反比例函数与面积题型解析

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反比例函数与面积问题

反比例函数与面积问题秦振反比例函数内容丰富、涉及的数学知识较多，是函数的重要内容之一。

下面讨论几个反比例函数与图象的面积问题，供同学们学习时参考。

一. 求函数解析式例1. 如图1，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为3。

求这个反函数的解析式。

图1分析：利用反比例函数xk y =的特点及矩形PEOF 的面积为3，求k 的值。

解：设反比例函数为x k y =，所以k x y =。

因为3y |x |S PEOF =⋅=矩形，图象在第二象限，所以3k -=。

即反函数解析式为x 3y -=。

二. 求面积例2. 图2中正比例函数和反比例函数的图象相交于A 、B 两点，分别以A 、B 两点为圆心，画与y 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（1，2），求图中两个阴影面积的和。

图2分析：利用反比例函数和圆的对称性求解。

解：由点A 的坐标可知，圆的半径是1，又由反比例函数的对称性知，两个阴影的面积和应为一个圆的面积，因此图中两个阴影面积的和为π。

三. 特殊点组成图形的面积例3. 如图3，反比例函数x8y -=与一次函数2x y +-=的图象相交于A 、B 两点。

（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求AOB ∆的面积。

图3分析：将AOB ∆的面积转化为AOD ∆与BOD ∆面积和求解。

解：（1）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=2x y ,x8y 得⎩⎨⎧-==;2y ,4x 11 ⎩⎨⎧=-=4y ,2x 22所以A 、B 两点的坐标为A （-2，4），B （4，-2）（2）因为2x y +-=与y 轴交点D 的坐标是（0，2），所以22221S AOD =⨯⨯=∆，44221S BOD =⨯⨯=∆所以642S AOB =+=∆四. 探讨面积的变化例4. 如图4，x y =和)0m (m x y >=的图象与)0k (xk y >=的图象分别交于第一象限内的两点A ，C ，过A ，C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为B ，D ，若直角三角形AOB 与直角三角形COD 的面积分别为21、SS ，则1S 与2S 的关系为（）A. 21S S >B. 21S S =C. 21S S <D. 与k ,m 的值无关图4分析：利用函数)0k (xk y >=的解析式与面积的关系求解。

2024年中考数学一轮复习-反比例函数K值与几何面积综合(解析版)

反比例函数K 值与几何面积综合（1）反比例函数上任何一点与轴线围城的直角三角形面积都相等|k|/2；2OCF k S S S OBN OAM ===∆∆∆图中 221K K S S PAB OAB +==∆∆图中2k ===∆∆∆S S S CBD OBD PDB 图中（2）图像上任意两点与原点构成的三角形的面积等于直角梯形的面积；【真题演练】 1．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y ＝和y ＝的图象的四个分支上，则实数n 的值为（）A ．﹣3B ．﹣C ．D ．3【答案】A【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：∵四边形是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴S△AOC＝S△OBD＝＝，∵点A在第二象限，∴n＝﹣3，故选：A．2．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：解法一：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵矩形OABC的对称中心M，∴延长OM恰好经过点B，M（，），∵点D在AB上，且AD＝AB，∴D（，b），∴BD＝a，∴S△BDM＝BD•h＝×a×（b﹣）＝ab，∵D在反比例函数的图象上，∴ab＝k，∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝ab﹣k﹣ab＝3，∴ab＝16，∴k＝ab＝4，解法二：连接BM，因为点M是矩形的对称中心，∴三角形DMO的面积＝三角形DMB的面积，则三角形DBO的面积为6，∵AD＝1/4AB，∴AD：DB＝1：3，∴三角形ADO的面积：三角形DBO的面积为1：3，即三角形ADO的面积为2，∴K＝4．故选：C．3．（2023•黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝12，则k的值是（）A．﹣6B．﹣12C．﹣D．﹣9【答案】C【解答】解：设BC与y轴的交点为F，B（b，），则A（﹣b，﹣），b＞0，由题意知，AO＝BO，即O是线段AB的中点，过A作AE⊥BC于点E，∵AC＝AB，AE⊥BC，∴BE＝CE，AE∥y轴，∴CF＝3BF＝3b，∴C（﹣3b，），∴D（﹣3b，），∴CD＝，BC＝4b，∴S△BCD＝，∴k＝﹣．故选：C．4．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，∴△NKC∽△ATC，∴＝＝，∵NC＝2AN，∴CK＝2TK，NK＝AT，∴，解得，∴，∴，，∴，∵△APN的面积为3，∴S梯形OANQ﹣S△AOP﹣S△NPQ＝3，∴，∴2ab+bc＝9，将点M（5b，c），代入得：，整理得：2a＝7c，将2a＝7c代入2ab+bc＝9得：7bc+bc＝9，∴，∴，故选：B．5．（2022•日照）如图，矩形OABC与反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝（）A．3B．﹣3C．D．【答案】B【解答】解：∵y1、y2的图象均在第一象限，∴k1＞0，k2＞0，∵点M、N均在反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象上，∴S△OAM＝S△OCN＝k1，∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象上，∴S矩形OABC＝k2，∴S四边形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3，∴k2﹣k1＝3，∴k1﹣k2＝﹣3，故选：B．6．（2022•郴州）如图，在函数y＝（x＞0）的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y＝﹣（x ＜0）的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（）A．3B．5C．6D．10【答案】B【解答】解：∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△AOC＝×2＝1，又∵点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，∴S△BOC＝×8＝4，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝1+4＝5，故选：B．7．（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B．8．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【答案】D【解答】解：设B（a，），∵四边形OBAD是平行四边形，∴AB∥DO，∴A（，），∴AB＝a﹣，∵平行四边形OBAD的面积是5，∴（a﹣）＝5，解得k＝﹣2，故选：D．9．（2023•连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝，则k＝﹣．【答案】﹣．【解答】解：作AE⊥x轴于E，∵矩形OABC的面积是6，∴△AOC的面积是3，∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝，∴，∵对角线AC∥x轴，∴∠AOE＝∠OAC，∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC，∴，∴，∴S△OEA＝，∵S△OEA＝|k|，k＜0，∴k＝﹣．故答案为：﹣．10．（2023•枣庄）如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2023，则S1+S2+S3+…+S2023＝．【答案】．【解答】解：∵P1，P2，P3，...P2024的横坐标依次为1，2，3， (2024)∴阴影矩形的一边长都为1，将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，∴S 1+S2+S3+…+S2023＝，把x＝2024代入关系式得，y＝，即OA＝，∴S矩形OABC＝OA•OC＝，由几何意义得，＝8，∴＝8﹣＝．故答案为：．11．（2023•朝阳）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接P A，PB．若△ABP的面积等于3，则k的值为．【答案】6．【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝，∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝3，△AOB的面积＝|k|，∴|k|＝3，∴k＝±6；又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，∴k＞0．∴k＝6．故答案为：6．12．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：设OA＝4a，∵AO＝2AB，∴AB＝2a，∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，∵Q为BE中点，∴BQ＝AB＝a，∴Q（6a，a），∵Q在反比例函数y＝（k＞0））上，∴k＝6a×a＝6a2，∵四边形OACD是正方形，∴C（4a，4a），∵P在CD上，∴P点纵坐标为4a，∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，∴P点横坐标为：x＝，∴P（，4a），∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，∴四边形OMNH是矩形，∴NH＝，MH＝a，∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，则k＝24，故答案为：24．13．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC 的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为．【答案】4．【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），∴CD＝a，OA＝c，∵△AOC的面积是6，∴，∴ac＝12，∵点C（a，b）在反比例函数（x＞0）的图象上，∴k＝ab，∵点B为AC的中点，∴点，∵点B在反比例函数（x＞0）的图象上，∴，即：4k＝a（b+c），∴4k＝ab+ac，将ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．故答案为：4．14．（2023•黄石）如图，点A（a，）和B（b，）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为；若△AOB的面积为，则＝．【答案】，2．【解答】解：因为点A（a，）在反比例函数y＝的图象上，则，又a＞0，解得k＝5．根据k的几何意义可知，．过点B作x轴的垂线，垂足为D，则S△OBD+S梯形ACDB＝S△AOC+S△AOB，又根据k的几何意义可知，S△OBD＝S△AOC，则S梯形ACDB＝S△AOB．又△AOB的面积为，且A（a，），B（b，），所以，即．解得．又a＞b＞0，所以．故答案为：，2．15．（2023•辽宁）如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为6．【答案】6．【解答】解：如图，延长CD交y轴于E，连接OD，∵矩形ABCD的面积是8，∴S△ADC＝4，∵AC＝2AO，∴S△ADO＝2，∵AD∥OE，∴△ACD∽△OCE，∴AD：OE＝AC：OC＝2：3，∴S△ODE＝3，由几何意义得，＝3，∵k＞0，∴k＝6，故答案为：6．16．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A （x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是．【答案】2．【解答】解：如图，延长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F，∴CE⊥y轴，CF⊥x轴，∴四边形OECF为矩形，∵x2＝2x1，∴点A为CE的中点，由几何意义得，S△OAE＝S△OBF，∴点B为CF的中点，∴S△OAB＝S矩形OECF＝6，∴S矩形OECF＝16，∴S△ABC＝×16＝2．故答案为：2．217．（2022•烟台）如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：因为D为AC的中点，△AOD的面积为3，所以△AOC的面积为6，所以k＝12＝2m．解得：m＝6．故答案为：6．18．（2022•黄石）如图，反比例函数y＝的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，△OCE的面积为6，则k＝．【答案】8．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，设点A（a，），C（c，0），∵点E是矩形ABCD的对角线的交点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴＝k，∴c＝3a，∵△OCE的面积为6，∴OC•EH＝c•＝×3a•＝6，∴k＝8，故答案为：8．19．（2022•衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，则k＝．【答案】．【解答】解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m，），则OM＝m，CM＝，∵OE∥CM，AE＝CE，∴＝＝1，∴AO＝m，∵DN∥CM，CD＝2BD，∴＝＝＝，∴DN＝，∴D的纵坐标为，∴＝，∴x＝3m，即ON＝3m，∴MN＝2m，∴BN＝m，∴AB＝5m，∵S△ABC＝6，∴5m•＝6，∴k＝．故答案为：．20．（2022•宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为．【答案】9．【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣4b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，∴A（15﹣2b，2b﹣5），∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•b＝9，故答案为：9．21．（2022•鄂尔多斯）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD＝5，则k1﹣k2＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：作EH⊥y轴于点H，则四边形BCHE、AEHO都为矩形，∵∠ECF＝45°，∴∠OCD+∠OCF＝45°，∵∠DOC+∠OCF＝45°，∴∠BCE＝∠OCD，∵BC＝OC，∠B＝∠COD，∴△BCE≌△OCD（ASA），∴S△BCE＝S△COD＝5，∴S△CEH＝5，S矩形BCHE＝10，∴根据反比例函数系数k的几何意义得：k1﹣k2＝S矩形BCHE＝10，故答案为：10．22．（2022•东营）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点A的函数图象表达式为．【答案】y＝﹣．【解答】解：如图，作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，∴∠ADO＝∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝90°，∴∠AOD+∠DAO＝90°，∴∠BOC＝∠DAO，∵OB＝OA，∴△BOC≌△OAD（AAS），∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△OBC＝，∴S△OAD＝，∴k＝﹣1，∴经过点A的反比例函数解析式为y＝﹣．故答案为：y＝﹣．23．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE 位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是．【答案】6．【解答】解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，根据题意可知，AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，∴四边形HFGO的面积为2（a+），∴k＝4a＝2（a+），解得：a＝，∴k＝6．故答案为：6．24．（2022•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是1，则k的值是．【答案】．【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，∴S△COE＝S△BOD＝k，S△ACD＝S△OCD＝1，∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴△OCE与△OAB得到面积比为1：4，∴4S△OCE＝S△OAB，∴4×k＝1+1+k，∴k＝．故答案为：．。

由面积求反比例函数比例系数的4种常见压轴题型全攻略—2024学年八年级数学上册(沪教版)(解析版)

由面积求反比例函数比例系数的4种常见压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一由三角形面积求反比例的比例系数】 (1)【考点二由四边形面积求反比例的比例系数】 (2)【考点三由其它面积问题求反比例函数解析式】 (2)【考点四反比例函数中求面积问题的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一根据三角形面积求反比例的比例系数】，AMOA．2B．2−C．4D．4−【答案】D【分析】根据反比例函数系数【详解】解：设点A的坐标为，AMO的面积为若POM的面积等于A．6B．5C．5−D．6−【答案】CS=POMS=POM轴上，若ABC面积为A．4−B．1C．2D．4【答案】DAB y ⊥轴，【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数相等，是解决问题的前提．4．如图，点A 是反比例函数y 点．若点C 为x 轴上任意一点，且ABC 的面积为 A ．12−B ．8−C ．6−D ．6【答案】A 【分析】过点A 作AE x ⊥轴于E ，设,AD a AE b ==，由此可得出点A 的坐标，进而可得k ab =−，然后再根据ABC 的面积可求出12ab =，即可求解．【详解】解：过点A 作AE x ⊥轴于E ，如图，ABCS=A．4B．4−C．8D．8−【答案】D【分析】设点P坐标为⎛ ⎝A ．6B ．3C ．9D ．12【答案】A 【分析】过点A 作AE CD ⊥于点E ，然后平行四边形的性质可知AED BOC ≌，进而可得矩形ABOE 的面积与平行四边形ABCD 的面积相等，最后根据反比例函数k 的几何意义可求解．【详解】解：过点A 作AE CD ⊥于点E ，如图所示：∴90∠=∠=︒，AED BOC四边形ABCD是平行四边形，∴,=∥，BC AD BC AD∴ADE BCO∠=∠，∴≌（AAS），AED BOC平行四边形S=ABCDA．8B．11C．15D．16【答案】C12AOE BOF S S k ==AOC AOE COE S S S =+和由反比例函数的性质可知1|2AOE BOF S S ==△△AOC AOE COE S S S =+△△△， ∴1211515()2222AC OE OE OE k k ⋅=⨯⨯==−①，BOD DOF BOF S S S =+△△△， ∴1113()3(8)222BD OF EF OE OE ⋅=⨯⨯−=⨯⨯−由①②两式得：351222OE OE −=，ABCD 为菱形，BD x ∥轴，6ABCD S =菱形，则k 的值（）A ．3B ．6C ．12D ．24四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，OA OC =，6ABCD S =菱形，∴11BD x ∥轴，AE x 轴，BD （1）若2AC BC =，ABE 的面积为（2）在（1）的条件下，若四边形12 3y x=− 5BDE S =AE 2AC BC =ACBDABE的面积为1）解：四边形S=14BDE−=a b12b=【答案】a b，依题意得【分析】首先设点B的坐标为(,)a______，b=______；(1)=(2)求反比例函数表达式；【答案】(1)−【分析】（1）由非负计算式相加等于（2）由点A和点B坐标，及中点E得到点坐标关系，最后代入解析式计算即可；）又1a+≥）点ABCD，【考点四反比例函数中求面积问题的拓展提高】−【答案】 2.4=，依题意得点【分析】首先设OC m表示出线段AB的长，然后依据若【详解】解：设点A横坐标为点点SS 6OAB =S ABC = 【答案】2【分析】过点A ，B 作AE ，都在曲线上，设出A 、B 坐标，由图形的面积公式求出【详解】解：过点A ，B 作 ∵点B 横坐标为点A 横坐标的两倍，且点∴设,k A m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，则∵S S S S 6ABO AEO BDO ABDE =+−=梯形，S ABC =【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式等，关键是对反比例函数性质的掌握．【过关检测】一、单选题，则ABC的面积为（A．34B．98【答案】A【分析】设1,A aa（），则1,B aa（4ABCS=2．如图，平行于x 轴的直线与函数点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为 A ．4B ．4−C ．2D ．2−【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积计算，设12ABC S =Rt BOC 的一条直角边过BOC 的斜边．若BOD 的面积是A ．6−B ．4−C ．4D ．6OAE OBC S S=OAE S =OBC S =OBC S =OAEOBC SS =OAE S=42OBC OAE SS k ==．OBC OCD BOD S S S ∠=+ 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质；理解反比例函数解析式解题的关键．A ．4B ．8C ．8−D ．10−【答案】C 【分析】通过证明(AAS COD BED ≌和BED 中，∴(AAS COD BED ≌【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，反比例函数k 值的几何意义，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，以及反比例函数k 值的几何意义．二、填空题，若ABO 的面积为【答案】4【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是12AOB S k ==，计算出来即可． AOB S =PAO 的面积为【答案】10−又0k<，．若ABC的面积【答案】4 yx =【分析】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的综合问题，理解反比例函数和正比例函数的两个交点关于原点对称可知==2ACO BCOS S，再根据ACOS===2ACO BCOS S，ACOS=，若AOC 的面积为【答案】5【分析】本题考查反比例函数【详解】解：∵AOC AOB BOC SS S =−，∴1 222k −=， x ①若4k =−，则CD 的长度为【答案】20【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，三角形的面积等，正确地作出辅助线构造三角形的中位线是解决问题的关键．CACD的中位线，则△同高，又∵AOB和COB=，∴AB BC∵CD x⊥轴，为ACD的中位线，2,OB OD=点DAC△S=AOD，AOP 的面积为【答案】12，又因为AOP 的面积为设OA a =，因为:1:2OA AB =，所以2AB a =，因为AP BP =，PH x ⊥轴因为AOP 的面积为1【答案】6【分析】连接,,,OA OC OB OD ,222OAE OBF OCE ODF m m S S S S ======−11,22OAE OCE AOC OBF ODF BOD S S S AC OE S S S BD OF +==+==，3AC =，2BD =，,222OAE OBF OCE ODF m n m S S S S ======− ∵11,22OAE OCE AOC OBF ODF BOD S S S AC OE S S S BD OF +==+==，3AC =，2BD =，∴11113,2222m n OE m −=⨯−∴3,2m n OE m n OF −=−=【答案】46OAB ABD SS ==．由11223AOC AOB S k S ===，则 ∵AB x ⊥轴，∴OD AB ∥．6OAB ABD S S ==．11223AOC AOB S k S ===，，EOF 的面积为AOM S =42EOF AOM S S ==− AOM S =1·422EOF AOM S OE OF S k ===−， EOF S，EOF S =，若AOB 的面积为积公式，即可求出AOC 的面积；过点52OBD ODE OBE SS S =+=，AOC ODE S S S =+四边形OBE S =AOB S =AOC S = OBD S=52OBD ODE OBE S S S =+=，AOC ODE S S S =+四边形OBE S=AOB OBE ABE ABE DCAE BDCA S S S S S S =+=+=四边形梯形∵点(2,4)A，∴84ADm=−，三、解答题若ODC的面积为，求ABO的面积．再利用分割法求出ABO的面积；，ODC的面积为∴2361m n m n +=⎧⎨−+=−⎩，解得：2m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 解析式为122y x =+，∴点()0,2F ，12ABO OFB AOF S S S =+=⨯12ABD ABC BCD S S S =+=⨯的面积等于ODE的面积，求点MBO S =ODE S =的面积等于ODE 的面积时，。

反比例函数的应用六种题型

反比例函数实际应用的六种题型题型一：在面积中的应用一：面积不变性（k 的几何意义）如图，设点P （a ，b ）是反比例函数y=xk上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是k （三角形PAO和三角形PBO 的面积都是k 21；面积是正数，所以k 要加绝对值） S 矩形PBOA =k ； S 三角形PAO =S 三角形PBO =k 21注意：（1）面积与P 的位置无关，即(0)ky k x=≠的面积不变性（2）当k 符号不确定的情况下须分类讨论S △ABC =︱K ︱； S ABCD =2︱K ︱二、曲直结合（一次函数与反比例函数）典型例题例1 如图,点P 是反比例函数xy 2=图象上的一点,PD ⊥x 轴于D.则△POD 的面积为 .例2 如图，已知，A,B 是双曲线)0(>=k xk y 上的两点，（1）若A(2,3)，求K 的值；（2）在(1)的条件下，若点B 的横坐标为3，连接OA,OB,AB ，求△OAB 的面积。

（3）若A,B 两点的横坐标分别为a,2a ，线段AB 的延长线交X 轴于点C ，若6=∆AOC S ，求K 的值变式1 在双曲线)0(>=x xk y 上任一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴y 轴围成矩形面积为12，求函数解析式__________。

变式2 如图，在反比例函数2y x=(0x >)的图象上，有点1P ，2P ，3P ，4P 它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，求123S S S ++．S 3S 2S 11 2 3 4y=2xP 4P 3P 2xyO P 1变式3 如图，点P，Q是反比例函数y= 图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1________S2．（填“＞”或“＜”或“=”）变式4 已知A B C D E，，，，是反比例函数16yx=()0x>图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形，则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）变式5 如图正方形OABC的面积为4，点O为坐标原点，点B在函数kyx=(0,0)k x<<的图象上，点P(m，n)是函数kyx=(0,0)k x<<的图象上异于B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．(1)设矩形OEPF的面积为S l，判断S l与点P的位置是否有关(不必说理由)．(2)从矩形OEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积，剩余面积记为S2，写出S2与m的函数关系，并标明m的取值范围．（8分）总结：一个性质：反比例函数的面积不变性AB COyxy=16xEDCBAyx O两种思想：分类讨论和数形结合题型二：在工程与速度中的应用一、工程问题工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和。

例析反比例函数与三角形面积的关系

三、比较面积的大小关系例６如图６，２３，Ｐ，是双曲线上任意三Ｐ点，过三点分别作ｙ轴的垂线得到３个三角形
所以，比例函数的解析式为）反，２：
．
点评：这里运用间接求图形面积的方法和
数形结合思想，先设出点的坐标，首然后用坐
Ｂｌ
＼
，
】
Ｄ
图５
解：Ａ设Ｂ交Ｙ轴于点Ｐ，
则．Ａ＝，△ ＝，ｓ，１Ｓ脚２ △Ｄ
所以５３．
点评：将 △Ａ的面积分解为 △ＡＰ与ｂＡＢＰ的面积之和，Ｏ结合反比例函数的系数ｋ的意义计算．
５△ ０＝
一
／、
■
２
一
＼
圈０
３
Ｊ
．
Ａ．＜ｓ＜Ｓ１Ｊ２ＳＣ．ｌ＜Ｓ＜
Ｂ．Ｌ＜ｓＳｌ２
ＤＳ＝ｚＳ．ｌＳ＝３
解：Ｄ选．
点评：要确定它们的面积关系，以通过可
图４
双曲线关系式）生来判断，：
标表示线段的长度，再求矩形或三角形的面积．
二、已知反比例函数解析式求面积
△Ｐ０，Ａ￣ＡＰ设它们的面积分别。ＡＰＯ，３３Ａ０，
是Ｓ， … Ｓ，Ｓ
ｌ
例图，曲ｙ上意点４如４双线＝任一过告
Ｐ向轴作垂线，足为Ａ点，接Ｏ则垂连Ｐ，
，
再由反比数确函
解．。ＩＰ ÷ ．：＝・ｌ＝ｓｌＩ× Ａ

用面积求反比例函数的解析式(初二)

用面积求反比例函数的解析式(初二)反比例函数是一种常见的函数形式，它表示两个变量之间的关系，其中一个变量的改变会对另一个变量产生相反的影响。

使用面积来表示反比例函数可以是一种更形象化的方式，下面是用面积求反比例函数的解析式的方法：1. 定义反比例函数反比例函数是一种二元函数，可以表示为y=k/x，其中k为常量。

2. 求解k值假设有一个平行四边形的面积为A，其中两个相邻的边长分别为x和y，那么有A=xy。

由于这是一个反比例关系，我们可以将其转化为y=k/x的形式，并代入面积公式得到A=x(k/x)，化简后得到k=A。

因此，反比例函数可以表示为y=A/x。

3. 反比例函数的图像反比例函数的图像是一个双曲线，它在y轴和x轴上都有渐近线。

当x趋近于0时，y趋近于正无穷；当x趋近于正无穷时，y趋近于0。

4. 反比例函数的性质反比例函数具有以下性质：（1）在定义域内，y随x的增大而减小。

（2）当x越接近0，y越接近正无穷大；当x越接近正无穷大，y越接近0。

（3）当x>0时，y>0；当x<0时，y<0。

（4）当x>0时，y的变化率为负数；当x<0时，y的变化率为正数。

5. 反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有着广泛的应用，例如：（1）人口密度与国土面积的关系国土面积越大，人口密度越小，可以用反比例函数来表示这种关系。

（2）电阻与电流的关系电阻越大，电流越小，可以用反比例函数来表示这种关系。

（3）运动员完成任务所需的时间与速度的关系速度越快，完成任务所需的时间越短，可以用反比例函数来表示这种关系。

总结：反比例函数是一种重要的函数形式，通过面积求其解析式可以帮助我们更好地理解这种函数的特点和应用，对于学习函数和数学建模都有一定的帮助。

在实际生活中，反比例关系也存在于很多方面，可以用来分析和解决实际问题。

中考反比例函数与面积类试题归类解析

图５
ＡＢ∥Ｏｘ，点Ｃ、Ｄ在轴上，若四边
形ＡＢＣＤ为矩形，则它的面积为
（ｃ）
２０１３年
第７－８期
＼＼
ＪｏｕｎａｒｌｏｆＣｈｉｎｅｓｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＥｄｕｃａｔｉｏｎ
ＮＯ．７－８２０１３
摘要：反比例函数与面积类综合问题，往往形式灵活、立时经常用到．
ｙ Leabharlann １．三角形面积问题
例１
（２０１２年山东叫占沂卷）如图２，
探究能力、创新能力，综合运用知识能力）的考查．现以２０１２若点Ｍ是轴正半轴上任意一点，过点Ｍ
作ｅＱ∥Ｏｙ，分别交函数Ｙ＝（＞０）和Ｙ＝（＞０）的图象于点Ｐ和Ｑ，连接）．
意新颖，能更好地考查学生灵活运用数学知识的能力以及数学思想方法掌握的情况，因而成为近几年各地中考的热门题型．在考查意图上，突出对数学思想方法和能力（特别是对思维能力、
年的中考试题为例，将中考反比例函数与面积类试题分为三大
一
、
结构明显。套用模式
由反比例函数的性质知，．ｓ＝｝ｌｋ。Ｉ，ＳＡ＝下１ＩｋＩ．
决与反比例函数图象有关的图形面积问题
收稿日期：２０１３ — ０２ — １２
作者简介：沈岳夫（１９６３一），男，浙江绍兴人，中学高级教师，主要从事数学教育和数学解题研究

【初中数学知识点解析】反比例函数的面积问题

2
2
∴S△AOB＝S△AOG＋S△ABG＝
1 2
×3×3＝
9 2
.
解：由题意，易得出S△ODB＝S△AOC＝
1 2
×|－4|＝2.
因为OC＝OD，AC＝BD(易求得)，
所以S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2. 所以四边形ACBD的面积为
S△AOC＋S△ODA＋S△ODB＋S△OBC＝2×4＝8.
类型2 已知面积求反比例函数解析式
4．如在图第，一直象线限y的＝图k1象x＋交7于(kC1＜，0D)与两x点轴，交点于O点为A坐，标与原y轴点交，于△点AOBB，的与面反积比为例4函29 ，数点yC＝的kx横2 坐(k2标＞为0)1. (1)求反比例函数的解析式； (2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求出图中阴影部分(不含边界)所包含的所有整点的坐标．
钢条一共花多少钱？
解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩
形ABCD分成四个全等的小矩形．因为点A为y＝ 6 的图象上的一点，
x
所以S矩形AEOH＝6，从而S矩形ABCD＝4×6＝24. 所以总费用为25×24＝600(元)．
答：所需钢条一共花600元．
题型3：利用点的坐标及面积公式求面积
∵x1＜x2，y1＜y2，
∴M(x1，y1)，N(x2，y2)不在同一个象限．
∴点M在第三象限，点N在第一象限．
题型2：利用对称性求面积
7．如图是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数
解析式分别为y＝－
6 x
，y＝
6 x
. 现用四根钢条固定这四条曲线，这种钢条加工
成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需

反比例函数面积问题专题

反比例函数面积问题专题反比例函数面积问题是数学中的一个重要问题，也是中学数学中常见的题型之一、这种问题涉及到两个变量的关系，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比例关系。

在解决这类问题时，需要通过分析问题的条件和利用数学公式，找出两个变量之间的关系，并求解出所要求的面积。

首先，让我们来梳理一下反比例函数的基本概念。

反比例函数也被称为倒数函数或者比例函数的倒数。

当两个变量的乘积为常数时，我们就可以称它们之间存在反比例关系。

即当一个变量的值增大时，另一个变量的值就会减小，反之亦然。

反比例函数可以用以下的公式来表示：y=k/x其中，y和x分别代表两个变量的值，k为常数，表示两个变量的乘积。

通过这个公式，我们可以求出y与x的关系，也可以表示成x与y的关系。

反比例函数在数学学科中有着广泛的应用，并且有很多技巧可以帮助我们解决相关的问题。

接下来，让我们来讨论解决反比例函数面积问题的思路。

对于这类问题，我们通常需要求解一个围成面积的最大或者最小值。

我们可以按照以下的步骤来解决这类问题：1.确定问题的条件：首先，我们需要明确给定的条件，包括一些已知的数值和问题的限定条件。

2.建立模型并画图：根据给定条件，我们可以建立一个函数模型来描述两个变量的关系，同时我们还可以画出一个图形，以便更好地理解问题。

3.确定所要求的值：根据问题的要求，我们需要确定所要求的面积，是最大的还是最小的。

4.利用数学方法求解：根据问题的要求和模型函数，我们可以通过求导、解方程等数学方法，求得所要求的面积的最大或最小值。

最后，让我们来看几个实际的例子，以更好地理解反比例函数面积问题。

例子1：一个矩形的长和宽成反比例关系，如果矩形的周长为60，求矩形的最大面积。

解决思路：首先根据周长的公式可以得到l + w = 30，然后利用面积公式S = lw，将w表示成l的函数，即w = 30 - l。

将这个表达式代入面积公式中，得到S = l(30 - l) = 30l - l^2、这是一个二次函数，即S = -l^2 + 30l。

反比例函数与面积问题

课堂小结
反比例函数与面积问题
根据反比例函数求图形面积
根据面积求反比例函数
y P(m,n)
oAx
y
B P(m,n) oAx
y o P(m,n) P/ A x
典例精讲
例：在平面直角坐标系中，若一条平行于x轴的
直线l分别交双曲线��
=
−
��
和
��
=
��于A，
B两点，P是x轴上的任意一点，则△ABP
的面积等于．
典例精讲
S矩形ACBD
典例精讲
类型二：根据图形面积求反比例函数解析式
例：如图，双曲线�� = ��
点，QB垂直于y轴，垂足为B，直线MO上是否存
在这样的点Q，使得△OBQ的面积是△OPA的面
积的2倍？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不
存在，请说明理由．
典例精讲
解：（1）∵y=kx过（﹣1，2）点，∴k=﹣2， ∴y=﹣2x．∵y=�� 过（﹣1，2）点，∴m=﹣2 ．∴y=﹣�� ；（2）∵△OPA的面积是�� m=1，Q点的坐标为（x，﹣2x），∴�� •|x|•|﹣2x|=2，x=± �� ，因为在第二象限所以Q点的坐标为（﹣ �� ， 2 �� ），或（ ��，﹣2 ��）．

初中数学知识点精讲课程
反比例函数与面积问题
反比例函数面积问题的几种形式：
图示一：
y
P(m,n) oA x
y A P(m,n)
o
x

例谈与反比例函数有关的图形面积问题

２０２２年８月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀例谈与反比例函数有关的图形面积问题◉湖北省建始县教学研究室㊀李翠芝㊀㊀摘要:反比例函数是初中数学的重点内容,也是中考考点之一．其中与反比例函数有关的图形面积问题又是重中之重,几乎年年考．有关解决反比例函数与图形面积问题的两种常用方法,一是直接利用反比例函数解析式中k 的几何意义求解,二是利用反比例函数关系式巧设点的坐标求解,这也是数形结合思想在初中数学中最直观的运用．关键词:反比例函数;图形面积;数形结合１引言反比例函数的学习是初中数学的一大难点,也是重点,是每年必考的内容．而数形结合思想是解决初中数学问题最重要㊁最基础的数学思想方法．如,借助数轴求不等式组的解集㊁借助画线段图解行程问题等都是运用数形结合思想．解决与反比例函数有关的图形面积问题时,如果我们也能运用数形结合思想,往往可以使复杂的问题简单化．下面举例说明．２基础题型引例㊀如图１,双曲线y ＝kx上点P 的坐标为(a ,b ),过点P 分别作x 轴,y 轴的垂线,垂足分别为M ,N ．则有下列结论:①S 矩形P M O N ＝a b ＝a b ＝k ;②连接P O ,则S әP O M ＝S әP O N ＝１２k．图１㊀㊀㊀图２３简单应用例１㊀如图２,已知反比例函数y ＝６x和反比例函数y ＝３x在第一象限内的图象分别是C １和C ２,点P 在C １上,P A 垂直于x 轴于点A ,交C ２于点B ,则әP O B 的面积为㊀㊀㊀．解析:S әP O B ＝S әP O A －S әB O A＝１２ˑ６－１２ˑ３＝３２．故填:３２．变式㊀如图３,直线A B 平行于x 轴,与函数y ＝k １x (k １＞０,x ＞０)的图象交于点A ,与y ＝k ２x(k ２＞０,x ＞０)的图象相交于点B ,点A 在点B 的右侧,与y 轴交于点D ,点C 为x 轴上的一个动点,若әA B C 的面积为３,则k １－k ２的值为㊀㊀．图３图４图５解析:如图４,连接O A ,O B ,则S әA B C ＝S әA B O ＝S әA O D －S әB O D＝１２k １－１２k ２＝１２(k １－k ２)＝３．所以,k １－k ２＝６．故填:６．例２㊀如图５,已知双曲线y １＝１x(x ＞０),y ２＝４x (x ＞０),点P 为双曲线y ２＝４x 上的一点,且P A 垂直于x 轴于点A ,P B 垂直于y 轴于点B ,P A ,P B 分别交双曲线y １＝１x于D ,C 两点,则әP C D 的面积为㊀㊀㊀．解析:设点P 的坐标为a,４a æèçöø÷,则点C 的坐标为a ４,４a æèçöø÷,点D 的坐标为a ,１a æèçöø÷．所以,S әP C D ＝１２P D P C＝１２４a －１a æèçöø÷a －a ４æèçöø÷＝９８．故填:９８．４常考类型与中点相关这类题主要是利用线段的中点得到图形之间的３５Copyright 博看网 . All Rights Reserved.解法探究２０２２年８月下半月㊀㊀㊀面积关系,一般只需直接应用k 的几何意义求解,但有时设坐标求解也比较简单．图６例３㊀如图６,A ,B 是双曲线y ＝kx上的两点,过点A 作A C 垂直于x 轴,交O B 于点D ,垂足为点C ．若әA D O 的面积为１,D 为O B 的中点,则k 的值为(㊀㊀)．A．４３㊀㊀㊀B ．８３㊀㊀㊀C ．３㊀㊀㊀D．４图７分析:如图７,过点B 作x 轴的垂线,垂足为E ．由条件可知,S әC O D ＝１４S әB O E ＝１４ˑ１２k ＝１８k ＝１８k ,而S әA O C －S әC O D ＝S әA O D ,即１２k －１８k ＝１,所以k ＝８３．故选:B ．点评:此题也可以设A ,D ,B 中任意一点的坐标,表示出另外两点的坐标,再根据面积求解．图８拓展㊀如图８,四边形O A B C 是矩形,边O A 在x 轴上,边O C 在y 轴上,双曲线y ＝kx与边B C 交于点D ,与对角线O B 交于点E ,且E 是O B 的中点,若әO B D 的面积为５,则k 的值是㊀㊀．解析:如图９,过点E 作E F 垂直于y 轴于点F．图９易证әO E F ʐәO B C ．由中点条件易得S әB O C ＝４S әE O F ＝４ˑ１２k ＝－２k ．S әB O C －S әC O D ＝S әB O D ,即－２k －１２ˑ(－k )＝５．解得,k ＝－１０３．故填:－１０３．图１０提升㊀如图１０,在平面直角坐标系中,矩形A B C D 的顶点A ,B 在x 轴的正半轴上,反比例函数y ＝kx(k ＞０,x ＞０)的图象经过顶点D ,分别与对角线A C ,边B C 交于点E ,F ,连接E F ,A F ,若E 为A C 的中点,әA E F 的面积为２,则k 的值为(㊀㊀)．A．２４５B ．３C ．４D．６分析:此题的矩形和三角形顶点都不在原点,不能直接用k 值表示图形面积,适合设坐标求解．解析:设A (a ,０)．由四边形A B C D 是矩形,点D 在y ＝k x 上,得D a ,k a æèçöø÷,则点C 的纵坐标为k a ．因为E 为A C 的中点,所以点E 的纵坐标为k２a,E ２a,k ２a æèçöø÷．于是,C ３a ,k a æèçöø÷,F ３a ,k ３a æèçöø÷．由әA E F 的面积为２,A E ＝E C ,得S әA C F ＝４,即１２ˑk a －k ３a æèçöø÷ˑ２a ＝４,解得k ＝６．故选:D ．５直击中考综合题举例图１１例４㊀如图１１,在平面直角坐标系中,坐标原点O 是R t әA O B的直角顶点,øO A B ＝３０ʎ,若点A 在反比例函数y ＝１２x(x ＞０)的图象上．(１)求经过点B 的反比例函数解析式;(２)设点B 的坐标为(－２,a ),过点B 作B E 平行于x 轴,与反比例函数y ＝１２x(x ＞０)交于点E ,求әA O E 的面积．图１２分析:(１)如图１２,分别过点A 和点B 作x 轴的垂线,垂足分别为D ,C ．易证әA O D ʐәO B C ,于是S әO B C ʒS әA O D ＝(O B ʒO A )２＝(１ʒ３)２＝１ʒ３．所以,S әO B C ＝１３S әA O D ＝１３ˑ１２k ＝１６ˑ１２＝２．因此,经过点B 的反比例函数的解析式为y ＝－４x．(２)先求点B 的纵坐标,由此可得点E 的纵坐标,再把点E 的纵坐标代入y ＝１２x可求得点E 的坐标,利用A ,E 的坐标可求әA O E 的面积．点评:第(１)问也可设点A 的坐标,利用三角形相似,由线段之间的关系表示出点B 的坐标再求函数关系式．写反比例函数关系式时要注意k 值的正负．第(２)问的解答要过点E 作x 轴的垂线,关键是把求三角形的面积转化成直角梯形的面积问题．６结语综上所述,在解与反比例函数有关的图形面积问题时,一般有两种途径:一是直接利用反比例函数解析式中k 的值求解;二是利用函数解析式和图形中的点之间的特殊关系巧设点的坐标求解．即要解决形的问题,我们抓住形的特征,以及形和数之间的特殊关系,把形的问题直接转化成数的问题来求解．这里转化的桥梁就是反比例函数图象上点的坐标．Z４５Copyright 博看网 . All Rights Reserved.。

反比例函数背景下的面积问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数

模型介绍一、反比例函数k 的几何意义1.反比例函数k 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为k 。

如图二，所围成三角形的面积为2k二、利用k 的几何意义进行面积转化1.如图，直线AB 与反比例函数k y x=（0k ≠）交于A 、B 两点，与x 、y 轴的交点分别为C 、D ，那么OAB OCD OBD OAC S S S S ∆∆∆∆=--，此方法是绝大部分学生选用的方法。

但是，从效率来讲，就比较低2.如图，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则根据k 的几何意义可得，OBF OAE S S ∆∆=，而OBF OAB OAE ABFE S S S S ∆∆∆+=+梯形，所以OAB ABFE S S ∆=梯形，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。

【例1】．如图，反比例函数y＝在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是2，6，则△AOB的面积是8．过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∴x＝2时，y＝3；x＝6时，y＝1，＝S△OBD＝3，故S△ACOS四边形AODB＝×（3+1）×4+3＝11，故△AOB的面积是：11﹣3＝8．故答案为：8．变式训练【变1-1】．如图，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若，△AOB的面积为12，则k的值为（）A．4B．6C．10D．12解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，∵OC∥AD，，∴，∴，k＞0，∴k＝12，故选：D．【变1-2】．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，＝4，则k的值为16．若E是AB的中点，S△BEF解：设E（a，），则B纵坐标也为，∵E是AB中点，∴F点坐标为（2a，），∴BF＝BC﹣FC＝﹣＝，＝4，∵S△BEF∴a•＝4，∴k＝16．故答案是：16．【例2】．如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为12．解：解法一：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，∵BC∥x轴，∴AE⊥BC，∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，∴A（，6），B（，4），∴AE＝2，BE＝﹣＝，∵菱形ABCD的面积为2，∴BC×AE＝2，即BC＝，∴AB＝BC＝，在Rt△AEB中，BE＝＝＝1，∴k＝1，∴k＝12．解法二：同理知：BE＝1，设A（a，6），则B（a+1，4），∴6a＝4（a+1），∴a＝2，∴k＝2×6＝12．故答案为12．变式训练【变2-1】．如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是（）A．9B．8C．7D．6解：∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，∴A（4，3），B（2，6），作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，＝S△BOE＝×12＝6，∴S△AOD＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，∵S△OAB＝（4+2）×（6﹣3）＝9，∴S△AOB故选：A．【变2-2】．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝a﹣．（结果用a，b表示）解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），∵点P为曲线C1上的任意一点，∴mn＝a，＝mn﹣b﹣b﹣（m﹣）（n﹣）∴阴影部分的面积S△AOB＝mn﹣b﹣（mn﹣b﹣b+）＝mn﹣b﹣mn+b﹣＝a﹣．故答案为：a﹣．1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（）A．3B．2C．D．4解：作AE⊥BC于E，连接OA，∵AB＝AC，∴CE＝BE，∵OC＝OB，∴OC＝BC＝×2CE＝CE，∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴＝（）2＝4，∵△BCD的面积等于1，OC＝OB，＝S△BCD＝，∴S△COD＝4×＝1，∴S△CEA∵OC＝CE，＝S△CEA＝，∴S△AOC＝+1＝，∴S△AOE＝k（k＞0），∵S△AOE∴k＝3，故选：A．2．如图，OC交双曲线y＝于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB ∥x轴，则k的值是（）A．18B．50C．12D．解：延长DA、交x轴于E，∵四边形ABCD是矩形，且AB∥x轴，∴∠CAB＝∠AOE，∴DE⊥x轴，CB⊥x轴，∴∠AEO＝∠ABC∴△AOE∽△CAB，∴＝（）2，∵矩形ABCD的面积是8，OC：OA＝5：3，∴△ABC的面积为4，AC：OA＝2：3，∴＝（）2＝，＝9，∴S△AOE∵双曲线y＝经过点A，＝|k|＝9，∴S△AOE∵k＞0，∴k＝18，故选：A．3．如图，已知点A，B分别在反比例函数y1＝﹣和y2＝的图象上，若点A是线段OB 的中点，则k的值为（）A．﹣8B．8C．﹣2D．﹣4解：设A（a，b），则B（2a，2b），∵点A在反比例函数y1＝﹣的图象上，∴ab＝﹣2；∵B点在反比例函数y2＝的图象上，∴k＝2a•2b＝4ab＝﹣8．故选：A．4．如图，点A（m，n），B（4，）在双曲线y＝上，且0＜m＜n．若△AOB的面积为，则m+n＝（）A．7B．C．D．3解：∵点A（m，n），B（4，）在双曲线y＝上，∴mn＝4×＝k，∴mn＝k＝6，∴双曲线为y＝，∴n＝，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，＝S△AOD+S梯形ADEB﹣S△BOE＝S梯形ADEB，∵S△AOB∴（+）（4﹣m）＝，解得m1＝1，m2＝﹣16，∵0＜m＜n．∴m＝1，∴n＝6，∴m+n＝7，故选：A．5．如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴＝3，则S△于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD＝3，S△BCDAOC为（）A．2B．3C．4D．6解：在Rt△BCD中，∵×CD×BD＝3，∴×CD×3＝3，∴CD＝2，∵C（2，0），∴OC＝2，∴OD＝4，∴B（4，3），∵点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，∴k＝12，∵AC⊥x轴，＝＝6，∴S△AOC故选：D．6．如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象（部分）于点A、B，点C是y 轴上的动点，则△ABC的面积为（）A．k1﹣k2B．（k1﹣k2）C．k2﹣k1D．（k2﹣k1）解：由题意可知，AB＝﹣，AB边上的高为x，＝×（﹣）•x＝（k1﹣k2），∴S△ABC故选：B．7．已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线y＝与边BC交于点D、与对角线OB交于中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（）A．10B．5C．D．解：设E点的坐标是（x，y），∵E是OB的中点，∴B点的坐标是（2x，2y），则D点的坐标是（，2y），∵△OBD的面积为10，∴×（2x﹣）×2y＝10，解得，k＝，故选：D．8．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是12，则k＝（）A．6B．9C．D．解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD＝3AD，∴D（，b）∵D、E在反比例函数的图象上，∴＝k，设E的坐标为（a，y），∴ay＝k∴E（a，），＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣••（b﹣）＝12，∵S△ODE∴4k﹣k﹣+＝12k＝故选：D．9．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝8．解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝4，∵k＞0，∴k＝8．故答案为8．10．如图，若反比例函数y＝的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为2．解：如图，过点P作x轴的垂线于M，∵△POQ为等边三角形，∴OP＝OQ，OM＝QM＝OQ，∵反比例函数的图象经过点P，∴设P（a，）（a＞0），则OM＝a，OQ＝OP＝2a，PM＝，在Rt△OPM中，PM＝＝＝a，∴＝a，∴a＝1（负值舍去），∴OQ＝2a＝2，故答案为：2．11．如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x 轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．则△OAP 的面积为5．解：过P作MN⊥x轴于M，交AB于N，过A作AD⊥x轴于D，∵A（4，3），∴AD＝3，OD＝4，∴AO＝＝5，∵AB＝AO，∴AB＝5，∵AB∥x轴，点B的横坐标是4+5＝9，纵坐标是3，即点B的坐标是（9，3），设直线OB的解析式是y＝ax，把B点的坐标（9，3）代入得：3＝9a，解得：a＝，即y＝x，∵AB∥x轴，∴MN⊥AB，把A（4，3）代入y＝，得k＝12，即y＝，解方程组得：或，∵点P在第一象限，∴点P的坐标是（6，2），∵A（4，3），AB∥x轴，P（6，2），∴MN＝AD＝3，PN＝3﹣2＝1，﹣S△APB＝3﹣＝5，∴△OAP的面积是S△ABO故答案为：5．12．如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC 面积的最小值为6．解：方法一：设A（a，），B（b，），则C（a，）．将y＝x+m代入y＝，得x+m＝，整理，得x2+mx﹣3＝0，则a+b＝﹣m，ab＝﹣3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝m2+12．＝AC•BC∵S△ABC＝（﹣）（a﹣b）＝••（a﹣b）＝（a﹣b）2＝（m2+12）＝m2+6，∴当m＝0时，△ABC的面积有最小值6．故答案为6．方法二：因为y＝x+m斜率为1，且BC∥x轴，AC∥y轴，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC＝AB，＝AC•BC＝AB2，∴S△ABC当AB最小时，m＝0，直线为y＝x，联立方程，解得或，∴A（，），B（﹣，﹣），AB＝×2＝2，＝×4×6＝6．∴S△ABC最小故答案为：6．13．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO ＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，且交线＝6，则k的值为8．段AB于点D，连接CD，OD．若S△OCD解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），∵点C为斜边OB的中点，∴C（，），∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，∴k＝•＝，∵∠OAB＝90°，∴D的横坐标为m，∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点D，∴D的纵坐标为，作CE⊥x轴于E，＝S△AOD，∵S△COES△OCD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝6，∴（AD+CE）•AE＝6，即（+）•（m﹣m）＝6，∴m2＝32，∴k＝＝8，故答案为：8．解法二：作CE⊥OA于E，∵C为AB的中点，OA＝AB，∠OAB＝90°，＝S△AOD＝k，S△AOB＝2k，∴S△OEC＝k，∴S△BOD∵C为斜边OB的中点，＝S△BCD＝S△BOD＝6，∴S△OCD∴×k＝6，∴k＝8．故答案为：8．14．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD，▱OABC的面积为15，则k的值为18．解：过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，设OC＝a，CN＝2b，MN＝b，∵▱OABC的面积为15，∴BM＝，∴ND＝BM＝，∴A，D点坐标分别为（，3b），（，a+2b），∴•3b＝（a+2b），∴b＝a，∴k＝•3b＝•3×a＝18，故答案为：18．15．如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x 轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为．解：连DC，如图，∵AE＝3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1，∴△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，而点D为OB的中点，∴BD＝OD＝b，＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，∵S梯形OBAC∴（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，∴ab＝，把A（a，b）代入双曲线y＝，∴k＝ab＝．故答案为：．16．如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）两点．（1）求k1，k2，b的值；（2）求△AOB的面积；（3）请直接写出不等式x+b的解．解：（1）∵反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），∴k1＝8，B（﹣4，﹣2），解方程组，解得；（2）由（1）知一次函数y＝k2x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），＝×6×4+×6×1＝15；∴S△AOB（3）﹣4≤x＜0或x≥1．17．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB＝，反比例函数y＝的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．（1）求反比例函数的解析式；（2）求直线EB的解析式；．（3）求S△OEB解：（1）∵A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴，∴AB＝6，∵cos∠OAB＝＝，∴，∴OA＝10，由勾股定理得：OB＝8，∴A（8，6），∴D（8，），∵点D在反比例函数的图象上，∴k＝8×＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）设直线OA的解析式为：y＝bx，∵A（8，6），∴8b＝6，b＝，∴直线OA的解析式为：y＝x，则，x＝±4，∴E（﹣4，﹣3），设直线BE的解式为：y＝mx+n，把B（8，0），E（﹣4，﹣3）代入得：，解得：，∴直线BE的解式为：y＝x﹣2；＝OB•|y E|＝×8×3＝12．（3）S△OEB18．如图，直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα＝．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；．（3）求S△OAB解：（1）∵直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），∴a＝×3＝4，∴点A的坐标为（3，4），∴k＝3×4＝12，∴反比例函数解析式y＝．（2）∵点B在这个反比例函数图象上，设点B坐标为（x，），∵tanα＝，∴＝，解得：x＝±6，∵点B在第一象限，∴x＝6，∴点B的坐标为（6，2）．（3）设直线OB为y＝kx，（k≠0），将点B（6，2）代入得：2＝6k，解得：k＝，∴OB直线解析式为：y＝x．过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如图所示：则点C坐标为（3，1），∴AC＝3．S△OAB的面积＝S△OAC的面积+S△ACB的面积＝×|AC|×6＝9．∴△OAB的面积为9．19．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比＝4．例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB （1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；（2）若直线AB与双曲线的另一交点为D点，求△ODB的面积．＝•|x A|•y B，解：（1）由题意得：S△AOB即×2×y B＝4，y B＝4，∴B（2，4），设反比例函数的解析式为：y＝，把点B的坐标代入得：k＝2×4＝8，∴y＝，设直线AB的解析式为：y＝ax+b，把A（﹣2，0）、B（2，4）代入得：，解得：，∴y＝x+2；（2）由题意得：x+2＝，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴D（﹣4，﹣2），＝S△OAD+S△OAB＝×2×2+4＝6．∴S△ODB20．如图，在平行四边形OABC中，，点A在x轴上，点D是AB 的中点，反比例函数的图象经过C，D两点．（1）求k的值；（2）求四边形OABC的面积．解：（1）过点C作CE⊥x轴于E，∵∠AOC＝45°，∴OE＝CE，∴OE2+CE2＝OC2∵OC＝2，∴OE＝CE＝2，∴C（2，2），∵反比例函数的图象经过点C点，∴k＝2×2＝4；（2）过点D作DF⊥x轴于F，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC＝2，∠DAF＝∠AOC＝45°，又∵点D是AB的中点，∴AD＝，AF＝DF，∴AF2+DF2＝AD2，∴AF＝DF＝1，∴D点的纵坐标为1，∵反比例函数的图象过点D点，∴D（4，1），∴OF＝4，OA＝OF﹣AF＝4﹣1＝3，∴平行四边形OABC的面积S＝OA•CE＝3×2＝6．21．如图，直线y＝6x与双曲线y＝（k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标为2．（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；（2）点B是双曲线上的点，且点B的纵坐标是6，连接OB，AB，求△AOB的面积．解：（1）将x＝2代入y＝6x，得：y＝12，∴点A的坐标为（2，12），将A（2，12）代入y＝，得：k＝24，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）在y＝中y＝6时，x＝4，∴点B（4，6），而A（2，12），如图，过A作AC⊥y轴，BD⊥x轴，交于点E，则OD＝4，OC＝12，BD＝6，AC＝2，AE＝2，BE＝6，＝S矩形OCED﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE∴S△AOB＝4×12﹣×2×12﹣×4×6﹣×2×6＝48﹣12﹣12﹣6＝18．22．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，且满足，求x的取值范围．解：（1）∵B（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝﹣8，∴反比例函数的表达式为y＝﹣．∵A（﹣4，n）在y＝﹣的图象上，∴n＝2，∴A（﹣4，2）．∵y＝kx+b经过A（﹣4，2）和B（2，﹣4），∴，解得∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2．（2）当y＝﹣x﹣2＝0时，解得x＝﹣2．∴点C（﹣2，0），∴OC＝2，＝S△AOC+S△COB∴S△AOB＝×2×2+×2×4＝6．（3）根据函数的图象可知：若D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，当﹣4＜x＜0时，满足kx+b﹣＜0．23．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，2）、点B（﹣4，n）．（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，求点P的坐标．解：（1）∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，2），∴k2＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数表达式为：y＝﹣，∵反比例y＝﹣的图象经过点B（﹣4，n），∴﹣4n＝﹣2，解得n＝，∴B点坐标为（﹣4，），∵直线y＝k1x+b经过点A（﹣1，2），点B（﹣4，），∴，解得：，∴一次函数表达式为：y＝+．（2）设直线AB与x轴的交点为C，如图1，当y＝0时，x+＝0，x＝﹣5；∴C点坐标（﹣5，0），∴OC＝5．S△AOC＝•OC•|y A|＝×5×2＝5．S△BOC＝•OC•|y B|＝×5×＝．S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝5﹣＝；（3）如图2，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，∵点A′和A（﹣1，2）关于x轴对称，∴点A′的坐标为（﹣1，﹣2），设直线A′B的表达式为y＝ax+c，∵经过点A′（﹣1，﹣2），点B（﹣4，）∴，解得：，∴直线A′B的表达式为：y＝﹣x﹣，当y＝0时，则x＝﹣，∴P点坐标为（﹣，0）．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OC的中点A（3，2），交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y＝k2x+b．（1）求反比例函数和直线EF的解析式；（2）求△OEF的面积；（3）请结合图象直接写出不等式k2x+b＞0的解集．解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），∴C点坐标为（6，4），∵A点坐标为（3，2），∴k1＝3×2＝6，∴反比例函数解析式为y＝；把x＝6代入y＝得x＝1，则F点的坐标为（6，1）；把y＝4代入y＝得x＝，则E点坐标为（，4），把F（6，1）、E（，4）代入y＝k2x+b，得，解得，，∴直线EF的解析式为y＝﹣x+5；﹣S△ODE﹣S△OBF﹣S△CEF（2）△OEF的面积＝S矩形BCDO＝4×6﹣×4×﹣×6×1﹣×（6﹣）×（4﹣1）＝；（3）由图象得：不等式k2x+b﹣＞0的解集为＜x＜6．25．如图，已知反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结OP、OQ．求△OPQ的面积．解：（1）反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），解得m＝4，故反比例函数的表达式为y＝．一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（﹣4，n），所以，解得n＝﹣1，b＝﹣5．∴一次函数的表达式y＝﹣x﹣5；（2）由，解得或．∴点P（﹣1，﹣4），在一次函数y＝﹣x﹣5中，令y＝0，得﹣x﹣5＝0，解得x＝﹣5，故点A（﹣5，0），S△OPQ＝S△OP A﹣S△OAQ＝×5×4−×5×1＝7.5．26．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AB边的中点C，且与OA边交于点D．（1）求k的值；（2）连接OC，CD，求△OCD的面积；（3）若直线y＝mx+n与直线CD平行，且与△OAB的边有交点，直接写出n的取值范围．解：（1）∵等边△OAB，∴AB＝BO＝AO＝4，∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，∵点C是AB的中点，∴BC＝AC＝2，过点C作CM⊥OB，垂足为M，在Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣60°＝30°，BC＝2，∴BM＝1，CM＝，∴OM＝4﹣1＝3，∴点C 的坐标为（﹣3，），代入y ＝得：k ＝﹣3答：k 的值为﹣3；（2）过点A 作AN ⊥OB ，垂足为N ，由题意得：AN ＝2CM ＝2，ON ＝OB ＝2，∴A （﹣2，2），设直线OA 的关系式为y ＝kx ，将A 的坐标代入得：k ＝﹣，∴直线OA 的关系式为：y ＝﹣x ，由题意得：，解得：舍去，，∴D （﹣，3）过D 作DE ⊥OB ，垂足为E ，S △OCD ＝S CMED +S △DOE ﹣S △COM ＝S CMED ＝（+3）×（3﹣）＝3，答：△OCD 的面积为3．（3）①当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 过点O 时，此时y ＝mx +n 的n ＝0，②当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 经过点A 时，设直线CD 的关系式为y ＝ax +b ，把C 、D 坐标代入得：，解得：a ＝1，b ＝3+∴直线CD 的关系式为y ＝x +3+，∵y ＝mx +n 与直线y ＝x +3+平行，∴m ＝1，把A （﹣2，2）代入y ＝x +n 得：n ＝2+2因此：0≤n ≤2+2且n ．答：n 的取值范围为：0≤n ≤2+2且n ≠3+．。

反比例函数中与面积有关的问题及其解析

反比例函数中与面积有关的问题及解答反比例函数解析式及图象的特殊性与面积结合起来，既能考查反比例函数本身的基础知识，又能充分体现数形结合的思想方法，考查涉及的题型广泛，方法灵活，可较好地将知识与能力融合在一起。

下面就反比例函数中与面积有关的问题及解析归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|。

对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：k结论2：在直角三角形ABO中，面积S=2结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB 中，面积为S=|k|类型之一 k 与三角形的面积※问题1、如图，已知双曲线y=xk（k ＞0）经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为6，则k=______．答案解析：过D 点作DE⊥x 轴，垂足为E ，由双曲线上点的性质，得S △AOC =S △DOE = 21k, ∵DE⊥x 轴，AB⊥x 轴， ∴DE ∥ AB ，∴△OAB ∽ △OED，又∵OB=2OD，∴S △OAB =4S △DOE =2k ，由S △OAB -S △OAC =S △OBC ，得2k -21k=6，解得：k=4．故答案为：4．问题2.如图，分别过反比例函数y=x2018(x ＞0)的图象上任意两点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2,，比较它们的大小，可得A.S 1＞S 2B.S 1=S 2C.S 1＜S 2D.S 1、S 2大小不确定。

培优专题23反比例函数的比例系数K和面积的关系-解析版

y
k x
(k
0,
x
0)
的图象经过
OA
的中点
D
，与直角边
AB
交于点 C
，若点
A
的坐标为 4,3，则△AOC
的面
积为（）
A． 5
B． 3
5 C． 2
D． 4.5
【答案】D
【分析】直接根据点 D 是 OA 的中点即可求出 D 点坐标，由 D 点坐标即可求出反比例函数的解析式，故可
得出 AOBC 的面积，由 SA AOC SA AOB SAOBC 即可得出结论
对称的任意两点，BC∥x 轴，AC∥y 轴，△ABC 的面积记为 S，则（）
A． S m
B． S 2m
C． m S 2m
D． S 2m
【答案】B
【分析】根据 A、B 两点在曲线上可设 A、B 两点的坐标，再根据三角形面积公式列出方程，即可得到答
案．
【详解】设点 A（x，y），则点 B（-x，-y），
（）
A．4 【答案】C
B．2
C．1
D．6
【分析】根据反比例函数
y=
k x
（k≠0）系数
k
的几何意义得到
SA POA
1 2
4
2, SA BOA
1 2
2
1 ，然后利用
SA POB SA POA SA BOA 进行计算即可．
【详解】解：∵PA⊥x 轴于点 A，交 C2 于点 B，
∴
SA POA
1 2
m m m，
k k，
PA 与 PB 的关系无法确定，结论②错误；
③ 点
P
在反比例函数
y
k x

专题反比例函数与面积问题

专题：反比例函数与面积问题1、如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP 的面积为2，求反比例函数的解析式.2、如图，点A 为双曲线2y x =的图象上一点，过A 作AB //x 轴交双曲线4y x=-于点B ，连AO 、BO ，求△AOB 的面积.3、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线ky x=上，且AB //x 轴，AD ⊥y 轴，BC ⊥x 轴，C 、D 在x 轴上，若长方形ABCD 的面积为6，求k 的值.4、如图，在平面直角坐标系中，函数(0ky x x=>，常数0k >）的图象经过点A （1，2）和点B ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ，若△ABC 的面积为2，求点B 的坐标.5、如图，直线24y x =-交x 轴、y 轴于B 、C ，交双曲线ky x=于E ，且BC =2BE ，求k .6、如图，点A 、B 在反比例函数ky x=的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 、2a （0a >），AC ⊥x 轴于点C ，且△AOC 的面积为2. （1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB 的面积.7、如图，AB //x 轴，分别交双曲线1y x =和2y x=-于A 、B ，求ABO S △.8、如图，双曲线ky x=与直线y mx =交于点A 、B ，AC ⊥x 轴于C ，BC 交y 轴于D ，且2OCD S =△，求k 的值.9、如图，点B 为x 轴正半轴上一点，点A 为双曲线4y x=（x ＞0）上一点，且AO =AB ，过B 作BC ⊥x 轴交双曲线于C 点，求ABC S △.10、如图，直线y x b =-+与双曲线1y x=（x ＞0）交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于E 、F 两点，AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥y 轴于D ，当b 等于多少时，△ACE 、△BDF 和△ABO 的面积等于△EFO 面积的34.。

反比例函数的应用六种题型

八下反比例函数与图形面积(平行四边形、三角形分类全面)

__反比例函数与图形的面积__一反比例函数与四边形的面积(教材P156目标与评定第7题)若正方形AOBC的边OA，OB在坐标轴上，顶点C在第一象限，且在反比例函数y＝1x的图象上，则点C的坐标是__(1，1)__．【解析】设点C的坐标为(x，y)．∵四边形AOBC是正方形，∴OB＝OA，即x＝y.∵点C在第一象限且在反比例函数y＝1x的图象上，∴x2＝1，∴x1＝1，x2＝－1(不合题意，舍去)，∴点C的坐标是(1，1)．【思想方法】反比例函数中k的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)的横、纵坐标之积(xy＝k)为常数，即过反比例函数图象上任意一点，向两坐标轴分别作垂线，两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|.以正方形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，建立如图1所示的平面直角坐标系，反比例函数y ＝3x 经过点D ，则正方形ABCD 的面积是( D ) A.32 B ．5 C ．6D ．12【解析】由反比例函数中k 的几何意义可知， S 正方形ABCD ＝4×3＝12.故选D.图1图2[2019·杭州期末]如图2所示，反比例函数y ＝kx (k ≠0，x ＞0)的图象经过矩形OABC 的对角线AC 的中点D .若矩形OABC 的面积为8，则k 的值为( A ) A ．2 B ．2 2 C.32D ．25【解析】过D 作DE ⊥OA 于E ，设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，k a ，∴OE ＝a ，DE ＝k a ，∵点D 是矩形OABC 的对角线AC 的中点， ∴OA ＝2a ，OC ＝2k a ， ∵矩形OABC 的面积为8， ∴OA ·OC ＝2a ·2ka ＝8，∴k ＝2.[2019·永康模拟]如图3，A ，C 分别是x 轴、y 轴上的点，反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象与矩形OABC 的边BC ，AB 分别交于E ，F ，若AF ∶BF ＝1∶2，则△OEF 的面积为( B ) A ．2B.83 C ．3D.103图3【解析】设F 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t ，∵AF ∶BF ＝1∶2，∴AB ＝3AF ，∴B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，6t ，把y ＝6t 代入y ＝2x 得x ＝t 3，∴E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3，6t ，∴S △OEF ＝S 矩形ABCO －S △OEC －S △OAF －S △BEF ＝t ·6t －12×2－12×2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫6t －2t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫t －t 3＝83.[2018·盐城]如图4，点D 为矩形OABC 的边AB 的中点，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过点D ，交BC 边于点E .若△BDE 的面积为1，则k ＝__4__．【解析】设点D 的坐标为(x ，y )，∵点D 为AB 的中点，且点D ，E 均在y ＝kx 上， ∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，12y .∵S △BDE ＝12BD ·BE ＝12·x ·12y ＝1， ∴k ＝xy ＝4.图4[2018·烟台]如图5，反比例函数y ＝kx 的图象经过▱ABCD 对角线的交点P ，已知点A ，C ，D 在坐标轴上，BD ⊥DC ，▱ABCD 的面积为6，则k ＝__－3__.图5【解析】 (法一)如答图①，连结OP ， ∵C ，D 在坐标轴上，BD ⊥DC ， ∴BD ∥y 轴，∴S △OPD ＝S △APD .∵▱ABCD 对角线的交点P ，▱ABCD 的面积为6， ∴S △APD ＝64＝32.又∵S △OPD ＝S △APD ＝32＝|k |2，∴|k |＝3.又∵反比例函数的图象在第二象限， ∴k ＜0，∴k ＝－3.变形5答图①变形5答图②(法二)如答图②，过P点作PH⊥y轴于H，∵BD⊥DC，∴∠PDO＝∠DOH＝∠OHP＝90°，∴四边形PDOH是矩形，又AB∥CD，＝6，∴S▱ABCD＝S矩形ABDO∵BP＝DP，∴S＝3＝|k|，矩形PDOH又∵k<0，∴k＝－3.如图6，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝mx ＋n (m ≠0)的图象与反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象交于第一、三象限内的A ，B 两点，与y 轴交于点C ，过点B 作BM ⊥x 轴，垂足为M ，BM ＝OM ，OB ＝22，点A 的纵坐标为4. (1)求该反比例函数和一次函数的表达式；图6(2)连结MC ，求四边形MBOC 的面积．解：(1)在Rt △OMB 中，BM ＝OM ，OB ＝22， ∴BM 2＋OM 2＝()222，解得OM ＝BM ＝2， ∴B 点的坐标为(－2，－2)．∵反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过点B (－2，－2)， ∴k ＝(－2)×(－2)＝4， ∴该反比例函数表达式为y ＝4x ，∵反比例函数y ＝4x 经过A 点，而A 点的纵坐标为4， ∴4＝4x ，解得x ＝1，∴A 点坐标为(1，4)．将点A (1，4)和B (－2，－2)代入一次函数，得⎩⎨⎧m ＋n ＝4，－2m ＋n ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝2， ∴一次函数的表达式为y ＝2x ＋2； (2)一次函数y ＝2x ＋2与y 轴交于点C ，当x ＝0时，y ＝2，∴C 点坐标为(0，2)， ∴OC ＝2，∵BM ＝2，∴OC ＝BM ，又∵BM ⊥x 轴，∴OC ∥BM ， ∴四边形MBOC 为平行四边形， ∴S 四边形MBOC ＝2×2＝4.二反比例函数与三角形的面积(教材P156目标与评定第8题)如图7，点A在反比例函数y＝kx(k＞0)的图象上，AM⊥x轴于点M.若△AMO的面积为3，则k＝__6__．图7【解析】∵△AMO的面积为3，∴|k|＝2×3＝6.又∵k＞0，∴k＝6.【思想方法】反比例函数图象上任意一点与原点所连的线段、坐标轴以及过该点向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形的面积S是个定值，且S＝1 2|k|.[2018·宁波]如图8，平行于x轴的直线与函数y＝k1x(k1>0，x>0)，y＝k2x(k2>0，x>0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1－k2的值为(A)A．8 B．－8C．4 D．－4图8变形1答图【解析】设点A 的坐标为(x A ，y )，点B 的坐标为(x B ，y )，点C 的坐标为(x C ，0)，如答图，过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ， ∵AB ＝x A －x B ，CD ＝y ， ∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12(x A －x B )y ＝12(x A y －x B y )＝12(k 1－k 2)，即4＝12(k 1－k 2)，∴k 1－k 2＝8.[2018·郴州]如图9，A ，B 是反比例函数y ＝4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是( B )图9A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】 ∵A ，B 是反比例函数y ＝4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，∴当x ＝2时，y ＝2，即A (2，2)，当x ＝4时，y ＝1，即B (4，1)．过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，答图略，则S △AOC ＝S △BOD ＝12×4＝2.∵S 四边形AODB ＝S △AOB ＋S △BOD ＝S △AOC ＋S 梯形ABDC ， ∴S △AOB ＝S 梯形ABDC ，∵S 梯形ABDC ＝12(BD ＋AC )·CD ＝12×(1＋2)×2＝3，∴S △AOB ＝3.[2018·龙东地区]如图10，平面直角坐标系中，点A 是x 轴上任意一点，BC ∥x 轴，分别交y ＝3x (x ＞0)，y ＝kx (x ＜0)的图象于B ，C 两点，若△ABC 的面积为2，则k 的值为( A ) A ．－1 B ．1 C ．－12D.12图10变形3答图【解析】如答图，连结OB ，OC ，设BC 与y 轴交于点D ， ∵BC ∥x 轴，∴S △OBC ＝S △ABC ＝2， ∵点B 在反比例函数y ＝3x 的图象上， ∴S △OBD ＝32，∴S △OCD ＝2－32＝12，又∵点C 在反比例函数y ＝kx 的图象上， ∴|k |＝1，k ＝±1.∵反比例函数y ＝kx 的图象经过第二象限， ∴k ＜0，∴k ＝－1.故选A.如图11，直线y ＝2x 与反比例函数y ＝kx (k ≠0，x >0)的图象交于点A (1，a )，B 是此反比例函数的图象上任意一点(不与点A 重合)，BC ⊥x 轴于点C . (1)求k 的值； (2)求△OBC 的面积．图11解：(1)将点A (1，a )的坐标代入y ＝2x ，得a ＝2×1，解得a ＝2，将点A (1，2)的坐标代入y ＝kx ，得2＝k1，解得k ＝2；(2)由(1)可知，反比例函数的表达式为y ＝2x ， ∴S △OBC ＝|k |2＝22＝1.三反比例函数与几何图形的综合(教材P156目标与评定第9题)如图12，在反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象上有点P 1，P 2，P 3，P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线．图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝__32__．图12【解析】由题意，可知点P 1，P 2，P 3，P 4的坐标分别为(1，2)，(2，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12. 解法一：∵S 1＝1×(2－1)＝1， S 2＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝13，S 3＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＝16，∴S 1＋S 2＋S 3＝1＋13＋16＝32；解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P 1向x 轴，y 轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，即1×2－12×1＝32.【思想方法】 (1)反比例函数y ＝kx 中k 的几何意义：过函数图象上任意一点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为|k |；(2)注意运用数形结合的思想，解答此类题一定要正确理解k 的几何意义．如图13，A ，B 两点在反比例函数y ＝4x 上，分别经过A ，B 两点向坐标轴作垂线段，已知S 阴影＝1，则S 1＋S 2的值为( D )图13A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】 ∵A ，B 是反比例函数y ＝4x 上的点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段，则根据反比例函数中k 的几何意义，得两个矩形的面积都等于|k |＝4，∴S 1＋S 2＝4＋4－1×2＝6.故选D.[2018·温州]如图14，点A ，B 在反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，点C ，D 在反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象上，AC ∥BD ∥y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为32，则k 的值为( B )图14A ．4B ．3C ．2D.32【解析】 ∵点A ，B 在反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，点A ，B 的横坐标分别为1，2，∴点A 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，∵AC ∥BD ∥y 轴，∴点C ，D 的横坐标分别为1，2，∵点C ，D 在反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象上， ∴点C 的坐标为(1，k )，点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，k 2，∴AC ＝k －1，BD ＝k 2－12＝k －12，∴S △OAC ＝12(k －1)×1＝k －12，S △ABD ＝12·k －12×(2－1)＝k －14， ∵△OAC 与△ABD 的面积之和为32， ∴k －12＋k －14＝32，解得k ＝3.[2018·广东改编]如图15，已知等边三角形OA 1B 1，顶点A 1在双曲线y＝3x (x ＞0)上．过B 1作B 1A 2∥OA 1交双曲线于点A 2，过A 2作A 2B 2∥A 1B 1交x 轴于点B 2，得到第二个等边三角形B 1A 2B 2；过B 2作B 2A 3∥B 1A 2交双曲线于点A 3，过A 3作A 3B 3∥A 2B 2交x 轴于点B 3，得到第三个等边三角形B 2A 3B 3…以此类推，则点B 6的坐标为__(26，0)__．图15变形3答图【解析】如答图，过点A 1作A 1E ⊥x 轴，设OE ＝m ，则A 1E ＝3m ，由点A 1(m ，3m )在y ＝3x 图象上，得m ·3m ＝3，解得m ＝1(负值舍去)，∴B 1(2，0)，过A 2作A 2F ⊥x 轴于点F ，设B 1F ＝a ，则F (2＋a ，0)，∵△B 1A 2B 2是等边三角形，∴A 2(2＋a ，3a )，将A 2点代入y ＝3x ，解得a ＝2－1(负值舍去)，∴B 2(22，0)，类似求得B 3(23，0)，故B6(26，0)．第2课时反比例函数的性质1．[2018·衡阳]对于反比例函数y ＝－2x ，下列说法不正确的是( D ) A ．图象分布在第二、四象限 B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 C ．图象经过点(1，－2)D ．若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在图象上，且x 1＜x 2，则y 1＜y 2【解析】 A ．∵k ＝－2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确； B ．k ＝－2＜0，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故本选项正确；C ．把x ＝1代入y ＝－2x 中，得y ＝－21＝－2，∴点(1，－2)在它的图象上，故本选项正确；D ．点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在反比例函数y ＝－2x 的图象上，若x 1＜0＜x 2，则y 1＞y 2，故本选项错误．2．[2018·湖州]如图6－2－10，已知直线y ＝k 1x (k 1≠0)与反比例函数y ＝k 2x (k 2≠0)的图象交于M ，N 两点．若点M 的坐标是(1，2)，则点N 的坐标是( A )图6－2－10A ．(－1，－2)B ．(－1，2)C ．(1，－2)D ．(－2，－1)【解析】 ∵点M ，N 都在反比例函数的图象上，且两点的连线经过原点，∴M ，N 关于原点对称．∵点M 的坐标是(1，2)，∴点N 的坐标是(－1，－2)．故选A.3．[2018·天津]若点A (x 1，－6)，B (x 2，－2)，C (x 3，2)在反比例函数y ＝12x 的图象上，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( B ) A ．x 1＜x 2＜x 3 B ．x 2＜x 1＜x 3 C ．x 2＜x 3＜x 1D ．x 3＜x 2＜x 1【解析】把点A (x 1，－6)，B (x 2，－2)，C (x 3，2)分别代入y ＝12x 可得x 1＝－2，x 2＝－6，x 3＝6，即可得x 2＜x 1＜x 3，故选B.4．[2018·临沂]如图6－2－11，正比例函数y 1＝k 1x 与反比例函y 2＝k 2x 的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为1，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是( D )图6－2－11A ．x ＜－1或x ＞1B ．－1＜x ＜0或x ＞1C ．－1＜x ＜0或0＜x ＜1D ．x ＜－1或0＜x ＜1【解析】由反比例函数图象的中心对称性，正比例函数y 1＝k 1x 与反比例函y 2＝k 2x 的图象交点A 的横坐标为1，得另一个交点B 的横坐标为－1，结合图象知，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是x ＜－1或0＜x ＜1，故选D.5．[2018·无锡]已知点P (a ，m )，点Q (b ，n )都在反比例函数y ＝－2x 的图象上，且a ＜0＜b ，则下列结论一定正确的是( D ) A ．m ＋n ＜0 B ．m ＋n ＞0 C ．m ＜nD ．m ＞n【解析】 ∵k ＝－2＜0，∴反比例函数y ＝－2x 的图象位于第二、四象限，∵a ＜0＜b ，∴点P (a ，m )位于第二象限，点Q (b ，n )位于第四象限， ∴m ＞0，n ＜0，∴m ＞n .6．已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝kx (k ≠0)图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，那么一次函数y ＝kx －k 的图象不经过( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，∴k ＞0，∵一次函数y ＝kx －k 的图象经过点(1，0)和点(0，－k )，－k ＜0， ∴一次函数的图象不经过第二象限．故选B.7．已知反比例函数y ＝6x ，当x >3时，y 的取值范围是__0<y <2__．【解析】在坐标系内作出反比例函数y ＝6x 的函数图象，找到x >3对应的图象部分，确定其函数取值范围为0<y <2.8．[2018·台州]如图6－2－12，函数y ＝x 的图象与函数y ＝kx (x ＞0)的图象相交于点P (2，m )．图6－2－12(1)求m ，k 的值；(2)直线y ＝4与函数y ＝x 的图象相交于点A ，与函数y ＝kx (x ＞0)的图象相交于点B ，求线段AB 的长．解：(1)把点P (2，m )代入y ＝x ，得m ＝2， ∴P (2，2)，把点P (2，2)代入y ＝kx ，得k ＝4；(2)当y ＝4时，代入y ＝x 得x ＝4，∴A (4，4)，代入y ＝4x 得x ＝1，∴B (1，4)，∴AB ＝4－1＝3；9．[2019·拱墅区模拟]已知直线l ：y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)与函数y ＝2x 的图象交于点A (－1，m )． (1)求m 的值；(2)当k ＝__1__时，直线l 经过第一、三、四象限(任写一个符合题意的值即可)； (3)求(2)中的直线l 的表达式和它与两坐标轴围成的三角形面积．解：(1)把A (－1，m )代入y ＝2x 中，得m ＝－2；(2)由(1)知m ＝－2，∴A (－1，－2)，把A (－1，－2)代入y ＝kx ＋b 中，得－2＝－k ＋b ， ∴b ＝k －2，∵直线l 经过第一、三、四象限， ∴⎩⎨⎧k ＞0，b ＜0，即⎩⎨⎧k ＞0，k －2＜0，解得0＜k ＜2，∴k 可以取1； (3)由(2)知k ＝1，b ＝k －2＝－1， ∴直线l 的表达式为y ＝x －1，∴直线l 与坐标轴的交点坐标为B (0，－1)，C (1，0)， ∴OB ＝1，OC ＝1， ∴S △OBC ＝12×1×1＝12.10．[2018·绵阳]如图6－2－13，一次函数y ＝－12x ＋52的图象与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于A ，B 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，△AOM 面积为1.(1)求反比例函数的表达式；(2)在y 轴上求一点P ，使P A ＋PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标．图6－2－13第10题答图解：(1)∵反比例函数y ＝k x (k ＞0)的图象过点A ，且△AOM 面积为1，∴12|k |＝1， ∵k ＞0，∴k ＝2，故反比例函数的表达式为y ＝2x ；(2)如答图，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连结A ′B ，交y 轴于点P ，则P A ＋PB 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋52，y ＝2x，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，∴A (1，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴A ′(－1，2)，最小值A ′B ＝（4＋1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22＝1092. 设直线A ′B 的表达式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋n ＝2，4m ＋n ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－310，n ＝1710， ∴直线A ′B 的表达式为y ＝－310x ＋1710， ∴x ＝0时，y ＝1710，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1710.11．如图6－2－14，一次函数y ＝k 1x ＋b (k 1≠0)与反比例函数y ＝k 2x (k 2≠0)的图象交于点A (－1，2)，B (m ，－1)．图6－2－14(1)求这两个函数的表达式；(2)在x 正半轴上是否存在点P (n ，0)，使△ABP 为等腰三角形？若存在，求n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)把A (－1，2)代入y ＝k 2x ，得k 2＝－2， ∴反比例函数的表达式为y ＝－2x .∵B (m ，－1)在反比例函数的图象上，∴m ＝2. 由题意得⎩⎨⎧－k 1＋b ＝2，2k 1＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧k 1＝－1，b ＝1，∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋1； (2)存在．易求得AB ＝32，①当P A ＝PB 时，(n ＋1)2＋4＝(n －2)2＋1，解得n＝0，∵n>0，n＝0不符合题意，舍去；②当P A＝AB时，(n＋1)2＋4＝(32)2，解得n＝－1＋14(负值舍去)；③当BP＝BA时，1＋(n－2)2＝(32)2，解得n＝2＋17(负值舍去)．∴当n＝－1＋14或2＋17 时△ABP为等腰三角形．。

万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题

万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题万能解题模型(一)：反比例函数中的面积问题类型1：单支双曲线上一点一垂直形成的三角形的面积设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点$A(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，点 $P(x_1,0)$ 为$A$ 点向 $x$ 轴作垂线段的底部交点，则 $\triangle AOP$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1y_1$，同时 $\triangle ABC$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1\cdot\frac{k}{x_1}=\frac{1}{2}k$，因此$\triangle AOP$ 和 $\triangle ABC$ 面积的比值为$\frac{S_{\triangle AOP}}{S_{\triangleABC}}=\frac{\frac{1}{2}x_1y_1}{\frac{1}{2}k}=\frac{y_1}{k} $，即 $S_{\triangle AOP}=|k|\cdot S_{\triangle ABC}$。

类型2：单支双曲线上一点两垂直形成的矩形面积设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点$P(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，$AC$ 和 $DE$ 分别为$P$ 点向 $x$ 轴和 $y$ 轴作垂线段的线段，$B$ 点为 $AC$ 和$DE$ 的交点，则四边形 $PMON$ 的面积为 $S=|x_1y_1|$，同时四边形 $ACDE$ 的面积为$S=\frac{1}{2}|x_1|\cdot|y_1|=\frac{1}{2}S_{\square PMON}$，因此四边形 $PMON$ 和四边形 $ACDE$ 面积的比值为$\frac{S_{\square PMON}}{S_{\squareACDE}}=\frac{2S}{|x_1|\cdot|y_1|}=2|k|$，即 $S_{\square PMON}=|k|\cdot S_{\square ACDE}$。

反比例函数面积问题

反比例函数面积问题
反比例函数面积问题通常是指与反比例函数相关的图形面积的计算
问题。

例如，给定反比例函数y=k/x的图像与坐标轴所围成的区域，要求该区域的面积。

解决这类问题通常需要应用积分学知识，因为反比例函数的图像通常是一个双曲线，与坐标轴围成的区域是一个不规则图形。

通过积分，我们可以求出这个不规则图形的面积。

具体地，如果要求反比例函数y=k/x在第一象限内与x轴、y轴所围成的区域面积，可以先求出该函数在第一象限内的图像与x轴之间的面积，然后再乘以2（因为反比例函数在第一、三象限内是对称的）。

这个面积可以通过定积分来计算，积分区间是从0到正无穷大，被积函数是y=k/x。

需要注意的是，由于反比例函数的图像在x轴和y轴上都趋于无穷大，
因此所求得的面积也是无穷大的。

但是，在某些特定情况下，例如给定一个特定的矩形区域，我们可以通过计算该矩形区域内反比例函数图像的面积来得到一个有限的数值。

总之，反比例函数面积问题需要根据具体情况进行具体分析，通常需要应用积分学知识和几何知识来解决。

以上是对于反比例函数面积问题5的回答，希望对你有所帮助。

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