数学理吉林一中高三冲刺数学试卷

吉林一中 2010级高三冲刺考试数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．给定集合=M {4|πθθk =，∈k Z}，}02cos |{==x x N ，}12sin |{==a a P ，则下列关系式中，成立的是 （ ） A ．M N P ⊂⊂ B ．M N P ⊂= C ．M N P =⊂ D ．M N P ==2．某中学高一年级有560人，高二年级有540人，高三年级有520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级依次抽取的人数分别是（ ） A ．28、27、26 B ．28、 2 6、2 4 C ．26、2 7、28 D ．27、 26、25 3．函数43cos2cos 224cos 2sin 22)(ππx x x f +=的最大值是 （ ）A ．2B ．1C ．22D ．24．已知函数)()(,)(x f y x f y R x f y ='==是上的可导函数是定义在的导函数，命题00)(:;0)(:x x x f y q x f p ==='在命题处取得极值，则q p 是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．平面ααα且交垂直与的动直线过定点于点交的斜线,,AB l A B AB 于点C ，则动点C 的轨迹是（ ）A ．一条直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线的一支6．函数)(log )(22x x x f -=的单调递增区间是 （ ）A ．)1,0(B ．]21,(-∞ C ．)1,21[ D ．]21,0( 7．下列结论正确的是（ ）A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且B ．当210≥+>xx x 时，C ．当xx x 1,2+≥时的最小值是2D ．当xx x 1,20-≤≤时无最大值8．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面A 1B ⊥BC ，且A 1C 与底面成600角，AB=BC =2，则该棱柱体积的最小值为 （ ） A ．34B ．33C ．4D ．39．已知设)(,)()()(,,x f y x x x f =⊥-⋅+=则函数且若函数是非零向量的图象是（ ）A ．过原点的一条直线B ．不过原点的一条直线C ．对称轴为y 轴的抛物线D ．对称轴不是y 轴的抛物线10．如右图,是某算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构为 （ ） A ．顺序结构 B ．判断结构 C ．条件结构 D ．循环结构11．已知直线01234=--y x 与两坐标轴分别相交于A 、B 两点，圆C 的圆心的坐标原点，且与线段AB 有两个不同交点，则圆C 的半径的取值范围是 （ ）A ．),512(+∞ B ．]3,512(C ．]4,512(D ．（3，4）12．若集合A 1、A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A ={a 1,a 2,a 3} 的不同分拆种数是 （ ） A ．27 B ．26 C ．9 D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

将符合题意的答案填在题后的横线上） 13．已知曲线012)0,1(1=+--=y x x y n 处的切线与直线在点平行，则实数=n ______。

14．已知,)21(55443322105x a x a x a x a x a a x +++++=+则25314420)()(a a a a a a ++-++的值是__________。

（用数字作答） 15．已知点P 、Q 是POQ O y x y x ∠⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+tan ,,1105则为坐标原点内的点的取值范围是_____。

16．设f 1（x ）=21x +, f n+1（x ）= f 1[ f n （x ）],且a n =(0)1(0)2f f -+, 则a 2010=_____。

三、解答题（本大题共6小 题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知函数)0(212cos)2cos2sin3()(>-+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为.2π（I ）求ω的值；（II ）在,中ABC ∆角A 、B 、C 的对边分别是,cos cos )2(,,,C b B c a c b a =-且满足求)(B f 的值。

18．（12分）一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数n m ,时，输出结果记为),(n m f ，且计算装置运算原理如下：若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则(1,1)f =1；②若Ⅰ输入固定的正整数，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1， Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。

试求：（1）(,1)f m 的表达式 （m N ∈）；（2）(,)f m n 的表达式（,m n N ∈）；（3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数n ，则输出结果(,)f n n 能否为2010？若能，求出相应的n ；若不能，则请说明理由。

21．（12分）设函数∈-=-m x e x f m x 其中,)(R ． （I ）求函数)(x f 的最值；（II ）给出定理：如果函数)(x f y =在区间[b a ,]上连续，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在0)(),,(00=∈x f b a x 使得．运用上述定理判断，当1>m 时，函数)(x f 在区间)2,(m m 内是否存在零点．22．（12分）已知圆22:50C x t y t ++=>()()和椭圆2222:1x y E a b+=0a b >>()的一个公共点为02B (，)．F 为椭圆E 的右焦点，直线BF 与圆C 相切于点B ．（Ⅰ）求t 值和椭圆E 的方程；（Ⅱ）圆C 上是否存在点M ，使M BF ∆为等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标．参考答案一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分。

在每小题经出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1—5AACBA 6—10DBAAD 11—12BA二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

将符合题意的答案填在题后的横线上） 13．2 14．-243 15．]815,0[ 16．201112- 三、解答题：本大题共6个小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．解：（Ⅰ）)6sin(212cos 2cos2sin3)(2πϖϖϖ+=-+=ax x x x x f …………4分 122=∴==ϖπϖπT)6sin()(π+=∴x x f …………6分（Ⅱ）C b B c a cos cos )2(=- C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2=-∴A CB B A sin )sin(cos sin 2=+=…………8分 12sin)63sin()6sin()(==+=+=ππππB B f1)(=∴B f …………10分18．（1）(,1)f m =3(1,1)f m -=32(2,1)f m -= … =3m-1(1,1)f =3m-1（2）(,)f m n =(,1)f m n -+3=(,2)f m n -+3×2= … =(,1)f m +3 （n -1） =3m-1+3 （n -1）（3）(,)f n n =3n-1+3 （n -1）,∵(7,7)3618f =+=747＜20107(8,8)321f =+=2208＞2010, ∴(,)f n n 输出结果不可能为2010。

19．解法一：（I ）EF PA ABC PA ⊥∴⊥平面 ，AD 为PD 在平面ABC 内的射影。

又 点E 、F 分别为AB 、AC 的中点， BC EF //∴在ABC ∆中，由于AB=AC ，故,,AD EF BC AD ⊥⊥所以EF PA ⊥∴，⊥∴⊥EF AD EF 平面PAD （II ）设EF 与AD 相交于点G ，连接PG 。

⊥EF 平面PAD ，⊥∴PEF 面dm PAD,交线为PG ，过A 做AO ⊥平面PEF ，则O 在PG 上，[来源:学#科#网Z#X#X#K] 所以线段AO 的长为点A 到平面PEF 的距离在,2,2,==∆AG PA PAG Rt 中332=∴AO 即点A 到平面PEF 的距离为332说 明：该问还可以用等体积转化法求解，请根据解答给分。

（III ）2,π=∠⊥BAC ABC PA 平面⊥∴BA 平面PAC 。

过A 做PF AH ⊥，垂足为H ，连接EH 。

[来源:学*科*网Z*X*X*K] 则PF EH ⊥所以EHA ∠为二面角E —PF —A 的一个平面角。

[来源:Z*xx*k ．Com]在,2,2,==∆AH EA EAH Rt 中222tan ==∠∴EHA即二面角E —PF —A 的正切值为.2…………12分 解法二：,2,π=∠⊥BAC ABC PA 平面∴AB 、AC 、AP 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，则A （0，0，0），E （2，0，0），D （2，2，0），F （0，2，0），P （0，0，2）……2分（I ）)0,2,2(),0,2,2(),2,0,0(-===EF AD AP 且,0200202=⨯+⨯+⨯-=⋅00022)2(2=⨯+⨯+-⨯=⋅[来源:Zxxk ．Com]AD EF EF PA ⊥⊥∴,⊥∴EF 平面PAD（II ）),,(),2,0,2(z y x =-=设为平面PEF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-=⋅022022y x n EF z x 令)1,1,1(,1,1,1====z y x 所以则…………6分 故点A 到平面PEF 的距离d 为：33211112|1010|222=++⨯+⨯+⨯==d 所以点A 到平面PEF 的距离为332…………8分 （III ）依题意)0,0,2(=AE 为平面PAF 的一个法向量， 设二面角E —PF —A 的大小为θ（由图知θ为锐角）则，,33322||||||cos ==⋅=n AE θ…………10分所以,36sin =θ 2tan =∴θ即二面角E —PF —A 的正切值为.2…………12分20．解：（I ）依题意有：122)1(3)1(1+=⨯-+=-+=n n d n a a n …………1分 设,,}{1-=n n n q b q b 则的公比为}{n a b 数列 是公比为64的等比数列86423512====∴q q b b b b a a 解得18-=∴n n b …………6分（II ）)2()12(53+=++++=n n n S n …………8分[来源:Zxxk ．Com])2(153142131111121+++⨯+⨯+⨯=+++∴n n S S S n …………9分 )21151314121311(21+-++-+-+-=n n …………11分43)2111211(21<+-+-+=n n …………12分 21．答案：（I ）∵- ()-()-1x m f x f x e '∞+∞=在（，）上连续，，令.,0)(m x x f =='得……………………3分;1)()(.)(,,.0)(,1,),(;0)(,1,),(min m m f x f x f m x x f e m x x f e m x m x m x -==∴=>'>+∞∈<'<-∞∈--取极小值也是最小值时当所以时当时当由（*）知f （x ）无最大值．……………………6分（II ）函数f （x ）在[m ，2m]上连续，(2)2,()2,()2,1,()20,m m m f m e m g m e m g m e m g m e =-=-'=->'∴>-> 而令则（*）∴()1g m +∞在（，）上递增．……………………8分由(1)20,()(1)0,(2)0,g e g m g f m =->>>>得即……………………10分 又,0)2()(,01)(<⋅∴<-=m f m f m m f根据定理，可判断函数f （x ）在区间（m ，2m ）上存在零点． …………12分22．解：（Ⅰ）由题可知，2=b …………………………1分)2,0(),0,(B t C - ，5222=+=∴t BC ，1±=∴t ，又0>t ，1=∴t ……………………………3分法一：BF 为圆C 的切线，BF BC ⊥∴，222CF BF BC =+∴，设)0,(c F ，则有2222)1()2()5(c c +=++，4=∴c ， …………………5分又222c b a +=，2=b ，202=∴a ，所以椭圆E 的方程为221204x y += …………6分 法二：BF 为圆C 的切线，BF BC ⊥∴，1-=⋅∴BF BC k k ，设)0,(c F ，则有10022-=--⋅c，4=∴c ， …………………5分又222c b a +=，2=b ，202=∴a ， 1420:22=+∴y x E …………6分 法三：BF 为圆C 的切线，∴则圆心)0,1(-C 到直线BF 的距离等于5，又022:=-+c cy x l BF ，54222=+--∴cc ，[来源:学科网]4,01682=⇒=+-∴c c c ， ……………………………5分又222c b a +=，2=b ，202=∴a ， 1420:22=+∴y x E ……………6分 （Ⅱ）法一：假设存在点),(y x M ，使MBF ∆为等腰三角形，则),(y x M 点满足5)1(22=++y x …………①， ………………7分 下面分三种情况讨论：（1）当BF BM =时，有20)2(22=-+y x ，即20)2(22=-+y x …………② 由①②联立得：⎩⎨⎧-=-=22y x ，)2,2(--∴M……………………………9分（2）当MF MB =时，有2222)4()2(y x y x +-=-+，即32=-y x …………③ 由①③联立得：⎩⎨⎧-==11y x ，)1,1(-∴M …………………………11分 （3）当FB FM =时， 有20)4(22=+-y x ，即04822=--+x y x …………④ 由①④联立得：⎩⎨⎧±==20y x ，又)2,0(B ，)2,0(-∴M …………………13分综上，圆C 上存在点)2,2(--M 或)1,1(-M 或)2,0(-M ，使MBF ∆为等腰三角形． …………………14分法二：假设存在点),(y x M ，使MBF ∆为等腰三角形，下面分三种情况讨论：（1）当FB FM =时，)2,0(B 关于x 轴对称点)2,0(-也在圆上，)2,0(-∴M ………………8分（2）当BF BM =时， 52=BF ，又圆C 的直径为52，∴BM 为圆C 的直径， 此时由)0,1(-C 、)2,0(B 及中点公式得)2,2(--M ； …………………10分（3）当MF MB =时，设),(y x M ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-+5)1()4()2(222222y x y x y x⎩⎨⎧-==⇒11y x ，)1,1(-∴M 综上，圆C 上存在点)2,2(--M 或)1,1(-M 或)2,0(-M ，使MBF ∆为等腰三角形． …………………………14分。