课时分层作业13 抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质有答案
2.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4 ，则C的实轴长为()
A. B.2
C.4D.8
【解析】设C： － ＝1.
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立 － ＝1和x＝－4得A(－4， )，B(－4，－ )，
∴|AB|＝2 ＝4 ，∴a＝2，∴2a＝4.
【解析】由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
【答案】16
4.已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________.
这时，直线l与抛物线只有一个公共点 .
(2)当k≠0时，方程①的判别式为
Δ＝－16(2k2＋k－1).
①由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，
解得k＝－1或k＝ .
于是，当k＝－1或k＝ 时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解.这时，直线l与抛物线只有一个公共点.
②当Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1<k< .
(2)当a＝0时，方程只有一解x＝－ ，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合.
2.直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线与直线是相交的.
[小组合作型]
抛物线的几何性质
(1)抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________.
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质抛物线是数学中一个经典的曲线，由于其独特的形状和广泛的应用，它被广泛研究和使用。
本文将介绍抛物线的一些简单的几何性质。
1. 抛物线的定义抛物线是指平面上的一类曲线，其定义为平面上离定点（焦点）距离与定直线（准线）距离相等的点的集合。
这个定义可以用数学表达式来描述，即：y = ax^2 + bx + c其中 a、b 和 c 是常数，a 不等于 0。
这个方程描述了平面上所有满足以上条件的点的集合，即抛物线。
2. 抛物线的对称性抛物线具有轴对称性，即它关于某一直线对称。
这条直线称为抛物线的对称轴。
对称轴与抛物线的顶点有关，顶点是抛物线的最高点或最低点。
对于抛物线的标准方程y = ax^2 + bx + c，对称轴的公式为x = -b/(2a)。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，位于抛物线的对称轴上。
对于标准方程y = ax^2 + bx + c，顶点的 x 坐标可以通过-b/(2a)计算得出。
将其代入方程中得到对应的 y坐标。
4. 抛物线的焦点和准线在抛物线的定义中提到了焦点和准线。
焦点是一个点，位于抛物线的对称轴上，与抛物线上的所有点到准线的距离相等。
准线是一个直线，与抛物线不相交，且与焦点的距离相等。
焦点的计算可以使用以下公式：F(x, y) = (x, y)，其中 x = -b/(2a)，y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)准线的方程为y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)。
5. 抛物线的焦距和方向焦距是指焦点到准线的距离，也可以视为焦点到对称轴的垂直距离。
焦距的计算公式为f = 1/(4a)。
由此可见，焦点到对称轴的距离与 a 的值有关。
当 a 的值越小，焦距越大，抛物线会变得扁平；当 a 的值越大，焦距越小，抛物线会变得尖锐。
根据 a 的正负，抛物线的方向也会有所不同。
当 a 大于 0 时，抛物线开口朝上；当 a 小于 0 时，抛物线开口朝下。
课时作业3：3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质
3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质基础达标练1.已知抛物线C :y 2=x 的焦点为F ,A (x 0,y 0)是C 上一点,若|AF|=54x 0,则x 0等于( ) A.1B.2C.4D.82.若抛物线y 2=4x 上一点P (x 0,y 0)到点(5,0)的距离最小,则点P 的横坐标x 0为( ) A.1B.2C.3D.43.过点P (0,1)与抛物线y 2=2x 有且只有一个交点的直线有( ) A.4条 B.3条C.2条D.1条4.过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,且垂直于x 轴的弦为AB ,O 为抛物线的顶点,则∠AOB 的度数( ) A.小于90° B.等于90° C.大于90°D.不能确定5.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y 2=2x 上,则这个正三角形的边长是 .6.过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 且倾斜角为45°的直线交抛物线于A ,B 两点,若|AB|=8,则p= .7.已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|.8.如图,已知抛物线C :y 2=2px 过点A (1,1).(1)求抛物线C 的方程.(2)过点P (3,-1)的直线与抛物线C 交于M ,N 两个不同的点(均与点A 不重合).设直线AM ,AN 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1k 2为定值.能力提升练1.(多选题)抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,AB 是经过抛物线焦点F 的弦,M 是线段AB 的中点,经过A ,B ,M 作抛物线的准线l 的垂线AC ,BD ,MN ,垂足分别是C ,D ,N ,其中MN 交抛物线于点Q ,连接QF ,NF ,NB ,NA.下列说法正确的是( ) A.|MN|=12|AB|B.FN ⊥ABC.Q 是线段MN 的一个三等分点D.∠QFM=∠QMF2.已知抛物线x 2=2py (p>0)的焦点为F ,过点F 且倾斜角为150°的直线l 与抛物线在第一、二象限分别交于A ,B 两点,则|BF ||AF |等于( )A.3B.7+4√3C.13D.3+2√23.已知F 为抛物线y 2=x 的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6(其中O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A.17√28B.3C.3√38D.3√1324.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48√3,则p的值为.5.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=__________,1|AF|+1|BF|=.6.设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且|AB|=2|MN|,求直线AB的方程.7.已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径;(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.素养培优练已知抛物线E:y2=2px(p>0),过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,满足y1y2=-4.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点C的坐标为(-2,0),记直线CA、CB的斜率分别为k1,k2,求1k12+1k22的最小值.参考答案基础达标练1.【答案】A【解析】抛物线C:y2=x的焦点为F(14,0),∵A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,∴54x0=x0+14,解得x0=1.2.【答案】C【解析】∵P (x 0,y 0)在抛物线y 2=4x 上,∴y 02=4x 0,则点P 与点(5,0)的距离d=√(x 0-5)2+y 02 =√x 02-10x 0+25+4x 0=√(x 0-3)2+16.∵x 0≥0,∴当x 0=3时,点P 与点(5,0)的距离最小,此时x 0=3. 3.【答案】B【解析】(1)当过点P (0,1)的直线存在斜率时,设其方程为y=kx+1, 由方程组{y =kx +1,y 2=2x ,消y 得k 2x 2+(2k -2)x+1=0,①若k=0,则-2x+1=0,解得x=12,此时直线与抛物线只有一个交点(12,1); ②若k ≠0,令Δ=(2k -2)2-4k 2=0,解得k=12,此时直线与抛物线相切,只有一个交点. (2)当过点P (0,1)的直线不存在斜率时,该直线方程为x=0,与抛物线相切,只有一个交点.综上,过点P (0,1)与抛物线y 2=2x 有且只有一个交点的直线有3条. 4.【答案】C【解析】设抛物线y 2=2px 的焦点为F ,则其坐标为(p2,0),将x=p2代入抛物线的方程,解得A (p 2,p),B (p2,-p).在直角三角形AOF 中,|OF|<|AF|,故∠AOF>45°.由抛物线的对称性可知, ∠AOB=∠AOF+∠BOF>45°+45°=90°. 5.【答案】4√3【解析】根据抛物线的对称性可知,正三角形另外两个顶点关于x 轴对称,设一个顶点坐标为(y 022,y 0),边长为a ,则有tan π6=2y 0y 02,解得y 0=2√3, 故边长a=4√3. 6.【答案】2【解析】∵F (p2,0),∴直线AB 的方程为y=x -p2,将其与y 2=2px 联立,消去y ,得x 2-3px+p 24=0. 设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),由根与系数的关系知x A +x B =3p ,x A x B =p 24.|AB|=√2√(x A +x B )2-4x A x B =4p=8,解得p=2. 7.解：设直线l :y=32x+t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). (1)由题设得F (34,0), 故|AF|+|BF|=x 1+x 2+32, 由题设可得x 1+x 2=52.由{y =32x +t ,y 2=3x 可得9x 2+12(t -1)x+4t 2=0,则x 1+x 2=-12(t -1)9.从而-12(t -1)9=52,得t=-78.所以l 的方程为y=32x -78. (2)由AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=-3y 2. 由{y =32x +t ,y 2=3x 可得y 2-2y+2t=0. 所以y 1+y 2=2.从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3. 代入C 的方程得x 1=3,x 2=13. 故|AB|=4√133. 8.解：(1)由题意得2p=1,所以抛物线方程为y 2=x. (2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线MN 的方程为x=t (y+1)+3, 代入抛物线方程,整理得y 2-ty -t -3=0. 因为Δ=(t+2)2+8>0,所以y 1+y 2=t ,y 1y 2=-t -3.所以k 1k 2=y 1-1x 1-1·y 2-1x 2-1=y 1-1y 12-1·y 2-1y 22-1=1(y1+1)(y 2+1)=1y1y 2+y 1+y 2+1=1-t -3+t+1=-12,故k 1k 2是定值.能力提升练1.【答案】ABD【解析】如图,由抛物线的定义,得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.又|MN|=|AC |+|BD |2,则|MN|=|AF |+|BF |2=12|AB|,A 正确.由|MN|=12|AB|,|AM|=|MB|,得|MN|=|AM|,所以∠MAN=∠MNA.而∠MNA=∠CAN ,所以∠MAN=∠CAN ,所以△ANC ≌△ANF ,可知∠ACN=∠AFN=90°,所以FN ⊥AB ,B 正确.在Rt △MNF 中,|QN|=|QF|,可知∠QNF=∠QFN ,所以∠QFM=∠QMF ,D 正确.由∠QFM=∠QMF ,可知|QF|=|QM|,所以|NQ|=|QM|,即Q 是MN 的中点,故C 不正确. 2.【答案】A【解析】(方法1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 直线l 的方程为x=-√3(y -p2),则{x 2=2py ,x =-√3(y -p 2),消去x ,得12y 2-20py+3p 2=0.∵点A 在第一象限,解得y 1=p 6,y 2=3p 2, ∴|BF ||AF |=y 2+p2y 1+p 2=3p 2+p 2p 6+p 2=3.故选A .(方法2)如图,过点A ,B 作准线的垂线,垂足分别为A',B',则由抛物线的定义知|BB'|=|BF|,|AA'|=|AF|.过点A 作BB'的垂线AE , 则|BE|=|BB'|-|AA'|=|BF|-|AF|, 易知∠BAE=30°,故|BE|=12|AB|,所以|BF|-|AF|=12(|BF|+|AF|), 因此|BF|=3|AF|,故|BF ||AF |=3.3.【答案】D【解析】设直线AB 的方程为x=ty+m ,则直线AB 与x 轴的交点为M (m ,0),则m>0. 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).把x=ty+m 代入y 2=x , 可得y 2-ty -m=0,满足Δ>0,则y 1y 2=-m. ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6,∴x 1x 2+y 1y 2=6, 从而(y 1y 2)2+y 1y 2-6=0.∵点A ,B 位于x 轴的两侧,∴y 1y 2=-3, 故m=3.不妨设点A 在x 轴上方,则y 1>0, 又F (14,0),y 2=-3y 1,∴S △ABO +S △AFO =12×3×(y 1-y 2)+12×14y 1=138y 1+92y 1≥2√9×1316=3√132, 当且仅当138y 1=92y 1,即y 1=6√1313时,取等号, ∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3√132.4.【答案】2【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).∵|OA|=|OB|,∴x 12+y 12=x 22+y 22.又y 12=2px 1,y 22=2px 2, ∴x 22−x 12+2p (x 2-x 1)=0,即(x 2-x 1)(x 1+x 2+2p )=0.又x 1,x 2与p 同号,∴x 1+x 2+2p ≠0.∴x 2-x 1=0,即x 1=x 2. 根据抛物线对称性可知点A ,B 关于x 轴对称, 由△OAB 为等边三角形, 不妨设直线OB 的方程为y=√33x ,由{y =√33x y 2=2px ,解得B (6p ,2√3p ),∴|OB|=√(6p )2+(2√3p )2=4√3p , ∵△OAB 的面积为48√3,∴√34(4√3p )2=48√3,解得p 2=4,∴p=2.5.【答案】2 1【解析】由题意知p2=1,从而p=2,所以抛物线方程为y 2=4x.当直线AB 斜率不存在时,x=1代入y 2=4x ,解得y 1=2,y 2=-2,即|AF|=|BF|=2, 从而1|AF |+1|BF |=1.当直线AB 斜率存在时,设AB 的方程为y=k (x -1), 显然k ≠0,联立{y =k (x -1),y 2=4x ,消去y ,整理得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则{x 1+x 2=2k 2+4k 2,x 1x 2=1,从而1|AF |+1|BF |=1x 1+1+1x 2+1=x 1+x 2+2x1+x 2+x 1x 2+1=x 1+x 2+2x 1+x 2+2=1. 6.解：(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4,于是直线AB 的斜率k=y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 24=1.(2)由y=x 24,得y'=x2.设M (x 3,y 3),由题设知x32=1,解得x 3=2,于是M (2,1).设直线AB 的方程为y=x+m ,故线段AB 的中点为N (2,2+m ),|MN|=|m+1|. 将y=x+m 代入y=x 24,得x 2-4x -4m=0. 当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时, x 1=2+2√m +1,x 2=2-2√m +1, 从而|AB|=√2|x 1-x 2|=4√2(m +1).由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m +1)=2(m+1), 解得m=7,或m=-1(舍). 所以直线AB 的方程为y=x+7.7.解：(1)因为☉M 过点A ,B ,所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线x+y=0上,且A ,B 关于坐标原点O 对称,所以M 在直线y=x 上,故可设M (a ,a ). 因为☉M 与直线x+2=0相切,所以☉M 的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故可得2a 2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4. 故☉M 的半径r=2或r=6.(2)存在定点P (1,0),使得|MA|-|MP|为定值. 理由如下:设M (x ,y ),由已知得☉M 的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故可得x 2+y 2+4=(x+2)2,化简得M 的轨迹方程为y 2=4x. 因为曲线C :y 2=4x 是以点P (1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1. 因为|MA|-|MP|=r -|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P .素养培优练解：(1)因为直线AB 过焦点F (p 2,0),设直线AB 的方程为x=my+p2,将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立{x =my +p2,y 2=2px ,消去x 得y 2-2mpy -p 2=0,所以有y 1y 2=-p 2=-4,∵p>0,∴p=2, 因此,抛物线E 的方程为y 2=4x ; (2)由(1)知抛物线的焦点坐标为F (1,0), 设直线AB 的方程为x=my+1, 联立抛物线的方程y 2-4my -4=0, 所以y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4, 则有1k 1=m+3y 1,1k 2=m+3y 2,因此1k 12+1k 22=(m +3y 1)2+(m +3y 2)2=2m 2+6m (1y 1+1y 2)+9(1y 12+1y 22)=2m 2+6m ·y 1+y 2y 1y 2+9·(y 1+y 2)2-2y 1y 2y 12y 22=2m 2+6m ·4m -4+9·(4m )2+816=5m 2+92.因此,当且仅当m=0时,1k 12+1k 22有最小值92.。
抛物线的简单几何性质
消去 y，整理得 4x2－17x＋4＝0， 由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝ 147＋2＝245. 所以，线段 AB 的长为245.
[点评] 过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长问 题是抛物线中常见问题．解决此类问题，通常有三种 解法：(1)焦点弦长公式，
|AB|＝ p－y1－y2
典例精析
类型一 抛物线的简单几何性质 [例1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距 离为3，求抛物线的方程． [分析] 先确定抛物线方程的形式，再依条件求待 定参数．
[解] 椭圆 9x2＋4y2＝36 可化为x42＋y92＝1，得抛物 线的对称轴为 x 轴．
(2)顶点在原点，对称轴为y轴时的抛物线方程可设 为x2＝ay(a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时， 抛物线开口向下．
类型二 抛物线的焦点弦问题 [例 2] 斜率为43的直线 l 经过抛物线 y2＝2px 的
焦点 F(1,0)，且与抛物线相交于 A、B 两点． (1)求该抛物线的标准方程和准线方程； (2)求线段 AB 的长； [分析] (1)由抛物线焦点坐标得 p 值，求出抛物
(3)方法一：如图 4，知直线 AB 斜率必存在 故设 AB 方程为 y－1＝m(x－1) 即 y＝mx－m＋1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 则由yx＝2＝m4xy－m＋1 得 x2－4mx＋4m－4＝0
图4
则 x1＋x2＝4m，而x1＋2 x2＝1 即 x1＋x2＝2 ∴4m＝2，m＝12， 故直线 AB 方程为 x－2y＋1＝0.
方法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xx2122＝ ＝44yy12① ②
高中数学课时分层作业13抛物线的几何性质(一)(含解析)新人教B版选修11
高中数学课时分层作业13抛物线的几何性质（一）（含解析）新人教B 版选修11课时分层作业(十三) 抛物线的几何性质(一)(建议用时：60分钟)[基础达标练]1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6yC [依题意知抛物线方程为x 2＝±2py (p ＞0)的形式，又p2＝3，∴p ＝6,2p ＝12，故方程为x 2＝±12y .]2．若双曲线x 23－16y 2p2＝1(p ＞0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．4 2C [双曲线的方程可化为x 23－y 2p216＝1，∴双曲线的左焦点为⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 216，0. 又∵抛物线的准线为x ＝－p2，由题意得－3＋p 216＝－p2，解得p ＝4.]3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如果x 1＋x 2＝6，则|AB |的值为( )A ．10B ．8C ．6D ．4 B [∵y 2＝4x ，∴2p ＝4，p ＝2. ∴由抛物线定义知：|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝6＋2＝8.]4．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则Rt△ABO 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2B [由抛物线的对称性，可知k OA ＝1，可得A ，B 的坐标分别为(2p,2p )，(2p ，－2p )，S △ABO＝12×2p ×4p ＝4p 2.] 5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2A [①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，∴x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设AB 的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.∴y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4.] 6．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.6 [由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得p ＝6.] 7．已知一条过点P (2,1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．x －y －1＝0 [依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0.]8．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．y 2＝5x [线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0，与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0， ∴抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0， ∴其标准方程是y 2＝5x .]9．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．[解] 依题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足为C ，D ，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线和抛物线的交点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px消去y ，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①，得p ＝2. ∴所求的抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上所述，抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．[证明] (1)由已知得抛物线焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0. 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)由y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p(定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．[能力提升练]1．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是 ( )A ．254B ．252 C.258 D ．25A [抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l 的方程为y ＝43(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －2)，y 2＝8x ，得B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2＋8＋2＋12＝252.∴AB 的中点到准线的距离为254.] 2．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12 B [抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴椭圆中c ＝2.又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12， 从而椭圆方程为x 216＋y 212＝1.∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3， 由图象(图略)可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.]3．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________．322[由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2. 设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty消去x ，得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.]4．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________．y 2＝3x [如图，分别过点A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，则p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .]5．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．[解] (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6.于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.。
课时作业1：2.3.2 抛物线的简单几何性质(一)
2.3.2 抛物线的简单几何性质(一)一、基础过关1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y答案 C解析 设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，p ＝4.2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2. 将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝⎛⎭⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2， 所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，故选B.3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1等于( )A ．45°B ．90°C ．60°D ．120°答案 B解析如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AF A 1，又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AF A 1＝∠A 1FO ，同理∠BFB 1＝∠B 1FO ，于是∠AF A 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1.故∠A 1FB 1＝90°.4．抛物线y 2＝8x 的准线方程是________．答案 x ＝－2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)，p ＝4.5．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析 由题意知B ⎝⎛⎭⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得p ＝6. 6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________.答案 8解析 如图，作AA ′⊥l ，BB ′⊥l ，垂足分别为A ′，B ′.由抛物线定义知|AF |＝|AA ′|＝x 1＋p 2， |BF |＝|BB ′|＝x 2＋p 2. ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.7.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，求此抛物线的方程．解 过A 、B 分别作准线的垂线AA ′、BD ，垂足分别为A ′、D ，则|BF |＝|BD |，又2|BF |＝|BC |，∴在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°.又|AF |＝3，∴|AA ′|＝3，|AC |＝6，|FC |＝3.∴F 到准线距离p ＝12|FC |＝32.∴y 2＝3x . 二、能力提升8．若点P 在y 2＝x 上，点Q 在(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为( ) A.3－1 B.102－1 C ．2 D.112－1 答案 D解析 设圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心为O ′(3,0)．要求|PQ |的最小值，只求|PO ′|的最小值．设P 点坐标为(y 20，y 0)，则|PO ′|＝(y 20－3)2＋y 20＝(y 20)2－5y 20＋9 ＝ (y 20－52)2＋114. ∴|PO ′|的最小值为112， 从而|PQ |的最小值为112－1. 9．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k 等于( )A.13B.23C.23D.223答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， ∴x 1x 2＝4，①∵|F A |＝x 1＋p 2＝x 1＋2， |FB |＝x 2＋p 2＝x 2＋2，且|F A |＝2|FB |， ∴x 1＝2x 2＋2.②由①②得x 2＝1，∴B (1,22)，代入y ＝k (x ＋2)，得k ＝223.故选D. 10．已知O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是________．答案 (1,2)或(1，－2)解析 ∵抛物线的焦点为F (1,0)，设A (y 204，y 0)， 则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)， 由OA →·AF →＝－4，得y 0＝±2，∴点A 的坐标是(1,2)或(1，－2)．11．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．解 ∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零．故可设弦所在直线的斜率为k ，且与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点．∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．∴直线的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x 整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)．∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2. ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4k2＋2. 又|AB |＝36，∴2k 2＋4k 2＋2＝36，∴k ＝±24.∴所求直线方程为y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1)． 12．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x ＋1截得的弦长为15，求抛物线的方程．解 设抛物线的方程为y 2＝2mx ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2mx ，y ＝2x ＋1，消去y ，得 4x 2－(2m －4)x ＋1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝m －22，x 1x 2＝14. |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 5(m －22)2－4×14＝15. 则 m 24－m ＝3，m 2－4m －12＝0， m ＝－2或6.经验证，符合题意．∴y 2＝－4x 或y 2＝12x .三、探究与拓展13．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则称AB 为抛物线的焦点弦．求证：(1)y 1y 2＝－p 2；x 1x 2＝p 24； (2)1|F A |＋1|FB |＝2p； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明如图所示．(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程：x ＝－p 2. 设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p 2，把它代入y 2＝2px ， 化简，得y 2－2pky －p 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝(y 1y 2)24p 2＝(－p 2)24p 2＝p 24. (2)根据抛物线定义知|F A |＝|AA 1|＝x 1＋p 2，|FB |＝|BB 1|＝x 2＋p 2， ∴1|F A |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝22x 1＋p ＋22x 2＋p ＝2(2x 2＋p )＋2(2x 1＋p )(2x 1＋p )(2x 2＋p )＝4(x 1＋x 2)＋4p 4x 1x 2＋2p (x 1＋x 2)＋p 2＝4(x 1＋x 2＋p )2p (x 1＋x 2＋p )＝2p . (3)设AB 中点为C (x 0，y 0)，过A 、B 、C 分别作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1.则|CC 1|＝12·(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |) ＝12·|AB |. ∴以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．。
抛物线的简单几何性质时
则 y1 y2 p2 .
M
这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.
K
几何解释,就是
•
N
MK NK KF 2
思考: “一条直线和抛物线 y2 2 px( p 0) 相交,
两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 .则 这条直线过焦点.”成立吗?
例3.(抛物线的焦点弦问题)
有关y轴对称
有关y轴对称
顶点
焦半径
•焦 点
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离；2、相切；3、相交（一种交点，
两个交点）
与双曲线旳
y
另解：设直线4x 3y m 0与抛物线相切
y2 4x
64x 3y
m
0
y2 16
3y
m
0
由 0得 : m 36
例2 过抛物线焦点 F 的直线 交抛物线于A, B两点,通过点A
ly A
和 抛 物线顶点的直线交抛物
o F
x
线的准 线 于点 D , 求 证 : 直线 D B
DB平行于抛物线的对称轴.
即 (x 2)2 ( y 3)2 | y 5 | 化简得：(x 2)2 4( y 4)
题型二：抛物线旳最值问题
练习: 已知抛物线y=x2,动弦AB旳长为2，求AB中点纵坐标旳最小值
解法1： 设lAB : y kx b
y kx b
课时作业1：3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质
3．3.2 抛物线的简单几何性质第1课时 抛物线的简单几何性质1．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到x 轴的距离为23，则点P 到抛物线的焦点F 的距离为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 A解析 由题意，知抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∵抛物线y 2＝4x 上一点P 到x 轴的距离为23，则P (3，±23)，∴点P 到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P 到抛物线的焦点F 的距离为4.故选A.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 答案 B解析 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意．当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)，可设直线方程为y ＝k (x －1)，k ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5， ∴k 2＝43，即k ＝±233. 因而这样的直线有且仅有两条．3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16答案 B解析 由抛物线方程y 2＝8x ，可得准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)，设点A (－2，n )， ∴－3＝n －0－2－2， ∴n ＝4 3.∴P 点纵坐标为4 3.由(43)2＝8x ，得x ＝6，∴P 点坐标为(6,43)，∴|PF |＝|P A |＝|6－(－2)|＝8，故选B.4．抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|F A |＋|FB |等于( )A ．2B ．3C ．5D ．7答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|F A |＋|FB |＝x 1＋x 2＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x ＋y －4＝0得x 2－5x ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝5，x 1＋x 2＋2＝7.5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48答案 C解析 不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，依题意，l ⊥x 轴，且焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，∵当x ＝p 2时，|y |＝p ， ∴|AB |＝2p ＝12，∴p ＝6，又点P 到直线AB 的距离为p 2＋p 2＝p ＝6， 故S △ABP ＝12|AB |·p ＝12×12×6＝36. 6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫18，±24 解析 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋(x )2，由题意有x ＋14＝x 2＋(x )2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝⎛⎭⎫18，±24. 7．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 是FN 的中点，则|FN |＝________.答案 6解析 如图，过点M 作MM ′⊥y 轴，垂足为M ′，|OF |＝2，∵M 为FN 的中点，|MM ′|＝1，∴M 到准线距离d ＝|MM ′|＋p 2＝3， ∴|MF |＝3，∴|FN |＝68．已知点A 到点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等，点A 的轨迹与过点P (－1,0)且斜率为k 的直线没有交点，则k 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 设点(x ，y )，依题意得点A 在以y 2＝4x .过点P (－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0，当k ＝0时，显然不符合题意； 当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1＞0，解得k ＞1或k ＜－1， 因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．解 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，设A (x 0，y 0)，由题意知M ⎝⎛⎭⎫0，－p 2， ∵|AF |＝3，∴y 0＋p 2＝3， ∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝⎛⎭⎫y 0＋p 22＝17， ∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p ⎝⎛⎭⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4. ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，O 为坐标原点．(1)求证：l 与C 必有两交点．(2)设l 与C 交于A ，B 两点，且直线OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值．(1)证明 联立抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，可得2x 2－kx －1＝0，所以Δ＝k 2＋8>0，所以l 与C 必有两交点．(2)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1x 1＋y 2x 2＝1，① 因为y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1，代入①，得2k ＋⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝1，② 由(1)可得x 1＋x 2＝12k ，x 1x 2＝－12，代入②得k ＝1.11．若点M (1,1)是抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点，则弦AB 的长为________．答案 15解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x ，可得y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，可得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2， 所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，代入抛物线的方程得4x 2－8x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， 则||AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5×⎝⎛⎭⎫22－4×14＝15， 即弦AB 的长为15.12．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点．若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程为________．答案 x ＝5p 2解析 由抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称．设A (x ，y )，则B (x ，－y )，焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.由题意知AF ⊥OB ，则有y x －p 2·－y x ＝－1. 所以y 2＝x ⎝⎛⎭⎫x －p 2，2px ＝x ⎝⎛⎭⎫x －p 2.因为x ≠0.所以x ＝5p 2. 所以直线AB 的方程为x ＝5p 2. 13．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析 抛物线的焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.代入x 23－y 23＝1得||x ＝ 3＋p 24. 要使△ABF 为等边三角形，则tan π6＝|x |p ＝3＋p 24p ＝33，解得p 2＝36，p ＝6. 14．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________． 答案 48解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝x －3消去y 得x 2－10x ＋9＝0，得x ＝1或9，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6. 所以|AP |＝10，|BQ |＝2或|BQ |＝10，|AP |＝2，所以|PQ |＝8，所以梯形APQB 的面积S ＝10＋22×8＝48.15．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k 等于( )A.12B.22C. 2 D ．2 答案 D解析 由题意可知，抛物线的焦点为(2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝8x 得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 则x 1＋x 2＝4k 2＋8k2，x 1x 2＝4. y 1＋y 2＝k (x 1－2)＋k (x 2－2)＝k (x 1＋x 2－4)＝8k， y 1y 2＝－8x 18x 2＝－16.∴MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4－16－16k ＋4＝0， 解得k ＝2，故选D.16．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，y 2＝6x ，消去y 得4x 2－20x ＋9＝0，解得x 1＝12，x 2＝92， 故|AB |＝1＋(3)2×⎪⎪⎪⎪92－12＝2×4＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9， 所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32， 所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.。
抛物线的简单几何性质
（2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点旳 线段叫做抛物线旳焦半径。
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
课堂练习：
1、已知抛物线旳顶点在原点，对称 轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那
么抛物线通径长是 16 .
2、一种正三角形旳三个顶点，都在抛
（三）、例题讲解：
课本例4P61：斜率为1旳直线l 经过抛 物线y2=4x旳焦点,且与抛物线相交于A， B两点，求线段AB旳长。
课本例题推广： 直线l 经过抛物线y2=2px旳焦点,
且与抛物线相交于A，B两点，则线段 AB旳长|AB|=x1+x2+P.
（三）、例题讲解：
练习3：已知过抛物线y2=9x旳焦点旳
p) 2
y p 2
y≥0 x∈R
l
y
OF
l x2 = -2pyF (0, p )
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
（三）、例题讲解：
例１：已知抛物线有关x轴对称，它旳顶点 在坐标原点，而且经过点M（２，2 2 ），求 它旳原则方程，并用描点法画出图形。
解： 因为抛物线有关x轴对称，它旳顶点在坐
抛物线y2 =2px（p>0）旳开
口方向向右。
y 2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y 2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x2 2 py -y，y轴负半轴，向下
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它能够无
抛物线的简单几何性质(教师版+学生版)
抛物线的简单几何性质一、 知识点1）抛物线的几何性质2）抛物线的几何性质应用3）抛物线的焦半径公式及其应用4）抛物线过焦点弦的性质二、 教学过程1、 抛物线的简单几何性质1）范围，对称性，顶点，离心率2）说明1：抛物线22(0)y px p =>在第一象限随着x 增大，y 增大，但增长的越来越慢，所以它无渐近线3）说明2：关于离心率的问题，可以介绍一下圆锥曲线的统一定义4）说明3：抛物线的开口大小有p 确定2、抛物线的焦半径公式1）抛物线22(0)y px p =>上一点00(,)P x y 到焦点F 的距离为02p x + 3、抛物线过焦点弦的性质（已知AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，且1122(,),(,)A x y B x y ）1）221212,4p y y p x x =-=（可推广，只要动弦过抛物线对称轴上一定点，则乘积也为定值）2）12||AB x x p =++，||AB 的最小值为2p3）以AB 为直径的圆与准线相切4）(1)AF mFB m =>，则1AB k m =-，21||p m AF =+ 4、考点类析1）抛物线的几何性质应用例1 已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则这个正三角形的边长为________．参考答案：43p [解析] 设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即(x 21－x 22)＋2p (x 1－x 2)＝0，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0.∵x 1>0，x 2>0，2p >0，∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，即点A ，B 关于x 轴对称，∴直线OA 的倾斜角为30°，∴y 1x 1＝tan 30°＝33.又x 1＝y 212p，∴|y 1|＝23p ，∴|AB |＝2|y 1|＝43p .配套练习：已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB 的方程．解：∵|OA |＝|OB |，∴可设A ，B 的坐标分别为A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，其中x 0>0.∵△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，∴k F A ·k OB ＝－1，即y 0x 0－p 2·－y 0x 0＝－1，即y 20＝x 0⎝⎛⎭⎫x 0－p 2＝2px 0(x 0＞0，p ＞0)，∴x 0＝52p ，∴直线AB 的方程为x ＝52p . 例2 P 为抛物线22(0)y px p =>上一动点，(,0)A a 为定点，求||PA 的最小值 解：设(,)P x y ，22222||()[()]2(0)PA x a y x a p ap p x =-+=--+-≥所以当min ,||||(0)a p PA a x ≤==取到当min ,||)a p PA x a p ≥==-取到配套练习：利用例2的结论说明抛物线24y x =，与圆22(3)9x y -+=的交点个数 参考答案：3个2）焦半径公式应用例3 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴的正半轴上，点A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）C （x 3，y 3）在抛物线上，若△ABC 的重心恰为抛物线的焦点F ，且|FA|+|FB|+|FC|=6，则抛物线的方程为 ．解：设抛物线的方程为x 2=2py ，（p ＞0）．由△ABC 的重心恰为抛物线的焦点F （0，），得y 1+y 2+y 3=3×，根据抛物线的定义可得，|FA |=y 1+，|FB |=y 2+，|FC |=y 3+，又|FA |+|FB |+|FC |=6，∴y 1+y 2+y 3+=6，即2×=6 ∴p=2，∴抛物线方程为x 2=4y ．故答案为：x 2=4y ．3）焦点弦性质应用例4 直线l 过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是（ ）A ．y 2=12xB ．y 2=8xC ．y 2=6xD ．y 2=4x解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），根据抛物线定义，x 1+x 2+p=8，∵AB 的中点到y 轴的距离是2， ∴，∴p=4； ∴抛物线方程为y 2=8x 故选B例5 过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线与抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴 分析：设200(,)2y A y p ，则20B p y y =-，同时也可求得2D p y y =-，得证 配套练习：直线l 过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，求证AOB ∠为钝角．解：只需证0OA OB ⋅<例6 已知抛物线x 2=4y ，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为30°，则等于（ ） A ．3 B ． C ．2 D ． 解：设||||AF m BF =，则12(1)m m +=-，所以3m = 故选：A ．配套练习：如图过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |=2|BF |，且|AF |=3，则抛物线的方程为（ ）A ．y 2=xB ．y 2=9xC ．y 2=xD ．y 2=3x解：如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |=a ，则由已知得：|BC |=2a ，由定义得：|BD |=a ，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE 中，∵|AF |=3，|AC |=3+3a ，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴=求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．故选D．。
抛物线的简单几何性质(综合)
外切
总结词
当抛物线的焦点在圆外，且圆心在抛物线上 时，抛物线与圆相切于两点，即外切。
详细描述
外切的情况发生在抛物线的焦点位于圆心所 在直线的另一侧时。此时，圆心到抛物线准 线的距离等于圆的半径，因此抛物线与圆相 切于两点。
相交
总结词
当抛物线的焦点在圆内或圆在抛物线上时， 抛物线与圆有两个交点，即相交。
抛物线的简单几何性质(综合)
目 录
• 抛物线的定义与基本性质 • 抛物线的对称性 • 抛物线的几何变换 • 抛物线与直线的交点 • 抛物线与圆的位置关系 • 抛物线的实际应用
01 抛物线的定义与Байду номын сангаас本性质
定义
01
抛物线是一种二次曲线，其方程为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a neq 0$。
关于原点的对称性
总结词
抛物线关于原点的对称性表现为，将抛物线绕原点旋转180度，其形状和位置 保持不变。
详细描述
当抛物线绕原点旋转180度时，抛物线的开口方向发生改变，顶点的位置也发生 改变，但抛物线的形状和位置保持不变，即关于原点对称。
03 抛物线的几何变换
平移
总结词
平移不改变抛物线的形状和开口方向，只是沿垂直或水平方向移动抛物线。
联立方程法
将抛物线的方程与直线的 方程联立，解出交点的坐 标。
判别式法
利用二次方程的判别式来 判断直线与抛物线是否有 交点，以及交点的个数。
参数方程法
利用抛物线的参数方程， 将参数表示为交点的坐标。
交点与弦长
弦长公式
根据抛物线与直线的交点坐标，利用弦长公式计算弦长。
抛物线的简单几何性质
抛物线与其他图形位置关系探讨
与坐标轴交点
与其他二次曲线关系
抛物线可以与坐标轴交于一点、两点 或不相交，这取决于抛物线的方程和 系数。
抛物线与椭圆、双曲线等二次曲线可 以有不同的位置关系，如相切、相交 或相离。
与直线交点
抛物线与直线的交点个数可以是0个 、1个或2个，具体情况需要联立方程 求解。
位置关系在解题中应用举例
准线
抛物线的准线是一条与对称轴平行的直线，且到焦点的距离等于焦距。对于标准 方程 $y^2 = 4px$，准线的方程为 $x = -p$。
开口方向与对称轴
开口方向
抛物线的开口方向由标准方程中的 $x$ 或 $y$ 的系数决定。对于标准方程 $y^2 = 4px$，抛物线开口向右；对于 $x^2 = 4py$，抛物线开口向上；以 此类推。
对于开口向上的抛物 线 y = ax^2 (a > 0) ，焦点坐标为 (0, 1/4a)。
对于一般形式的抛物 线，焦点坐标可以通 过配方和平移等方法 求得。
对于开口向下的抛物 线 y = -ax^2 (a > 0)，焦点坐标为 (0, 1/4a)。
顶点和焦点关系探讨
抛物线的顶点是离焦点最近的点，也是抛物线的对称中心。
对于一般形式的抛物线 Ax^2 + By + C = 0 (A ≠ 0)，可以 通过完成平方等方法，将其转化为标准形式，进而求得准线 方程。
对称轴方程求法
对于标准形式的抛物线 y^2 = 2px (p > 0)，其对称轴方程为 x = 0，即 y轴。
对于一般形式的抛物线 Ax^2 + By + C = 0 (A ≠ 0)，其对称轴方程为 x = -B/2A。
抛物线的简单几何性质
总结
1、范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线；
2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口
越大.
原点例，１三并：、且已典经知例过抛精点物析M线（关２于，x轴坐对标）称轴，，求它它的的顶标点准在方坐程标.
2 2 解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点M（２，2 2 ），
所以设方程为： y2 2 px ( p 0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2 p 2 p 2
因此所求抛物线标准方程为：y2 4x
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论
抛物线相交于A, B两点，求线段AB的长。
由已知得抛物线的焦点为F (1,0),
y
所以直线AB的方程为y x 1 A’
A
代入方程 y2 4x,得(x 1)2 4x,
化简得x2 6x 1 0.
OF
x
x1 x2 6
B’ B
AB x1 x2 2 8
所以，线段AB的长是8。
抛物线的焦点弦的特征
段AB的长。
A A`
OF
解这题,你有什么方法呢?
B` B
x
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.
例4 斜率为1的直线l经过抛物线y2 4x的焦点F,且与
(完整版)抛物线的几何性质
抛 物 线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02px =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()22,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为[)9,+∞答案：[)9,+∞二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是1e >，抛物线的离心率是1e =；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.答案：解：由22169144x y +=得：221169y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛物线的标准方程为()220y px p =->，由32p=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（焦点弦长与中点的关系）③若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α= 推导：12AB AF BF x x p =+=++由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220py y k k+=≠1212122222y y y y p p p x x p p k k k k+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭当k 不存在时，即90α=时，22sin pAB α=亦成立 ④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2124p x x =，212y y p =-分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：2220ky py kp --= ()2224212212121222,22444y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2px =则222212121212,,224y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==⑤11AF BF +为定值2p推导：由焦半径公式知，12,22p pAF x BF x =+=+ ()12212121211112224x x p p pp p AF BF x x x x x x ++∴+=+=+++++又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22112424AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故11AF BF +为定值2p.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线()220y px p =>中，设AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ∠=∠ （3）设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、，若P 为11A B 的中点，则PA PB ⊥；②O 为抛物线的顶点，若AO 的延长线交准线于点C ，连接BC ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ，则,,A O C 三点共线. （4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4π的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为()220y px p =>，则焦点F的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，过点,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11A B 、，则有：111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得222p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22304p x px -+= 123x x p ∴+=，代入①式得：336,2p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23y x =-例4、已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）123.A FP FP FP += 222123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2213.D FPFP FP =解析：123P P P 、、在抛物线上，且2132x x x =+，两边同时加上p ，得2132()222p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案：C例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =?解析：由抛物线定义，得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。
抛物线的简单几何性质(位置)
抛物线与双曲线的位置关系
将抛物线和双曲线的方程联立，求解得到交点。根据交点 的个数和性质，可以判断抛物线与双曲线的位置关系。
03 抛物线对称性质
对称轴与对称中心
对称轴
对于一般的抛物线 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，其对称轴为直线 x = b/2a。特别地，当抛物线方程为 y = ax^2 时，对称轴为 y 轴。
已知焦点和准线求方程
01
根据抛物线的定义，已知焦点和准线可以唯一确定一条抛物线，
进而求出其方程。
已知焦点和曲线上一点求方程
02
通过设点法或待定系数法，可以求出抛物线的方程。
应用场景
03
在解决与抛物线相关的问题时，经常需要利用焦点来求解抛物
线的方程。
焦点在解决实际问题中应用
光学应用
在光学中，抛物线的焦点 性质被广泛应用于凸透镜、 凹透镜等光学器件的设计 和分析。
在解决与抛物线相关的距离问题时，可以利用准线的这一性质，通过计算点到直线的距离来间接求得点到焦点的 距离。
利用准线求曲线方程问题
性质描述
已知抛物线的准线方程和焦点坐标，可以推导出抛物线的标准方程。
应用场景
在求解与抛物线相关的曲线方程时，可以通过分析准线方程和焦点坐标，利用抛物线的定义和性质， 构建出抛物线的方程。
抛物线的顶点位于其对称 轴上，对于标准方程y^2 = 2px，顶点为(0,0)。
抛物线是轴对称图形，其 对称轴为通过顶点且垂直 于x轴的直线。对于标准 方程y^2 = 2px，对称轴 为y轴。
对于标准方程y^2 = 2px， 焦点为(p,0)，准线方程为 x = -p。
课时作业13：2．4.2 抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质一、选择题1．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．82．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( ) A.15 B ．215 C.152D ．15 3．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) A.43 B.75 C.85D ．3 4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其上的三个点A ，B ，C 的横坐标之比为3∶4∶5，则以|F A |，|FB |，|FC |为边长的三角形( )A ．不存在B ．必是锐角三角形C ．必是钝角三角形D ．必是直角三角形5．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 26．已知点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，则z ＝x 2＋12y 2＋3的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．07．设F 为抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交曲线C 于A ，B 两点(B 点在第一象限，A 点在第四象限)，O 为坐标原点，过A 作C 的准线的垂线，垂足为M ，则|OB |与|OM |的比值为( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题8．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1＝________.9．已知直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点且与抛物线相交，其中一交点为(2p,2p )，则其焦点弦的长度为________．10．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．三、解答题11．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .12．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．13．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则称AB 为抛物线的焦点弦．求证：(1)y 1y 2＝－p 2；x 1x 2＝p 24； (2)1|F A |＋1|FB |＝2p； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．答案精析1．C [设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)，抛物线的准线为x ＝－4，且|AB |＝43，故可得A (－4,23)，B (－4，－23)，将点A 坐标代入双曲线方程得a 2＝4，故a ＝2，故实轴长为4.]2．A [令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y 2＝12x ，得4x 2－8x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， ∴|AB |＝(1＋22)(x 1－x 2)2 ＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝15.]3．A [设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23时，取得最小值为43.] 4．B [设A ，B ，C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 1＝3k ，x 2＝4k ，x 3＝5k (k >0)，由抛物线定义得|F A |＝p 2＋3k ，|FB |＝p 2＋4k ，|FC |＝p 2＋5k ，易知三者能构成三角形，|FC |所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形．]5．B [因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y 2＝2px 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ， 所以易得A ，B 两点的坐标分别为(2p,2p )和(2p ，－2p )．所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.] 6．B [因为点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，所以x ≥0，因为z ＝x 2＋12y 2＋3＝x 2＋2x ＋3 ＝(x ＋1)2＋2，所以当x ＝0时，z 最小，其值为3.]7．C [如图所示：抛物线的焦点坐标为(p 2，0)，x ＝－p 2，直线AB 的方程为y ＝tan 60°(x －p 2) ＝3(x －p 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3(x －p 2)，y 2＝2px消去y 并整理，得3x 2－5px ＋34p 2＝0， 解得x ＝3p 2或x ＝p 6， 将x ＝3p 2或x ＝p 6代入抛物线的标准方程得， A (p 6，－33p )，B (3p 2，3p )， |OM |＝ (p 2)2＋(－33p )2 ＝712p ， |OB |＝(3p 2)2＋(3p )2＝214p ， 故|OB ||OM |＝3，故选C.] 8．90°解析 如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AF A 1，又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AF A 1＝∠A 1FO ，同理∠BFB 1＝∠B 1FO ，于是∠AF A 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1.故∠A 1FB 1＝90°. 9.25p 8解析 由题意知直线l 过(p 2，0)和(2p,2p )，所以l ：y ＝43(x －p 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝43(x －p 2)， 整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝17p 8， 所以焦点弦的长度为x 1＋x 2＋p ＝25p 8. 10．y 2＝4x解析 设抛物线方程为y 2＝kx ，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得x 2－kx ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), ∴x 1＋x 2＝k .又∵P (2,2)为AB 的中点， ∴x 1＋x 22＝2.∴k ＝4.∴y 2＝4x . 11．证明 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p 2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0. 若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2.因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上， 所以点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2， 故直线CO 的斜率为k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1， 即k 也是直线OA 的斜率，所以A ，O ，C 三点共线，所以直线AC 经过原点O .12．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由题意知直线l 的方程为x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4， 得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2， ② 又∵AC ＝4AB ，∴y 2＝4y 1，③由①，②，③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)，得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . ∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4.∴b ∈(2，＋∞)．13．证明 如图所示．(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程：x ＝－p 2. 设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p 2，把它代入y 2＝2px ， 化简，得y 2－2pky －p 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝(y 1y 2)24p 2＝(－p 2)24p 2＝p 24. (2)根据抛物线定义知|F A |＝|AA 1|＝x 1＋p 2， |FB |＝|BB 1|＝x 2＋p 2， ∴1|F A |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝22x 1＋p ＋22x 2＋p＝2(2x 2＋p )＋2(2x 1＋p )(2x 1＋p )(2x 2＋p )＝4(x 1＋x 2)＋4p 4x 1x 2＋2p (x 1＋x 2)＋p 2＝4(x 1＋x 2＋p )2p (x 1＋x 2＋p )＝2p . (3)设AB 中点为C (x 0，y 0)，过A 、B 、C 分别作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1.则|CC 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. ∴以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．。
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课时分层作业(十三)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．方程y＝－2所表示曲线的形状是( )
D [方程y＝－2等价于故选D.]
2．过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝( )
A．16 B．12 C．10 D．8
B [由题意知p＝6，故|AB|＝x1＋x2＋p＝12.]
3．过点(2,4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )
【导学号：46342115】A．1条 B．2条 C．3条D．4条
B [点(2,4)在抛物线y2＝8x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x 轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.]
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( ) A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
B [易知抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2p＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.]
5．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8 C．8D．16
B [设P(x0，y0)，则A(－2，y0)，又F(2,0)
所以＝－，即y0＝4.
由y＝8x0得8x0＝48，所以x0＝6.
从而|PF|＝6＋2＝8.]
二、填空题
6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
0或1 [当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y 得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意”＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.] 7．2017设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程
为________________．
(x＋1)2＋(y－)2＝1 [由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准
线l的方程为x＝－1.
由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C
的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC
＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，所以点C的纵坐标
为.
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.]
8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________.
【导学号：46342116】 [设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m
＝0.
由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0
则”＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1
即直线方程为x－y＋1＝0
直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝.
即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为.]
三、解答题
9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求抛物线C的方程．
(2)若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标
为2，求k的值．
[解] (1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，其准线方程为x＝－，因
为P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，所以4＋＝6，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)由消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
因为直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点A，B，则有k≠0，”＝64(k
＋1)>0，
解得k>－1且k≠0.
又＝＝2，
解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以k的值为2.
10．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的一条弦．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)．求证：
(1)若AB的倾斜角为¸，则|AB|＝；
(2)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(3)＋为定值.
【导学号：46342117】[证明] (1)设直线AB的方程为x＝my＋，代入y2＝2px，可得y2－2pmy－p2
＝0，
y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm，
∴y＋y＝2p(x1＋x2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝4p2m2＋2p2，∴x1＋x2＝2pm2＋p，
∴¸＝90°时，m＝0，x1＋x2＝p，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＝；
¸≠90°时，m＝，x1＋x2＝＋p，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2p＝.
∴|AB|＝.
(2)由(1)知，y1y2＝－p2，∴x1x2＝＝；
(3)＋＝＋＝＝＝.
[能力提升练]
1．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若∈(0,1)，则＝( )
A. B.
C. D.
C [因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝x ＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得x A＝－p，x B＝p，所以＝＝，故选C.]
2．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A. B．2
C．2 D．3
C [抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．
联立得方程组
解得或
∵点M在x轴的上方，
∴M(3,2)．
∵MN⊥l，
∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
故选C.]
3．已知点A(2,0)，B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是________．
(0,0) [设P(x0，y0)，则＝(x0－2，y0)，
＝(x0－4，y0)，
所以·＝(x0－2)(x0－4)＋y，又y＝－4x0，
所以·＝x－10x0＋8＝(x0－5)2－17，
因为x0≤0，所以当x0＝0时，·取得最小值．
此时点P的坐标为(0,0)．]
4．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交
于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________.
【导学号：46342118】32 [y＝4x1，y＝4x2，则y＋y＝4(x1＋x2)
若过点P(4,0)的直线垂直于x轴，则直线方程为x＝4，
此时x1＋x2＝8，y＋y＝32，
若过点P(4,0)的直线存在斜率，则设直线方程为y＝k(x－4)，由得k2x2－(8k2＋4)x＋16k2＝0，
则x1＋x2＝8＋>8，此时y＋y>32
因此y＋y的最小值为32.]
5．已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积．
(2)求证：直线AB过定点．
[解] (1)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有k OA＝，k OB＝.
因为OA⊥OB，所以k OA·k OB＝－1，所以x1x2＋y1y2＝0.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以·＋y1y2＝0.
因为y1≠0，y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以x1x2＝4p2.
(2)证明：因为y＝2px1，y＝2px2，两式相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
所以＝，所以k AB＝，故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
所以y＝＋y1－，
即y＝＋.
因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，代入整理得y＝＋，
所以y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p,0).。