泰安市高三1月考数学试题

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2022年1月山东省泰安市普通高中2022届高三上学期1月期末考试数学试题无答案

高三数学试题第页（共4页）试卷类型:A高三年级考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 满足iz-1=2i （i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标是A.（1,2） B.（2,1）C.（-1,2）D.（2,-1）2.已知集合A ={x |(x +1)(3-x )<0}，B ={x 1x≤1}，则（∁R A ）⋂B =A.[]-1,0⋃[]1,3 B.[-1,)0⋃[1,]3C.()-∞,-1⋃[3),+∞ D.[]1,33.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ=(θ1-θ0)e -kt +θ0，其中，t 为时间（单位：min ），θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度，假设在室内温度为20℃的情况下，一桶咖啡由100℃降低到60℃需要20min ，则k=A.ln220B.ln320C.-ln210D.-ln3104.若单位向量a ,b 满足a ⊥b ,向量c 满足（a +c ）·b =1，且向量b ,c 的夹角为60°，则||c =A.12B.2C.233D.35.若函数f (x )=a x -a -x (a >0,且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y =log a (||x -1)的图象可以是2022.011高三数学试题第页（共4页）6.如图，四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确···的是A.AC ⊥SB B.AB ∥平面SCDC.SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D.AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角7.在△ABC 中,“tan A <cos B ”是“△ABC 为钝角三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≠0时，恒有xf '(x )<0，则A.f (log 513)>f (79)>f (log 815)B.f (log 513)>f (log 815)>f (79)C.f (log 815)>f (log 513)>f (79)D.f (79)>f (log 815)>f (log 513)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

数学--泰安市2021届高三1月份期末考试试题

高三数学试卷(考试时间：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}(){}340,log 3A x x B x y x =-≤==-，则 A ．{}03A B x x ⋂=<<B ．{}34A B x x ⋂=<≤C ．{}4A B x x ⋃=≤D ．{}3A B x x ⋃=<2．已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：有一条渐近线与直线2310x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为AB ．3C ．2D ．23．已知直线:10l x y -+=，则“21a =”是“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若函数()()ln 1x f x e ax =++为偶函数，则a = A ．1B ．12C ．1-D ．12-5．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．已知正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，正二十面体的体积公式为(31512V a +=(其中a 为棱长)，已知一个正二十面体各棱长之和为A B C D 6．全球变暖已经是近在眼前的国际性问题，冰川融化、极端气候的出现、生物多样性减少等等都会给人类的生存环境带来巨大灾难．某大学计划以对于全球变暖及其后果的看法为内容制作一份调查报告，并安排A ，B ，C ，D ，E 五名同学到三个学院开展活动，每个学院至少安排一名同学，且A ，B 两名同学安排在同一学院，C ，D 两名同学不安排在同一个学院，则不同的分配方法总数为A ．86种B ．64种C ．42种D ．30种7．已知lg 2,310ba ==，则5log 6= A.1ab b ab+- B ．1ab a ab+-C ．1ab aab+-D ．1ab bab+- 8．如图，已知抛物线218C y x =：，圆22240C x y x +-=：，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆依次交于点P ，M ，N ，Q ，则PM QN =A ．2B ．4C ．6D ．8二、选择题：本大题共4小题，每小题5分。

山东省泰安市2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题

试卷类型：A山东省泰安市2023-2024学年高三上学期1月期末数学2024.01注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}{}1,2,4,,6A a B a =+=，若A B B ⋂=，则实数a =（）A.0B.1C.2D.32.设复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，且11i z =-，则12z z =（）A.2B.0C.2i -D.-23.“0x >”是“1222x x +>”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量()()2,,,3a n b m ==，若()2,4a b -=--，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A.1C.()4,3D.43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5.已知()()3222,f x ax x bx a a b R =-++∈在1x =处的极大值为5，则a b +=（）A.-2B.6C.-2或6D.-6或26.已知πsin 4cos2θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-sin2θ=（） A.1516 B.1516- C.34 D.34- 7.已知()145x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（）A.()()()20.5log 6log 1.251f f f <<B.()()()0.52log 1.25log 61f f f <<C.()()()0.521log 1.25log 6f f f <<D.()()()20.51log 6log 1.25f f f <<8.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，直线l 过点1F ，若点2F 关于l 的对称点P 恰好在椭圆C 上，且2112F P F F b⋅=，则C 的离心率为（）A.13B.23C.23D.23二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线:210l kx y k -++=与圆22:9O x y +=，则下列结论正确的是（）A.直线恒过定点()2,1-B.直线l 与圆O 相交C.若34k =，直线l 被圆O 截得的弦长为D.若直线l 与直线2240x k y k ++=垂直，则14k =10.已知函数()()11πcos 220222f x x ϕϕ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为π1,122⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()104f = C.()f x 在π2π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D.()f x 图象向右平移2π3个单位长度后关于y 轴对称 11.如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，点M 是CD 的中点，将ADM 沿AM 翻折到APM 位置，连接,PB PC ，且F 为PC 中点，4AE AB =，在ADM 翻折到APM 的过程中，下列说法正确的是（）A.EF ∥平面PAMB.存在某个位置，使得CM PE ⊥C.当翻折到二面角P AM B --为直二面角时，E 到PC的距离为6D.当翻折到二面角P AM B --为直二面角时，AC 与平面PMB所成角的正弦值为1012.已知曲线()()1:ln 21C f x x =-在点()11,M x y 处的切线与曲线()212:x C g x e-=相切于点()22,N x y ，则下列结论正确的是（）A.函数()()21h x x g x =-有2个零点B.函数()()()32m x ef x xg x =-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 C.()21121g x x =- D.211201x x +=- 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正数,a b 满足236log log log 5a b ==，则ab =__________.14.已知正项数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()()*31n n n a T T n N-=∈，则n T =__________. 15.已知球O 的体积为32π3，其内接圆锥与球面交线长为，则该圆锥的侧面积为__________. 16.已知椭圆222:1(0)9x y C b b+=>的左，右焦点分别为12,F F，点)P 在C 内，点Q 在C 上，则1211QF QF +的取值范围是__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222,4sin sin sin2sin2,a B C B C P ==为ABC所在平面内一点，且90,PB PBC PBA ∠∠==为锐角.（1）若1c =，求PA ；（2）若120PAB ∠=，求tan PBA ∠.18.（12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==15,AA D =为AC 中点，且113130,,55ABD BE BB CF CC ∠===.（1）求证：1BD A F ⊥；（2）求平面AEF 与平面1A EF 夹角的余弦值.19.（12分）已知数列{}n a 满足132n n a -=，正项数列{}n b 满足()22140n n b n b n ---=.当4n 时，记{}{}()1212min ,,,,max ,,,1,2,,1,i i i i i n i i i s a a a t a a a i n c s t ++===-=+. （1）证明：121,,,n c c c -是等比数列；（2）求112211n n n b c b c b c ---+++. 20.（12分）某果农种植了200亩桃，有10多个品种，各品种的成熟期不同，从五月初一直持续到十月底.根据以往的经验可知，上市初期和后期会因供不应求使价格连续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①()()sin x f x e x p q =-++；②()2f x x px q =++；③()()2136ln 222f x x px x q =++++(x 表示时间，以上三式中,p q 均为常数，且3011)p -<<-. （1）为准确研究其价格走势，应选择哪个价格模拟函数，并说明理由；（2）若()()5 6.78,117.62f f ==，①求出所选函数()f x 的解析式（注：212x 且*x N ∈，其中2x =表示5月份下半月，3x =表示6月份上半月，,12x =表示10月份下半月）；②若上市初期（5月份上半月）以7元销售，为保证果农的收益，计划价格在7元以下期间进行促销活动，请你预测该果农应在哪个时间段进行促销活动，并说明理由.()ln20.69,ln3 1.10,ln5 1.60,ln11 2.40====21.（12分）已知函数()21(0)2x ax f x x x a e =+->. （1）若()21ln 2f x x x <-恒成立，求a 的范围；（2）讨论()f x 的零点个数.22.（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为30，右焦点F 到渐近线的距离为1. （1）求双曲线C 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与C 相切于点A ，且与直线32x =相交于点B ，点P 为平面内一点，直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ.证明：存在定点P ，使得π2αβ-=.。

山东省泰安市2021届高三1月联考数学试卷

泰安市高三2021年1月份联考数学测试题一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有有一项是符合题目要求的。

1.设函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()cos xf x e x =-，则不等式()()2120f x f x -+->的解集为A. (),1-∞B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞2.若复数1的共轭复数+=-a iz i在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是 A.1B.0C. 1-D. 2-3.在平面直角坐标系xOy 中，点31P （，），将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转2π后得到向量OQ ，则点Q 的坐标是A ． ()2,1-B ． ()1,2-C ． ()3,1-D ．()1,3-4.“1a ＜是“210x x a x∀≥＋＞，”的 A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.函数sin ()x xx xf x e e--=+在[],ππ-上的图象大致为6.已知O 为坐标原点，双曲线()222210,0x y C a a b-=>>：的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF//OA ，若0AB OB ⋅=，则双曲线C 的离心率为A. 233B.2C.3D.27.在四面体ABCD 中，ABC BCD ∆∆和均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为 A. 224B.212C.26D.248.如图，已知抛物线C:220y px p ＝（＞）的焦点为F ，点00,23)()2pP x x >（是抛物线C 上一点.以P 为圆心的圆与线段PF 相交于点Q ，与过焦点F 且垂直于对称轴的直线交于点A ，B ，AB PQ ＝，直线PF 与抛物线C 的另一交点为M ，若3PF PQ ＝则PQFM= A ． 1 B ．3 C ． 2 D ．5二、多项选择题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分10.如图，平面α⋂平面,,l A C βα=是内不同的两点，B,D 是β内不同的两点，且A,B,C,D ∉直线l ，M,N 分别是线段AB,CD 的中点.下列判断正确的是 A.若AB//CD ，则//MN l B.若M,N 重合，则//AC lC.若AB 与CD 相交，且//AC l ，则BD 可以与l 相交D.若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与l 平行11.已知函数f x （）对x R ∀∈，满足()6(+1)(+1)＝（），＝---f x x f x f x ，若20205,9f a f a ∈（）＝（），［］且f （x ）在59［，］上为单调函数，则下列结论正确的是 A ．3f （）=0 B ． 8a = C ．f x （）是周期为4的周期函数 D ．y f x ＝（）的图象关于点(1,0)对称12.如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则A.若MN PAB AB RQ 平面，则B.存在点S 与直线MN ，使PC SRQ ⊥平面C.存在点S 与直线M ，使0PS PQ PR （＋）＝D.111PQPRPS++是常数三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为______.14.已知函数()32ln ,1231,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，则[]1,x e ∈-时，()f x 的最小值为________，设()()()2g x f x f x a =-+⎡⎤⎣⎦，若函数()g x 有6个零点，则实数a 的取值范围是_________.(本题第一空2分，第二空3分) 15.在ABC 中，π2A ∠=，点D 在线段AC 上，且满足2AD CD =，3cos 5C =，则sin CBD ∠=______.16.定义函数f x x x （）＝［［］］，其中x ［］表示不超过x 的最大整数，例如2-[1.3]=1,[-1.5]＝，[2]=2，当*[0,)(x n n N ∈∈当）时，f x （）的值域为n A .记集合n A 中元素的个数为n a ，则2020211i i a =-∑值为________ 四、解答题:本大题共6小题，共70分，答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17、（10分）△ABC 的内角A ，B 、C 的对边分别为a b c ，，，已知向量,sin ,sin sin m c a B n b a A C --＝（）,＝（+)（1）求C;（233b a ＋＝，求sin A18.（12分）在221212421,,,n n b b a b b b b b ①＝＋②＝＋,③成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列n a ｛｝中113.n n a a a +1＝，＝公差不等于0的等差数列{}n b 满足_________，求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 注:如果给出多种选择的解答，按符合题意的第一种选择计分19.（12分）如图，在等腰直角三角形ADP 中，903AAD ∠＝，＝，B ，C 分别是AP ，DP 上的点，且BC AD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，现将△PBC 沿BC 折起，得到四棱锥P ABCD -，连接EF.（1）证明:EF PAD 平面；（2）是否存在点B ，当将△PBC 沿BC 折起到PA AB ⊥时，三面角P CD E --的余弦值等于15？若存在，求出AB 的长；若不存在，请说明理由20.（12分）设抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为()1,1.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若B ，C 为抛物线E 上的两个动点（异于点A ），且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围.21.已知椭圆()()221222:121,x y C a b P F F a b+=>>0过点，，分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间）. （i ）当PAB ∆面积最大时，求2l 的方程；（ii ）求证：PA MB PB MA =，并判断12,,,l l PA PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列22.（12分）已知函数2()2ln ,()a f x x x g x x x=-=+（1）设函数f x g x （）与（）有相同的极值点。

2021年1月山东省泰安市普通高中2021届高三上学期1月月考数学试题及解析

A. B. C. D.
————B
分析：
易得出AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，设球心为O，则OB＝OC＝OD ，BO⊥AD，BO⊥OC，从而BO⊥平面ACD，由此能求出四面体ABCD的体积．
解答：在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，
四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，设球心为O，则O为AD的中点，
∴AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，
OB＝OC＝OD ，BO⊥AD，BO⊥OC，
∴BO⊥平面ACD，
∴四面体ABCD的体积为：
VB﹣ACD ．
故选：B
8.如图，已知抛物线（）的焦点为，点（）是抛物线上一点.以为圆心的圆与线段相交于点，与过焦点且垂直于对称轴的直线交于点，，，直线与抛物线的另一交点为，若，则（）
，
，
，
解得，
，又，故，
抛物线方程为，，，，
直线方程为，
与抛物线方程联立得，
消去整理得，，解得或，
，，
.
故选：B.
二､多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分.
9.已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（）
解答：记，，
，
在上单调递增，
又，
当时，，即，
又，
当时，，
故排除B，C，D.
故选：A.
6.已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A（点A在第一象限），点B在双曲线C的渐近线上，且BF∥OA，若，则双曲线C的离心率为（）

2023届山东省泰安市高三一模丨数学答案

高三数学试题参考答案第页（共6页）高三一轮检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：题号答案1D 2C 3D 4A 5D 6B 7C 8B 二、选择题：题号答案9BCD 10ABD 11AB 12ACD 三、填空题：13.1414.y 2=833x 15.316.[14,34]∪{1316}四、解答题：17.（10分）解：（1）∵sin 2A -(sin B -sin C )2=2sin B sin (C +π3)-3sin B cos C∴sin 2A -(sin 2B -2sin B sin C +sin 2C )=2sin B sin C cos π3+2sin B cos C sin π3-3sin B cos C …………………1分∴sin 2A -sin 2B -sin 2C +2sin B sin C =sin B sin C∴sin 2A -sin 2B -sin 2C =-sin B sin C ………………………………………3分∴b 2+c 2-a 2=bc∴cos A =12,∴A =π3………………………………………………………………………5分（2）∵ AB · AC =bc cos A =12bc =12∴bc =24………………………………………………………………………6分又∵a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，a =27,∴(b +c )2=3bc +28=100,∴b +c =10…………………………………………………………………8分联立{b +c =10bc =24,解得{b =6c =4或{b =4c =6，又b <c ∴b =4,c =6.………………………………………………………………10分2023.03118.（12分）解：（1）设等差数列{}a n的公差为d,d>0,3=1232=a6·a6-a321+d=41+2d)2=(a1+5d)·3d2………………………………………………2分整理得，5d2-2d-16=0……………………………………………………4分解得，d=2或d=-85(舍)∴a1=d=2∴a n=2n,n∈N*………………………………………………………………6分（2）由（1）知,a n=2n,S n=n2+n∴a n+2S n=2n2+4n=2n(n+2)…………………………………………8分∴1an+2S n=12n(n+2)=14(1n-1n+2)………………………………10分∴1a1+2S1+1a2+2S2+ (1)n+2S n=14[(1-13)+(12-14)+(13-15)+…+(1n-1-1n+1)+(1n-1n+2)]=14(1+12-1n+1-1n+2)=38-2n+34(n+1)(n+2)………………………………………………………12分19.（12分）解：（1）取线段AD中点R，RD的中点K，连接GR,PK,QK∵EG12AD∴E,A,D,G四点共面,且EG AR,∴ARGE为平行四边形,∴GR∥AE又∵GP=PD,RK=KD∴PK∥GR∴PK∥AE…………………………2分∵BQ=3QC,AK=3KD∴AB∥QK∴AD⊥QK又∵AD⊥PQ，PQ,QK⊂平面PQK,PQ∩QK=Q∥=∥=2高三数学试题参考答案第页（共6页）高三数学试题参考答案第页（共6页）∴AD ⊥平面PQK ……………………………………………………………4分又∵PK ⊂平面PQK∴AD ⊥PK ∴AE ⊥AD又∵AE ⊥AB ,AB ,AD ⊂平面ABCD ,AB ∩AD =A∴AE ⊥平面ABCD ……………………………………………………………6分（2）设H 到平面ABCD 的距离为h ,则三棱锥A -CDH 的体积为V A -CDH =V H -ACD =13×S △ACD ×h =6h =18∴h =3又∵G 到平面ABCD 的距离为6∴H 为GC 的中点由（1）知，AE ⊥平面ABCD ，以A 原点,AB,AD,AE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),C (6,6,0),D (0,6,0),H (3,92,3)，∴ AH =(3,92,3), AD =(0,6,0), AC =(6,6,0)…………………………………8分设平面ACH 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1),·AH =·AC =0x 1+92y 1+3z 1=0x 1+6y 1=取x 1=2，1=-21=1∴m =(2,-2,1)10分设平面ADH 的一个法向量为n =(x 2,y 2,z 2)，· AH =0·AD =0x 2+92y 2+3z 2=0y 2=0取x 2=1，2=02=-1∴n =(1,0,-∴cos m ,n =m ⋅n ||m ||n =13×2=∴平面ACH 与平面ADH ……………………………12分3高三数学试题参考答案第页（共6页）20.（12分）解：（1）设员工所获得的奖励额为X ，①P (X =1000)=C 13C 24=12∴员工所获得的奖励额为1000元的概率为12……………………………2分②X 所有可能的取值为400，1000P (X =400)=C 23C 24=12，P (X =1000)=12∴X 的分布列为X P40012100012∴员工所获得的奖励额的期望为E (X )=400×12+1000×12=700元.…4分（2）根据公司预算，每个员工的平均奖励额为1000元，所以先寻找期望为1000元的可能方案.对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择(200,200,200,800)的方案,因为1000元是面值之和的最大值，所以期望不可能为1000元.如果选择(800,800,800,200)的方案,因为1000元是面值之和的最小值，所以期望不可能为1000元，因此可能的方案是(800,800,200,200)记为方案1.对于面值600元和400元的情况，同理排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案，所以可能的方案是(400,400,600,600)记为方案2.…………………………………………………………………………………6分对于方案1，设员工所获得的奖励额为X 1,则X 1的分布列为X 1P40016100023160016∴X 1的期望为E (X 1)=400×16+1000×23+1600×16=1000方差为D (X 1)=(400-1000)2×16+(1000-1000)2×23+(1600-1000)2×16=120000………………………………………………………9分对于方案2，设员工所获得的奖励额为X 2,则X 2的分布列为X 2P80016100023120016∴X 2的期望为E (X 2)=800×16+1000×23+1200×16=1000方差为D (X 2)=16×(800-1000)2+23×(1000-1000)2+16×(1200-1000)2=400003由于两种方案的奖励额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，所以应选择方案2.…………………………………………………………………………………12分4高三数学试题参考答案第页（共6页）21.（12分）解：f (x )的定义域为(2,+∞),（1）当a =1时,f (x )=(x -1)ln(x -2)-x +3,f ′(x )=ln (x -2)+x -1x -2-1=ln (x -2)+1x -2………………………………………………………2分设g (x )=ln (x -2)+1x -2,则g'(x )=1x -2-1(x -2)2=x -3(x -2)2………4分令g'(x )=0,解得x =3当x ∈(2,3),g'(x )<0,g (x )单调递减,当x ∈(3,+∞),g'(x )>0,g (x )单调递增∴g (x )min =g (3)=1>0∴g (x )=f ′(x )>0∴f (x )单调递增………………………………………………………………6分（2）当x >3时,f (x )>0恒成立等价于ln (x -2)-a (x -3)x -1>0在(3,+∞)上恒成立设h (x )=ln (x -2)-a (x -3)x -1（x ≥3）,则h'(x )=1x -2-2a (x -1)2=x 2-2(a +1)x +4a +1(x -2)(x -1)2设φ(x )=x 2-2(a +1)x +4a +1（x ≥3），则φ(x )的图象为开口向上，对称轴为x =a +1的抛物线的一部分…………8分当a ≤2时,a +1≤3,φ(x )单调递增,且φ(3)=4-2a ≥0∴φ(x )≥0,即h'(x )≥0∴h (x )单调递增又∵h (3)=0∴h (x )>0在(3,+∞)恒成立，满足题意.…………………………………10分当a >2时,a +1>3,φ(3)=4-2a <0∴φ(x )=0有两相异实根，设为x 1,x 2,且x 1<x 2，则x 1<3<x 2当x ∈(3,x 2)时，φ(x )<0,h'(x )<0,h (x )单调递减又∵h (3)=0∴当x ∈(3,x 2)时,h (x )<0∴h (x )>0在(3,+∞)上不恒成立，不满足题意综上,a 的取值范围为（-∞,2]………………………………………………12分5解：（1）由题知，c=1,点(-1,e)在椭圆C上，+e2b2=1b2+c2ca………………………2分解得a2=2,b2=1∴椭圆C的方程为x22+y2=1………………………………………………4分（2）证明：∵F1A=λF2B(λ>0)，且点A在x轴上方∴设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0,直线F1A的方程为my=x+1,直线F2Bmy=x-1，+y21=11，得(m2+2)y21-2my1-1=0∴y1=∴||AF1=(x1+1)2+y21=m2+1y1=m m2+1+2(m2+1)m2+2同理||BF2=2(m2+1)-m m2+1m2+2………………………………6分由F1A=λF2B(λ>0)，得||PB||PF1=||BF2||AF1∴||PF1||AF1=||PB||BF2=||BF1||AF1+||BF2∴||PF1=||AF1||AF1+||BF2||BF1…………………………………………8分又点B在椭圆C上∴||BF1=22-||BF2∴||PF1=||AF1||AF1+||BF2(22-||BF2)同理：||PF2=||BF2||AF1+||BF2(22-||AF1)…………………………10分∴||PF1+||PF2=22-2||AF1·||BF2||AF1+||BF2=322又||F1F2=2,322>2∴||PF1+||PF2>||F1F2∴点P在以F1,F2为焦点的定椭圆上.………………………………12分22.（12分）6高三数学试题参考答案第页（共6页）。

山东省泰安市高三数学上学期1月期末考试试题理

高三年级考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}{}3,2,,4a A B a b A B A B ==⋂=⋃，则，则等于A. {}234，，B. {}341，，C. {}0,1,2,3D. {}1,2,3,4 2.已知a R ∈，则“2a a <”是“1a <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.正项等比数列{}n a 的公比为2，若21016a a =，则9a 的值是A.8B.16C.32D.644.已知命题4:0,4p x x x ∀>+≥：命题001:,22x q x R +∃∈=.则下列判断正确的是 A.p 是假命题B.q 是真命题C.()p q ∧⌝是真命题D.()p q ⌝∧是真命题 5.已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是A. ,////m n m n αα⊂⇒B. ,m n m n αα⊂⊥⇒⊥C. ,////m n n m αβαβ⊂⊂⇒D. ,n n βααβ⊂⊥⇒⊥6.若变量,x y 满足条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的取值范围为 A. 5,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 55,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.下列函数中，与函数,0,1,0x x e x y x e ⎧≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是 A. 1y x =- B. 22y x =+C. 33y x =-D. 1log e y x = 8.设函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移8π个单位得函数()y g x =的图象，则 A. ()02g x π⎛⎫ ⎪⎝⎭在，上单调递减 B. ()344g x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在，上单调递减 C. ()02g x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增D. ()344g x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在，上单调递增 9.设函数()f x 的零点为()1,422x x g x x =+-的零点为2x ，若()120.25x x f x -≤，则可以是A. ()21f x x =-B. ()24x f x =-C. ()()ln 1f x x =+D. ()82f x x =-10.定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()()1,00,f x f x f f x f x ''>-=是的导函数，则不等式()1x xe f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为 A. ()(),10,-∞-⋃+∞ B. ()0,+∞ C. ()(),01,-∞⋃+∞ D. ()1,-+∞二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11.已知向量()()()3,1,0,1,,3.2m n k t m n k ==-=-u r r r u r r r 若与共线，则t= ▲ . 12.设α为锐角，若4cos sin 6512ππαα⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 ▲ . 13.若()()1203f x x f x dx =+⎰，则()10f x dx ⎰= ▲ .14.已知直线320x y -+=及直线3100x y --=截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是 ▲ .15.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 ▲ .三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.）16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 23.c A b a ⋅=-（I ）求角C 的大小；（II ）若3b a =，ABC ∆的面积23sin A ，求a 、c 的值.17.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,4,3,AA AB AC BC D ====为AB 的中点，且11AB A C ⊥（I ）求证：11AB A D ⊥；（II ）求二面角1A A C D --的平面的正弦值.18.（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()21262n n n S S S n n N *++++=-∈.（I ）若数列{}n a 是等差数列，求{}n a 的通项公式.（II ）若121a a ==，求50S .19.（本小题满分12分）某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y （单位：万元）与投资x （单位：万元）满足：()ln 3f x a x bx =-+（,,,a b R a b ∈为常数），且曲线()y f x =与直线y kx =在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）.（I ）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；（II ）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？（参考数据：ln 10 2.303,ln15 2.708,ln 20 2.996,ln 25 3.219,ln30 3.401======）20.（本小题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为12F F 、，离心率为2，直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且满足121,2OA OB AF AF K K +=⋅=-O 为坐标原点.（I ）求椭圆的方程; （II ）求OA OB ⋅u u u r u u u r 的最值.21.（本小题满分14分）设函数()()11ln .22f x m x x m R x =-+∈. （I ）当54m =时，求()f x 的极值；（II ）设A 、B 是曲线()y f x =上的两个不同点，且曲线在A 、B 两点处的切线均与x 轴平行，直线AB 的斜率为k ，是否存在m ，使得1?m k -=若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.。

山东省泰安市高三一模(数学理)(word版)

泰安市高三第一轮复习质量检测数学试题（理科）一、选择题：本大题共12个小题。

每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数2()1aia i+∈-R 是纯虚数(i 是虚数单位)，则a 的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．22．已知a b c 、、均为实数，则""a b >是22""ac bc >成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为A ．53 BC ．54D4．若右面的程序框图输出的S 是126，则①应为 A ．5?n ≤ B ．6?n ≤ C ．7?n ≤ D ．8?n ≤5．如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x = 图象下方的点构成的区域。

在D 中随机取一点，则该点在E 中的概率为 A ．15B ．14C ．13D ．126．在ABC ∆中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边，且22sin sin (sin sin )sin A C A B B -=-，则角C 等于A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 7．定义在R 上的函数(1)y f x =+的图像如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：①(0)1f =；②(1)1f -=；③若0x >，则()0f x <；④若0x <，则()1f x >。

其中正确的命题是A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③8．如图，在棱长均为1的三棱锥S ABC -中，E 为棱SA 的中点，F 为ABC ∆的中心，则直线EF 与平面ABC 所成角的正切值是 A．B ．1CD．29．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(,),(1)2,f x y f x f y xy x y f +=++∈=R 则(2)f -等于 A ．2B ．3C ．6D ．910．已知非零向量,a b 满足：2=||||a b ，若函数3211()32f x x x x =++⋅||a a b 在R 上有极值，设向量,a b 的夹角为θ，则cos θ的取值范围为 A ．[1[,1]2B ．1(,1]2C ．1[1,]2- D ．1[1,)2-11．如果直线1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=交于M N 、两点，且M N 、关于直线0x y +=对称，则不等式组 10,0,0,kx y kx my y -+≥-≤≥表示的平面区域的面积是A ．14B ．12C ．1D ．212．某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2010年的年产量约为A ．60万吨B ．61万吨C ．63万吨D ．64万吨二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

数学--山东省泰安一中2022-2023学年高三上学期第一次月考

数学试题2022.9一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合(){}3log 20M x x =-<，{}2N x x =≥-，集合M N = （）A.{}22x x -≤<B.{}23x x -≤<C.{}23x x << D.{}3x x <2.函数f （x ）＝2x +lnx ﹣1的零点所在的区间为（）A ．（）B ．（）C ．（）D ．（）3.已知:1p x a -<，1:12q x ≥-.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A.(],3-∞ B.[]2,3 C.(]2,3 D.()2,34.函数()()11x xe f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为A.B.C.D.5.函数()()log 43a f x ax =-在[]1,3是增函数，则a 的取值范围是（）A.4,19⎛⎫⎪⎝⎭B.9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.91,4⎛⎫⎪⎝⎭D.40,9⎛⎫ ⎪⎝⎭6.已知定义在R 上的函数()31x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A .a b c<< B.a c b <<C.c a b<< D.c b a<< 2020级高三上学期第一次阶段性考试7.已知幂函数()()22421mm f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，函数()2xg x a =-，[]11,5x ∀∈，[]21,5x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A.1a ≥ B.23a ≥- C.31a ≥ D.7a ≥8.如图是函数()32y f x x bx cx d ==+++的大致图象，则2212x x +=（）A ．89B ．289C ．169D ．109二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.定义在R 的奇函数()f x 满足()()3f x f x -=-，当[]0,3x ∈时()23f x x x =-，则以下结论正确的有（）A.()f x 的周期为6B.()f x 的图象关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称C.()20212f = D.()f x 的图象关于32x =对称10.如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，且()f x x在区间I 是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.则下列函数是区间⎡⎣上的“缓增函数”的是（）A.()e xf x = B.()ln f x x=C.()223x x x f =-+ D.()23f x x =-++11.下列说法正确的是（）A.若不等式220ax x c ++>的解集为{}12x x -<<，则2a c +=B.若命题():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->，则p 的否定为()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤C.若0x >，0y >，8xy x y ++=，则x y +的最大值为4D.若2320mx x m ++<对[]0,1m ∀∈恒成立，则实数x 的取值范围为()2,1--12.已知函数3()1f x x x =-+，则（）A.()f x 有两个极值点B.()f x 有三个零点C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线三､填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是________．14.已知函数()1,0(1)e ,0xax x f x a x +≥⎧=⎨-<⎩为R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为____________.15.直线()2200,0ax by a b +-=>>过函数11x y x +=-图象的对称中心，则11a b+的最小值为_________.16.定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”．(1)设f (x )＝cos x ，则f (x )在(0，π)上的“新驻点”为__________；(2)如果函数g (x )＝e x －x 与h (x )＝ln(x ＋1)的“新驻点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是__________．四､解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）17.（本题10分）求下列各式的值：（1）(((-÷-；（2）31log 41324lg lg lg 32493-++.18.（本题12分）已知集合A 是函数y =lg （20﹣8x ﹣x 2）的定义域，集合B 是不等式x 2﹣2x +1﹣a 2≥0（a >0）的解集，p ：x ∈A ，q ：x ∈B .（1）若A ∩B =∅，求实数a 的取值范围；（2）若￢p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.19.（本题12分）已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()1323xx f x +⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.20.（本题12分）已知函数()()2e 2xx f x x a x a R ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.（1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()()1f x x >-的单调性.21.（本题12分）已知函数()()1ln1kx f x k x -=∈+R 为奇函数.（1）求实数k 的值；（2）已知此函数在()1,+∞上单调递增.若存在(),1,αβ∈+∞，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围.22.（本题12分）设函数2()22x x f x ae e =-+．（1）若()f x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；（2）若函数21()(2)22x x x g x ae a e e -=+--有两个极值点12,x x ，证明：2121()()12g x g x x x a ->--．数学试题答案2022.9一､单项选择题1.C2.B3.C4.A5.D6.C7.A 8.C二､多项选择题9.ACD10.CD11.ABD12.AC三､填空题13.（答对一个得0分）14.(]1,215.32+16.(1)3π4(2)α>β（第一个空2分，第二个空3分）16.(1)∵f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，根据“新驻点”的定义得f (x )＝f ′(x )，即cos x ＝－sin x ，可得tanx ＝－1，∵x ∈(0，π)，解得x ＝3π4，∴函数f (x )＝cos x 在(0，π)上的“新驻点”为3π4；(2)g (x )＝e x －x ，则g ′(x )＝e x －1，根据“新驻点”的定义得g (α)＝g ′(α)，即α＝1．∵h (x )＝ln(x ＋1)，则h ′(x )＝1x ＋1，由“新驻点”的定义得h (x )＝h ′(x )，即ln(x ＋1)＝1x ＋1，构造函数F (x )＝ln(x ＋1)－1x ＋1，则函数y ＝F (x )在定义域上为增函数，∵F (0)＝－1<0，F (1)＝ln 2－12>0，∵F (β)＝0，由零点存在定理可知，β∈(0,1)，∴α>β．四､解答题17.【解析】【1】(((-÷-()()()521311336224263a b a b a b =⋅-⋅÷-⋅551212044a b a =⋅=……………………………………5分【2】134log 1324lglg 32493-()121411lg 32lg 49lg8lg 2452324=--++()()143115lg 22lg 7lg 22lg 7lg 523224=--⨯+++511lg 2lg 72lg 2lg 7lg 5224=--+++111113lg 2lg 5lg10224244=++=+=.…………………………10分 2020级高三上学期第一次阶段性考试18.解：（1）由条件得：A ={x |﹣10<x <2}，B ={x |x ≥1+a 或x ≤1﹣a }……………………3分若A ∩B =∅，则必须满足121100a a a +≥⎧⎪-≤-⎨⎪>⎩，解得：1110a a a ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩，所以11a ≥，所以，a 的取值范围的取值范围为：{}1|1a a ≥；………………………………6分（2）易得：￢p ：x ≥2或x ≤﹣10，…………………………7分∵￢p 是q 的充分不必要条件，∴{x |x ≥2或x ≤﹣10}是B ={x |x ≥1+a 或x ≤1﹣a }的真子集，……………………8分则121100a a a +≤⎧⎪-≥-⎨⎪>⎩，解得：1110a a a ≤⎧⎪≤⎨⎪>⎩，所以0<a ≤1.∴a 的取值范围的取值范围为：{}|01a a <≤.……………………………………12分19.（1）当0x <时，0x ->，则()1332233xx x x f x --+-⎛⎫-=-=+⎪⎝⎭，又因为()f x 为奇函数，所以()323xx f x --=+，所以()323xx f x -=-+，所以()13,02332,03x x x x f x x x ⎧+⎛⎫-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎪-+<⎪⎩.………………………………6分（2）因为当0x ≥时，()1323xx f x +⎛⎫=-⎪⎝⎭，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，33+=-x y 也单调递减，因此()f x 在[)0,+∞上单调递减，又()f x 为奇函数，所以()f x 在(],0-∞上单调递减，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递减，因为()()22220f t t f t k -+-<在t R ∈上恒成立，所以()()2222f t t f t k -<--，又因为()f x 为奇函数，所以()()2222f t t f k t-<-，………………………………10分所以2222t t k t ->-在t R ∈上恒成立，即2320t t k -->在t R ∈上恒成立，所以4120k ∆=+<，即13k <-.……………………………………12分20.【解析】【1】当1a =时，()22xx f x xe x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()()111x x x f x e xe x x e '=+-+=+-，令()0f x '=得1x =-或0x =.…………………………3分∴1x =-时，()f x 有极大值()1112f e-=-，0x =时，()f x 有极小值()00f =.………………………………5分【2】()()()()11x x xf x e xe a x x e a =+-+=+-'，∵1x >-，∴10x +>.（1）当0a ≤时，有0x e a ->，当1x >-，()0f x '>，()f x 在()1,-+∞上单调递增.……………………7分（2）当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =.①当ln 1a ≤-，即10a e<≤，有()0f x '>，从而函数()f x 在()1,-+∞上单调递增.…………………………9分②当ln 1a >-，即1a e>时，当()1,ln x a ∈-，()0f x '<，()f x 单调递减；当()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增.…………………………11分综上，1a e≤时，()f x 在()1,-+∞上单调递增；当1a e>时，()f x 在()1,ln a -单调递减，在()ln ,a +∞单调递增.…………………………12分21.【解析】【1】解：由()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-，即11lnln 11kx kx x x ---=--++，11ln ln 011kx kx x x ---+=-++，所以2221ln 01k x x -=-，则222111k x x-=-，解得21k =，1k =±，………………………………4分经检验知：1k =.………………………………5分【2】由已知知()f x 在()1,+∞上为增函数，又因为函数()f x 在[],αβ上的值域为11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以0m >，且1ln ln 121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩，所以112112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，…………………………7分即α，β是方程112x mmx x -=-+的两实根，问题等价于方程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根，……………………8分令()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，对称轴1124x m =-，则()2011124Δ=14102210m m m m m h m >⎧⎪⎪->⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪---> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=>⎩，即0205229m m m m ⎧⎪>⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎪⎩或，解得209m <<.…………………………………………12分22.【解析】（1）令e x t =,则()f x 有2个零点,等价于2220at t -+=存在两个正根.所以Δ020a>⎧⎪⎨>⎪⎩,解得102a <<,所以使得()f x 有两个零点的a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭.……………………4分(2)()()()()2222122x x x x x x x g x ae a e e e e ae e --'=+-+=+-+,因为0,10x x e e ->+>,且()g x 有两个极值点12,x x ,所以12,x x 为2e 2e 20x x a -+=的两个不同解.由（1）知102a <<,且121222,x x x x e e e e a a+==,不妨设21x x >,……………………6分()()()()()()212121222121211222x x x x x x a e e a e e e e g x g x x x x x ---+-----=--()()()()()1221212121211222.x x x x x x x x x x e e a e e e e a e e e e x x --++---=-()()()()()()21212121212121211212222221x x x x x x x x x x e e a e e a e e a a a e e e e a a x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-++-+-⋅+-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦===⋅----要证明()()212112g x g x x x a ->--,只需证()2121e e 2121x x a a x x a--⋅->-,因为102a <<,所以210a -<,只需证2121-1-x x e e x x a <,…………………………9分注意到122e e x x a+=,只需证212121e e e e 2x x x x x x -+<-,两边同除1e x 得2121--21-11-2x x x x e e x x +<,因为21x x >,只需证()()()2121212e 1e 1x x x x x x ---<+-,设21(0)x x t t -=>,令()()e 12e 2(0)t t u t t t =+-+>,则只需证()0u t >即可.则()()e 11tu t t =-+',令()()()e 11tv t u t t ==-+',则()e 0tv t t =>',所以()v t 在()0,∞+上单调递增,所以()()00v t v >=,即()0u t '>,所以()u t 在()0,∞+上单调递增,所以()()00u t u >=,得证.……………………12分。

山东省泰安市数学高三理数第一次综合测试试卷

山东省泰安市数学高三理数第一次综合测试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共11分)1. （1分） (2019高一上·阜阳月考) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （1分）(2017·成都模拟) 复数z=2+5i，i是虚数单位，则z的共轭复数的虚部是（）A . 5iB . ﹣5iC . 5D . ﹣53. （1分）已知a=21.2 ， b=（﹣）﹣0.8 ， c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A . c＜b＜aB . c＜a＜bC . b＜a＜cD . b＜c＜a4. （1分）(2018·全国Ⅰ卷理) 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为 ,则（）A .B .C .D .5. （1分） (2016高二上·黄石期中) 已知数列{an}，则“{an}为等比数列”是“an2=an﹣1•an+1”的（）A . 充分必要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件6. （1分） (2016高一下·龙岩期中) 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4π）=f（x）+f（2π）成立，那么函数f（x）可能是（）A . f（x）=2sin xB . f（x）=2cos2 xC . f（x）=2cos2 xD . f（x）=2cos x7. （1分） (2016高一上·澄城期中) 设偶函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是（）A . （2，5）B . （﹣5，﹣2）∪（2，5）C . （﹣2，0）∪（2，5）D . （﹣5，0）∪（2，5）8. （1分）如果函数f（x）=3cos（2x+ ），则f（x）的图象（）A . 关于点（﹣，0）对称B . 关于点（，0）对称C . 关于直线x= 对称D . 关于直线x= 对称9. （1分）(2019·新乡模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .10. （1分）若函数y=mlnx（m＞0）的图象与函数y=e 的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（）A . （1，）B . （，e）C . （e，+∞）D . （，+∞）11. （1分） (2017高二上·宜昌期末) 若双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为（）A . 1B . 2C . 3D . 6二、填空题 (共4题；共4分)12. （1分）已知向量=（﹣1，2），=（5，﹣2），向量=（﹣4，0），用，表示向量，则=________13. （1分）展开式中不含 x4项的系数的和为________14. （1分）(2018·朝阳模拟) 如图，在正方体中，分别为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为________．15. （1分） (2015高一上·秦安期末) 已知ABCD为正方形，点P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD=AD=2，二面角P﹣AD﹣C为60°，则点C到平面PAB的距离为________．三、解答题 (共7题；共14分)16. （2分） (2017高三上·韶关期末) 设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和Sn ．17. （2分）(2017·成都模拟) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．18. （2分）(2016·枣庄模拟) 如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C是菱形，侧面ABB1A1⊥侧面AA1C1C，A1B=AB=AA1=2，△AA1C1的面积为，且∠AA1C1为锐角．（I）求证：AA1⊥BC1；（Ⅱ）求锐二面角B﹣AC﹣C1的余弦值．19. （2分） (2017高二上·安阳开学考) P（x0 ， y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．20. （2分） (2019高三上·深圳期末) 已知函数（）（1）若是的极值，求的值，并求的单调区间。

山东省泰安市2020-2021学年高三上学期1月月考数学试题(含答案解析)

【点睛】
此题考查奇函数的性质的应用，考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题
2．D
【分析】
利用复数除法运算化简，根据的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限列不等式组，解不等式组求得的取值范围，由此确定正确选项.
【详解】
依题意，
由于在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，
故的值可以是-2.
山东省泰安市2020-2021学年高三上学期1月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设函数为奇函数，且当时，，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
2．若复数的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（）
（i）当面积最大时，求的方程；
（ii）求证：，并判断，的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列.
22．已知函数，．
（1）设函数与有相同的极值点．
（i）求实数a的值；
（ii）若对，，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（2）时，设函数，试判断在上零点的个数．
参考答案
1．D
【分析】
已知数列中，公差不等于的等差数列满足_________，求数列的前项和 .
19．如图，在等腰直角三角形ADP中，，，B，C分别是AP，DP上的点，且，E，F分别是AB，PC的中点．现将△PBC沿BC折起，得到四棱锥P-ABCD，连接EF．
（1）证明∶ 平面；
（2）是否存在点B，当将△PBC沿BC折起到时，二面角的余弦值等于？若存在，求出AB的长；若不存在，请说明理由．

山东省泰安市泰安第一中学2025届高三上学期开学考试数学试卷(含解析)

2025届山东省泰安第一中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）A ．B ．C ．D ．2．某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（）A ．B ．C ．D ．3．安排4名大学生到两家公司实习，每名大学生只去一家公司，每家公司至少安排1名大学生，则大学生甲､乙到同一家公司实习的概率为（）A ．B ．C ．D ．4．已知椭圆的左､右顶点分别为，上顶点为，离心率为.若，则（）A ．5B ．7C ．21D ．255．设，则的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．6．若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．7．若，则（）A．B ．C ．D ．8．已知实数构成公差为的等差数列，若，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．4{N |Z}4A x x=∈∈-2{N |340}B x x x =∈--≤A B = []1,2-[]0,2{}0,2,3{}1,2181091,89,90,92,94,87,93,96,91,8575%9393.59494.515310325372222:1(0)x y C a b a b+=>>12,A A B 12121BA BA ⋅=- 22a b +=2ln212ln3,,2e 3e a b c +===,,a b c c b a >>b c a >>b a c>>c a b>>()()22ln 0f x ax x b x ab =-+≠0,0a b <<0,0a b <>12ab <ab >()sin 20α-=()cos 2140α+=1818-78-78,,a b c d 16,0abc b =<d [(),-∞-⋃+∞][(),22,∞∞--⋃+(),∞∞-⋃+][(),33,∞∞--⋃+二、多选题9．已知函数的部分图象如图所示，令，则（）A ．的一个对称中心是B ．的对称轴方程为C ．在上的值域为D ．的单调递减区间为10．已知复数，则下列结论正确的有（）A．B ．若满足，则C ．若，且，则D ．若满足，则在复平面内所对应点的轨迹是双曲线11．若函数，则（）A ．的极大值点为2B ．有且仅有2个零点C ．点是的对称中心D ．12．已知，点是边上一点，若，则.13．甲､乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据()()cos (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<()()cos2g x f x x =-()g x π,012⎛⎫⎪⎝⎭()g x ()ππZ 62k x k =-+∈()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()g x ()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦12,,z z z 1212z z z z =z 2R z ∈R z ∈12zz zz =12z z ≠0z =z 556z z +--=z ()323f x x x =-()f x ()f x ()1,2-()f x 12340424043808620222022202220222022f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1,120ABC AB BC B ∠=== V E BC 2BE CE =AE CE ⋅=以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不低于甲以获胜的概率，则的取值范围为.14．如图，为的边上一点，，则的最小值为.四、解答题15．某项考核，设有一个问题，能正确回答该问题者则考核过关，否则即被淘汰.已知甲､乙､丙三人参与考核，考核结果互不影响，甲过关的概率为，乙过关的概率为，丙过关的概率为.(1)若三人中有两人过关，求丙过关的概率；(2)记甲､乙､丙三人中过关的人数为，求的分布列与数学期望.16．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.17．如图，矩形中，为的中点，将沿折起，使平面平面，且点满足，且.(1)求直线与平面所成角的正切值；(2)求几何体的体积.18．抛物线的焦点为，准线为，斜率分别为的直线均过点，且分别与交于和（其中在第一象限），分别为的中点，直线与交于点，的角平分线与交于点.(1)求直线的斜率（用表示）；(01)p p <<3:03:1p D ABC V AC 2,90,24AD DC ABC AB BC ∠==+= BD 122334X X ()()2ln 2f x x ax a x a =++++()f x 0a <()22f x a a≤--+ABCD 2AB BC E ==CD ADE V AE ADE ⊥ABCE F DF ∥CE 3DF CE =CF ADE ADE BFC -2:4C x y =F l ()1212,0k k k k >≥12,l l F C ,A B ,D E ,A D ,T S ,AB DE TS l P BFE ∠l Q TS 12,k k(2)证明：的面积大于.19．定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，3，5经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为.(1)若已知数列，求；(2)求不等式的解集；(3)是否存在不全为0的数列，使得数列为等差数列？请说明理由.SPQ V 21,4,3,8,51,5,4,7,3,11,8,13,5,,a b c n n P n S 3,4,522,P S 2049n P ≥(),,,,a b c a b c ∈R {}n S答案1．答案：C解：即，解得，由题意得，则.故选：.2．答案：A解：将比赛得分从小到大重新排列：，因为，所以这组数据的分位数是第个数.故选：A.3．答案：D解：4名大学生分两组，每组至少一人，有两种情形，分别为3，1人或2，2人,即共有种实习方案，其中甲，乙到同一家实习的情况有种，故大学生甲､乙到同一家实习的概率为.故选：D.4．答案：B解：因为离心率，解得因为分别为的左､右顶点，B 为上顶点，则.所以，因为.，所以，2340x x --≤(4)(1)0x x -+≤14x -≤≤{}{}0,2,3,5,6,8,0,1,2,3,4A B =={0,2,3}A B = C 85,87,89,90,91,91,92,93,94,9675%1075⨯=.75%8322424C A C 8614+=+=122222C A A 426+=+=63147=12c e a ===223,4b a =12,A A C ()()12,0,,0,A a A a -()0,B b ()()12,,,BA a b BA a b =--=-1BA 21BA =-221-+=-a b将代入解得.故选：B.5．答案：C 解：构造函数，可得，当时，单调递减，，由，故，即.故选：C.6．答案：C解：由，，得，令，若，此时单调，不存在极值点，所以，即，由于有唯一极值点，故有正根，负根各一个，则，故，结合选项一定成立.故选：C.7．答案：C解：根据题意，，.2234b a =223,4b a =224,3a b ==()ln x f x x =()0x >()21ln xf x x -'=()e,x ∞∈+()()0,f x f x '<()()()()222ln 3e ln2ln4lne4,e ,3e 24e 3ea fb fc f =======2e 43e <<()()()2e 43ef f f >>b a c >>()()22ln 0f x ax x b x ab =-+≠0x >()22222b ax x bf x ax x x='-+=-+()()2220,Δ48g x ax x b ab ab =-+≠=-Δ480ab =-≤()f x 48ab -0>12ab <()f x ()g x 02<ba0ab <12ab <()sin 20α-==()1sin40sin20cos20sin20cos20122sin402sin4042sin 40====----()()()cos 2140cos 220180cos 220ααα⎡⎤⎡⎤+=-+=--⎣⎦⎣⎦()212sin 20α⎡⎤=---⎣⎦2171248⎡⎤⎛⎫=--⨯-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选：C.8．答案：A解：因为实数构成公差为的等差数列，所以，所以，构造函数，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以的最小值为，所以.故选：A.9．答案：ABD解：由题图可得函数的最小值为，，又，，，所以，结合对称性可得函数的图象过点，所以，解得，又，所以，所以，所以，所以.对于A ，当，，所以是的一个对称中心，故A 正确；对于B ，令，，可得，，故的对称轴方程为，，故B 正确；,,a b c d ()22,,16a b d c b d abc b b d =-=+=-=2216(0)d b b b=-<()()()3222816(0),b f b b b f b b b+=-<'=(),2b ∈-∞-()0f b '<()f b [)2,0b ∈-()0f b '≥()f b ()f b ()212f -=[)[(212,,,d d ∞∞∞⎤∈+∈--⋃+⎦()()cos f x A x ωϕ=+2ππ3π331244T ⎛⎫--== ⎪⎝⎭0A >0ω>2πT ω=2A ω==()f x π12⎛- ⎝ππ126f ϕ⎛⎫⎛⎫-==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2π,6k k ϕ=+∈Z 0πϕ<<π6ϕ=()π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()π3cos22cos2cos2cos262g x f x x x x x x x ⎛⎫=-=+-=- ⎪⎝⎭()1πcos2cos 223g x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭π12x =πππcos 01263g ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π,012⎛⎫⎪⎝⎭()g x π2π3x k +=Z k ∈ππ26k x =-Z k ∈()g x ππ26k x =-Z k ∈对于C ，时，，所以，故在上的值域为，故C 错误；对于D ，令，解得，所以的单调递减区间为，故D 正确.故选：ABD.10．答案：AC解：对于A 选项，设，则，，，所以，故A 正确；对于B 选项，若，则，故B 错误；对于C 选项，令，因为，所以或；，因为，所以，因为或，所以，所以，故C 正确；对于D 选项，令，因为6，由双曲线定义可得在复平面内所对应点的轨迹是双曲线的右支，故D 错误.故选：AC.11．答案：BCD解：π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π1cos 21,32x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()π2π2π2πZ 3k x k k ≤+≤+∈()ππππZ 63k x k k -+≤≤+∈()g x ()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦()12i,i ,,,R z a b z c d a b c d =+=+∈()12i z z ac bd ad bc =-++=12z z ==1212z z z z =i z =21z =-i z a b =+()1112221122i,i,,,,,,R z x y z x y a b x y x y =+=+∈12z z ≠12x x ≠12y y ≠()()()()()()11111112222222i i i;i i i zz a b x y ax by ay bx zz a b x y ax by ay bx =++=-++=++=-++12zz zz =11221122ax by ax by ay bx ay bx -=-⎧⎨+=+⎩12x x ≠12y y ≠0a b ==0z =i z x y =+55z z +--=610=<z对于A ，由题意知.令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递增；令，解得，所以在上单调递减.所以在处有极大值.所以的极大值点为0，A 项错误；对于B ，又因为极小值，极大值，故有且仅有2个零点，故B 正确；对于C ，，对称中心为，故C 正确；对于D ，由C 选项，所以.故D 正确.故选：BCD.12．答案：解：由题意，，所以.故答案为：.13．答案：解：甲以获胜的概率，甲以获胜的概率为，由题意，，即，解得，所以的取值范围为.故答案为：.14()236f x x x '=-0x <2x >()f x (),0∞-()2,∞+02x <<()f x ()f x 0x =()f x ()240f =-<()00f =()f x ()()()()3232223234f x f x x x x x -+=---+-=-()1,2-12340424043404348086202220222022202220222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭718-21,33AE AB BE AB BC CE BC =+=+=- 221123339AE CE AB BC BC AB BC BC⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12711cos603918=-⨯⨯⨯-=- 718-2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭3:031p p =3:1()()23323C 131p p p p p =-=-12p p ≥()3331p p p ≥-23p ≥p 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭解：以为轴，以为轴，建立平面直角坐标系，设，法一：时，法二：，当且仅当时等号成立，故15．答案：(1)(2)分布列见解析，解：（1）记甲､乙､丙三人过关分别为事件，记三人中恰有两人过关为事件则，又，所以，故若有两人过关，丙过关的概率为.BC x BA y ,,2,BC x AB y AD DC === 21,,24,24(04)33D x y AB BC x y y ⎛⎫∴+=∴+=<< ⎪⎝⎭BD ==2y =min BD =222(2)2422x y x y BD ++⎛⎫==≥= ⎪⎝⎭22x y ==min BD =9112312,,A B C ,D ()()()()P D P ABC P ABC P ABC =++1211131231123423423424=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()()()P CD P ABC P ABC =+12311332342348=⨯⨯+⨯⨯=()()()398111124P CD P CD P D ===∣911（2）由题意可知，的所有可能取值为，则，，，所以的分布列为0123故，即的数学期望为.16．答案：(1)答案见解析(2)证明见解析解：（1），定义域为，则，①当时，在上单调递增；②当时，当时，，在上单调递增；当时，在上单调递减.综上，①当时，在上单调递增，②当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，要证，只需证，X 0,1,2,31111(0)(23424P X P ABC ===⨯⨯=(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++11112111312342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()()11224P X P D ===()()12313,2344P X P ABC ===⨯⨯=X XP 12414112414()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=X 2312()()2ln 2f x x ax a x a =++++ 212(2)1()22ax a x f x ax a x x +++'=+++=()()211,(0)x ax x x++=>0a ≥()()0,f x f x '>0a <10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()f x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()()0,f x f x '<1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭0a ≥()f x 0a <()f x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭0a <()22f x a a ≤--+max 2()2f x a a≤--+由（1）得，，即证恒成立.令，则当时，单调递增，当时，单调递减，的最大值为，即.恒成立，原命题得证.17．答案：(2)2解：（1）取中点中点，连接，由题易得，面面，面面面，∴平面，又为中点，则在矩形中，四边形为正方形，，两两垂直，且.以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，.，平面的一个法向量为..max 111()ln f x f a a a ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2a a a ++11ln 1a a a⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭11ln 10a a⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭()1,ln 1(0)t g t t t t a =-=-+>()111,t g t t t-=-='()0,1t ∈()()0,g t g t '>()1,t ∞∈+()()0,g t g t '<()g t ∴()10g =()0g t ≤11ln 10a a⎛⎫∴-++≤ ⎪⎝⎭AE ,O AB G DO OG ､AD DE ==,1DO AE DO AO ∴⊥== ADE ⊥ABCE ADE ,ABCE AE DO =⊂ADE DO ⊥ABCE G AB ABCD AGED GO AE ∴⊥,,OA OG OD ∴1OA OG OD ===,,OA OG OD ,,x y z ()()()()1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0A E D G -()()()1,2,0,2,1,0,3,3,1B C F ---()1,2,1CF ∴=- ADE ()0,1,0OG = 2,1CF OG CF ∴⋅==与平面.（2）..，.所求几何体的体积为2.18．答案：(1)(2)证明见解析解：（1）抛物线的焦点的坐标为，准线的方程为，设直线的方程为，联立得，由已知方程的判别式，设，则，，所以故中点的坐标为，同理可得，sin cos,CF OGCF OGCF OGθ⋅∴====⋅cosθ=tanθ∴=CF ADEADE BFC F ABCE F ADEV V V---=+()111111 3326F ABCE ABCEV S DO AB CE BC DO-=⋅=⨯+⋅⋅=⨯=11113321313326F ADE ADEV S GO AE DO GO-=⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=2ADE BFC F ABCE F ADEV V V---=+=∴21TSk k k=+24x y=F l1y=-1l11y k x=+1214y k xx y=+⎧⎨=⎩21440x k x--=21440x k x--=2116160k∆=+>1214x x k+=124x x=-()2121121242y y k x x k+=++=+AB T()2112,21k k+()2222,21S k k+故.（2）设直线的倾斜角分别为，则有，的倾斜角为，斜率为，故FQ ：，当时，，故.，即，当，且时，令可得，，所以，()()22212121212122TS k k k k k k k +-+==+-12,l l ,αβtan α=12ππ,tan ,0,,0,22k k βαβ⎛⎫⎡⎫=∈∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭FQ π0,222αβαβ⎛⎫++⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2αβ+tan 12y x αβ+=+1y =-x =2tan 2αβ-+2,1tan 2Q αβ⎛⎫ ⎪-- ⎪+ ⎪⎝⎭()()22111:221TS y k k x k k =+-++()211221y k k x k k =+-+0παβ<+<π2αβ+≠1y =-1212222tan tan 2tan tan k k x k k αβαβ--===++()2tan αβ-+()2,1tan P αβ⎛⎫-- ⎪ ⎪+⎝⎭()22tan tan 2PQ αβαβ=-+++，当时，点的坐标为，点的坐标为，此时，所以，当且仅当时取等号.记点到的距离为，当时，由于，故，故，又，故此时的面积；当时，，又，故此时的面积；综上所述，的面积大于.19．答案：(1)(2)(3)存在，理由见解析解：（1）第一次“和扩充”：3，7，4，9，5；第二次“和扩充”：3，10，7，11，4，13，9，14，5；故.（2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，221tan 222tan tan 22αβαβαβ+⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+++1tan 22tan 2αβαβ+=+>+π2αβ+=P ()0,1-Q ()2,1Q --2PQ =2PQ ≥π2αβ+=S l h π2αβ+=π2α<0β>22222h k =+>2PQ =SPQ V 122S h PQ =>π2αβ+≠2PQ >22222h k =+≥SPQ V 122S h PQ =>SPQ V 2229,76P S ==10n ≥229,76P S ==,,a b c n n P则经第次“和扩充”后增加的项数为，所以，所以，其中数列经过1次“和扩充”后，得到，，故，，故是首项为4，公比为2的等比数列，所以，故，又，则，即，解得.（3）因为，，依次类推，，故，若使为等差数列，则，所以存在不全为0的数列，使得数列为等差数列.()1n +1n P -()1121n n n n P P P P +=+-=-()112221n n n P P P +-=-=-,,a b c ,+a a b ,,b b c c +15P =114P -={}1n P -111422n n n P -+-=⨯=121n n P +=+*n ∈N 2049n P ≥1212049n ++≥10n ≥1232S a a b b b c c a b c =++++++=++()()2213232,32S S a b c S S a b c =+++=+++()1132n n n S S a b c --=+++()1132n n n S S a b c --=+++()()2123232n n n S a b c a b c ---=++++++()()2112333n S a b c -==++++++ ()()1313232213n a b c a b c --=+++++⋅-322n a c a c b ++⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭{}n S 02a cb ++=(),,,,a bc a b c ∈R {}n S。