矩形板塑性内力计算_李洪求

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金属塑性成形原理第六章主应力法

第六章主应力法及其应用（切块法）
第一节概述
研究不同形状和性能的坯料，在不同的工模具和不同的外力作用下发生塑性变形时的应力、应变和流动状态，是塑性成形理论的根本任务之一。
知道了坯料塑性变形时的应力状态，即可计算出变形力和功能消耗。
1
变形力：在塑性加工过程中，工具通过与坯料的接触面，对坯料施加作用力，当此作用力达到一定值时，坯料发生塑性变形，此时，工具作用在坯料上的作用力称为变形力。
y ye
C

ye

2
h
xe
这时 x 0
自由表面
ye 2K

2S 3

y

2
h
( xe

x)

ye

2
h
( xe

x)

2S 3
17
5、确定单位流动压力（即单位面积的平均变形力）
变形力
xe
P ydF 2 l y dx
F
0
平均变形力 p P P 1 F l 2xe xe
ln( wb
we ) K1 y
2S 3
法
y

K2 K1
ln( wb
we ) K1 y
32
金属
当y=0时，为挤压变形所需的单位流动压力值。
塑
性
成
形原理
p y
y0

K 2 ln we K1 wb
第六章主应力法
33
（三）轴对称变形的横向流动（镦粗型）
设有平行砧板间的轴对称镦粗。摩擦条件为 s
4
1、空间问题：

塑性变形力学计算2Word版

杆件的塑性变形15. 1概述工程问题中绝大部分构件必须在弹性范围内工作，不允许出现塑性变形。

但有些问题确须考虑塑性变形。

15.2金属材料的塑性性质图15. 1是低碳钢拉伸的应力-应变曲线。

过屈服极限后，应力和应变的关系是非线性的有£= £ + £图15.1低碳钢拉伸的应力-应变曲线弹性范围内，应力和应变之间是单值对应的。

塑性阶段却并非如此，应力和应变不再是单值对应的关系（如图15.2）。

下面是儿种常见的塑性材料模型。

图15.2弹塑性应力-应变有时也把应力-应变关系近似地表为幕函数，幕强化材料的应力-应变关系曲线如图15. 7所示。

b = cH15.3拉伸和压缩杆系的塑性分析现以图15. 8所示两端固定的杆件为例来说明静不定拉压杆系的塑性分析, 肖载荷P 逐渐增加时，杆件两端的反力是I5d 1Z O TH"出 I 比I 士fcT(a)1a +b fR 2 =Pa a +P 力作用点的位移是-R 、a Pab EA EA(a + b)如b>o 则&>仏。

随着P 的增加,■JAC- p>B%AC 段0 £m In. 3理根禅殖件材料槿型图15. 4刚塑性材料模型图15. 5线性强化材料模型图15. 6刚須性线性强化材料模型图15. 7幕强化材料模型5 52(«)的应力将首先达到屈服极限。

若相应的载荷为片,载荷作用点的位移为由(" )、3) 两式求得Aa s (a + b)b山平衡方程可知心"-2(0)载荷作用点C 的位移为EA (d)CB 段也进入塑性阶段时，心二人农，由(。

)式求出相应的载荷为图15. 9三杆桁架P? = 2/1乐载荷达到竹后，整个杆件都已进入塑性变形。

例18.1在图13.9"所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积同为A 。

试求使结构开始出现塑性变形的载荷片、极限载荷Pp 。

塑性计算方法及适用范围(精)

c 由于超静定结构具有多余约束，某一支座进入破坏阶段时，只是少一个多余联系，整个结构并未破坏。
d 按弹性理论计算法计算时，支座弯矩总是远ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于跨中弯矩，支座配筋拥挤，构造复杂，施工不便。
塑性内力重分布的计算方法
对于均布荷载作用下，等跨连续板、次梁考虑塑性内力重分布的弯矩，可按下列公式计算：（1）控制截面的弯矩： M=am（g+q）l02 式中 am—弯矩系数，板和次梁按表6-4数据采用。
式中 αm—弯矩系数，板和次梁按表 6-4 数据采用。
表 6-4 连续梁及连续单向板弯矩计算系数 m
截面位置
边
支承情况
端支
座
梁板搁置墙上
0
－
板
整浇刚性连
1/16
接
－
梁
1/24
－梁与柱刚性连接
1/16
跨边跨
中 1/11
1/14
1/14
第二跨
第二支座
第二跨中
二跨连续－1/10 三跨以上连续－ 1/16
外
内
侧
侧
0.55 0.55
钢筋混凝土连续梁板考虑塑性内力重分布的设计方法按弹性理论计算法的缺陷： a 钢筋砼是两种材料组成的非匀质弹性体，在构件的截面设计中己充分考虑了其塑性性能，按破坏阶段的构件截面计算方法与按弹性理论计算的结构内力是互不协调的，材料强度未能得到充分发挥。
b 弹性理论计算法是按活荷载的最不利位置时的内力包络图来配筋的，但各跨中和各支座截面的最大内力实际上并不能同时出现。
1/11
中间跨
中间支中间跨
座
中
－1/14 1/16
(2) 控制截面的剪力

矩形板塑性内力计算

矩形板塑性内力计算
李洪求
【期刊名称】《建筑结构》
【年(卷),期】2002(32)4
【摘要】通过对分离式配筋矩形板内力塑性理论计算公式的推导 ,利用电算程序对现行结构手册中的塑性计算内力系数作了进一步的扩充 ,从而使设计应用中能更合理地计算板的内力及配筋 ,达到了安全经济的目的。

【总页数】3页(P25-26)
【关键词】矩形板;塑性计算;内力;计算;单向板;双向板;弹性计算
【作者】李洪求
【作者单位】北京市维拓时代建筑设计院
【正文语种】中文
【中图分类】TU323
【相关文献】
1.计入膜力塑性耗散效应的矩形板塑性动力响应 [J], 陈发良;余同希
2.局部均布荷载作用下四边支承矩形板的内力计算 [J], 杨成永;马文辉;韩薛果;程霖
3.关于矩形混凝土板内力的几种计算方法的比较 [J], 杜庆祖
4.矩形钢筋混凝土双向板板底塑性弯矩比设计取值研究 [J], 蒋秀根;剧锦三;庄金钊
5.框架结构中整体式单向板按塑性内力重分布理论的计算 [J], 栾曙光
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弹塑性力学10-6梁模型计算圆板和环板的塑形极限载荷(精)

例题1：边长为 a 的正方形薄板，一边固支、两边简支，自由边中点A受集中载荷 P 作用，板的塑性极限弯矩为： Mp ，求塑性极限载荷。 D
b
b
C
a
h
E A B
解：设A点的挠度为d
ABC与ACD的相对转角为q :
a
q
d
AC
cota cot b 5
j d
a
d
2 AC
j
d
ACD与CD的相对转角为j:
dr
梁计算模型
板 x o r
q(r) r
o x
m
Mx Qx
m
q(x) 极限条件：
2rMr 2rQr 2Mq
2rq(r) Mmax Mp
若梁和圆板的边界条件在形式上相同，可通过求解变量转换后梁的问题得到圆板的解答。
四、梁模型计算圆板和环板的塑性极限载荷的步骤
1. 结构转换 o
r
o
解：
o
z
r
r a
a
z
2rM r 2rM p r r 2rq 2 3
m= 2Mp
qr 2 Mr M p 6
Mr
r a
qa2 M p M p M p 6
ql 12
Mp a2
简支圆板：
Mr
r a
0
ql 6
Mp a2
例题2：半径为 a 的简支环板，内半径为 b ，受均布载荷 q 作用，圆板单位塑性极限弯矩为： Mp ，求塑性极限载荷。 2rq q
i 1
ai bi
( n 2) 2n 2 n
Pl M P cota i cot b i

塑性力学第五章

k , ki i , jj ij , j i
或
在弹性状态时，上式右端等于零，可得到弹性解。将它作为第一次近似解，代入上式右端作为已知项，又可以解出第二次近似解。重复以上过程，可得出所要求精度内接近实际的解。在小变形情况下，可以证明解能够很快收敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果。
六、幂次强化材料设梁的材料为幂次强化材料，其单向拉压时的应力-应变关系服从幂规律 σ = B ε n signε 0 ≤ n ≤ 1 。单式中 B 和 n 为常数，由实验测定，拉时 n n σ = Φ(ε ) = Bε = B(κy )
M = 4∫ Φ(κy ) b( y ) ydy = 4 Bκ n ∫ b( y ) y n +1dy
§5-1 §5-2 §5-3
弹塑性力学中的边值问题梁的纯弯曲梁的横力弯曲
§5-1
弹塑性力学中的边值问题
塑性本构关系有全量和增量两种理论，这两种理论的边值问题的提法及解法全量理论的边值问题及解法设在物体V内给定体力 f i ，在应力边界 ST 上给定面力 f i ，在位移边界 Su 上给定 ui ，要求物体内部各点的应力σ ij 、应变 ε ij 、位移 ui 。确定这些未知量的基本方程组有： 1） σ ij ,i + f j = 0
d 2v ε ε x = ε = = − y 2 , ε y = ε z = − , γ xy = γ yz = γ zx = 0 dx ρ 2 y
满足应变协调方程。在弹性区的边界处 y = ys , σ = σ s ，由
d 2v σ x = Eε = − Ey 2 dx
所以梁轴的挠曲方程为故
εs ys = κ
Eε s y y =σs Eε = Eκy == ys ys

弹塑性力学定理和公式

应力应变关系弹性模量 |｜广义虎克定律1。

弹性模量对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括：a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比，即b 切变模量切应力与相应的切应变之比，即c 体积弹性模量三向平均应力与体积应变θ(=εx+εy+εz）之比,即d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比，即此外还有拉梅常数λ。

对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。

常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。

室温下弹性常数的典型值见表3—2 弹性常数的典型值。

2。

广义虎克定律线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。

它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质.A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3—3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。

对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。

B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式,即体积弹性定律应力偏量与应变偏量关系式在直角坐标中，i，j=x，y，z;在圆柱坐标中，i,j=r，θ，z，在球坐标中i，j=r，θ，φ。

弹性力学基本方程及其解法弹性力学基本方程｜| 边界条件｜｜按位移求解的弹性力学基本方法｜｜按应力求解的弹性力学基本方程｜| 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式1.弹性力学基本方程在弹性力学一般问题中,需要确定15个未知量,即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。

这15个未知量可由15个线性方程确定,即(1）3个平衡方程[式（2-1—22)］，或用脚标形式简写为（2）6个变形几何方程［式（2—1—29）］，或简写为(3）6个物性方程［式（3-5）或式（3—6）］,简写为或2.边界条件弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。

计算力学4---加权残值法解矩形薄板的弹塑性问题

4．加权残值法解矩形薄板的弹塑性问题薄板理论的克希霍夫假设在板的弹塑性分析中仍可应用。

采用增量形式表示，板的本构方程的矩阵形式为：{}([][]{})e p e D D σβ∆=-∆ （4-7-1）式中{}[,,]{}[,,]T x y xy Tx y xy e σσστεεγ⎫∆=∆∆∆⎪⎬∆=∆∆∆⎪⎭（a ）分别为应力增量分量和应变分量增量。

而弹性矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=210001011][2μμμμE D e （b ）塑性矩阵[][][][]Te e e T ef f D D D f f H D σσσσ∂∂⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬∂∂⎩⎭⎩⎭=∂∂⎧⎫⎧⎫'+⎨⎬⎨⎬∂∂⎩⎭⎩⎭（4-7-2）这里/s p H d de σ'=为硬化参数；f 为屈服函数，对于密赛斯屈服条件0s f σσ=-= （4-7-3）式中2221/2(3)x y x y xy σσσστ=+-+ （c ）式（4-7-1）中的β叫做塑性修正系数，在弹性区内β=0；在塑性区β=1；在弹塑性过渡区，取ba sa σσσσβ--= （d ）上标b,a 分别表示加上载荷增量前后的值。

板的应力偏量)(31)(31y x y y y x x x S S σσσσσσ+-=+-= （4-7-4）将有关公式代入式（4-7-2）中，则得塑性矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+-++++-+++-=xy xy x y xy y x xy x y x y x y y x xy y x x y y x y x p S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S Q E D 2222)1())(1())(1())(1()())(())(1())(()()1(][τμτμμτμμτμμμμμτμμμμμμ（4-7-5）其中EH S S S S Q xyy x y x 9)1(4)1(222222--'+-+++=σμτμμ （e ）分开应力增量{△σ}的弹性部分和塑性部分，沿板厚积分，即有}{}{}{P e M M M ∆+∆=∆ （f ）式中T xy y x M M M M ],,[}{∆∆∆=∆ (g)弹性弯矩增量和挠度增量的关系⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∆∂∂∂--=∆∆∂∂+∆∂∂-=∆∆∂∂+∆∂∂-=∆)()1()]()([)]()([222222222w y x D M w x w y D M w y w x D M exy ey exμμμ （4-7-6）式中，)1(1223μ-=Eh D 为板的抗弯刚度。

塑性计算与连续梁计算

Af x = be f c
y-钢梁截面应力合力至混凝土受压区截面应力合力间的距离 -
y = yt + hc 2 + hc1 − 0.5 x
yt 为钢梁截面的重心至钢梁顶面的距离；为钢梁截面的重心至钢梁顶面的距离； hc1—混凝土翼缘板厚度；混凝土翼缘板厚度；混凝土翼缘板厚度 hc2—混凝土板托高度；混凝土板托高度；混凝土板托高度 M—弯矩设计值。弯矩设计值。弯矩设计值
τ max =
g c I0
+
p
0
I0
V 分别为组合梁端部由恒载和活荷载产生的最大剪力；式中 V g 、 p —分别为组合梁端部由恒载和活荷载产生的最大剪力；分别为组合梁端部由恒载和活荷载产生的最大剪力分别为考虑与不考虑混凝土徐变影响的叠合面以上 S c 、S 0 —分别为考虑与不考虑混凝土徐变影响的叠合面以上换算成钢的截面对组合截面中和轴的面积矩；换算成钢的截面对组合截面中和轴的面积矩； c I 0 、 I 0 —分别为考虑与不考虑混凝土徐变影响的换算成钢的组分别为考虑与不考虑混凝土徐变影响的换算成钢的组合截面惯性矩。合截面惯性矩。
V—在上述区段内界面上的纵向剪力；在上述区段内界面上的纵向剪力；在上述区段内界面上的纵向剪力 n—在上述区段内所需剪切连接件的总数；在上述区段内所需剪切连接件的总数
Nvc —一个剪力件的抗剪承载力设计值。一个剪力件的抗剪承载力设计值。一个剪力件的抗剪承载力设计值
计算得所需剪力件可以均匀布置在该段。布置在该段。当有较大集中荷载时，应将剪切连接件按各段剪力图的面积比例分配后，配后，再在各区段内均匀布置。段内均匀布置。
2
连续组合梁的内力分析和承载力计算

弹塑性力学-第8章能量原理及其应用

第八章能量原理及其应用弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程组。

然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有15个未知量的6个偏微分方程，在给定边界条件时．求解是极其困难的，而且往往足小对能的。

因此，为了解决具体的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界元法、无网格化法及样条元法等等。

这些解法的依据都是能量原理。

本章将讨论利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。

本章共讨论五个能量原理。

首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势能原理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。

另外，还简单介绍最大耗散能原理。

本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力学问题的数值解法。

8.1 基本概念1.1 物体变形的热力学过程由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学过程。

因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中每一点的温度。

如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程；若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。

物体的瞬态高频振动，高速变形过程都可视为绝热过程。

令物体在变形过程中的动能为E ，应变能为U ，则在微小的t δ时间间隔内，物体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为 QW U Eδδδδ+=+ (a)其中，W δ为作用于物体上的体力和面力所完成的功；Q δ是物体由其周围介质所吸收(或向外发散)的热量，并以等量的功度量。

假定弹性变形过程是绝热的，则对于静力平衡问题有0==Q ，E δδ (b)将式(b)代入式(a)，则有WU δδ= (8.1-1)1.2 应变能由第四章的式(4.1-5b)知，在线弹性情况下，单位体积的应变能为ikij ij ij ijd Uεσεσε210==⎰(8.1-2)对于一维应力状态，在xxεσ-平面内，则U实际上就是应力应变曲线与x ε轴和'xxεε=所围成的面积(图8.1)，即⎰='0Xxx d Uεεσ (8.1-3)其中'x ε是物体变形过程某一指定时刻的应变，应图8.1 应变能与应变余能变能0U 表示物体在变形过程中所储存的能量。

第四章结构弹塑性分析

（ⅲ）本构关系弹性区： Hooke 定理
(4.10)
d ε ij =
1 +ν ν dσ ij − dσ kk ⋅ δ ij E E 1 dσ ij = dsij + dσ kk 3
(4.11) (4.12)
塑性区：
1 d ε ij = deij + d ε kk 3 1 +ν deij = dsij + sij d λ E 1 − 2ν d ε kk = dσ kk E
Ex4.1 集中荷载（如图示）作用下，求：1) 弹塑性状态时的弹塑性分界线; 2)求极限 P0 = ?
同济大学水利工程系
李遇春编
图 4.3
3、混凝土板的屈服线理论（塑性计算）混凝土板在极端荷载作用下（如核爆炸、罕遇强烈地震等）可采用塑性法设计，设计的原则：允许结构破坏，但保证结构不坍塌。（1）屈服线假定： 1）板在行将破坏时，在最大弯矩处形成屈服线。
或:
qL2 M =q= (塑性设计弯矩) 48
弹性极限荷载为: q =
16.67 M (弹性极限荷载) (或: M = 0.06qL2 ) 2 L
q塑性 = 2.87 q弹性 Ex 4.2 研究四周固支的矩形板极限荷载问题。
又：
1 M(x) = q(l 2 − x 2 ) 2
所以有：
(4.25)
1 2 1 ⎞ ⎛1 q (l − x 2 ) = 2σ s b ⎜ h 2 − ξ 2 ⎟ 2 6 ⎠ ⎝8
由此得到弹塑性分界线方程为：
3 3 ql 2 3 q 2 y 2 = ξ 2 ( x) = ( h 2 − )+ x 4 2 σ sb 2 σ sb
图 4.7
同济大学水利工程系

工程弹塑性力学-第九章

(9.7)
9.1 梁的弹塑性分析

h 2
s
s

h 2
s
h 2

h 2
M Me
M Me
(a)
(b) 图 9.2
Ms M Me (c)
M Ms
(d)
2、上下最外层的应力最先达到屈服:图(b) 弹性极限弯矩: 曲率:
bh 2 Me s h/2 6
(9.9)
sJ
(9.8)
*
9.1 梁的弹塑性分析
三、横向弯曲的弹塑性分析
A点B点将首先进入塑性：
P A B L
M
x x

( x)
M e s bh Pe L 6L
2
Me Ms
P>Pe后，在x=处梁分为两段考虑，交界线为：
x
(9.20)
M P(l x) ( x) 3 2 3 2 Me Pl e
二、刚架的极限分析机动法

(1,2,4)

(1,3,4)

(1,2,3)

(2,3,4)
(a)
(b)
(c)
(d)
图 9.10 各种可能的破坏机构
9.2 梁和刚架的极限分析

(1,2,3)
(2,3,4)

(1,2,4)
M Ms
4、ζ→0，截面全部进入塑性状态:图(d)
(c)
(d)
Ms 1 2 1.5, M s bh s Me 4
常见的截面形状系数:
η:截面形状系数

金属塑性加工(力能计算)

常用单位压力
p
表示
S——工作面积，按“工作面投影代替力的投影”
法则求解
求解要点工程法是一种近似解析法，通过对物体应力状态
作一些简化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件。这些简化和假设如下： 1．把实际变形过程视具体情况的不同看作是平面应变问题和轴对称问题。如平板压缩、宽板轧制、圆柱体镦粗、棒材挤压和拉拔等。 2．假设变形体内的应力分布是均匀的，仅是一个坐标的函数。这样就可获得近似的应力平衡微分方程，或直接在变形区内截取单元体切面上的正应力假定为主应力且均匀分布，由此建立该单元体的应力平衡微分方程为常微分方程。
塑性力学与金属塑性成形原理
Plastic Mechanics and Principle of Metalforming
第二篇金属塑性变形力学解析方法
解析对象
主要是求解变形力，主要是求解变形力，此外可以求解变形量和变形速度等变形力
金属塑性加工时，金属塑性加工时，加工设备通过工具使金属产生塑性变形所需加的外力称为变形力。变形所需加的外力称为变形力。变形力是确定设备能正确设计工模具、力、正确设计工模具、合理拟订加工工艺规程和确定毛坯形状尺寸的必要的基本力学参数。毛坯形状尺寸的必要的基本力学参数。
1 T

h

因此： σ z = −σ T exp 2 f ( R − r )
h
2．粘着区
将
dσ z 2σ T − =0 τ k = −σ T / 3 代入平衡方程得： dr 3h
= 2 σT ⋅ ⋅ r + C2 h 3
上式积分得： σ
z
设滑动区与粘着区分界点为rb。由

塑性力学-简单弹塑性问题

ys
h2
理想弹塑性材料、矩形截面 b × h −σ s −
σ = Φ (ε ) = σ s
ys ys
其中：
⎤ ⎡ I (A ) M = σs ⎢ z e + Sp⎥ ⎦ ⎣ ys
2 3 I z ( Ae ) = b ⋅ y s 3
h2 2 S p = b( − y s ) 4
6
σs
+
M 3 1 y = − ( s )2 Me 2 2 h 2
+
ε=
y
+
σ
−
+
σs
σ
ρ
σ*
卸载前的应力、应变：σ 残余应力： σ * = σ − σ
ε
卸载过程应力改变量： σ = M y
I
10
2. 等截面梁的横向弯曲
•弯矩是变化的 M = M (x) •存在剪应力忽略剪应力对屈服的影响
y ⎧ σs ⎪ σ ( x, y ) = ⎨ y s ( x ) ⎪Φ ( ε ) ⎩ 在 y ≤ ys ( x )时在 y ≥ ys ( x )时
中性层曲率：
ρ
=
σs
Ey s
5
M = 2 ∫ σ ⋅ dA ⋅ y = 2 ∫ σ ⋅ dA ⋅ y + 2 ∫ σ ⋅ dA ⋅ y
0
h2
ys
h2
0
ys
= =
E
ρ σs
ys
I z ( Ae ) + 2 ∫ Φ (ε ) ⋅ dA ⋅ y
ys
h2
I z ( Ae ) + 2 ∫ Φ (ε ) ⋅ dA ⋅ y
z
该问题是球对称的。采用球坐标不为零的应力分量 σ θ σ ϕ σ r

连续梁、板按塑性法内力计算

.使用阶段不允许出现裂缝，或对裂缝开展有较高要求的结构。 2 .重要部位的结构和可靠度要求较高的结构。 3 .直接承受动力荷载和疲劳荷载作用的结构。 4 .处于侵蚀性环境中的结构。
的情况下，减少了支座截面的配筋，既方便了施工，又
节省了材料，也更符合构件的实际工作情况。
2）塑性内力重分布的基本规律
根据上节课所讲内容可得出钢筋砼连续梁塑性内力
重分布的基本规律如下：
①钢筋砼连续梁达到承载力极限状态的标志，不是某个截面达到极限弯距，而是必须出现足够的塑性铰，使整个结构形成可变体系。 ②塑性铰出现以前，连续梁的弯矩服从弹性的内力
4）等跨连续板、梁的内力值
对于均布荷载作用下，等跨连续板、次梁考虑塑性
内力重分布的弯矩和剪力值，可按下列公式计算：控制截面的弯矩： M =α(g + q)l2 式中 α— 弯矩系数，板和次梁按表7.1.3数据采用。
5）塑性内力重分布计算方法的适用范围对下列结构不能采用塑性内力重分布方法，而应按
b
弹性理论计算法是按活荷载的最不利位置时的内
力包络图来配筋的，但各跨中和各支座截面的最大内力实际上并不能同时出现。 c 由于超静定结构具有多余约束，某一支座进入破
坏阶段时，只是少一个多余联系，整个结构并未破坏。
d 按弹性理论计算法计算时，支座弯矩总是远大于跨中弯矩，支座配筋拥挤，构造复杂，施工不便。
但这时梁的工作简图己有所改变，内力不再按原来的
规律分布，支座弯矩向跨中进行了转移，即出现了塑性内力重分布。
值得指出的是，如按弯矩包络图配筋，支座的最大负弯矩与跨中的最大正弯距并不是在同一组荷载作用下
产生的，所以当下调支座负弯矩时，在这一组荷载作用
下增大后的跨中正弯矩，实际上并不大于包络图上外包线的正弯矩，因此跨中截面并不会因此而增加配筋。由此可见，采用塑性内力重分布方法设计，可调整连续梁的支座弯矩和跨中变矩，在不增加跨中截面配筋

钢筋混凝土平面楼盖

●截面旳有效高度
双向板跨中钢筋纵横叠置，沿短跨方向旳钢筋应争取较大旳有效高度，即短跨方向旳底筋放在板旳外侧，纵横两个方向应分别取各自旳有效高度：
短跨方向 h0=h－20（㎜）长跨方向 h0=h－30（㎜）
2．钢筋配置
配筋形式和构造与单向板相同，有分离式和弯起式。
可将整个板按纵横两个方向划提成两个边沿板带和各一种中间板带在中间板带均匀布置按最大正弯矩求得旳板底钢筋，边沿板带内则降低二分之一，但每米宽度内不得少于3根。在支座边界，板顶负钢筋要承受四角扭矩，钢筋沿全支座宽度均匀布置，即按最大支座负弯矩求得旳配筋，在边沿板带内不降低。
●按规范要求旳计算跨度，按弹性理论或是按塑性理论；
●若跨度差不超出10%，可按等跨连续梁来计算；
●若跨数超出五跨，按五跨来计算，少于五跨旳，按实际跨数来计算
9.2.4 荷载
9.2.5 按弹性理论措施计算内力
1.内力系数表当均布荷载作用时：
M=k1gl02+K2ql02 V=k3gl0+K4ql0 当集中荷载作用时：
（3）板块本身旳变形远不大于塑性铰线处旳变形，可视板块为刚性体，整个板旳变形集中于塑性铰线上，破坏时，板块均绕塑性铰线转动；
（4）板旳破坏图形可能不止一种，在全部可能旳破坏图形中，最危险旳是相应于极限荷载最小旳塑性铰线破坏图形；
（5）在最危险旳塑性铰线上，扭矩和剪力均极小，可视为零。外弯矩全部由塑性铰线截面上旳极限弯矩来抵抗，板块在旋转过程中，假定极限弯矩为常数。
（3）求某支座最大剪力时，活荷载布置与求该支座最大负弯矩布置相同；
（4）求某跨跨中最小弯矩时，在该跨旳相临两跨布置活荷载，然后每隔一跨布置。

塑性力学第二章梁的弹塑性弯曲及

1 2
ζ ( x) = 3− 2 P (1− x/ L)
P e
(0 ≤ x ≤ξ)
(20)
ζ (x) = (3x/ L) .
L 中的曲率可由下式给出：区间 0 ≤x ≤ 中的曲率可由下式给出： 3
利用端条件，得利用端条件，
d2w L 1 Ke - 2 = K = - ζ = -( )2 Ke dx 3x
与通常的铰有两点区别：与通常的铰有两点区别： 1.通常的铰不承受弯矩； 1.通常的铰不承受弯矩 2.通常较两侧的梁段可在两个方向作相对 2.通常较两侧的梁段可在两个方向作相对转动，而塑性铰作反方向相对转动对应于转动，卸载。卸载。
三、梁的挠度
1、梁处于弹性状态 P≤ P e
K(x) M(x) = = −(1− x )( P ), Ke Me L P e
根部的弯矩
M = -Me
X=0截面的最外层纤维开始屈服 X=0截面的最外层纤维开始屈服
ξ
ζ (x)
x
P 称为弹性极限载荷 e
图 5
二、塑性状态
1、塑性极限载荷
P > P 时，梁的弯矩分布仍服从（19）式。梁的弯矩分布仍服从（19） e
设开始进入塑性状态的截面在 x = ξ 处，则有
M(x) = -(L-ξ)P = - Me
+
−σ s
M* σs Me +
+
-
+
-
s Me 图 4
4.如卸载到零以后再施加反向弯矩， 4.如卸载到零以后再施加反向弯矩，则开始时的如卸载到零以后再施加反向弯矩响应仍是弹性的，响应仍是弹性的，当△M满足 ∆M σs +( )σs = -σs 或 ∆M = -2Me Me 外层纤维开始反向屈服, 外层纤维开始反向屈服,即弯矩的变化范围不大 Me时结构将是安定的。于2Me时，结构将是安定的。

结构力学第16章结构的塑性分析

qu
Mu
A
L
B
A
θ1
B
θ2
x
外力做功极限荷载
δ
1 1 qu Lδ qu × ( × δ × x) + qu × [ × δ × ( L − x)] = 2 2 2
qu = − 2M u 2 L − x L x( L − x)
一阶导数 = 0：x 2 − 4 Lx + 2 L2 = 0 x1 = (2 − 2 ) L；x2 = (2 + 2 ) L(舍去)
δ
解：A点先出现塑性铰，第二个塑性铰的位置为x，假定x位置向下移动虚位移δ 极限弯矩做功 − M u × (θ1 + θ 2 )
δ δ δ 2L − x = −M u [ + ( + )] = − M uδ x x L−x x( L − x)
例2：图示超静定梁的极限荷载qu， Mu为已知
qu
Mu
机构2 ′ FPuδ − M uθ1 − M uθ 2 = 0
δ
L 3
+(
δ
L 3
+
δ
L 3
)] = 0
′ FPuδ − M u FPu 2
δ
2L 3
− Mu(
δ
2L 3
+
δ
L 3
)=0
3 = ( M u' + 3M u ) 2L
二、连续梁的极限荷载：
FP1 A1 L FP2 A2 L FP1 A1 FP2 A2 不可能机构
Mu
1.2P
δ
机构4
2.5M u Pu1 = a 2M u Pu 2 = a 5M u Pu 3 = 3a

弹塑性力学讲义第十一章塑性力学基础知识（精品PDF）

截面形状
1.5
1.7
1.15-1.17
（2）梁弹塑性弯曲时的变形
在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系
M=EI
( M Me ), 或
M EI
,
将应力与弯矩关系式 My 代入上式，可得 I
Ey
。
在弹塑性阶段，由于梁弯曲时截面仍然保持平面，可得
s Ey0
，
或
y0
s E
代入梁弹塑性弯曲时 M 的表达式
将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的条件为
f () = - s = 0 初始屈服条件（函数）当软钢应力达到 A 点后，软钢有明显屈服（塑性流动）阶段。
经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为强化阶段，BC 段），但
强化阶段增幅较少。对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足屈服条件时，卸载将有
2 3
J
* 2
类似于e 的定义，在三维应力状态定义等效应变e：
1
e
2 3
J
* 2
2 3
1 2
eij
eij
2
2 3
eij
eij
2 3
1 2 2 2
3 2 3 1 2
1 2
1
2 3
x
y
2
y
z
2
z
x
23 2
2 xy
2 yz
2 zx
2
e 以发生塑性变形定义的量（由 1、2、3 定义）,在变形过程中的每一瞬时，发生应变增量（d1、d2、d3），则可定义瞬
对于三维应力状态，定义每一点应力状态都存在力学效应相同
的等效应力e