领育国际高中数学课件：8-9 圆锥曲线综合问题

消去y整理得
x－y＋m＝0，
3x2＋4mx＋2m2－2＝0。
则Δ＝16m2－12(2m2－2)＝8(－m2＋3)＞0，
解得－ 3＜m＜ 3。① 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－34m，
y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝－34m＋2m＝23m，
即AB的中点为－23m，m3 。 又∵AB的中点不在圆x2＋y2＝59内， ∴4m9 2＋m92＝5m9 2≥59，解得m≤－1或m≥1。② 由①②得，－ 3＜m≤－1或1≤m＜ 3。 故m的取值范围为(－ 3，－1]∪[1， 3)。
x－18
2－
81 16
，其中x≥1。因此，当x＝1时，
→ PA1
→ ·PF2
取得最小值－2。
答案：A
课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
考点一
圆锥曲线中的范围问题
【例1】
已知椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)上的任意一点到它的两个焦点(－
c,0)，(c,0)的距离之和为2 2，且它的焦距为2。
y＝x＋n， 由x62＋y32＝1，
得3x2＋4nx＋2n2－6＝0。
于是x3,4＝－2n± 329－n2。 因为直线CD的斜率为1， 所以|CD|＝ 2|x4－x3|＝43 9－n2。 由已知，四边形ACBD的面积 S＝12|CD|·|AB|＝8 9 6 9－n2。 当n＝0时，S取得最大值，最大值为83 6。 所以四边形ACBD面积的最大值为83 6。
【例2】
平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)右焦点的直线
x＋y－ 3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12。
(1)求M的方程；
解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 则ax212＋by212＝1，ax222＋by222＝1，yx22－ －yx11＝－1， 由此可得ba22xy22＋ ＋xy11＝－yx22－ －yx11＝1。 因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，xy00＝12，所以a2＝2b2。 又由题意知，M的右焦点为( 3，0)，故a2－b2＝3。 因此a2＝6，b2＝3。 所以M的方程为x62＋y32＝1。
第九节 圆锥曲线的综合问题
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
考纲 导学
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法。 2.了解圆锥曲线的简单应用。 3.理解数形结合的思想。
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类： □1 __无__公__共__点____， □2 __仅__有__一__个__公__共__点____及
(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用坐标系中两点间距离公 式)。
3．圆锥曲线的中点弦问题
遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解。
□ ___－__在ba_22椭_bxy_002x圆_0____ax_22__；＋在双by22曲线＝ax122中－，by22以＝P1(中x0，，以y0)P为(x中0，点y的0)为弦中所点在的直弦线所的在斜直率线k＝的斜率9k □ ＝ 10 _a_2y_0_______；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜 □ 率 11 __k_＝__yp_0__________。在使用根与系数关系时，要注意使用条件是Δ≥0。
由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故 4<y0＋2，∴y0>2。
答案：C
2．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，
B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( ) A.x32－y62＝1 B.x42－y52＝1 C.x62－y32＝1 D.x52－y42＝1
通关特训1
设点A1，A2分别为椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，若在
椭圆上存在异于点A1、A2的点P，使得PO⊥PA2，其中O为坐标原点，则椭圆的离 心率e的取值范围是___22_，__1____。
解析：由题设知∠OPA2＝90°，设P(x，y)(x＞0)，以OA2为直径的圆的方程为
3．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则 |AB|等于( )
A．3 B．4 C．3 2 D．4 2
解析：设直线AB的方程为y＝x＋b。
y＝－x2＋3， 由y＝x＋b
⇒x2＋x＋b－3＝0⇒x1＋x2＝－1，
得AB的中点M－12，－12＋b。 又M－12，－12＋b在直线x＋y＝0上，可求出b＝1， ∴x2＋x－2＝0，则
►名师点拨 圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 (1)两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直 线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问 题。 (2)两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意 义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确 的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式 法、配方法及导数法求解。
答案：A
考点三
圆锥曲线中的定点问题
【例3】 已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8。
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
解析：(1)如图，设动圆圆心 O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，
当 O1 不在 y 轴上时，
过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H， 则 H 是 MN 的中点， ∴|O1M|＝ x2＋42。 又∵|O1A|＝ x－42＋y2， ∴ x－42＋y2＝ x2＋42， 化简得 y2＝8x(x≠0)。 又当 O1 在 y 轴上时，O1 与 O 重合， 点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y2＝8x， ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2＝8x。
2种方法——求定值问题常见的两种方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； (2)直接推理、计算，并在此过程中消去变量，从而得到定值。
4个重视——求定值、最值等圆锥曲线综合问题要四重视
(1)重视定义在解题中的作用； (2)重视平面几何知识在解题中的作用； (3)重视根与系数的关系在解题中的作用； (4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用。
A．－2 B．－8116 C．1 D．0
解析：设点P(x，y)，其中x≥1。
依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)， 由双曲线方程得y2＝3(x2－1)。
→→ PA1 ·PF2 ＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋y2－x－2＝x2＋
3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4
|AB|＝ 1＋12· －12－4×－2 ＝3 2。 答案：C
4．直线l：y＝x＋3与曲线y92－x·4|x|＝1交点的个数为(
)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：当x≥0时，曲线为y92－x42＝1；当x＜0时，曲线为y92＋x42＝1，如图所示，
直线l：y＝x＋3过(0,3)，又由于双曲线y92
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：
|P1P2|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
＝ 1＋k2·|x1－x2|
＝
1＋k12[y1＋y22－4y1y2]
□ ＝ 8 _______1_＋__k1_2|_y1_－__y_2_| _________。
解析：∵kAB＝03＋＋1152＝1，∴直线AB的方程为y＝x－3。 由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2＝9。 设双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， 则ax22－x－b232＝1。整理，得 (b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝a26－a2b2＝2×(－12)，∴a2＝－4a2＋4b2， ∴5a2＝4b2。又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5，∴双曲线E的方程为x42－y52＝1。 答案：B
有两个□3 _相__异__的__公__共__点_。
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一 元二次方程解的情况来判断。设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x， y)＝0。
由Afxx＋，Byy＝＋0C，＝0， 消元， (如消去y)得ax2＋bx＋c＝0。
1．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆
心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0,2)
B．[0,2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
解析：∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2。由抛物线的定 义知|MF|＝y0＋2。
它们的离心率分别为e1，e2， 则|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，
在△PF1F2中，4c2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cos
π 3
⇒a2＋3m2＝4c2⇒ac
2
＋3mc 2＝4，
则ac2＋3mc 21＋13≥ac＋mc 2⇒e11＋e12＝ac＋mc ≤4 3 3， 当且仅当a＝3m时，等号成立，故选A。
►名师点拨 解决圆锥曲线中的取值范围问题的五方面考虑 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范 围。 (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参 数之间的等量关系。 (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围。 (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围。 (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而 确定参数的取值范围。