微积分样题1

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微积分试题及答案

微积分试题及答案1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。

解析：首先，我们需要求函数f(x)的导数。

对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的导数等于2ax + b。

因此，对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，其导数即为 f'(x) = 6x - 2。

接下来，我们需要求在 x = 2 处的导数。

将 x = 2 代入导数公式，得到 f'(2) = 6(2) - 2 = 10。

答案：函数f(x)在x = 2处的导数为10。

2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的定积分∫[0, π] g(x)dx。

解析：我们需要求函数 g(x) = sin(x) + cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分。

首先，我们可以分别求 sin(x) 和 cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分，然后将结果相加即可。

根据积分的基本性质，∫sin(x)dx = -cos(x) 和∫cos(x)dx = sin(x)，所以：∫[0, π]sin(x)dx = [-cos(x)]|[0, π] = -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2∫[0, π]cos(x)dx = [sin(x)]|[0, π] = sin(π) - sin(0) = 0 - 0 = 0将上述结果相加，得到定积分的结果：∫[0, π]g(x)dx = ∫[0, π]sin(x)dx + ∫[0, π]cos(x)dx = 2 + 0 = 2答案：函数g(x) = sin(x) + cos(x)在[0, π]区间上的定积分为2。

3. 求曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线方程。

解析：要求曲线 y = x^3 在点 (1, 1) 处的切线方程，我们需要确定切线的斜率和过切点的直线方程。

首先，我们求出这个曲线在点(1, 1)处的导数来获得切线的斜率。

微积分1(含答案)

第 1 页共 8 页1、在二元函数的极限中，(,)P x y 趋于点000(,)P x y 的方式是任意的；（ √ ）2、若(,)z f xy =在00(,)x y 处存在一阶偏导数，则(,)z f x y =在00(,)x y 处可微（ × ）3、“对二元函数),(y x f z =，求其在条件0),(=y x ϕ下的极值”问题的拉格朗日函数为：),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=；（ √ ）4、设22:14D x y ≤+≤，则3D d x d y π=⎰⎰；（ √ ） 5、若级数1nn a∞=∑收敛，级数1nn b∞=∑发散，则级数1()nn n ab ∞=+∑必发散；（ √ ）6、级数1nn ∞= （ × ）7、级数21n n x n ∞=∑的收敛半径是2；（ × ）8、2()20x y y x ''-+=是一阶微分方程．（ √ ） 1、若函数(,)f x y 点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=；（ √ ）2、若(,)z f xy=在00(,)x y 处可微，则(,)z f x y =在00(,)x y 处存在连续偏导数（ √ ）3、若在驻点00(,)x y 处00(,)xx f x y ''和00(,)yy f x y ''异号，则00(,)f x y 是函数极值；（ × ）4、设22(,)1f x y x y =--，则(0,)是函数的极大值点；（ √ ）5、(,)(cos ,sin )DDf x y d f r r drd σθθθ=⎰⎰⎰⎰；（ × ） 6、若级数1nn u∞=∑收敛，则级数12nn u∞=+∑也收敛；（ √ ）7、级数1(1)2nnn ∞=-∑是条件收敛；（ × ） 8、2()20y y ''-=是二阶微分方程．（ × ）第 2 页共 8 页二、填空题 1、设x z y =，则zx∂=∂ ln x y y ； 2、设22xy z e +=，则dz = 222()xy e xdx ydy ++ ；3、在极坐标系下计算二重积分有公式(,)Df x y dxdy =⎰⎰(cos ,sin )Df r r rdrd θθθ⎰⎰ ；4、设0a ≠，则当q 满足：q 1> 时，几何级数1n n aq ∞=∑收敛； 5、对任意级数1nn u∞=∑，如果1nn u∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑为绝对收敛级数；6、1()1f x x =-展开成x 的幂级数是_______0(11)nn x x ∞=-<<∑______。

微积分数学竞赛试题及答案

微积分数学竞赛试题及答案试题一：极限问题题目：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

解答：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导后再求极限。

对分子和分母分别求导得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \]因此，原极限的值为1。

试题二：导数问题题目：求函数 $ f(x) = 3x^2 - 2x + 1 $ 在 $ x = 1 $ 处的导数。

解答：首先求函数 $ f(x) $ 的导数：\[ f'(x) = 6x - 2 \]然后将 $ x = 1 $ 代入导数表达式中：\[ f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \]所以，函数在 $ x = 1 $ 处的导数为4。

试题三：积分问题题目：求定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$。

解答：使用幂函数的积分公式：\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]对于 $ n = 2 $，我们有：\[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \]计算定积分的值：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}= \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]试题四：级数问题题目：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} $ 是否收敛。

解答：这个级数可以通过部分分式分解来简化：\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \]解得 $ A = 1 $ 和 $ B = -1 $，因此：\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]将这个结果代入级数中，我们得到一个望远镜级数：\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \]这个级数的项会相互抵消，只剩下第一项 $ \frac{1}{1} $，所以级数收敛，其和为1。

微积分复习题(1)(1)

《微积分》期末考试复习题第一章函数与极限2. 求下列函数的定义域211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1y y x x xy y x x ==-==-6. 求下列极限：24213423(2)lim ;31(4)lim ;31(1)(2)(3)(6)lim ;5x x n x xx x x xx x n n n n →→∞→∞+-+--++++ 7若211lim 221x x ax b x →∞⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭，求a 和b . 9. 通过恒等变形求下列极限：2243222231016811(2)lim ;(4)lim ;15422 (5)lim log (1)113 (12)lim ;(13)lim ; (11)lim ; (1)11(1n n x x x a x x x x x x x xx x x x x x x →∞→→+∞→→→→-+⎛⎫+++ ⎪-+⎝⎭+-+⎛⎫- ⎪---⎝⎭3sin 0001sin 4)lim ; (15)lim(12); (16)lim ln .x xx x x a x x x x→→→-+11. 利用重要极限1lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 013(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);xx x x xx x x x x x x x +→∞→∞→→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+12. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：()1201(1)lim ;(4)lim .1e xx xx x x x →→∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭14. 利用0sin lim1x xx→=或等价无穷小量求下列极限：000sin 1cos 2(1)lim;(3)lim ;sin sin arctan 3(5)lim ;(6)lim 2sin ;2x x n n x n mx xnx x xx x x →→→→∞-16、若0→x 时,1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小,求a 的值。

微积分考试试题及答案

微积分考试试题及答案第一题：求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的极值点和拐点。

解析：首先，我们需要找到函数的极值点。

极值点对应于函数的导数为零的点。

对函数 f(x) 求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

令导数等于零，我们得到一个二次方程 3x^2 - 6x + 2 = 0。

使用求根公式，可以解得这个二次方程的解为x = 1 ± √(2/3)。

所以函数的极值点为x = 1 + √(2/3) 和 x = 1 - √(2/3)。

接下来，我们需要找到函数的拐点。

拐点对应于函数的二阶导数为零的点。

对函数 f(x) 求二阶导数得到 f''(x) = 6x - 6。

令二阶导数等于零，我们得到 x = 1，这是函数的一个拐点。

综上所述，函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的极值点为x = 1 + √(2/3)和 x = 1 - √(2/3)，拐点为 x = 1。

第二题：已知函数 f(x) = e^x，在点 x = 0 处的切线方程为 y = mx + b，求参数 m 和 b 的值。

解析：切线方程的斜率 m 等于函数在给定点的导数。

对函数 f(x) = e^x 求导得到 f'(x) = e^x。

根据题意，在 x = 0 处求切线，所以我们需要计算函数在 x = 0 处的导数。

将 x = 0 代入函数的导数表达式中，我们得到 f'(0) = e^0 = 1。

所以切线的斜率 m = 1。

切线方程的常数项 b 可以通过将给定点的坐标代入切线方程求解。

由题意知道切线过点 (0, f(0))，即 (0, e^0) = (0, 1)。

将点 (0, 1) 代入切线方程 y = mx + b，我们得到 1 = 0 + b，解得 b = 1。

综上所述，切线方程为 y = x + 1。

第三题：计算函数f(x) = ∫(0 to x) sin(t^2) dt。

微积分练习题1(2)

微积分练习题1(2)《微积分》练习题一．单项选择题1．设f??x0?存在，则下列等式成立的有A．limf?x0??x??f?x0?f?x0??x??f?x0??f ??x0?B．lim??f??x0??x?0?x?x?0?xC ．limf?x0?2h??f?x0?h?f??x D．limf?x0?2h??f?x0?1h?00?h?0h?2f??x0? 2．下列极限不存在的有A．limx?0xsin1x2?2xx2 B．xlim???x?1 12C．limxx?0e D．lim?3x?1?3x??2x6?x 3．设f(x)的一个原函数是e?2x，则f(x)? A．?2e?2x B．e?2x C．4e?2x D．?2xe?2x ?4．函数f(x)??2x,0?x?1?1,x?1在?0,???上的间断点x?1为间断点。

??1?x,x?1A．跳跃间断点；B．无穷间断点；C．可去间断点；D．振荡间断--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------~ 1 ~点5．设函数f?x?在?a,b?上有定义，在?a,b?内可导，则下列结论成立的有A．当f?a?f?b??0时，至少存在一点???a,b?，使f????0；B．对任何???a,b?，有limx???f?x??f?????0；C．当f?a??f?b?时，至少存在一点???a,b?，使f?????0；D．至少存在一点???a,b?，使f?b??f?a??f?????b?a?；6．已知f?x?的导数在x?a处连续，若limf??x?x?ax?a??1，则下列结论成立的有C．?a,f?a??是曲线y?f?x?的拐点；D．x?a不是f?x?的极值点，?a,f?a??也不是曲线y?f?x?的拐点；二．填空：1．设y?f?arcsin?，f可微，则y??x????1?x?2．若y?3x5?2x2?x?3，则y?6??0 3．过原点?0,1?作曲线y?e2x的切线，则切线方程为4?x?1??2的水平渐近线方程为x2 铅垂渐近线方程为4．曲线y?5．设f?(lnx)?1?x，则f??x??f?x??三．计算题：x2?1?x?2?lim2 --------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载--------------------- ~ 2 ~lim??x?1x?2x?3x???x?x?3ln(1?x2)2lim y??ln?1?2x?? 求dy x?0xsin3x xy3e?y?5x?0 求dydxx?0四．试确定a，b，使函数f?x??? ?b?1?sinx??a?2,x?0在x?0处连续且可导。

微积分好题目1

5________lim3sin 0=-→xee xx x解： 61lim3sin 0=-→xee xx x3sin 0limx ee xxx -→()3sin sin 01limx e exx xx -=-→()3sin sin 01limxeexx xx -=-→()3sin 0sin 01limlim xe exx x xx -∙=-→→()3sin 01limxexx x -=-→3sin limxx x x -=→23cos 1limxx x -=→61321lim 220==→x xx7 设⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,0,arcsin 1)(2tan x ae x xe xf x x在=x 连续，则a=-----------7 1-=a解：)(x f 在0=x 连续⇒)0()0()0(f f f =+=-⇒xea xx arcsin 1lim tan 0-=+→xexx arcsin 1lim tan 0--=+→x x x tan lim 0+→-=1lim 0-=-=+→xx x8设()()x fx f 2='，则n阶导数()()x fn =-----------8 ()())(!1x fn x fn n +⋅=()())(!1111x fx f+⋅=若()())(!1x fn x fn n +⋅=成立，则 ()()()()()'=+x fx fn n 1()()'⋅=+x fn n 1!()()'⋅=+x fn n 1!())()1(!x f x f n n n'+⋅= ())()1(!2x fx f n n n+⋅=()x fn n 1)1()!1(++⋅+=∴由数学归纳法可知结论正确9若sin 2x 是()f x 的一个原函数，则___________)(=⎰dx x xf解：Cx x x dx x xf ++=⎰2cos 212sin )(sin 2x 是()f x 的一个原函数⇒)2(sin )(x d x dx x xf ⎰⎰=⇒dx x x x dx x xf ⎰⎰-=2sin 2sin )( Cx x x ++=2cos 212sin10设函数)(x y y =的导函数为x cos ，且1)0(=y ，则_________)(=x y10 1sin )(+=x x yx y cos ='⇒⎰=xdx y cos ⇒Cx y +=sin ⇒Cy +=0sin )0(⇒1=C ⇒1sin +=x y==→→xbx f xax f x x )(lim,21)(lim.10则设( A ))A a b2 )B ab 21)C 2ab)D ba23．当0→x 时，变量x x sin 是变量x cos 1-的（ B ） A ．等价无穷小； B ．同阶但不等价无穷小； C ．低阶无穷小； D ．高阶无穷小。

微积分试题及答案-1

《微积分》试题第1页（共8页）微积分试题及参考答案与评分标准一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、函数21()arcsinln(1)3x f x x -=+-的定义域为； 2、2lim(1)x x x→∞-= ；3、若22(sin )cos ,f x x '=则()f x = ；4、设2sin(1)(),1x f x x -=-则x = 是()f x 的可去间断点; 5、若0(32)(3)1limh f h f h→--=,则(3)f '= ；6、1(arctan )x =d ；7、可导函数()f x 是偶函数，若(1)3,f '=则(1)f '-= ;8、函数()f x =[0, 3]上满足罗尔定理条件，结论中的=ξ ； 9、曲线C :2ln 1xy x =-的垂直渐近线是； 10、设某商品的需求函数是402Q p =-，则需求价格弹性15|p η== 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 处可导的（）．（A ）必要但非充分条件；（B ）充分但非必要条件；（C ）充分必要条件；（D ）无关条件．《微积分》试题第2页（共8页）2、当0→x 时，2x 是x cos 1-的（）无穷小．（A ）等价；（B ）同阶但不等价；（C ）高阶；（D ）低阶．3、设函数1)(1+=xe xf ，则0=x 为)(x f 的间断点类型是（）．（A ）跳跃间断点；（B ）可去间断点；（C ）振荡间断点；（D ）无穷间断点.4、设()f x 的一个原函数是2x ，则2(1)xf x x -=⎰d （）（A ）222(1)x C -+；（B ）222(1)x C --+；（C ）221(1)2x C -+；（D ）221(1)2x C --+.5、函数1sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（）．（A ）不连续；（B ）极限不存在；（C ）连续且可导；（D ）连续但不可导．三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共56分）1、求极限+01lim(1)xx x→+.2、求极限11lim()1ln x x x x→--.《微积分》试题第3页（共8页）3、设ln(x y e =，求,y y '''.4、求曲线C :2ln(1)y x =+的凹凸区间与拐点.5、求曲线C :1x y xy e ++=在0x =对应点处切线的方程.《微积分》试题第4页（共8页）6、求函数2()1xf x x =+的单调区间和极值.7、求不定积分()112ln dx x x +⎰.8、求不定积分⎰.《微积分》试题第5页（共8页）四、应用题（本大题共1小题，共8分）设某产品的总成本函数为：2()5,C x x =+需求函数为：120.5,x p =-其中x 为产量，p 为价格，求（1）收益最大时的产量和价格；（2）利润最大时的产量和价格。

微积分考试试题及答案

微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理？A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案：B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求其导数$f'(x)$。

A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案：D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$，求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。

A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。

答案：$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。

答案：$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。

答案：$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念：导数和积分的关系。

答：导数和积分是微积分的两个基本概念，导数表示函数在某一点上的变化率，而积分表示函数在某一区间上的累积效果。

导数和积分互为逆运算，导数可以用来求解函数的斜率和最值，积分可以用来求解函数的面积和定积分。

2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要？答：微积分在物理学和工程学中具有重要作用，因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。

通过微积分，可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量，以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。

微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具，可以更准确地描述和解决实际问题。

四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。

答：$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。

答：$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案，希望对你的复习有所帮助。

微积分试题一

微积分试题一一．单项选择题：(每小题2分，共20分)1．函数|)y x x =+的定义域是( )(A) [0)⋃; (B) (0,2] ;(C) [ (D) [-2,0)2．设111()1()xx e f x x x e x eϕ⎧<<⎪=⎨⎪≤<=⎩则()f x ϕ=⎡⎤⎣⎦( )(A) 1111x x e x e e⎧<<⎪⎨⎪≤<⎩ (B) 11001xx x e-<<⎧⎪⎨≤<⎪⎩ (C) 1001xx xx e⎧-<<⎪⎨≤<⎪⎩ (D) 1001x x x x e-<<⎧⎪⎨≤<⎪⎩3． 01sinlim1x xx→的结果是( )(A) 0 (B) 1 (C) ∞ (D)振荡无极限4．下列等式成立的是( ) (A) ()()df x d x f x =⎰(B) ()()df x d x f x d x =⎰(C)[]'()()f x d x f x d x =⎰ (D) '()()x d x F x F=⎰5．已知'2()xx f=,则d f d x =( )(A) -2(B) -(C) 2x x(D)6．若2032k xd x e=⎰,则K = ( )(A) 1 (B) 2 (C) lg 2 (D)1lg 227．级数1(21)nn nx ∞=+∑的收敛区间为( )(A) (-1,1) (B) [-1,1] (C) (0,1] (D) [-1,0) 8.设2()y xz f x y=,则( ) = z -(A) 2z z xyxy∂∂+∂∂ (B) 2z z xyxy∂∂+∂∂ (C) 2z z yxxy∂∂+∂∂ (D) 2z z yxxy∂∂+∂∂9．累次积分224(,)xI x f x y d y x-=⎰,其中(,)f x y 为连续函数.则 I = ( )(A)4(,)d y f x y d x ⎰⎰(B) 242(,)(,)d x f x y d y d y f x y d x +⎰⎰⎰(C) 22402(,)xx f x y d y x-⎰⎰(D)sin co s 0(co s ,sin )f r r rd r θθθθθ⎰⎰10．设()()x ax F x f t d t x a=-⎰，其中()f x 是连续函数，则lim ()x aF x →=（）(A) 0 (B) a (C) ()af x (D) 不存在二．填空题：(每小题2分，共10分)1．函数()y f x =在0x 处极限存在，则在点0x 处------------连续，但在点0x 处连续，则在点0x 处极限----------------------。

微积分综合练习题及参考答案精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是．答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是．答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数的单调增加区间是．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ．间断点答案：C（3）下列结论中（）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

大学微积分1试题及答案

大学微积分1试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数 $ f(x) = x^2 $ 的导数是：A. $ 2x $B. $ x^2 $C. $ \frac{1}{x} $D. $ 2 $答案：A2. 曲线 $ y = x^3 $ 在点 $ x = 1 $ 处的切线斜率是：A. 1B. 3C. 0D. 2答案：B3. 定积分 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $ 的值是：A. 0B. 1C. $ \frac{1}{3} $D. 2答案：C4. 函数 $ f(x) = e^x $ 的不定积分是：A. $ e^x $B. $ e^x + C $C. $ \ln(x) $D. $ x^e $答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 $ f(x) = \sin(x) $ 的导数是 ________。

答案：$ \cos(x) $2. 曲线 $ y = \ln(x) $ 在点 $ x = e $ 处的切线斜率是________。

答案：13. 定积分 $ \int_{0}^{1} e^x dx $ 的值是 ________。

答案：$ e - 1 $4. 函数 $ f(x) = \ln(x) $ 的不定积分是 ________。

答案：$ x\ln(x) - x + C $三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $ 在 $ x = 2 $ 处的导数。

答案：首先求导数 $ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 $，然后将 $ x = 2 $ 代入得到 $ f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 12 \cdot 2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 $。

2. 计算定积分 $ \int_{1}^{2} (2x + 1) dx $。

微积分考试题目及答案

微积分考试题目及答案一、选择题1. 下列哪个选项描述了微积分的基本思想？A. 求导运算B. 求积分运算C. 寻找极限D. 都是答案：D2. 求函数f(x) = 2x^3 + 3x^2的导数是多少？A. f'(x) = 4x^2 + 6xB. f'(x) = 6x^2 + 3xC. f'(x) = 6x^2 + 6xD. f'(x) = 4x^2 + 3x答案：A3. 计算积分∫(2x^2 + 3x)dxA. x^3 + 2x^2B. x^3 + 2x + CC. (2/3)x^3 + (3/2)x^2D. (2/3)x^3 + 3x^2答案：C二、填空题4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x的导数为_________答案：f'(x) = 6x + 25. 计算积分∫(4x^3 + 5x)dx = __________答案：x^4 + (5/2)x^2 + C6. 函数y = x^2在点x=2处的切线斜率为_________答案：4三、解答题7. 求函数y = x^3 + 2x^2在x=1处的切线方程。

解：首先求函数在x=1处的导数，f'(x) = 3x^2 + 4x。

代入x=1得斜率为7。

又因为该点经过(1,3)，故切线方程为y = 7x - 4。

8. 求曲线y = x^3上与x轴围成的面积。

解：首先确定曲线截距为(0,0)，解方程得x=0。

利用定积分区间求解：∫[0,1] x^3dx = 1/4。

以上为微积分考试题目及答案，希望对您的学习有所帮助。

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微积分习题一答案详解

B. D.
2
y y
x2 1 x2 1
y x2 1 y x2 1
C.
解: 可以从 y
x y2 1 , x 1( x 0) ,得出
可以得出 y x 2 1 .可以得出答案为B.
2.填空题.
(1) 设集合 A {1,2,3,4}, B {1,3,5},,则 A B =
(2)
f ( x ) 和 g( x ) 不表示同一个函数的是( B )
A. f ( x ) x 与 g( x )
1 x C. f ( x ) 1 x 与
x
2
x0 x0
1 x g( x ) D. f ( x ) x x 与 (1 x )
3
2
g( x )
3
x

x x0 B中 f ( x ) 与 g( x ) 不相同,所以选B. x x 0
x20 x 2 (3) 1 x 0 x 1 x [ 2,0) (0,1) lg(1 x) 0 x 0
(4)
1 x 1 x 0, 0 1 x 1 1 x x 1
f ( x) lg x 2 , g ( x) 2 lg x
0 x 4 得 x (0,2) (2,4) x2
(4) 解
ax x0
(

a 0 ， 0 ，x0 为常数）
0 原式
ax x0
x0 ax x 0 a 0
x0 x0 x a a
y 10
x 1
2
x R
(3)
y 2 e x x ln(2 y) 交换 x 和 y 得反函数:

大学微积分试题及答案

大学微积分试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在点x=a处连续B. f(x)在点x=a处一定有极值C. f(x)在点x=a处的导数为0D. f(x)在点x=a处的导数一定大于0答案：A2. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是：A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案：A3. 函数f(x)=x^3-3x+2的导数是：A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3D. x^3-3答案：A4. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的凹凸性是：A. 凹B. 凸C. 不确定D. 既非凹也非凸答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=2x^2-4x+3的极小值点是______。

答案：12. 曲线y=x^3-3x在点(2,5)处的切线斜率是______。

答案：33. 函数f(x)=x^2-6x+8的单调递增区间是______。

答案：[3, +∞)4. 曲线y=x^2-4x+3在x=2处的法线方程是______。

答案：y=-x+7三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+4x-2在区间[0,3]上的最大值和最小值。

答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+4。

令f'(x)=0，解得x=1, 2。

在区间[0,1]上，f'(x)>0，函数单调递增；在区间[1,2]上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间[2,3]上，f'(x)>0，函数单调递增。

因此，函数在x=1处取得极大值f(1)=1，在x=2处取得极小值f(2)=-2。

在区间端点处，f(0)=-2，f(3)=1。

所以，函数在区间[0,3]上的最大值为1，最小值为-2。

2. 求由曲线y=x^2与直线y=4x-3围成的面积。

高等数学(一)微积分模考1

高等数学（一）微积分模考1 一、单选题1．已知函数$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$，则方程$f'(x)=0$有A．三个根，分别位于区间(1,2)、(2,3)、(3,4)内B．四个根，分别为$x_1=1, x_2=2, x_3=3, x_4=4$C．四个根，分别位于区间内(1,2)、(2,3)、(3,4)D．三个根，分别位于区间(1,2)、(1,3)、(1,4)内2．过曲线$y=(x+4)/(4-x)$上一点(2,3)的切线斜率为A．$-2$B．2C．-1D．13．若$f'(1)=3$，则$lim_(h->0)(f(1)-f(1-2h))/h=$A．3B．-3C．6D．-64．下列广义积分中，发散的是( )A．$int_1^(+oo)xe^(-x)dx$~B．$int_e^(+oo)(dx)/(xlnx)$C．$int_1^(+oo) x^(2)e^(-x)dx$D．$int_e^(+oo)(dx)/( xln^(2)x)$5．设$f(x+1)=x^2-3x+2$，则f(x)=A．$x^2-6x+5$B．$x^2-5x+6$C．$x^2-5x+2$D．$x^2-x$二、填空题1．$lim_(n->oo)sqrt(n)(sqrt(n+1)-sqrt(n))$=___2．$f(x)={(ax+b,x<=1),(x^2,x>1):}$在x=1处可导，则a=___,b=___ 3．$f(x)={(x-1,x<0),(x^2,x>0):}$,则$lim_(x->0^(-))f(x)=$___4．$z=x^y$，则$(delz)/(delx)=$___,$(delz)/(dely)=$___5．设$D={(x,y)||x|<=pi,0<=y<=1}$，则$intint_D(2+xy)dxdy$=___ 6．设有方程$z^2-3xyz-a^3=0$,则$z'_x$=___7．若$R(x)=10x-0.02x^2$，则MR=___8．$sum_(n=1)^(oo)(2/3)^(n)$=___9．已知$lim_(x->oo)((x+a)/(x-a))^x=e^4$，则a=___~10．f(x)在点$x=x_0$连续是f(x)在点$x=x_0$可导的___条件。

微积分部分习题及答案 (1)

(2) 1(x2 4x 4) dx 0
解：原式 ( x3 2x2 4x) 1 1 2 4 19
3
03
3
(3)
0
3
a2
1
x2
dx
(a为常数)
解：原式 1
a
0
3
1
1 x a
2
d
x a
1 arctan x 3
a
a0
1 arctan 3
a
a
20
11.用牛顿莱布尼茨公式计算下列定积分
5
(2) ln xdx 1
解
原式 x ln x 5
5
xd ln x
1
1
5 ln 5
5 x 1 dx 1x
5 ln 5 4
35
14.用分部积分法计算下列定积分
(5) 4 ln xdx
1x
解
原式 2
4
ln xd
1
x 2 ln x
4
x 2
4
1
1
xd ln x
8 ln 2 2 4 1
解
原式 1 5
1 2
(11
1 5
x
)3
d
(5
x
11)
1 5
1 2
11
5x 2
1 2
= 51 512
33
14.用分部积分法计算下列定积分
(1) 1 xexdx 0
解原式 1 xdex 0
xex 1 1 exdx 00
( xe x
ex
)
1 0
1
34
14.用分部积分法计算下列定积分
6
22
11.用牛顿莱布尼茨公式计算下列定积分

微积分期末试题及答案

微积分期末试题及答案（正文开始）第一部分：选择题（共20题，每题5分，共100分）1. 设函数 f(x) = x^3 - 2x + 1，求 f'(x)。

2. 求函数 f(x) = e^x 的不定积分。

3. 将函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上进行定积分，求结果。

4. 设函数 f(x) = ln(x)，求 f'(x)。

5. 求函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1 的定积分，其中积分区间为 [-1, 2]。

6. 设函数f(x) = √(x^2 + 1)，求 f'(x)。

7. 求函数 f(x) = 3x^2 - 6 的不定积分。

8. 计算定积分∫(0 to π/2) cos(x) dx 的值。

9. 设函数 f(x) = e^(2x)，求 f'(x)。

10. 求函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 的不定积分。

11. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx 的值。

12. 设函数 f(x) = (sinx + cosx)^2，求 f'(x)。

13. 求函数 f(x) = 2e^x 的不定积分。

14. 计算定积分∫(1 to e) ln(x) dx 的值。

15. 设函数 f(x) = x^2e^x，求 f'(x)。

16. 求函数 f(x) = ln(2x + 1) 的不定积分。

17. 求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

18. 设函数 f(x) = e^(3x)，求 f'(x)。

19. 求函数f(x) = ∫(1 to x) t^2 dt 的不定积分。

20. 计算定积分∫(0 to π) sin^2(x) dx 的值。

第二部分：计算题（共4题，每题25分，共100分）1. 计算函数f(x) = ∫(0 to x^2) (2t + 1) dt 在区间 [-1, 1] 上的定积分。

微积分考试题库(附答案)

85考试试卷（一）一、填空1．设c b a,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=2．xx e 10lim +→= ，xx e 10lim -→=，xx e 1lim →=3．设211)(x x F -='，且当1=x 时，π23)1(=F ，则=)(x F4．设=)(x f ⎰dt t x 2sin 0，则)(x f '=5．⎩⎨⎧>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b二、选择1．曲线⎩⎨⎧==-0122z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（）。

（A ）12222=+-z y x ；（B ）122222=--z y x ；（C ）12222=--z y x ；（D ）122222=+-z y x2．2)11(lim xx x x -∞→-+=（）。

（A ）1（B ）21e （C ）0 （D ）1-e3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'⎰dx x f x f x )]()([（）（A ）c x xf +)(；（B ）c x f x +')(；（C ）c x f x +'+)(；（D ）c x f x ++)(4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（）（A ）0)(='ξf （B ）ab a f b f f --=')()()(ξ86（C ）0)(=ξf （D ）ab dxx f a bf -=⎰)()(ξ5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值，则=a （）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题1．求与两条直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+==211t z t y x 及112211-=+=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。