第八章向量代数与空间解析几何习题

（ （ ( （ （ 则
） ） ) ） ）
K
K
K
K
a+b = a+c a a
,
b=c
a, b
满
足
=
b b
，
则
a, b
同
向
。
（ ） 二、填空题。 1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是 M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是 M（5，-3，-2） 。 4． 设向量 a 与 b 有共同的始点，则与 a, b 共面且平分 a 与 b 的夹角的向量为 5． 已知向量 a 与 b 方向相反，且 | b | = 2 | a | ，则 b 由 a 表示为 b = 。
（Ａ） 、x2+y2=a2
(B)、x=acos
z b
(C)、y=asin
z b
(D)、
{
x = a cos
z b z y = a sin b
三、化曲线
{
x + y +z
y=x
2
2
2
=9
为参数方程。
五．画出下列曲线在第一卦限内的图形。 １．
{
x =1 y =2
２。
+ y =a 2 2 {x 2 x + z =a
2
K
G G
K
K
K
K
2
K K
2
G
K
K
K
7．[ a ⋅ b ⋅ c ]= [b ⋅ c ⋅ a ] 8．当 a =3 b 时，[ a ⋅ b ⋅ c ]=0 9．若 a 、b 、c 满足 a = b × c , b = c × a ，则 a 、b 、c 两两垂直。 10．设非零向量 a , b 的方向角分别为 α 1 , β 1 , γ 1 和 α 2 , β 2 , γ 2 则 cos ∠(a, b = cosα 1 cosα 2 + cos β 1 cos β 2 + cos γ 1 cos γ 2 二、填空题
∧
K K K K
K K K
K K K
K
K
K
K K K
K K
K
K
K
（
K K
（
）
3 G K K K K K 2．若 a = 13, b = 19, a + b = 24 。则 a − b =
K 2π K K K ，且 a = 1, b = 2 。则 a × b = 3 K K K K K K 4．已知 a = 3, b = 26, a × b = 72 ，则 a ⋅ b =
§7.3 向量的坐标 一、判断题 1．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。 2．零向量在任一轴上投影为零。 3．设向量 a 的方向角 α =0,则 a 必垂直于 yoz 面。 4．若 α 、 β 、 γ 是向量 a 的方向角，则{cos α ,cos β ,cos γ }是单位向量。 5．若 a ={ 二、填空题 1．设 a =4， a 与轴 l 的夹角为 ( （ （ （ }。 （ ） ） ） ） ）
（B） a + b = a − b （D） a + b > a − b
三、试证明以三点 A（4，1，9） 、B（10，-1，6） 、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直 角三角形。
四、在 yoz 平面上求与三个已知点 A（3，1，2） 、B（4，-2，-2） 、C（0，5，1）等距离的 点 D。
六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半量代数
§7.1 空间直角坐标系 向量及其加减法、向量与数的乘法
一、判断题。 1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 2． 任何向量都有确定的方向。 3． 任二向量 a, b ，若 a = b .则 a = b 同向。 4． 若二向量 a, b 满足关系 a + b = a + b ,则 a, b 同向。 5． 若二向量 a, b 满足关系 a − b = a + b ，则 a, b 反向。 6． 若 ( 7． 向 ) 量
。 。 ， 。
x 2 + y 2 （０ ≤ z ≤ 1 ）在ＸＯＹ面上的投影为
，在ＹＯＺ面上的投影为 。
在ＸＯＺ面上的投影为 6．曲线 ⎪
⎧x = t + 1
2 ⎨y = t ⎪ z = 2t + 1 ⎩
的一般式方程为
二、选择题 １．方程
{
4 9 y=z
2 x +y
2
=1
在空间解析几何中表示 （Ｂ） 、椭圆曲线
3．若 ( a b ) =
∧
1．设 (a b ) =
K
π
， a = 5, b = 8, 则 a − b =
K
K
K
K
。 。 。 。 。 。 。 时。 P = λa + 5b 与 Q = 3a − b 共线。
K
5．三向量 a , b , c 的混合积 [a , b , c ] 的几何意义是 6．设 a = {4,−3,4}, b = {2,2,1} ，则 Prj b = 7．设 a = {2,−3,2}, b = {−4,6,−4} ，则 ( a b ) = 8．设 a , b 为不共线向量，则当 λ = 三、选择题
在平面解析几何中表示
，在空间解析几何表示
。
２．曲面x2+y2-
z2 =0 与平面z=3 的交线圆的方程是 9
。
，其圆心坐标是
，
圆的半径为
2 2
x + y =1 在ＹＯＺ面上的投影曲线为 ３．曲线{ 2 2 2 x +( y −1) +( z −1) =1
４．螺旋线x=acos θ ,y=asin θ ,z=b θ 在ＹＯＺ面上的投影曲线为 ５．上半锥面Ｚ＝
。 （Ｄ） 、两条平行直线
2
（Ａ） 、椭圆柱面 ２．已知曲线 （Ａ） 、－１
（Ｃ） 、两个平行平面
{x
2
+
y +z
2
2
=2
x+ y + z =a
在ＹＯＺ坐标面上的投影曲线为 （Ｃ） 、１
{
y + yz + z
2
=1
x =0
，则 a ＝
。
（Ｂ） 、０
（Ｄ） 、２ 。
⎧ x = a cosθ ４．参数方程 ⎪ y = a sin θ 的一般方程是 ⎨ ⎪ z = bθ ⎩
2
(Ｃ） ( z − 1) = x2+y2
2
( D ) ( x + 1) =y2+z2
2
3．方程x=2 在空间表示 。 （Ａ） 、ＹＯＺ坐标面。 （Ｂ） 、一个点。 （Ｃ） 、一条直线。 （Ｄ） 、与ＹＯＺ面平行的平面。 4．下列方程中 表示母线平行与oy轴的双曲柱面。 2 2 （Ａ） x －y ＝１ （Ｂ） x2 +z2＝１ （Ｃ） x2+z=1 (D) xz=1 二、已知两点Ａ（５，４，０） 、Ｂ（－４，３，４） 。点Ｐ满足条件２ PA = PB ，求点Ｐ 的轨迹方程。
K
K
四、设 a = {2,−1,1}, b = 1{1,3,−1} ，求与 a 、 b 均垂直的单位向量。
K
K
K
K
五 、 设 向 量 a = {2,3,−1}、b = {1,−2,3}、c = {2,1,2} , 向 量 d 与 a , b 均 垂 直 ， 且 在 向 量
K
K
K
K
K K
K K c 上的投影是14，求向量d .
a x , a y , a z }，则平行于向量 a 的单位向量为{
ax |a|
，
ay |a|
，
az |a|
π
6
，则 prjl =
a
2.已知向量 a ={4，-4，7}的终点坐标为（2，-1，7） ，则 a 的始点坐标为 3．设三角形的三个顶点 A（2，-1，4） 、B（3，2，-6） 、C（-5，0，2） ，则 AB 边的中点坐 标为 ， Δ ABC 的重心坐标为 。 4．已知平行四边形 ABCD 的两个顶点 A（2，-3，-5） 、B（-1，3，2） 。 以及它的对角线交 ，则顶点 D 的坐标为 。 点 E（4，-1，7） ，则顶点 C 的坐标为 5．设向量 a 与坐标轴正向的夹角为 α 、 β 、 γ ，且已知 α = 60 D ， β = 120 D 。则 γ = 6．设 a 的方向角为 α 、 β 、 γ ，满足 cos α =1 时， a 垂直于 坐标面。
四、说明下列旋转曲面是怎样形成的。 １．Ｚ＝２（ x2+y2）
2.
4x2+9y2+9z2=36
五．画出下列各曲面的图形。 １． Y2=2px (p>0)
2．由
x+y=1
x2+y2=1 和z=0 所围立体的表面。
§ ７ .６ 一、填空题 １．方程组
空间曲线及其方程
{
y =5 x +1 y = 2 x −3
§ 一、判断题 1． ( a ⋅ b ) = a ⋅ b
2 2 2
7.4
数量积 向量积 混合积
（
） ） ） ） ） ） ） ） ）
2． a （ a ⋅ b ）= a ⋅ b
K
K K L
2
K K K K K
（ （ （ （ （ （ （
3．若 a × b = a × c 且 a ≠ 0 ，则 b = c 。 4．若 a = b =1，则 a × b =1 5． a + b = a + 2 a ⋅ b + b 6． a × b = b × a