高中数学《函数单调性》教案新人教A版必修1

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高中数学1.3函数的单调性教学设计新人教A版必修1

《函数单调性》教学设计基于函数单调性概念是高中教材中方式化程度较强，先生较难理解和要让先生充分了解概念后面所蕴涵的数学思想的主张，笔者以“数学本原性成绩驱动”数学概念教学为指点理念，在对函数单调性概念在高中教材中的地位和作用进行详细分析的基础上进行了新的教学设计及课堂实录。

◆教材分析教材的地位和作用《函数的单调性》是《高中数学人教A版》（必修1）第一章1.31节的内容。

它既是在先生学过函数概念等知识后的延续和拓展，又是后面研讨指数函数、对数函数、三角函数等各类函数的单调性的基础，在全部高中数学中起着承上启下的作用。

研讨函数单调性的过程表现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到普通的数学归纳思想方式，这对培养先生的创新认识、发展先生的思想能力，掌握数学的思想方法具有严重意义。

函数的单调性是函数的四个基本性质之一,在比较几个数的大小、对函数作定性分析（求函数的值域、最值，求函数解析式的参数范围、绘函数图象）和与不等式等其它知识的综合运用上都有广泛的运用；同时在这一节中利用函数图象来研讨函数性质的数形结合的思想将贯穿于我们全部高中数学教学。

教材的重点与难点教学重点：（1）领会函数单调性概念，体验函数单调性的方式化过程，深化理解函数单调性的本质，并明确单调性是一个局部概念；（2）函数单调性概念的运用教学难点：打破抽象，深化理解函数单调性方式化的概念。

◆教学目标分析根据新课标的要求和教学内容的结构特点，根据先生学习认知的心思规律和本质教育的要求，结合先生的理论程度，本节课教学目标如下：知识目标：（1）从本质上理解函数单调性概念；（2）运用方式化的函数单调性概念进行判断与运用。

能力目标：（1）培养先生的观察能力，分析归纳能力，领会归纳转化的思想方法。

（2）使先生体验和理解从特殊到普通的数学归纳推理思想方式。

（3）培养先生从具体到抽象的能力。

情感目标：（1）培养先生自动探求、不畏困难、敢于创新的认识和精神。

高中数学 1.3.1函数的单调性全册精品教案新人教A版必修1

1.3.1函数的单调性〔一〕教学目标1．知识与技能〔1〕理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征.〔2〕能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.2．过程与方法由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升〞“下降〞的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升〞“下降〞最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.3．情感、态度与价格观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.〔二〕教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用.〔三〕教学方法讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.〔四〕教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题观察一次函数f (x) = x的图象：函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的. 师：引导学生观察图象的升降.生：看图. 并说出自己对图象的直观认识.师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性.在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.引入深题观察二次函数f (x) = x2的图象：函数f (x) = x2在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.列表：x …–4–3–2–1f (x)=x216 9 4 1 0师：不同函数，其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形〞的方面，从“数〞的方面如何反映.生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由– 4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大.师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数.体会同一函数在不同区间上的变化差异.引导学生从“形变〞过渡到“数变〞. 从定性分析到定量分析.O xyyx11O1 2 3 4 …1 4 9 16 …x∈(–∞，0]时，x增大，f (x)减少，图象下降.x∈(0，+∞)时，x增大，f (x)也增大，图象上升.形成概念函数单调性的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数〔increasingfunction〕；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数〔decreasingfunction〕.师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？师生合作：对于函数f (x) = x2在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 假设x1＜x2，那么f (x1)＜f (x2)，即x12＜x22.师：称f(x) = x2在(0，+∞)上为增函数.由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.应用举例例1 如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？训练题1：〔1〕请根据以下图描述某装配线的师：投影例1.生：合作交流完成例1.师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题.师：投影训练题1生：学生通过合作交流自主完成.例1[解]：y= f (x)的单调区间有[–5，–2〕，[–2，1〕，[1，3〕，[3，5]. 其中y = f (x) 在区间[–5，–2〕，[1，3〕上是减函数，在区间[–2，1〕，[3，5]上是增函数.掌握利用图象划分函数单调区间的方法.掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分单调区间的方法.xx1 x2Oyf (x1) f (x2)y=f (x)xx1 x2Oyf (x1)f (x2)y=f (x)生产率与生产线上工人数量间的关系.〔2〕整个上午〔8∶00～12∶00〕天气越来越暖，中午时分〔12∶00～13∶00〕一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山〔18∶00〕才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 〔3〕根据以下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 例 2 物理学中的玻意耳定律kp V =(k 为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大. 试用函数的单调性证明之. 训练题2：证明函数f (x ) = –2x +1在R 上是减函数. 训练题 1 答案：〔1〕在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人的增加而降低. 由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高. 〔2〕增区间为[8，12]，[13，18]；减区间为：[12，13]，[18，20]. 〔3〕函数在[–1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，5]是增函数. 师：打出例2，请学生阐明应用定义证明〔判定〕并总结证明单调性的基本步骤. 生：学生代表板书证明过程，教师点评. 例 2 分析：按题意，只要证明函数kp V =在区间〔0，+∞〕上是减函数即可. 证明：根据单调性的定义，设V 1，V 2是定义域〔0，+∞〕上的任意两个实数，且V 1＜V 2，即 21121212()()V V k k p V p V k V V V V --=-=. 由V 1，V 2∈(0，+∞)，得V 1V 2＞0. 由V 1＜V 2，得V 2 – V 1＞0. 又k ＞0，于是 p (V 1) – p (V 2)＞0，即 p (V 1) ＞p (V 2).所以，函数kp V=，V (0，+∞)是减函数，也就是说，当体积V 减小时，压强p 将增大.师：投影训练题2 生：自主完成强化记题步骤与格式.训练题2 证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，因为f (x 1) – f (x 2) =2 (x 2 –x 1)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x ) = –2x +1在R 上是减函数.归纳小结1°体会函数单调性概念的形成过程.2°单调性定义.3°利用图象划分单调区间. 4°利用定义证明单调性步骤.师生合作：回顾单调性概念的形式与发展.师：阐述单调性的意义与作用.反思回顾整理知识，提升能力.课后练习1.3第一课时习案学生独立完成巩固知识培养能力备选例题：例1 证明函数f (x ) =3x +2在R 上是增函数. [证明]设任意x 1、x 2R ，且x 1＜x 2，那么f (x 1) – f (x 2) = (3x 1 +2) – (3x 2 +2) = 3(x 1–x 2).由x 1＜x 2得x 1 –x 2＜0. ∴f (x 1) – f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x ) =3x +2在R 上是增函数.例2 证明函数f (x ) =1x在〔0，+∞〕上是减函数. [证明]设任意x 1、x 2(0，+ ∞)且x 1＜x 2，那么f (x 1) – f (x 2) =21121211x x x x x x --=，由x 1，x 2(0，+∞)得，x 1x 2＞0，又x 1＜x 2，得x 2 – x 1＞0，∴f (x 1) – f (x 2) ＞0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x ) =1x在〔0，+∞〕上是减函数.。

高中数学《函数的单调性》教学设计新人教A必修1

《函数的单调性》教学设计一、设计理念：1、重视数学概念、公式的发生、发展过程，在概念的形成过程中培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力2、重视学生的学习过程，在教学中注重培养学生独立思考、相互交流、合作探究的能力3、重视诱思探究的教学理论在课堂教学中的渗透，在课堂教学中要体现“教师为主导、学生为主体”，教师启发诱导，学生自主探究，激发学生的学习兴趣、培养学生良好的思维习惯和思维品质二、设计思路：1、以函数的单调性的概念为主线，贯穿于整个教学过程中对函数单调性概念的深入而准确的认识往往是学生认知过程的难点。

因此在教学中突出对概念的分析一方面是为了分析函数单调性的定义，另一方面让学生掌握如何学会、弄懂一个概念的方法，也为今后对其他数学概念的学习有所帮助。

使用单调性的定义证明具体函数的单调性是教学中的又是一个难点。

使用单调性的定义证明具体函数的单调性是对单调性定义的深层理解，给出“作差、变形、定号”的具体步骤是非常必要的，一方面是有利于学生理解函数单调性的概念；另一方面有利于学生掌握证明方法、形成证明思路。

另外也为今后学习不等式证明中的作差法做一定的铺垫。

2、加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象、由特殊到一般的数学思维能力的培养始终贯穿于函数单调性概念教学过程中函数单调性的研究方法很具有典型性，体现了对函数研究的一般方法。

在函数单调性的教学中要引导学生逐步学会“直观感受---定性描述---定量刻画---具体应用”的探究方法，这样一方面为了便于对单调性概念有更好地理解，同时也为今后学习函数的其他概念和性质提供一定的参考方法。

3、在单调性概念的教学与研究中要体现出单调性是函数的一个局部性质函数的单调性是研究“当自变量不断增大时，函数值随着增大还是减小”，即函数图像的升降性，与函数奇偶性不同，函数的奇偶性是研究“当自变量的值互为相反数时，函数值是否也互为相反数”，即函数图像的对称性。

函数的单调性与函数的极值是函数的局部性质，与函数的奇偶性、最大（或小）值有着本质的区别，后者是函数的整体性质，在教学中要体现出函数的单调区间是函数定义域上的一个子集（区间），关注的是函数在这个子集上的增减性。

高中数学《函数的单调性》教案新人教A版必修

高中数学必修一《函数的单调性》教案教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程：阅读与思考♦ 1、阅读教材♦ P36的实例分析及思考交流止。

♦ 2、思考问题（1）从P36图2-15 （北京从20190421-20190519每日新增非典病例的变化统计图）看出，形势从何日开始好转？（2）从P36图2-16你能否说出y 随x 如何变化？德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据时间间隔记忆保持量刚刚记忆完毕 100% 20分钟之后58.2% 1小时之后44.2% 8-9小时之后35.8% 1天后33.7% 2天后27.8% 6天后25. 4% 一个月后21.1% … …艾宾浩斯遗忘曲线问:什么是增函数、减函数、函数的单调性？问题1、作出下列函数的图象,并指出图象的变化趋势: 问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升或下降趋势”的意思吗？在某一区间内，图象在该区间呈上升趋势当x 的值增大时，函数值y 也增大1(4) y x =图象在该区间呈下降趋势当x 的值增大时，函数值y 反而减小如何用x 与 f (x)来描述上升的图象？xyO y=f(x)x 1 x 2 f(x 1)f(x ) 那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2）单调区间如果函数y=f(x)在区间I 是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间. xyO y=f(x)x 1 x 2 f(x 1)f(x ) 那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值⊇x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2））上是增函数。

高中《数学》函数的单调性教学设计学情分析教材分析课后反思

《函数的单调性》教学设计一、教学内容解析1. 教材内容及地位本节课是人教版版《数学》(必修1)第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言(不等式)刻画函数的变化趋势(上升或下降)及简单应用.它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地.2. 教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.3. 教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.二、学生学情分析1. 教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“V随X的增大而增大(减小)”描述函数图象的上升(下降)的趋势.亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.2. 教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度.而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱.这些都容易产生思维障碍.三、课堂教学目标1.理解函数单调性的相关概念.掌握证明简单函数单调性的方法.2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法.3.通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量.4.引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力.四、教学策略分析在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随x 的增大而增大(减小)”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1. 指导思想.充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示.在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.2.在“创设情境”阶段.观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念.3.在“引导探索”阶段.首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”,借助多媒体引导学生对“随x 的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.4. 在“学以致用”阶段.首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识.然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法.接着请学生板演实践.五、教学过程(一)通过问题，引入课题分别作出函数y=x+1,y=-x+1,y=x²的图像，并且观察自变量变化时，函数图像有什么变化趋势?y=-x+10 1X1y=x²1问题一问题二如何描述函数图像的上升或下降?图像上升，y 随着x的增大而增大图像上升，y随着x的增大而减小向题三如何用符号化的数学语言来描述y 随着x 的增大而增大呢?(二)引导探究，生成概念探究在函数y=f(x)的给定区间上任取x₁,x₂,当x₁<x₂时，有f(x)<f(x₂),这时我们就说函数y=f(x)在给定区间上是增函数.单调性的定义一般的，设函数f(x) 的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有_f(x)<f(x₂),那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有f(x)>f(x),那么就说函数f(x) 在区间D上是减函数；如果函数y=f(x) 在区间D上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性；区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间(三)学以致用，理解感悟概念理解( 1 ) 已知,因为f(-1)<f(2), 所以函数f(x)是增函数.(2)能不能说y= (x≠0)定义域(-∝,0)∪(0,+∝)上是单调减函数？(3)对于函数f(x),x∈D,若x,x₂∈D,(x₂-x) [f(x₂)-f(x₁)]>0 ,则函数f(x)在D上是增函数.(4)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且x₁<x₂,则f(x)>f(x₂).- 用于比较函数值的大小(5)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且f(x₁)>f(x₂),则x₁<x₂…用于比较自变量值的大小概念升华：(1)x,x₂具有任意性；(2)单调性是相对区间而言的，在一点处不具有单调性，单调区间之间用“,”隔开(不可用“U”符号连接)(3)定义的等价变形；(4)“知二推一”的应用典型例题—根据图像，指出函数的单调区间，并指明函数在这些区间上的增减性。

高中数学人教A版必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word

四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。

提高学生概括、推理的能力。

通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。

课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

通过练习。

高中数学：函数单调性的教案的资料新课标人教A版必修1

第二章函数§函数的单调性（教案）[教学目标]1、知识与技术(1)观察一些函数图象的特征，对增（减）函数有直观熟悉；(2) 通过具体函数值的大小比较，得出增（减）函数单调性的概念.(3) 掌握用概念判断、证明函数单调性的步骤二、进程与方式(1)让学生通过已学过的函数专门是二次函数，借助图形直观熟悉函数的单调性,完成从直观到抽象的转变.(2)学会运用函数图象,理解和研究函数的性质.3、情感.态度与价值观使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的踊跃性.[教学重点]: 增函数和减函数的概念.[教学难点]：利用函数的单调性概念判断、证明函数的单调性．[教学教具]：直尺、多媒体[课时安排]: 1课时[学法指导]：学生自主学习、试探、交流.[教学进程]【新课导入】[互动进程1]：回顾温习:常函数、一次函数、二次函数、反比例函数的图象,并观察函数的图象的转变趋势,学生回答后教师归纳：从上面的观察分析能够看出：不同的函数，其图象的转变趋势不同，同一函数在不同区间上转变趋势也不同，函数图象的这种转变规律就是函数性质的反映，这就是咱们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

（一）从函数图象直观函数的转变[互动进程2]：再观察下列各个函数的图象，并说说它们别离反映了相应函数的哪些转变规律：提示:随x 的增大，y 的值有什么转变？何时上升?何时下降?（二）函数单调性的概念:[互动进程3]：y = x 2的图象在y 轴右边是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？学生通过观察、试探、讨论，归纳得出：函数y = x 2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有x 12＜x 22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。

1.增函数的概念:一般地，设函数y=f(x)的概念域为I ，若是对于概念域I 内的某个区间A 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间A 上是增加的,也称函数y=f(x)在区间A 上是递增的.[互动进程4]：从函数图象上能够看到，y= x 2的图象在y 轴左侧是下降的，类比增函数的概念，你能归纳出减函数的概念吗？注意：○1 函数的单调性是在概念域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2 必需是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．2．减函数的概念:一般地，设函数y=f(x)的概念域为I ，若是对于概念域I 内的某个区间A 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在区间A 上是减少的, 也称函数y=f(x)在区间A 上是递减的．3．单调区间:若是在区间A 上是增加的或减少的,那么称A 为单调区间.在单调区间上,若是函数是增加的,那么它的图象是上升的;若是函数是减少的,那么它的图象是下降的.4．函数在数集A 是增加的:一般地,对于函数y=f(x)的概念域内的一个子集A,若是对于任意两个数x 1，x 2A ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，就称函数y=f(x)在数集A 上是增加的.5．函数在数集A 是减少的:一般地,对于函数y=f(x)的概念域内的一个子集A,若是对于任意两个数x 1，x 2A ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，就称函数y=f(x)在数集A 上是减少的.说明：函数y=f(x)的概念域内的一个子集A,能够是概念域的某些子区间组成的,也能够是概念域内的孤立的数组成的.[互动进程5]：你能举出知足如此概念的例子来吗?如:y=x （x ∈R ）和y=x （x ∈Z ）和y=x（x ∈N ）是不是为同一函数,它们的单调性如何?6．函数在某子集上具有单调性:若是函数y=f(x)在概念域内的某个子集上是增加的或减少的, 那么就称函数y=f(x)在那个子集上具有单调性.7．单调函数:若是函数y=f(x)在整个概念域内是增加的或减少的,咱们别离称那个函数为增y x 1 -1 1 -1 yx 1 -11-1 y x1 -1 1-1函数或减函数,统称为单调函数.[互动进程6]：请你举出是单调函数的一些例子.（三）例题例1．说出函数的单调区间,并指明在该区间上的单调性.解:（-∞,0）和（0,+∞）都是函数的单调区间,在这两个区间上函数是减少的.练习1. 说出函数的单调区间,并指明在该区间上的单调性.练习2. 说出函数的单调区间,并指明在该区间上的单调性.例2．画出函数的图象,判断它的单调性,并加以证明.解:作出的图象如图,由图可看出,函数的图象在R上是上升的,函数是R上的增函数.下面给出证明:任取x1，x2R,且x1<x2,则x1-x2<0.所以,即.由单调函数的概念可知,函数是R上的增函数.小结:1.判断函数的单调性的方式:（1）利用大体函数的图象说明函数的单调性..（2）利用函数单调性的概念判断或证明.2．利用概念判断函数单调性的方式步骤利用概念证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（一般是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．课堂练习:1. 如图是概念在区间[－6，9]上的函数y=f(x)，按照图象说出函数的单调区间，和在每一单调区间上，它是增函数仍是减函数？课堂练习2 .利用函数单调性的概念证明函数在（1,+∞）上是单调减函数.巩固练习：○1讲义P37练习第一、2题；○2证明函数在（1，+∞）上为增函数．（四）归纳小结（1）什么是增函数?什么是减函数?如何肯定函数的单调区间?（2）函数的单调性一般是先按照图象判断，再利用概念证明．（3）求函数的单调区间时必需要注意函数的概念域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论（五）书面作业：讲义P38习题题（A组）第1-5题.。

高中数学 1.3.1函数的单调性教案新人教版必修1

1.3.1（1）函数的单调性（教学设计）教学目标（一）知识与技能目标学生通过经历观察、归纳、总结、证明等数学活动能够：1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义2、会根据函数的图像判断函数的单调性3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数（二）过程目标1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力2、学生利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养（三）情感、态度和价值观1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心教学重点：函数单调性的定义及单调性判断和证明一、复习回顾，新课引入1、函数与映射的定义。

2、函数的常用表示方法3、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？4、作出下列函数的图象：（1）y=x ； (2)y=x 2 ；二、师生互动，新课讲解：观察函数y=x与y=x2的图象，当x 逐渐增大时，y 的变化情况如何？可观察到的图象特征：（1）函数x x f =)(的图象由左至右是上升的；（2）函数2)(x x f =的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的；也就是图象在区间]0,(-∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小，在区间),0(+∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大．归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同．函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映．1．如何用函数解析式2)(x x f =描述“随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小”，“随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大”？在区间),0(+∞上任取x 1,x 2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？对于函数2)(x x f =，经过师生讨论得出：在区间),0(+∞上，任取两个21,x x ，当21x x <时，有)()(21x f x f <．这时，我们就说函数2)(x x f =在区间),0(+∞上是增函数．课堂练习请你仿照刚才的描述，说明函数2)(x x f =在区间]0,(-∞上是减函数．2．增函数和减函数的定义设函数)(x f 的定义域为I ：（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数（increasing function ）．区间D 叫做函数的增区间。

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《函数的单调性》说课稿一、教材分析（一）教材内容：我选用的教材是人教版《全日制普通高级中学教科书》（必修）其内容为第二章2．1．3函数的单调性的第一课时。

该课时主要学习增函数、减函数的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。

（二）教材所处地位、作用函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，且在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．在函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．（三）教学目标1知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法。

2过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3情感态度价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．（四）重点与难点教学重点：1函数单调性的概念；2运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．教学难点：1函数单调性的概念形成；2利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．二、教法分析与学法指导本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要注意：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对每个难点的突破，以获得各类问题的解决．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．4、借助投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．在学法上：1、将学生分成四人一组，鼓励自主交流与合作学习，让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．三、过程分析函数单调性的概念产生和形成是本节课的难点，为了突破这一难点，在教学设计上采用了下列四个环节：（一）问题情境抓住数学源于生活，服务于生活的特点，课堂教学首先从学生身边的、生活中常见的变化问题引入，如图为重庆某地区2007年12月1日这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：问题1 说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？问题2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？问题3 在区间［4，18］上，气温是否随时间增大而增大？再如：水位涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的问题。

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第九教时教材：函数的单调性目的：要求学生掌握函数单调性的定义，并掌握判断一些函数单调性的方法。

能利用单调性进一步研究函数。

过程：一、复习函数的图象作y=x2y=x3y=-x1、观察讲解时注意：1。

“在区间上”2。

“随着x的…”“相应的y值…”3。

“我们说函数…在…上是增（减）函数”2、上升到理性，得出定义：（见P58）注意强调：1。

属于定义域I内某个区间上2。

任意．．两个自变量x1,x2且x1<x2时3。

都有．．f(x1)<f(x2)4。

可用P58的示意图3、讲解“单调区间”概念。

同时解释一下“严格”单调的意义。

三、例题：例一图象法见P59例一（略）例二定义法见P59例二（略）例三定义法见P59-60 例三（略）注意：课本中的两个“想一想” 同时强调观察—猜想—讨论的方法。

例四、讨论函数21)(x x f -=的单调性。

解：定义域 {x |-1≤x ≤1} 在[-1,1]上任取x 1,x 2且x 1<x 2则2111)(x x f -= 2221)(x x f -= 则)(1x f -2221211)(x x x f ---==2221222111)1()1(xx x x -+----=222112122221212211))((11xx x x x x xx x x -+--+=-+--∵21x x < ∴012>-x x 另外，恒有0112221>+++x x ∴若-1≤x 1<x 2≤0 则 x 1+x 2<0 则)(1x f -0)(2<x f)(1x f <)(2x f若 x 1<x 2≤1 则 x 1+x 2>0 则)(1x f -0)(2>x f)(1x f >)(2x f∴ 在[-1，0]上f (x )为增函数，在[0，1]上为减函数。

四、小结：1.有关单调性的定义； 2.关于单调区间的概念；3.判断函数单调性的常用方法：定义法图象观察—猜想—推理论证五、作业（练习）P60 练习 P64-65 习题2.3 4、5、6 练习中 1 口答其中1、2、3 口答。

人教A版高中数学必修一 1.3.1函数的单调性教案

1.3.1函数的单调性一、教学目标：1.知识与技能：从形与数两方面理解函数单调性的概念。

初步掌握利用图像和定义判断、证明函数单调性的方法。

2.过程与方法：从已有知识出发，通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力。

3.情感态度价值观：通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性，培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯.二．重点难点重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性。

难点：函数单调性概念的符号语言的认知；应用定义证明单调性的代数推理论证。

三、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．四、教学过程（1）情景导入观察与思考；1.说出上述情境中图像的变化规律。

2.描述上述情境中气温或记忆保持量随时间变化规律。

（2）探究新知；问题1：观察下列函数的图象，回答当自变量x 的值增加时，函数值f (x )是如何变化的？(1)()1f x x =+2(2)()f x x =问题2：你能根据自己的理解说说什么是递增什么是递减?问题3：你能借助数学符号，将上述“函数值随着自变量增大逐渐增大”描述出来吗？当x 增大时 f(x)随着增大，即：当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)。

增函数的定义：一般地，设函数f (x )的定义域为I:如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2 ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数。

概念辨析()上递增。

，在区间则函数满足]31[)(),3()1()(1-<-x f f f x f()()()()()()()()()[]212,23,99100,1,100f x f f f f f f f x <<<若满足则在上递增。

()()[)[]()[]上递增。

在区间则上递增，和在区间函数3,03,22,03x f x f问题4：同学们能否类似地得出减函数的定义？（学生讨论、回答）师生共同得出：定义：一般地，设函数f (x )的定义域为I:如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2 ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数。

【新教材】新人教A版必修一函数的单调性教案

2019-2020学年新人教A版必修一函数的单调性教案1．函数的单调性（1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1〈x2时,都有f(x1)<f（x2)，那么就说函数f（x）在区间D上是增函数当x1〈x2时，都有f(x1)〉f(x2)，那么就说函数f(x）在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有(严格的）单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件（1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0）＝M（3)对于任意的x∈I，都有f（x)≥M;(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时,你还知道哪些等价结论？提示对∀x1，x2∈D，错误!〉0⇔f（x）在D上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y＝x＋错误!(a>0）的增区间．提示(－∞,－错误!]和［错误!，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1）若定义在R上的函数f(x），有f（－1)〈f（3)，则函数f（x）在R上为增函数．（×）（2）函数y＝f(x）在［1，＋∞）上是增函数，则函数的单调递增区间是［1,＋∞）．( ×）(3)函数y＝错误!的单调递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）．( ×)（4）如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( ×)（5)所有的单调函数都有最值．（×)题组二教材改编2．函数f（x)＝x2－2x的单调递增区间是____________．答案［1,＋∞)(或(1，＋∞）)3．函数y＝错误!在［2,3］上的最大值是______．答案 24．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2,＋∞)上是增函数,则实数m的取值范围是________．答案(－∞,2］解析由题意知，[2，＋∞)⊆［m，＋∞)，∴m≤2.题组三易错自纠log (x2－4)的单调递减区间为________．5．函数y＝12答案（2，＋∞)6．若函数f(x）＝|x－a｜＋1的增区间是［2，＋∞）,则a＝________.答案 2解析∵f(x)＝|x－a｜＋1的单调递增区间是［a，＋∞），∴a＝2。

高一数学1.3.1《函数的单调性》教案（新人教A版必修1）

⾼⼀数学1.3.1《函数的单调性》教案（新⼈教A版必修1）§1.3.1函数的单调性⼀、三维⽬标1、知识与技能：（1）建⽴增（减）函数的概念通过观察⼀些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的⼤⼩⽐较，认识函数值随⾃变量的增⼤（减⼩）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握⽤定义证明函数单调性的步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学⽣通过⾃主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

2、过程与⽅法（1）通过已学过的函数特别是⼆次函数，理解函数的单调性及其⼏何意义；（2）学会运⽤函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应⽤定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学⽣感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感. ⼆、教学重点与难点重点：函数的单调性及其⼏何意义．难点：利⽤函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．三、学法与教学⽤具1、从观察具体函数图象引⼊，直观认识增减函数，利⽤这定义证明函数单调性。

通过练习、交流反馈，巩固从⽽完成本节课的三维⽬标。

2、教学⽤具：投影仪、计算机. 四、教学思路：（⼀）创设情景，揭⽰课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增⼤，y 的值有什么变化？○2 能否看出函数的最⼤、最⼩值？○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增⼤，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______?⼤，f(x)的值随着________ ．（3）f(x) = x2○1在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．○2在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．3、从上⾯的观察分析，能得出什么结论？学⽣回答后教师归纳：从上⾯的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同⼀函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的⼀个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

人教A版高中数学第一册(必修1)教学设计1：3.2.1 第1课时函数的单调性教案

3.2.1第1课时函数的单调性一、教材分析单调性与最大（小）值是人教A版必修第一册第一三章第2节的内容，是在学习了函数概念之后研究的第一个函数性质.单调性的学习是对函数研究的进一步深化和提高.函数单调性揭示了函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的关系，是数形结合数学思想的基础，与函数的奇偶性呈并列的关系，他俩从不同侧面研究函数性质.若单调性研究得透彻、清楚，那么函数的其它性质的学习就会顺理成章.函数单调性的学习体现了数形结合、从特殊到一般等重要数学思想,在描述性语言到符号语言的过渡中,培养了学生的数学抽象素养.所以说，本节课纵向承接函数概念的深入研究，横向为函数其他性质的学习打下基础.二、学情分析本节课是“单调性与最大（小）值”的第一课时，授课对象是高一学生.在方法储备上，学生已经具备了由特殊到一般的研究思路,具有了一定的直观想象能力、抽象概括能力和推理论证能力，但这些能力处于发展期，不够成熟、不严密、意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力；在知识的储备上，学生在初中已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数等，从图形上对单调性有了初步的直观感受并且通过对集合、函数概念的学习，对符号语言的运用有了一定的经验，这对单调性的概念学习有借鉴和迁移的作用，但是由于学生使用符号语言表达数学问题的能力还不够成熟、严谨，致使在抽象出函数单调性的符号化定义时会产生一定的困难.三、教学目标1.素养目标：①数学抽象：函数在区间上单调性概念的概述②逻辑推理：本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象；通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。

③数学运算：判断函数的单调性及证明④直观想象：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法，培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。

2.能力目标：通过证明函数的单调性的学习，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会数学的归纳转化的思想方法，增加学生的知识联系，增强学生对知识的主动构建的能力。

2021年高中数学1.3.1函数的单调性教学设计新人教A版必修1

2021年高中数学1.3.1函数的单调性教学设计新人教A版必修1【教学目标】1.知识与技能：(1)通过对初中已学过的函数图象的观察、分析,逐步理解函数的单调性；(2)能根据图象的升降特征,划分函数的单调区间；逐步借助图象、自然语言和数学符号语言，建立增（减）函数的概念；(3)理解增（减）函数的定义,会证明函数在指定区间上的单调性.2.过程与方法：能够观察研究函数图象的特点,来研究函数的单调性性质．3.情感、态度、价值观：培养学生学习数学的兴趣,体会函数图象的变化规律及蕴含本质.【教学重点、难点】重点：增（减）函数的概念以及用定义证明函数的单调性．难点：增（减）函数概念的形成过程及准确表述与理解．【教学方法】自主学习、合作探究、讲练结合.【教学基本流程】应用举例以及在每一单调区间上,是单调增函数还是单调减函数.解：函数的单调区间，，，.其中在区间，上是减函数，在区间，上是增函数.例2. 物理学中的玻意耳定律（k正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大.试用函数的单调性证明之.思考：1.本题中函数解析式是什么？哪个字母表示自变量？定义域（即自变量取值范围）是什么？2.需要证明该函数在相应区间上是增函数还是减函数？3.如何利用定义证明该函数的单调性？证明：根据单调性的定义，设，是定义域（0，+）上的任意两个实数，且<，21121212()()v vk kp v p v kv v v v--=-=。

由，（0，+），得>0；由<，得>0；又，于是>0，即>所以，函数，V（0，+）是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强P将增大.学生观察回答，教师课件展示，及时评价学生的答案.教师强调区间的读法，写法.让学生根据思考的问题，提出破解方法.学生思考回答问题，自己动手练习,并让学生板演.教师巡视指导，进行点评.调区间.掌握并理解用定义证明单调性的步骤.。

高中数学《函数单调性》教案 新人教A版必修1

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