2014-2015南京市高一数学试卷

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江苏省南京市金陵中学河西分校2014-2015学年高一上学

江苏省南京市金陵中学河西分校2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题一、填空题（每小题5分，共70分）1. 设集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B ＝ ▲ .2. 设U ＝{x |x ≤ 1} ，A ＝{x |x ＜0} ，则∁U A ＝ ▲ .3. 函数f (x )＝ log 21x －3的定义域是 ▲ . 4. (lg 5)2＋lg 2×lg 50＝ ▲ .5. 已知函数f (x )＝(α－2)x α是幂函数，则函数f (x )的奇偶性是 ▲ .6. 方程3x ＝x ＋2解的个数是 ▲ .7. 已知函数f (x )的定义域为R ，下列命题中正确的是 ▲ （填命题序号）. ①. 若f (3)＞f (2)，则f (x )在定义域R 上是单调增函数； ②. 若f (3)＞f (2)，则f (x )在定义域R 上不是单调减函数； ③. 若 f (x )在定义域R 上是单调增函数，则必有f (3)＞f (2)； ④. 若f (3)＜f (2)，则f (x )在定义域R 上不是单调增函数. 8. 设a ＝log 75，b ＝log 67，则a 、b 的大小关系是 ▲ .9. 已知函数f (x )＝x 3－bx ＋1，a 、b ∈R ，若f (－2)＝－1，则f (2)＝ ▲ .10. 已知函数f (x )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝ ▲ . 11. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且在区间(—∞，0)上是增函数，则下列命题中正确的是 ▲ （填命题序号）.①. f (－1)＜f (－2)， ②. f (1)＜f (2)， ③. f (－1)＜f (2)， ④. f (－1)＞f (2)12. 若 a ＋1a ＝3，则a 2－1a 2 ＝ ▲ . 13. 已知函数f (x )＝a ＋14x＋1是奇函数，则常数a ＝ ▲ . 14. 若ax x x f 2)(2+-=与xa x g -+=1)1()(在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是▲ .二、解答题（共计90分）15. （本题满分14分）记函数f(x)＝3－x＋x－1 的定义域为集合M，函数g(x)＝x2－2x＋3的值域为集合N，求M∩N和M∪N.（答案写在答卷纸上相应的位置）16. （本题满分14分）（1）说明由函数y＝log3(x－1)作怎样的变换可以得到函数y＝log3(x＋2)的图象；（2）画出函数y＝log3 |x| 的图象，根据图象指出其奇偶性与单调区间（不需证明）.（答案写在答卷纸上相应的位置）Oyx17. （本题满分14分）复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法。

2014-2015学年江苏省南京市高一(下)期末数学试卷

整数，
3 若 cn=
从数列{cn}中取出若
奇数
偶数
均少于两，将取出的按照某一序排列后构成等差数列．等差数列的求所有满足条件的等差数列．
数最大时，
2014-2015 学
参考答案试题解析
江
省南京市高一
小题 5 ，共 70
期
数学试卷
位置
一、填空题． 1．等式
大题共 14 小题，
．请把答案填写在答题卡相
考点点到直线的距离公式．题直线圆．析把已知条件入点到直线的距离公式，化简得．解答解由题意结合点到直线的距离公式得点 P 3，﹣2 到直线 l 3x+4y﹣26=0 的距离 d= 故答案点评 = =5．
5 题考查点到直线的距离公式，属基础题．
5．函数 y=x+
x ﹣1 的最小值
0 的解集
﹣1，0
．
考点题析解答故答案点评
其他等式的解法．等式的解法及用．等式解等式 0，即 x x+1 0，即 x x+1 0，由求得它的解集． 0，求得﹣1 x 0，
﹣1，0 ．题要考查式等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题． 16 ．
2．数列{an}是等比数列，若 a3=1，a5=4，则 a7 的值
a，b，c．若 bcosC+ccosB=csinA，则
的最
12．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径 3 cm ．
13．已知 x 0，y 0，
n
xy=x+2y，则 x+y 的最小值
* *
．
14．已知 an=3 ，bn=3n，n∈N ，对于一个 k∈N ，在 ak ak+1 之间插入 bk 个 3 得到一个数列{cn}．设 Tn 是数列{cn}的前 n 和，则所有满足 Tm=3cm+1 的整数 m 的值．

2014-2015下学期期末考试高一数学(A卷)试题与答案

答案一、CDABA BACDCDA 13、57-14、3/10 15、017、)4sin(π+x 18、3- 19、解：(1)由条件1OA =，AON θ∠=cos OC θ∴=，sin AC θ= ……2分1sin cos sin 22S θθθ∴== ……4分其中02πθ<< ……6分(2) 02πθ<<,02θπ∴<< ……8分故当22πθ=，即4πθ=时，……10分max 12S =. ……12分20、解：(1) 这二十五个数据的中位数是397.……4分 (2)品种A 亩产量的频率分布表如下：………………………8分(3)品种A 亩产量的频率分布直方图如下：0.0.0.0.0.0.0.0.………12分21、解：(1)由图象知：4()24T πππ=-=，则：22Tπω==，…………2分由(0)1f =-得：sin 1ϕ=-，即：()2k k z πϕπ=-∈，……………4分∵||ϕπ< ∴ 2πϕ=-。

………………………………6分(2)由(1)知：()sin(2)cos 22f x x x π=-=-，……………………7分∴g()()()1cos )[cos()]12284xx x f x x ππ=--=----2[sin )]12cos 2sin cos 12x x x x x x =+-=+-cos 2sin 2)4x x x π=+=+，………………………10分当[0,]2x π∈时，52[,]444x πππ+∈，则sin(2)[,1]42x π+∈-，∴()g x 的值域为[-。

………………………………………12分22、解：(1)设(14,)P y ，则(14,),(8,3)OP y PB y ==---， ……………1分由OP PB λ=，得(14,)(8,3)y y λ=---， …………２分解得7,74y λ=-=-，所以点(14,7)P -。

江苏省南京市金陵中学2014-2015学年高一10月阶段考试数学试题含解析

2014—2015学年度第一学期高一数学阶段测试试卷一、填空题(本大题共14小题，每小题3分，共42分)1．已知集合A ＝[1，＋∞），B ＝{x ｜－1＜x ＜3}，则A ∪B ＝．答案（－1，＋∞) 来源国庆作业(1）中第1题改编2．如图，已知集合A ＝{2，3，4，5，6，8｝，B ＝｛1,3，4，5，7｝,C ＝{2，4，5,7,8，9｝，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 __________ ．答案 {2，8｝3．若集合｛（x ,y ）|x ＋y －2＝0,且x －2y ＋4＝0｝错误!｛(x ,y ）｜y ＝3x ＋b },则b ＝________．24．已知集合A ＝｛x |－1≤x ≤2｝，B ＝｛x ｜x ＜1},则A ∩(R B ）＝．答案｛x ｜1≤x ≤2｝解析因为∁R B ＝{x ｜x ≥1}，所以A ∩（∁R B )＝｛x |1≤x ≤2｝．来源教材P14第11题改编 5．函数y ＝错误!的定义域是．答案 [0,2] 解析由2x －x 2≥0，得0≤x ≤2，故函数的定义域为［0，2］．来源国庆作业（2）中第1题改编来源教材P25例2第1题改编6．已知函数f （x ）＝错误!函数g (x )如表所示：则g (f (2）)＝________．－17．已知集合A ＝｛x ｜x 2－3x －10≤0},集合B ＝{x ｜2m －1≤x ≤1－m }，且A B ,则 m 的取值范围是_________________． {m ｜m ≤－4} 来源教材P19第14题改编8．若a x ＝3，a y ＝5，则a 2x ＋错误!＝．答案 9，5解析 a 2x ＋错误!＝（a x )2错误!＝9错误!．9．对于每一个实数x ，f (x ）是y ＝2x 与y ＝－x ＋1这两个函数中的较小者，则f （x ）的最大值是______________．110．若函数f （x ）＝错误!为奇函数，则实数a ＝．－111．已知f (1－2x )＝1－x 2x 2，则f (x )＝．答案 f (x ）＝错误!(x ≠1)解析令t ＝1－2x （x ≠0）,则x ＝错误!(t ≠1),所以f （t ）＝错误!＝错误!(t ≠1），所以f (x )＝错误!（x ≠1）．12．已知m ＞0，定义在区间[m ，n ］上的函数f (x ）＝错误!－错误!值域为［m ，n ]，则实数a 的取值范围是___________．（0，错误!）13．已知函数f （x ）＝|2x －3｜，若0＜2a ＜b ＋1，且f （2a )＝f （b ＋3)，则y ＝3a 2＋b 的x －1 0 1 g （x ） 1 0 －1 A B C （第3题图）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题）两部分。

2014-2015年江苏省南京十三中、九中联考高一(下)期中数学试卷和答案

2014-2015学年江苏省南京十三中、九中联考高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．（5分）已知一个等差数列的前三项分别为﹣1，x，5，则它的第五项为．2．（5分）函数f（x）=log2（x2﹣1）的定义域为．3．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n，则数列{a n}的通项公式a n=．4．（5分）若正实数x，y满足x+2y=1，则x•y的最大值为．5．（5分）等比数列{a n}中，a1=3，a4=81，则{a n}的通项公式为．6．（5分）在△ABC中，三边长分别为7，，，则三角形最小角的大小为．7．（5分）数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a1，a4，a5恰为某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值为．8．（5分）在ABC中，角A，B，C所对边为a，b，c，若==，则△ABC是三角形．9．（5分）等比数列{a n}中，S n是其前n项和，S4=1，S8=3，则a17+a18+a19+a20=．10．（5分）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是．11．（5分）将正整数排成一个三角形数阵：按照如图排列的规律，则第20行从左到右的第4个数为．12．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+16y=xy，则x+y的最小值为．13．（5分）已知数列{a n}通项公式，则数列{a n}的前9项和为．14．（5分）已知数列{a n}是单调递减的等差数列，S6=S11，有以下四个结论：（1）a9=0（2）当n=8或n=9时，S n取最大值（3）存在正整数k使得S k=0（4）存在正整数m使得S m=S2m其中正确的是．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知A={x|x2﹣2mx+m2﹣1＜0}．（1）若m=2，求A；（2）已知1∈A，且3∉A，求实数m的取值范围．16．（14分）在△ABC中，B=45°，，．（1）求sinA及BC边的长；（2）求△ABC的面积．17．（14分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinA ﹣csinC=（a﹣b）sinB．（1）求角C的大小；（2）若边长，求△ABC的周长最大值．18．（16分）地铁三号线开通后，某地铁站人流量增大，小A瞄准商机在地铁口投资72万元购得某商铺使用权，且商铺最高使用年限为40年，现小A将该商铺出租，第一年租金为5.4万元，以后每年租金比上一年增加0.4万元，设商铺租出的时间为x（0＜x≤40）年．（1）求商铺租出x年后的租金总和y；（2）若只考虑租金所得收益，则出租多长时间能收回成本；（3）小A考虑在商铺出租x年后，将商铺的使用权转让，若商铺转让的价格F 与出租的时间x满足关系式：F（x）=﹣0.3x2+10.56x+57.6，则何时转让商铺，能使小A投资此商铺所得年平均收益P（x）最大？19．（16分）已知数列{a n}的首项a1=2，a n=2a n﹣1﹣1，n≥2，n∈N*．（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列；（2）记S n=a1+a2+…+a n，求满足S n＜1000最大的正整数n；（3）若数列{c n}满足：c n=（n+1）（a n﹣1），求数列{c n}前n项和M n．20．（16分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，其前n项和为S n，且满足，n∈N*，数列{b n}满足，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式a n及数列{b n}的前n项和T n；（2）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n，1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n值；若不存在，给出理由．2014-2015学年江苏省南京十三中、九中联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．（5分）已知一个等差数列的前三项分别为﹣1，x，5，则它的第五项为11．【解答】解：由题意可得，x+1=5﹣x即2x=5﹣1=4，∴x=2．则等差数列的公差d=5﹣2=3．∴a5=a1+4d=﹣1+4×3=11．故答案为：11．2．（5分）函数f（x）=log2（x2﹣1）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【解答】解：要是原式有意义，则x2﹣1＞0，则x＞1或x＜﹣1，即函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n，则数列{a n}的通项公式a n= 2n+1．【解答】解：∵S n=n2+2n，∴S n=（n+1）2+2（n+1），+1=S n+1﹣S n∴a n+1=[（n+1）2+2（n+1）]﹣（n2+2n）=2n+3，∴a n=2n+1，又a1=S1=1+2=3满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=2n+1，故答案为：2n+1．4．（5分）若正实数x，y满足x+2y=1，则x•y的最大值为．【解答】解：根据题意，若正实数x，y满足x+2y=1，则有1=，则，即，故答案为：．5．（5分）等比数列{a n}中，a1=3，a4=81，则{a n}的通项公式为a n=3n．【解答】解：∵a1=3，a4=81∴公比∴q=3∴该等比数列的通项公式a n=3•3n﹣1=3n故答案为：a n=3n．6．（5分）在△ABC中，三边长分别为7，，，则三角形最小角的大小为．【解答】解：最小的边长度为，所对的角为θ，θ∈（0，π）．，．故答案为：．7．（5分）数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a1，a4，a5恰为某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值为．【解答】解：设数列{a n}是公差d不为0的等差数列，等比数列的公比为q，由a1，a4，a5恰为某等比数列的前三项，即a1，a1+3d，a1+4d成等比数列，可得，解得，即有q===．故答案为：．8．（5分）在ABC中，角A，B，C所对边为a，b，c，若==，则△ABC是等边三角形．【解答】解：∵=，可得：a=，又∵由正弦定理可得：a=，∴=，整理可得：bcosAsinB﹣bsinAcosB=bsin（B﹣A）=0，∵0＜A＜π，0＜B＜π，解得﹣π＜B﹣A＜π，∴解得B﹣A=0，即B=A，同理解得：B=C，故三角形为等边三角形．故答案为：等边．9．（5分）等比数列{a n}中，S n是其前n项和，S4=1，S8=3，则a17+a18+a19+a20= 16．【解答】解：∵{a n}为等比数列∴数列的前四项的和，第二个4项的和，第3个4项的和…构成等比数列，a17+a18+a19+a20是第5个4项的和第二个4项的和为S8﹣S4=2∴公比为=2∴a17+a18+a19+a20=1×25﹣1=16故答案为：1610．（5分）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是[0，4] ．【解答】解：a=0时，符合；若a≠0，只需，解得：0＜a≤4，综上a∈[0，4]，故答案为：[0，4]．11．（5分）将正整数排成一个三角形数阵：按照如图排列的规律，则第20行从左到右的第4个数为194．【解答】解：根据题意，分析可得，在三角形数阵中，第n行有n个数，则前19行一共排了1+2+3+…+19==190个数，则20行从左到右的第4个数为194；故答案为：194．12．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+16y=xy，则x+y的最小值为25．【解答】解：已知x＞0，y＞0，且x+16y=xy．即：+=1．利用基本不等式：则x+y=（x+y）（+）=16+1++≥17+2=25，当且仅当x=4y时成立．则x+y的最小值为25．故答案为25．13．（5分）已知数列{a n}通项公式，则数列{a n}的前9项和为720．【解答】解：∵，∴数列{a n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列．a2n﹣1=2（2n﹣1）﹣3=4n﹣5，a2n=22n﹣1=．则数列{a n}的前9项和=（a1+a3+…+a9）+（a2+a4+…+a8）=+=40+680=720．故答案为：720．14．（5分）已知数列{a n}是单调递减的等差数列，S6=S11，有以下四个结论：（1）a9=0（2）当n=8或n=9时，S n取最大值（3）存在正整数k使得S k=0（4）存在正整数m使得S m=S2m其中正确的是（1），（2），（3）．【解答】解：由数列{a n}是单调递减的等差数列，设公差为d，S6=S11，可得6a1+d=11a1+d，化简可得a1=﹣8d，（1）a9=a1+8d=0，故正确；（2）由a n=a1+（n﹣1）d=（n﹣9）d，由d＜0，a1＞0，…，a8=﹣d＞0，a9=0，a10＜0，可得当n=8或n=9时，S n取最大值，故正确；（3）S n=na1+d=d•，由S n=0，可得n2﹣17n=0，解得n=17∈N，故存在正整数17使得S17=0；（4）由S m=d•，S2m=d•，由S m=S2m，可得m2﹣17m=4m2﹣34m，解得m=0或m=．则不存在存在正整数m使得S m=S2m．其中正确的是：（1），（2），（3）．故答案为：（1），（2），（3）．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知A={x|x2﹣2mx+m2﹣1＜0}．（1）若m=2，求A；（2）已知1∈A，且3∉A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）若m=2，A={x|x2﹣2mx+m2﹣1＜0}={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3）；（2）已知1∈A，且3∉A，则1﹣2m+m2﹣1＜0且9﹣6m+m2﹣1≥0∴0＜m＜2．16．（14分）在△ABC中，B=45°，，．（1）求sinA及BC边的长；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）根据题意，，则sinC==，则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=，又由正弦定理：=，则有a=BC==3；（2）由（1）可得：a=3，b=，sinC=，=absinC==3；则S△ABC即△ABC的面积为3．17．（14分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinA ﹣csinC=（a﹣b）sinB．（1）求角C的大小；（2）若边长，求△ABC的周长最大值．【解答】解：（1）由已知，根据正弦定理，asinA﹣csinC=（a﹣b）sinB得，a2﹣c2=（a﹣b）b，即a2+b2﹣c2=ab．由余弦定理得cosC==．又C∈（0，π）．所以C=．（2）∵C=，，A+B=，∴，可得：a=2sinA，b=2sinB=2sin（﹣A），∴a+b+c=+2sinA+2sin（﹣A）=+2sinA+2（cosA+sinA）=2sin（A+）+∵由0＜A＜可知，＜A+＜，可得：＜sin（A+）≤1．∴a+b+c的取值范围（2，3]．18．（16分）地铁三号线开通后，某地铁站人流量增大，小A瞄准商机在地铁口投资72万元购得某商铺使用权，且商铺最高使用年限为40年，现小A将该商铺出租，第一年租金为5.4万元，以后每年租金比上一年增加0.4万元，设商铺租出的时间为x（0＜x≤40）年．（1）求商铺租出x年后的租金总和y；（2）若只考虑租金所得收益，则出租多长时间能收回成本；（3）小A考虑在商铺出租x年后，将商铺的使用权转让，若商铺转让的价格F 与出租的时间x满足关系式：F（x）=﹣0.3x2+10.56x+57.6，则何时转让商铺，能使小A投资此商铺所得年平均收益P（x）最大？【解答】解：（1）第一年租金为5.4万元，以后每年租金比上一年增加0.4万元，∴商铺租出x年后的租金总和y=5.4x+=0.2x2+5.2x（0＜x≤40）；（2）由0.2x2+5.2x≥72，可得x≥10，即出租10年能收回成本；（3）P（x）=（﹣0.3x2+10.56x+57.6+0.2x2+5.2x﹣72）÷x=﹣（0.1x+）+15.76≤﹣2.4+15.76=13.36，当且仅当0.1x=，即x=12年，转让商铺，能使小A投资此商铺所得年平均收益P（x）最大．19．（16分）已知数列{a n}的首项a1=2，a n=2a n﹣1﹣1，n≥2，n∈N*．（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列；（2）记S n=a1+a2+…+a n，求满足S n＜1000最大的正整数n；（3）若数列{c n}满足：c n=（n+1）（a n﹣1），求数列{c n}前n项和M n．【解答】（1）证明：∵a n=2a n﹣1﹣1，∴a n﹣1=2（a n﹣1），﹣1∵a1=2，∴a1﹣1=1，∴数列{a n﹣1}是以为1首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）可得a n﹣1=2n﹣1，∴a n=2n﹣1+1∴S n=a1+a2+…+a n=n+1+21+22+…+2n﹣1=n+=2n+n﹣1，∵S n＜1000，∴2n+n﹣1＜1000，∵210+10﹣1=1033，29+10﹣1=521，∴S n＜1000最大的正整数n=9，（3）c n=（n+1）（a n﹣1）=（n+1）2n﹣1，∴M n=2×20+3×21+4×22+…+（n+1）2n﹣1，∴2M n=2×21+3×22+4×23+…+n•2n﹣1+（n+1）•2n，∴﹣M n=2+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n+1）•2n=2+﹣（n+1）•2n=﹣n•2n，∴M n=n•2n．20．（16分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，其前n项和为S n，且满足，n∈N*，数列{b n}满足，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式a n及数列{b n}的前n项和T n；（2）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n，1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n值；若不存在，给出理由．=（2n﹣1）a n，【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，∴=a n．∴S2n﹣1又a n2=S2n﹣1，得a n2=（2n﹣1）a n，又a n≠0，∴a n=2n﹣1．∵==，数列{b n}的前n项和T n=+…+==．（2）对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18恒成立，∴λ•＜n+18，∴λ＜2n++37，∵2n+≥2×=12，∴λ＜49．（3）∵T1=，T m=，T n=．若T1，T m，T n，成等比数列，则=，即=，可得=＞0，即﹣2m2+4m+1＞0∴＜m＜．∵m∈N且m＞1，∴m=2，此时n=12．∴当且仅当m=2，n=12时，T1，T m，T n成等比数列．。

江苏省南京市金陵中学河西分校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

2014-2015学年江苏省南京市金陵中学河西分校高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，共70分）1．（5分）设集合A={0，1，2，3}，B={1，3，5}，则A∩B=．2．（5分）设U={x|x≤1}，A={x|x＜0}，则∁U A=．3．（5分）函数f（x）=log2的定义域是．4．（5分）（lg5）2+lg2×lg50=．5．（5分）已知函数f（x）=（α﹣2）xα是幂函数，则函数f（x）的奇偶性是．6．（5分）方程3x=x+2解的个数是．7．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，下列命题中正确的是（填命题序号）．①若f（3）＞f（2），则f（x）在定义域R上是单调增函数；②若f（3）＞f（2），则f（x）在定义域R上不是单调减函数；③若f（x）在定义域R上是单调增函数，则必有f（3）＞f（2）；④若f（3）＜f（2），则f（x）在定义域R上不是单调增函数．8．（5分）设a=log75，b=log67，则a、b的大小关系是．9．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣bx+1，a，b∈R，若f（﹣2）=﹣1，则f（2）=．10．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3+2x+1，则当x＜0时，f（x）的解析式为．11．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列命题中正确的是（填命题序号）．①f（﹣1）＜f（﹣2）；②f（1）＜f（2）；③f（﹣1）＜f（2）；④f（﹣1）＞f（2）．12．（5分）若a+=3，则a2﹣=．13．（5分）已知函数是奇函数，则常数a=．14．（5分）若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是．二、解答题（共计90分）15．（14分）记函数f（x）=+的定义域为集合M，函数g（x）=x2﹣2x+3值域为集合N，求：（1）M，N（2）求M∩N，M∪N．16．（14分）（1）说明由函数y=log3（x﹣1）作怎样的变换可以得到函数y=log3（x+2）的图象；（2）画出函数y=log3|x|的图象，根据图象指出其奇偶性与单调区间（不需证明）．17．（14分）复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法．某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息．（1）写出x年后，需要还款总数y（单位：万元）和x（单位：年）之间的函数关系式；（2）计算5年后的还款总额（精确到元）；（3）如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款x元，分5次还清，求每次还款的金额x．（精确到元）（参考数据：1.073=1.2250，1.074=1.3108，1.075=1.402551，1.076=1.500730）18．（16分）已知函数f（x）=（1）画出函数f（x）的图象；（2）若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），求abc的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）的定义域为A，①如果对于任意x1、x2∈A，x1≠x2，都有f（）＜[f（x1）+f（x2）]，则称函数f（x）是凹函数．②如果对于任意x1、x2∈A，x1≠x2，都有f（）＞[f（x1）+f（x2）]，则称函数f（x）是凸函数．（1）判断函数y=x2是凹函数还是凸函数，并加以证明；（2）判断函数f（x）=log2x是凹函数还是凸函数，并加以证明．20．（16分）已知函数f（x）=（a∈R且x≠a）．（Ⅰ）求证：f（x）+f（2a﹣x）=﹣2对定义域内的所有x都成立；（Ⅱ）当f（x）的定义域为[a+，a+1]时，求证：f（x）的值域为[﹣3，﹣2]；（Ⅲ）设函数g（x）=x2+|（x﹣a）•f（x）|，当a=﹣1时，求g（x）的最小值．2014-2015学年江苏省南京市金陵中学河西分校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共70分）1．（5分）设集合A={0，1，2，3}，B={1，3，5}，则A∩B={1，3}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出两个集合的公共元素即可．解答：解：集合A={0，1，2，3}，B={1，3，5}，则A∩B={1，3}．故答案为：{1，3}．点评：本题考查交集的求法，基本知识的考查．2．（5分）设U={x|x≤1}，A={x|x＜0}，则∁U A={x|0≤x≤1}．考点：补集及其运算．专题：集合．分析：直接利用集合的基本运算求解即可．解答：解：U={x|x≤1}，A={x|x＜0}，则∁U A={x|0≤x≤1}．故答案为：{x|0≤x≤1}．点评：本题考查补集的运算法则的应用，基本知识的考查．3．（5分）函数f（x）=log2的定义域是{x|x＞3}．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意令真数大于0，分母不为0，根式的被开方数≥0，解所得的不等式组，其解集即是所求的定义域解答：解：由题意，解得x＞3，故函数f（x）=log2的定义域是{x|x＞3}故答案为：{x|x＞3}点评：本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是理解函数的定义域的定义，及求定义域的方法，求定义域一般借助如下的一些限制条件，如：对数真数大于0，偶次根号下非负，分母不为0等．4．（5分）（lg5）2+lg2×lg50=1．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．解答：解：原式=lg25+lg2（1+lg5）=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5+lg2=1．故答案为：1．点评：本题考查了对数的运算法则、lg2+lg5=1，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）=（α﹣2）xα是幂函数，则函数f（x）的奇偶性是奇函数．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的定义，求出α的值，即得函数f（x）的解析式与奇偶性．解答：解：∵函数f（x）=（α﹣2）xα是幂函数，∴α﹣2=1，∴α=3；∴f（x）=x3，∴函数f（x）是R上的奇函数．故答案为：奇函数．点评：本题考查了幂函数定义的应用问题，也考查了函数奇偶性的应用问题，是容易题．6．（5分）方程3x=x+2解的个数是2．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数y=3x，y=x+2，画出图象函数图象的交点个数即可．解答：解：构造函数y=3x，y=x+2，画出图象，有2个交点，∴方程3x=x+2解的个数是2，故答案为：2点评：本题考查了函数的图象，运用图象求解方程的解的个数，属于容易题．7．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，下列命题中正确的是②③④（填命题序号）．①若f（3）＞f（2），则f（x）在定义域R上是单调增函数；②若f（3）＞f（2），则f（x）在定义域R上不是单调减函数；③若f（x）在定义域R上是单调增函数，则必有f（3）＞f（2）；④若f（3）＜f（2），则f（x）在定义域R上不是单调增函数．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：逐个判断四个命题的真假，对于真命题给出理由，对于假命题举出反例；对于①可以给出反例y=（x﹣1）2得出其为假命题；对于②④利用逆否命题来判断它为真命题；对于③可根据单调性的定义说明其为真命题；解答：解：对于①，给出函数y=（x﹣1）2，满足f（3）＞f（2），但f（x）不是R上的单调增函数，说明①是假命题；对于②，可以变形为“若f（x）在R上是单调减函数，则函数f（x）满足f（3）≤f（2）”，显然是真命题；对于③，若f（x）在定义域R上是单调增函数，则必有f（3）＞f（2），显然是真命题；对于④，可以变形为“若f（x）在R上是单调增函数，则函数f（x）满足f（3）≥f（2）”，显然是真命题；故答案为：②③④点评：本题考查了函数的单调性的判断与证明，属于简单题，熟练掌握基本初等函数的图象与性是做好本题的关键．8．（5分）设a=log75，b=log67，则a、b的大小关系是a＜b．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log75＜log77=1，b=log67＞log66=1，∴a＜b．故答案为：a＜b点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣bx+1，a，b∈R，若f（﹣2）=﹣1，则f（2）=3．考点：函数的值．专题：计算题．分析：分别把x=2和﹣2代入f（x）=ax3﹣bx+1，得到两个式子，再把它们相加就可求出f（2）的值．解答：解：∵f（x）=ax3﹣bx+1，∴f（﹣2）=﹣8a+2b+1=﹣1，①而设f（2）=8a﹣2b+1=M，②∴①+②得，M=3，即f（2）=3，故答案为：3．点评：本题考查了利用整体代换求函数的值，即利用函数解析式的特点进行求解．10．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3+2x+1，则当x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=x3+2x﹣1．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：考虑x＜0时，﹣x＞0，利用已知条件求f（﹣x）的解析式，又f（x）是奇函数，可得x＜0时f（x）的解析式．解答：解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）当x＜0时，﹣x＞0，∵x＞0时，f（x）=x3+2x+1，∴f（﹣x）=（﹣x）3﹣2x+1=﹣x3﹣2x+1，∴﹣f（x）=﹣x3﹣2x+1，∴f（x）=x3+2x﹣1．即x＜0时，f（x）=x3+2x﹣1．故答案为：f（x）=x3+2x﹣1点评：本题考查了函数的奇偶性与解析式的求法问题，是基础题．11．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列命题中正确的是④（填命题序号）．①f（﹣1）＜f（﹣2）；②f（1）＜f（2）；③f（﹣1）＜f（2）；④f（﹣1）＞f（2）．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上是增函数，∴①f（﹣1）＜f（﹣2）不成立，②f（1）＜f（2）等价为f（﹣1）＜f（﹣2）不成立；③f（﹣1）＜f（2）等价为f（﹣1）＜f（﹣2）不成立；④f（﹣1）＞f（2）等价为f（﹣1）＞f（﹣2）成立，故正确的命题是④点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系，比较基础．12．（5分）若a+=3，则a2﹣=．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中a+=3，利用乘方法可得a2+=7，a﹣=，进而结合平方差公式可得a2﹣=（a+）（a﹣）的值．解答：解：∵a+=3，∴（a+）2=a2++2=9，∴a2+=7，∴（a﹣）2=a2+﹣2=5，∴a﹣=，∴a2﹣=（a+）（a﹣）=，故答案为：点评：本题考查的知识点是有理数指数幂的化简求值，熟练掌握乘方法是解答此类问题的关键．13．（5分）已知函数是奇函数，则常数a=．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：由已知中函数是奇函数，我们根据定义域为R的奇函数图象必要原点，构造出一个关于a的方程，解方程即可求出常数a的值．解答：解：若函数是奇函数由于函数的定义域为R则=0即a+=0解得a=﹣故答案为：﹣点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据定义域为R的奇函数图象必要原点，构造出一个关于a的方程，是解答本题的关键．14．（5分）若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（0，1]．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：利用二次函数的单调性以对称轴为分界和复合函数的单调性遵循原则来求．解答：解：∵f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上都是减函数，∴f（x）的对称轴x=a≤1，①又∵y=1﹣x[1，2]上是减函数，∴g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上是减函数须满足a+1＞1⇒a＞0②综上得0＜a≤1．故答案为（0，1]．点评：本题考查了二次函数和指数函数的复合函数的单调性．关于复合函数的单调性遵循原则是单调性相同，复合函数为增函数；单调性相反，复合函数为减函数．二、解答题（共计90分）15．（14分）记函数f（x）=+的定义域为集合M，函数g（x）=x2﹣2x+3值域为集合N，求：（1）M，N（2）求M∩N，M∪N．考点：函数的值域；交集及其运算；函数的定义域及其求法．专题：集合思想；函数的性质及应用．分析：（1）根据根式有意义的条件可得集合M，根据二次函数的值域的求解可得N；（2）根据第（1）题的结果，利用集合交集和并集的定义运算即可．解答：解：（1）∵函数的定义域为集合M，则有，故1≤x≤3，集合M=[1，3]，∵函数g（x）=x2﹣2x+3值域为集N，则g（x）=x2﹣2x+3≥2，集合N=[2，+∞），所以M=[1，3]，N=[2，+∞），（2）M∩N=[1，3]∩[2，+∞）=[2，3]，M∪N=[1，3]∪[2，+∞）=[1，+∞）．点评：本题属于以函数的定义域，值域的求解为平台，进而求集合的交集、补集、并集的运算的基础题，是高考常会出现的题型，属于基础题．16．（14分）（1）说明由函数y=log3（x﹣1）作怎样的变换可以得到函数y=log3（x+2）的图象；（2）画出函数y=log3|x|的图象，根据图象指出其奇偶性与单调区间（不需证明）．考点：函数的图象与图象变化；函数图象的作法．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：（1）由平移变换知向左平移3个单位；（2）作出函数的图象，从而由图象写出其奇偶性与单调区间．解答：解：（1）向左平移3个单位；（2）作图如下，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，是偶函数，单调减区间为（﹣∞，0）；单调增区间为（0，+∞）．点评：本题考查了函数图象的变换与作法，属于中档题．17．（14分）复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法．某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息．（1）写出x年后，需要还款总数y（单位：万元）和x（单位：年）之间的函数关系式；（2）计算5年后的还款总额（精确到元）；（3）如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款x元，分5次还清，求每次还款的金额x．（精确到元）（参考数据：1.073=1.2250，1.074=1.3108，1.075=1.402551，1.076=1.500730）考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等比数列的性质能求出x年后，需要还款总数y之间的函数关系式．（2）5年后的还款总款为y=10（1+7%）5=14.0255万元．（3）由已知得x（1+1.07+1.072+1.073+1.074）=14.0255，由此能求出每次还款的金额为2.4389万元．解答：解：（1）∵某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息．∴x年后，需要还款总数y之间的函数关系式为：y=10（1+7%）x，x∈N*．（2）5年后的还款总款为：y=10（1+7%）5=14.0255万元．（3）由已知得x（1+1.07+1.072+1.073+1.074）=14.0255，解得x=2.4389，∴每次还款的金额为2.4389万元．点评：本题考查数列知识在生产、生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．18．（16分）已知函数f（x）=（1）画出函数f（x）的图象；（2）若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），求abc的取值范围．考点：函数图象的作法．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：（1）作函数f（x）=的图象；（2）由图象可知，不存在a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c）．解答：解：（1）作函数f（x）=的图象如下，（2）由图象可知，不存在a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c）．点评：本题考查了函数的图象的作法及图象的应用，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）的定义域为A，①如果对于任意x1、x2∈A，x1≠x2，都有f（）＜[f（x1）+f（x2）]，则称函数f（x）是凹函数．②如果对于任意x1、x2∈A，x1≠x2，都有f（）＞[f（x1）+f（x2）]，则称函数f（x）是凸函数．（1）判断函数y=x2是凹函数还是凸函数，并加以证明；（2）判断函数f（x）=log2x是凹函数还是凸函数，并加以证明．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）函数y=x2的定义域是R，是凹函数．证明如下：∀x1、x2∈（0，+∞），x1≠x2，求出f（），[f（x1）+f（x2）]．比较f（）与[f（x1）+f（x2）]的大小即可判断函数是凹函数．（2）函数f（x）=log2x的定义域是（0，+∞），函数是凸函数证明如下与（1）的解法一样．解答：解：（1）函数y=x2的定义域是R，是凹函数．证明如下：∀x1、x2∈（0，+∞），x1≠x2，f（）=，[f（x1）+f（x2）]=[x12+x22]．∵f（）﹣[f（x1）+f（x2）]=﹣[x12+x22]=＜0，所以f（）＜[f（x1）+f（x2）]，即函数f（x）=x2是凹函数．（2）函数f（x）=log2x的定义域是（0，+∞），函数是凸函数．证明如下：∀x1、x2∈（0，+∞），x1≠x2，f（）=log2（），[f（x1）+f（x2）]=log2x1+log2 x2=log2x1x2∵f（）﹣[f（x1）+f（x2）]=log 2（）﹣log2 x1 x2=log2（）﹣log2=log2（）而x 1+x2﹣2=（﹣）2＞0，所以＞1，log2（）＞0，所以f（）＞[f（x1）+f（x2）]，即函数f（x）=log2x是凸函数．…（16分）点评：本题考查函数与方程的应用，函数的凹凸性的判断，考查计算能力．20．（16分）已知函数f（x）=（a∈R且x≠a）．（Ⅰ）求证：f（x）+f（2a﹣x）=﹣2对定义域内的所有x都成立；（Ⅱ）当f（x）的定义域为[a+，a+1]时，求证：f（x）的值域为[﹣3，﹣2]；（Ⅲ）设函数g（x）=x2+|（x﹣a）•f（x）|，当a=﹣1时，求g（x）的最小值．考点：函数单调性的性质．专题：证明题；综合题．分析：（Ⅰ）f（x）+f（2a﹣x）=﹣2可转化为：，与x取值无关得证；（Ⅱ）由定义域为[a+，a+1]，得，再由f（x）=求解．（Ⅲ）解：由a=﹣1，得g（x）=x2+|x|（x≠﹣1）当x≥0时，求得最小值；当x≤0时，求得最小值，最后从中取最小的，作为函数的最小值．解答：证明：（Ⅰ）f（x）+f（2a﹣x）=﹣2可转化为：与x取值无关∴f（x）+f（2a﹣x）=﹣2对定义域内的所有x都成立；（Ⅱ）证明：f（x）值域为[﹣3，﹣2]（Ⅲ）解：当a=﹣1时，g（x）=x2+|x|（x≠﹣1）（ⅰ）当x≥0时，则函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）min=g（0）=0（ⅱ）当x≤0时，则函数g（x）在（﹣∞，0]且x≠﹣1时单调递减，g（x）min=g（0）=0综合得：当x≠﹣1时，g（x）的最小值是0．点评：本题主要考查恒成立问题、分类常数法转化函数及分段函数求最值问题．。

江苏省南京市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题

南京市2014－2015学年度第一学期期末学情调研测试卷高一数学 2015.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上． 1．已知集合A ＝{0，2，4，6}，B ＝{x |3＜x ＜7}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．函数y ＝sin(ωx －π4)(ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为 ▲ ．3．函数f (x )＝2－x 的定义域为 ▲ ．4．设向量a ＝(1，－2)，b ＝(4，x )，若a ∥b ，则实数x 的值为 ▲ ．5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜2，x ＋2，x ≥2，则f (f (1))的值为 ▲ ．6．在平面直角坐标系中，已知角2π3的终边经过点P ，且OP ＝2(O 为坐标原点)，则点P 的坐标为 ▲ ．7．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，且x ≥0时，f (x )＝3x －1，则f (－1)的值为 ▲ ．8．求值：2log 212－log 29＝ ▲ ．9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0≤φ＜π)的部分图象如图所示，则φ的值为 ▲ ．10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上是单调减函数．若f (2x ＋1)＋f (1)＜0，则x 的取值范围是 ▲ ． 11．已知函数y ＝log a (14x ＋b )(a ，b 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图所示，则a ＋b 的值为 ▲ ．12．化简：1－2sin40°cos40°sin40°＋cos140°＝ ▲ ．13．已知在△ABC 中，∠A ＝π2，AB ＝2，AC ＝4，AF →＝12AB →，CE →＝12CA →，BD →＝14BC →，则DE →·DF→的值为_______．14．若f (x )＝x (|x |－2)在区间[－2，m ]上的最大值为1，则实数m的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分8分）已知cos α＝－35 ，0＜α＜π．（1）求tan α的值；（2）求sin(α＋π3)的值．16．（本小题满分8分）已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°．（1）求a ·b 的值；（2）求向量a －2b 的模．（第13题图）已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，－sin β)．（1）若α＝π2，β＝－π6，求向量a 与b 的夹角；（2）若a ·b ＝22，tan α＝17，且α，β为锐角，求tan β的值．18．（本小题满分10分）如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲广场ABCD ，其中AB ＝40 米，BC ＝30 米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH ，要求A 、B 、C 、D 四个点分别在矩形EFGH 的四条边(不含顶点)上．设∠BAE ＝θ，EF 长为y 米．（1）将y 表示成θ的函数；（2）求矩形区域EFGH 的面积的最大值．(第18题图)A BCDFGHθ已知函数f (x )＝3sin x ＋cos x ．（1）求f (x )的单调递增区间；（2）设g (x )＝f (x )cos x ，x ∈[0，π2]，求g (x )的值域．20．（本小题满分12分）若函数f (x )和g (x )满足：①在区间[a ，b ]上均有定义；②函数y ＝f (x )－g (x )在区间[a ，b ]上至少有一个零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上具有关系G ．（1）若f (x )＝lg x ，g (x )＝3－x ，试判断f (x )和g (x )在[1，4]上是否具有关系G ，并说明理由；（2）若f (x )＝2|x －2|＋1和g (x )＝mx 2在[1，4]上具有关系G ，求实数m 的取值范围．。

2014-2015年江苏省南京市高一下学期期末数学试卷及答案

2014-2015学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）不等式＜0的解是．2．（5分）数列{a n}是等比数列，若a3=1，a5=4，则a7的值为．3．（5分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a2+b2﹣ab=c2，则角C的大小为．4．（5分）点P（3，﹣2）到直线l：3x+4y﹣26=0的距离为．5．（5分）函数y=x+（x＞﹣1）的最小值为．6．（5分）过点P（﹣，1），倾斜角为120°的直线方程为．7．（5分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，a8=2a3，则的值是．8．（5分）若三条直线ax+2y+8=0，4x+3y﹣10=0和2x﹣y=0相交于一点，则实数a的值为．9．（5分）下列命题：①如果一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直．其中正确的命题的序号为．10．（5分）已知经过A（﹣1，a），B（a，8）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则实数a的值为．11．（5分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．若bcosC+ccosB=csinA，则的最大值为．12．（5分）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm的半圆，则这个圆锥的体积为cm3．13．（5分）已知x＞0，y＞0，且xy=x+2y，则x+y的最小值为．14．（5分）已知a n=3n，b n=3n，n∈N*，对于每一个k∈N*，在a k与a k+1之间插入b k个3得到一个数列{c n}．设T n是数列{c n}的前n项和，则所有满足T m=3c m+1的正整数m的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知直线l：x﹣2y+2m﹣2=0．（1）求过点（2，3）且与直线l垂直的直线的方程；（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围．16．（14分）一副直角三角板（如图1）拼接，将△BCD折起，得到三棱锥A﹣BCD（如图2）．（1）若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF∥平面ACD；（2）若平面ABC⊥平面BCD，求证：平面ABD⊥平面ACD．17．（14分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=，CD=，∠ABD=60°，∠ADB=75°，∠ADC=120°．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积．18．（16分）如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物．已知木板的长BC紧贴地面且为4米，宽BE为2米，墙角的两堵墙面所成二面角为120°，且均与地面垂直，如何放置木板才能使这个空间的体积最大，最大体积是多少？19．（16分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S3=a4+4，且a 2，a6，a18成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设c n=，若{c n}为等差数列，求实数t的值．20．（16分）设等比数列{a n}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项．数列{b n}的前n项和S n=n2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若不等式λb n≤S n+6对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若c n=从数列{c n}中取出若干项（奇数项与偶数项均不少于两项），将取出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．2014-2015学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）不等式＜0的解是（﹣1，0）．【解答】解：不等式＜0，即x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）．2．（5分）数列{a n}是等比数列，若a3=1，a5=4，则a7的值为16．【解答】解：在等比数列中，a3a7=（a5）2，即a7=16，故答案为：163．（5分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a2+b2﹣ab=c2，则角C的大小为．【解答】解：由余弦定理可得：cosC===，∵C∈（0，π），∴C=．故答案为：．4．（5分）点P（3，﹣2）到直线l：3x+4y﹣26=0的距离为5．【解答】解：由题意结合点到直线的距离公式可得：点P（3，﹣2）到直线l：3x+4y﹣26=0的距离d===5．故答案为：55．（5分）函数y=x+（x＞﹣1）的最小值为7．【解答】解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0．∴函数y=x+=（x+1）+﹣1﹣1=7，当且仅当x=3时取等号．故答案为：7．6．（5分）过点P（﹣，1），倾斜角为120°的直线方程为x+y+2=0．【解答】解：∵直线l的倾斜角为120°，∴直线的斜率为k=tan120°=﹣，又∵直线l过点（﹣3，1），∴直线l的方程为：y﹣1=﹣（x+3），即x+y+2=0，故答案为：x+y+2=07．（5分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，a8=2a3，则的值是6．【解答】解：由{a n}为等差数列，且a8=2a3，得到a1+7d=2（a1+2d），∴a1=3d，∴==6，故答案为：6．8．（5分）若三条直线ax+2y+8=0，4x+3y﹣10=0和2x﹣y=0相交于一点，则实数a的值为﹣12．【解答】解：联立4x+3y﹣10=0，2x﹣y=0，得，解得，∵三条直线ax+2y+8=0，4x+3y﹣10=0，2x﹣y=0相交于一点，∴把点（1，2）代入ax+2y+8=0，可得a+4+8=0，解得a=﹣12．故答案为：﹣12．9．（5分）下列命题：①如果一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直．其中正确的命题的序号为②④．【解答】解：①如果平面外一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行，故不正确；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行，根据面面平行的判定定理可知正确；③平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直，利用平面与平面垂直度判定定理可知正确．故答案为：②④．10．（5分）已知经过A（﹣1，a），B（a，8）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则实数a的值为2．【解答】解：直线2x﹣y+1=0的斜率为1，由平行直线斜率相等得：2=，∴a=2故答案为：211．（5分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．若bcosC+ccosB=csinA，则的最大值为．【解答】解：∵bcosC+ccosB=csinA，∴由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sinCsinA，∵sinA≠0，∴sinC=1，C=，∴利用正弦定理可得：==sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+），∴则=sin（A+）的最大值为．故答案为：．12．（5分）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm的半圆，则这个圆锥的体积为πcm3．【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2cm的半圆，所以圆锥的底面周长为：2πcm，底面半径为：1cm，圆锥的高为：cm；圆锥的体积：V=π•12×=π．故答案为：π．13．（5分）已知x＞0，y＞0，且xy=x+2y，则x+y的最小值为3+2．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且xy=x+2y，∴y=＞0，解得x＞2．则x+y=x+=（x﹣2）++3+3=3+2，当且仅当x=2+，y=+1时取等号．∴x+y的最小值为3+2．故答案为：3+2．14．（5分）已知a n=3n，b n=3n，n∈N*，对于每一个k∈N*，在a k与a k+1之间插入b k个3得到一个数列{c n}．设T n是数列{c n}的前n项和，则所有满足T m=3c m+1的正整数m的值为3．【解答】解：a n=3n，b n=3n，由题意知，c1=a1=3，c2=c3=c4=3，c5=a2=9，c6=c7=c8=c9=c10=c11=3，c12=a3=27，…，则当m=1时，T1=3≠3c2=9，不合题意；当m=2时，T2=6≠3c3=9，不合题意；当m=3时，T3=9=3c4=9，适合题意．=3，则T m≥12≠3c m+1，不适合题意，当m≥4时，若c m+1从而c m+1必是数列{a n}中的某一项a k+1，则T m=a1+3+3+3+a2+3+3+3+3+3+3+a3+3+…+3+a4+3+…+a5+3+…+a6+…+a k﹣1+3+…+a k，=（3+32+33+…+3k）+9[1+2+…+（k﹣1）]==，又3c m+1=3a k+1=3×3k+1，∴=3×3k+1，即5×3k=3k2﹣3k﹣1，上式显然无解．即当m≥4时，T m≠3c m+1，综上知，满足题意的正整数m的值为3．故答案为：3．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知直线l：x﹣2y+2m﹣2=0．（1）求过点（2，3）且与直线l垂直的直线的方程；（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵直线l：x﹣2y+2m﹣2=0的斜率为，∴与直线l垂直的直线的斜率为﹣2，…（2分）因为点（2，3）在该直线上，所以所求直线方程为y﹣3=﹣2（x﹣2），故所求的直线方程为2x+y﹣7=0．…（6分）（2）直线l与两坐标轴的交点分别为（﹣2m+2，0），（0，m﹣1），…（8分）则所围成的三角形的面积为×|﹣2m+2|×|m﹣1|．…（10分）由题意可知×|﹣2m+2|×|m﹣1|＞4，化简得（m﹣1）2＞4，…（12分）解得m＞3或m＜﹣1，所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．…（14分）16．（14分）一副直角三角板（如图1）拼接，将△BCD折起，得到三棱锥A﹣BCD（如图2）．（1）若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF∥平面ACD；（2）若平面ABC⊥平面BCD，求证：平面ABD⊥平面ACD．【解答】证明：（1）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC．…（2分）又EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，所以EF∥平面ACD．…（6分）（2）因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，CD⊂平面BCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC．…（8分）因为AB⊂平面ABC，所以CD⊥AB．…（10分）又因为AB⊥AC，AC∩CD=C，AC⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，所以AB⊥平面ACD．…（12分）又AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面ACD．…（14分）17．（14分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=，CD=，∠ABD=60°，∠ADB=75°，∠ADC=120°．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABD中，AD=，∠ABD=60°，∠BAD=180°﹣60°﹣75°=45°，由正弦定理得=，所以BD=2．…（4分）（2）在△ABD中，AD=，BD=2，∠ADB=75°，所以△ABD的面积S1=AD•BD•sin∠ADB=．…（8分）又△ACD的面积S2=AD•DC•sin∠ADC=，…（10分）△BCD的面积S3=1．…（12分）所以△ABC的面积S=S1+S3﹣S2=．…（14分）18．（16分）如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物．已知木板的长BC紧贴地面且为4米，宽BE为2米，墙角的两堵墙面所成二面角为120°，且均与地面垂直，如何放置木板才能使这个空间的体积最大，最大体积是多少？【解答】解法一：设AB=x米，AC=y米，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米，所以V=xysin•2=xy．由题意得42=x2+y2﹣2xycos，即x2+y2+xy=16，因为x2+y2≥2xy，所以16≥2xy+xy，即xy≤，当且仅当x=y=时，不等式取等号．所以V≤•=．答：当AB=AC=米时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为立方米．解法二：设∠ABC=θ，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米．由正弦定理得==，则AC=sinθ，AB=sin（﹣θ），所以V=AB•AC•sin•BE=×sinθ•sin（﹣θ）××2=sinθ•sin（﹣θ）=sinθ×（cosθ﹣sinθ）=×[sin2θ﹣（1﹣cos2θ）]=sin（2θ+）﹣．因为0＜θ＜，即＜2θ+＜，所以当且仅当2θ+=，即θ=时，V取得最大值．答：当∠ABC=时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为立方米．19．（16分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S3=a4+4，且a2，a6，a18成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设c n=，若{c n}为等差数列，求实数t的值．（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由S3=a4+4，得3a1+3d=a1+3d+4，【解答】解：即a1=2．又a2，a6，a18成等比数列，∴（a1+5d）2=（a1+d）（a1+17d），整理得：d=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n；（2）b n==，∴T n=1+++…+，∴T n=++…++两式相减，整理可得T n=4﹣；（3）S n=2n+=n2+n．c=，若{c n}为等差数列，则2c2=c1+c3，即2=+，∴t=．n20．（16分）设等比数列{a n}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项．数列{b n}的前n项和S n=n2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若不等式λb n≤S n+6对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若c n=从数列{c n}中取出若干项（奇数项与偶数项均不少于两项），将取出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．【解答】解：（1）由题意得，2×3a3=8a1+a5，则6q2=8+q4，…（2分）解得q2=4或q2=2．因为q为正整数，则q=2．…（3分）又a1=2，则a n=2n，即数列{a n}的通项公式为a n=2n．…（4分）（2）当n=1时，b1=S1=1；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时也符合，故b n=2n﹣1．…（6分）不等式λb n≤S n+6对一切n∈N*恒成立，转化为λ≤对一切n∈N*恒成立．记T=，令2n﹣1=t（t＞0），则n=，T==（t++2）≥（2+2）=（2×5+2）=3，…（8分）当且仅当t=，即t=5，n=3时等号成立，故λ≤3，即实数λ的取值范围是（﹣∞，3]．…（10分）（3）由（1），（2）可知c n=，设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，k∈N*，s≥2，k≥2．因为数列{c n}的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．…（12分）假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数．设抽出的三个偶数从小到大依次为2i，2j，2p（1≤i＜j＜p），则=2i﹣1+2j﹣1为奇数，而i≥1，j≥2，则2j﹣1为偶数，2i﹣1为奇数，所以i=1．又=2j﹣1+2p﹣1为奇数，而j≥2，p≥3，则2j﹣1与2p﹣1均为偶数，矛盾．又因为k≥2，所以k=2，即偶数只有两项，则奇数最多有3项，即s+k的最大值为5．…（14分）设此等差数列为d1，d2，d3，d4，d5，则d1，d3，d5为奇数，d2，d4为偶数，且d2=2．由d1+d3=2d2=4，得d1=1，d3=3，此数列为1，2，3，4，5．同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5和5，4，3，2，1．…（16分）。

江苏省南京市第十三中学、第九中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题缺答案

2015十三中、九中高一第二学期期中联考高一数学一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分．）1．已知一个等差数列的前三项分别为15x -，，，则它的第五项为．【答案】11【解析】第1、3、5项成等差数列2．函数()()22log 1f x x =-的定义域为．【答案】()()1,,1+∞-∞-【解析】解一元二次不等式3．若数列{}n a 前n 项和为22n S n n =+，则数列{}n a 的通项公式为n a = ．【答案】21n +【解析】13a =,2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+4．若正实数x y ，满足21x y +=，则x y ⋅的最大值为．【答案】18 【解析】222x y xy +≥22xy ，18xy ≤5．等比数列{}n a 中,13a =，481a =，则{}n a 的通项公式为n a = ．【答案】3n【解析】327q =，3q =，3n n a =6．在△ABC 中,三边长分别为7,4313则三角形最小角的大小为．【答案】π6 133cos 2743θ==⨯⨯，π6θ=7．数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且145,,a a a 恰为某等比数列的前三项,那么该等比数列公比的值为．【答案】13【解析】1a ，13a d +，14a d +成等比数列，()()211134a d a a d +=+ ，192a d =-，13q = 8．在ABC △中，内角A B C ，，所对边分别为a b c ，，,若cos cos cos a b c A B C ==，则ABC △是三角形．【答案】等边【解析】运用正弦定理，得到tan tan tan A B C ==,A B C ==9．已知等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若41S =，83S =，则17181920a a a a +++的值为．【答案】16【解析】484128,,......S S S S S --成等比数列，公比为2，则17181920201616a a a a S S +++=-=10．已知函数()221f x ax ax =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是．【答案】【解析】0a =时，符合；0a >,11．将正整数排成一个三角形数阵：按照右图排列的规律,则第20行从左到右的第4个数为．12．已知0x >，0y >，且16x y xy +=，则x y +的最小值为．13．已知数列{}n a 通项公式123,2,为奇数为偶数n n n n a n --⎧⎪=⎨⎪⎩，则数列{}n a 的前9项和为．14．已知等比数列{}n a 是单调递减的等差数列，611S S =，有以下四个结论:⑴ 90a =⑵ 当8n =或9n =时，n S 取最大值⑶ 存在正整数k 使得0k S =⑷ 存在正整数m 使得2m m S S =其中正确的是．二、解答题（本大题共6小题,共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分) 已知{}22210A x x mx m =-+-<|．⑴ 若2m =，求A ; ⑵ 已知1A ∈,且3A ∉，求实数m 的取值范围．16．（本题满分14分) 在ABC △中，45°B =，10b =25cos C =．⑴ 求sin A 及BC 边的长； ⑵ 求ABC △的面积．17．(本题满分14分）已知ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且满足()sin sin sin a A c C a b B -=-．⑴ 求角C 的大小； ⑵若边长c =，求ABC △的周长最大值．18．(本题满分16分) 地铁三号线开通后，某地铁站人流量增大,小A 瞄准商机在地铁口投资72万元购得某商铺使用权，且商铺最高使用年限为40年，现小A 将该商铺出租，第一年租金为5.4万元，以后每年租金比上一年增加0。

南师附中2014-2015高一数学期中考试-含解析

a,b, c, d 的大小顺序为
.
【答案】 b a c d .
【解析】两个指数函数的底数都在 0,1 之间，根据 x 1时判断出 b a ；而两个对数函数的底数都大于 1，
根据 y 1 时判断出 c d ，所以 b a c d .
4. 某高级中学高一特长班有 100 名学生，其中学绘画的学生有 67 人，学音乐的学生有 45 人，而学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是 21 人，那么同时学绘画和音乐的学生有人.
2
2a
2
2
2
去；
综上， a [9 , ) . 2
20. （本小题 10 分）已知函数 f (x) lg 1 x . 1 x ⑴ 判断函数 f (x) 的奇偶性； ⑵ 若 f (x) 1 ，求实数 x 的取值范围； ⑶ 关于 x 的方程10 f (x) ax 有实数解，求实数 a 的取值范围.
【答案】⑴ 奇函数；⑵ x [ 9 ,1] ；⑶ a (,3 2 2] (0,) . 11
【解析】⑴ 先算定义域 1 x 0 ，解得 1 x 1 ，关于 0 对称， 1 x
f (x) f (x) lg 1 x lg 1 x lg(1 x 1 x) 0 ，所以该函数是奇函数； 1 x 1 x 1 x 1 x
【答案】33. 【解析】根据韦恩图可得同时学绘画和音乐的人数为 67+45+21-100=33.
5. 已知幂函数 y x 的图像过点 (8, 4) ，则这个函数的解析式是
.
2
【答案】 y x 3 .
【解析】带入得 4 8 ，即 22 23 ，所以 2 . 3
6.
已知函数

南京师大附中2014—2015高一下期中数学试卷

南京师大附中2014——2015学年度第二学期高一年级期中数学试卷命题人：高一数学备课组审阅人：刘明班级学号姓名得分一、填空题：填空题（本大题共14小题，每小题3分，请把答案填在答题纸的相应位置.）1.设集合2|230,|04M x x x N x x ，则M N 2.等差数列 n a 中，已知310a ，820a ，则5a3.ABC中，已知60a b B ，那以角A 等于4.若等比数列 n a 满足1237128a a a a ，则35a a 的值为5.已知0,0x y 且41x y ，则xy 的最大值为6.ABC 中，若sin :sin :sin 7:8:13A B C ，则角C 等于 .7.设 n a 是等差数列，且23415a a a ，则这个数列的前5项之和5S8.已知实数,x y 满足21x y ，则24x y 的最小值为9.设等比数列 n a 的前n 项和为n S （*n N ），若396,,S S S 成等差数列，则825a a a 的值是 10. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是.,c ab .若c)cosA acosC ,则cos A .11.若不等式210ax ax 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是12.在数列 n a 中，若111,12n a a n，则10S 13.在ABC中，若2,6AB AC B,则三角形ABC 的面积S 14.正项数列 n a 满足121,2a a，又是以12为公比的等比数列，则使不等式 1232111112015n a a a a 成立的最小正整数n 为二、解答题（本大题共6小题，共计58分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题纸的指定区域内）.15.（本小题满分8分）解关于x 的不等式：(1)()0)x x a a R16.在ABC 中，角60A ,最大边与最小边恰好是方程2710x x 的两个根，求此三角形的第三边.17.（本题满分10分）设数列 n a 是等差数列， n b 是各项为正数的等比数列，且1135531,21,13.a b a b a b ，（1）求数列 n a ， n b 的通项公式；（2）求数列n n a b的前项和.18.（本小题满分10分）在ABC 中，解,,A B C 的对边分别为,,a b c，且22)a c b b . （1）求角C 的值；（2）已知，求ABC 面积的最大值.19.如图所示，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB y km ，并在公路同一侧建造边长为(1)km x x 的正方形无顶中转站CDEF (其中EF 在GH 上.现从仓库A 向GH 中转站分别修两条道路,AB AC ，已知1AB AC ，且60ABC .（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路的总造价M 最低？20.(本小题满分10分) 设等差数列 n a 的前n 项和为n S ，已知162,22a S .（1）求q ；（2）若从 n a 中抽取一个公比为q 的等比数列 n k a ，其中11k ，且123,*n n k k k k k N . ①当q 取最小值时，求 n k 的通项公式；②若关于(*)n n N 的不等式16n n S k 有解，试求q 的值. 第19题G H公路。

江苏省南京二十九中2014-2015学年高一上学期12月学情监测数学试卷Word版含解析

2014-2015学年江苏省南京二十九中高一（上）12月学情监测数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．若集合A={x|sinx=，x∈R}，B={x|0≤x≤2π}，则A∩B=__________．2．一个扇形的圆心角是2弧度，弧长为4cm，则扇形的面积是__________．3．角α的终边经过点P（﹣1，），则sin（+α）=__________．4．在△ABC中，若cos（B+C）=，则tanA=__________．5．若α是第二象限角，则sin （sinα），sin （cosα），cos （sinα），cos （cosα）中正数的个数是__________．6．函数y=1+2cos （3+4x）的最小正周期是__________．7．若y=15sin[（x+1）]表示一个振动，则这个振动的初相是__________．8．的值是__________．9．函数y=f（x）的图象向左平移单位，得到函数y=3sin 4x的图象，则f（x）的解析式是__________．10．若不等式﹣m≥0对一切实数x成立，则实数m的取值范围是__________．11．若ln（2a+1）=ln（a2﹣2），则a=__________．12．函数y=（）x+（）x﹣1（x≤﹣1）的值域是__________．13．下列四个命题中正确的有__________．（填所有正确命题的序号）①函数y=x与y=sinx的图象恰有一个公共点；②函数y=lnx与y=sinx的图象恰有一个公共点；③函数y=与y=sinx的图象有无数个公共点；④函数y=e x与y=sinx的图象有无数个公共点．14．设k∈Z，下列四个命题中正确的有__________．（填所有正确命题的序号）①若sinα+sinβ=2，则α=β=2kπ+；②若tanα+=2，则α=2kπ+；③若sinα+cosα=1，则sin3α+cos3α=1；④若sin3α+cos3α=1，则sinα+cosα=1．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知sinα+cosα=，0＜α＜π，求下列各式的值：（1）tanα；（2）sin2α﹣2sin αcosα+3cos2α．16．设y=f（x）（x∈R）是奇函数，且x＜0时，f（x）=log2（x2﹣x）．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（m）=1，求m的值．17．设凼数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），在一个周期内，当x=时，取得最大值1，当x=时取得最小值﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）画出f（x）的简图，并写出f（x）的单调区间．18．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8cm，圆环的圆心O距离地面的高度为10m，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处（1）试确定在时刻t（min）时蚂蚁距离地面的高度h（m）（2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过14m？19．设函数y=2sin2x+2acosx+2a的最大值是．（1）求a的值；（2）求y的最小值，并求y最小时x的值的集合．20．设f（x）=，0≤x≤，a∈R．（1）当a=时，求f（x）的最小值；（2）若f（x）的最小值是7，求a的值．2014-2015学年江苏省南京二十九中高一（上）12月学情监测数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．若集合A={x|sinx=，x∈R}，B={x|0≤x≤2π}，则A∩B={，}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求得集合A，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．【解答】解：集合A={x|sin x=，x∈R}={x|x=+2kπ，或x=+2kπ，k∈z}，∵B={x|0≤x≤2π}，∴A∩B={，}，故答案为：{，}．【点评】本题主要考查两个集合的交集的定义，属于基础题．2．一个扇形的圆心角是2弧度，弧长为4cm，则扇形的面积是4cm2．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用扇形的面积计算公式、弧长公式即可得出．【解答】解：由弧长公式可得4=2r，解得r=2．∴扇形的面积S=×22×2=4cm2．故答案为：4cm2．【点评】本题考查了扇形的面积计算公式、弧长公式，属于基础题．3．角α的终边经过点P（﹣1，），则sin（+α）=﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得sin（+α）的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣1，），则x=﹣1，y=，r=|OP|=2，∴sin（+α）=cosα==﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．在△ABC中，若cos（B+C）=，则tanA=﹣．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用诱导公式、三角形的内角和公式求得A=，可得tanA的值．【解答】解：△ABC中，若cos（B+C）=﹣cosA=，则A=，∴tanA=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查诱导公式、三角形的内角和公式，属于基础题．5．若α是第二象限角，则sin （sinα），sin （cosα），cos （sinα），cos （cosα）中正数的个数是3．【考点】三角函数线．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由正余弦函数在第二象限的符号便可得到，这样根据正余弦函数图象或正余弦函数在第一、第四象限的符号即可判断每一项的符号，从而得出正数的个数．【解答】解：∵α是第二象限角；∴，；∴sin（sinα）＞0，sin（cosα）＜0，cos（sinα）＞0，cos（cosα）＞0；∴正数的个数为3．故答案为：3．【点评】考查象限角的概念，正余弦函数在各象限的符号，以及正余弦函数的值域，要熟悉正余弦函数的图象．6．函数y=1+2cos （3+4x）的最小正周期是．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）+k 的周期等于T=，得出结论．【解答】解：函数y=1+2cos （3+4x）的最小正周期为=，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）+k的周期等于T=，属于基础题．7．若y=15sin[（x+1）]表示一个振动，则这个振动的初相是．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】三角函数的求值．【分析】化简函数的解析式，即可求出初相．【解答】解：y=15sin[（x+1）]=15sin（+），这个振动的初相是．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的解析式的应用，此时的物理意义，是基础题．8．的值是1．【考点】三角函数的化简求值．【专题】转化思想；配方法；三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式、乘法公式即可得出．【解答】解：原式===1．故答案为：1．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．函数y=f（x）的图象向左平移单位，得到函数y=3sin 4x的图象，则f（x）的解析式是y=3sin（4x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由题意可得，把函数y=3sin 4x的图象向右平移个单位后得到函数f（x）=3sin[4（x﹣）]=3sin（4x﹣）的图象，故答案为：y=3sin（4x﹣）．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．若不等式﹣m≥0对一切实数x成立，则实数m的取值范围是m≤0．【考点】函数恒成立问题．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】不等式﹣m≥0对一切实数x成立，可得m≤对一切实数x成立，求出右边的最小值，即可得出结论．【解答】解：∵不等式﹣m≥0对一切实数x成立，∴m≤对一切实数x成立，设y==﹣1+∈[0，2]，∴m≤0．故答案为：m≤0．【点评】本题考查不等式恒成立问题，考查函数的最小值，正确分离参数是关键．11．若ln（2a+1）=ln（a2﹣2），则a=．【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用方程的解得到a，然后求解表达式的值．【解答】解：ln（2a+1）=ln（a2﹣2），可得2a+1=a2﹣2，解得a=3或a=﹣1（舍去）．a=3=3=．故答案为：．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，对数的运算法则的应用，考查计算能力．12．函数y=（）x+（）x﹣1（x≤﹣1）的值域是[8，+∞）．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】配方便可得到，从而根据x≤﹣1可以得出的范围，从而得到的范围，进一步得到y的范围，即得出该函数的值域．【解答】解：；x≤﹣1；∴；∴；∴y≥8；∴该函数的值域为[8，+∞）．故答案为：[8，+∞）．【点评】考查函数值域的概念，配方处理二次式子的方法，以及指数函数的单调性，根据不等式的性质求值域．13．下列四个命题中正确的有①②③④．（填所有正确命题的序号）①函数y=x与y=sinx的图象恰有一个公共点；②函数y=lnx与y=sinx的图象恰有一个公共点；③函数y=与y=sinx的图象有无数个公共点；④函数y=e x与y=sinx的图象有无数个公共点．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】利用函数的奇偶性以及交点个数判断①的正误；通过函数的图象判断②的正误即可．利用函数的值域判断③④的正误；【解答】解：函数y=x与y=sinx都是奇函数，当x∈（0，+∞）时，x＞sinx，x=0时，x=sinx，函数y=x与y=sinx的图象恰有一个公共点，①正确；函数y=lnx与y=sinx的图象恰有一个公共点，如图：②，②正确；函数y=与y=sinx的图象有无数个公共点，当x→+∞时，y=→0，所以③正确；函数y=e x与y=sinx的图象有无数个公共点．当x→﹣∞时，y=e x→0，所以④正确；故答案为：①②③④．【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，命题的真假的判断，函数的图象与性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．14．设k∈Z，下列四个命题中正确的有③④．（填所有正确命题的序号）①若sinα+sinβ=2，则α=β=2kπ+；②若tanα+=2，则α=2kπ+；③若sinα+cosα=1，则sin3α+cos3α=1；④若sin3α+cos3α=1，则sinα+cosα=1．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】根据三角函数的定义及恒等变形，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵sin α+sin β=2，∴α=2kπ+，且β=2kπ+，k∈Z，但α，β不一定相等，故①错误；、若tanα+=2，则α=kπ+，k∈Z，故②正确；若sinα+cosα=1，则sinαcosα=0，故sin3α+cos3α=（sinα+cosα）（sin2α﹣sinαcosα+cos2α）=1，故③正确；若sin3α+cos3α=1，则sinαcosα=0，则由sin3α+cos3α=（sinα+cosα）（sin2α﹣sinαcosα+cos2α）=1得sinα+cosα=1，故④正确；故答案为：③④【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查三角函数的定义，立方和公式等知识点，难度中档．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知sinα+cosα=，0＜α＜π，求下列各式的值：（1）tanα；（2）sin2α﹣2sin αcosα+3cos2α．【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得2sinαcosα，可得sinα﹣cosα的值，求得sinα和cosα的值，从而求得要求式子的值．【解答】解：∵sinα+cosα=，0＜α＜π，∴1+2sinαcosα=，求得2sinαcosα=﹣．可得sinα﹣cosα==．再结合sinα＞0＞cos α，求得sin α=，cosα=﹣，（1）tan α==﹣；（2）sin 2α﹣2sinαcos α+3cos2α=（sinα﹣cosα）2+2cos 2α=（）2+2（﹣）2=．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．16．设y=f（x）（x∈R）是奇函数，且x＜0时，f（x）=log2（x2﹣x）．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（m）=1，求m的值．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）先根据奇偶性求出在x=0处的值，然后利用奇偶性求出x＞0时的函数解析式，最后用分段函数表示即可．（2）利用（1）的结论，建立方程，即可求m的值．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数∴f（0）=0设x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）=log2（x2+x）=﹣f（x）∴f（x）=﹣log2（x2+x）（x＞0）∴f（x）的解析式为f（x）=；（2）m＜0时，f（m）=log2（m2﹣m）=1，∴m2﹣m=2，∴m=﹣1．m＞0时，f（m）=﹣log2（m2+m）=1，∴m2+m=，∴m=．综上，m=﹣1或m=．【点评】本题主要考查了利用奇偶性求函数的解析式，以及对数的运算性质，属于基础题．17．设凼数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），在一个周期内，当x=时，取得最大值1，当x=时取得最小值﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）画出f（x）的简图，并写出f（x）的单调区间．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（1）依题意，可求得A=1，由周期T=π可求得ω=2，ω×+φ=2kπ+（k∈Z），0＜φ＜π可求得φ，从而可得函数f（x）的解析式；（2）用“五点法”画出该函数在一个周期内的简图，利用正弦函数的单调性，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z）即可求得函数f（x）的单调递增区间；由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z），即可求得函数f（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）由题设知，A=1，周期=﹣=，T=π，又ω＞0，∴ω==2，∴f（x）=sin（2x+φ），又x=时，y取得最大值1，∴ω×+φ=2kπ+（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），∵|φ|＜，∴φ=．∴f（x）=sin（2x+）22x+由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z），得kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z），得kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象确定函数解析式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．18．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8cm，圆环的圆心O距离地面的高度为10m，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处（1）试确定在时刻t（min）时蚂蚁距离地面的高度h（m）（2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过14m？【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）先算出以OP为终边的角，根据三角函数求解；（2）利用三角函数的性质进行求解．【解答】解：（1）设在时刻t（min）时蚂蚁达到点P，由OP在t分钟内所转过的角为=，可知以Ox为始边，OP为终边的角为+，则P点的纵坐标为8sin（+），则h=8sin（+）+10=10﹣8cos，∴h=10﹣8cos（t≥0）（2）h=10﹣8cos≥14⇒cos≤﹣⇒（k∈Z）因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，故不妨令t∈[0，12]，∴4≤t≤8所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m．故答案为：（1）h=10﹣8cos（t≥0）（2）4分钟．【点评】本题考查了在实际问题中学生建立三角函数模型的能力．19．设函数y=2sin2x+2acosx+2a的最大值是．（1）求a的值；（2）求y的最小值，并求y最小时x的值的集合．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；函数思想；换元法；三角函数的求值．【分析】（1）令cosx=t，则t∈[﹣1，1]，换元可得y=﹣2（t﹣）2++2a+2，分类讨论由二次函数区间的最值可得；（2）由（1）知，y=﹣2（t+）2+，由二次函数的最值和余弦函数可得．【解答】解：（1）令cosx=t，则t∈[﹣1，1]，换元可得y=2（1﹣t2）+2at+2a=﹣2（t﹣）2++2a+2，当﹣1＜＜1即﹣2＜a＜2时，y max=+2a+2=，解得a=﹣1，a=﹣3（舍去）；当≥1即a≥2时，y max=﹣（1﹣）2++2a+2=，此方程无解；当≤﹣1即a≤﹣2时，y max=﹣（﹣1﹣）2++2a+2=，此方程无解．综上可得a的值为：﹣1．（2）由（1）知，y=﹣2（t+）2+，当t=1时，y取最小值﹣4，此时cosx=1，故x的集合：{x|x=2kπ，k∈Z}．【点评】本题考查三角函数的最值，换元并转化为二次函数区间的最值是解决问题的关键，属中档题．20．设f（x）=，0≤x≤，a∈R．（1）当a=时，求f（x）的最小值；（2）若f（x）的最小值是7，求a的值．【考点】二倍角的正弦；三角函数的化简求值；三角函数的最值．【专题】计算题；探究型；分类讨论；分类法；三角函数的求值．【分析】（1）设t=sin（2x+），可得≤t≤1，由于当a=时，y=t+，结合图象由其单调性即可求得最小值．（2）分类讨论，当a＜0，a=0时，y=t+最小值不是7，当a＞0时，可得y=t+在（0，]上是减函数，在[，+∞）上增函数，讨论可得当a＞1，则t=1时y最小，y min=7，即可解得a的值．【解答】解：设t=sin（2x+），0≤x≤时，≤t≤1，（1）当a=时，y=t+在[，]上是减函数，是[，1]上增函数，f（x）=t+的最小值是+=；（2）当a＜0时，y=t+在[，1]上增函数，最小值小于，不可能是7；当a=0时，y=t+在[，1]上增函数，最小值是≠7；当a＞0时，因为（t1+）﹣（t2+）=，所以y=t+在（0，]上是减函数，在[，+∞）上增函数，若a＞1，则t=1时y最小，y min=1+a=7，所以a=6，若≤a≤1，则t=时y最小，y min=2=7，不可能，若a＜，则t=时y最小，y min=+a=7，不可能，综上所述，若f（x）的最小值是7，则a的值6．【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。

【精品】2014年江苏省南京市高一上学期期末数学试卷

2013-2014学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上1．（5.00分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={﹣2，0，2，4}，则A∩B=．2．（5.00分）计算：sin210°的值为．3．（5.00分）函数f（x）=log2（x+1）的定义域为．4．（5.00分）计算：2lg+lg5的值为．5．（5.00分）已知a=30.2，b=0.32，c=log 0.32，则a，b，c的大小关系为．（用“＜”连接）6．（5.00分）已知函数f（x）=，则f（f（0））的值为．7．（5.00分）对于任意的a∈（1，+∞），函数y=log a（x﹣2）+1的图象恒过点．（写出点的坐标）8．（5.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜ϕ≤π）的部分图象如图所示，与x轴的两个交点的横坐标分别为，，则函数f （x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离是．9．（5.00分）在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD=2BD．设=，=，则=．（用a，b表示）10．（5.00分）函数y=sin（x+）在区间[0，]的最小值为．11．（5.00分）若函数y=|log2x|在区间（0，a]上单调递减，则实数a的取值范围是．12．（5.00分）将函数y=sinx的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数y=f（x）的图象，再将函数y=f（x）的图象沿着x轴的正方向平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）的解析式．13．（5.00分）给出下列四个函数：①y=x+sinx；②y=x2﹣cosx；③y=2x﹣2﹣x；④y=e x+lnx，其中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调的函数是．（写出所有满足条件的函数的序号）14．（5.00分）设定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，且f（1）=2．若对任意的x∈[﹣3，3]都有f（x）≤a，则实数a的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14.00分）设向量=（6，2），=（﹣3，k）．（1）当⊥时，求实数k的值；（2）当∥时，求实数k的值．16．（14.00分）已知tanα=3．（1）求的值；（2）若π＜α＜，求cosα﹣sinα的值．17．（15.00分）已知向量，的夹角为120°，且||=2，||=3．若=2+，=﹣2，（1）求+2；（用，表示）；（2）求||的值．18．（15.00分）已知函数f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x+x ﹣3．（1）求f（﹣1）的值；（2）求函数f（x）的表达式；（3）求证：方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有唯一解．19．（16.00分）下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深．（1）若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y=Asin（ωt）+b（其中A＞0，ω＞0，b∈R）来近似描述，求A，ω，b的值；（2）若一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2.5m的安全间隙（船底与海底的距离），试用（1）中的函数关系判断该船何时能进入港口？20．（16.00分）设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求实数a的取值范围．（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8，求t的取值范围．2013-2014学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上1．（5.00分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={﹣2，0，2，4}，则A∩B={0，2} ．【解答】解：根据题意，集合A={﹣1，0，1，2}，B={﹣2，0，2，4}，两集合的公共元素为0和2，则A∩B={0，2}；故答案为{0，2}．2．（5.00分）计算：sin210°的值为﹣．【解答】解：sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣，故答案为﹣．3．（5.00分）函数f（x）=log2（x+1）的定义域为（﹣1，+∞）．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）的定义域为：{x|x+1＞0}，解得：{x|x＞﹣1}，故答案为：（﹣1，+∞）．4．（5.00分）计算：2lg+lg5的值为1．【解答】解：2lg+lg5=lg2+lg5=lg10=1．故答案为：1．5．（5.00分）已知a=30.2，b=0.32，c=log0.32，则a，b，c的大小关系为c＜b＜a．（用“＜”连接）【解答】解：∵a=30.2＞30=1，0＜b=0.32＜0.30=1，c=log0.32＜log0.31=0∴c＜b＜a故答案为：c＜b＜a6．（5.00分）已知函数f（x）=，则f（f（0））的值为6．【解答】解：因为函数f（x）=，所以f（0）=2﹣0=2，所以f（f（0））=f（2）=22+2=6．故答案为：6．7．（5.00分）对于任意的a∈（1，+∞），函数y=log a（x﹣2）+1的图象恒过点（3，1）．（写出点的坐标）【解答】解：由于对于任意的a∈（1，+∞），函数y=log a x过定点（1，0），故函数y=log a（x﹣2）+1的图象恒过点（3，1），故答案为（3，1）．8．（5.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜ϕ≤π）的部分图象如图所示，与x轴的两个交点的横坐标分别为，，则函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离是．【解答】解：∵函数图象与x轴的两个交点的横坐标分别为、，且它们是相邻的两个零点，∴函数的周期为T=2（﹣）=又∵函数y=Asin（ωx+ϕ）图象的两条相邻对称轴的距离等于半个周期，∴函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离是T=．故答案为：9．（5.00分）在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD=2BD．设=，=，则=．（用a，b表示）【解答】解：∵D是BC上的点，且CD=2BD，∴∵，，∴，整理，得结合题意=，=，可得=故答案为：10．（5.00分）函数y=sin（x+）在区间[0，]的最小值为．【解答】解：由题意x∈[0，]，得x+∈[，]，∴sin（x+）∈[，1]∴函数y=sin（x+）在区间[0，]的最小值为故答案为11．（5.00分）若函数y=|log2x|在区间（0，a]上单调递减，则实数a的取值范围是（0，1] ．【解答】解：函数y=|log2x|的单调减区间为（0，1]，单调增区间为[1，+∞）∵函数y=|log2x|在区间（0，a]上单调递减，∴0＜a≤1∴实数a的取值范围是（0，1]故答案为：（0，1]12．（5.00分）将函数y=sinx的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数y=f（x）的图象，再将函数y=f（x）的图象沿着x轴的正方向平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）的解析式g（x）=sin （2x﹣）．【解答】解：将函数y=sinx的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数y=f（x）=sin2x的图象，再将函数y=f（x）的图象沿着x轴的正方向平移个单位长度，得到函数y=g （x）=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象∴g（x）的解析式为g（x）=sin（2x﹣）故答案为g（x）=sin（2x﹣）13．（5.00分）给出下列四个函数：①y=x+sinx；②y=x2﹣cosx；③y=2x﹣2﹣x；④y=e x+lnx，其中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调的函数是①③．（写出所有满足条件的函数的序号）【解答】解：考察四个函数，：①y=x+sinx与；③y=2x﹣2﹣x；这两个函数是奇函数，；②y=x2﹣cosx；是偶函数，；④y=e x+lnx的定义域不关于原点对称是非奇非偶函数由此可排除②④对于函数①，y′=1+cosx≥0故是单调函数，符合题意对于函数；③y=2x﹣2﹣x，由于函数2x是增函数，函数2﹣x是减函数，故y=2x﹣2﹣x是增函数，综上判断知，既是奇函数，又在区间（0，1）上单调的函数是①③故答案为①③14．（5.00分）设定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，且f（1）=2．若对任意的x∈[﹣3，3]都有f（x）≤a，则实数a的取值范围为[6，+∞）．【解答】解：∵义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0；令y=﹣x，f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为R上的奇函数；∵x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，∴当﹣3≤x1＜x2≤3时，f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在[﹣3，3]上是增函数，又x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，且f（1）=2，∴f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=6，由题意可得，x∈[﹣3，3]时，﹣6≤f（x）≤6，又对任意的x∈[﹣3，3]都有f（x）≤a，∴a≥6，即实数a的取值范围为[6，+∞）．故答案为：[6，+∞）．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14.00分）设向量=（6，2），=（﹣3，k）．（1）当⊥时，求实数k的值；（2）当∥时，求实数k的值．【解答】解因为=（6，2），=（﹣3，k），所以（1）当⊥时，•=0，即6×（﹣3）+2k=0，解得k=9．…（4分）（2）当∥时，6k=2×（﹣3），解得k=﹣1．…（8分）16．（14.00分）已知tanα=3．（1）求的值；（2）若π＜α＜，求cosα﹣sinα的值．【解答】解：（1）∵tanα=3，∴===2．（2）∵sin2α+cos2α=1，tanα==3，∴9cos2α+cos2α=1，∴，∵，∴cosα＜0，从而cos，∴cosα﹣sinα=cosα﹣3cosα=﹣2cosα=．17．（15.00分）已知向量，的夹角为120°，且||=2，||=3．若=2+，=﹣2，（1）求+2；（用，表示）；（2）求||的值．【解答】解；（1）∵=2+，=﹣2，∴+2=2++2（﹣2）=4﹣3，（2）∵向量，的夹角为120°，且||=2，||=3．∴=4×22+4×2×3cos120°+32=13，∴||=18．（15.00分）已知函数f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x+x ﹣3．（1）求f（﹣1）的值；（2）求函数f（x）的表达式；（3）求证：方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有唯一解．【解答】解（1）因为函数f（x）是实数集R上的奇函数，所以对任意的x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x）．所以f（﹣1）=﹣f（1）．因为当x＞0时，f（x）=log2x+x﹣3，所以f（1）=log21+1﹣3=﹣2．所以f（﹣1）=﹣f（1）=2．…（3分）（2）当x=0时，f（0）=f（﹣0）=﹣f（0），解得f（0）=0；当x＜0时，﹣x＞0，所以f（﹣x）=log2（﹣x）+（﹣x）﹣3=log2（﹣x）﹣x﹣3．所以﹣f（x）=log2（﹣x）﹣x﹣3，从而f（x）=﹣log2（﹣x）+x+3．所以f（x）=（6分）（3）证明：因为f（2）=log22+2﹣3=0，所以方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有解x=2．又方程f（x）=0可化为log2x=3﹣x．设函数g（x）=log2x，h（x）=3﹣x．由于g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，h（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，所以，方程g（x）=h（x）在区间（0，+∞）上只有一个解．所以，方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有唯一解．…（10分）说明：指出有解（2分），指出单调性（2分）．19．（16.00分）下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深．（1）若该港口的水深y （m ）和时刻t （0≤t ≤24）的关系可用函数y=Asin （ωt ）+b （其中A ＞0，ω＞0，b ∈R ）来近似描述，求A ，ω，b 的值；（2）若一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m ，安全条例规定至少要有2.5m 的安全间隙（船底与海底的距离），试用（1）中的函数关系判断该船何时能进入港口？【解答】解：（1）由已知数据，易知y=f （t ）的周期T=12，振幅A=3，b=5，所以ω== （2）由（1）知y=3sin （t ）+5（0≤t ≤24）；由该船进出港时，水深应不小于4+2.5=6.5（m ），∴当y ≥6.5时，货船就可以进港，即3sin （t ）+5≥6.5， ∴sin （t ）≥0.5，∵0≤t ≤24，∴0≤t ≤4π∴≤t ≤，或≤t ≤，所以1≤t ≤5或13≤t ≤17．故该船可在当日凌晨1：00～5：00和13：00～17：00进入港口．20．（16.00分）设函数f （x ）=x 2﹣2tx +2，其中t ∈R ．（1）若t=1，求函数f （x ）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x ∈[a ，a +2]，都有f （x ）≤5，求实数a 的取值范围．（3）若对任意的x 1，x 2∈[0，4]，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤8，求t 的取值范围．【解答】解：因为f （x ）=x 2﹣2tx +2=（x ﹣t ）2+2﹣t 2，所以f （x ）在区间（﹣∞，t ]上单调减，在区间[t ，+∞）上单调增，且对任意的x ∈R ，都有f （t +x ）=f （t ﹣x ），（1）若t=1，则f （x ）=（x ﹣1）2+1．①当x∈[0，1]时．f（x）单调减，从而最大值f（0）=2，最小值f（1）=1．所以f（x）的取值范围为[1，2]；②当x∈[1，4]时．f（x）单调增，从而最大值f（4）=10，最小值f（1）=1．所以f（x）的取值范围为[1，10]；所以f（x）在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]．…（3分）（2）“对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5”等价于“在区间[a，a+2]上，[f（x）]max ≤5”．①若t=1，则f（x）=（x﹣1）2+1，所以f（x）在区间（﹣∞，1]上单调减，在区间[1，+∞）上单调增．②当1≤a+1，即a≥0时，由[f（x）]max=f（a+2）=（a+1）2+1≤5，得﹣3≤a≤1，从而0≤a≤1．③当1＞a+1，即a＜0时，由[f（x）]max=f（a）=（a﹣1）2+1≤5，得﹣1≤a≤3，从而﹣1≤a＜0．综上，a的取值范围为区间[﹣1，1]．…（6分）（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8”等价于“M﹣m≤8”．①当t≤0时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（0）=2．由M﹣m=18﹣8t﹣2=16﹣8t≤8，得t≥1．从而t∈∅．②当0＜t≤2时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=18﹣8t﹣（2﹣t2）=t2﹣8t+16=（t﹣4）2≤8，得4﹣2≤t≤4+2．从而4﹣2≤t≤2．③当2＜t≤4时，M=f（0）=2，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=2﹣（2﹣t2）=t2≤8，得﹣2≤t≤2．从而2＜t≤2．④当t＞4时，M=f（0）=2，m=f（4）=18﹣8t．由M﹣m=2﹣（18﹣8t）=8t﹣16≤8，得t≤3．从而 t ∈∅．综上，t 的取值范围为区间[4﹣2，2]． …（10分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为 M FEB2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

2014-2015学年江苏省南京市高一(下)期末数学复习试卷(Word版含解析)

2014-2015学年江苏省南京市高一（下）期末数学复习试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知A={1，2}，B={2，3，4}则A∪B=．2．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是．3．计算的值为．4．已知向量=（2，1），=（1，x），且（+）⊥，则实数x的值为．5．已知直线l：x+my+6=0，若点A（﹣5，1）到直线l的距离为，则实数m的值为．6．若A（1，2），B（﹣3，4），C（2，t）三点共线，则实数t的值为．7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4cm的半圆，则此圆锥的体积是．8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知C=120°，c=2，acosB=bcosA，则△ABC的面积为．9．对于不重合直线a，b，不重合平面α，β，γ，下列四个条件中，能推出α∥β的有．（填写所有正确的序号）．①γ⊥α，γ⊥β；②α∥γ，β∥γ；③a∥α，a∥β；④a∥b，a⊥α，b⊥β．10．（文科）已知函数f（x）=a+是奇函数，则实数a的值为．11．在平面直角坐标系xOy中，线段AB长为4，且其两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，则△AOB面积的最大值为．12．已知公差不为零的等差数列{a n}的前8项的和为8，且a12+a72=a32+a92，则{a n}的通项公式为a n=．13．某地一天6时至20时的温度y（°C）随时间x（小时）的变化近似满足函数y=10sin （x+）+20，x∈[6，20]．在上述时间范围内，温度不低于20°C的时间约有小时．14．已知函数，将集合A={x|f（x）=t，0＜t＜1}（t为常数）中的元素由小到大排列，则前六个元素的和为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（3，5），AB边所在直线的方程为x﹣3y+8=0，点N（0，6）在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求对角线AC所在直线的方程．16．在△ABC中，已知cosA=，tan（B﹣A）=，AC=5．求：（1）角B；（2）AB边的长．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知点D为棱BC中点．（1）如果AB=AC，求证：平面ADC1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1B∥平面AC1D．18．设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），已知它的前10项和为110，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．19．如图，某小区进行绿化改造．计划围出一块三角形绿地ABC．其中一边利用现成的围墙BC．长度为1（百米）．另外两边AB，AC使用某种新型材料．∠BAC=120°设AB=x（百米），AC=y（百米）（1）求x，y满足的关系式（指出x的取值范围）（2）若无论如何设计另两边的长，都能确保围成三角形绿地，则至少需要准备长度为多少（百米）的此种新型材料．20．已知函数f（x）=ax2﹣|x﹣a|（1）当a=3时，求不等式f（x）＞7的解集（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[3，+∞）上的值域．2014-2015学年江苏省南京市高一（下）期末数学复习试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知A={1，2}，B={2，3，4}则A∪B={1，2，3，4}．考点：并集及其运算．分析：直接根据并集的定义求出结果即可．解答：解：∵A={1，2}，B={2，3，4}A∪B就是把A和B中所有的元素放在一起，然后把重复的去掉．∴A∪B={1，2，3，4}故答案为：{1，2，3，4}点评：此题考查了并集的定义，属于基础题．2．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是π．考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据二倍角的正弦公式，化简可得f（x）=sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期．解答：解：∵sin2x=2sinxcosx∴f（x）=sinxcosx=sin2x，因此，函数f（x）的最小正周期T==π故答案为：π点评：本题给出三角函数式，求函数的周期，着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识，属于基础题．3．计算的值为﹣．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．已知向量=（2，1），=（1，x），且（+）⊥，则实数x的值为﹣7．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量的坐标加法运算求得+，然后由向量垂直的坐标表示列式求得x的值．解答：解：∵=（2，1），=（1，x），∴+=（3，1+x），由（+）⊥，得2×3+1×（1+x）=0．解得：x=﹣7．故答案为：﹣7．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直的坐标表示，是基础题．5．已知直线l：x+my+6=0，若点A（﹣5，1）到直线l的距离为，则实数m的值为1．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：根据点到直线的距离公式，代入计算即可．解答：解：根据点到直线的距离公式，d==，解得m=1，故答案为：1．点评：本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．6．若A（1，2），B（﹣3，4），C（2，t）三点共线，则实数t的值为．考点：直线的斜率．专题：平面向量及应用；直线与圆．分析：方法一：利用向量坐标的求法求出两个向量的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出t；方法二：利用斜率公式，三点共线，则斜率相等，即可求出t．解答：解：方法一（向量法）∵A（1，2），B（﹣3，4），C（2，t）．∴=（﹣4，2），=（1，t﹣2），∵A（1，2），B（﹣3，4），C（2，t）三点共线，∴﹣4（t﹣2））=2，∴t=，方法二（斜率法），∵A（1，2），B（﹣3，4），C（2，t）三点共线，∴k AB=k AC，∴=，解得t=，故答案为：．点评：本题考查三点共线的应用，斜率法和向量坐标的求法，属于基础题．7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4cm的半圆，则此圆锥的体积是π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．解答：解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为：4π，底面半径为：2，圆锥的高为：2；圆锥的体积为：π•22×2=π．故答案为：π．点评：本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知C=120°，c=2，acosB=bcosA，则△ABC的面积为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦，进而利用两角差公式化简整理求得A=B，进而求得a=b．根据余弦定理求得a，b，进而利用三角形面积公式即可得解．解答：解：∵acosB=bcosA，且C=120°，c=2，∴由题意及正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA，即sin（A﹣B）=0，故A=B，由正弦定理可得：a=b，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC可得：12=a2+a2﹣2×a×a×cos120°，解得a=b=2．∴△ABC的面积S=absinC==．故答案为：．点评：本题主要考查了余弦定理的应用，正弦定理的应用，两角和公式的化简求值，属于基本知识的考查．9．对于不重合直线a，b，不重合平面α，β，γ，下列四个条件中，能推出α∥β的有②④．（填写所有正确的序号）．①γ⊥α，γ⊥β；②α∥γ，β∥γ；③a∥α，a∥β；④a∥b，a⊥α，b⊥β．考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：①γ⊥α，γ⊥β时，α与β不一定平行；②α∥γ，β∥γ时，α∥β；③a∥α，a∥β时，α∥β不一定成立；④a∥b，且a⊥α，b⊥β，能得出α∥β．解答：解：对于①，当γ⊥α，γ⊥β时，α与β相交，或α与β平行；对于②，当α∥γ，β∥γ时，根据平行平面的公理得α∥β；对于③，当a∥α，a∥β时，α与β相交，或α与β平行；对于④，当a∥b时，若a⊥α，则b⊥α，又b⊥β，∴α∥β；综上，能推出α∥β的是②④．故答案为：②④．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了符号语言的应用问题，是基础题目．10．（文科）已知函数f（x）=a+是奇函数，则实数a的值为．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得f（﹣x）=﹣f（x），即a+=﹣a﹣，即2a=﹣=1，由此求得a的值．解答：解：函数f（x）=a+是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），即a+=﹣a﹣，即2a=﹣=1，解得a=，故答案为．点评：本题主要考查奇函数的定义和性质，属于基础题．11．在平面直角坐标系xOy中，线段AB长为4，且其两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，则△AOB面积的最大值为4．考点：正弦定理．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：设A（x，0），B（0，y），由两点间的距离公式可得：x2+y2=16，由基本不等式可得xy≤，（当且仅当x=y=2时），由三角形面积公式即可得解．解答：解：设A（x，0），B（0，y），由两点间的距离公式可得：x2+y2=16，故△AOB面积S=xy≤==4．（当且仅当x=y=2时）故答案为：4．点评：本题主要考查了两点间的距离公式，基本不等式的应用，属于基础题．12．已知公差不为零的等差数列{a n}的前8项的和为8，且a12+a72=a32+a92，则{a n}的通项公式为a n=﹣2n+10．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的通项公式与前n项和公式，求出公差d与首项a1即可．解答：解：等差数列{a n}中，s8=8a1+28d=8，即2a1+7d=2①；又a12+a72=a32+a92，∴+=+，化简，得a1d+4d2=0，又d≠0，∴a1=﹣4d；代入①得，﹣8d+7d=2，解得d=﹣2；∴a1=﹣4×（﹣2）=8，∴{a n}的通项公式为a n=8+（n﹣1）•（﹣2）=﹣2n+10．故答案为：﹣2n+10．点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，是基础题目．13．某地一天6时至20时的温度y（°C）随时间x（小时）的变化近似满足函数y=10sin （x+）+20，x∈[6，20]．在上述时间范围内，温度不低于20°C的时间约有8小时．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用温度不低于20，则10sin（）+20≥20，结合x的范围，即可得到此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间．解答：解：由题意，10sin（）+20≥20∴sin（）≥0∴2kπ≤≤2kπ+π∴16k﹣6≤x≤16k+2，∵x∈[6，20]，∴10≤x≤18∴此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为18﹣10=8小时故答案为：8．点评：本题考查三角函数模型的运用，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．14．已知函数，将集合A={x|f（x）=t，0＜t＜1}（t为常数）中的元素由小到大排列，则前六个元素的和为52．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：通过分类讨论①当1≤x≤2时，f（x）=x﹣1，由x﹣1=t，解得x=1+t；②当2＜x≤3时，f（x）=3﹣x，由3﹣x=t，解得x=3﹣t；③当3＜x≤6时，1＜，则f（x）=3（）=x﹣3，由x﹣3=t，解得x=3+t；④当6＜x≤9时，，f（x）==9﹣x，由9﹣x=t，解得x=9﹣t；⑤当9＜x≤18时，，则f（x）=3=x﹣9，由x﹣9=t，解得x=9+t；⑥当18＜x≤27时，，则f（x）==27﹣x，由27﹣x=t，解得x=27﹣t．即可得到答案．解答：解：①当1≤x≤2时，f（x）=x﹣1，由x﹣1=t，解得x=1+t；②当2＜x≤3时，f（x）=3﹣x，由3﹣x=t，解得x=3﹣t；③当3＜x≤6时，1＜，则f（x）=3（）=x﹣3，由x﹣3=t，解得x=3+t；④当6＜x≤9时，，f（x）==9﹣x，由9﹣x=t，解得x=9﹣t；⑤当9＜x≤18时，，则f（x）=3=x﹣9，由x﹣9=t，解得x=9+t；⑥当18＜x≤27时，，则f（x）==27﹣x，由27﹣x=t，解得x=27﹣t．因此将集合A={x|f（x）=t，0＜t＜1}（t为常数）中的元素由小到大排列，则前六个元素的和=（1+t）+（3﹣t）+（3+t）+（9﹣t）+（9+t）+（27﹣t）=52．故答案为52．点评：熟练掌握含绝对值符号的函数如何去掉绝对值符号、分类讨论的思想方法、函数的交点等是解题的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（3，5），AB边所在直线的方程为x﹣3y+8=0，点N（0，6）在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求对角线AC所在直线的方程．考点：待定系数法求直线方程．专题：直线与圆．分析：（1）根据直线垂直的关系求出直线斜率即可求AD边所在直线的方程；（2）求出交点M的坐标即可求对角线AC所在直线的方程．解答：解：（1）解法一：因为AB边所在直线的方程为x﹣3y+8=0，所以k AB=．…（2分）又因为矩形ABCD中，AD⊥AB，所以k AD=﹣=﹣3．…（4分）所以由点斜式可得AD边所在直线的方程为：y﹣6=﹣3（x﹣0），即3x+y﹣6=0．…（6分）解法二：因为矩形ABCD中，AD⊥AB，所以设AD边所在直线的方程为：3x+y+m=0．…（4分）又因为直线AD过点N（0，6），所以将点N（0，6）代入上式得3×0+6+m=0，解得m=﹣6．所以AD边所在直线的方程为：3x+y﹣6=0．…（6分）（2）由，解得即A（1，3），…（10分）所以对角线AC所在直线的方程：=，即x﹣y+2=0．…（14分）点评：本题主要考查直线方程的求解，要求熟练掌握求直线方程的各种方法．16．在△ABC中，已知cosA=，tan（B﹣A）=，AC=5．求：（1）角B；（2）AB边的长．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）解法一：由cosA=，可求tanA，利用两角和的正切函数公式可求tanB=tan[（B ﹣A）+A]的值，结合范围B∈（0，π），即可求B．解法二：由cosA=，可求tanA，利用tan（B﹣A）==，解得tanB，结合范围B∈（0，π），即可求B．（2）解法一：可求sinA=，sinB=cosB=，从而利用两角和的正弦函数公式可求sinC=sin （A+B）的值，由正弦定理=，可求AB．解法二：作CD⊥AB，垂足为D，由AC，cosA，可求CD，AD，又B=，即可记得AB 的值．解答：解（1）解法一：在△ABC中，因为cosA=，所以tanA==，…（2分）所以tanB=tan[（B﹣A）+A]===1．…（4分）因为B∈（0，π），所以B=．…（6分）解法二：在△ABC中，因为cosA=，所以tanA=，…（2分）所以tan（B﹣A）===，解得tanB=1．…（4分）因为B∈（0，π），所以B=．…（6分）（2）解法一：在△ABC中，由cosA=，B=，可得sinA=，sinB=cosB=，…（9分）从而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（11分）由正弦定理=，代入得=，从而AB=7．…（14分）解法二：作CD⊥AB，垂足为D，由AC=5，cosA=，所以CD=3，AD=4，…（9分）又B=，所以BD=CD=3，…（12分）所以AB=3+4=7．…（14分）点评：本题考查了正弦定理，两角和的正切函数公式，正弦函数公式，同角三角函数关系式，勾股定理的应用，属于基本知识的考查．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知点D为棱BC中点．（1）如果AB=AC，求证：平面ADC1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1B∥平面AC1D．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由CC1⊥平面ABC．可证CC1⊥AD，由AB=AC，D为BC中点，可证AD⊥BC，即可证明AD⊥平面BB1C1C从而可证平面AC1D⊥平面BB1C1C．（2）连结A1C，设A1C∩AC1=E，连结DE．可得E为A1C中点，由D为BC中点，可证DE∥A1B，即可证明A1B∥平面AC1D．解答：证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD．…（2分）因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC．…（4分）因为BC⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，BC∩CC1=C，所以AD⊥平面BB1C1C．…（6分）因为AD⊂平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BB1C1C．…（8分）（2）连结A1C，设A1C∩AC1=E，连结DE．因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C为平行四边形，所以E为A1C中点．…（10分）因为D为BC中点，所以DE∥A1B．…（12分）因为DE⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D．…（14分）点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．18．设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），已知它的前10项和为110，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过2a1+9d=22与a22=a1a4，进而计算即得结论；（2）通过（1）、裂项可知=（﹣），进而并项相加即得结论．解答：解：（1）设{a n}的前n项和为S n，∵S10=110，∴2a1+9d=22．…①∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22=a1a4．…②由①、②，解得：a1=d=2，∴a n=2n；（2）由（1）可知：==（﹣），∴T n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．点评：本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．19．如图，某小区进行绿化改造．计划围出一块三角形绿地ABC．其中一边利用现成的围墙BC．长度为1（百米）．另外两边AB，AC使用某种新型材料．∠BAC=120°设AB=x（百米），AC=y（百米）（1）求x，y满足的关系式（指出x的取值范围）（2）若无论如何设计另两边的长，都能确保围成三角形绿地，则至少需要准备长度为多少（百米）的此种新型材料．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：（1）利用余弦定理，可求x，y满足的关系式，及x的取值范围；（2）利用（1）的结论及基本不等式，即可求得结论．解答：解：（1）由余弦定理可得，1=x2+y2﹣2xycos120°，∴x2+y2+xy=1，其中0＜x＜1；（2）∵（x+y）2=x2+y2+2xy=1+xy≤1+∴（x+y）2≤∴x+y≤，当且仅当x=y=时，取等号∴至少需要准备长度为百米的此种新型材料．点评：本题考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=ax2﹣|x﹣a|（1）当a=3时，求不等式f（x）＞7的解集（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[3，+∞）上的值域．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）当a=3时，求不等式即3x2﹣|x﹣3|＞7，故有①，或②．分别求得解①和②的解集，再取并集，即得所求．（2）根据函数f（x）=ax2﹣|x﹣a|=．分①a≤3 和②a＞3，两种情况，分别根据函数f（x）的单调性求得函数的最小值，综合可得结论．解答：解：（1）当a=3时，求不等式f（x）＞7，即3x2﹣|x﹣3|＞7，∴①，或②．解①求得x≥3，解②求得x＜﹣2，或＜x＜3．综上，不等式的解集为{x|x＜﹣2，或x＞}．（2）∵a＞0时，函数f（x）=ax2﹣|x﹣a|=．①若0＜a≤3，则f（x）=ax2﹣x+a，当对称轴x=≤3，即≤a≤3 时，函数f（x）在[3，+∞）上是增函数，故最小值为f（3）=10a﹣3，函数没有最大值．当对称轴x=＞3，即0＜a＜时，函数f（x）在（3，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，故函数的最小值为f（）=a﹣，函数没有最大值．②若a＞3，当3≤x＜a时，则f（x）=ax2+x﹣a，由于对称轴x=﹣＜0，故函数f（x）在[3，a）上是增函数，函数的最小值为f（3）=8a+3，最大值趋于f（a）=a3．当x≥a时，f（x）=ax2﹣x+a，由于对称轴x=＜3，故函数f（x）在[a，+∞）上是增函数，函数的最小值为f（a）=8a+3，函数没有最大值．综上可得，当0＜a＜时，f（x）的值域为[a﹣，+∞）；当≤a≤3 时，f（x）的值域为[10a﹣3，+∞）；当3＜a时，f（x）的值域为[8a+3，+∞）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2014-2015年江苏南京市高一(上)数学期末试卷及答案

2014-2015学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（3.00分）已知集合A={0，2，4，6}，B={x|3＜x＜7}，则A∩B=．2．（3.00分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω的值为．3．（3.00分）函数f（x）=的定义域为．4．（3.00分）设向量=（1，﹣2），=（4，x），若∥，则实数x的值为．5．（3.00分）已知f（x）=，则f（f（1））的值为．6．（3.00分）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点P，且OP=2（O为坐标原点），则点P的坐标为．7．（3.00分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，且x≥0时，f（x）=3x﹣1，则f（﹣1）的值为．8．（3.00分）求值：2log212﹣log29=．9．（3.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则φ的值为．10．（3.00分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是单调减函数．若f（2x+1）+f（1）＜0，则x的取值范围是．11．（3.00分）已知函数y=log a（x+b）（a，b为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a+b的值为．12．（3.00分）化简：=．13．（3.00分）已知在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=4，=，=，=，则•的值为．14．（3.00分）若f（x）=x（|x|﹣2）在区间[﹣2，m]上的最大值为1，则实数m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（8.00分）已知cosα=﹣，0＜α＜π．（1）求tanα的值；（2）求sin（α+）的值．16．（8.00分）已知向量，满足||=2，||=1，，的夹角为120°．（1）求•的值；（2）求向量﹣2的模．17．（10.00分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，﹣sinβ）．（1）若α=，β=﹣，求向量与的夹角；（2）若•=，tanα=，且α，β为锐角，求tanβ的值．18．（10.00分）如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲广场ABCD，其中AB=40 米，BC=30 米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D 四个点分别在矩形EFGH的四条边（不含顶点）上．设∠BAE=θ，EF长为y米．（1）将y表示成θ的函数；（2）求矩形区域EFGH的面积的最大值．19．（10.00分）已知函数f（x）=sinx+cosx．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设g（x）=f（x）cosx，x∈[0，]，求g（x）的值域．20．（12.00分）若函数f（x）和g（x）满足：①在区间[a，b]上均有定义；②函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上具有关系G．（1）若f（x）=lgx，g（x）=3﹣x，试判断f（x）和g（x）在[1，4]上是否具有关系G，并说明理由；（2）若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，求实数m的取值范围．2014-2015学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（3.00分）已知集合A={0，2，4，6}，B={x|3＜x＜7}，则A∩B={4，6} ．【解答】解：∵集合A={0，2，4，6}，B={x|3＜x＜7}，∴A∩B={4，6}，故答案为：{4，6}．2．（3.00分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω的值为2．【解答】解：∵函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，∴周期T==π，解得ω=2，故答案为：2．3．（3.00分）函数f（x）=的定义域为（﹣∞，2] ．【解答】解：要使函数f（x）有意义，则2﹣x≥0，解得x≤2，即函数的定义域为（﹣∞，2]，故答案为：（﹣∞，2]4．（3.00分）设向量=（1，﹣2），=（4，x），若∥，则实数x的值为﹣8．【解答】解：∵=（1，﹣2），=（4，x），∥，∴﹣2×4=x，即x=﹣8故答案为：﹣85．（3.00分）已知f（x）=，则f（f（1））的值为4．【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=21=2，f（f（1））=f（2）=2+2=4．故答案为：4．6．（3.00分）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点P，且OP=2（O为坐标原点），则点P的坐标为（﹣1，）．．【解答】解：由三角函数的定义可得：x=2cos=﹣1，y=2sin=故点P的坐标为（﹣1，）．故答案为：（﹣1，）．7．（3.00分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，且x≥0时，f（x）=3x﹣1，则f（﹣1）的值为2．【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴f（﹣1）=f（1）=31﹣1=2，故答案为：2．8．（3.00分）求值：2log212﹣log29=4．【解答】解：2log212﹣log29=log2=log216=4log22=4故答案为：49．（3.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则φ的值为．【解答】解：由图象可知函数的周期T=2[3﹣（﹣1）]=2×4=8，即，解得ω=，即f（x）=Asin（x+φ），∵A＞0，ω＞0，0≤φ＜π，∴当x=3时，根据五点对应法得×3+φ=π，解得φ=，故答案为：10．（3.00分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是单调减函数．若f（2x+1）+f（1）＜0，则x的取值范围是（﹣1，+∞）．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是单调减函数，则f（x）在（﹣∞，0）上递减，即有f（x）在R上递减．不等式f（2x+1）+f（1）＜0，即为f（2x+1）＜﹣f（1）=f（﹣1），则2x+1＞﹣1，解得，x＞﹣1．则x的取值范围为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．11．（3.00分）已知函数y=log a（x+b）（a，b为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a+b的值为．【解答】解：由图象知，log a b=2，log a（+b）=0解得，b=，a=；故a+b=；故答案为：．12．（3.00分）化简：=﹣1．【解答】解：∵==∵sin40°＜cos40°，∴原式==﹣1．故答案为：﹣1．13．（3.00分）已知在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=4，=，=，=，则•的值为﹣．【解答】解：在△ABC中，∠A=，建立直角坐标系，AB=2，AC=4，=，=，=，根据题意得到：则：A（0，0），F（0，1），D（1，），E（2，0）所以：，所以：故答案为：﹣14．（3.00分）若f（x）=x（|x|﹣2）在区间[﹣2，m]上的最大值为1，则实数m的取值范围是[﹣1，+1] ．【解答】解：作函数f（x）=x（|x|﹣2）的图象如下，当f（x）=1时，x=﹣1或x=+1；故由图象可知，实数m的取值范围是[﹣1，+1]．故答案为：[﹣1，+1]．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（8.00分）已知cosα=﹣，0＜α＜π．（1）求tanα的值；（2）求sin（α+）的值．【解答】解：（1）∵cosα=﹣，0＜α＜π，∴sinα=，则tanα=．（2）sin（α+）=sinαcos+cosαsin=×﹣×=．16．（8.00分）已知向量，满足||=2，||=1，，的夹角为120°．（1）求•的值；（2）求向量﹣2的模．【解答】解：（1）由||=2，||=1，，的夹角为120°，则=||•||•cos120°=2×1×（﹣）=﹣1．（2）||====2．17．（10.00分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，﹣sinβ）．（1）若α=，β=﹣，求向量与的夹角；（2）若•=，tanα=，且α，β为锐角，求tanβ的值．【解答】解：（1）若α=，β=﹣，则=（0，1），=（，），cos＜，＞===，由0≤＜，＞≤π，则有向量与的夹角；（2）若•=，则cosαcosβ﹣sinαsinβ=，即有cos（α+β）=．由于α，β为锐角，即0＜α+β＜π，则sin（α+β）===，即有tan（α+β）==1，由tanα=，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===．18．（10.00分）如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲广场ABCD，其中AB=40 米，BC=30 米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D 四个点分别在矩形EFGH的四条边（不含顶点）上．设∠BAE=θ，EF长为y米．（1）将y表示成θ的函数；（2）求矩形区域EFGH的面积的最大值．【解答】解：（1）如图，由∠BAE=θ，∠E=90°，得∠ABE=90°﹣θ，再由∠ABC=90°，得∠CBF=θ，同理∠DCG=θ．由AB=40（米），BC=30（米），四边形ABCD为矩形，得DC=40（米），因此，EF=EB+BF=40sinθ+30cosθ（米），因此y=40sinθ+30cosθ（0°＜θ＜90°）；（2）+2500sinθcosθ=1200+1250sin2θ，（0°＜θ＜90°）．因此θ=45°时，S EFGH取到最大值，最大值为2450．因此，矩形区域EFGH的面积的最大值为2450平方米．19．（10.00分）已知函数f（x）=sinx+cosx．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设g（x）=f（x）cosx，x∈[0，]，求g（x）的值域．【解答】解：（1）f（x）=2=2sin（x+），则函数f（x）的单调增区间满足：﹣+2kπ≤，k∈Z，∴2kπ﹣≤x≤2kπ+，∴函数f（x）的单调增区间[2kπ﹣，2kπ+]，（k∈Z）．（2）g（x）=f（x）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，∵x∈[0，]，∴≤2x+≤，∴0≤sin（2x+）+≤，∴g（x）的值域为[0，]．20．（12.00分）若函数f（x）和g（x）满足：①在区间[a，b]上均有定义；②函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上具有关系G．（1）若f（x）=lgx，g（x）=3﹣x，试判断f（x）和g（x）在[1，4]上是否具有关系G，并说明理由；（2）若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）它们具有关系G：令h（x）=f（x）﹣g（x）=lgx+x﹣3，∵h（1）=﹣2＜0，h（4）=lg4+1＞0；故h（1）•h（4）＜0，又h（x）在[1，4]上连续，故函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，故f（x）和g（x）在[1，4]上具有关系G．（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=2|x﹣2|+1﹣mx2，当m≤0时，易知h（x）在[1，4]上不存在零点，当m＞0时，h（x）=；当1≤x≤2时，由二次函数知h（x）在[1，2]上单调递减，故；当m∈（0，）∪（3，+∞）时，若m∈（0，），则h（x）在（2，4]上单调递增，而h（2）＞0，h（4）＞0；故没有零点；若m∈（3，+∞），则h（x）在（2，4]上单调递减，此时，h（2）=﹣4m+1＜0；故没有零点；综上所述，若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，则m∈[，3]．。

南京一中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题_PDF版含解析

1 7. 函数 f x 的值域为_____________________. 2 【答案】 0,1 1 【解析】由内向外，逐层求解， x 0 ， 0 1 . 2
x x
8.
f x x2 mx 2 在区间 , 2 上是单调减函数，则实数 m 的取值范围为_____________________.
17. （12 分）已知定义域为 R 的函数 f x （1）求 a 的值；
2x 1 是奇函数. a 2 x 1
（2）求证： f x 在 R 上是增函数；
（3）若对任意的 t R ，不等式 f mt 2 1 f 1 mt 0 恒成立，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1）2；（2）见解析；（3） 0,8 【解析】（1）由题意 f ( x) f ( x) 0 ，即
5 ， a 的取值范围为 5, 5 ；
（2） a 1 时， f ( x) 在 [1, a] 上单调递减，由 f x 的定义域和值域均为 1, a ，
1 2a 5 a f (1) a 则，则 2 ，解得 a 2 . f (a) 1 a 2a a 5 1
16. （10 分）已知 a R ，函数 f x x2 2ax 5 . （1）若不等式 f x 0 对任意 x R 恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）若 a 1 ，且函数 f x 的定义域和值域均为 1, a ，求实数 a 的值. 【答案】（1） 5, 5 ；（2） a 2 【解析】（1）由题意 0 ，则 4a2 20 0 ，则 5 a
南京一中 2014-2015 学年度第一学期期中考试试卷高一数学

江苏省南京市第二十九中学2014-2015学年高一数学周练测试试题21

某某省某某市第二十九中学2014-2015学年高一数学周练测试试题21一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．数列{an}中，若a2＝1，a4＝3，an ＋2＝an ＋an ＋1(n ∈N*)，则a1＝．2．△ABC 中，若A ＝30°，BC ＝1，则△ABC 外接圆的面积是．3．数列{an}中，若a1＝2， an ＋1＝an ＋1(n ∈N*)，则a101＝．4．若{n2－an ＋5}是递增数列，则a 的取值X 围是．5．钝角△ABC 中，B ＝60°，若最大边与最小边的比值是m ，则m 的取值X 围是．6．三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，且a ，c ，b 成等比数列，则a ∶b ∶c ＝．7．设数列{an}的前n 项和为Sn ，若an ＝17－2n(n ∈N*)，则Sn 的最大值是． 8．海上有A ，B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60º的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75º的视角，则B ，C 间的距离是海里．9．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝3，A ＝30º，则△ABC 的面积是．10．等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则a1＋a2＋…＋a9的值为．11．等差数列{an}的公差不是0，如果a1，a3，a7成等比数列，那么a1a3的值为．12．△ABC 中，若tan A tan B ＝2c －b b ，则A ＝．13．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列条件中能确定a ＝b 的是．（写出所有符合条件的序号）① sin A ＝sin B ② cos A ＝cos B ③ sin 2A ＝sin 2B ④ cos 2A ＝cos 2B ．14．如图，将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成一个数表．已知表中的第一列a1，a2，a5，…构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列．若a4＝5，a86＝518，则d＝．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分8分）如图，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 上一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．16．（本小题满分10分）设{an}是等比数列，公比是q ，a3＝20．（1）若a6＝160，求{an}的通项公式；（2）若ak ＝52，ak ＋2＝58 (k ∈N*)，求q 和k 的值．17．（本小题满分10分）在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝1，cos C ＝34；(1)求AB 的值；(2)求sin (2A ＋C)的值．18．（本小题满分10分）（第14题）设数列{an}的前n 项和为Sn ，点（n ，Sn n ）(n ∈N*)均在函数y ＝－x+12的图像上，（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）求数列{| an |}的前n 项和Tn ． 19．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量m ＝(b ，a －2c)，n ＝(cosA －2cosC ，cosB)，且m ⊥n ．（1）求sinC sinA 的值；（2）若a ＝2，∣m ∣＝35，求△ABC 的面积S ．20．（本小题满分10分）数列{an}满足：a1＝1，an ＋1＝an ＋4n ＋1(n ∈N*)．（1）求{an}的通项公式；（2）是否存在常数c ，使得｛an n ＋c｝是等差数列？若存在，求出所有符合条件的c 的值；若不存在，说明理由．高一数学练习21答案一、填空题(每小题3分，共42分)1．1 2．π 3．102 4．（－∞，3） 5．（2，＋∞） 6． 4∶1∶(－2) 7．23158．5 6 9．32,或34 10． 99 11．12 12．60° 13．①②④ 14．32二、解答题．15．课本第21页6． AB ＝5 6 (8分)16．(1)课本第52页例1(2)，an ＝5×2n －1 (5分)；(2) q ＝12，k ＝6 (5分)．17．(1) AB2＝AC2＋BC2－2AC ·BCcosC ＝2AB ＝2；(3分)(2)法一: cosA ＝AB2＋AC2－BC22AB ·AC＝528，14sin A =，sin2A ＝5716，cos2A ＝916．(3分) ∵cosC ＝34，∴sinC ＝74，∴sin(2A ＋C)＝sin2AcosC ＋cos2AsinC ＝378．(4分) 法二: sin(2A ＋C)＝sin ＝sin ．18．（1）Sn n ＝－n +12, Sn ＝－n2 +12n, (2分)当n ≥2时, an ＝Sn －Sn －1＝－2n ＋13,又a1＝S1＝－11,所以，an ＝－2n ＋13，(2分) 对一切n ，都有an －an －1＝－2，所以，数列{an}是等差数列；(2分)（2）当n ≤6时, Tn ＝Sn ＝－n2 +12n, (2分)当n ≥7时, Tn ＝2S6－Sn ＝n2－12n ＋72． (2分)Tn ＝⎩⎨⎧－n2＋12n ， n ≤6，n2－12n ＋72，n ≥7． 19．（1）方法一：由m ⊥n 得，b(cosA －2cosC)＋(a －2c)cosB ＝0．根据正弦定理得，sinBcosA －2sinBcosC ＋sinAcosB －2sinCcosB ＝0．(2分)因此(sinBcosA ＋sinAcosB)－2(sinBcosC ＋sinCcosB)＝0，即sin(A ＋B)－2sin(B ＋C)＝0．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sinC －2sinA ＝0．即sinC sinA ＝2．(3分)方法二：由m ⊥n 得，b(cosA －2cosC)＋(a －2c)cosB ＝0．根据余弦定理得，b ×b2＋c2－a22bc ＋a ×a2＋c2－b22ac －2b ×a2＋b2－c22ab －2c ×a2＋c2－b22ac＝0．即c －2a ＝0．所以sinC sinA ＝c a ＝2．（2）因为a ＝2，由（1）知，c ＝2a ＝4．因为∣m ∣＝35，即b2＋(a －2c)2＝35，解得b ＝3．(2分)所以cosA ＝32＋42－222×3×4＝78．所以sinA ＝158．因此△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝12×3×4×158＝3415．(3分)20． (1) an ＝n(2n －1)；(4分)(2) 由a11＋c ，a22＋c ，a33＋c成等差数列，可得：c ＝0，或－12，(2分) 因为an ＋1n ＋1－an n ＝2，所以｛an n ｝是等差数列；因为an ＋1n ＋1－12－an n －12＝2，所以｛an n －12｝是等差数列；(4分)存在常数c ＝0，或－12，使得｛an n ＋c｝是等差数列．。