2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：3.7正弦定理与余弦定理
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：8.5 椭 圆
课时跟踪检测(五十三) 椭 圆1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．52．(2012·海淀模拟)2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件3．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 4．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.455．(2012·安徽师大附中模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋146．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．8．(2012·郑州模拟)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝________.9．(2013·哈尔滨模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．10．(2012·安徽高考)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．11．(2012·陕西高考)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB ＝2OA，求直线AB 的方程．12．(2013·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，F 为椭圆的右焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且MF ,＝λFN,(λ＞0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，MN ,⊥AF,；(2)若当λ＝1时，有AM ,·AN ,＝1063，求椭圆C 的方程．1．(2012·太原模拟)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且a 1＞a 2.给出如下四个结论：①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；②a 21－a 22＝b 21－b 22；③a 1a 2＞b 1b 2；④a 1－a 2＜b 1－b 2. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④D ．①②③2．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．3．(2012·西城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．答 案课时跟踪检测(五十三)A 级1．选A 由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，所以|PF 2|＝6，由椭圆的定义知|PF 1|＝2×5－6＝4.2．选B 若x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，∴2＜m ＜6且m ≠4，故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆的必要不充分条件．3．选B ∵a ＝4，e ＝34，∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.4．选C 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|， ∴2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34. 5．选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12. 6．选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点(2, 3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.7．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，根据椭圆定义知2a ＝12，即a ＝6，由ca ＝32，得c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 答案：x 236＋y 29＝18．解析：由题意知|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |， 由椭圆的定义，|AF 1|＋|AF 2|＝2， |BF 1|＋|BF 2|＝2，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4 ＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝3|AB |， 所以|AB |＝43.答案：439．解析：∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋10－|PF 2|＝10＋|PM |－|PF 2|≤10＋|MF 2|＝10＋5＝15， 当P ，M ，F 2三点共线时取等号． 答案：1510．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2， 得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知， a ＝10，b ＝5 3.11．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ―→＝2OA ―→及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB ＝2OA ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以 x 2A ＝41＋4k 2.由OB ＝2OA ， 得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2. 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 12．解：(1)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， F (c,0)，则MF ,＝(c －x 1，－y 1)，FN,＝(x 2－c ，y 2)．当λ＝1时，MF ,＝FN,，∴－y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c . ∵M ，N 两点在椭圆C 上，∴x 21＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 22b 2， ∴x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c (舍去)， ∴x 1＝x 2，∴MN ,＝(0,2y 2)，AF,＝(c ＋4,0)， ∴MN ,·AF ,＝0， ∴MN ,⊥AF(2)当λ＝1时，由(1)知x 1＝x 2＝c ， ∴M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ， ∴AM ,＝⎝⎛⎭⎫c ＋4，b 2a ， AN ,＝⎝⎛⎭⎫c ＋4，－b 2a ，∴AM ·AN ＝(c ＋4)2－b 4a 2＝1063.(*) ∵c a ＝63，∴a 2＝32c 2，b 2＝c 22，代入(*)式得 56c 2＋8c ＋16＝1063， ∴c ＝2或c ＝－585(舍去)．∴a 2＝6，b 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.B 级1．选C 由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，而a 1＞a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2＞b 1b 2不正确，即③不正确；∵a 1＞b 1＞0，a 2＞b 2＞0，∴a 1＋a 2＞b 1＋b 2＞0，而又由(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2＜b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.2．解析：设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y2，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝cy a 2＋c 2，当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为kQF 2＝cy b 2－2c2(b 2－2c 2≠0)由kF 1P ·kQF 2＝－1得y 2＝(a 2＋c 2)(2c 2－b 2)c 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，故2c 2－b 2＞0，即3c 2－a 2＞0，即e 2＞13，故33＜e ＜1.当直线QF 2的斜率不存在时，y ＝0，F 2为线段PF 1的中点．由a 2c －c ＝2c 得e ＝33，综上得33≤e ＜1. 答案：⎣⎡⎭⎫33，13．解：(1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k3＋4k 2.线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －4k 23＋4k 2.在上述方程中，令x ＝0，得 y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k . 当k ＜0时，3k ＋4k ≤－43；当k ＞0时，3k ＋4k ≥4 3.所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎡⎦⎤－312，312.。
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：8.4直线与圆、圆与圆
0，l是过点P(3,0)的直线，则
()
A．l与C相交
B．l与C相切
C．l与C相离
D．以上三个选项均有可能
[自主解答] 将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， 所以点P(3,0)在圆内． 故过点P的直线l定与圆C相交． [答案] A
本例中若直线l为“x－y＋4＝0”问题不变． 解：∵圆的方程为(x－2)2＋y2＝4， ∴圆心(2,0)，r＝2. 又圆心到直线的距离为d＝ 62＝3 2＞2. ∴l与C相离．
判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大 小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在 圆内可判断直线与圆相交．
1．(2012·哈师大附中月考)已知直线l过点(－2,0)，当直线l
与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是
＝0的位置关系是
()
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心
D．相离
解析：由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离
d＝ 5，0＜d＜ 6，故该直线与圆相交但不过圆心． 答案：B
2．圆 x2＋y2－2x＝0 与 x2＋y2＋4y＝0 的位置关系是
A．相离
B．外切
C．相交
D．内切
解析：圆的方程分别化为
()
(x－1)2＋y2＝1，x2＋(y＋2)2＝4，
∵|O1O2|＝ 1＋4＝ 5，而 r1＋r2＝3， ∴r2－r1<|O1O2|<r1＋r2， ∴两圆相交． 答案：C
3．直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝r2相交于A，B两点，且
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)1.1 集合课件 新人教A版
型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，
以“探究”为途径，以“发现”为目的，常见的命题形 式有新定义、新运算、新性质，这类试题只是以集合为 依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．
1．创新集合新定义
创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，
对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知 识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题． 1 [典例 1] 若 x∈A，则x∈A，就称 A 是伙伴关系
集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集 合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅
两种可能的情况．
[例1] (1)(2012· 新课标全国卷)已知集合A＝ {1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B 中所含元素的个数为 ( )
A．3
C．8
B．6
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝
－4，且m＝(－2)· (－2)＝4，这两式不能同时成立， ∴B≠{－2}； ③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－ 2)＝－3，且m＝(－1)· (－2)＝2，由这两式得m＝2.
C．(1,3)
D．(1,2)∪(3,4)
解析：因为∁RB＝{x|x＞3，或x＜－1}，所以A∩(∁RB) ＝{x|3＜x＜4}．
答案：B
3．(2012· 惠州模拟)已知集合A＝{(x，y)，B＝{(x，y)|x－y ＝0，x，y∈R}，则集合A∩B＝ A．(0,0) B．{0} ( )
C．{(0,0)}
A．A⊆B
C．D⊆C
B．C⊆B
2014届高三数学一轮复习专讲(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：1.3全称量词与存在量词、
2014届高三数学一轮复习专讲(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：1.3全称量词与存在量词、逻辑联结词课时跟踪检测(三)全称量词与存在量词、逻辑联结词1．命题a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2的否定是()A．存在a，b∈R，a2＋b2＋2ab≠(a＋b)2B．存在a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．任意a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D．任意a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)22．(2012·山东高考改编)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cosx的图像关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是()A．p为真 B．q为真C．p且q为假D．p或q为真3．下列命题中，真命题是()A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)`都是偶函数D．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数4．(2012·长沙模拟)设p、q是两个命题，则“命题p或q为真，p且q为假”的充要条件是()A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为真D．p为真，q为假5．(2012·揭阳模拟)已知命题p：存在x∈R，cos x＝54；命题q：任意x∈R，x2－x＋2>0，则下列结论正确的是()题为真命题．其中所有真命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②④ C ．②D ．④8．(2012·石家庄模拟)已知命题p ：任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＝1或a ≤－2B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤19．命题“存在实数x ，使sin x ＝x ”的否定是________．10．已知命题p ：“存在正数x ，使x >1x ”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”；q 的真假为________(填“真”或“假”)．11．若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为________．12．若存在θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6的值为________．13．已知命题p ：存在a ∈R ，曲线x 2＋y2a ＝1为双曲线；命题q ：x －1x －2≤0的解集是{x |1<x <2}．给出下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且(綈q )”是真命题；③命题“(綈p )或q ”为真命题；④命题“(綈p )或(綈q )”是真命题．其中正确的是________．14．下列结论：①若命题p ：存在x ∈R ，tan x ＝2；命题q ：任意x ∈R ，x 2－x ＋12>0.则命题“p 且(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)1．下列说法错误的是( )A ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：若“a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：存在x ∈R ，ln(x 2＋1)<0，则綈p ：任意x ∈R ，ln(x 2＋1)≥0D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件2．(2013·“江南十校”联考)命题p ：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是()A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题C．綈p为假命题D．綈q为假命题3．已知命题p：“任意x∈R，存在m∈R,4x －2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________．4．下列四个命题：①存在x∈R，使sin x＋cos x＝2；②对任意x∈R，sin x＋1sin x≥2；③对任意x∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，tan x＋1tan x≥2；④存在x∈R，使sin x＋cos x＝ 2.其中正确命题的序号为________．5．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p 且q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．6．已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．答案课时跟踪检测(三)A级1．选A该命题是全称命题，即对任意a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，其否定为：存在a，b∈R，a2＋b2＋2ab≠(a＋b)2.2．选C命题p，q均为假命题，故p且q 为假命题．3．选A由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．4．解析：选C∵p或q为真⇔p、q中至少有一个为真；p且q为假⇔p、q中至少有一个为假，∴“命题p或q为真，p且q为假”⇔p 与q一真一假．5．选C命题p是假命题，命题q是真命题，∴p且q是假命题，p且(綈q)是假命题，(綈p)且q是真命题，(綈p)或(綈q)是真命题．6．选D因为对任意x∈R，e x＞0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，＝－1，故排除C.取a＝b＝0，则不能推出ab7．选C命题“存在x∈R，x2＋1>3x”的否定是“任意x∈R，x2＋1≤3x”，故①错；“p 或q”为假命题说明p和q都假，则綈p且綈q 为真命题，故②对；a>5⇒a>2，但a>2⇒/a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故③错；“若xy＝0，则x＝0且y＝0”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．8．选A若命题p：任意x∈[1,2]，x2－a≥0真，则a≤1.若命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0真，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，a≥1或a≤－2，又p且q为真命题所以a＝1或a≤－2.9．对任意实数x，都有sin x≠x.10．解析：命题q为“对任意正数x，x≤1 x”是假命题．答案：对任意正数x，x≤1x假11．解析：由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图像知Δ＝a 2－4>0，解得a >2或a <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) 12．解析：∵存在θ∈R 使sin θ－1≥0. 又－1≤sin θ≤1，∴sin θ＝1. ∴θ＝2k π＋π2(k ∈Z)．故cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6＝12.答案：1213．解析：因为命题p 是真命题，q 为假命题，所以命题“p 且q ”是假命题，命题“p 且(綈q )”是真命题，命题“(綈p )或q ”是假命题，命题“(綈p )或(綈q )”是真命题．答案：②④14．解析：在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p 且(綈q )”是假命题是正确的．在②中l 1⊥l 2⇔a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”正确．答案：①③B 级1．选D sin θ＝12是θ＝30°的必要不充分条件．2．选B ∵当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p或q ”是假命题．3．解析：若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.答案：(－∞，1]4．解析：∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4∈[－2， 2 ]；故①存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2错误； ④存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2正确； ∵sin x ＋1sin x ≥2或sin x ＋1sin x ≤－2，故②对任意x ∈R ，sin x ＋1sin x ≥2错误；③对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，tan x >0，1tan x >0，由基本不等式可得tan x ＋1tan x≥2正确．答案：③④5．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0， 得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3， 即p 为真命题时，1<x <3.由⎩⎨⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎨⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3.所以q 为真时，2<x ≤3.若p 且q 为真，则⎩⎨⎧1<x <3，2<x ≤3，⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)设A ＝{x |x ≤a ，或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2，或x >3}，因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]． 6．解：由2x 2＋ax －a 2＝0， 得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p 或q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a >2，或a <－2.。
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：3.6简单的三角恒等变形
课时跟踪检测(二十三) 简单的三角恒等变形1.sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α2．(2012·深圳调研)已知直线l: x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57D ．13．(2012·山东高考)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74D.344．(2012·河北质检)计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．15．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12B.π6 C.π4D.π36．若－2π<α<－3π2，则1－cos (α－π)2的值是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α27．化简sin 235°－12cos 10°cos80°＝( )A ．－2B ．－12C ．－1D ．18．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 9．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.10．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值； (2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值．11．已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值．12．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．1．(2012·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5―→|等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π2．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.3．设函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x .(1)试判断函数f (x )的单调性，并说明理由；(2)已知f ′(x )为函数f (x )的导函数，且f ′(B )＝34，B 为锐角，求sin(B ＋10°)[1－3tan(B－10°)]的值．答 案课时跟踪检测(二十三)A 级1．选D 原式＝(－sin 2α)·cos 2α(1＋cos 2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.2．选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1， 即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.3．选D 因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， 所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以cos 2θ<0， 所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.4．选D tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 5．选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.6．选D1－cos (α－π)2＝1－cos (π－α)2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2， ∵－2π<α<－3π2，∴－π<α2<－3π4，∴cos α2<0，∴⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 7．选C sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°·sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.8．解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2(sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°)2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案： 210．解：(1)法一：由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2得 tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2，即1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝13.法二：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋αtan π4＝2－11＋2×1＝13.(2)sin ()α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝－(sin αcos β－cos αsin β)cos αcos β＋sin αsin β＝－sin (α－β)cos (α－β)＝－tan(α－β) ＝－tan α－tan β1＋tan αtan β＝－13－121＋13×12＝17.11．解：(1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2 x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝π.(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1， 又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π3， 所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.12．解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝⎛⎭⎫sin α＝－45舍去. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin [α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴β＝3π4. B 级1．选B 注意到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图像(如图所示)可知，|15P P |＝2π.2．解析：∵α是第二象限的角，∴α2可能在第一或第三象限．又sin α2<cos α2，∴α2为第三象限的角．∴cos α2<0. ∵tan α＝－43，∴cos α＝－35，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 答案：－553．解：(1)因为f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ＝12－12sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增． (2)由(1)知f ′(B )＝12－12sin π6－B ＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎫π6－B ＝－12，因为B 为锐角，所以B ＝60°. 故sin(B ＋10°)[1－3tan(B －10°)] ＝sin 70°(1－3tan 50°)＝sin 70°⎝⎛⎭⎫1－3sin 50°cos 50°＝sin 70°·cos 50°－3sin 50°cos 50°＝sin 70°·2cos (50°＋60°)cos 50°＝sin 70°·－2cos 70°cos 50°＝－sin 140°cos 50°＝－1.。
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：3.8正弦定理和余弦定理的应用
)
解析：在△BCD 中，∠CBD＝180° －15° －135° ＝30° ， BC CD 由正弦定理，得 ＝ ， sin ∠BDC sin∠CBD 30sin 135° 所以 BC＝ ＝30 2(m)． sin 30° 在 Rt△ABC 中，AB＝BC· tan∠ACB＝30 2tan 30° ＝ 10 6(m)．
[典例] 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航 行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与 该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正 东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行 速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的 大小应为多少？ (2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确 定小艇航行速度的最小值．
1．为了更好地掌握有关飓风的数据资料，决定在海上 的四岛A、B、C、D建立观测站，已知B在A正北方 向15海里处，C在A的东偏北30°方向，又在D的东 北方向，D在A的正东方向，且BC相距21海里，求
C、D两岛间的距离．
解：由已知得 A、B、C、D 四岛的位置如图所示， 设 A、C 两岛相距 x 海里． ∵C 在 A 的东偏北 30° 方向， ∴∠BAC＝60° . 在△ABC 中，由余弦定理得，212＝152＋x2－2×15xcos 60° ， 化简得 x2－15x－216＝0，解得 x＝24 或 x＝－9(舍去)．
[自主解答]
如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处
追上蓝方的小艇，
则 AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120° . 根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120° ， 解得 x＝2. 故 AC＝28，BC＝20. BC AC 根据正弦定理得 ＝ ， sin α sin 120° 20sin 120° 5 3 解得 sin α＝ ＝ . 28 14 所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 α 的正弦 5 3 值为 . 14
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：2.5函数的图象
一、利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数 的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶 性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零 点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描 点，连线．
二、利用基本函数的图象作图 1．平移变换
[注意] 对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右
减．但要注意加、减指的是自变量，否则不成立． 2．识图时，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交 点及一些特殊点，特别是对称性、周期性等特点，应引起 足够的重视．
3．用图，主要是数形结合思想的应用．
[例1]
分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.
1 解析：由题易知，当 a＝1，b＝1 时，y＝ ＝ |x|－1 1 x≥0且x≠1， x－1 － 1 x<0且x≠－1， x＋1
在同一坐标系中画出“囧函
数”与函数 y＝lg |x|的图像如图所示， 易知它们有 4 个交点．
[答案] 4
[典例]
|x2－1| (2012· 天津高考)已知函数 y＝ 的图象 x－1
[自主解答] 法一：由 y＝f(x)的图象知
x0≤x≤1， f(x)＝ 11<x≤2.
当 x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]， 所以 故
10≤x≤1， f(2－x)＝ 2－x1<x≤2，
Hale Waihona Puke －10≤x≤1， y＝－f(2－x)＝ x－21<x≤2.
(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)
的图象向 左 (＋)或向 右 (－)平移 a个 单位而得到． (2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x) 的图象向上 (＋)或向 下 (－)平移 b个 单位而得到． 2．对称变换
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：2.3函数的单调性与最值
课时跟踪检测(六) 函数的单调性与最值1．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( ) A ．－7 B ．1 C ．17D ．253．(2013·佛山月考)若函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减少的，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增加的B ．减少的C ．先增后减D ．先减后增4．给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．(2012·青岛模拟)已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)6．(2012·丹东模拟)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|的单调递增区间是( ) A ．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43 C.⎣⎡⎭⎫0，32 D ．[1,2)7．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．8．(2012·台州模拟)若函数y ＝|2x －1|，在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________．9．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增加的，则a 的取值范围是________．10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．11．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．12．(2011·上海高考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．1．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫132．(2012·黄冈模拟)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M 的值为( )A.14B.12C.22D.323．定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数m ，n ，总有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.(1)试求f (0)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明你的结论；(3)设A ＝{(x ，y )|f (x 2)·f (y 2)>f (1)}，B ＝{(x ，y )|f (ax －y ＋2)＝1，a ∈R}，若A ∩B ＝∅，试确定a 的取值范围．答 案 课时跟踪检测(六)A 级1．选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．选D 依题意，知函数图像的对称轴为x ＝－－m 8＝m8＝－2，即 m ＝－16，从而f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.3．选B ∵y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b2a <0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减少的．4．选B ①y ＝x 12在(0,1)上单调递增，②y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上单调递减，③y ＝|x －1|在(0,1)上单调递减， ④y ＝2x＋1在(0,1)上单调递增．5．选C 由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增， 所以f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．6．选D 由2－x >0，得x <2，即函数定义域是(－∞，2)．作出函数y ＝|ln(－x )|的图像，再将其向右平移2个单位，即得函数f (x )＝|ln(2－x )|的图像，由图像知f (x )在[1,2)上为增加的．7．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0. 作出该函数的图像，观察图像知递增区间为⎣⎡⎦⎤0，32. 答案：⎣⎡⎦⎤0，32 8．解析：画出图像易知y ＝|2x －1|的递减区间是(－∞，0]， 依题意应有m ≤0. 答案：(－∞，0]9．解析：设x 1>x 2>－2，则f (x 1)>f (x 2)， 即f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝2ax 1＋x 2－2ax 2－x 1(x 1＋2)(x 2＋2)＝(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)>0，则2a －1>0.得a >12.答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 10．解：(1)证明：设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1) (x1－a)(x2－a).∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述a的取值范围是(0,1]．11．解：(1)证明：法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，又∵x>0时，f(x)<0.而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．法二：在R上任取x1，x2，且x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．(2)∵f(x)在R上为减函数，∴f(x)在[－3,3]上是减少的，∴f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)，而f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)＝－2.∵0＝f(0)＝f(3－3)＝f(3)＋f(－3)，∴f(－3)＝－f(3)＝2，因此，f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.12．解：(1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)．∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 同理，当a <0，b <0时，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0， 当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b ， 则x >log 1.5⎝⎛⎭⎫－a2b ； 同理，当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a2b ， 则x <log 1.5⎝⎛⎭⎫－a2b . B 级1．选C 由f (2－x )＝f (x )可知，f (x )的图像关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增加的，所以当x <1时f (x )为减少的，因为⎪⎪⎪⎪12－1<⎪⎪⎪⎪13－1<|2－1|，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)．2．选C 显然函数的定义域是[－3,1]且y ≥0，故y 2＝4＋2(1－x )(x ＋3)＝4＋2－x 2－2x ＋3＝4＋2－(x ＋1)2＋4，可得4≤y 2≤8，故2≤y ≤22，即m ＝2，M ＝22，所以m M ＝22.3．解：(1)在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中， 令m ＝1，n ＝0， 得f (1)＝f (1)·f (0)． 因为f (1)≠0，所以f (0)＝1. (2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.在已知条件f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，若取m ＋n ＝x 2，m ＝x 1，则已知条件可化为： f (x 2)＝f (x 1)·f (x 2－x 1)．由于x 2－x 1>0，所以0<f (x 2－x 1)<1.为比较f (x 2)，f (x 1)的大小，只需考虑f (x 1)的正负即可． 在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中， 令m ＝x ，n ＝－x ， 则得f (x )·f (－x )＝1.因为当x>0时，0<f(x)<1，所以当x<0时，f(x)＝1f(－x)>1>0.又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x1∈R，均有f(x1)>0.所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0.所以函数f(x)在R上单调递减．(3)f(x2)·f(y2)>f(1)，即x2＋y2<1.f(ax－y＋2)＝1＝f(0)，即ax－y＋2＝0.由A∩B＝∅，得直线ax－y＋2＝0与圆面x2＋y2<1无公共点，所以2a2＋1≥1，解得－1≤a≤1.。
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：2.7指数与指数函数
课时跟踪检测(十) 指数与指数函数1．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1D ．y ＝1－2x2．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．113．(2012·杭州模拟)函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( )4．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则实数m ，n 的关系是( )A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．m >nD ．m <n5．(2013·安阳调研)设函数f (x )＝a －|x |(a ＞0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－2)＞f (－1)B ．f (－1)＞f (－2)C ．f (1)＞f (2)D ．f (－2)＞f (2)6．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)>f (1) B ．f (－4)＝f (1) C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定7.⎝⎛⎭⎫3213-×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23 23＝________. 8．(2013·银川三校联考)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．9．(2012·山东高考)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.10．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2；(2)y ＝ 32x －1－19.11．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．12．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值．1．(2012·绍兴模拟)若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a－b的值为( )A. 6 B ．2或－2 C ．－2D ．22．(2012·河北衡水模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.3．设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．答 案 课时跟踪检测(十)A 级1．选B ∵1－x ∈R ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x的值域是正实数集， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫131－x 的值域是正实数集． 2．选B 由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.3．选B y ＝a |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥0，a －x ，x ＜0.当x ≥0时，与指数函数y ＝a x (a >1)的图像相同；当x <0时，y ＝a －x 与y ＝a x 的图像关于y 轴对称，由此判断B 正确．4．选D ∵a ＝5－12，即0<a <1，∴函数f (x )＝a x 是减函数， 又f (m )>f (n )，∴m <n .5．选A 由a －2＝4，a ＞0得a ＝12，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－|x |＝2|x |.又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|， 即f (－2)＞f (－1)．6．选A 由题意知a >1，∴f (－4)＝a 3， f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2， ∴f (－4)>f (1)．7．解析：原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 答案：28．解析：由f (1)＝19得a 2＝19，于是a ＝13，因此f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.又因为g (x )＝|2x －4|的单调递增区间为[2，＋∞)，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)9．解析：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m >0，即m <14.若a >1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m <14矛盾；当0<a <1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a ＝14.答案：1410．解：(1)显然定义域为R . ∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， 且y ＝⎝⎛⎭⎫12x为减函数． ∴⎝⎛⎭⎫122x －x 2≥⎝⎛⎭⎫121＝12.故函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. (2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2， 即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞， 由上可知32x －1－19≥0，∴y ≥0.即函数的值域为[0，＋∞)．11．解：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2， f (x )最小＝f (1)＝a .∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数， 在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ， f (x )最小＝f (2)＝a 2.∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.12．解：由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1， ∴M ＝{x |x ＞3，或x ＜1}，f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎫2x －162＋2512. ∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2， ∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．B 级1．选D (a b ＋a －b )2＝8⇒a 2b ＋a －2b ＝6， ∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4， 又a b >a －b (a >1，b >0)，∴a b －a －b ＝2. 2．画出函数f (x )＝|2x －1|的图像(如图)，由图像可知，a <0，b 的符号不确定，c >0. 故①②错；∵f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|， ∴|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1， 故2a ＋2c <2，④成立； 又2a ＋2c >22a ＋c ，∴2a ＋c <1，∴a ＋c <0，∴－a >c ，∴2－a >2c ，③不成立． 答案：④3．解：∵f (x )是定义域为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，∴k －1＝0，即k ＝1. (1)∵f (1)>0，∴a －1a>0，又a >0且a ≠1，∴a >1，f (x )＝a x －a －x ， ∵f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0， ∴f (x )在R 上为增函数．原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )， ∴x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， ∴x >1或x <－4，∴不等式的解集为{x |x >1，或x <－4}．(2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0， ∴a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2. 令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)， 即t (x )≥t (1)＝32，∴原函数变为w (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2， ∴当t ＝2时，w (t )min ＝－2， 此时x ＝log 2(1＋2)．即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2.。
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：2.2函数的定义域和值域
(2)两点间的距离： x－x12＋y－y12可看作点(x，
y)与点(x1，y1)之间的距离．
针对训练
1．函数 y＝ x＋32＋16＋ x－52＋4的值域为______．
解析：函数 y＝f(x)的几何意义为：平 面内一点 P(x,0)到两点 A(－3,4)和 B (5,2)距离之和就是 y 的值．由平面几 何知识，找出 B 关于 x 轴的对称点 B′ (5，－2)．连接 AB′交 x 轴于一点 P 即为所求的点， 最小值 y＝|AB′|＝ 82＋62＝10. 即函数的值域为[10，＋∞)．
C．{y|－1≤y≤3}
B．{0,1,2,3}
D．{y|0≤y≤3}
答案：A
1 2．函数 y＝ 2 的值域为 x ＋2
(
)
A．R
1 yy≤ C. 2
2
1 yy≥ B. 2 1 y0<y≤ D. 2
1 1 1 解析：∵x ＋2≥2，∴0< 2 ≤ .∴0<y≤ . 2 x ＋2 2
1．数形结合法 利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观 性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定
函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．
[典例 1] 对 a， b∈R， 记
a，a≥b， max|a， b|＝ b，a<b.
函 数 f(x) ＝ max||x ＋ 1| ， |x － 2||(x ∈ R) 的 值 域 是 ________．
π x|x≠kπ＋ ，k∈Z 2 . x的定义域为
7．实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式 有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：8.1 直线的方程
课时跟踪检测(四十九) 直线的方程1．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2)D ．(－1，－2)2．已知A (3,4)，B (－1,0)，则过AB 的中点且倾斜角为120°的直线方程是( ) A ．y －2＝3(x －1) B ．y －1＝－3(x －2) C ．y －2＝－3(x －1)D ．y －1＝3(x －2)3．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12D ．2或－124．(2012·佛山模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜05．直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．A ＝3，B ＝1 B ．A ＝－3，B ＝－1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝16．(2012·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞7．(2012·常州模拟)过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．8．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为________．9．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是________．10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程．11．(2012·莆田月考)已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．1．(2012·烟台模拟)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最大时，直线l的方程为()A．x＝1B．y＝1C．x－2y＋3＝0 D．2x＋y－4＝02．(2012·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，直线l的方程为________________．3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．答 案课时跟踪检测(四十九)A 级1．选A 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．2．选C AB 的中点为(1,2)，故所求直线方程为y －2＝－3(x －1)． 3．选D 令y ＝0则(2m 2＋m －3)x ＝4m －1， ∴x ＝4m －12m 2＋m －3＝1.∴m ＝2或－12.4．选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b ＜0且－cb＞0，故ab ＞0，bc ＜0.5．选B 将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式 y ＝－A B x ＋1B.∵1B＝－1，∴B ＝－1，故排除A 、D. 又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3，∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3.∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－ 3.∴A ＝－ 3.6．选D 设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12.7．解析：直线l 过原点时，l 的斜率为－32，直线方程为y ＝－32x ；l 不过原点时，设方程为x a ＋ya＝1，将点(－2,3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝08．解析：设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0 答案：3x ＋4y ＋15＝09.解析：直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ， ∵k MA ＝3－(－2)－2－0＝－52，k MB ＝2－(－2)3－0＝43，由图可知：－a >－52且－a <43，∴a ∈⎝⎛⎭⎫－43，52. 答案：⎝⎛⎭⎫－43，5210．解：设所求直线方程为x a ＋yb＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎡⎭⎫－33，0∪(0， 3 ]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎫π6，π2∪⎝⎛⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 12．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎨⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3， 3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.B 级1．选D 易知点M (1,2)在圆C 的内部，当∠ACB 最大时，|AB |应最大，此时线段AB 恰好是圆C 的直径，由两点式，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0.2．解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短．由C (2,1)，P (1,2)可知直线PC 的斜率为2－11－2＝－1，设直线l 的斜率为k ，则k ×(－1)＝－1，得k ＝1，又直线l 过点P ，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2k k <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k (1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：9.5古 典 概 型
课时跟踪检测(六十二) 古 典 概 型1．(2012·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )A.12 B.13 C.14D.252．甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3}，若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )．A.13B.59C.23D.793．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1,2,3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为( )A.151B.168C.1306D.14084．(2011·安徽高考)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为项点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.155．(2012·宁波模拟)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116D.346．(2012·豫南九校联考)从x 2m －y 2n ＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A.12B.47C.23D.347．(2012·上海高考)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．8．(2012·重庆高考)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．9．(2012·江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．10．在研究性学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担H、I、J、K四项不同的任务，每项任务至少安排一位同学承担．(1)求甲、乙两人同时承担H任务的概率；(2)求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率．11．(2012·福州模拟)已知A、B、C三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A、B、C三个箱子中各摸出1个球．(1)若用数组(x，y，z)中的x，y，z分别表示从A、B、C三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x，y，z)的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．12．(2012·南昌模拟)从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动．(1)求所选2人中恰有一名男生的概率；(2)求所选2人中至少有一名女生的概率．1．(2012·广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.192．在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N分别是线段OA ，OB ，OC ，OD 的中点，在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F .设G 为满足向量OG ＝OE＋OF的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为________．3.如图，在某城市中，M ，N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中A 1、A 2、A 3、A 4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M ，N 处的甲、乙两人分别要到N ，M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ，M 处为止．(1)求甲经过A 2到达N 处的方法有多少种； (2)求甲、乙两人在A 2处相遇的概率； (3)求甲、乙两人相遇的概率．答 案课时跟踪检测(六十二)A 级1．选A 把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1，红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P ＝816＝12.2．选D 甲想一数字有3种结果，乙猜一种数字有3种结果，基本事件总数3×3＝9. 设“甲、乙心有灵犀”为事件A ，则A 的对立事件B 为“|a －b |＞1”，即|a －b |＝2，包含2个基本事件，∴P (B )＝29，∴P (A )＝1－29＝79.3．选B 基本事件总数为C 318，选出3人的编号组成以3为公差的等差数列的基本事件为(1,4,7)，(2,5,8)，(3,6,9)，…，(12,15,18)，共12组．故所求概率P ＝12C 318＝168.4.选D 在正六边形中，6个顶点选取4个，共有15种结果．选取的4点能构成矩形只有对边的4个顶点(例如AB 与DE )，共有3种，故所求概率为315＝15.5．选C 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )＞0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有a ＝1，2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8；a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.6．选B 方程x 2m －y 2n ＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})表示圆锥曲线时，对应的(m ，n )共有以下7种可能情况：(－1，－1)，(2，－1)，(2,2)，(2,3)，(3，－1)，(3,2)，(3,3)．其中(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)对应的方程表示焦点在x 轴上的双曲线的方程，因此所求概率为47.7．解析：三位同学每人选择三项中的两项有C 23C 23C 23＝3×3×3＝27(种)选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有C 23C 13C 12＝3×3×2＝18(种)选法．故所求概率为P ＝1827＝23.答案：238．解析：基本事件是对这6门课排列，故基本事件的个数为A 66.“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”就是“任何两节文化课不能相邻”，利用“插空法”，可得其排列方法种数为A 33A 34.根据古典概型的概率计算公式可得事件“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”发生的概率为A 33A 34A 66＝15.答案：159．解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35.答案：3510．解：(1)记“甲、乙两人同时承担H 任务”为事件A ，那么P (A )＝A 33C 25A 44＝140，即甲、乙两人同时承担H 任务的概率是140.(2)记“甲、乙两人同时承担同一项任务”为事件B ，那么P (B )＝A 44C 25A 44＝110，所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P (B )＝1－P (B )＝910.11．解：(1)数组(x ，y ，z )的所有情形为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．(2)记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件A i (i ＝3,4,5,6)，易知，事件A 3包含有1个基本事件，事件A 4包含有3个基本事件，事件A 5包含有3个基本事件，事件A 6包含有1个基本事件，所以，P (A 3)＝18，P (A 4)＝38，P (A 5)＝38，P (A 6)＝18.故所摸出的两球号码之和为4或5的概率相等且最大．故猜4或5获奖的可能性最大．12．解：从2名女生，3名男生中任选2人有C 25＝10种，即共有10个基本事件．(1)设“所选2人中恰有一名男生”为事件A ，则A 包含C 13·C 12＝6个基本事件． ∴P (A )＝610＝35，即所选2人中恰有一名男生的概率为35.(2)设“所选2人中至少有一名女生”为事件B ，则B 包含C 22＋C 12C 13＝7个基本事件．∴P (B )＝710，即所选2人中至少有一名女生的概率为710.B 级1．选D 由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有C 15C 14＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有C 15C 15＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有C 15×1＝5个．于是，所求概率为545＝19. 2．解析：基本事件的总数是4×4＝16，在OG ＝OE ＋OF 中，当OG ＝OP ＋OQ，OG ＝OP ＋ON ，OG ＝ON ＋OM ，OG ＝OM ＋OQ时，点G 分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况中的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34.答案：343．解：(1)甲经过A 2，可分为两步；第一步，甲从M 到A 2的方法有C 13种．第二步，甲从A 2到N 的方法有C 13种；所以甲经过A 2到达N 处的方法有(C 13)2＝9种．(2)由(1)知，甲经过A 2的方法数为9；乙经过A 2的方法数也为9. 所以甲、乙两人在A 2处相遇的方法数为9×9＝81； 甲、乙两人在A 2处相遇的概率为81C 36C 36＝81400.(3)甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A 1、A 2、A 3、A 4处相遇，他们在A i (i ＝1,2,3,4)处相遇的走法有(C i －13)4种方法，所以(C 03)4＋(C 13)4＋(C 23)4＋(C 33)4＝164，故甲、乙两人相遇的概率为164400＝41100.。
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：4.1平面向量的概念及其线性运算
课时跟踪检测(二十六) 平面向量的概念及其线性运算1．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )．正确的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．52．若a ＋b ＋c ＝0，则a ，b ，c ( )A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B ．一定不可能构成三角形C ．都是非零向量时能构成三角形D ．一定可构成三角形3．(2012·威海质检)已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA ＋2OC ＝3OB ，则|BC||AB |的值为( )A.12B.13C.14D.164．(2012·潍坊模拟)在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且|AB|＝|BC |，那么四边形ABCD为( )A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形5．(2012·海淀期末)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F是BC 的一个三等分点(靠近B )，那么EF＝( )A.12 AB－13AD B.14 AB＋12AD C.13 AB＋12DA D.12 AB－23AD 6．(2012·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°7．(2012·郑州五校联考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB＋AC |＝|AB －AC |，则|AM|＝________.8．(2012·大庆模拟)已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA ，OB ，OC，OD 满足等式OA ＋OC ＝OB ＋OD，则四边形ABCD 的形状为________．9．设向量e 1，e 2不共线，AB＝3(e 1＋e 2)，CB ＝e 2－e 1，CD ＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________．10．设i ，j 分别是平面直角坐标系Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且OA＝－2i ＋mj ，OB ＝n i ＋j ，OC＝5i －j ，若点A ，B ，C 在同一条直线上，且m ＝2n ，求实数m ，n 的值．11设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB＝2e 1－8e 2， CB ＝e 1＋3e 2，CD＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE＝23AD，AB ＝a ，AC ＝b . (1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．1．已知向量p ＝a |a |＋b|b |，其中a ，b 均为非零向量，则|p |的取值范围是( )A ．[0， 2 ]B ．[0,1]C ．(0,2]D ．[0,2]2．(2012·吉林四平质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB＋3AC，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.453．已知O ，A ，B 三点不共线，且OP ＝m OA ＋n OB，(m ，n ∈R)．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.答案课时跟踪检测(二十六)A级1．选C a＋(－a)＝0，故③错．2．选A当a，b，c为非零向量且不共线时可构成三角形，而当a，b，c为非零向量共线时不能构成三角形．3．选A 由OA →＋2OC ＝3OB ，得OA －OB ＝2OB －2OC ，即BA＝2CB ，所以|BC ||AB |＝12. 4．选B 由AB ＝DC ，且|AB|＝|BC |知四边形ABCD 为平行四边形且邻边相等，∴四边形ABCD 为菱形．5．选D 在△CEF 中，有EF ＝EC＋CF ，因为点E 为DC 的中点，所以EC ＝12DC .因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF ＝23CB .所以EF ＝12DC ＋23CB ＝12AB ＋23DA ＝12AB －23AD .6．选A 由OA ＋OB ＋CO ＝0得OA ＋OB ＝OC，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.7．解析：由|AB ＋AB |＝|AB －AC |可知，AB ⊥AC，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM |＝12|BC|＝2.答案：28．解析：∵OA ＋OC ＝OB ＋OD， ∴OA －OB ＝OD －OC ，∴BA ＝CD.∴四边形ABCD 为平行四边形．答案：平行四边形9．解析：由AC ＝AB －CB ＝4e 1＋2e 2＝2CD ，且AB 与CB不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上．答案：④10．解：AB ＝OB－OA ＝(n ＋2)i ＋(1－m )j ， BC ＝OC －OB＝(5－n )i －2j .∵点A ，B ，C 在同一条直线上，∴AB ∥BC ，即AB＝λBC .∴(n ＋2)i ＋(1－m )j ＝λ[(5－n )i －2j ]． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2＝λ(5－n )，1－m ＝－2λ，m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝32.11．解：(1)证明：由已知得BD ＝CD－CB ＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ＝2e 1－8e 2，∴AB ＝2BD ，又∵AB 与BD 有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD＝e 1－4e 2， 且BF＝3e 1－k e 2，∵B ，D ，F 三点共线，得BF ＝λBD，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12， ∴k ＝12.12．解：(1)延长AD 到G ，使AD ＝12AG ，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG＝a ＋b ， AD ＝12AG ＝12(a ＋b )，AE ＝23AD ＝13(a ＋b )，AF ＝12AC＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)可知BE ＝23BF，又因为BE ，BF有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．B 级1．选D 由已知向量p 是两个单位向量的和，当这两个单位向量同向时，|p |max ＝2，当这两个单位向量反向时，|p |min ＝0.2.选C 设AB 的中点为D ，由5AM ＝AB＋3AC ，得3AM －3AC ＝2AD －2AM，即3CM ＝2MD，如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD ＝35CD，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为35，则△ABM 与△ABC 的面积比为35.3．证明：(1)∵m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1，∴OP ＝m OA ＋n OB ＝m OA ＋(1－m ) OB ， ∴OP －OB ＝m (OA －OB )． ∴BP ＝m BA，而BA ―→≠0，且m ∈R . ∴BP 与BA共线， 又BP ，BA有公共点B .∴A ，P ，B 三点共线．(2)∵A ，P ，B 三点共线，∴BP 与BA 共线，∴存在实数λ，使BP ＝λBA， ∴OP －OB ＝λ(OA －OB )． ∴OP ＝λOA ＋(1－λ) OB .又∵OP ＝m OA ＋n OB ，∴m OA ＋n OB ＝λOA ＋(1－λ) OB .又∵O ，A ，B 不共线，∴OA ，OB不共线．由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，n ＝1－λ.∴m ＋n ＝1.。
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：3.8正弦定理和余弦定理的应用
课时跟踪检测(二十五) 正弦定理和余弦定理的应用1．在同一平面内中，在A 处测得的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为( )A ．4 B.17 C ．3 2D.192．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m3．(2012·天津高考) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725D.24254．如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a kmD ．2a km5．(2012·余姚模拟)如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为( )A.12小时 B ．1小时 C.32小时 D ．2小时6．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是()A．10 2 海里B．10 3 海里C．20 2 海里D．20 3 海里7.(2012·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.8．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.9．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A处测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m后，又从点B测得其斜度为45°，假设建筑物高50 m，设山坡对于地平面的斜度为θ，则cos θ＝________.10.如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．11．在海岛A(可视岛A为一点)上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处匀速直线行驶，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°、俯角为60°的C处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛正西方向的D处，此时船距岛A有多远？12．在某滨海城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O 的东偏南θ⎝⎛⎭⎫cos θ＝210方向300 km 的海面P 处，并以20 km /h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大，问何时城市受台风的侵袭？1.(2012·兰州模拟)某单位在抗雪救灾中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 km 的C ，D 两地测得∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝30°(如图，其中A ，B ，C ，D 在同一平面上)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A ，B 之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？2.(2012·泉州模拟)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C 处的乙船．(1)求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA ―→成θ角，求f (x )＝sin 2θsin x ＋34cos 2θcos x (x ∈R)的值域．答 案课时跟踪检测(二十五)A 级1．选D ∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝3. ∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19. ∴BC ＝19.2．选A 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.3．选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B ·cos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C 2 sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725. 4．选B 易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°＝2a 2－2a 2×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2， ∴AB ＝3a .5．选B 由题意，得CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB ＝35，因此甲船需要的时间为1小时．6．选A 如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝105°， ∴∠BCA ＝45°.又AB ＝40×12＝20(海里)，∴由正弦定理可得20sin 45°＝BCsin 30°.∴BC ＝20×1222＝102(海里)．7．解析：设航速为v n mile/h ， 在△ABS 中AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，则v ＝32.答案：328．解析：如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 答案：10 39．解析：在△ABC 中，AB ＝100，∠CAB ＝15°，∠ACB ＝45°－15°＝30°. 由正弦定理得：100sin 30°＝BC sin 15°，∴BC ＝200sin 15°.在△DBC 中，CD ＝50，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理得50sin 45°＝200sin 15°sin (90°＋θ)，∴cos θ＝3－1.答案：3－110．解：在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6， 由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°. 在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°， ∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，∴AB ＝AD ·sin ∠ADBsin B＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6. 11.解：(1)由题意得，在Rt △P AB 中，∠APB ＝60°，∠P AB ＝90°，P A ＝1，∴AB ＝ 3.在Rt △P AC 中， ∠APC ＝30°， ∠P AC ＝90°，∴AC ＝33， 在△ACB 中，∠CAB ＝30°＋60°＝90°， ∴BC ＝AC 2＋AB 2＝ ⎝⎛⎭⎫332＋(3)2＝303，故船的航行速度是303÷16＝230(千米/时)．(2)∠DAC ＝90°－60°＝30°， sin ∠DCA ＝sin(180°－∠ACB ) ＝sin ∠ACB ＝AB BC ＝3330＝31010，sin ∠CDA ＝sin(∠ACB －30°)＝sin ∠ACB ·cos 30°－cos ∠ACB ·sin 30° ＝31010×32－12×1－⎝⎛⎭⎫310102＝(33－1)1020.在△ACD 中，据正弦定理得 AD sin ∠DCA ＝ACsin ∠CDA，∴AD ＝AC ·sin ∠DCA sin ∠CDA ＝33×31010(33－1)1020＝9＋313，此时船距岛A 有9＋313(千米)．12．解：由题意，t 小时后台风移动20 t 千米到达A 处，∠OP A ＝θ－45°，可由余弦定理求OA ，此时台风侵袭的范围为以A 为圆心，60＋10t 为半径的圆的内部，若|OA |≤60＋10t ，则城市受到侵袭．∵cos θ＝210， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210， 且cos(θ－45°)＝cos θcos 45°＋sin θsin 45°＝210×22＋7210×22＝45. 在△OP A 中，OP ＝300，AP ＝20t ， 由余弦定理得OA 2＝OP 2＋AP 2－2OP ·AP cos(θ－45°) ＝3002＋(20t )2－2×300×20t ×45＝400t 2－9 600t ＋90 000. 若OA 2≤(60＋10t )2，即400t 2－9 600t ＋90 000≤3 600＋100t 2＋1 200t ， 化简得t 2－36t ＋288≤0.∴12≤t ≤24. 故12小时后至24小时受到台风的侵袭．B 级1．解：在△ACD 中，∠ACD ＝45°，CD ＝6，∠ADC ＝75°， 所以∠CAD ＝60°.因为CD sin ∠CAD ＝AD sin ∠ACD ，所以AD ＝CD ×sin ∠ACDsin ∠CAD＝6×2232＝2 6. 在△BCD 中，∠BCD ＝30°，CD ＝6， ∠BDC ＝15°， 所以∠CBD ＝135°.因为CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD，所以BD ＝CD ×sin ∠BCDsin ∠CBD ＝6×1222＝3 2.又因为在△ABD 中，∠BDA ＝∠BDC ＋∠ADC ＝90°， 所以△ABD 是直角三角形． 所以AB ＝AD 2＋BD 2 ＝(26)2＋(32)2＝42. 所以电线长度至少为 l ＝1.2×AB ＝6425(单位：km)答：施工单位至少应该准备长度为6425km 的电线． 2．解：(1)连接BC ，由余弦定理得 BC 2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700. ∴BC ＝107，即所求距离为107海里． (2)∵sin θ20＝sin 120°107， ∴sin θ＝37. ∵θ是锐角，∴cos θ＝ 47. f (x )＝sin 2θsin x ＋34cos 2θcos x ＝37sin x ＋37cos x ＝237sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－237，237.。
2014届高三数学一轮复习专讲专练基础知识小题全取考点通关课时检测81直线的方程
1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每 条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二 是要考虑正切函数的单调性．
3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，假 设不确定，那么需要分类讨论．
直线的倾斜角与斜率
解析：kAC＝56－ －34＝1，kAB＝5a－－43＝a－3. 由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4. 答案：4
5．假设直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，那 么直
解线析l的：方由程已为知__得__直__线__l．的斜率为 k＝－32.
所以 l 的方程为 y－2＝－32(x＋1)，
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直线方程的综合应用
[例3] (2021·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它
夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线
段AB恰被点P平分，求此直线的方程．
[自主解答] 法一：设点 A(x，y)在 l1 上，点 B(xB， yB)在 l2 上．
由题意知xy＋＋22yxBB＝＝03，，
解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线．
因为线段AB，AC中点坐标分别为72，1，－12，－2， 所以这条直线的方程为1y＋＋22＝x72＋ ＋1212，
整理得6x－8y－13＝0，截距式方程为1x3－1y3＝1. 68
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方 程为3y＋＋44＝x2－－11，即7x－y－11＝0，截距式方程为1x1－1y1＝1.
二、直线方程的形式及适用条件
名称 几何条件 点斜 过点(x0，y0)，
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识 小题全取 考点通关 课时检测)：1.1集 合范文
课时跟踪检测(一)集合1．(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅2．(2013·山西四校联考)已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是()A．2 B．3C．4 D．83．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝()A．{3,0} B．{3,0,1}C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}4．(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝()A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}5．(2013·合肥质检)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{x∈Z||x|≤a}，则满足A B 的实数a的一个值为()A．0 B．1C．2 D．36．已知全集U＝R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则∁U(A∩B)＝() A．(－∞，3)∪(5，＋∞) B．(－∞，3]∪[5，＋∞)C．(－∞，3)∪[5，＋∞) D．(－∞，3]∪(5，＋∞)7．(2012·大纲全国卷)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝() A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或38．设S＝{x|x<－1，或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是() A．(－3，－1) B．[－3，－1]C．(－∞，－3]∪(－1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)9．若集合U＝R，A＝{x|x＋2>0}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁U B)＝________.10．(2012·武汉适应性训练)已知A，B均为集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{1}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2,4}，则B∩(∁U A)＝________.11．已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2x <1，N ＝{y |y ＝x －1}，则N ∩(∁R M )＝________.12．(2012·吉林模拟)已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.13．(2013·苏北四市调研)已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R}，存在a ∈R ，使得集合A 中所有整数元素的和为28，则实数a 的取值范围是________．14．(2012·安徽名校模拟)设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．1．(2013·杭州十四中月考)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝lg x ，110≤x ≤10，B ＝{－2，－1,1,2}，全集U ＝R ，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－1,1} B ．(∁U A )∪B ＝[－1,1]C ．A ∪B ＝(－2,2)D ．(∁U A )∩B ＝[－2,2]2．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N|y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3．(2013·河北质检)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1，或x ≥3}，那么( )A ．a ＝－1B ．a ≤1C ．a ＝1D ．a ≥14．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的序号是________．5．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．6．(2012·衡水模拟)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(∁I M)∩N；(2)记集合A＝(∁I M)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．答案课时跟踪检测(一)A级1．选B A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，所以B A.2．选C依题意得，满足M∪N＝{0,1,2}的集合N有{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}共4个．3．选B因为P∩Q＝{0}，所以0∈P，log2a＝0，a＝1，而0∈Q，所以b＝0.所以P ∪Q＝{3,0,1}．4．选B因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．5．选D当a＝0时，B＝{0}；当a＝1时，B＝{－1,0,1}；当a＝2时，B＝{－2，－1,0,1,2}；当a＝3时，B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，显然只有a＝3时满足条件．6．选C x2－7x＋10<0⇔(x－2)·(x－5)<0⇒2<x<5，A∩B＝{x|3≤x<5}，故∁U(A∩B)＝(－∞，3)∪[5，＋∞)．7．选B法一：∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝m.由m＝m得m＝0或m＝1.但m＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m ＝3.法二：∵B ＝{1，m }，∴m ≠1，∴可排除选项C 、D.又当m ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，满足A ∪B ＝{1,3，3}＝A ，故选B. 8．选A 在数轴上表示两个集合，因为S ∪T ＝R ，由图可得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8>5，解得－3<a <－1. 9．解析：由题意得∁U B ＝(－∞，1)， 又因为A ＝{x |x ＋2>0}＝{x |x >－2}， 于是A ∩(∁U B )＝(－2,1)． 答案：(－2,1)10．解析：依题意及韦恩图得，B ∩(∁U A )＝{5,6}． 答案：{5,6}11．解析：M ＝{x |x <0，或x >2}，所以∁R M ＝[0,2]， 又N ＝[0，＋∞)，所以N ∩(∁R M )＝[0,2]． 答案：[0,2]12．解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0； B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：0,1，－1213．解析：不等式x 2＋a ≤(a ＋1)x 可化为(x －a )(x －1)≤0，由题意知不等式的解集为{x |1≤x ≤a }．A 中所有整数元素构成以1为首项，1为公差的等差数列，其前7项和为7×(1＋7)2＝28，所以7≤a <8，即实数a 的取值范围是[7,8)． 答案：[7,8)14．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：7B 级1．选A ∵x ∈⎣⎡⎦⎤110，10，∴y ∈[－1,1]， ∴A ∩B ＝{－1,1}．2．选C 由36－x 2>0，解得－6<x <6.又因为x ∈N ，所以S ＝{0,1,2,3,4,5}．依题意，可知若k 是集合M 的“酷元”是指k 2与k 都不属于集合M .显然当k ＝0时，k 2＝k ＝0时；当k ＝1时，k 2＝k ＝1.所以0,1都不是“酷元”．若k ＝2，则k 2＝4；若k ＝4，则k ＝2.所以2与4不同时在集合M 中，才能成为“酷元”．显然3与5都是集合S 中的“酷元”．综上，若集合M 中的两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类： (1)只选3与5，即M ＝{3,5}；(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M ＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}． 所以满足条件的集合M 共有5个．3．选A 由题意得M ＝{x |x ≥－a }，N ＝{x |1<x <3}，所以∁U N ＝{x |x ≤1，或x ≥3}，又M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1，或x ≥3}，因此－a ＝1，a ＝－1.4．解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以不正确；②中设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确； ③令A 1＝{－4,0,4}，A 2＝{－2,0,2}，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．答案：②5．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3.(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1. ∴m ＞5或m ＜－3.即m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．6．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}， 当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，a 的取值范围为{a |a ≥3}．。
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：10.1抽_样_方_法
课时跟踪检测(六十七) 抽 样 方 法1．(2013·江西模拟)在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00,01,02，…，99，从中抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个．则( )A ．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是15B ．①②两种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是15，③并非如此C ．①③两种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是15，②并非如此D ．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率各不相同2．(2013·宁波模拟)某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( )A ．简单随机抽样法B ．抽签法C ．随机数法D ．分层抽样法3．(2013·忻州一中月考)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的编号为003.这600名学生分住在3个营区，从001到300住在第1营区，从301到495住在第2营区，从496到600住在第3营区，则3个营区被抽中的人数依次为( )A ．26,16,8B ．25,16,9C ．25,17,8D ．24,17,94．(2012·潍坊模拟)为调查参加运动会的1 000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是( )A ．1 000名运动员是总体B ．每个运动员是个体C ．抽取的100名运动员是样本D ．样本容量是1005．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( )A ．5,10,15,20,25B ．3,13,23,33,43C ．1,2,3,4,5D ．2,4,6,16,326．(2012·濮阳调研)甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应该在这三校分别抽取的学生人数是( )A ．30,30,30B ．30,45,15C ．20,30,10D ．30,50,107．某学校在校学生2 000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下：其中a ∶b ∶c ＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的14.为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取________．8．(2012·湖北高考)一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有________人．9．(2012·浙江高考)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．10．已知某校高二文科班学生的化学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 名，成绩分为A (优秀)、B (良好)、C (及格)三个等级，已知化学与物理均为B 等级的概率是0.18.(1)求抽取的学生人数；(2)设在该样本中，化学成绩优秀率是30%，求a，b的值．11．(2012·开封模拟)某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体；如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.12．一个城市有210家百货商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本，按分层抽样方法抽取样本时，各类百货商店要分别抽取多少家？写出抽样过程．1．(2012·杭州模拟)某校高中生共有2 700人，其中高一年级900人，高二年级1 200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为()A．45,75,15 B．45,45,45C．30,90,15 D．45,60,302．最近网络上流行一种“QQ农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号01,02,03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________．3．(2012·山西四校联考)调查某高中1 000名学生的身高情况，得下表．已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏低男生的概率为0.15.(1)求x 的值；(2)若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在偏高学生中抽多少名； (3)已知y ≥193，z ≥193，求偏高学生中男生不少于女生的概率．答 案课时跟踪检测(六十七)A 级1．选A 由于随机抽样法、系统抽样法与分层抽样法均是等可能性抽样，因此不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是15.2．选D 总体由差异明显的几部分组成、按比例抽样，为分层抽样．3．选C 由题意知，被抽中的学生的编号构成以3为首项，12为公差的等差数列{a n }，其通项a n ＝12n －9(1≤n ≤50，n ∈N ＋)．令1≤12n －9≤300，得1≤n ≤25，故第1营区被抽中的人数为25；令301≤12n －9≤495，得26≤n ≤42，故第2营区被抽中的人数为17；令496≤12n －9≤600，得43≤n ≤50，故第3营区被抽中的人数为8.4．选D 所调查的是运动员的年龄，故A 、B 、C 错误，样本容量是100. 5．选B 间隔距离为10，故可能编号是3,13,23,33,43. 6．选B 抽取比例是903 600＋5 400＋1 800＝1120，故三校分别抽取的学生人数为 3600×1120＝30,5 400×1120＝45,1 800×1120＝15.7．解析：由题意，全校参加跑步的人数占总人数的34，所以高三年级参加跑步的总人数为34×2 000×310＝450，由分层抽样的特征，得高三年级参加跑步的学生中应抽取的人数为2002 000×450＝45. 答案：45人8．解析：分层抽样的特点是按照各层占总体的比相等抽取样本，设抽取的女运动员有x 人，则x 8＝4256，解得x ＝6.答案：69．解析：由分层抽样得，此样本中男生人数为560×280560＋420＝160.答案：16010．解：(1)由题意可知18n ＝0.18，得n ＝100.故抽取的学生人数是100. (2)由(1)知n ＝100.所以7＋9＋a 100＝0.3，解得a ＝14由7＋9＋a ＋20＋18＋4＋5＋6＋b ＝100. 得b ＝17.故a ＝14，b ＝1711．解：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.即样本容量n ＝6.12．解：∵21∶210＝1∶10， ∴2010＝2，4010＝4，15010＝15. ∴应从大型商店中抽取2家，从中型商店中抽取4家，从小型商店中抽取15家． 抽样过程：(1)计算抽样比21210＝110；(2)计算各类百货商店抽取的个数： 2010＝2，4010＝4，15010＝15； (3)用简单随机抽样方法依次从大、中、小型商店中抽取2家、4家、15家； (4)将抽取的个体合在一起，就构成所要抽取的一个样本．B 级1．选D 样本容量与总体个数比为1352 700＝120.根据分层抽样的含义可得高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为120×900＝45，120×1 200＝60，120×600＝30. 2．解析：由最小的两个编号为03,09可知，抽样间距为6，因此抽取人数的比例为16，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋(10－1)×6＝57.答案：573．解：(1)由题意可知，x1 000＝0.15，故x ＝150.(2)由题意可知，偏高学生人数为y ＋z ＝1 000－(100＋173＋150＋177)＝400.设应在偏高学生中抽m 名，则m 400＝501 000，故m ＝20. 应在偏高学生中抽20名．(3)由(2)知y ＋z ＝400，且y ≥193，z ≥193，满足条件的(y ，z )有(193,207)，(194,206)，…，(207,193)，共有15组．设事件A ：“偏高学生中男生不少于女生”，即y ≤z ，满足条件的(y ，z )有(193,207)，(194,206)，…，(200,200)，共有8组，所以P (A )＝815.偏高学生中男生不少于女生的概率为815.。
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课时跟踪检测(二十四) 正弦定理与余弦定理1．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c ＝( ) A ．52 B ．10 2 C.1063D ．5 62．(2012·福州模拟)若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1D.233．(2012·泉州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 34．(2012·陕西高考)在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－125．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定6．在△ABC 中，sin 2 A ≤sin 2 B ＋sin 2 C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎭⎫π6，π C.⎝⎛⎦⎤0，π3 D.⎣⎡⎭⎫π3，π7．(2011·安徽高考)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为__________．8．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C 的大小为________．9．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .11．(2011·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b.(1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由．1．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶42．(2012·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．3．(2012·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .答 案课时跟踪检测(二十四)A 级1．选C 由于A ＋B ＋C ＝180°， 所以C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理，得c ＝a sin Csin A ＝10×2232＝1063.2．选A 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4. ① 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ， ② 将②代入①得ab ＋2ab ＝4，即ab ＝43.3．选D 由已知得12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝32，解得c ＝2，则由余弦定理可得a 2＝4＋1－2×2×1×cos π3＝3⇒a ＝ 3.4．选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.5．选C 由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形．6．选C 由正弦定理得a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，又0<A <π，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π3. 7．解析：不妨设角A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos 120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以S ＝12bc sin 120°＝15 3.答案：15 38．解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin Aa ＝3sinπ33＝12，所以B ＝π6或5π6(舍去)，所以C ＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π29．解析：根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，解得b ＝4. 答案：410．解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64.故a ＝b ×sin Asin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.11．解：(1)由正弦定理得，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B＝2sin C －sin A sin B，cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ．因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A＝2得c ＝2a . 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14.解得a ＝1，从而c ＝2. 又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154. 因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.12．解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得 (2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0， sin B (2cos A －1)＝0. ∵0<B <π，∴sin B ≠0， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0，整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334，即12bc sin π3＝334， ∴bc ＝3，①∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3，∴b 2＋c 2＝6，② 由①②得b ＝c ＝3， ∴△ABC 为等边三角形．B 级1．选D 由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N ＋)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·(n ＋1)2＋n 2－(n ＋2)22n (n ＋1)，化简得7n 2－13n －60＝0，n ∈N ＋，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.2．解析：因为4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72，2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab，ab ＝a 2＋b 2－7,3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案：3323．解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin Ccos C ， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C )＝sin B ， 因此sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.。