《数理统计》第7章§7单侧置信区间

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《数理统计》第7章§7单侧置信区间

§7
单侧置信区间
1/4
对这类“ 对这类“好”指对这类“坏 < 指对这类“< α”1, 若存在统计量 θ = θ( X , X ,L, X ) ∀0 1 n 标2 标满足 ∀ θ ∈Θ 有关心下限关心上限 P{θ < θ } =1−α 则称 ( θ , ∞ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为单侧置信下限 . 单侧置信下限. 若存在统计量 θ = θ ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn ) 满足 ∀ θ ∈Θ 有
P{ θ < θ } =1−α 则称 (−∞,θ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为单侧置信上限 . 单侧置信上限.
第七章参数估计
§7
单侧置信区间
2/4
的样本, 为来自总体设 X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn 为来自总体 X ~ N(µ,σ 2 ) 的样本, µ,σ 2均未知.试求 µ 的置信水平为 1−α 的单侧置信下限. 均未知. 的单侧置信下限. µ,σ 2 的无偏估计分别是 X, S 2 且 , X −µ ~ t(n −1) S/ n 对于给定的置信水平 1−α ,可查表求得 tα (n −1) 使得怎样直接写出置信下限 µ ~ X − S t(n −1) ~ − t( X − µ XS µ n −1) P n < tα (n −1) = 1−α n α S / n 故 µ 的单侧置信下限为等价地有 tα(n −1) µ = X − S tα (n −1) n P{ X − S tα (n −1) < µ } = 1−α n µ 的置信上限是什么故 µ 的单侧置信下限为 µ= X− S ttα((n−1) = + S −1) µ X nαn n

概率论与数理统计第7章.ppt

即 S 2是 2 的无偏估计,故通常取S 2作 2的估计量.
例3 设总体 X 服从参数为的指数分布, 概率密度
x 1 e , f ( x; ) 0,
x 0, 其他.
其中参数 0, 又设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的样本, 试证 X 和 nZ n[min( X 1 , X 2 ,, X n )] 都是的无偏估计.
行到其中有15只失效时结束试验, 测得失效时间(小时)为115, 119, 131, 138, 142, 147, 148, 155,
158, 159, 163, 166, 167, 170, 172.
试求电池的平均寿命的最大似然估计值 .
解
n 50, m 15,
s( t15 ) 115 119 170 172 (50 15) 172
总体 X 的 k 阶矩 k E ( X k )的相合估计量, 进而若待估参数 g( 1 , 2 ,, n ), 其中g 为连续 ˆ g( 函数, 则的矩估计量 ˆ1 , ˆ 2 , , ˆ n ) g( A1 , A2 ,
, An ) 是的相合估计量.
第三节
估计量的评选标准
一、问题的提出
二、无偏性三、有效性四、相合性五、小结
一、问题的提出
从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的估计量可能不相同. 而且, 很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量. 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 下面介绍几个常用标准.
如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验.
3. 两种常见的截尾寿命试验

概率论与数理统计第7章

x 0 , x 0 ,x 1 ,x 2 ,
,x n 为总体 X
的一个样本 ,则未知参数的矩估计 ˆ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想 .
最大似然估计原理：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为
f (x1,x2,… ,xn ; ) .
当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：
L() f (x1, x2 ,…, xn; )
得
pˆ1Βιβλιοθήκη nn i 1xix
即为 p 的最大似然估计值 .
从而 p 的最大似然估计量为
p ˆ(X1,
1n ,Xn)ni1Xi X
求最大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合分布率(或联合密度);
(2) 把样本联合分布率 ( 或联合密度 ) 中自变
量看成已知常数,而把参数看作自变量,得到似然函数L();
要求：领会
2.2 估计量的有效性、相合性，要求：领会
3.区间估计
3.1 置信区间的概念，
要求：领会
3.2 求单个正态总体均值和方差的置信区间，要求：简单应用
参数估计
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的体重
1 p
n
pxi (1p)1xi
i1
n
n
xi
n xi
pi1 (1p) i1
n
n
xi
n xi
L(p)pi1 (1p) i1

第七节单侧置信区间

即:
=X
s n
tα ( n 1)
∵ X = 234.7
tα ( n 1) = t 0.05 ( 20 1) = t 0.05 (19) = 1.7291
概率统计
的单侧置信下限为: 所求的的单侧置信下限为
s
1590.85 = = 8.92 20 n
= 234.7 8.92 × 1.7291 = 234.7 15.43 = 219.3(元 )
概率统计
解: 用表示职工家庭人均月收入 X 表示测到的数表示职工家庭人均月收入, 值,它是一个正态随机变量. 它是一个正态随机变量. 现要根据所抽取的20 个家庭所得的月平均收入现要根据所抽取的的数据, 的数据,在方差未知的条件下求 E ( X ) = 的单侧置信下限. 单侧置信下限. 由题设可知为:
概率统计
一. 单侧置信区间定义定义: 定义给定 α (0 < α < 1), 若由样本 X 1 , X 2 X n 确定的 θ = θ ( X 1 , X 2 X n ) (或θ = θ ( X 1 , X 2 , X n )) 满足: 满足 P (θ > θ ) = 1 α (或 P (θ < θ ) = 1 α ) 则称随机区间: ( θ , + ∞ ) (或 ( ∞ , θ ) ) 是 θ 称随机区间单侧置信区间. 的置信度为1 α 的单侧置信区间.θ 称为置信单侧置信下限( 度为 1 α 单侧置信下限(或称置信度为1 α 的单侧置信上信区间的求法思路: 思路同双侧量区间的求法不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧分位点. 点,而是查单侧 α 分位点.
α 分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入进行调查, 个家庭, 进行调查,现抽取 20 个家庭,所得的月平均收入 X = 234.7 (元),2 = 1590.85 s 试以 95% 的置信度估计该区域职工家庭人均月收入的最低下限为多少? 单侧置信下限) 入的最低下限为多少?(单侧置信下限)

参数估计第三讲分布参数的区间估计单侧置信区间

第三讲(0-1)分布参数的区间估计单侧置信区间Ⅰ.授课题目（章节）§7.6 (0-1)分布参数的区间估计§7.7 单侧置信区间Ⅱ.教学目的与要求1. 了解(0-1)分布参数的区间估计；2. 掌握正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.Ⅲ.教学重点与难点：重点：单侧置信区间的概念的理解难点：正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.Ⅳ.讲授内容：§7.6 (0-1)分布参数的区间估计设有一容量50>n 的大样本，它来自(0-1)分布的总体X ，X 的分布律为x x p p p x f --=1)1();(, 1,0=x ,其中p 为未知参数。

现在来求p 的置信水平为1—α的置信区间.已知(0-1)分布的均值和方差分别为: 2,σμp ==p )1(p -.设1X ,n X X ,,2 是一个样本. 因样本容量n 较大，由中心极限定理，知)1()1(1p np npX n p np np Xn i i --=--∑=近似地服从)1,0(N 分布，于是有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--<-2/2/)1(ααz p np np X n z P α-≈1 而不等式 2/2/)1(ααz p np np X n z <--<- 等价于 0)2()(222/222/<++-+X n p z X n p z n αα.记 )4(2121ac b b a p ---=, )4(2122ac b b ap -+-=. 其中222/22/),2(),(X n c z X n b z n a =+-=+=αα.于是可得p 的一个近似的置信水平为1—α的置信区间为),(21p p .例设自一大批产品的100个样品中,得到一级品60个,求这批产品的一级品率p 的置信水平为0.95的置信区间.解一级品率p 是(0-1)分布的的参数,此时100=n ,6.010060==x ,1—α=0.95,025.02/=α,96.12/=αz ,按上面的公式求p 的置信区间,其中36,84.123)2(,84.103)(222/22/==-=+-==+=X n c z X n b z n a αα 于是 50.0)4(2121=---=ac b b a p , 69.0)4(2122=-+-=ac b b ap 故p 的一个近似的置信水平为0.95的置信区间为(0. 50, 0.69).§7.7 单侧置信区间对于给定值α)10(<<α,若由来自X 的样本1X ,n X X ,,2 确定的统计量θ=θ(1X ,n X X ,,2 ),对于任意Θ∈θ满足αθθ-≥>1}{P ,则称随机区间（θ,∞）是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间，θ称为θ的置信水平为α-1的单侧置信下限.又若统计量θ=θ(1X ,n X X ,,2 )(θθ<),对于任意Θ∈θ满足αθθ-≥<1}{P则称随机区间（∞-,θ）是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间，θ称为θ的置信水平为α-1的单侧置信上限.例如对于正态总体X ，若均值μ，方差2σ均为未知，设1X 2X ，……,n X 是一个样本,由n S X /μ- ～ t(n-1)有 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-)1(/n t n S X p αμα-=1，即 αμα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-->1)1(n t n S X P . 于是得到μ的一个置信水平为α-1的单侧置信区间(),1(--n t n SX α∞).μ的置信水平为α-1的单侧置信下限为).1(--=n t n SX αμ又由 22)1(σS n -～),1(2-n χ有 ,1)1()1(2122αχσα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->--n S n P 即 αχσα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<-1)1()1(2122n S n P 于是得2σ的一个置信水平为1α-的单侧置信区间 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---)1()1(,0212n S n αχ .2σ的置信水平为1α-的单侧置信上限为 .)1()1(2122--=-n S n αχσ 例从一批灯泡中随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为1050 1100 1120 1250 1280设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.解 1,95.0=-α n=5, ,1318.2)4()1(05.0==-t n t α ,1160=x .99502=s 由此可得所求单侧置信下限为1065)1(=--=n t n sx αμⅤ. 小结与提问：小结：首先了解(0-1)分布参数p 的近似的置信水平为1—α的置信区间的求法, 其次理解单侧置信区间的概念,且掌握正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.提问：思考题1：(0-1)分布参数p 的近似的置信水平为1—α的置信区间的求法是怎样?思考题2：正态总体均值和方差在给定置信水平为α-1条件下的单侧置信区间的求法与双侧置信区间的求有什么区别? Ⅵ.课外作业：P 22, 23211。

数理统计7

S/ n
则对给定的α，令
P{ X
S/ n
t (n 1)} 1
2
查t 分布表，可得 t (n 1) 的值。
P{X
S n
t
2 (n
2
1)
X
S n
t
2
(n
1)}
1
则μ的置信度为1－α的置信区间为
S [ X n t 2 (n 1)]
由中心极限定理知，当 n 充分大时，无论X服从什么
分布，都近似有 Z X ~ N (0,1) / n
12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16,
12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11,
12.08, 12.01, 12.03, 12.06,
在置信度为95%时,试求总体方差的置信区间。
解已知
查
得
查
得
由此得置信区间:
所求标准差σ的置信度为0.95的置信区间由得
大的样本,才能使的置信水平为0.95 的置信区间
的长度不大于 0.49 ?
解设需要抽取容量为的样本, 其样本均值为
查表得
于是
的置信水平为0.95的置信区间为
该区间长度
要使
只要
即
取
2) 未知σ2时，μ的置信区间
当总体X的方差未知时，容易想到用样本方差 S 2 代替σ2
已知 T X ~ t(n 1)
设是一个待估参数，给定若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量
满足
则称区间
是的置信水平为的
单侧置信区间. 称为单侧置信下限.
又若统计量
满足

概率论与数理统计浙大四版第七章第七章3讲

一个待估参数和估计量T 的函数S(T, ), 且S(T, )的分布为已知, 不依赖于任何未知
参数 (这样我们才能确定一个大概率区间).
而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.
这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形. 若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计.
第四节
区间估计
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 .
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
内. 这里有两个要求:
1. 要求以很大的可能被包含在区间[ˆ1,ˆ2]
内，就是说，概率P{ˆ1ˆ2}要尽可能大.
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度 ˆ2 ˆ1 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下
尽可能提高精度.
P {ˆ1ˆ2}1
称区间 [ˆ1,ˆ2]为的置信水平为1 的
置信区间.
寻找置信区间的方法,一般是从确定误差限入手.
我们选取未知参数的某个估计量 ˆ，根
据置信水平1 ，可以找到一个正数，
使得 P{ˆ||}1
称为ˆ 与之间的误差限 .
只要知道 ˆ 的概率分布，确定误差限并不难.
由不等式 |ˆ | 可以解出：
S(T, ),且其分布为已知.
称S(T, )为枢轴量.

概率论课件单侧置信区间

由右图
za
P
X
/

n

z

1
即
P

X

n
z

1

于是得到μ的一个置信水平为1-α的单侧置信区间为

( X n z , )
μ的一个置信水平为1-α的单侧置信下限为：

X

n
z .
注意：在置信区间中的α /2都被α取代，这是由于区间估计为双侧时，共为α的概率由两边均分，各占α /2.而置信上、下限则是单侧的.
6.5 单侧置信区间
定义6.7 对于给定值α(0<α<1)，由样本X1, X2
,…,Xn确定的统计量与，若对θ的一切可取的值有
P{ } 1 则称随机区间( , )是θ 的置信水平为1- α的单侧
置信区间，称为θ 的置信水平为1- α的单侧置信下
限. 若对θ的一切可取的值有
由书上的第149页表6-1，我们可以得到参数置信上、下限的结果.
P{ } 1 则称随机区间(, )是θ 的置信水平为1- α的单侧置
信区间，称为θ 的置信水平为1- α的单侧置知 2，求的单侧置信区间.
若X1, X 2, , X n是来自总体X的一个样本，由
X N (0,1) / n

概率论与数理统计(7.6 单侧置信区间)

即
S P X t (n 1) 1 n
2013年5月10日星期五
4
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于是的置信度为 1 的单侧置信下限为 S X t (n 1) ． n
将 x 1160 ， s 99.75 ， t0.05 (4) 2.1319 ， n 5 代入上式得 1065 ．由此可知的置信度为 0．95 的单侧置信下限为 1065．
【例 20】从一批电子元件中随机地取出 5 只做寿命试验，测得寿命数据(单位：小时)如下： 1050，1100，1120，1250，1280 若寿命服从正态分布，试求寿命均值的置信度为 0．95 的置信下限．解由题意知，总体方差未知，选取统计量 T ，得
X P X1, X 2 ,, X n ) ，对于任意满足
P 1
称随机区间 (, ) 是的置信度为 1 的单侧置信区间，称为的置信度为 1 单侧置信上限．
2013年5月10日星期五 3
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内容小结
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习题A
2013年5月10日星期五
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《概率论与数理统计》
*****大学理学院数学系
伯努利（Bernoulli）柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)
2013年5月10日星期五 1
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7.6 单侧置信区间
2013年5月10日星期五

置信区间(详细定义及计算)

P{
2
z } 1
2

n
2
2
P{z 2
X 2
z 2} 1
z
z
n
2
2
P{

n
z
2

X

n
z
2}
1
P{X

n
z 2

X

n
z 2} 1
这就是说随机区间

[ X n z 2 , X n z 2 ]
P{1 2} 1
由于正态随机变量广泛存在，特别是很多产品的指标服从正态分布，我们重点研究一个正态总体情形
数学期望和方差 2的区间估计。 5
设 X1, X 2 ,, X n 为总体 X ~ N (, 2 ) 的样本，
X , S 2 分别是样本均值和样本方差。对于任意给定的α，我们的任务是通过样本寻找一
也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，
称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作 1 ，这里是一个很小
的正数，称为显著水平。
2
若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的两个统计量
1 1( X1, X 2 ,, X n ),
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。其含义是：
若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
(x 1.96 , x 1.96) 即 (x 0.49) 确定一个区间。
4
4
10
(x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。

第7节单侧置信区间

解
µ 是 X 的无偏估计且
X S
−
µ
~
t(n
− 1)
n
⎧
⎫
Q
P
⎪ ⎨ ⎪⎩
X S
−
µ
n
<
tα (n − 1)
⎪ ⎬ ⎪⎭
=1−α
⇒
P⎧⎨µ
⎩
>
X
−
tα
(n−1)
S
n⎫⎬⎭=1−α
⇒µ>X−
S n
tα

(n
−
1)
由题设 x = 41117, s = 1347, 1 − α = 0.95, n = 16
41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287 38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40400
假设这些数据来自正态总体 N (µ,σ 2 ) . 其中µ,σ 2 未知，试求 µ 的置信水平为0.95的置信下限.
2、
σ
2 1
σ
2 2
的单侧置信区间（µ1, µ2 未知）
(n1 − 1)S12
S12
σ
2 1
S22
=
σ
2 1
(n2 − 1)S22
(n1
− 1)
~
F (n1 − 1, n2
− 1)
σ
2 2
σ
2 2
(n2 − 1)
⇒
⎧ ⎪
S12
P
⎪⎨σ
2 1
⎩
S
2 2
σ
2 2
⎫
⎪ ⎬
=
1
−
α

概率论和数理统计（李慧斌）复习大纲-第7章-置信区间-Confidence-Intervals

概率论与数理统计(李慧斌)复习大纲Chapter 7 Confidence Intervals置信区间7.1 Sampling Distribution 抽样分布统计量的分布称为抽样分布。

在本节中，我们将从正态分布推导出随机样本的样本方差分布，以及样本均值和样本方差的各种函数的分布。

复习：Thm 5.5.2若X1, X2,…, X n独立且满足，i= 1,2,…,n，若C1, C2,…, C n不全为零，则Corollary 5.5.2 设随机变量X1, X2,…, X n组成随机样本，满足正态分布，其中均值μ和方差σ2，则7.2 χ2Distribution卡方分布定义：若随机变量X1, X2,…, X n独立同分布且其中每个随机变量都满足标准正态分布，所以有着以n阶自由度卡方分布(χ2distribution with n degrees of freedom)，记作，n来源于独立随机变量中以n阶自由度的χ2分布的概率密度函数其中欧拉函数定义为χ2分布的性质：定理1定理2 （χ2分布的可加性）若X ~χ2 (n) , Y ~χ2(m)，X, Y独立，则X+Y ~ χ2 (n+m)例：设X1, X2,…, X n是正态分布的随机样本，证明Thm 7.3.1 设X1, X2,…, X n是正态分布的随机样本，则：（1）与独立；（2）注：，虽然基于n个，但是它们之和为0，所以指定数量的n-1确定剩余值。

因此有n-1阶自由度。

结果表明，只有从正态分布中抽取随机样本，样本均值和样本方差才是独立的。

证明如下：的联合概率分布函数为其中A为正交矩阵(orthogonal matrix)，且的联合概率分布函数为因此独立且⇒与独立且7.4 The t Distribution t分布定义：设X ~ N(0, 1), Y ~χ2 (n)且X和Y独立，则随机变量所满足的分布称为n阶自由度t分布，记作，其中的概率密度函数为t分布的性质：（1）f(x)图像呈钟型，且中心为0；（2）它的一般形状类似于平均分布0的正态分布的概率密度函数。

置信区间

1)sn2
mn
mn(m
n
2)
例1.有两台车床A和B同生产一种型号的零件，为了比较这两台车床所生产的零件的直径的均值，随机地抽取A车床生产的零差件s8A个 0，.3测1(。m得m随平) 机均地直x抽A 取15.B20车(m，m床)标生准产离的零件差9个，测得sB。平根0均.2据8直(m以m往) 经验y，B可标以14准.认82离(为mm，) 这两台车床所生产的零件的直径都服从正态值分差布，且的它95们%的置方A信差区相B间等。，求二总体均
2
P{| U | z } 1 1 2
即
P
x
/
n
z1 2
1
P
x
z1 2
n
x
z1 2
1
n
区间
[x z12
,
n
x z12
]
n
即为的置信区间。称z1-/2为在置信度1-下的临界值，或称为标准正态分布
的双侧分位点。
当＝0.05时,查标准正态分布表
得临界值
z12 z0.975 1.96
样本均值和样本方差分别记为和 .
我们的x 任, s务m 2 是求y
,
s
பைடு நூலகம்
2 n
1 2
的置信区间.下面按总体方差的不同情况
分别进行讨论。
1. 方差和12 都 22已知
由第七章第三节中的结论可知
x
~
N
1,
12
m
,
y
~
N
2
,
2 2
n
x
y
~
N (1
2
,
2 1
m
2 2

概率论与数理统计第七章

总体矩
样本矩
2
从中解得 ˆ 2X 1 , 即为的矩估计.
1 X
例2 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本
X
~
f
(
x)
1
e (
x
)
,
x
, 为未知参数
0,
其它
其中 >0,求 , 的矩估计.
解: 由密度函数知
X 具有均值为的指数分布
故 E(X- )= 即 E(X)=
Var(X- )= 2
n xi e e n
i1 xi !
i1
n
xi !
i 1
log
L( )
n
1
n
xi
i 1
0
得解 :
*
1 n
n
xi
i 1
x
2
2
log
L( )
1
2
n
xi
i 1
0
* x
是logL()的最大值点. ∴ 的极大似然估计量是
* X
例 4 总体均匀分布 X ∼ U(a,b). 求:两个参数a,b的极大似然估计
步骤一、我们把总体X的m阶原点矩E(Xm)记为 am , m=1,2, ,k
一般地,am (m=1,2, ,k)是总体分布中的参数 1,2,,k的函数. 故应该把am
(m= 1,2, ,k)记之为:
am (1,2,,k) (m=1,2, ,k)
步骤二、算出m阶样本原点矩:
Am
1 n
组成 . 设这5个数是: 1.65 1.67 1.68 1.78 1.69
估计为1.68，这是点估计.
估计在区间[1.57, 1.84]内，这是区间估计.

单侧置信区间

n
L(t,m,t0)
n
tm0
n i1
tim
i1
tim1e t0
n
n
tim
ln L(m ,t0)nln m l n t0 (m 1)i 1ln ti i 1 t0
ln
L(m,t0 m
)
n m
n i1
ln ti
n
tim ln ti
i1
t0
0
ln
L(m, t0
t0
)
n
t0
n
tim
n
n
XXi /n,YYi /n
i1
i1
n
n
Q (Y iY ˆi)2 (Y imi X B )2
i 1
i 1
Q Q 0 m B
n
n
Y i mˆ X i
Bˆ i 1
i1
N
mˆ
n i1
X iYi
1 N
n
n
X i Yi
i1
i1
n i1
X
2 i
1 N
n i1
X i 2
rrr
))
22 ))
CC CC
UU
UU
22 2 2
22
122 11
( 22 r ((22rr
) )
2) 2)
22
单侧
定数截尾
CL
2
2
(2
r
)
2
CU
2
2 1
(2 r )
2
C L
2
2
(
2
r
)
C U
2
2 1
(2

单侧置信区间

(n

1)

2 0.95
(5)

1.145,
S 2 0.039
标准差σ的单侧 0.95 的置信上限

(n 1)S 2

2 1
(n

1)

5 0.039 0.41 1.145
思考题：
总体 X ~ N ( , 2 )，其中 2已知，
求μ的置信水平为1-α的单侧置信上限
布, N (, 2 ),, 2未知.从某天生产的滚珠中随机地抽
取6个滚珠,测得直径（毫米）为
14.7， 15.1， 14.9， 14.8， 15.2， 15.1
求标准差σ的单侧 0.95 的置信上限.
解： 2的单侧 0.95 的置信上限是

2

(n 1)S 2

2 1
(
n

1)
2
§7 单侧置信区间
返回目录
对给定值α ( 0 <α <1 ), 由样本X1, X2,…, Xn确定统计量
( X1, X2 ,, Xn ), Θ, 使得
P{ } 1 ,
称随机区间( ,) 是θ的置信水平为1-α的单侧置信区间；为θ的置信水平为1-α的单侧置信下限.
2

(n 1)S 2
12 (n 1)

1

2 的置信水平为1-α的单侧置信区间

0,
(n 1)S
12 (n
2
1)

2 的置信水平为1-α的单侧置信上限为

2

(n 1)S 2

2 1
(n

概率论与数理统计教学课件77单侧置信区间

一、问题的引入
在以上各节的讨论中,对于未知参数 , 我们给出两个统计量 , , 得到的双侧置信区间( , ).
但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们
关心的是平均寿命的“下限”; 与之相反, 在
考虑产品的废品率 p时, 我们常关心参数 p的 “上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念.
(n
1)
.
单侧置信上限 2
二、基本概念
1. 单侧置信区间的定义
对于给定值 ( 0 1), 若由样本 X1, X2,, Xn 确定的统计量 ( X1, X2,, Xn ) , 对于任意满足
P { } 1 ,
则称随机区间( , ) 是的置信水平为1 的单侧置信区间, 称为的置信水平为1 的单侧置
Xh
n
1
,
n,
的置信水平为 1 的置信上限 Xh . n
四、小结
正态总体均值的置信水平为1 的单侧置信区间
, X
S n
t
(
n
1),
单侧置信上限
X
S n
t
(n
1),
,
单侧置信下限
正态总体方差 2 的置信水平为1 的单侧置信区间
0,
(n 1)S 2
2 1
X1, X2 ,, Xn 是一个样本,
由 X ~ t(n 1),
S/ n
有
P
X S/
n
t
(
n
1)
1
,
即
P X
S n
t
(n
1)
1
,
于是得的一个置信水平为 1 的单侧置信区间

第七节单侧置信区间

概率统计
一. 单侧置信区间定义定义: 给定 (0 1), 若由样本 X1 , X 2 X n 确定
的 ( X1 , X2 Xn ) (或 ( X1 , X2 , X n )) 满足: P ( ) 1 (或 P( ) 1 ) 则称随机区间: ( , ) (或 (, )) 是的置信度为1 的单侧置信区间。称为置信度为 1 单侧置信下限（或称置信度为1 的单侧置信上限)
为为置信度
概率统计
二. 单侧置信区间的求法思路: 同双侧量区间的求法不同处：在求单侧置信区间时不是查双侧点，而是查单侧分位点。
分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入进行调查，现抽取 20 个家庭，所得的月平均 2 收入 X 234.7 （元）， s 1590.85
即:
X
s
n
t ( n 1)
X 234.7
t (n 1) t0.05 (20 1) t0.05 (19) 1.7291
概率统计
所求的的单侧置信下限为:
s
1590.85 8.92 20 n
234.7 8.92 1.7291 234.7 15.43 219.3(元)
第绍的置信区间中置信限都是双侧的，但在有些实际问题，人们所关心的只是参数在一个方向的界限。例如，对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.
这时，可将置信上限取为 +∞,而只着眼于置信下限, 这样求得的置信区间称为单侧置信区间.
得:该区域职工家庭人均月收入的最低下限为219.3 (元).
概率统计

7-4单侧置信区间资料

例
1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限.
解
1 0.95,
n 5,
x 1160,
t ( n 1) t0.05 (4) 2.1318, s 2 9950,
的置信水平为 0.95 的置信下限
s x t ( n 1) 1065. n
11/2/2018
例2( P 152 例1) 下面列出了自密歇根湖中捕获的10条鱼的聚氯联苯的含量(有毒物 ) : 11.5 12.0 11.6 11.8 10.4 10.8 12.2 11.9 12.4 12.6.设样本来自正态总体N ( , 2 ), , 2均未知,试求的置信水平为0.95的单侧置信上限 .
11.72
11/2/2018
0.69*1.8331 10
12.12
3.方差的单侧置信区间
2
( n 1) S 2 2 由于 ~ ( n 1) 2 ( n 1) S 2 由 P( b) 1 2
( n 1) S 2 令W 2
因此, b 12 (n 1)
n2
2 2
~ N 0,1
X Y z 2 n1 n2
2 1 2 2
1 2 X Y z 1 2 X Y z
n2
2 2

2 1
n1
n2
1 2
未知
2
X Y ~ t t
解:由已知n 10 , 1 0.95, 0.05
查表得 t (n 1) t0.05 (10 1) 1.8331

7.5正态总体均值与方差的区间估计7.7单侧置信区间

7 2
随机区间 1 , 是的置信度为1 的单侧置信区间。

P 2 X1 , 则称 2 X 1 ,

又若将 7 2 式改为： , X n 1 , , X n 为的单侧置信上限。

7 3
随机区间 , 2 是的置信度为1 的单侧置信区间。

, X n 2 X1,
, X n 1

7 1
则称随机区间 1 , 2 是的双侧 1 置信区间；称 1 为置信度；

1和 2分别称为双侧置信下限和双侧置信上限。
2
第3页
上述置信区间中置信限是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限，即上限或下限. 例如：对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.
10
2 2 n 36, X 15, S 16
第11页
S S 置信区间为： X t 2 n 1 , X t 2 n 1 n n
S S 由P X t0.025 X t0.025 1 0.05 n n
查表得：t0.025 35 2.0301
又： 15 2.0301 4 13.647,15 2.0301 4 16.353 6 6
的置信区间为13.647,16.353
？求置信度为99％时 1 2
两种情况下的置信区间
? 答案：1 13.333,16.667
2 1
n1
2 1

~ N 0,1
n2

《数理统计》第7章§7单侧置信区间