巩固练习_正弦、余弦定理及解三角形_基础

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正弦定理和余弦定理基础习题大全

根本运算类1、ABC ∆中，45,60,10,A B a ===那么b 等于2、在△ABC 中，8=a ，B=060，C=075，那么b 等于3、ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、的对边， 60,3,2===B b a ，那么A =4、在△ABC 中，a b c 、、分别是三角A B C 、、的对边, ︒=︒=45,75C A ,2b ,那么此三角形的最小边长为5、在ABC ∆中，B=30︒，C=45︒，c=1，那么最短边长为6、在ABC ∆中，假设边4a c ==，且角4A π=，那么角C=；7、在ABC ∆中，8a =，60B =︒，75C =︒，那么b 的值为 8、在ABC ∆中，15a =，10b =，60A =︒，那么cos B = 9、在ABC ∆中，045,1,2===B c b ，那么C ＝.10、在A B C △中，3A π∠=，3B C =，AB ，那么C ∠=11、在△ABC 中，0045,30,2A B b ===，那么a 边的值为．12、在ABC ∆中, 假设21cos ,3-==A a ,那么ABC ∆的外接圆的半径为13、△ABC 中，30,8,A a b ===那么此三角形的面积为14、锐角ABC ∆的面积为4BC =，3CA =，那么角C 大小为 15、ABC ∆的角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且54cos ,3,2===B b a ，那么A sin 的值为 16、ABC △中，假设537AB ===，AC ，BC ，那么A 的大小为17、在ABC ∆中，假设1b =，c =23C π=，那么a =. 18、在△ABC 中，假设222ca b ab =++，那么∠C=19、在ABC ∆中，222a c b ab -+=，那么C = 20、边长为5,7,8的三角形的最大角的余弦是.21、假设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222a b c bc =+-，那么角A 的大小为 22、在ABC ∆中，A,B,C 的对边分别为a,b,c ，bc c b a ++=222，那么A 等于23、在ΔABC 中, 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , A =3π, 3=a , 1=b ，那么=c24、在ABC △中，假设120c b B ===，那么a 等于 25、在ABC ∆中，2=a , 30=A , 120=C ,那么ABC ∆的面积为 26、在ABC ∆中,，，，23230===AC AB B 那么ABC ∆的面积是27、在ABC ∆中，5,7,8AB BC AC ===，那么ABC ∆的面积是；28、ABC ∆中，120,2,ABC A b S ∆===a 等于。

正弦定理、余弦定理及解三角形

训练 2 (2014· 重庆卷)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别 5 为 a，b，c，且 a＋b＋c＝8. (1)若 a＝2，b＝，求 cos C 的值； 2 2B 2A (2)若 sin Acos ＋sin Bcos ＝2sin C，且△ABC 的面积 2 2 9 S＝ sin C，求 a 和 b 的值． 2 7 解析 (1)由题意可知 c＝8－(a＋b)＝2.
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考点突破考点二正、余弦定理的综合运用
【例题 2】(2014· 山东卷)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别 6 π 是 a，b， c.已知 a＝3，cos A＝， B＝ A＋ . 3 2 (1)求 b 的值；(2)求△ABC 的面积．
3 sin A＝ 1－cos A＝，解析 (1)在△ABC 中，由题意知， 3
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考点突破考点一正、余弦定理的简单运用
例1 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. (1)若 a＝2 3，b＝ 6，A＝45° ，则 c＝________． (2)若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则 B＝________．
深度思考解(1)法一在△ABC 中，由正弦定理得 2 已知两边及其 6× bsin A 2 1 中一边所对的因为 b＜a，所以 B＜A， sin B＝＝＝， a 2 2 3 角求另一边可所以 B＝30° ， C＝180° －A－B＝105° ，采用正弦定理 sin C＝sin 105° ＝sin(45° ＋60° ) 也可用余弦定 6＋ 2 理来解决，不＝sin 45° cos 60° ＋cos 45° sin 60° ＝ . 4
解析

专题18 正弦定理、余弦定理、解三角形

专题18 正弦定理、余弦定理、解三角形一、选择题1 ．在ABC ∆中,已知 30,4,34=∠==B AC AB ,则ABC ∆的面积是（）A ．34B ．38C ．34或38D ．32 ．在ABC ∆中,若ac c a b2222-+=,则=B（）A ．45B ．135C ．30 D ． 45或1353 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,,且A b a sin 3=,则=B sin（）A ．3B ．33 C ．36 D ．36-4 ．满足∠A=45°,c=6,a=2的△ABC 的个数记为m,则m a 的值为（）A ．4B ．2C ．1D ．不定5 ．△ABC 的内角A ．B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,若sin A =31,b =3sin B ,则a 等于（）A ．33B ．3C ．23 D．33 6 ．在ABC ∆中,已知()()bc a c b c b a 3=-+++,则角A 为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°7 ．ABC ∆中,由已知条件解三角形,其中有两解的是（）A ．20,45,80b A C ==︒=︒B ．30,28,60a c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．12,15,120a c A ===︒8 ．设a ,b, c 分别是ΔABC 的三个内角ABC 所对的边,则a 2=b (b +c)是A =2B 的（）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件9 ．已知ABC ∆满足：3B π∠=，3,AB AC ==BC 的长（）A ．2B ．1C ．1或2D ．无解10．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（）A ．51-B ．61-C ．71- D ．81-11．已知三角形的三边满足条件22()1a b c bc--=，则角A 等于（）A ．56π B ．23π C ．6π D ．3π 12．在△ABC 中，A=60°，AB=2，且△ABC 的面积,23=∆ABC S 则边BC 的长为（）A ．3B ．3C ．7D ．713．在△ABC 中，4:2:3sin :sin :sin =C B A ，那么=C cos（）A ．32 B ．41 C ．32-D ．41-14．已知A B C ∆的外接圆半径为R ，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()(),s i n 2s i n s i n 222B b a C A R -=-那么角C 的大小为（）A ．43π; B ．4π ; C ．3π; D ．2π 15．在ABC ∆中,,,A B C 行?所对的边长分别为,,a b c ,如果cos cos a B b A =,那么ABC ∆一定是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题16．在ABC ∆中,若,,,8c 3b 7a ===则其面积等于__________.17．△ABC 中,A ．B ．C 的对边分别为a 、b 、c,则acosC+ccosA=____________.18．在△ABC 中,∠A ．∠B ．∠C 所对的边长分别为a 、b 、c.若b=2asinB,则角A 的大小为____________.19．在ABC ∆中,ABC b A ∆=︒=∠,1,60的面积为23,则C B A c b a sin sin sin ++++=_____ 20．在等腰三角形 ABC 中,已知sinA ∶sinB=1∶2,BC=10,则△ABC 的周长是______21．设a 、b 、c 依次是ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边，若1004tanA tanBtanC tanA tanB⋅=+，且222a b mc +=，则m =_____________.22．已知△ABC 中，角A ．B ．C 的对边分别为c b a 、、，且4222c b a S A B C -+=∆，那么=∠C _____________．23．在ABC ∆中,已知BC AC AB ,7,4==边上的中线27=AD ,则=BC _____________ 24．设,,a b c 分别是ABC ∆角,,A B C 所对的边,222sin sin sin sin sin A B A B C +-=,且满足4ab =,则ABC ∆的面积为__________.25．ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a +=)sin sin ,3(A B c a -+=，若//，则角B 的大小为___________.三、解答题26．已知向量⎪⎭⎫⎝⎛=4cos ,4cos 3x x ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=4cos ,4sin x x .(I)若213+=⋅n m ,求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3cos πx 的值; (II)记()21-⋅=x f ,在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是a ,b ,c ,且满足()C b B c a cos cos 2=-,求函数()A f 的取值范围.27．已知向量⎪⎭⎫⎝⎛=4cos ,4cos 3x x ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=4cos ,4sin x x .(I)若213+=⋅n m ,求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3cos πx 的值; (II)记()21-⋅=x f ,在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是a ,b ,c ,且满足()C b B c a cos cos 2=-,求函数()A f 的取值范围.28．在ABC ∆中,A ∠、B ∠、C ∠所对的边长分别是a 、b 、c .满足b A c C a =+cos cos 2.(1)求C 的大小;(2)求B A sin sin +的最大值.29．在锐角△ABC 中,角A ．B ．C 的对边分别为a 、b 、c ,已知.3tan )(222bc A a c b=-+(I)求角A;(II)若a =2,求△ABC 面积S 的最大值｡30．在等腰△ABC 中, AC AB =,且33sin =B. (Ⅰ)求A cos 的值;(Ⅱ)若112=+,.。

利用正弦定理、余弦定理求解三角形基础题

利用正弦定理、余弦定理求解三角形基础题1正弦定理小陈去里约看奥运会，住在宾馆A处，青年体育馆B处与德奥多罗水上运动中心C处相距2公里，三处位置大致如下图所示，能否利用数学知识算出AB,AC的距离？1 正弦定理2 三角形的元素与解三角形(1)三角形的元素把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．(2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．2答疑1 对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．2 正弦定理的变形公式3练习1 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理不适用于直角三角形．( )(2)在△ABC中必有a sin A＝b sin B．( )(3)在△ABC中，若A>B，则必有sin A>sin B．( )(4)在△ABC中，若sin A>sin B，则必有A>B.( )(5)在△ABC中，若A>B，则必有cos A>cos B．( )4定理的应用探究1一直两角及一边，解三角形探究2已知两边及一边的对角，求三角形探究3判断三角形的形状5 总结归纳6 深化拓展余弦定理1．对余弦定理的四点说明(1)勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．(2)与正弦定理一样，余弦定理揭示了三角形的边角之间的关系，是解三角形的重要工具之一．(3)余弦定理的三个等式中，每一个都包含四个不同的量，它们是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，就可以求出第四个量．(4)运用余弦定理时，若已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)，则由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．2．对余弦定理推论的理解余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．例题讲练探究点1 已知两边及一角解三角形方法归纳：(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．[注意]解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便．练习：1.在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．探究点2已知三边(三边关系)解三角形方法归纳已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．[注意]若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．练习：1.(2018·辽源高二检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝( ) A．90°B．60°C．120° D．150°探究点3 判断三角形的形状方法归纳判断三角形形状的思路(1)转化为三角形的边来判断①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2或c2＝a2＋b2；②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2；③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2；④按等腰或等边三角形的定义判断．(2)转化为角的三角函数(值)来判断①若cos A＝0，则A＝90°，△ABC为直角三角形；②若cos A<0，则△ABC为钝角三角形；③若cos A>0且cos B>0且cos C>0，则△ABC为锐角三角形；④若sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝90°，△ABC为直角三角形；⑤若sin A＝sin B或sin(A－B)＝0，则A＝B，△ABC为等腰三角形；⑥若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形．在具体判断的过程中，注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定．章节总结▍▍▍。

解三角形(正弦定理和余弦定理)专项训练

【精讲精析】令，，则由正弦定理得
且，
＝
(其中
当时，取最大值为
7.△ABC中，B= 120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为_________
【思路点拨】用余弦定理求得边BC的值，由求得三角形的面积
【精讲精析】设，由余弦定理
，得，
解得，
8.满足A＝45°，a＝2，c＝的△ABC的个数为________．
即bcsin＝，
∴bc＝3，①
∵a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴b2＋c2＝6，②
由①，②得b＝c＝，
∴△ABC为等边三角形．
12.△ 的三个内角，，所对的边分别为、、，．
（I）求；（II）若 2= 2+ 2，求．
【思路点拨】（I）依据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得；
（II）先结合余弦定理和已知条件求出的表达式，再利用第（I）题的结论进行化简即得．
【精讲精析】（I）由正弦定理得，，即
．故，
所以
（II）由余弦定理和，得．
由（I）知，故．
可得，又，故，所以．
13.在角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC.
（1）求角C的大小；
（2）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小.
【思路点拨】本题主要考查利用正弦定理消边，再考查三角恒等变形.突出考查边角的转化思想的应用.边角共存的关系中常考虑消去边或消去角，如果考虑消边，如果是边的一次常用正弦定理，如果是边的二次常考查余弦定理，在考查余弦定理时兼顾考查凑配.如果考虑消角，那么是余弦就用余弦定理，而如果是正弦定理必须等次才能使用.
所以AD＝＝＝25.

(完整版)正弦定理和余弦定理练习题

【正弦定理、余弦定理模拟试题】一. 选择题：1. 在∆ABC 中，a b B ===︒232245，，，则A 为（）A B C D ....60120603015030︒︒︒︒︒︒或或2. 在∆AB C A a B bB 中，若，则sin cos =∠=（） A BCD ....30456090︒︒︒︒3. 在∆ABC 中，a b c bc 222=++，则A 等于（）A B C D ....604512030︒︒︒︒4. 在∆ABC 中，||||()()AB BC AB BC AB BC →=→=→+→⋅→+→=+12523，，，则边||AC →等于（） A B C D ....5523523523--+5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形6. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 在∆ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则∆ABC 是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为（）A. 52B. 213C. 16D. 4二. 填空题：9. 在∆ABC 中，a b A B +==︒=︒126045，，，则a =_______，b =________10. 在∆ABC 中，化简b C c B cos cos +=___________11. 在∆ABC 中，已知sin :sin :sin ::A B C =654，则cosA =___________12. 在∆ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos sin A B >，则∆ABC 是_________三. 解答题：13. 已知在∆ABC 中，∠=︒==A a c 4526，，，解此三角形。

高三一轮复习精题组正弦定理、余弦定理及解三角形(有详细答案)

§4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形1．正弦、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2. S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：4. 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B ．( √ )(2)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是(3，2)．( √ ) (3)若△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC 中，tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，那么△ABC 是等腰三角形．( × )(5)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )2． (2013·湖南)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.3． (2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角，由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.5．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．题型一正、余弦定理的简单应用例1 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则sin B ＋sin C 的最大值为( )A ．0B ．1C.12D. 2思维启迪 (1)由sin C ＝23sin B 利用正弦定理得b 、c 的关系，再利用余弦定理求A . (2)要求sin B ＋sin C 的最大值，显然要将角B ，C 统一成一个角，故需先求角A ，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A . 答案 (1)A (2)B解析 (1)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.(2)已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，∴A ＝120°.故sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )，故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1.思维升华 (1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )A.725B ．－725C ．±725D.2425(2)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________．答案 (1)A (2)π6解析 (1)由正弦定理b sin B ＝csin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得bsin B ＝85b sin 2B ，化简得1sin B ＝852sin B cos B ，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725，故选A.(2)∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二正弦定理、余弦定理的综合应用例2 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sinC －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.思维升华有关三角形面积问题的求解方法： (1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．题型三解三角形的实际应用例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．解如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋92t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)．即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．思维升华求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ，所以∠ACB ＝30°.由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.代数式化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形； (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解； (3)结论表述不规范．规范解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断；注意不要轻易两边同除以一个式子．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．方法与技巧1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 3．合理利用换元法、代入法解决实际问题．失误与防范1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1．在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150°答案 A解析在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB <BC ，∴∠C <∠A ，故∠C ＝30°.2． △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案 A解析依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．3． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 4． (2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cosA ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A＝78，则△ABC 的面积等于 ( )A.17B.15C.152D ．3答案 C解析 ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0，即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－(78)2＝152.二、填空题6． (2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝________. 答案2π3解析由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.7．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝________.答案 210解析由tan A ＝2得sin A ＝2cos A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，∠B ＝π4，根据正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在点A 的同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________．答案 50 2 m 解析由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，所以AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝50 2.三、解答题9． (2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A，∴cos A ＝63. (2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去．故c 的值为5.10．(2013·江西)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，即3cos B ＝sin B . 因为0<B <π，所以sin B >0，所以cos B >0，所以tan B ＝3，即B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2＝14， ∴b ≥12.又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1.B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1． △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba等于( )A ．2 3B ．2 2C. 3D. 2答案 D解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin Bsin A＝ 2.2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°答案 C解析如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°， ∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°.3． (2013·浙江)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________. 答案63解析因为sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B ，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC .在Rt △ACM 中，有CMAM ＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2.再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63.4． (2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．(1)证明由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1.由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.5．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值． (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以T ＝2π2＝π.又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]，所以f (x )的值域为[－2,2]． (2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4.由正弦定理，知3sin π3＝csinπ4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.。

正弦定理、余弦定理的应用举例练习题(基础、经典、好用)

正弦定理、余弦定理的应用举例一、选择题图3－8－91．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图3－8－9)，要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里图3－8－103．(2013·广州模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是() A．102海里B．103海里C．202海里D．203海里图3－8－114．如图3－8－11所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为()A.217 B.22 C.32 D.5714图3－8－125．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图3－8－12所示)，则旗杆的高度为()A．10 m B．30 m C．10 3 m D．10 6 m二、填空题6．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是________米．7．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．图3－8－138．如图3－8－13，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________．三、解答题图3－8－149．(2013·佛山调研)如图3－8－14，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？图3－8－1510．如图3－8－15，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D间的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．图3－8－1611．(2013·惠州模拟)某城市有一块不规则的绿地如图3－8－16所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建设费用最低，请说明理由．解析及答案一、选择题1．【解析】在△ABC中，由正弦定理BCsin 30°＝ABsin 45°，AB＝50 2.【答案】 A2．【解析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．【答案】 C3．【解析】由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ABsin 45°×sin 30°＝10 2.【答案】 A4．【解析】连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos 120°＝700，∴BC＝107，再由正弦定理，得BCsin∠BAC ＝AB sin θ，∴sin θ＝21 7.【答案】 A5．【解析】如图，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.由正弦定理得106sin 30°＝BCsin 45°，所以BC＝206×2 2＝203(m)．在Rt△CBD中，CD＝BC sin 60°＝203×32＝30(m)．【答案】 B二、填空题6．【解析】如图，依题意甲楼高度AB＝20tan 60°＝203米，又CM＝DB＝20米，∠CAM ＝60°.所以AM＝CM·1tan 60°＝2033米，所以乙楼的高CD＝203－2033＝4033米．【答案】403 37．【解析】如图所示，设BD＝x m，则142＝102＋x2－2×10×x×cos 60°，∴x2－10x－96＝0，∴x＝16.【答案】168．【解析】设AB＝h，在△ABC中tan 60°＝h BC，∴BC＝33h，在△BCD中，∠DBC＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得CDsin∠DBC ＝BCsin∠BDC，即30sin 135°＝33hsin 30°，解得h＝15 6.【答案】15 6三、解答题9．【解】在△BCD中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理cos∠BDC＝DB2＋DC2－BC22DB·DC＝－17，所以cos∠ADC＝17，sin∠ADC＝437，在△ACD中，由条件知CD＝21，A＝60°，所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝32×17＋12×437＝5314，由正弦定理ADsin∠ACD ＝CD sin A，所以AD＝2132×5314＝15，故这时此车距离A城15千米．10．【解】在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620，因此，BD ＝32＋620≈0.33 km.故B ，D 间的距离约为0.33 km.11．【解】 (1)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝356－320cos C ， ① 在△ABD 中，由余弦定理及∠C ＝∠D 整理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos D ＝392－392cos C ， ② 由①②得：356－320cos C ＝392－392cos C ，整理可得，cos C ＝12，又∠C 为三角形的内角，所以C ＝60°，又∠C ＝∠D ，AD ＝BD ，所以△ABD 是等边三角形，故AB ＝14，即A 、B 两点的距离为14. (2)小李的设计符合要求．理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ， S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD ＞AC ·BC ，所以S △ABD ＞S △ABC ，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低．因此小李的设计符合要求．。

正弦定理余弦定理练习题

正弦定理余弦定理练习题在平面几何中，正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要定理。

熟练掌握这两个定理的使用方法，对于解题非常有帮助。

本文将通过一些练习题，进一步巩固并应用正弦定理和余弦定理。

一. 练习题一已知三角形ABC，∠BAC = 35°，BC = 10cm，AC = 8cm。

1. 求∠ABC和∠ACB的度数。

2. 求∠BAC的正弦值和余弦值。

3. 求∠BAC的弧度值。

解答：1. 由三角形内角和定理可知∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°，故∠ABC + 35° + ∠ACB = 180°。

化简可得∠ABC + ∠ACB = 145°。

又因为∠ABC和∠ACB为三角形内角，故它们的度数之和小于180°，可知∠ABC和∠ACB的度数为(0, 145°)。

2. 根据正弦定理可得 sin(∠BAC) = BC/AC = 10/8 = 1.25。

因为∠BAC是锐角，故其正弦值为1.25。

根据余弦定理可得 cos(∠BAC) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC) = (AB² + 8² - 10²) / (2 * AB * 8) = (AB² + 64 - 100) / (16 * AB) = (AB² - 36) / (16 * AB)。

因为∠BAC是锐角，所以其余弦值小于1，得到 AB² - 36 < 16 * AB。

将 AB 换成 x，得到 x² - 16x - 36 < 0。

解这个不等式可得 4 < x < 9，所以 AB 的长度为 (4, 9)。

3. 弧度值可以通过将度数除以180°，再乘以π来计算。

所以∠BAC 的弧度值为35° * (π /180°) ≈ 0.6109。

高中数学专题4.6 正弦定理和余弦定理(讲+练)(原卷版+解析版)

专题4.6 正弦定理和余弦定理1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识点一正弦定理和余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：知识点二三角函数关系和射影定理1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B .考点一利用正、余弦定理解三角形【典例1】【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5【举一反三】(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. ①求角B 的大小；②设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．【方法技巧】正、余弦定理的应用技巧1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

(完整版)正弦定理、余弦定理综合训练题含答案

正弦定理、余弦定理综合训练题1．[2016·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．3[解析] D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( ) A.310 B.1010 C.55 D.31010[解析] D 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BC ＝3，则有AD ＝BD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得AC ＝ 5.由正弦定理得5sin π4＝3sin A，解得sin A ＝3×225＝31010. 3．[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5[解析] D 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得25cos 2A ＝1.因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，根据余弦定理，得49＝b 2＋36－12b ·15，即b 2－125b 4．[2016·全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．[解析] 因为cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.又因为a sin A ＝b sin B ，所以b ＝a sin B sin A ＝2113. －13＝0，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)． 5．[2015·全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C.(1)若a ＝b ，求cos B;(2)若B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，所以可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，所以由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝2，所以△ABC 的面积为1.6．[2015·全国卷Ⅱ] △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2D C.(1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B.解：(1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DC sin ∠CAD. 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12. (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋12sin ∠B. 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°. 7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 8.[2016·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6[解析] C ∵b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，∴2b 2sin A ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝2b 2cos A ，∴tan A＝1，即A ＝π4. 9.[2015·广东卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．22 C ．2 D. 3 [解析] C 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.因为b <c, 所以b ＝2.10.[2016·上海卷] 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．[解析] 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32.设三角形外接圆的半径为R ，由正弦定理得2R ＝732，所以R ＝733. 11.[2016·北京卷] 在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b c＝________．[解析] 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得，3c 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，整理得b c 2＋b c－2＝0，解得b c ＝1或b c＝－2(舍去)．12.[2016·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B.(2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.。

35知识梳理_正弦、余弦定理及解三角形_基础

0.正弦、余弦定理及解三角形(1) 互补关系:要点二、正弦定理、余弦定理约定：ABC 的三个内角A 、 B 、 C 所对应的三边分别为a 、 1. 边的关系：(1)两边之和大于第三边：a b c, a c b , c b a ;两边之差小于第三边： a b c, a c b , c ba；⑵ 勾股定理： ABC 中，a 2b : 2c C90 .2. 角的关系：A B ABC 中，A b 、c .【考点梳理】要点一、三角形中的边与角之间的关系 C_2 2sin( A B)sin(C)si nCcos(AB)cos( C) cosCtan (AB)tan( C) tan C(2)互余关系： .A B sin2 A B cos -2+ A B tan -----2si% cosq 2)3.直角三角形中的边与角之间的关系Rt ABC 中，Casin A -, sinBc b cos A -, cosB ctan (―C cos —2 .C sin — 2 cot —290 (如图) b -,si nC ca c -,cosC c，有： 1 - c 【考纲要求】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 .2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识网络】1.正弦定理: 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即:要点诠释:(1 )正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一(2)利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边.(3)利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角.(4)利用余弦定理判断三角形形状：要点三、解斜三角形的类型1.已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在2RSin Aa sin Ab c———— 2R （R为ABC的外接圆半径）sin B sin C2Rsin B2Rs inC2.余弦定理:倍。

完整版)正弦定理与余弦定理练习题

完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。

解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。

2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。

解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。

3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。

解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。

代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。

由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。

代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。

由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。

由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。

正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)

正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。

正弦余弦定理练习题

正弦余弦定理练习题正弦和余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。

通过熟练掌握这两个定理的使用方法，可以在解题过程中得到准确的结果。

下面将介绍一些关于正弦余弦定理的练习题，帮助你加深对这两个定理的理解和运用。

练习题一：已知三角形ABC，边长分别为a=8cm，b=10cm，c=12cm，求∠C 的大小。

解析：根据余弦定理，我们可以得到如下公式：c² = a² + b² - 2ab·cosC将已知数据带入公式，我们可以得到：12² = 8² + 10² - 2·8·10·cosC144 = 64 + 100 - 160·cosC144 = 164 - 160·cosC160·cosC = 164 - 144160·cosC = 20cosC = 20/160cosC = 1/8根据余弦值表，我们可以得到cosC ≈ 0.125，查表可得∠C ≈ 82.23°。

练习题二：已知三角形DEF，边长分别为d=4cm，e=5cm，f=6cm，求∠E 的大小。

解析：根据正弦定理，我们可以得到如下公式：e/sinE = f/sinF将已知数据带入公式，我们可以得到：5/sinE = 6/sinF根据正弦值表，我们可以得到sinE ≈ 0.5736，sinF ≈ 0.866。

代入公式，我们可以得到：5/0.5736 = 6/0.8668.7155 = 6.9282显然等式不成立，所以无法用正弦定理求解。

练习题三：已知三角形GHI，边长分别为g=5cm，h=7cm，i=10cm，求∠H 的大小。

解析：根据余弦定理，我们可以得到如下公式：h² = g² + i² - 2gi·cosH将已知数据带入公式，我们可以得到：7² = 5² + 10² - 2·5·10·cosH49 = 25 + 100 - 100·cosH49 = 125 - 100·cosH100·cosH = 125 - 49100·cosH = 76cosH = 76/100cosH = 0.76根据余弦值表，我们可以得到cosH ≈ 0.76，查表可得∠H ≈ 41.41°。

正弦定理、余弦定理及解三角形

正弦定理、余弦定理及解三角形知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sinC；(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sincos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22abB ，a sinC ＝c sin A2.三角形面积公式：S △ABC ＝12 ah (h 表示边a 上的高) ；S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；S △ABC ＝abc4R；S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3．三角形解的判断在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，三角形解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sinA <a <b a ≥ba >b解的个数一解两解一解一解典例剖析题型一利用正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝________.答案 59解析在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59. 变式训练在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．答案 23解析在△ABC 中，AC sinB ＝BC sinA ，∴ AC ＝BC·sinBsinA ＝32×2232＝2 3.解题要点如果已知两边一角或是两角一边解三角形时，通常用正弦定理．题型二利用余弦定理解题例2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.答案 332解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.变式训练在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝ . 答案 4或5解析设BC ＝x ，则由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C 得5＝25＋x 2－2·5·x ·910，即x 2－9x ＋20＝0，解得x ＝4或x ＝5.解题要点如果已知两边一角或是已知三边解三角形时，通常用余弦定理．题型三综合利用正余弦定理解题例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知(b －2a )cos C ＋c cos B ＝0. (1)求C ；(2)若c ＝7，b ＝3a ，求△ABC 的面积．解析 (1)由已知及正弦定理得：(sin B －2sin A )cos C ＋sin C cos B ＝0，sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos C ，sin(B ＋C )＝2sin A cos C ，∴sin A ＝2sin A cos C . 又sin A ≠0，得cos C ＝12.又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝7，b ＝3a ，解得a ＝1，b ＝3.故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.变式训练在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解析 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac .所以a ＝3，c ＝2 3.解题要点解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．当堂练习1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.答案 332解析由c 2＝(a －b )2＋6，可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6.① 由余弦定理及C ＝π3，可得a 2＋b 2－c 2＝ab .②所以由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.2．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b ＝2，B ＝30°，C ＝15°，则a 等于________. 答案 2 2解析 A ＝180°－30°－15°＝135°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a 22＝212，即a ＝2 2.3. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________. 答案 3＋1 解析A ＝π－(B ＋C )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝7π12，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则a ＝b sin Asin B ＝2sin7π12sin π6＝6＋2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×(6＋2)×22＝3＋1.4．(2015重庆理)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 答案6解析由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin 120°，解得sin ∠ADB ＝22，∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2AB cos 30°＝ 6. 5．(2015江苏)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解析(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC＝7.(2)由正弦定理知，ABsin C＝BCsin A，所以sin C＝ABBC·sin A＝2sin 60°7＝217.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cos C＝1－sin2C＝1－37＝277.因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2×217×277＝437.课后作业一、填空题1．(2015广东文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cos A＝32且b<c，则b等于________.答案 2解析由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－2×b×23×32，即b2－6b＋8＝0，∴b＝4或b＝2，又b<c，∴b＝2.2．已知△ABC，a＝5，b＝15，A＝30°，则c＝________.答案 25或 5解析 ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.3．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于________. 答案 5解析由题意知，23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，即cos 2A ＝125，又因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，由余弦定理知72＝b 2＋62－2b ×6×15，即b 2－125b －13＝0，即b ＝5或b ＝－135(舍去).4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________. 答案直角三角形解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又∵sin A＞0，∴sin A＝1，∴A＝π2，故△ABC为直角三角形．5．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为________.答案19解析∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝19.6．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a ＝1，b＝3，则c＝________.答案 2解析由正弦定理asin A＝bsin B得：1sin A＝3sin B，又∵B＝2A，∴1sin A＝3sin2A＝32sin A cos A，∴cos A＝32，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴c＝12＋(3)2＝2.7．在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝________.。

正弦定理余弦定理练习题及答案(供参考)

正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为B.D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为°°°°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.C.D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是△B.锐角△ C.钝角△ D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=+（-1） C.（+1）10.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为12.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于°°°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.C.+1D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于+cos2B+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为D.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C 和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC 的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1.2（-1） 23. 45°4. 85.等腰三角形6.：钝角三角形7.a=b sin A或b＜a8.60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13.120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶4=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大, 最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3 （2）C=45°,B=15°。

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正弦定理、余弦定理练习题一、选择题1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1 C.2 D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.。

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