⎫⎪⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。
极坐标参数方程高考练习含答案
极坐标与参数方程高考精练（经典39题）1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点.(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t ty t a x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=.（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。
（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。
极坐标与参数方程高考习题练习含答案(最新整理)
欢迎阅读极坐标系与参数方程高考题练习2014年一．选择题1. (2014北京)曲线（为参数）的对称中心（ B ）1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩θ.A.C 2.ρ4=A.ρ=C.ρ=二．填空题1. (2014湖北)（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐1C ⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t x 标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为_______.2C 2=ρ1C 2C 2. (2014湖南)直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、4πl 2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：αA 两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方B 2AB =O x lC 的.4C 5 (2014天津)在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若ΔAOB O θρ4sin =a =θρsin ,A B 是等边三角形，则的值为___________.a 解：3 圆的方程为，直线为.()2224x y +-=y a =因为AOB 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得.3a =6. (2014广东)（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，sin ρθ则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿三．解答题1. (2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.C 22149x y +=l 222x t y t =+⎧⎨=-⎩t (Ⅰ.d =则|当当ρ.0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，:2l y =+确定D 的坐标.3. （2014辽宁）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.221x y +=（1）写出C 的参数方程；（2）设直线与C 的交点为，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极:220l x y +-=12,P P 坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.12PP l 【答案】 （1） π∈[0,θθsin 2,θcos ，==y x （2） 03θsin ρ4-cos θ2ρ=+【解析】（1）（2）4（2014（I （II 解：圆C (2)因故圆（2013B A ．B ．=0()cos=2R θρρ∈和=()cos=22R πθρρ∈和 C ． D ．=()cos=12R πθρρ∈和=0()cos=1R θρρ∈和（2013天津数学（理））已知圆的极坐标方程为, 圆心为C , 点P 的极坐标为,4cos ρθ=4,3π⎛⎫⎪⎝⎭则|CP | =1.（2013上海卷（理））在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为cos 1ρθ=+cos 1ρθ=_____解析：2.（2013北京卷（理））在极坐标系中,点(2,)到直线ρsin θ=2的距离等于____1_____.6π3.（2013重庆数学（理））在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐4.5.,⎩6.（2013江西（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线的参数方程为(为参数),若以直C 2x ty t =⎧⎨=⎩角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线的极坐标方程为x c __________【答案】 2cos sin 0ρθθ-=7.（2013湖南卷（理））在平面直角坐标系中,若xoy ,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆右顶点,则常数________.()ϕ为参数的a 的值为【答案】38.（2013湖北（理））在直角坐标系中,椭圆的参数方程为.xOy C cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，)中,（2013α与β=(Ⅰ(Ⅱ9.（,直线2C (I)(II)设为的圆心,为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为P 1C Q 1C 2C PQ ,求的值()3312x t at R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,a b 【答案】10.（2013福建（理））坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负x半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且A )4πcos()4a πρθ-=点在直线上.A (1)求的值及直线的直角坐标方程;a (2)圆c 的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩α【答案】解:(Ⅰ)由点在直线上,可得)4A πcos(4a πρθ-=a =(Ⅱ)11.（程为.【答案】 ①012.（2013新课标1（理））选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=.(Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】将45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩消去参数,化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=,即1C :22810160x y x y +--+=,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得,28cos 10sin 160ρρθρθ--+=,∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=; (Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=,的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，，）， (Ⅱ)求圆的公共弦的参数方程。
极坐标与参数方程经典题型(附含详细解答)
专题：极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线：23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )6ρθθ-=.（1）求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值；（2）与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，若||2AB =，求1l 的方程．4、在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求||PQ 的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线2C ：2220x y y +-=，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于,A B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）当02πα<<时，求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=，若射线6πθ=，3πθ=，分别与l 交于,A B两点.（1）求||AB ；（2）设点P 是曲线2219y x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α＜π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1＋sin 2θ)ρ2＝2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2＋1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=． （1）若2a =，求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值．7. 在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （2）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．8.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．2．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0；（2）将直线l：代入曲线C的标准方程：y2=2x得：t2﹣4t﹣6=0，∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=（t1﹣t2）2+2t1t2=32．3、【解答】（1）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为（2）设直线1l 的方程为0x y λ-+=， (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】（1）由曲线C 1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C 1的普通方程得+=1．由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得，曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…（2）设P （2cos θ，2sin θ），则点P 到曲线C 2的距离为d==，当cos （θ+45°）=1时，d 有最小值0，所以|PQ|的最小值为0.5．【解答】解：（1）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（2）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5]6.【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．7．【解答】解：（1）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．综上所述，实数a的值为或．8．【解答】解：（1）直线，令，解得，∴，令，解得ρ=4，∴又∵，∴，∴|AB|=2．（2）∵直线，曲线，∴=当且仅当，即时，取“=”，∴，∴△ABP面积的最大值为3．极坐标与参数方程——练习参考答案1．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．2．【解答】解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C 3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（2）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．3．【解答】解：（1）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（2）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．4．【解答】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（2）由（1）易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，所以S△PMN==≤1，当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．5．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2，即+y2=1．（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．6．【解答】解：（1）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0 （2）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．7．【解答】解：（1）∵直线，∴直线C1的极坐标方程为，∵曲线C2的参数方程是（θ为参数），∴消去参数θ，得曲线C2的普通方程为．（2）∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3，∴C3的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．圆C2的圆心（，2）到直线C3：的距离：．∴．8．【解答】解：（1）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+ =0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．。
极坐标及参数方程高考题练习含答案
极坐标系与参数方程高考题练习2014年一．选择题1. (2014)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩〔θ为参数〕的对称中心〔 B 〕.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上2.(2014)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取一样的长度单位。
直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为〔 D 〕〔A 〕14 〔B 〕214 〔C 〕2 〔D 〕223(2014) (2).〔坐标系与参数方程选做题〕假设以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为〔 〕 A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤【答案】A 【解析】1y x =-()01x ≤≤10sin cos 2πρθθθ⎛⎫∴=≤≤ ⎪+⎝⎭所以选A 。
二．填空题1. (2014)〔选修4-4：坐标系与参数方程〕曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______.2. (2014)直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，〔α为参数〕交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________. 3 (2014)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-，则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____. .【答案】5 【解析】4 (2014)曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是。
极坐标与参数方程高考题练习含答案
极坐标与参数方程高考题练习含答案This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020极坐标系与参数方程高考题练习2014年一．选择题1. (2014北京)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ B ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上2.(2014安徽)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ D ）（A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）223(2014江西) (2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤【答案】A 【解析】1y x =-()01x ≤≤10sin cos 2πρθθθ⎛⎫∴=≤≤ ⎪+⎝⎭所以选A 。
二．填空题1. (2014湖北)（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______. 2. (2014湖南)直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，（α为参数）交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.3 (2014重庆)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-，则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____. .【答案】5 【解析】4 (2014上海)已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。
高中数学极坐标与参数方程大题（详解）
：+=1，直线l ：（t 为参数）为参数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程．的普通方程．（Ⅱ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A|的最大值与最小值．的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系． 专题： 坐标系和参数方程．坐标系和参数方程．分析： （Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cos θ、y=3sin θ得曲线C 的参数方程，直接消掉参数t 得直线l 的普通方程；方程；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点P （2cos θ，3sin θ）．由点到直线的距离公式得到P 到直线l 的距离，除以的距离，除以 sin30°进一步得到|P A|，化积后由三角函数的范围求得|P A|的最大值与最小值．的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C ：+=1，可令x=2cos θ、y=3sin θ，故曲线C 的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l ：，由①得：t=x ﹣2，代入②并整理得：2x+y ﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C 上任意一点P （2cos θ，3sin θ）． P 到直线l 的距离为．则，其中α为锐角．为锐角．当sin （θ+α）=﹣1时，|P A|取得最大值，最大值为． 当sin （θ+α）=1时，|P A|取得最小值，最小值为．点评： 本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：，曲线C 的参数方程为：（α为参数）．（I ）写出直线l 的直角坐标方程；的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．的距离的最大值．考点： 参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程．坐标系和参数方程．分析： （1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线C 的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．解答：解：（1）∵直线l 的极坐标方程为：，∴ρ（sin θ﹣cos θ）=，参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C∴，∴x ﹣y+1=0（α为参数）．得（x ﹣2）2+y 2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，为半径的圆， 圆心到直线的距离为：圆心到直线的距离为： d=，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值最小值．最小值．考点： 圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程． 专题： 计算题；压轴题；转化思想．计算题；压轴题；转化思想．分析： （1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C 1表示一个圆；曲线C 2表示一个椭圆；一个椭圆；（2）把t 的值代入曲线C 1的参数方程得点P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C 2的参数方程设出Q 的坐标，利用中点坐标公式表示出M 的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．解答：解：（1）把曲线C 1：（t 为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y ﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；的圆； 把C 2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；的椭圆； （2）把t=代入到曲线C 1的参数方程得：P （﹣4，4），把直线C 3：（t 为参数）化为普通方程得：x ﹣2y ﹣7=0，设Q 的坐标为Q （8cos θ，3sin θ），故M （﹣2+4cos θ，2+sin θ） 所以M 到直线的距离d==，（其中sin α=，cos α=）从而当cos θ=，sin θ=﹣时，d 取得最小值．．（2）根据曲线C 的参数方程为：=．点评： 本题重点考查了直线的本题重点考查了直线的极坐标极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．3．已知曲线C 1：（t 为参数），C 2：（θ为参数）．（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为t=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：（t 为参数）距离的考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．坐标系和参数方程． 分析：（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．代入即可得出．（II ）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d ，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C 的普通方程为x 2+y 2﹣2x+2y=0，即（x ﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1）， ∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l 的参数方程（t 为参数），把t=x 代入y=﹣1+2t 可得直线l 的普通方程：，∴圆心到直线l 的距离，∴|AB|=2==，点P 直线AB 距离的最大值为，．点评： 本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在平面直角坐标系xoy 中，椭圆的参数方程为为参数）．以o 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．考点： 椭圆的参数方程；椭圆的应用． 专题： 计算题；压轴题．计算题；压轴题．点评： 此题考查学生理解并运用直线和圆的此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．简求值，是一道综合题．4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为，直线l 的参数方程为（t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C上不同于A ，B 的任意一点．的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△P AB 面积的最大值．面积的最大值．圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为普通方程为（4分）分）点到直线的距离（6分）分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）分）点评： 此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．6．在直角坐标系xoy 中，直线I 的参数方程为（t 为参数），若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=cos （θ+）．（1）求直线I 被曲线C 所截得的弦长；所截得的弦长；（2）若M （x ，y ）是曲线C 上的动点，求x+y 的最大值．的最大值．考点： 参数方程化成普通方程．专题： 计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．分析： （1）将曲线C 化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．可求弦长． （2）运用圆的参数方程，设出M ，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值． 解答：解：（1）直线I 的参数方程为（t 为参数），消去t ，可得，3x+4y+1=0； 由于ρ=cos （θ+）=（），即有ρ2=ρcos θ﹣ρsin θ，则有x 2+y 2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==， 故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M （，）， 则x+y==sin （），由于θ∈R ，则x+y 的最大值为1．分析：由题意椭圆的由题意椭圆的参数方程参数方程为为参数），直线的直线的极坐标极坐标方程为．将椭7．选修4﹣4：参数方程选讲：参数方程选讲 已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线C 的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；的普通方程； （Ⅱ）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：（t 为参数）距离的最小值．为参数）距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 专题：坐标系和参数方程．坐标系和参数方程． 分析： （1）利用x=ρcos θ，y=ρsin θ即可得出；即可得出； （2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出， 解答：解 （1）∵P 点的极坐标为，∴=3，=．∴点P 的直角坐标把ρ2=x 2+y 2，y=ρsin θ代入可得，即∴曲线C 的直角坐标方程为．（2）曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的普通方程为x ﹣2y ﹣7=0 设，则线段PQ 的中点．那么点M 到直线l 的距离.，∴点M 到直线l 的最小距离为．点评： 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．8．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．的长．点评： 本题考查参数方程化为标准方程，本题考查参数方程化为标准方程，极坐标极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．专题： 直线与圆．直线与圆． 分析： ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入化简得：ρ=2cos θ，即为此圆的极坐标方程．，即为此圆的极坐标方程． （II ）如图所示，由直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q ．联立，解得或．∴P ．∴|PQ|==2．点评： 本题考查了极坐标化为普通方程、本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．识与基本方法，属于中档题．9．在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+）=4．（1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．的坐标．考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．坐标系和参数方程．分析： （1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式考点： 简单曲线的简单曲线的极坐标极坐标方程；直线与圆的位置关系．（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．化简即可得到此圆的极坐标方程． （II ）由直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：（Ix=ρcos θ、y=ρ的距离为，可得d 的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．的坐标．解答：解：（1）由曲线C 1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C 1的普通方程为：． 由曲线C 2：得：，即ρsin θ+ρcos θ=8，所以x+y ﹣8=0，即曲线C 2的直角坐标方程为：x+y ﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点到直线x+y ﹣8=0的距离为，∴当时，d 的最小值为，此时点P 的坐标为．10．已知直线l 的参数方程是（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=2cos （θ+）．（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；的直角坐标；（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．引切线，求切线长的最小值．考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 计算题．计算题．分析： （I ）先利用三角函数的和角公式展开圆C 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆C 的直角坐标方程，从而得到圆心C 的直角坐标．的直角坐标．（II ）欲求切线长的最小值，转化为求直线l 上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l 上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：解：（I ）∵，∴，∴圆C 的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）分）（II ）∵直线l 的普通方程为， 圆心C 到直线l 距离是，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是（10分）分）点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角体会在极坐标系和平面直角sin θ，把，把极坐标极坐标方程化为直角坐标方程．方程化为直角坐标方程． （2）求得椭圆上的点到直线x+y ﹣8=0点评： 本题主要考查把本题主要考查把参数方程参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．2的直角坐标方程；的直角坐标方程；（2）直线l 与直线C 2交于A ，B 两点，若|AB|≥2，求实数a 的取值范围．的取值范围．考点： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程．坐标系和参数方程．分析： （1）首先，将曲线C 1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；直角坐标方程； （2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答： 解：（1）根据题意，得）根据题意，得曲线C 1的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣4y=12， 设点P （x ʹ，y ʹ），Q （x ，y ）， 根据中点坐标公式，得根据中点坐标公式，得，代入x 2+y 2﹣4y=12，得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=4， （2）直线l 的普通方程为：y=ax ，根据题意，得，根据题意，得，解得实数a 的取值范围为：[0，]．点评： 本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．12．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ，ρcos （）=2．（Ⅰ）求C 1与C 2交点的极坐标；交点的极坐标；坐标系中刻画点的位置的区别，能进行坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标极坐标和直角坐标的互化．和直角坐标的互化．11．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为，（t 为参数），曲线C 1的方程为ρ（ρ﹣4sin θ）=12，定点A （6，0），点P 是曲线C 1上的动点，Q 为AP 的中点．的中点．（1）求点Q 的轨迹C（Ⅱ）设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ 0，2），（1，3），从而直线PQ 的直角坐标方程为x ﹣y+2=0，由参数方程可得y=x ﹣+1，从而构造关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值．的值．解答： 解：（I ）圆C 1，直线C 2的直角坐标方程分别为的直角坐标方程分别为x 2+（y ﹣2）2=4，x+y ﹣4=0，解得或，∴C 1与C 2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II ）由（I ）得，P 与Q 点的坐标分别为（0，2），（1，3）， 故直线PQ 的直角坐标方程为x ﹣y+2=0， 由参数方程可得y=x ﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．点评： 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．题．13．在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P （4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ （Ⅰ）写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 与直线相交于不同的两点M 、N ，求|PM|+|PN|的取值范围．的取值范围．解答：解：（I ）直线l 的参数方程为（t 为参数）．曲线C 的极坐标方程ρ=4cos θ可化为ρ2=4ρcos θ．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入曲线C 的极坐标方程可得x 2+y 2=4x ，即（x ﹣2）2+y 2=4． （II ）把直线l 的参数方程为（t 为参数）代入圆的方程可得：t 2+4（sin α+cos α）t+4=0．∵曲线C 与直线相交于不同的两点M 、N ，∴△=16（sin α+cos α）2﹣16＞0， ∴sin αcos α＞0，又α∈[0，π）， ∴．又t 1+t 2=﹣4（sin α+cos α），t 1t 2=4． ∴|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=4|sin α+cos α|=，∵，∴，的参数方程为（t ∈R 为参数），求a ，b 的值．的值．考点： 点的点的极坐标极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程． 专题： 压轴题；直线与圆．压轴题；直线与圆．分析： （I ）先将圆C 1，直线C 2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II ）由（I ）得，P 与Q 点的坐标分别为（∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．点评：考点： 点的极坐标和直角坐标的互化． 专题： 坐标系和参数方程．坐标系和参数方程． 分析：（I ）由⊙C 的极坐标方程为ρ=2sin θ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II ）设P ，又C ．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．函数的性质即可得出．解答： 解：（I ）由⊙C 的极坐标方程为ρ=2sin θ． ∴ρ2=2，化为x 2+y 2=，配方为=3．（II ）设P ，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P （3，0）．点评： 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．能力与计算能力，属于中档题．15．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ=（p ∈R ），曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．两点．（Ⅰ）把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程；的极坐标方程转化为直角坐标方程； （Ⅱ）求弦AB 的长度．的长度．考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 计算题．计算题．分析： （Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得曲线C 2及曲线C 1的直角坐标方程．的直角坐标方程．（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB 的长度．长度．解答：解：（Ⅰ）曲线C 2：（p ∈R ）表示直线y=x ，曲线C 1：ρ=6cos θ，即ρ2=6ρcos θ 所以x 2+y 2=6x 即（x ﹣3）2+y 2=9 本题考查了直线的参数方程、圆的本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题．方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题．14．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2sin θ．（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．的直角坐标．（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==． ∴弦AB 的长度．考点： 简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．专题： 计算题．计算题．分析： （1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，本关系，消去θ可得曲线C 的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P 到直线l 的距离的最大值，最后列出关于r 的方程即可求出r 值．值．解答： 解：（1）由）由 ρsin （θ+）=，得，得 ρ（cos θ+sin θ）=1，∴直线l ：x+y ﹣1=0．由 得C ：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C 的极坐标（1，）．（2）在圆C ：的圆心到直线l 的距离为：的距离为：∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，∴． r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3． 点评： 本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．线距离公式、三角变换等内容．17．选修4﹣4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 点评： 本小题主要考查圆和直线的本小题主要考查圆和直线的极坐标极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．基本方法，属于基础题．16．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin （θ+）=，圆C 的参数方程为，（θ为参数，r ＞0）（Ⅰ）求圆心C 的极坐标；的极坐标；（Ⅱ）当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．计算题；压轴题．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．的公共弦的参数方程．的公共弦的参数方程． 解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1 从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．。
极坐标与参数方程含答案
极坐标系与参数方程一．高考真题1．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值（ C ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-2.在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为（ B ）A.ρθ=22cosB.ρθ=-22c o sC.ρθ=22sinD.ρθ=-22s i n3.极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝ 12的图形是( B )A.C.D.4.极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是（ D ）A ．两条相交直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线5．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3，则点(2，π/6)到直线l 的距离为 2 ．6．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（ B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）27.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33R t t y t x ∈⎩⎨⎧-=+=参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ，参数∈⎩⎨⎧+==y x ，则圆C 的圆心坐标为 （0,2） ，圆心到直线l 的距离为22.二．极坐标与参数方程 知识点回顾及练习(一)极坐标1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x x y yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩ 的作用下,点(,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.例1：在平面直角坐标系中，方程1y x 22=+所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='3y y 2x,x 后的图形所对应的方程是19422='+'y x .例2： 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy 3x,x 后，曲线C 变为曲线9y 9x 22='+'，则曲线C 的方程是122=+y x例3：在同一平面直角坐标系中，使曲线2sin3x y =变为曲线sinx y =的伸缩变换是⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 2132.极坐标系的概念如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ；以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对（ ， ）叫做点M 的极坐标.例1：极坐标系中，点M )4,4(π表示的意思是 在正方向45°处的距极点距离为4的点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
极坐标系与参数方程高考题练习2014年一．选择题1. (2014北京)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ B ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上2.(2014安徽)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ D ）（A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）223(2014江西) (2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤【答案】A【解析】Q 1y x =-()01x ≤≤∴sin 1cos ρθρθ=-()0cos 1ρθ≤≤ 10sin cos 2πρθθθ⎛⎫∴=≤≤ ⎪+⎝⎭ 所以选A 。
二．填空题1. (2014湖北)（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______.2. (2014湖南)直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，（α为参数）交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.3 (2014重庆)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-，则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____..【答案】5 【解析】.5ρ,.541ρ(1,2),∴2044-y 1-x 4y .x 4y θcos ρ4θsin ρ∴0θcos 4-θsin ρ1-,3,2222222==+==⇒=+===⇒===+=+=所以交点得与联立y y x y x y t y t x4 (2014上海)已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。
【答案】 31【解析】31).0,31(14-3∴1)θsin 4-θcos 3(ρ所以，是交于点==y x.C (2014陕西)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点5 (2014天津)在以O 为极点的极坐标系中，圆θρ4sin =和直线a =θρsin 相交于,A B 两点.若ΔAOB 是等边三角形，则a 的值为___________.解：3 圆的方程为()2224x y +-=，直线为y a =.因为AOB 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得3a =.6. (2014广东)（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为三．解答题1. (2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 【解析】：.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数），直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分 （Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则()0||6sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=.当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为5；当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为5. …………10分2. (2014新课标II)（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y +垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.3. （2014辽宁）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【答案】 （1） π∈[0,θθsin 2,θcos ，==y x （2） 03θsin ρ4-cos θ 2ρ=+ 【解析】（1）]π∈[0,θθsin 2,θcos ，的参数方程：曲线==y x C （2）3θsin ρ4-cos θ 2ρ,23-4)21-(211-∴).1,21(),2,0(),0,1(.2π0θ.1)4πθsin(20,2-θsin 2θcos 2θ)sin 2θ,(cos =+====+=+是所求直线的极坐标方程所以即的中垂线方程是垂直中点所以，，或即解得在直线上，则上的点设曲线x y x y AB AB B A P C4（2014福建）（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=t y t a x 42，（t 为参数），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 4y x ，（θ为常数）.（I ）求直线l 和圆C 的普通方程；（II ）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点， 故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝52a -≤4，解得－25≤a ≤2 5.2007--2013年高考 极坐标与参数方程（2013安徽数学（理））在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ B ）A ．=0()cos=2R θρρ∈和B ．=()cos=22R πθρρ∈和C ．=()cos=12R πθρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和（2013天津数学（理））已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则|CP | =1（2013上海卷（理））在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为_____ 解析：2（2013北京卷（理））在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于____1_____.3（2013重庆数学（理））在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数)相交于,A B 两点,则______AB = 【答案】164（2013广东（理））(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),C 在点()1,1处的切线为 ， 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则切线的极坐标方程为 .【答案】x+y=2 ；sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭5（2013陕西（理））C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为______ .x【答案】R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 26（2013江西（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________ 【答案】2cos sin 0ρθθ-=7（2013湖南卷（理））在平面直角坐标系xoy 中,若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点,则常数a 的值为________.【答案】38（2013湖北（理））在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=.若直线经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为___________.（2013新课标（理））已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为PQ 的中点.(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 【答案】9（2013辽宁（理））在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭.(I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为()3312x t at R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值 【答案】10（2013福建（理））坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=,且点A 在直线上.(1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上,可得a =所以直线的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线的直角坐标方程为20x y +-=(Ⅱ)由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0),半径1r =以为圆心到直线的距离1d =<,所以直线与圆相交11（2013江苏）在平面直角坐标系xoy 中,直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21(为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.【答案】C 解:∵直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21∴消去参数后得直线的普通方程为022=--y x ①同理得曲线C 的普通方程为x y 22= ②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为)2,2(,)1,21(-12（2013新课标1（理））选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】将45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数,化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=,即1C :22810160x y x y +--+=,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得,28cos 10sin 160ρρθρθ--+=,∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=; (Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=,由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为4π),(2,)2π. 【2012新课标文23】已知曲线C 1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2．正三角形ABC 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，） （Ⅰ）求点A 、B 、C 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围． 解析：【2012辽宁文23】在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=。