习题2

∞
Ev
⋅
d
v l
=
R
qr
∞
dr +
q
dr
r
r 4πε 0 R3
R 4πε 0r 2
16
《电磁场与电磁波》——习题详解
r > R时
( ) =
q 4πε 0 R 3
⎜⎜⎝⎛
R2
− 2
r2
⎟⎟⎠⎞
+
q 4πε 0 R
=
q 8πε 0 R 3
3R2 − r 2
∫ ∫ ϕ(r) =
∞
Ev
⋅
d
v l
=
r
∞ r
=
ρ a2 2ε 0
，即
Er
=
ρ a2 2ε 0r
综上，圆柱体内、外的电场强度分布为
14
《电磁场与电磁波》——习题详解
⎧ ρr
E
=
Er
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
2ε 0 ρ a2
⎪⎩ 2ε0r
r≤a r>a
2-4 一个半径为 a 的均匀带电圆盘，电荷面密度为 ρ S 0 ，如图 2-2 所示，求轴线
上任一点的电场强度。
∴
v E2
=
evx
+
4 ev y
+ 5evz
2-11 一个半径为 a 的导体球表面套一层厚度为 b − a 的电介质，电介质的介电常数 为 ε 。假设导体球带电 q ，求任意点的电位。
解：方法一，用电场强度的积分计算。导体球电荷只分布在球外表，由高斯
定理可得
⎧
⎪0
⎪
E
=
⎪q
⎨ ⎪
4πε
r
2
⎪q
⎪⎩ 4πε0r 2
。
解：由边界条件知
⎪⎨⎧D1n = D2n ⎪⎩ E1t = E2t
( ) ⇒切向ε 0在E1yn o=z平3ε面0 E内2n ，⇒且Env2n×=Ev132
E−1nEv即1 E=2
x
0
=
1 3 E1x
=1
可知分界面法线，
v E1
,
v E2
在同一平面上，从而可知
E2 y evy + E2z evz = E1y evy + E2z evz = 4evy + 5evz
q 4πε 0r
2
d
r
=
q 4πε 0r
2-7
电荷分布如图
2-3
所示。试证明，在
r
>>
l
处的电场为
E
=
3ql 2 2πε0r 4
解：建立如图坐标系，原点在 − 2q 处
q －2q q
l
l
r
x
图 2-3
v E
=
q 4πε 0
⋅
(r
evx
+ l)2
+
− 2q 4πε 0
⋅
evx r2
+
q 4πε 0
⋅
(r
r
+
C1 r2
当 r → 0 时， Er 为有限值，求得 C1 = 0 即
Er
=ρ 3ε 0
r = qr 4πε 0 R 3
在球外 r
>
R
，因 ∇ ⋅
v E
=
0
( ) 同理有
∇ ⋅ Ev = 1 ∂ r 2 ∂r
r 2Er
=
0
⇒
Er
=
C2 r2
考虑 r
=
R 时，应一致连续，求得 C2
=
q 4πε 0
∂ ∂r
r 2 ⋅ Er
=
1 r2
∂ ∂r
⎜⎛ r 2 ⎝
⋅ E0
r ⎟⎞ a⎠
=
3E0 a
ρ内 ε0
=
3E0 a
，即 ρ内
=
3ε 0E0 a
2-6 求习题 2-1 的电位分布。 解：由 2-1 得
r ≤ R时
E
=
Er
=
⎪⎪⎧r ⎨
≤
R
⎪r > R
⎪⎩
qr
4πε 0 R3 q
4πε 0r 2
∫ ∫ ∫ ϕ(r) =
φ r'
y
x
图 2-2
∫∫ ( ) Ev(rv)
=
ρS0 4πε 0
zevz − r′ cosφ evx − r′sin φ evy r′ dφ d r′
z2 + r′2
3 2
∫ (( ) ) ∫ Ex
=
ρS0 4πε 0
a − r′2 d r′
0
z2 + r′2
3 2
2π
cosφ dφ = 0
0
∫ ( ) ∫ Ey
，所以 Er
=
q 4πε0r 2
综上求得：
E
=
Er
=
⎪⎪⎧r ⎨
≤
R
⎪r > R
⎪⎩
方向为矢径方向。
qr
4πε 0 R3 q
4πε 0r 2
2-2 半径分别为 a 、 b ( a > b )，球心距为 c ( c < a − b )的两球面间有密度为 ρ 的
均匀体电荷分布，如图 2-1 所示，求半径为 b 的球面内任一点的电场强度。
（用极坐标得 3r 2 − 8ar sinθ cosφ + 4a 2 = 0 ）
此方程为球心在 ⎜⎛ 4 a，0，0⎟⎞ 半径为 2a 的球面方程
⎝3 ⎠
3
2-9 一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴向方向，介质柱的高度为 L ，半径为 a ，
且均匀极化，求束缚体电荷及束缚电荷分布。
解：选取圆柱坐标系计算，并假设极化强度沿 z 方向，
21
习题二
径为 c = ab 的圆柱内。
证明：同轴线内电场由高斯定理可求得
E
=
λ 2πεr
又
we
=
1 2
=
1 r
∂ ∂r
(rEr
)+
1 r
⎜⎜⎝⎛
∂Eϕ ∂ϕ
⎟⎟⎠⎞
+
∂E z ∂z
=ρ ε0
得
1 r
∂ ∂r
(rE r
)
=
ρ ε0
（球内）
求得
Er
=
ρr 2ε 0
+
C1 r
当r
→
0 时， Er
为有限值，求得 C1
=
0，
Er
=
ρr 2ε 0
在球外
1 r
∂ ∂r
(rEr
)
=
0
求得
Er
=
C2 r
考虑 r
=
a
时，应连续，求得 C2
解：如图所示，设
oo′
=
v l
，
显然
v l
= rv
−
rv′ ，本题可等效为半径为 a ，体密
13
习题二
度为 + ρ 的带电球体与半径为 b ，体密度为 − ρ 位置
不变，所产生的总场，因此。
Ev
=
v E+ρ
+
v E−ρ
=
ρ 3ε 0
rv +
−ρ 3ε 0
rv′
r'
a
r
b
l o' o
=
ρ 3ε 0
(rv
∫ 解：
Ev(rv)
=
1 4πε 0
S
ρS
(rv′)(rv −
rv − rv′ 3
rv
′)
dS
′
z z
rR
rv = zevz ， rv′ = r′ cosφ evx + r′sin φ evy
( ) ds′ = r′dφ d r′ ， rv − rv′ =
z2 + r′2
1 2
rv − rv′ = zevz − r′ cosφ evx − r′sin φ evy
20
《电磁场与电磁波》——习题详解
面( r
= a )上，
有均匀分布的面电荷 ρS
=
q 4π a2
，
由
ρS
=
Dn
= −ε ∂ϕ2 ∂r
r=a
得到 C3
=
q 4π ε
。其余两个常数由介质与空气的界面边界条件确定。即在 r
=b处
ϕ1
= ϕ2
，ε0
∂ϕ1 ∂r
=
ε
∂ϕ2 ∂r
即
代入 C3
ห้องสมุดไป่ตู้
=
q 4π ε
，得
ϕ (rv )
=
q 4πε 0
⎜⎛ ⎜ ⎝
−1
+
x2 + y2 + z2
1/ 2
⎟⎞
(a
−
x)2
+
y2
+
z2
⎟ ⎠
令 ϕ(rv) = 0 得 4[(a − x)2 + y 2 + z 2 ] = x2 + y 2 + z 2
化简得，
( ) 3 x 2 + y 2 + z 2 − 8ax + 4a 2 = 0 ⇒ y 2 + z 2 + ⎜⎛ x − 4 a ⎟⎞2 = ⎜⎛ 2 a⎟⎞2 ⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠
处，求电位为零的等位面方程。
解：设电位为零的点的坐标为 (x, y, z) ，选择无穷远处为零电势点，则